C. R. Acad. Sci. Paris, t. 333, Série I, p. 17–22, 2001Analyse mathématique/Mathematical Analysis

Développement asymptotique d’intégrales oscillantesdoubles. . .Abdallah BENAISSA a, Claude ROGER b

a Centre universitaire de Ouargla, Ouargla, Algérieb IGD, UPRESA 5028, Université Claude-Bernard–Lyon-1, bâtiment 101, 43, boulevard du 11-Novembre-1918,

69622 Villeurbanne cedex, FranceCourriel : a_benaissa@univ-batna.dz; roger@desargues.univ-lyon1.fr

(Reçu et accepté le 19 mars 2001)

Résumé. Dans cette Note, nous nous intéressons à l’étude des développements asymptotiques desintégrales oscillantesI(λ) =

∫D

g · eiλf dx, dans le cas oùD est un domaine borné deR2

et l’ensembleγ des points stationnaires de la phasef est une courbeC∞ et simple deD.Contrairement aux travaux antérieurs, les développements réalisés ici sont plus expliciteset obtenus sous des hypothèses plus faibles et dans des situations plus générales comme,en particulier, le cas oùγ coupe tangentiellement le bord deD. Nous étudions aussil’influence de la géométrie de la courbeγ sur ces développements. 2001 Académie dessciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS

Asymptotic expansions of double oscillatory integrals with a curve ofstationary points

Abstract. In this Note, we shall consider asymptotic expansions of integrals I(λ) =∫

Dg · eiλf dx,

where D is a bidimensional bounded domain, f and g are two C∞ functions, and theset γ of stationary points of the phase f is a C∞ simple curve in D. In the contrary tothe previous results, the expansions realized here are more explicit and obtained underweaker conditions and in more general situations than in the case where the curve γ cutstangentially the boundary of D. Moreover, the influence of the geometry of γ is taken intoaccount. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS

Abridged English version

Consider the integralI(λ) =∫

Dg · eiλf dx, whereD is a bounded domain inR2, f and g are two

smooth real valued functions on the closureD of D, and assume that the set of stationary points off ,γ = {x ∈D : ∇f(x) = 0}, is a curve inD. In this Note, we are concerned with the contribution of pointsof γ, in asymptotic expansions of the integralI(λ) (λ→ +∞). The problem can be reduced, by usinga partition of unity, to the asymptotic expansion of integralIδ(λ) =

∫Dδ

g · eiλf dx, whereDδ is the set

of points inD, whose distance fromγ is less thanδ (δ being a sufficiently small positive number). We

Note présentée par Bernard MALGRANGE.

S0764-4442(01)01950-4/FLA 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés 17

A. Benaissa, C. Roger

impose tof condition (1) and assume thatγ is a simple (without multiple points) and smooth curve inD.This subject was first considered by Kontorovich, Rosov and Karatygin [4], and revived subsequently byMcClure and Wong [5] because of its theoretical and practical importance (see, for example, [6] and [7]).In these works, one is restricted to the case whereγ cuts transversely the boundary∂D of D only and it isrequired that∆f(x) �= 0 (∀x∈ γ). In our work, more general cases are considered and weaker conditionson the phasef are assumed. Indeed, we merely suppose thatf fulfills the condition (1). Lemma 1 isfundamental in this paper. It shows that the condition (1) implies that all derivatives of the phasef normalto the curveγ whose order is< r vanish, while the same derivative, whose degree is equal tor, have nozero values at any point ofγ. Next, we consider the change of coordinates, defined by transformationm,given by (2). Hence, ifγ is Jordan’s curve, then integralIδ(λ) is given in coordinates(s, t) by formula (3).Therefore, we may, according to condition (4) (obtained from condition (1)), apply the stationary phasemethod (see [8], pp. 76–81) to integral in one real variablet and then integrate with respect tos. If γ cuts theboundary ofD in its two endsA andB, then we subdivide domainm−1(Dδ) in three parts(Dδ)1, (Dδ)2and(Dδ)3 corresponding, respectively, tos� 0, 0 � s� L ands� L. The part(Dδ)2 is a rectangle, thenour integral over domain(Dδ)2 will be expanded in the same way, used for Jordan’s curve. For expandingintegrals over(Dδ)1 and (Dδ)3 we reduce them to a one-dimensional Fourier integral, the integrand ofwhich represent an integral over the level sets of the phase function (formula (8)). Next, we expand the“integrand” in its MacLaurin series expansion, and finally, use Abel’s sommability (see [8], chap. 4). In thecase whenγ cuts tangentially the boundary of domainD in a pointA, we show that the reciprocal image,bym, of the boundary ofD is expressed, near the pointA, by s = a(t1/p), wherea is aC∞ function andp− 1 is the order of contact betweenγ and∂D atA. Whenγ is Jordan’s curve or cuts transversely∂D, theasymptotic expansion ofIδ(λ) is obtained in the scale of functionsλ−(j+1)/r , j � 0 (Theorems 1 and 2),and in that of functionsλ−(j/(q+1)+1)/r , j � 0, in a tangency case,q being the order of contact betweencurvesγ and∂D (Theorem 3). In Section 5, we show that the geometry of curveγ modifies the asymptoticexpansion ofIδ(λ) by an additive quantity in each coefficient of expansion: in the case of Jordan’s curvethis quantity is given by formula (9).

1. Introduction

SoientD un domaine borné deR2, f et g deux fonctions de classeC∞ à valeurs réelles sur lafermetureD deD. Posonsγ = {(x1, x2) ∈ D : ∇f(x1, x2) = 0}, ∇f étant le gradient def . Nous nousintéressons ici à la contribution des points deγ au développement asymptotique de l’intégrale oscillanteI(λ) =

∫D g · eiλf dx (λ→ +∞), quandγ est une courbeC∞ simple (c’est-à-dire sans points multiples)

deD. Cela revient, par l’utilisation d’une partition de l’unité, à l’étude du développement asymptotique del’intégrale

Iδ(λ) =∫

Dδ

g · eiλf dx,

où Dδ est l’ensemble des points deD dont la distance àγ est inférieure àδ (δ > 0 étant suffisammentpetit). De tels problèmes se rencontrent surtout en physique (voir par exemple [6,7] et l’introductionde [4]). Ce problème a été étudié auparavant par I.M. Kontorovitch, V.A. Karatygin et V.A. Rosov [4]et par J.P. McClure et R. Wong [5], mais uniquement dans la situation oùγ est une courbe deD coupanttransversalement∂D, le bord deD, en ses deux extrémités. On trouve aussi dans [3] une étude du problèmedans ces mêmes conditions, dans le cas oùD est un domaine deR3. Dans [4] on a supposé que l’une desdeux dérivées∂2f/∂x2

1 ou∂2f/∂x22 ne s’annule pas surγ, et dans [5] que le Laplacien def ne s’annule pas

surγ. Nous considérons le problème sous des hypothèses plus faibles et dans des situations plus générales.

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Développement asymptotique d’intégrales oscillantes doubles avec une courbe de points stationnaires

En effet, nous supposons que la phasef vérifie la condition plus générale suivante :∣∣∣∣∣∣«� r > 1 : en restriction àγ, les différentielles d’ordre< r def sont nulles,

et la différentielle d’ordrer def ne s’annule en aucun point deγ »,(1)

et nous considérons, entre autres, la situation oùγ coupe tangentiellement∂D le bord du domaineD.

On remarque, en utilisant la démonstration du lemme 1, qu’il suffit que les∂jf

∂xji

∣∣γ

soient nulles pour

qu’automatiquement les différentielles d’ordrej < r de f soient nulles. Dans ce travail, le lemme 1 estfondamental. Il montre que la condition (1) équivaut à ce que toutes les dérivées def surγ normales àγsont nulles jusqu’à l’ordrer− 1, tandis que la même dérivée d’ordrer ne s’annule en aucun point deγ.

2. Cas où γ est une courbe de Jordan

Supposons donc queγ admet une paramétrisation par la longueur d’arc :s→ ξ(s) = (ξ1(s), ξ2(s)),0 � s � L, L étant la longueur deγ, telle queξ(0) = ξ(L) (une telle courbe s’appellede Jordan).Considérons la transformationm : (s, t) → (x1, x2) définie par :

x= (x1, x2) = ξ(s) + t · y(s), (2)

oùy(s) = (−ξ′2(s), ξ′1(s)) est une normale unitaire àγ au pointξ(s). Nous avons∂(x1,x2)∂(s,t) = 1 + t · κγ(s),

où κγ(s) est la courbure deγ au points (voir [5]). D’où ∂(x1,x2)∂(s,t) (s,0) = 1. Ce qui entraîne que, pourδ

assez petit,m est une bijection entre le rectangle]0,L] × [−δ,+δ] et son imageDδ. Le changement devariables(x1, x2) → (s, t) donne alors

Iδ(λ) =∫ L

0

∫ +δ

−δ

G(s, t) · eiλF (s,t) dtds, (3)

avecG(s, t) = g(x1, x2) · ∂(x1,x2)∂(s,t) = g(x1, x2) · (1 + t · κγ(s)) etF (s, t) = f(x1, x2).

LEMME 1. –La condition (1) équivaut à la suivante :

� r > 1 :∂iF

∂ti(s,0) = 0 et

∂rF

∂tr(s,0) �= 0 pour tout 0 � s� L, 0 � i < r, (4)

et si elle est vérifiée,∣∣∣∣∂rF

∂tr(s,0)

∣∣∣∣ =[(

∂rf

∂xr1

(x(s,0)

))∣∣∣∣2/r

+∣∣∣∣(∂rf

∂xr2

(x(s,0)

))∣∣∣∣2/r]r/2

.

De plus, si r est pair, alors ∂rF∂tr (s,0), ∂rf

∂xr1(x(s,0)) et ∂rf

∂xr2(x(s,0)) auront un même signe.

Idées de la démonstration. – La formule de la dérivée d’une fonction composée donne∂f∂xi

= ∂F∂s

∂s∂xi

+∂F∂t

∂t∂xi

.

1. Si ∂f∂xi

∣∣γ

= 0 (i= 1,2), alors pour touts ∈ [0,L[, ∂F∂s (s,0) = ∂F

∂t (s,0) = 0, ce qui entraîne∂2F

∂s2 (s,0) =∂2F∂t∂s(s,0) = 0 et par suite∂2f

∂x2i

(x(s,0)) = ∂2F∂t2 (s,0)

(∂t∂xi

(x(s,0))2

.

2. L’hypothèse∂2f∂x2

i

∣∣γ

= 0, les égalités précédentes et le fait que les∂t∂xi

∣∣γ

ne s’annulent pas simultanément

induisent que pour touts : d’une part ∂2F∂t2 (s,0) = 0, ce qui montre du même coup que∂2f

∂x1∂x2

∣∣γ

(= ∂2F∂t2

∂t∂x1

∂t∂x2

(s,0)) = 0, d’autre part∂3F

∂s3 (s,0) = ∂3F∂t∂s2 (s,0) = ∂3F

∂t2∂s(s,0) = 0.

3. Etc.,. . . jusqu’à l’ordrer, où l’on obtient, en particulier∂rf

∂xri(x(s,0)) = ∂rF

∂tr (s,0)(

∂t∂xi

(x(s,0))r

. Ce

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A. Benaissa, C. Roger

raisonnement conduit à la démonstration du lemme en utilisant le fait que(

∂t∂x1

, ∂t∂x2

)= (−ξ′2(s), ξ′1(s)) et

(ξ′1(s))2 + (ξ′2(s))

2 = 1.D’après le lemme 1, la condition (1) induit que∂rF

∂tr (s,0) ne s’annule pas. Par continuité de∂rF∂tr (s,0),

on obtient que, si la condition(1) est vérifiée, alors∂rF

∂tr (s,0) reste de signe constant< 0 ou > 0. Noussupposons par la suite que∂rF

∂tr (s,0)> 0, quitte à remplacer un+i par un−i dans l’intégrale oscillante.

LEMME 2. –Soit le rectangle de R2, V = {(s, t) ∈ R

2 : 0 � s � L, 0 � t � a}, où L et a sont desréels > 0, et soient F et G deux fonctions réelles de classe C∞ sur V telles que ∂jF

∂tj (s,0) = 0 et∂rF∂tr (s,0) > 0, pour tout 0 � s � L, 0 � j < r. Avec ces hypothèses nous aurons, pour δ assez petit etG nulle dans un voisinage du segment t= δ, le développement asymptotique suivant :∫ L

0

∫ δ

0

G(s, t) · eiλF (s,t) dtds ∼λ→+∞

∞∑n=0

bn · λ−(n+1)/r,

avec

bn = eiπ(n+1)/(2r) · 1n!r

· Γ(n+ 1r

)·∫ L

0

h(n)s (0)ds,

où hs est la fonction, paramétrée par 0 � s� L, définie comme suit ; hs(u) =G(s, t) · dtdu , t et u étant liés

par la relation ur = F (s, t) (voir [8], p. 78). Nous avons en particulier

b0 =eiπ/(2r)

r· Γ

(1r

)·(

1r!

)−1/r ∫ L

0

G(s,0) ·(∂rF

∂tr(s,0)

)−1/r

ds.

Idées de la démonstration. – En utilisant la formule de Taylor à l’ordrer, suivant la variablet, nouspouvons écrireF sous la forme :F (s, t) = tr · F1(s, t), avecF1(s,0) = 1

r!∂rF∂tr (s,0) > 0, pour tous

0 � s�L. La compacité du rectangle[0,L]× [0, a] nous permettra alors, d’appliquer la méthode de la phasestationnaire exposée dans [8], pp. 77–81, à l’intégrale à une variable réellet, pour avoir un développementasymptotique uniformément par rapport às. Pour avoir le résultat du lemme, il suffit alors d’intégrer parrapport às.

THÉORÈME 1. –Si γ est une courbe de Jordan dans D et si la condition (1) est vérifiée (avec∂rF∂tr (s,0)> 0), alors nous aurions pour δ assez petit et g nulle dans un voisinage du contour |t| = δ,

Iδ(λ) ∼λ→+∞

∞∑n=0

An · λ−(n+1)/r (5)

avec An = 0 pour tout n impair, et

An =2r

eiπ(n+1)/(2r) · 1n!

· Γ(n+ 1r

)·∫

γ

h(n)s (0)ds (6)

pour n pair, où ds est l’elément de longueur de γ et hs définie dans le lemme 2. En particulier,

A0 =2eiπ/(2r)

r· Γ

(1r

)·(

1r!

)−1/r ∫γ

g(x) ·[∣∣∣∣

(∂rf

∂xr1

(x))∣∣∣∣

2/r

+∣∣∣∣(∂rf

∂xr2

(x))∣∣∣∣

2/r]−1/2

ds. (7)

Idées de la démonstration. – Utilisons (3), en écrivantIδ(λ) en somme de deux intégrales correspondantà t� 0 et t� 0. Les lemmes 1 et 2 nous permettent de développer ces deux intégrales.

3. Cas où γ coupe transversalement ∂D

Supposons donc, queγ soit une courbeC∞ simple deD, ayant ses deux extrémitésA etB sur le bord∂D deD et le reste de ses points à l’intérieur deD. Supposons aussi que∂D soit de classeC∞ au voisinage

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Développement asymptotique d’intégrales oscillantes doubles avec une courbe de points stationnaires

des pointsA etB et que∂D et γ ne soient tangents ni enA ni enB. Cette situation a été étudiée dans [4]et [5], dans le cas particulier correspondant àr = 2. Considérons ici encore, la transformationm définiepar (2). On montre que pourδ assez petit,m−1(Dδ) est définie parm−1(Dδ) = {(s, t) ∈ R

2 : −δ � t� δ,a(t) � s � b(t)}, où a(t) et b(t) sont de classeC∞ si ∂D l’est au voisinage des pointsA et B, et tellequea(0) = 0 et b(0) = L (voir [5]). L’idée que nous utilisons ici est la division du domaine d’intégrationm−1(Dδ) en trois parties(Dδ)1, (Dδ)2 et (Dδ)3, correspondant respectivement às � 0, 0 � s � L etL� s ; Iδ(λ) est la somme de trois intégrales(Iδ)1(λ), (Iδ)2(λ) et (Iδ)3(λ) correspondant respectivementaux domaines d’intégration(Dδ)1, (Dδ)2 et (Dδ)3.

THÉORÈME 2. –Avec les hypothèses fixées au début de ce paragraphe (la condition (1) étant supposéevérifiée, avec ∂rF

∂tr (s,0)> 0), nous avons pour δ assez petit et g nulle dans un voisinage du contour |t|= δ,

Iδ(λ) ∼λ→+∞

∞∑n=0

An · λ−(n+1)/r

avec les propriétés suivantes : (i) A0 est donné par la formule (7) ; (ii) An = 0 pour tout n impair ; (iii) pourtout n pair, le coefficient An est une fonction des dérivées de g sur γ, d’ordre � n et des mêmes dérivéesde f d’ordre � r + n, et de la courbure de γ ; (iv) si le degré de contact entre ∂D et la normale à γ auxpoints A et B est au moins égal à p (i.e. a(i)(0) = b(i)(0) = 0, pour tout 1 � i� p), alors les coefficientsAn sont donnés pour 0 � n� p par la formule (6).

Idées de la démonstration. – Le développement asymptotique de(Iδ)2(λ) est donné par les formules(5), (6) et (7). Pour celui de(Iδ)1(λ) nous suivrons les étapes suivantes. Nous utilisons le changement devariablesN : (s, t) �→ (w,z) tel quew = s, zr = F (s, t), avecsgnz = sgn t (voir [5]). Nous aurons

(Iδ)1(λ) =∫ ρ2

−ρ1

(∫ 0

ϕ(z)

G(z,w) · eiλzr

dw)

dz =∫ ρ2

−ρ1

eiλzr ·ψ(z)dz (8)

avec :ρ1 et ρ2 deux réels> 0, G(z,w) = G(s, t) · ∂(s,t)∂(z,w) etϕ(z) = a

(h−1(z)

), oùh−1 est la réciproque

de la fonctionh(t) = F (a(t), t))1/r · sgn t, au voisinage de0. À partir de la série de MacLaurin deG(z,w)nous obtenons celle deψ(z). Ce qui nous permettra d’utiliser la sommabilité terme à terme au sens d’Abel(voir [8], chap. 4). Le développement de(Iδ)3(λ) s’obtient de la même façon.

4. Cas de tangence de γ et ∂D

Reprenons donc les hypothèses au début du paragraphe précédent (la condition (1) étant supposéevérifiée, avec∂rF

∂tr (s,0) > 0). Mais au lieu de supposer queγ et ∂D ne soient pas tangents aux deuxpoints de leur intersection, supposons par exemple qu’ils le soient au pointA et ne le soient pas au pointB.

THÉORÈME 3. –Avec ces hypothèses, nous avons pour δ assez petit et g nulle dans un voisinage ducontour |t|= δ,

Iδ(λ) ∼λ→+∞

∑j�0

Aj · λ−(j/p+1)/r ,

p− 1 > 0 étant le degré de contact entre γ et ∂D au point A, et les propriétés suivantes sont vérifiées :(i) A0 est donné par la formule (7) ; (ii) Aj = 0 pour tout j impair ; (iii) pour j pair, Aj est une fonctiondes dérivées de g sur γ, d’ordre � j, et des dérivées de f sur γ, d’ordre � r+ j, et de la courbure de γ.

Idées de la démonstration. – Reprenons le raisonnement du paragraphe précédent. Le développement desintégrales(Iδ)2(λ) et (Iδ)3(λ) s’obtient de la même façon. Pour le développement de l’intégrale (Iδ)1(λ),nous montrons quem−1(∂D) est définie au voisinage du point(s, t) = (0,0) =m−1(A) pars = a(t1/p),p− 1 étant le degré de contact entre les courbesγ et∂D enA, oùa est de classeC∞. Et par suite la borne

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A. Benaissa, C. Roger

d’intégrationϕ(z) dans (8) est donnée parϕ(z) = a(H−1(z)), oùH−1 est la fonction de classeC∞ au

voisinage de0, réciproque deH(t) = F(a(tp), tp

)1/(rp). Cela nous permettra d’obtenir un développement

deψ(z) enz1/p et d’utiliser, encore dans ce cas, la sommabilité terme à terme au sens d’Abel.

COROLLAIRE 1. –En utilisant les résultats des paragraphes 3 et 4, nous pouvons toujours, avoir undéveloppement asymptotique de Iδ(λ) dans le cas où les extrémités de γ sont sur ∂D le bord de D.

5. Apport de la géométrie de γ

Examinons les coefficients des développements asymptotiques obtenus, nous concluons que la géométriede γ influence le développement asymptotique deIδ(λ) par un terme additif dans chaque coefficientdu développement : dans le cas oùγ est une courbe de Jordan, la géométrie deγ intervient dans lecoefficientA2n par le terme additif

2r· eiπ((2n+1)/(2r)) · 1

(2n)!Γ(

2n+ 1r

)∫γ

κγ(s) ·∑

p+q=2n

t(p)(0) · h(q)s (0)ds. (9)

Dans le cas oùD est3-dimensionnel etγ une surface deD, ce terme additif est la somme de deuxtermes, l’un est fonction de la courbure moyenne deγ et le deuxième est fonction de sa courbure de Gauss(voir [2]).

6. Commentaire

La méthode naturelle pour traiter, dans le cas général (sans la condition (1) sur la phasef ), le problèmeexposé dans cette Note est de considérer la fonction à valeurs entières sur la courbeγ, r(x) = inf

{p � 2:∣∣∂pf

∂xp1(x)

∣∣ +∣∣∂pf

∂xp2(x)

∣∣ �= 0}

. Le problème se réduit alors à l’exploration de la contribution des points de

discontinuité de la fonctionr(x).Les résultats de cette Note se généralisent au cas de dimension supérieure (voir [2]). On note, par

exemple, que siD est un domaine3-dimensionnel etγ une surface tangente à∂D en tout point de∂γtelle que le degré de contact est constant le long de∂γ (= p), alors le développement deIδ(λ) s’obtientdans l’échelle des fonctionsλ−(j/(p+1)+1)/r , j � 0.

Références bibliographiques

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[6] Servadio S., “Truly Three-Body” scattering and unitarity-I, Nuovo Cimento B 100 (5) (1987) 565–585[7] Servadio S., “Truly Three-Body” scattering and unitarity-II, Nuovo Cimento B 100 (5) (1987) 587–617[8] Wong R., Asymptotic Approximations of Integrals, Academic Press, 1989

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