Exercice 1« Je prends un nombre entier. Je lui ajoute 3 et je multiplie le résultat par 7.J’ajoute le triple du nombre de départ au résultat et j’enlève 21.J’obtiens toujours un multiple de 10. »Est-ce vrai ? Justifier.

Exercice 2Dans un laboratoire A, pour tester le vaccin contre la grippe de la saison hivernale prochaine, on a injecté la même souchede virus à 5 groupes comportant 29 souris chacun.3 de ces groupes avaient été préalablement vaccinés contre ce virus.Quelques jours plus tard, on remarque que :

✔ dans les 3 groupes de souris vaccinées, aucune souris n’est malade ;

✔ dans chacun des groupes de souris non vaccinées, 23 souris ont développé la maladie.

1) a) En détaillant les calculs, montrer que la proportion de souris malades lors de ce test est46

145.

b)Justifier sans utiliser la calculatrice pourquoi on nepeut pas simplifier cette fraction.

Donnée utile

Le début de liste ordonnée des nombre premier est :2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29

Dans un laboratoire B, on informe que140

870des souris ont été malades.

2) a) Décomposer 140 et 870 en produit de nombres premiers.

b) En déduire la forme irréductible de la proportion de souris malades dans le laboratoire B.

Exercice 3Un chocolatier vient de fabriquer 2 622 oeufs de Pâques et 2 530 poissons en chocolat. Il souhaite vendre des assortiments

d’oeufs et de poissons de façon que :

• tous les paquets aient la même composition ;

• après mise en paquet, il reste ni oeufs, ni poissons.

1) Le chocolatier peut-il faire 19 paquets ? Justifier.

2) Quel est le plus grand nombre de paquets qu’il peut réaliser ? Dans ce cas, quelle sera la composition de chaque paquet ?

Exercice 4Voici le plan de deux lignes de bus :

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b b

b

b

b

Collège

Marché

Horloge

Stade

Conservatoire

Cathédrale

Mairie

Gendarmerie

Place

Bibliothèque Piscine

Lycée

Pompier

Ecole

LIGNE 1

LIGNE 2

C’est à 6h30 que les deux bus des lignes 1 et 2 partent de l’arrêt « Mairie » dans le sens des aiguilles d’une montre. Le bus dela ligne 1 met 3 minutes entre chaque arrêt (temps de stationnement compris), tandis que le bus de la ligne 2 met 4 minutes.Tous les deux vont effectuer le circuit complet un grand nombre de fois. Ils s’arrêteront juste après 20h.

Est-ce que les deux bus vont se retrouver à un moment de la journée à l’arrêt « Mairie » en même temps ?Si oui, donner tous les horaires précis de ces rencontres.

Exercice 5On dispose des informations suivantes : Toutes les valeurs présentes sur les schémas sont en millimètres.

1 800

Dimensions de la remorque

3 000

135

046

5

Longueur du fusil sous-marin

2 100

On suppose que le fond de la remorque est un rectangle.Le fusil sous-marin peut-il être placé « à plat » dans la remorque ?Justifier la réponse.

Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète

ou non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Exercice 6

Dans tout l’exercice, l’unité de longueur est le mm.

On lance une fléchette sur une plaque carrée sur laquelle figure une cible cir-culaire (en gris sur la figure), Si la pointe de la fléchette est sur le bord de lacible, on considère que la cible n’est pas atteinte.On considère que cette expérience est aléatoire et l’on s’intéresse à la probabi-lité que la fléchette atteigne la cible.

⋆ La longueur du côté de la plaque carrée est 200.

⋆ Le rayon de la cible est 100.

⋆ La flèchette est représentée par le point F de coordonnées (x ; y) oùx et y sont des nombres aléatoires compris entre −100 et 100.

×OO

×HH

×FF

Ciblex

y

100500-50-100

100

50

-50

-100

1) Dans l’exemple ci-dessus, la fléchette F est située au point de coordonnées (72 ; 54).

Montrer que la distance OF, entre la fléchette et l’origine du repère, est 90.

2) D’une façon générale, quel nombre ne doit pas dépasser la distance OF pour que la fléchette atteigne la cible ?

3) On réalise un programme qui simule plusieurs fois le lancer de cette fléchette sur la plaque carrée et qui compte le nombrede lancers atteignant la cible. Le programmeur a créé trois variables nommées : carré de OF, distance et score.

1

2

3

4

5

6

7

8

Quand est cliqué

mettre score à 0

aller à x: nombre aléatoire entre -100 et 100 y: nombre aléatoire entre -100 et 100

mettre Carré de OF à abscisse x * abscisse x +

mettre distance à racine de

ajouter à score 1

si distance < ... alors

répéter 120 fois

a) Lorsqu’on exécute ce programme, combien de lancers sont simulés ?

b) Quel est le rôle de la variable score ?

c) Compléter et recopier sur la copie uniquement les lignes 5, 6 et 7 du programme afin qu’il fonctionne correctement.

d) Après une exécution du programme, la variable score est égale à 102.A quelle fréquence la cible a-t-elle été atteinte dans cette simulation ?Exprimer le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.

4) On admet que la probabilité d’atteindre la cible est égale au quotient : aire de la cible divisée par aire de la plaque carrée.Donner une valeur approchée de cette probabilité au centième prés.

Exercice 7On considère l’expression E = (x− 2)(2x+ 3)− 3(x− 2).

1) Développer E.

2) Factoriser E et vérifier que E = 2F , où F = x(x − 2).

3) Déterminer tous les nombres x tels que (x− 2)(2x+ 3)− 3(x− 2) = 0.

Exercice 81) Lors des Jeux Olympiques de Rio en 2016, la danoise Pernille Blume a remporté le 50 m nage libre en 24, 07 secondes.

A-t-elle nagé plus rapidement qu’une personne qui se déplace en marchant vite, c’est-à -dire à 6 km/h ?

2) On donne l’expression E = (3x+ 8)2 − 64.

a) Développer E.

b) Montrer que E peut s’écrire sous forme factorisée : 3x(3x+ 16).

c) Résoudre l’équation (3x+ 8)2 − 64 = 0.

3) La distance d de freinage d’un véhicule dépend de sa vitesse et de l’état de la route.

On peut la calculer à l’aide de la formule suivante :

d = k × V 2 avec d : distance de freinage en m

k : coefficient dépendant de l’état de la route

V : vitesse du véhicule en m/s

k = 0, 14 sur route mouillée

k = 0, 08 sur route sèche.

Quelle est la vitesse d’un véhicule dont la distance de freinage sur route mouillée est égale à 15 m ?

Exercice 9Voici un programme de calcul :

1) On choisit 4 comme nombre de départ.Prouver par le calcul que le résultat obtenuavec le programme est 9.

2) On note x le nombre choisi.

a) Exprimer le résultat du programme enfonction de x.

b) Prouver que ce résultat est égal à 2x+ 1.

Programme de calcul

✔ Choisir un nombre.✔ Ajouter 1 à ce nombre.

✔ Calculer le carré du résultat.✔ Soustraire le carré du nombre de départ au résultat précédent.

✔ Ecrire le résultat.

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

y

x

3) Soit f la fonction définie par f(x) = 2x+ 1.

a) Calculer l’image de 0 par f .

b) Déterminer par le calcul l’antécédent de 5par f .

c) Dans le repère ci-contre, tracer la droitereprésentative de la fonction f .

d) Par lecture graphique, déterminer le ré-sultat obtenu en choisissant −3 commenombre de départ dans le programme decalcul. Sur le graphique, laisser les traitsde construction apparents.

Exercice 10

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

0 1 2 3 4 5Durée du parcours (en heure)

Dis

tanc

epa

rcou

rue

(en

km) Lors d’une étape cycliste, les distances parcourues par

un cycliste ont été relevées chaque heure après le dé-part.Ces données sont précisées dans le graphique ci-dessous : Par lecture graphique, répondre aux questionssuivantes.Aucune justification n’est demandée.

1) a) Quelle est la distance totale de cette étape ?

b) En combien de temps le cycliste a-t-il parcourules cent premiers kilomètres ?

c) Quelle est la distance parcourue lors de la der-nière demi-heure de course ?

2) Y-a-t-il proportionnalité entre la distance parcourueet la durée de parcours de cette étape ?

Justifier votre réponse et proposer une explication.

Exercice 11Pour son anniversaire, Julien a reçu un coffret de tir à l’arc.Il tire une flèche. La trajectoire de la pointe de cette flèche est représentée ci-dessous.La courbe donne la hauteur en mètres (m) en fonction de la distance horizontale en mètres (m) parcourue par la flèche.

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x

y

Distance horizontale (m)

Hauteur (m)

1) Dans cette partie, les réponses seront données grâce à des lectures graphiques. Aucune justification n’est attendue surla copie.

a) De quelle hauteur la flèche est-elle tirée ?

b) À quelle distance de Julien la flèche retombe-t-elle au sol ?

c) Quelle est la hauteur maximale atteinte par la flèche ?

2) Dans cette partie, les réponses seront justifiées par des calculs :

La courbe ci-dessus représente la fonction f définie par f(x) = −0, 1x2 + 0, 9x+ 1.

a) Calculer f(5).

b) Calculer la hauteur que la flèche atteint à 4,5 m de Julien. Comparer votre réponse à celle de la question 1) c.

Exercice 12Le schéma ci-contre représente le jardin de Leïla.Il n’est pas à l’échelle.

[OB] et [OF] sont des murs, OB = 6 m et OF = 4 m.

La ligne pointillée BCDEF représente le grillage que Leïla veut installer pourdélimiter un enclos rectangulaire OCDE.

Elle dispose d’un rouleau de 50 m de grillage qu’elle veut utiliser entièrement.

Leïla envisage plusieurs possibilités pour placer le point C.

bEE

F

O BbCC

b

DD

ENCLOS

1) En plaçant C pour que BC = 5 m, elle obtient que FE = 15 m.

a) Vérifier qu’elle utilise les 50 m de grillage.

b) Justifier que l’aire A de l’enclos OCDE est 209 m2.

2) Pour avoir une aire maximale, Leïla fait appel à sa voisine professeure de mathématiques qui, un peu pressée, lui écrit surun bout de papier :

« En notant BC = x, on a A(x) = −x2 + 18x+ 144 »

Vérifier que la formule de la voisine est bien cohérente avec le résultat de la question 1.

3) Dans cette partie, les questions a) et b) ne nécessitent pas de justification.

a) Leïla a saisi une formule en B2 puis l’a étirée jusqu’à la cellule I2.

B2 ▼ ✗ ✔ fx = −B1 ∗B1 + 18 ∗B1 + 144

B

5

209

C

6

216

D

7

221

E

8

224

F

9

225

G

10

224

H

11

221

I

12

216

J

1

2

A

x

A(x) = −x2 + 18x+ 144

Quelle formule est alors inscrite dans la cellule F2 ?

b) Parmi les valeurs figurant dans le tableau, quelle est celle que Leïla va choisir pour BC afin d’obtenir un enclos d’airemaximale ?

c) Donner les dimensions de l’enclos ainsi obtenu.

Exercice 13Soient les fonctions f , g et h définies par f(x) = 6x, g(x) = 3x2 − 9x− 7 et h(x) = 5x− 7.À l’aide d’un tableur, Pauline a construit un tableau de valeurs de ces fonctions.Elle a étiré vers la droite les formules qu’elle avait saisies dans les cellules B2, B3 et B4.

B3 ▼ ✗ ✔ fx = 3 ∗B1 ∗B1− 9 ∗B1− 7

A

x

f(x) = 6x

g(x) = 3x2 − 9x− 7

h(x) = 5x− 74

3

2

1

B C D E F G H

−3 −2 −1 0 1 2 3

−18 −12 −6 0 6 12 18

47 23 5 −7 −13 −13 −7

−22 −17 −12 −7 −2 3 8

1) Utiliser le tableur pour déterminer la valeur de h(−2).

2) Écrire les calculs montrant que : g(−3) = 47.

3) Faire une phrase avec le mot « antécédent » ou le mot « image » pour traduire l’égalité g(−3) = 47.

4) Quelle formule Pauline a-t-elle saisie dans la cellule B4 ?

5) a) Déduire du tableau ci-dessus une solution de l’équation ci-contre : 3x2 − 9x− 7 = 5x− 7.

b) Cette équation a-t-elle une autre solution que celle trouvée grâce au tableur ?Justifier la réponse.Dans cette question, toute trace de recherche, même inaboutie sera prise en compte et valorisée.

Exercice 14Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Aucune justification n’est attendue.Pour chacune des questions, une seule réponse est exacte.Recopier sur la copie le numéro de la question et la réponse exacte.

Question 1Le nombre 2 est solution de l’inéquation :

a) x < 2 b) −4x− 3 > −10 c) 5x− 4 6 7 d) 8− 3x > 3

Question 2

La fonction f qui à tout nombre x associe le nombre 2x− 8 est représentée par :Graphique a)

4

8

−4

−8

1 2 3 4 5−1

Graphique b)

4

8

−4

−8

1 2 3 4 5−1

Graphique c)

4

8

−4

−8

1 2 3 4 5−1

Graphique d)

4

8

−4

−8

1 2 3 4 5−1

Question 3Un coureur qui parcourt 100 mètres en 10 secondes a une vitesse égale :

a. 6 km/min b. 36 km/h c. 3 600 m/h d. 10 km/h

Exercice 15Un avion de ligne transportant des passagers atterrit à l’aéroport international Galeao à Rio de Janeiro.On étudie la distance de freinage de l’appareil en fonction de sa vitesse au moment de l’atterrissage.

Le pilote peut décider d’un freinage « rapide » s’il souhaite raccourcir la distance de freinage, ou d’un freinage « confort » plusmodéré et donc plus confortable pour les passagers.Les courbes suivantes donnent la distance de freinage d’un avion en fonction de sa vitesse au moment de l’atterrissage selonle mode freinage choisi (confort ou rapide).

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420 440 460 480 500

Vitesse d’atterrissageÄen km.h−1

ä

Dis

tan

ced

efr

ein

age

enm

ètre

s

freinage « confort »

freinage « rapide »

Distance de freinage de l’avion en fonction de la vitesse d’atterrissage

1) Donner par lecture graphique, sans justification :

a) Une valeur approchée de la distance de freinage « confort » de l’appareil si l’avion arrive à une vitesse de 320 km.h−1.

b) Une valeur approchée de la vitesse d’atterrissage d’un avion dont la distance de freinage « rapide » est de 1 500 m.

2) Pour regagner la zone de débarquement des passagers,l’avion doit emprunter une des quatre sorties précisées dans les documents ci-dessous :

Distances de sortie au point d’atterissage

Numéro

de sortie

1

2

3

4

Distance

en mètres

900

1 450

2 050

2 950

Sortie 1

Sortie 2

Sortie 3

Sortie 4

Point d’atterrissageAéroport international Galeao

Rio de Janeiro

a) L’avion atterrit à 260 km.h−1. Le pilote décide un freinage « confort ».Avec la distance de freinage correspondante, quelle est ou quelles sont les sorties qu’il va dépasser ?

b) Seule la sortie 1 étant disponible, le pilote envisage un freinage « rapide ».Déterminer avec la précision du graphique, la vitesse maximale avec laquelle il peut atterrir pour pouvoir empruntercette sortie.

Exercice 16Avec un logiciel de géométrie, on exécute le programme ci-dessous.

Programme de construction : Figure obtenue :

⋆ Construire un carré ABCD ;

⋆ Tracer le cercle de centre A et de rayon [AC] ;

⋆ Placer le point E à l’intersection du cercleet de la demi-droite [AB) ;

⋆ Construire un carré DEFG.

1) Sur la copie, réaliser la construction avec AB = 3 cm

2) Dans cette question, AB = 10 cm

a) Montrer que AC =√200 cm.

b) Expliquer pourquoi AE =√200 cm.

c) Montrer que l’aire du carré DEFG est le triple de l’aire du carré ABCD.

×AA

×BB

×DD

×EE

×FF

×GG

×CC

3) On admet pour cette question que pour n’importe quelle longueur du côté [AB], l’aire du carré DEFG est toujours le triplede l’aire du carré ABCD.En exécutant ce programme de construction, on souhaite obtenir un carré DEFG ayant une aire de 48 cm2.Quelle longueur AB faut-il choisir au départ ?

Exercice 17On considère un triangle ABC rectangle en A tel que ‘ABC = 30 etAB = 7 cm. H est le pied de la hauteur issue de A.

1) Tracer la figure en vraie grandeur sur la copie.Laisser les traits de construction apparents sur la copie.

2) Démontrer que AH = 3, 5 cm.

3) Démontrer que les triangles ABC et HAC sont semblables.

4) Déterminer le coefficient de réduction permettant de passerdu triangle ABC au triangle HAC.

×AA

×BB

×CC

×HH

7 cm

30˚

La figure ci-contren’est pas à l’échelle

Exercice 18

Sur la figure ci-contre. le point J appartient ausegment [IM] et le point K appartient au segment [IL].

Sur la figure, les longueur sont données en mètres.

1) Montrer que IKJ est un triangle rectangle.

2) Montrer que LM est égal à 3,75 m.

3) Calculer la longueur KM au centimètre près.

3,2

1,8

4

2,4

I J

K

L

M

Exercice 19L’inspecteur G. est en mission dans l’Himalaya.T Un hélicoptère est chargé de le transporter en haut d’une montagne puis de l’amener vers son quartier général.

Alors, je vous emmène,Inspecteur ?

OK, allons-y ! Mais d’abord,puis-je voir le plan de vol ?

Le trajet ABCDEF modélise le plan de vol.Il est constitué de déplacements rectilignes.On a de plus les informations suivantes :

⋆ AF = 12, 5 km

⋆ AC = 7, 5 km

⋆ CF = 10 km

⋆ AB = 6 km

⋆ DG = 7 km

⋆ EF = 750 m

⋆ (DE) est parallèle à (CF ).

⋆ ABCH et ABGF sont des rectangles. A

B C D

E

FH

G

D’abord, je dois faire le plein ...

Combien consomme donc votre hélico ?

1,1 L par km pour ce genre de trajet

Mais, le plein nous surchargerait ! 20L decarburant seront très amplement suffisants !

1) Vérifier que la longueur du parcours est de 21 kilomètres.Dans cette question, toute trace de recherche sera valorisée.

2) Le pilote doit-il avoir confiance en l’inspecteur G ? Justifier votre réponse.

Exercice 20

Pour illustrer l’exercice, la figure ci-contre a été faite à main levée.

Les points D, F, A et B sont alignés, ainsi que les points E, G, A et C.De plus, les droites (DE) et (FG) sont parallèles.

1) Montrer que le triangle AFG est un triangle rectangle.

2) Calculer la longueur du segment [AD].En déduire la longueur du segment [FD].

3) Les droites (FG) et (BC) sont-elles parallèles ? Justifier.

A

D

E

C

B

F

G8,1cm

6,8cm

3cm

5 cm

4 cm

6,25 cm

5 cm

Exercice 21

Pendant les vacances, Robin est allévisiter le phare Amédée.

Lors d’une sieste sur la plage il a remar-qué que le sommet d’un parasol était enparfait alignement avec le sommet duphare.Robin a donc pris quelques mesures eta décidé de faire un schéma de la si-tuation dans le sable pour trouver uneestimation de la hauteur du phare.

⋆ Les points B, J et R sont alignés.

⋆ (SB) et (BR) sont perpendiculaires.

⋆ (PJ) et (BR) sont perpendiculaires.×

B×

J

×S

×P

×R

1,3 m

34,7 m

2,1 m

Phare

MoiParasol

Quelle hauteur, arrondie au mètre, va-t-il trouver à l’aide de son plan ? Justifier la réponse.

Exercice 22

Le viaduc de Millau est un pont franchissant la vallée duTarn, dans le département de l’Aveyron, en France. Il estconstitué de 7 pylônes verticaux équipés chacun de 22câbles appelés haubans.

Le schéma ci-dessous, qui n’est pas à l’échelle, représenteun pylône et deux de ses haubans.

A

B

C

D

E

F

Pylô

ne

Haubans

Chaussée

On dispose des informations suivantes :

⋆ AB = 89 m ;

⋆ AC = 76 m ;

⋆ AD = 154 m ;

⋆ FD = 12 m et

⋆ EC = 5 m.

1) Calculer la longueur du hauban [CD]. Arrondir au mètre près.

2) Calculer la mesure de l’angle ‘CDA formé par le hauban [CD] et la chaussée.

Arrondir au degré près.

3) Les haubans [CD] et [EF] sont-ils parallèles ?

Exercice 23Un bateau se trouve à une distance d de la plage. Supposons danstout le problème que α = 45 , β = 65 et que L = 80 m.

1) Conjecturons la distance d à l’aide d’une construction

Mise au point par Thalès (600 avant JC), la méthode dite deTRIANGULATION propose une solution pour estimer la dis-tance d.

a) Faire un schéma à l’échelle 1/1 000 (1 cm pour 10 m).

b) Conjecturer en mesurant sur le schéma la distance d sépa-rant le bateau de la côte.

Bateau

L = 80 m

d

Plage

α β

2) Déterminons la distance d par le calcul

A B

C

BH

80 m

?

45˚ 65˚

1) Expliquer pourquoi la mesure de l’angle ‘ACB est de 70 .

2) Dans tout triangle ABC, on a la relation suivante appelée « loi des sinus » :

BC

sin A=

AC

sin B=

AB

sin C.

En utilisant cette formule, calculer la longueur BC. Arrondir au cm près.

3) En déduire la longueur CH arrondie au cm près.

Exercice 24Le mont du Pain de Sucre est un pic situé à Rio à flanc de mer.Il culmine à 396 mètres d’altitude et est accessible par un téléphérique composé de deux tronçons.On a représenté ci-dessous le deuxième tronçon du téléphérique qui mène du point U au sommet S du pic.

b

b

b altitude 220 m

altitude 396 m

U

S

O

762 m

2e tronçon du téléphérique du Pain de Sucre

Le dessin ci-dessus n’est pas à l’échelle.

On donne :✔ Altitude du point S : 396 m✔ Altitude du point U : 220 m

✔ US = 762 m✔ Le triangle UOS est rectangle en O.

1) Déterminer l’angle ‘OUS que forme le câble du téléphérique avec l’horizontale. On arrondira le résultat au degré.

2) Sachant que le temps de trajet entre les stations U et S est de 6 min 30 s, calculer la vitesse moyenne du téléphériqueentre ces deux stations en mètres par seconde. On arrondira le résultat au mètre par seconde.

3) On a relevé la fréquentation du Pain de Sucre sur une journée et saisit ces informations dans une feuille de calcul d’untableur.

H2 ▼ ✗ ✔ fx =SOMME(B2 : G2)

B C D E F G HA

1

2

Horaires

Nombre de visiteur s

8:00 - 10:00

122

10:00 - 12:00

140

12:00 - 14:00 14:00 - 16:00

63

16:00 - 18:00

75

18:00 - 20:00

118 615

On a saisi dans la cellule H2 la formule : =SOMME(B2:G2)

a) Interpréter le nombre calculé avec cette formule.

b) Quel est le nombre de visiteurs entre 12 h 00 et 14 h 00 ?

4) Une formule doit être saisie pour calculer le nombre moyen de visiteurs par heure sur cette journée.Parmi les propositions suivantes, recopier sans justification celle qui convient :

MOYENNE(B2:G2) MOYENNE(B2:G2)/2 =MOYENNE(B2:G2) =MOYENNE(B2:G2)/2

Exercice 25L’entraîneur d’un club d’athlétisme a relevé les performances de ses lanceuses de poids sur cinq lancers.Voici une partie des relevés qu’il a effectués (il manque trois performances pour une des lanceuses) :

Performances

(en mètre)

Solenne

Rachida

Sarah

Lancers

n˚1

17, 8

17, 9

18

n˚2

17, 9

17, 6

?

n˚3

18

18, 5

19, 5

n˚4

19, 9

18

?

n˚5

17, 4

19

?

On connaît des caractéristiques de la série d’une des lanceuses :

1) Expliquer pourquoi ces caractéristiques ne concernent ni lesrésultats de Solenne, ni ceux de Rachida.

2) Les caractéristiques données sont donc celles de Sarah.Son meilleur lancer est de 19,5 m.

Indiquer sur la copie quels peuvent être les trois lancers man-quants de Sarah ?

Caractéristiques des cinq lancers

Étendue : 2, 5 mMoyenne : 18, 2 m

Médiane : 18 m

Exercice 26Aurel, Alexandra, Nathalie et Eli sont des fans de jeux de société. Ils possèdent 60 jeux différents. Un après-midi, ils décidentde jouer à un de leurs jeux. N’arrivant pas à se mettre d’accord, ils le choisissent au hasard parmi l’ensemble de leurs jeux.

Dans ce tableau sont présentés les jeux préférés de chacun d’eux :

AurelKemet

Pitch CarMinivilleKing of Tokyo

Bruxelles

AlexandraEpixColt ExpressHappy pigs

NathalieFourberiesHappy pigs

EliHyperboreaCycladesHappy pigs

Les joueurs tirent un jeu au hasard parmi les 60 jeux qu’ils possèdent.

1) Quelle est la probabilité que le jeu tiré soit un des jeux préférés d’Aurel ?

2) Quelle est la probabilité que le jeu tiré soit un des jeux préférés d’Alexandra ouNathalie ?

3) Ces quatre amis ont noté la durée, en minutes, de chaque partie jouée ce mois ci :

72 ; 35 ; 48 ; 52 ; 26 ; 55 ; 43 ; 105.

a) Calculer la durée moyenne d’une partie.

b) Calculer la médiane de la série ci-dessus.

c) Interpréter le résultat obtenu à la question b).

Exercice 27A l’issue de la 18e étape du tour de France cycliste 2014, les coureurs ont parcouru 3 260,5 kilomètres depuis le départ.Le classement général des neuf premiers coureurs est le suivant :

Classement Nom Prénom Pays d’origine Temps de coursede chaque coureur

123456789

NIBALI VincenzoPINOT Thibaut

PÉRAUD Jean-ChristopheVALVERDE Alejandro

BARDET RomainVAN GARDEREN Tejay

MOLLEMA BaukeTEN DAM Laurens

KONIG Leopold

ItalieFranceFrance

Espagne

FranceEtats UnisPays-BasPays-Bas

République Tchèque

80 h 45 min80 h 52 min80 h 53 min80 h 53 min80 h 55 min80 h 57 min80 h 59 min81 h 00 min81 h 00 min

1) Calculer la différence entre le temps de course de Leopold Konig et celui de Vincenzo Nibali.

2) On considère la série statistique des temps de course.

a) Que représente pour la série statistique la différence calculée à la question 1) ?

b) Quelle est la médiane de cette série statistique ? Vous expliquerez votre démarche.

c) Quelle est la vitesse moyenne en km.h−1 du premier français Thibaut Pinot ?Arrondir la réponse à l’unité.

Exercice 28Antoine crée des objets de décoration avec des vases, des billes et de l’eau colorée.Pour sa nouvelle création, il décide d’utiliser le vase et les billes ayant les caractéristiques suivantes :

1,7 cm

9 cm

0,2 cm0,2 cm

21,7

cm

Matière : verre

Forme : pavé droit

Dimensions extérieures :9 cm × 9 cm × 21,7 cm

Épaisseur des bords : 0,2 cm

Épaisseur du fond : 1,7 cm

Caractéristiques du vase Caractéristiques des billes

1,8 cm

Matière : verre

Forme : boule

Dimensions : 1,8 cm de diamètre

Il met 150 billes dans le vase. Peut-il ajouter un litre d’eau colorée sans risquer le débordement ?

On rappelle que le volume de la boule est donné par la formule :4

3× π × rayon3.

Exercice 29

Pense-bête

4

3πR3

aire de la base × hauteur

1

3× aire de la base × hauteur

πr2

Toutes les formules données à gauche correspondent bien à des formules

d’aires ou de volumes. On ne sait pas à quoi elles correspondent, mais elles

peuvent quand même être utiles pour résoudre l’exercice ci-dessous.

Voici une bouteille constituée d’un cylindre et d’un tronc de cône surmonté par ungoulot cylindrique. La bouteille est pleine lorsqu’elle est remplie jusqu’au goulot.Les dimensions sont notées sur le schéma.

1) Calculer le volume exact de la partie cylindrique de la bouteille puis en donnerun arrondi au cm3.

15 cm

10 cm

2) Pour obtenir le tronc de cône, on a coupé un cône par un plan parallèle à la base passant par O′. La hauteur SO du grandcône est de 6 cm et la hauteur SO’ du petit est égale à 2 cm. Le rayon de la base du grand cône est de 5 cm.

S

+

+

O′

O

a) Calculer le volume V1 du grand cône de hauteur SO (donner la valeur exacte).

b) Montrer que le volume V2 du tronc de cône est égal à1 300π

27cm3.

En donner une valeur arrondie au cm3.

3) Parmi les quatre graphiques ci-dessous, l’un d’entre eux représente le volume V (h) de la bouteille en fonction de lahauteur h de remplissage du bidon.

Quel est ce graphique ? Pourquoi les autres ne sont-ils pas convenables ?

V (h)

h0 3 6 9 12 15 18 21

0

300

600

900

1200

1500

1800

2100

2400

×× ×

Graphique 1

V (h)

h0 3 6 9 12 15 18 21

0

300

600

900

1200

1500

1800

2100

2400

×× ×

Graphique 2

V (h)

h0 3 6 9 12 15 18 21

0

300

600

900

1200

1500

1800

2100

2400

×

× ×

Graphique 3

V (h)

h0 3 6 9 12 15 18 21

0

300

600

900

1200

1500

1800

2100

2400

×× ×

Graphique 4

Exercice 30Madame Duchemin a aménagé un studio dans les combles de sa maison, ces combles ayant la forme d’un prisme droit aveccomme base le triangle ABC isocèle en C.

Elle a pris quelques mesures, au cm près pour leslongueurs et au degré près pour les angles.Elle les a reportées sur le dessin ci-contre repré-sentant les combles, ce dessin n’est pas à l’échelle.Madame Duchemin souhaite louer son studio.

Les prix de loyer autorisés dans son quartier sontau maximum de 20 e par m2 de surface habi-table.Une surface est dite habitable si la hauteur sousplafond est de plus de 1,80 m (article R111 − 2du code de construction) : cela correspond à lapartie grisée sur la figure.Madame Duchemin souhaite fixer le prix du loyerà 700 e.

Peut-elle louer son studio à ce prix ?

A BK

C

H

J

30˚

8m

5 m 5 m

2,9

0m

1,8

0m

Exercice 31La figure PRC ci-contre représente un terrain appartenant à unecommune.Les points P, A et R sont alignés.Les points P, S et C sont alignés.

Il est prévu d’aménager sur ce terrain :

⋆ une « zone de jeux pour enfants » sur la partie PAS ;

⋆ un « skatepark » sur la partie RASC.

On connaît les dimensions suivantes :PA = 30 m ; AR = 10 m ; AS = 18 m. R

CA

S

PZone de jeux pour enfants

Skatepark

1) La commune souhaite semer du gazon sur la « zone de jeux pour enfants ». Elle décide d’acheter des sacs de 5 kg demélange de graines pour gazon à 13,90 e l’unité. Chaque sac permet de couvrir une surface d’environ 140 m2.

Quel budget doit prévoir cette commune pour pouvoir semer du gazon sur la totalité de la « zone de jeux pour enfants » ?

2) Calculer l’aire du « skatepark ».

Exercice 32Laurent s’installe comme éleveur de chèvres pour produire du lait afin de fabriquer des fromages.

PARTIE 1 : La production de lait

Document 1

Chèvre de race alpine

Production de lait➥ 1,8 litre de lait par jour

et par chèvre en moyenne

Pâturage

➥ 12 chèvres maximum par hectare

Document 3

1 hectare = 10 000 m2

Document 2

Plan simplifié des surfaces de pâturage

620 m

240 m

1) Prouver que Laurent peut posséder au maximum 247 chèvres.

2) Dans ces conditions, combien de litres de lait peut-il espérer produire par jour en moyenne ?

PARTIE 2 : Le stockage du lait

Laurent veut acheter une cuve cylindrique pour stocker le lait de ses chèvres.Il a le choix entre 2 modèles :

⋆ Cuve A : contenance 585 litres

⋆ Cuve B : diamètre 100 cm, hauteur 76 cm

Rappels : Formule du volume du cylindre : V = π × r2 × h Conversion : 1 dm3 = 1 L

Il choisit la cuve ayant la plus grande contenance. Laquelle va-t-il acheter ?

Exercice 33Les données et les questions de cet exercice concernent la France métropolitaine.

Document 1

En 2015, environ 4,7 % de lapopulation française souffraitd’allergies alimentaires.

En 2010, les personnes concernéespar des allergies alimentaires

étaient deux fois moins nombreusesqu’en 2015.

En 1970, seulement 1 % de lapopulation était concernée.

Source : Agence nationale de la sécuritésanitaire de l’alimentation, del’environnement et du travail.

Document 2

Population en France métropolitaine entre 1970 et 2015.

Pop

ula

tion

(en

mil

lion

s)

Années

50

52

54

56

58

60

62

64

66

1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010 2015

Partie I :

1) Déterminer une estimation du nombre de personnes, à 100 000 près, qui souffraient d’allergies alimentaires en France en2010.

2) Est-il vrai qu’en 2015, il y avait 6 fois plus de personnes concernées qu’en 1970 ?

Partie II :En 2015, dans un collège de 681 élèves, 32 élèves souffraient d’allergies alimentaires.Le tableau suivant indique les types d’aliments auxquels ils réagissaient.

Aliments

Nombre d’élèves concernés

Lait

6

Fruits

8

Arachides

11

Poisson

5

œuf

9

1) La proportion des élèves de ce collège souffrant d’allergies alimentaires est-elle supérieure à celle de la population fran-çaise ?

2) Jawad est étonné : « J’ai additionné tous les nombres indiqués dans le tableau et j’ai obtenu 39 au lieu de 32 ».Expliquer cette différence.

3) Lucas et Margot ont chacun commencé un diagramme pour représenter les allergies des 32 élèves de leur collège :

Diagramme de Lucas Diagramme de Margot

0123456789

Nombred’élèves

concernés

Lait Fruits Arachide Poisson œuf0123456789

Nombred’élèves

concernés

Lait Fruits Arachide Poisson œuf×

×

×

a) Qui de Lucas ou de Margot a fait le choix le mieux adapté à la situation ? Justifier la réponse.

b) Reproduire et terminer le diagramme choisi à la question a).

Exercice 34Avec des ficelles de 20 cm, on construit des polygones comme ci-dessous :

Étape 1

✂

On coupe la ficelle de 20 cmen deux morceaux.

Étape 2morceau n˚1 morceau n˚2

On sépare les deux morceaux.

Étape 3

✔ Avec le « morceau n˚1 »,

on construit un carré.✔ Avec le « morceau n˚2 »,

on construit un triangleéquilatéral.

Partie 1 :

Dans cette partie, on découpe à l’étape 1 une ficelle pour que le « morceau no 1 » mesure 8 cm.

1) Dessiner en grandeur réelle les deux polygones obtenus.

2) Calculer l’aire du carré obtenu.

3) Estimer l’aire du triangle équilatéral obtenu en mesurant sur le dessin.

Partie 2 :Dans cette partie, on cherche maintenant à étudier l’airedes deux polygones obtenus à l’étape 3 en fonction de lalongueur du « morceau no 1 ».

1) Proposer une formule qui permet de calculer l’aire ducarré en fonction de la longueur du « morceau no 1 ».

2) Sur le graphique ci-dessous :

⋆ la courbe A représente la fonction qui donnel’aire du carré en fonction de la longueur du« morceau no 1 » ;

⋆ la courbe B représente la fonction qui donnel’aire du triangle équilatéral en fonction de lalongueur du « morceau no 1 ».

En utilisant ce graphique, répondre aux questions sui-vantes. Aucune justification n’est attendue.

a) Quelle est la longueur du « morceau no 1 »qui permet d’obtenir un triangleéquilatéral d’aire 14 cm2 ?

b) Quelle est la longueur du « morceau no 1 »qui permet d’obtenir deux polygonesd’aires égales ?

Graphique représentant les aires des polygonesen fonction de la longueur du « morceau no 1 »

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20Longueur du « morceau no 1 » (en cm)

Aire(en cm2

)

Courbe ACourbe B

b

b

b

b

Exercice 35On découpe la pyramide FIJK dans le cube ABCDEFGHcomme le montre le dessin ci-contre.

Le segment [AB] mesure 6 cm.

Les points I, J, et K sont les milieux respectifs des arêtes [FE], [FB] et [FG].

1) Tracer le triangle IFK en vraie grandeur.

2) Un des quatre schémas ci-dessous correspond au patron de la pyramide FIJK.

Indiquer son numéro sur la copie. Aucune justification n’est attendue.

A

B

CD

E

F

G

H

I

J

K

Schéma 1 Schéma 2 Schéma 3 Schéma 4

3) Calculer le volume de la pyramide FIJK.

Rappel : Volume d’une pyramide =Aire d’une base × hauteur

3

Exercice 36La gélule est une forme médicamenteuse utilisée quand lemédicament qu’elle contient a une odeur forte ou un goûtdésagréable que l’on souhaite cacher.

On trouve des gélules de différents calibres. Ces calibressont numérotés de « 000 » à « 5 » comme le montre l’illus-tration ci-contre (« 000 » désignant le plus grand calibre et« 5 » désignant le plus petit) :

00000 0

1 2 3 45

Le tableau suivant donne la longueur de ces différents calibres de gélule :

Calibre de la gélule

Longueur L de la gélule (en mm)

000 00 0 1 2 3 4 5

26, 1 23, 3 21, 7 19, 4 18, 0 15, 9 14, 3 11, 1

On considère une gélule constituée de deux demi-sphères identiques de diamètre 9,5 mmet d’une partie cylindrique d’une hauteur de 16,6 mm comme l’indique le croquis ci-contre.

1) À quel calibre correspond cette gélule ? Justifier votre réponse.

2) Calculer le volume arrondi au mm3 de cette gélule.

×

×

9,5 mm

16,6

mm

L

On rappelle les formules suivantes :

Volume d’un cylindre de rayon de

base R et de hauteur h :

V = π ×R2 × h

Volume d’un cône de rayon de

base R et de hauteur h :

V =π ×R2 × h

3

Volume d’une sphèrede rayon R :

V =4

3× π ×R3

3) Robert tombe malade et son médecin lui prescrit comme traitement une boîte d’antibiotique conditionné en gélulescorrespondant au croquis ci-dessus.

Chaque gélule de cet antibiotique a une masse volumique de 6, 15× 10−4 g/mm3.La boîte d’antibiotique contient 3 plaquettes de 6 gélules.

Quelle masse d’antibiotique Robert a-t-il absorbée durant son traitement ?Donner le résultat en grammes arrondi à l’unité.

Exercice 37Un sac contient 20 boules ayant chacune la même probabilité d’être tirée. Ces 20 boules sont numérotées de 1 à 20.On tire une boule au hasard dans le sac.Tous les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

1) Quelle est la probabilité de tirer la boule numérotée 13 ?

2) Quelle est la probabilité de tirer une boule portant un numéro pair ?

3) A-t-on plus de chances d’obtenir une boule portant un numéro multiple de 4 que d’obtenir une boule portant un numérodiviseur de 4 ?

4) Quelle est la probabilité de tirer une boule portant un numéro qui soit un nombre premier ?

Exercice 38On considère un jeu composé d’un plateau tournant et d’une boule. Représentéci-contre, ce plateau comporte 13 cases numérotées de 0 à 12. On lance la boulesur le plateau. La boule finit par s’arrêter au hasard sur une case numérotée.

1) Quelle est la probabilité que la boule s’arrête sur la case numérotée 8 ?

2) Quelle est la probabilité que le numéro de la case sur lequel la boule s’arrêtesoit un nombre impair ?

3) Quelle est la probabilité que le numéro de la case sur lequel la boule s’arrêtesoit un nombre premier ?

4) Lors des deux derniers lancers, la boule s’est arrêtée à chaque fois sur lacase numérotée 9. A-t-on maintenant plus de chances que la boule s’arrêtesur la case numérotée 9 plutôt que sur la case numérotée 7 ?Argumenter à l’aide d’un calcul de probabilités.

01

23

4

56 7

89

1011

12

Exercice 39Un sac opaque contient 120 boules toutes indiscernables au toucher, dont 30 sont bleues.Les autres boules sont rouges ou vertes.On considère l’expérience aléatoire suivante :On tire une boule au hasard, on regarde sa couleur, on repose la boule dans le sac et on mélange.

1) Quelle est la probabilité de tirer une boule bleue ? Écrire le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.

2) Cécile a effectué 20 fois cette expérience aléatoire et elle a obtenu 8 fois une boule verte. Choisir, parmi les réponsessuivantes, le nombre de boules vertes contenues dans le sac (aucune justification n’est demandée) :

a. 48 b. 70 c. On ne peut pas savoir d. 25

3) La probabilité de tirer une boule rouge est égale à 0,4.

a) Quel est le nombre de boules rouges dans le sac ?

b) Quelle est la probabilité de tirer une boule verte ?

Exercice 40Djamel et Sarah ont un jeu de société : pour y jouer, il faut tirer au hasard des jetons dans un sac.Tous les jetons ont la même probabilité d’être tirés. Sur chaque jeton un nombre entier est inscrit.

Djamel et Sarah ont commencé une partie. Il reste dans le sac les huit jetons suivants :

5 14 26 18 5 9 18 20

1) C’est à Sarah de jouer.

a) Quelle est la probabilité qu’elle tire un jeton « 18 » ?

b) Quelle est la probabilité qu’elle tire un jeton multiple de 5 ?

2) Finalement, Sarah a tiré le jeton « 26 » qu’elle garde. C’est au tour de Djamel de jouer.

La probabilité qu’il tire un jeton multiple de 5 est-elle la même que celle trouvée à la question 1. b. ?

Exercice 411) Guilhem, en week-end dans une station de ski, se trouve tout en haut de la station. Il a en face de lui, deux pistes noires,

deux pistes rouges et une piste bleue qui arrivent toutes à un restaurant d’altitude. Bon skieur, il emprunte une piste auhasard.

a) Quelle est la probabilité que la piste empruntée soit une piste rouge ?

b) À partir du restaurant, sept autres pistes mènent au bas de la station : trois pistes noires, une piste rouge, une pistebleue et deux pistes vertes. Quelle est la probabilité qu’il emprunte alors une piste bleue ?

2) Guilhem effectue une nouvelle descente depuis le haut de la station jusqu’en bas dans les mêmes conditions que précé-demment.Quelle est la probabilité qu’il enchaîne cette fois-ci deux pistes noires ?

Exercice 42Le baklava est une pâtisserie traditionnelle dans plusieurs pays comme la Bulgarie ou le Maroc. Il s’agit d’un dessert long àpréparer, à base de pâte feuilletée, de miel, de noix ou de pistaches ou de noisettes selon les régions.

Dans un sachet non transparent, on a sept baklavas indiscernables au toucher portant les lettres du mot BAKLAVA.

B A K L A V AOn tire au hasard un gâteau dans ce sachet et on regarde la lettre inscrite sur le gâteau.

1) Quelles sont les issues de cette expérience ?

2) Déterminer les probabilités suivantes :

a) La lettre tirée est un L.

b) La lettre tirée n’est pas un A.

3) Enzo achète un sachet contenant 10 baklavas tous indiscernables au toucher.Ce sachet contient 2 baklavas à base de pistaches, 4 baklavas à base de noisettes et les autres baklavas sont à base denoix.

Enzo pioche au hasard un gâteau et le mange ; c’est un gâteau à base de noix. Il souhaite en manger un autre.

Son amie Laura affirme que, s’il veut maintenant prendre un nouveau gâteau, il aura plus de chances de piocher ungâteau à base de noix.A-t-elle raison ? Justifier la réponse.

Exercice 43Dans une station de ski, les responsables doivent enneiger la piste de slalom avecde la neige artificielle. La neige artificielle est produite à l’aide de canons à neige.La piste est modélisée par un rectangle dont la largeur est 25 m et la longueur est480 m.

✔ Chaque canon à neige utilise 1 m3 d’eau pour produire 2 m3 de neige.

✔ Débit de production de neige : 30 m3 par heure et par canon.

1) Pour préparer correctement la piste de slalom, on souhaite produire une couche de neige artificielle de 40 cm d’épaisseur.

Quel volume de neige doit-on produire ? Quel sera le volume d’eau utilisé ?

2) Sur cette piste de ski, il y a 7 canons à neige qui produisent tous le même volume de neige.Déterminer la durée nécessaire de fonctionnement des canons à neige pour produire les 4 800 m3 de neige souhaités.

Donner le résultat à l’heure près.

Exercice 44On lance deux dés tétraédriques, équilibrés et nontruqués, dont les faces sont numérotées de 1 à 4.On calcule la somme des nombres lus sur chacunedes faces sur lesquelles reposent les dés.

1 000 lancers sont simulés avec un tableur.

Le graphique suivant représente la fréquence d’ap-parition de chaque somme obtenue :

1) Par lecture graphique donner la fréquence d’ap-parition de la somme 3.

2) Lire la fréquence d’apparition de la somme 1 ?Justifier cette fréquence.

1 2 3 4 5 6 7 8somme des nombres inscrits sur les deux dés

fréq

uenc

een

%

0

5

10

15

20

25

3) a) Décrire les lancers de dés qui permettent d’obtenir une somme égale à 3.

b) En déduire la probabilité d’obtenir la somme 3 en lançant les dés. On exprimera cette probabilité en pourcentage.Expliquer pourquoi ce résultat est différent de celui obtenu à la question 1.

Exercice 45On considère le programme de calcul ci-dessous :

1) Vérifier que lorsque le nombre choisi est 11,le résultat du programme est 64.

2) Lorsque le nombre choisi est −4,quel est le résultat du programme ?

3) Théo affirme que, quel que soit le nombre choisi au départ,le résultat du programme est toujours un nombre positif.A-t-il raison ?

Programme de calcul

✔ Choisir un nombre.

✔ Soustraire 6.

✔ Multiplier le résultat obtenu par le nombre choisi.

✔ Ajouter 9.