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MAT

H Devoir Surveillé n°2SUPBIO 16/10/2017

Vous apporterez le plus grand soin à la rigueur et à la rédaction de vos réponses. Vous êtes, en particulier, invités àencadrer vos réponses.Les calculatrices sont interdites pour cette épreuve. Les deux exercices et le problème sont indépendants.

Préambule

EXERCICE 1

Dans tout cet exercice, on fixe un réel a. On nomme Pa le polynôme défini par :

∀x ∈ R, Pa(x) = x2 + (a+ 5)x+ (a+ 4).

1. Écrire Pa sous forme canonique.

2. En déduire que, pour tout réel x, Pa(x) > −(a+ 3)2

4. Déterminer le minimum de l’ensemble {Pa(x), x ∈ R}.

3. Montrer que Pa admet des racines réelles et les identifier. Donner la factorisation associée.4. Résoudre l’équation d’inconnue réelle x :

Pa(x) =a+ 4

x+ 1.

On sera peut-être amené à une discussion sur les valeurs du paramètre a.5. Justifier que, pour tout (x; y) ∈ R2, Pa(x)− Pa(y) = (x− y)(x+ y + a+ 5).6. En déduire que, pour tout (x; y) ∈ R2, on a l’implication :

−a+ 5

26 x 6 y =⇒ Pa(x) 6 Pa(y).

Dans toute la suite de l’exercice, a désigne un entier naturel.7. Montrer que Pa(a) est un entier pair.8. Montrer l’équivalence :

a est pair ⇐⇒ Pa(a− 1) est pair.

9. Écrire un algorithme Python permettant de vérifier cette dernière affirmation pour a ∈ [[0; 1000]].

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EXERCICE 2

1. Soit f fonction définie par : f(x) =2x+ 1

3x− 2.

(a) Déterminer l’ensemble de définition D de f ainsi que son ensemble image f(D).(b) Montrer que f réalise une bijection de D sur f(D) et exprimer sa bijection réciproque f−1.(c) Expliciter (sans calcul) f ◦ f .

2. Pour chacune des fonctions suivantes, indiquer (en justifiant votre réponse) si elles sont bijectives.(a) f : N −→ N

x 7−→ x2,

(b) g : N −→ Z

x 7−→∣∣∣∣ x

2 si x est pair−x+1

2 sinon

,

(c) h : R −→ Rx 7−→ x3 − x

.

PROBLÈME

Dans tout ce problème, on fixe un entier naturel n.

Partie I - Un résultat préliminaireOn pose, pour tout réel x :

P (x) =

n∑k=0

(1 + x)k.

1. Calculer P (0) et P (2).

Montrer que, pour tout réel non nul x, P (x) =(1 + x)n+1 − 1

x.

2. En déduire que, pour tout réel x, P (x) =

n∑p=0

(n+ 1

p+ 1

)xp.

3. En développant l’expression (1 + x)k, montrer que, pour tout réel x, P (x) =

n∑p=0

n∑k=p

(k

p

)xp.

4. On admet que deux polynômes égaux ont les mêmes coefficients.

En déduire, pour tout p ∈ [[0;n]], une expression den∑

k=p

(kp

)puis établir la relation suivante :

∀n, p ∈ N,n∑

k=0

(k

p

)=

(n+ 1

p+ 1

). (R)

5. Retrouver le résultat (R) par un raisonnement par récurrence sur l’entier n.

Partie II - La somme des n premiers cubes d’entiers naturels non nuls

1. Écrire sous forme d’une fraction simplifiée le nombre(k

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)pour tout k ∈ N.

2. En déduire quen∑

k=0

k(k − 1)(k − 2) =(n+ 1)n(n− 1)(n− 2)

4.

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Devoir Surveillé n°2

3. En déduire la valeur den∑

k=0

k3 et justifier que :

n∑k=0

k3 =

(n∑

k=0

k

)2

.

Partie III - Une autre preuve de ce résultatDans cette partie, on souhaite retrouver la valeur de la somme des n premiers cubes d’entiers naturels non nuls.On n’utilisera donc pas les résultats de la partie II.

1. Justifier que :n∑

k=0

(n− k)3 =

n∑k=0

k3.

2. En déduire que :n∑

k=0

k3 =1

2

n∑k=0

((n− k)3 + k3

).

3. Conclure quant à la valeur den∑

k=0

k3.

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