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MAT
H Devoir Surveillé n°2SUPBIO 16/10/2017
Vous apporterez le plus grand soin à la rigueur et à la rédaction de vos réponses. Vous êtes, en particulier, invités àencadrer vos réponses.Les calculatrices sont interdites pour cette épreuve. Les deux exercices et le problème sont indépendants.
Préambule
EXERCICE 1
Dans tout cet exercice, on fixe un réel a. On nomme Pa le polynôme défini par :
∀x ∈ R, Pa(x) = x2 + (a+ 5)x+ (a+ 4).
1. Écrire Pa sous forme canonique.
2. En déduire que, pour tout réel x, Pa(x) > −(a+ 3)2
4. Déterminer le minimum de l’ensemble {Pa(x), x ∈ R}.
3. Montrer que Pa admet des racines réelles et les identifier. Donner la factorisation associée.4. Résoudre l’équation d’inconnue réelle x :
Pa(x) =a+ 4
x+ 1.
On sera peut-être amené à une discussion sur les valeurs du paramètre a.5. Justifier que, pour tout (x; y) ∈ R2, Pa(x)− Pa(y) = (x− y)(x+ y + a+ 5).6. En déduire que, pour tout (x; y) ∈ R2, on a l’implication :
−a+ 5
26 x 6 y =⇒ Pa(x) 6 Pa(y).
Dans toute la suite de l’exercice, a désigne un entier naturel.7. Montrer que Pa(a) est un entier pair.8. Montrer l’équivalence :
a est pair ⇐⇒ Pa(a− 1) est pair.
9. Écrire un algorithme Python permettant de vérifier cette dernière affirmation pour a ∈ [[0; 1000]].
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j.verliat.free.fr
EXERCICE 2
1. Soit f fonction définie par : f(x) =2x+ 1
3x− 2.
(a) Déterminer l’ensemble de définition D de f ainsi que son ensemble image f(D).(b) Montrer que f réalise une bijection de D sur f(D) et exprimer sa bijection réciproque f−1.(c) Expliciter (sans calcul) f ◦ f .
2. Pour chacune des fonctions suivantes, indiquer (en justifiant votre réponse) si elles sont bijectives.(a) f : N −→ N
x 7−→ x2,
(b) g : N −→ Z
x 7−→∣∣∣∣ x
2 si x est pair−x+1
2 sinon
,
(c) h : R −→ Rx 7−→ x3 − x
.
PROBLÈME
Dans tout ce problème, on fixe un entier naturel n.
Partie I - Un résultat préliminaireOn pose, pour tout réel x :
P (x) =
n∑k=0
(1 + x)k.
1. Calculer P (0) et P (2).
Montrer que, pour tout réel non nul x, P (x) =(1 + x)n+1 − 1
x.
2. En déduire que, pour tout réel x, P (x) =
n∑p=0
(n+ 1
p+ 1
)xp.
3. En développant l’expression (1 + x)k, montrer que, pour tout réel x, P (x) =
n∑p=0
n∑k=p
(k
p
)xp.
4. On admet que deux polynômes égaux ont les mêmes coefficients.
En déduire, pour tout p ∈ [[0;n]], une expression den∑
k=p
(kp
)puis établir la relation suivante :
∀n, p ∈ N,n∑
k=0
(k
p
)=
(n+ 1
p+ 1
). (R)
5. Retrouver le résultat (R) par un raisonnement par récurrence sur l’entier n.
Partie II - La somme des n premiers cubes d’entiers naturels non nuls
1. Écrire sous forme d’une fraction simplifiée le nombre(k
3
)pour tout k ∈ N.
2. En déduire quen∑
k=0
k(k − 1)(k − 2) =(n+ 1)n(n− 1)(n− 2)
4.
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Devoir Surveillé n°2
3. En déduire la valeur den∑
k=0
k3 et justifier que :
n∑k=0
k3 =
(n∑
k=0
k
)2
.
Partie III - Une autre preuve de ce résultatDans cette partie, on souhaite retrouver la valeur de la somme des n premiers cubes d’entiers naturels non nuls.On n’utilisera donc pas les résultats de la partie II.
1. Justifier que :n∑
k=0
(n− k)3 =
n∑k=0
k3.
2. En déduire que :n∑
k=0
k3 =1
2
n∑k=0
((n− k)3 + k3
).
3. Conclure quant à la valeur den∑
k=0
k3.
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