DEVOIRS DE MATHEMATIQUES 2 B - j.herbaut75.free.frj.herbaut75.free.fr/IMG/pdf/devoirs_2de_2013.pdf · On déplace le lampadaire. Écrire un algorithme permettant de savoir si, pour

DEVOIRS DE MATHEMATIQUES2de B

Année scolaire 2013-2014

1 Les devoirs non surveillésDNS no 1DNS no 2DNS no 3DNS no 4DNS no 5DNS no 6DNS no 7DNS no 8

2 Les devoirs surveillésDS no 1DS no 2DS Commun DécembreDS no 4DS no 5DS Commun AvrilDS no 7

3 Les interrogations écritesIE no 1

Lycée Gustave Eiffel 2deB 2013/2014

DEVOIR NON SURVEILLE No 1

Exercice 1

On considère l’algorithme ci-contre :

1) Appliquer l’algorithme lorsque le nombre choisi au

départ est égal à -3, 0 puis13

.

2) On note x le nombre choisi au départ et f (x) le résul-tat donné en sortie.On appelle f la fonction ainsi définie.Déterminer l’expression de f (x).

3) Réduire l’expression de f (x).

4) Quel est l’ensemble de définition de f ?

5) Recopier et compléter le tableau suivant :(on détaillera au moins un calcul sur la copie)

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1f (x)

Algorithme:Entrées : Un nombre compris entre -5 et 1Traitement

Ajouter 2 au nombre de départElever le résultat au carréSoustraire 1

FinSorties : Afficher le résultat

5) En utilisant le tableau, déterminer les solutions éventuelles de l’équation f (x) = 0.

6) Construire dans un repère, d’unité graphique 1cm, la représentation graphique de la fonction f .

Exercice 2

On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction f définie sur [−4;3] par f (x) = 0,5(x+1)2−2

1

2

3

4

5

−1

−2

1 2−1−2−3−4

1) a. Lire sur la courbe les images de 0, de −1par f .

b. Retrouver les résultats par le calcul.

2) Lire graphiquement les antécédents de 0, de−3, de −2 et de 4 par f .

3) Calculer la valeur exacte de f (√

2)

4) a. Graphiquement, estimer si les points sui-vants appartiennent à la représentationgraphique de la fonction f :

A(−3;0) ; B(2;2.25) ; C(1

2;78

).

b. Retrouver les résultats précédents par lecalcul.

Exercice 3

Recopier et compléter les propositions suivantes et représenter les intervalles sur la droite des nombresréels.

1) .....x..... équivaut à x ∈]4;6]

2) x ≤ −2 équivaut à x ∈ ...3) x > 3 équivaut à x ∈ ..4) ......... équivaut à x ∈]−∞;0[

5) −3 ≤ x ≤ 0 ou 2 < x équivaut à x ∈ ....


DEVOIR NON SURVEILLE No 2Exercice 1La courbe (C ) ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction f .

0 1 2 3 4 5 6−1−2−3−4−5−60

1

2

3

4

5

−1

−2

b

b

(C )

1) Donner l’ensemble de définition de f .

2) Déterminer l’image de 1, de -4 et de 4 par f ainsi que f (3), f (0) et f (−5).

3) Déterminer les antécédents éventuels de 2 et de -2 par f .

4) Résoudre graphiquement :

a) f (x) = −1 b) f (x) > 2 c) f (x) < 0.

5) Soit g la fonction définition sur R par g(x) = x2 + 4x+ 5.Après avoir indiqué le calcul de la première valeur remplir le tableau suivant :

x -4 -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0g(x)

6) Sur le graphique de l’énoncé, construire la courbe représentative de g puis résoudre :

a) f (x) 6 g(x) b) f (x) > g(x).

Exercice 2On dispose de l’algorithme ci-dessous :

Algorithme 1 : calcul d’image

1 Variables : x et y ;2 Entrées : x3 Traitement4 y← 2x5 y← y − 76 y← y2

7 y← y + 18 Fin9 Sorties : Afficher « L’image de x est : » y

1) a. Un utilisateur exécute cet algorithme etrentre la valeur 5 pour x. Donner la va-leur de y après l’exécution de la ligne 4,de la ligne 5, de ligne 6, de la ligne 7.(On pourra présenter les résultats dansun tableau en y indiquant les différentes

affectations et les valeurs de la variable y)

b. Même question avec la valeur −3 pour x.

2) On veut analyser l’algorithme.

a. Donner la valeur de y en fonction de xaprès l’exécution de la ligne 4, de la ligne5, de ligne 6, de la ligne 7.

b. En déduire alors que y est une fonctionde x et préciser l’expression de f .

3) Soit g la fonction définie sur R par

g(x) =x2

2+ 5

Ecrire en langage naturel un algorithme per-mettant de calculer pas à pas l’image d’unnombre saisi par l’utilisateur par la fonctiong.



Exercice 1

Soit f la fonction définie sur R par : f (x) = (3x+ 1)2 − 49 .

1) Développer et réduire f (x).

2) Factoriser f (x).

3) En choisissant la forme la plus adaptée de f (x) :

a. Déterminer les images de 13 et√

2 par f .

b. Déterminer l’ordonnée du point de la courbe représentative de f qui a pour abscisse 0.

c. Déterminer le (les) antécédents éventuel(s) de 0 par f .

d. Résoudre l’équation f (x) = −48.

Exercice 2

Dans un repère orthonormé (O; I, J), on considère les points A(1;−1), B(3;1) et C(−1;3). La figure sera com-plétée au fur et à mesure des questions. On prendra pour unité graphique OI = OJ = 1 cm.

1) Placer les points A, B et C.

2) Déterminer la nature du triangle ABC.

3) Calculer les coordonnées du point M milieu du segment [AB].

4) Calculer les coordonnées du point D symétrique de C par rapport à M.

5) Déterminer la nature du quadrilatère ACBD.

Exercice 3

Voici un algorithme :

Algorithme: Quel est mon rôle ?Variables : xA, yA, xB, yB, xC, yC, xI, yI, xD, yDEntrées : Saisir xA, yA, xB, yB, xC,yC.Traitement

xI← xA+xC2

yI← yA+yC2

xD← 2xI − xByD← 2yI − yB

FinSorties : Afficher xD, yD.

1) Faire fonctionner cet algorithme dans chacundes cas suivants :

a. A(2 ; −1) ; B(−3 ; 1) ; C(5 ; 4)

b. A(2 ; 2) ; B(−4 ; 6) ; C(−1 ; 3)

2) Tracer un repère orthonormé et placer lespoints A, B, C et D dans chacun des cas pré-cédents.

3) Quel semble être le rôle de cet algorithme ?



Exercice 1

Soit ABCD un rectangle de dimensions données,AB = 6 cm, BC = 8 cm. Sur le côté [AB], on choisitun point M quelconque. On place ensuite les pointsN sur [BC], P sur [CD] et Q sur [DA] tels que AM =BN = CP = DQ.

Le but de l’exercice est de déterminer pour quelledistance AM l’aire de MNPQ est minimale?

A

B C

D

1 Avec Ge Gebra

1.1 La figure

1) Coder et compléter la figure ci-dessus. On notera l la distance AM.

2) Dans la fenêtre graphique, placer A à l’origine du repère. L’unité étant le centimètre, placer ensuiteles points B,C et D en utilisant leur coordonnées dans le repère , enfin construire le rectangle ABCD

en utilisant l’outil afin d’obtenir poly1 dans la fenêtre d’algèbre.

3) En utilisant l’outilA

placer un point M sur le segment [AB].

4) Définir l = AM en utilisant la fenêtre de saisie et la commande suivante : l=Distance[A,M]

5) Déterminer en fonction de l les coordonnées des points N, P et Q et les placer en utilisant la fenêtre

de saisie. Construire alors le quadrilatère MNPQ en utilisant l’outil polygone .

On retrouvera poly2 dans la fenêtre d’algèbre.

6) Enfin afficher l’aire du quadrilatère en utilisant l’outilcm2

.

1.2 La courbe

1) Dans le menu Affichage, sélectionner Graphique 2, un deuxième repère apparaît.

2) On réglera les unités du nouveau repère dans le menu Options – Avancé... puis PréférencesGraphique 2 : Xmin = −1, Xmax = 7, Ymin = −1, Ymax = 50

3) Dans la fenêtre de saisie, rentrer le point I d’abscisse l et d’ordonnée poly2.

4) Sélectionner le point I, puis par un clic droit sélectionner trace activée.

5) Bouger le point M et émettre une conjecture sur l’aire minimale de MNPQ et la position du point Msur [AB].

6) Joindre à la copie une impression d’écran sur laquelle on pourra observer la figure, la trace du point Iet la conjecture.

2 Preuve avec XCAS

On admettre dans la suite de l’exercice que la fonction f donnant l’aire du quadrilatère MNPQ en fonctionde la longueur AM = x est définie sur [0 ; 6] par f (x) = 2x2 − 14x+ 48.On donne ci-dessous une impression d’écran obtenue avec le logiciel de calcul formel XCAS.

Tournez s.v.pN

1) Que peut-on dire d’après les lignes 2 et 3 de la fenêtre XCAS?

2) Calculer f(

72

)et retrouver le résultat annoncé par le logiciel.

3) Démontrer que f (x)− f(

72

)=

(2x − 7)2

24) Justifier que l’on a bien f (x) > f

(72

)pour x ∈ [0 ; 6].

Qu’a-t-on ainsi démontré?

Exercice 2

Dans la pièce ci-dessous, un lampadaire est placé en L et un fauteuil en F. Le lampadaire donne un éclairagesatisfaisant pour la lecture dans un rayon de 3,50 mètres. L’éclairage est-il satisfaisant si on lit un livre dansun fauteuil placé en F?On déplace le lampadaire. Écrire un algorithme permettant de savoir si, pour une position donnée de celampadaire, l’éclairage est satisfaisante pour lire un livre dans ce fauteuil.

1m7m

2m

1m

10m

6m

F

L



Exercice 1

Voici un magnifique hexagone régulier de centre O.En utilisant uniquement les points de la figure, ex-primez les vecteurs suivants à l’aide d’un seul vec-teur :

1)# »

OB +# »FE

2)# »

AB +# »

BC

3)# »

AB− # »

BC

4)# »

EO +# »

BA +# »

FA

5)# »DB− # »

EF

OA

BC

D

E F

Exercice 2

Dans cet exercice on se placera dans le plan rapporté à un repère (O, I, J).

1) Appliquer cet algorithme à chacun des pointssuivants : A(1;2), B(−2;2) et C(2;−3).

2) Placer les points A, B, C ainsi que les points A′,B′, C′ dans le repère.

3) Tracer les vecteurs# »

AA′,# »

BB′ et# »

CC′.Que remarque t-on ?

4) Par quelle transformation du plan obtient-onle triangle A’B’C’ à partir du triangle ABC ?

Algorithme: Qui suis-je ?Variables : xM, yM, xM′ et yM′

Entrées : xM et yM.Traitement

xM′ ← xM + 2yM′ ← yM + 3

FinSorties : Afficher (xM′ ;yM′ )

Exercice 3

Dans un repère orthonormal (O, I, J) , on considère les points P(−2;1), Q(2;2), et R(1;−2).

1) Faire une figure que l’on complétera au fur et à mesure.

2) Démontrer que le triangle PQR est isocèle.

3) Calculer les coordonnées de# »

QP,# »

QR puis de# »

QP +# »

QR.

4) Calculer les coordonnées du point M tel que# »

QM =# »

QP +# »

QR.

5) Que peut-on dire de PQRM ? Justifier.

6) Calculer les coordonnées de son centre I.

Exercice 4

1) Compléter les propriétés du cours :

a. ABCD est un parallélogramme si et seulement si . . . . . .

b. Soient A(xA;yA) et B(xB;yB) deux points d’un repère (O, I, J) du plan.Alors

# »

AB a pour coordonnées : . . . . . .

2) Ecrire alors en language formalisé un algorithme qui, lorsque l’on entre les coordonnées de 4 pointsA, B, C et D du plan, indique si le quadrilatère ABCD est un parallélogramme ou non.



Exercice 1

Une société de téléphonie fictive propose les tarifsdes forfaits non bloqués pour téléphones portablessuivant :

• Tarif A : sans abonnement et 0,15 AC par mi-nute.

• Tarif B : abonnement de 12 AC et 0,05 AC par mi-nute.

On note A(x) et B(x) les prix payés pour x minutesavec les tarifs A et B précédents.

1) Exprimer A(x) et B(x) en fonction de x.

2) Compléter l’algorithme ci-contre donnant lemeilleur tarif et le prix à payer en fonction dunombre de minutes consommées.

3) Tracer dans un repère orthogonal les courbesreprésentatives des fonctions x 7→ A(x) et x 7→B(x) sur l’intervalle [0;200].

4) Déterminer par le calcul le nombre de minutespour lequel les tarifs A et B sont égaux.

Algorithme: Le meilleur tarifVariables : . . .Entrées : . . .Traitement

. . .← . . . . . . . . .

. . .← . . . . . . . . .si . . . . . . . . . . . . . . . . . . alors

Afficher : « Le tarif le plusintéressant est le tarif . . . . . . . . . . »« Pour un coût de » . . . . . . . . .AC

finsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . alors

Afficher : « Le tarif le plusintéressant est le tarif . . . . . . . . . . »« Pour un coût de » . . . . . . . . .AC.

finsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . alors

Afficher : « Les tarifs . . . . . . . . . et . . .. . . . . . sont . . . . . . . . . »« Pour un coût de » . . . AC

finFin

6) En utilisant le graphique répondre aux questions suivantes :

a. Pour quelles consommations le tarif A est-il le plus intéressant ?

b. Quel tarif doit-on choisir avec un budget de 20 AC pour obtenir le meilleur temps de communi-cation ?Combien de temps pourra-t-on téléphoner ?

7) Un autre tarif propose 15 AC pour 100 minutes et 20 AC pour 150 minutes. On sait de plus que le tarifC(x) est une fonction affine de x déterminer :

a. l’expression de C.

b. le prix de l’abonnement et celui de la minute de communication.

Exercice 2

Les parents de Johanna souhaitent mettre de l’argent de côté pour leur fille née le 6 octobre 2009. Le jourde sa naissance ses parents mettent 250 AC sur un compte en banque rémunéré 2,75 % par an.Chaque année, à l’anniversaire de Johanna, ils versent à nouveau 250 AC.Le but de cet exercice est de déterminer la somme dont disposera Johanna le jour de ses 18 ans.

1) Combien y a-t-il sur le compte le 6 octobre 2010 ?

2) Expliquer le processus de calcul de la somme lorsque l’on passe d’une année à la suivante.

3) Ecrire un algorithme qui affiche la somme dont dispose Johanna le jour de ses 18 ans.Le programmer sur la calculatrice et donner la réponse au problème posé.



Exercice 1

Résoudre à l’aide d’un tableau de signes l’inéquation ci-dessous :

−5x − 14x − 8 6 0

Exercice 2

Soit un rectangle ABCD tel que AB = 8 et AD = 10.M est un point variable sur le segment [AB].On considère les points H, I, J et K tels que AMIJ est un carré et CKIH est un rectangle.On note x la longueur AM.

1) Dans quel intervalle varie le nombre réel x ?

2) Montrer que la somme S(x) des aires des qua-drilatères AMIJ et CKIH a pour expression :

S(x) = x2 + (8− x)(10− x)3) Développer et réduire S(x).

4) Le problème est de déterminer les positionséventuelles de M pour lesquelles la somme desaires des quadrilatères AMIJ et CKIH est su-périeure ou égale à la moitié de l’aire du rec-tangle ABCD.a. Traduire le problème par une inéquation.

b. Montrer que cette inéquation s’écritaussi : x2 − 9x+20> 0.

c. Développer et réduire le produit :

(x − 4)(x − 5) .d. Déduire des questions b. et c. les solu-

tions du problème posé.

A B

CD

IJ

K

H

M8

10

x

Exercice 3

Roger zappe au hasard deux fois de suite sur deux chaînes différentes. Son téléviseur peut recevoir cinqchaînes différentes et trois de ces chaînes diffusent une émission de sport ce soir-là.

1) À l’aide d’un tableau, déterminer le nombre de possibilités pour les deux chaînes regardées.

2) Déterminer la probabilité pour qu’il zappe sur :

a. aucune émission de sport ;

b. au moins une émission de sport ;

c. exactement une émission de sport ;

d. deux émissions de sport.



Exercice 1

La porte d’entrée d’un immeuble est munis d’un clavier de trois touches marquées par les lettres A,B et C.Le code qui déclenche l’ouverture de la porte est formé d’une série de deux lettres distinctes ou non.

1) Recopier et compléter l’arbre suivant qui dé-nombre l’ensemble des codes possibles :

b

A

A

B

C

B

· · ·

· · ·

· · ·· · ·

2) Déterminer le nombre de codes différents pos-sibles.

3) Déterminer la probabilité de chacun des évè-nements suivants.

A : « Le code se termine par A. »

B : « Le code est formé de deux lettres iden-tiques. »

C : « Le code commence par A. »

4) Reprendre l’ensemble des questions précé-dentes en considérant cette fois-ci que le codeest formé de trois lettres différentes.

Exercice 2

Placer sur la figure les points M, N, L tels que :

1)# »

AM =# »

AC +12

# »

AB

2)# »BN = −1

4# »

BC +13

# »

CA

3)# »

CL =12

# »

BA− 58

# »

CB

b

B

b

C

bA

Exercice 3

Soient A(−7;−5), B(−4;1), C(10;4) et D(6;−4) des points dans un repère (O, I, J).

1) Construire et compléter au fur et à mesure la figure sur l’annexe page 2.

2) a. Calculer les coordonnées des vecteurs# »

AB et# »

CD.

b. En déduire que le quadrilatère ABCD est un trapèze.

3) Soient I le milieu de [CD] et M le point tel que# »DM =

25

# »DB,

a. Calculer les coordonnées de I.

b. Calculer les coordonnées de M.

c. Que peut-on dire points A,M et I ? Le démontrer.


DEVOIR SURVEILLE No 1Exercice 1

Soit f la fonction définie sur R par :

f (x) = (x − 2)2 − (x − 2)(3x − 1)

On donne ci-contre les résultats des instructions ob-tenues avec un logiciel de calcul formel.

1) Retrouver la forme développée de f (x).

2) Factoriser f (x) et retrouver la forme factoriséeobtenue avec le logiciel.

3) A l’aide de votre calculatrice graphique repré-senter sur votre copie l’allure de la courbe def dans la fenêtre Xmin = −3,Xmax = 3,Ymin =−5 et Ymax = 5.

1 f(x):=(x-2)^2-(x-2)*(3x-1)// Interprète f// Succèscompilationf

(x)−>(x− 2)ˆ2− (x− 2) ∗ (3 ∗ x− 1)

2 developper(f(x))

−2 ∗ x2 + 3 ∗ x+ 2

3 factoriser(f(x))

(x− 2)(−2 ∗ x− 1)

4) En utilisant la touche « trace » de la calculatrice répondre aux questions suivantes :

a. Déterminer l’abscisse des points d’intersection de la courbe de f et de l’axe des abscisses.

b. Déterminer les antécédent(s) éventuel(s) de 2 par f .

5) Retrouver les résultats de la question précédente par le calcul en utilisant l’une ou l’autre des expres-sions de f (x).

Exercice 2

Dans le repère orthonormé (O; I, J) ci-contre, placer les points A(−4;3), B(4;1), et C(3;−3).On admet que AC =

√85 et BC =

√17.

1) Calculer la longueurs AB.2) Démontrer que le triangle ABC est rectangle.3) Déterminer les coordonnées du point K milieu

du segment [AC].4) On appelle C le cercle circonscrit à ABC.

a. Tracer C .b. Déterminer le centre du cercle C .

(Justifier)c. Calculer le rayon de ce cercle.

5) a. Calculer les coordonnées du point D telque le quadrilatère ABCD soit un paral-lèlogramme.

b. Que peut-on dire de plus de ABCD ?(Justifier)

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3 4−1−2−3−4−5

Exercice 3

On considère l’algorithme suivant :

Algorithme: Qui suis-je ?Variables : a,bEntrées : aTraitement

b← a× aa← a+ 1a← a× aa← a− b

FinSorties : Afficher a

1) Si on saisit a = 3 quel est le nombre obtenu à lasortie ?

2) a. Si on saisit a = x , avec x un nombre réelquelconque, on note f (x) le nombre ob-tenu à la sortie de cet algorithme.Déterminer l’expression de f (x).

b. Réduire l’expression de f (x)

c. Déterminer le nombre à saisir pour le re-trouver à la sortie.


DEVOIR SURVEILLE No 2

Exercice 1 4 points

On considère l’algorithme ci-contre :1) Appliquer cet algorithme avec a = 13 et b = 16.2) Que fait cet algorithme ?3) Quelle modification faudrait-il apporter à l’al-

gorithme pour qu’il calcule la moyenne dedeux notes l’une coefficient 2, l’autre coeffi-cient 1 ?

4) Quelle modification faudrait-il apporter à l’al-gorithme pour qu’il calcule la moyenne dedeux notes, avec des coefficients saisis parl’utilisateur ?

Algorithme:Variables : a,b ,c,mEntrées : a et b deux nombres

compris entre 0 et 20Traitement

c reçoit a+ bm reçoit c

2FinSorties : Afficher m

Exercice 2 6 points

Le tableau suivant résume les résultats obtenus par les 34 élèves d’une classe lors d’un devoir de mathé-matiques.

Notes 2 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 17 18Effectifs 1 1 3 2 3 2 5 4 6 2 1 1 2 1

Chaque question est pourvue de trois réponses dont une et une seule est correcte. Il est demandé de cocherles cases correspondant aux réponses correctes. Les valeurs sont, au besoin, arrondies au centième le plusproche.

1) La représentation graphique la mieux adaptéedans le cas de cette série est :

l un histogramme ;

l un diagramme circulaire ;

l un diagramme en bâtons.

2) L’étendue de la série est :

l 16 ;l 18 ;l 34.

3) Le pourcentage d’élèves ayant obtenu une noteinférieure ou égale à 8 est :

l 29,41%;l 35,29%;l 42,86%.

4) 14,71% des élèves ont obtenu une note stricte-ment supérieure à :

l 12 ;l 13 ;l 14.

5) La médiane de la série de notes est :

l 9 ;l 9,5 ;l 10.

6) Les premier et troisième quartiles de la sériede notes sont :

l Q1 = 5 et Q3 = 12 ;

l Q1 = 8,5 et Q3 = 25,5 ;

l Q1 = 7 et Q3 = 11.

7) La moyenne de la série de notes est :

l 9,44 ;

l 9,50 ;

l 9,64.

8) Si tous les élèves avaient obtenu 1 point deplus alors :

l la moyenne et l’étendue seraient augmen-tées d’un point ;

l la moyenne et la médiane seraient aug-mentées d’un point ;

l la médiane et l’étendue seraient augmen-tées d’un point.

Exercice 3 10 points

On dispose de l’histogramme ci-dessous qui illustre la distance domicile-travail des employés d’une entre-prise.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Distance en km

1 %

0

Distance (en km) [0 ;1] TotalEffectif

Fréq. (en %) 12,5Fréq. cum. (en %) 12,5

1) Quelle est la population étudiée ? Quel est lecaractère étudié ? Quelle est sa nature ?

2) Compléter, à l’aide du graphique, la ligne desdistances et celle des fréquences du tableau ci-contre.

3) On suppose maintenant que l’entreprisecompte 320 employés. Compléter la ligne deseffectifs.

4) Déterminer la distance moyenne de transportdomicile-travail des employés de cette entre-prise.

5) Compléter la ligne des fréquences cumuléescroissantes et construire ci-dessous le poly-gone des fréquences cumulées croissantes.

6) A l’aide du polygone déterminer graphique-ment une valeur approchée de la distance mé-diane domicile-travail des employés de cetteentreprise.Interpréter à l’aide d’une phrase le résultat ob-tenu dans le contexte de l’exercice.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

100

NOM : PRENOM : Classe :

'

&

$

%

Lycée Gustave Eiffel 2de2013-2014

ÉPREUVE COMMUNE DE MATHÉMATIQUESDécembre 2013

Durée de l’épreuve : 2 heures.Le sujet comporte quatre exercices. Il est à rendre avec la copie.

Les calculatrices graphiques sont autorisées mais ne peuvent se prêterou s’échanger. Le barème est donné à titre indicatif. Il est susceptible

d’être modifié.

1/4

Exercice 1 4 points

Deux sauteurs à la perche nommés Etienne et Louis ont relevé leur performances en mètres, lors de leurs25 derniers sauts.Partie A :Le tableau ci-dessous correspond aux relevés des hauteurs des sauts d’Etienne.

Hauteur (en m) 4,70 4,80 4,85 4,90 4,95 5,00 5,05 5,10 5,20Nombre de sauts 1 1 1 3 12 4 1 1 1

1) Calculer le pourcentage de sauts d’une hauteur de 5 mètres.

2) Déterminer la hauteur moyenne d’un saut. Donner le détail du calcul.

3) a. Compléter le tableau ci-dessus avec les effectifs cumulés croissants.

b. Déterminer par le calcul la médiane de cette série statistique.

c. Déterminer par le calcul les quartiles de cette série.

d. Interpréter à l’aide d’une phrase le résultat du 1er quartile obtenu précédemment.

4) Compléter le tableau suivant :

Sauteur Etienne xmin xmax x Etendue Q1 Médiane Q3 Ecart interquartile

Partie B :Pour le second sauteur, Louis, le relevé des hauteurs des sauts est donné par le tableau ci-dessous :

Hauteur (en m) 4,70 4,80 4,85 4,90 5,00 5,05 5,10 5,15 5,20Nombre de sauts 1 3 5 4 5 3 2 1 1

Avec les fonctions statistiques de la calculatrice, compléter le tableau ci-dessous :

Sauteur Louis xmin xmax x Etendue Q1 Médiane Q3 Ecart interquartile

Partie C :Justifier la phrase suivante :« Si on compare la moitié des sauts réalisés par Louis et Etienne, on pourra dire que Etienne est plusperformant que Louis »

Exercice 2 4 points

Soit la fonction f dont la courbe C dans un repère orthonormé est donnée ci-dessous :

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4 5−1−2−3−4−5−6

b

b

C f

Par lecture graphique répondre aux questions suivantes, aucune justification n’est demandée mais on lais-sera apparaître les traits de construction sur la figure ci-dessus.

2/4

1) Donner l’ensemble de définitionDf de f .

2) Donner les images de -3 et de 0 par f .

3) Déterminer les antécédents de 3 par f .

4) Résoudre graphiquement :

a. f (x) = 1.

b. f (x) = −3.

c. f (x) 6 −1.

5) Soit la fonction g définie sur [−5;5] par : g(x) = −12x+ 2

a. Tracer la droite représentant g dans le repère ci-dessus.

b. Résoudre graphiquement, en justifiant, l’inéquation f (x) < g(x) .

Exercice 3 6 points

On considère un repère (O, I, J) orthonormé et lespoints A(−1;1) et B(5;3)

1) Placer dans le repère ci-contre les points A etB et compléter la figure au fur et à mesure.

2) Déterminer les coordonnées du milieu K dusegment [AB].

3) Soit (C ) le cercle de diamètre [AB] et C le pointde coordonnées (1;5).Le point C appartient-il au cercle (C ) ?Justifier votre réponse.

4) Démontrer que le triangle ACB est rectangle etisocèle en C.

1

2

3

4

5

−1

−2

1 2 3 4 5−1−2−3−4

5) Voici un algorithme :

Algorithme: Quel est mon rôle ?Variables : x, y, x′, y′Entrées : Saisir x, y.Traitement

x′ reçoit 4− xy′ reçoit 4− y

FinSorties : Afficher x′ et y′.

a. Tester l’algorithme ci-contre en prenant comme entrées les coordonnées du point A.Que retrouve-t-on en sortie ?

b. Recommencer en prenant comme entrées les coordonnées du point E(3;1).On note F le point dont les coordonnées sont données en sortie. Placer F.

c. Quel semble être le rôle de cet algorithme ?

6) Dans cette question on admettra que si on prend comme entrées de l’algorithme les coordonnées dupoint C alors on obtient en sortie le point D de coordonnées (3;−1).Démontrer que le point D est diamétralement opposé à C sur (C ) .

7) Quelle est la nature du quadrilatère ACBD ? Justifier.

3/4

Exercice 4 6 points

ABCD est un rectangle tel que que AB = 10cm etAD = 6cm.On place un point M sur le segment [AD].Le cercle de centre A et de rayon [AM] coupe le seg-ment [AB] en N.On construit le carré AMPN et le rectangle CQPRcomme indiqué sur la figure ci-contre.

A B

CD

N

R

Q

PM

1) Dans cette question on pose AM=2cm.Montrer que l’aire de la partie coloriée vaut 36cm2

Dans la suite, on note x la longueur AM (en cm) et f (x) l’aire en cm2 de la partie coloriée sur la figure.

2) Justifier que l’ensemble de définition de f est [0;6].

3) Montrer que f (x) = 2x2 − 16x+ 60.

4) Calculer la valeur exacte de f(

23

)en détaillant les calculs.

5) a. A l’aide de la calculatrice compléter le tableau de valeurs suivant :

x (en cm) 0 1 2 3 4 5 6

f (x) (en cm2)

b. Représenter graphiquement la fonction f dans le repère orthogonal (O, I, J) ci-dessous ou lesunités sont : 1cm sur l’axe des abscisse pour 1 cm et 1 cm sur l’axe des ordonnées pour 10cm2.

10

20

30

40

50

60

1 2 3 4 5 60

6) a. Dresser le tableau de variations de f .

b. Pour quelle position de M, l’aire de la partie coloriée semble-t-elle minimale ? Préciser cettevaleur minimale.

7) On veut déterminer pour quelles valeurs de x l’aire de la partie coloriée est égale aux huit quinzièmede l’aire du rectangle ABCD .

a. A l’aide du graphique précédent déterminer une valeur approchée des éventuelles solutionsrépondant au problème.

b. Démontrer que répondre au problème revient à résoudre l’équation 2x2 − 16x+ 28 = 0.

c. Un logiciel de calcul formel donne le résultatci-contre.Proposer les solutions exactes au problèmeposé et vérifier la cohérence des valeurs pro-posées à la question 7) a.

1 factoriser(2x^2-16*x+28)

2 ∗ (x− 4+√2) ∗ (x− 4−

√2)

4/4


DEVOIR SURVEILLE No 4Exercice 1

Construire, en faisant apparaitre les traits de construction, les points M,N,P,Q et R tels que :

# »

AM = ~u + ~v# »

CN = ~v − ~u# »

AP =# »

AB +# »

AC# »

BQ =# »

AB− # »

ACR est l’image de C par latranslation qui transformeB en A.

bA

bB

bC

~u

~v

Exercice 2

Dans un repère orthonormal (O, I, J), on considère les points :

E(−3 ; 0) ; B(2 ; 0) ; T(0 ; 4) et U(5 ; 4).

1) Déterminer les coordonnées des vecteurs# »ET et

# »BU.

2) a. Calculer la longueur ET, puis la longueur EB.

b. Quelle est la nature du quadrilatère TUBE ? Justifier.

3) Soient (C ) le cercle de centre E passant par B. Tracer (C ).On note A le second point d’intersection de ce cercle avec l’axe des abscisses.

a. Justifier pourquoi# »

AE =# »EB.

b. Démontrer que# »

AE =# »TU.

c. Quelle est l’image du triangle ATE par la translation qui transforme A en E ?

Exercice 3

Déterminer graphiquement les expressions desfonctions affines dont les représentations gra-phiques sont données ci-contre.

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

−5

1 2 3 4−1−2−3−4−5

d1

d2

d3

d4

Tournez s.v.pN

Exercice 4

Un vidéo club pratique les tarifs suivants :

• Tarif A : 2,5 AC le dvd.

• Tarif B : Abonnement de 30 AC et 1,5 AC le dvd.

• Tarif C : Abonnement de 90 AC pour un nombre de dvds illimité.

1) On note x le nombre de dvds.Donner l’expression de A(x), B(x) et C(x) du prix payé en fonction de x aux tarifs A, B et C.

2) Le plan est muni d’un repère orthogonal (O, I; J), une unité pour 5 dvds en abscisse, et une unité pour10 AC en ordonnée. Construire ci-dessous les représentations graphiques des fonctions A, B et C surl’intervalle [0;50]

3) En utilisant le graphique répondre aux questions suivantes :

a. Si un client emprunte en moyenne 45 dvds par an, quel tarif doit-il choisir ?

b. Pour un budget de 50 AC, quel tarif est le plus aventageux ?Combien de dvds pourra-t-on louer ?

c. Dans quels cas le tarif A est-il le plus intéressant ?

4) Un autre vidéo club propose 60 AC pour 10 dvds et 140 AC pour 50.En supposant que le tarif D(x) est une fonction affine de x déterminer :

a. l’expression de D.

b. le prix de l’abonnement et celui d’un dvd.

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0


DEVOIR SURVEILLE No 5Exercice 1 4 points

On lance un dè cubique truqué tel que la probabilité p4 d’obtenir la face numéroté 4 est de 0,4 tandis quep1 = p2 = p3 = p5 et p6 = 2p1.

1) Déterminer la loi de probabilité de cette expérience aléatoire.

2) Calculer la probabilité de l’événement A « Obtenir un nombre strictement supérieur à 4 »

3) Définir par une phrase l’événement A et calculer p(A).

Exercice 2 10 points

Voici les résultats d’un sondage effectué en 2010 auprès de 2 000 personnes, à propos d’internet :

• 40% des personnes interrogées déclarent être intéressées par internet,

• 35% des personnes interrogées ont moins de 30 ans et, parmi celles-ci, 80% déclarent être intéresséespar internet,

• 30% des personnes interrogées ont plus de 60 ans et, parmi celles-ci, 85% ne sont pas intéressées parinternet.

1) Compléter le tableau suivant. Aucune justification n’est demandée :intéressées par internet non intéressées par internet total

moins de 30 ans 560de 30 à 60 ansplus de 60 anstotal 2 000

2) On choisit au hasard une personne parmi les2 000 interrogées. On suppose que toutes les per-sonnes ont la même probabilité d’être choisies.On considère les événements :

A : « la personne interrogée a moins de 30 ans »,

B : « la personne interrogée est intéressée parinternet ».

Les résultats seront donnés sous forme décimale.

a. Calculer les probabilités P(A) et P(B).

b. Définir par une phrase l’événement A puiscalculer P(A).

c. Définir par une phrase l’événement A ∩ Bpuis calculer P(A∩B).

d. Définir par une phrase l’événement A ∪ Bpuis calculer P(A∪B).

3) On sait maintenant que la personne interrogée estintéressée par internet.Quelle est la probabilité qu’elle ait plus de 30ans ?

Exercice 3 6 points

Une campagne de prévention routière s’intéresse aux défauts constatés sur le freinage et sur l’éclairage de400 véhicules :

• 60 des 400 véhicules présentent un défaut de freinage.

• 140 des 400 véhicules présentent un défaut d’éclairage.

• 45 véhicules présentent à la fois un défaut de freinage et un défaut d’éclairage.

1) Recopier puis compléter le diagramme ci-dessous avec des nombres pour représenter lasituation.

F E

2) On choisit un véhicule au hasard parmi ceuxqui ont été examinés. Quelle est la probabilitéque :a. le véhicule présente un défaut de freinage

mais pas de défaut d’éclairage ?b. le véhicule présente un défaut d’éclairage

mais pas de défaut de freinage ?c. le véhicule ne présente aucun des deux

défauts ?d. le véhicule présente au moins un des

deux défauts ?

NOM : PRENOM : Classe :

'

&

$

%

Lycée Gustave Eiffel 2de2013-2014

EPREUVE COMMUNE DE MATHEMATIQUESAvril 2014

Durée de l’épreuve : 2 heures.Le sujet comporte cinq exercices. Il est à rendre avec la copie.

Les calculatrices graphiques sont autorisées.Le barème est donné à titre indicatif. Il est susceptible d’être modifié.

1/4

Exercice 1 4 points

Une entreprise produit en grande série des tiges en acier. Ces tiges peuvent présenter deux types de dé-fauts, un défaut de diamètre, ou un défaut de longueur.On a observé que dans un échantillon de 1000 tiges, 80 présentaient un défaut de diamètre, 110 présen-taient un défaut de longueur, et 30 présentaient les deux défauts.

1) Compléter le tableau suivant :Défaut de diamètre Non défaut de diamètre Total

Défaut de longueurNon défaut de longueur

Total 80 1000

2) On prélève une tige au hasard parmi les 1000 tiges de l’échantillon. On considère les événements :

• A : « La tige présente le défaut de diamètre » ;

• B : « La tige présente le défaut de longueur ».

a. Déterminer la probabilité de l’évènement A, puis la probabilité de l’évènement B.

b. Énoncer par une phrase en français l’évènement A, puis donner sa probabilité.

c. Énoncer par une phrase en français l’évènement A∩B, puis donner sa probabilité.

d. Énoncer par une phrase en français l’évènement A∪B , puis donner sa probabilité.

e. Écrire à l’aide des évènements A et B l’évènement : « La tige n’a aucun défaut », puis calculer saprobabilité.

f. Écrire à l’aide des évènements A et B l’évènement : « La tige a pour seul défaut le défaut dediamètre », puis calculer sa probabilité.

3) On prélève au hasard une tige parmi les tiges présentant un défaut de diamètre.Quelle est la probabilité que cette tige n’ait pas d’autre défaut.

Exercice 2 5 points

On se place dans un repère orthonormé (O, I, J).On considère les points A, B et C de coordonnées A(3;3), B(2;1) et C(0;3).

1) Placer les trois points dans le repère.

On complétera la figure au fur et à mesure de l’énoncé pour contrôler ses calculs.

2) Calculer les coordonnées des vecteurs# »

AC et# »

AB.

3) Soit D le point tel que# »

AD = 2# »

AB +# »

AC.

a. Placer le point D. (On laissera les traits de construction)

b. Déterminer par le calcul les coordonnées du point D.

4) Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

5) On considère le point E(1;−1).Placer le point E et démontrer que E est le symétrique du point A par rapport au point B.

6) Montrer que le quadrilatère ACDE est un parallélogramme.

7) On considère le point F(k;0). Déterminer le réel k tel que les points B,C et F soient alignés.

2/4

Exercice 3 3,5 points

Un particulier a des marchandises à faire transporter.Un premier transporteur (A) lui demande 460 AC au départ et 3,5 AC par kilomètre.Un second transporteur (B) lui demande 1000 AC au départ et 2 AC par kilomètre.

1) Le nombre de kilomètres à faire est 700.Calculer le tarif proposé par le premier transporteur puis celui par le deuxième. Quel est le plusavantageux ?

2) Soit x le nombre de kilomètres parcourus.On considère f (x) le prix à payer pour le transporteur A et g(x) le prix à payer pour le transporteurB.

a. Exprimer f (x) en fonction de x.

b. Exprimer g(x) en fonction de x.

c. Tracer les représentations graphiques des fonctions f et g sur l’intervalle [0;1000] dans le repèreorthogonal (O, I, J) donné ci-dessous.

d. Déterminer par le calcul pour quel nombre de kilomètres les deux transporteurs ont même tarif.

e. Déterminer graphiquement pour quel nombre de kilomètres le tarif du transporteur A est plusintéressant.

3) Un troisième transporteur (C) propose le tarif de 750 AC pour 100 km et de 1750 AC pour 500 km.On considère h(x) le prix à payer avec ce nouveau transporteur (C) en fonction de x le nombre dekilomètres effectués.On sait que la fonction h est une fonction affine.

a. Déterminer l’expression de h(x).

b. Choisira-t-il le transporteur C pour parcourir 700 km ?

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

0

3/4

Exercice 4 3 points

Soit une urne comportant 5 jetons blancs numérotés de 1 à 5 et 2 jetons noirs numérotés de 6 à 7.On tire au hasard un jeton de l’urne.

1) Quelle est la probabilité qu’on tire un jeton blanc ?

2) Hugo décide de simuler 100 fois l’expérience en programmant sa calculatrice pour qu’elle affiche lafréquence d’apparition d’un jeton blanc.Il utilise pour cela l’instruction EntAléat(1,7) qui renvoie un entier aléatoire de l’intervalle [1;7].

a. Parmi les 3 algorithmes proposés ci dessous, lequel va-t-il choisir ? Justifier

Algorithme No 1 Algorithme No 2 Algorithme No 3Variables : Variables : Variables :F est un réel F est un réel F est un réelS,i et J sont des entiers naturels S,i et J sont des entiers naturels S,i et J sont des entiers naturels

Début de l’algorithme : Début de l’algorithme : Début de l’algorithme :Pour i variant de 1 à 100 faire S reçoit 0 S reçoit 0S reçoit 0 Pour i variant de 1 à 100 faire J reçoit EntAléat(1,7)J reçoit EntAléat(1,7) J reçoit EntAléat(1,7) Pour i variant de 1 à 100 faire

Si J 6 5 Si J 6 5 Si J 6 5alors S reçoit S + 1 alors S reçoit S + 1 alors S reçoit S + 1Fin du si Fin du si Fin du si

Fin pour Fin pour Fin pourF reçoit S÷ 100 F reçoit S÷ 100 F reçoit S÷ 100Afficher F Afficher F Afficher F

Fin algorithme Fin algorithme Fin algorithme

b. Dans l’algorithme choisi, quel est le rôle de S, i, J et F ?

c. Hugo simule maintenant 500 tirages.Ecrire uniquement les lignes de l algorithme qui ont été modifiées.

d. Vers quelle valeur théorique la fréquence affichée devrait-elle se rapprocher pour un très grandnombre de tirages ?

Exercice 5 4,5 points

Un magasin d’informatique propose des unités de stockage informatique de haut de gamme pouvant conte-nir entre 1 et 10 GigaOctets (Go). Pour chaque unité, on s’intéresse au prix moyen du GigaOctet. Parexemple, une unité de stockage de 2 Go est vendue en moyenne 48 AC, ce qui fait un prix moyen du Go à24 AC. On note x la capacité de stockage (en Go). Le prix moyen (en AC) du Go est relié à x par la formule :

f (x) = −x2 + 12x+ 4 .

1) a. Etablir le tableau de variations de f sur [1;10]. Justifier.

b. En déduire le prix maximum du Go et la capacité de l’unité de stockage pour laquelle il estatteint.

2) Avec la calculatrice, déterminer graphiquement la capacité de stockage telle que le prix moyen duGo soit supérieur à 31 AC.

3) On se propose de retrouver le résultat de la question précédente par le calcul, c’est à dire, de résoudrel’inéquation f (x) > 31.

a. Montrer que −x2 + 12x − 27 = (3− x)(x − 9).

b. Etablir le tableau de signes de (3− x)(x − 9) sur l’intervalle [1;10].

c. Vérifier que résoudre f (x) > 31 revient à résoudre −x2 + 12x − 27 > 0.

d. Conclure

4/4


DEVOIR SURVEILLE No 7Le dernier !

©Exercice 1 4 points

1) Déterminer graphiquement les équations desdroites ci-dessous.

2) Sur le même graphique, tracer les droites sui-vantes :

• (d4) d’équation y = −2x+ 3.

• (d5) passant par A(−5;−2) et de coefficient

directeur32

.

• (d6) d’équation x = 4.

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

0

(d3)(d1)

(d2)

Exercice 2 6 points

Dans un repère orthonormal (O,~ı,~ ) on considère les points A(0;−1) ,B(5;1) et C(5;−2).

1) Faire une figure que l’on complétera au fur et à mesure.

2) Déterminer par le calcul l’équation réduite de la droite (AB).

3) Déterminer par le calcul l’équation réduite de la droite (d) parallèle à (AB) passant par C.

4) Démontrer que le point D(0;−4) appartient à (d).

5) Démontrer qu ABCD est un parallèlogramme.

Exercice 3 4 points

Résoudre le système suivant :

(S){

3x + 4y = −7−5x − 2y = 21

Exercice 4 6 points

Au premier tour de l’élection présidentielle française de mai 2007, parmi les suffrages exprimés, les pro-portions, en pourcentage, pour les candidats ayant obtenu plus de 2 % des suffrages, étaient les suivantes :

Bayrou Besancenot De Villiers Le Pen Royal Sarkozy18,57 4,08 2,23 10,44 25,87 31,18

1) Expliquer pourquoi on ne peut appliquer les résultats des intervalles de fluctuation qu’aux candidatsRoyal et Sarkosy.

2) Pour chacun des candidats Royal et Sarkosy déterminer les intervalles de fluctuation pour un échan-tillon de taille 900.

Cinq mois plus tôt, le 13 décembre 2006, l’institut de sondage BVA faisait paraître un sondage effectuésur un échantillon de 900 personnes dont voici les résultats, en pourcentage, concernant les candidatsprécédemment cités :

Bayrou Besancenot De Villiers Le Pen Royal Sarkozy7 4 2 10 34 32

3) Les résultats du sondage donnent-ils des fréquences appartenant aux intervalles de fluctuation pré-cédents ?

4) Qu’en conclure sur l’échantillon des personnes sondées en rapport avec ces deux candidats ?

Lycée Gustave Eiffel 2deE 2013/2014

Interrogation écrite No 1Exercice 1 Intervalles

Compléter le tableau suivant :

Inégalités vérifiées par x Représentation Notation

−26 x 6 3

[ 2 ; 6 [

2

x 6 −1

−3 2 5 8

−2 < x 6 0 ou 16 x < 4

Exercice 2 Vrai-Faux

Cet exercice est un vrai/faux : il s’agit donc de préciser si chacune des affirmations proposées est vraie oufausse.

1) f est une fonction telle que f (2) = 3.

Questions Réponses

a. 2 est l’image de 3 par f� V

� F

b. 2 a pour image 3 par f� V

� F

c. 2 est un antécédent de 3 par f� V

� F

d. 3 n’admet pas d’antécédent par f� V

� F

2) g est la fonction définie par g(x) = x2 + 2.

Questions Réponses

a. −√2 est solution de l’équationg(x) = 0.

� V

� F

b. 3 est un antécédent de 8 par g� V

� F

c. l’image de −1 par g est 3� V

� F

d. g(

23

)= 10

9� V

� F

Exercice 3 Lectures graphiques

1) Identifier l’intervalle I de définition de la fonc-tion.

2) Déterminer l’image de -3 par la fonction .3) Déterminer f (4).4) Déterminer les antécédents de 2 par f .5) Résoudre f (x) = 0.6) Résoudre f (x) < 2.

Exercice 4 Algorithmique

On considère l’algorithme suivant :

Algorithme:Entrées : Un nombre aTraitement

Ajouter 1Multiplier le résultat par 2Soustraire 3

FinSorties : Afficher le résultat

1) Appliquer cet algorithme lorsque a est égal à 3, -4, 0 et 13 .

2) On note f (a) le résultat affiché à la sortie de l’algorihme. On ob-tient ainsi une fonction f .Déterminer f (a).

3) Trouver le nombre a pour que l’algorithme affiche le nombre 0.

4) De même pour que l’algorithme affiche -5.

5) Ecrire un algorithme qui en partant du nombre affiché en sortieretrouve le nombre choisi initialement.

Documents

DEVOIRS DE MATHEMATIQUES 2 B - j.herbaut75.free.frj.herbaut75.free.fr/IMG/pdf/devoirs_2de_2013.pdf · On déplace le lampadaire. Écrire un algorithme permettant de savoir si, pour