Projet de Physique P6STPI/P6/2018-013

Déformation d’une poutre ou d’une barre

Étudiants :

Manon BELLETRym KHELIFThomas ARNOLD

Jason POTHINLuc PREVOSTEliès MOUKAIDECHE

Enseignant-responsable du projet :Bernard GLEYSE

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Date de remise du rapport : 18/06/2018

Référence du projet : STPI/P6/2018 – 013

Intitulé du projet : Déformation d’une poutre ou d’une barre

Type de projet : Biblio, modélisation

Objectifs du projet :

Modélisation de la déformation d’une poutre pour les mouvements de flexion et de tor-sion.

Mots-clefs du projet : Flexion, torsion, système continu

INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUÉES DE ROUENDÉPARTEMENT SCIENCES ET TECHNIQUES POUR L’INGÉNIEUR

685 AVENUE DE L’UNIVERSITÉ BP 08- 76801 SAINT-ETIENNE-DU-ROUVRAYTÉL : 33 2 32 95 66 21 - FAX : 33 2 32 95 66 31

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Table des matières

Introduction 4

1 Méthodologie, organisation du travail 5

2 Travail réalisé et résultats 62.1 Torsion d’une poutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.1 Étude de la torsion d’une poutre en système continu . . . . . . . . . . 62.1.2 Mise en équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.3 Recherche de solutions générales à l’équation de D’Alembert . . . . . 72.1.4 Modélisation sur Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Flexion d’une poutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.1 Étude de la flexion d’une poutre en système continu . . . . . . . . . . 92.2.2 Équations aux dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.3 Résolution de l’équation aux dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . 102.2.4 Modélisation avec Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Conclusion et perspectives 15

Bibliographie 16

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Introduction

Dans le cadre de la réalisation d’un projet pour notre EC de P6, nous avons réalisé untravail de groupe sur l’étude de la torsion et de la flexion d’une poutre dans le cas des sys-tèmes continus.

Ce projet nous a donc permis de modéliser ces deux phénomènes. Dans un premier temps,nous avons fait une étude purement théorique et mathématique. Puis, nous avons utilisé unlogiciel de modélisation afin de visualiser les mouvements étudiés.

Ce projet a pour but d’augmenter nos compétences dans de nombreux domaines tels queles mathématiques appliquées, en mécanique des milieux continus, en modélisation sur lelogiciel Maple, mais aussi en gestion de projet et en rédaction de document latex.

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Chapitre 1

Méthodologie, organisation du travail

— Pour assurer le bon déroulement du projet, nous nous sommes divisé le travail endeux partie. Un groupe de trois élèves s’est occupé du mouvement de torsion etl’autre groupe du mouvement de flexion. La réalisation de l’étude du mouvementde torsion étant plus simple que celle du mouvement de flexion, les trois élèves s’oc-cupant de cette partie du projet se sont également chargé de la bibliographie, de lamise en forme du poster et du diaporama pour l’oral final.

— Voici l’organigramme des tâches réalisées avec les étudiants concernés :

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Chapitre 2

Travail réalisé et résultats

Nous utiliseront pour la rédaction les notations suivantes pour les différentes parties :

∗ E : Module de Young ∗ I : Inertie de section∗ ρ : Masse volumique ∗ C : Moment fléchissant∗ S : Section de la poutre ∗ ψ : Pente due à C∗ L : Longueur de la poutre ∗ Text : Force extérieure par unitée de longueur∗ α : Petit angle ∗ a : Facteur de norme∗ T : Effort tranchant ∗ v : Flèche (valeur maximale de déplacement)∗ c : Vitesse de propagation de la déformation

Dans un premier temps, il est intéressant de s’intéresser à la définition d’une poutre.Pour cela, nous nous sommes appuyées sur le cours de P9 : Résistance des matériaux. «Unepoutre est un solide en 3D, dont une longueur est grande devant les deux autres, déformableet soumis à des actions mécaniques (une action mécanique est toute cause susceptible demaintenir un corps au repos, générer un mouvement ou déformer un corps). La structure estdite élancée. Hypothèses sur le matériau : continuité de la matière, homogénéité, isotropie».Pour notre étude, nous considérerons la poutre comme un fil à dans une dimension. Ce fil esten réalité la ligne moyenne de la poutre, somme des centres gravités G de toutes les sectionsdroites S de la poutre.

2.1 Torsion d’une poutre

2.1.1 Étude de la torsion d’une poutre en système continu

Nous sommes trois étudiants de l’INSA à avoir étudié la torsion d’une poutre. Dans cetteétude, nous considérons que la poutre a une section circulaire et qu’elle est homogène surtoute sa longueur.

Pour cela, nous avons d’abord déterminé des conditions limites :

∗ Le matériau est élastique, linéaire et isotrope.∗ Les perturbations sont petites.∗ Les conditions aux limites sont : U(0, t) = 0 et U(L, t) = 0 (La poutre est encastrée à cha-cune de ses extrémités).

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2.1.2 Mise en équationOn pose θ(x, t) l’angle de torsion de la section de la poutre, d’abscisse x à l’instant t.

On applique le théorème du moment cinétique pour un élément de longueur dx, et dans lecas d’une section de poutre constante, nous obtenons l’équation suivante :

δ2θ

δt2= c2 δ

2θ

δx2

Cette équation se nomme l’équation de D’Alembert.

2.1.3 Recherche de solutions générales à l’équation de D’AlembertPour trouver l’équation de notre angle de torsion, nous utilisons la méthode de sépara-

tion des variables. On cherche à définir φ et f tels que θ(x, t) = φ(x)f(t).On remplace dans δ2θ

δt2= c2 δ2θ

δx2et on obtient :

φ(x)δ2f(t)

δt2= c2f(t)

δ2φ(x)

δx2

On divise de chaque côté de l’égalité par f et φ et nous obtenons :

c2

φ(x)

δ2φ(x)

δx2=

1

f(t)

δ2f(t)

δt2= cte = −w2

La fonction de x est égale à la fonction de t, c’est pourquoi nous pouvons affirmer que cesont des constantes. On obtient alors :

δ2f

δt2+ w2f(t) = 0

δ2φ(x)

δx2+w2

c2φ(t) = 0

On résout les équations différentielles et on obtient :

f(t) = A sin(wt) +B cos(wt)

φ(x) = C sin(w

cx) +D cos(

w

cx)

On détermine les constantes grâce aux conditions limites :∗ x = 0 :

θ(0, t) = 0

φ(0)f(t) = 0

On a f 6= 0 d’où φ(0) = 0 donc D = 0.

∗ x = L :θ(L, t) = 0

φ(L)φ(t) = 0

On a f 6= 0 d’où wcx = kπ avec k ∈ Z.

La fréquence est positive donc wn = nπ4c avec n ∈ N.

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D’où φn est définie à une constante multiplicative près égale à sin(n πLx) avec n ∈ N. On

obtient donc cette solution générale (sans prendre en compte les conditions initiales) :

θ(x, t) = Σ∞n=1(Ansin(wnt) +Bncos(wnt))sin(nπ

Lx)

On détermine An et Bn à l’aide des conditions initiales. A t = 0, on a :

Φ(x) = θ(x, 0) = Σ∞n=1Bnsin(nπ

Lx)

En prenant les dérivées termes à termes par rapport à t, on a :

Ψ(x) =δθ

δt(x, 0) = Σ∞n=1wnAnsin(n

π

Lx)

Suite à une résolution des séries de Fourier, on obtient :

An =2

Lwn

ˆ L

0

Ψ(x)sin(nπ

Lx)dx

Bn =2

L

ˆ L

0

Φ(x)sin(nπ

Lx)dx

On prolonge Φ en une fonction continue sur [−L;L] de période 2L.

2.1.4 Modélisation sur Maple

Suite à l’obtention des deux séries du paragraphe précédent, nous pouvons modéliserla torsion d’une poutre (en respectant nos conditions limites et en choisissant les conditionsinitiales) sur le logiciel Maple.

Grâce au programme, nous avons pu tracer différentes courbes. Chacune d’elle corres-pond à un instant t précis du mouvement de torsion. La courbe représentée nous donnealors l’angle de torsion de la poutre en fonction de sa longueur.

Voici le résultat de notre code Maple :

FIGURE 2.1 – Fonction Mapple

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2.2 Flexion d’une poutre

2.2.1 Étude de la flexion d’une poutre en système continuLe but de cette partie consiste à trouver l’équation régissant le mode vibratoire de la

poutre pour le mouvement de flexion.

Dans notre étude, nous considérons que :

∗ Le matériau est élastique, linéaire et isotrope.∗ Les perturbations sont petites.∗ Les conditions initiales sont : U(x, 0) = f et Ux(x, 0) = 0.∗ Les conditions aux limites sont : U(0, t) = 0 et U(L, t) = 0 (encastrée d’un côté, libre del’autre).

2.2.2 Équations aux dérivées partielles

FIGURE 2.2 – Schéma des forces exercées sur la poutre

Pour aborder notre problème, nous appliquons les théorèmes généraux de la dynamique :

PFD :∑

~Fext = m~a

Ce qui nous conduit à :

ρSdxδ2v

δt2= T − T − δT

δx+ Textdx

Le principe d’inertie nous donne :

ρIdxδ2ψ

δt2= −C + C +

C

δxdx− Tdx

En simplifiant ces expressions, nous obtenons :

ρSδ2v

δt2= −δT

δx+ Text

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ρIδ2ψ

δt2=C

δx− T

Nous rappelons les relations classiques de la résistance des matériaux :

∗ δψδx

= CEI

∗ ψ − TaSG

= δvδx

Les termes ρI δ2ψδt2

et TaSG

sont les effets secondaires de la flexion.Le premier effet est l’inertie de rotation, mise en évidence par Rayleigh. Le second est lecisaillement, mis en évidence par Timoshenko.Dans la suite, nous ne prendrons pas en compte ces effets, ni Text. Nous nous placerons doncdans le cas d’une poutre d’Euler-Bernouilli.Ainsi, en substituant dans nos équations, nous obtenons léquation aux dérivées partiellessuivante :

δ2

δx2(EI

δ2v

δx2) + ρS

δ2v

δt2= 0

Ce qui nous donne dans le cadre d’une poutre de section constante :

EIδ4v

δx4+ ρS

δ2v

δt2= 0

2.2.3 Résolution de l’équation aux dérivées partielles

Pour la résolution, nous posons U(x, t) = φ(x) ∗ f(t)Ainsi

EIδ4v

δx4+ ρS

δ2v

δt2= 0

Nous renvoie à :

EIδ4φ(x)f(t)

δx4+ ρS

δ2φ(x)f(t)

δt2= 0

f(t)EIδ4φ(x)

δx4+ φ(x)ρS

δ2f(t)

δt2= 0

EI

φ(x)∗ δ

4φ(x)

δx4= − ρS

f(t)∗ δ

2f(t)

δt2= Constante

On pose constante = ω2

Nous avons alors deux cas possibles :1er cas :

δ2f(t)

δt2+ω2f(t)

ρS= 0

f(t) est de la forme f(t) = Asin(ωt) +Bcos(ωt)On utilise alors les conditions initiales et les conditions aux limites pour trouver les valeursde α et β

2eme cas :δ4φ(x)

δx4− ρS

EIω2φ(x) = 0

f(t) est de la forme f(t) = Csin(βx) +Dcos(βx) + Esinh(βx) + Fcosh(βx)Pour ce 2eme cas on a : (1)φ(0) = 0 ; (2)φ′(0) = 0 ; (3)φ′′(0) = 0 ; (4)φ′′′(0) = 0

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ainsi :(1)

D + F = 0

(2)β(C + E) = 0

(3)β2(−Csin(βl)−Dcos(βl) + Esinh(βl) + Fcosh(βl)) = 0

(4)β3(−Ccos(βl)−Dsin(βl) + Ecosh(βl) + Fsinh(βl)) = 0

On a alors 4 équations à 4 inconnues : C,D,E, F On peut alors écrire :0 1 0 11 0 1 0

−sin(βl) −cos(βl) sinh(βl) cosh(βl)−cos(βl) −sin(βl) cosh(βl) sinh(βl)

∗CDEF

=

0000

On en déduit par combinaison linéaire

φ(x) = D.((cos(βl) + cosh(βl)

sin(βl) + sinh(βl))(sinh(βl)− sin(βl)) + (cos(βl)− cosh(βl))

Nous cherchons alors les valeurs de β pour lesquelles le déterminant s’annule.

det = 0⇔ cos(βl).cosh(βl) + 1 = 0(1)

Il y a donc une infinité de solutions.On pose x = βl⇔ β = x

l. (1)⇔ cos(x).cosh(x) + 1 = 0

On effectue une étude graphique. On trace cos(x)et −1cosh(x)

afin de déterminer les pre-mières solutions. On peut alors approximer U(x, t) = sin(nπx

l) pour n ≥ 2.

FIGURE 2.3 – Affichage des 2 fonctions

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On obtient finalement

xn = βnl

or

β =4

√ρsω2

EI

d’où

βn =4

√ρsω2

n

EI

⇒ βn =√ωn.

4

√ρs

EI

⇒ ωn = β2n

4

√EI

ρs

Les solutions élémentaires deviennent donc :

Un(x, t) = φn(x) ∗ fn(t)

Avecφn(x) = Cn.sin(βnx) +Dncos(βnx) + Ensinh(βnx) + Fncosh(βnx)

fn(x) = Ansin(ωnx) +Bncos(ωnx)

On peut trouver une combinaison entre E et F :

E(cosh(βnl)− cos(βnl)) + F (sinh(βnl)− sin(βnl)) = 0

⇒ En = σnFn

avecσn = −sinh(βnl)− sin(βnl)

cosh(βnl)− cos(βnl)

On pose Xn(x) = Cn[(cosh(βnl)− cos(βnl))− (sinh(βnl)− sin(βnl))] la suite des racines.On obtient alors Xn(x) = Cn.φn(x)

Or U(x, t) =+∞∑n=1

Un(x, t)

Ainsi U(x, t) =+∞∑n=1

φn(x)fn(t) =+∞∑n=1

(A∗nsin(ωnt) +B∗ncos(ωnt)).φ∗n(x)

Avec B∗n(x) = DBn(x) =´ l0 Φ(x).φ∗n(x)dx

φn(x)2dxet A∗n(x) = DAn(x) =

´ l0 φ(x).φ∗n(x)dx

φn(x)2dx

On utilise ensuite les conditions initiales.An = 0 car les vitesses initiales sont nulles étant

donné que la barre est statique⇒ δUδt

(x, o)En = Φ(t) = 0 et ω(x, 0) = φ(x) =+∞∑n=1

Bnφ(x)

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On prend φ1(x) = 1100x2

On obtient finalement :

U(x, t) = B1cos(ω1t)φ1(x) ++∞∑n=2

B∗ncos(wnt).sin(nπx

l)

2.2.4 Modélisation avec MapleAprès avoir obtenu les équations permettant de modéliser la poutre en flexion pure, il

nous faut utiliser un logiciel de calcul formel afin de calculer Bn(x) et de tracer le la courbede f(x, t) et de U(x, t). Nous avons pris comme premier exemple une poutre en béton arméavec les paramètres suivants :∗ E = 224GPa∗ I = 5.3.10−4N.m−1

∗ ρ = 2400Kg.m−3

∗ S = 4.0 ∗ 10−4m2

∗ L = 1.6mNous avons obtenus les courbes partielles suivantes :

FIGURE 2.4 – f, S0...S9

Finalement, notre fonction u finale est :

FIGURE 2.5 – f, S

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Comme second exemple, nous avons choisis une poutre en bois avec les paramètres sui-vants :∗ E = 12000e6GPa∗ I = 2.13N.m−1

∗ ρ = 650Kg.m−3

∗ S = 4.0 ∗ 10−1m2

∗ L = 4mNous avons obtenus les courbes partielles suivantes :

FIGURE 2.6 – f, S0...S9

Finalement, notre fonction u finale est :

FIGURE 2.7 – f, S

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Conclusion et perspectives

Durant ce projet, nous avons réussi à modéliser deux mouvements : la torsion et la flexiond’une poutre, dans une étude à une dimension.

Ce projet nous a permis d’augmenter nos compétences en mathématiques, pour la réso-lution d’équations différentielles d’ordre 2 et 4 et pour l’utilisation des séries de Fourierpour trouver les solutions de l’équation de D’Alembert. Nous avons également progresséen mécanique des milieux continus grâce à l’étude de deux mouvements différents appli-qués, pour notre étude, à la poutre. Nous avons également été initiés au logiciel Maple etnous avons progressé sur la rédaction des compte-rendus avec latex.

Nous pensons qu’une bonne perspective pour continuer l’étude des mouvements d’unepoutre serait de réaliser les calculs et la modélisation en dimension 2.

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Bibliographie

[1] PIERRE AGATI, FRÉDÉRIC LEROUGE ET MARC ROSSETTO, Résistance des matériaux, DU-NOD, 2004.

[2] THÉORIE DES POUTRES, :https://fr.wikibooks.org/wiki/La_th%C3%A9orie_des_poutres/Hypoth%C3%A8ses_sur_le_mat%C3%A9riau

[3] THÉORIE DES POUTRES 2, https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_poutres

[4] MODULE DE YOUNG, https://fr.wikipedia.org/wiki/Module_de_Young

[5] MÉTHODE DE OBERST, https://fr.wikipedia.org/wiki/Methode_de_Oberst

[6] FLEXION, https://fr.wikipedia.org/wiki/Flexion_(mat%C3%A9riau)

[7] MOMENT QUADRATIQUE, http://mdevmd.accesmad.org/mediatek/pluginfile.php/3757/mod_resource/content/1/02%20Moment%20quadratique%20d.html

[8] DÉFORMATION ÉLASTIQUE, https://fr.wikipedia.org/wikiDeformation_elastique#Limite_d’elasticite

[9] TORSION, http://pipac.free.fr/torsionc.pdf

[10] ISOTROPE, https://my-definitions.com/fr/definition/isotrope

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