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DGPad - Un enfoque táctil específico de geometría dinámica en tabletas

Extrait du Les nouvelles technologies pour l'enseignement des mathématiques

http://revue.sesamath.net/spip.php?article529

DGPad - Un enfoque táctil

específico de geometría

dinámica en tabletas- N°36 - septembre 2013 -

Date de mise en ligne : dimanche 30 juin 2013

Description :Version espagnole de l'article 509 sur la prise en main de DGPad. Traduction Martin Acosta (Bogota).

Les nouvelles technologies pour l'enseignement des mathématiques

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La revolución táctil, recién nacida, aún está en sus primeros pasos. Sin embargo, esosprimeros logros tienen ya hermosas perlas. Como el caso de DGPad para la geometríadinámica. Un sobrevuelo de esta aplicación que por el momento es una webApp.

Actualización Julio 2013 Ahora en Android el navegador estándar puede usarse de manera eficaz para DGPad. Puede utilizarse Chrome o Firefox, aunque este último es menos rápido para el JavaScript.

Introducción

Varios software comienzan a trabajar la geometría dinámica (GD) en las tabletas táctiles y algunos exploran lasnuevas potencialidades de las interfaces táctiles.

Algunos parten de lo conocido, como Dr Geo que fué el primer software de GD para iPad, en particular porque sucódigo podía transferirse fácilmente. Pero precisamete, sólo es una transferencia, sin tener en cuenta el enfoquetáctil. Por el contrario, tiene muchos botones para hacer clic. GeoGebraWeb Parece también asumir el camino de latransferencia de código pues GGW tiene el mismo código del applet GGB puesto que el código se carga en el cachecada vez que se compila GGB. Por el momento GGW está en desarrollo, pero ya permite exportar en HTML5 unafigura GGB.

Otros software utilizan un motor ya conocido por su solidez y eficacia, y trabajan la interfaz táctil con originalidad. Esel caso deSketchometry, construido sobe el motor de JSXGraph y cuyos autores han implementado unamanipulación directa "del lado de los gestos" para construir objetos matemáticos, explorando los "gestures"pertienentes para construir una perpendicular, un ángulo recto, o un punto medio.

Otros han decidido abordar los nuevos medios con una mirada nueva y decidieron volver a escribir todo, código einterface. Este parece ser el caso de Geometry Designer, que tenía en sus primeras versiones una interfaz bastante"minitel" y luego ha progresado adoptando una rueda de herramientas como la de los iPad.

DGPad hace parte de esta última categoría. Su autor, Eric Hakenholz, decidió reprogramar todo, intentando notransponer lo conocido, sino reinventar para el nuevo medio. Por supuesto, tampoco parte de la nada. Sabemos queprogramó CaRMetal durante 5 años, y en particular sus CaRScripts en 2009, su primera internalización de lasrelaciones entre el JavaScript y un software de geometría dinámica.

Primera y segunda internalizaciones - un paraleloaudaz

Cada quien tiene sus propies representaciones de las herramientas y conceptos que manipula, construidas por lasprácticas y por analogías surgidas de la historia cultural propia, primero colectiva, luego individual.


http://revue.sesamath.net/https://sites.google.com/site/drgeogeometer/

http://revue.sesamath.net/https://dev.geogebra.org/trac/wiki/GeoGebraWeb

http://sketchometry.org/

http://jsxgraph.uni-bayreuth.de/wp/examples/


http://www.mctavishsolutions.com/geometry-designer/

http://www.dgpad.net

http://db-maths.nuxit.net/CaRMetal/

http://www.reunion.iufm.fr/recherche/irem/spip.php?article375



En cuanto a la cultura colectiva, sabemos que algo nuevo había nacido cuando supimos describir, luego construir,una máquina que sabía procesar las informaciones que recibía, más precisamente, cuando un mismo lenguajepodía recibir y procesar los datos. Se habla en general de informática (aunque los especialistas tengan matices queaportar al tema).

En la versión individual, menos compartida, yo hablaría del enfoque axiomático de la geometría. Klein definía lageometría como un grupo que deja invariante un conjunto. Luego, generalizando, para obtener una axiomática quecontuviera las tres geometrías planas fundamentales, Bachman supo construir una segunda axiomatización de lageometría euclidiana para llegar a un enfoque últimno sobre la problemática de Klein : con Bachmann se trata deestudiar un subgrupo particular de un grupo dado.

En el primer ejemplo, algo nació cuando se pudo fusionar el procesamiento y los datos. En el segundo, se alcanzóuna nueva teoría, cuando la acción se convirtió en un elemento sobre el cual actuar.

¿Cuál es la relación con DGPad ?

Los CaRScripts de CaRMetal, tal como fueron concebidos, son acciones sobre un soporte dinámico, rico por suinterpretación matemática de los comandos : el software de geometría mismo. En ese sentido es una "primerainternalización" pues el JavaScript se incrusta profundamente con los datos de la figura (los famosos x_m, y_mpara quienes lo han utilizado). Yo haría un paralelo con la problemática de Klein : disponemos de un lenguaje queactúa sobre un software. Con logros espectaculares sobre la extensión del micromundo que puede alcanzarse de lageometría dinámica como la panoplia duel mini futbolista de Pierre Marc Mazat, o las contribuciones más modestasque aparecieron en el sitio IREM de La Réunion por ejemplo.

Una segunda internalización sería una situación a la Bachmann - o a la Turing - si el procesamiento pudiera ser dela misma especie que lo procesado. Es precisamente lo que hizo Eric : DGPad es, entre otros, una segundainternalización de JavaScript en la geometría dinámica, pues tanto el procesamiento como los datos procesados sonarchivos javascript.

Esto abre posibilidades inimaginables. Tanto que algunas funcionalidades no han sido implementadas aún en laprimera versión que presentamos aquí, para tomar tiempo y distancia de la interface que se propondrá.

Al menos conceptualmente - aunque no se haya puesto por obra en la implementación actual - DGPad es a la vezun logro, una expresión nueva, de lo que pudo ser el proyecto inicial de la geometría dinámica.

En esencia, construido de la misma manera, Sketchometry tiene el mismo potencial, pero parece que los autores nose han preocupado - por el momento- por esta opción. Por ejemplo en las presentaciones de video de Sketchometry,los autores dicen que la recta de Euler es una figura relativamente compleja para el software. Definitivamente,DGPad está hecho para nuevos horizontes : dos semanas después de su publicación en línea, pudimos realizar -con un software que aún no tiene números ni expresiones algebraicas - un teselado hiperbólico de generación 2, conmás de 3100 objetos.

ver una copia de pantalla con esta figura y sus objetosocultos


http://www.reunion.iufm.fr/recherche/irem/spip.php?article95

http://www.reunion.iufm.fr/recherche/irem/spip.php?article494#pbach


http://www.reunion.iufm.fr/recherche/irem/spip.php?page=recherche&recherche=CarScripts

http://revue.sesamath.net/javascript:;




La figura es manipulable en el artículo - a dedo en tabletas - en la pestaña Galería Hiperbólica.




Estructura del artículo

Decidimos incluir un número importante de figuras, algunas bastante pesadas. Como tienen formato de texto en elinterior del artículo SPIP, fue necesario cortar el artículo en dos partes :

Parte 1 : reflexión sobre la transferencia de soporte, introducción del software y realizaciones geométricas.

Parte 2 : consagrada a los scripts, concierne sobretodo a los profesores de grados superiores que pueden quererutilizar ese soporte para practicar la algoritmia, o para proyectos ISN : el JavaScript, por su interacción con HTML 5no solo es perenne, sino que es un lenguaje muy útil.

Las figuras en línea en el texto del artículo necesitan lanzar DGPad por medio de un botón. Veremos en detalle, enla pestaña Interfaz de DGPad por qué esa decisión de botón para abrir las figuras fue necesaria en este artículo.

Presentación de la primera parte

Dans la barre d'onglets suivante on trouvera successivement

1. Sketchometry y DGPad : presentación general y análisis de las decisiones de los dos software 2. La problemática de lo táctil : tocar no es lo mismo que hacer clic. Trazado a dedo y paletas contextuales 3. Interfaz de DGPad : otras herramientas 4. Las macros de DGPad 5. La noción de micromundo : en general. En DGPad. 6. Galería 1 (círculos cónicas baricentros) 7. Galería 2 (hyperbólica, teselado)

La realización de scripts se presenta en esta segunda parte

Sketchometry y DGPad

Sketchometry y DGPad

Comencemos con una comparación entre esos dos software escritos en JavaScript, Sketchometry y DGPad, desdeel punto de vista de la interfaz y de las decisiones táctiles.

Ambos tienen en común tomar en cuenta la dimensión táctil del nuevo medio constituido por las tabletas aunquesiguen funcionando en computador.

Las decisiones de interfaz hechas por los desarrolladores tienen muchas consecuencias en el marco de unautilización escolar. La pregunta fundamental es la geometría del gesto que se quiere construir. ¿Qué





representaciones de las propiedades geométricas se desea favorecer ?¿Para qué tipo de conceptualización ? Todoestá por construir y por inventar.

Para la construcción de objetos geométricos, los dos software son originales y creativos en la relación con lo táctil.No obstante presentan enfoques fundamentalmente diferentes que tendrán influencia sobre las posibilidadesefectivas de realización y por lo tanto también a los usuarios finales en clase.

Antes de lo táctil

Retomemos muy rápidamente el estado del arte en la materia. Existen dos enfoques principales para la creacón deobjetos (o la aplicación de macro-construcciones) :

" La propuesta por Cabri, e imitada por la mayoría de software GD como GeoGebra : al usar una herramienta decreación el objeto aparece antes de terminar de definirlo. Desde un punto de vista didáctico esto tiene en cuenta losconocimientos del usuario sobre lo que está haciendo. Por el contrario, en las construcciones, deben señalarsetodas las premisas antes de que aparezca el objeto : la mediatriz de dos puntos no aparece si no se han señaladolos dos puntos que la definen, mientras que la creación de un círculo de centro O que pase por A hace aparecer elcírculo y sigue el movimiento del ratón antes de que el usuario haga clic para señalar el punto A. Geogebra haevolucionado sobre este punto en las últimas versiones, por lo menos en algunos items, a causa del proyectoGGBPrim... y tal vez a causa de CaRMetal.

" La propuesta de CaR (que fue heredada por CaRMetal) : en una construcción - cuando es posible - se define unpunto como último parámetro y la construcción se anticipa hasta designar ese punto ; incluso al nombrarautomáticamente los puntos o en la macro-construcciones complejas.

Ya analizamos aquí (página 174) por qué la decisión de no ordenar las premisas (*) fue vivida como un progreso dela interacción directa pues no restringe las decisiones de los alumnos, al contrario de las primeras versiones deCabri. Este "progreso" condujo a que toda una generación de formadores y de alumnos pasara por alto laconstrucción anticipada de objetos, a pesar de que es fuente de visualización de esquemas y por lo tanto fuente deconceptualización más grande de lo que se anticipa.

(*) Para construir una perpendicular a una recta que pase por un punto es posible mostrar primero el punto o la rectapuesto que no hay un orden matemático - aunque se diga perpendicular a la recta r que pasa por el punto P. Elorden obligatorio de las premisas fue vivido como una restricción informática que era necesario eliminar.

DGPad tratará de seguir ese comportamiento ofreciendo la anticipación de las construcciones de sus objetosmientras que Sketchometry seguirá el otro camino, con la voluntad de superar esa ambigüedad sutil entre creación yconstrucción de objetos.

Algunos gestos comunes o cercanos

Primero que todo señalemos que DGPad debe colocarse en modo trazado (2° icono de la línea de comandos) parainterpretar el trazado a dedo, así como Sketchometry debe estar en modo construcción. Por su parte, Sketchometrydebe estar en modo "construcción".


http://www.reunion.iufm.fr/Recherche/Expressions/35/Martin.pdf



Le choix des mots a du sens : si DGPad a un mode "trait", on peut penser qu'il ne va pas reconnaitre des courbes (lecercle) alors que Sketchometry propose la reconnaissance de cercle, d'où la désignation plus générale de son mode"construction".

Reconocimiento del trazado de rectas

El trazado de "líneas rectas" en general es bastante parecido y muestra, en los dos casos, un hermosa forma deinteracción directa. Aquí hay cinco copias de pantalla (reducidas) ; primero dos de DGPad, luego dos deSketchometry y una de DGPad.

Comentario sobre estos pantallazos :

" El retorno textual de Sketchometry, en una ventana exclusiva : permite al usuario saber cómo interpreta el softwaresu gesto. En últimas, la designación del objeto valida la acción y por lo tanto la conceptualización : se obtiene unaconceptualización por designación. Nótese, por el contrario, la confirmación visual de los elementos de construcciónde una recta.




" La decisión deliberada de DGPad de no tener referencia textual, sino por el contrario una anticipación gráfica. ParaDGPad la visualización del objeto matemático es a la vez confirmación de la interpretación de la acción y de laconceptualización del gesto que se está realizando.

En los dos casos puede verse la anticipación sutil : mientras la recta no pase explícitamente por los dos puntospuede cambiar en todo momento.

Referencia a un gran precursor de muchas vocaciones en geometría dinámica : en el retorno gráfico de DGPad,los lectores más asiduos de MathémaTICE pueden identificar una "cultura Cabri" del autor del software. En efecto, Jean Marie Laborde - fundador del proyecto Cabri-géomètre - explicaba siempre en sus presentaciones la sutilezaergonómica - y "euclidiana" - que consiste en no construir la recta en toda la pantalla sino sólo una porción del planoeuclidiano como cuando se trabaja sobre el papel : didácticamente, estamos en el micro espacio del gestoefectuado, que es una actitud que respeta el estado de espíritu del alumno en el momento de su manipulación (enlugar de conceptualizar demasiado rápido si se traza la recta 'entera' durante el desplazamiento del ratón). Aunqueya no usamos con frecuencia Cabri, tenemos presentes las enseñanzas del maestro...

En los dos software la recta "entera" queda construida al soltar el ratón, y en los dos, la anticipación de una recta setransforma inmediatamente en semirrecta si el gesto se detiene en uno de los puntos (ilustración 5).

Pero fuera de los gestos sobre los movimientos primordiales como estos - existen las intersecciones "por caricia" - larelación con lo táctil será diferente en los dos software.

Sketchometry : ¿el gesto conceptualizante ?

La decisión de Sketchometry queda, principalmente pero no únicamente, del lado de lo perceptivo en el sentido queel usuario debe reproducir kinestésicamente un gesto en relación con una definición o una propiedad del objeto quedesea contruir, por ejemplo la perpendicularidad o el paralelismo :

Para la perpendicularidad, el primer trazo puede pasar por un punto, y construir entonces la perpendicular a la rectaque pasa por ese punto. Podemos hacer la hipótesis de trabajo que al usarlo ese gesto participa en laconceptualización de la perpendicularidad.

La selección del gesto para el paralelismo seguramente es menos universal. Puede ser signo, bien sea de unarelación precoz a los ángulos en Alemania, bien sea de un nivel de enseñanza privilegiado.


http://fr.wikipedia.org/wiki/Jean-Marie_Laborde

http://fr.wikipedia.org/wiki/Cabri_G%C3%A9om%C3%A8tre



En efecto, el gesto producido recuerda los ángulos alternos internos iguales, que en Francia sólo se conceptualizasólo en grado 7°. Ese gesto no tendría sentido para los niños del tercer ciclo de primaria mientras que la dobleortogonalidad - que no es más difícil de reproducir - habría sido un gesto conceptualizador de las relaciones entreortogonalidad y paralelismo desde muy temprano, aprovechable incluso desde un punto de vista argumentativodesde el 6° grado.

Otros gestos propuestos, aunque parecen recordar una propiedad, su relación con ella es bastante lejana. Es elcaso del punto medio y de la bisectriz :

En los dos casos el bucle simboliza una simetría. Es central si es redondo - y se aplica a puntos, es axial cuandoes alargado - y se aplica a rectas. En los dos casos, los objetos deben haberse construido previamente, no hayconstrucción sobre la marcha, por ejemplo del punto medio de un punto ya construido y otro punto por construir.

Esa selección de gestos podría parecer arbitraria, pero posiblemente no, y eso podría estar relacionado con lacultura alemana : en Bachmann, en geometría absoluta, Mittlepunkt (centro) significa a la vez punto medio y "puntobisector" en un contexto particular que sería muy largo recordar aquí. Por eso esa proximidad de gestos puederecordar cierta proximidad conceptual.

Vemos aparecer una dificultad en este método "totalmente gesto" pues a veces hay que aprender a hacercorrectamente gestos que perceptivamente son lejanos del concepto matemático inicial. La conceptualizaciónprobablemente funcionará - puede ser una hipótesis inicial de trabajo para concebir las primeras actividades enclase - con gestos que tienen relación directa con la percepción de los objetos implicados. No es nada seguro quefuncione en otros gestos. Sería interesante estudiar las representaciones engendradas por esos nuevos esquemasde acción.

Los límites didácticos del reconocimiento del gesto

Por supuesto existen otros gestos, por ejemplo para el círculo, aunque hay que mirar el retorno de texto para sabersi construir un círculo o un cuadrilátero : la diferencia entre cuadrilátero y círculo necesita un poco de práctica.




Desde un punto de vista informático, esos ejemplos de pre-círculo y pre-cuadrilátero ilustran la calidad del




reconocimiento del gesto : en el círculo sólo hay un gesto anguloso, en el cuadrilátero el software parece identificardos. El reconocimiento podría considerarse pertienente pues en un gesto rápido, un niño no debería hacer mas deun gesto anguloso. Sin embargo no es fácil decidir lo que es un gesto rápido.

Desde un punto de vista didáctico, esos ejemplos ilustran algo totalmente diferente. Relativizan las capacidadesde reconocimiento informático del gesto como herramienta que participa en la conceptualización de los objetosmatemáticos. El software ya no es una ayuda para la conceptualización de los objetos, sino una herramienta cuyasinterpretaciones hay que aprender para poder utilizarla. Esto no es lo que espera la comunidad educativa de laevolución de la geometría dinámica.

Si se decide reconocer los círculos, la programación del procedimiento de reconocimiento se enfrenta no solo alproblema de la clasificación de formas, según los micro-gestos efectuados, sino también a la representación quetienen los alumnos de los objetos en juego...

Es parecido al dilema de una profesora de preescolar o primero que para enseñar la escritura cursiva debe decidirvalidar algo que está entre una d y una a, o entre una u y una v : pero ella tiene por lo menos la interacción delenguaje para comentar su decisión. Es lo que el software trata de hacer - de manera inteligente - con la retroaccióntextual en tiempo real.

En todo caso, si el alumno que quiere hacer un círculo mientras realiza el gesto debe verificar la interpretación delsoftware en tiempo real, ya no se trata de una actividad matemática.

Para evitar esta situación - que debe consumir mucha energía - DGPad decidió limitar el reconocimiento a las rectasy no a los círculos.

Ver los pantallazos








Sketchometry : sus innovaciones

Dentro de las otras innovaciones mencionaremos un multitacto de verdad con dos dedos sobre una recta,construida con o sin puntos (imagen izquierda). En el momento en que escribo este artículo, Sketchometry pareceser el único software con un multitacto de verdad en tableta (fuera del zoom clásico)

Para ciertas herramientas, pueden recuperarse datos con un toque largo, por ejemplo para copiar la longitud de unsegmento o el radio de un círculo (imagen central). Esa parece ser también una innovación que podría serreproducida rápidamente en otros software.




La interfaz táctil abre la posibilidad de reinventar la manipulación de los objetos en particular superando la tipologíaantigua sobre la distinción entre creación y construcción. Es también el caso de una variante del gesto deperpendicularidad adaptado a la tangente a un círculo en un punto del círculo (imagen derecha).

¿Qué camino hacia la conceptualización de losobjetos geométricos ?

Con esa mirada táctil sobre la geometría dinámica, Sketchometry propone una nueva forma de concebir la manerade acompañar a los alumnos desde sus prácticas perceptivas, aprovechándolas de manera kinestésica ("a dedo")para su conceptualización de los objetos (final de la educación básica).

Como el software reconoce las formas y las transforma - trazo más o menos rectilíneo transformado en recta, "bola"transformada en círculo - esta geometría acompañará el paso de lo perceptivo a las figuras ideales de la geometríade manera diferente a la seguida hasta ahora con geometría dinámica.

Dos preguntas para los formadores :

a) la pregunta de la génesis instrumental. ¿Cómo aprenderán los alumnos a usar la interfaz ?

En efecto, como vimos para el punto medio o el círculo, aún en figuras simples se necesita una cierta destreza paraconstruir los objetos : ¿los alumnos acostumbrados a las pantallas desarrollarán una "destreza táctil" más eficaz quela de la "manipulación de herramientas" del entorno de papel y lápiz ? ¿La manipulación será finalmente máscompleja ?

b) la pregunta del abandono de lo perceptivo. En efecto, con el dedo hay que reproducir un dibujo querepresenta la perpendicularidad o simboliza el paralelismo. Y aunque el software responde con una construcción degeometría dinámica, la interfaz parece encasillar al alumno, por repetición del gesto, en su representación de dibujogeométrico, pues el objeto se crea haciendo un dibujo en la pantalla.

Solo la experimentación en clase, en diferentes niveles, permitirá estudiar de manera precisa esas preguntas.

DGPad : el gesto conceptualizado

La filosofía de DGPad es muy diferente. Vimos que hay gestos primordiales para las líneas rectas y los polígonos,




pero para lo demás se decidió permanecer en un registro más matematizado, con paletas de herramientascontextuales.

De hecho, el modo estándar del software no contiene el dibujo a dedo de las figuras de base ; hay que activar unmodo específico. Para el conceptor, eso evita interacciones desafortunadas entre un trabajo de construcción ytriángulos que se construyen automáticamente porque hay un dedo sobre la pantalla. En realidad esta separación serealizó despues de varias sesiones de utilización en clase, un mes después del lanzamiento oficial del software.

Estas son las cuatro paletas contextuales asociadas respectivamente a un punto, una recta, un círculo y unsegmento (aquí reducida)

Ver las paletas en tamaño real





Hay 14 herramientas asociadas a un punto (en algunos casos 15). A diferencia de Sketchometry (versión 0.2.26),todos los puntos que forman un objeto pueden construirse sobre la marcha : ya sea un punto medio, un circuncírculoo un polígono cualquiera, pueden construirse a partir de un primer punto en la pantalla.

Nótese que los íconos adoptan un código de color riguroso - que no se usaba en CaRMetal : las premisas de losobjetos en gris claro, el objeto construido en blanco. Para la herramienta "punto medio", hay un icono específicoporque pueden señalarse dos puntos o un segmento. Así se evita que la única diferencia con la herramienta"simetría central" sea el color.

Los otros tres objetos de base pueden aceptar un punto sobre objeto. El segmento tiene dos herramientasdisponibles más que la recta : el punto medio y la mediatriz.

Por su puesto, hay un gesto particular para utilizar esas herramientas de tres o más puntos, y sólo hay que aprenderun gesto. Lo examinaremos en la pestaña de presentación de la interfaz de DGPad.

A diferencia del análisis propuesto para el uso de Sketchometry, ese gesto no constituye una conceptualización delos objetos, que ya están conceptualizados, en el sentido que ya se seleccionó un objeto matemático que se quiereconstruir. La conceptualización del gesto está en otra parte.

DGPad : ¿otra forma de conceptualización ?

Una de las particularidades de las herramientas de DGPad es su anticipación de las construcciones, como lo haceCaRMetal. En el marco de una utilización táctil esta anticipación puede ser interpretada como un control de la accióndel usuario, inmediato y directo, sin pasar por el registro textual.

Pero como lo analizamos antes, esta anticipación, sistemática en todas las herramientas, contribuye a otra cosa.Acompaña la conceptualización de las propiedades de los objetos : cuando se desplaza el dedo, si se tieneseleccionada la herramienta recta perpendicular, la perpendicular pre-construida sigue el movimiento, y el usuario vetodas esas rectas perpendiculares a la primera y paralelas entre ellas. Igualmente, si después se selecciona unaperpendicular a la primera recta, esta perpendicular aparece paralela a la otra perpendicular. La anticipación de lasherramientas deja ver no el objeto ideal matemático que se está construyendo, sino las propiedades geométricas delos objetos.




Ilustración en modo proyección : el disco amarillo permite seguiren el videoproyector dónde está el dedo del manipulador sobre la tableta

" Ilustración 1 : perpendicular a la recta inicial. La anticipación permite ver - eventualmente verbalizar - propiedadessobre "perpendicular" o "paralela". " Ilustración 2 : la perpendicular está trazada, se va a seleccionar otra herramienta a partir de la recta inicial(describiremos las otras herramientas en la pestaña "interfaz de DGPad"). " Ilustración 3 : se seleccionó paralela, y pueden visualizarse propiedades que pueden hacerse verbalizarcolectivamente..

En los casos simples (una perpendicular a una recta, por ejemplo), esta anticipación puede contribuir a laconceptualización de las propiedades de los objetos (aquí las perpendiculares a una misma recta son paralelasentre ellas).

En casos más complejos como el anterior lo que se percibe no conduce necesariamente a una conceptualizaciónindividual, pero puede ser descrito durante el movimiento antes de la construcción final, y hacer emerger así tomasde conciencia del pensamiento hipotético-deductivo.

La conceptualización permitida por la anticipación de las construcciones no se hace sobre el objeto matemático ensí, sino sobre las propiedades subyacentes, en general en relación con otro objeto geométrico.

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++++ El tacto DGPad

Del clic del ratón al tocar la pantalla

Para comprender mejor las decisiones del autor sobre la interfaz del software, comencemos con una reflexiónpreliminar sobre la diferencia entre el uso del ratón y el tocar la pantalla. Hay por lo menos dos puntos de vista, eldel usuario final y el del conceptor.

Para el usuario

A pesar de ser conciente de y saber intelectualmente que la experiencia como usuario de la geometría dinámica entabletas táctiles es diferente de la GD en computador, antes de haber tocado una tableta y un software reactivo, nose sabe exactamente como se experimentará esa diferencia. Podemos imaginar la dificultad de los alumnos en lainstrumentalización, por ejemplo saber que hay que dejar el dedo sobre la pantalla para continuar el segmento.

Luego vienen las primeras construcciones. Sin darse cuenta realmente, adquieren de cierta manera un aspectomágico, nos sentimos como un pájaro picoteando un grano : seleccionamos con los ojos el punto sobre el quequeremos actuar, y colocamos el dedo encima, como un pájaro que se posa donde identificó una actividadinteresante.

Al mismo tiempo, la indicación con el ratón parece pasada de moda. Como si antes hubiéramos estado en Flatland,que para ir de un punto a otro había que recorrer las distancias en la pantalla, y que de pronto - como en las


http://revue.sesamath.net/#orga

http://fr.wikipedia.org/wiki/Flatland

http://www.youtube.com/watch?v=BWyTxCsIXE4



películas sobre Flatland pudiéramos ver la situación desde más arriba, que ya no hay camino plano, sino unageodésica en 3D para ir al punto buscado.

Por supuesto esto sólo es válido para el primer punto de un objeto, pero se repite en cada nueva construcción. Esevidente que con el ratón uno también mira el punto sobre el que va a actuar, y el ratón va, casi de maneraautónoma por lo acostumbrados que estamos a esa interfaz, y sin embargo la experiencia de usuario cambiasutilmente, pues es más íntima con relación a la figura cuando el dedo va al punto identificado por el ojo, ya nopasamos por un punto externo, el puntero es parte de nosotros mismos y por eso esa sensación de proximidad...

Puede verse la diferencia con la estrategia de Sketchometry que privilegia lo kinestésico y por lo tanto el camino enla pantalla, pues es el camino del dedo que permite al software reconocer la acción que quiere hacerse : ¿uncuadrilátero ?, ¿un círculo ? y hay que controlar la interpretación del software. Incluso construir los puntos medios deuna figura ya comenzada puede ser delicado porque pasar cerca de un objeto es interpretado como una informacióncognitiva por el software, cuando en realidad habíamos "extraído una figura simple de una figura comopleja" - segúnun objetivo escolar muy conocido - para realizar nuestro gesto

Por supuesto no todo es tan ideal en lo "puro táctil". El dedo puede molestar la vista, impidiendo el control de laacción, mientras que el cursor del ratón no se superpone a nada. Pero la experiencia de usuario es muy diferente.

Para el conceptor

El enfoque es totalmente diferente. La interfaz táctil es una interfaz de discontinuidad de la relación con la pantalladel usuario mientras que el ratón es un puntero contínuo sobre la pantalla : incluso cuando el usuario suelta el ratón,el sistema conserva las coordenadas del puntero cuando se retoma el mismo. Por el contrario, el usuario de unatableta toca la pantalla, desplaza el dedo, y suelta la pantalla (TouchStart, TouchMove, TouchEnd) y en esemomento, el conceptor no tiene ninguna posibilidad de saber donde tocará de nuevo la pantalla. En la relaciónhombre-máquina de la interfaz de un software, el paso del computador y su puntero ratón a la tableta y su punterodedo es de alguna manera el paso de la continuidad a la discontinuidad.

En CaRMetal, una de las primeras características es probablemente la anticipación de todas las construcciones deobjeto, entonces para su autor, el primer objetivo es reproducir en tableta esta anticipación de las construcciones, yen particular de las construcciones sobre la marcha de puntos como objetos finales de las construcciones. En unsoftware GD asociado a un ratón, un punto sobre la marcha se crea al soltar el ratón ("OnMouseUp"). El equivalenteen tableta es crear un punto al suspender el contacto con la tableta ("TouchEnd").

Surge entonces un problema para los objetos que tienen tres premisas (circuncírculo, ángulo, arco, bisectriz) : hayque mantener el hilo conductor aunque el usuario rompa el contacto con la tableta para señalar la creación o laselección del segundo objeto. Con el ratón la situación es contínua,pues la posición del puntero se conoce. En latableta la información proveniente del usuario se interrumpe, produciendo una ruptura, y hay que encontrar unainterfaz que restablezca rápidamente la continuidad de la construcción anticipada..

De esta reflexión nació la interfaz de DGPad, y en particular el modo de funcionamiento de las paletas contextuales.

las decisiones de DGPad

Para fijar las ideas, tomemos el caso de un circuncírculo, con tres puntos preconstruídos, aunque no sea necesario


http://www.youtube.com/watch?v=BWyTxCsIXE4



(pero más claro para los pantallazos que presentaremos).

La herramienta circuncírculo se selecciona a partir de un primer punto y el usuario desliza su dedo hacia un segundopunto, reconocido por rollover, que aparece subrayado grueso (para que sea visto bajo el dedo) ; el usuario debeseñalar que desea utilizar ese punto como segundo punto del circuncírculo. Si el punto no había sido creado, seríanecesario poder señalar que allí donde está el dedo deseamos construir un segundo punto. Entonces hay queromper el modo de contacto con la tableta.

A priori, habíados opciones posiblesen ese momento de la concepción de la interfaz del software para romper esemodo "contacto con un dedo".

" Fevorecer, en la manipulación directa, un modo elemental, de fácil acceso para todos los alumnos, incluso losmás jóvenes, es decir favorecer el modo "mono dedo" y por lo tanto ruptura del contacto con un dedo que seconvierte en "no hay contacto". " Una posición audaz, utilizar, en los gestos más simples, las posibilidades multitáctiles y romper el contactocon un dedo añadiendo un segundo dedo.

El segundo punto, en todo caso para usuarios regulares, parecería elegante, pero Eric Hakenholz decidió ser menosaudaz y se contentó con la decisión de muchos software en este momento : reservar lo multitáctil para tareas muyestándar de interfaz general. Técnicamente, no es una solución fácil, ya que hace necesario concebir un método transparente para el usuario deconservar el estado de la figura que se está construyendo después de un touchend.

El análisis de esta decisión - hecho en un intercambio de correos electrónicos - se basa en varios argumentos :

" Conservar una cierta simplicidad : a parte de algunos juegos, los software para tableta son esencialmentemono-dedo para los usos específicos, fuera de elementos de traslación, homotecia y rotación (en los software dedibujo en particular). " Además,en esos casos, la utilización de dos dedos es esencialmente una utilización sincrónica : los dedos semueven en el mismo sentido o giran alrededor de un punto. Introducir un segundo dedo para simular un clic derechosería una utilización no sincrónica desconocida. " La actividad multitáctil asincrónica no es compatible con una utilización ultraportátil de la tableta, en la que unosostiene la tableta con una mano y manipula con la otra, que es un uso muy común fuera del ambiente escolar. " DGPad es utilizado por públicos muy variados y en situaciones muy diversas, en particular fuera de la clase, y porlo tanto en situaciones de ultraportabilidad : es preferible que la interfaz sea lo más simple posible, privilegiando lasactitudes más elementales.

Después de todo, nos contamos entre la primera generación de usuarios de tabletas táctiles : hay que construir einstalar una práctica regular antes de hacerla evolucionar : las primeras hojas de cálculo, incluso profesionales, notenían nada que ver con lo que conocemos hoy en día, lo multitáctil asincrónico sistemático tal vez aparecerá para lapróxima generación...

O tal vez no. No estamos afanados por ensayar con estudiantes una versión en la que la ruptura del contacto con undedo sea efectivamente un contacto asincrónico con dos dedos ...




Operacionalización de la decisión tomada

La primera realización es la de la anticipación de las construcciones para un objeto con dos premisas como unsegmento, una simetría o una mediatriz. Como el pantallazo no muestra la posición del dedo indicador, lasilustraciones de esta parte las haremos con un punto final preconstruído, pero recordamos que también puedeconstruirse sobre la marcha suprimiendo el contacto con la tableta.

El autor de DGPad decidió no hacer más "TouchEnd" para construir un objeto de DGPad que clics de ratón paraobtener el mismo objeto con CaRMetal.

Ya está hecho con objetos de dos premisas. Veamos cómo se realizó para los objetos de tres premisas : hay porsupuesto tres "TouchEnd" :

La interacción directa con las herramientas




Un punto final de una herramienta puede no solamente crearse sobre la marcha sino también crearse comointersección de objetos.

Aquí hay dos ejemplos, con ilustración de la validación de la intersección por manipulación en el segundo ejemplo :

a - Con una mediatriz

b - Con un circuncírculo

Aunque viniendo de Eric Hakenholz, cuyas interfaces son bastante sofisticadas, no debería sorprender, estainteracción directa durante la construcción en tabletas es muy sofisticada, y en el momento en que escribo este




artículo (mayo de 2013), única.

Conclusión sore la paleta contextual

La interfaz decidida para DGPad y el funcionamiento de su paleta contextual permiten realizar objetos deconstrucción : " con la misma comodidad visual y la misma implicación cognitiva " con el mismo número de gestos que el software CaRMetal.

La interacción directa durante la construcción es un éxito indiscutible.

Sólo por este primer análisis de las paletas contextuales, el software merece ampliamente la atención detoda la comunidad de profesores.

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++++ Interfaz DGPad

Generalidades

WebApp : en el momento de escribir este artículo, DGPad es una aplicación en línea que se utiliza en unnavegador. Se lanza desde el sitio www.dgpad.net. Aunque vamos a examinar en detalle algunos aspectos de la interfaz, aconsejamos mirar los videos propuestos porel autor en el sitio de DGPad.

Utilización en tabletas : con Androïd (versión 4.xx o superior) puede usarse el navegador estándar de la tableta, otambién Chrome o Firefox (que es menos rápido). Con iOS, puede utilizarse Chrome o Safari.

Utilización en computador : puede utilizarse Chrome, Firefox, o Safari, pero no IE (que no sigue las reglas delHTML5). En computador uno puede deslizar un archivo DGPad (archivo de texto) a la ventana del navegadorcuando la apliación en línea está abierta.

Formato de archivo : los archivos son de tipo .txt. Examinaremos el formato de los archivos en la pestaña Macro yla manipulación de los archivos en la pestaña Micromundo , y luego, por supuesto, en la parte 2 sobre los script.

Presentación de la línea de comandos

Para acceder a las distintas herramientas es necesario primero seleccionar uno de los íconos siguientes. Sin







embargo, algunos elementos de la interfaz son genéricos y etán disponibles en muchos (o en todos) de los modosdel software.

Los cinco primeros items

Puntero - modo estándar : modo de arrastre de los objetos, es el modo estandar en el que las paletas contextualesfuncionan. Los objetos pueden arrastrarse directamente, en los modos en los que esa operación tiene sentido, comoOcultar/Mostrar, Macro-construcción, Inspector de objetos.

Modo trazos : modo de utilización para construcciones elementales a dedo. El software interpreta el gesto para reconocer las formas (segmento, recta, semirrecta y polígono. La intersección yel punto sobre objeto están disponibles en este modo (ver el video "Caricia" en el sitio de DGPad). Pero no es muyfácil "acariciar una intersección". El modo trazo es especialmente eficaz para construir polígonos cualesquiera. Nótese que DGPad no trata dereconocer el trazado de círculos.

Desde un punto de vista didáctico, como lo analizamos en la primera pestaña, este modo trazo es un modotransitorio del enfoque perceptivo (kinestésico en las tabletas) hacia un enfoque más conceptual de la geometría(geometría de las propiedades de los objetos), que DGPad implementa con sus paletas conceptuales en el modo deutilización estándar. Habrá que ver cómo se usa en la práctica, pero este modo está más indicado para un uso enfinal de primaria, comienzo de secundaria.

Utilizar la presencia de esos dos modos, claramente separados, en el mismo software puede favorecer - gracias a lainterfaz táctil - la transición de una geometría perceptiva a una geometría mas conceptual no solamente de losobjetos sino de sus propiedades. Por supuesto si se acompaña de una instrumentación fina de esos dos modos ycon una ingeniería todavía por diseñar. Pero puede ser una pista de investigación rica e interesante.

Las paletas contextuales no están activas en el modo trazo.

Ocultar/Mostrar : modo estándar para ocultar o mostrar los objetos. Funciona como las herramientas equivalentes de Cabri II+ o de Geogebra. En particular, este modo no correspondea la varita mágica de CaRMetal que permite seguir construyendo en ese modo... sino que necesita dos íconos(relacionados con el borrador).

No obstante, los objetos de base de la figura pueden verse y manipularse en ese modo, lo cual puede ser útil,




incluso en figuras complejas.

Si el lector miró el tesealdo hiperbólico en la introducción, debió notar que las macros construyen los objetosintermedios como objetos ocultos. No hay un modo Superocultar como en CaRMetal que impida ver los objetosocultos incluso con la herramienta Mostrar.

Supprimir : permite suprimir objetos diferentes a los últimos construidos (como con la herramientaDeshacer/Rehacer).

Si se utiliza el botón Borrar toda la figura, se suprimen también las macros de la figura. Para conservarlas hay quesuprimir únicamente los objetos de base de la figura.

Macro-construcciones : el autor de DGPad renovó la interfaz de macro-construcciones como puede verse en lapestaña dedicada a esa herramienta. La gestión de macros se hace, por el momento, "a mano", transformando elarchivo de texto. Ver la pestaña Micromundo más adelante.

Inspector de objetos

El inspector de objetos es una herramienta clásica de presentación individual de los objetos.

Es el ícono a partir del cual se activa el modo "proyección".

En ese modo, un disco amarillo simboliza un dedo virtual para que, cuando se proyecta la pantalla, el público tengauna imagen en tiempo real de las manipulaciones del usuario en la tableta... pues el dedo no puede proyectarse.




En la figura anterior construimos una mediatriz entre el primer punto y otro punto : " a la izquierda : el dedo del usuario va hacia el punto. " en el centro :todo el mundo- incluso el usuario- ve que se alcanzó el punto. El dedo todavía está en contacto conla tableta. " a la derecha : el dedo ya no está en contacto, se traza la mediatriz, el disco está desapareciendo (retroaccióndinámica).

Modificación de los atributos en conjunto El inspector (o panel de propiedades) permite también modificar las propiedades en conjunto, es decir aplicar laspropiedades a todos los objetos del mismo tipo, como ilustramos a continuación :

A la izquierda, se modifican los puntos que originalmente tienen tamaño 6 y fuente 30 ; al modificar un solo punto




todos cambian a tamaño 4 y fuente 14.

Manipulación de cursores del inspector de objetos (o panel de propiedades) : después de seleccionar con el dedoun cursor puede desplazarse el dedo hacia abajo y seleccionar "aplicar a todos" para manipular el cursor viendoprecisamente los valores numéricos mostrados : así no quedan ocultos por la manipulación a dedo.

Figuras del cache

DGPad - y también Sketchometry - utiliza el cache HTML5 de los navegadores - cache que ocupa 5Mb en lastabletas, y 10Mb en los computadores - lo cual permite conservar las últimas figuras en memoria inmediata.

DGPad puede conservar hasta 20 figuras en la memoria del navegador, que pueden bloquearse para que no seborren cuando el sistema vacíe el cache.

El usuario no tiene control de esta parte específica del cache del navegador (que no es accesible por 'preferencias')y sobretodo cuando se vacía el cache.

Una figura se guarda en ese cache cuando se suprime, en particular con la opción "borrar toda la figura".

Las Exportaciones

Son herramientas para la utilización dinámica en línea. Existen 4 modos :




" HTML y JS : el modo estándar para poner una figura en línea en un sitio web. Por ejemplo, en una página SPIP,basta con insertar ese código entre los dos tags HTML.

El posible modificar el tamaño de la ventana DGPad precisando los parámetros width y height en dos lugares : alcomienzo y al final del archivo :

" Sólo HTML : este modo es una alternativa cuando el anterior no funciona. En este modo, la figura no es inmediatamente accesible, sino que hay que hacer clic en un botón para abrir DGPad.

El botón tiene 40 pixeles de alto, y por eso la ventana exportada tiene 40 pixeles más que la figura. Si se modificanlos parámetros hay que respetar esa diferencia : el primer dato, al comienzo del archivo, incluye el tamaño del botón,mientras que el segundo al final del archivo no :

Redacción de artículos SPIP incluyendo archivos DGPad :




Este artículo, bastante largo y que incluye pestañas, pone en evidencia que en una tableta - y solamente en unatableta - la utilización de las figuras DGPad directamente en las pestañas de la 'Navaja Suiza' no funciona. Esnecesario recurrir al modo de exportación para que las figuras aparezcan en las pestañas SPIP en una tableta.

Por esta razón, en las próximas pestañas, habrá que hacer clic sobre un botón para abrir las figuras DGPad.

Esta precaución no es necesaria en general en una página SPIP sin pestañas. Igualmente, el primer modofunciona bien en los sitios web de los colegios.

" Página HTML : produce una página HTML estándar.

Estos tres modos codifican la figura y utilizan directamente el motor de interpretación de DGPad, de sólo 200Kb sino se utiliza el módulo de texto MathJax. Las figuras codificadas pueden utilizar una o varias decenas de Kb.

En estos tres modos, es posible añadir una barra de pestañas, para que el usuario tenga el software en su páginade trabajo, como sucede con los Applets de Geogebra o CaRMetal, pero con un archivo 20 veces más pequeño.Esto es muy práctico para utilizar una macro en línea como mostraremos en la ventana Micromundo.

" Archivo de texto : el archivo DGPad tal como queda guardado en modo texto. Puede usarse este modo, enparticular en un computador, para agrupar varias macro-construcciones en un mismo archivo, o para trabajar elcódigo JavaScript para hacer un archivo de script.

Bajar/Subir a la nube




Nótese que no se crean directamente nuevas carpetas desde la interfaz. Pero todas las carpetas están accesibles.

Es posible guardar en el computador, pero es mejor utilizar la herramienta 'exportar' que es más rápida.

Nombres automáticos

Funciona como en CaRMetal : se indica a partir de cual letra se quiere nombrar los objetos automáticamente. Alcontinuar la construcción con este modo seleccionado aparecerán los nombres de los objetos a medida que secrean. Aquí hay un ejemplo :




Nótese que en CaRMetal, se anticipa incluso los nombres, pero no en DGPad.

Ejes

Permite trazar rectas paralelas a los bordes de la tableta, es decir 'horizontales' o 'verticales' : con la herramientarecta paralela se traza una paralela a un eje que pasa por un punto. Lo mismo para recta perpendicular.

Aún no es muy útil desde el punto de vista numérico, aparte de las actividades de lectura, ya que todavía no hayherramientas para trabajar con las coordenadas.

Los otros aspectos de la interfaz

Al hacer clic sobre un objeto en modo estándar, además de la paleta contextual, aparecen dos o tres íconos : " desplazar el nombre del objeto " abrir el panel de propiedades " arrastrar un objeto después de desambiguizar

En la siguiente ilustración (en modo "presentación" : dedo amarillo grueso), parte inferior derecha, los tres íconosbajo el punto seleccionado.

La ilustración muestra el funcionamiento del primer ícono : el nombre del objeto está al lado opuesto al dedo y puedegirar alrededor del objeto.

La utilización del tercer ícono está detallada con las ambigüedades

Gestion de ambigüedades

Cuando hay dos objetos superpuestos, es importante saber cuál de los dos se quiere manipular. Veamos un primer




ejemplo arquetípico en el sentido en que la superposición es topológica :

Se colocó un polígono pequeño (café) dentro de uno más grande. La herramienta de ambigüedad permiteseleccionar el más pequeño dentro del primero, y el ícono de arrastre permite sacarlo.

Pero este tercer ícono de arrastre tiene usos más finos. En la siguiente ilustración, M es un punto sobre objeto delsegmento AB. Colocamos M en A. Si se hace clic sobre los puntos sobrepuestos, es posible por defecto coger M ysepararlo de A. Si queremos arrastrar A en lugar de M, hay que esperar un momento, resolver la ambigüedad(seleccionando el primer objeto creado) y el tercer ícono permite arrastrar :




En el modo estándar, también está la paleta contextual, ya que se puede seleccionar ese punto para hacer unaconstrucción. Aunque el ejemplo dado es un poco artificial, esta situación se presenta naturalmente en lasconstrucciones no triviales.

La última ilustración mostró claramente la capacidad de interacción directa del software, pues el usuario puedeseleccionar en cada momento toda clase de acciones. La instrumentación de esta riqueza no debería frenar su usoen clase. Es de desear que en una próxima versión, para una utilización en educación básica, puedan restringirselas herramientas para limitar, durante una sesión, la cantidad de acciones disponibles.

No cuestionamos la facilidad con que los alumnos pueden manipular la herramienta, sino la sobrecarga cognitivaque puede producir esta proximidad tan rica de herramientas disponibles.

En un software como Geogebra o CaRMetal, hay muchas más herramientas a disposición de los alumnos, pero elusuario no las enfrenta de la misma manera. En ellos, hay que buscar las herramientas - y los alumnos pierdentiempo buscando en los menús de Geogebra por ejemplo - aquí, toda la potencialidad de lo que se va a hacer estáconcentrada en el punto en el que se está trabajando : es por supuesto una decisión específica de lo táctil ('tocar noes hacer clic') pero es deseable que a mediano plazo el profesor pueda controlar el entorno en el que trabajarán susalumnos como se hace en los software de computador donde se puede decidir qué herramientas están disponibles.

Es evidente que esta es una primera versión que establece sus potencialidades y que con el tiempo podrá afinar unaestrategia didáctica de su propia riqueza.

Para terminar esta presentación general de la interfaz, veamos cómo la gestión de la ambigüedad también funcionapara más de dos objetos :




A partir de dos puntos se construyó el segmento, una semirrecta y la recta. Queremos colocar un punto sobre elsegmento. La herramienta de ambigüedad permite escoger uno de los tres objetos. Una vez seleccionado (elsegmento se vuelve rojo), con la herramienta de arrastre local, se puede crear un punto sobre el segmento.

Regrear a la barra de pestañas (a las macros DGPad)

++++ Macros

El hecho que DGPad tenga macro-construcciones en su primera versión en línea era un objetivo del autor. Para losusuarios expertos, es una fuente de producción extraordinaria que vamos a ilustrar ampliamente en las pestañas deGelería. Esta pestaña está dedicada únicamente a la realización de las macro-construcciones. La pestaña siguientetratará sobre la gestión de las macros.

Realización de una macro-construcción

Consideremos una figura ya terminada, un poco compleja : dados dos círculos y un punto, ya hemos construido los4 círculos que pasan por el punto y son tangentes a los dos círculos iniciales.

Figura manipulable





Nótese que los círculos están definidos por el centro y el radio, es decir que pueden modificarse los radiosdirectamente arrastrando los dos círculos, en manipulación directa

Queremos transformar esta figura en macro-construcción que a partir de dos círculo y un punto construye los 4círculos. Primero seleccionamos el modo macro-construcción.

Nótese que la figura ya contiene varias macro-construcciones llamadas personales : el eje radical de dos círculos,los centros de homotecia de 2 círculos y la macro 2CT a 1C por 2pts, que construye los dos círculos tangentes a uncírculo dado y que pasan por dos puntos dados. La figura final utiliza esta macro.

Para hacer una nueva macro, basta con tocar un objeto inical para que comience el proceso. Aquí presentamosuna descripción visual detallada :




" Ilustración 1 : Al tocar un círculo aparece la interfaz de creación de macro : una línea de texto para el título, unasegunda línea, asociada al botón verde, los objetos iniciales, una tercera línea, con un símbolo rojo, los objetosfinales potenciales. Al tocar sobre un círculo (el objeto seleccionado se vuelve verde), un objeto final se haceposible, su centro. " Ilustración 2 : al seleccionar el segundo círculo inicial, su centro se añade a los objetos finales. Nótese que losobjetos finales potenciales aparecen en negro en la figura. " Ilustración 3 : al seleccionar el punto, los 4 círculos se vuelven negros por ser objetos finales potenciales.Podríamos terminar aquí la macro, pero añadiría dos puntos inútiles : los centros de los círculos iniciales. " Ilustración 4 : podemos seleccionar en la figura los objetos finales. Al seleccionar un primer objeto final, se vuelverojo, y la lista de los objetos finales potenciales desaparece, la lista se transforma en los objetos finales definitivos. " Ilustración 5 : Seleccionamos los 4 círculos.

Luego (no aparece aquí) damos un nombre a la macro y se añade a las macro-construcciones personales.

Las macros son macros "de figura".




En esta versión, en particular porque DGPad todavía no es una aplicación autónoma, sólo es posible crear macrosde figura, no es posible añadirlas a la biblioteca. Eso no quiere decir que no se puedan guardar : al registrar unafigura, todas las macros que se usaron quedan guaradadas con ella, lo que permite asociarlas, como veremos en lasiguiente pestaña.

Esto significa que para verificar la aplicación de la macro hay que hacerlo en la misma figura.

Aplicación de una macro

Ahora vamos a aplicar esta macro. Para verificarla, suprimimos los centros de los círculos, construimos nuevoscírculos, ahora de otro tipo : definidos por centro y un punto (en lugar de centro y radio) para verificar que la macrose aplica al meta-objeto "círculo" y no a un tipo particular de círculo.

Tocamos en la nueva macro. Aparece un comentario debajo que indica el tipo de objeto esperado :

" Ilustración 1 : Antes de tocar el círculo esperado, la macro espera un primer círculo. " Ilustración 2 : Al tocar el primer círculo, el comentario de la macro pide un segundo círculo... " Ilustración 3 : ... luego al seleccionar el segunto círculo, la macro espera un punto. Es el último objeto inicialesperado (se lee en el 3/3).

Aquí se presenta una diferencia fundamental entre la interfaz táctil y la interfaz con ratón. En la interfaz táctil, el




último círculo seleccionado significa que el usuario levantó el dedo de la tableta. Se espera que el usuario toque denuevo la tableta para seleccionar un punto. Entonces se ejecuta la macro, construyendo la figura.

En una interfaz con ratón, se presenta la cuestión de la construcción anticipada : la posición del ratón es conocida ycontínua, y podemos presentar la construcción anticipada desde la posición del ratón. Así que la diferencia provienede la continuidad del ratón y la discontinuidad táctil.

Sin embargo, incluso en una interfaz táctil, hubiera sido posible utilizar el último punto de la macro para anticipar laconstrucción TouchStart - TouchMove - TouchEnd El autor nos dice que por la manera como se diseñaron lasmacros no es tan simple implementar la anticipación de las construcciones.

" Ilustración 4 : la figura está terminada. La macro está lista para ejecutarse con un objeto inical nuevo. " Ilustración 5 : Al salir del modo "macro-construcciones" sigue presente la figura final. Además, las macros noconservan los colores de los objetos tal como fueron construidos en la macro, se da prioridad al color del objetoactual en la figura.

Punto sobre objeto : ¿inical o final ?

En las primeras utilizacions, cuando un punto M es un punto sobre objeto (por ejemplo un segmento o un círculo),puede sorprender que aparezca automáticamente en los objetos finales potenciales al hacer clic sobre el objeto alque pertenece.

En la aplicación de la macro, se creará de nuevo como punto sobre objeto. Esto puede ser muy útil en muchoscasos.

También puede haber muchos casos en los que si se aplica varias veces esta macro, quisiéramos que Ciertos datossean implícitos Como existen objetos implícitos en las macros de cabril, y CaRMetal (Por lo menos).

Si es el caso de un punto sobre objeto que decir de varias veces en la construcción, Para que no se ha colocadocomo objeto final - Si no como objeto inicial, Lo más simple es mostrar lo como objeto inicial antes del objeto al quepertenece. En ese caso no se volverá a construir porque ya estará mostrado.

Exploracion de la posición del. Sobre objeto en la macro

Usted puede crear y probar macros Bezier2pts Que a los objetos iniciales O, I, t, A y B dan el punto Bz, condiferentes variantes. Pongale índices diferentes a las macros que cree (puede suprimir los puntos, todas lasherramientas están disponibles)

" Los objetos finales deben contener como mínimo el punto Bz. " Los objetos iniciales terminan con A y B. " Test 1 : iniciales S1 y finales t antes de Bz. Se crea un nuevo punto t, Bz depende de ese punto. " Test 2 : iniciales t y S1, no se crea t, el punto Bz depende de t directamente. " Test 3 : iniciales S1 sin t en finales. Se crea un t nuevo sobre el primero, pero queda oculto - pues es unobjeto intermedio - así que hay que desplazar t y hacer aparecer ese nuevo punto con Ocultar/Mostrar.




Si se produce un error de manipulación es posible suprimir los puntos, y en el peor de los casos refrescar la página,pero eso borrará las macros ya construidas.

Otras precisiones sobre el funcionamiento de lasmacros

Al igual que en CaRMetal y Cabri, las macros contenidas en las figuras están allí para usarlas de nuevo. Enparticular, si una macro ha sido aplicada no es necesario conservarla en el archivo, y es posible quitarla (a manorcomo lo mostraremos en la pestaña siguiente).

En otras palabras, en DGPad una macro se aplica, no se llama como una función. Pero puede usarse comofunción, si se interviene manualmente en los archivos -programando- como veremos en la segunda parte de esteartículo, sobre los scripts.

Resumen de esta pestaña sobre las macros

Recordemos las siguientes características de la interfaz de DGPad :

" En la construcción de una macro, el tratamiento simultáneo de los objetos iniciales y finales, enfunción de las decisiones del usuario. " Lo que implica una reflexión particular sobre lo que se quiere hacer con los puntos sobre objeto. " En la utilización de las macros, la posibilidad de construir puntos sobre la marcha durante la aplicaciónmisma de una macro. " La no anticipación de los objetos en las macros que terminan con un punto, a diferencia de lasconstrucciones. " Las macros se aplican, no se llaman.

Regresar a la barra de pestañas (hacia los micromundos)

++++ Micromundo

El concepto de micromundo fue propuesto por Papert en 1980. Pero en el sentido en el que lo definió en esemomento - en informática 1980 es bastante antiguo incluso para quienes estaban allí - todos los software de GDserían micromundos. La noción a evolucionado fuertemente para los software de GD con Jean Marie Laborde y suequipo alrededor Cabri géomètre. Desde entonces decimos que un software de geometría dinámica es unmicromundo si tiene la posibilidad de crear nuevas herramientas (macro-construcciones) y permite estructurarlas




http://fr.wikipedia.org/wiki/Jean-Marie_Laborde

http://fr.wikipedia.org/wiki/Cabri_G%C3%A9om%C3%A8tre



para trabajar en un entorno propio a un contexto geométrico particular. Es posible desarrollar un micromundo sobrelos círculos, uno sobre las cónicas, pero en general se entiende por micromundo la creación de otra geometría sobreel modelo euclidiano.

Ejemplos e ilustraciones de micromundos no euclidiantos

Por ejemplo con CaRMetal y sus macros cuidadosas - resultado de años de programación - podemos no solamentehacer micromundos sobre las geometrías no euclidianas clásicas - la geometría hiperbólica, cuyo modelo del discode Pinicaré está implementado en estándar en el software, o el modelo de la pseudoesfera que está en la carpetade 27 figuras ...

... sino también micromundos de geometrías mucho menos conocidas como el plana de Moulton, modelo degeometría plana no arguesiana.



http://db-maths.nuxit.net/IREMrun/art372/a372beltrami.html

http://db-maths.nuxit.net/IREMrun/art372/a372moulton.html



La ejecución de esos micromundos permite explorar esas geometrías poco conocidas y encontrar resultados comopor ejemplo la existencia de triángulos bi-ortocéntricos (con dos ortocentros).




Cabri-géométrie, en particular a partir de Cabri II impulsó desde muy temprano (1996) y muy lejos la facilidad dehacer macros y la manera de estructurar y organizar esas macros ya que Cabri II permitía construir barras de menúespecíficas de esas nuevas macros, algo que no ha sido imitado desde entonces.

En preludio, un pequeño experimento deadaptabilidad

Desde esta primera versión de DGPad, para probar las capacidades del software y ver hasta dónde se puede llegaren término de figuras con macro-construcciones, realizamos no solamente teselados hiperbólicos, sino también lasmacros esenciales hiperbólicas de segundo nivel sobre los haces de Bachmann, incluyendo - sorprendentemente -una macro de intersección de dos rectas hiperbólicas cuando se basa en la de dos arcos de círculo. Sabemos quehay que controlar la continuidad de esta intersección cuando las orientaciones de los arcos cambian (en la prácticaen este contexto, cuando el arco atraviesa el centro del disco de Poincaré).

Modificar sus esquemas de acción




Este último punto es un ejemplo hermoso en el contexto de un cambio de base, sobre nuestras capacidades paramodificar nuestros esquemas de acción : con CaRMetal, por ejemplo (o Geogebra en cierta medida) disponemos dediferentes medios para controlar la continuidad de los objetos, lo que permite construir herramientas de otromicromundo con tranquilidad. Sin ninguno de esos medios sofisticados - y además sin números ni álgebra - fuenecesario buscar un método de construcción puramente geométrico para construir esta intersección de maneracontínua.

El éxito de este desafío muestra por lo menos dos cosas : " una pereza operacional que puede ser provocada por el acceso a herramientas sofisticadas. En efecto, la soluciónencontrada funciona con cualquier software de geometría dinámica. " la capacidad para encontrar soluciones nuevas en un mundo restringido : lo que más sorprende, como veremosen la pestaña de scripts, es la restricción del entorno (recordemos que esta primera versión de DGPad no tienenúmeros, ni medida, ni expresiones algebraicas sobre las magnitudes) que obliga a modificar fuertemente los puntosde vista, a cambiar los esquemas de pensamiento, para encontrar soluciones geométricas más simples que lasanalíticas, inmediatas en la mente, pero técnicas o calculatorias.

Por supuesto esto no es una defensa de los software pobres, ni mucho menos, sino la oportunidad de mostrar quemientras esperamos la implementación de las herramientas clásicas, la geometría tiene recursos que no siempreexploramos en su totalidad. Daremos otros ejemplos con los scripts.

El formato de archivo de DGPad

Antes de abordar la modificación de los archivos de DGPad para construir listas de macros, unas palabras sobre laorganización de un archivo. Primero que todo es un archivo de texto : .txt. También es un archivo JavaScript, enparticular los comentarios son líneas que comienzan por //.

Este es el archivo de una recta que pasa por dos puntos.

// Coordinates System :

SetCoords(679,369.5,40);

// Geometry :

A=Point("A",-6.325,-1.1875);

B=Point("B",-2.925,0.0625);

L1=Line("L1",A,B);

// Styles :

STL(A,"c:#0000b2;s:6;sn:true;f:30");

STL(B,"c:#0000b2;s:6;sn:true;f:30");

STL(L1,"c:#780013;s:1;f:30;p:0");

SetCoordsStyle("isAxis:false;isGrid:true;isOx:true;isOy:true;isLockOx:false;

isLockOy:false;color:#111111;fontSize:18;axisWidth:1;gridWidth:0.1");

En otras palabras




" una línea que define el origen de la figura y el tamaño de pantalla de la unidad, " líneas de construcción (Geometry) " las líneas de STYLE de cada objeto " una línea de estado del sistema de coordenadas (que se añade si no se crea explícitamente).

Agrueguemos a esta figura la perpendicular en un punto y hagamos una macro perpendicular (simplemente paraleer el archivo producido).

// Macros :

$macros={};

$macros["LaPerp"]={

name:"LaPerp",

parameters:["line","point"],

exec:

function (L1,M){

Perp1=Perpendicular("Perp1",L1,M);

return [Perp1];

}};


SetCoords(679,369.5,40);

// Geometry :

A=Point("A",-6.325,-1.1875);

B=Point("B",-2.925,0.0625);

M=Point("M",-1.525,3.7625);

L1=Line("L1",A,B);


// Styles :

STL(A,"c:#0000b2;s:6;sn:true;f:30");

STL(B,"c:#0000b2;s:6;sn:true;f:30");

STL(M,"c:#0000b2;s:6;sn:true;f:30");

STL(L1,"c:#780013;s:1;f:30;p:0");

STL(Perp1,"c:#780013;s:1;f:30;p:0");

SetCoordsStyle("isAxis:false;isGrid:true;isOx:true;isOy:true;isLockOx:false;

isLockOy:false;color:#111111;fontSize:18;axisWidth:1;gridWidth:0.1");

Nota técnica SPIP

En el tag marco utilizado para el código, aparece un icono pequeño en la parte inferior derecha del marco. sirve para cambiar el tamaño del marco..

El código comienza por las macro-construcciones. Son funciones que tienen un nombre (externo e interno, aunque




normalmente es el mismo), una lista de parámetros, y un ejecutable. Se trata de una función JavaScript - "función"porque devuelve uno o más objetos - que corresponde a la construcción que se quiere transformar en macro.

Nótese que los nombres de variables (globales) de la figura que sirvió para hacer la macro se retoman tal cual, peroen la macro son variables locales de la función.

En cuanto al cuerpo de la construcción, vemos también una reorganización de los objetos que no corresponde alorden secuencial de creación : la recta se había construido antes de colocar el punto M, pero en el archivo Maparece antes : hay una clasificación interna por tipo de objeto siempre que sea posible.

Apliquemos esta macro elemental a una recta (la perpendicular Perp1) y un punto U, el archivo resultante es :

// Macros :

$macros={};

$macros["LaPerp"]={

name:"LaPerp",

parameters:["line","point"],

exec:

function (L1,M){


return [Perp1];

}};


SetCoords(679,369.5,40);

// Geometry :

A=Point("A",-6.325,-1.1875);

B=Point("B",-2.925,0.0625);

M=Point("M",-1.525,3.7625);

U=Point("U",-6.575,5.7875);

L1=Line("L1",A,B);


Perp11=Perpendicular("Perp11",Perp1,U);

....

Vemos, en la línea Perp11, que la macro se aplicó, no fue llamada (por su nombre).

cuando termina la figura final, como el código final no llama las macros utilizadas, es posible suprimir las macros, porejemplo para disminuir el tamaño del archivo.

En las pestañas de scripts veremos que también es posible llamar directamente una macro en un archivo,haciéndolo más legible para muchas aplicaciones iterativas por ejemplo.




Aplicaciones imbricadas de las macro-construcciones

Por supuesto, es el principio del micromundo, las macros pueden llamarse entre ellas, lo que permite realizarmacro-construcciones cada vez más complejas.

Por ejemplo la macro 4CT a 2C1P que construye los 4 círculos que pasan por un punto llama la macro 2CT a 1Cpor 2 pts que construye los dos círculso tangentes a un círculo y que pasan por dos puntos dados. Este es unpedazo del código de esas macros :

// Macros :

$macros={};

$macros["2CT a 1C par 2 pts"]={

name:"2CT a 1C par 2 pts",

parameters:["circle","point","point"],

exec:

function (C2,A,B){

P2=Center("P2",C2);

... [....] ...

P8=OrderedIntersection("P8",C2,C3,0);


C4=Circle3pts("C4",A,B,P9);


return [C4,C5];

}};

$macros["4CT a 2C1P"]={

name:"4CT a 2C1P",

parameters:["circle","circle","point"],

exec:

function (C2,C1,A){

P2=Center("P2",C2);

... [....] ...



C32=Circle("C32",M11,P2);





C41=Circle3pts("C41",A,Syma1,P91);


return [C4,C5,C41,C51];

}};

Véase en particular el efecto de la reorganización de los objetos. Los punteados de la primera macro correspondena 18 instrucciones. Al aplicar dos veces esta macro, una para encontrar los círculos tangentes de mismo tipo - uncírculo dos veces interior y un círculo dos veces exterior- luego una segunda para encontrar los otros dos círculos,esperaríamos encontrar las 18 instrucciones entre las construcciones de C4 y C5 ( resultado de la primera aplicación




de la macro) y los círculos C41 y C51 (la segunda aplicación de la macro).

Como vemos, no es así, por el contrario entre las dos parejas sólo están las intersecciones con otro círculo que darálos puntos buscados para terminar los círculos tercero y cuarto.

Ver todo el código de las dos macros

// Macros :

$macros={};

$macros["2CT a 1C par 2 pts"]={

name:"2CT a 1C par 2 pts",

parameters:["circle","point","point"],

exec:

function (C2,A,B){

P2=Center("P2",C2);

R1=Ray("R1",P2,A);

R2=Ray("R2",P2,B);

L2=Line("L2",A,B);

P4=OrderedIntersection("P4",R1,C2,0);


S1=Segment("S1",A,P5);

S2=Segment("S2",P5,P4);

Par1=Parallel("Par1",S1,P4);

P6=OrderedIntersection("P6",R2,Par1,0);


A1=OrderedIntersection("A'",R1,Par2,0);

C1=Circle3pts("C1",A,B,A1);



L1=Line("L1",P1,P3);

P7=OrderedIntersection("P7",L2,L1,0);

M1=MidPoint("M1",P2,P7);






return [C4,C5];

}};

$macros["4CT a 2C1P"]={

name:"4CT a 2C1P",

parameters:["circle","circle","point"],

exec:

function (C2,C1,A){

P2=Center("P2",C2);

P1=Center("P1",C1);





L1=Line("L1",P2,P1);

L11=Line("L11",P2,P1);

R12=Ray("R12",P2,A);

R13=Ray("R13",P2,A);

P4=OrderedIntersection("P4",L1,C2,1);



Perp1=Perpendicular("Perp1",L11,P1);

Perp2=Perpendicular("Perp2",L11,P2);



P31=OrderedIntersection("P31",Perp2,C2,0);

P41=OrderedIntersection("P41",Perp1,C1,0);

L4=PerpendicularBisector("L4",P7,P6);

Acacher=PerpendicularBisector("Acacher",P7,A);

L7=PerpendicularBisector("L7",P7,P4);

L6=PerpendicularBisector("L6",P7,A);

Symc1=Symmetry("Symc1",P2,P31);

L2=Line("L2",P31,P41);

P8=OrderedIntersection("P8",L4,Acacher,0);


L3=Line("L3",P41,Symc1);



R3=Ray("R3",A,P51);

Perp3=Perpendicular("Perp3",R3,P8);


B=Reflection("B",Perp3,A);

Perp4=Perpendicular("Perp4",S3,P10);

R21=Ray("R21",P2,B);

L21=Line("L21",A,B);

Syma1=Reflection("Syma1",Perp4,A);


R22=Ray("R22",P2,Syma1);

L22=Line("L22",A,Syma1);











A1=OrderedIntersection("A'",R12,Par2,0);


C11=Circle3pts("C11",A,B,A1);

A11=OrderedIntersection("A'1",R13,Par21,0);



C12=Circle3pts("C12",A,Syma1,A11);




L12=Line("L12",P11,P32);




L13=Line("L13",P12,P33);














return [C4,C5,C41,C51];

}};

Organización de las macro-construcciones enarchivos de micromundos

La organización en micromundos debe hacerla el usuario.

Construir un micromundo, para esta versión, es dar una lista de macros en un archivo de figuras.

Como las macros son independientes unas de otras cada uno puede copiar y pegar macros en archivos de figuras yorganizarlas como quiera.

Por supuesto, la gestión de macros no se reduce a esto. Pero recordemos que el software fue escrito a partir denada, y para esta versión es ya una posibilidad importante.

Un ejemplo de aplicación... por el placer de lageometría

Continuemos con esas dos macros de círculo. El ejemplo es un poco cultural, en el sentido que no aparece en losprogramas, pero sigue siendo interesante. Sabemos que las intersecciones de una cónica y una recta sonconstructibles con regla y compás, y que en general, las intersecciones de dos cónicas no son constructibles conregla y compás. Los software mayores - que han alcanzado su "mayoría de edad" software - integran esasintersecciones. Es el caso de Cabri, Geogebra y CaRMetal, pero también Cinderella. DGPad está recién nacido y notoca este tema...




Si las intersecciones de dos cónicas en general no son constructibles con regla y compás, hay situacionesespecíficas en las que lo son. Por ejemplo cuando tienen un foco común.

Sean entonces esas dos cónicas siguientes : una elipse rosada y una hipérbola verde (con sus asíntotas, ycomprenderán que hay un paso al infinito sin arreglar).

Esas dos cónicas tienen un mismo foco F. Para lo que nos interesa aquí, las consideramos como definidas por sufoyer F y un círculo director :: " de centro O1 para la hipérbola - esta cónica es una hipérbola porque F está fuera del círculo director, " de centro O2 para la elipse - es una elipse porque F está en el interior del círculo director.

La elipse es el lugar del punto E, intersección de la recta (O2N) y la mediatriz de [FN] cuando N describe sucírculo director, y La hiperbola es el lugar del punto H, intersección de la recta (O1M) y de la mediatriz de [FM] cuando M describesu círculo director.




Un razonamiento simple sobre las distancias - y la definición bifocal de las cónicas con centro - permite ver que lasintersecciones de esas dos cónicas son equidistantes de F y de cada uno de los dos círculos directores.

En otras palabras son los centros de los 4 círculos - cuando existen - tangentes a los dos círculos directores y quepasan por F.

Entonces basta con aplicar la macro 4CT a 2C1P a esos dos círculos directores y al foco común de las dos cónicaspara obtener las intersecciones :

Puede arrastrar los puntos O1, O2 y F, y cambiar el tamaño de los dos círculos azules (círculos directores delas dos cónicas) Los centros de los círculos tangentes a los círculos directores y que pasan por F son lasintersecciones de las dos cónicas.

Aquí hay un ejemplo inmediato - una figura que se hace rápidamente - de una utilización de macro-construccionesmás largas y más complejas de hacer que sus aplicaciones.




Las cualidades internas de un micromundo

Vimos que, por el momento (mayo de 2013) la gestión de micromundos corre por cuenta del usuario, en parteporque la aplicación es en línea.

Pero la calidad de un micromundo no reside solamente en la gestión de las macros, que es una cualidad externa.Estas cualidades externas de los micromundos de DGPad son mínimas por el momento.

Pero las cualidades del micromundo pueden ser internas, en su concepción, en particular en la realizacio´n demacros y en la calidad de encadenamiento de esas macros.

Manipulación directa de la figura durante la realización de una macro.

Esta posibilidad, que permite desplazar objetos para acceder a otros objetos fuera de la pantalla, nos da oportunidadde probar el comportamiento lógico de las macros : ¿es posible registrar en una misma macro objetos finales queexisten excluyéndose mutuamente ?

Esta posibilidad fue un avance importante de Cabri II que abrió posibilidades a lo que se llamaba entonces macroslógicas. Esta solución desapareció con los nuevos software libres (como Geogebra y CaRMetal) que ampliaron lasposibilidades, por ejemplo con atributos de condicionalidad, y variables booleanas incorporadas en las propiedadeso en las coordenadas de los puntos.

Independientemente de esas posibilidades de utilización, nos interesa aquí la calidad de realización de las macros.Consideremos la situación de base siguiente, que permite controlar el corte del cubo por los vértices a partir de unpunto sobre una arista.

Dos puntos A y B, un punto M, la perpendicular a AB que pasa por M. Luego I punto medio de AB, los segmentos AIe IB, y los puntos de intersección U y V de la perpendicular con cada uno de los segmentos :

U y V existen excluyéndose uno al otro. Veamos el comportamiento de DGPad para transformar esto enmacro-construcción. Aquí están las etapas en detalle.


http://www-cabri.imag.fr/abracadabri/GeoLogique/AliceGene.html

http://www-cabri.imag.fr/abracadabri/GeoLogique/AliceGene.html



" Ilustración 1 : se muestran los puntos A y B, los únicos objetos finales posibles son el punto medio y lossegmentos construidos a partir de él. " Ilustración 2 : se añade el punto M, todos los objetos de la figura son posible objetos finales, incluyendo U y V. " Ilustración 3 : se toca U, todas las otras posibilidades desaparecen. " Ilustración 4 : se desplaza M durante la construcción de la macro y se toca V como segundo objeto final. setermina la macro y se prueba con nuevos puntos. " Ilustración 5 : la macro funciona, crea los dos puntos U y V que se excluyen mutuamente.

La manipulación directa de la figura durante la realización de la macro funciona con toda su potencia.




Comportamiento de Geogebra en esta situación

Geogebra tiene una gestión diferente de sus herramientas. La construcción de las macros es modal, no se plantea lacuestión de la manipulación directa.

Como el funcionamiento es modal, Geogebra fabrica la macro sin problema : los puntos U y V son puntos de lafigura, por lo tanto son puntos finales posibles, y podemos seleccionarlos. Por defecto los tras puntos iniciales son A,B y M. La macro se crea sin problema...

Pero parece no funcionar...

En las ilustraciones 3 y 4 vemos a la vez la figura construida y su aplicación como macro que da la impresión de nofuncionar pero en realidad si funciona, sólo que hay que saber mirarla.

En erecto... el otro punto de intersección no está definido, y queda oculto. Lo vemos en la ventana de álgebra : es elpunto H. Hay que desplazar el punto E, para que H exista y podamos verlo :





Otras cualidades internas más finas de losmicromundos

Esta última parte de esta pestaña está reservada a la cultura de los micromundos y no aporta nada sobre lautilización de DGPad.

Vimos las cualidades externas de la gestión de macros, luego las cualidades internas. Podemos ir más lejos en lacalidad de producción de un micromundo. Ahora abordaremos refinamientos sofisticados, no para los alumnos sinopara los conceptores de micromundos : se trata de tener en cuenta, en las macros, relaciones entre los objetos y susconstituyentes. Esta relación es un cuestionamiento al que nos enfrentamos al realizar una utilización fina de unsoftware de geometría dinámica.

La posibilidad de utilizar puntos constituyentes de los objetos para hacer macros sobre esos objetos - omacros que los usen - es un punto fundamental en la realización de micromundos. Es una cualidad interna




de las macros.

Esta capacidad está integrada en Cabri II (y por lo tanto existe desde 1996) pero sólo la he encontrado de nuevo enCaRMetal. No funciona - aún - en DGPad ni en Geogebra.

Demos un ejemplo elemental : la construcción del centro de una cónica definida por 5 puntos. Primero señalemosque existen construcciones del centro de una cónica sólo a partir de los 5 puntos que la definen. Pero vamos a haceruna figura mixta, más simple, para ilustrar hasta donde puede llegarse en la calidad de un micromundo. Para evitarcomplicar la argumentación, nos limitaremos a la elipse.

Método usado : si se toman tres puntos de un círculo, su centro es la intersección de las dos mediatrices. Desde unpunto de vista afín (por eso el argumento no funciona con las hiperbolas aunque la construcción sigue siendocorrecta usando argumentos de bicociente), una mediatriz de dos puntos de un círculo es el lugar de los puntosmedios de cuerdas paralelas a una cuerda dadas. Si hacemos esto dos veces tenemos una manera de construir elcentro de un círculo y por lo tanto de una elipse como intersección de dos rectas de puntos medios de cuerdasparalelas.

Realización en CaRMetal

Una cónica está definida por 5 puntos A, B, C, D, y E. Queremos construir los puntos medios de las cuerdasparalelas a AB y a AE : esos dos lugares son rectas, y su intersección es el centro de la cónica.

La paralela a AE por B corta la cónica en M. LA paralela a AB por E corta la cónica en N. Esta construcción utilizaexplícitamente a la vez la cónica y tres de sus puntos.

El primer lugar es la recta UV y el segundo es la recta PQ. El centro es la intersección de esas dos rectas.




La macro tiene un solo elemento inicial, la cónica, y la macro funciona porque las macros aceptan las construccionessobre sus puntos constituyentes.

En la segunda línea de ilustraciones vemos la aplicación de la macro a una cónica en la que se desplaza un solopunto : la construcción es operacional en todos los casos (incluso cuando hay cambio de rama de la hiperbola)

Más lejos - ¿qué es un objeto constituyente ?

La pregunta no es simple. Tomemos una recta : puede estar definida por dos puntos, por un punto y una pendiente(por lo menos en Geogebra). Hay que definir meta-objetos de los que se derivan todas las rectas, segmentos ysemirrectas y que las macros, en la medida de lo posible, se apliquen a los meta-objetos.

Para los círculos sucede lo mismo : existe el objeto definido por centro y punto, por centro y radio (sobre la marcha)y centro y radio (dos puntos : compás), tanto en Cabri, como en Geogebra y CaRMetal. Si existe un meta-objeto, ¿elarco de círculo definido por tres puntos hacer parte de él ?

¿cuáles son los objetos constituyentes de un arco de círculo ? ¿Los tres puntos ? En general no ... entonces hayque identificar los objetos constituyentes de los objetos para poder hacer macros más finas.

En CaRMetal sólo uno de los tres puntos por los que pasa un arco definido por tres puntos es efectivamente unobjeto constituyente del arco. En Geogebra, pareciera que son los tres puntos pero no es posible utilizar los objetosconstituyentes señalando únicamente el arco como objeto inicial. Por eso no es simple hacer geometría hiperbólica




de manera óptima. Lo veremos en la pestaña sobre la galería hiperbólica.

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++++ Galeria 1

Aquí hay algunas figuras manipulables en el artículo, con la barra de herramientas para hacer construcciones.Todas las figuras pueden descargarse al final del artículo.

Sobre los círculos

Círculo de Malffati

Construcción de tres círculos al interior de un triángulo tangentes dos a dos y a dos lados del triángulo.

Ejemplo de micromundo sobre las cónicas afines

Las macros están disponibles en la figura ConiquesAffines en el archivo descargable. Aquí hay una primeraaplicación :

Un caso particulier del teorema de Carnot permite afirmar que existe siempre una cónica tritangente a los lados deun triángulo en los tres puntos de intersección con los lados de tres cevianas concurrentes (una ceviana es unarecta que pasa por un vértice del triángulo - en honor a Ceva).

En la figura anterior, puede manipular : " Los vértices A, B y C del triángulo.



http://www-cabri.imag.fr/abracadabri/Coniques/CAffines/Carnot/CarnotG.html



" El punto Sp (para Parábola de Steiner) que está sobre la elipse de Steiner circunscrita al triángulo ABC.Para las cevianas concurrentes sobre la elipse de Steiner la cónica tritangente a los lados del triángulo esuna parábola. " El punto Sg (Steiner general) puede desplazarse. Si Sg está en el interior de la elipse circunscrita deSteiner, la cónica tritangente es una elipse, si Sg es exterior, es una hipérbola.

Ejemplo de utilización de una macro directamente enel artículo

Exploración sobre la naturaleza de una cónica

La siguiente figura está compuesta de 4 puntos A, B, C, D, y de las dos parábolas que pasan por esos puntos(hecha con la macro Parabolas 4P). También contiene la macro que construye la cónica que pasa por 5 puntos.

Se trata de explorar la naturaleza de la cónica que pasa por los 4 puntos dados y un punto M, en función de laposición de M con respecto a las dos parábolas. Más precisamente, interesa el caso en que la cónica es una elipse.

Manipulación posible : " Entrar en modo macro. " Aplicar la macro Cnk 5P (Cónica por 5 puntos) a los puntos A, B, C, D y un punto sobre la marcha (que sellamará M). " Explorar la parte del plano en la que debe estar M para que la cónica sea una elipse.

El lugar buscado es la diferencia simétrica de los interiores de las dos parábolas, es decir la reunión de losinteriores quitándole su intersección

Ejemplo de figura con comportamiento booleano

Se puede desplazar el punto Ch y el centro del círculo




Ejemplo de texto dinámico

La implementación aún no está completa - por eso no está documentada en este artículo - pero este es un ejemplode (futuro) texto dinámico en DGPad (con MathJax). Como MathJax se carga en un segundo momento, el textoaparece incorrectametne durante algunos segundos.

Según los sistemas operativos y el navegador, puede ser necesario desplazar un cursor o el punto A para que eltexto aparezca correctamente.

Precisiones sobre la figura : " se trazó una función polinómica de tercer grado, con sus coeficientes manipulables. " Luego entre dos puntos A y B, se muestra que esta función se obtiene por una curva de Bezier de 4puntos (grado 3) que va de A a B definida por dos puntos intermedios C y D. " Construcción : C y D están respectivamente sobre la tangente a la curva que sale de A y B y tienenabscisas un tercio y dos tercios de AB. " Se modifica t para desplazar el punto de Bezier sobre la curva. " La unidad puede modificarse con el punto derecho del cursor que contiene el coeficiente a.

elative;width:738px;height:537px;background-color:rgba(200,200,200,1)">

(en desarrollo, para información, el texto puede no aparecer correctamente en todos los navegadores o en todos lossistemas operativos)

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++++ Galería hiperbólica

Las siguientes figuras son manipulables en línea, en el navegador.

Presentación suscinta del modelo

Disco de Poincaré : los puntos del plano hiperbólico son los puntos en el interior del círculo, llamado horizonte. Lospuntos del círculo horizonte son los puntos en el infinito. También se habla de puntos ideales en la medida en queno son puntos hiperbólicos, sino puntos del modelo - lo cual es práctico.

Las rectas son arcos de círculos ortogonales al círculo horizonte : por dos puntos pasa una y una sola recta. Hay uncaso particular : si los puntos están alineados con el centro el arco es un segmento.

Las rectas pueden ser : " secantes : tienen un punto en común " paralelas : "se cortan en el infinito". En el modelo tienen un punto ideal común. Fuera del modelo se habla de





"extremos comunes". Hilbert, por ejemplo, en su capítulo "fundamentos de la geometría", desarrolló todo un capítulosobre las propiedades de los extremos hiperbólicos. " o tener una perpendicular común. Que es única.

La diferencia entre la geometría euclidiana y la geometría hiperbólica reside por ejemplo en que por un punto,pasan dos rectas paralelas a una recta dada. En el modelo son las rectas que pasan por el punto y uno de losextremos de la recta inicial.

El haz de rectas paralelas se parte en dos nociones : el haz de rectas paralelas (que sea un haz hace parte de laspropiedades que hay que demostrar) y el haz de rectas que tienen una perpendicular común.

Se habla entonces de haz " con centro : las rectas son concurrentes " con eje : las rectas tienen una perpendicular común " sin soporte : tienen un extremo común, punto ideal.

Las porpiedades de concurrencia de las rectas usuales del triángulo se extienden a propiedades de "rectasen haz".

Por ejemplo las mediatrices son concurrentes - y los tres puntos están sobre el circuncírculo, o tienen unaperpendicular común, o tienen un punto ideal común (difícil de obtener en manipulación directa sin construcciónespecífica. Lo mismo pasa para las alturas, y las bisectrices de un triángulo.

Manipulación de las mediatrices de un triángulo

Al abrir la figura, los tres puntos no están sobre un circuncírculo, pues las mediatrices no son concurrentes : tienenuna perpendicular común. en ese caso el ciclo circunscrito se llama equidistante.

Se puede desplazar uno de los vértices del triángulo para ver el caso circunscrito.

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El caso "punto ideal" no se obtiene en general por manipulación directa, pero puede aproximarse perceptivametne.En ese caso el ciclo circunscrito se llama horociclo. Es un círculo en el modelo del disco de Poincaré.

Las medianas de un triángulo hiperbólico

Al contrario de las rectas notables del triángulo, las medianas de un triángulo hiperbólico siempre están en haz concentro - siempre son concurrentes - que es un resultado difícil de demostrar en un contexto absoluto.

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Del triángulo al trilátero

Como las rectas pueden ser no secantes sin ser paralelas, hay una extensión natural al triángulo que es el trilátero :tres rectas no secantes dos a dos que no están en haz.

Muchas propiedades generales de los triángulos no son específicamente euclidianas sino absolutas. Esta es unailustración de esta propiedad : las alturas de un trilátero - cuando existen - son las bisectrices del triángulo pedal (delos pies de las alturas). Es una propiedad euclidiana que se demuestra fácilmente con el producto escalar, y que seestudiaba antiguamente en el liceo.

En la siguiente figura : " Se toman tres rectas cualesquiera : un trilátero. " Cada recta es manipulable por dos asas : a1, a2, b1, b2 y c1 c2 respectivamente. " Las rectas color cyan son alturas del trilátero. Una altura es una recta que pertenece al haz de dos rectas yque es perpendicular a la tercera recta. Aquí las alturas son concurrentes. En algunos casos podrían no existir. " No construimos los pies de las alturas, pero están representados porque construimos - en rojo - el triánguloórtico que une esos pies de las alturas dos a dos " Luego construimos las prouyecciones ortogonales U, V y W del ortocentro del trilátero inicial sobre los ladosdel triángulo órtico. " Puede verse que el círculo de centro el ortocentro y que pasa por U también pasa por V y W y es tangente altriángulo órtico en esos puntos : las alturas de un trilátero son las bisectrices del triángulo órtico.

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Manipulación posible : puede convertir el trilátero en TRIANGULO haciendo que las rectas se corten dos ados : se tendrá entonces la misma situación que en el contexto euclidiano : un triángulo, sus alturas y el triánguloórtico y sus bisectrices.

Nótese que fuera de los seis puntos iniciales asas de las tres rectas del trilátero, sólo hay 4 puntos más : las




construcciones esenciales se hacen sin puntos con macros sobre los haces de rectas y sus propiedades : demanera general esas macros son más estables que las que hacen intervenir puntos.

Teselado hiperbólico P(5,4) - Generación 2

El siguiente archivo se demora en abrir (20s en una tableta), pero luego es fluido : es probablemente el primerteselado hiperbólico manipulable a dedo sobre una tableta táctil... gracias a DGPad y a su autor !!!

Se trata de un teselado de pentágonos ortogonales (con 5 ángulos rectos). Con la ortogonalidad, muchos puntosalineados, es el más simple de construir porque necesita menos objetos.

Por esa razón puede construirse la generación 2 : están todos los pentágonos (G2) alrededor de los pentágonos(G1) del pentágono inicial que pueden manipularse por su centro y un punto.

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En el estado actual de DGPad esta figura tiene más de 3100 objetos, podría reducirse a 800 o 1000 objetos cuandopuedan utilizarse datos numéricos para la invesión : aquí todos los vértices hiperbólicos de los pentágonos estánconstruidos geométricamente.

Las macros del micromundo asociado

La dificultad de los arcos de círculo es que en general sus puntos constituyentes no son aquellos que los definene.Sucede lo mismo para las rectas hiperbólicas : los puntos del arco que representa una recta hiperbólica AB nocontienen ni A ni B, lo que permite utilizar esta macro también para puntos A o B ideales.

De hecho es natural, para efectos de orientación entre otros, que los puntos constituyentes de los arcos no sean lospuntos que los definen.

Pero para DGPad, incluso los puntos constituyentes no son (aún) accesibles. Por eso las macros son más pesadasen objetos intermedios.




Para realizar estas construcciones, comencé con 8 macros hiperbólicas estándar y otras 3 para los haces de rectas.

Los nombres de las macros son significativos : si hay que dar tres puntos para una perpendicular en lugar de unarecta hiperbólica y un punto, es que la calidad del micromundo es pobre. Lo mismo para los 4 puntos para unaperpendicular común.

Entonces es necesario hacer un trabajo interno, conceptual, para que los objetos intermedios sean accesibles en lasconstrucciones que permiten mostrar el objeto constituído como objeto inicial.

Es posible una estrategia algebraica. En consecuencia, todas esas macros, y esas figuras podrán optimizarsecuando se incorporen las expresiones algebraicas en DGPad. Aquí las proponemos para mostrar que desde laprimera versión webApp, pueden hacerse cosas matemáticamente consistentes.

Más precisiones sobre los haces de rectas en generalaqui.

El artículo prosigue con consideraciones más téncicas en esta parte 2 : los scripts de DGPad

Notas de utilización

Sitio : www.dgpad.net

Environnement : En Android, puede usarse el navegador estándar de la tableta, o también Chrome o Firefox (que es menos rápido) En iOS, utilizar Chrome o Safari


http://www.reunion.iufm.fr/recherche/irem/spip.php?article494#pbach





En computador : Firefox, Chrome, Safari (no IE). Con un computador pueden arrastrarse los archivos directamentea la página DGPad (en el navegador). En tableta hay que pasar por la nube.

Una figura, realizada por el autor de DGPad : los 8 círculos de Apolonio (2568 objetos) (y si leyó el artículo, sabrá descargar la figura)

Todas las figuras de este artículo y algunas más están en el archivo descargable.


http://db-maths.nuxit.net/apollonius.html


Documents

DGPad - Un enfoque táctil específico de geometría dinámica ...revue.sesamath.net/IMG/article_PDF/article_a529.pdf · " La propuesta por Cabri, e imitada por la mayoría de software