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Diagonalisation des endomor- phismes J.M. Morvan Rappels sur les endomor- phismes Rappels sur les polynômes Racines d’un polynôme Polynômes scindés Polynômes de matrices Diagonalisation d’un endomor- phisme Vecteurs propres, valeurs propres Polynôme caractéristique Le cas des matrices symétriques réelles Deux remarques pour conclure Diagonalisation des endomorphismes Jean-Marie Morvan Université de Lyon Février 2012

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Diagonalisationdes endomor-

phismes

J.M. Morvan

Rappels surles endomor-phismes

Rappels surles polynômesRacines d’unpolynôme

Polynômes scindés

Polynômes dematrices

Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Diagonalisation des endomorphismes

Jean-Marie Morvan

Université de Lyon

Février 2012

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phismes

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Rappels surles endomor-phismes

Rappels surles polynômesRacines d’unpolynôme

Polynômes scindés

Polynômes dematrices

Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Généralités

E désigne un espace vectoriel sur K = R ou C dedimension finie n,

(e1, ...,ek , ...,en) une base quelconque de E .Soit f : E → E un endomorphisme de E .Posons

f (e1) = a11e1 + a21e2 + ...+ aj1ej + ...+ an1en,f (e2) = a12e1 + a22e2 + ...+ aj2ej + ...+ an2en,

......

f (en) = a1ne1 + a2ne2 + ...+ ajnej + ...+ annen.

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Rappels surles polynômesRacines d’unpolynôme

Polynômes scindés

Polynômes dematrices

Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Généralités

E désigne un espace vectoriel sur K = R ou C dedimension finie n,(e1, ...,ek , ...,en) une base quelconque de E .Soit f : E → E un endomorphisme de E .

Posons

f (e1) = a11e1 + a21e2 + ...+ aj1ej + ...+ an1en,f (e2) = a12e1 + a22e2 + ...+ aj2ej + ...+ an2en,

......

f (en) = a1ne1 + a2ne2 + ...+ ajnej + ...+ annen.

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Polynômes scindés

Polynômes dematrices

Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Généralités

E désigne un espace vectoriel sur K = R ou C dedimension finie n,(e1, ...,ek , ...,en) une base quelconque de E .Soit f : E → E un endomorphisme de E .Posons

f (e1) = a11e1 + a21e2 + ...+ aj1ej + ...+ an1en,f (e2) = a12e1 + a22e2 + ...+ aj2ej + ...+ an2en,

......

f (en) = a1ne1 + a2ne2 + ...+ ajnej + ...+ annen.

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Rappels surles polynômesRacines d’unpolynôme

Polynômes scindés

Polynômes dematrices

Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Généralités

La représentation matricielle de f dans la base (ei)1≤i≤n estla matrice

M(f )(ei )1≤i≤n=

a11 a12 ... a1i ... a1na21 a22 ... a2i ... a2n... ... ... ... ... ...aj1 aj2 ... aji ... ajn... ... ... ... ... ...

an1 an2 ... ani ... ann

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Rappels surles polynômesRacines d’unpolynôme

Polynômes scindés

Polynômes dematrices

Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Généralités

Si (εj)1≤j≤n est une autre base de E ,

M(f )(εj ) = P−1M(f )(ei )P, (1)

où P est la matrice de passage de la base (ei)1≤i≤n dans labase (εj)1≤j≤n.

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Polynômes scindés

Polynômes dematrices

Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Généralités

Si (εj)1≤j≤n est une autre base de E ,

M(f )(εj ) = P−1M(f )(ei )P, (1)

où P est la matrice de passage de la base (ei)1≤i≤n dans labase (εj)1≤j≤n.

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Polynômes scindés

Polynômes dematrices

Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Généralités

Plus précisément, si

ε1 = p11e1 + p21e2 + ...+ pn1en,ε2 = p12e1 + p22e2 + ...+ pn2en,...

...εn = p1ne1 + p2ne2 + ...+ pnnen,

alors

P =

p11 p12 ... p1i ... p1np21 p22 ... p2i ... p2n... ... ... ... ... ...pj1 pj2 ... pji ... pjn... ... ... ... ... ...

pn1 pn2 ... pni ... pnn

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Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Généralités

Plus précisément, si

ε1 = p11e1 + p21e2 + ...+ pn1en,ε2 = p12e1 + p22e2 + ...+ pn2en,...

...εn = p1ne1 + p2ne2 + ...+ pnnen,

alors

P =

p11 p12 ... p1i ... p1np21 p22 ... p2i ... p2n... ... ... ... ... ...pj1 pj2 ... pji ... pjn... ... ... ... ... ...

pn1 pn2 ... pni ... pnn

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Polynômes scindés

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Généralités

Notations -• On note L(E) l’espace des endomorphismes de E .

• On noteMn(K ) l’espace des matrices carrées d’ordren, (c’est-à-dire à n lignes et n colonnes 1) à coefficientsdans K .

• On note IE l’application identique de E dans E , et In lamatrice identité, (dont les coefficients sont égaux à 1sur la diagonale et à 0 partout ailleurs).

1. On dit aussi des matrices (n, n).

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Généralités

Notations -• On note L(E) l’espace des endomorphismes de E .• On noteMn(K ) l’espace des matrices carrées d’ordre

n, (c’est-à-dire à n lignes et n colonnes 1) à coefficientsdans K .

• On note IE l’application identique de E dans E , et In lamatrice identité, (dont les coefficients sont égaux à 1sur la diagonale et à 0 partout ailleurs).

1. On dit aussi des matrices (n, n).

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Polynômes dematrices

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Généralités

Notations -• On note L(E) l’espace des endomorphismes de E .• On noteMn(K ) l’espace des matrices carrées d’ordre

n, (c’est-à-dire à n lignes et n colonnes 1) à coefficientsdans K .

• On note IE l’application identique de E dans E , et In lamatrice identité, (dont les coefficients sont égaux à 1sur la diagonale et à 0 partout ailleurs).

1. On dit aussi des matrices (n, n).

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Polynômes scindés

Polynômes dematrices

Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Généralités

DefinitionDes matrices A et B deMn(K ) sont dites semblables

s’ilexiste une matrice inversible P ∈Mn(K ) telle que

B = P−1AP.

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Polynômes scindés

Polynômes dematrices

Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Généralités

DefinitionDes matrices A et B deMn(K ) sont dites semblables s’ilexiste une matrice inversible P ∈Mn(K ) telle que

B = P−1AP.

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Polynômes

Soit P(X ) un polynôme de degré p à coefficients dans K .Soit a ∈ K .

• On dit que a est une racine de P si P(a) = 0. Dans cecas, on pourra écrire

P(X ) = (X − a)P1(X ),

où P1(X ) est un polynôme de degré p − 1.• On dit que a est une racine d’ordre k (ou de multiplicité

k ) de P si l’on peut écrire

P(X ) = (X − a)kPk (X ),

où Pk (X ) est un polynôme de degré (p − k) quin’admet pas a comme racine.

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Polynômes scindés

Polynômes dematrices

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Polynômes

Soit P(X ) un polynôme de degré p à coefficients dans K .Soit a ∈ K .

• On dit que a est une racine de P si P(a) = 0. Dans cecas, on pourra écrire

P(X ) = (X − a)P1(X ),

où P1(X ) est un polynôme de degré p − 1.

• On dit que a est une racine d’ordre k (ou de multipliciték ) de P si l’on peut écrire

P(X ) = (X − a)kPk (X ),

où Pk (X ) est un polynôme de degré (p − k) quin’admet pas a comme racine.

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Polynômes scindés

Polynômes dematrices

Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Polynômes

Soit P(X ) un polynôme de degré p à coefficients dans K .Soit a ∈ K .

• On dit que a est une racine de P si P(a) = 0. Dans cecas, on pourra écrire

P(X ) = (X − a)P1(X ),

où P1(X ) est un polynôme de degré p − 1.• On dit que a est une racine d’ordre k (ou de multiplicité

k ) de P si l’on peut écrire

P(X ) = (X − a)kPk (X ),

où Pk (X ) est un polynôme de degré (p − k) quin’admet pas a comme racine.

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Polynômes scindés

Polynômes dematrices

Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Polynômes

TheoremSoit P(X ) un polynôme de degré p à coefficients dans C.Alors

• P(X ) a p racines (distinctes ou confondues) ;• on peut écrire

P(X ) = a(X − a1)α1 ...(X − ak )

αk ...(X − aq)αq ,

où a,ak ∈ C, αk ∈ N, (1 ≤ k ≤ q), avecα1 + ...+ αk + ...+ αq = p;

• en particulier, si P(X ) a p racines distinctes, alors P(X )est le produit de p facteurs de degré 1 :

P(X ) = a(X − a1)...(X − ak )...(X − ap).

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Rappels surles polynômesRacines d’unpolynôme

Polynômes scindés

Polynômes dematrices

Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Polynômes

TheoremSoit P(X ) un polynôme de degré p à coefficients dans C.Alors• P(X ) a p racines (distinctes ou confondues) ;

• on peut écrire

P(X ) = a(X − a1)α1 ...(X − ak )

αk ...(X − aq)αq ,

où a,ak ∈ C, αk ∈ N, (1 ≤ k ≤ q), avecα1 + ...+ αk + ...+ αq = p;

• en particulier, si P(X ) a p racines distinctes, alors P(X )est le produit de p facteurs de degré 1 :

P(X ) = a(X − a1)...(X − ak )...(X − ap).

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Polynômes scindés

Polynômes dematrices

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Polynômes

TheoremSoit P(X ) un polynôme de degré p à coefficients dans C.Alors• P(X ) a p racines (distinctes ou confondues) ;• on peut écrire

P(X ) = a(X − a1)α1 ...(X − ak )

αk ...(X − aq)αq ,

où a,ak ∈ C, αk ∈ N, (1 ≤ k ≤ q), avecα1 + ...+ αk + ...+ αq = p;

• en particulier, si P(X ) a p racines distinctes, alors P(X )est le produit de p facteurs de degré 1 :

P(X ) = a(X − a1)...(X − ak )...(X − ap).

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Polynômes

TheoremSoit P(X ) un polynôme de degré p à coefficients dans C.Alors• P(X ) a p racines (distinctes ou confondues) ;• on peut écrire

P(X ) = a(X − a1)α1 ...(X − ak )

αk ...(X − aq)αq ,

où a,ak ∈ C, αk ∈ N, (1 ≤ k ≤ q), avecα1 + ...+ αk + ...+ αq = p;

• en particulier, si P(X ) a p racines distinctes, alors P(X )est le produit de p facteurs de degré 1 :

P(X ) = a(X − a1)...(X − ak )...(X − ap).

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Polynômes scindés

Polynômes dematrices

Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Polynômes

Il est bien évident que ce résultat tombe en défaut si l’onconsidère des polynômes à coefficients dans R.

Par exemple, on peut écrire

X 2 + 1 = (X − i)(X + i)

en travaillant dans C,mais on ne peut pas écrire X 2 + 1 comme produit de deuxpolynômes de degré 1 à coefficients réels.Le corps K dans lequel vivent les coefficients est donccrucial dans ce type de questions.

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Polynômes scindés

Polynômes dematrices

Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Polynômes

Il est bien évident que ce résultat tombe en défaut si l’onconsidère des polynômes à coefficients dans R.

Par exemple, on peut écrire

X 2 + 1 = (X − i)(X + i)

en travaillant dans C,

mais on ne peut pas écrire X 2 + 1 comme produit de deuxpolynômes de degré 1 à coefficients réels.Le corps K dans lequel vivent les coefficients est donccrucial dans ce type de questions.

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Polynômes scindés

Polynômes dematrices

Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Polynômes

Il est bien évident que ce résultat tombe en défaut si l’onconsidère des polynômes à coefficients dans R.

Par exemple, on peut écrire

X 2 + 1 = (X − i)(X + i)

en travaillant dans C,mais on ne peut pas écrire X 2 + 1 comme produit de deuxpolynômes de degré 1 à coefficients réels.

Le corps K dans lequel vivent les coefficients est donccrucial dans ce type de questions.

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Polynômes scindés

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Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Polynômes

Il est bien évident que ce résultat tombe en défaut si l’onconsidère des polynômes à coefficients dans R.

Par exemple, on peut écrire

X 2 + 1 = (X − i)(X + i)

en travaillant dans C,mais on ne peut pas écrire X 2 + 1 comme produit de deuxpolynômes de degré 1 à coefficients réels.Le corps K dans lequel vivent les coefficients est donccrucial dans ce type de questions.

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Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Polynômes scindés

DefinitionSoit P(X ) un polynôme à coefficients dans K . On dit queP(X ) est scindé dans K si l’on peut écrire P(X ) sous laforme :

P(X ) = a(X − a1)α1 ...(X − ak )

αk ...(X − aq)αq ,

où a,ak ∈ K , et αk ∈ N, (1 ≤ k ≤ q).

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Polynômes scindés

Polynômes dematrices

Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Polynômes scindés

DefinitionSoit P(X ) un polynôme à coefficients dans K . On dit queP(X ) est scindé dans K si l’on peut écrire P(X ) sous laforme :

P(X ) = a(X − a1)α1 ...(X − ak )

αk ...(X − aq)αq ,

où a,ak ∈ K , et αk ∈ N, (1 ≤ k ≤ q).

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Polynômes dematrices

Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Polynômes de matrices

Si P(X ) est un polynôme à coefficients dans K ,l’indéterminée X peut décrire un ensemble de matrices.Ainsi, si

P(X ) = αpX p + αp−1X p−1 + ...+ α1X + α0,

où pour tout i ∈ {0, ...,p}, αi ∈ K , on pose, pour toutA ∈Mn(K ),

P(A) = αpAp + αp−1Ap−1 + ...+ α1A + α0In,

où In désigne la matrice identité.

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Rappels surles endomor-phismes

Rappels surles polynômesRacines d’unpolynôme

Polynômes scindés

Polynômes dematrices

Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Polynômes de matrices

Si P(X ) est un polynôme à coefficients dans K ,l’indéterminée X peut décrire un ensemble de matrices.Ainsi, si

P(X ) = αpX p + αp−1X p−1 + ...+ α1X + α0,

où pour tout i ∈ {0, ...,p}, αi ∈ K , on pose, pour toutA ∈Mn(K ),

P(A) = αpAp + αp−1Ap−1 + ...+ α1A + α0In,

où In désigne la matrice identité.

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Polynômes dematrices

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Polynômes de matrices

Si P(X ) est un polynôme à coefficients dans K ,l’indéterminée X peut décrire un ensemble de matrices.Ainsi, si

P(X ) = αpX p + αp−1X p−1 + ...+ α1X + α0,

où pour tout i ∈ {0, ...,p}, αi ∈ K , on pose, pour toutA ∈Mn(K ),

P(A) = αpAp + αp−1Ap−1 + ...+ α1A + α0In,

où In désigne la matrice identité.

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Polynômes scindés

Polynômes dematrices

Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Polynômes de matrices

De la même façon, la variable peut aussi décrire l’ensembledes endomorphismes de E . Ainsi, si u est unendomorphisme de E ,

P(u) = αpup + αp−1up−1 + ...+ α1u + α0IE ,

où IE désigne l’endomorphisme identité.

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Polynômes scindés

Polynômes dematrices

Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Polynômes de matrices

De la même façon, la variable peut aussi décrire l’ensembledes endomorphismes de E . Ainsi, si u est unendomorphisme de E ,

P(u) = αpup + αp−1up−1 + ...+ α1u + α0IE ,

où IE désigne l’endomorphisme identité.

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Polynômes scindés

Polynômes dematrices

Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Un exemple

P(X ) = X 2 + 2,

et

A =

(1 20 3

),

alorsP(A) = A2 + 2I2,

c’est-à-dire

P(A) =(

1 20 3

)(1 20 3

)+ 2

(1 00 1

)=

(3 80 11

).

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Polynômes scindés

Polynômes dematrices

Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Un exemple

P(X ) = X 2 + 2,

et

A =

(1 20 3

),

alorsP(A) = A2 + 2I2,

c’est-à-dire

P(A) =(

1 20 3

)(1 20 3

)+ 2

(1 00 1

)=

(3 80 11

).

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Polynômes scindés

Polynômes dematrices

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Un exemple

P(X ) = X 2 + 2,

et

A =

(1 20 3

),

alorsP(A) = A2 + 2I2,

c’est-à-dire

P(A) =(

1 20 3

)(1 20 3

)+ 2

(1 00 1

)=

(3 80 11

).

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Diagonalisation

On dit que f est diagonalisable

s’il existe une base(ε1, ..., εk , ..., εn) de E dans laquelle la matrice M(f )(εi ) de fest diagonale.

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Diagonalisation

On dit que f est diagonalisable s’il existe une base(ε1, ..., εk , ..., εn) de E

dans laquelle la matrice M(f )(εi ) de fest diagonale.

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Diagonalisation

On dit que f est diagonalisable s’il existe une base(ε1, ..., εk , ..., εn) de E dans laquelle la matrice M(f )(εi ) de fest diagonale.

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Diagonalisation

La matrice M(f )(εi ) aura alors une expression du typesuivant :

M(f )(εi ) =

λ1 0 ... 0 ... 00 λ2 ... 0 ... 0...

......

......

...0 0 ... λi ... 0...

......

......

...0 0 ... 0 ... λn

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Polynômes scindés

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Diagonalisation

La matrice M(f )(εi ) aura alors une expression du typesuivant :

M(f )(εi ) =

λ1 0 ... 0 ... 00 λ2 ... 0 ... 0...

......

......

...0 0 ... λi ... 0...

......

......

...0 0 ... 0 ... λn

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Polynômes scindés

Polynômes dematrices

Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Diagonalisation

On dit qu’une matrice carrée M ∈Mn(K ) est diagonalisable

si elle est semblable à une matrice diagonale, c’est-à-dires’il existe une matrice diagonale D ∈Mn(K ) et une matriceinversible P ∈Mn(K ) telle que

M = PDP−1.

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Polynômes scindés

Polynômes dematrices

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Diagonalisation

On dit qu’une matrice carrée M ∈Mn(K ) est diagonalisablesi elle est semblable à une matrice diagonale,

c’est-à-dires’il existe une matrice diagonale D ∈Mn(K ) et une matriceinversible P ∈Mn(K ) telle que

M = PDP−1.

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Polynômes scindés

Polynômes dematrices

Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Diagonalisation

On dit qu’une matrice carrée M ∈Mn(K ) est diagonalisablesi elle est semblable à une matrice diagonale, c’est-à-dires’il existe une matrice diagonale D ∈Mn(K ) et une matriceinversible P ∈Mn(K ) telle que

M = PDP−1.

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Vecteurs propres, valeurspropres

Soit E un espace vectoriel sur K = R ou C.

DefinitionSoit v un vecteur de E .On dit que v est un vecteur propre def si• v n’est pas nul ;• les vecteurs v et f (v) sont proportionnels, c’est-à-dire

s’il existe λ ∈ K tel que

f (v) = λv .

L’élément λ de K s’appelle la valeur propre associée à v .

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Vecteurs propres, valeurspropres

Soit E un espace vectoriel sur K = R ou C.

DefinitionSoit v un vecteur de E .

On dit que v est un vecteur propre def si• v n’est pas nul ;• les vecteurs v et f (v) sont proportionnels, c’est-à-dire

s’il existe λ ∈ K tel que

f (v) = λv .

L’élément λ de K s’appelle la valeur propre associée à v .

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Polynômes scindés

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Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Vecteurs propres, valeurspropres

Soit E un espace vectoriel sur K = R ou C.

DefinitionSoit v un vecteur de E .On dit que v est un vecteur propre def si

• v n’est pas nul ;• les vecteurs v et f (v) sont proportionnels, c’est-à-dire

s’il existe λ ∈ K tel que

f (v) = λv .

L’élément λ de K s’appelle la valeur propre associée à v .

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Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Vecteurs propres, valeurspropres

Soit E un espace vectoriel sur K = R ou C.

DefinitionSoit v un vecteur de E .On dit que v est un vecteur propre def si• v n’est pas nul ;

• les vecteurs v et f (v) sont proportionnels, c’est-à-dires’il existe λ ∈ K tel que

f (v) = λv .

L’élément λ de K s’appelle la valeur propre associée à v .

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Polynômes scindés

Polynômes dematrices

Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Vecteurs propres, valeurspropres

Soit E un espace vectoriel sur K = R ou C.

DefinitionSoit v un vecteur de E .On dit que v est un vecteur propre def si• v n’est pas nul ;• les vecteurs v et f (v) sont proportionnels, c’est-à-dire

s’il existe λ ∈ K tel que

f (v) = λv .

L’élément λ de K s’appelle la valeur propre associée à v .

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Vecteurs propres, valeurspropres

Soit E un espace vectoriel sur K = R ou C.

DefinitionSoit v un vecteur de E .On dit que v est un vecteur propre def si• v n’est pas nul ;• les vecteurs v et f (v) sont proportionnels, c’est-à-dire

s’il existe λ ∈ K tel que

f (v) = λv .

L’élément λ de K s’appelle la valeur propre associée à v .

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Polynômes scindés

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Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Vecteurs propres, valeurspropres

DefinitionLe spectre Spec(f ) de f est l’ensemble des valeurs propresde f .

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Polynômes scindés

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Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Un exemple

f de R2 défini dans la base canonique (e1,e2) par :

{f (e1) = 2e1 + e2,

f (e2) = e1 + 2e2.(2)

Alors le vecteurv = e1 + e2

vérifie

f (v) = f (e1 + e2) = f (e1) + f (e2) = 3(e1 + e2).

En définitive,f (v) = 3v ,

ce qui signifie que v est un vecteur propre de f , dont lavaleur propre associée est 3.

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Polynômes scindés

Polynômes dematrices

Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Un exemple

f de R2 défini dans la base canonique (e1,e2) par :{f (e1) = 2e1 + e2,

f (e2) = e1 + 2e2.(2)

Alors le vecteurv = e1 + e2

vérifie

f (v) = f (e1 + e2) = f (e1) + f (e2) = 3(e1 + e2).

En définitive,f (v) = 3v ,

ce qui signifie que v est un vecteur propre de f , dont lavaleur propre associée est 3.

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Polynômes scindés

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Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Un exemple

f de R2 défini dans la base canonique (e1,e2) par :{f (e1) = 2e1 + e2,

f (e2) = e1 + 2e2.(2)

Alors le vecteurv = e1 + e2

vérifie

f (v) = f (e1 + e2) = f (e1) + f (e2) = 3(e1 + e2).

En définitive,f (v) = 3v ,

ce qui signifie que v est un vecteur propre de f , dont lavaleur propre associée est 3.

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Polynômes scindés

Polynômes dematrices

Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Un exemple

f de R2 défini dans la base canonique (e1,e2) par :{f (e1) = 2e1 + e2,

f (e2) = e1 + 2e2.(2)

Alors le vecteurv = e1 + e2

vérifie

f (v) = f (e1 + e2) = f (e1) + f (e2) = 3(e1 + e2).

En définitive,f (v) = 3v ,

ce qui signifie que v est un vecteur propre de f , dont lavaleur propre associée est 3.

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Polynômes scindés

Polynômes dematrices

Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Vecteurs propres, valeurspropres

DefinitionSoit λ une valeur propre de f .

Le sous-espace vectoriel

Eλ = {v ∈ E : f (v) = λv}

s’appelle le sous-espace propre associé à λ.Remarquons que le sous-espace Eλ est composé desvecteurs propres associés à λ, auxquels on a ajouté 0.

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Polynômes scindés

Polynômes dematrices

Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Vecteurs propres, valeurspropres

DefinitionSoit λ une valeur propre de f . Le sous-espace vectoriel

Eλ = {v ∈ E : f (v) = λv}

s’appelle le sous-espace propre associé à λ.

Remarquons que le sous-espace Eλ est composé desvecteurs propres associés à λ, auxquels on a ajouté 0.

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Polynômes dematrices

Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Vecteurs propres, valeurspropres

DefinitionSoit λ une valeur propre de f . Le sous-espace vectoriel

Eλ = {v ∈ E : f (v) = λv}

s’appelle le sous-espace propre associé à λ.Remarquons que le sous-espace Eλ est composé desvecteurs propres associés à λ, auxquels on a ajouté 0.

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Vecteurs propres, valeurspropres

TheoremSoit f un endomorphisme de E.

Alors f est diagonalisable siet seulement s’il existe une base de E composée devecteurs propres.

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Polynômes dematrices

Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Vecteurs propres, valeurspropres

TheoremSoit f un endomorphisme de E. Alors f est diagonalisable siet seulement s’il existe une base de E composée devecteurs propres.

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Exemple

Reprenons l’exemple 2 :

Soit f un endomorphisme de R2

défini dans la base canonique (e1,e2) par :{f (e1) = 2e1 + e2,

f (e2) = e1 + 2e2.

nous avons vu que v = e1 + e2 est un vecteur propreassocié à la valeur propre 3.On peut également vérifier que w = e1 − e2 satisfait :

f (w) = −w ,

donc w est aussi un vecteur propre de f associé à la valeurpropre −1.

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Exemple

Reprenons l’exemple 2 : Soit f un endomorphisme de R2

défini dans la base canonique (e1,e2) par :

{f (e1) = 2e1 + e2,

f (e2) = e1 + 2e2.

nous avons vu que v = e1 + e2 est un vecteur propreassocié à la valeur propre 3.On peut également vérifier que w = e1 − e2 satisfait :

f (w) = −w ,

donc w est aussi un vecteur propre de f associé à la valeurpropre −1.

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Exemple

Reprenons l’exemple 2 : Soit f un endomorphisme de R2

défini dans la base canonique (e1,e2) par :{f (e1) = 2e1 + e2,

f (e2) = e1 + 2e2.

nous avons vu que v = e1 + e2 est un vecteur propreassocié à la valeur propre 3.On peut également vérifier que w = e1 − e2 satisfait :

f (w) = −w ,

donc w est aussi un vecteur propre de f associé à la valeurpropre −1.

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Exemple

Reprenons l’exemple 2 : Soit f un endomorphisme de R2

défini dans la base canonique (e1,e2) par :{f (e1) = 2e1 + e2,

f (e2) = e1 + 2e2.

nous avons vu que v = e1 + e2 est un vecteur propreassocié à la valeur propre 3.

On peut également vérifier que w = e1 − e2 satisfait :

f (w) = −w ,

donc w est aussi un vecteur propre de f associé à la valeurpropre −1.

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Exemple

Reprenons l’exemple 2 : Soit f un endomorphisme de R2

défini dans la base canonique (e1,e2) par :{f (e1) = 2e1 + e2,

f (e2) = e1 + 2e2.

nous avons vu que v = e1 + e2 est un vecteur propreassocié à la valeur propre 3.On peut également vérifier que w = e1 − e2 satisfait :

f (w) = −w ,

donc w est aussi un vecteur propre de f associé à la valeurpropre −1.

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Exemple

Reprenons l’exemple 2 : Soit f un endomorphisme de R2

défini dans la base canonique (e1,e2) par :{f (e1) = 2e1 + e2,

f (e2) = e1 + 2e2.

nous avons vu que v = e1 + e2 est un vecteur propreassocié à la valeur propre 3.On peut également vérifier que w = e1 − e2 satisfait :

f (w) = −w ,

donc w est aussi un vecteur propre de f associé à la valeurpropre −1.

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Exemple

Les vecteurs (v ,w) forment une base de vecteurs propresde R2, dans laquelle f est diagonalisée.

La matrice de f dans cette nouvelle base s’écrit :

M(f )(v ,w) =

(3 00 −1

)

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Exemple

Les vecteurs (v ,w) forment une base de vecteurs propresde R2, dans laquelle f est diagonalisée.La matrice de f dans cette nouvelle base s’écrit :

M(f )(v ,w) =

(3 00 −1

)

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Vecteurs propres, valeurspropres

Si λ1, ..., λp sont des valeurs propres distinctes de f , alorson montre que les sous-espaces propres

Eλ1 , ...,Eλp

sont en somme directe. On en déduit immédiatement le

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Vecteurs propres, valeurspropres

On en déduit immédiatement le

TheoremSoit f : E → E un endomorphisme d’un espace vectoriel Ede dimension n sur K = R ou C.

Soient λ1, ..., λp les valeurs propres de f .Alors f est diagonalisable si et seulement si

E = Eλ1 ⊕ ...⊕ Eλp .

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Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Vecteurs propres, valeurspropres

On en déduit immédiatement le

TheoremSoit f : E → E un endomorphisme d’un espace vectoriel Ede dimension n sur K = R ou C.Soient λ1, ..., λp les valeurs propres de f .

Alors f est diagonalisable si et seulement si

E = Eλ1 ⊕ ...⊕ Eλp .

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Vecteurs propres, valeurspropres

On en déduit immédiatement le

TheoremSoit f : E → E un endomorphisme d’un espace vectoriel Ede dimension n sur K = R ou C.Soient λ1, ..., λp les valeurs propres de f .Alors f est diagonalisable si et seulement si

E = Eλ1 ⊕ ...⊕ Eλp .

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Vecteurs propres, valeurspropres

On déduit immédiatement le corollaire suivant :

CorollarySous les hypothèses du Théorème 8, f est diagonalisable siet seulement si

dim Eλ1 + ...+ dim Eλp = n.

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Vecteurs propres, valeurspropres

On déduit immédiatement le corollaire suivant :

CorollarySous les hypothèses du Théorème 8, f est diagonalisable siet seulement si

dim Eλ1 + ...+ dim Eλp = n.

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Vecteurs propres, valeurspropres

On déduit immédiatement le corollaire suivant :

CorollarySous les hypothèses du Théorème 8, f est diagonalisable siet seulement si

dim Eλ1 + ...+ dim Eλp = n.

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Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Exemple

Reprenons encore l’exemple 2 : dans notre situation,

R2 = Rv ⊕ Rw .

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Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Exemple

Reprenons encore l’exemple 2 : dans notre situation,

R2 = Rv ⊕ Rw .

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Polynômes scindés

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Polynôme caractéristique

Soit E un espace vectoriel de dimension n sur K = R ou C.

Definition

• Soit f un endomorphisme de E . Le polynômecaractéristique de f est le polynôme Pf (X ) de degré ndéfini par

Pf (X ) = det(f − X IE).

• Soit M ∈Mn(K ). Le polynôme caractéristique de M estle polynôme PM(X ) de degré n défini par

PM(X ) = det(M − X In).

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Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Polynôme caractéristique

Soit E un espace vectoriel de dimension n sur K = R ou C.

Definition

• Soit f un endomorphisme de E .

Le polynômecaractéristique de f est le polynôme Pf (X ) de degré ndéfini par

Pf (X ) = det(f − X IE).

• Soit M ∈Mn(K ). Le polynôme caractéristique de M estle polynôme PM(X ) de degré n défini par

PM(X ) = det(M − X In).

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Polynôme caractéristique

Soit E un espace vectoriel de dimension n sur K = R ou C.

Definition

• Soit f un endomorphisme de E . Le polynômecaractéristique de f est le polynôme Pf (X ) de degré ndéfini par

Pf (X ) = det(f − X IE).

• Soit M ∈Mn(K ). Le polynôme caractéristique de M estle polynôme PM(X ) de degré n défini par

PM(X ) = det(M − X In).

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Polynôme caractéristique

Soit E un espace vectoriel de dimension n sur K = R ou C.

Definition

• Soit f un endomorphisme de E . Le polynômecaractéristique de f est le polynôme Pf (X ) de degré ndéfini par

Pf (X ) = det(f − X IE).

• Soit M ∈Mn(K ). Le polynôme caractéristique de M estle polynôme PM(X ) de degré n défini par

PM(X ) = det(M − X In).

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Polynôme caractéristique

Soit E un espace vectoriel de dimension n sur K = R ou C.

Definition

• Soit f un endomorphisme de E . Le polynômecaractéristique de f est le polynôme Pf (X ) de degré ndéfini par

Pf (X ) = det(f − X IE).

• Soit M ∈Mn(K ). Le polynôme caractéristique de M estle polynôme PM(X ) de degré n défini par

PM(X ) = det(M − X In).

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Polynôme caractéristique

Soit E un espace vectoriel de dimension n sur K = R ou C.

Definition

• Soit f un endomorphisme de E . Le polynômecaractéristique de f est le polynôme Pf (X ) de degré ndéfini par

Pf (X ) = det(f − X IE).

• Soit M ∈Mn(K ). Le polynôme caractéristique de M estle polynôme PM(X ) de degré n défini par

PM(X ) = det(M − X In).

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Exemple

Si f est un endomorphisme de R2 dont la matrice M(f ) dansune base quelconque s’écrit

M(f ) =(

1 13 2

),

alors

Pf (X ) =

∣∣∣∣1− X 13 2− X

∣∣∣∣ = X 2 − 3X − 1.

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Exemple

Si f est un endomorphisme de R2 dont la matrice M(f ) dansune base quelconque s’écrit

M(f ) =(

1 13 2

),

alors

Pf (X ) =

∣∣∣∣1− X 13 2− X

∣∣∣∣ = X 2 − 3X − 1.

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Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Polynôme caractéristique

TheoremSoit f un endomorphisme de E. Alors,

1 les valeurs propres de f sont les racines du polynômePf ;

2 f est diagonalisable si et seulement si• son polynôme caractéristique Pf est scindé :

P(X ) = (−1)n(X − λ1)α1 ...(X − λk )

αk ...(X − λp)αp ,

• pour chaque valeur propre λi , (1 ≤ i ≤ p),

dim Eλi = αi .

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Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Polynôme caractéristique

TheoremSoit f un endomorphisme de E. Alors,

1 les valeurs propres de f sont les racines du polynômePf ;

2 f est diagonalisable si et seulement si• son polynôme caractéristique Pf est scindé :

P(X ) = (−1)n(X − λ1)α1 ...(X − λk )

αk ...(X − λp)αp ,

• pour chaque valeur propre λi , (1 ≤ i ≤ p),

dim Eλi = αi .

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Polynôme caractéristique

TheoremSoit f un endomorphisme de E. Alors,

1 les valeurs propres de f sont les racines du polynômePf ;

2 f est diagonalisable si et seulement si

• son polynôme caractéristique Pf est scindé :

P(X ) = (−1)n(X − λ1)α1 ...(X − λk )

αk ...(X − λp)αp ,

• pour chaque valeur propre λi , (1 ≤ i ≤ p),

dim Eλi = αi .

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Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Polynôme caractéristique

TheoremSoit f un endomorphisme de E. Alors,

1 les valeurs propres de f sont les racines du polynômePf ;

2 f est diagonalisable si et seulement si• son polynôme caractéristique Pf est scindé :

P(X ) = (−1)n(X − λ1)α1 ...(X − λk )

αk ...(X − λp)αp ,

• pour chaque valeur propre λi , (1 ≤ i ≤ p),

dim Eλi = αi .

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Polynômes scindés

Polynômes dematrices

Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Polynôme caractéristique

TheoremSoit f un endomorphisme de E. Alors,

1 les valeurs propres de f sont les racines du polynômePf ;

2 f est diagonalisable si et seulement si• son polynôme caractéristique Pf est scindé :

P(X ) = (−1)n(X − λ1)α1 ...(X − λk )

αk ...(X − λp)αp ,

• pour chaque valeur propre λi , (1 ≤ i ≤ p),

dim Eλi = αi .

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Polynôme caractéristique

Voici aussi un résultat général très utile :

TheoremSoit f un endomorphisme de E. Soit λ une racine de sonpolynôme caractéristique de multiplicité α. Alors

1 ≤ dim Eλ ≤ α. (3)

Par conséquent, le Théorème 11 signifie qu’unendomorphisme f est diagonalisable si et seulement si• son polynôme caractéristique est scindé,• et pour tout i , la double inégalité large 3 est une égalité

à droite.

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Polynôme caractéristique

Voici aussi un résultat général très utile :

TheoremSoit f un endomorphisme de E.

Soit λ une racine de sonpolynôme caractéristique de multiplicité α. Alors

1 ≤ dim Eλ ≤ α. (3)

Par conséquent, le Théorème 11 signifie qu’unendomorphisme f est diagonalisable si et seulement si• son polynôme caractéristique est scindé,• et pour tout i , la double inégalité large 3 est une égalité

à droite.

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Polynôme caractéristique

Voici aussi un résultat général très utile :

TheoremSoit f un endomorphisme de E. Soit λ une racine de sonpolynôme caractéristique de multiplicité α.

Alors

1 ≤ dim Eλ ≤ α. (3)

Par conséquent, le Théorème 11 signifie qu’unendomorphisme f est diagonalisable si et seulement si• son polynôme caractéristique est scindé,• et pour tout i , la double inégalité large 3 est une égalité

à droite.

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Polynôme caractéristique

Voici aussi un résultat général très utile :

TheoremSoit f un endomorphisme de E. Soit λ une racine de sonpolynôme caractéristique de multiplicité α. Alors

1 ≤ dim Eλ ≤ α. (3)

Par conséquent, le Théorème 11 signifie qu’unendomorphisme f est diagonalisable si et seulement si• son polynôme caractéristique est scindé,• et pour tout i , la double inégalité large 3 est une égalité

à droite.

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Polynôme caractéristique

Voici aussi un résultat général très utile :

TheoremSoit f un endomorphisme de E. Soit λ une racine de sonpolynôme caractéristique de multiplicité α. Alors

1 ≤ dim Eλ ≤ α. (3)

Par conséquent, le Théorème 11 signifie qu’unendomorphisme f est diagonalisable si et seulement si

• son polynôme caractéristique est scindé,• et pour tout i , la double inégalité large 3 est une égalité

à droite.

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Polynôme caractéristique

Voici aussi un résultat général très utile :

TheoremSoit f un endomorphisme de E. Soit λ une racine de sonpolynôme caractéristique de multiplicité α. Alors

1 ≤ dim Eλ ≤ α. (3)

Par conséquent, le Théorème 11 signifie qu’unendomorphisme f est diagonalisable si et seulement si• son polynôme caractéristique est scindé,

• et pour tout i , la double inégalité large 3 est une égalitéà droite.

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Polynôme caractéristique

Voici aussi un résultat général très utile :

TheoremSoit f un endomorphisme de E. Soit λ une racine de sonpolynôme caractéristique de multiplicité α. Alors

1 ≤ dim Eλ ≤ α. (3)

Par conséquent, le Théorème 11 signifie qu’unendomorphisme f est diagonalisable si et seulement si• son polynôme caractéristique est scindé,• et pour tout i , la double inégalité large 3 est une égalité

à droite.

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Exemple

Considérons l’endomorphisme f de R3 dont la matrice dansla base canonique a pour expression

M(f ) =

0 1 11 0 11 1 0

.

Le polynôme caractéristique est :

Pf (X ) =

∣∣∣∣∣∣−X 1 11 −X 11 1 −X

∣∣∣∣∣∣ = −(X + 1)2(X − 2).

Donc les valeurs propres de f sont −1, de multiplicité 2 et 2de multiplicité 1.

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Exemple

Considérons l’endomorphisme f de R3 dont la matrice dansla base canonique a pour expression

M(f ) =

0 1 11 0 11 1 0

.

Le polynôme caractéristique est :

Pf (X ) =

∣∣∣∣∣∣−X 1 11 −X 11 1 −X

∣∣∣∣∣∣ = −(X + 1)2(X − 2).

Donc les valeurs propres de f sont −1, de multiplicité 2 et 2de multiplicité 1.

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Exemple

Considérons l’endomorphisme f de R3 dont la matrice dansla base canonique a pour expression

M(f ) =

0 1 11 0 11 1 0

.

Le polynôme caractéristique est :

Pf (X ) =

∣∣∣∣∣∣−X 1 11 −X 11 1 −X

∣∣∣∣∣∣ = −(X + 1)2(X − 2).

Donc les valeurs propres de f sont −1, de multiplicité 2 et 2de multiplicité 1.

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Exemple

On déduit que le sous-espace propre V2 associé à la valeurpropre 2 a pour dimension 1, (c’est donc une droitevectorielle).

Pour déterminer un vecteur propre qui engendre cettedroite, on résout le système

MX = 2X , (4)

c’est-à-dire(M − 2Id)X = 0, (5)

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Exemple

On déduit que le sous-espace propre V2 associé à la valeurpropre 2 a pour dimension 1, (c’est donc une droitevectorielle).Pour déterminer un vecteur propre qui engendre cettedroite, on résout le système

MX = 2X , (4)

c’est-à-dire(M − 2Id)X = 0, (5)

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Exemple

On déduit que le sous-espace propre V2 associé à la valeurpropre 2 a pour dimension 1, (c’est donc une droitevectorielle).Pour déterminer un vecteur propre qui engendre cettedroite, on résout le système

MX = 2X , (4)

c’est-à-dire(M − 2Id)X = 0, (5)

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Exemple

... qui s’écrit, en posant X = (x , y , z),

−2x + y + z = 0x − 2y + z = 0x + y − 2z = 0

. (6)

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Exemple

... qui s’écrit, en posant X = (x , y , z),−2x + y + z = 0x − 2y + z = 0x + y − 2z = 0

. (6)

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Exemple

L’ensemble des solutions est bien une droite vectorielleengendrée par exemple par le vecteur

v1 = (1,1,1).

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Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Exemple

Le sous-espace propre V−1 associé à la valeur propre −1 aune dimension inférieure ou égale à 2.

Si cette dimension est 2, alors f est diagonalisable.

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Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Exemple

Le sous-espace propre V−1 associé à la valeur propre −1 aune dimension inférieure ou égale à 2.Si cette dimension est 2, alors f est diagonalisable.

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Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Exemple

Pour connaître cette dimension, on résout le système :

MX = −X , (7)

c’est-à-dire(M + Id)X = 0. (8)

En posant X = (x , y , z), on montre sans problème que lesystème 8 s’écrit

x + y + z = 0x + y + z = 0x + y + z = 0

. (9)

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Exemple

Pour connaître cette dimension, on résout le système :

MX = −X , (7)

c’est-à-dire(M + Id)X = 0. (8)

En posant X = (x , y , z), on montre sans problème que lesystème 8 s’écrit

x + y + z = 0x + y + z = 0x + y + z = 0

. (9)

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Exemple

Pour connaître cette dimension, on résout le système :

MX = −X , (7)

c’est-à-dire(M + Id)X = 0. (8)

En posant X = (x , y , z), on montre sans problème que lesystème 8 s’écrit

x + y + z = 0x + y + z = 0x + y + z = 0

. (9)

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Exemple

Le sous-espace V−1, qui est l’ensemble des solutions dusystème 9, est le plan vectoriel de R3 d’équation

x + y + z = 0.

C’est donc un sous-espace vectoriel de dimension 2. Enconséquence, f est diagonalisable.Les vecteurs

v2 = (1,−1,0), v3 = (0,1,−1)

engendrent le plan V−2.

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Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Exemple

Le sous-espace V−1, qui est l’ensemble des solutions dusystème 9, est le plan vectoriel de R3 d’équation

x + y + z = 0.

C’est donc un sous-espace vectoriel de dimension 2. Enconséquence, f est diagonalisable.

Les vecteurs

v2 = (1,−1,0), v3 = (0,1,−1)

engendrent le plan V−2.

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Exemple

Le sous-espace V−1, qui est l’ensemble des solutions dusystème 9, est le plan vectoriel de R3 d’équation

x + y + z = 0.

C’est donc un sous-espace vectoriel de dimension 2. Enconséquence, f est diagonalisable.Les vecteurs

v2 = (1,−1,0), v3 = (0,1,−1)

engendrent le plan V−2.

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Exemple

Dans la base (v1, v2, v3), la matrice de f est diagonale ets’écrit

M(f )(vi ) =

2 0 00 −1 00 0 −1

.

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Polynôme caractéristique

CorollarySoit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E dedimension n sur K .

Si f admet n valeurs propres deux à deux distinctes, alors fest diagonalisable.

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Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Polynôme caractéristique

CorollarySoit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E dedimension n sur K .Si f admet n valeurs propres deux à deux distinctes, alors fest diagonalisable.

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Polynômes scindés

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Matrices symétriques

Rappelons qu’une matrice carrée M = (aij)1≤i,j≤n estsymétrique si pour tout i , j ,

aij = aji .

TheoremToute matrice carrée symétrique à coefficients réels estdiagonalisable.

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Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Matrices symétriques

Rappelons qu’une matrice carrée M = (aij)1≤i,j≤n estsymétrique si pour tout i , j ,

aij = aji .

TheoremToute matrice carrée symétrique à coefficients réels estdiagonalisable.

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Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Matrices symétriques

Par exemple, sans aucun calcul, on peut affirmer que lamatrice

1 2 0 32 4 8 60 8 2 π3 6 π 7

est diagonalisable.

Attention ! ce résultat n’est plus vrai pour les matrices àcoefficients dans C.

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Polynômes scindés

Polynômes dematrices

Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Matrices symétriques

Par exemple, sans aucun calcul, on peut affirmer que lamatrice

1 2 0 32 4 8 60 8 2 π3 6 π 7

est diagonalisable.

Attention ! ce résultat n’est plus vrai pour les matrices àcoefficients dans C.

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Diagonalisationdes endomor-

phismes

J.M. Morvan

Rappels surles endomor-phismes

Rappels surles polynômesRacines d’unpolynôme

Polynômes scindés

Polynômes dematrices

Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Remarques

Attention ! lorsqu’on cherche à savoir si une matrice estdiagonalisable, il est important de préciser si l’on travailledansMn(R) ouMn(C).

Voici un exemple éclairant. Considérons l’endomorphisme fde R2 dont la matrice dans la base canonique s’écrit

M(f ) =(

0 1−1 0

).

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Polynômes dematrices

Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Remarques

Attention ! lorsqu’on cherche à savoir si une matrice estdiagonalisable, il est important de préciser si l’on travailledansMn(R) ouMn(C).

Voici un exemple éclairant. Considérons l’endomorphisme fde R2 dont la matrice dans la base canonique s’écrit

M(f ) =(

0 1−1 0

).

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Rappels surles polynômesRacines d’unpolynôme

Polynômes scindés

Polynômes dematrices

Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Remarques

Attention ! lorsqu’on cherche à savoir si une matrice estdiagonalisable, il est important de préciser si l’on travailledansMn(R) ouMn(C).

Voici un exemple éclairant. Considérons l’endomorphisme fde R2 dont la matrice dans la base canonique s’écrit

M(f ) =(

0 1−1 0

).

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Rappels surles polynômesRacines d’unpolynôme

Polynômes scindés

Polynômes dematrices

Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Remarques

Son polynôme caractéristique est

Pf (X ) = X 2 + 1,

qui n’a pas de racine réelle.

Donc M(f ) n’est pas diagonalisable dansMn(R).Cependant, considérons maintenant l’endomorphisme g deC2 dont la matrice dans la base canonique s’écrit encore

M(g) =(

0 1−1 0

).

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Rappels surles polynômesRacines d’unpolynôme

Polynômes scindés

Polynômes dematrices

Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Remarques

Son polynôme caractéristique est

Pf (X ) = X 2 + 1,

qui n’a pas de racine réelle.Donc M(f ) n’est pas diagonalisable dansMn(R).

Cependant, considérons maintenant l’endomorphisme g deC2 dont la matrice dans la base canonique s’écrit encore

M(g) =(

0 1−1 0

).

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Rappels surles polynômesRacines d’unpolynôme

Polynômes scindés

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Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Remarques

Son polynôme caractéristique est

Pf (X ) = X 2 + 1,

qui n’a pas de racine réelle.Donc M(f ) n’est pas diagonalisable dansMn(R).Cependant, considérons maintenant l’endomorphisme g deC2 dont la matrice dans la base canonique s’écrit encore

M(g) =(

0 1−1 0

).

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Polynômes scindés

Polynômes dematrices

Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Remarques

Son polynôme caractéristique est encore

Pf (X ) = X 2 + 1.

Il admet 2 racines distinctes dans C, qui sont i et −i .Donc g est diagonalisable et dans une base de vecteurspropres, la matrice de g s’écrit :(

i 00 −i

).

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Rappels surles polynômesRacines d’unpolynôme

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Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Remarques

Son polynôme caractéristique est encore

Pf (X ) = X 2 + 1.

Il admet 2 racines distinctes dans C, qui sont i et −i .

Donc g est diagonalisable et dans une base de vecteurspropres, la matrice de g s’écrit :(

i 00 −i

).

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Polynômes scindés

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Remarques

Son polynôme caractéristique est encore

Pf (X ) = X 2 + 1.

Il admet 2 racines distinctes dans C, qui sont i et −i .Donc g est diagonalisable et dans une base de vecteurspropres, la matrice de g s’écrit :(

i 00 −i

).

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Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Remarques

Il faut également se garder de croire que toutendomorphisme de Cn est diagonalisable.

Considérons par exemple l’endomorphisme h de C2 dont lamatrice dans la base canonique s’écrit :

M(h) =(

1 10 1

).

On aPh(X ) = (X − 1)2.

La seule valeur propre est donc 1et un calcul direct montre que le sous-espace propre V1 estengendré par le vecteur (1,0).Il n’est donc pas de dimension 2, et h n’est donc pasdiagonalisable.

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Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Remarques

Il faut également se garder de croire que toutendomorphisme de Cn est diagonalisable.

Considérons par exemple l’endomorphisme h de C2 dont lamatrice dans la base canonique s’écrit :

M(h) =(

1 10 1

).

On aPh(X ) = (X − 1)2.

La seule valeur propre est donc 1

et un calcul direct montre que le sous-espace propre V1 estengendré par le vecteur (1,0).Il n’est donc pas de dimension 2, et h n’est donc pasdiagonalisable.

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Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Remarques

Il faut également se garder de croire que toutendomorphisme de Cn est diagonalisable.

Considérons par exemple l’endomorphisme h de C2 dont lamatrice dans la base canonique s’écrit :

M(h) =(

1 10 1

).

On aPh(X ) = (X − 1)2.

La seule valeur propre est donc 1et un calcul direct montre que le sous-espace propre V1 estengendré par le vecteur (1,0).

Il n’est donc pas de dimension 2, et h n’est donc pasdiagonalisable.

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Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Remarques

Il faut également se garder de croire que toutendomorphisme de Cn est diagonalisable.

Considérons par exemple l’endomorphisme h de C2 dont lamatrice dans la base canonique s’écrit :

M(h) =(

1 10 1

).

On aPh(X ) = (X − 1)2.

La seule valeur propre est donc 1et un calcul direct montre que le sous-espace propre V1 estengendré par le vecteur (1,0).Il n’est donc pas de dimension 2, et h n’est donc pasdiagonalisable.