Diametre intrinseque d'une fibre non gaineede forme quelconque: definitionet determination numerique

H. Gagnaire, J. P. Goure, J. N. Massot et A. M. Lambert

In this paper, the intrinsic diameter of the noncircular cross section of an unclad optical fiber is defined anddetermines the fiber dimension. Its value can be determined by studying the forwardscattering patternfrom the fiber illuminated by a laser beam perpendicular to its axis. A knowledge of the shape of the fiberis not necessary. The suggested method is nondestructive. Moreover, it provides an estimate of the defor-mation of the fiber cross section.

1. IntroductionDans un article precedent, nous avons montr6 qu'il

est possible de mettre en 6vidence de tres faibles d6fautsde circularite de la section d'une fibre optique non gai-nee. La m6thode utilisee consiste a illuminer la fibreperpendiculairement a son axe par un faisceau laser eta suivre le d6placement angulaire de plusieurs frangesbrillantes au cours de la rotation de la fibre sur elle-m~me. Cette maniere d'analyser la lumiere diffus6e parla fibre permet de preciser la forme de la section maisne donne aucune indication sur la dimension absoluede celle-ci car elle est ind6pendante de 'echelle geo-m6trique choisie. 1

Le but de ce travail est precisement de proposer unem6thode permettant de determiner la dimension ab-solue d'une fibre optique non gaine de section nonparfaitement circulaire. Nous d6finirons pour cela, auparagraphe II, une quantit6 que nous appelleronsdiametre intrinseque de la fibre. La m6thode que nousproposons pour determiner cette quantit6 est decriteau paragraphe III. Elle fait appel a 'etude de la lumibrediffus6e par la fibre et elle est deduite de celle utilis6epar Smithgall et al. 2 pour caract6riser des fibres par-faitement circulaires. Elle permet en outre d'estimerla deformation de la fibre sans qu'il soit n6cessaire deconnaltre la forme analytique de sa section.

The authors are with Universite de Saint-Etienne, U.E.R. de Sci-ences, Laboratoire Traitement du Signal et Instrumentation, 42023Saint-Etienne C6dex, France.

Received 29 November 1979.0003-6935/80/203518-05$00.50/0.©c 1980 Optical Society of America.

II. Definitions du diametre et de la deformationintrinseques de la fibre

Le contour de la section non circulaire d'une fibreoptique d'indice uniforme peut tre represent encoordonnees polaires par une fonction R (y) p6riodiquede p6riode 27r. Cette fonction d6pend de l'origine 0 durepere de coordonnees, choisie a l'int6rieur du con-tour.

Pour caract6riser la fibre on peut d6finir1 les momentsd'ordre n de cette fonction par rapport a la densit6 deprobabilite constante 1/27r. Le moment d'ordre 2 estli6, quelle que soit l'origine 0 du repere, a la surface Sde la section de la fibre par la relation

S= r R2Y. (1)

Sa valeur est donc une caract6ristique de la fibre in-d6pendante de l'origine du repere et de la direction desaxes. Cependant la valeur (R) et par cons6quent l'6-cart-type relatifl AR/(R) dpendent du choix de l'o-rigine 0. I convient donc de choisir, pour d6finir lescaract6ristiques de la section de la fibre, une origineparticuliere.

Pour ce faire, nous consid6rons tout d'abord une fibredont la section possede au moins deux axes de symetrie.Le centre de sym6trie C du contour possede les quatrepropri6t6s suivantes:

(1) Le d6veloppement en s6rie de Fourier qui traduitle contour lorsque l'origine du repere est confondue avecC ne possede pas de premier harmonique.

(2) Le point C est le centre du cercle de rayon Ro quiminimise au sens des moindres carres la quantit6 ((R- Ro)2).

(3) Le point C est confondu avec le centre de gravit6du disque limite par le contour.

(4) Le point C est confondu avec le centre de gravit6du contour.

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On peut d6finir le centre d'une fibre dont le contourne possede aucun axe de symetrie 'aide de l'une de cesquatre propri6tes. En particulier, Watkins 3 et Marcuseet Presby4 ont adopte respectivement les d6finitions (1)et (2).

Lorsque ce contour est quelconque, les points d6finispar les quatre propositions pr6c6dentes sont distincts.Cependant pour les fibres tres peu d6formes que nousconsid6rerons dans ce travail, ils sont en fait tres voisins.N6anmoins lorsque le contour de la fibre est donne, ilest impossible, dans le cas g6neral, d'obtenir sous formeanalytique la fonction R' (y') du contour dans un repered'origine O' diff6rente de 0. La position des pointsd6finis par les propositions (1) et (2) ne peut donc 8tred6terminee qu'a 'aide d'une procedure num6rique derecherche automatique. I est donc impossible deprouver l'unicite de ces points. Par contre les centresde gravit6 du disque ou du contour sont uniques.D'autre part leurs coordonnees peuvent tre dter-minees dans un repere d'origine quelconque, a l'aided'un calcul direct.5

IL nous a sembl6 naturel, puisque nous voulons etu-dier les deformations du contour de la fibre, de choisircomme centre de la section le centre de gravit6 G de soncontour [definition (4)] plut6t que le centre de gravit6du disque [definition (3)].

Les coordonnees x' et y' du point G dans un repered'origine O' et d'axes arbitraires dans lequel le contourest d6crit par la fonction R'(,y') sont donn6es par

2,,)=LW R(-y') cos')dl,

OU

dl = d-') + R1/2 dy', L = 2' dl.[Idy')

Nous dfinissons le diametre intrinseque Di et ladeformation Ai de la section de la fibre a partir du d6-veloppement en s6rie de Fourier de la fonction R (ry) quid6crit le contour de la fibre lorsque l'origine du repereest le centre de gravit6 G du contour:

Di= 2(R) = 2Ao,

AR ( 2.A1/2 (1 21/2(2

(i R) A ) (kll 2 (2)(R) AO AO

ou les coefficients Ak sont d6finis par

R(,y) = A + Ak cos(k - Ok).k1~1

Les grandeurs Di et Ai sont independantes de l'orien-tation des axes du repere. D'autre part, pour un con-tour parfaitement circulaire, les relations (2) montrentque Ai = 0.

Ill. Determination du diametre intrinseque de lafibre. Estimation de la deformation

A. Intensite diffusee par la fibre

Pour determiner le diametre Di et estimer la valeurde Ai, il est possible d'utiliser la methode proposee parSmithgall et al. 2 Ces auteurs ont 6tudi6 le ph6nomene

P (a,01 ,B2)

70

69

0

0 40 80 120 160 200 240 280 320 360 a(DEGRES)

Fig. 1. Variation du nombre de franges comprises entre 01 = 200 et02 = 500 au cours de la rotation d'une fibre elliptique (Ai = 0.5%, Di

= 100 Am) sur elle-mame. = 0.633 ,4m, n = 1.457.

d'interference produit par une fibre lorsqu'elle est 6-clair6e par un faisceau laser perpendiculaire a son axe.Lorsque la fibre est parfaitement circulaire et d'indiceuniforme, la difference de chemin optique entre les deuxrayons qui interferent s'6crit en fonction de 'angle ded6viation commune 0:

6(0) = Dtsin + (n2 + 1- 2n cos-)/] + (3)

ou D et n sont respectivement le diametre et l'indice dela fibre et X la longueur d'onde de la lumiere laser uti-lis6e.

La variation de l'ordre d'interf6rence, ou nombre defranges p pr6sentes entre deux directions 01 et 62, estdonn6e par

X-P(0 1 ,02) = 6(02) - 6(01) = D g(n,0,0 2). (4)

Lorsque la fibre n'est pas parfaitement circulaire, lenombre de franges entre deux directions donn6es d6-pend 6galement de la forme de la fibre et de l'orientationa de celle-ci dans le faisceau laser. Pour chaque ori-entation a de la fibre, il est possible lorsqu'on connaitla forme de celle-ci:

de calculer num6riquement la fonction Oa(b) qui liela difference de trajet optique entre les deux rayons etleur d6viation 0 commune1 ;

de r6soudre les 6quations, 0a(t) = 01; Oa(b) = 62dont les solutions not6es 5,(61) et (62) sont li6es aunombre de franges p(a;O 1,02) par la relation

X-P(a;01,02) = 6(2) -6.1).

La fig. 1 montre les variations en fonction de a dunombre de franges comprises entre 01 = 200 et 02 = 50°lorsque la fibre a un contour assimil6 a une ellipse etd6crit par la fonction

R(-y) =- (1 + \A A, cos2,y),2

ou Di = 100 ym et Ai = 0.5%.Dans ce cas, la fibre possede deux axes de sym6trie,

et la fonction p (a;0 1,02 ) est p6riodique par rapport a ade p6riode wx.

15 October 1980 / Vol. 19, No. 20 / APPLIED OPTICS 3519

.

0m- 0I

D- Di * 2 axes d symotrie (A)(%) * 3 axes de symetrie (B)

A 4 axes de symetrie (C)

.0.1 * combinalsons dharmoniques A

0.

.0.12

*3.8

.0.2 6

-0.3-

-0.4 C

.0.5

Fig. 2. Variation de (Din - Di)/Di en fonction de Ai. Les points numerotes correspondent aux valeurs indiquees dans le tableau I.

B

C

2 A1 (%)

Fig. 3. Variation de A. en fonction de Ai.

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* 2 axes de symetrie (A)

* 3 axes de ymetrie (B)A 4 axes de symetrie (C)

* combinalsons dharmonlques

Am (%

3

2

0

Si la fibre ne possede aucun axe de symetrie, lafonction p(a;01,02) est p6riodique de p6riode 27r. I estpossible de dfinir les moments d'ordre n de cettefonction:

(pn(01 ,02)) =- Spn(c;0,02)da2ir vO

et l'ecart-type relatif sur le nombre de franges:

[(p2(01,02)) - (p(01,o2))

211

12

(P(01,02))

Designons par Dm le rapport[(p(01,02))]

g(n,01,02)

oi la fonction g(n,01,02 ) peut etre calcul6e a l'aide desrelations (3) et (4).

Dans ce qui suit, nous allons comparer les grandeursDm et Am calcul6es pour des contours de fibres arbi-trairement choisis aux caract6ristiques Di et Ai de cescontours.

B. Procedure de calculs; r6sultats

Les contours de fibre que nous avons choisis sont dedeux types:

(1) Ils possedent plusieurs axes de sym6trie et ilssont decrits dans le repere du centre de gravit6 G par lafonction:

R(y) = Ao + Ak cos(kyy-3k), k > 2

avec

Di = 2 Ao, A = Ak/ Ao.

(2) Ils sont d6crits dans un repere quelconque parun developpement limite, a l'ordre 4:

4

R'(y') = A0 + Y Ak cos(ky' - 3k),k=1

out les amplitudes relatives des differents harmoniqueset les phases 3k ont e choisies de maniere aleatoiretelles que A E (0,0.035 Ao) et /' C (0,2w). Pourconnaitre Di et Ai, il est necessaire de determiner laposition du centre de gravit6 G ainsi que le coefficientAo du d6veloppement de R ('y) qui decrit, dans le repered'origine G, le meme contour que R'(y'). Les carac-t6ristiques du contour sont alors calculees a 'aide desrelations (1) et (2). On constate que si Ai est faible, lecoefficient A1 est n6gligeable. Les grandeurs Dm et Amont e calcul6es pour 01 = 200, 62 = 50° et n = 1.457.Nous avons reporte respectivement sur les figs. 2 et 3'6cart relatif (Dm - Di)/Di et Am en fonction de Ai.

(1) L'examen de la fig. 2 montre quel'ecart relatif (Dm - Di)/Di est positif pour les con-

tours possedant deux axes de sym6trie alors qu'il estnegatif pour les contours possedant trois ou quatre axesde sym6trie.

les points relatifs aux contours decrits par une su-perposition d'harmoniques sont inclus dans le secteurangulaire d6fini par les deux courbes A et B.

(2) L'examen de la fig. 3 montre quela relation entre Am et Ai est lin6aire, pour les faibles

valeurs de Ai lorsque les contours possedent plusieurs

Tableau I. Proportion des differents harmoniques dans le developpementdes contours dont la deformation A, est 1.5%

Harmoniques (%)Nos 1 2 3 4 5 6

1 <1 66 33 <1 <1 <12 <1 50 50 <1 <1 <13 <1 33 66 <1 <1 <14 <1 <1 66 33 <1 <15 <1 <1 50 50 <1 <16 <1 <1 33 66 <1 <17 <1 50 <1 50 <1 <18 <1 33 <1 66 <1 <1

9 <1 73 18 6 2 1

axes de sym6trie. Les valeurs des pentes des droitesd6pendent peu de l'indice quand celui-ci est voisin de1.5. Pour l'harmonique 2, la pente est 6gale A 1 lorsque61 = 20° et 02 = 50°.

les points relatifs aux contours decrits par une su-perposition d'harmoniques sont compris dans le secteurangulaire d6fini par les courbes B et C.

D'autre part, nous avons effectue une 6tude syste-matique des contours d6crits par une superpositiond'harmoniques 2, 3 et 4 A deformation Ai = 1.5% con-stante. Les proportions des diff6rents harmoniquessont r6pertoriees dans le tableau I. On constate sur lesfigs. 2 et 3 que, plus la proportion de l'harmonique kaugmente, plus 1'ecart relatif (Dm -Di)/Di et Am sontproches des valeurs relatives a cet harmonique seul. Ceresultat nous semble important. En effet, le deve-loppement en serie du contour d'une fibre relle ne selimite pas necessairement a l'ordre 4; neanmoins lesfibres etudi6es jusqu'alors ont pu 8tre assimilees A desellipses4 ou sont telles que l'harmonique 2 predomine.1

Les resultats pr6c6dents nous indiquent que pour cesfibres les valeurs de (Dn - Di)/Di et Am seront prochesde celles relatives a l'harmonique 2. Pour illustrer ceci,nous avons 6tudi6 un contour dont le developpementest limite A l'ordre 6 et tel que l'harmonique 2 soit pre-pond6rant (tableau I, figs. 2 et 3, no 9).

En r6sum6, la fig. 2 montre que pour l'harmonique 2l'ecart relatif (Dm - Di)/Di est inf6rieur A 0.15% si Aiest inferieur A 2.5%. Or un calcul simple montre quepour une fibre de diametre intrinseque 100 gim, la pre-cision sur Dm est de 0.8% si on peut determiner experi-mentalement le nombre moyen (p (01,02)) avec une in-certitude de 0.1 frange et fixer 01 et 62 A 0.10. Dans cesconditions il est possible d'assimiler Dm A Di car 'erreurde methode est inf6rieure A l'incertitude experimen-tale.

Le diametre intrinseque de la fibre et le nombremoyen de franges entre deux directions donnees, aucours de la rotation de la fibre sur elle-meme, sont doncli6s par la relation

D [P01,02))]D= X ~ ,01,0 2)I

D'autre part, il est possible d'obtenir une estimationde la deformation Ai du contour A partir de l'6cart relatifAm sur le nombre de franges. En effet si la fonction

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p(a;01 ,02) relative a une fibre reelle peut 6tre assimil6ea une fonction p6riodique de p6riode 7r (fig. 1), l'har-monique 2 predomine dans le d6veloppement et alorsAi- Am. Dans le cas contraire, la fig. 3 montre que si,par exemple, Am est de l'ordre de 1%, la valeur de Aisera comprise entre 0.6% et 1.2% soit Ai = 0.9 + 0.3%.La valeur de Ai est donc d6terminee a 30% pres.

IV. ConclusionLe diametre intrinseque d6fini dans ce travail est une

grandeur caracteristique de la section non circulaired'une fibre optique d'indice uniforme. Sa valeur peutetre connue en determinant le nombre moyen de frangesentre deux directions donn6es au cours de la rotationde la fibre sur elle-meme. Le calcul de l'ecart-type re-latif sur ce nombre de franges permet en outre d'obtenirune estimation de la deformation de la fibre. La con-naissance de la forme du contour n'est pas necessaire.La m6thode sugg6r6e est non destructive et ne necessiteque peu de calculs.

References1. H. Gagnaire, J. P. Goure, J. N. Massot et A. M. Lambert, Appl. Opt.

18, 2510 (1979).2. D. H. Smithgall, L. S. Watkins, and R. E. Frazee, Jr., Appl. Opt.

16, 2395 (1977).3. L. S. Watkins, Appl. Opt. 18, 4089 (1979).4. D. Marcuse and H. M. Presby, Appl. Opt. 18, 402 (1979).5. H. Gagnaire, J. P. Meunier, J. P. Goure et J. N. Massot, "Analyse

des centres d'une fibre dformee et definitions des taux de dfor-mation," soumis pour publication.

Books continued from page 3517

that presents the Rayleigh test can be used to differentiate normaltrichromacy from dichromacy as well as to differentiate betweennormal and anomalous forms of trichromacy. This is an importantomission since the instrument, and therefore the Rayleigh test, arefrequently used for this purpose.

Listings for the terms "test, Rayleigh's", "equation, Rayleigh's",and "Rayleigh's equation" also illustrate a recurring problem withorganization in the book. Terms of more than one word are listedalphabetically by nouns rather than by modifying adjectives.Therefore, Rayleigh's test is to be found under "test" with a sub-heading rather than under "Rayleigh", which is really the key wordof the term. In fact, under Rayleigh is found "Rayleigh's equation"with a referral to "equation, Rayleigh's" with no mention of Rayleigh'stest. These three terms are therefore not properly cross-referencedleading to potential confusion. In general, this problem might beavoided if term definitions were organized according to the mostimportant word rather than on the basis of an unimportant word justbecause that word happens to be a noun.

Yet another editorial problem involves the listing of obvious sub-headings that serve only to clutter the volume. Under the term"hypermetropia", twenty-seven subheadings are listed, includingbenign, high, medium, low, typical, and simple hypermetropia.Simple is synonomous with typical and with benign, and it is probablynot necessary to a more complete understanding to list the threesubentries separately. High, medium, and low values of hyperme-tropia might likewise be included under the primary definition. Inmy opinion, this kind of editorial economizing would greatly improvethe readability of the volume.

The difficulties of putting together a first-class technical dictionaryin a diverse field such as vision are obviously very great. Some of thestrain of meeting this challenge shows in the third edition of the

Dictionary of Visual Science. This is not to say that this volume iswithout redeeming features. As a first reference for an unknownterm, it certainly has a useful place, but care must be taken in usingthe definitions found here in any authoritative sense. This is anunfortunate drawback.

Contributers to this review include Joseph I. Markoff, Eric Shaken,and Harry Compton.

MICHAEL E. BRETON

Display Devices. Edited by J. I. PANKOVE. Springer-Verlag,New York, 1980. 252 pp. $49.90.

This book-the fortieth in the Topics in Applied Physics series-contains seven chapters by ten authors, seven from the RCA Labo-ratories in Princeton, two from the IBM Laboratories in Kingston,New York, and one from the Exxon Laboratories in Sunnyvale, Cal-ifornia. The title of the book implies a more extensive coverage ofthe subject than actually appears.

The Introduction, by J. I. Pankove, indeed touches on almost everyimaginable kind of display device, from LEDs to water jets. Theremaining chapters cover Light-Emitting Diodes, AC Plasma Dis-plays, Liquid Crystal Displays, Electrochromic Displays Based onW0 3, Electrophoretic Displays, and Electronic Displays. I wouldguess that these topics reflect the research interests of the authors.Nevertheless, a chapter on electroluminescent panels and a discussionof electrochromic materials other than W0 3 would not have been outof place.

The emphasis of the book is not quite what I would expect in a serieson Applied Physics. On the whole the authors emphasize theory atthe expense of discussion of technology and materials. The chapteron Liquid Crystal Displays, for example, does not name any materialswhich could be used in such displays. Much of the chapter on ACPlasma Display is devoted to electronic considerations involved indriving the panel. Technology, including materials, rates four anda half pages out of fifty-eight. (In all fairness, the chapter on LEDsdoes have an extensive section on materials and metallurgy.)

It would have been helpful to have a clearer indication of whichdevices are commercially available and which are still experimental.LEDs, ac plasma panel displays, and liquid crystal displays are off-the-shelf devices, but what about electrophoretic displays?

On the positive side, what is covered in this book is covered well andthoroughly. The discussions of theory are clear and readable, the textis well-provided with illustrations, and the book is well referenced.This book will be most useful to a physicist or engineer who wants tolearn or review the principles underlying design of the kinds of dis-plays discussed. It will not serve as an introductory text or a guideto actual construction and assembly of displays.

MARVIN C. TOBIN

Crystals: Growth, Properties, and Applications. Vol. 2.Edited by H. C. FREYHARDT. Springer Verlag, New York, 1980.199 pp. $48.40.

This monograph is the second volume in a series that the editorclaims will present critical reviews of recent developments in the fieldof crystal growth, properties, and applications. This particular vol-ume deals with the growth and properties of certain classes of crystals.The only acknowledgment of applications was in the choice of crystalsdiscussed; they are all important either technologically or commer-cially. The individual articles are authorative, well-written, and in-teresting. They are also up-to-date but do not deal exclusively withrecent developments; rather they seem to review developments upto the present.

continued on page 3540

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