18
246 14 Proportionnalité et géométrie CHOISIR LA BONNE RÉPONSE A L’échelle d’une carte Une carte à l’échelle 1/250 000 indique que les distances réelles ont été : a. divisées par 1,250000 b. multipliées par 250 000 c. divisées par 250 000 B Triangles équilatéraux Comparer les angles de deux triangles équilatéraux de 3 cm et 15 cm de côté. a. Les angles du grand sont 5 fois plus grands b. Les angles du petit sont 5 fois plus grands c. Les angles ont tous la même mesure C Inégalité triangulaire La figure ci-contre : a. est impossible à réaliser b. n’est pas à l’échelle mais peut être réalisée c. est à l’échelle et peut être réalisée D Une réduction Une réduction convenable de la figure encadrée est : a. b. c. E Un agrandissement Une des figures est un agrandissement à l’échelle du dessin encadré, laquelle ? a. b. c. Avant de démarrer 7 cm 4 cm 12 cm 1. Agrandir ou réduire une figure avec un facteur donné 2. Agrandir ou réduire une figure sans connaître le facteur 3. Agrandir ou réduire une figure en utilisant les angles 4. Reconnaître et appliquer la proportionnalité dans les formules 5. Utiliser la proportionnalité pour les secteurs circulaires C À la fin de ce chapitre, je vais savoir… OMPÉTENCES Extrait du manuel numérisé Dimathème 4 e - © Éditions Didier

Dimathème 4e - Chapitre14

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Page 1: Dimathème 4e - Chapitre14

246

14 Proportionnalité et géométrie

C H O I S I R L A B O N N E R É P O N S E

A L’échelle d’une carteUne carte à l’échelle 1/250 000 indique que les distances réelles ont été :a. divisées par 1,250000 b. multipliées par 250 000 c. divisées par 250 000

B Triangles équilatérauxComparer les angles de deux triangles équilatéraux de 3 cm et 15 cm de côté.a. Les angles du grand sont 5 fois plus grandsb. Les angles du petit sont 5 fois plus grandsc. Les angles ont tous la même mesure

C Inégalité triangulaireLa figure ci-contre :a. est impossible à réaliserb. n’est pas à l’échelle mais peut être réaliséec. est à l’échelle et peut être réalisée

D Une réductionUne réduction convenable de la figure encadrée est :

a. b. c.

E Un agrandissementUne des figures est un agrandissementà l’échelle du dessin encadré, laquelle ?

a. b. c.

Avant de démarrer

7 cm4 cm

12 cm

1. Agrandir ou réduire une figure avec un facteur donné

2. Agrandir ou réduire une figure sans connaître le facteur

3. Agrandir ou réduire une figure en utilisant les angles

4. Reconnaître et appliquer la proportionnalité dans les formules

5. Utiliser la proportionnalité pour les secteurs circulaires

C À la fin de ce chapitre, je vais savoir…OMPÉTENCES

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Les formats 4/3 et 16/9OUVERTURE SUR...

Entre un écran de cinéma et un écran de téléviseur, la différence ne réside pas que dans la taille.

Dans le domaine de l’audiovisuel, le format des images dépend de leur destination. Ainsi, au cinéma, l’écran est un « grand » 16/9, comme les téléviseurs du même nom. Mais à la télévision,ou sur un ordinateur, les images sont diffusées en format 4/3. Comment passer de l’un à l’autre ?

En réalité, il ne suffit pas de modifier les dimensions, car alors on risque de mauvaises surprises ! �

L’image de cette sculpturehindoue est bienproportionnée pour une visualisation au format 4/3.

Elle est déformée si on l’étire et la tasse pour obtenir un 16/9.

Quelles sontles solutionspour ce problèmede changementde format ?

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Activités

1 Agrandir un planLeïla montre à son ami Lucas un plan de sa maison et de son jardin.

maison

potager

arbre

4 cm

1 cm3 cm

7 cm

2 cm

4 cm

1 cm

Malheureusement ce plan est trop petit pour que Leïla puisse décrire les plantations de son potager. Alors Lucas décide de refaire un plan en ajoutant 4 cm à chacune des longueurs mentionnées. « Mais non ! lui répond Leïla. Moi, je vais multiplierpar 2 toutes ces longueurs ! ».

1. Effectuer les deux « agrandissements » proposés.

2. Lequel des deux plans est un agrandissement à l’échelle ?

2 Propriété sur les anglesDans le triangle EFG ci-dessous, les mesures des angles sont arrondies au degré.

E

G

4,2 cm5,8 cm

8 cmF

30°

45°

105°

1. On décide d’obtenir d’autres triangles à partir de EFG :

Côtés de EFG en cm EF = 8 FG = 5,8 EG = 4,2

Côtés de HIJ en cm HI = ... IJ = ... HJ = ...

Côtés de KLM en cm KL = ... LM = ... KM = ...

Côtés de OPQ en cm OP = ... PQ = ... QR = ...

Recopier et compléter ce tableau.

1. a. Tracer les triangles HIJ, KLM et OPQ. Mesurer leurs angles.b. Parmi les triangles obtenus, lesquels semblent être une reproduction à l’échelle de EFG ?

2. Conjecturer une propriété des angles lors d’un agrandissement ou d’une réduction à l’échelle.

# 0,6- 1,5

#2

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Chapitre 14 • Proportionnalité et géométrie • 249

3 Perpendicularité et parallélismeLe quadrilatère ABCD est un trapèze, il a deux angles droits en B et C.On effectue une réduction de ce trapèze à l’échelle 0,5 et un agrandissement à l’échelle 1,5 :

A”

Agrandissementde facteur 1,5

Réductionde facteur 0,5

A’A

B

C

D

B’

C’

D’

B”

D”

C”

1. Citer tous les angles qui semblent droits dans les nouvelles figures.

2. Quelle semble être la nature des quadrilatères A’B’C’D’ et A”B”C”D” ?

3. Que peut-on conjecturer sur la perpendicularité et le parallélisme lorsd’un agrandissement ou une réduction ?

4 Une démonstration1. Construire un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 3,6 cm ,AC = 4,8 cm et BC = 6 cm .

2. Calculer cos ABC\ et cos BCA\ (les résultats seront donnés sous formede fractions).

On décide de transformer les dimensions de ABC de manière proportionnelle comme sur la figure ci-contre. 4,8 � k

6 � k

3,6 � k

A’

B’

C’

3. Démontrer que le triangle ainsi obtenu est rectangle.

4. Exprimer cos A B C\A’B’C’ et cos A B C\B’C’A’.

5. Comparer les résultats des questions 2 et 4.Que peut-on en conclure ?

Infok est le facteur de reproduction (ou l’échelle) :• si 0 1 k 1 1 on obtient une réduction• si k 2 1 on obtient un agrandissement

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Cours

250

1 Agrandissement, réduction DéfinitionPour reproduire une figure à l’échelle, on multiplie toutes ses dimensions parun nombre strictement positif k (parfois appelé facteur).• Si 1 1 k , on effectue un agrandissement à l’échelle k.• Si 0 1 k 1 1 , on effectue une réduction à l’échelle k.

PropriétéLes dimensions de la figure obtenue par agrandissement ou par réduction sont proportionnelles à celles de la figure de départ.

Exemples :Agrandissement Réduction

Dimensions de fig. 1 en cm 6 4 3

Dimensions de fig. 2 en cm 15 10 7,5

Dimensions de fig. 1 en cm 6 4 3

Dimensions de fig. 2 en cm 4,2 2,8 2,1

2 Propriétés de conservation PropriétésDans un agrandissement ou une réduction :• les mesures d’angles sont conservées• les droites parallèles restent parallèles• les droites perpendiculaires restent perpendiculaires

Exemple :Sur la figure ci-contre :• (AB) // (DC)• (A’B’) // (D’C’)

réduction àl’échelle 0,6

A

B

C

D

A’

D’

B’

C’

fig. 1

fig. 2

6 cm

4,2 cm

3 cm

2,1 cm

4 cm

2,8 cmréduction àl’échelle 0,7

6 cm

15 cm

3 cmfig. 1

fig. 2

agrandissementà l’échelle 2,5

7,5 cm

4 cm

10 cm

#2,5 #0,7

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Chapitre 14 • Proportionnalité et géométrie • 251

Exercices

je découvre, j’utilise

1 On réduit de moitié un rectangle de 19 cm de longueur et 8 cm de largeur.Tracer le rectangle réduit.

2 MNP est un triangle isocèle tel que : MN = MP = 2 mm et PN = 1,5 mm .Tracer un agrandissement à l’échelle 28 de MNP.

3 ABCD est un parallélogramme.

A D

B C4,5 cm

2,5 cm3,8 cm

Tracer un agrandissement de ce parallélogramme à l’échelle 2.

4 Tracer une réduction de la figure ci-dessous à l’échelle 0,2.

F

D

E

50 cm

63 cm

29 cm

5 HIJ est un triangle rectangle en H tel que :HI = 5 600 m et HJ = 4 200 m .

1. Calculer IJ.

2. Tracer une réduction de ce triangle à l’échelle

70 0001

.

6 Le triangle des Bermudes est un triangle équi-latéral de 1 600 km de côté.

Îlesdes Bermudes

merdes sargasses

(OCÉANATLANTIQUE)Floride

Porto Rico

Tracer ce triangle réduit à l’échelle 1/20 000 000.

7 Une salle de classe est de forme rectangulaire. Sa longueur est 12 mètres, sa largeur 7 mètres. Untableau de 4 mètres de large est centré sur un des murs de 7 mètres. La porte d’entrée se trouve sur le mur en face du tableau. Cette porte est placée au milieu de ce mur et sa largeur est 75 cm.

Tracer le plan de cette classe à l’échelle 125

1 (arrondir

au millimètre si nécessaire).

ÉnoncéABC est un triangle tel que AB = 3,6 cm , AC = 5,4 cm et BC = 4,8 cm .Tracer un agrandissement à l’échelle 1,5 de ABC (on notera A’B’C’ l’agrandissement obtenu).

SolutionDans un agrandissement à l’échelle 1,5 les longueurs sont multipliés par 1,5.D’où :A’B’ = 1,5 # AB = 5,4 cm A’C’ = 1,5 # AC = 8,1 cm et B’C’ = 1,5 # BC = 7,2 cm .On obtient alors à l’aide du compas et de la règle le triangle ci-contre.

Commentaires1,5 est le facteur d’agrandissement.

Compétence 1

Agrandir ou réduire une figure avec un facteur donné

A’

B’

C’8,1 cm

7,2 cm5,4 cm

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je découvre, j’utilise

Exercices

ÉnoncéConstruire un agrandissement A’B’C’ du triangle ABC ci-contretel que le segment [A’B’] mesure 5,6 cm.

SolutionPour que l’agrandissement soit à l’échelle, il faut queles longueurs des deux triangles soient proportionnelles.

,,

,’ ’

ABA B

3 55 6

1 6= = le facteur d’agrandissement est donc 1,6.

Côtés du triangle ABC en cm

AB AC BC

3,5 2,5 4

Côtés du triangle A’B’C’ en cm

A’B’ A’C’ B’C’

5,6 4 6,4

On a donc la figure suivante :

8 AMF est un triangle tel que :AM = 1,9 cm , MF = 2,1 cm et AF = 1 cm .Tracer un agrandissement de ce triangle tel que son plus grand côté mesure 8,4 cm.

9 MNP est un triangle isocèle tel que :MN = 5 cm et MP = PN = 4,5 cm .Tracer un agrandissement de ce triangle tel que la base mesure 6 cm.

10 On a schématisé ci-dessous la façade d’un arc de triomphe :

Reproduire ce schéma de telle sorte que la hauteur totale soit 8 cm (on arron-dira les distances au milli-mètre si nécessaire).

11 EFG est un triangle rectangle. Son hypoté-nuse [EF] mesure 3 cm et [EG] mesure 2,5 cm.Tracer un agrandissement de EFG tel que l’hypoté-nuse mesure 7,8 cm.

12 On a indiqué ci-dessous la situation et les dis-tances à vol d’oiseau entre les trois capitales Paris, Londres et Berlin :

Suisse

Rép. Tchèqu

Autriche

Royaume-Uni

BelgiqueBruxelles

AllemagneLondres

ParisFrance

Berlin

Vienne

Prague

921 km

868 km341 km

Reproduire ce triangle à l’échelle en choisissant 10 cm pour la distance entre Londres et Berlin (on arrondira les distances au millimètre si nécessaire).

Compétence 2

Agrandir ou réduire une figure sans connaître le facteur

CommentairesOn cherche l’échelle.On dresse un tableaude proportionnalitéet on utilise l’échelle.On aurait aussi pu compléterle tableau en utilisantla technique des produits en croix.

On trace la figureaux dimensions trouvées.

50 m

30 m

15 m

45 m

15 m

A B

C

3,5 cm

4 cm2,5 cm

A’B’

C’

5,6 cm

6,4 cm4 cm

#1,6

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Chapitre 14 • Proportionnalité et géométrie • 253

ÉnoncéConstruire à l’échelle 1,8 des agrandissements A’B’C’ et E’D’F’ des deux triangles ci-dessous.

3,5 cm

51° 58°

C

BA

2,5 cm

4 cm

E

D

F

57°

Solution

Compétence 3

Agrandir ou réduire une figure en utilisant les angles

13 AZE est un triangle isocèle de sommet A tel que ZA = AE = 1 mm et ZAE\ = 45° .Tracer un triangle A’Z’E’, agrandissement de AZE à l’échelle 50.

14 RTU est un triangle rectangle en T tel que :RT = 70 cm et TRU\ = 31° .Tracer un triangle R’T’U’ réduction du triangle RTU tel que R’T’ = 14 cm .

15 OPSD est un losange de 24 cm de côté tel que OPS\ = 70° .

1. Quelle est la mesure des trois autres angles de ce losange ?

2. Tracer une réduction de ce losange à l’échelle 31

.

16 FGHK est un parallélogramme tel queFG = 5 cm , la hauteur perpendiculaire à [FG]mesure 4 cm et KFG\ = 50° .

1. Faire un schéma à main levée de cette figure en indiquant toutes les mesures de l’énoncé.

2. Construire un agrandissement de FGHK à l’échelle 1,5.

17 Tracer le quadrilatère A’B’C’D’, agrandis-sement de la figure ci-dessous, tel que A’B’ = 12 cm .

A

B

79°

C8,4 cm

6,8 cm

9,6 cm

D

Triangle ABC :

3,5 # 1,8 = 6,3 donc A’B’ = 6,3 cm .

Dans un agrandissement, la mesure des angles ne change pas :

’ ’ ’C A B\ = 51° et ’ ’ ’C B A\ = 58° .

6,3 cm

51°58°

C’

B’

A’

Triangle DEF :

4 # 1,8 = 7,2 et 2,5 # 1,8 = 4,5 doncD’E’ = 7,2 cm et E’F’ = 4,5 cm .

Dans un agrandissement, la mesure des angles ne change pas :

’ ’ ’D E F\ = 57° .

4,5 cm

7,2 cm

E’

D’

F’

57°

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je découvre, j’utilise

Exercices

Compétence 4

Reconnaître et appliquer la proportionnalité dans les formules

18 On fait varier la hauteur d’un triangle en gar-dant inchangée sa base comme illustré ci-dessous. On note h la hauteur en cm, B la longueur du côté associé en cm et � l’aire en cm2.

h

B

h

B

1. a. Exprimer � en fonction de B et h.b. Comme B est fixé, que peut-on dire des deux quantités � et h ?

2. On sait que l’aire du triangle est 11,1 cm2 lorsque la hauteur mesure 3 cm.Que vaut h si � = 51,8 cm2 ?

19 On fait varier la hauteur d’un cylindre en gardant inchangée sa base. On note h la hauteur en cm, � l’aire de la base en cm2 et � le volume en cm3.

1. Montrer que si l’on fixe la base �, alors h et � sont proportionnels.

2. Lorsque h = 12 cm alors � = 7 cm3 .Quel est le volume si h = 9 cm ?

ÉnoncéOn fait varier la hauteurd’une pyramide en gardantinchangée sa basecomme illustré ci-contre.On note h la hauteur en cm,� l’aire de la base en cm2

et � le volume en cm3.

S

h

S

h

S

h

1. a. Exprimer � en fonction de � et h. En déduire le facteur k qui vérifie � = k # h .b. En remarquant que � ne change pas, que peut-on en déduire pour les quantités � et h ?

2. On suppose que � = 13 cm3 quand h = 5 cm .Calculer � lorsque h = 7 cm .

Solution

1. a. � = � # h

3 donc � =

�3

# h donc k = �3

.

b. Puisque la base ne varie pas, k est un nombre fixe.On en déduit que � et h sont des quantités proportionnelles.

2. On peut dresser le tableau de proportionnalité :

h en cm 5 7

� en cm3 13 �

L’égalité des produits en croix donne :5 # � = 13 # 7

d’où � = 5

13 7# = 18,2 (en cm3).

CommentairesOn utilise puis on transformela formule donnant le volumede la pyramide.Des quantités sont proportionnelles lorsqu’on obtient l’uneen multipliant l’autre parun facteur fixe.

On utilise ici la techniquedes produits en croix.

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Chapitre 14 • Proportionnalité et géométrie • 255

Compétence 5

Utiliser la proportionnalité pour les secteurs circulairesÉnoncéDans la figure ci-contre, l’arc rougea pour longueur 14 cm.Déterminer la valeur de x (arrondir à l’unité).

SolutionSoit P le périmètre du cercle.P = 2 # π # Rd’où P = 2 # π # 4 = 8 # π (en cm)La longueur de l’arc est proportionnelleà la mesure de l’angle au centre.On peut dresser le tableau de proportionnalité :

Mesurede l’angleau centre en °

360 x

Longueurde l’arc en cm 8 # π 14

on a donc : 8 # π # x = 360 # 14

d’où : x = 360 # 14

8 # π . 201

Pour les exercices 20 à 26, on considère la figure suivante :

x°A

B

O

20 Calculer la valeur arrondie à l’unité de x siOA = 6 cm et la longueur de l’arc rouge est 26 cm.

21 Calculer la valeur arrondie à l’unité de x siOA = 8 cm et la longueur de l’arc rouge est 16,8 cm.

CommentairesOn sait calculer le périmètre du cercle.

On utilise ensuite la proportionnalité entre l’angle et le périmètre pour obtenir x.

360° correspond à l’angle au centredu cercle entier.

Remarque : la démarche est similairepour un raisonnement sur les aires.

x°A

B

O4 cm

22 Calculer la valeur arrondie à l’unité de x si OA = 7 cm et l’aire de la surface verte est 98 cm2.

23 Calculer la valeur arrondie à l’unité de x siOA = 10 cm et l’aire de la surface verte est 218 cm2.

24 Calculer la longueur de l’arc rouge pour :OA = 6 cm et x = 130 (arrondir au mm).

25 Calculer l’aire de la surface verte pour :OA = 7 cm et x = 80 (arrondir au mm2).

26 On donne OA = 4 cm .

1. Calculer la valeur de x si la longueur de l’arc rouge est 15 cm (arrondir à l’unité).

2. En déduire l’aire de la surface verte (arrondir au cm2).

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Exercices

faire le point en classe

27 Un triangle a pour dimensions : 7 cm, 8 cm et 10 cm. On l’agrandit à l’échelle 7.Quelles sont les trois nouvelles dimensions ?

28 Un carré de 32 cm de côté est réduit à l’échelle un quart.Quelle est la nouvelle longueur des côtés ?

29 Un triangle a pour dimensions 10 cm, 5 cm et 7 cm. On l’agrandit à l’échelle 4, puis on réduit

la figure obtenue à l’échelle 51

.

Quelles sont les trois nouvelles dimensions finales ?

30 Associer les triangles qui sont des repro-ductions à l’échelle l’un de l’autre. Préciser le facteur de réduction ou d’agrandissement.

2

2

1,5

4,5

4,5

1

33

3 4

4

1,5

31 Un rectangle a pour dimensions 15 cm sur 9 cm.Est-ce une réduction d’un rectangle de 15 km sur 9 km ? Si oui, quel est le facteur de réduction ?

32 Dans la figure ci-dessous, les droites (ED) et (AC) sont parallèles.

A 2 cm 6 cmD B

CE

1. Pourquoi le triangle BED est-il une réduction du triangle BCA ?

2. Quel est le facteur de réduction ?

33 – Deux triangles équilatéraux ont forcément des longueurs proportionnelles, dit Paul.– Pas toujours ! lui répond Jane.Qui a raison ?

34 – Une réduction d’un triangle isocèle rec-tangle est forcément un triangle isocèle et rectan-gle, dit Jane.– Pas toujours ! lui répond Paul.Qui a raison ?

35 Réduire la figure ci-dessous à l’échelle 0,7.

A B

45°

C D6

cm

12 cm

36 1. Le périmètre d’un cercle est-il propor-tionnel au rayon ? Expliquer.

2. L’aire d’un disque est-elle proportionnelle à son rayon ? Expliquer.

37 Le périmètre du cercle représenté ci-contre est 240 cm.Que vaut x lorsque l’arc rouge mesure :a. 60 cm ? b. 48 cm ?c. 180 cm ?

38 Reproduire la fi-gure ci-contre sur unpapier quadrillé :

À l’aide du quadrillage, sans justifier, tracer :

a. en rouge une réduction à l’échelle 31

du triangle noir ;b. en vert une réduction à l’échelle 0,5 du triangle noir ;c. en bleu un agrandissement à l’échelle

34

du triangle noir.

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Calcul mental

Chapitre 14 • Proportionnalité et géométrie • 257

Dans cette rubrique, les dimensions sont expri-mées en cm.

39 Les trois dimensions d’un triangle sont 7 ; 9 et 11.Quelles sont ses nouvelles dimensions s’il est :a. agrandi à l’échelle 8 ?b. réduit à l’échelle 0,5 ?c. réduit à l’échelle 1/10 ?

40 Les dimensions d’un quadrilatère sont 5 ; 8 ; 0,6 et 10. On agrandit ce quadrilatère à l’échelle 1,5. Quelles sont ses nouvelles dimensions ?

41 La longueur des côtés d’un losange est 5. La réduction de celui-ci a des côtés de longueur 3. Trouver le facteur de réduction (il sera donné sous forme décimale).

� pour vérifier les résultats, voir page 275

j’évalue mes compétences

QCM Choisir la (ou les) bonne(s) réponse(s).

a.

9 cm

7 cm

4 cm

b.

5 cm

2,5 cm

4 cm

c.

1 cm

0,8 cm

0,4 cm42 10 cm

5 cm 8 cm

Une reproduction à l’échelle du triangle ci-dessus est :

43 Un rectangle de 5 cm de long sur 2 cm de large est agrandi de telle sorteque la longueur mesure 17,5 cm.La largeur est alors :

44 Une réductionà l’échelle 0,5de la figureci-contre est :

10 cm40°

80°

45 Lorsque h varie,le volume dece parallélépipèderectangle :

2 cm

6 cm

h

46 Si la longueurde l’arc rougeest 30 cm,alors l’arrondià l’unité de x est :

30 cmx°

a. 7 cm b. 14,5 cm c. 3,5 cm

a.

20°

40°

5 cm

b.

5 cm

40° 80°

c.

20°

40°

10 cm

a. est égalà 12 # h

b. estproportionnelà h

c. n’est pasproportionnelà h

a. 57 b. 15 c. 58

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Exercices

je m’entraîne

Constructions

47 Soit ABC un triangle tel que :AB = 6 cm , AC = 5 cm et BC = 7 cm .

1. Construire un agrandissement du triangle ABC à l’échelle 1,2.

2. Construire une réduction de ABC à l’échelle 0,8.

48 1. Construire un agrandissement à l’échelle 1,4 du triangle RST.

2. Construire une réduction à l’échelle 0,7 de RST.

R

S

T5 cm

35° 48°

49 Construire une réduction E’F’G’ du triangle EFG telle que F’G’ = 6 cm .

E16 cm

24 cm

G

F

12 cm

50 Reproduire la fi-gure ci-contre sur unpapier quadrillé :

À l’aide du quadrillage, tracer :a. un agrandissement à l’échelle 3 de ce triangle

b. une réduction à l’échelle 53

de ce triangle

c. un agrandissement à l’échelle 37

de ce triangle.

Utilisation de propriétés

51 Un triangle ABC a pour dimensions :AB = 1 mm ; AC = 0,8 mm et BC = 1,5 mm .Comment peut-on mesurer avec précision les angles du triangle ABC ? Quelles sont leurs mesures ?

� je trouve de l’aide page 267

52 1. Prouver que le triangle rouge est une ré-duction du triangle noir.

P 24,8 cm

25,6 cm36,8 cm

F

BL

A

S

32 cm

42°

44°

31 cm

46 cm

2. Donner, en justifiant les réponses, la mesure des angles du triangle PBF.

53 Soit ABC un triangle tel que AB = 4,5 cm , BC = 6 cm et AC = 7,5 cm .

1. Tracer le triangle ABC.

2. Prouver que ABC est un triangle rectangle.

3. On nomme A’B’C’ une réduction du triangle ABC à l’échelle 0,002.Sans calcul, donner la nature de A’B’C’. Justifier.

54 Dans la figure ci-dessous, on a :AB = 11 cm , AC = 8,5 cm et BC = 6 cm .

AD B

FE

C

1. Calculer DF, DE et FE. Justifier. �

2. Citer tous les triangles qui sont une réduction à l’échelle 0,5 de ABC.

� je trouve de l’aide page 267

55 Les deux droites (DE) et (CB) sont parallèles.

3 cm

9 cm

A

D

C

E

B

1. Montrer que les dimensions du triangle AED sont proportionnelles à celles de ABC. �

2. En déduire que AED est une réduction de ABC. Préciser le facteur de réduction.

� je trouve de l’aide page 267

Ext

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Page 14: Dimathème 4e - Chapitre14

Chapitre 14 • Proportionnalité et géométrie • 259

Variation d’une dimension

56 On considère les trois triangles ci-dessous :

G J K L4,1 cm

5,4 cm1,5 cm

3,5

cm

E FH I M

1. Quelle caractéristique commune ces trois triangles possèdent-ils ?

2. Recopier et compléter le tableau suivant :

Triangle EFG HIJ MLK

Longueur en cmdu côté horizontal

Aire (en cm2)

3. Que peut-on dire des deux dernières lignes du tableau ? Était-ce prévisible ?

57 1. Quelle est la nature des trois quadrilatères ci-dessous ?

AH G

B

CD

F

1 cm

E

2. Recopier et compléter le tableau suivant :

Quadrilatère ABCD ABEF ABGH

Hauteur relativeà [AB] (en cm)

Aire (en cm2)

3. Que peut-on dire des deux dernières lignes de ce tableau ? Était-ce prévisible ?

58 ABCD est un carré de 3 cm de côté.

A B

D C E F G

1. Calculer les aires des quadrilatères suivants :a. ABCD b. ABED c. ABFD d. ABGD

2. Y a-t-il proportionnalité entre les aires et les lon-gueurs des côtés opposés à [AB] ?

59 1. Prouver, en utilisant la formule du volume que si la base est fixée, le volume d’un cône estproportionnel à sa hauteur.

2. Les deux cônes ci-dessous ont des bases de même rayon. Le petit a pour hauteur 5 cm et le grand a pour hauteur 12 cm.

Le volume du petit cône est 25 cm3.Calculer le volume du grand cône. Justifier.

60 Deux cônes ont pour hauteur 8 cm. L’un a une base de rayon 4 cm et l’autre a une base de rayon 6 cm.

1. Représenter ces deux cônes en perspective sur un quadrillage.

2. Calculer le volume des deux cônes.

3. Le volume d’un cône est-il proportionnel au rayon de sa base ?

61 On fait varier la hauteur d’un prisme engardant sa base inchangée. On note h la hauteur en cm, � l’aire de la base en cm2 et � le volume en cm3.

1. Montrer que si l’on fixe la base �, les quantités h et � varient proportionnellement.

2. Lorsque h = 16 cm alors � = 50 cm3 .Quelle est la hauteur si � = 120 cm3 ?

Proportionnalité et secteurs circulaires

Pour les exercices 62 à 64, on utilise la figure ci-contre.On note de plus L la longueur en cm de l’arc rouge et � l’aire en cm2 du secteur vert.

62 On donne R = 4 cm et x = 50 .Calculer L et � (arrondir à l’unité).

63 On donne L = 22 cm et R = 6 cm .Calculer x (arrondir à l’unité).

64 On donne � = 32 cm2 et R = 7 cm .Calculer x (arrondir à l’unité).

R

Ext

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260

Exercices

j’approfondis

Lire et comprendre

65 Maxime trace un rectangle dont la longueur est quatre fois plus grande que la largeur. S’il agrandit ce rectangle à l’échelle 6, la longueur devient 1,08 m.Trouver l’aire du rectangle initial de Maxime.

Prendre des initiatives

66 Format numérique, format argentiqueLe texte ci-dessous est extrait d’un site Internet :

« Parce que historiquement la bonne vieille pellicule24-36 permettait de faire des photos au format 10 # 15, on parle encore aujourd’hui de format « argentique » lorsque le ratio longueur sur largeur est de 3/2.

En revanche, on parle de format « numérique » lorsque ce ratio est de 4/3 comme sur votre ancien téléviseur, votre écran d’ordinateur ou pour la majorité des appa-reils photo numérique grand public. »

http://www.photoreflex.com

À l’aide de ces informations, classer les formats suivants dans la catégorie « argentique » ou « numérique » :• 2 272 # 1 704 • 1 800 # 1 350 • 51 # 34• 1 125 # 1 500 • 1 024 # 768 • 975 # 1 300• 20 # 30 • 1 275 # 1 700 • 15 # 20• 52 # 39 • 30 # 45

67 Formats du papierLe tableau ci-dessous indique les dimensions decertains formats de papier :

Format A0 A1 A2 A3 A4 A5 A6

Largeur en mm 841 595 421 297 210 148 105

Longueur en mm 1 189 841 595 421 297 210 148

1. Les différents formats ont-ils des dimensionsproportionnelles ?

2. a. Donner l’arrondi au centième du facteur d’agrandissement qui permet de passer du format A4 au format A3.b. Est-ce le même facteur pour passer du format A3 au format A2 ?

3. Représenter ces sept rectangles les uns dans les

autres à partir d’un même sommet, à l’échelle 101

le format A1 dans le format A0, le format A2 dans le format A1, etc.).

D’une discipline à l’autre

68 Maths et chimieDans un livre de chimie, on a représenté une molé-cule d’eau comme ci-dessous.

104°

O

H

H’

r

rR

R

Il est précisé que OH = OH’ = 96 pm , r = 25 pm et R = 60 pm . Représenter cette molécule à l’échelle 109.

Info 1 pm = 10-12 m .

Arcs de cercle et proportionnalité

69 Calculer x (arrondi à l’unité) de telle manière que le cercle de gauche ait la même longueur que l’arc rouge.

3 cm 4 cm

70 Trouver la valeur de x (arrondie à l’unité) pour que la longueur de l’arc rouge soit égale à la longueur de l’arc bleu.

5 cm

3 cm

47°

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Chapitre 14 • Proportionnalité et géométrie • 261

71 Patron de côneLa hauteur SH du cône ci-contre est 4 cm. Le rayon de la base est 3 cm. Le but de cet exercice est de construire un patron de ce cône.

1. Si A est un point du cercle défini par la base, quelle est la nature du triangle SAH ?En déduire la longueur du segment [SA].

2. Le patron d’un cône est composé d’un disque et d’un secteur de disque (voir page 233).L’objectif de cette question est de calculer x pour le patron représenté ci-dessous.

z cm y cm

a. Préciser y et z à l’aide de la question 1.b. Que peut-on dire des longueurs des arcs rouge et bleu ?c. Calculer x (arrondir à l’unité).

3. Construire le patron du cône.

72 Construire le patron d’un cône de hauteur 5 cm et dont la base a un rayon de 2,5 cm.

Résoudre des problèmes

73 PhotocopiesPour effectuer des agrandissements et réductions sur une photocopieuse, il faut indiquer le facteur sous forme de pourcentage.

1. Préciser l’échelle qui correspond à chacun des pourcentages suivants :a. 50 % b. 200 % c. 500 % �

2. Une image carrée de 11 cm de côté doit être agrandie à la photocopieuse pour obtenir un carré de 21 cm de côté.Donner le pourcentage qu’il faut saisir.

� je trouve de l’aide page 267

74 La figure ci-dessous est composée de deux cercles concentriques �1 et �2 de rayons respectifs 4 cm et 6 cm.D, A, O, C et E sont alignés. De plus, AB = 4,8 cm et DF = 7,2 cm .

DA O

F

B

C E

�1

�2

1. Construire cette figure.

2. a. Montrer que ABC et DFE sont des triangles rectangles.b. En déduire BC et FE.

3. Expliquer pourquoi DFE est un agrandissement de ABC. Préciser le facteur d’agrandissement.

75 ABC est un triangle rectangle de dimensions AB = 3,6 m ; BC = 4,8 m et AC = 6 m .

AD

B

C

1. Calculer l’aire de ABC.

2. Dans cette question on veut calculer BD.a. En considérant que BD = x m , donner une ex-pression de l’aire de ABC en fonction de x.b. Justifier que x vérifie l’équation 3x = 8,64 .c. Résoudre l’équation.

3. Montrer que AD = 2,16 m .

4. En déduire la mesure de [DC].

5. Montrer que ADB et BDC sont des réductions du triangle ABC. Préciser les facteurs des réductions.

H

S

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Exercices

262

Devoirs à la maison

76 EuropeLa Directive 94/25/CE du parlement européen du 16 juin 1994 précise l’utilisation du marquage « CE » par les fabricants :

« Le marquage « CE » de conformité est constitué des initiales « CE » selon le graphisme suivant :

En cas de réduction ou d’agrandissement du mar-quage, les proportions telles qu’elles ressortent du graphisme gradué figurant ci-dessus doivent être respectées. »

Reproduire le marquage de telle manière que la hauteur des lettres soit 12 cm.

77 Avec trois couleurs1. Tracer un triangle ABC équilatéral de 15 cm de côté.

2. Tracer à l’intérieur du triangle, à partir du sommet A, sa réduction à l’échelle 0,6 comme ci-contre :

3. Recommencer l’opération à partir de B et C.

4. Refaire la même construction dans les trois triangles équilatéraux ainsi formés.

5. On a ainsi délimité 25 polygones à l’intérieur de ABC. En utilisant seulement trois couleurs, colorier les 25 polygones sans que des polygones de même couleur aient un côté commun.

78 Parallélisme

AD

E

6 cm

5,1 cm

6,3 cm

2,1 cm1,5 cm

1,7 cmB

C

1. Montrer que ABC est un agrandissement de ADE.

2. Que peut-on en déduire pour les angles ADE\ et ABC\ ? Pourquoi ?

3. Que peut-on en déduire pour les droites (BC) et (DE) ? Justifier.

79 Casse-têteLe petit triangle est-il une réduction du grand ?

Petits exposés

A Réaliser un plan d’une maison ou du collège à l’échelle.

B Réaliser un plan d’un terrain de sport à l’échelle.

C Agrandir des photos : proportionnalité desdimensions ? proportionnalité des tarifs ?

On donne AB = 8 cm , AC = 7 cm et BC = 10 cm .Étape 1 : on obtient le triangle A1B1C1 en prenant les milieux des côtés du triangle ABC.Étape 2 : on obtient le triangle A 2B 2C 2 en prenant les milieux des côtés du triangle A1B1C1 et ainsi de suite…Arrivé à l’étape 10, donner les dimensions du triangle A10 B10 C10 .

A

CBA1

C1B1A2

C2 B2

PROBLÈME OUVERT

A B

C

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Aide à...

Chapitre 14 • Proportionnalité et géométrie • 263

l’utilisationde Cabri géomètre

On cherche à tracer un triangle et une reproductionà l’échelle de ce triangle à partir d’un point M donné avecle logiciel de géométrie dynamique Cabri géomètre.

ApplicationRefaire la même démarche avec un quadrilatère en faisant apparaître une diagonale.

1 Tracer un triangle ABC à l’aide de l’icone .

2 Faire mesurer les trois dimensions du triangle à l’aide

de l’icone « distance ou longueur » .

3 Pour multiplier les longueurs par 0,6,insérer l’expression 0.6*y en utilisant

la fonction « Expression » : .(remarque : le signe * représente l’opération #)

4 Appliquer l’expression aux trois dimensionsdu triangle ABC en utilisant la fonction

« Appliquer une expression » :

5 Placer un point M. Avec le compas , tracer le nouveau triangle avec les trois mesures trouvées :

6 Mesurer les angles des deux triangles pour vérifier une propriété du cours.

7 Changer le facteur 0,6 par un autre pour observer l’évolution.

Info Les mesures du triangle sont un exemple,il ne faut pas forcément avoir les mêmes.

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