F. NicolleauThe University of Sheffield

Department of Mechanical Engineering

Société Française de Thermique

Groupe Energétique-Thermodynamique

Géométries multi-échelle, théorie constructale et exergie  

Dimensions fractales et optimisation de la combustion dans les moteurs à piston

Journée Thématique organisée par l’Institut National Polytechnique de Lorraine (INPL) 16 Mars 2006

Collaborations

• Pr J Mathieu Ecole Centrale de Lyon

• Dr G Yu Queen Mary (London)

• Dr A ElMaihy MTC (Cairo)

• A M S Abo El-Azm University of Sheffield

Where’s Sheffield

• Flammes fractales et taux de combustion– flamme mince– flamme épaisse

• Kinematic Simulation de surfaces fractales

• Conclusion

Sommaire

Problème de combustion turbulente traité comme un problème de– interface

– surface

– mélange

Applications - Motivation

Surface de flamme dans un moteur à allumage commandé

Front de flamme mesuré dansun cylindre(Queiros-Conde 1996)

Ensemble fractalde von Koch

Surface de flamme – modèle mathématique

Définition d’une vitesse de flamme turbulente

TT

T VA

AV

A

ASS T

lT

Conservation de la masse TlT ASAS

La méthode des flammelettes

• Collection de flammelettes “laminaires”

• Immergées en milieu turbulent

Intérieur de la flamme

flamme mince

flamme épaissie

Flamme mince – flamme épaissie

• Taux de combustion pour une flamme fractale mince (Gouldin 1987)

• Vitesse pour une flamme épaisse (Nicolleau 1995)

où D est la dimension fractale de la flamme,

Flammelettes fractales

24

32

4

3

'

D

l

D

llTm

L

S

uSS

2

733

2

3

'

D

l

D

llTe

L

S

uSS

Flamme mince

avec D = 2.36

27.027.0'

lllm

L

S

uSS

STe

Sl

Sl

u'

avec D = 2.3604.096.0

'

lllTe

L

S

uSS

Flamme épaisse

L’approche Kinematic Simulation (KS)

• Ce sont des modèles lagrangiens

• Ramener au minimum l’information eulérienne à retenir

KS

• Les Kinematic Simulation (KS) sont des méthodes lagrangiennes qui reposent sur la génération d’un champ de vitesse eulerien

• qui possède des “structures turbulentes ad hoc” suffisantes pour modéliser les trajectoires lagrangiennes

• Celles-ci sont obtenues en intégrant :

à partir des champs euleriens elles sont donc lisses et comparables a des trajectoires expérimentales.

• Pour une turbulence isotrope le champ KS est construit comme une somme de modes de Fourier (résultant de la transformation de Fourier du champ eulérien) :

• intégrant la continuité:

• Et un spectre d’énergie en –5/3 :

• Cette approche a été validée sur de nombreuses statistiques lagrangiennes.

(Fung et Al. 1992; Malik and Vassilicos 1999, …)

• Turbulence isotrope développée avec un k–5/3

• Théorie: un spectre tel que

avec p < 1 doit contenir des singularités

“pire” que des discontinuité dans le signal ou ses derivées

(Hunt & Vassilicos 1991)

– singularité isolée telle que 1/xs

– singularité isolée d’accumulation telle que sin(1/x)

– singularité non isolée telle que ensemble fractal

pkkE 2

3

5

kkE3

5

k

• Grands nombres de Reynolds (vraie zone inertielle)

• Pas de forçage (pas de déclin)

• Codes parallèles très éfficaces (près de 100%)

Avantage numérique

Validation sur la ligne fractale

Nicolleau & El Maihy (2004)

Ligne fractale

-4-2

02

4

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

XY

Z

t/td=0% t/td=4.76% t/td=9.53% t/td=14.29%t/td=19.05%t/td=28.58%

dl t

tD 2

1

(Re)088.01

td : temps intégral, Re=(L/η)4/3, : taux de dissipation, L : échelle intégrale u’: rms vitesse charactéristique

t

tDl 088.01

Ligne fractale

3/4

1L2.611 Re

KS

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

tu`/L

(D-1

)/(0

.088

(L

/)2/

3 )KS Re=18

KS Re=33

KS Re=120

KS Re=464

KS Re=1000

KS Re=2000

KS Re=4000

Experimental Re=18

Experimental Re=33

LES Re=120

Theoritical Line

Ligne fractale

surfaces et volumes

Nicolleau & El Maihy (2004)

Fractal surface (square)

t/td=0 t/td=0.1 t/td=0.3

Square advected in turbulent flow at Re=464, with initial side length 0.2 L

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35tu`/L

2(D

-2)/

(0.0

88

(L/

)2/3 ) Re=120

Re=464

Re=1000

Re=2000

Re=4000

Re=10000

Theoritical Line

Fractal surface (square)

t

tDs 044.02 t échelle de Kolmogorov

volume fractal (cube)

Cube immergé dans un écoulement turbulent à Re=464, taille initiale : 0.2 L

t/td=0 t/td=0.1 t/td=0.3

Evolution de la dimension fractale pour differents nombres de Reynolds

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

3.2

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

tu`/L

Fra

ctal

Dim

ensi

on

Re=464

Re=1000

Re=10000

volume fractal

Fractal dimension of a cube as a function of tu’/L for different cube size lengths s=0.2L, 0.25L and 0.3L

for kN/k1=1000.

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

tu`/L

Fra

ctal

Dim

ensi

on

S=0.2L

S =0.25L

S=0.3L

Volume fractal

S(3-D)/tu` = 0.3(tu`/L)-0.6667

0.1

1

10

100

0.001 0.01 0.1 1

tu`/L

S(3

-D)/

tu`

S=0.2L

S=0.25L

S=0.3L

3

1

'3.03

L

tu

S

LDv

Volume fractal

• Les KS contiennent la physique nécessaire pour prédire la dimension fractale

• La dimension d’une ligne ou d’une surface est

gouvernée par

• La dimension du volume est gouvernée par td et fonction de la taille initiale S

Conclusion

• Pour une combustion type allumage commandé– type surface

– gouvernée par

– adaptation quasi-immédiate au nombre de Reynolds

• Combustion type Diesel (en volume) – fonction de la taille initiale S (i.e. injection)

– Indépendant du nombre de Reynolds

Conclusions pratiques

Dp 2

pk 2

De plus il existe un lien entre la dimension fractale de la surface et la loi de puissance du spectre (Vassilicos 1991)

D