Direction du Laboratoire des Chausséesdimensionnement des chaussées. • Le Guide de dimensionnement SETRA-LCPC de 1994 prescrit une méthode de subdivision des couches de graves

LCPC Etabl issement Publ ic nat iona l à carac tère Sc ient i f ique e t Technologique Paris 58 boulevard Lefebvre - 75732 Paris cedex 15 Nantes Route de Bouaye - BP 4129 - 44341 Bouguenais cedex Marne-la-Vallée LMSGC - Cité Descartes, Parc Club de la Haute Maison

2 al lée Kepler - 77420 Champs-sur-Marne Satory LIVIC - Batiment 140 - 13 route de la Minière - Satory - 78000 Versailles Internet www.lcpc.fr

MODÉLISATION NON LINÉAIRE

DU COMPORTEMENT MÉCANIQUE DES CHAUSSÉES

AVEC LE MODULE CVCR DE CESAR-LCPC

Opération de recherche 11P063

« Outils avancés de calcul et de dimensionnement des structures de chaussées »

Par :

Denis ST-LAURENT, ing.

Division Structures et Matériaux pour les Infrastructures de Transport (SMIT)

Le 5 août 2008

Direction du Laboratoiredes Chaussées

AVANT PROPOS

J’ai préparé ce document au cours de mon séjour à la division SMIT du centre LCPC de Nantes, dans le cadre du programme franco-québécois d’échange de fonctionnaires. Je tiens à remercier tout le personnel de la division SMIT pour leur esprit de collaboration ainsi que pour leur accueil chaleureux et leur aide amicale. Merci à Pierre Hornych pour l’accueil et l’aide qu’il a assurée dès mon premier appel téléphonique, et à Jean-Michel Piau pour les enseignements qu’il m’a transmis généreusement. Mon séjour serait aussi nettement moins riche sans le précieux concours que j’ai reçu de Jean-Maurice Balay, Didier Bodin, Armelle Chabot, Ferhat Hammoum et Emmanuel Chailleux. Merci aussi à Chantal de La Roche pour son support et sa confiance, ainsi qu’à tout le personnel de la division, thésards et chercheurs de passage qui contribuent à la cohésion d’ensemble et au maintien d’une belle ambiance de travail.

Je n’oublie pas aussi les intervenants du Ministère des Transports du Québec qui m’ont donné la chance de vivre cet échange, enrichissant pour moi et ma famille. Je remercie en particulier Anne-Marie Leclerc, Claude Tremblay, Guy Tremblay et Guy Bergeron qui m’ont accordé leur confiance et les dispositions nécessaires à la réalisation de ce projet.

1

TABLE DES MATIÈRES

1.0 Introduction .......................................................................................................................... 2 2.0 Contexte ............................................................................................................................... 3 3.0 Notions théoriques................................................................................................................ 5

3.1 Tenseurs de contraintes et de déformations ..................................................................... 5 3.2 Potentiel ou densité d’énergie élastique ........................................................................... 6

3.2.1 Rhéologie des sols et matériaux granulaires ............................................................. 7 3.3 Loi de Hooke.................................................................................................................. 10 3.4 Modélisation anisotrope ................................................................................................. 11 3.5 Modèle de Boyce............................................................................................................ 13

3.5.1 Inversion du modèle de Boyce ................................................................................ 14 3.6 Modèle de Coulibaly ...................................................................................................... 15

3.6.1 Inversion du modèle de Coulibaly .......................................................................... 17 3.7 Modèle k-theta................................................................................................................ 20 3.8 Modèle d’Uzan............................................................................................................... 21

4.0 Simulations non-linéaires avec CVCR............................................................................... 21 4.1 Domaine de solution des différents modèles non linéaires ............................................ 22 4.2 Post-traitement en terme de paramètres E, Nu, K et G sécants...................................... 27 4.3 Comparaison des modèles de Boyce et de Coulibaly .................................................... 33

5.0 Conclusions ........................................................................................................................ 39 6.0 Bibliographie...................................................................................................................... 40 ANNEXE 1 : Simulations axisymétriques non linéaires, SANS poids propre ANNEXE 2 : Simulations axisymétriques non linéaires, AVEC poids propre ANNEXE 3 : Base d’article rédigée par Jean-Michel Piau

2

1.0 Introduction Le module de calcul aux éléments finis CVCR (Chaussée Visco-élastique sous Charge Roulante) permet le calcul des déplacements, des déformations réversibles et des contraintes dans une chaussée multicouche soumise à une charge roulante. Il est intégré au progiciel d’éléments finis CESAR-LCPC du Laboratoire Central des Ponts et Chaussées (LCPC). Cette chaussée peut être constituée de matériaux à lois de comportement élastique linéaire isotrope, élastique non linéaire éventuellement orthotrope pour les matériaux non traités ou les sols (modèles k-theta et Boyce modifié) et visco-élastique linéaire isotrope pour les enrobés bitumineux (modèle Huet & Sayegh). Le module CVCR peut avoir plusieurs usages requérant l’analyse de la réponse d’une chaussée dans le cadre de la réalisation d’expertises et de travaux de recherche. Son utilisation est par exemple préalable au module ORNI, qui est un autre module de CESAR-LCPC destiné cette fois au calcul prévisionnel de l’orniérage. Le module CVCR peut aussi servir de préalable pour un calcul d’endommagement par fatigue. Il peut aussi s’appliquer à un corps de géométrie quelconque, tel qu’une éprouvette de laboratoire, en l’absence de matériau viscoélastique. La programmation du module CVCR a auparavant été complétée, documentée et validée (Nguyen et al., 2008). Les travaux décrits dans le présent document ont été réalisés dans le but d’établir des solutions de référence avec le module CVCR pour appuyer le développement et la validation d’un outil de calcul non linéaire simplifié (par exemple ZEPHYR ou ALIZÉ). Deux problèmes sont apparus lors de la modélisation d’essais de plaque sur chaussée. D’une part, le modèle k-theta s’est avéré inutilisable parce que les calculs tendent toujours à converger vers des états de contraintes et déformations en dilatance (pression négative) à la base de la GNT. Dans ces conditions le module CVCR interrompt les calculs avant de les compléter. D’autre part, le post-traitement des résultats issus du modèle de Boyce mène vers des modules d’Young et coefficients de Poisson sécants défiant les critères d’acceptation généralement reconnus avec la loi de Hooke. Cette double problématique entrave la mise au point d’un outil non linéaire simplifié basé sur la théorie des couches élastiques. Un autre modèle, celui de Coulibaly, a été incorporé dans une version recherche de CVCR pour faire face au second problème, mais on trouve encore la même incompatibilité avec les limitations de la loi de Hooke. Une étude théorique a aussi été menée pour vérifier le respect des lois de la thermodynamique lors de l’utilisation du modèle de Boyce. Le présent rapport situe le sujet à l’aide d’une mise en contexte et décrit les notions théoriques impliquées. Les simulations effectuées et les problèmes rencontrés sont ensuite présentés et analysés.

3

2.0 Contexte Le dimensionnement des structures de chaussées se base en premier lieu sur un calcul des champs de contraintes et déformation produits dans la chaussée sous le passage des véhicules lourds. Ces calculs peuvent se faire à l’aide de différents modèles de calcul. Il faut y introduire des informations sur le comportement mécanique des matériaux, notamment sur le comportement contraintes/déformations. Les outils utilisés sont en général limités au domaine des déformations réversible et se basent sur la théorie de l’élasticité linéaire isotrope. Le comportement mécanique des matériaux est dans ce cas représenté par le module d’Young et le coefficient de Poisson. A faible niveau de déformation (de l’ordre de 10-3) le comportement en compression des matériaux granulaires est de type élastique non linéaire durcissant, en se basant sur la réversibilité et la forme des courbes de déformation. Ceci se traduit par un module élastique sécant variable en fonction de l’état de contraintes. Cela varie dans le corps d’une chaussée en fonction de plusieurs facteurs : épaisseur et rigidité des différentes couches de la structure de chaussée, poids propre des matériaux constituant la chaussée, configuration et poids des camions circulant à la surface, distance d’un point donné par rapport à la position des roues des véhicules, température du revêtement bitumineux, etc. La prise en compte de ces variations exige le recours à des outils de calcul tenant compte du comportement non linéaire. Elle est souhaitable et justifiée entre autre par ce qui suit :

• Le LCPC reconnaît l’importance de la non linéarité du comportement mécanique des matériaux granulaires dans le cas des chaussées souples.

• La méthode de dimensionnement du MTQ reconnaît l’importance de la non linéarité depuis le début des années 90.

• Les outils manquent pour inclure efficacement la non linéarité dans la pratique du dimensionnement des chaussées.

• Le Guide de dimensionnement SETRA-LCPC de 1994 prescrit une méthode de subdivision des couches de graves non-traitées (GNT) en sous-couches de modules croissants du bas vers le haut. Cette méthode a pour but de tenir compte du comportement mécanique non linéaire. L’approche s’avère peu satisfaisante : elle ne tient pas compte de l’ensemble de la structure, et ne s’adapte pas en fonction du chargement appliqué en surface. On ne peut par ailleurs pas tracer d’abaque de dimensionnement car la réponse en fonction des épaisseurs est irrégulière.

• La méthode de dimensionnement du MTQ tient compte de la non linéarité en ajustant le module des couches granulaires à l’aide de critères prédéterminés en fonction de l’épaisseur du revêtement. Cette méthode s’avère peu satisfaisante car elle ne tient pas compte de la qualité du support ni de l’épaisseur des fondations. Elle souffre aussi de la plupart des limitations affectant la méthode LCPC.

• La prévision mécaniste des ornières (module ORNI de CESAR-LCPC ou méthode 1-D simplifiée) nécessite au préalable des calculs élastiques non linéaires car on ne peut à la rigueur pas admettre la présence d’efforts de tension dans les matériaux granulaires.

• Un outil non linéaire et opérationnel permettrait finalement de mieux gérer les problèmes suivants qui sont récurrents dans le cadre de l’exercice de la profession : o Effet de la rigidité du sol support, sur le module des fondations et de la sous

fondation.

4

o Effet d’enclume sur la rigidité des fondations granulaires au dessus de coupes de roc, de dalles concassées (rubblizing) ou dans les structures inverses et de type « sandwich ».

o Effet de la rigidité et de l’épaisseur de la structure sur le module des fondations, sous fondations et sols.

o Aléas des rétrocalculs FWD et de leur interprétation. o Effets de la charge sur les modules, ce qui est particulièrement important pour les

dossiers impliquant des véhicules extra lourds, hors norme, aéronautiques ou industriels.

o Chaussées souples ou à revêtement mince.

5

3.0 Notions théoriques On rappelle ici quelques notions théoriques en lien avec le présent travail.

3.1 Tenseurs de contraintes et de déformations Le tenseur est fondamental en mécanique pour décrire les états de contraintes et de déformations régnant dans un milieu continu. La convention usuelle est la suivante pour décrire l’état de contraintes d’un point matériel ou élément de volume en trois dimensions :

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

==

zzyzzx

yzyyyx

xzxyxx

σσσσσσσσσ

σσ où σij=σji

La valeur des différentes composantes σij dépend de l’orientation des axes (repères) de référence. Il est heureusement possible de définir des quantités significatives invariantes, indépendamment du repère de projection du tenseur. Premier invariant

zzyyxxtrI σσσσθ ++=== )(1 ou encore )(31

3σθ trp −=−= = pression moyenne.

Cet invariant est donc défini par la trace du tenseur, c'est-à-dire la somme des composantes formant la diagonale de la matrice.

Nota : A moins d’indication contraire, on adoptera en général la convention de signe usuelle de la mécanique avec σ positif en traction et négatif en compression. Un signe (-) est alors appliqué au calcul de la pression moyenne pour obtenir une pression p positive en compression. Deuxième invariant

( ) ( ) ( )[ ] ( )2222222 6/)( yzxzxyzzyyzzxxyyxxJ σσσσσσσσσσ +++−+−+−= ou en d’autres termes

( ) ( ) ( ) ( ) )(362

1)(23

23

22222222 σσσσσσσσσσ

τ Jstrq yzxzxyzzyyzzxxyyxxoct =+++−+−+−===

Cet invariant est défini par le déviateur de contrainte « s » issu des composantes hors de la diagonale du tenseur (matrice de trace nulle) : Ips ⋅−=σ

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

100010001

I (matrice identité)

Le principe est le même en terme de déformations.

6

Premier invariant de déformations zzyyxxv tr εεεεε ++== )( = déformation volumique

Deuxième invariant de déformations

( ) ( ) ( ) ( ) )(346

32)(

32

22222222 εεεεεεεεεεε Jetr yzxzxyzzyyzzxxyyxxq =+++−+−+−==

Ie v ⋅−=3εε : déviateur de déformation (matrice de trace nulle)

Quelques identités utiles à reconnaître :

)(31 22 stroct =τ )(

31 22 etroct =γ

( ) ( ) ( ) ( )2222222 6)(3 yzxzxyzzyyzzxxyyxxstr σσσσσσσσσ +++−+−+−=⋅ octoct Gγτ 2=

oct

oct

q

qGγτ

ε 23==

v

pKε−

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

pq

KG

q

v

εε3

Rappel de traces à reconnaître :

vtr εε =)( θσ =)(tr 0)( =etr 0)( =str 22

23)(: qetree ε==

22

32)(: qstrss == 23)(:: qGestrese εσ ===

Nota : Le symbole « : » exprime le produit contracté (élément par élément) entre deux matrices, on obtient la même chose en faisant la trace du produit matriciel

)·(: batrba = , ce qui donne un scalaire.

3.2 Potentiel ou densité d’énergie élastique Le potentiel élastique décrit l’énergie fournie par un élément de matière élastique lors d’un processus de déformation élastique. Une relation contraintes-déformations qui dérive du potentiel élastique est dite hyperélastique et assure le respect des deux premiers principes de la thermodynamique. Le potentiel élastique, ou la densité d’énergie élastique de déformation (w ou U) représente l’aire sous la courbe contrainte-déformation d’un matériau. Sa dérivée par rapport aux déformations permet de déduire les contraintes :

εσ

∂∂

=w ⇒

xxxx

wε

σ∂∂

= ; yy

yywε

σ∂∂

= ;…

Le potentiel élastique complémentaire, ou la densité d’énergie élastique de contrainte (w* ou Uc) s’exprime réciproquement en fonction du tenseur de contraintes. Sa dérivée permet de déduire les déformations :

σε

∂∂

=*w ⇒

xxxx

wσ

ε∂∂

= ; yy

yywσ

ε∂∂

= ;…

Ces deux quantités ( w et *w ) sont liées par la relation suivante :

7

εσ :* ≥+ww pour ( )εσ , quelconques εσ :* =+ww pour ( )εσ , liés par une relation élastique

La densité d’énergie élastique de contrainte du modèle élastique linéaire isotrope (loi de Hooke) s’écrit ainsi :

223

)1(6

)21(),(* qEE

qw νθνθ ++−=

Ce modèle décrit le matériau à l’aide de deux constantes, le module d’Young (E) et le coefficient de Poisson (ν). Il peut aussi s’écrire en termes de modules de compressibilité (K) et de cisaillement (G), ce qui permet de voir le découplage des cisaillements et efforts normaux dans le plan des invariants p, q :

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+=

22

22

61

21

62),(*

pq

GKp

Gq

Kpqw θ

La densité d’énergie élastique de déformation s’écrit : 22 3

21),( octvoctv GKw γεγε +=

3.2.1 Rhéologie des sols et matériaux granulaires L’étude des sols et matériaux granulaires montre qu’ils n’obéissent pas à la loi de Hooke, mais qu’ils suivent une loi non linéaire dans la portion élastique. Etant de fait composé de particules distinctes, ces matériaux ne peuvent pas résister à des états de traction significatifs. L’enveloppe de rupture utilisée en mécanique des sols (Figure 1) reconnaît ce fait en conditions de chargement statique. Les sols possédant une cohésion interne (C) sont les seuls à pouvoir supporter un effort de tension (p négatif). Un matériau granulaire pourrait aussi développer une petite cohésion sous l’effet d’une succion d’eau en condition partiellement saturée. Cette possibilité a été ajoutée dans le module CVCR en introduisant une translation de l’origine (O vers O’) à partir d’un paramètre de pression de cohésion (Pc) pouvant s’ajouter aux modèles de comportement mécanique. Cette translation s’opère dans le modèle rhéologique en remplaçant la pression p par p + Pc. Il faut noter que l’introduction d’une valeur Pc lors du calage d’un modèle rhéologique entraine forcément un effet sur la valeur des autres paramètres du modèle.

8

Figure 1 : Diagramme p-q, droite de rupture et cohésion

Les efforts de compression ont au contraire pour effet d’accroitre la rigidité des matériaux granulaires en rapprochant les grains les uns des autres. Les matériaux granulaires présentent donc un comportement asymétrique ou unilatéral qui se reflète dans la non linéarité des courbes de déformation réversible. Au niveau structural, les calculs avec une loi élastique font apparaître des efforts de traction dans les matériaux granulaires. Cela se produit notamment sous la charge en bas de couche, un peu comme s’il s’agissait de la fibre inférieure d’une poutre en flexion. De tels efforts de traction ne peuvent pas se produire dans la réalité. Si un matériau granulaire est comprimé verticalement et étiré horizontalement, les grains auront vraisemblablement tendance à chercher à s’éloigner (par effet de Poisson) jusqu’à ce qu’ils trouvent un appui horizontal, constitué de matière plus éloignée mais plus stable. On peut alors tenter d’imaginer une espèce de butée, ou contrainte de compression, produite sous l’effet d’une zone d’augmentation de volume1. Une loi de comportement appropriée devrait dans ce cas admettre un gonflement volumique, mais seulement des contraintes de compression. Cela se situe évidemment en dehors du cadre fourni par la loi de Hooke. Plusieurs modèles ont été développés pour décrire le comportement local des matériaux granulaires. Ces modèles rhéologiques sont en général exprimés à partir des invariants de contraintes. On retrouve notamment les modèles suivants parmi ceux qui dérivent d’un potentiel élastique : Le modèle non-linéaire de Boyce (1980) :

( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡+

+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+=

−+

−−

+

a

n

a

n

naaa

na

n

Gqp

Knp

ppq

GKnppqpw

611

61

11),(

211

1

2

1

1*

1 Cette augmentation de volume se fait peut être au prix d’une augmentation temporaire de l’indice des vides. Cela pourrait par exemple favoriser l’intrusion des particules fines qu’on observe parfois sous l’effet du trafic lourd, sur les chantiers de construction où le matériau granulaire repose sur un sol argileux de faible portance.

q

p

Φ’

C

Pc

Domaine physiquement admissible

φ' (q/p) max27 0.545 163 268 2.572 3

Ligne de rupture

O O’

9

Ce modèle décrit le matériau à l’aide de trois constantes (Ka, Ga et n). Le paramètre pa est une pression de référence définie par convention, généralement la pression atmosphérique. 0≤n≤1 : on retrouve directement la loi de Hooke lorsque n tends vers 1 à ceci près que la pression moyenne p doit être positive (compression seulement d’admise).

Le modèle non-linéaire de Lade-Nelson (1987) :

nn

octv

n

aaoctv p

kpn

nw21

1

22)21(1

9)21()1(

)1)(1(6)21(),(

−−−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

−= γε

νν

νγε

Ce modèle décrit le matériau à l’aide de trois constantes (k, ν et n).

Le modèle non-linéaire de Taciroglu et Hjelmstad (2002) :

2422 33321),( octvoctoctvoctv cbGKw γεγγεγε −++=

Ce modèle décrit le matériau à l’aide de quatre constantes (K, G, b et c). Le modèle non linéaire de Houlsby (1985) pour les argiles :

[ ]23)exp(),( octvaoctv pw γακκεγε +=

Ce modèle décrit le matériau à l’aide de deux constantes (κ et α ). Une série d’autres modèles applicables aux argiles sont décrits par Niemunis et Cudny (1998). Les modèles de potentiel élastique doivent respecter certaines conditions pour être convexes. Des exemples de potentiel sont tracés sur la Figure 2 avec la loi de Hooke (E = 250 MPa, ν = 0,35) et plusieurs cas de GNT représentés avec la loi de Boyce. La convexité de la loi de Hooke exige que certaines conditions ( K>0, G>0 et -1 < υ < ½ ) soient respectées en admettant un module d’Young positif. La convexité de la loi de Boyce est étudiée plus en détails dans la base d’article jointe à l’Annexe 3.

10

Figure 2 : Potentiel élastique complémentaire en fonction des invariants p et q

3.3 Loi de Hooke Après dérivation du potentiel, la loi de Hooke s’écrit sous plusieurs formes, incluant les suivantes : Formes abrégées (notation tensorielle) :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++

=+= ItrEItr )()21(1

)(2 ευ

υευ

ελεμσ ( ) ItrEE

)(1 συσυε −+=

ItrKeG )(2 εσ += KIp

Gs

32+=ε

Où I = matrice identité Forme explicite :

11

Forme vectorielle matricielle :

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+=

−−

−−

−−

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

yz

xz

xy

zz

yy

xx

yz

xz

xy

zz

yy

xx

G

G

EG

EEE

EEE

EEE

σσσσσσ

ν

νν

νν

νν

εεεεεε

ε

100000

010000

00)1(21000

0001

0001

0001

222

Que l’on abrége par : σε C= (C = matrice de souplesse)

klijklij C σε = en notation indicielle

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

+

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

yz

xz

xy

zz

yy

xx

yz

xz

xy

zz

yy

xx

GG

GG

GG

εεεεεε

λλλλλλλλλ

σσσσσσ

σ

222

000000000000000000200020002

Que l’on abrège par : εσ E= ( E = matrice de rigidité)

Les paramètres de comportement sont reliés entre eux par plusieurs identités, notamment les suivantes.

( )( ) υυ

υυυλ

212

211 −=

−+=

GE ( )υμ +== 12EG (Coefficients de Lamé)

GKE 31

911

+= GK

KGE+

=39 ,

GKGK

2623

+−

=ν , )21(3 ν−

=EK

K infini ⇒ E 3G, ν ½

E,υ = module d’Young et coefficient de Poisson G = module de cisaillement K = module de compressibilité

3.4 Modélisation anisotrope Contrairement au cas isotrope, un matériau anisotrope a des propriétés variables selon la direction. La loi élastique linéaire s’écrit de la façon suivante dans le cas d’anisotropie le plus simple, soit l’orthotropie de révolution autour de l’axe Z :

12

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+=

−−

−−

−−

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

yz

xz

xy

zz

yy

xx

v

v

h

h

h

vh

v

h

v

h

v

hh

h

h

v

h

h

h

yz

xz

xy

zz

yy

xx

G

G

EG

EEE

EEE

EEE

σσσσσσ

ν

νν

νν

νν

εεεεεε

100000

010000

00)1(21000

0001

0001

0001

222

Cette modélisation comporte cinq paramètres indépendants ( hE vE hν vν vG ), et invariants pour toute rotation autour de l’axe d’orthotropie (axe Z). On retrouve cette relation dans Lemaitre et Chaboche (p. 130), et dans la thèse de Coulibaly (p.169). Dans le cas des GNT, Hornych, Piau et al. ont déterminé qu’il est justifié de simplifier la représentation de ce type d’anisotropie en ajoutant un paramètre unique (γ) à la loi de comportement orthotrope initiale, et en posant la triple égalité suivante :

v

h

v

h

h

v

EG

EE

v)1(2

22 ννγ +==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Cela implique : EEh = , 2γEEv = , hv GG = , νν =h , γνν =v , 2γ

νγ

ννγν

v

v

vh

v

EEEE===

Cette approche dérive du potentiel élastique en substituant σ et ε par

),,,,,(* zxyzxyzzyyxx σσσγσσσσ = et ),,,,,(* zxyzxyzz

yyxx εεεγε

εεε = . Cette extension peut

être ajoutée à n’importe quel modèle rhéologique (Hooke, Boyce, etc.), elle est codée dans le module CVCR. On retrouve le cas isotrope lorsque γ =1. Il est intéressant de noter que Coulibaly (1998) envisage une approche identique sauf qu’il propose d’utiliser plutôt ),,,,,(' xzyzxyzzyyxx σξσξσξσσσσ = et

),,,,,('ξ

εξ

εε

ξε

εεε xzyzxyzz

yyxx= , ce qui implique hv GG ξ= . Il fournit plusieurs références

issues de la mécanique des sols pour appuyer sa proposition (pages 191 à 212 de sa thèse). Il faut noter que l’essai triaxial ne permet pas d’orienter le choix entre ces deux approches puisqu’il ne donne pas accès aux cisaillements yzσ et xzσ .

13

3.5 Modèle de Boyce Le modèle de Boyce dérive du potentiel élastique complémentaire suivant :

( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+= −

+ 2

1

1

61

11

pq

GKnppW

aan

a

n

avec :

3)(σTr

p −= , ( )223 sTrq =

=s tenseur déviateur de σ ,

ap = pression atmosphérique, aK , aG paramètres du modèle (nombres positifs),

n = exposant compris entre 0 et 1. Par dérivation du potentiel, la loi élastique non linéaire anisotrope s’écrit :

( ) ( ) ( )1,2 εσ TrqpKepG += avec : e = tenseur déviateur de ε ;

( )n

ap

paGpG

−

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1

( ) 21

1

,

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−

=

p

q

n

ap

p

aKqpK

β

( )aG6

aKn1−=β

Notes sur le modèle de Boyce : • Le modèle n’admet aucune contrainte d’extension dans le matériau d’où la

condition 0≥p (ou 0≥+ cpp lorsqu’on introduit une pression de cohésion cp ). • Ce modèle permet l’existence d’un gonflement volumique ( vε

14

rapport q/p sont en général outrepassés lors d’un calcul appliqué à une structure de chaussée.

3.5.1 Inversion du modèle de Boyce Le modèle de Boyce permet de calculer les déformations à partir d’un tenseur de contraintes. Il s’agit d’inverser le modèle lorsque l’on désire plutôt calculer le tenseur de contrainte associé à un tenseur de déformation donné. Cette inversion peut se faire en suivant le cheminement suivant :

Loi de Hooke : ItrKeG )(2 εσ += Multiplication par e et s pour isoler G a) eItrKeeGe :)(:2: εσ +=

0:2: += eeGeσ avec spI +−=σ ⇒ ( ) esespIe ::: =+−=σ )(2)( 2etrGestr = b) sItrKseGs :)(:2: εσ += 0:2: += seGsσ seGss :2: =

)(2)( 2 estrGstr = avec )(23 2strq = ⇒ 22

32)( qstr =

en substituant (a) :

c) )(2232 22 etrGGq ⋅=

)(6 222 etrGq =

)(6 2etr

qG = avec 2223)( qetr ε= ⇒

q

qGε3

=

d) v

ptr

pKεε −

=−

=)(

(par définition et convention de signe)

21

1

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−

=

p

q

n

ap

p

aKK

β

⇒ n

ap

pKaK

p

q−

=− ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛12

1 β

n

ap

paGG

−

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1

⇒ n

ap

p

aGG

−

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1

⇒ aG

GKaK

p

q=− ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛2

1 β

⇒ a

a

KG

pq

KG

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 2

2

1 β

⇒ a

a

KG

pq

etrq

ptr

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=− 2

2

21

)(6)( βε

15

⇒ a

a

q

v

KG

pq

pq

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−2

2

13

βεε

⇒ 0132

2

=−−pq

GK

pq

a

a

q

v

εεβ

en divisant par 2 et para

a

GKn

6)1( −=β ⇒ 0

21

)1(21

2

2

=−−

−βε

εpq

npq

q

v

Solution à l’équation du second degré : βε

εε

ε 1)1()1(

2

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

+−

=q

v

q

v

nnpq

On constate que le rapport q/p est défini et positif même si vε est négatif. C’est une des qualités recherchées pour représenter le comportement mécanique d’un matériau granulaire. Il ne reste ensuite qu’à substituer ce résultat dans l’expression du modèle de Boyce pour trouver p :

n

aa p

pGG−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1

⇒ n

aaa

q pp

ppGq

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ε3

⇒

n

a

qaa

ppqG

pp

/1

3

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ε

Ce calcul ne peut se faire lorsque qε =0. Dans ce cas q=0 et on peut procéder directement ainsi :

21

1

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−

=

p

q

n

ap

p

aKK

β

⇒ n

ap

paKK

−

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1

(lorsque q = 0)

⇒ n

ap

npaK

v

p−

−=−

1

1

ε ⇒

n

a

ava p

Kpp/1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

ε

Ces valeurs de p et q/p permettent de calculer K et G.

3.6 Modèle de Coulibaly Le modèle de Coulibaly est inspiré du modèle de Boyce et vise à éliminer le problème de l’asymptote se produisant lorsque le rapport q/p est élevé. Il dérive du potentiel élastique complémentaire suivant :

16

1

2

211

11

)1()()(),(

++−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+

++

==

n

a

nnac

KnppgpfpU

ηγηαηη

Où pq

=η ( )αγγα /23321

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

a

a

a

a

GK

GK

10 ≤< n 221

γ

Par dérivation du potentiel, la loi élastique non linéaire s’écrit en terme de K et G aussi bien qu’en terme de E et ν : En termes de K et G :

[ ][ ]2

221

2

21

)2(111

11

ηαγηγηα

ηαηγ

ε −+++

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

+− nn

aa

v ppKpK (Formule corrigée)

[ ][ ]2

221

2

21

)2(11

11

33 ηγαγαηγηα

ηαηγ

ε +−++

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

+− nn

a

a

q ppKqG

En termes de E et ν :

[ ][ ]( )[ ] [ ] 2

221

2

21

9212911

11

9ηαγαγγα

ηγηαηαηγ

+−++−++

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

+− nn

aa p

pKE

( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )[ ] 2

2

22182218229229

ηαγαγγαηαγαγγαν

−+++−−−+−−

=

Les paramètres indépendant sont Ka, Ga, n et γ (ou γ/α). Il ne faut pas confondre le γ de ce modèle avec le coefficient d’anisotropie introduit dans CVCR pour le modèle de Boyce. Le paramètre d’anisotropie proposé par Coulibaly est appelé ξ et a été décrit précédemment. Le paramètre γ ne peut pas être déduit d’un essai triaxial conventionnel limité à q/p < 3. Il faut donc le poser arbitrairement pour contrôler l’extrapolation se produisant pour les rapports q/p élevés. Il est aussi envisageable de choisir un rapport γ/α constant (par exemple ½) si l’on souhaite se limiter à trois paramètres comme pour le modèle de Boyce. Lors du calage d’un même essai triaxial, les valeurs Ka, Ga et n seront toutefois différentes de celles du modèle de Boyce. Le rapport γ/α permet d’identifier les trois cas particuliers suivants :

γ/α = 1 et n=1 (loi élastique linéaire) Le modèle reproduit la loi de Hooke dans cette situation. γ/α = 1 (coefficient de Poisson constant)

⇒ a

a

GK3

==αγ

17

⇒ ( )19229+−

=ααν =constante

Il faut imposer aa KG 5,1≤ pour limiter υ entre 0 et 0,5 (i.e. γ ≥ 2/9). On peut aussi exprimer le modèle en fonction de Ka, ν et n sachant que :

)21()1(

92

ννγα

−+

== et α3

aa

KG =

γ/α = ½ (comportement contractant)

⇒a

a

GK

92==

αγ

⇒ 5.0≤ν (le volume devient incompressible quand q/p ∞)

3.6.1 Inversion du modèle de Coulibaly L’implantation dans CVCR du modèle de Coulibaly nécessite d’exprimer K et G ou E et ν en fonction des déformations plutôt qu’en fonction des contraintes. Il est possible de procéder selon les étapes suivantes. Cas particulier avec γ/α = 1

( ) 21

21

1−−

+=n

a

nna

v Kpp αηε ( ) ηαηε 2

12

1

13

−−

+=n

a

nna

q Gpp (Coulibaly p.151)

α

ηεε

31

3==

q

v

KG ⇒

v

q

αεε

η =

Finalement, par substitution :

( )19229+−

=ααν

21

21

1

−

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

n

v

q

a

nna

v Kpp

αεε

αε ⇒ nn

v

qn

a

vaa p

Kpp2

121

1

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

αεε

αε ⇒ ),( ηpfE =

Cas particulier avec γ/α = 0.5

( )( )221

2

21

111

11

ηγηαηγηαε

++⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+

+=

+−

n

a

nna

v Kpp ( )( )22

21

2

21

113

11

9 ηγηαηα

ηγηαηε

+++

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+

+=

+−

n

a

nna

q Gpp

)3(32

3 2αηαη

εε

+==

q

v

KG

⇒ ( )ηαηαεε 32 32 += vq

Soit 3 8429642 αεεαεαεερ vqvvq ++= , alors les trois valeurs η possibles sont :

ραε

αερη v

v

−= 21 ; 22 2)31(

2)31(

αερ

ραεη

v

v ii −−+= ; 23 2)31(

2)31(

αερ

ραεη

v

v ii +−−=

18

La partie imaginaire de η2 et η3 est nulle seulement si 2/3αερ v= ce qui ajoute une seconde solution potentielle quoique peu probable :

( ) ( )22

1ReRe 1232η

εαρ

ραεηη −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−==

v

v (second η possible si 2/3αερ v= )

Le signe de cette dernière est opposé et on ne peut admettre qu’une solution η > 0. Il n’y a donc en pratique qu’une solution réelle positive admissible (η1 en général). On peut conclure par substitution:

( )227924279

22

22

++−+

=αηααηαν

( )( )nn

a

vaa p

Kpp

/1

22

1

2

2

1111

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

++⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++

=

+

ηγηαηαηγε

⇒ ),( ηpfE =

Cas général Dérivation du potentiel pour déterminer vε et qε :

1

2

211

11

)1(),(

++−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+

++

=

n

a

nnac

KnpppU

ηγηαη (Coulibaly p.145)

),(),(),( ηη

ηηε pUp

pUpp

qpU cccv ∂

∂−

∂∂

=∂

∂= (Coulibaly p.74)

),(1),( ηη

ε pUpq

qpU ccq ∂

∂=

∂∂

=

1

2

21

11

+−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+

+=

∂∂

n

a

nnac

KppU

p ηγηα

)1()1()2(

11

22

21

2

211

γηαηγγηα

ηγηαη

η ++−+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+

+=

∂∂

++−

n

a

nnac

KppU

)1()1()2(1

11

22

21

2

21

γηαηηαγ

ηγηαε

++−+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+

+=

+−

n

a

nna

v Kpp

)1()1()2(

11

22

21

2

21

γηαηγγηα

ηγηαηε

++−+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+

+=

+−

n

a

nna

q Kpp

Ceci donne un système à 2 équations 2 inconnues. La solution pourrait être obtenue en résolvant p et η en fonction de vε et qε afin de les substituer dans les expressions K, G et E, ν. Il faut procéder autrement car le système est trop complexe à résoudre.

On a : [ ]22

23)2(1

3 ηγαγαηαγη

εε

+−−+

==q

v

KG

19

Il s’agit d’une équation du troisième degré ayant pour solution les trois valeurs η que l’on peut calculer ainsi : ( ) ( )( )22233222 981262 αγαγαεγαγαγγαεεω +−+−+−= vqq ( ) ( )222 223 γαεγααγετ −−−= qv

( )

v

q

αγεεαγ

ψ3

2 −=

vαγεφ

3 231

= 3 234 ωτωρ ++=

ραγετρφψη

v323

1 −+=

ραγετρφψη

v

ii6

)31(2)31(3

2+

+−−=

ραγετρφψη

v

ii6

)31(2)31(3

3−

++−=

La valeur η permet d’évaluer p à partir de l’expression de vε ou qε . Par exemple avec : nn

a

vaa p

Kpp

/1

2

221

2

2

)2(1)1()1(

11

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−+++

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++

=

+

ηαγγηαη

ηαηγε

On peut finalement conclure avec K, G ou E, ν en substituant p et η dans le modèle général. Ce calcul ne peut se faire lorsque qε =0. Dans ce cas q=0 et on peut procéder directement avec :

n

a

ava p

Kpp/1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ε

On remarque que ce modèle n’est pas défini pour 0

20

3.7 Modèle k-theta Ce modèle a été déduit de façon empirique à partir d’essais de laboratoire sans dérivation d’un potentiel élastique. La loi est caractérisée par un coefficient de Poisson constant et un module élastique, fonction du premier invariant de contraintes et de deux constantes spécifiques au matériau.

αθKE = Il est écrit dans le module CVCR sous la forme suivante :

N1

appE)p(E 0

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

avec : ap = pression atmosphérique, E° : Module d’Young pour app = , N = 1 - α: exposant compris entre 0 et 1. Ce modèle est mathématiquement indéfini en présence d’une valeur p négative.

21

3.8 Modèle d’Uzan Ce modèle a été mis au point par améliorations successives du modèle k-theta. Il exprime le module de rigidité du matériau par la relation suivante (Uzan, 1992) :

C

a

oct

B

aa pp

pAE ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

τθ 1

Les matériaux non liés sont durcissant avec l’augmentation de θ et adoucissant avec l’augmentation de τoct, ce qui implique des valeurs B positives et C négatives. Certains auteurs qualifient ce modèle d’universel en référence à ce couplage entre les comportements durcissant et adoucissant, qui permet de modéliser les matériaux pulvérulents et cohérents. Le coefficient de Poisson doit respecter certaines conditions pour que l’expression précédente dérive d’un potentiel élastique. Uzan propose une approche développée à partir du travail élastique par unité de volume décrit par Lade et Nelson (1987), le long d’un chemin de contrainte ACB :

{ } { } ∫∫∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +===

ACBACB

T

ACBACB GdJ

KdddWW

292θθεσ

Ceci mène à l’expression suivante pour le coefficient de Poisson ν:

( )( )( )

( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −++−+⋅−

−−=− + 2/,2/)(2

2/1,2/)(3233 2/

22

2/

2/2

22 CCBBCCCBBB

JJJD CB

C

CB

Eνν

θθνθ

où νB est la fonction beta incomplète, c'est-à-dire :

∫ −− −=ν

ν0

11 )1(),( dtttbaB ba (d’après Wikipedia)

Le modèle passe ainsi de quatre (A, B, C, ν) à cinq paramètres constants (A, B, C, D, E) lorsqu’on l’exprime sous sa forme hyperélastique. Ce modèle n’a pas été inversé ni utilisé dans le cadre du présent travail. L’inversion ne pourrait probablement se faire qu’à l’aide de méthodes numériques.

4.0 Simulations non-linéaires avec CVCR Des simulations ont été faites pour servir de référence au développement d’un outil simplifié (ZÉPHYR, ALIZÉ …). Des exemples de résultats sont rapportés dans ce qui suit pour référence ultérieure. Deux problèmes sont apparus lors de la modélisation d’essais de plaque sur chaussée. D’une part, le modèle k-theta s’est avéré inutilisable parce que les calculs tendent toujours à converger vers des états de contraintes et déformations en dilatance (pression négative) à la base de la GNT. Dans ces conditions le module CVCR interrompt les calculs avant de les compléter. Ce problème a fait l’objet d’une étude paramétrique pour définir le domaine de solution des différents modèles non linéaires D’autre part, le post-traitement des résultats issus du modèle de Boyce mène vers des modules d’Young et coefficients de Poisson sécants défiant les critères d’acceptation généralement reconnus avec la loi de Hooke. Un autre modèle, celui de Coulibaly, a été incorporé dans une

22

version recherche de CVCR pour faire face à ce problème. Le problème du post-traitement est décrit après l’étude du domaine de solution des différents modèles non linéaires. On compare ensuite les résultats issus des différents modèles rhéologiques (principalement Boyce et Coulibaly) afin de mieux juger des conséquences liées à leurs particularités respectives.

4.1 Domaine de solution des différents modèles non linéaires Le module CVCR parvient rarement à trouver la solution d’un essai de plaque lorsque la GNT est représentée avec le modèle k-theta. Une interruption de calcul se produit parce que le procédé itératif tend vers une valeur de pression moyenne p négative (tension), dont l’intensité est en valeur absolue supérieure à la pression de cohésion Pc. Le calcul est alors mathématiquement impossible car on ne peut calculer l’exposant d’un nombre négatif. Il s’agit aussi d’une situation physiquement impossible puisqu’on se situerait à gauche de la droite de rupture illustrée sur la Figure 1. Plusieurs simulations ont été faites en faisant varier les épaisseurs de revêtement et de GNT, ainsi que le module du sol de support, pour vérifier l’étendue de ce problème (répertoire \st-laure\CESAR\paramaxi). L’étude paramétrique a montré au début que le problème se produisait à tous les coups, sauf dans certains cas avec une GNT de faible rigidité. On appliquait à ce moment une charge de 65kN sur un disque de 0,15 m de rayon (pression de 1 MPa). L’investigation a été ensuite orientée sur l’intensité de la charge appliquée en surface. Les hypothèses de base pour ces calculs sont indiquées au Tableau 1. Cette analyse paramétrique est sauvegardée dans le répertoire \st-laure\CESAR\pminVsSig0. Des exemples de résultats sont joints en Annexe 1 et 2 pour référence ultérieure. Le nom de base du maillage est b840 en référence aux épaisseurs de BB (8 cm) et de GNT (40 cm). Les noms de calcul sont identifiés par une lettre identifiant le modèle rhéologique (k = k-theta, b = Boyce ou c = Coulibaly) suivi d’une lettre indicative de rigidité (f = faible, m = moyen, ou r = raide), et de trois chiffres indicatifs de la pression de surface σ0 (070 = 0,70 MPa). Tableau 1 : Paramètres de l’étude paramétrique sur σ0 pour divers modèles rhéologique Structure BB 8 cm 24 kN/m³ 5400 MPa GNT 40 cm 20 kN/m³ variable Sol 3,5 m 20 kN/m³ 40 MPa GNT : 7 modèles de base : K-theta faible (Eo = 215, n=0.4, υ=0.35) moyen (Eo = 415, n=0.4, υ=0.35) raide (Eo = 600, n=0.4, υ=0.35) Boyce faible (Ka = 61, Ga = 83, n = 0.37) raide (Ka = 156, Ga = 198, n = 0.57) Coulibaly faible (Ka = 55, Ga = 71, n = 0.33, gsa = 0.5) raide (Ka = 151, Ga = 186, n = 0.54, gsa = 0.5) Rayon du cercle de chargement = 0,15 m, pression de contact σ0 variable. Les limites atteintes avec les différents modèles rhéologiques sont listées dans le Tableau 2. Le problème d’interruption de calcul se produit aussi avec le modèle de Coulibaly, mais le

23

domaine conduisant à des résultats est plus grand qu’avec le modèle k-theta. Le modèle de Boyce n’a pas ce type de problème numérique puisqu’il permet le gonflement volumique. Le poids propre, ainsi que l’ajout d’une pression de cohésion contribuent à élargir la plage de calcul des modèles k-theta et Coulibaly. Tableau 2 : Domaine d’admissibilité des solutions pour différents modèles de GNT en fonction de la force appliquée lors d’un essai de plaque

σ0 max (MPa) permettant solution avec variante GNT

normale Sans poids propre

GNT avec pc = 50 ka

Sol Boyce faible

Faible Boyce Raide Solution numérique toujours possible

Faible 0,41 1,30 > 2 Moyen 0,24 0,85 0,75 k-theta Raide 0,18 0,4 0,4 Faible 1 1,85 >2 Coulibaly Raide 0,2

Aucune solution possible

0,75* 0,4* Pression σ0 appliquée sur un disque de 15 cm de rayon. * σ0 peut aller jusqu’à 1,85 MPa en combinant les deux variantes marqués d’un astérisque. Il a été observé qu’il se produit un seuil de pression de chargement σ0 en dessous duquel on obtient toujours une solution, et au dessus duquel il y a toujours interruption du calcul. L’évolution des champs de pression moyenne (p) et déformation volumique (εv), est tracée2 en fonction de la pression de surface, jusqu’à la limite du refus de calcul (Figure 3 à Figure 5). A priori, il n’y a pas de tendance visible permettant d’anticiper le seuil, ce qui tend à signifier que l’algorithme de convergence utilisé pourrait échouer avant l’atteinte des limites du modèle rhéologique.

2 Note : Contrairement à la convention de signe de ce rapport, les sorties du logiciel CESAR fournissent une pression p négative en compression.

24

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Pression de contact sous la charge (MPa) (aire de rayon constante : 0.15 m)

pres

sion

moy

enne

p (b

ase

de la

GN

T, c

entr

e de

la c

harg

e)Boyce RaideBoyce FaibleK-theta RaideK-theta MoyenK-theta FaibleCoulibaly RaideCoulibaly Faible

a) variantes normales (avec poids propre)

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2


pres

sion

moy

enne

p (b

ase

de la

GN

T, c

entr

e de

la c

harg

e)

Boyce RaideBoyce FaibleK-theta RaideK-theta MoyenK-theta FaibleCoulibaly RaideCoulibaly Faible

b) variantes avec ajout d’une pression de cohésion de 50 kPa

-0.06

-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2


pres

sion

moy

enne

p (b

ase

de la

GN

T, c

entr

e de

la c

harg

e)

Boyce RaideBoyce FaibleK-theta RaideK-theta MoyenK-theta FaibleCoulibaly RaideCoulibaly Faible

c) variantes normales appuyés sur un sol non-linéaire (sol suivant le cas Boyce faible) Figure 3 : pression p à la base de la GNT, en fonction de l’intensité de chargement

25

a) Pression moyenne (p) avec σ0 = 0,35 MPa

b) avec σ0 = 0,40 MPa

c) avec σ0 = 0,418 MPa

Figure 4 : Pression moyenne sous une charge croissante (k-theta faible) (Aucune solution possible pour toutes valeurs σ0 ≥ 0.42)

26

Déformation volumique (εv) avec σ0 = 0,35 MPa



Figure 5 : Déformation volumique (εv) sous une charge croissante (k-theta faible) (Aucune solution possible pour toutes valeurs σ0 ≥ 0.42)

27

4.2 Post-traitement en terme de paramètres E, Nu, K et G sécants Le modèle de Boyce n’a pas de module élastique ni de coefficient de Poisson puisqu’il se décrit par Ka, Ga et n. Cela n’empêche pas d’utiliser la loi de Hooke pour déduire des valeurs de module (E, K, G) et coefficient de Poisson (Nu) sécants à partir du couple ( )εσ , (Nguyen et al., 2008). Les paramètres sécants issus de ce calcul permettent ensuite de bien déduire le tenseur de déformation à partir de la contrainte appliquée et inversement les contraintes à partir des déformations. On pourrait ainsi dire que ces paramètres sécants sont « mathématiquement compatibles » avec la loi de Hooke. Ces paramètres sécants permettent d’apprécier la répartition des rigidités dans la GNT en fonction de son contexte d’utilisation. La rigidité d’une GNT augmente évidement en fonction de la proximité et de l’intensité de la charge aussi bien qu’en fonction de la qualité du support sous-jacent (Figure 6 et Figure 7). Cette introspection constitue une référence pouvant à priori guider l’élaboration d’une méthode non linéaire simplifiée en sous-couches élastiques (outils ZEPHYR et ALIZÉ). L’interprétation d’un comportement non linéaire par un modèle sécant plus simple comme la loi de Hooke amène cependant des artefacts pouvant conduire à des valeurs inhabituelles. La Figure 7 montre que l’apparition de déformations dilatantes peut faire inverser le signe du module de compressibilité sécant K. La Figure 8 montre que le phénomène peut atteindre aussi les modules d’Young et coefficients de Poisson sécants. Ces valeurs apparemment aberrantes ont suscités plusieurs questionnements sur le modèle de Boyce. Les valeurs (K½, υ

28

Données :

Simulation /msc/st-laure/CESAR/paramaxi/b530_cf.data 5 cm de BB, 30 cm de GNT Contraintes initiales et finales à la base de la GNT (IELT n°1041) σ1 = (-0.0057, -0.0057, -0.0072, 0, 0, 0) p = 0.0062, q = 0.0014, q/p = 0.23 σ2 = (0.0478, 0.0478, -0.147, 0.00075, 0, 0) p = 0.017, q = 0.1948, q/p = 11.4

Résultats (fonction ENUPQ) :

a) Coulibaly(Ka = 50, Ga = 58, n = 0.29, gsa = αγ = 1)

ε, µdef E, MPa Nu K G Condition initiale (1) (-267, -267, -355, 0, 0, 0) 17.5 0.08 7 8.1 Condition finale (2) (428, 428, -1185, 6.2, 0 ,0) 130.6 0.44 52 60.4Final-Initial (2)-(1) -2306.7 -19.2 -19.5 63.4

b) Autre calcul avec Coulibaly en imposant gsa = αγ = 0.5

ε, µdef E, MPa Nu K G Condition initiale (1) (-267, -267, -355, 0, 0, 0) 17.5 0.08 7 8 Condition finale (2) (638, 638, -1320, 7.5, 0 ,0) 143.4 0.44 398 50Final-Initial (2)-(1) -463 -5.5 -13 52

La représentation « Hookienne » d’un comportement non linéaire est manifestement arbitraire et abusive. Elle reste toutefois mathématiquement correcte pour un matériau isotrope (hypothèse utilisée au moment de l’écriture de la fonction ENUPQ dans CVCR). Elle peut servir non seulement pour une présentation de résultat, au risque de déclencher des incrédulités, mais aussi dans le cadre d’un calcul. Le post traitement sur des résultats issus du modèle k-theta n’amène pas ces artefacts, mais il s’agit d’un modèle à coefficient de Poisson constant, ne dérivant pas d’un potentiel et n’acceptant pas de gonflement volumique.

29

a) sol faible (40 MPa)

b) sol raide (120 MPa)

c) coupe de roc (5000 MPa) Figure 6 : modules sécants Es d’une GNT (Boyce faible, plaque à 0.7 MPa) sur différents supports

30

-0.48

-0.43

-0.38

-0.33

-0.28

-0.23

-0.18

-0.13

-0.08

0 50 100 150 200 250 300Module sécant Es, MPa

z, m

sol faible (40 MPa)

sol raide (120 MPa)

coupe de roc (5000 MPa)

-0.48

-0.43

-0.38

-0.33

-0.28

-0.23

-0.18

-0.13

-0.08

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8Coefficient de Poisson sécant (vs)

z, m

sol faible (40 MPa)sol raide (120 MPa)coupe de roc (5000 MPa)

-0.48

-0.43

-0.38

-0.33

-0.28

-0.23

-0.18

-0.13

-0.08

0 20 40 60 80 100 120Module de cisaillement sécant Gs, MPa

z, m

sol faible (40 MPa)

sol raide (120 MPa)


-0.48

-0.43

-0.38

-0.33

-0.28

-0.23

-0.18

-0.13

-0.08

-500 -300 -100 100 300 500Module de compression sécant Gs, MPa

z, m

sol faible (40 MPa)

sol raide (120 MPa)


Figure 7 : Indices sécants d’élasticité (GNT Boyce faible, plaque à 0.7 MPa)

31

Figure 8 : Modules et coefficients de Poisson sécants pour une GNT (Boyce raide, plaque à 0.7 MPa)

-0.48

-0.43

-0.38

-0.33

-0.28

-0.23

-0.18

-0.13

-0.08

-5 -3 -1 1 3 5Coefficient de Poisson sécant (vs)

z, m

-0.48

-0.43

-0.38

-0.33

-0.28

-0.23

-0.18

-0.13

-0.08

-500 -300 -100 100 300 500 700 900Module sécant Es, MPa

z, m

32

-0.48

-0.43

-0.38

-0.33

-0.28

-0.23

-0.18

-0.13

-0.08

-500 -300 -100 100 300 500 700 900Post-traitement en module sécant Es, MPa

z, m

Boyce raide

Coulibally raide

-0.48

-0.43

-0.38

-0.33

-0.28

-0.23

-0.18

-0.13

-0.08

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5Post-traitement en coefficient de Poisson sécant (vs)

z, m

Boyce raideCoulibaly raide

Figure 9 : Interprétation du modèle de Coulibaly en termes de modules sécants (Es) (Coulibaly GNT raide appuyée sur sol non linéaire avec chargement de plaque à σ0 = 0.4 MPa, coupe 0 y_solbf_040.xls)

33

4.3 Comparaison des modèles de Boyce et de Coulibaly On manque de données expérimentales pour vérifier la concordance entre le gonflement calculé et le vrai comportement d’une GNT à l’intérieur de la chaussée. Les essais triaxiaux actuels ne donnent pas accès à tout le domaine des états de contraintes et de déformations régnant dans la chaussée, particulièrement lorsqu’il y a des effets d’extension ou des rapports q/p élevés. Pour cela, il a été jugé commode d’utiliser des modèles de Boyce et de Coulibaly correspondant aux mêmes essais triaxiaux (Tableau 1)3. La Figure 10 compare ces deux modèles avec différents rapports q/p.

Figure 10 : modèles rhéologiques de Boyce et Coulibaly (faible et raide)

La qualité de reproduction des résultats expérimentaux est similaire pour les deux modèles. Les résultats expérimentaux sont toutefois limités à des rapports q/p inférieurs à 2.5. La simulation d’une structure de chaussée impose d’extrapoler le comportement pour des rapports de cisaillement plus élevés (q/p > 2.5). La Figure 10 montre que les modèles de Boyce et de Coulibaly proposent une extrapolation radicalement différente. Il y a lieu de ce demander qu’elle peut être l’impact de cette extrapolation sur la réponse d’une chaussée. 3 Réf. : thèse de Coulibaly, pages 153 et 156.

34

Leur utilisation parallèle a permis de voir que les effets causés par les différences d’extrapolation sont négligeables sur la réponse de la structure de la chaussée (Figure 11 à Figure 14, Boyce faible vs Coulibaly faible). Coulibaly a supprimé l’asymptote verticale de

Boyce, située à pq / = a

a

GK

ββ31

+ , mais cela tends à conduire vers des rapports q/p

beaucoup plus élevés, ce qui n’est pas nécessairement préférable (Figure 13 et Figure 14). Ce modèle produit aussi des arcs de cercle incompressibles dans la GNT lorsque les résultats sont interprétés en paramètres sécants avec la loi de Hooke en trois dimensions (Figure 9). Le faible impact obtenu avec l’extrapolation des données triaxiales sur les champs de contraintes et déformations dans la chaussée est rassurant. Cela peu s’expliquer au moins en partie par le fait que les rapports q/p élevés se produisent en des endroits faiblement sollicités : les rapports q/p élevés apparaissent à la base de la GNT sous l’effet de valeurs p faibles plutôt que sous l’effet de valeurs q élevées. Les résultats issus du modèle k-theta ont été superposés sur la Figure 12 et la Figure 14 à titre informatif. La comparaison serait cependant abusive car le modèle k-theta a été paramétré indépendamment. Il ne peut pas être bien calé sur les deux autres modèles étant donné qu’il ne peut pas reproduire les effets du rapport de cisaillement sur les déformations volumiques (coefficient de poisson constant). Le modèle de Boyce semble être actuellement le modèle à privilégier. Ces observations sont issues d’un petit nombre de simulations et il est recommandé de chercher une façon d’élargir les chemins de sollicitations sur quelques éprouvettes de laboratoire afin de confirmer expérimentalement la représentativité des extrapolations actuelles. Un essai piloté en déformations plutôt qu’en contrainte serait intéressant à ce point de vue.

35

-0.58

-0.53

-0.48

-0.43

-0.38

-0.33

-0.28

-0.23

-0.18

-0.13

-0.08

-0.0014 -0.0012 -0.001 -0.0008 -0.0006 -0.0004 -0.0002 0 0.0002 0.0004 0.0006Déformation verticale (ezz)

z, m

Boyce faibleCoulibaly faibleBoyce raide

SOL

-0.58

-0.53

-0.48

-0.43

-0.38

-0.33

-0.28

-0.23

-0.18

-0.13

-0.08

-0.0006 -0.0004 -0.0002 0 0.0002 0.0004 0.0006 0.0008 0.001Déformation volumique (ev)

z, m


SOL

-0.58

-0.53

-0.48

-0.43

-0.38

-0.33

-0.28

-0.23

-0.18

-0.13

-0.08

0 0.0002 0.0004 0.0006 0.0008 0.001 0.0012 0.0014Déformation déviatorique (eq)

z, m


SOL

Figure 11 : effet du modèle rhéologique sur les champs de déformation dans la chaussée

Simulation de base avec σ0 = 0.7 MPa (coupe 0 y.xls)

36

-0.58

-0.53

-0.48

-0.43

-0.38

-0.33

-0.28

-0.23

-0.18

-0.13

-0.08

-0.001 -0.0009 -0.0008 -0.0007 -0.0006 -0.0005 -0.0004 -0.0003 -0.0002 -0.0001 0Déformation verticale (ezz)

z, m

Boyce faiblek-theta faibleCoulibaly faibleBoyce raideCoulibaly raidek-theta raide

SOL

-0.58

-0.53

-0.48

-0.43

-0.38

-0.33

-0.28

-0.23

-0.18

-0.13

-0.08

-0.0005 -0.0004 -0.0003 -0.0002 -0.0001 0 0.0001 0.0002 0.0003Déformation volumique (ev)

z, m


SOL

-0.58

-0.53

-0.48

-0.43

-0.38

-0.33

-0.28

-0.23

-0.18

-0.13

-0.08

-0.0001 0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0008 0.0009Déformation de cisaillement (eq)

z, m


SOL

Figure 12 : effet du modèle rhéologique sur les champs de déformation dans la chaussée

Simulation avec sol non-linéaire (boyce faible) et σ0 = 0.4 MPa (coupe 0 y_solbf_040.xls)

37

-0.58

-0.53

-0.48

-0.43

-0.38

-0.33

-0.28

-0.23

-0.18

-0.13

-0.08

-0.14 -0.12 -0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0p

z, m


SOL

-0.58

-0.53

-0.48

-0.43

-0.38

-0.33

-0.28

-0.23

-0.18

-0.13

-0.08

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5q

z, m


SOL

-0.58

-0.53

-0.48

-0.43

-0.38

-0.33

-0.28

-0.23

-0.18

-0.13

-0.08

-20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0q/p

z, m


SOL

Figure 13 : effet du modèle rhéologique sur les champs de contrainte dans la chaussée

Simulation de base avec σ0 = 0.7 MPa (coupe 0 y.xls)

38

-0.58

-0.53

-0.48

-0.43

-0.38

-0.33

-0.28

-0.23

-0.18

-0.13

-0.08

-0.08 -0.07 -0.06 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0p

z, m

Boyce faibleCoulibaly faiblek-theta faibleBoyce raideCoulibaly raidek-theta raide

SOL

-0.58

-0.53

-0.48

-0.43

-0.38

-0.33

-0.28

-0.23

-0.18

-0.13

-0.08

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25q

z, m


SOL

-0.58

-0.53

-0.48

-0.43

-0.38

-0.33

-0.28

-0.23

-0.18

-0.13

-0.08

-20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0q/p

z, m


SOL

Figure 14 : effet du modèle rhéologique sur les champs de contrainte dans la chaussée

Simulation avec sol non-linéaire (boyce faible) et σ0 = 0.4 MPa (coupe 0 y_solbf_040.xls)

39

5.0 Conclusions Le modèle de Boyce reste actuellement celui à privilégier, parmi ceux disponibles dans CVCR, pour le comportement des matériaux granulaires. Sa pleine représentativité du comportement d’une GNT reste à vérifier, dans la mesure du possible, sous l’angle d’essais de laboratoire avec effets d’extension et avec rapports q/p plus élevés. Des essais à déformation contrôlée seraient aussi intéressants à ce point de vue. Le modèle k-theta ne permet pas d’obtenir de solution dans la majorité des situations représentatives d’un essai de plaque sur chaussée. Le modèle de Coulibaly a un domaine de solution plus large mais tout de même limité. Le modèle de Boyce est plus stable au point de vue logiciel puisqu’il conduit toujours vers un résultat. S’il s’avérait nécessaire d’améliorer ou remplacer le modèle de Boyce, il faudrait conserver une expression mathématique qui accepte le gonflement volumique sans permettre d’efforts de tension. Il serait intéressant que ce modèle soit aussi écrit de façon à ne pas permettre d’efforts de cisaillement situés au dessus d’une enveloppe similaire à l’enveloppe de rupture décrite à la Figure 1. Cela permettrait de contrôler parfaitement la limite des rapports q/p issus des calculs. Il a été constaté que le comportement sécant de la GNT, ou du moins celui issu des modèles de Boyce et de Coulibaly, s’exprime difficilement avec la loi de Hooke, notamment lorsque le rapport q/p est plus élevé. Nous avons vu que cela pouvait conduire vers des modules E et K négatifs et vers des coefficients de Poisson débordant largement de la plage -1 à ½. La comparaison de résultats de simulation provenant de ces deux modèles tends à montrer, pour un nombre limité d’observations, que ce problème ne provient pas que de l’asymptote du modèle de Boyce, et que cette dernière n’a pas de conséquence indésirable sur les champs de contraintes et déformations calculés dans la chaussée. Il a de plus été montré analytiquement que le modèle de Boyce respecte les lois de la thermodynamique, et les exigences de convexité de la densité d’énergie de déformation, même si les paramètres du modèle de Hooke correspondant au comportement sécant ne respectent pas ces mêmes conditions. L’adaptation d’outils simplifiés basés sur la théorie des couches élastiques (ZÉPHYR, ALIZÉ) est affectée par les observations ci-haut décrites puisqu’elle nécessite l’établissement de modules et coefficients de Poisson sécants avec la loi de Hooke. L’adaptation d’ALIZÉ reste envisageable, moyennant l’introduction de gardes fous, théoriquement impropres, sur les valeurs E et ν utilisées; ou moyennant l’acceptation de valeurs infinies et négatives, sachant qu’il s’agit d’un artefact mathématique acceptable au point de vue mécanique et thermodynamique. À la rigueur, cela tend à indiquer que l’adaptation d’ALIZÉ au calcul non linéaire pourrait s’avérer plus difficile que le développement d’une interface équivalente autour de CVCR. Une série de simulations a été consignées dans ce rapport pour référence ultérieure, notamment pour vérifier la pertinence des prototypes simplifiés ZÉPHYR, ALIZÉ ou autres qui pourraient êtres mis au point dans l’avenir. Le développement de ces derniers n’est pas complété à l’heure actuelle.

40

6.0 Bibliographie • Boyce H.R. (1980) « A non linear model for the elastic behaviour of granular materials

under repeated loading » International Symposium on Soils under Cyclic and Transient Loading, Swansea (UK), 7-11 january 1980.

• Corté J.F., Di Benedetto H. (2005) « Matériaux routiers bitumineux 1 : description et propriétés des constituants » Traité Mécanique et Ingénierie des Matériaux, Hermès – Lavoisier, 2005.

• Coulibaly, L. (1998) « Etude du comportement réversible des graves non traitées : application aux chaussées souples » Thèse de doctorat, Laboratoire de Génie Civil de Nantes-Saint Nazaire, Université de Nantes.

• Guezouli, S. (1994) « Comportement des chaussées souples : Modélisation et simulation numérique » Thèse de doctorat, Université de Nantes.

• Heck J.V. (2001) « Modélisation des déformations réversibles et étude des déformations permanentes des enrobés bitumineux - Application à l'orniérage des chaussées » Thèse de doctorat de l'ECN, soutenue le 30/10/01

• Heck J.V., Piau J.M., Gramsammer J.C., Kerzreho J.P., Odéon H. (1998) « Thermo-visco-elastic modelling of pavements behaviour and comparison with experimental data from the LCPC test track » Proc. 5th Conference on Bearing Capacity of Roads and Airfields, Trondheim, Norway, July 1998.

• Hicks R.G., Monismith C.L. (1972) « Prediction of the resilient response of pavements containing granular layers using non-linear elastic theory » Proceedings of 3rd Int. Conference on Asphalt Pavements, vol1., pp 410-429.

• Hornych P., Kazai A., Piau J.M. (1998) « Study of the resilient behaviour of unbound granular materials » proceedings 5th Conference on Bearing Capacity of Roads and Airfields, Trondheim, Norvège, Juillet 1998

• Houlsby (1985) « The use of a variable shear modulus in elastic-plastic models for clays » Computers and Geotechnics 23, Elsevier, pp. 3-13.

• Humbert, P., Fezans G., Remaud D. (2005) « CESAR-LCPC, un progiciel de calcul dédié au génie civil », Bulletin des laboratoires des ponts et chaussées, no 256-57.

• Lade, P.V. et R.B. Nelson (1987) « Modelling the elastic behaviour of granular materials » International journal for numerical and analytical methods in geomechanics, John-Wiley & Sons, Ltd., vol. 11, pp. 521-542.

• Lemaître J. et J.-L. Chaboche (2004) « Mécanique des matériaux solides » publications Eyrolles.

• Nguyen, V.T, P. Hornych, D. Bodin, J.-M. Piau et D. St-Laurent (2008) « CESAR-LCPC version Recherche. Le module CVCR. Cahier de développement réalisé dans le cadre de l’opération de recherche 11P063 » Laboratoire Central des Ponts et Chaussées.

• Niemunis A. et M. Cudny (1998) « On hyperelasticity for clays » Computers and Geotechnics 23, Elsevier, pp. 221-236.

• Taciroglu, E. et D. Hjelmstad (2002) « Simple nonlinear model for Elastic Response of cohesionless granular material » Journal of engineering mechanics, ASCE, vol. 128, No. 9, pp. 969-978.

• Uzan, J. (1992) « Resilient characterization of pavement materials » International journal for numerical and analytical methods in geomechanics, John-Wiley & Sons, Ltd., vol. 16, pp. 453-459.

ANNEXE 1

Simulations axisymétriques non linéaires, SANS poids propre

Annexe 1 (Sans poids propre) i

ANNEXE 1 : Simulations axisymétriques non linéaires, SANS poids propre Essai de plaque (r = 15 cm, σ0 = 0,7 MPa) Boyce faible BB 8 cm 5400 MPa GNT 40 cm Boyce : Ka = 61, Ga = 83, n = 0.37 Sol 3,5 m 40 MPa \st-laure\CESAR\pminVsSig0\pp0\b840_bf070.data Boyce raide BB 8 cm 5400 MPa GNT 40 cm Boyce : Ka = 156, Ga = 198, n = 0.57 (_br) Sol 3,5 m 40 MPa \st-laure\CESAR\pminVsSig0\pp0\b840_br070.data Figure 1 : Coupes verticales (Boyce SANS poids propre)

-0.58

-0.53

-0.48

-0.43

-0.38

-0.33

-0.28

-0.23

-0.18

-0.13

-0.08

-0.08 -0.07 -0.06 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0p

z, m Boyce faible

Boyce raide

SOL

\st-laure\CVCR\pminVsSig0\Coupe 0 y_pp0.xls

Annexe 1 (Sans poids propre) ii

-0.58

-0.53

-0.48

-0.43

-0.38

-0.33

-0.28

-0.23

-0.18

-0.13

-0.08

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25q

z, m

Boyce faibleBoyce raide

SOL

-0.58

-0.53

-0.48

-0.43

-0.38

-0.33

-0.28

-0.23

-0.18

-0.13

-0.08

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0q/p

z, m


SOL

Annexe 1 (Sans poids propre) iii

-0.58

-0.53

-0.48

-0.43

-0.38

-0.33

-0.28

-0.23

-0.18

-0.13

-0.08

-0.0016 -0.0014 -0.0012 -0.001 -0.0008 -0.0006 -0.0004 -0.0002 0ezz

z, m


SOL

-0.48

-0.43

-0.38

-0.33

-0.28

-0.23

-0.18

-0.13

-0.08

0 50 100 150 200 250Post-traitement en module de cisaillement sécant Gs, MPa

z, m

Boyce faible

Boyce raide

Annexe 1 (Sans poids propre) iv

-0.48

-0.43

-0.38

-0.33

-0.28

-0.23

-0.18

-0.13

-0.08


z, m

Boyce faible

Boyce raide

-0.48

-0.43

-0.38

-0.33

-0.28

-0.23

-0.18

-0.13

-0.08

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5Post-traitement en coefficient de Poisson sécant (vs)

z, m


Annexe 1 (Boyce faible, Sans poids propre) v

Figure 2 : Isovaleurs (Boyce faible SANS poids propre) Fenêtres d’affichage (vertical : 0 à -0.6 m, horizontal : 0 à 1 m)

Post-traitement en module sécant (Es)

Post-traitement en coefficient de Poisson sécant (vs)

Pression moyenne (p)

Annexe 1 (Boyce faible, Sans poids propre) vi

Déviateur (q)

Rapport q/p

Déformation volumique (ev)

Annexe 1 (Boyce faible, Sans poids propre) vii

Déformation tangentielle (eθθ)

Déformation radiale (err)

Déformation verticale (ezz)

Annexe 1 (Boyce faible, Sans poids propre) viii

Déformation de cisaillement (erz)

Contrainte tangentielle (sθθ)

Contrainte radiale (srr)

Annexe 1 (Boyce faible, Sans poids propre) ix

Contrainte verticale (szz)

Déplacements verticaux (v)

Déplacements horizontaux (u)

Annexe 1 (Boyce raide, Sans poids propre) x

Figure 3 : Isovaleurs (Boyce raide SANS poids propre) Post-traitement en module sécant (Es) :



Annexe 1 (Boyce raide, Sans poids propre) xi

Déviateur (q)

Rapport q/p


Annexe 1 (Boyce raide, Sans poids propre) xii




Annexe 1 (Boyce raide, Sans poids propre) xiii




Annexe 1 (Boyce raide, Sans poids propre) xiv




ANNEXE 2

Simulations axisymétriques non linéaires, AVEC poids propre

Annexe 2 (Avec poids propre) I

ANNEXE 2 : Simulations axisymétriques non linéaires, AVEC poids propre Essai de plaque (r = 15 cm, σ0 = 0,7 MPa) Boyce faible BB 8 cm 24 kN/m³ 5400 MPa GNT 40 cm 20 kN/m³ Boyce : Ka = 61, Ga = 83, n = 0.37 Sol 3,5 m 20 kN/m³ 40 MPa \CESAR\pminVsSig0\b840_bf070.data Coulibaly faible BB 8 cm 24 kN/m³ 5400 MPa GNT 40 cm 20 kN/m³ Boyce : Ka = 55, Ga = 71, n = 0.33, gsa = 0.5 Sol 3,5 m 20 kN/m³ 40 MPa \CESAR\pminVsSig0\b840_cf070.data Boyce raide BB 8 cm 24 kN/m³ 5400 MPa GNT 40 cm 20 kN/m³ Boyce : Ka = 156, Ga = 198, n = 0.57 Sol 3,5 m 20 kN/m³ 40 MPa \CESAR\pminVsSig0\b840_br070.data Figure 1 : Coupes verticales (AVEC poids propre)

-0.58

-0.53

-0.48

-0.43

-0.38

-0.33

-0.28

-0.23

-0.18

-0.13

-0.08

-0.14 -0.12 -0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0p

z, m


SOL

st-laure\CVCR\pminVsSig0\Coupe 0 y.xls

Annexe 2 (Avec poids propre) II

-0.58

-0.53

-0.48

-0.43

-0.38

-0.33

-0.28

-0.23

-0.18

-0.13

-0.08

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5q

z, m


SOL

-0.58

-0.53

-0.48

-0.43

-0.38

-0.33

-0.28

-0.23

-0.18

-0.13

-0.08

-20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0q/p

z, m


SOL

Annexe 2 (Avec poids propre) III

-0.58

-0.53

-0.48

-0.43

-0.38

-0.33

-0.28

-0.23

-0.18

-0.13

-0.08

-0.0014 -0.0012 -0.001 -0.0008 -0.0006 -0.0004 -0.0002 0 0.0002 0.0004 0.0006ezz

z, m


SOL

-0.48

-0.43

-0.38

-0.33

-0.28

-0.23

-0.18

-0.13

-0.08

0 50 100 150 200 250Post-traitement en module de cisaillement sécant Gs, MPa

z, m


Annexe 2 (Avec poids propre) IV

-0.48

-0.43

-0.38

-0.33

-0.28

-0.23

-0.18

-0.13

-0.08


z, m


-0.48

-0.43

-0.38

-0.33

-0.28

-0.23

-0.18

-0.13

-0.08

-5 -3 -1 1 3 5Post-traitement en coefficient de Poisson sécant (vs)

z, m


Annexe 2 (Boyce faible, Avec poids propre) V

Figure 2 : Simulation axisymétriques avec modèles non linéaires (Boyce faible AVEC poids propre) Fenêtres d’affichage (vertical : 0 à -0.6 m, horizontal : 0 à 1 m)

Module sécant (Es)

Coefficient de Poisson sécant (vs)


Annexe 2 (Boyce faible, Avec poids propre) VI

Déviateur (q)

Rapport q/p


Annexe 2 (Boyce faible, Avec poids propre) VII




Annexe 2 (Boyce faible, Avec poids propre) VIII




Annexe 2 (Boyce faible, Avec poids propre) IX




Annexe 2 (Coulibaly faible, Avec poids propre) X

Figure 3 : Simulation axisymétriques avec modèles non linéaires (Coulibaly faible AVEC poids propre) Post-traitement en module sécant (Es)



Annexe 2 (Coulibaly faible, Avec poids propre) XI

Déviateur (q)

Rapport q/p


Annexe 2 (Coulibaly faible, Avec poids propre) XII




Annexe 2 (Coulibaly faible, Avec poids propre) XIII




Annexe 2 (Coulibaly faible, Avec poids propre) XIV




Annexe 2 (Boyce raide, Avec poids propre) XV

Figure 4 : Simulation axisymétriques avec modèles non linéaires (Boyce raide AVEC poids propre) Module sécant (Es)

Coefficient de Poisson sécant (vs)


Annexe 2 (Boyce raide, Avec poids propre) XVI

Déviateur (q)

Rapport q/p


Annexe 2 (Boyce raide, Avec poids propre) XVII




Annexe 2 (Boyce raide, Avec poids propre) XVIII




Annexe 2 (Boyce raide, Avec poids propre) XIX




ANNEXE 3

Base d’article rédigée par Jean-Michel Piau

Eléments pour article sur la loi de Boyce et le module CVCR de CESAR

Viser une revue de rang A telle que IJRMPD A voir : rédaction en français ou en anglais

Plan :

• écriture usuelle de la loi de comportement de Boyce / repartir des arguments de la thèse de Coulibaly (potentiel)

• écriture de son expression en fonction de l’état de déformation pour le traitement structurel par éléments finis

• programmation de CVCR • illustration de résultat de calcul • problème de l’interprétation de la loi sécante par la loi de Hooke (coefficient de

compressibilité volumique négatif en certains points du maillage éléments finis) • étude de la convexité de la loi de Boyce (densité d’énergie élastique complémentaire) • conclusion : la loi de Boyce est bien posée pour Ka>0, Ga >0 indépendamment du fait

que le module sécant K puisse prendre des valeurs négatives Nota :

- de manière générale, traiter le cas 1=n correspondant à la loi de Hooke - évoquer aspects :

o orthotropie o état de contrainte initial o pression capillaire

A voir : titre, texte, numéros d’équation,….

(NOTA : TITRES A AMELIORER)

UTILISATION DE LA LOI DE BOYCE EN MECANIQUE DES CHAUSSEES - ETUDE DE LA VALIDITE DES SOLUTIONS

OBTENUES (auteurs : Denis Saint-Laurent, Pierre Hornych, Jean-Michel Piau)

INTRODUCTION Cet article traite de la loi de Boyce utilisée en Mécanique des Chaussées pour représenter le comportement élastique non linéaire des couches granulaires non liées, qui ne peuvent résister à des états de contrainte en traction de forte intensité. Le papier comporte 5 parties. On rappelle dans un premier temps la formulation classique de la loi de Boyce, écrite en termes de coefficients de compressibilité et de cisaillement sécants, fonction du tenseur de contrainte. La condition pour que la loi dérive d’un potentiel d’énergie élastique et assure ainsi automatiquement le respect du second principe de la Thermodynamique est également rappelée. On montre aussi que la loi peut être aisément aménagée afin de tenir compte le cas échéant de différents facteurs tels que l’orthotropie d’axe vertical du comportement des matériaux granulaires non liés compactés dans les chaussées, la présence d’un état de contrainte initial lié notamment au poids des couches de chaussée sus-jacentes, ou encore l’effet d’une pression capillaire. L’écriture i

Documents

Direction du Laboratoire des Chausséesdimensionnement des chaussées. • Le Guide de dimensionnement SETRA-LCPC de 1994 prescrit une méthode de subdivision des couches de graves