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Année 2002
Laboratoire de Mécanique des StructuresINSA Lyon
THESE
Présentée devant
L’INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON
Pour obtenir
LE GRADE DE DOCTEUR
Formation doctorale : Mécanique
Ecole doctorale des Sciences pour l’Ingénieur de Lyon : MEGA
Par
Ahmad AL MAJID
DISSIPATION DE L'ENERGIE EN MECANIQUE VIBRATOIRE
- OPERATEUR D'HYSTERESIS
- PHENOMENE METRIQUE
Jury
BERLIOZ Alain , Maître de Conférence – HDR, INSA de Lyon
BOUC Robert, Directeur de Recherche – Emérite, UPR CNRS Marseille
DUFOUR Régis, Professeur, INSA de Lyon
ELBAZ Edgard , Professeur, Université Claude Bernard Lyon I
GAY Bernard , Professeur, Université Claude Bernard Lyon I
JEZEQUEL Louis, Professeur, Ecole Centrale de Lyon
LE HOUEDEC Donatien, Professeur, Ecole Centrale de Nantes
MIZONY Michel , Maître de Conférence – HDR, Université Claude Bernard Lyon I
TOURRENC Philippe, Professeur, Université Pierre et Marie Curie.
i
SOMMAIRE
INTRUDUCTION GENERALE ……………………………………………………………1
PARTIE I : DISSIPATION - OPERATEUR D'HYSTERESIS …………………………….5
CHAPITRE I Généralités sur l’amortissement
1. Introduction............................................................................................................................ 6
2. Amortissement externe à la structure..................................................................................... 7
2.1 Rayonnement acoustique.................................................................................................. 7
2.1.1 Piston dans un tube................................................................................................... 7
2.1.2 Amortissement acoustique d’une plaque.................................................................. 8
2.2 Piston de compresseur ...................................................................................................... 9
2.3 Frottement de Coulomb.................................................................................................. 10
3. Amortissement intrinsèque à la structure............................................................................. 11
4. Propriétés et modélisation des caractéristiques dynamiques des matériaux........................ 12
4.1 Effets de la température.................................................................................................. 12
4.2 Effets de la fréquence ..................................................................................................... 13
4.3 Effets de fréquence-température..................................................................................... 14
4.4 Effets généraux ............................................................................................................... 15
5. Modélisation de l’amortissement......................................................................................... 16
5.1 Modèle linéaire standard ................................................................................................ 16
5.2 Modèle standard généralisé ............................................................................................ 17
5.3 Modèle à dérivées généralisées ...................................................................................... 18
5.4 Module complexe ........................................................................................................... 19
5.5 Boucles d'Hystérésis ....................................................................................................... 19
5.6 Dissipation d'énergie....................................................................................................... 21
5.7 Fonction de dissipation de Rayleigh............................................................................... 21
5.7.1 Exemple 1 : forces de dissipation ........................................................................... 22
5.7.2 Exemple 2 : forces gyroscopiques .......................................................................... 22
5.8 Synthèse.......................................................................................................................... 23
6. Réponse de systèmes amortis en régime harmonique.......................................................... 23
6.1 Amortissement visqueux ................................................................................................ 23
6.2 Amortissement hystérétique ........................................................................................... 24
ii
6.3 Effets des amortissements visqueux et hystérétique....................................................... 26
6.4 Système réel.................................................................................................................... 26
7. Mesure de l’amortissement .................................................................................................. 26
7.1 Régime forcé................................................................................................................... 26
7.1.1 Mesure par la largeur de bande............................................................................... 26
7.1.2 Mesure par l’amplitude à la résonance ................................................................... 28
7.2 Régime libre ................................................................................................................... 28
7.2.1 Amortissement visqueux. ....................................................................................... 28
7.2.2 Amortissement élastoplastique............................................................................... 29
CHAPITRE II Modèles d’hystérésis
1. Introduction.......................................................................................................................... 32
2. Modèle de Coulomb............................................................................................................. 33
3. Modèle de Dahl.................................................................................................................... 33
4. Modèle de Duhem-Madelung .............................................................................................. 36
5. Modèle de M.A. Krasnosel’skii ........................................................................................... 36
6. Modèle de R. Bouc .............................................................................................................. 38
7. Conclusion ........................................................................................................................... 39
CHAPITRE III Modèle d’hystérésis proposé
1. Introduction.......................................................................................................................... 40
2. Modèle d'hystérésis proposé ................................................................................................ 41
3. Validation mathématique du modèle ................................................................................... 42
3.1 Dérivabilité et bornes de l’opérateur d’hystérésis .......................................................... 42
3.1.1 Les courbes enveloppes dépendent de p et du signe de sa vitesse ......................... 42
3.1.2 Les courbes enveloppes dépendent légèrement de p et du temps.......................... 44
3.2 Existence et unicité de la solution .................................................................................. 44
4. Exemples d’applications du modèle .................................................................................... 46
4.1 Modèle général de ressort............................................................................................... 46
4.2 Modèle de Dahl .............................................................................................................. 47
4.3 Modèle d’hystérésis avec assouplissement..................................................................... 48
4.4 Suspension de caméra infrarouge ................................................................................... 49
4.5 Amortisseur à coussins métalliques................................................................................ 50
4.5.1 Régime quasi-statique............................................................................................. 51
4.5.2 Régime harmonique................................................................................................ 52
iii
4.6 Plot en élastomère........................................................................................................... 54
5. Conclusion ........................................................................................................................... 56
CHAPITRE IV Réponse d’un système structure – plot
1. Modélisation par Rayleigh-Ritz........................................................................................... 57
2. Application........................................................................................................................... 59
3. Réponse harmonique avec plot à coussin métallique .......................................................... 60
4. Réponse transitoire avec plot à coussin métallique ............................................................. 61
5. Difficultés de modélisations ................................................................................................ 63
5.1 Réponse transitoire avec plot en élastomère. ................................................................ 63
5.2 Réponse transitoire avec plot à coussin métallique....................................................... 64
6. Conclusion : ......................................................................................................................... 64
PARTIE II : DISSIPATION - PHENOMENE METRIQUE ………………………….66
CHAPITRE V Généralités calcul tensoriel et géodésique
1. Introduction.......................................................................................................................... 67
2. Transformation des coordonnées ......................................................................................... 67
3. Métrique d’un espace........................................................................................................... 68
3.1 Espace de Riemann ....................................................................................................... 68
3.2 Espace euclidien & pseudo-euclidien ........................................................................... 69
4. Tenseurs associés ................................................................................................................. 69
5. Symboles de Christoffel....................................................................................................... 69
6. Dérivation covariante........................................................................................................... 70
6.1 Opérateurs vectoriels et dérivées covariantes ............................................................... 71
6.2 Généralisation................................................................................................................ 71
7. Tenseur de courbure............................................................................................................. 71
7.1 Tenseur de courbure général ......................................................................................... 71
7.2 Propriétés du tenseur de Riemann................................................................................. 73
7.3 Tenseur de Ricci............................................................................................................ 73
8. Géodésique dans l’espace de Riemann ................................................................................ 73
8.1 Equation de la géodésique............................................................................................. 74
8.2 Forme contravariante de l’équation de la géodésique................................................... 75
8.3 Influence du paramètre p............................................................................................... 75
8.4 Influence de la forme de la fonction.............................................................................. 76
9. Les équations de Lagrange à la lumière de la théorie de relativité générale ....................... 77
iv
10. Le temps-propre et les équations de mouvement, vus par la mécanique relativiste ............ 78
10.1 Utilisation de l’équation d’Euler-Lagrange................................................................... 79
10.2 Utilisation de l’équation des géodésiques ..................................................................... 80
11. Conclusion ........................................................................................................................... 80
CHAPITRE VI Effet dissipatif et fréquence variable
1. Introduction.......................................................................................................................... 82
2. Dimension fréquence d’événement supplémentaire ............................................................ 82
3. Equations du mouvement..................................................................................................... 85
4. L’énergie qui provoque l’amortissement ............................................................................. 87
5. Equation du mouvement d’un point matériel de faible vitesse............................................ 88
6. Méthode expérimentale........................................................................................................ 89
6.1 Dispositif expérimental................................................................................................... 89
6.2 Détermination expérimentale de la fonction q(ξ) ........................................................... 90
7. Réponses en régime transitoire rapide ................................................................................. 93
7.1 Modèle classique ............................................................................................................ 93
7.2 Modèle proposé .............................................................................................................. 94
8. Conclusion ........................................................................................................................... 95
CHAPITRE VII L’amortissement, phénomène métrique
1. Introduction.......................................................................................................................... 97
2. Energies cinétique et potentielle pour un système de points en mouvement....................... 97
3. Cas où des paramètres agissent sur le mouvement .............................................................. 99
4. Equations de mouvement................................................................................................... 100
5. Exemple d’illustration........................................................................................................ 103
5.1 Forme de la métrique.................................................................................................... 103
5.2 Expression de l’amortissement..................................................................................... 104
5.3 Détermination des termes de la métrique ..................................................................... 105
5.4 Equations du mouvement ............................................................................................. 108
6. Réductions des axes supplémentaires à un axe (axe du temps) ......................................... 110
6.1 Forme de la métrique.................................................................................................... 110
6.2 Equations de mouvement.............................................................................................. 111
7. Conclusion ......................................................................................................................... 112
CHAPITRE VIII Applications
1. Système à un degré de liberté ............................................................................................ 113
v
1.1 Equations du mouvement ............................................................................................. 113
1.2 Validation expérimentale du modèle............................................................................ 114
2. Système à trois degrés de liberté........................................................................................ 117
2.1 Modèle classique .......................................................................................................... 117
2.2 Modèle proposé ............................................................................................................ 121
Variante 1.............................................................................................................................. 121
Variante 2.............................................................................................................................. 122
3. Système continu : poutre en flexion................................................................................... 125
3.1 Modèle élément fini de poutre...................................................................................... 125
3.2 Cas d’une poutre encastrée-libre .................................................................................. 128
3.2.1 Equations du mouvement ..................................................................................... 128
4. Conclusion ......................................................................................................................... 126
CONCLUSION GÉNÉRALE ET PERSPECTIVES .......................................................... 137
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES ............................................................................. 138
ANNEXE Calcul des variations
1. Equation d'Euler dans le cas de plusieurs fonctions et dérivées d'ordre supérieur ............ 150
2. Equation d'Ostrogradsky, intégrales multiples. ................................................................. 152
3. Exemple d’application ....................................................................................................... 154
4. Les principes variationnels en mécanique ......................................................................... 154
4.1 Principe de Hamilton pour les systèmes à un degré de liberté ..................................... 155
4.2 Principe de Hamilton pour les systèmes à plusieurs degrés de liberté ......................... 155
4.3 Principe de Hamilton pour les systèmes continus ........................................................ 156
4.3.1 Mouvement transversal d'une corde ..................................................................... 156
4.3.2 Mouvement longitudinal d'une barre.................................................................... 157
4.3.3 Mouvement d’une poutre en flexion .................................................................... 158
4.3.4 Mouvement d’une plaque en flexion .................................................................... 159
4.3.5 Equations de mouvement d'un milieu élastique ................................................... 160
5. L’amortissement et le principe variationnel ...................................................................... 161
5.1 Système à un seul degré de liberté................................................................................ 161
5.2 Systèmes à plusieurs degrés de liberté ......................................................................... 161
5.3 Exemple........................................................................................................................ 162
INTRODUCTION GENERALE
1
INTRODUCTION GENERALE
La dissipation de l‘énergie dans les systèmes mécaniques est recherchée quand il s’agit
d’évacuer une énergie indésirable : surtension, instabilité, séisme, freinage, crash. Mais
l’énergie est au centre des préoccupations économiques et de performances de notre société
actuelle. Aussi il convient de limiter le plus possible sa dissipation quand l’énergie joue un rôle
positif comme dans le cas où elle est convertie en travail : machines outil, véhicules de
transport, matériels de sport…
La dissipation a des effets complexes : effet amortissant dans les zones d’amplification
proches des phénomènes de résonance, effet amplifiant dans les zones d’atténuation [90, 99,
106, 135, 137], effet déstabilisant si trop d’amortissement réside dans le rotor [107].
D’autres effets liés à la dissipation peuvent être cités :
- Déphasage et donc boucle d’hystérésis entre force et déplacement ou entre contrainte et
déformation sous chargement cyclique,
- Amplitude limitée à la résonance.
- Relaxation des efforts sous déformation constante,
- Fluage : déformation croissante avec le temps sous effort constant, particulièrement à
température élevée,
- Variation du module élastique avec le taux de contrainte.
- Elévation de la température du solide alternativement déformé, et transmission de cette
chaleur dans l'environnement,
- …………….
La structure elle-même, le contact entre deux ou plusieurs structures, la structure dans
un fluide, le référentiel d’observation, sont sources de dissipation sitôt qu’il y a mouvement.
La dissipation de l'énergie dépend d'un grand nombre de facteurs [34, 67, 75, 95, 99,
106, 135, 137] :
- Facteurs internes : type de matériaux, composition chimique, structure cristalline ou
amorphe, etc.
- Facteurs externes : température, charge initiale, contrainte initiale, etc.
- Facteurs liés au mouvement: amplitude et fréquence de déformation, état de l'effort etc.
INTRODUCTION GENERALE
2
- Facteurs propres au spécimen: géométrie, état de surfaces, etc.
L’objectif de la recherche présentée dans ce mémoire est d’avancer dans la
connaissance des effets liés à la dissipation et d’établir des modèles mécaniques afin de prévoir
le comportement dynamique de systèmes mécaniques dissipatifs.
Il s’agit d’établir des modèles mécaniques basés sur :
- des fondements mathématiques solides afin d‘éviter les problèmes de résolution
- des observations expérimentales qui prennent en compte qualitativement et
quantitativement les facteurs et effets mentionnés préalablement,
- des résultats expérimentaux afin de caler et de valider, Figure 1.
Système
donnéesexpérimentales
Modèlemathématique
systèmede mesure
résultatsthéoriques
comparaison
mauvais accord
amél
iora
tion s
bon accord
Fig. 1. Plane de recherche
Après avoir obtenu des données expérimentales ad hoc et observé que l’amortissement du
comportement dépend d'un grand nombre de facteurs, on doit entreprendre une analyse plus
fondamentale des données, basée un modèle physique.
Le mémoire se divise en deux parties.
La première partie, intitulée Dissipation - opérateur d’hystérésis, permet d’introduire
un modèle opérateur d’hystérésis très original qui peut être notamment appliquer aux boucles
effort-déflexion de tout système mécanique. Mais auparavant cette partie est consacrée,
Chapitre I, à une généralité sur les modélisations des amortissements visqueux et sec générés
INTRODUCTION GENERALE
3
qui peuvent être internes ou externes à la structure. Après une présentation d’exemples et des
propriétés des amortissements externe et interne, les modèles existants sont listés et analysés. Le
Chapitre II s’intéresse plus particulièrement aux modèles d’hystérésis existants. Par la suite, au
Chapitre III, est proposé le modèle opérateur d’hystérésis original avec son fondement
mathématique et ses applications. Au Chapitre IV, la prévision des réponses harmoniques et
transitoires d’une structure sur deux types de plots amortisseurs, dont les comportements
viscoélastique et élastoplastique sont modélisés avec le modèle force de restitution proposé, sont
comparées à l’expérimentation.
Dans la deuxième partie, intitulée, Dissipation - phénomène métrique, il est démontré
que de l’amortissement peut intervenir quand le mouvement déforme le système de coordonnées
utilisées. Tout d’abord dans le Chapitre V, il s’agit de présenter les outils de base utilisés dans
l’approche choisie : calcul tensoriel, métriques et équations des géodésiques.
Au Chapitre VI, en utilisant le concept de la relativité restreinte, est modélisé l’effet
dissipatif induit par une excitation de fréquence variable. L’idée fondamentale est que chaque
système a son propre temps qui dépend d’événements externes. Pour cela un axe supplémentaire
représentant la fréquence est pris en considération. L’application, qui permet une validation
expérimentale du modèle original obtenu, concerne un système à un seul degré de liberté (ddl).
Dans le Chapitre VII, il s’agit d’évaluer l'amortissement dû à un phénomène notamment
transitoire, en utilisant la géométrie des espaces de Riemann où la métrique ne dépend que des
coordonnées de l’espace. La démarche s’appuie sur les concepts de la relativité générale. La
solution au problème variationnel de la métrique donne les équations des géodésiques pour le
système étudié. Les applications concernant la réponse forcée de 3 types de systèmes
mécaniques sont présentées au Chapitre VIII. Elles permettent la validation expérimentale des
modèles proposés pour les systèmes à un ddl, 3 ddl, et continu.
Il est à noter que l’annexe, après un rappel du calcul des variations, montre sous quelles
conditions une équation différentielle donnée (forme locale du problème) provient de la
minimisation d’une fonctionnelle (forme globale du problème). Ainsi sont établies, sous une
forme générale facile à programmer, les équations d’Euler Ostrogradsky (équation du
mouvement). En fin d’annexe est dressée une synthèse sur la problématique de la modélisation
des systèmes dissipatifs.
Ce manuscrit concerne les champs de la Mécanique, des Mathématiques et de la Physique
dont il reprend largement des notions de base (notamment au travers des chapitres I et V), pour
INTRODUCTION GENERALE
4
rendre sa lecture abordable par un large public scientifique. Nombre de développements ont été
réalisés analytiquement. Il a fallu développé des logiciels (géométries d’Euclide, de Gauss, de
Lobachevsky, de Riemann et de Finsler) car les outils de calcul symboliques de Maple se sont
rapidement avérés limités (notamment dans le cas de la géométrie de Finsler). La panoplie des
logiciels développés (Matlab-Numérique, Matlab-Symbolique, Maple) figure dans les rapports
[6, 7, 8, 9 ].
PARTIE I
DISSIPATION
OPERATEUR D'HYSTERESIS
CHAPITRE I – GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT
PARTIE I. 6
GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT
1. Introduction
Les vibrations dans un système mécanique [106, 130, 164] résultent d’un transfert
alternatif entre énergies cinétique et potentielle qui, sans dissipation, perdure Figure(1-a). En
présence de dissipation, et c’est le cas de tout système réel, les amplitudes du mouvement
convergent jusqu’à l’équilibre dynamique dans le cas d’un système forcé, jusqu’à l’équilibre
statique dans le cas d’un système libre.
Un amortissement visqueux crée une force proportionnelle et opposée à la vitesse alors
qu’un frottement sec crée une force constante mais change de signe à chaque demi-cycle et
donc s’oppose à la vitesse [73, 137].
Position d’équilibre
Position de mouvementTemps
a- Poutre non amortie
Enveloppe We(t)
TempsAmortisseur visco
b- Poutre avec amortissement visco
Temps
Amortisseur en friction
c- Poutre avec amortissement sec
Fig.1. Poutre en mouvement libre [ 137].
Dans le cas d’une réponse impulsion le mouvement alternatif s’inscrit dans une courbe
enveloppe exponentielle décroissante, Figure (1-b), en présence d’amortissement visqueux,
linéaire décroissante, Figure (1.-c) en présence d’amortissement sec. Ainsi le mouvement d’un
CHAPITRE I – GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT
PARTIE I. 7
système avec amortissement visqueux pur prend théoriquement un temps infini pour mourir
complètement. Mais dans la pratique un système réel cumule différents types d’amortissement
qui ne dépendent pas exclusivement de la vitesse et qui contribuent donc à l’étouffement
complet du mouvement [98, 99, 109, 135]. Pour les systèmes à plusieurs degrés de liberté
l’amortissement étouffe avec le temps les modes de fréquences les plus élevées. Ainsi au bout
d’un certain temps le mouvement ne comportera que le mode fondamental permettant la
mesure de l’amortissement par décrément logarithmique dans le cas d’amortissement visqueux
et d’hystérésis pouvant être décrit par un module d’Young complexe.
En régime harmonique, un système à un degré de liberté se comporte en raideur en deçà
de sa fréquence propre, en inertie au delà. En l'absence d’amortissement aucun équilibre
dynamique ne peut être atteint à la résonance [23, 84, 67]. Dans la pratique et donc en présence
d’amortissement, l’amplitude de l’équilibre dynamique dépend de l’importance des forces
d’amortissement. La mesure de l’amortissement s’opère alors par la mesure de bande. Là aussi
la mesure d'amortissement sera unique pour certains types d'amortissement, tels que visqueux
ou d’hystérésis, mais dépendra de l'amplitude pour d'autres types d'amortissement, tels que le
frottement sec, et doit donc être employée avec une certaine attention.
2. Amortissement externe à la structure
L’amortissement externe est apporté par le fluide environnant [26], le contact avec une
autre structure ou un système mécanique
2.1 Rayonnement acoustique
Un milieu fluide environnant (air, l'eau, huile, ou d'autres gaz ou liquides) modifie la
réponse vibratoire d'une structure [21, 73].
2.1.1 Piston dans un tube
L'effet d'amortissement du milieu fluide dépend de plusieurs facteurs, dont la densité 'ρ
du milieu, la vitesse de propagation des ondes dans le milieu, et les caractéristiques de masse et
de rigidité de la structure elle-même [26, 133, 137]. Un système très simple, une masse
soutenue par des ressorts de raideur k agissant comme un degré de liberté ( )tw couplé sur
chaque extrémité à un milieu acoustique permet d’illustrer les principes mis en œuvre.
L'équation du mouvement de la masse m est
( ) aFtFkwdt
wdm −=+
2
2
, (1)
CHAPITRE I – GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT
PARTIE I. 8
où aF est la force due au milieu acoustique. Elle est déterminée en résolvant l'équation du
mouvement du milieu acoustique, la masse oscillant avec la vitesse ( )tw . L'équation du
mouvement à satisfaire est l'équation d'ondes unidimensionnelle:
01
2
2
22
2
=−dt
d
adx
d ψψ. (2)
Dans cette équation a est la célérité de l’onde dans le milieu et ψ le potentiel vitesse dans
le milieu liquide, qui est lié à l'incrément de pression p et à la vitesse acoustique V par les
relations suivantes:
dt
dp
ψρ'−= , et dx
dV
ψ= . (3)
Si le déplacement de la masse m est ( ) tiWetw ω= , alors nous pouvons supposer que ( )tx,ψ est
de la forme ( ) tiex ωΨ , de sorte que la force Fa devient
( ) waRppRF LRa '2 22 ρππ =−= , (4)
par conséquent l'équation (1) prend la forme :
( )tFkwdt
dwaR
dt
wdm =++ '2 2
2
2
ρπ , (5)
si maintenant ( ) tiFetF ω= , alors:
( ) 21
1
ωη mikF
W
e −+= , (6)
où
k
aRe
ωρπη '2 2
= , (7)
est le facteur de perte efficace du système à un seul degré de liberté. Il est proportionnel à ω : et
à la densité du milieu 'ρ : ainsi ce type d'amortissement est plus efficace aux fréquences
élevées et dans un milieu type liquide (eau, huile) plutôt que type gaz (air).
2.1.2 Amortissement acoustique d’une plaque
Le problème de prévoir l'effet d'un milieu acoustique sur la réponse d'une plaque est plus
compliqué que le cas précédent. Un élément de la plaque vibrant au point A, Figure 2, met en
mouvement le milieu acoustique et produit des ondes qui, en se propageant, créent des
pressions au point B.
CHAPITRE I – GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT
PARTIE I. 9
θ0
θr0
r’
r
o
ds
X
γ A
B
Fig.2. Amortissement acoustique
En champ libre, la pression est donnée par la formule de Rayleigh [137, 161]:
( ) ( )∫ −−−=S
arti dSer
rwip '
',
2' ωθ
πωρ
, (8)
où S est la surface totale de la plaque, ( ) tierw ωθ, la vitesse du plat au point B, et r' est la
distance de B à A donnée par ( )0022
0 cos2' θθ −−+= rrrrr . L’équation générale du
mouvement d'une plaque avec un milieu acoustique s’écrit en employant l'équation (1):
( ) ( )θθρ ω ,,2
24 rperF
dt
wdHbwD ti −=+∇ , (9)
où D est la constante de rigidité des plaques, H l’épaisseur, b la largeur, ρ la masse volumique
de la plaque. C'est une équation intégrale-différentielle qui peut être résolue, par exemple, par
analyse modale.
2.2 Piston de compresseur
Le fluide dans lequel une structure est immergée peut fournir d'autres mécanismes
d'amortissement comme la fuite de gaz [137]. Un piston comprimant alternativement un
volume de gaz fermé hermétiquement crée un incrément de pression tipeω∆ proportionnel au
mouvement du piston ( ) tieyxW ω, et aucune dissipation ne se produit. Si une petite fuite
survient, l'incrément de pression se modifie : ( )εω +∆ tipe , où ε est un angle de phase résultant de
la perte. L’écoulement de la fuite peut avoir un régime laminaire ou turbulent, selon
l’amplitude W, le volume du gaz 0V , la taille de la fuite, et le type de mode dans lequel le
panneau répond.
CHAPITRE I – GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT
PARTIE I. 10
2.3 Frottement de Coulomb
La force de friction résultante du mouvement relatif de deux surfaces en contact est
généralement modélisée par une force constante proportionnelle à la charge normale entre les
surfaces et opposée au vecteur de vitesse instantanée [126, 135].
La Figure 3 présente un système mécanique à un ddl. Si ( ) NtF µ< , µ étant le coefficient
de frottement, la masse m ne se déplace pas, si ( ) NtF µ≥ , le mouvement a lieu sans arrêt, le
signe de la force de friction changeant avec le signe de la vitesse w , de sorte que l'équation du
mouvement devient :
( ) ( )wsgnNtFwkwm µ−=+ . (10)
Fc
k
N
w(t)
F(t) m
Force
µ N
w
Fc
-sin (ω t)
Sgn(-sin (ω t))
ω t
- 4/π sin (ω t)
w
Fig.3. Amortissement par friction [135]
CHAPITRE I – GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT
PARTIE I. 11
Si la force est harmonique ( )tFF ωcos0= , la solution se recherche sous la forme :
( ) ( ) ( )( )( ) ( )t
k
F
k
NtCtCtw ω
ωωµωω cos
1sincos
20
00201 −
+±+= , (11)
où mk=20ω , et 21, CC sont les constantes de l'intégration.
3. Amortissement intrinsèque à la structure
L’amortissement dans les matériaux, considéré à l’origine comme un processus
clairement homogène, est en réalité un processus très complexe, qui obéit à nombre de
différents mécanismes. En fait, d'une façon générale, la dissipation de l'énergie mécanique dans
le matériau a lieu par un processus irréversible : transfert d'un état d’équilibre
thermodynamique de la structure interne à un autre état d'équilibre correspondant à de
nouvelles conditions imposées. Ce processus de transfert est accompli par une réorganisation
interne de structure [135, 167]. L'effet final de la dissipation représente, donc, une somme
d'effets provoqués par divers mécanismes de la reconstruction de la micro- et macro- structure.
Les mécanismes de la reconstruction interne incluent l'hystérésis magnétique (magnéto-
élasticité, magnéto-mécanique, magnétostriction, courant de Foucault), conductivité thermique
(thermoélasticité, thermique, diffusion thermique et écoulement thermique) et reconstruction
atomique.
Le dernier groupe inclut des effets liés à la diffusion, aux dislocations, à la relaxation
d'effort aux blocs de frontières de grain en matériaux polycristallins, aux processus de phase
dans les solutions pleines, etc. Pendant la déformation, tous les mécanismes d'amortissement
sont impliqués à un certain degré. Cependant, la contribution de chaque processus au
comportement d'amortissement général est différente parce que, dans des conditions externes
données et une gamme prescrite d'amplitude d'effort, chaque processus est relié à certaines
fréquences et températures ambiantes, dans lesquelles il est le plus prononcé. Les mécanismes
séparés responsables de la réorganisation interne de structure peuvent représenter des processus
réversibles ou irréversibles et peuvent être étroitement reliés à la température, à l'amplitude ou
à la fréquence de la déformation. De tels effets sont souvent fortement non-linéaires, ainsi
l'analyse détaillée de la réponse avec de tels mécanismes d'amortissement est habituellement
très difficile [11, 49, 75, 109].
Les processus typiques incluent :
- Relaxation amortissante qui dépend de la fréquence et de la température, mais pas de
l'amplitude de déformation. Le processus est réversible pour de petites valeurs d'amplitude :
CHAPITRE I – GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT
PARTIE I. 12
anélasticité des matériaux. Le processus est irréversible pour de plus grandes amplitudes :
viscoplasticité [47],
- Amortissement résonnant qui dépend de la fréquence de résonance du mécanisme
particulier [99],,
- Amortissement structural qui dépend de l'amplitude de la déformation mais pas de sa
vitesse [135, 137],
- Facteurs amortissants qui dépendent de l’amplitude et la vitesse de la déformation [86,
90, 108],
- Facteurs visqueux non linéaires qui dépendent principalement de la température
[90, 179].
L'énergie par volume unitaire dissipée par cycle est très petite pour la plupart des
matériaux structuraux conventionnels, légèrement plus élevée pour certains alliages.
Les matériaux composites en général comme par exemple le boron-aluminium ou les
composés carbone-époxydes ont un très faible amortissement et un comportement fortement
non linéaire, [99]. Pour ce qui est des matériaux viscoélastiques l’amortissement viscoélastique
est exhibé fortement par les matériaux polymères et vitreux, et ce mécanisme de
l'amortissement interne a beaucoup d'application industrielle. L'amortissement résulte de la
relaxation et du rétablissement du réseau de polymère après qu'il ait été déformé, et une
dépendance forte existe entre les effets de fréquence et les effets de la température en raison du
rapport direct entre la température matériau et le mouvement moléculaire [34].
4. Propriétés et modélisation des caractéristiques dynamiques des matériaux
Les caractéristiques dynamiques des matériaux qui traduisent les propriétés de rigidité et
d'amortissement des matériaux, sont respectivement le module d’Young E et le facteur de perte
η [34, 35, 99,137, 179]. Ils changent en particulier avec la température, la fréquence de la
sollicitation et dans un degré moindre avec d’autres facteurs tels le vieillissement, le vide, le
rayonnement, l'huile,…
4.1 Effets de la température
La température est habituellement considérée comme le facteur environnemental le plus
important affectant sur les propriétés d'amortissement des matériaux [135, 137]. Cet effet est
illustré sur la Figure 4 où on peut observer quatre régions distinctes.
CHAPITRE I – GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT
PARTIE I. 13
- Région vitreuse. Avec la température, le module d’Young E évolue lentement et le
facteur de perte η fortement.
- Région transitoire. Le module dans cette région diminue rapidement avec
l'augmentation de la température, alors que le facteur de perte prend sa valeur maximum.
- Région caoutchouteuse. Le module et le facteur de perte prennent de faibles valeurs et
changent peu avec la température.
- Région d’écoulement. Le matériau continue à se ramollir avec la température, et
l’amortissement s’élève fortement.
Régionvitreuse
Régiontransitoire
Régioncaoutchouc
Régiond'écoulement
E
η
Température
fréquenceconstante
Fig.4. Effet de la température [137]
4.2 Effets de la fréquence
En utilisant la représentation complexe du module, ( )ωE et ( )ωη peuvent être
représentées analytiquement de différentes manières. Voici celle suggérée par [99, 137].
Le module d’Young E s’établit comme suit :
( ) ( )Φ−+= 1EEE
ω (12)
où E
et E
sont les valeurs minimum et maximum du module du matériau pour ce qui
concerne la fréquence ω et Φ est une fonction de la fréquence satisfaisant les conditions
suivantes 0lim,1lim0
→→ ΦΦ∞→→ ωω
, qui peut être par exemple :
( )nωβ+=Φ
1
1, (13)
où β et n sont des constantes dépendantes du matériau. De même, pour le facteur de perte :
CHAPITRE I – GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT
PARTIE I. 14
( )ω
ωπωηd
dE
E
=
2. (14)
Ainsi les deux expressions pour le facteur de module et de perte du matériel peuvent
s’écrire en fonction de la fréquence sous la forme :
( )( )
−+=
+ nEEE
ωβω
1
11
, (15)
( ) ( )( ) ( )( )21
2 nE
nEn
ωβω
ωβπωη+
=
. (16)
Pour utiliser la forme complexe ( )"'* iEEE += il faut que ( )ωE ′′ devienne :
( ) ( ) ( ) ( )
( )2
12
==′′
+ n
nEnEE
ωβ
ωβπωηωω
. (17)
( )ωE ′′ atteint sa valeur maximum, quand ( ) 1=nβω , et on trouve que la valeur maximum du
module de perte:
En
E
8max
π=′′ . (18)
Ainsi le nombre n peut facilement être déterminé à partir des valeurs maximums des
modules de stockage et de perte.
4.3 Effets de fréquence-température
Il est difficile de pouvoir dissocier les effets de la température des effets de la fréquence
puisque la température du matériau s’élève sitôt qu’il est soumis à une sollicitation alternative
[75, 90, 98, 135]. Une des techniques les plus utiles pour présenter les données expérimentales
sont le principe d'équivalence de fréquence-température (fréquence réduite) pour matériaux
viscoélastique à comportement linéaire. Dans ces approches ( )ETT ρρ00 et η sont tracés en
fonction de la fréquence réduite Tαω , où ω est la fréquence réelle, Tα est une fonction de la
température absolue T, et T0 est une température absolue de référence. L'expression analytique
pour la variation des propriétés d'amortissement avec la fréquence peut être prolongée pour
inclure les effets de la température si le facteur de glissement ( )Tα est connu comme fonction
de la température, de sorte que les équations (15) et (16) soient réécrites sous la forme
( ) ( )
+
−+=n
T
EETEβωα
ω1
11,
, (19)
CHAPITRE I – GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT
PARTIE I. 15
( )( )( ) 2
12
=
+ nT
E
nT
En
ωαβ
ωαβπωη
, (20)
où Tα est déterminé en fonction de la température. Il peut avoir plusieurs formes [99], dont
notamment :
∞−−−=
TT
TTCT
01logα , (21)
où Cl, 0T , et ∞T , sont des constantes matérielles à déterminer expérimentalement.
Fig.5. Effet de la fréquence réduit [99] Fig.6. Facteur de glissement [99]
Pour un matériau typique comme le caoutchouc le module d’Young augmente toujours
avec la fréquence, Figure 5. Le facteur de perte augmente avec la fréquence dans la région
caoutchouteuse, prend sa valeur maximum dans la région de transition, et diminue dans la
région vitreuse, [90, 99, 120]. La Figure 6 représente l’évolution du facteur de glissement en
fonction de la température.
4.4 Effets généraux
Une représentation plus générale des caractéristiques des matériaux est [99, 137] :
( ) ( ) ( )( ) ( )εωλλεωλ ,,
6,,,
21
2211 TECC
FCFCTE
++= , (22)
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )εωη
λλλεωλη ,,,,,2211
221 TFCFC
FCCT
++= , (23)
où E(λ,ω,T,ε) et η(λ,ω,T,ε) sont fonction de la déflexion statique λ, de la fréquence ω, de la
température T, et de la déformation ε. Les constantes C1, et C2 sont déterminées à partir de
106104102110-2102
103
104
105
0.1
1
10
Mod
ule
d’él
astic
ité
E
Fact
eur d
e pe
rte
η
Fréquence réduite fαT
T-2
T-1
T0
T1
T2 E
η
T2T1T0T-1T -2
10-2
10-1
1
102
Fa
cte
ur
de
glis
se
me
nt
α T
La tem pératu re
10
CHAPITRE I – GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT
PARTIE I. 16
mesures statiques, tandis que E(ω,T,ε) et η(ω,T,ε) sont déterminés à partir des mesures
dynamiques.
5. Modélisation de l’amortissement
La rhéologie est à la base de la modélisation des phénomènes d'amortissement : c’est la
science de la déformation et de l’écoulement de la matière. La première direction dans laquelle
la rhéologie s'est développée, appelée théorie microscopique, est basée sur les modèles discrets
de la physique moderne et emploie les résultats concernant la structure interne de la matière
pour décrire des processus exécutés à l'intérieur du milieu en termes d'interactions atomiques et
moléculaires. La deuxième direction, habituellement celle de la technologie, s'appelle
l'approche macroscopique et comprend des théories basées sur des aspects phénoménologiques
de la physique. L'approche macroscopique de la rhéologie fonctionne en terme d'équations
d'état basées sur les lois de la thermodynamique des processus irréversibles, qui peuvent être
écrites sous la forme très générale [99, 135, 137] :
( ) ( )( ) 0,.,.,,, 21 =TtDDf εσ , (24)
où f, représente un vecteur fonction des variables, σ le tenseur de contrainte, ε le tenseur de
déformation, t le temps, T la température, D1 et D2 les opérateurs différentiels, intégraux ou
combinés, (généralement non-linéaires), d'autres variables les propriétés physico-chimiques du
milieu et des conditions environnementales externes.
Les équations d'état sont généralement des modèles du comportement matériau et, selon
l'effet de l'excitation externe (forces externes, champ de température, champ magnétiques,
réactions chimiques, rayonnement, etc.), décrivent les matériaux avec un certain degré
d'approximation. D'une façon générale, au niveau actuel, des données expérimentales sont
employées pour établir un modèle mécanique pour chaque matériau.
5.1 Modèle linéaire standard
Le modèle linéaire standard [135, 137] relie contrainte σ et déformation ε:
+=+
dt
dE
dt
d εβεσασ , (25)
Les étapes suivantes illustrent divers aspects du comportement rhéologique.
Soit le cas d’une contrainte constante σ0 appliquée au temps t = 0 à une éprouvette. Alors
0=dtdσ . Si de plus ε = 0 à t = 0, l’équation (25) donne :
( )βσε te
E−−= 10 . (26)
CHAPITRE I – GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT
PARTIE I. 17
Puis si une première déformation ε0 est appliquée soudainement à t = 0, alors 0=dtdε .
Si de plus σ = 0 à t = 0, l'équation (25) donne
( )αεσ teE −−= 10 , (27)
où α est la constante de relaxation de contrainte.
Quand les contrainte et déformation sont harmoniques, tie ωσσ 0= et tie ωεε 0= ,
l'équation (25) donne
( ) 00 "' εσ iEE += , (28)
où
++=
22
2
1
1'
αωαβω
EE et ( )
+−=
221"
αωαβω
EE , (29)
Les relations (29) donnent une variation de E' et de E" avec la fréquence beaucoup plus
forte que ce qui est usuellement observé.
5.2 Modèle standard généralisé
Les limitations de la forme simple du modèle standard peuvent être repoussées [99, 135,
137] en présentant les dérivées additionnelles de σ et de ε dans l'équation (24) pour donner :
+=+ ∑∑
==
n
ii
i
i
n
ii
i
i dt
dE
dt
d
11
εβεσασ . (30)
Pour la réponse harmonique, de la forme tieωσσ 0= et tieωεε 0= , ceci donne maintenant
( ) 00 "' εσ iEE += , (31)
où E' et E" sont maintenant des fonctions en ω beaucoup plus compliquées. Les constantes αi et
βi sont calées à partir de la mesure de E' et E" en fonction de la fréquence. Le nombre
substantiel de valeurs βi et αi nécessaires pénalisent ce modèle. Cependant ce n’est pas
particulièrement difficile à traiter, puisque les expressions pour E' et E" deviennent maintenant
(avec α0 = 1, β0 = 1) :
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
++=
αωαωαωαωβωαωβωαω
GGFF
GGFFEE' , (32)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
++=′′
αωαωαωαωβωαωβωαω
GGFF
FGGFEE , (33)
où
CHAPITRE I – GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT
PARTIE I. 18
( ) ( ) ,10
22∑
=
−=nf
k
kk
kF ωλλω , (34)
( ) ( ) ,10
1212∑
=
++−=
ng
k
kk
kG ωλλω , (35)
avec
( )( ) ( )( )314
1
2
1,11
4
1
2
1 +−−=−−+= nn
nn ngnf . (36)
5.3 Modèle à dérivées généralisées
Afin de réduire le nombre de termes exigés par le modèle standard généralisé, les
dérivées utilisées jusqu'ici peuvent être remplacées, par les dérivées partielles [156, 169] :
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
+=+ ∑∑
==
n
ii
n
ii tDtEtDt ii
11
εβεσασ νµ , (37)
où iDµ et iDν opérateurs dérivées généralisées sont définis par :
( )[ ] ( )( )
( )∫ −−Γ=
t
i
dt
x
dt
dtxD
i
i
01
1 τττ
λ λλ , (38)
avec 10 << iλ et + est la fonction Gamma. Il faut noter que comme avec le modèle standard
généralisé cette définition permet d'obtenir des solutions dans le domaine du temps au moyen
de la transformée de Laplace ce qui est d’un grand intérêt quand ( ) tiet ωσσ 0= , ( ) tiet ωεε 0= .
L’équation (37) se réduit à :
( ) ( )
+=
+ ∑∑
==
n
kk
n
kk
kk iEi1
01
0 11 νµ ωβεωασ , (39)
Cette équation s’exprime sous la forme complexe :
( ) 00*
0 "' εεσ iEEE +== , (40)
avec
( )
( )
+
+=
∑
∑
=
=n
nk
n
kk
k
k
i
i
E
E
1
1
1
1Re
'
µ
ν
ωα
ωβ, (41)
( )
( )
+
+=
′′
∑
∑
=
=n
nk
n
kk
k
k
i
i
E
E
1
1
1
1Im
µ
ν
ωα
ωβ(42)
CHAPITRE I – GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT
PARTIE I. 19
5.4 Module complexe
Les constantes élastiques peuvent être remplacées en régime dynamique par des quantités
complexes avec partie imaginaire identique si le coefficient de Poisson varie faiblement avec la
fréquence [116].
Le module complexe représente une méthode commode pour décrire simplement le
comportement viscoélastique :
( ) ( ) ( )( ) 00*
0 "' εωωεωσ iEEE +== . (43)
Si l'on ne s'intéresse qu'aux régimes sinusoïdaux, il est démontré [34, 35, 179] que le
module d'Young du matériau viscoélastique s'écrit :
( )ηiEEiEE +=′′+′= 1* . (44)
Ces deux facteurs dépendent notamment à la fois de la fréquence ω, et de la température
T, selon des lois qui peuvent être connues expérimentalement mais qui n'ont pas de
formulations analytiques.
5.5 Boucles d'Hystérésis
Dans le cas de variations harmoniques de σ et ε, la relation unidirectionnelle (43) devient
[75] :
dt
dEE
εω
εσ ′′+′= , (45)
qui pour ( ) ( )tt a ωεε sin= , peut se mettre sous la forme :
22 εεεσ −′′±′= aEE . (46)
En terme de force-déflexion, la relation (46) devient :
22 δδδ −′′±′= akkF , (47)
avec
kk ′′′, parties réelle et imaginaire de la raideur complexe
δ,F force et déflexion en fonction du temps
aδ amplitude de déflexion
Dans l’espace ( )εσ , , ou ( )δ,F les relations (46) et (47) présentent une boucle
d’hystérésis Figure 7. Il s’agit d’une ellipse à partir de laquelle on peut trouver [90, 186]:
y
y
a
y
a
y
a
b
E
EbE
aE =
′′′
==′′=′ ηεε
,, , (48)
ou bien :
CHAPITRE I – GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT
PARTIE I. 20
y
y
a
y
a
y
a
b
k
kbk
ak =
′′′
==′′=′ ηδδ
,, . (49)
Fig.7. Boucle d’hystérésis - ellipse Fig. 8. Boucle d’hystérésis – non linéaire
L’ellipse d’hystéresis, Figure 7, est caractéristique d’un comportement linéaire, dans
l’hypothèse où σ et ε sont des fonctions harmoniques. Dans le cas du comportement élastique à
frottement sec, les équations (46) et (47) ne sont plus valables; la boucle n’est plus purement
elliptique, Figure 8. A partir de sa forme on peut donc statuer sur le type de comportement du
matériau.
On peut alors caractériser le comportement par une approche qualitative basée sur les
notions effectives de raideur dynamique ke et coefficient de perte ηe [71, 75] :
minmax
minmax
δδ −−= FF
ke , ( )
minmax
0minmax
FF
FFe −
−= =δη . (50)
La Figure 9 présente des boucles faiblement et fortement non linéaires [135, 137].
Nombre d'analyses non-linéaires de la réponse amortie des structures ont été effectuées en
utilisant les représentations analytiques d'une telle boucle d'hystérésis, chaque moitié de la
boucle ayant une forme fonctionnelle différente. Une représentation possible est :
( )( )
−±= − nnn
nE 0
10 2 εεενεσ # . (51)
où le signe (-) représente le chargement du cycle et le signe (+) le déchargement. Une forme
alternative, légèrement plus simple, est
( ) ( )
−±=
n
E2
00 1
εεεεηεεσ , (52)
CHAPITRE I – GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT
PARTIE I. 21
avec ( ) βεαε
+=
1
EE
Fig.9. Boucle d’hystérésis non linéaire
L'identification des paramètres de ces équations n'est pas une tâche simple, car cela exige
nombre de mesures effectuées pour diverses amplitudes de sollicitation à diverses fréquences et
températures.
5.6 Dissipation d'énergie
La dissipation d'énergie pendant un cycle de déformation du volume unitaire d’une
éprouvette est donnée par :
∫= εσ dD , (53)
d’après (45) avec ( )tωεε sin0= l’équation (53) devient
20'επηED = , (54)
Comme l'énergie maximum stockée U = 2' 20εE , elle est une mesure importante des
capacités d’amortissement du matériau, UD πη 2= .
5.7 Fonction de dissipation de Rayleigh
Lorsque la modélisation utilise une approche globale il est classique de prendre en
compte l’amortissement visqueux dans les équations de Lagrange par le biais de la fonction de
dissipation de Rayleigh R, [144].
nrq
R
q
V
q
T
q
T
dt
d
rrrr
,,2,1,
=∂∂−
∂∂−=
∂∂−
∂∂
,s (55)
CHAPITRE I – GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT
PARTIE I. 22
où T, V, sont respectivement les énergies cinétique et potentielle et qr les coordonnées
généralisée.
La valeur numérique de la fonction R à l'instant t représente la moitié de l’énergie
dissipée par unité de temps.
5.7.1 Exemple 1 : forces de dissipation
Soit un système mécanique défini par :
( ) ( )222222
2
1,
2
1yqxpVyxT +=+= , (56)
et
( )22 22
1yByxHxAR ++= , (57)
où, p, q, A, H, B sont des constantes. En appliquant les équations (55) les équations qui
régissent le mouvement sont alors :
=+++
=+++0
02
2
xHyqyBy
yHxpxAx
(58)
Ainsi la fonction de dissipation R génère des forces d’amortissement.
5.7.2 Exemple 2 : forces gyroscopiques
Soit un système holonôme (l’énergie cinétique est une forme quadratique de la vitesse,
les équations des liaisons ne contiennent pas les vitesse, et) qui a n coordonnées généralisées
q1, q2, …, qn et qui est défini par :
∑∑= =
=n
r
n
ssrrs qqmT
1 12
1 , (59)
∑∑= =
=n
r
n
ssrrs qqkV
1 12
1, (60)
∑∑= =
=n
r
n
ssrnrs qqqqfR
1 11 ),,( , (61)
où m , k sont des matrices symétriques et constantes et f est une matrice symétrique dépendant
de q1, q2, …, qn.. L’application des équations de Lagrange (55) donne l’équation:
0),,(2 1 =++ rnrsrrsrrs qqqfqkqm . (62)
Cet exemple montre donc comment des forces gyroscopiques peuvent être introduites par
la fonction de dissipation.
CHAPITRE I – GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT
PARTIE I. 23
5.8 Synthèse
La dissipation d’énergie est décrite efficacement par le facteur d’amortissement η
d'amortisseur pour le modèle rhéologique linéaire standard. Ce coefficient peut être considéré
comme une constante ou une fonction des paramètres du mouvement permanent, tels que
l'amplitude et la fréquence [135]
• constante== vηη : amortissement visqueux. Dans ce cas-ci la force d'amortissement
dépend linéairement de la vitesse et si le mouvement est périodique, l'amortissement
dépend seulement de la fréquence du processus
• constante, == hh ηωηη : amortissement hystérétique. Si le mouvement est
monoharmonique, l'effet d'amortissement ne dépend pas de la fréquence.
• ( )ωηη = : l’amortissement est fonction de la fréquence du mouvement
monoharmonique. La forme de la fonction peut être déterminée expérimentalement.
• ( )max,εωηη = : l’amortissement est fonction de la fréquence et de l'amplitude du
processus monoharmonique, la forme de la fonction est obtenue à partir de l'expérience ou
du calcul.
6. Réponse de systèmes amortis en régime harmonique
Il s’agit ici de résoudre et de comparer les réponses harmonique et transitoire d’un
système mécanique le plus simple possible, prenant en compte un amortissement structural ou
visqueux. Dans un système avec amortissement visqueux l'énergie absorbée par le cycle dépend
linéairement de la fréquence de l'oscillation, tandis que pour un système amortissement
structural (ou avec hystérétique) elle est indépendante de la fréquence [75, 137].
6.1 Amortissement visqueux.
Le système à 1ddl w(t), se compose d'une masse m fixée à un ressort k, et un amortisseur
visqueux avec une force d'excitation ( )tF ωcos0 appliquée à la masse. Le mouvement est décrit
par l’équation :
( ) ( ) ( ) ( )tFtkwtwCtwm ωcos0=++ . (63)
Deux solutions se superposent :
1- Une oscillation transitoire de fréquence naturelle et dont l'amplitude dépend des
conditions initiales et s’éteint avec le temps
( )tCtCew ddta
c ωω cossin 21 += − . (64)
2- Une oscillation permanente de fréquence ω de la force d'excitation et de phase ε
CHAPITRE I – GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT
PARTIE I. 24
( )( )εω
ωω−
+−= t
Cmk
Fwp cos
2222. (65)
Et la solution totale :
( )( )
( )εωωω
ωω −+−
++= − tCmk
FtCtCew dd
at coscossin2222
21 , (66)
où
m
Ca
2= ,
2
2
−=
m
C
m
kdω ,
−= 2arctan
ωωεmk
C. (67)
A mesure que la fréquence augmente, le terme d'inertie wm 2ω− augmente jusqu’à la
valeur égale à la force de rigidité kw. C'est l'état connu sous le nom de résonance. L'amplitude
de la vibration est limitée seulement par l'amortissement. Aux fréquences d’excitation bien au-
dessus de la résonance le terme d'inertie domine complètement, et l'amplitude de réponse
devient très petite et a lieu en opposition de phase avec l'excitation ( $180≈ε ). Aux fréquences
d’excitation bien en deçà, la force de raideur domine et la réponse de la masse est en phase
avec l'excitation ( 0≈ε ) : l'amplitude du déplacement permanent dynamique est
approximativement égale au déplacement statique qui serait provoqué par une force constante
F. Trois fréquences principales peuvent être distinguées pour le cas visqueux:
1. La fréquence naturelle mkn =ω .
2. La fréquence normale amortie ( )22mCmkd −=ω .
3. La fréquence de résonance d’amplitude pour laquelle 0Fwp est un maximum. Pour
trouver cette dernière fréquence, de l'équation (65) on trouve
−=
km
C
m
kr 2
12
ω .
6.2 Amortissement hystérétique.
L’amortissement visqueux utilisé a été choisi principalement pour la convenance
mathématique. L'amortissement structural (ou hystérétique), basé sur le concept d'un module
complexe, peut souvent être efficacement utilisé dans le calcul. Supposons que le coefficient
d’amortissement visqueux dans l'équation (63) soit ωηkC = . En utilisant la notation
complexe, wiw ω= , l'équation (63) devient :
tieFwkwm ω0
* =+ , (68)
avec ( )ηikk += 1* , la raideur complexe de la suspension qui contient raideur et amortissement.
CHAPITRE I – GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT
PARTIE I. 25
Système avecAmortissement visqueux
Système avecAmortissement hystérétique
Equation différentielle ( )tFkwwCwm ωcos=++ ( ) ( )tiFeRewikwm ωη =++ 1
Solution permanente( )
( ) 2222
0 cos
ωω
εω
Cmk
tFwp
+−
−=( )
( ) 2222
0 cos
ηω
εω
kmk
tFwp
+−
−=
Energie dissipée par cycle
∫= FdwDS
2pWCD ωπ= 2
pWkD ηπ=
Fréquence de résonance
−=
km
C
m
kr 2
12
ωm
kr =ω
Déplacement statique à 0=ωk
F0
( )20
1 η+k
F
Amplitude de Résonance ( )Ckmf ,, ( )η,kf
Tableau 1 Comparaison entre l’amortissement visqueux ou hystérétique [137]
ω r = ω r (α)
ω
F
W
k
1
O
m
F
ck
ω
F
W
O
m
F
k∗ = k(1+i η)
mkr =ω
Fig.10. Réponse dynamique des systèmes visqueux et hystérétique
CHAPITRE I – GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT
PARTIE I. 26
6.3 Effets des amortissements visqueux et hystérétique
La Figure 10 et le tableau 1 synthétisent et comparent les résultats principaux liés à un
système avec amortissement visqueux ou hystérétique soumis à un régime harmonique
permanent.
6.4 Système réel
Dans les systèmes réels se combinent différents types d’amortissements (visqueux,
hystérétique, …) aussi il est particulièrement difficile de modéliser avec grande précision la
réponse de systèmes mécaniques industriels [109].
7. Mesure de l’amortissement
L’amortissement se mesure au travers de la réponse du système amorti.
7.1 Régime forcé
7.1.1 Mesure par la largeur de bande
La Figure 11 présente la réponse du système à amortissement visqueux à 1ddl autour de
la fréquence de résonance [106]. En substituant la fréquence de l'amplitude maximum, dans la
solution particulière de la réponse forcée, l'équation (65), l'amplitude à la résonance devient :
W
n
Wres
Wres
A B
ω 1 ω 2ωres ω
Fig.11. Réponse du système à amortissement visqueux autour de la résonance
( )
−=
2
0
12
1
ααk
FW
resp , (69)
où mk
C
2=α .
CHAPITRE I – GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT
PARTIE I. 27
Pour trouver les fréquences des points A et B où l'amplitude est n1 fois ( )respW , la
réponse de l'équation (65) est égale (n1 ) fois de la réponse de l'équation (69) :
( ) ( ) 2
0
222
0
1221 αααξξ −=
+− n
kFkF, (70)
avec 0ωωξ = . Pour 14
2
<<km
C, les deux solutions 2,1,=iiω sont données par l'équation:
11 2 −±= ni αξ , (71)
d’où :
−−
=nn ωωωα 12
2 12
1, (72)
pour 2=n
nωωα
2∆= , (73)
où le terme ( ) cCCkmC /2/ ==α , est le facteur d’amortissement visqueux, et cC est
l'amortissement critique du système. Des calculs semblables peuvent être effectués pour le
système avec amortissement hystérétique. Dans ce cas-ci l'amplitude à la résonance est
( )ηk
FW
resp0= , (74)
où mkres =ω . Les fréquences aux points A et B de la Figure 11, où la réponse est n1 fois
( )respW , sont indiquées par
( )11 22,1 −±= n
m
k ηω . (75)
Par conséquent pour 2=n :
ηηω
ω −−+=∆11
res
. (76)
Et pour 1<<η
resωωη ∆≈ . (77)
Les équations (73) et (77) montrent que
αη 2≈ . (78)
CHAPITRE I – GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT
PARTIE I. 28
7.1.2 Mesure par l’amplitude à la résonance
Le facteur de surtension ou de qualité Q est défini comme le rapport de l'amplitude de la
réponse à la résonance au déplacement si la force est appliquée statiquement [106] :
( )kF
WQ resp
0
= . (79)
A partir des équations (69) et (79), on peut dire que dans le cas de l'amortissement visqueux
212
1
αα −=Q . (80)
Pour 1<<α cela se réduit à la relation familière :
Q2
1=α . (81)
De même pour l'amortissement hystérétique, l'équation (74) et (79) donne :
Q
1=η . (82)
7.2 Régime libre
7.2.1 Amortissement visqueux.
L'équation du mouvement du système à un degré de liberté avec amortissement visqueux,
soumis à une force impulsion ( )tF δ à 0=t , est écrite sous la forme homogène [106, 137] :
0=++ kwwCwm . (83)
La solution de cette équation dans le cas 12 <kmC est :
( ) ( )φωαωα +−= − teAtw t0
21cos0 , (84)
où kmC 2=α , mk=0ω . Le terme ( )φωα +− t021cos est égal à unité quand
( ) 20 12 αφπω −−= nt , n = 0, 1, 2, … Ainsi le rapport des amplitudes maximales pour n1 et
n2 est:
( )( )
−
−−
=2
21
2
1 1 α
παnn
n
n ew
w. (85)
En particulier, pour 112 += nn
( )21ln
2
1
απαδ−
=
=
n
n
w
w, (86)
CHAPITRE I – GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT
PARTIE I. 29
22 πδδα+
= , (87)
où δ est connu comme le décrément logarithmique.
7.2.2 Amortissement élastoplastique
La figure (3) montre un système avec un frottement de type Coulomb, l’équation du
mouvement libre de la masse s’écrit avec comme déplacement initial w0:
( ) 0sgn =++ kwwNwm µ , (88)
avec mgN = , cette équation est non linéaire du type « linéaire par morceaux » [106, 135].
Nous cherchons une solution particulière de l'équation (88), satisfaisant les conditions initiales
( ) ( ) 00,00 0 =>= www . (89)
Considérons deux demi-périodes du mouvement :
nt ωπ≤≤0 et nn t ωπωπ 2≤≤ , (90)
où mkn =ω représente la fréquence propre du système. Puisque 00 >w , la première demie-
période du mouvement s'effectue vers la gauche. Dans ce cas, la force de frottement est dirigée
vers la droite et l'équation du mouvement a la forme :
0=+− kwNwm µ , (91)
et compte tenu des conditions initiales (89), l’équation (91) admet pour solution particulière :
( ) ( )k
Nt
k
Nwtw n
µωµ +
−= cos0 . (92)
Cette phase du mouvement prend fin lorsque nt ωπ= . On trouve à cet instant :
( ) ( ) 0,20 =+−= nn wk
Nww ωπµωπ . (93)
Pour la seconde demie-période le mouvement s'effectue vers la droite et la force de frottement
change de signe. On a donc :
0=++ kwNwm µ , (94)
et la solution particulière de cette équation avec les conditions initiales (93) s'écrit :
( ) ( )k
Nt
k
Nwtw n
µωµ −
−= cos30 . (95)
Ce procédé de découpage en phases successives de mouvement, pendant lesquelles la
vitesse garde un signe constant peut être poursuivi. Ainsi après chaque demie-période nωπ
l'amplitude du mouvement W(t) diminue de kNµ2 . Pour la n-ième demie-période (dans ce
cas la période est constante), on a :
CHAPITRE I – GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT
PARTIE I. 30
( ) ( ) ( ) ( )k
Nt
k
Nnwtw n
n
µωµ 10 1cos12 +−+
−−= . (96)
w
4µN / k
Wn
Wn+2
µN / k
4π /ωn
w0
0t
tf
Fig. 12. Vibrations libres du système avec friction de Coulomb
Les vibrations continuent jusqu’à l'instant ftt = pour lequel :
( )k
Ntw f
µ= , (97)
quand ftt > le mouvement s’arrête. on a montré ici, que pour un système non linéaire il est
parfois possible de trouver assez facilement une solution particulière.
Pour calculer le facteur de friction, il y a deux méthodes :
a) Evaluation de la dissipation d’énergie par le décrément logarithmique
=
+2
lnn
n
W
Wδ , (98)
où 2, +nn WW respectivement sont les amplitudes maximales au bout de la n-ième et (n+2) iéme
demie-période, ( ) ( )( )TnwWnTwW nn 2, 2 +== + . Dans le cas considéré :
( )
+−
−=kNnw
kNnw
µµδ22
2ln
0
0 , (99)
dans le cas δ est une petite quantité, on peut trouver le facteur de frottement donc :
δµN
kw
40≈ . (100)
b) Evaluation de la dissipation d’énergie par la méthode de boucle d’hystérésis
CHAPITRE I – GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT
PARTIE I. 31
w0w0 – 2(n + 1) (µN / k)
- w0 + 2n (µN / k)
2 µN
w
kw ± µN
Fig. 13. Boucle d’hystéresis. Friction de Coulomb
La Figure 13 représente les forces appliquées au système en fonction du déplacement, S
représente l’aire interne dans la boucle qui est proportionnelle à la quantité de l’énergie dissipée
pendant une période du mouvement (le travail effectué et dissipé) :
( )
+−= 124 0 n
k
NwNS
µµ , (101)
le coefficient de la dissipation ψ relative s’écrit :
U
S=ψ , (102)
où U désigne l’énergie des vibrations d’un cycle en négligeant la dissipation. Elle est égale à
l’énergie potentielle maximale :
202
1wkU = , (103)
on a donc :
( )
+−= 1218
00
nwk
N
wk
N µµψ , (104)
si on accepte que le facteur ψ égale δ2 (où δ est petit), on a :
δψµN
wk
N
wk
48
1 00 =≈ . (105)
Les relations (100) et (105) montrent que les deux méthodes sont équivalentes.
CHAPITRE II – MODELES D’HYSTERESIS
PARTIE I. 32
MODELES D’HYSTERESIS
1. Introduction
Des phénomènes hystérétiques peuvent être observés dans de nombreux domaines
scientifiques: physique (magnétisation, polarisation,...), chimie (transition de phase, adsorption,
...), et mécanique (application d'une contrainte à un solide, frottement ,...). Le frottement joue
un rôle important dans de nombreux phénomènes mécaniques ainsi par exemple sa présence
dans des mécanismes de précision (mécanismes de pointage et de visée, mécanismes spatiaux)
limite l'utilisation des méthodes standard d'automatique linéaire [36, 72].
Tout phénomène de dissipation se traduit par un phénomène d’hystérésis. Ce chapitre
établit de manière non exhaustive les modèles d’hystérésis existants.
Considérons de manière générale une relation liant deux variables: ru → , l'hystérésis
apparaît lorsque une valeur de sortie r ne peut être déterminée par la connaissance d'une seule
valeur de l'entrée u. Les variables u et r sont des scalaires. Il est nécessaire que le système ait de
la mémoire, qui conduit à des irréversibilités locales de cette relation ( rru →, n'est pas
univoque), et ce quelque soit le processus utilisé pour indexer l'information mémorisée (temps,
distance parcourue).
Les formulations mathématiques utilisées pour modéliser des phénomènes hystérétiques
conduisent aussi bien à des modèles de dimension finie ou infinie, dans lesquels l’état est la
mémoire du système. Les phénomènes d'hystérésis dûs à une mémoire (temporelle) du système
peuvent être notés de manière très générale [36, 104, 152] :
( ) ( ))0(,(.), rtuHtr = , (1)
où H est un opérateur causal: la valeur r(t) est fonction à la fois de la valeur initiale r(0) et de
l'histoire ( ) tu ≤≤ ττ 0, du signal d'entrée. H est par exemple un opérateur de convolution
( ) ( ) ( )( )∫ +⋅−=t
rdssuGtstKtr0
0, . (2)
La définition donnée ici de H «un opérateur causal, ou même plus spécifiquement un
opérateur causal de convolution» est très large: elle inclut en particulier des opérateurs
linéaires, dont le comportement n'est pas habituellement considéré comme hystérétique. C'est la
raison pour laquelle elle doit être restreinte.
CHAPITRE II – MODELES D’HYSTERESIS
PARTIE I. 33
2. Modèle de Coulomb
Le modèle de Coulomb est le modèle de base du frottement sec [17], [36]; celui-ci
exprime que deux surfaces en contact animées l'une par rapport à l'autre d'un mouvement
tangent, exercent mutuellement un frottement parallèle et de sens opposé au déplacement, et de
norme cF constante, égale au coefficient de Coulomb multiplié par l'effort normal. Si la vitesse
est nulle, la valeur du frottement est comprise, au sens large, entre cF− et cF+ . Ainsi, en
notant (-r) le frottement et u la vitesse relative, on peut écrire lorsque le mouvement est
unidimensionnel (le seul cas envisagé dans toute la suite) [15, 60] :
( ) cFur sgn∈ (3)
dtdu
r
cF+
cF−
Fig.1 Loi de frottement de Coulomb
3. Modèle de Dahl
Un modèle de comportement unidimensionnel a été proposé par P.R. Dahl en 1968
[14, 36], tout d’abord pour rendre compte du frottement sec intervenant dans des roulements à
billes; il l'a ensuite appliqué à la modélisation du frottement dans un pendule de torsion. Ses
travaux ont été utilisés de nombreuses fois par des mécaniciens: étude de la stabilité de
systèmes montés sur roulements (en particulier un télescope spatial), identification des
paramètres de friction, stabilisation, commande adaptative.
Soit t le temps, -F le frottement sec, u la variable d'espace; (par exemple, dans le cas du
déplacement rectiligne d'un solide ponctuel, u est le déplacement de translation), F une force;
dans le cas d'un pendule, u est le déplacement angulaire, F un moment , ... Le modèle de Dahl,
a été construit de la manière suivante :
Soit dt
du
du
dF
dt
dF = ; définir le modèle, c'est alors caractériser du
dF . Dahl suppose que:
CHAPITRE II – MODELES D’HYSTERESIS
PARTIE I. 34
• du
dF est toujours positive et indépendante de l'origine des u et de t (espace isotrope,
modèle stationnaire).
• F est astreint à rester dans l’intervalle [ cc FF +− , ] (Fc est la constante de Coulomb); plus
précisément, lorsque u croît, F croît asymptotiquement vers cF+ , lorsque u décroît, F décroît
asymptotiquement vers cF− :
0lim,lim ==∞±→∞±→ du
dFFF
uc
u(4)
• lorsque F est petit (devant Fc), du
dF est quasiment constant :
σ≈<< cFFdu
dF, constante. (5)
• Le modèle finalement considéré est le suivant :
−−= )(sgn1(sgn)(sgn1 u
F
Fu
F
F
du
dF
c
i
c
σ (6)
où σ est une constante strictement positive, ,0≥i dtduu=
Cette équation vérifie bien les trois propriétés énoncées plus haut en particulier on
retrouve bien le comportement quasi-élastique σ≈cFF lorsque 1<<cFF . Le paramètre σ,
est la pente de la tangente aux points où les courbes coupent l'axe 0=F et mesure la "rapidité"
avec laquelle F tend vers son asymptote. Le paramètre i permet de moduler la forme des
courbes et le choix 0=i fournit un comportement purement élastoplastique (mise en série d'un
ressort linéaire de raideur σ et d'un frottement de Coulomb par exemple), soit une
régularisation par élasticité (linéaire) avec saturation. En fait, cette dernière valeur de i est vue
par Dahl comme un cas dégénéré; effectivement, pour des mouvements de faible amplitude
(faible par exemple devant σcF , on n'a alors aucune dissipation d'énergie, le comportement,
purement linéaire, étant celui d'un rappel élastique:
−∈ )(sgn1(sgn u
F
FuF
c
σ .
Il est intéressant de présenter quelques remarques qualitatives faites par Dahl sur le sens
de ce modèle. Dahl a considéré le mouvement libre d'un mobile soumis à ce frottement et à une
force de rappel élastique; celui-ci est constitué d'oscillations, qui s'amortissent. Trois
comportements peuvent être distingués:
CHAPITRE II – MODELES D’HYSTERESIS
PARTIE I. 35
• σcFu >> , «grandes oscillations »: tout se passe comme si le frottement de Dahl était
remplacé par un frottement de Coulomb; la décroissance de l'amplitude des oscillations est
linéaire.
• σcFu << , «petites oscillations »: les asymptotes cF± n'ont pas la possibilité d'être
approchées, et ne subsiste qu'une faible décroissance de l'amplitude des oscillations, qui est ici
hyperbolique. C'est la zone de frottement dit structurel.
• σcFu ≈ : entre ces deux zones, lorsque aucun des deux comportements que nous avons
vus n'est prépondérant, la décroissance est exponentielle; c'est la zone de comportement
visqueux du frottement.
Supposons que: rFF c = et ασ =cF , une constante. Comme la valeur de F est
astreinte à rester dans l’intervalle [ ]cc FF ,− , alors la valeur de r est astreinte à rester dans
l’intervalle [ ]1,1− . L’équation (7) s’écrit alors sous la forme :
( )iurur )(sgn1 −= α . (7)
La Figure 2 représente l’équation (7) pour deux valeurs de α, qui joue donc un rôle dissipatif.
α = 800 α = 3000
Fig.2. Modèle de Dalh. Influence de α : i = 1
Quant au sens attribué à la valeur du paramètre i, Dahl considère que les valeurs de i
supérieures à 1 renforcent le caractère élastoplastique du comportement et inférieures à 1 pour
les matériaux cassants, Figure 3 représente le modèle pour i = 0.5, 2.
CHAPITRE II – MODELES D’HYSTERESIS
PARTIE I. 36
i = 0.5 i = 2
Fig.3 Modèle de Dalh. Influence de i : α = 2000
4. Modèle de Duhem-Madelung
Lorsque les trajectoires parcourues dans le plan (u, r) constituent deux familles de
courbes et qu'en chaque point intérieur passe exactement une courbe de chaque famille, un
modèle mathématique de comportement peut être constitué par l'équation différentielle
ordinaire suivante qui est le modèle de Duhem-Madelung [36]:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ))()(sgn,, tudt
dtu
dt
dtutrgtr
dt
d
= . (8)
5. Modèle de M.A. Krasnosel’skii
Krasnosel’skii et al. ont développé une théorie générale des non linéarités hystérétiques
dans laquelle celles-ci sont considérées comme des opérateurs non linéaires particuliers, définis
et continus sur un certain espace de Banach de fonctions. Ω étant un sous-ensemble connexe du
plan (u, r) tel que, pour tout u0, l'intersection de Ω avec la droite u=u0 soit non vide, à tout
couple (t0, r0) où ] [+∞∞−∈ ,0t , on associe l’opérateur [ ]00, rtW défini sur l'ensemble des
fonctions u(t) pour 0tt ≥ , monotones par morceaux, et telles que ( ) Ω∈00 , rtu . Les valeurs de
l'opérateur sont des fonctions r(t) pour 0tt ≥ continues et telles que ( ) 00 rtr = et
( ) ( ) Ω∈trtu , pour 0tt ≥ .
La paire constituée de l'ensemble Ω et du système d'opérateurs [ ]00, rtW est appelée un
hysteron si les opérateurs [ ]00, rtW possèdent la propriété de constituer un semi-groupe c’est à
dire que pour toute fonction u(t) monotone par morceaux:
CHAPITRE II – MODELES D’HYSTERESIS
PARTIE I. 37
[ ] ( ) [ ] ( )[ ] ( ) ttttuturtWtWturtW ≤≤∀= 10100100 ,,, (9)
Un cas important est le suivant: soit Ω limité verticalement par deux courbes γ γ− +,
absolument continues sur chaque intervalle fini [ ])(),()( uuu +−= γγω , et soit ),( rulΦ et
),( rurΦ deux fonctions mesurables en (u) continues en (r) et bornées sur chaque ensemble
borné. Ceci signifie que ces deux fonctions ),(rulΦ et ),( rurΦ doivent vérifier les deux
conditions de Lipschitz suivantes :
2''' )qq(L))q,p()q,p()(qq( −≤−− ++ φφ , (10)
2''' )qq(L))q,p()q,p()(qq( −−≥−− −− φφ , (11)
Soit la fonction ),,( εrug définie pour tout (u, r) par les égalités
)(
)()(
)(
))(,(),(max
),(
))(,(),(min
)1,,(
ursi
urusi
ursi
uuudt
dru
uuudt
d
rug
l
l
l
+
+−
−
++
−−
≥<<
≤
=−γ
γγγ
γφγ
φ
γφγ
,
0)0,,( =rug , (12)
)(
)()(
)(
))(,(),(max
),(
))(,(),(min
)1,,(
ursi
urusi
ursi
uuudt
dru
uuudt
d
rug
r
r
r
+
+−
−
++
−−
≥<<
≤
=+γ
γγγ
γφγ
φ
γφγ
.
Alors r est donné par :
( )( ) ττττγτ duuugrtrt
)()(sgn),(),()(0
0 ∫+= .
L'interprétation de ceci est la suivante: les trajectoires débutant dans Ω dans le plan (u, r) sont
limitées inférieurement et supérieurement par les courbes ( )u−γ et ( )u+γ respectivement,
courbes auxquelles elles adhèrent lorsqu'elles les atteignent; les portions de trajectoires
intermédiaires sont définies par les équations différentielles ( ) 0),( <∀= turudt
drl φ ,
CHAPITRE II – MODELES D’HYSTERESIS
PARTIE I. 38
( ) 0),( >∀= turudt
drr φ (les indices l et r indiquent, respectivement un déplacement vers la
gauche et vers la droite dans le plan (u, r), c'est-à-dire des déplacements à u respectivement
décroissant et croissant). L'hystéron est dit du premier type si rl φφ = (les deux familles de
courbes intermédiaires sont confondues), du second type dans le cas général [36, 104, 152].
On voit que cette théorie est une particularisation du modèle de Duhem-Madelung. Le
modèle de Dahl est un exemple d'hysteron du second type, avec des fonctions ,−γ et +γ
constantes, égales en valeur absolue à 1, et de signe opposé.
r
( )u+γ
( )u−γ
u
Fig. 4. Modèle de Krasnosel’skii
6. Modèle de R. Bouc
Les travaux de Bouc essaient plus particulièrement de rendre compte de l'hystérésis
d'origine magnétique ou mécanique. Le modèle proposé par Bouc est voisin de celui de
Duhem-Madelung, et la philosophie qui le sous-tend est particulièrement intéressante [36, 42];
c'est un opérateur à mémoire au sens du § 3.
Considérons le graphe à hystérésis, où r la force par exemple n’est pas une fonction du
déplacement u seulement, si on considère u comme une fonction du temps, la valeur de la force
à l'instant t, va dépendre, non seulement de la valeur u(t), mais aussi de toutes les valeurs
passées de la fonction u(t) depuis l’instant origine où elle est définie. Si 0t désigne cet instant,
( ) ( ) −∞≥== 000 ,0r,0 tttu , alors on notera :
( ) ( )( )tut ,Ar ⋅= (13)
r(t) est la valeur de la force à l’instant t où ( )⋅u représente toute la fonction u dans l’intervalle
[ ]tt ,0 . Pour préciser la forme de la fonctionnelle ( )( )t.xA , on peut écrire
CHAPITRE II – MODELES D’HYSTERESIS
PARTIE I. 39
dt
du
dt
dusgnrug
dt
dr
= ,, , (14)
l’hysteresis de type mécanique d’après (14) peut s’exprimer par l’intégrale de Stiltjes.
( ) ( ) ( ) ( )∫+=t
t
sdut,sFtutr0
2µ , (15)
( )st,F est la « fonction d’oubli ».
Soient f et Φ deux fonctions de ℜ→ℜ satisfaisant les propriétés suivantes :
( ) ( ) 000 =Φ=f , (16)
( ) ( ) ( ) 21121 uuLKufuf −≤− , (17)
( ) ( ) ( ) 21221 uuLKuu −≤Φ−Φ , (18)
pour tout LuuL <> 21 ,,0 le modèle de Bouc peut s’écrire sous la forme :
( ) ( ) ( )( ) ( )ttuftutr ψµ ++= 2 , (19)
où ( ) ψµ ,,2 ufu représentent respectivement des termes instantanés linéaire et non linéaire, et
l’hystérésis. ψ rend compte de la mémoire du matériau étudie, de son « hérédité », Si ( )θt,F
est la « fonction d’oubli » elle ne dépend en général que du « temps intérieur » ( )θ−t :
( ) ( ) ( )( ) ( )∫ ∫ Φ′
=
t t
dd
duuds
ds
sduFt
0
θθθθψ
θ
(20)
- ainsi la « fonction d’oubli » F dépend de la variation totale ( )
∫t
dsds
sdu
θ
du déplacement u
dans l’intervalle ( )t,θ . Ce déplacement est supposé « absolument continu ». De ce fait le
graphe d’hystérésis est indépendant du temps (autrement il faut poser
−= ∫ θ
θ
tdsds
duFF
t
, (21)
- On remarque que si l’on choisit ( ) veAvF α−= avec 0, >αA , on retrouve le modèle du
Dahl (avec i = 1) après dérivation par rapport au temps avec ( ) uu =φ , il vient
θθ
αψθ
α
dd
due
dt
duA
dt
duA
dt
d t dsds
dut
∫∫
−+=
−
0
(22)
−=
dt
du
dt
duA
dt
dsgn1 αψψ
(23)
Le modèle est décrit dans la thèse de Bliman mais aussi en [1], [2].
CHAPITRE II – MODELES D’HYSTERESIS
PARTIE I. 40
Il faut aussi mentionner que le modèle de Bouc-Wen pour la mécanique. Ce modèle est très
largement utilisé au Génie civil, Génie parasismique, vibration des structures (plasticité,
frottement, bétons armé………)
Ce modèle initialisé par R. Bouc en 1967, (voir [3]) et généralisé par Wen (1980) [4], s’écrit
−−= − nn
dt
du
dt
du
dt
duA
dt
d ψγψψβψ 1(24)
Il dépend de quatre paramètres et peut aussi bien rendre compte de « l’assouplissement » que
du durcissement. Il correspond au du Dahl avec 0,1== γn .
Ce modèle a été généralisé pour la mécanique des milieux continus (3D), voir [5].
7. Conclusion
La rusticité du modèle de Coulomb le limite. Le modèle de Dahl a le désavantage d’être
borné par des droites horizontales asymptotes. Avec le modèle de Bouc il est particulièrement
difficile de trouver la fonction f(u) à partir de la connaissance des courbes frontières des cycles
d’hystérésis, ce qui est préjudiciable dans le type le problème type isolation vibratoire. Le
modèle de Krasnosel'skiî par bien des aspects est beaucoup trop général. Aussi afin de disposer
d’un modèle propre à modéliser les phénomènes d’hystérésis non linéaires observés en
mécanique et notamment en isolation vibratoire il convient de développer un modèle original
qui s’inspire des modèles de Dalh et de Krasnosel'skiî. C’est l’objet du chapitre suivant.
CHAPITRE III – MODELE D’HYSTERESIS PROPOSE
PARTIE I. 40
MODELE D’HYSTERESIS PROPOSE
1. Introduction
Le chapitre II présente des modèles d’hystérésis existants mais limités. Ce chapitre est
consacré à la formulation d'un modèle d’hystérésis original bien adapté aux boucles efforts-
déflexion et qui se couple aux équations différentielles du mouvement de systèmes et de
structure par le biais de l’effort de restitution.
L'isolation vibratoire fait largement appel à la suspension passive composée
d’amortisseurs qui peuvent avoir une conception complexe agençant parties élastomère,
métalliques, voire fluides, etc. Leurs comportements dynamiques sont non linéaires, les non
linéarités géométriques et matériels dépendent, naturellement, de la conception, mais également
des paramètres, tels que température, amplitude de déflexion, charge initiale, et types
d'excitation [15, 17, 58, 59, 109].
D’un point de vue général, un amortisseur fournit une force de restitution, qui ne peut pas
être déterminée par la seule connaissance de la variable de déflexion. Ceci caractérise le
phénomène d'hystérésis. Aux modèles précédemment étudiés on peut rajouter les travaux de
Inaudi et Kelly [93] qui ont étudié l'amortissement d’hystérésis avec un modèle indépendant de
fréquence. Baber et Noori [27] modélisent le comportement par hystérésis sous excitation
aléatoire. Ko et al [102], Wong et autres [184], et Ni et autres [139] ont étudié numériquement
et expérimentalement le comportement des isolants de fil-câble avec frottement sec, tandis que
Mallik et autres [127] se concentraient sur modeler des isolants d'élastomère.
Les travaux menés dans le laboratoire pour modéliser des amortisseurs ont concernés des
modèles ‘raideur’ spécifiques au type d'excitation [58, 67, 78], voir également la synthèse sur la
modélisation de l’amortissement par Lalanne [109]. Ces modèles sont limités car établis pour
des applications spécifiques au type de comportements et au type d'excitations. Ainsi il est
logique de vouloir formuler un modèle général original qui tient compte en particulier des
linéarités et de la dissipation contre la phénomène de déflexion.
Le modèle proposé est présenté en utilisant des fonctions régissant un opérateur d’entrée
et de sortie, dépendante chacune de la force de restitution et de la déflexion. La formulation
mathématique est démontrée en employant les conditions de Lipschitz. Par la suite le modèle
est appliqué aux amortisseurs académiques et industriels de différents comportements. Enfin les
réponses calculées et mesurées concernent une structure souple équipée de différents type de
plot.
CHAPITRE III – MODELE D’HYSTERESIS PROPOSE
PARTIE I. 41
2. Modèle d'hystérésis proposé
En génie mécanique nombre de composants ont un comportement d’hystérésis décrit par
une boucle de force-déflexion avec diverses formes : assouplissement (softening), raidissement
(hardening) ou une combinaison de tous les deux. Aussi un modèle d'hystérésis général doit
pouvoir respecter ces types de comportement et des fondements mathématiques.
L'idée du modèle proposé vient du modèle de Dahl, présenté au chapitre précédent, et où
les courbes enveloppe (ou frontière) sont réduites à des droites horizontales et indépendantes du
temps et de la vitesse ; la déflexion et la force de restitution y sont les fonctions d'entrée et de
sortie. Seule la forme assouplissement peut être retranscrite. Ces caractéristiques limitent le
modèle de Dalh.
Aussi le modèle proposé est bordé par deux courbes enveloppes qui peuvent dépendre du
temps et de la vitesse. En outre, afin de coller aux formes de comportement, un opérateur
d'hystérésis est établi comme suit :
Soient les fonctions scalaires p et q, combinaisons linéaires de la force de restitution R et
de la déflexion u de l’amortisseur [14, 15] :
( )kuRR
p )1(1
0
λλ −+−= , (1)
( )kuRR
q λλ −−= )1(1
0
, (2)
où R0 est une force de référence, k > 0 a la dimension d'une raideur, et λ est défini dans
l'intervalle (0, 1). Les fonctions d’entrée et de sortie sont respectivement p et q. La construction
de l'opérateur nécessite les suppositions suivantes:
1- La quantité dp
dq est indépendante de l’origine de p (l'espace étant isotrope).
2- La quantité dp
dq toujours positive quand 0
dt
dp > implique 0dt
dq ≥ . Par conséquent un
effet de rigidité est recherché plutôt qu'un effet de viscosité.
3- q est assujetti à rester dans les courbes enveloppes définies par :
( ) )p(sgn)p(sgn,ph =γ , (3)
où la courbe enveloppe h est positive et dt
d=• . Ainsi le modèle a l'expression suivante :
( )µα )(- psgnqhdt
dp
dt
dq= , (4)
avec :
CHAPITRE III – MODELE D’HYSTERESIS PROPOSE
PARTIE I. 42
1. α , constante d'énergie de dissipation,
2. k, constante de grandeur,
3. µ , constante du comportement de la boucle,
4. λ , constante définissant le comportement général. 0=λ fournit au modèle un
comportement raidissement pur tandis que 1=λ un assouplissement.
L'originalité du modèle proposé réside dans l'utilisation de courbes enveloppes
dépendantes du temps et de la vitesse, les constantes, α , µ et k ayant un rôle bien défini.
3. Validation mathématique du modèle
Il s’agit de démontrer que le modèle proposé satisfait le théorème d'hystérésis de
Pokrovskii, [104, 152] (l’opérateur d’hystérésis est dérivable et borné) et de prouver l’existence
et l’unicité de la solution quand l’opérateur d’hystérésis est couplé aux équations du
mouvement d’une structure.
3.1 Dérivabilité et bornes de l’opérateur d’hystérésis
Le théorème d'hystérésis de Pokrovskii est limité au comportement stationnaire
d'hystérésis il est tout d’abord proposé de l’appliquer à des courbes enveloppes qui ne
dépendent que de la fonction d’entrée p et du signe de sa vitesse, puis de le généraliser aux
comportements qui dépendent légèrement de tp, .
3.1.1 Les courbes enveloppes dépendent de p et du signe de sa vitesse
Dans le plan (p, q), il est supposé que +− γγ , sont les courbes enveloppes supérieure et
inférieure de la boucle (voir la Figure II.4), et +− φφ , soit les courbes gauches et droites de la
boucle d'hystérésis. Les courbes doivent satisfaire la condition de Lipshitz (fonctions dérivables
et bornées). L'équation définie par Pokrovskii peut être exprimée comme :
( )( )psgn,q,pgdt
dp
dt
dq= , (5)
qui, comparée à l'équation (4), amène :
( )( ) ( )µ)p(qsgnhpsgn,q,pg -.= . (6)
Un opérateur général doit avoir des courbes enveloppes +− γγ , qui dépendent de p. Ainsi:
h−=−γ , et h+=+γ , (7)
où
hpsgn )( =γ et ( )( )psgnphh ,= , (8)
CHAPITRE III – MODELE D’HYSTERESIS PROPOSE
PARTIE I. 43
ainsi, selon (6):
( )µαφ )(),( psgnqhqp −= , (9)
d’où
( )µαφ q)1,p(h)q,p( −+=+ , (10)
et
( )µαφ q)1,p(h)q,p( +−=− . (11)
Afin de vérifier que +φ , par exemple, vérifie la première condition de Lipschitz, voir
l’équation (II.10), il faut que :
( ) ( ) ( )( ) ( )2)1,()1,( qqLqphqphqq ′−≤′−+−−+′− µµα , (12)
pour qq ′≠ , l’équation (12) peut s’écrire sous la forme
( ) ( )( )L
qphqph ≤′−
′−+−−+ µµα )1,()1,(, (13)
ce qui est vérifié en vertu du théorème de la valeur moyenne de Lagrange [150, 156] :
Si une fonction ( )zf est continue dans l’intervalle [ ]21 z,z , alors il y a un point ξ dans
cet intervalle qui vérifie l’équation suivante :
( ) ( ) ( ) ( )ξfzzzfzf ′−=− 2121 (14)
L’application de ce théorème à la fonction ( ) ( )( )µα zphzf −+= 1, , sur l'intervalle [ ]qq ′, ,
donne :
( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )ξα µµ fqqqphqph ′′−=′−+−−+ 1,1, , (15)
( )( ) ( )( ) ( )ξα µµ
fqq
qphqph′=
′−′−+−−+ 1,1,
. (16)
avec :
( ) ( ) ( )( ) 11,1 −−+−=′ µξµαξ phf , (17)
et comme α > 0, µ > 0 et ( )( ) 01, >−+ ξph selon les deuxième et troisième hypothèses du
paragraphe 2, ( ) 0<′ ξf . Si L est positif réel, il vient :
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) Lphqq
qphqph≤−+−=
′−′−+−−+ −11,1
1,1, µµµ
ξµαα. (18)
Alors la première condition de Lipschitz est vérifiée. La même démonstration peut
s’appliquer à la seconde équation (II.11) relative à −φ .
CHAPITRE III – MODELE D’HYSTERESIS PROPOSE
PARTIE I. 44
3.1.2 Les courbes enveloppes dépendent légèrement de p et du temps
Ici, la fonction h s’enrichit de deux variables ( )( )tppsgnphh ,,, = , avec la condition :
( ) ( )εε Ot
hO
p
h =∂∂=
∂∂
,
, (19)
par exemple
( )( )tppsgnphh εε ,,, = , (20)
la fonction h peut alors être développée en séries de Taylor par rapport à la variable ε:
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) +++= εεε Otppsgnphtppsgnph 0,0,,,,, , (21)
( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )
+++=
tppsgnph
Opsgnphtppsgnph
0,0,,10,0,,,,,
εεε , (22)
puisque ( )( ) ( )εOpsgnph >>0,0,, , l'équation (22) peut être écrite comme:
( )( ) ( )( )0,0,,,,, psgnphtppsgnph ≈εε . (23)
L'équation (6) devient
( )( ) ( )( )µα psgnqpsgnphg −≈ 0,0,, , (24)
( )( ) ( )( )µα psgnqpsgnphg −≈ ∗ , , (25)
et les fonctions −+ φφ , , deviennent
( )( )µαφ qph −+≈ ∗+ 1, , (26)
( )( )µαφ qph +−≈ ∗− 1, . (27)
Les conditions de Lipschitz sont vérifiées comme précédemment.
3.2 Existence et unicité de la solution
Les relations (1), (2) définissant p et q et l’équation différentielle (4) qui les relient
permettent de déterminer la force de restitution R qui vient se superposer à la force d’excitation
F(t). Ces forces sont alors appliquées à une structure flexible dont le mouvement est régi par les
équations différentielles :
)(.. tFR t2
t1 //yKyCyM +−=++ , (28)
avec KCM ,, , matrices de masse, d’amortissement, de raideur de la structure, y le vecteur
déplacement et t1/ et t2/ les vecteurs transposés de localisation des efforts. Soient les
conditions initiales suivantes :
( ) ( ) ( ) 00,00,00 === Ryy . (29)
Soit l’équation différentielle qui régit la force de restitution :
CHAPITRE III – MODELE D’HYSTERESIS PROPOSE
PARTIE I. 45
( ) ( )( )uRsgntuuhukR −= εεα ,, , (30)
avec ( )tuuh εε ,, est une fonction continue dérivable et :
y/tu 1= . (31)
Il s’agit de démontrer que la solution du système des équations couplées (28) et (30) muni
des conditions initiales (29) existe et est unique. Le théorème de Cauchy-Lipschitz a le sens
suivant [28, 80, 150] : soit I un intervalle dans ℜ et nnIf ℜ→ℜ×: une fonction continue de
classe 1C de variable ( )110 ,,, −= nxxx X pour tout It ∈ . Si la fonction différentielle fDX est
bornée dans X par une fonction continue L(t) :
[ [ ( ) ( ) nIttLtfDIL ℜ∈∀∈∀≤⇒+∞→∃ XXX ,,,0: (32)
alors le problème de Cauchy:
( )
( )
==
00
,
XX
XX
t
tf
, (33)
a une solution unique.
L'équation (28) a également l'expression suivante
)(tFR t2
t1 /KyyCyM/ +−−−= , (34)
qui introduite dans l'équation (30) multipliée par t1/ conduit à:
( ) ( )( )usgntFhukR )(t2
t1
t1 /KyyCyM// +−−−−= α , (35)
or la dérivation de l’équation (34) :
)(tFR t2
t1 /yKyCyM/ +−−−= ,
introduite dans l'équation (35) établit l’équation suivante :
( ) ( )( ) )()( tFusgntFhuk 12
t2
t1 //KyyCyM/yKyCyM ++−−−−−=++ α , (36)
qui est donc de la forme :
( )t,,,- yyyy = . (37)
Si:
[ ]20 zzzZ ,, 1= , avec yzyzyz 20 === ,, 1 , (38)
les équations (37) munies des conditions initiales (29) peuvent être écrites comme:
( )[ ]
=
=− )0(,0,0
,
F
tft2
10 /MZ
ZZ . (39)
où f est une application ( ) ( )( )ttf ,,,,,,: 21021 zzz-zzZ → . Comme la fonction
( ) ( )thtuuhh εεεε ,,,, yy == est localement Lipschitzienne (fonction dérivable et bornée), et
CHAPITRE III – MODELE D’HYSTERESIS PROPOSE
PARTIE I. 46
sachant que le composé de fonctions Lipschitziennes est une fonction Lipschitzienne, ainsi
( )t,,, yyy Φ et ( )Z,tf sont localement Lipschitziennes. Comme ( )Z,tf est localement
Lipschitzienne par rapport à Z , il existe un intervalle ouvert I1 centré en t0, et un voisinage V1
de 0Z dans nℜ tel que :
( ) ( ) ( ) ∗∗∗ −≤−××∈∀ ZZZZZZ 1111 ,,,,, ktftfVVIt , (40)
avec +ℜ∈1k .
D'autre part, le théorème de la valeur moyenne de Lagrange s’écrit pour la fonction
continue ( )Z,tf de la manière suivante :
( ) ( ) ( ) ( )∗
=
∗ −∂
∂=− ZZZ
ZZZ
Z
,,,
tftftf , avec [ ]∗∈ ZZ , , (41)
La valeur absolue de la relation (31) :
( ) ( ) ( ) ∗
=
∗ −∂
∂=− ZZZ
ZZZ
Z
,,,
tftftf , (42)
permet de la comparer à l’équation (30) et de montrer que :
( )
1,
ktf ≤
∂∂
=ZZZ
, (43)
plus généralement, la relation (33) peut être exprimée par :
( ) ( )tLtf ≤
∂∂
ZZ,
, (44)
( )tL est une fonction bornée. Par conséquent, selon l'équation (34) et le théorème du
Cauchy-Lipschitz, la solution du système d’équations couplées (28) et (30) existe et est unique.
4. Exemples d’applications du modèle
Le modèle proposé d'hystérésis décrit par les équations (1), (2) et (4) est adaptable au
comportement des amortisseurs existants utilisés dans l'isolement de vibration. Ses paramètres
sont déterminés en utilisant les boucles expérimentales de force-déflexion des isolants. Les
boucles numériques présentées dans les exemples suivants sont tracées en présentant une
déflexion imposée u dans le modèle telle que :
teuu t Ω= − sin0ξ . (45)
4.1 Modèle général de ressort
Classiquement le ressort est supposé ne pas avoir de dissipation. Dans le cas où∞→0R
et )(phh= , l'effet de ( )p disparaît dans le modèle proposé qui devient alors :
CHAPITRE III – MODELE D’HYSTERESIS PROPOSE
PARTIE I. 47
( )( )
−−−+= µ
µµ
αλαλαh
hh
dt
duk
dt
dR
11
1, (46)
( ) ,,dt
duRuk
dt
dR ∗= avec ( ) ( )( )µ
µµ
αλαλαh
hhkRuk
−−−+=∗
11
1, , (47)
La valeur de λ permet de modifier le comportement du ressort sans dissipation :
- Effet d’assouplissement, (softening), voir la Figure 1 :
( )dt
duuk
dt
dR ∗=⇒= 0λ , (48)
- Effet linéaire :
dt
duk
dt
dR =⇒→2
1λ , (49)
- Effet de raidissement, (hardening) :
( )dt
duRk
dt
dR ∗=⇒= 1λ . (50)
Fig. 1. Comportement en assouplissement de ressort (sans hystérésis)
4.2 Modèle de Dahl
Si 1,0 == hλ , le modèle proposé correspond au modèle de Dahl
0R
kup = , (51)
0R
Rq = . (52)
CHAPITRE III – MODELE D’HYSTERESIS PROPOSE
PARTIE I. 48
L’équation (4) devient:
µ
−α=
00 R
uksgn
R
Rh
dt
duk
dt
dR . (53)
Si cRR =0 , (qui est une force critique du frottement de Coulomb), et les courbes
enveloppes sont réduites à des droites horizontales, l'équation (53) décrit alors le modèle de
Dahl et génère la boucle présentée Figure 2.
( )( )ξηξηsgn
dt
d
dt
d −= 13500 , (54)
cRRuu == ηξ ,0 . (55)
Fig. 2 Modèle proposé limité au modèle de Dahl
4.3 Modèle d’hystérésis avec assouplissement
Une boucle d’hystérésis est produite typiquement, par exemple, par un effort de
cisaillement d’une paire d'amortisseurs montés en vis-à-vis l'un de l'autre. Le modèle
correspondant est obtenu avec1=λ :
0R
Rp −= , (56)
0R
kuq −= . (57)
CHAPITRE III – MODELE D’HYSTERESIS PROPOSE
PARTIE I. 49
Fig. 3. Hystérésis avec effet d’assouplissement
L’équation (4) devient:
µ−
−
α=
00 R
Rsgn
R
ukh
dt
duk
dt
dR
, (58)
et génère la boucle tracée Figure 3 avec α=5, k=1750, 1000 =R , )(
00 R
Rsgn
R
R
eh
−= et µ=1.
4.4 Suspension de caméra infrarouge
L’amortisseur cylindrique à frottement sec, schématisé Figure 4, équipe la suspension
d'une caméra infrarouge embarquée [77]. Il se compose de ressorts coniques et cylindriques
pré-chargés. Un circlip intérieur maintient en contact deux plaques demi-lune contre la paroi du
corps et assure ainsi un frottement sec périphérique quand il y a déflexion verticale.
La Figure 5-a montre les boucles verticales force-déflexion mesurées à 15Hz pour
différentes amplitudes de déflexion. Modéliser cet amortisseur impose 0=λ . Ainsi les
équations (51), (52), et (53) restent valides. La boucle tracée Figure 5-b est obtenue avec le
modèle :
( )( )uRsgne15dt
du2500
dt
dR )t5000cos(01.0)uu(sgn
−= +− . (59)
CHAPITRE III – MODELE D’HYSTERESIS PROPOSE
PARTIE I. 50
Fig. 4. Amortisseur de caméra infrarouge
(a) mesurée (b) calculée
Fig. 5. Boucle effort déflexion à 15 Hz pour plusieurs amplitude de déflexion
4.5 Amortisseur à coussins métalliques
Les Figures 6-a et 6-b montrent la photo et le schéma d'un amortisseur entièrement
métallique utilisé notamment pour la protection vibratoire d'équipements électroniques
embarqués. Il travaille essentiellement en traction compression et possède une double butée.
Son corps en aluminium a une hauteur de 22,5 mm et un diamètre de 28,5 mm. L’axe équipé
des deux butées, les deux ressorts coniques et les deux coussins sont en acier. Toute déflexion
(traction ou compression) écrase un des deux coussins métalliques et génère par voie de
conséquence de la dissipation par contact entre les multi-brins métalliques, entre le coussin et le
corps de l’amortisseur.
CHAPITRE III – MODELE D’HYSTERESIS PROPOSE
PARTIE I. 51
Ressortsconiques
Coussinsmétalliques
Corps
Axe
(a) (b)
Fig. 6. Plot à coussins métalliques
4.5.1 Régime quasi-statique
Le plot soumis à une déflexion imposée de 20 mm/mn fournit après 4 cycles
d’échauffement, la boucle force-déflexion tracée Figure 7-a, voir [75]. le comportement
asymptotique vertical pour une déflexion de +/-6mm est imputable à l’effet de la double butée.
La dissipation est la plus importante pour des déflexions situées entre 4 et 6mm d’une part et –4
et –6mm d’autre part : ceci est dû au fort écrasement d’un des deux coussins métalliques.
(a) (b)
Fig. 7. Boucles force-déflexion obtenues par la mesure (a) et par le modèle proposé (b) du plot
à coussins métalliques en traction-compression quasi-statique
CHAPITRE III – MODELE D’HYSTERESIS PROPOSE
PARTIE I. 52
Comme il y a raidissement, λ= 0 s’impose et l’équation (4) devient :
µ
−α=
00 R
uksgn
R
Rh
dt
duk
dt
dR , (60)
avec
1,0,1,45500 0 =>== µα kRk . (61)
la fonction enveloppe est approchée par la méthode des moindres carrés :
uul eeuh 20501650 00025.001.02.708063.8 +−+−= − , (62)
uuu eeuh 4702550 68.300005.08.430712.1 +−+= − , (63)
( ) ( ) ( )2
"" hhusgnhh
h uu −++= , (64)
la Figure 7-b montre que le modèle obtenu est proche du comportement mesuré Figure 7-a.
4.5.2 Régime harmonique
L’analyse de boucles force-déflexion mesurées à trois fréquences (20, 30 et 50 Hz)
montrent que les caractéristiques de plot à coussins métalliques sont indépendantes de la
fréquence mais changent légèrement avec l’amplitude [71]. La Figure 8-a montre les courbes
force-déflexion mesurées à 20 Hz pour plusieurs amplitudes de déflexion.
(a) (b)
Fig.7. Boucles force-déflexion obtenue par la mesure à 20 Hz (a) et par le modèle proposé (b)
du plot à coussins métalliques en traction-compression
CHAPITRE III – MODELE D’HYSTERESIS PROPOSE
PARTIE I. 53
Le modèle est établi en retenant là aussi λ= 0. L’équation est identique à (60) mais les
paramètres sont :
1,0,1,87500 0 =>== µα kRk . (65)
Par la méthode des moindres carrés la courbe enveloppe est approchée par :
( ) ( ) ( )2
sgn""
hhuhhh uu −++= , (66)
avec :
( ) ( ) ( )uuuuuuuul eeeeeeeeh cc 8.13.403.3263.168.31001.0001.0003.0 22 ++−−−−−+= −−−− , (67)
( ) ( ) ( )uuuuuuuuu eeeeeeeeh cc 5.14.45.53.81.192.25001.0001.0004.0 22 +−+−−+−+= −−−− , (68)
où u est exprimé en en mm, et uc sont les déflexions maximales des boucles expérimentales qui
servent à régler les constantes du modèle. La méthode de tir (méthode de Runge-Kutta associée
à la méthode de Newton-Raphson [52, 70, 113] est utilisée lors des simulations de type
réponse. Les logiciels ont été développés sous Matlab [6].
Dans [58, 71, 75] sont utilisés les notions de raideur et de facteur d’amortissement
dynamiques équivalents par cycle rappelées par la relation (I.50) et tirées de la mesure. A
condition d’approcher la force imposée, Figure 8, le modèle proposé peut aussi fournir en
utilisant les formules (I.50) ces caractéristiques dynamiques équivalentes qui sont comparées à
celles de la mesure, Figures 9 et 10. Dans la Figure 10 sont aussi reportés les facteurs
d’amortissement obtenus par la mesure de l’aire de chaque boucle de différentes amplitudes
(méthode d’énergie ou de la surface). L’accord calcul-mesure est très satisfaisant.
Fig. 8. Amplitude de la force imposée au plot
à coussin métallique
CHAPITRE III – MODELE D’HYSTERESIS PROPOSE
PARTIE I. 54
Fig. 9. Raideur dynamique équivalente Fig. 10. Facteur d’amortissement équivalent
Figure 9. représente la raideur dynamique équivalente du plot à coussins métalliques obtenus
par la mesure, et par le modèle proposé tandis que Figure 10 montre le facteur d’amortissement
équivalent du plot à coussins métalliques obtenu par la mesure, par le modèle proposé en
utilisant équation (I-50, 54), dans l’équation (I-54) à la place E′ la raideur dynamique est
utilisée.
La raideur équivalente est maximale aux faibles amplitudes de déflexion, l’amortissement
diminue aux grandes déflexions.
4.6 Plot en élastomère
L’analyse porte sur un plot cylindrique en élastomère et à queues filetées, [58, 71, 75] en
régime harmonique. Les boucles expérimentales mesurées pour différentes amplitudes de
déflexion révèlent un comportement raidissement-assouplissement, voir Figure 11-a. Le
modèle est réglé avec λ= 0, et correspond à l’équation (60) avec toutefois pour paramètres :
1,0,1,21500 0 =>== µα kRk . (69)
La fonction enveloppe est approchée avec l’aide des moindres carrés (u est en mm) :
( ) ( ) ( )2
sgn""
hhuhhh uu −++= , (70)
avec :
( ) ( ) ( ) uuuul eeueeh ccc 45.005.45.33.4 5.3269.614.1456.146.3315.54 −−−− −−++−= , (71)
( ) ( ) ( ) uuuuu eeueeh ccc 45.07.11.27.1 3.1302.763.487.52.12586 −−−− −−−++= , (72)
CHAPITRE III – MODELE D’HYSTERESIS PROPOSE
PARTIE I. 55
(a) (b)
Fig. 11. Boucles force-déflexion de traction compression mesurées (a) et calculées avec le
modèle proposé (b) du plot en élastomère.
Comme précédemment les formules (I–50, 54) sont utilisées pour extraire des boucles
calculées les raideurs et facteur d’amortissement équivalent en utilisant la force appliquée,
(Figure 12 représente la plus grand boucle), et qui sont, Figures 13 et 14, comparés à ceux
obtenus par la mesure. Pour ce qui est du facteur d’amortissement, là encore la méthode de la
mesure de la surface est aussi utilisée pour élargir la comparaison, Figure 14.
Fig. 12. Force appliquée au plot en élastomère du plot en
élastomère
CHAPITRE III – MODELE D’HYSTERESIS PROPOSE
PARTIE I. 56
Fig. 13. Raideur dynamique équivalente Fig. 14. Facteur d’amortissement équivalent
Figure 13. représente la raideur dynamique équivalente du plot en élastomère obtenus par la
mesure, et par le modèle proposé, tandis que Figure 14 montre le facteur d’amortissement
équivalent du plot en élastomère obtenu par la mesure, par le modèle proposé.
Dans la majeure partie de la plage des amplitudes de déflexion analysées l’accord est
satisfaisant.
5. Conclusion
L’opérateur d’hystérésis proposé permet de modéliser la force de restitution
d’amortisseurs à comportement élastoplastique ou viscoélastique à partir des courbes
enveloppes. Les courbes enveloppes de la boucle effort-défléxion sont établies à partir d’essais
soit quasi-statiques soit harmoniques. Le modèle proposé dont les fondements mathématiques
ont été établis a été validé expérimentalement en analysant les boucles effort déflexion, mais
aussi les raideur et amortissement équivalents que l‘on peut extraire du modèle. On note
toutefois que la modélisation des comportements viscoélastiques est délicate à réaliser.
CHAPITRE IV - REPONSE D’UN SYSTEME STRUCTURE –PLOT
PARTIE I 57
REPONSE D’UN SYSTEME STRUCTURE – PLOT
AVEC LE MODELE OPERATEUR D’HYSTERESIS PROPOSE.
Dans ce chapitre le modèle d’hystérésis proposé précédemment est utilisé pour calculer
les réponses harmonique et transitoire d’une structure munie d’un plot à comportement
élastoplastique (plot à frottement sec). Enfin deux exemples portant sur un plot en élastomère et
un type d’excitation particulier montrent la difficulté de la modélisation. La validation des
modèles proposés est essentiellement expérimentale.
1. Modélisation par Rayleigh-Ritz
k1 k2 k3
f1 m3f2 f3m2m1
w
x
L
EI
Fig. 1. Cas général d’une poutre
Le comportement dynamique d’une poutre soumise à plusieurs forces d’excitation
transversales et équipée de plusieurs ressorts de raideurs ki et de masse mi est modélisé avec la
méthode de Rayleigh-Ritz [73, 106]. En utilisant des fonctions de déplacement )(ξφi
cinématiquement admissibles, où Lx=ξ est la variable d’espace sans dimension, et la
fonction de temps )(tyi , le déplacement latéral ),(tw ξ peut être exprimé en utilisant les
indices répétés :
( ) )(),( tytw ii ξφξ = . (1)
Pour obtenir les équations de mouvement via les équations de Lagrange il s’agit tout
d’abord de calculer les énergies cinétique, de déformation du système et le travail virtuel des
forces appliquées.
Les énergies cinétiques, Ecp de la poutre et Ecm des masses concentrées localisées en
lξξ = ,
CHAPITRE IV - REPONSE D’UN SYSTEME STRUCTURE –PLOT
PARTIE I 58
∫
∂∂=
1
0
2
21 ξρ d
t
wsLEcp , (2)
( )( )l
twmE lcm ξξ 2,
2
1= , (3)
les énergies de déformation Edp de la poutre et Edr des ressorts localisés en lξξ = ,
∫
∂∂=
1
0
2
2
2
321 ξ
ξd
w
L
EIEdp , (4)
( )( )l
twkE ldr ξξ 2,
2
1= , (5)
et le travail τ des forces extérieures appliquées en lξξ = ,
( ) ( )∫= tdwfy llk ,ξτ , (6)
s’expriment en tenant compte de la relation (1) sous les formes discrétisées suivantes:
( ) ( ) ( ) ( )tytydsL
E jijicp
= ∫
1
02
ξξφξφρ, (7)
( ) ( ) ( ) ( )tytymE jijilcm
l
ξ
ξφξφ2
1= , (8)
( ) ( ) ( ) ( )tytydL
EIE ji
jidp
′′′′= ∫
1
032
ξξφξφ , (9)
( ) ( ) ( ) ( )tytykE jijildr
lξξφξφ
2
1= , (10)
( ) ( )∫= ilil
k dyfy ξφτ . (11)
L’énergie cinétique totale est alors :
jiijc yyME
2
1= , (12)
avec la matrice de masse symétrique M telle que
( ) ( ) ( ) ( )l
jiljiij mdsLMξ
ξφξφξξφξφρ += ∫1
0
. (13)
L’énergie potentielle totale Ep a pour expression :
( )kjiijp yyyKE τ−=
2
1, (14)
CHAPITRE IV - REPONSE D’UN SYSTEME STRUCTURE –PLOT
PARTIE I 59
avec la matrice de raideur symétrique K telle que :
( ) ( ) ( ) ( )l
jiljiij kdL
EIK
ξξφξφξξφξφ +′′′′= ∫
1
03 . (15)
La fonction de Lagrange pc EE −=L devient alors :
( )kjiij
jiij yyyKyyM τ+−=
2
1
2
1L . (16)
L'application des équations de Lagrange conduit à un système à n équations :
0=∂∂−
∂∂
kk yydt
d LL
, (17)
comme les matrices M et K sont symétriques on peut écrire que
0=∂∂−+
kh
khh
kh yyKyM
τ , (18)
or :
( ) ( ) ( )lkliklilk
i
lilkk ffy
yf
yF ξφδξφξφτ ==
∂∂=
∂∂= , (19)
d’où :
ij
ijj
ij FyKyM =+ . (20)
En présence d’amortissement, la fonction de dissipation de Rayleigh permet d’introduire
dans les équations (20) les termes d’amortissement visqueux :
ij
ijj
ijj
ij FyKyCyM =++ . (21)
2. Application
Le mouvement en flexion de la poutre encastrée-libre schématisée Figure 2 est
décomposé en utilisant la base polynomiale :
ii
+= 1)( ξξφ . (22)
R
m2
F(t)
C.D
m1
wx
L
EI C.F
L1
L2
Fig. 2. Structure étudiée
CHAPITRE IV - REPONSE D’UN SYSTEME STRUCTURE –PLOT
PARTIE I 60
Une force d’excitation F(t) est appliquée en L2. La force de restitution R est produite par
un plot amortisseur situé en L1. Les termes des matrices de masse et de raideur et du vecteur
force sont :
( ) ( )222
2113
++++ ++++
= jijiij mm
ji
sLM ξξρ
, (23)
( )ji
ijijji
L
EIKij ++−
+++=1
13 , (24)
( ) iii tFRF ++ +−= 1
211 ξξ . (25)
Il est judicieux d’établir les équations modales afin de prendre en compte l’amortissement
de la poutre à partir de mesure de l’amortissement de la poutre seule sans plot amortisseur. Si
3 est la matrice des modes propres ijφ de la structure seule, le changement de variables :
q3y = , (26)
pris en compte dans les énergies, permet d’établir les équations modales :
fqkqcqm =++ , (27)
où :
M33m t= , C33c t= , K33k t= , F3f t= , (28)
où les matrices m, c, k sont des matrices modales. La matrice d’amortissement modale
diagonale est donnée par
iiiiiii kmc α2= , (29)
où le coefficient d’amortissement visqueux iα provient de la mesure de la ième largeur de
bande. La résolution pour obtenir la réponse temporelle ou harmonique utilise la même
méthode numérique (RK4), [53, 56, 66, 113]. Pour la réponse harmonique, la fréquence
d’excitation est incrémentée après que le régime permanent soit atteint et l’amplitude du
déplacement relevée.
3. Réponse harmonique avec plot à coussin métallique
La poutre en acier (ρ = 7800 kg/m3, E=2x1011 N/m2) de longueur 375 mm, d’épaisseur 4
mm et de largeur 40 mm, est encastrée à son origine et le plot, situé à l’abscisse = 335 mm, a
pour modèle en régime harmonique caractérisé par l’équation (III-60) associée aux relations
(III-65) à (III-68). Une réponse en fréquence en sinus balayé permet d’évaluer les six premiers
facteurs d’amortissement expérimentaux de la poutre seule encastrée-libre :
0.0040] 0.0022 0.0004 0.0007 0.0005 [0.0052=. (30)
CHAPITRE IV - REPONSE D’UN SYSTEME STRUCTURE –PLOT
PARTIE I 61
La force harmonique appliquée à l’abscisse 165mm de l’encastrement, est mesurée
(Figure 3) avec un capteur de charge piézo-électrique, la déflexion de l’abscisse 99mm avec un
capteur de déplacement à courant de Foucault, voir [71]. Les parties embarquées des masses du
plot et du capteur de force sont respectivement m1 = 2g et m2 = 22,1g.
Fig. 3. Force d’excitation mesurée Fig. 4. Réponse harmonique
Fig. 5. Boucles effort-défléxion du plot lors de la simulation
La Figure 4 présente les réponses calculée et mesurée. L’accord est très satisfaisant. Au cours
de la simulation les boucles générées sont tracées Figure 5.
4. Réponse transitoire avec plot à coussin métallique
La structure précédente est soumise à une force de type choc appliquée sur le capteur de
force situé à l’abscisse 360 mm, et dont l’enregistrement est montré Figure 6.
Ici le modèle quasi-statique relation (III-60) associée aux relations (III-61) à (III-64) est
utilisé. La réponse de l’abscisse 67 mm est comparée à celle mesurée [75], voir Figure 7. Là
CHAPITRE IV - REPONSE D’UN SYSTEME STRUCTURE –PLOT
PARTIE I 62
encore l’accord est très satisfaisant. La force de restitution et la déflexion du plot au cours de la
simulation sont données par les Figures 8, 9 et 10.
Fig. 6. Force appliquée Fig. 7. Déflexion calculée et mesurée
Fig. 8. Déflexion calculée du plot Fig. 9. Force de restitution calculée
Fig. 10. Boucle force-déflexion lors de la simulation
CHAPITRE IV - REPONSE D’UN SYSTEME STRUCTURE –PLOT
PARTIE I 63
5. Difficultés de modélisations
Les expérimentations précédentes, qui portent sur un plot à comportement élastoplastique
valident le modèle proposé. Cependant dans le cas de plot à comportement viscoélastique ou
dans le cas de sollicitation à fréquence variable les modélisations nécessitent d’être affinées.
Ceci est montré dans les deux exemples suivants.
5.1 Réponse transitoire avec plot en élastomère.
Le plot utilisé est celui présenté par la relation (III-60) associée aux relations (III-69) à
(III-72). La poutre étudiée a la configuration présentée §4. La force exercée sur la poutre est
tracée Figure 11 et a une allure de type série de demi-sinus [75].
Fig. 11. Force appliquée Fig. 12. Réponses calculée et mesurée
-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-10
-5
0
5
10
15
Déplacement du plot (mm)
For
ce d
u re
stitu
tion
(N)
modèlemesure
-3 -2 -1 0 1 2 3 4-150
-100
-50
0
50
100
Déplacement du plot (mm)
For
ce d
u r
estit
utio
n (N
)
modèlemesure
Fig. 13. Boucle avec petite déflexion Fig. 14. Boucle avec grande déflexion
CHAPITRE IV - REPONSE D’UN SYSTEME STRUCTURE –PLOT
PARTIE I 64
5.2 Réponse transitoire avec plot à coussin métallique
Ici la poutre équipée du plot à coussin métallique, voir §4, est soumise à un choc dur,
Figure 15. La Figure 16 montre un écart entre les réponses calculée et mesurée.
Fig. 15. Force appliquée Fig. 16. Déflexion calculée et mesurée
Fig. 17. Facteur de correction du pas
d’intégration numérique
Fig. 18. Réponses avec la correction du pas
d’intégration numérique
6. Conclusion :
L’analyse des réponses calculée et mesurée Figure 12 montre un accord juste satisfaisant.
En effet dans le cas d’un comportement viscoélastique la modélisation de l’opérateur
d’hystérésis nécessite d’être affinée, notamment les courbes enveloppe et la constante de
dissipation α qui évolue en fonction de l’amplitude de déflexion. En effet, Pour de petites
amplitudes, Figure 13 le modèle dissipe plus et les courbes enveloppes sont mal adaptées car
réglées sur les plus grandes amplitudes, Figure 14.
CHAPITRE IV - REPONSE D’UN SYSTEME STRUCTURE –PLOT
PARTIE I 65
L’analyse du contenu fréquentiel du signal de la force appliquée Figure 15, indique que la
fréquence d’excitation évolue. Pour prendre en compte cette évolution le pas d’intégration
numérique est affecté d’un facteur de correction indiqué par la Figure 17. La réponse calculée
s’en trouve notablement améliorée, Figure 18.
Cet exemple est important. Il met en évidence que la variation de la fréquence
d’excitation a une influence sur la réponse. Cette expérimentation a déclenché une réflexion sur
la notion d’un temps propre au système mécanique, différent du temps d’observation du
laboratoire. La partie II de ce mémoire s’attache à mettre en évidence expérimentalement et à
modéliser les effets de ‘relativité’.
PARTIE II
DISSIPATION
PHENOMENE METRIQUE
CHAPITRE V – GENERALITES. CALCUL TENSORIEL ET GEODESIQUE
PARTIE II 67
GENERALITESCALCUL TENSORIEL ET GEODESIQUE
1. Introduction
Le calcul tensoriel a été mis au point petit à petit depuis le milieu du XIXème siècle en vue
de résoudre des problèmes géométriques et mécaniques [19, 50, 57, 89, 162, 176]. Il a pris
toute son importance dès 1905 avec la relativité restreinte puis avec celle de la relativité
générale en 1916. Depuis cet outil de calcul mathématique est utilisé dans de nombreux
domaines [30, 43, 64, 65, 81, 83, 88, 110, 112, 155, 159, 181]. Ce n’est qu’à partir du milieu du
XXème siècle que cet outil a été re-situé dans un cadre théorique mathématique, celui des
variétés différentiables (espaces riemanniens, pseudo-riemanniens, etc.) [29, 45, 132, 153] .
Dans la suite de l’exposé l’outil tensoriel est suffisant pour des calculs locaux, la théorie
des variétés s’intéressant aux problèmes globaux posés (par exemple pour étudier le domaine
de validité d’un calcul local). C’est donc le calcul tensoriel qui est présenté rapidement dans la
suite en vue d’étudier plus particulièrement les géodésiques. Pour un exposé complet, dans un
langage accessible au mécanicien, le tome 1 de [57], est recommandé, voir aussi [4, 33, 119,
172].
2. Transformation des coordonnées
Soit, ( )321 ,,, yyyO le repère cartésien de vecteurs unités ki&
et, soit ( )321 ,,, xxxP le repère
curviligne de vecteurs unités ke&
[50, 170].
h2 dx3e2
x2
y2
y1
i1
i2
i3
y3
h3 dx3e3
x3
x1
h1 dx1e1
O
P
M
r
Fig. 1. Repères cartésien et curviligne
CHAPITRE V – GENERALITES. CALCUL TENSORIEL ET GEODESIQUE
PARTIE II 68
Pour 321 ,,k = on a :
),,( 321 xxxyy kk = , (1)
),,( 321 yyyxx kk = . (2)
Soit r&
le vecteur de position d’un point quelconque dans le repère cartésien :
kk iyr&& = , (3)
et sa réalisation dans le repère mobile (curviligne) est donnée de la manière suivante :
),,( 321 xxxrr&& = , (4)
et
kk
dxx
rrd
∂∂=&
&, (5)
où kkke
x
r
x
r &&&
∂∂=
∂∂
(sans sommation sur l’indice k).
En notant la quantité scalaire
kkh
x
r =∂∂&
, (6)
la relation (5) devient :
kk
k edxhrd&& = . (7)
3. Métrique d’un espace
L’intervalle entre deux points infiniment voisins (P1, P2) d’une courbe est défini par le
carré de l’élément de longueur ds qui d’après (7) s’écrit:
kjjk dxdxgds =2 , (8)
où la matrice g est la métrique dans le repère mobile (curviligne) [170] :
kjkjjk eehhg&&= . (9)
3.1 Espace de Riemann
C’est l’espace défini par la donnée d’une métrique g (symétrique et positive) de la forme
(9), qui est un tenseur d’ordre 2 [33, 50, 54, 65, 118]. On note ijg (écriture contravariante)
l’inverse de ijg (écriture covariante). Tous les espaces de Riemann, qui sont donc des espaces
courbes, ont pour propriété :
ijjk
ik gg δ= , (10)
si de plus le système curviligne est orthogonal
CHAPITRE V – GENERALITES. CALCUL TENSORIEL ET GEODESIQUE
PARTIE II 69
ijji ee δ=&&, (11)
alors la métrique est une matrice diagonale
jig ij ≠∀= 0 . (12)
3.2 Espace euclidien & pseudo-euclidien
L’espace est euclidien si sa métrique :
ijijg δ= . (13)
Si de plus, au moins un terme diagonal 1−=jjg , l’espace est pseudo-euclidien, ceci est le cas
par exemple de l’espace plat de Minkowski, utilisé en relativité restreinte, dont la métrique η
est :
−−
−=η
1000
0100
0010
0001
. (14)
4. Tenseurs associés
D’autres tenseurs peuvent être obtenus en élevant ou abaissant les indices [54, 170]
Tenseur de premier ordre (vecteur covariant et contravariant) :
jiji VgV = . (15)
Tenseur de deuxième ordre :
kljlikij TggT = . (16)
5. Symboles de Christoffel
La dérivation dans des coordonnées curvilignes xi, fait apparaître naturellement les
symboles de Christoffel.
Symbole de Christoffel de première espèce
∂∂
−∂∂
+∂∂=Γ
k
ij
i
jk
jik
ijk x
g
x
g
x
g
2
1. (17)
Symbole de Christoffel de seconde espèce
Le symbole de Christoffel de seconde espèce est associé au symbole de Christoffel de
première espèce. Il se note alors :
ijlkl
l
ij
i
jl
jillkk
ij gx
g
x
g
x
gg Γ=
∂∂
−∂∂
+∂∂=Γ
2
1. (18)
CHAPITRE V – GENERALITES. CALCUL TENSORIEL ET GEODESIQUE
PARTIE II 70
6. Dérivation covariante
La dérivation covariante est intéressante car elle est valable quel que soit le repère de
référence (c’est le principe de covariance) [132]. On considère un champ de tenseurs, défini en
tout point d’un espace à N dimensions, de vecteurs de base, µe&
avec 1...,,1,0 −= Nµ . Si
l’espace est plat, la direction des vecteurs de base est toujours la même, l’opération de
dérivation n’affecte pas la direction de ces vecteurs. Si l’espace est courbe, par contre, la
direction du vecteur ie&
change quand on passe d’un point ix à un point infiniment voisin
ii dxx + , la dérivation covariante permet de conserver cette propriété [29, 57, 65, 89].
La dérivation d’un vecteur jj eTT&&
= donne [65]:
jj
jj edTedTTd
&&&+= , (19)
avec :
jj dx
x
TdT
∂∂= . (20)
La dérivée du vecteur de base peut être explicitée comme une combinaison linéaire des
vecteurs de base. A l’aide du symbole de Christoffel, on pose :
iqi
jqj edxed&& Γ= , (21)
ce qui donne :
iqi
jqj
jq
q
j
edxTedxx
TTd
&&&Γ+
∂∂= , (22)
on peut remplacer l’indice muet j par i dans le premier terme, ce qui donne :
iji
jqq
i
qeT
x
T
dx
Td &&
Γ+
∂∂= . (23)
En utilisant qiT ; , la dérivée covariante pour le vecteur iT par rapport à qx , la relation (23)
devient :
iq;i
qeT
dx
Td &&
= , (24)
Ainsi il vient d’être montré que s’il existe un ensemble de fonctions kpqΓ appelées symboles de
Christoffel, l’opération de dérivation covariante (gradient) d’un vecteur se définit par :
jijqq
i
q;i T
x
TT Γ+
∂∂= , (25)
Par analogie la dérivation covariante d’un co-vecteur se définit par la formule :
CHAPITRE V – GENERALITES. CALCUL TENSORIEL ET GEODESIQUE
PARTIE II 71
jj
iqqi
q;i Tx
TT Γ−
∂∂
= . (26)
Note : Si l’espace est plat la dérivée covariante se réduit à la dérivée normale.
6.1 Opérateurs vectoriels et dérivées covariantes
Ici est appliquée la dérivation covariante aux opérations vectorielles [65].
Gradient
Si S est un scalaire. On a :
iiiS
x
SS ,; =
∂∂= . (27)
Rotationnel
i
j
ji
ijji x
T
x
TTT
∂∂
−∂∂=− ;; . (28)
Divergence
jijii
i
ii T
x
TT Γ+
∂∂=; . (29)
6.2 Généralisation
La dérivée covariante d’un tenseur quelconque IJT où ( )pii ,,1 =I et ( )qjj ,,1 =J ,
généralise celle effectuée sur un vecteur
IIJJ
IJI
J jjjkjjjj
jkj
iii
ik
iiiiikkk TTTT
x
TT
pp
121
121; Γ−−Γ−Γ++Γ+
∂∂= . (30)
7. Tenseur de courbure
7.1 Tenseur de courbure général
Le précédent paragraphe montre que la dérivation d’un tenseur dans un espace courbe
nécessite l’utilisation de la dérivation covariante. La présence du symbole de Christoffel
montre que cette dérivation dépend du chemin suivi. D'autre part, le transporté par parallélisme
d'un vecteur iA le long d'une courbe x(t) se définit par l'équation [50, 57] :
0=Γ+dt
dxA
dt
dA jki
jk
i
, (31)
qui est l’équation du mouvement dans le cas où Ai est la vitesse.
Dans un espace plat (euclidien) de coordonnées ( )nxx ,,1 la dérivation du vecteur iA a
pour expression :
CHAPITRE V – GENERALITES. CALCUL TENSORIEL ET GEODESIQUE
PARTIE II 72
k
iik; x
AA
∂∂= , (32)
La différence des dérivées permutées est nulle :
0=−= il;k;
ik;l;
ikl AAE . (33)
Dans un espace courbe (non-euclidien) de coordonnées quelconques ( )nxx ,,1 , la
première dérivation covariante du vecteur iA par rapport à la coordonnées lx donne le tenseur
ilB d’ordre 2 :
qilql
iill
i Ax
ABA Γ+
∂∂==; . (34)
Une deuxième dérivation co-variante par rapport à la coordonnées kx a la forme :
ip
plk
pl
ipkk
ili
k;lk;l;i BB
x
BBA Γ−Γ+
∂∂
== . (35)
Ici la différence des dérivations permutées est non nulle :
kli
lkii
kl AAE ;;;; −= , (36)
et s’écrit après simplifications, comme suit:
( )p
ip
lkp
klqp
qkipl
pql
ipkl
iqk
k
iqli
kl x
AA
xxE
∂∂Γ−Γ+
ΓΓ−ΓΓ+
∂Γ∂
−∂Γ∂
= . (37)
Si on introduit le tenseur de Riemann [2, 50, 57, 65], (ou tenseur de courbure) iqklR tel que :
pqk
ipl
pql
ipkl
ikq
k
iqli
qkl xxR ΓΓ−ΓΓ+
∂Γ∂
−∂Γ∂
=− , (38)
et le tenseur des torsions pklT [50, 57] :
plk
pkl
pklT Γ−Γ= , (39)
la relation (37) devient :
p
ip
klqi
qklikl x
ATARE
∂∂+−= . (40)
Selon la relation (39) le tenseur de torsion est nul dans le cas où le symbole de Christoffel
est symétrique par rapport à ses indices inférieurs (métrique symétrique), ce qui donne,
appliqué à un vecteur quelconque :
qiqkl
ikl ARE −= . (41)
Dans le cas encore plus restrictif d’un espace plat les équations (33) et (41) imposent un
tenseur de Riemann nul :
0=iqklR . (42)
CHAPITRE V – GENERALITES. CALCUL TENSORIEL ET GEODESIQUE
PARTIE II 73
7.2 Propriétés du tenseur de Riemann
Le tenseur de Riemann (38) a la propriétés suivantes [2, 50, 57, 65]
- Anti-symétrie
ijlk
ijkl RR −= . (43)
- Permutation
La sommation avec permutation des indices est nulle:
0=++ iljk
iklj
ijkl RRR . (44)
Remarques :
A - Le tenseur associé ijklR au tenseur de Riemann (38) est appelé tenseur de courbure
entièrement covariant.
mjklimijkl RgR = . (45)
b - En tenant compte des relations (45) relation (44) s’écrit sous la forme :
0=ijklijkl Rε . (46)
où ijklε est le tenseur de permutation (Tenseur de Levi-Civita)
c - En dérivant le tenseur (45) on obtient la dérivée covariante du tenseur de Riemann, ce qui
conduit à l’Identité de Bianchi
0;;; =++ kijlmlijmkmijkl RRR . (47)
7.3 Tenseur de Ricci
Le tenseur de Ricci est obtenu par contraction de deux indices du tenseur de Riemann.
C’est un tenseur symétrique de rang deux [2, 57]:
kiljkl
ij RgR = , (48)
kij
lkl
kil
lkjk
kij
j
kik
ij xxR ΓΓ−ΓΓ+
∂Γ∂
−∂Γ∂= , (49)
jiij RR = . (50)
La contraction du tenseur de Riemann est unique. Si le tenseur de Ricci est nul, l’espace a
une faible courbure.
8. Géodésique dans l’espace de Riemann
La géodésique est le plus court chemin entre deux positions d’un point matériel de
l’espace. C’est donc la trajectoire. Soit p le paramètre d’une courbe (C) quelconque dans
l’espace, p pouvant être considéré comme le temps t du laboratoire.
Il s’agit donc de trouver une équation différentielle qui décrive la géodésique.
CHAPITRE V – GENERALITES. CALCUL TENSORIEL ET GEODESIQUE
PARTIE II 74
8.1 Equation de la géodésique
La géodésique est obtenue en minimisant l’intervalle S de la courbe (C) entre la position
P0, où p = p0 et la position P1, où p = p1.
( ) dpxxxgdpsSP
P
jikij
P
P∫∫ ==1
0
1
0
. (51)
où
dp
dss = . (52)
Soit F, la fonctionnelle associée au problème:
( ) ( ) jikij xxxgsx,xF == . (53)
La minimisation de la relation (51), s’obtient en appliquant les équations Euler-Lagrange
[32, 40, 171] :
0=∂∂−
∂∂=
kkk x
F
x
F
dp
dE
, (54)
or pour le premier terme
∂∂+
∂∂=
∂∂
k
jij
k
i
ijk x
xxx
x
xg
sx
F
2
1, (55)
( )jk
ijikijk
xxgsx
F δδ
+=∂∂
2
1, (56)
jkjk
xgsx
F
1=∂∂
, (57)
d’où :
−
∂∂
+∂∂=
∂∂ j
kjjl
l
kjll
j
kjkxg
s
sxx
x
gx
x
xg
sx
F
dp
d
1 , (58)
la substitution, dans les deux derniers termes du membre de droite de la relation (58), des
indices répétés l et j par i permet une factorisation :
−
∂∂
+=
∂∂ i
kiji
i
kjlklk
xgs
sxx
x
gxg
sx
F
dp
d
1. (59)
Pour le deuxième terme de la relation (54), il vient :
∂∂
=∂∂ ji
k
ij
k xxx
g
sx
F
2
1. (60)
En prenant en compte les relations (59) et (60), l’équation (54) prend l’expression :
( )iki
jik
ij
i
kjlkl xg
s
sxx
x
g
x
gxg
=
∂∂
21−
∂∂
+ . (61)
CHAPITRE V – GENERALITES. CALCUL TENSORIEL ET GEODESIQUE
PARTIE II 75
Or, comme la métrique est symétrique :
jik
ij
i
kj
jkiji
k
ij
i
kj xxx
g
x
g
x
gxx
x
g
x
g
∂∂
−∂∂
+∂∂
21=
∂∂
21−
∂∂
, (62)
et de plus :
∂∂
−∂∂
+∂∂
21=Γ
k
ij
i
kj
jki
kij x
g
x
g
x
g, , (63)
et si on pose :
( )ikik xg
s
s
=σ , (64)
alors l’équation (61) devient :
kji
k,ijl
kl xxxg σ=Γ+ . (65)
8.2 Forme contravariante de l’équation de la géodésique
L’Equation (65) est la forme covariante de l’équation de la géodésique dans l’espace de
Riemann. Mais, en fait, c’est la forme contravariante qui est la forme usuelle, obtenue en pré-
multipliant la forme (65) par le tenseur contravariant krg :
kkrji
k,ijkrl
klkr gxxgxgg σ=Γ+ , (66)
qui en utilisant les égalités (10) (15) et (18) s’écrit :
rjirij
lrl xxx σδ =Γ+ , (67)
rjirij
r xxx σ=Γ+ , (68)
ou encore :
kjikij
k xxx σ=Γ+ , (69)
qui est la forme contravariante de l’équation de la géodésique dans l’espace de Riemann [50,
54, 57].
8.3 Influence du paramètre p
Si le paramètre p est l’intervalle s (ce qui signifie par exemple que le temps p du
laboratoire correspond au temps propre du point matériel observé), la relation (64) devient nulle
et l’équation (69) devient :
02
2
=Γ+ds
dx
ds
dx
ds
xd jikij
k
, (70)
CHAPITRE V – GENERALITES. CALCUL TENSORIEL ET GEODESIQUE
PARTIE II 76
et qui est la forme normale de l’équation de la géodésique [2, 168]. L’équation (70) est la
dérivée covariante du vecteur vitesse par rapport à la variable s (équivalent au temps propre du
système étudié), voir la relation (31).
8.4 Influence de la forme de la fonction
Ici, il s’agit de montrer que l’équation (70) est valable quelque soit la forme, voir la
relation (53), de la fonctionnelle ( )TF où T a la forme suivante :
dp
dx
dp
dxgT
ji
ij2
1= , (71)
Supposons que ( )TF soit une fonction monotone et suffisamment différentiable par
rapport à T, [2]. Soit le problème variationnel :
( ) 01
0
=
∫ dpTFP
P
δ . (72)
Ce problème dépend, naturellement, du choix du paramètre p. Le problème variationnel traité
est le suivant: une courbe ( )sxi de paramètre d'arc s, est comparée à toute courbe voisine ( )sxi~
qui coïncide avec elle aux points initial ( )0,0ixP et final ( )lxP i,1 .
Comme ( )kijij xgg = et ji
ij xxgT 2
1= , (où dp
dxx
ii = ), l'équation (72) peut être écrite
sous la forme suivante :
( )( ) 0,1
0
=
∫ dpxxTFP
P
iiδ . (73)
C'est un problème typique du calcul des variations, qui mène aux équations d'Euler-
Lagrange, voir l’annexe, et qui peuvent être écrites, en utilisant la forme fonctionnelle de T :
02
1 =∂∂
∂∂
−
∂∂
T
F
dp
dx
dp
dx
x
g
T
F
dp
dxg
dp
d jl
i
ljj
ij . (74)
Dans le cas particulier où le paramètre p est la longueur s de l’arc de la ligne extrémale, on a :
2
1
2
1
2
12
=
==
ds
dsxxgT ji
ij , (75)
Par conséquent ( )TF , et T
F
∂∂
sont constants le long de la courbe extrémale. Alors comme T
F
∂∂
devient facteur, l’égalité (75) est satisfaite notamment pour :
02
1 =∂∂
−
ds
dx
ds
dx
x
g
ds
xg
ds
d jl
i
ljj
ij , (76)
CHAPITRE V – GENERALITES. CALCUL TENSORIEL ET GEODESIQUE
PARTIE II 77
qui par définition des symboles de Christoffel devient :
02
2
=Γ+ds
dx
ds
dx
sd
xd jlilj
i
. (77)
Ainsi la forme normale de l’équation de la géodésique est indépendante de la forme de la
fonctionnelle F(T) où T est définie par la relation (71).
9. Les équations de Lagrange à la lumière de la théorie de relativité générale
Considérons l'évolution dans le temps d’un système mécanique décrit par des
coordonnées généralisées ( )txi , et des vitesses généralisées ( ) dtdxtx ii = . Soit l’énergie
cinétique sous forme quadratique:
( ) jiij xxgxxT
2
1, = , (78)
et soit une énergie potentielle ( )ixU , qui donne lieu à une force généralisée
( ) iii xxUF ∂∂−= . (79)
Comme d'habitude dans le cadre de la dynamique analytique, on a 2 22 dsdtT = , formule
qui permet de définir une métrique sur l'espace des coordonnées généralisées, qui s'appelle
l'espace de configuration [2, 57]. Le Lagrangien s’écrit,
UTL −= . (80)
L’équation du mouvement est donnée par les équations de Lagrange :
0=∂∂−
∂∂
ii x
L
x
L
dt
d
. (81)
Sous forme explicite celles-ci deviennent
llll x
U
x
U
ds
d
x
T
x
T
ds
d
∂∂−
∂∂=
∂∂−
∂∂
, (82)
le côté de gauche de l'équation (5) donne d’après les relations (69), (71) et (79), la géodésique
dans l'espace de Riemann, et le côté droit donne la force généralisée, ainsi l'équation (82)
devient :
kji
kij
k
Fds
dx
ds
dx
ds
xd =Γ+2
2
. (83)
Ceci prouve que les équations de Lagrange dans le cas général (espaces courbes) sont des
équations du second ordre dans lesquelles les symboles de Christoffel Figurent explicitement.
Supposons que l'on oublie l'origine physique des coordonnées généralisées ix et voyons
les équations du mouvement écrites sous la forme (83) en pensant en termes de mécanique
CHAPITRE V – GENERALITES. CALCUL TENSORIEL ET GEODESIQUE
PARTIE II 78
newtonienne, on voudrait voir ces équations prendre la forme kk Fx~= , où kF
~ représente les
forces extérieures selon la loi de Newton. Pour pouvoir faire cette identification on considère
jikij xx Γ− en tant que représentation de forces de repères [2, 146] telles la force centrifuge ou
les forces de Coriolis (forces factices en relativité générale). Ces forces dépendent du système
de coordonnées utilisé, (les symboles de Christoffel en dépendent). En fonction du système de
coordonnées, elles peuvent donc ne pas apparaître. Ceci est le cas par exemple d’un repère
attaché à un disque en rotation : les forces de repère n'apparaissent pas dans l’équation.
Cependant, on peut employer l'approche alternative en traitant toutes les forces de la même
manière, quelles soient externes, de repère, ou dues à une contrainte, et on écrit en
conséquence:
jikij
kkkk xxFFFx Γ−== ~,
~, (84)
qui montre que la force kF~
dépend énormément du système de coordonnées.
Evidemment, un tel point de vue n'est pas dans l'esprit de la théorie de la relativité
générale où tous les systèmes de coordonnées sont considérés équivalents. Du point de vue
de la relativité générale, on voudrait au contraire ramener les équations du mouvement
autant que possible à la géométrie de l'espace de configuration [2, 55, 61, 62, 145], c’est-à-
dire, au lieu d'expliquer la géométrie provenant de forces de repère, il s’agirait
d’expliquer les forces en partant de choix judicieux de géométrie. Cela est au moins
possible dans le cas des forces de la gravitation [61, 62, 65].
La manière la plus facile de faire ceci est de postuler que les forces de gravitation kF
peuvent disparaître des équations du mouvement ci-dessus en les incorporant dans le terme
géométrique kjijk xx Γ , exactement comme une force de repère. Cette approche est motivée par
le fait que les forces de gravitation et les forces de repère agissent toutes les deux sur les corps
matériels de la même manière; elles communiquent une accélération qui est indépendante de la
masse du corps. On sait que la propriété ci-dessus est la base du principe d'équivalence,
qui déclare que l'effet d'un champ de gravité peut "être effacé" en décrivant la physique
dans un repère de référence convenablement accéléré [2, 61, 62].
10. Le temps-propre et les équations de mouvement, vus par la mécanique relativiste
Ici l’objectif est de mettre en évidence l’application des outils de la relativité générale à
un système mécanique classique (système en rotation) [2, 69, 115]. Comme la métrique de
Minkowsky (espace plat) est bien adaptée à la relativité restreinte, on va utiliser ses
coordonnées (coordonnées de la relativiste restreinte ) zyxct ,,, :
CHAPITRE V – GENERALITES. CALCUL TENSORIEL ET GEODESIQUE
PARTIE II 79
( ) ( ) ( ) ( ))( 22222
232221202
dzdydxdtc
dxdxdxdxds
++−=
−−−=, (85)
pour les systèmes en rotation les coordonnées cylindriques ( )zr ,,φ sont utilisées, Figure 2 :
yr
z
P
eφ
ez
er
x
z
k
ji
P ’φ
Fig. 2. Coordonnées cylindrique et cartésienne
zz
ry
rx
===
φφ
sin
cos
, (86)
L’élément de longueur se définit alors par
)( 2222222 dzdrdrdtcds ++−= φ . (87)
Si :
tωφφ −= , (88)
la relation (87) s’exprime alors sous la forme
( ) )2( 2222222222 dzdtdrdrdrdtrcds +++−−= φωφω . (89)
Pour trouver les équations du mouvement, on peut utiliser l’équation d’Euler-Lagrange
ou l’équation des géodésiques pour la métrique (89), les résultats des deux approches suivantes
valident la conclusion du § 8.4 : La forme de la fonction ( )TF ne modifie pas la forme
normale de l’équation des géodésiques.
10.1 Utilisation de l’équation d’Euler-Lagrange
En divisant (89) par 2ds et en calculant la variation de l’expression obtenue on a :
( ) dsds
dz
ds
dt
ds
dr
ds
dr
ds
dr
ds
dtrc∫
++
+
−
−=
22
22
22222 20
φωφωδ . (90)
CHAPITRE V – GENERALITES. CALCUL TENSORIEL ET GEODESIQUE
PARTIE II 80
L’équation d’Euler-Lagrange pour ce problème variationnel est donne par (81) où
( )
++
+
−
−=
22
22
22222 2
ds
dz
ds
dt
ds
dr
ds
dr
ds
dr
ds
dtrcL
φωφω . (91)
Appliquons l’équation (81) pour différentes valeurs de i. On trouve finalement:
02, 2
22
2
2
=+=τ
ωτφω
τ d
dr
d
drr
d
rd, (92)
qui sont respectivement les forces centrifuges et les forces de Coriolis classiques.
10.2 Utilisation de l’équation des géodésiques
La métrique de cet espace, peut s’écrire à partir de l’équation (89) sous la forme :
−−−
−−−
=
1000
00
0010
00
22
2222
rr
rrc
gω
ωω
, (93)
Pour pouvoir utiliser l’équation des géodésiques (69), il faut calculer les symboles de
Christoffel (voir la relation (18)) :
rrrrr
1,,,, 2
212
122
10201
122
120
102
2100 −=Γ=Γ−=Γ=Γ=Γ=Γ=Γ=Γ ωωω (94)
Et tous les autres λµνΓ sont nuls. L’introduction de ces valeurs dans l’équation (69) donne la
relation (83).
11. Conclusion
L’utilisation du concept de la relativité dépend de la nature de l’espace de référence.
Dans le cas de la relativité restreinte [37, 123, 142, 163, 185], l’espace est plat et l’espace
de Minkowski est utilisé pour décrire les équations du mouvement qui s’écrivent :
ii
d
xdm F=
τ2
2
, (96)
( )dttd φ=τ , (97)
où τ est le temps propre du système mécanique et t le temps du laboratoire.
Dans le cas de la relativité générale [2, 57, 118, 182], l’espace est courbe et l’espace de
Riemann est utilisé pour décrire les équations du mouvement qui s’écrivent :
02
2
=Γ+ds
dx
ds
dx
ds
xd jkikj
i
, (98)
( )dttds φ= , (99)
CHAPITRE V – GENERALITES. CALCUL TENSORIEL ET GEODESIQUE
PARTIE II 81
où s est la longueur de la trajectoire entre 2 positions d’un point en mouvement dans l’espace
courbe de Riemann. La minimisation de s donne la géodésique qui est l’équation du
mouvement (97).
Les chapitres VI et VII suivants concernent la modélisation des effets dissipatifs liés
notamment à la variation de la fréquence d’excitation. Le Chapitre VI utilise le concept de la
relativité restreinte alors que le chapitre VII celui de la relativité générale.
CHAPITRE VI - EFFET DISSIPATIF ET FREQUENCE VARIABLE
PARTIE II 82
EFFET DISSIPATIF ET FREQUENCE VARIABLE
MODELISATION AVEC LE CONCEPT DE LA RELATIVITE RESTREINTE
1. Introduction
Ici la modélisation des effets dissipatifs est réalisée en utilisant le concept de la relativité
restreinte. L’espace de référence est donc plat. Il s’agit d’une méthode originale pour évaluer
l'effet dissipatif d’un système mécanique à un degré de liberté (1ddl) dû au phénomène
transitoire produit par une force de fréquence variable. La contribution principale se situe dans
l'utilisation d'une dimension supplémentaire, liée à la fréquence, qui courbe alors l’espace.
La réponse d’un système mécanique soumis à une excitation est considérablement
influencée par l'amortissement, qui a un effet de dissipation. Modéliser l’amortissement
demeure un thème de recherche actuel, car délicat et compliqué [95, 96, 97, 109, 137]. La
plupart du temps l'amortissement dépend de la température, de la déflexion, de la fréquence, et
du type d'excitation [75, 99, 121, 137]. Ce dernier paramètre rend l'amortissement très difficile
à modéliser. En fait, la réponse transitoire prévue pour une structure [3, 67, 121, 131] ne peut
pas être réalisée avec une grande exactitude si le paramètre d'amortissement de la structure est
connu par des mesures en régime permanent. Ceci a été observé dans [11, 15, 17] dans le cas
où la fréquence de la force est variable.
L'objectif de cette étude est d'améliorer les modèles mécaniques existants et en particulier
de rendre compte de l'effet de l'amortissement. L'idée fondamentale est que chaque système
mécanique a son temps propre, qui dépend d’événements externes. En s’inspirant du principe
de relativité d'Einstein, qui stipule l'invariance des lois physiques dans n'importe quel système
de coordonnée espace [37, 122, 142, 185], un axe supplémentaire représentant la fréquence
d'un événement a été pris en considération. En conséquence un terme additionnel est inclus
dans l'expression de l'élément de longueur (l'intervalle entre deux positions successives).
L'application concerne un système ressort-pendule soumis à une force de fréquence variable.
Afin de valider la méthode, la recherche est effectuée théoriquement et expérimentalement.
2. Dimension fréquence d’événement supplémentaire
Soit à définir un repère orthogonal comportant une dimension d’espace, une dimension de
temps et une dimension supplémentaire de fréquence. Il est pratique d’utiliser les coordonnées
),,( 101− xxx pour définir un point [11, 16]. La dimension x0 est consacrée au temps, x1 à l'espace
CHAPITRE VI - EFFET DISSIPATIF ET FREQUENCE VARIABLE
PARTIE II 83
et 1−x à la fréquence qualifiée fréquence d'événement. Ces coordonnées prennent les
expressions suivantes :
iatx =0 , et ux =1 , (1)
avec a, une vitesse très grande, t le temps du laboratoire et u le déplacement. Soit Ν=Ω π2 ,
où ΝΩ, sont respectivement la pulsation et la fréquence naturelles du système auxquelles est
associée la première coordonnée sous la forme d’un arc d'un cercle [63, 100, 101] :
θρ=− ix 1 , (2)
où le rayon ρ et l’angle θ sont définis par :
Ω= aρ , (3)
nπθ 2= , (4)
n étant le nombre de cycles. Cela signifie qu’un axe est associé à chaque point matériel. La
coordonnée sur ce nouvel axe est :
Ν=− na
ix 1 . (5)
Selon le principe de relativité toutes les lois physiques sont invariantes dans cet espace
tridimensionnel. Ce principe exige de trouver une nouvelle loi qui demeure invariable même si
la fréquence d'événement change, voir la Figure 1.
Fig. 1. Axe d'événement
La pulsation d'événement ω est exprimée comme suit :
νππθω 22 ===dt
dn
dt
d, (6)
CHAPITRE VI - EFFET DISSIPATIF ET FREQUENCE VARIABLE
PARTIE II 84
où ν est la fréquence d’événement .
Dans l'espace à trois dimensions, la longueur de l’élément est donnée par :
νµµν dxdxgds −=2 ,
avec la métrique g
( )
Ξ−=
100
010
00&
q
g , (7)
où la fonction ( )Ξ&
q avec
( )ξξξ &
,,∫=Ξ dt et Ν
= νξ ou ,Ωω=ξ (8)
exprime l’influence de la fréquence adimensionnée ξ , de son intégrale, et de sa dérivée sur
l’espace, sachant que dt
dξ=ξ .
Pour définir au mieux la fonction ( )Ξ&
q on suppose que ( )Ξ&
q s’annule dans les trois cas
suivants :
- Pas de mouvement (vitesse nulle)
- Résonance
- ∞→ξ .
Pour faciliter la détermination de ( )Ξ&
q on se limite à la variable ξ .
( ) ( )ξ=Ξ qq&
. (9)
Alors l’intervalle entre deux positions infinitésiment voisines prend l’expression :
( )( ) ( ) ( )2120212 dxdxdxqds −−= −ξ (10)
En remplaçant 101− xxx ,, par leurs expressions (1) et (2), il vient :
221 βλ −−= dtads (11)
où
( )a
uq
== βξξλ , (12)
avec dt
duu = . Le temps propre τ du système en mouvement est défini par :
a
dsd =τ (13)
qui en tenant compte de la relation (11) prend la forme :
CHAPITRE VI - EFFET DISSIPATIF ET FREQUENCE VARIABLE
PARTIE II 85
221 βλτ −−= dtd , (14)
et permet de relier le temps propre au temps du laboratoire.
3. Equations du mouvement
Pour les raisons de commodité, il s’agit d’écrire tout d’abord quelques relations
classiques concernant le mouvement d’un point matériel de masse m sur l’axe x1 soumis à une
force appliquée F1. L’application du principe fondamental classique impose :
( ) 11 Fmvdt
d = , (15)
soit
11
Fdt
dp = , (16)
où p1 = mv1 est l’impulsion classique du point matériel. En multipliant les deux membres de la
relation (15) par la vitesse dt
dxv
11 = , nous en tirons comme conséquence du principe
fondamental la relation suivante :
( ) 11
21
2vF
vm
dt
d =
. (17)
Le second membre représente la puissance de la force F1 ou le travail de la force F1 par unité de
temps, alors que le premier membre représente la variation de l'énergie :
( )
=
2
21vm
dt
d
dt
dE. (18)
Ainsi, on parvient à définir, à une constante arbitraire près, l'énergie du corps comme :
( )0
21
2E
vmE += , (19)
où E0 est une constante. L'énergie ( )2
21vmT = n'est relative qu'au mouvement du corps; on
l'appelle énergie cinétique (énergie du mouvement) [142]. Si le corps au repos ne possède
aucune énergie, la constante E0 est nulle. Si besoin est, on peut interpréter la constante E0
comme énergie potentielle constante. Vu qu'il n'y a aucune raison d'introduire E0 dans le cadre
de la mécanique classique, on considère E0 en tant que constante arbitraire. Il en découle qu'en
principe l'énergie classique «totale » d'un corps libre peut être de signe arbitraire (imposé par
CHAPITRE VI - EFFET DISSIPATIF ET FREQUENCE VARIABLE
PARTIE II 86
celui de la constante E0). Notre choix (E0 = 0) fait coïncider l'énergie totale du corps libre avec
l'énergie cinétique.
Supposons maintenant qu'un point matériel se trouve dans un champ de potentiel. Il est
donc soumis à une force dont l'expression est F = - grad U(x1), où U(x1) est l'énergie
potentielle :
dUmv
d −=
2
2
(20)
Soit maintenant l’impulsion et la force dans l’espace ),,( 101− xxx , dénommées
respectivement 3-impulsion et 3-force. Tout d'abord, définissons la 3-impulsion P&
:
UP&&
m= , (21)
où U&
est le 3-vecteur vitesse de composante :
τ=
d
dxiiU , (22)
et m est la masse invariante du point matériel qu'il est rationnel d'appeler masse au repos. La
troisième composante de l’équation du vectorielle du mouvement dans ),,( 101− xxx doit se
rapprocher de l’équation du mouvement de la mécanique newtonienne (16) et prend donc la
forme :
11
FP =τd
d. (23)
1F est alors la troisième composante du 3-vecteur force (qui ressemble à la force de
Minkowski en relativité restreinte). Il est nécessaire d'écrire l'équation du mouvement sous
forme vectorielle tridimensionnelle car le premier postulat d'Einstein impose que toute loi
physique doit avoir la même forme dans tout référentiel d'inertie [142, 162, 185]. En tenant
compte de la relation (21), l’équation (23) permet de généraliser, et d’obtenir l’équation
vectorielle du mouvement dans ),,( 101− xxx :
101 ,,i,d
dm i
i
−==τ
FU
, (24)
où les iF sont les composantes du 3-vecteur force. On passe aisément du temps propre τ au
temps du laboratoire conformément à (14):
dt
dm
d
dm
ii
221 βλτ −−= UU
. (25)
Sous cette condition, l’équation de (24), pour i = 1, devient
CHAPITRE VI - EFFET DISSIPATIF ET FREQUENCE VARIABLE
PARTIE II 87
1
22
1
1F
U =−− dt
dm
βλ. (26)
Si l'on pose
22
11
1 βλ −−= F
F , (27)
où 1F , est la force usuelle sur l’axe x1, alors l’équation (26) acquiert une forme fort peu
différente de celle de l’équation newtonienne. En effet, en portant (27) dans le second membre
de (26), il vient :
22
1
22
1
11 βλβλ −−=
−−F
dt
dm
U, (28)
soit
( ) 11 Fmdt
d =U , (29)
qui peut être écrite sous la forme :
1
22
1
1F
mv
dt
d =
−− βλ, (30)
où le deuxième membre comporte des composantes de la force classique et où dans le premier
membre, la quantité
22
11
1 βλ −−= mv
p , (31)
est, en tenant compte de l’équation (16), logiquement dénommée impulsion. Ainsi, les
principes fondamentaux, celui classique et celui proposé, diffèrent par la définition de
l'impulsion. La dérivation de l’équation (30) donne :
( )( )
1232222 11
Fumum =
−−++
−− βλββλλ
βλ
. (32)
4. L’énergie qui provoque l’amortissement
Soit à diviser l’équation (10) par 2τd , il vient d’après (13) et (22) :
( )( ) ( ) ( )2120212 UUU −−ξ= −qa . (33)
qui après dérivation par rapport au temps propre et multiplication par la constante m, et en vertu
de l’équation (29) devient :
CHAPITRE VI - EFFET DISSIPATIF ET FREQUENCE VARIABLE
PARTIE II 88
011
11
2222=−
−−+
−−Fv
a
d
dma
a
d
dam
βλβλλλ
tt- , (34)
la quantité 11Fv est la dérivée de l’énergie par rapport au temps comme dans l’équation (17) ;
la relation (34) s’écrit alors :
−−
−−=
2222 11 βλλλ
βλa
d
dam
a
d
dma
dt
dE
t-
t. (35)
L’intégration de l’équation (35) par rapport au temps conduit à :
−−−
−−= ∫ dt
dt
damE
2222
2
11
1
λβλλ
λβ. (36)
A la résonance, en régime permanent 0,0 =∂∂= ξqq , seul existe l’amortissement du
système mécanique qu’il est facile d’évaluer par une mesure de largeur de bande sur la courbe
de transfert. Autour de la résonance on peut supposer que la fonction q, ainsi que λ , est très
petite et que ceci peut être étendu à n’importe quel régime de fonctionnement.
L’équation (36) développée en série de Taylor autour du point 0=λ devient :
( )( )λβψβ
,11 2
2
+−
= amE (37)
avec
( ) ( )( )∑ ∫
∞
=
−
−
−−−
−Γ+Γ=
12
22
2
2
2
2 1112
1
121,
k
kk
dtdt
d
kk
k
βλ
βλλβ
βλ
πλβψ . (38)
Il est clair que la fonction ( )λβψ , est une petite quantité qui cependant apporte dans la relation
(37) une énergie source des effets dissipatifs mis en évidence par la relation (32). En l’absence
de mouvement, la fonction ψ vérifie l’équation :
( ) 0,0 =λψ (39)
autrement dit, l’énergie (37) devient :
2amE= (40)
Les relations (37), (38) et (39) permettent de valider les hypothèses prises sur la fonction q.
5. Equation du mouvement d’un point matériel de faible vitesse
En utilisant la fonction ( )ξq donnée par la relation (12), l’équation de mouvement (32)
devient [11, 16] :
CHAPITRE VI - EFFET DISSIPATIF ET FREQUENCE VARIABLE
PARTIE II 89
( )1
232222 1
2
1F
q
umq
q
q
um =β−ξ−
ββ+ξξ
ξ∂
∂ξ++
β−ξ−
. (41)
et fait naturellement apparaître une force d’inertie qui dépend notamment de la fréquence
adimensionnée ξ et d’une force de dissipation qui dépend, de plus, de la variation de ξ . En
présence de forces appliquées à la masse : force visqueuse uc − , force de rappel –ku, force
d’excitation f (t), il vient :
)(1 tfukucF +−−= . (42)
En supposant que la vitesse du point matériel est faible par rapport à la vitesse de référence a,
2β devient négligeable devant l’unité et l’équation (32) prend la forme simplifiée :
( )( )tfukuc
q
mq
q
uq
m =+
+ξ−
ξ∂
∂ξ+ξξ+
ξ−
322
1
2
1. (43)
Dans le cas où q(ξ) est nul ξ∀ , l'équation (43) se réduit à l’équation du mouvement
newtonienne classique, la dimension supplémentaire disparaît et l’espace redevient plat, voir la
métrique (7). Si q(ξ) est non nul, résoudre l'équation (43) exige de déterminer la fonction q(ξ),
ceci est fait expérimentalement.
6. Méthode expérimentale
6.1 Dispositif expérimental
Il s’agit donc d’effectuer des mesures sur la réponse d’un système mécanique à un ddl et
soumis à une excitation de fréquence variable dans le temps. La Figure 2 schématise le
dispositif qui est un système ressort-pendule sous gravité. La tige de 0,40m de long est
suspendue verticalement au point O par un axe monté sur deux roulements à billes. Le ressort a
une raideur de 10500N/m. La fréquence naturelle du système est ajustée avec une masse située
à une distance lm..
Le déplacement u est mesuré avec un capteur à courant de Foucault, situé à une distance
ld. Le facteur d'amortissement visqueux α est mesuré en utilisant la décroissance logarithmique
du mouvement libre du système. Dans le cas de la réponse forcée, l'excitation est appliquée à
une distance lf par un pot électrodynamique de 20N suspendu. Une cellule de charge piézo-
électrique mesure la force d'excitation transmise au système. Le pot électrodynamique et les
CHAPITRE VI - EFFET DISSIPATIF ET FREQUENCE VARIABLE
PARTIE II 90
capteurs sont reliés à un analyseur dynamique de signaux multi-voies. La fonction de transfert
est obtenue avec une excitation de type balayage sinus stationnaire et les réponses transitoires à
partir avec une excitation de type balayage rapide en fréquence.
lmlf
Force
ld
ressort
Déplacement
opesanteur
Fig. 2. Dispositif expérimental
Les paramètres, du système masse-ressort, expérimentaux sont présentés dans le tableau 1
où la valeur de k tient compte de la raideur du ressort et de l'effet de pesanteur.
Paramètres Systèmeld (m) 0.304l f (m) 0.390lm (m) 0.253m (kg) 0.833k (N/m) 17 311
α 0.0028cd (N.s/m) 0.67
νn (Hz) 22.9
Tableau 1. Paramètres du système
6.2 Détermination expérimentale de la fonction q(ξξ)
La détermination de la fonction q(ξ), en première approximation, utilise la fonction de
transfert déduite de la réponse harmonique expérimentale du système à 1ddl. Comme les
amplitudes de vibration sont très faibles, le mouvement est décrit par une équation linéarisée.
Dans le cas d’un mouvement permanent, ξ est constant et l'équation (43) est simplifiée:
)sin(1
02tfkuucu
q
md ω
ξ=++
− . (44)
CHAPITRE VI - EFFET DISSIPATIF ET FREQUENCE VARIABLE
PARTIE II 91
Supposons que la solution non homogène soit de la forme :
)sin(0 ϕω += tuu , (45)
et notons :
( ) 21 ξξ qY −= , (46)
la fonction de transfert est :
( )222
21
1
ξαξη
+
−
=
Y
, (47)
où
mk
cd
2=α , et
0
0
f
ku=η . (48)
Dans le cas où Y=1, les fonctions de transfert, expérimentale et théorique, sont tracées sur la
Figure 3. Pour obtenir des courbes expérimentales et analytiques identiques, Y doit être une
fonction de ξ qui est obtenue à partir de l'équation (47):
( )
( )( )2
2exp
2
21
1 ξαξη
ξξ−±
=Y , (49)
où ( )ξηexp est la fonction de transfert expérimentale qui permet donc de définir Y(ξ) tracée sur
la Figure 4. Il est à remarquer que cette fonction vérifie les deux conditions suivantes :
011
1≈
ξ≈
=ξ=ξ d
dY,Y (50)
Une fois connue par la relation (49) la fonction Y(ξ), il est aisé par la relation (46) de
déterminer la fonction q(ξ) et de la tracer sur la Figure 5.
Comme la fonction Y(ξ ) vérifie les conditions (50), après (46) il est clair que la fonction
q(ξ) vérifie à la résonance les conditions suivantes :
0,01
1 ≈≈=
=ξ
ξ ξd
dqq (51)
Loin de la résonance, où ξ = 1, il est difficile de connaître le comportement de cette fonction,
mais à partir des conditions imposées sur la fonction q(ξ ) on a les valeurs de q(ξ) :
,q 00
≈=ξ
(52)
,q 0≈∞=ξ
(53)
CHAPITRE VI - EFFET DISSIPATIF ET FREQUENCE VARIABLE
PARTIE II 92
ln(η
) =
ln (
u 0 k
/ f 0
)
ξ = ν / ν1
0 0.5 1 1.5 2 2.50.990
0.992
0.994
0.996
0.998
1
1.002
1.004
1.006
1.008
1.010
Y (ξ
)
ξ = ν/ν1
Fig. 3. Fonction de transfert mesurée et
calculée équation (47) avec : Y=1Fig. 4. Fonction Y(ξ)
Fig. 5. Fonction q(ξ) mesurée
Les points expérimentaux, voir la Figure 5, et les conditions (51), (52) et (53) permettent avec
la méthode des moindres carrés d’obtenir la forme approchée de q(ξ) :
( ) ( )( )3
115
1
110018.0
22
ξ
ξξ
+−−=
−−− eeq . (54)
Les Figures 6 et 7 comparent les fonctions proposées q(ξ ), λ(ξ ) et les valeurs expérimentales.
Dans les cas de phénomènes de résonance ou d’un mouvement libre, la forme
d’amortissement classique est satisfaisante. La dimension supplémentaire introduite n’apporte
rien dans ces cas : le mouvement n’influence pas l’espace-temps.
CHAPITRE VI - EFFET DISSIPATIF ET FREQUENCE VARIABLE
PARTIE II 93
Fig. 6. Fonction q(ξ) proposée et mesurée Fig. 7. Fonction λ(ξ) proposée et mesurée
7. Réponses en régime transitoire rapide
La réponse transitoire forcée du système à 1ddl est étudiée numériquement et
expérimentalement. Les Figures 8 et 9 représentent la force d’excitation mesurée et l’évolution,
approchée par un polynôme, de la fréquence d’excitation au cours du temps.
Fig. 8 Force d’excitation mesurée à fréquence
variable
Fig. 9 Approximation de l’evolution de la
fréquence d’excitation
7.1 Modèle classique
Le modèle classique correspond à l'équation (43) avec q = 0, pour tout ξ . La réponse
théorique calculée est comparée à la réponse mesurée sur la Figure 10, dont la Figure 11 est un
zoom. Les résultats numériques ont été calculés en utilisant la méthode de Newmark avec un
pas de temps de 0.0007s.
CHAPITRE VI - EFFET DISSIPATIF ET FREQUENCE VARIABLE
PARTIE II 94
Afin de réduire l’écart observé, d'autres démarches ont été entreprises [1, 52, 53, 56, 113,
154]:
- Utilisation d’autres méthodes numériques (Runge-Kutta 4, Heun, Houbolt) ou encore
celles utilisant la série de Taylor,
- Etude soigneuse de l'influence du pas du temps,
- Traitement de l'équation du mouvement avec termes non linéaires,
sans apporter d’amélioration notable à la réponse calculée.
Fig. 10. Réponses mesurée et calculé
(modèle classique).
Fig. 11. Zoom des réponses mesurée et calculée
(modèle classique).
7.2 Modèle proposé
Le modèle proposé correspond à l'équation (43) avec q donné par la relation (54). La
méthode de Newmark est employée avec le pas de temps indiqué précédemment. La réponse
calculée est comparée à la réponse mesurée dans la Figure 12, et dont la Figure 13 présente un
zoom. Cette comparaison souligne la qualité de la réponse calculée avec le modèle proposé.
En complément, il est intéressant de représenter le coefficient d’amortissement total au
cours de la simulation, Figure 14. Il est clairement montré que la variation de fréquence génère
de l'amortissement.
CHAPITRE VI - EFFET DISSIPATIF ET FREQUENCE VARIABLE
PARTIE II 95
Fig. 12. Réponse mesurée et calculée
(modèle proposé)
Fig. 13. Zoom de la réponse mesurée et calculée
(modèle proposé)
Fig. 14 Coefficient d’amortissement
8. Conclusion
Le modèle présenté, basé sur le principe de relativité d'Einstein, est original, parce qu'il
tient compte d'une dimension supplémentaire qui correspond à un axe associé à la composante
«fréquence d’un événement». Les équations du mouvement présentent, dans ce modèle, un
terme d'amortissement additionnel qui dépend de la variation de la fréquence de l’excitation.
Le modèle proposé, appliqué à un système de 1ddl a été validé expérimentalement. De
cette recherche les conclusions suivantes peuvent être tirées:
CHAPITRE VI - EFFET DISSIPATIF ET FREQUENCE VARIABLE
PARTIE II 96
- Lors d’un phénomène de résonance ou d’un mouvement libre l’espace pseudo-Riemannien
(Finslerien) devient plat (l'espace de Minkowski) et il n'y a ainsi aucune influence du
mouvement sur l'espace et le temps: le modèle proposé se réduit au modèle classique.
- En régime permanent il n'y a aucun amortissement additionnel mais la masse dépend très
légèrement de la fréquence.
- Dans le cas d'une fréquence variable, la masse demeure dépendante de la fréquence et
l'amortissement additionnel se produit.
- L'amortissement dépend du type d'excitation. En effet d’autres expérimentations menées
avec des régimes transitoires plus rapides, que celui étudié dans ce chapitre, montrent (voir
chapitre suivant) un écart plus important entre la réponse mesurée et calculée avec le
modèle classique.
Finalement, n'importe quel système mécanique soumis à une excitation à fréquence
variable est affecté par un amortissement additionnel ou amortissement de repère. C'est
particulièrement vrai dans le cas de machines tournantes subissant un mouvement transitoire
rapide.
CHAPITRE VII - L’AMORTISSEMENT, PHENOMENE METRIQUE
PARTIE II 97
L’AMORTISSEMENT, PHENOMENE METRIQUE
1. Introduction
Au chapitre précédent la méthode présentée pour évaluer l’amortissement dû à un
phénomène transitoire est basée sur l'utilisation d'une dimension supplémentaire, et le concept
de relativité restreinte. Mais la fonction de la fréquence exigée pour construire la métrique de
l'espace a été quantifiée expérimentalement au moyen d’une fonction de transfert. Cependant
cette détermination expérimentale nécessite de disposer de la maquette du système mécanique.
Dans ce chapitre l'objectif principal est d’évaluer l'amortissement dû à un phénomène
transitoire, en utilisant la géométrie des espaces de Riemann où la métrique ne dépend que des
coordonnées de l’espace. La démarche s’appuie sur les concepts de la relativité générale. La
solution au problème variationnel de la métrique donne les équations des géodésiques pour le
système étudié dont la solution est comparée à la réponse forcée expérimentale.
2. Energies cinétique et potentielle pour un système de points en mouvement
Soit un système de N points matériels de masses m1, m2, … chaque point se mouvant
dans l'espace ordinaire euclidien à 3 dimensions. Ils peuvent être soumis à des forces
extérieures et agir les uns sur les autres suivant des lois quelconques. Les n = 3N coordonnées
de ces N points servent à former un hyperespace à n dimensions nommé l'extension en
configuration [43, 136]. L'énergie cinétique totale T est
( )∑=k
kk zmT
2
21
. (1)
Dans cette interprétation ( )321 ,, zzz sont les coordonnées cartésiennes du premier point dont la
masse est 321 mmm == ; ( )654 ,, zzz sont les coordonnées du deuxième point avec la masse
correspondante 654 mmm == etc. Le nombre de degrés de liberté de ce système est égal à
n = 3N. Supposons que le champ de forces (if , n,,,i 21= ) agissant sur le système donne
l’énergie potentielle ( )tzzU n,,,1 telle que :
ii z
Uf
∂∂−= , ( )ni ,,2,1 = . (2)
L’énergie potentielle du système n’existe pas toujours si 2≥n . Pour que le potentiel existe, il
est nécessaire et suffisant que les égalités suivantes soient vérifiées [136]:
CHAPITRE VII - L’AMORTISSEMENT, PHENOMENE METRIQUE
PARTIE II 98
i
j
ji
z
f
z
f
∂∂
≡∂∂
, ( )nji ,,,, 21= . (3)
Afin de normer à l’unité la masse de chacun des N points du système mécanique, il convient
classiquement de dimensionner le déplacement yk, avec l’unité [m][kg]-1/2 en posant [43]:
kkk yzm = . (4)
L'énergie cinétique totale du système prend alors la forme simple:
jiij yyT δ
21= , (5)
et les forces extérieures deviennent :
kk y
UY
∂∂−= . (6)
Dans le cas où les différents points mobiles restent libres (sans liaisons entre eux), notre
espace contient nécessairement les r = n dimensions et reste euclidien. Ainsi le système
mécanique défini dans l’espace euclidien à trois dimensions par N points matériels est
représenté dans l’hyperespace par un seul point P de masse 1, et de coordonnées nyyy ,, 21 :
toute évolution du système peut être connue par le calcul de la trajectoire du point représentatif
P, [43, 44, 136, 177].
Supposons qu’il existe des liaisons entre les points matériels, telles que :
- des points sont assujettis à se mouvoir sur une courbe ou sur une surface donnée,
- des points restent au cours du mouvement à distance fixe de certains autres points,
qui en fait sont des liaisons holonômes (liaisons telles que les équations qui les traduisent ne
font pas intervenir les vitesses) exprimées par les relations en terme fini suivantes :
( ) niyF i1,0 == . (7)
Que signifie cette condition, du point de vue géométrique? Quand on se donne une liaison (7),
on oblige le point P à rester sur une hypersurface; ce point se meut donc dans une extension
réduite, qui ne possède plus que 1−n dimensions, et qui va perdre, en général, son caractère
euclidien.
Soit n0 le nombre de liaisons. On va étudier le mouvement d'un point représentatif dans
les r = n – n0 coordonnées spatiales.
Soient les nouvelles coordonnées nrr xxxx ,,, 11 + choisies de telle sorte que les n0
dernières restent nulles 0,01 ==+ nr xx , du fait des liaisons imposées; autrement dit, ces
liaisons s'écriront:
CHAPITRE VII - L’AMORTISSEMENT, PHENOMENE METRIQUE
PARTIE II 99
( ) njixy jij1,, ==X . (8)
On peut résoudre les équations (8) de manière à exprimer les nyy ,,1 en fonction des
variables rjx j1, =
( ) rjnixy jii 1,1, === Y . (9)
Nous obtenons, à chaque instant t, les déplacements virtuels compatibles avec les liaisons, et
dans ce cas, l’énergie cinétique devient:
dt
dx
dt
dxMT
lk
kl2
1= , (10)
avec klM la matrice de masse du système :
l
j
k
i
ijkl x
y
x
yM
∂∂
∂∂= δ , (11)
et en tenant compte des relations (6) et (9) les forces extérieures iQ dans les nouvelles
coordonnées s’écrivent :
ii
k
ki x
U
x
y
y
UQ
∂∂−=
∂∂
∂∂−= . (12)
3. Cas où des paramètres agissent sur le mouvement
Supposons maintenant que le mouvement soit influencé par n paramètres dont les effets
sont modélisés, conformément à l’approche développée au Chapitre VI, à l’aide de 1+r
dimensions complexes supplémentaires où nrr = degrés de liberté, ces axes restant les mêmes
dans tous les repères qui représentent le mouvement du système. Ainsi les dimensions de
l’hyperespace de Riemann utilisé, sont distribuées de la manière suivante :
- r axes jy− , r,,j 1= pour les n paramètres influants.
- un axe pour le temps iaty =0 ,
- r axes jy , r,,j 1= déjà définis qui représentent les degrés de liberté.
De plus, par convention: λ = rr ,,− .
Les liaisons dépendent des degrés de liberté mais aussi parfois, comme dans le cas de
frottement visqueux, de paramètres influents, et du temps, mais leurs relations ne s’appliquent
qu’aux axes des degrés de liberté :
( ) jj xy =λX , (13)
où
CHAPITRE VII - L’AMORTISSEMENT, PHENOMENE METRIQUE
PARTIE II 100
001 ==+ nr x,,x . (14)
Les nouvelles coordonnées sont affectées comme suit :
jj xyxy −− == ,00 . (15)
Les relations (15) sont valables si les paramètres ont des effets mutuels découplés. Dans le cas
général où leurs effets sont couplés (tel l’effet de la température sur la fréquence et
réciproquement) les relations (13) et (15) s’écrivent :
( ) µλµ xy =X , (16)
dont la solution de l’équation est :
( )µλλ xy Y= . (17)
Quand les points matériels sont soumis à des liaisons, les déplacements virtuels ne sont
plus complètement arbitraires, mais doivent être compatibles avec les liaisons à chaque instant
t. Autrement dit la résultante des forces d'inertie et des forces extérieures n’est plus nulle, mais
normale aux surfaces qui représentent les liaisons. Si une des relations (16) est linéaire par
rapport à toutes les variables y, elle représente un hyperplan, et définit un sous-espace de
dimension nr + qui reste encore euclidien. Mais en général, la relation de liaison n’est pas
linéaire, la surface (le sous-espace) va être courbée, et il faut utiliser la géométrie non-
euclidienne pour étudier le mouvement du point représentatif P dans cet espace courbe. Ceci
peut être illustré par l’exemple suivant.
Si un point est contraint à se mouvoir sur une sphère, la résultante des forces extérieures
et des forces d'inertie est normale à la sphère. Physiquement, on peut dire que pour maintenir la
liaison et garder le point sur la sphère, on relie ce point par une tige, avec une masse nulle et
inextensible, au centre O de la sphère, la résultante de toutes les forces va se trouver dirigée
suivant la direction de cette tige.
En résumé, l’espace plat euclidien, de coordonnées y , à nr ++1 dimensions représente
le système sans considération des liaisons, et l’espace courbe riemannien, de coordonnées x , à
dimension rr ++1 , représente le système avec considération des liaisons. Comme rn ≥ , la
dimension de l’espace plat est supérieure à la dimension de l’espace courbe en présence de
liaisons.
4. Equations de mouvement
Dans l’espace µy , l’élément de longueur ds, quantité réelle, est tel que:
νµµνδ dydyds −=2 , (18)
CHAPITRE VII - L’AMORTISSEMENT, PHENOMENE METRIQUE
PARTIE II 101
avec nr, −=νµ .
Dans l’espace courbé λx , l’élément de longueur est tel que :
λκκλ dxdxgds −=2 (19)
où
λ
ν
κ
µ
µνκλ δx
y
x
yg
∂∂
∂∂= (20)
est la métrique de l’espace courbe, voir Chapitre VI.
En absence d'énergie potentielle, la trajectoire du point représentatif du système est une
géodésique dans l'extension de configuration, considérée comme un espace de Riemann avec
courbure non nulle. En présence d’énergie potentielle, soit on la considère comme provenant de
forces extérieures à l’espace et l’énergie cinétique détermine la métrique de l’espace voir les
équations (10), (17) et (18), soit on peut encore réduire le problème mécanique à une recherche
de géodésique en remplaçant 00g par 200 2a
Ug − , [2, 10, 13, 43, 62] .
Dans le cas où il n’y a pas d’énergie potentielle et où ( ) jjijj xyxyy −− == , , on a :
=M
Ig
0
0(21)
où I , M , sont respectivement les matrices identité et de masse. Dans le cas général
( ) ( )
( ) ( )
=
µµ
µµ
xx
xx
MS
SE
g (22)
avec ( )µxE matrice de terme réels, ( )µxS matrice de termes complexes.
Ainsi donc pour modéliser n’importe quel système mécanique, il suffit de minimiser la
distance entre deux positions du point représentatif P de l’espace non-euclidien.
- soit la distance :
∫∫ =
dpdp
dx
dp
dxgdp
dp
ds λκ
κλδδ (23)
- soit le carré de la distance
∫∫ =
dpdp
dq
dp
dqgdp
dp
ds λκ
κλδδ2
(24)
Remarque 1 : L’équation (24) généralise la minimisation du principe de Hamilton qui donne les
équations de Lagrange.
CHAPITRE VII - L’AMORTISSEMENT, PHENOMENE METRIQUE
PARTIE II 102
Remarque 2 : Dans le cas où p = s, (le paramètre utilisé est le temps propre), les deux méthodes
représentées par les relations (23) et (24) sont équivalentes, voir §8.4 du chapitre V, voir aussi
[2, 115].
L’utilisation de la relation (23) donne les équations du mouvement qui se réduisent dans
un espace de Riemann à l’équation des géodésiques:
( ) λνµ
λµν
λ
σ=Γ+dp
dx
dp
dxx
dp
xd2
2
, (25)
où
( )
∂∂
−∂∂
+∂
∂=Γ σ
µνµνσ
νµσλσλ
µν x
g
x
g
x
ggx
2
1, (26)
est le symbole de Christoffel de deuxième espèce et où
=
dp
dxgg
s
s ν
νµλµλσ
, (27)
est la force qui provient du paramètre p, et où
2
2
==dp
sds
dp
dss , (28)
L’équation du mouvement devient :
λλλλλλλλ
σ=Γ+
Γ+Γ+
Γ+Γ+Γ+
dp
dx
dp
dx
dp
dx
dp
dx
dp
dx
dp
dx
dp
dx
dp
dx
dp
dx
dp
dx
dp
xd ij
jii
i
i
j
ji
ji
ij
00
00
0
0
0
02
2
22 (29)
Ici ( ) ( ) ( )rrriri ,,,1,,1 −∈∈−∈ λ
Les termes de la relation (29) représentent des forces qui agissent sur le système selon l’axe kx :
- 2
2
dp
xd λ
: forces d’inertie,
- dp
dx
dp
dx ji
ijλΓ : forces gyroscopiques,
- dp
dx
dp
dx
dp
dx i
i
j
ji
Γ+Γ
0
02 λλ : forces de dissipation,
- dp
dx
dp
dx
dp
dx ij
jii
Γ+Γ λλ
0
02 : effets réciproques des paramètres et de temps
- dp
dx
dp
dx 00
00λΓ : les forces extérieures
- λσ : forces dues à la nature du paramètre.
CHAPITRE VII - L’AMORTISSEMENT, PHENOMENE METRIQUE
PARTIE II 103
5. Exemple d’illustration
L’objectif est d’obtenir l’expression analytique de l’amortissement induit par le repère de
travail.
5.1 Forme de la métrique
Soit un système mécanique à r degrés de liberté, avec une force extérieure ( )tieFF φ0= ,
et soit un seul paramètre influent ( 1=n ) relatif à la fréquence du mouvement. Soit un repère
jq qui rende les matrices de masse et de raideur diagonales. Les énergies potentielle et
cinétique de ce système deviennent alors :
( ) ( )rjj q,,q,qWqU
1022
2
1 −Ω= , et jiij qqT δ
2
1= (30)
où ( )rqqqW ,,, 10 est le travail des forces extérieures par unité de masse ( )tf j :
( )jj dq
dWtf = . (31)
L’espace de travail est donc constitué
- de r axes 1−− q,,q r supplémentaires qui représentent l’action du paramètre fréquence
sur chaque degré de liberté, (un axe pour chaque degré de liberté rnrr =×= ,
- de l’axe iatq =0 , représentant le temps,
- de r axes, rq,,q 1 , un axe par degré de liberté.
Pour faciliter le calcul et trouver une solution analytique, il s’agit d’introduire l’hypothèse que
tous les axes supplémentaires sont confondus :
11 −+−− === qqq rr , (32)
donc on va étudier un système à r degrés de liberté, et sa métrique est fonction de 1−q :
ρθiq =−1 , (33)
θρ ids
dq =−1
, (34)
où θ est la fréquence du mouvement rapportée à la fréquence donnée Ω , telle que par
exemple
=
φφθθ
, comme φφ
θ
Ω=
ou ( )
+−Ω=
φφδδθ
t1 avec δ constante, .…. [10].
La métrique µνg qui représente l’énergie cinétique dans l’espace du mouvement prenant
en compte l’influence du paramètre 1−q , peut être alors construite sur la base de la métrique
CHAPITRE VII - L’AMORTISSEMENT, PHENOMENE METRIQUE
PARTIE II 104
plate µνδ et de la métrique diagonale prenant en compte un petit terme de perturbation
( )1−qijγε :
( )1−+= qg µνµνµν γεδ . (35)
Pour introduire l’énergie potentielle, comme indiqué au § précédent, ( )10000 1 −+= qg γε est
remplacé par ( ) ( ) ( )2
011
0000
,21
a
qqUqHqg
j−− ++= γε , la métrique de l’espace du mouvement
s’écrit alors :
+
+
++
+
=
−−
rr
a
UH
g
γε
γε
γε
γε
10000
0
0100
00210
001
11
200
11
. (36)
5.2 Expression de l’amortissement
L’équation des géodésiques concernant l’axe 0q s’écrit :
( ) ( ) 022
121 2
002
12002
00
00 =
∂∂+
∂∂+
′
+′+++
+ ∑−
k
kk
U
a
Hq
x
U
a
Hq
a
UH
aHU
γε
γε, (37)
le prime est la dérivée par rapport à 1−q , comme le point est la dérivée par rapport à s. Une
première intégration de l’équation (37) par rapport à s donne :
( )
( )( )∫
++= ++
∂∂ds
aHU
qaqUH
eaHU
Aq
200
020
212
00
00
21γε
γε
. (38)
Comme a est grand ( )ε1Oa ∝ , les termes divisés par a² sont négligés et le plus grand terme de
l’équation (38) devient :
00
00
1 γε+≈ A
q . (39)
L’équation des géodésiques concernant l’axe 1−q est :
( )( )
( )( )
( )( ) 01
1
2
1
1
21
2
1
1
1
2
12
11
20
11
200
21
11
112
12
=
+
′+−
+′+′+−
+
′++ ∑−−−−
−
−−
−−−
k
kkk
ds
dq
ds
dqaUH
ds
dq
ds
qd
εγεγ
εγεγ
εγεγ . (40)
En utilisant la relation (39) et en sachant que iatq =0 , la relation (40) s’exprime en fonction de
t par :
CHAPITRE VII - L’AMORTISSEMENT, PHENOMENE METRIQUE
PARTIE II 105
( )( )
( )( )
( )( )
( )( ) 01
1
2
1
1
21
2
1
1
1
1
1
2
12
1111
00221
00
00
11
112
12
=
+
′+−
+′+′+
+
+
′+−
+
′++ ∑
−−−−
−
−−
−−−
k
kkk
dt
dqUHa
dt
dq
dt
qd
εγεγ
εγεγ
εγεγ
εγεγ . (41)
Il est à remarquer que l’équation (41) peut être remplacée par l’intégrale première suivante
(donnée par 2ds ) :
( ) ( ) ( ) 112
11220
200
21
11 =
+−
++−
+− ∑
−
−−k
k
kk ds
dq
ds
dq
a
HU
ds
dq εγεγεγ . (42)
L’équation des géodésiques selon l’axe jq
( )0
11
1 2021
2
2
=
∂∂
+−
+
′++
−
ds
dq
x
UaH
ds
dq
ds
dq
ds
qdj
jj
j
jj
jjj
εγεγεγ
, (43)
peut, en utilisant les équations (39), s’écrire sous la forme :
0111
1
00
100
1
2
2
=∂∂
++
+
∂∂−+
∂∂+
−−−
jjj
j
jj
jjj
q
UH
dt
dq
dt
dqqq
dt
qd
εγεγγ
εγγ
ε . (44)
A partir de l’expression (30) de l’énergie potentielle U, et en prenant en compte (31), il vient :
jj
jjfq
q
U −Ω=∂∂ 2 . (45)
En tenant compte des relations (33) et (45) et de jjjjj mk=Ω2 , l’équation (44) devient :
jjjjj
jjj
jj
j
jjjj
jjj
jj fmH
qkH
dt
dqm
dt
d
dt
qdm
εγεγθ
εγθγ
εγθγ
ε+
=+
+
+
∂∂−+
∂∂+
1111 00
002
2
. (46)
Or l’amortissement s’exprime sous une forme classique qui dépend de la masse et la fréquence:
jjjjjj mc Ω= α2 , (47)
qui mise en parallèle avec l’expression de l’amortissement donnée dans la relation (46)
impose :
jjjj
jj
dt
d Ω=
+
∂∂−+
∂∂αθ
εγθγ
εγθγ
ε 211 00
00 , (48)
Le terme obtenu (48) ne dépend pas de la masse. L’amortissement est un phénomène
métrique mis en évidence par la faible courbure de l’espace due à la fréquence du mouvement.
5.3 Détermination des termes de la métrique
Dans l’équation des géodésiques (41) et (46) les fonctions ( )1−qγ sont inconnues et il
reste à les déterminer pour avoir les équations du mouvement.
CHAPITRE VII - L’AMORTISSEMENT, PHENOMENE METRIQUE
PARTIE II 106
Tout d’abord une métrique plate (par exemple espace de Minkowski), condition la plus
simple dans l’espace-temps-fréquence, est retenue [10, 13]. Le tenseur de Riemann αλµνR est
alors nul et le problème de l’amortissement ne s’explique pas. Si l’espace est légèrement
courbé, la condition de platitude est affaiblie, le tenseur de Ricci est nul 0=µνR . La nullité du
tenseur de Ricci exprime le «maximum d’indépendance entre les coordonnées», ou encore la
faible courbure de l’espace. En relativité générale, cela correspond aux équations de champ
d’Einstein en espace libre.
Le tenseur de Ricci associé à la métrique (36), est calculé par la relation:
σµν
λσλ
σµλ
λσνσ
σµν
ν
σµσ
µν ΓΓ−ΓΓ+∂Γ∂
−∂Γ∂
=xx
R . (49)
Après simplifications, les éléments non nuls du tenseur de Ricci ont pour formes :
′+
′′+
′+
′41−
′′+
′′21= ∑∑∑
0
0
1−
1−
22
0
0
0
01−1−
j j
j
j j
j
j j
j
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
GR , (50)
( )( )
∂∂−∂∂
′+
′−
′+
′−
′′′′
= ∑∑ −
−
−
− j
j
jjj j
j
G
qG
q
G
GG
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
GR
0
2
02
02
0
1
0
0
1
1
0
0
1
000 2
1
44
1
2
1, (51)
( )
′−
∂∂−
∂∂
′−
′+
′−
′−
′′′′
= ∑−
−
−
− k k
kjj
jj
j
j
jjjj G
G
q
G
Gq
G
GG
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
GR
2
020
20
2
0
1
0
0
1
1
1
122
4
1
2
1, (52)
j
j
jjjjj q
G
q
G
GGq
G
q
G
Gqq
G
GRR
∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂−
∂∂∂== −−−−−
01
0
010
20
10
2
011 4
14
121
, (53)
kjkjkjjk q
G
q
G
Gqq
G
GRR
∂∂
∂∂−
∂∂∂== 00
20
02
0 41
21
, pour kj ≠ . (54)
Avec :
( ) ( )111
11 1 −
−−−
− += qqG γε , (55)
( ) ( ) ( ) ( )2
011
000
,21
a
qqUqHqqG
j−− ++= γελ , (56)
( ) ( )11 1 −− += qqG jjj γε . (57)
Dans le but d’obtenir une solution analytique des équations 0=µνR , il est nécessaire de
négliger les termes divisés par 2a ce qui annule les termes extra-diagonaux du tenseur (53) et
(54). Seuls les termes diagonaux du tenseur de Ricci (50), (51) et (52) restent non nuls et
prennent les expressions :
CHAPITRE VII - L’AMORTISSEMENT, PHENOMENE METRIQUE
PARTIE II 107
′+
′′+
′+
′41−
′′+
′′21≈ ∑∑∑
0
0
1−
1−
22
0
0
0
01−1−
j j
j
j j
j
j j
j
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
GR , (58)
′−
′+
′41−
′′′
21′
≈ ∑0
0
1−
1−
0
0
1−
000
j j
j
G
G
G
G
G
G
G
G
G
GR , (59)
′−
′+
′−
′−
′′′′
≈ ∑−
−
− k k
k
j
j
j
jjjj G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
GR 2
41
21
0
0
1
1
1
. (60)
Le terme 00G se simplifie également :
( ) ( )1000 1 −+≈ qqG γεµ . (61)
Il reste donc r+2 équations ; l’équation (59) s’intègre et donne
∏−λ=′
kkG
GGG 01
02
0 , (62)
où 0λ est une constante d’intégration. Les équations (60) s’intègrent et se réduisent à
∏−λ=′
kk
jjj GG
GGG
0
212 , (63)
où jλ sont des constantes d’intégration. La relation (63) divisée par le terme (62), supposé non
nul, donne 000 G
G
G
G jjj
λλ
=′′
, qui par intégration devient:
0
0λλ= jGAG jj , (64)
où jA sont des constantes d’intégration. Il y a plusieurs familles de solution qui rendent nuls
les termes de Ricci (58) à (60). Il est choisi la famille de solution suivante:
( ) ( )( ) 010
10 1
bqhBqG −− ε+= , (65)
où 00 b,B sont des constantes d’intégration. A partir de la relation (64) il vient :
( ) ( )( ) jb
jj qhBqG 11 1 −− += ε , (66)
où jj b,B sont des constantes d’intégration. Les relations (65) et (68) sont introduites dans
l’équation (58) qui prend alors la forme simplifiée :
( ) ( )( ) ( )( )
′−′ε+
″ε++ε+
′ε+−
+
ε+
′ε+=−
−−−− ∑
1
11011
1
12
11
211
41
G
G
h
h
h
hbbb
h
hR
kk . (67)
Comme 11−−R est nul la résolution de l’équation (67) par rapport à 1−G donne :
CHAPITRE VII - L’AMORTISSEMENT, PHENOMENE METRIQUE
PARTIE II 108
( )( )2211
11 −−−
−+′= bhhBG ε , (68)
où 1−B est une constante d’intégration et où :
∑∑
+
+=−
kk
kk
bb
bbb
0
220
1 . (69)
Il est clair que si h est une constante alors 0=1−G , c’est à dire que la dimension ajoutée a
disparu. Le calcul des termes du tenseur de Ricci (58), (59) et (60) prenant en compte les
expressions des fonctions ( )1−qGµ , données par les relations (65), (66) et (68), impose que les
constantes d’intégration b doivent vérifier la relation suivante :
( ) 0=Ψ b , (70)
où
( )
+−
+=Ψ ∑∑
kk
kk bbbbb 22
0
2
0 . (71)
5.4 Equations du mouvement
Après avoir effectué les simplifications la fonction H a disparu du tenseur de Ricci. Mais
comme elle est nécessaire dans l’équation du mouvement (elle est relative à l’évolution de
l’amplitude de force extérieure avec la fréquence) il s’agit de lui affecter une forme qui
respecte une homogénéité par rapport aux autres termes de la métrique, voir par exemple la
relation (66):
( ) HbhH ε+= 1 . (72)
Quand il n’y a pas d’influence de la fréquence sur le mouvement, 0=h , et une métrique plate
nécessite : 1,10 == kBB . D’après les relations (55), (57), (61), (65), (66) et (68) et prenant en
compte les relations (69, 70, 71), les équations des géodésiques (41) et (44) s’écrivent :
02
21
2
121
2
210
2
1
221
012
12
11
0
=
′
−′
′+′+
′
−−+
′′′
+ ∑ −−
++
−
−
−
−
k
k
b
bk
b
b
dt
dqbUHba
Bdt
dqbb
dt
qd k
ζζζ
ζζζζζε
ζζ
ζζ , (73)
( ) ( )0
1
02
2
=∂∂+
′−+ −
−
j
bbj
j
j
q
U
dt
dq
dt
dqbb
dt
qd jHζζζ
, (74)
où ici ( ) ( )11 1 −− += qhq εζ . Donc la métrique dans l’espace du mouvement devient :
CHAPITRE VII - L’AMORTISSEMENT, PHENOMENE METRIQUE
PARTIE II 109
( )( )
( )
( )
+
+
++
+′
=
−−
−
rb
b
b
b
h
ha
UHh
hhB
g
ε
ε
ε
ε
10000
0
0100
002
10
0001
1
0
1
2
221
. (75)
Pour déterminer la fonction ( )1−qh , on prend comme jauge la condition 111 =−−g , [18, 63]. En
fait c’est une normalisation de la métrique par rapport à la variable supplémentaire :
( ) 11 221
1 =+′ −−
−bhhB ε (76)
En supposant qu'il n'y a aucune perturbation initiale à 01 =−q , la solution de l’équation (76) est
comme suit :
( )12
1
1
11
211
−
εσ+=ε+ −
−
−−b
qB
bqh (77)
où 1±=σ . Si seul le premier ordre en ε de la série de Taylor des équations des géodésiques
(73) et (74) est retenu, il vient :
021
21
2
20
21
0
12
12
=
+
+−
εσ− ∑
−
−
−
k
k
kH dt
dqbUbab
dt
dqb
Bdt
qd(78)
( ) ( ) 0111
02
2
=∂∂
θ−σερ++θσερ−+
−−jjH
j
j
j
q
Ubb
B
i
dt
dq
dt
d
B
ibb
dt
qd ; (79)
L’équation (79) laisse apparaître le coefficient d’amortissement suivant :
( ) jjjj mB
ibbC θσερ−=
−
1
0 . (80)
Dans le cas particulier d’une fréquence constante on trouve que θ se réduit à la vitesse de
référence Ω , et dans ce cas, on sait que jjjjj mC Ω= α2 , alors on trouve la relation suivante :
ΩΩ
+= − jjj i
Bbb
σερα 1
0
2, (81)
donc on a n équations correspondant à chacun des degrés de liberté ; et en utilisant l’équation
(71), on peut trouver 0b :
( ) ( )
Ω++
Ω−+Ω−
Ω+= ∑∑∑
===
−r
kkk
r
kkk
r
kkk rrrr
i
B
rrb
1
22
2
11
10 1
1
1
2 ααασερ
, (82)
CHAPITRE VII - L’AMORTISSEMENT, PHENOMENE METRIQUE
PARTIE II 110
et jb devient donc :
( ) ( )
Ω+
Ω++
Ω−+Ω−
+Ω= ∑∑∑
===
−jj
r
kkk
r
kkk
r
kkkj rrrr
rri
Bb αααα
σερ 1
22
2
11
1 1112
. (83)
En utilisant les relations (82) et (83), la relation (69) donne b-1. Ainsi les équations du
mouvement (78) et (79) sont déterminées à l’exception du paramètre ρ, défini par la relation
(33) et le chapitre suivant indique comment il peut être estimé.
6. Réductions des axes supplémentaires à un axe (axe du temps)
Ce qui précède montre que travailler avec des axes supplémentaires correspondant aux
paramètres influents est lourd.
Pour les systèmes à liaisons holonomes variables dont le mouvement est influencé par des
paramètres qui dépendent du temps, il est intéressant de réduire le nombre des paramètres, au
seul paramètre temps, et ainsi ne travailler qu’avec un axe supplémentaire.
6.1 Forme de la métrique
En utilisant la méthode géométrique précédente, l’équation de l’intervalle ds (19)
devient:
jiij
ii
jiji
ii
jiji dxdxgdxdxgdxdxgdxdxgdxdxgdxdxgds −−−−−−= −
−−
−−−
−−0
000
000
02 222 , (84)
comme chaque paramètre dépend du temps, alors on peut écrire :
dtaidx =0 , (85)
dtxdx jj −= , (86)
dans le cas où il y a une énergie potentielle on sait qu’il faut remplacer 00g par la quantité
( )200 2
a
UxHg j−− . Maintenant si la métrique dépend des coordonnées jx− , alors elle dépend de
t, la relation (84) devient :
jiij
ii dxdxdtdxdtdtds GGG ++= 000
2 2 , (87)
où
−= 2
200
21
c
UcG , (88)
CHAPITRE VII - L’AMORTISSEMENT, PHENOMENE METRIQUE
PARTIE II 111
00 ij
jii iagxg −−= −− G , (89)
ijji g−=G , (90)
ii
jiji xgiaxxggac −
−−−
−− −−=
00022 2 . (91)
Comme les termes µνg dans l’intervalle ds sont sans dimension, a étant une grande
quantité, alors c, quantité réelle positive, représente une vitesse qui n’est plus constante.
En notant que les indices latins vont de 1 à r et grecs de 0 à r (r : nombre de degrés de
liberté de système), et que le nouveau système a pour coordonnées λy où jj xyty == ,0 , la
relation (87) prend la forme :
( ) νµλµν dydyyds G=2 , (92)
et la métrique donnée par la relation (22) devient :
−−
−−
−
=
rrrr
r
r
MM
MMc
Uc
10
11110
00122 2
1
G
G
GG
G , (93)
comme précédemment, la trajectoire du point représentatif du système est une géodésique dans
l'extension en configuration, considérée comme un espace de Riemann avec courbure non
nulle.
6.2 Equations de mouvement
Les équations du mouvement sont les équations des géodésiques dans un espace de
Riemann, où l’intervalle est donné par la relation (92) et la métrique par la relation (93).
Trouver les équations des géodésiques exige de minimiser la distance entre deux points dans
l’espace de Riemann [43]:
∫∫ =
dpdp
dy
dp
dydp
dp
ds νµ
µνδδ G , (94)
donc les équations de mouvement sont données par :
( ) kkk
dp
dy
dp
dyy
dp
yd σνµ
µν =Γ+2
2
, (95)
où
( )
∂∂
−∂∂+
∂∂
=Γ λµν
µλν
νλµλ
µν yyyy kk GGG
G21
, (96)
CHAPITRE VII - L’AMORTISSEMENT, PHENOMENE METRIQUE
PARTIE II 112
est le symbole de Christoffel de deuxième espèce, où
=dp
dx
s
s rrν
νµµσ GG
, (97)
est la force qui provient du paramètre s, et où
2
2
==dp
sds
dp
dss , . (98)
L’équation du mouvement devient :
ki
i
ji
ij dp
dy
dp
dy
dp
dy
dp
dy
dp
dy
dp
dy
dp
yd σλλλλ
=Γ+Γ+Γ+00
00
0
02
2
2 (99)
Le premier terme de l’équation (99) représente la force d’inertie, le deuxième les forces
gyroscopiques, le troisième la force de dissipation, et le dernier terme est la force extérieure qui
agit sur le système selon l’axe λx .
Ainsi donc, la méthode de l'espace-temps à r + 1 dimensions réussit parfaitement dans ce
problème très général, avec liaisons holonomes dépendant du temps, et énergie potentielle.
7. Conclusion :
Il a été montré qu’un paramètre extérieur (variation de la fréquence, variation de la
température, …. ) qui déforme le repère de travail crée l’amortissement, qualifié
d’amortissement de repère. Ainsi un repère de travail judicieusement choisi permet d’éliminer
ce type d’amortissement.
Trouver analytiquement les fonctions de la métrique dans un espace de forte courbure est
généralement très difficile. Il faut avoir recours à la résolution numérique. Avoir l’expression
analytique de l’amortissement nécessite cependant d’utiliser un espace de faible courbure et des
l’hypothèse simplificatrice
CHAPITRE VIII - APPLICATIONS
PARTIE II 113
APPLICATIONS
La théorie établie au chapitre précédent est appliquée à 3 systèmes mécaniques:
- Système à un ddl
- Système à 3 ddl
- Système continu : poutre en flexion.
1. Système à un degré de liberté
1.1 Equations du mouvement
Soit un système à un degré dont les paramètres sont présentés dans le tableau 1. Le
repère de travail a pour axes uq =1 le déplacement, et 01,qq− . Par hypothèse les raideur et
masse totales rapportées à l’axe u sont respectivement k et m. La pulsation référence est alors :
mk=Ω=Ω 1 . La force extérieure f(t) agit suivant u. L’énergie potentielle totale par unité
de masse s’écrit [10, 13] :
−= ufukm
U 2
211
. (1)
Pour r = 1, les équations (VII-69), (VII-82) et (VII-83) donnent :
Cα21 =−b , 00 =b , et Cα21 =b , (2)
avec :
ρεσ i
B 11 −=C ,
où α est le facteur d’amortissement mesuré en régime stationnaire par la méthode de la
largeur de bande. Si on prend ( ) 11 bhH ε+= (l’influence du mouvement sur l’énergie
potentielle est négligée), les équations couplées des géodésiques pour les axes 11,qq− (VII-
78) et (VII-79) deviennent avec r = 1 :
( ) 021
21
2 222 =
−−− umutfukm
αθρ , (3)
( )tfukumum =++ θα2 , (4)
qui sont munies des conditions aux limites
( ) ( ) ( ) ( ) Ω===== ntuuuut θθ ,00,0,0,0 00 , (5)
CHAPITRE VIII - APPLICATIONS
PARTIE II 114
tn étant le temps où la pulsation correspond à la pulsation propre. La dernière condition (5)
nécessite l’utilisation de méthodes d’intégration numérique type méthode de tir, méthode des
différence finies, méthode des éléments finis,…
Dans l’équation (3), la constante ρ demeure inconnue. Pour avoir une valeur
approximative l’équation (3) peut s’écrire sous la forme
( ) tm
dttuu δθρα
2
2,, −=∫ L . (6)
En vertu du principe de moindre d'action le deuxième membre de l’équation (6) doit
être nul. Ceci implique 0=θ ou )(ερ Ο= . La première solution, en considérant l’équation
(4), signifie que l’amortissement est constant, contrairement aux résultats expérimentaux. La
dernière solution est ainsi retenue. La constante ρ doit être très petite. Dans l'application
suivante elle est comprise dans [ ]66 10.6,10.4 −− .
1.2 Validation expérimentale du modèle
La Figure 1 présente le dispositif expérimental utilisé pour l'application. Il s’agit d’un
système masse-ressort à 1ddl basé sur le principe d’un pendule composé plan soumis à la
gravité et à un moment de rappel introduit par un ressort. La force d’excitation est fournie par
un pot électrodynamique positionné en lf et mesurée par un capteur d’effort piézo-électrique.
Un capteur à courant de Foucault mesure le déplacement à l’abscisse ld
Fig. 1. Dispositif expérimental
CHAPITRE VIII - APPLICATIONS
PARTIE II 115
La force extérieure a une fréquence variable qui croit de 0 à 150 Hz et est tracée sur la
Figure 2.
Fig. 2. Force d’excitation
ld (m) 0.055lf (m) 0.167lm (m) 0.235m (kg) 23.28k (N/m) 528840
α 0.002Cd (N.s/m) 14.04
νn (Hz) 24.0Tableau 1. Paramètres du système
Dans le cas de modèle classique où (avec modèle classique d'amortissementΩ=θ ), la
Figure 3 compare les réponses calculée (Runge-Kutta 4) et expérimentale et montre un écart
après le phénomène de résonance.
Fig. 3. Réponses calculée (modèle classique) et mesurée
CHAPITRE VIII - APPLICATIONS
PARTIE II 116
Dans le cas du modèle proposé décrit par les équations (3) et (4), la méthode de tir
(méthode Runge-Kutta d'ordre 4, et correction par méthode de Newton–Raphson) est utilisée
avec un pas de temps de 0.4ms correspondant à 1/16 de la plus grande fréquence [53, 56, 70,
74]. La réponse calculée est comparée sur les Figures 4 et 5 à la réponse expérimentale.
Fig. 4. Réponses calculée (modèle proposé) et
mesuréeFig. 5. Zoom de la Figure 4
L’écart observé est faible et rend le modèle très satisfaisant. À chaque pas du temps il est
facile de tracer tout l'amortissement associé, qui est comparé, sur la Figure 6, à
l'amortissement classique 02 ωα m .
Fig. 6. Amortissement variable (modèle proposé) et constant (modèle classique02 ωα m )
La Figure 7 décrit l'évolution dans le temps de la variable θ , qui est très petite à l'instant du
phénomène de résonance et à l'évolution linéaire t0ω qui correspond à l'amortissement
classique θα m2 .
CHAPITRE VIII - APPLICATIONS
PARTIE II 117
Fig. 7. Evolution de θ (t) Fig. 8. Evolution du Lagrangien L(t)
La Figure 8 présente l’évolution de la valeur du Lagrangien au cours de temps qui est
importante autour de la résonance. Compte tenu des équations couplées (3) et (4), il s’ensuit
une variation d’amortissement importante autour de la résonance.
2. Système à trois degrés de liberté
2.1 Modèle classique
Le système mécanique étudié est composé de trois pendules dans le plan reliés entre eux
par des ressorts, Figure 9.
ressort
o
pe
san
teu
r
Mlf
o o
ressort ressort
M
Déplacement
Force
Barre
Tige
ld ls
lm
M
Fig. 9. Système à 3 DLL
CHAPITRE VIII - APPLICATIONS
PARTIE II 118
Distance du capteur de déplacement de l’axe de rotation ld 0.3738 m
Longueur de tige Lt 0.4000 m
Distance de la masse de l’axe de pendule lm 0.3270 m
Distance de la barre de l’axe de pendule lb 0.3623 m
Distance de la force de l’axe de pendule lf 0.3623 m
Distance du ressort de l’axe de pendule ls 0.3900 m
Longueur de l’axe de rotation La 0.0900 m
Longueur de la barre Lb 0.2400 m
Rayon de l’axe de rotation ra 0.0075 m
Rayon de la masse rm 0.0250 m
Masse concentrée M 0.8600 kg
Masse de la barre Mb 0.0400 kg
Masse du ressort Ms 0.0800 kg
Masse de la tige Mt 0.3333 kg
Masse de l’axe de rotation Ma 0.1200 kg
Constante de première ressort K1 10500 N / m
Constante de deuxième ressort K2 10500 N / m
Constante de troisième ressort K3 10500 N / m
Facteur d’amortissement modal α1 0.0010
Facteur d’amortissement modal α2 0.0018
Facteur d’amortissement modal α3 0.0024
Accélération de la gravité g 9.81 m / s2
Tableau 2. Variables et paramètres du système à 3 DLL
Dans le système d’axes classiques 321 ,, xxx , les équations de mouvement s’écrivent :
( )tFVxKxM =+ , (7)
où M, K sont les matrices du système
+
+
+
=
2
23
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
21
32
6
10
6
132
6
1
06
132
d
ss
d
ss
d
ss
d
ss
d
ss
d
ss
d
ss
l
lmI
l
lml
lm
l
lmI
l
lml
lm
l
lmI
M , (8)
CHAPITRE VIII - APPLICATIONS
PARTIE II 119
+−
−++
−
−++
=
2
233
2
23
2
23
2
23
222
2
22
2
22
2
22
211
0
0
d
s
d
s
d
s
d
ss
d
s
d
s
d
ss
l
lkgQ
l
lkl
lk
l
lklkgQ
l
lkl
lk
l
lklkgQ
K , (9)
( ) tdf llV 00= , (10)
222221 2
1
4
1
3
1bbaamml lmrmlrmlmI ++
++= , (11)
222232 2
1
4
1
3
1aamml rmlrmlmII +
++== , (12)
221 2
1bbbsslm LlmlmlmlmQ ++++= , (13)
sslm lmlmlmQQ ++==2
132 . (14)
Les paramètres de système sont donnés par le tableau 2.
Pour introduire l’amortissement notamment par mesure de largeur de bande, il est
commode de travailler dans une base modale. La matrice des vecteurs propres, les pulsations
et fréquences propres du système sont alors jj ,, ΩνΦ telles que :
−−=Φ
3992.06592.00.7957
0.82250.30940.6425
0.6050-0.79950.3592
, (15)
Hz6008.33,Hz9567.22,Hz2562.8 321 === ννν , (16)
s
rad1199.211,
s
rad2409.144,
s
rad8751.51 321 =Ω=Ω=Ω . (17)
Le changement de variable :
( ) ( )tqtx Φ= (18)
introduit dans les énergies cinétique et de déformation et dans le travail virtuel donne les
équations modales:
( )tFVqKqM ttt Φ=ΦΦ+ΦΦ (19)
ou bien
( )tFVqKqM tΦ=+ modmod (20)
où
CHAPITRE VIII - APPLICATIONS
PARTIE II 120
=
100
010
001
modM ,
ΩΩ
Ω=
23
22
21
mod
00
00
00
K ,
−=Φ
5864.0
7749.0
3482.0
Vt . (21)
La force appliquée est montrée sur la Figure 10.
Fig. 10. Force d’excitation ( Hz500− )
En régime stationnaire (fréquence constante), les équations modales permettent
d’introduire une matrice d’amortissement modal telle que :
ΩΩ
Ω=
33
22
11
mod
200
020
002
αα
αC (22)
et qui prend place dans le système matriciel (20). La Figure 11 compare réponses calculée et
expérimentale. L’écart est significatif notamment après la première résonance.
Fig. 11. Déplacements calculé (modèle classique) et mesuré
CHAPITRE VIII - APPLICATIONS
PARTIE II 121
2.2 Modèle proposé
En régime transitoire (fréquence variable), la méthode proposée permet de quantifier
l’amortissement. Pour cela, le repère est doté de plusieurs axes : un axe pour le temps
iatq =0 , et trois axes pour chaque dégrée de liberté :
11
1 θρiq =− , 22
2 θρiq =− , 33
3 θρiq =− . (23)
Variante 1
On suppose que les trois variables (23) correspondant à la fréquence sont égales à la
seule variable θρiq =−1 , voir aussi l’équation (VII-32). Dans ce cas pour établir les
équations de mouvement il faut calculer les constantes d’intégration b des relations (VII-69),
(VII-82) et (VII-83):
C0044.01 =−b , C0008.00 −=b , C0004.01 −=b , C0017.02 =b , C0040.03 =b , (24)
avec
ρεσ i
B 11 −=C . (25)
Si on prend
( )3213
1bbbbH ++= , 3Ω=Ω , (26)
on obtient les équations du mouvement à partir des relations (VIII-78) et (VII-79) :
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
023.89.16.136
5.3920441830009.23664100008.0
232221321
2322212
2
42 =
++−−++
+−−−++
−
qqqtFqqq
qqqa
ρθθ , (27)
( ) ( ) ( )tFqqq θθθ 0021.013482.00021.0192.26900005.0 111 +=+++ , (28)
( ) ( ) ( )tFqqq θθθ 0001.017749.00001.0135.208040025.0 222 −=−++ , (29)
( ) ( ) ( )tFqqq θθθ 0022.015864.00022.0176.445690048.0 333 −−=−++ , (30)
avec les conditions suivantes
0,0,00 ===⇒= jj qqt θ , (31)
33 Ω=⇒= θtt , (32)
où t3 est le temps qui correspond 3Ω=ω . La solution des équations (27) à (30) pour a = 5000
m/s, 6104.8 −×=ρ m, est montrée sur la Figure (1), et les résultats sont insatisfaisants, ce qui
peut être dû aux choix suivants :
CHAPITRE VIII - APPLICATIONS
PARTIE II 122
- Choix d’un tenseur de Ricci nul, (pour plusieurs ddl)
- Choix de la famille de solutions de l’équation de la métrique (VII-65, 66 et 68),
- Choix des axes supplémentaires égaux,
- Choix de la jauge prise pour calculer la fonction ( )1−qh de l’équation (VII-76).
Fig. 12. Déplacement calculé (variante 1) et mesuré
Variante 2
Ici les trois variables supplémentaires demeurent indépendantes. Comme les équations
issues de l’annulation du tenseur de Ricci sont difficiles à résoudre analytiquement, on va
considérer chaque ddl comme un système indépendant afin d’appliquer la méthode proposée à
chaque degré de liberté. Il s’agit donc d’établir 6 équations correspondant aux variables
321123 ,,,,, qqqqqq −−− , les constantes b étant calculées par les équations (VII-69), (VII-82) et
(VII-83) :
00 =b , 1111 2 Cα== −bb ., 2222 2 Cα== −bb , 3333 2 Cα== −bb , (33)
où
j
j
j i
B
ρεσ−= 1
C , (34)
si on prend pour chaque degré de liberté la pulsation référence jΩ=Ω et jH bb = alors :
( ) ( ) ( ) 02
13482.046.1345
0019.0 2112121
1 =
++−+ qtFqq
ρθ , (35)
( ) ( ) ( ) 02
17749.017.10402
0037.0 2222222
2 =
++−+ qtFqq
ρθ , (36)
CHAPITRE VIII - APPLICATIONS
PARTIE II 123
( ) ( ) ( ) 02
15864.088.22284
0048.0 2332323
3 =
+−−+ qtFqq
ρθ , (37)
( )tFqqq 3482.092.26900019.0 1111 =++ θ , (38)
( )tFqqq 7749.035.208040037.0 2222 =++ θ , (39)
( )tFqqq 5864.076.445690048.0 3333 −=++ θ , (40)
avec les 12 conditions suivantes
0,0,00 ===⇒= jjj qqt θ , (41)
jj
jtt Ω=⇒= θ , (42)
où tj est le temps qui correspond jΩ=ω . Les constantes jρ demeurent inconnues mais
petites (voir le cas du système à un ddl). La simulation est effectuée pour les valeurs
61 105.3 −×=ρ , 6
2 106 −×=ρ , 63 103 −×=ρ . Il est à noter qu’une variation 6101 −×± de jρ ne
modifie pas significativement les résultats.
Dans le cas du modèle proposé décrit par les équations (35) à (40), munies des
conditions (41) et (42), l'intégration numérique en temps utilise la méthode de tir (Méthode de
Runge-Kutta d'ordre 4 et de correction par méthode de Newton–Raphson) et un pas de temps
de 0.00053s, voir [52, 53, 56, 70, 74, 154]. La réponse calculée (variante 2) est comparée sur
la Figure 13 à la réponse expérimentale, voir également les zooms présentés Figure 14.
Fig. 13. Déplacements calculé (variante 2) et mesuré
L’écart observé est faible et rend le modèle satisfaisant au passage des deux premiers
phénomènes de résonance. A titre indicatif, les réponses des variables modales sont montrées
sur la Figure 15. À chaque pas du temps il est facile de tracer tout l'amortissement associé, qui
est comparé sur la Figure 16 à l'amortissement modal classique jj Ωα2 .
CHAPITRE VIII - APPLICATIONS
PARTIE II 124
Fig. 14. Zooms des déplacements calculé (variante 2) et mesuré
Fig. 15. Réponse des variables modales Fig. 16. Amortissements calculés (variante 2)
et mesurés
La Figure 17 compare l'évolution temporelle de la variable θ , à l'évolution linéaire tjΩ
correspondant à l'amortissement classique jj Ωα2 .
Fig. 17. Evolution de θ (t) et Ω t
CHAPITRE VIII - APPLICATIONS
PARTIE II 125
3. Système continu : poutre en flexion
3.1 Modèle élément fini de poutre
Soit une poutre en flexion. Le module de rigidité EI , la section s, la longueur L et la
masse volumique de la poutre ρ sont supposés constants. L’équation d’Euler-Bernoulli
gouvernant le mouvement est [73, 88, 105] :
( )txqx
vEI
t
vs ,4
4
2
2
=∂∂+
∂∂ρ , (43)
avec
( )txvv ,= , le déplacement transversal de la poutre,
( )txq , , la charge distribuée sur la poutre.
D’une façon générale, nombre de structures industrielles se modélisent avec la méthode
des éléments finis. Aussi dans le cas présent de la poutre, dont le mouvement est décrit par la
forme locale utilisant l’équation aux dérivées partielles (43), est mise en œuvre une méthode
résiduelle avec pour fonction de pondération ( )xw et pour résidu qx
vEI
t
vs −
∂∂+
∂∂ρ 4
4
2
2
. La
relation d’orthogonalité s’écrit alors :
∫
−
∂∂+
∂∂=
L
dxwqx
vEI
t
vs
04
4
2
2
ρI , (44)
et dont la forme faible obtenue par deux intégrations par partie successives [141, 183]. De
plus si le domaine est divisé en n sous-domaines de longueur identique l, Figure 18, la forme
faible de la relation (44) devient :
001
=
∂∂−+= ∑
=
Ln
e
e
x
wMwVII , (45)
avec
∫∫∫ −∂∂
∂∂+
∂∂=
lll
e dxwqdxx
w
x
vEIdxw
t
vs 2
2
2
2
2
2
ρI , (46)
et V, M, la force de cisaillement et le moment de flexion donnés par :
3
3
x
vEIV
∂∂= , 2
2
x
vEIM
∂∂= . (47)
CHAPITRE VIII - APPLICATIONS
PARTIE II 126
x1 = 0 x2 = l
v2v1
ϑ1 ϑ2 x
y
Fig. 18. Elément fini de poutre
Il est commode de formaliser les 4 variables nodales 2211 ,,, ϑϑ vv par 4321 ,,, zzzz
respectivement. Pour ce problème de continuité C1 à 4 variables nodales, l’approximation
nodale du déplacement latéral peut s’établir à partir de approximation polynomiale suivante :
∑=
=3
0j
jj xcv , (48)
à partir de l’hypothèse de la poutre d’Euler-Bernoulli.
∑=
−==3
1
1
j
jj xcj
dx
dvϑ , (49)
L’évaluation de la déflexion et de la pente aux deux nœuds donne les constantes ci en fonction
des variables nodales jz . Le remplacement des valeurs de ci dans l’équation (48) conduit à
l’approximation nodale :
( ) ( ) ( )tzxHtxv jj=, , (50)
où
.,23
,2,231
32
4
32
3
32
2
32
1
+
−=
−
=
+
−
=
+
−=
l
x
l
xlH
l
x
l
xH
l
x
l
x
l
xlH
l
x
l
xH
(51)
Les fonctions de forme jH , tracées dans la Figure 19 sont des polynômes d'Hermite de degré
3 qui assure la continuité 1C - (v et à dxdv sont continus sur chaque élément et entre deux
éléments voisins) [105, 141, 183].
Selon la méthode de Galerkin la fonction w(x) est définie par
kk z
vw
δδ= (52)
CHAPITRE VIII - APPLICATIONS
PARTIE II 127
l0
1
H1
H2
H3
H4
x
H
Fig. 19. fonctions de forme
l’équation (46) pour un seul élément devient :
∫∫∫ −′′′′+=l
kj
l
kjj
l
kje dxHqzdxHHEIzdxHHs ρI (53)
qui permet de faire apparaître les matrices masse et raideur élémentaires:
∫=l
kjejk dxHHsM ρ , (54)
∫ ′′′′=l
kjejk dxHHEIK , (55)
et le vecteur force élémentaire :
∫=l
ke
k dxHqF , (56)
qui en tenant compte des fonctions (51) prennent dans la base 2211 ,,, ϑϑ vv , les expressions
suivantes :
−−−−−−
=
22
22
422313
221561354
313422
135422156
420
llll
ll
llll
ll
slM e ρ
, (57)
CHAPITRE VIII - APPLICATIONS
PARTIE II 128
−−−−
−−
=
22
22
3
4626
612612
2646
612612
llll
ll
llll
ll
l
EIK e , (58)
si la force extérieure est ponctuelle en 0x , la fonction q prend la forme :
( ) ( ) ( )tFxxtxq 0, −=δ (59)
qui introduite dans la relation (56) donne :
( ) ( )tFxHF ke
0= (60)
Une masse m concentrée a pour matrice de masse élémentaire dans la base
2211 ,,, ϑϑ vv :
=
0000
0100
0000
0001
2
mme . (61)
3.2 Cas d’une poutre encastrée-libre
3.2.1 Equations du mouvement
La Figure 20 présente le schéma du dispositif étudié expérimentalement et
numériquement. Il s’agit d’une poutre en acier encastrée-libre en flexion. Le déplacement est
mesuré par un capteur à courant de Foucault et la force d’excitation par un capteur piézo-
électrique dont la masse est modélisé par un EF de masse (61). Le tableau 3 récapitule les
paramètres du système où les facteurs d’amortissement sont mesurés grâce à une analyse
modale effectuée par balayage sinus et la méthode de largeur de bande.
m
F(t)
C.Dv
x
L
EI C.F
Lf
Ld
Fig. 20. Schéma du dispositif expérimental
CHAPITRE VIII - APPLICATIONS
PARTIE II 129
Distance du capteur de déplacement de l’encastrement Ld 0.134 m
Distance de la force de l’encastrement Lf 0.2745 m
Longueur de la poutre L 0.420 m
Epaisseur e 0.004 m
Largeur b 0.040 m
Module d’Young E 2×1011 N / m2
Masse volumique ρ 7800 kg / m3
Nombre d’éléments de poutre n 4
Longueur de chaque élément de poutre l 0.105 m
Masse du capteur de force mf 0.022 kg
α1 0.0100
α2 0.0010
α3 0.0015
α4 0.0010
α5 0.0040
α6 0.0080
α7 0.0110
Facteurs d’amortissement modaux
α8 0.0120
Tableau 3. Paramètres du dispositif expérimental
Après l’assemblage des matrices élémentaires des EF et applications des conditions aux
limites, 0,0 21 == zz à l’encastrement, le mouvement de la poutre en flexion est régi par le
système à 8 équations :
( )tFVzKzM =+ , (62)
avec :
( )t000.0153-0.6596 0.00980.340400=V . (63)
Pour découpler les équations (62), là encore la méthode modale est appliquée. La matrice des
vecteurs propres et les fréquences propres du système sont alors jΩΦ, telles que :
CHAPITRE VIII - APPLICATIONS
PARTIE II 130
=Φ
668.11236.32169.99-113.9274.7853.65 32.219.25
6.993.252 3.22-2.99 2.812.87 2.842.83
242.6656.04-119.9184.61-18.86-18.03 26.229.06
1.211.600.95-0.64-1.80- 1.68-0.38-1.86
115.73209.17-22.7792.861.2837.84-3.057.89
0.650.401.910.14-2.080.062.02-0.96
41.15149.96-136.99-81.49- 22.0510.8415.40-4.89
0.421.15-0.27-0.992.02-2.081.18-0.28
(64)
( ) srad30654.5018682.8011784.807337.943945.231999.83709.56113.01=Ω . (65)
Le changement de variable
( ) ( )tt q-z = , (66)
introduit dans les énergies cinétique et de déformation et dans le travail virtuel donne les
équations modales:
( )tFV-qK--qM--ttt =+ , (67)
( )tFV-qKqM t=+ modmod , (68)
ijδ=ijmodM ,
≠=Ω
=ji
jii
0
2
ijmodK , (69)
Modèle classique
Les équations modales (67) permettent d’introduire l’amortissement en régime
permanent par le biais de la mesure des facteurs d’amortissement modaux:
≠=Ω
=ji
jiii
0
2ijmod
αC (70)
Modèle proposé
En régime transitoire, la fréquence est variable, et l’amortissement reste inconnu. Pour
appliquer la méthode proposée le repère de travail est doté de plusieurs axes :
- iatq =0 pour le temps,
- jj
j iq θρ=− , un axe supplémentaire pour chacun des 8 degrés de liberté.
Le système à résoudre comporte donc 16 équations. Pour les variables jj qq ,− , les
constantes b se calculent par les équations (VII-69), (VII-82) et (VII-83) :
00 =b , jjjj bb Cα2== − , (71)
CHAPITRE VIII - APPLICATIONS
PARTIE II 131
où
j
j
j i
B
ρεσ−= 1
C , (72)
on prend pour chaque degré de liberté, la pulsation de référence jΩ=Ω et jH bb = :
( ) ( ) ( )( ),4937.14226.127900207.0
,02
14937.16395.2113
0207.0
1111
2112121
1
tFqqq
qtFqq
=++
=
++−+
θ
ρθ
(73)
( ) ( ) ( )( ),3118.17764.5034680019.0
,02
13118.13882.251734
0019.0
2222
2222222
2
tFqqq
qtFqq
−=++
=
+−−+
θ
ρθ
(74)
( ) ( ) ( )( ),7305.1954.999309.30030.0
,02
17305.1977.1999654
0030.0
3333
2332323
3
tFqqq
qtFqq
−=++
=
+−−+
θ
ρθ
(75)
( ) ( ) ( )( ),7543.185.155648220016.0
,02
17543.1425.7782411
0016.0
4444
2442424
4
tFqqq
qtFqq
−=++
=
+−−+
θ
ρθ
(76)
( ) ( ) ( )( ),7342.184.538453170088.0
,02
17342.192.26922658
0088.0
5555
2552525
5
tFqqq
qtFqq
=++
=
+−−+
θ
ρθ
(77)
( ) ( ) ( )( ),5806.17.1388804980164.0
,02
15806.135.69440249
0164.0
6666
2662626
6
tFqqq
qtFqq
−=++
=
+−−+
θ
ρθ
(78)
( ) ( ) ( )( ),0079.02.3490451930216.0
,02
10079.0174522966
0216.0
7777
2772727
7
tFqqq
qtFqq
−=++
=
+−−+
θ
ρθ
(79)
( ) ( ) ( )( ),5449.18.9396958300232.0
,02
15449.14.469847915
0232.0
8888
2882828
8
tFqqq
qtFqq
−=++
=
+−−+
θ
ρθ
(80)
avec les 32 conditions suivantes
0,0,00 ===⇒= jjj qqt θ , (81)
jj
jtt Ω=⇒= θ , (82)
CHAPITRE VIII - APPLICATIONS
PARTIE II 132
où tj est le temps qui correspond jΩ=ω .
Les seules inconnues sont jρ comme pour le premier degré de liberté on sait que ces
constantes sont petites, la simulation est faite pour les valeurs suivantes 61 105.4 −×=ρ ,
62 107.2 −×=ρ , 6
3 102.1 −×=ρ , 687654 103 −×===== ρρρρρ . Un écart de 7103 −×±
sur les 3 premiers jρ ne modifie pas significativement la réponse. Le changement de valeur
des 5 derniers jρ a une influence négligeable sur la réponse essentiellement basée, compte
tenu de la bande de fréquence d’excitation, sur les 3 premiers modes. La force d’excitation
mesurée qui agit sur le système est tracée sur la Figure 21.
Fig. 21. Force d’excitation mesurée (0-1500Hz)
La Figure 22 compare réponses calculée (modèle classique) et mesurée. L’écart devient
important après la première résonance. Dans le cas du modèle proposé l’intégration
numérique en temps utilise la méthode de tir (méthode Runge-Kutta d'ordre 4, et correction
par méthode de newton–Raphson) et un pas du temps de 0.000054s, voir [1, 53, 56, 70, 74,
109]. La Figure 23 compare les réponses calculée (modèle proposé) et mesurée. Sur les
Figures 24 et 25 sont présentés des zooms. L’écart observé avec le modèle proposé reste
satisfaisant.
CHAPITRE VIII - APPLICATIONS
PARTIE II 133
Fig. 22 Réponses calculée (modèle classique)
et mesurée
Fig. 23 Réponses calculée (modèle proposé)
et mesurée
Fig. 24. Zooms des réponses calculée (modèle classique) et mesurée
Fig. 25. Zooms des réponses calculée (modèle proposé) et mesurée
La Figure 26 récapitule les 8 amortissements modaux calculés au cours de la simulation
avec le modèle proposé et les compare aux amortissements modaux classiques jj Ωα2 .
Sur la Figure (27) est décrit l'évolution en temps de la variable θ , qui est comparée à
l'évolution linéaire tjΩ qui correspond à l'amortissement classique jj Ωα2
CHAPITRE VIII - APPLICATIONS
PARTIE II 134
Fig. 26. Amortissements modaux classiques et calculés (modèle proposé)
CHAPITRE VIII - APPLICATIONS
PARTIE II 135
Fig. 27. Evolution de ( )tkk θθ = et tk Ω=θ
CHAPITRE VIII - APPLICATIONS
PARTIE II 136
4. Conclusion
Les mesures de réponses effectuées sur les trois systèmes mécaniques (1ddl, 3ddl et
continu) valide la méthode proposée, basée sur le concept de la relativité générale et
l’introduction d’axes supplémentaires (un axe par paramètre influençant l’espace pour chaque
degré de liberté).
Dans le cas où seule la fréquence d’excitation est un paramètre influençant, un seul axe
supplémentaire a été affecté à chaque ddl.
Les étapes de la méthode proposé, basé sur le concept de la relativité générale s’articulent de
la façon suivante :
- Définition d’un espace de travail, comportant des axes supplémentaires : espace de
Riemann.
- Etablissement de la métrique.
- Détermination des termes de la métrique en supposant une faible courbure de l’espace
(tenseur de Ricci nul).
- Définition de l’intervalle entre deux positions du système mécanique dans l’espace.
- Minimisation de l’intervalle pour établir les équation des géodésiques (ou équations du
mouvement).
- Résolution des équations couplées, munies de conditions aux limites, et comportant les
inconnues ρ pour chaque degré de liberté.
CONCLUSION GENERALE
137
CONCLUSION GENERALE ET PERSPECTIVES
La recherche présentée est une contribution à la modélisation de l’amortissement. Des
modèles originaux, opérateur d’hystérésis et amortissement de repère (phénomène
métrique) ont été présentés. Leurs fondements théoriques ont été démontrés et ils ont été
validés par l’expérimentation. Il ont nécessité un lourd investissement dans un champ pluri-
disciplinaire (Mécanique, Physique, Mathématique) reposant sur une large bibliographie, sur
des outils classiques (calcul des variations, calcul tensoriel, géodésique, …), des outils
originaux (extension du théorème de Prokrowski, forme générale des Equations d’Euler
Ostrogradsky), des programmations de calcul (calcul symbolique et numérique).
Le modèle opérateur d’hystérésis permet d’obtenir des boucles effort-déflexion
utiles notamment dans l’isolation vibratoire. Il a été montré grâce à des expérimentations
menées avec des plots de suspension industriels que le modèle est relativement aisé à caler
dans le cas de comportement élasto-plastique (frottement sec) mais reste délicat à évaluer ses
paramètres dans le cas de comportement visco-élastique (amortissement visqueux). Une partie
de ce travail a été publiée dans [14] et [15].
D’une façon générale il a été montré qu’un paramètre extérieur qui déforme le repère
de travail est une source de force de repère, qui dans le cas d’une excitation à fréquence
variable correspond à un amortissement supplémentaire. Ainsi un repère de travail
judicieusement choisi permet d’éliminer ce type d’amortissement. Dans l’application choisie
le paramètre extérieur est une excitation à fréquence variable. Ceci correspond notamment au
transitoires rapides. Pour cela il a été fait largement appel à la géométrie de Riemann, dont la
métrique dépend uniquement de la position du système mécanique dans l’espace. Les résultats
sur le système à un degré de liberté ont été publiés, [10], [11] et [16]. Bien des
développements restent à entreprendre pour faciliter la modélisation et limiter le nombre
d’hypothèses simplificatrices. Aussi il s’agirait de développer la théorie présentée avec
l’espace de Finsler dont la métrique dépend des coordonnées et des vitesses.
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ANNEXE CALCUL DES VARIATIONS
ANNEXE 150
ANNEXE
CALCUL DES VARIATIONS
Un des problèmes du calcul des variations est de déterminer la courbe reliant deux points
qui rend extrémale une intégrale donnée. Par exemple, trouver la courbe de longueur minimale
qui relie les points (x1,y1) et (x2,y2) est identique à minimiser l’intégrale suivante [32, 41, 180]:
∫2
1
2′+1x
x
dxy . (A.1)
Dans le cas général nous voulons trouver la courbe Y = y(x) où y(x1) = y1, y(x2) = y2 tels
que pour une certaine fonction donnée F(x, y, y'),
( )∫ ′2
1
,,x
x
dxyyxF . (A.2)
est un maximum ou un minimum, également appelé un extremum ou valeur stationnaire. Une
courbe qui satisfait cette propriété s'appelle une extrémale. Une intégrale comme (A.2) qui
assume une valeur numérique pour une certaine classe de fonctions de y(x) s'appelle une
fonctionnelle.
Dans la suite sont présentées les équations qui rendent extrémales les fonctionnelles à une
variable (intégrale simple, équation d’Euler) et à plusieurs variables (intégrales multiples,
équation d’Ostrogradsky). Ceci définit, en faite, la condition nécessaire que la fonction F doit
vérifier pour rendre extrémale la fonctionnelle. Puis le principe du calcul des variations est
appliqué à la dynamique de systèmes conservatifs et dissipatifs.
Une attention particulière est portée à une mise sous forme numérique systématique des
relations afin d’en assurer une programmation aisée.
1. Equation d'Euler dans le cas de plusieurs fonctions et dérivées d'ordre supérieur
Il s’agit de trouver l’équation différentielle qui régit le mouvement d’un système
mécanique à partir de la minimisation de la fonctionnelle associée au problème [40, 181]. Ici on
s’intéresse à l’équation d'Euler dans le cas de plusieurs fonctions et dérivées d'ordre supérieur
[136, 165]. Considérons la fonctionnelle
( ) ( )( )∫1
0
1 ′′= 111
x
x
nmmm
n dxyyyyyyxFJ m,,,,,,,, , (A.3)
ANNEXE CALCUL DES VARIATIONS
ANNEXE 151
où la fonction F, qui dépend de plusieurs fonctions et de leurs dérivées, est supposée, ainsi que
ses dérivées secondes, continues dans l’intervalle [ ]10 x,x . Pour trouver la condition vérifiée par
la fonction F quand la fonctionnelle J atteint un extremum nécessite que( ) ( )xYxy kk = , et que
les courbes voisines des courbes ( )xYk aient pour forme :
( ) ( ) ( )xxYxykkkk ∗+= ηα , (A.4)
avec ( )xkη fonctions qui s'annulent, ainsi que toutes ses dérivées jusqu'à l'ordre ( )1−kn , aux
extrémités de l’intervalle [ ]10 x,x et kα un petit paramètre.
La relation (A.4) est introduite dans la l’expression (A.3) qui est dérivée par rapport à kα
pour atteindre la variation première de la fonctionnelle qui correspond à ( ) kkk xy δαηδ ∗= :
( )( )∑ ∫ ∑∑
= ==
∂∂+
∂∂=′= ∗∗
m
k
x
x
k
n
j
j
kjk
kk
m
kk dx
y
F
y
FJJ
k
k1 11
1
0
δαηηδαδ α . (A.5)
Tous les termes du second membre à l'exception du premier sont intégrés plusieurs fois par
parties:
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )∫
∂∂−+
∂∂−=
∂∂
∗∗∗ ∑∫−
=
−− 1
0
1
0
1
0
111
0
1x
xkj
kj
jj
x
x
j
i
ij
kjk
i
ii
x
x
j
kjk
dxy
F
dx
d
y
F
dx
ddx
y
F ηηη . (A.6)
Comme ( )xk∗η et toutes ses dérivées jusqu'à l'ordre ( )1−kn s'annulent aux extrémités, ceci
entraîne la disparition des premiers termes à droite de la relation (A.6). Remplaçons les
résultats de (A.6) dans (A.5), il vient :
( ) ( )∑ ∑= =
∫
∂∂−+
∂∂= ∗
m
kk
x
xk
n
jj
kj
jj
k
dxy
F
dx
d
y
FJ
k
1 1
1
0
1 δαηδ . (A.7)
En annulant Jδ , et comme ( )xk∗η est un paramètre arbitraire, on obtient m équations d’Euler
pour plusieurs fonctions et dérivées d’ordre supérieur:
( ) ( ) ( )mky
F
dx
d
y
F kn
jj
kj
jj
k
,,2,1,011
==
∂∂−+
∂∂ ∑
=
, (A.8)
auxquelles sont rajoutées les conditions aux limites:
( ) ( ) ( )mkyxyyxy kkkk ,,,,, 21=== 1100 . (A.9)
Dans le cas uniquement de dérivées premières la fonctionnelle est alors :
( ) ( )∫ 1=′= mkdxyyxFJ kk ,,, , (A.10)
les équations (A.8) se simplifient pour donner l’équation d’Euler qui s’écrit pour chaque
fonction ky :
ANNEXE CALCUL DES VARIATIONS
ANNEXE 152
0=
′∂∂−
∂∂
kk y
F
dx
d
y
F, (A.11)
qui sous forme développée s’exprime par :
0222
=∂∂+
∂′∂∂−′
∂′∂∂−′′
′∂′∂∂−
kkl
lkl
lk y
F
xy
Fy
yy
Fy
yy
F. (A.12)
2. Equation d'Ostrogradsky, intégrales multiples.
Soient i variables ixx ,,1 . Calculer les dérivées partielles de degré j de la fonction
( )rk xy par rapport aux i variables, fournit le nombre de combinaisons suivant :
( )( ) !!
!
ji
jicij 1−
1−+= . (A.13)
Remarque :
La dérivée d’ordre 3=j d’une fonction de 2=i variables donne : 4=23c :
222
3
221
3
211
3
111
3
,,,xxxxxxxxxxxx ∂∂∂
∂∂∂∂
∂∂∂∂
∂∂∂∂
∂, (A.14)
on désigne par
=
222
221
211
111
::23δ . (A.15)
Pour le cas général du tenseur ijhlδ d’ordre 4, pour chaque ij, la composante h varie jusqu’à ijc ,
et la composante l jusqu’à j. Le nombre total de vecteurs :ijhδ quand j varie de 1 jusqu’à kn
est :
( )1
!!
!
1
−+== ∑= k
kn
jijvec ni
nicN
k
, (A.16)
tandis que le nombre total d’éléments du tenseur ijhlδ est
( )( ) ( )!1!1
!
1
1
1 −−+
+== ∑
= k
kn
jijelem ni
ni
icjN
k
. (A.17)
L’équation d’Ostrogradsky est la condition nécessaire d'extremum pour une intégrale multiple
[136, 165],
ANNEXE CALCUL DES VARIATIONS
ANNEXE 153
( ) ωdyyyyyyyyxxFJ iimim∫Ω
= ,,,,,,,,,,,,,,, ,,211,12,11,12121 , (A.18)
où iky , est la dérivée partielle de la fonction ( )rk xy par rapport à la variable ix , dans le
domaine fini Ω de l’espace. On suppose que les fonctions F et ( )rk xy possèdent des dérivées
continues jusqu'au deuxième ordre dans le domaine Ω. On cherche des fonctions ( )rk xy dans
le domaine Ω, réalisant un extremum de la fonctionnelle et prenant des valeurs données sur la
frontière Γ de Ω .
Soient les fonctions ( ) ( )rkkrk xxY ∗+ ηα , voisines à ( )rk xY , avec ( )rkx∗η fonctions
arbitraires qui s’annulent, comme leurs dérivées, sur Γ. En portant les fonctions voisines dans
la fonctionnelle (A.18) et en dérivant par rapport à kα , on obtient l'expression de la variation
première de la fonctionnelle:
( ) ∑∫ ∑∑∑= Ω = ==
∂∂+
∂∂=′= ∗∗
m
kk
n
j
c
hk
kk
k
m
kk d
y
F
y
FJJ
k ij
ijh
ijh
k1 1 1
,,1
:
:
0 δαωηηδαδδ
δα . (A.19)
La forme usuelle de la formule de Green en intégrale multiple
∫∫∫ΓΩΩ
∂+−=∆ γωω duduvduv nvgradgrad , (A.20)
peut s’écrire :
∫∫∫ΓΩΩ
∂+∆−= γωω duduvduv nvgradgrad , (A.21)
en posant :
∂∂
∂∂
∂∂=
∂∂=
ijhjijhijhijh kkkk y
F
y
F
y
F
y
Fu
δδδδ ,,,,
,,,grad21:
, (A.22)
et
( )ijhjijhijhijh kkkk
v δδδδηηηη
,,,,,,,grad
21:∗∗∗∗ === . (A.23)
Afin d’arriver à la fonction kη , la formule de Green (A.21) est appliquée le nombre de fois
nécessaire en prenant en compte les relations (A.22) et (A.23), sachant que ∗kη et ses dérivées
s’annulent sur la frontière Γ de Ω .
Comme :
( ) ∫∫ΩΩ
∂∂
∂∂∂−=
∂∂
∗∗ ωηωηδδδ
δδ
dy
F
xxd
y
F
ijhijhjijh
ijh
ijh k
j
k
j
kk :1
:
: ,,
,
1
, (A.24)
ANNEXE CALCUL DES VARIATIONS
ANNEXE 154
la variation (A.19) devient :
( )∫ ∑∑Ω = =
∗
∂∂
∂∂∂−+
∂∂=′ ωη
δδδα d
y
F
xxy
FJ
k
n
j
c
h k
jj
k
k ij
ijhijhjijh
k1 1 , :1
1
. (A.25)
Pour qu'il y ait extremum, il est nécessaire que la variation première soit nulle, ce qui impose
pour chaque fonction ky , l'équation d’Ostrogradsky qui prend la forme originale :
( ) 011 1 , :1
=
∂∂
∂∂∂−+
∂∂ ∑∑
= =
k ij
ijhijhjijh
n
j
c
h k
jj
k y
F
xxy
F
δδδ , (A.26)
cette équation doit être vérifiée à l'intérieur du domaine. Les conditions aux limites, comme
souligné précédemment, est donnée sur le contour Γ.
3. Exemples d’application
- Pour la fonctionnelle
( )∫∫ 212111121= dxdxyyyxxFJ ,, ,,,, , (A.27)
l’équation d’Ostrogradsky s’écrit :
0=∂∂−
∂∂−
2111121
,, yyy Fx
Fx
F . (A.28)
Le développement de l’équation (A.28) aboutit à l’expression :
0=−+++++2+1212111121111212121111111 2111221121111 yyxyxyyyyyyyyyy FFFyFyFyFyFyF
,,,,,,,,,, ,,,,, . (A.29)
- Pour la fonctionnelle
( )∫∫= dydxuuuuuuyxFJ yyyxyxyyx
,,,,,,,, , (A.30)
l’équation d’Ostrogradsky s’écrit
( ) 0122
2
2
=∂∂−++
∂∂∂+
∂∂∂+
∂∂+
∂∂−
∂∂−
yyyyyxyxxyx un
nn
uuuuuu Fy
Fyy
Fyx
Fx
Fy
Fx
F
. (A.31)
4. Les principes variationnels en mécanique
Soit un problème doté de conditions aux limités données. Les principes variationnels
postulent que l’état, parmi tous les états compatibles avec les conditions aux limites, qui rend
stationnaire la fonctionnelle, correspond à la position d’équilibre du problème [40, 41, 136]. Le
principe variationnel de mécanique indique donc, au sens ci-avant décrit, quelle est la
trajectoire du mouvement (la trajectoire normale) parmi toutes les trajectoires cinématiquement
admissibles.
ANNEXE CALCUL DES VARIATIONS
ANNEXE 155
Le principe de Fermat portant sur la géométrie des systèmes optiques est le plus simple et
le plus visuel des principes. Sa formulation élémentaire déclare que pour relier un point à un
autre, le rayon de la lumière choisit la trajectoire normale qu'il effectue dans le minimum de
temps.
4.1 Principe de Hamilton pour les systèmes à un degré de liberté
Le principe variationnel de Hamilton est un des principes les plus généraux [40, 106,
180]. Soit un point matériel de masse m en mouvement le long de l’axe x, soumis à une force
extérieure f(x, t) de direction x.
La fonctionnelle :
( )∫=1
0
,,t
t
dtxxtLS , (A.32)
est connue comme action Hamiltonienne entre les instants t0 et t1, où ( )xxtL ,, est la fonction
de Lagrange donnée par
( ) UTxxtL −=,, , (A.33)
avec
( ) ( )∫0
−=x
x
dstsftxU ,, , (A.34)
2
2
1xmT = . (A.35)
L'équation d'Euler correspond à la fonctionnelle (A.32):
0=∂∂−
∂∂
x
L
dt
d
x
L
, (A.36)
et donne l’équation de mouvement,
( )txfxm ,= , (A.37)
qui correspond à la loi de Newton.
4.2 Principe de Hamilton pour les systèmes à plusieurs degrés de liberté
Maintenant prenons un système d’équations de la forme :
( )txxxfxm Niii ,,,, 21 = , ( )Ni ,,2,1 = , (A.38)
ce qui généralise l'équation (A.37) au cas d'un nombre arbitraire N (N > 1) de degrés de liberté.
Les équations de ce type peuvent décrire par exemple le mouvement d'un système de r
points matériels dans l'espace soumis à aucune contrainte (aucune liaison entre eux) et en
ANNEXE CALCUL DES VARIATIONS
ANNEXE 156
mouvement par des forces appliquées dépendantes des coordonnées des points et de temps.
Soit le champ de la force agissant sur le système. Si il satisfait les relations :
i
j
j
i
x
f
x
f
∂∂
≡∂∂ ( )Nji ,,2,1, = , (A.39)
alors il existe un potentiel ( )txxxU N ,,,, 21 tel que
ii x
Uf
∂∂−= , ( )Ni ,,2,1 = , (A.40)
L’énergie cinétique du système est :
∑=i
ii xmT 2
2
1 . (A.41)
Le principe de Hamilton s’écrit [73, 106, 136]:
( ) NidtxxtLt
t
ii ,,,,,, 21=0=∫1
0
δ , (A.42)
et demeure également valide dans le cas d’un système de points matériels soumis à des
contraintes holonomes.
4.3 Principe de Hamilton pour les systèmes continus
La formulation du principe de Hamilton est exprimée seulement en termes d’énergies
potentielle et cinétique. Cette propriété permet d’étendre le principe aux milieux continus en
appliquant un passage approprié à la limite. Le principe de Hamilton peut être généralisé à
divers champs de la physique possédant des formes d’énergies analogues (champs
électromagnétiques, etc...) et s'applique également à la mécanique relativiste. Mais voici
quelques exemples d’application à la mécanique des milieux continus [73, 136].
4.3.1 Mouvement transversal d'une corde
Soit une corde homogène de masse par unité de section ρ et dont les extrémités ont les
abscisses x = 0 et x = l de l'axe x. La tension P est constante et la force distribuée q(x, t) est
appliquée transversalement. Soit le déplacement perpendiculaire à l'axe x ( )txu , de chaque
point de la corde. Les énergies cinétique et potentielle totale sont [178] :
∫0
2
∂∂
21=
l
dxt
uT ρ , (A.43)
ANNEXE CALCUL DES VARIATIONS
ANNEXE 157
∫0
2
−
∂∂
2=
l
dxuqx
uPU . (A.44)
L’action de Hamilton
dtdxuqx
uP
t
uS
t l
∫ ∫0 0
22
+
∂∂
2−
∂∂
2= ρ
, (A.45)
et la densité de fonction de Lagrange
uqx
uP
t
u +
∂∂
2−
∂∂
2=Λ
22ρ, (A.46)
permettent d’écrire sous forme compacte l’équation d’Euler-Ostragradsky :
0=
′∂
Λ∂∂∂−
′∂
Λ∂∂∂−
∂Λ∂
xt uxutu, (A.47)
et d’établir l’équation de mouvement
ρq
x
ua
t
u +∂∂=
∂∂
2
22
2
2
, (A.48)
avec ρPa = .
Par analogie l'équation des vibrations transversales d’une membrane homogène sous
tension P par unité de longueur et soumise à une force appliquée transversale par unité de
surface ( )tyxqq ,,= , a la forme :
ρq
y
u
x
ua
t
u +
∂∂+
∂∂=
∂∂
2
2
2
22
2
2
, (A.49)
où ρPa =2 , et u = u(x, y, t) est la déflexion transversale du point (x, y) de la membrane à
l’instant t. La déflexion est petite pour rester dans le cadre de comportements linéaires.
4.3.2 Mouvement longitudinal d'une barre
Soit une barre homogène rectiligne uniforme d’extrémités en lxx =0= , . Soit u(x, t) le
déplacement longitudinal d’un point d’abscisse x à l’instant t. La barre de masse volumique ρ
de section transversale A et de module d’Young E est soumise à une force externe longitudinale
distribuée avec le densité q(x, t) selon x. Les énergies cinétique et potentielle totale [106,165]
sont alors :
∫
∂∂=
L
dxt
uAT
0
2
2
1 ρ , (A.50)
ANNEXE CALCUL DES VARIATIONS
ANNEXE 158
( )∫
−
∂∂=
L
dxutxqx
uAEU
0
2
,2
1. (A.51)
En conséquence, la fonction de Lagrange est :
( )∫
+
∂∂−
∂∂=
L
dxutxqx
uAE
t
uA
0
22
,2
1
2
1 ρL (A.52)
( )∫ ′′Λ=L
xt dxuuutx0
,,,,L . (A.53)
Pour une poutre uniforme homogène l’application du principe de Hamilton permet d’écrire
sous forme compacte l’équation d’Euler-Ostragradsky :
0=
′∂
Λ∂∂∂−
′∂
Λ∂∂∂−
∂Λ∂
xt uxutu, (A.54)
qui correspond à l’équation aux dérivées partielles qui décrit le mouvement longitudinal de la barre :
( )txqAx
ua
t
u,
ρ1=
∂∂−
∂∂
2
22
2
2
. (A.55)
4.3.3 Mouvement d’une poutre en flexion
Les énergies cinétique et potentielle pour une poutre en flexion de masse volumique ρ de
section transversale A et de module de rigidité EI soumise à une force distribuée q(x, t)
perpendiculaire à son axe neutre prennent la forme [73 ,106] :
∫0
2
∂∂
21=
L
dxt
vAT ρ , (A.56)
( )∫0
2
2
2
−
∂∂
21=
L
dxvtxqx
vEIU , . (A.57)
Alors la fonction de Lagrange est :
( )∫
+
∂∂−
∂∂=
L
dxvtxqx
vEI
t
vA
0
2
2
22
,2
1
2
1 ρL . (A.58)
Si la poutre est homogène, l'équation d'Euler-Ostrogradsky s’écrit :
0=
′′∂
Λ∂∂∂+
′∂
Λ∂∂∂−
∂Λ∂
2
2
xt vxvtv, (A.59)
qui est l’équation aux dérivées partielles décrivant le mouvement de la poutre en flexion :
( )txqx
vEI
t
vA ,=
∂∂+
∂∂
4
4
2
2
ρ . (A.60)
ANNEXE CALCUL DES VARIATIONS
ANNEXE 159
4.3.4 Mouvement d’une plaque en flexion
La plaque mince a une surface A. Ses caractéristiques (épaisseur h, module d’Young E,
masse volumique ρ, et coefficient de Poisson ν) sont supposées constantes. Le déplacement
d’un point du plan moyen suivant l’axe normal au plan de la plaque z est w. En présence d’un
champ de pression ( )yxtpp ,,= les énergies cinétique et potentielle totale [106] ont pour
expression :
∫∫2
∂∂
2=
A
dydxt
whT
ρ, (A.61)
( )∫∫
−
∂∂
∂−12+
∂∂
∂∂2+
∂∂+
∂∂
2=
22
2
2
2
22
2
22
2
2
A
dydxwpyx
w
y
w
x
w
y
w
x
wDU νν .(A.62)
Ainsi la densité de fonction de Lagrange est :
( ) wpyx
w
y
w
x
w
y
w
x
wD
t
wh +
∂∂
∂−12+
∂∂
∂∂2+
∂∂+
∂∂
2−
∂∂
2=Λ
22
2
2
2
22
2
22
2
22
ννρ, (A.63)
qui permet d’établir en appliquant le principe de Hamilton, l’équation d’Euler-Ostragradsky :
0=
′′∂
Λ∂∂∂+
′′∂
Λ∂∂∂
∂+
′′∂
Λ∂∂∂+
′∂
Λ∂∂∂−
∂Λ∂
2
22
2
2
yyxyxxt wywyxwxwtw, (A.64)
qui devient l'équation du mouvement de la plaque en flexion :
py
w
yx
w
x
wD
t
wh =
∂∂+
∂∂∂2+
∂∂+
∂∂
4
4
22
4
4
4
2
2
ρ . (A.65)
L'opérateur entre les parenthèses de l'expression (A.65), appliqué à la fonction w, est dénommé
opérateur bi-harmonique qui en utilisant le Laplacien ∆ prend la forme :
22
2
2
2
2
4
4
2
2
2
2
4
4
∆=
∂∂+
∂∂=
∂∂+
∂∂
∂∂2+
∂∂
y
w
x
w
y
w
y
w
x
w
x
w. (A.66)
L’équation biharmonique (A.65) devient alors:
pwDt
wh =∆+
∂∂ 2
2
2
ρ . (A.67)
ANNEXE CALCUL DES VARIATIONS
ANNEXE 160
4.3.5 Equations de mouvement d'un milieu élastique
Soit les coordonnées cartésiennes x1, x2, x3 et soit le champ de déplacement u = u(x1, x2,
x3, t) d’un point d'un milieu élastique homogène isotrope. Dans la théorie d'élasticité linéaire les
composantes du tenseur de déformation [30, 81, 136, 181] s’écrivent :
∂∂
+∂∂
=i
j
j
iij x
u
x
u
2
1ε (A.68)
et les composantes du tenseur des contraintes σij sont reliées à celles du tenseur des
déformations par les relations linéaires :
ijijrrij εµδελσ 2+= (A.69)
où λ et µ sont les constantes de Lamé. L'énergie potentielle totale due à l’état de contrainte
est exprimée par la formule
∫∫∫21=
V
ijij dVU εσ (A.70)
qui en prenant en compte les expressions (A.68) et (A.69) devient :
( ) dVx
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
udivU
V∫∫∫
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂+=
2
3
1
1
3
2
2
3
3
2
2
1
2
2
1
2
3
3
2
2
2
2
1
12
22
µµλu .
(A.71)
L'énergie cinétique a la forme :
dVt
u
t
u
t
uT
V∫∫∫
∂∂+
∂∂+
∂∂
2=
23
22
21ρ
, (A.72)
où ρ est la masse volumique constante du milieu. En conséquence, la densité Λ de la fonction
Lagrangienne L= T - U a pour variable les trois projections ui ( i =1, 2, 3) du vecteur de
déplacement. L’action de Hamilton est :
( )∫ ∫ ∫ ∫ 4321Λ= dxdxdxdxuS ji , , (A.73)
où tx =4 . Les équations d'Euler-Lagrange correspondent à ce cas à la forme d’Euler-
Ostrogradsky :
( )321=0=∂Λ∂−
′∂Λ∂
∂∂
,,,,
ixux ikik
, (A.74)
qui donnent les équations de mouvement d’un milieu élastique :
0divdiv 22 =
∂∂−∇−
∂∂−
∂∂
uui
ii
i
xu
xt
u µµλρ ( )3,2,1=i . (A.75)
ANNEXE CALCUL DES VARIATIONS
ANNEXE 161
En multipliant les équations (A.75) par les vecteurs unité des axes correspondants aux
coordonnées et en ajoutant ensemble les résultats il est obtenu l'équation vectorielle des oscillations
libres du milieu élastique homogène isotrope:
( ) uuu 2divgrad ∇++=′′ µµλρ t . (A.76)
5. L’amortissement et le principe variationnel
Ici il s’agit de trouver les conditions pour qu’une équation donnée, représentative d’une
équation d’Euler d’un système à un ou plusieurs degrés de liberté, soit issue de la minimisation
d’une fonctionnelle. Ce type de recherche de conditions peut être étendue aux fonctionnelles
dépendant de fonctions de plusieurs variables mais n’est pas présenté dans ce qui suit.
5.1 Système à un seul degré de liberté
Pour un système à un seul degré de liberté l’équation (A.12), (k =1, l =1) devient :
( ) ( ) 0=′+′′′Φ yyxyyyx ,,,, ψ , (A.77)
où
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
′′′′−′′′−′′≡′Ψ
′′′−≡′Φ
′′
′′
yyyxFyyxFyyxFyyx
yyxFyyx
yyyxy
yy
,,,,,,,,
,,,,, (A.78)
Il s’ensuit que le choix de la fonction F est possible si :
yyxy
′∂Φ∂+
∂Φ∂≡
′∂Ψ∂
, (A.79)
qui est une condition nécessaire et suffisante [136]. Si l’équation (A.12) ne vérifie pas la
condition (A.79), il est toujours possible de la multiplier par un facteur convenablement choisi
( )yyxR ′,, tel que l'équation résultante satisfait la condition (A.79). En pratique la fonction Φ
de la relation (A.77) représente l’inertie du système. Géométriquement, multiplier par
( )yyxR ′,, modifie l’espace de travail.
5.2 Systèmes à plusieurs degrés de liberté
Il est original de prolonger la condition (A.79) par ce qui suit.
Pour un système autonome et à plusieurs degrés de liberté, l’équation (A.12) prend la
forme :
0=+Φ kl
kl y ψ , (A.80)
où
ANNEXE CALCUL DES VARIATIONS
ANNEXE 162
.
,
kklk
lk
yxylyyk
yykl
FFyF
F
+−−=Ψ
−=Φ
(A.81)
De la première équation (A.81) il vient les dérivées suivantes
xyykl
lkF
x
−=∂Φ∂
, (A.82)
hlk yyyh
kl Fy
−=∂Φ∂
. (A.83)
Dans la deuxième équation de (A.81) le remplacement de l par h puis la dérivation par rapport à
ly conduisent à :
lklllkhlk yyxyyyyhyyyl
k FFFyFy
++−−=
∂Ψ∂
. (A.84)
Les équations (A.82, 83, 84) montrent que les tenseurs kkl ΨΦ , satisfont la relation :
∑∑
∂Φ∂+
∂Φ∂=
∂Ψ∂
l,kh
h
klkl
l,k l
k yyxy
, (A.85)
qui se réduit à :
hh
klkl
l
k yyxy
∂Φ∂+
∂Φ∂=
∂Ψ∂
, (A.86)
dans le cas où 0=lk yyF
ou lklk yyyy FF
= . La condition (A.85) est nécessaire mais pas suffisante.
5.3 Exemple
Soit l’équation( )tfyKyCyM ijijjijjij =++ (A.87)
où les matrices M¸C, K sont constantes. L’analogie avec les relations (A.80 et 81) indique :
( )tfyKyCM ijijjijiijij −+==Φ ψ, (A.88)
Les termes des conditions (A.85) sont alors :
0=∂Φ∂
0=∂Φ∂
=∂Ψ∂
h
ijijij
j
i
yxC
y,,
, (A.89)
qui, introduits dans les conditions (A.85), imposent : 0=ijC . Ceci veut dire que l’équation
différentielle (A.87) ne peut provenir d’une minimisation d’une fonctionnelle tant que les
coefficients d’amortissement sont non nuls !