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Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel
Diversité de l’activité de l élèvealgorithmique et calcul formel
Académie Aix-Marseille
version du 9 mai 2011
Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel
Plan de l’exposé
1. Les instructions officielles2. Algorithmique : une progression possible au lycée3. Des exemples en algorithmique4. Le calcul formel : pourquoi ?5. Des exemples intégrant du calcul formel
Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel
Plan de l’exposé
1. Les instructions officielles2. Algorithmique : une progression possible au lycée3. Des exemples en algorithmique4. Le calcul formel : pourquoi ?5. Des exemples intégrant du calcul formel
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Plan de l’exposé
1. Les instructions officielles2. Algorithmique : une progression possible au lycée3. Des exemples en algorithmique4. Le calcul formel : pourquoi ?5. Des exemples intégrant du calcul formel
Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel
Plan de l’exposé
1. Les instructions officielles2. Algorithmique : une progression possible au lycée3. Des exemples en algorithmique4. Le calcul formel : pourquoi ?5. Des exemples intégrant du calcul formel
Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel
Plan de l’exposé
1. Les instructions officielles2. Algorithmique : une progression possible au lycée3. Des exemples en algorithmique4. Le calcul formel : pourquoi ?5. Des exemples intégrant du calcul formel
Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel
Plan de l’exposéLes instructions officielles
Progression algo
Exemples algoExemples pris dans les nouveaux livresRechercher une valeur approchée d’une solution à uneéquation.Rechercher une valeur approchée d’un irrationnelStatistique et probabilité
Calcul formel : pourquoi ?
Exemples calcul formelOutil de vérificationPrise en charge d’un calculUn lieu de points
Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel
Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel
Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel
1. Analyse
Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel
1. Analyse
Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel
3. Statistique probabilité
Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel
3. Statistique probabilité
Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel
Les programmes en résumé
Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel
Plan de l’exposéLes instructions officielles
Progression algo
Exemples algoExemples pris dans les nouveaux livresRechercher une valeur approchée d’une solution à uneéquation.Rechercher une valeur approchée d’un irrationnelStatistique et probabilité
Calcul formel : pourquoi ?
Exemples calcul formelOutil de vérificationPrise en charge d’un calculUn lieu de points
Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel
Structure d’un algorithme
Structured’un algorithme Comprendre Modifier CréerEntrée - traitement - sortie Seconde Seconde SecondeAffectation Seconde Seconde SecondeTest " Si ... alors " Seconde Seconde SecondeBoucle "Pour ... de ... à ..." Seconde Seconde PremièreBoucle "Tant ... que ..." Seconde Seconde Première
Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel
Évaluation d’un algorithme
Évaluation d’un Sensibilisation Se poseralgorithme sur des exemples la question
Terminaison Seconde PremièreValidation Seconde PremièrePerformance- de l’algorithme Première Terminale- du programme Terminale •
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Plan de l’exposéLes instructions officielles
Progression algo
Exemples algoExemples pris dans les nouveaux livresRechercher une valeur approchée d’une solution à uneéquation.Rechercher une valeur approchée d’un irrationnelStatistique et probabilité
Calcul formel : pourquoi ?
Exemples calcul formelOutil de vérificationPrise en charge d’un calculUn lieu de points
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Hyperbole (programme 2011)
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Hyperbole (programme 2011)
Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel
Transmath (programme 2011)
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Transmath (programme 2011)
Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel
Rechercher une valeur approchée d’une solution àune équation.
• Balayage en seconde• Dichotomie en première• Newton en terminale
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Dichotomie
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a,b], qui changede signe entre a et b. Le principe de dichotomie permet endivisant à chaque étape l’intervalle de moitié, en considérant lemilieu c, de trouver une valeur approchée d’une racine de f à εprès.Pour atteindre la précision ε , arbitrairement petite, il suffitd’itérer ce processus n fois, où n est le plus petit entier tel|a−b|
2n ≤ ε.On peut aussi dire que n est le plus petit entier supérieur ouégal à log2(
|a−b|ε ).
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Dichotomie
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a,b], qui changede signe entre a et b.Entrées : a réel, b réel, a < b, f fonction continue sur [a,b] telleque f (a) ∗ f (b) ≤ 0, ε un nombre réel arbitrairement petit.Traitement :tant que b − a > ε faire
c ← a + b2
si f (a) ∗ f (c) > 0 alors a← c sinon b ← crésultat a
Sortie : un nombre réel qui approche une racine de f à ε près.
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Dichotomie
Organisation de l’étude possible• On donne l’algorithme aux élèves et on demande ce qu’il
fait.• Il est fort possible qu’ils n’aient pas d’idée. On propose aux
élèves de le faire fonctionner "à la main" sur une fonctionet des bornes données.
• les élèves le rendent exécutable par une machine et le fontfonctionner.
• On revient sur la question (si elle n’est pas réglée) : quefait cet algorithme ?
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Dichotomie
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Rechercher une valeur approchée d’un irrationnel
• Algorithme de héron pour la recherche d’une valeurapprochée de la racine carrée d’un nombre
• Recherche de la valeur approchée de π
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Algorithme de Héron
Pour les mathématiques actuelles, rechercher la racine carréed’un nombre A revient à résoudre l’équation x2 − A = 0.Chez les mathématiciens grecs, extraire la racine carré de Ac’est trouver un carré dont l’aire soit A. En prenant un rectanglede côté arbitraire a0 et de même aire, il est nécessaire que lalongueur de l’autre côté soit bo = A
ao. Mais ce rectangle n’est
pas carré (en général). Pour le rendre "plus carré", il suffit deprendre un rectangle dont la longueur est la moyennearithmétique des deux côtés précédents soit
ao + bo
2
et dont l’aire reste A. En itérant infiniment le processus, ontransforme petit à petit le rectangle en carré de même aire.
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Algorithme de Héron
Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel
Algorithme de Héron
L’algorithme peut s’écrire de deux façons :1. en calculant simultanément deux suites (technique proche
du principe) ;a← 2b ← 1e← précision souhaitée tant que a− b > e faire
a← (a + b)/2b ← 2/a
résultat√
2 est compris entre b et a
2. en ne calculant qu’une seule suite 1 ; l’étude de cette suiteétant un classique de la classe de terminale S.
1. Cf APMEP Bulletin 486 Étude d’un très vieil algorithme par CatherineCombelles
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Algorithme de Héron
Codage avec Scilab
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Algorithme de Héron
Résultat avec Scilab
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Algorithme de Héron
Codage avec Python
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Statistique et probabilité
Voir atelier spécifique statistique probabilité• Intervalle de fluctuation• Simulation de la loi géométrique tronquée• Triangle de Pascal• Simulation de la loi binomiale
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Plan de l’exposéLes instructions officielles
Progression algo
Exemples algoExemples pris dans les nouveaux livresRechercher une valeur approchée d’une solution à uneéquation.Rechercher une valeur approchée d’un irrationnelStatistique et probabilité
Calcul formel : pourquoi ?
Exemples calcul formelOutil de vérificationPrise en charge d’un calculUn lieu de points
Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel
Fonction du calcul formel en lycée
Le calcul formel prend sa place dans le cadre de la résolutiond’un problème (d’une démarche d’investigation), uniquementcomme un recours simple, utilisant peu d’instructions, etuniquement au moment où l’en a besoin, comme• outil de calculs numérique exact ou avec une précision
aussi grande que l’on veut,• outil de vérification,• outil pour prendre en charge un calcul que l’on ne sait pas
faire,• outil de généralisation (utilisation des affectations),• algorithmique dans un système de calcul formel
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Plan de l’exposéLes instructions officielles
Progression algo
Exemples algoExemples pris dans les nouveaux livresRechercher une valeur approchée d’une solution à uneéquation.Rechercher une valeur approchée d’un irrationnelStatistique et probabilité
Calcul formel : pourquoi ?
Exemples calcul formelOutil de vérificationPrise en charge d’un calculUn lieu de points
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Des exemples utilisant le calcul formel
• Un problème classique d’optimisation : optimiser le volumed’une casserole
• Démontrer les formules de Descartes (optique)• Un problème de lieu de points
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Problème de la casserole.
Optimiser de la matière première
On veut fabriquer une casserole cylindrique en aluminium aumoyen d’une feuille de métal de surface donnée S. On veutcalculer le rapport qu’il doit exister entre la hauteur h et le rayonx pour que le volume soit maximal. On suppose qu’il n’y aaucun déchet de métal, que son épaisseur reste constante, etqu’il n’y a pas de couvercle.
Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel
Problème de la casserole.
Si on note x le rayon et h la hauteur, on aLa surface totale est S = πx2 + 2πhx .Le volume d’exprime par V (x) =
x2
(S − πx2)
En dérivant V ′(x) =S2− 3πx2
2On en tire S = 3πx2
En égalisant les deux expressions de S, on a h = x
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Problème de la casserole
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Établir les lois de Descartes
Démontrer la lois de Descartes pour la réfraction qui s’énonceainsi sur le site wikipedia.fr :
1. le rayon réfracté est dans le plan d’incidence2. la relation liant les indices de réfraction n1 et n2 de chacun
des milieux et les angles incident θ1 et réfracté θ2 sont liéspar la relation dite de Snell-Descartes :
n1 · sin(θ1) = n2 · sin(θ2)
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Établir les lois de Descartes
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Établir les lois de Descartes
La loi de Snell-Descartes de la réfraction exprime lechangement de direction d’un faisceau lumineux lors de latraversée d’une paroi, séparant deux milieux différents. Chaquemilieu est caractérisé par sa capacité à « ralentir » la lumière,modélisée par son indice de réfraction n qui s’exprime sous laforme
n =cv
où v est la vitesse de la lumière dans ce milieu et c est lavitesse de la lumière dans le vide.
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Établir les lois de Descartes
Le rayon lumineux se déplace à la vitesse v1 du côté de A et àla vitesse v2 du côté B. Le temps de trajet est
AMv1
+MBv2
Le problème consiste à minimiser la fonction définie sur [0, c]par :
f (x) =
√x2 + a2
v1+
√(c − x)2 + b2
v2
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Établir les lois de Descartes
La dérivée est
f ′(x) =2x
2v1√
x2 + a2+
2(x − c)
2v2√
(c − x)2 + b2
Un élève de première S ne dispose pas de la dérivée de lacomposée de deux fonctions (cf nouveau programme). Lecalcul formel peut donc être utile afin d’obtenir cette dérivée.L’usage d’un outil de calcul formel peut donc être fort utile dansce cas là.
Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel
Établir les lois de Descartes
Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel
Établir les lois de Descartes
On a doncx
v1AM+
x − cv2BM
= 0
nous en déduisons que
A′MAM
1v1
=B′MBM
1v2
ou encoreA′MAM
cv1
=B′MBM
cv2
c’est à diren1 sin i1 = n2 sin i2
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Un problème de tangentes
On considère la parabole P d’équation y = ax2 + bx + c surlaquelle on choisit deux points A et B d’abscisses opposés etnon nulles. Les tangentes d1 et d2 à P en A et B se coupent enun point I. Sur quel lieu de points se situe le point I ?
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Expérimentation sur un exemple
Expérimentation avec un logiciel de calcul formel : on choisitdes valeurs pour a, b et c. Dans l’idéal chaque regroupementd’élèves réuni autour d’un ordinateur choisit un triplet différent.On réalise la figure afin d’obtenir un résultat expérimental.
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Expérimentation sur un exemple
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Expérimentation sur un exempleOn démontre la conjecture pour les valeurs de a, b et c choisies.f (x) = x2 + 0,5x + 2 d’où f ′(x) = 2x + 0,5.La tangente d1 en A(m, f (m)) a pour équation
y = (2m + 0,5)(x −m) + m2 + 0,5m + 2
La tangente d2 en B(−m, f (−m)) a pour équation
y = (−2m + 0,5)(x + m) + (−m)2 − 0,5m + 2
On cherche le point d’intersection entre ces deux droites :
I(x , y) ∈ d1∩d2 ⇐⇒{
y = (2m + 0,5)(x −m) + m2 + 0,5m + 2y = (−2m + 0,5)(x + m) + (−m)2 − 0,5m + 2
ce qui implique que :(2m + 0, 5)(x −m) + m2 + 0, 5m + 2 = (−2m + 0, 5)(x + m) + (−m)2 − 0, 5m + 2⇐⇒ 4mx = 0⇐⇒ x = 0
Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel
Cas général
• Le cas général peut s’expérimenter en utilisant lescurseurs de GeoGebra.
• La démonstration peut se réaliser en utilisant un logiciel decalcul formel.
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Cas général