DiverSiTe DeS meThODeS De reSOLuTiOn pOur un meme prObLeme

DiverSiTe DeS meThODeS

De reSOLuTiOn pOur

un meme prObLeme

Un exemple en géométrie

chloée arEnas céline MurPhy

Irem de Montpellier

reperes - irem. N° 106 - janvier 2017

Dans les bulletins officiels fixant les pro-grammes de mathématiques des classes delycée, dans la rubrique « objectif général »,quelques points doivent attirer l’attention desprofesseurs : les élèves doivent être « capablesde : modéliser et s’engager dans une activité derecherche ; de conduire un raisonnement, unedémonstration ; faire une analyse critique d’unrésultat, d’une démarche. ».

Il est donc important d’amener les élèvesà réfléchir sur des problèmes nécessitant larecherche et le choix d’un raisonnement. afinque les élèves trouvant une autre démonstration

Lors de la résolution d’un problème, dansla plupart des cas, plusieurs méthodes de réso-lutions peuvent être mises en œuvre. ceci n’esten général pas reconnu par les élèves qui s’atten-dent à ce qu’à chaque problème corresponde uneseule méthode de résolution. De plus, chacuned’entre elles met en jeu des cadres et/ou des objetsmathématiques différents. La recherche autourd’un problème est un enjeu et un moteurd’apprentissage. En effet, en plus de travaillerdes compétences heuristiques, les raisonne-ments font intervenir un travail sur les notionsmathématiques à travers leurs définitions, leurspropriétés et leurs caractérisations.

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Résumé : nous avons proposé à des élèves de seconde un problème de recherche dans le cadregéométrique, afin de mettre en valeur la diversité des raisonnements possibles pour résoudreun même problème, ainsi que la variété des notions mathématiques pouvant être mobilisées.Dans la première partie de cet article, nous présentons la situation choisie, nos motivations etles méthodes de résolution envisageables en classe de seconde. Dans la deuxième partie, nousprésentons la mise en œuvre dans deux classes de seconde, ainsi que des éléments d’analysedes travaux des élèves.

nous considérons que l’alignement depoints est un bon candidat. En effet, les possi-bilités de sa caractérisation sont variées : parl’appartenance à une même droite, par les angles(angle nul ou plat), par l’inégalité triangulaire(cas de l’égalité) ou encore par la colinéarité devecteurs. nous avons choisi d’organiser une situa-tion de recherche en appui sur un problème« classique », présents dans divers manuels 2 :voir figure 1 page 29.

Dans ces différents manuels, les énoncéssont tous guidés et par conséquent la dévolu-tion du problème et celle de la preuve y sontinexistantes. a partir de l’étude des différentsénoncés proposés, nous dégageons plusieursfaçons d’aborder le problème et de le sou-mettre aux élèves.

— Dans tous les énoncés, l’utilisation de la géo-métrie repérée est imposée par la donnéed’un repère qui n’est cependant pas lemême dans tous les énoncés. Dans notre énon-cé, nous choisissons de ne pas évoquer derepère car cela peut inhiber certainesméthodes.

— Deux énoncés consistent en une successionde questions qui aboutissent à l’étude de l’ali-gnement. Les deux autres énoncés annon-cent clairement l’objectif soit en com-mençant par conjecturer l’alignement soiten annonçant explicitement que le but del’exercice est la preuve de l’alignement, puisils proposent une démonstration guidée.Dans tous les cas, la question est soit dedémontrer soit d’étudier l’alignement despoints. nous posons la question sous formeouverte mais en orientant les élèves vers lapropriété d’alignement de points.

— Dans certains énoncés, la longueur du carréapparaît. cette donnée est inutile à la réso-lution du problème qui perd alors une part

ou solution que celle proposée par l’enseignantou un camarade remettent moins en doute leurraisonnement, il nous semble judicieux de pro-poser des problèmes ayant plusieurs axes de réso-lutions et d’amener les élèves à argumenterleur choix de méthodes.

nous soumettons une situation de rechercheautour d’un problème classique en géométriepour sensibiliser les élèves de seconde à cettediversité possible de méthodes de résolution pourun même problème. Dans cet article, nous pré-sentons l’activité choisie et nos motivationspour ce choix. Ensuite, dans une deuxième par-tie, nous proposons un compte rendu de l’acti-vité à travers les productions écrites des élèveset nous détaillons des modalités pour la phasede mise en commun orale. Pour finir, nousexposons les conclusions et les perspectivesouvertes par ce travail. 1

1. — Présentation et analyse de la situation choisie

1. Choix de l’activité

nous choisissons de proposer un problèmede recherche en géométrie pour lesquelles desraisonnements variés relevant de différentscadres mathématiques sont accessibles pourdes élèves de seconde.

DiversiTe Des meThODes De

resOLuTiON pOur uN meme prObLeme

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1 Inspiré du travail scientifique réflexif de arenas chloéeet Murphy céline : Plusieurs raisonnements pour unemême résolution - année universitaire 2015-2016 – Direc-trice de mémoire : Viviane Durand-Guerrier2 nous nous appuierons ici sur :collection odyssée - Edition hatier - Programme 2009- chapitre : Vecteurs et repère-p°181collection Math’x - Edition Didier - Programme 2010- chapitre : Equations de droites -p°310collection Pixel - Edition Bordas - Programme 2009- chapitre: coordonnées d’un point- p°173collection Pixel - Edition Bordas - Programme 2009- chapitre: Droites dans le plan - p°191


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ABCD est un carré et ABE et CBF sont deux triangles équilatéraux.

Démontrer l’alignement des points D, E et F.

Figure 1 : énoncé du problème mathématique

Figure 2: énoncé du problème pour les élèves


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de son intérêt. En effet, la propriété àdémontrer est vraie pour n’importe quellelongueur du côté du carré et l’élève peut pen-ser qu’il a seulement démontré un cas par-ticulier.

— L’introduction de points supplémentairesest parfois initiée par l’énoncé. cette étapepeut être laissée à la charge des élèves.Par exemple, le nom du pied de la hauteurdu triangle équilatéral aEB issue de En’est pas nécessaire. ce point est utile pourdéterminer les coordonnées de E mais il estintéressant que l’élève se rende compte delui-même de la nécessité d’introduire cettehauteur s’il s’oriente vers cette méthode.

— Dans tous les problèmes, la figure est don-née. cette option a des conséquences impor-tantes, que nous estimons contreproductives.Par exemple, en cas de solution par le cal-cul algébrique, orientation et choix du repè-re en sont influencés, ce qui empêche lesélèves de réfléchir à l’importance du choixd’un bon repère pour simplifier les cal-culs. nous préférons ne pas donner la figu-re car le fait de devoir la construire impliqueun recul par rapport à l’énoncé et unemeilleure entrée dans le sujet. nous necherchons pas à obtenir que les élèves trou-vent rapidement une solution, mais plutôtà ce qu’ils réfléchissent vraiment.

a la lumière de ce qui précède, nous pro-posons un problème de recherche qui se présenteavec un énoncé court, sans guidage et sansfigure : voir figure 2 de la page précédente.

2. Différentes méthodes de résolution

Dans cette partie, nous étudions a prioril’activité proposée. afin de permettre unemeilleure appropriation des propriétés de lafigure, comme c’est le cas ici, le professeur

peut proposer une aide sous la forme d’une fichecontenant plusieurs figures correspondant ounon à l’énoncé (cf. annexe). L’activité estprévue en environnement papier/crayon ; nousfaisons en effet l’hypothèse que pour ce pro-blème l’utilisation d’un logiciel de géométriedynamique ne renforce pas la conjecture. Leschoix que nous faisons pour les différentesvariables didactiques étudiées dans la partieprécédente permettent de mettre en œuvreune variété des méthodes de résolution 3 tantdans la géométrie synthétique que dans lagéométrie repérée.

2. a Géométrie non repérée

toutes ces méthodes, faisant appel à la géo-métrie euclidienne synthétique, sont acces-sibles dès le collège de la 5ème à la 3èmeselon les notions, les objets et les théorèmesmis en jeu.

nous détaillons dans ce paragraphe lesméthodes faisant intervenir des angles. unepremière méthode consiste à caractériser l’ali-gnement de trois points par la présence d’un angleadmettant une mesure de 180 degrés. unedeuxième méthode consiste à montrer l’ali-gnement des points D, E et F en prouvant que

c^D E et c^D F sont de même mesure. une troi-sième méthode consiste, à partir de considéra-tions sur les angles, à montrer que les droites(DE) et (EF) sont parallèles (donc confonduescar ayant un point commun E).

Dans les démonstrations basées sur lesangles, les élèves utilisent naturellement, leursconnaissances des angles du carré et de ceux du

3 Le site http://www.ilemaths.net/sujet-un-exercice-et-14-methodes-195876.html propose 14méthodes de résolu-tions pour ce problème.


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triangle équilatéral. Ils utilisent implicitementle fait qu’un triangle isocèle a ses angles à labase de même mesure, et ils n’ignorent ni la défi-nition d’un triangle rectangle, ni le fait que lasomme des angles d’un triangle fasse 180°. Leschéma ci-dessus (figure 3) permet d’avoir unaperçu d’une première méthode.

En plus de connaitre les propriétés citéesci-dessus, les élèves doivent les mobiliser dansun raisonnement à plusieurs étapes :

« on a aD = aE donc le triangle aDE est

isocèle en a. Donc ses angles de base aÊ D

et a^D E ont la même mesure. »

Il faut à partir de la caractérisation du tri-angle isocèle extraire les deux implicationsnécessaires à la démonstration.

Pour mettre en place une démonstrationsynthétique, les élèves doivent au moins tra-cer deux des trois segments DE, EF et DF quine sont pas mentionnés dans la descriptioninitiale de la figure. En outre, DF « recouvre

» au moins visuellement DE et EF, ce qui nefacilite pas la démonstration. Il apparait iciun obstacle cognitif mais même si cette apti-tude à l’invention ne va pas de soi, elle estun des objectifs poursuivis avec notre énon-cé non directif.

Dans la figure 4 de la page suivante, nousavons scindé en deux la figure pour rendrecompte du raisonnement mis en œuvre quinécessite de considérer séparément les angles

c^D E et c^D F alors que sur la figure ils sontconfondus étant donné que les points D, E etF sont alignés. cette caractérisation de l’ali-gnement est peu usuelle dans la pratique desmathématiques au collège. nous faisons l’hypo-thèse que cette méthode est difficilement mobi-lisable en classe de seconde.

Pour la méthode liée à la figure 5 (page sui-vante), l’introduction des deux points h1 et

h2, pieds de deux hauteurs, est une difficulté

pour les élèves. L’objectif est ensuite de mon-

Figure 3 : un angle de 180°


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trer l’égalité des mesures des angles Dâh1 et

c^Bh2 par des considérations similaires à celle

de la première méthode. cette égalité démon-trée permet de prouver le parallélisme de (ah1)

et (Bh2). Divers théorèmes liant droites paral-

lèles et perpendiculaires permettent de conclu-re sur le parallélisme de (DE) et (EF). L’ali-gnement est alors démontré grâce à l’appar-tenance des trois points à une même droite.

Figure 4 : présence d’un triangle

Figure 5 : parallélisme de (DE) et (EF)


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Les angles font l’objet d’une impor-tante étude au collège, on peut donc envi-sager que ces méthodes apparaissent enco-re la rgement au lycée . nous fa isonsl’hypothèse que les élèves sont suscep-tibles de déterminer les mesures de la plu-part ou de tous les angles. néanmoins, lechoix de la caractérisation de l’alignementpeut n’être effectué qu’après avoir déter-miner quelques angles ; ce qui peut entrai-ner des difficultés pour la rédaction de ladémonstration pour laquelle il faut choisirles éléments nécessaires.

Il existe d’autres méthodes 4 en géomé-trie non repérée que nous pensons moinsaccessibles. La caractérisation de l’aligne-ment par la propriété : « si DF = DE + EFalors les points D, E et F sont alignés » estclassique mais nécessite le calcul d’un grandnombre de longueur en appliquant le théo-

rème de Pythagore. Deux autres méthodessusceptibles d’apparaître s’appuient res-pectivement sur le théorème de thalès et deségalités d’aires mais les caractérisations del’alignement liées à celles-ci ne sont pasusuelles. nous ne développerons pas plus endétails ces deux méthodes.

2. b Géométrie repérée

La géométrie repérée est une nouvelleapproche de la géométrie en seconde. Lesrepères utilisés en classe de seconde sont en géné-ral au moins orthogonaux. Dans la pratique dela géométrie repérée, il est usuel de faire appa-raitre un repère à partir d’un quadrilatère par-ticulier. Ici, le carré aBcD permet visuellementde faire apparaitre le repère (figure 6).

après avoir choisi un repère, il faut déter-miner les coordonnées de chaque point de la figu-re. Pour certains points, comme E, il est néces-saire de s’appuyer sur les connaissances degéométrie plane (longueur de la hauteur d’untriangle équilatéral).

Figure 6 : avec un repère

4 ces méthodes ont été détaillées dans notre travail scien-tifique réflexif.


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— Méthode avec des vecteurs colinéaires :

trois connaissances sur les vecteurs sontprincipalement mobilisées. Premièrement, lesélèves doivent penser au lien entre alignementde points et colinéarité de vecteurs. Deuxièmement,pour prouver la colinéarité de deux vecteurs, lesélèves peuvent montrer que leurs coordonnéessont proportionnelles. Pour ce faire, il est néces-saire de déterminer les coordonnées des vecteurs.

La rédaction demande à réécrire le rai-sonnement dans le sens inverse de celui dela pensée et peut donc présenter une difficultépour les élèves. Les vecteurs sont une notionnouvelle en classe de seconde donc elle estencore fragile. Par conséquent, malgré lasimplicité de cette méthode, cette caractéri-sation de l’alignement est certainement plusdifficile à mobiliser dans le cadre d’un pro-blème ouvert.

— Méthode avec des longueurs :

La caractérisation de l’alignement danscette méthode est la même que celle mise en jeuen géométrie non repérée, c’est-à-dire le cas del’égalité dans l’inégalité triangulaire. Pour cal-culer les diverses longueurs, il est important dechoisir un repère orthonormé afin d’utiliser laformule permettant de calculer la distance entredeux points dont on connait les coordonnées.

seuls les calculs des trois longueurs direc-tement liées à la caractérisation de l’aligne-ment sont à faire. La géométrie repérée permetainsi d’alléger le raisonnement en géométrie syn-thétique euclidienne évoqué plus haut.

— Méthodes avec des équations de droites :

Deux caractérisations de l’alignement peu-vent être utilisées : l’appartenance d’un despoints à la droite passant par les deux autres points

ou la présence de deux droites parallèles ayantun point commun. Les calculs mis en jeu dansces méthodes sont similaires.

La première méthode consiste à détermi-ner l’équation d’une droite passant par deux pointsdont les coordonnées sont connues. Les élèvesdoivent être capables de calculer le coefficientdirecteur d’une droite à partir de la propriété deproportionnalité des accroissements puis l’ordon-née à l’origine en s’appuyant sur l’apparte-nance d’un point à la droite. Pour conclure, ilsuffit de s’assurer que les coordonnées du der-nier point vérifient l’équation de la droite. cetteméthode est clairement accessible pour desélèves de seconde ayant travaillé sur les équa-tions de droites.

En géométrie repérée, la caractérisationde l’alignement à partir de la propriété « Sideux droites sont parallèles et ont un pointcommun, alors elles sont confondues » néces-site le calcul des coefficients directeurs de deuxdes droites formées par les trois points dont l’éga-lité caractérise le parallélisme. une autre métho-de consiste à déterminer les équations réduitesde deux droites permettant aussi de conclure queles deux droites sont confondues. Dans cesdeux cas, la conclusion concernant l’aligne-ment est alors immédiate.

Les coefficients directeurs obtenus sont

pour (DE) ; pour (DF) et

pour (EF). Pour des élèves de secon-

de, il peut être difficile de remarquer l’égalitéde ces réels. Il est donc possible que les élèvesabandonnent ces méthodes qui auraient pour-tant pu aboutir. on peut noter que le choixd’un repère d’origine D présente l’avantage desimplifier les calculs.

"3 2 22 1

2 1 "3

1 2 "3

1 1 "3


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Pour conclure sur l’utilisation de la géomé-trie repérée dans la résolution de ce problème, leprogramme est largement orienté en ce sens et nousfaisons donc l’hypothèse que ce sont principalementces méthodes qui seront mobilisées par les élèves.

En définitive, toutes les méthodes nécessi-tent d’introduire de nouveaux éléments pourcompléter la figure (angles, points, segments,repères, etc.), ce qui constitue une rupture du contratdidactique. Puisque la construction de la figu-re est laissée à l’initiative des élèves, l’utilisa-tion de la géométrie synthétique est indispen-sable pour cette étape. De plus, l’utilisation depolygones usuels pourrait favoriser les méthodesutilisant des notions étudiées au collège, notam-ment celles employant les angles. cependant, nousfaisons l’hypothèse que la disponibilité desconnaissances au programme en géométrie repé-rée peut inhiber les autres méthodes de résolu-tions exposées. ces éléments laissent penserque l’on peut voir apparaitre une relative diver-sité dans les méthodes mobilisées par les élèves.

3. Modalité de mise en œuvre

comme le travail que nous proposons ici com-porte une certaine complexité, il nous semble judi-cieux d’initier un travail en groupe. Pourquoi faireun travail en groupe ? D’une part, tous les élèvespeuvent enrichir le raisonnement nécessaire à larésolution du problème, et ce quel que soit leurniveau en mathématiques. D’autre part, le tra-vail en groupe incite les élèves à formuler leursidées et à expliciter leurs raisonnements pour

convaincre les autres, même si cette modalitécache parfois une partie du travail au professeur.un des mérites que nous revendiquons pournotre méthode est de leur permettre d’entrerdans le royaume mathématique de ce que sontvraiment les démonstrations.

ce choix permet également de régler des pro-blèmes d’organisation en limitant le nombre desolutions et en permettant une meilleure gestiondes productions des élèves par le professeur lorsdes phases de mise en commun (arsac et Mante,2007). nous nous sommes appuyées sur lesrecommandations de ces auteurs pour organiserle travail des élèves en deux temps : une phasede recherche et une phase de mise en commun.La première phase est découpée en trois temps:la donnée par le professeur des consignes initiales,la recherche proprement dite et la rédaction depropositions de solutions. Même s’il est recom-mandé de peu intervenir auprès des élèves, le pro-fesseur doit guider les groupes qui ne parvien-nent pas à se lancer dans la phase de recherche(proposition de figures et/ou recherche de carac-térisation de l’alignement). une mise en commundes méthodes élaborées dans les groupes avecun débat est prévue. cette modalité a pour objec-tif d’aider les élèves à remarquer que les argu-ments permettent de convaincre leurs cama-rades et que la démonstration n’est pas un jeu deforme demandé par l’enseignant.

a la fin de cette mise en commun, nous pré-voyons d’institutionnaliser les différentes carac-térisations de l’alignement (cf. figure 7) :

Pour démontrer que trois points D, E et F sont alignés dans cet ordre, on peut montrer l’une desassertions suivantes :

• DÊ F est un angle plat.• DE + EF = DF

• et sont colinéaires.• E appartient à la droite (DF). • (DE) et (EF) ont même coefficient directeur. Figure 7

DE!

EF!


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on accentuera sur la validité de certainesuniquement dans ce problème (par exemplele dernier point) et sur le rôle interchangeablede D, E et F dans les trois dernières caracté-risations.

Les élèves pourront constater que plusieursraisonnements ont abouti. En effet, l’ensei-gnant leur fera remarquer qu’ils sont capablesde produire une preuve de façon autonome enfaisant des choix et que même si au quotidienle professeur impose une méthode d’autrespeuvent être possibles. L’autorité magistrale duprofesseur vient ainsi appuyer le vécu des élèveslors de cette expérience.

2. — L’expérimentation en classe de seconde

1. Cadre de l’expérimentation

cette expérimentation se déroule dans deuxlycées de la ville de Montpellier avec deuxclasses de seconde que l’on nommera classe aet classe B. L’expérimentation a lieu sur une séan-ce de demi-classe et les élèves travaillent en grou-pe : les groupes sont hétérogènes et sont impo-sés par le professeur.

Lorsque nous avons proposé cette activi-té, les deux classes avaient abordé les cha-pitres concernant l’introduction de la géomé-trie repérée, la notion de vecteurs et l’étude desdroites à partir des équations réduites. au seinde ces chapitres, l’étude de l’alignement étaitdéjà apparue dans diverses activités. Dans lesdeux classes, des notions de géométrie eucli-dienne synthétique étudiées au collège avaientété réinvesties : le théorème de thalès, le théo-rème de Pythagore, la symétrie centrale, les qua-drilatères et les triangles particuliers, etc.L’étude de ces polygones particuliers avaitpermis de revenir sur leurs caractérisations en

termes de conditions nécessaires et suffisantes.En géométrie repérée, les élèves avaient déjàtravaillés avec des repères non orthonormés oudans des configurations non conventionnelles(axe des abscisses non horizontal). En outre,un problème nécessitant l’introduction d’unrepère avait été traité.

Enfin, dans ces classes, des problèmesouverts ou des problèmes de recherche avaientété proposés à plusieurs reprises dans le cadregéométrique mais aussi dans le cadre des fonc-tions. Dans la plupart des cas, les groupesdevaient fournir un compte rendu écrit de leurtravail durant la séance. cependant, la phase dedébat envisagée pour notre expérimentationétait une nouveauté.

2. Premiers éléments d’analyse de l’expérimentation

nous présentons dans ce paragraphe unepremière analyse globale du déroulement.Dans la classe a, tous les groupes introdui-sent un repère. Les méthodes faisant appel auxconnaissances sur les droites sont majori-taires : elles apparaissent dans 6 groupes sur8. concernant les deux autres groupes, l’unemploie la caractérisation de l’alignementpar les distances tandis que l’autre n’aboutitpas à une solution. Dans la classe B, bienque les méthodes utilisant des droites soientégalement présentes, les méthodes employéessont plus variées: sur 9 groupes, deux groupesutilisent la caractérisation par les angles, deuxgroupes la notion de colinéarité de vecteurs,un groupe l’inégalité triangulaire et quatregroupes la caractérisation de l’alignementpar l’appartenance à une même droite.

nous revenons dans ce qui suit sur leseffets liés au choix concernant « donner une figu-re ou non ». Le début de la recherche consisteà récapituler les informations sur une figure liée


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au problème. Le choix de ne pas proposer celle-ci s’est révélé être à double tranchant. commenous l’avions prévu dans l’analyse a priori, laconstruction de la figure permet une mise en acti-vité rapide de tous les élèves.

De nombreuses propositions apparaissentpermettant aux élèves de s’approprier le pro-blème. néanmoins, la réalisation de la figurepeut conduire à deux types d’erreurs. La pre-mière erreur consiste à placer le sommet du tri-angle équilatéral intérieur au carré au milieu ducôté opposé.

Figure 8 : E placé sur [CD]

La deuxième erreur plus marginale consis-te à tracer le carré aBDc au lieu de aBcD. Enoutre, suite à des erreurs de construction ou àdes imprécisions de tracé, certains élèves ne conjec-turent pas l’alignement des points :

Figure 9 : le schéma, obstacle à la conjecture

nous souhaitions aussi laisser le tracé dela figure aux élèves pour qu’ils puissentavoir la liberté d’orienter la figure. troisorientations sont apparues (cf. figure 10) ;cependant cela a parfois considérablement com-pliqué les calculs.

Figure 10 : les trois orientations de la figureapparues dans les classes


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Dans la classe B, comme cela avait étéenvisagé dans l’analyse a priori, le professeura fait le choix de proposer différentes figuresvérifiant ou non les propriétés mentionnéesdans l’énoncé (cf. annexe) aux groupes pour les-quels cela semblait nécessaire afin qu’ils puis-sent s’engager dans l’activité. au vu du dérou-lement de l’activité dans les deux classes, cecis’est révélé un choix judicieux ; les quelquesfigures à trier ont permis aux élèves de se plon-ger dans le problème tout en ne parasitant pasla nécessité de prouver l’alignement des points.

3. Analyse des productions en géométrie non repérée

concernant ces méthodes, seules cellesfaisant intervenir les angles apparaissent. La troi-sième méthode sur les angles n’apparaît pas, eneffet comme prévu dans l’analyse a priori,l’introduction de nouveaux points n’est pasnaturelle chez les élèves car c’est une ruptureavec le contrat didactique usuel. Parmi lesautres méthodes de géométrie non repérée,celles s’appuyant respectivement sur le théorèmede thalès et le calcul d’aires sont initiées unefois dans chacune des classes. Pendant la phaseheuristique, la présence de parallèles dans la figu-re amène certains élèves à penser au théorèmede thalès étudié au collège. D’autre part, l’idéed’employer le calcul d’aire est liée aux problèmesde modélisation par des fonctions, étudiés defaçon récurrente. cependant, ces pistes sontabandonnées par les élèves qui s’orientent versd’autres méthodes.

nous nous intéressons ci-dessous aux deuxproductions utilisant la notion d’angle. La carac-térisation de l’alignement par les angles semblemaitrisée par ces élèves dont les méthodes abou-tissent. un des groupes produit une démonstrationsynthétique et sans erreur de raisonnementemployant les diverses propriétés des anglesdes triangles particuliers. ce groupe montre

une compétence liée à l’économie de travail.concernant l’autre groupe, comme nous pouvonsl’observer sur la figure 11 ci-dessous, les élèvesdéterminent tous les angles sans faire le tri entreceux qui sont nécessaires et ceux qui ne le sontpas. ceci provoque une difficulté lors de larédaction de leur raisonnement car l’ordre danslequel les angles sont déterminés et la nécessi-té de chacun d’eux est à réfléchir à nouveau. onpeut noter que dans ce cas des détours complexespour déterminer certains angles apparaissent.

Figure 11 : schéma du raisonnement avec les angles

nous relevons deux erreurs de raisonne-ment. tout d’abord, les élèves déterminent

l’angle c^D F en travaillant dans le triangle cDFavec un raisonnement correct. cependant, ils

assimilent ensuite l’angle c^D F à l’angle

c^D E. cette considération est vraie si les pointsE, D et F sont alignés. Ici, c’est le cas mais lapreuve de l’alignement est notre objectif : lesélèves ne perçoivent pas la subtilité qui se pré-sente. cette erreur rend inopérant le reste deleur raisonnement. nous avons relevé une autreerreur du même ordre : afin de déterminer

l’angle BÊ F, les élèves ayant produit le texteci-dessous (figure 12) s’appuient sur le fait


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que l’angle DÊ F a pour mesure 180° alors quec’est ce que leur démonstration doit établir.

Figure 12 : erreur de logique

cependant, lors du débat, les élèves de cegroupe présentent un exposé correct, sans erreurde logique. on peut supposer que c’est le pas-sage à l’écrit qui pose problème aux élèves dece groupe.

En définitive, les connaissances maitriséesdes élèves sur les angles leur permettent deproposer des raisonnements complets. toutefois,la figure peut apporter un obstacle au rai-sonnement : il faut montrer l’alignement sanss’appuyer sur des propriétés qui ne seraientvraies que dans le cas d’un alignement deces points.

4. Analyse des productions en géométrie repérée

Quatorze groupes parmi les dix-sept intro-duisent un repère. Dans tous les cas, les élèveschoisissent le sommet en bas à gauche commeorigine du repère. D’autre part, le choix d’unrepère orthonormé est systématique à l’excep-tion d’un groupe qui se ravise finalement. Dans de nombreux groupes, l’unité choisiepour le repère est le centimètre et non la lon-gueur du côté du carré. Dans ce cas, le carac-tère général du résultat établi est difficilementperçu par les élèves.

un repère étant choisi, il devient possible dedéterminer les coordonnées des points. commenous l’avons indiqué dans l’analyse a priori,selon le choix de l’origine du repère, les calculs

sont plus ou moins complexes. En effet, pour cer-tains, l’ordonnée de E est . Denombreuses erreurs sont liées au choix del’unité et à la difficulté de généralisation. Lespoints a, B, c et D dont les coordonnées sontdirectement données par le repère ne posent pasproblème. cependant, dès lors qu’il faut déter-miner une coordonnée dépendant de la hauteurdu triangle équilatéral, les calculs des élèvesse basent sur leur figure. La lecture graphiqueamène à proposer 2 comme abscisse de F plu-tôt que ; cette approximation estprésente dans le travail de plusieurs groupes.une fois l’erreur identifiée, ce calcul amène l’inter-vention de longueurs en centimètre malgré lechoix d’une unité ; ceci apparaissant égalementdans d’autres groupes (cf. figure 13).

Figure 13 : confusion due à l’unité du repère

Dans le repère (a, B, D), le point E apour abscisse la moitié de aB. Les élèvesadmettent que la hauteur d’un triangle équi-latéral est aussi une médiane et une médiatri-ce de ce triangle. L’absence de justification révè-le peut être une maitrise de cette propriétémais plus vraisemblablement ici une conjec-ture faite sur le schéma dont la démonstrationne leur semble pas nécessaire. D’autre part, par-fois, bien que l’unité soit prise en comptepour l’abscisse de E, lors de la détermination

1 2 "3 > 2

1 2 "3 > 2


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de l’ordonnée de E, la longueur de [aB] en cen-timètre est utilisée : figure 14 ci-dessus.

Le calcul de la longueur d’une hauteur dutriangle équilatéral reste difficile pour des élèvesde seconde. Dans la classe a, le professeurpropose aux élèves d’admettre que « la longueurde la hauteur d’un triangle équilatéral de coté

c est donnée par c ». Dans la classe B, le

calcul demande un temps non négligeable auxélèves. En outre, certains élèves ont du mal à

envisager l’irrationnel comme un nombre

que l’on peut engager dans des calculs ce quiles conduit à utiliser une valeur approchée.

"32

"3

D’autres élèves mesurent sur le dessin puiscomparent à la valeur théorique :

Figure 15 : valeurs approchées

nous détaillons dans ce qui suit lesméthodes utilisant la caractérisation par les lon-gueurs, par les vecteurs puis par les droites.

4. a Avec des longueurs

Deux formulations de la caractérisation del’alignement en terme de distance sont propo-sées par les élèves, comme les exemples ci-des-sous (cf. figure 16) :

Figure 14 : coexistence de deux unités pour le calcul des coordonnées

Figure 16 : formulations de la caractérisation


41



Dans la première production, la notation stan-dard pour indiquer que l’on parle d’un segment estutilisée ici pour désigner la longueur d’un segment.ceci peut correspondre à une confusion entre lesdeux types d’objets, mais d’autres indicateursseraient nécessaires pour pouvoir l’affirmer. L’autreproduction énonce une caractérisation claire.

au sein de leurs productions, la notion devaleur approchée joue encore un rôle important.Lors de la détermination des coordonnées, à plu-sieurs reprises, les élèves hésitent entre la valeurexacte et une valeur approchée (cf. figure 17).

Figure 17 : valeur approchée ou valeur exacte

Dans certains cas (cf. figure 18), les élèvesconservent la valeur exacte pour permettre lecalcul des longueurs à l’aide de la formule liantcoordonnées de points et distance. cependant,la distance s’exprime finalement comme laracine carrée de la racine carrée (racine 4ème)d’un nombre. ceci les conduit à utiliser une valeurapprochée ; la présence du symbole montrequ’il en ont conscience :

Figure 18 : calcul de DE

D’un point de vue théorique, la démons-tration n’est plus valide, l’égalité des approxi-mations de longueur ne permettant pas deconclure à l’égalité des longueurs.

4. b Avec des vecteurs

L’idée de prouver l’alignement en utilisantles vecteurs apparaît parfois au début de larecherche.

Le fait d’avoir explicitement donné unecaractérisation de l’alignement de points dansle chapitre consacré aux vecteurs peut êtrel’origine de cette amorce. cependant, la notionde vecteur est complètement nouvelle en secon-de et la colinéarité de vecteurs est peu maîtrisée.cette fragilité provoque l’abandon de cettecaractérisation dans plusieurs groupes. Il fautnoter qu’aucun des deux groupes ayant persistédans l’utilisation de cette méthode ne rédigeune démonstration complète.

c’est le cas pour le groupe ayant rédigéle texte dont nous présentons un extrait ci-des-sous (cf. figure 19). La propriété permettantla caractérisation de la colinéarité de vecteursest présente.

Figure 19 : objectif pour montrer l’alignement

cependant, le calcul de coordonnées devecteur est souvent inexact. certaines pro-ductions telles celle de la figure 20 ci-aprèsmontrent que l’objet « vecteur » n’est pasencore stabilisé.


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Figure 20 : « colinéarité de points »

Les élèves déterminent les coordonnées

des vecteurs et et seules leurs pre-mières coordonnées sont égales (suite à une erreurde calcul) : c’est ce qu’ils tentent d’expliquerpar la formulation « les deux premiers pointssont égaux ». La notion de colinéarité de vec-teurs semble floue pour les élèves : ils parlentsouvent de «parallélisme de vecteurs» ou enco-re de «colinéarité de droites» et parfois mêmede «colinéarité de points».

4. c Avec des droites

Les méthodes faisant intervenir les droites,en particulier les équations de droites dans unrepère, sont les plus fréquentes : 10 groupessur 17 groupes. cette prédominance est pro-bablement due à la proximité temporelle dece chapitre avec l’expérimentation. Les trois

DE!

DF!

raisonnements envisagés interviennent : éga-lité de deux coefficients directeurs (6 groupes),détermination de deux équations de droites(3 groupes) et appartenance d’un point à unedroite (1 groupe). on voit apparaitre plu-sieurs méthodes relatives à la caractérisa-tion de l’alignement par les droites en géo-métrie repérée.

nous avons identifié trois points saillantsdans la mise en œuvre de ces méthodes : la néces-sité de certaines étapes, l’obstacle des valeursapprochées et la nature des objets.

Les productions ci-dessous (cf. figure 21)et ci-contre, page suivante (cf. figure 22) mon-trent des travaux de groupes ayant déterminéles équations de deux droites. comme nousl’avons indiqué dans l’analyse a priori, grâceà des connaissances supplémentaires sur leparallélisme de droites, une condition plusfaible suffit pour montrer que les droites sontconfondues.

Le deuxième groupe obtient deux équationsde droites identiques et conclut directement del’alignement des points en laissant implicitela caractérisation utilisée. L’explication inter-médiaire est absente soit par manque de recon-naissance de sa nécessité soit par manque de temps.

La démonstration reste donc incomplète.remarquons que pour le coefficient directeur

Figure 21 : caractérisation de l’alignement par les droites


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de (DF), les élèves obtiennent une valeur exac-te. La dernière égalité n’est pas justifiée par uncalcul : ces élèves disposent de leur calculatri-ce du collège qui permet d’obtenir des résultatsavec des radicaux.

hormis les élèves ayant leur calculatrice ducollège, le calcul des coefficients directeursest compliqué par la présence d’un radical audénominateur. En effet, s’ajoutant aux erreursde formule et de signe, le fait de devoir com-biner fractions et radicaux complique les cal-culs. De ce fait, certains élèves utilisent leur cal-culatrice afin d’obtenir une valeurapprochée comme on le voit dans l’extrait ci-dessous (cf. figure 23):

Figure 23 : valeur approchée des coefficients directeurs

Les élèves de ce groupe déduisent l’égalité de

ces coefficients de celle des valeurs appro-chées des coefficients directeurs. ce raisonne-ment qui n’est pas valide apparaît fréquem-ment dans les productions. Les élèves concluentà l’alignement des points à partir d’une égali-té non rigoureuse.

Figure 24 : conclusion et notations

L’extrait ci-dessus (figure 24) laisse à pen-ser qu’il y a une confusion entre différentstypes d’objets : coefficients directeurs, droiteset points. néanmoins, comme nous l’avonsdéjà dit plus haut, il faudrait d’autres indicateurspour pouvoir l’affirmer.

5. Analyse de la mise en commun orale

a la suite du recueil des productions, desmodalités différentes sont proposées dans les deuxclasses. Dans la classe a, les différentes productionsétant similaires un constat avec les élèves est faitsur l’existence de plusieurs preuves faisantappel aux droites. Le professeur propose ensui-te un travail sur les différentes caractérisationsde l’alignement : en imposant une notion (anglevecteur et longueur), l’enseignant amène lesélèves à chercher une caractérisation liée à celle-ci puis à en déduire le raisonnement associé.L’objectif est de reprendre leurs pistes inabou-ties afin de valoriser leurs idées ; ceci a permisune implication collective féconde dans cette phasede prolongement de l’activité. Dans la classe B,compte tenu de la diversité des productions,l’enseignant propose une présentation orale dechaque groupe devant la classe ; la présentationayant été préparée en début de séance.

Figure 22 : équations de droites


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Pour un débat plus riche, d’autres modali-tés pour la mise en commun sont possibles. siles autres élèves sont peu critiques, le profes-seur demande des éclaircissements ou des pré-cisions. sinon, pour lancer le débat, un grou-pe peut être désigné pour commenter laprésentation exposée (c’est la méthode préco-nisée dans arsac et Mante, 2007). La présen-tation d’exposés met en lumière la diversitédes notions utilisées dans les groupes et permetde clarifier certains points en révélant une fai-blesse de raisonnement ou, au contraire, enremarquant un exposé plus exact ou plus richeque le compte rendu écrit.

Conclusion

Dans cet article, afin de permettre auxélèves d’observer qu’il n’existe pas une uniquedémonstration pour répondre à un problème, leproblème de recherche en géométrie choisi estpertinent. En effet, l’expérimentation révèle lamultiplicité des raisonnements grâce aux diversescaractérisations de l’alignement : celles néces-sitant les angles, les longueurs, les droites et lesvecteurs sont exploitées par les élèves. on peutsupposer qu’ils seront maintenant plus aptes àproposer une solution différente de celle d’uncamarade ou du professeur.

ce problème permet aux élèves de récapi-tuler des caractérisations de l’alignement, d’êtreautonome dans l’introduction d’objets (points,repère, etc.) et dans le choix du cadre mathé-matique. La dévolution de la recherche et lesnotions mathématiques utilisées familières leurpermettent de s’investir dès la phase heuristiqueet donc de produire un travail conséquent. Il estimportant de remarquer que les élèves sontcapables de prendre des initiatives et de construi-re seuls un raisonnement.

Dans ce problème bien que la méthode nesoit pas suggérée, la place de l’expérimentationdans la progression mathématique des élèves joueun rôle : selon les éléments travaillés en clas-se précédemment, une méthode risque d’être favo-risée. cette remarque permet d’être attentif entant que professeur à la compartimentation desconnaissances. ce point montre l’intérêt d’uneprogression spiralée. De plus, les élèves dits sco-laires cherchent immédiatement la notion àmobiliser, souvent la dernière étudiée et sont par-fois déstabilisés par la phase heuristique. aucontraire, d’autres élèves, moins attachés au contratinstauré, présentent des capacités nouvelles eninnovant pour trouver une solution. cette expé-rimentation et plus généralement les problèmesde recherche modifient le contrat didactique leplus souvent instauré avec la classe et sem-blent un levier pour renouveler le regard des élèvessur les mathématiques et le regard du profes-seur sur les élèves. Il est intéressant de renou-veler ce type d’expérience ou d’y faire référencetout au long de l’année.

En définitive, l’appropriation du problème,la formulation de conjectures, l’investigation,l’échange argumenté, la structuration et lamobilisation des connaissances sont des pointsessentiels du programme du collège dontl’apprentissage doit être poursuivit au lycée. Enprolongement de ce travail, on peut envisagerun travail sur la distinction entre validité d’unraisonnement et vérité d’un énoncé, ainsi quesur ce qui fait que deux démonstrations sont dif-férentes ou non. En effet, les élèves peuvent pro-duire dans certains cas une preuve non valided’un énoncé vrai : par exemple, lorsqu’elless’appuient sur une égalité de valeurs appro-chées. Des problèmes ouverts, des narrations derecherche ou des débats scientifiques en clas-se peuvent donc à ce sujet jouer un rôle centraldans l’apprentissage des mathématiques.


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ANNeXe Parmi les dessins réalisés ci-dessous, entoure les représentations conformes à l’énoncé du problème


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Bibliographie

Programme de mathématiques, enseignement commun, seconde générale et tech-nologique

arrêté du 23 juin 2009 - Bo n°30 du 23 juillet 2009

arsac et Mante, 1er septembre 2007, Pratique des problèmes ouverts, EditioncrDP de l’académie de Lyon.

travail scientifique réflexif de arenas chloée et Murphy céline : Plusieursraisonnements pour une même résolution - année universitaire 2015-2016– directrice de mémoire : Viviane Durand-Guerrier

Documents

DiverSiTe DeS meThODeS De reSOLuTiOn pOur un meme prObLeme