8/14/2019 Dl Taylor

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2008 - Grard Lavau - http://pagesperso-orange.fr/lavau/index.htm

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DEVELOPPEMENTS LIMITES

PLAN

I : Gnralits

1) Dfinition2) Formule de Taylor avec reste intgral

3) Ingalit de TaylorLagrange

4) Formule de TaylorYoung

5) Mthode de Newton-Raphson

II : Oprations sur les dveloppements limits1) Somme

2) Produit3) Composition

4) Quotient

5) Intgration et drivationIII : Utilisation des dveloppements limits

1) Calcul de limites

2) Etude locale d'une courbey =f(x)3) asymptotes

4) Etude locale d'un arc paramtr

a) Tangenteb) Concavit

IV : Dveloppements limits usuels

Annexe : Energie potentielle et stabilit d'un quilibre.

I : Gnralits

1 Dfinition

fadmet un dveloppement limit au voisinage de 0 l'ordre n sifest de la forme :

f(x) = a0 + a1x + ... + anxn

+ o(xn)

fadmet un dveloppement limit au voisinage dex0 l'ordre n sifest de la forme :

f(x) = a0 + a1(xx0) + ... + an(xx0)n

+ o((xx0)n)

On retrouve la forme prcdente en posant h =xx0.

fadmet un dveloppement limit au voisinage de l'ordre n sifest de la forme :

f(x) = a0 +a1x

+ ... +anx

n + o(1

xn)

On retrouve la forme prcdente en posant h =1

x. On peut donc toujours se ramener au voisinage de

0.

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- 2 -

Il y a unicit du dveloppement limit, puisque, sifest de la forme :

f(x) = a0 + a1x + ... + anxn

+ o(xn)

= b0 + b1x + ... + bnxn

+ o(xn)

alors :

(a0b0) + (a1b1)x + ... + (anbn)xn

= o(xn)

ce qui ne peut se produire que si tous les coefficients sont nuls. (Si l'un d'entre eux est non nul, lemembre de gauche est quivalent au terme de plus bas degr, qui ne sera pas ngligeable devantx

n).

Sifest de classe Cn

au voisinage dex0, alorsfadmet un dveloppement limit l'ordre n. Ce sont les

formules de Taylor.

2 Formule de Taylor avec reste intgral

Soitfde classe C1

sur un intervalle [a, b]. On peut alors crire :

f(b) =f(a) +

a

b

f'(t) dt

Sif ' est ellemme C

1

, c'estdire sifest C

2

, on peut intgrer cette relation avec u' = 1 et v =f ',soit u = (bt) et v' =f" (on prend une primitive u qui s'annule en b). u est choisi de la sorte de faon

s'annuler en b. On obtient :

f(b)= f(a) + (b a)f'(a) +

a

b

(bt)f"(t) dt

On peut itrer le procder si on supposef" C1, soitfde classe C

3. Posons u' = (bt) et v =f"(t), soit

u = (bt)

2

2et v' =f

(3)(t)

f(b) = f(a) + (ba)f'(a) + (ba)2f"(a)

2+

a

b

(bt)2f

(3)(t)

2dt

Par rcurrence, on montre alors que, pourfde classe Cn

:

f(b) =f(a) + (ba)f'(a) + (ba)2f"(a)

2+ ... + (ba)

n1f(n1)

(a)

(n1)!+

a

b

(bt)n1

f

(n)(t)

(n1)!dt

Si f est de classe Cn+1

, il suffit en effet de poser u' =(bt)

n1

(n1)!et v = f

(n)(t), soit u =

(bt)n

n!et

v' =f(n+1)(t).

Cette formule pose des difficults de mmorisation. En dehors de la dmonstration directe, lesremarques suivantes permettent de la retrouver facilement :

Pour n = 1, on doit retrouverf(b) =f(a) +

a

b

f'(t) dt

Si on s'arrte (ba)n1f(n1)(a)

(n1)!dans la partie polynmiale, alors ncessairement l'intgrale fait

intervenirf(n)

.

Une valeur approche de l'intgrale doit tre (ba)nf(n)

(a)

n!qui est le terme d'ordre n du

dveloppement de Taylor. Aussi f(n)(t) doit-il tre multipli par une fonction ayant une valeur

prpondrante en a plutt qu'en b, ce qui est le cas du facteur btet a fortiori de ses puissances.

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- 3 -

La puissance de btse retrouve en remarquant que

a

b

(bt)

n1

(n1)!dtdonne exactement le coefficient

attendu au rang n, savoir(ba)

n

n!

3 Ingalit de TaylorLagrange

Sif(n)

est major sur [a, b] par M, on obtient, en majorant l'intgrale :

f(b) f(a) (ba)f'(a) (ba)2f"(a)

2 ... (ba)

n1f(n1)

(a)

(n1)!

a

b

(bt)n1

M

(n1)!dtM(ba)

n

n!

Cette formule est valable galement pour a > b condition de majorer par :

b

a

(tb)n1

M

(n1)!dt

M ban

n!

4 Formule de TaylorYoung

Soitfde classe Cn. La formule de TaylorYoung s'nonce :

f(x) =f(a) + (xa)f'(a) + (xa)2f"(a)

2+ ... + (xa)

n1f(n1)(a)

(n1)!+ (xa)

nf(n)(a)

n!+ o((xa)

n)

Considrons en effet la diffrence entre le reste intgral de la formule de Taylor lorsque b=x et le

terme (xa)nf

(n)(a)

n!. On peut crire cette diffrence sous la forme :

a

x

(xt)n1

f

(n)(t) f(n)(a)

(n1)!dt

quantit qu'on peut majorer en valeur absolue, pourx > a, par :

a

x

(xt)n1

M

(n1)! dt= M(xa)

n

n! , o M majore f(n)

(t) f(n)

(a)

Mais f(n)(t) f

(n)(a) est une fonction continue de t et admet donc un maximum M de la forme

f(n)

(c) f(n)

(a) , avec c compris entre a etx. Quand x tend vers 0, M tend vers 0 et on obtient bien la

forme du reste de TaylorYoung. On procde d'une faon comparable six < a.

EXEMPLE:

ex

= 1 +x +x

2

2+

x3

3!+ ... +

xn

n!+ o(x

n)

sh(x)= x +x

3

3! +x

5

5! + ... +x

2p+1

(2p+1)! + o(x2p+2

)

ch(x) = 1 +x

2

2+

x4

4!+ ... +

x2p

(2p)!+ o(x

2p+1)

sin(x)= x x

3

3!+

x5

5!+ ... + (1)

p

x2p+1

(2p+1)!+ o(x

2p+2)

cos(x) = 1 x

2

2+

x4

4! ... + (1)

px

2p

(2p)!+ o(x

2p+1)

(1+x)

= 1 + x + (1)2

x2

+ ... +(1)(2)...(n+1)

n!x

n+ o(x

n)

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- 4 -

On remarque que le premier terme du dveloppement limit est un quivalent de la fonction. Le

dveloppement limit dvoile en fait les termes cachs par l'quivalent.

On note galement(1)(2)...(n+1)

n!=

n. Pour entier, on reconnat un coefficient binomial

et la formule du binme de Newton.

Par ailleurs, l'ingalit de TaylorLagrange pour l'exponentielle entre 0 et x conduit :

ex 1 x

x2

2

x3

3! ...

xn

n! M x

n+1

(n+1)!o M = Max(1, e

x)

ce qui donne, pourx fix lorsque l'on fait tendre n vers l'infini :

ex = lim

n k=0

n

x

k

k!que l'on note

k=0

x

k

k!

Ces formules permettent de calculer trs efficacement des valeurs approches de l'exponentielle.

Ainsi e peut-il tre approch par 1 + 1 + 12

+ 13!

+ ... + 1n!

avec une erreur majore par 3(n+1)!

.

Il n'est pas toujours ncessaire de faire appel la formule de Taylor. Ainsi :

1 + x +x2

+ ... +xn

=1 x

n+1

1 x=

1

1x+ o(x

n)

d'o :

1

1x= 1 + x +x

2+ ... +x

n+ o(x

n)

et1

1+x

= 1 x +x2

+ ... + (1)nxn + o(x

n)

On aurait pu galement utiliser la formule de (1+x)

pour = 1.

Il n'est pas non plus ncessaire que f soit de classe Cn. Si I est la fonction indicatrice de , (i.e.

I (x) = 1 si x est rationnel et 0 sinon), alors f(x) = 1 + x + x2

+ x3I (x) admet un dveloppement

limit l'ordre 2 en 0, mais n'est pas continue en dehors de 0.

5 Mthode de Newton-Raphson

Il s'agit de trouver une valeur approche de c, solution de l'quationf(x) = 0. Pour cela, on part d'un

pointx0. On trace la tangente au graphe de fpassant par le point d'abscissex0. Cette tangente coupel'axe des abscisses en un pointx1. L'opration peut tre itre.

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x0 x1c

L'quation de la tangente esty = (x x0)f '(x0) +f(x0). Doncx1 vrifie 0 = (x1 x0)f '(x0) +f(x0) soit

x1 =x0 f(x0)f'(x0)

. Il faut videmment quef '(x0) soit non nul, sinon la tangente est parallle l'axe des

abscisses et ne la coupe pas. En itrant, on dfinit la suite :

xn+1 =xn f(xn)

f'(xn)= g(xn)

Dbut de partie rserve aux MPSI

Etudions la convergence de la suite (xn) dans deux cas :

u Cas of" est de signe constant et of(x0)f

"(x0) > 0.

Par exemple (quitte changerfen f) ,f" > 0, c'est--direfconvexe,f(x0) > 0 etx0 < c (quitte faire

une symtrie par rapport un axe vertical). C'est le cas de la figure prcdente. On a ncessairement

f '(x0) ngative, car, la fonction tant convexe,f ' est croissante, et sif '(x0) 0, alors, pourxx0, f'(x) f '(x0) 0 donc f serait croissante pour x x0 et donc f(x) f(x0) > 0 : dans ce cas, il nepourrait y avoir de solution c suprieure x0. Ainsi :

f" > 0

f(x0) > 0

x0 < c

f'(x0) < 0

On en dduit dj que :

x1 =x0 f(x0)

f'(x0)>x0

Par ailleurs, la fonction tant convexe, la courbe est au-dessus de la tangente, c'est--dire :

f(x) (x x0)f'(x0) +f(x0)Pourx = c, on obtient :

0 (c x0)f'(x0) +f(x0)

cx0 f(x0)

f'(x0)x1

Ainsi, x0 < x1 c. Le raisonnement prcdent peut tre itr, ce qui prouve que la suite (xn) estcroissante majore, donc converge. Sa limite est un point fixe de g, donc une solution def.

u Cas o g est C2

:

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- 6 -

L'ingalit de Taylor-Lagrange applique g en c l'ordre 2 donne :

g(x) g(c) (x c)g'(c) M(x c)2

2

or g(c) = c et g'(x) =f(x)f

"(x)

f'(x)2 g'(c) = 0. Si on remplacex parxn, on obtient :

xn+1 c M(xn c)2

2

Par rcurrence, on vrifiera que :

xn c 2

MM

2n(x0 c)

2n

22n

Si on prendx0 suffisamment prs de c, savoirMx0 c

2 k< 1, on a :

xn c Cte k2n

qui est un type de convergence beaucoup plus rapide que la simple convergence gomtrique en kn.

Par exemple, si k= 110

, une convergence en kn signifie que chaque itration fait gagner une dcimale

dans le calcul de c approxim par xn, alors qu'une convergence en k2n

signifie que le nombre dedcimales double chaque itration. Pour obtenir 1000 dcimales, il faudrait 1000 itrations dans le

premier cas et seulement 10 dans le second.

Fin de la partie rserve aux MPSI. Retour la partie commune MPSI, PCSI, PTSI.

EXEMPLE:

Appliquons la mthode de Newton la rsolution de l'quation x2

a = 0, en partant de x0 > 0,

autrement dit au calcul de la racine carre de a. On obtient :

xn+1 =xn f(xn)

f'(xn) =xn

xn2

a

2xn =xn

2+ a

2xn =xn + a/xn

2

(Cette mthode se rvle identique la mthode des suites babyloniennes pour calculer les racines

carres, exposes dans le chapitre Suites qu'on trouvera dans la fichier SUITES.PDF). La

convergence est trs rapide. Pour a = 2 et en partant de x0 = 2, la diffrence entre xn et a enfonction de n est donne par le tableau ci-dessous :

n 0 1 2 3 4 5 6

xn a 0.6 0.09 0.002 2 106

2 1012 1025 3 1049

log(xn a) 0.2 1 2.6 5.7 11.8 24 48.5

log(xn a) donne un ordre de grandeur du nombre de dcimales exactes de xn comme valeur

approche de a (log dsigne le logarithme dcimal). On constate que ce nombre double peu prs chaque itration de n. On peut donc penser qu'il est de l'ordre de C 2n. Ainsi, chaque itration,le nombre de dcimales double. La convergence, dite quadratique, est extrmement rapide, beaucoup

plus que pour une convergence d'une suite gomtrique.

II : Oprations sur les dveloppements limits

1 Somme

PROPOSITION :

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Sifet g admettent un dveloppement limit l'ordre n et m respectivement, au voisinage de x0, finiou non, alors f+g admet un dveloppement limit l'ordre Min(m,n), obtenu en ajoutant les deux

dveloppements limits defet g.

Evident.

2 Produit :

PROPOSITION :

Sifet g admettent un dveloppement limit l'ordre n et m respectivement, au voisinage de x0, finiou non, alors fg admet un dveloppement limit l'ordre Min(m,n), obtenu en multipliant les deux

dveloppements limits defet g.

Evident. Dans le calcul , on ne garde que les termes de degr infrieur ou gal Min(m,n).

Il peut arriver que le dveloppement limit obtenu puisse tre d'un ordre suprieur celui prvuinitialement, lorsque les termes constants sont nuls.

EXEMPLE:

f(x) = x x2

2+x

3

3+ o(x

3)

g(x) = x x

3

6+ o(x

3)

f(x)g(x) =x2 x3

2+

x4

6+ o(x

4)

3 Composition

PROPOSITION :

Sifadmet un dveloppement limit l'ordre n en x0, fini ou non, si le terme constant defvaut a0 et

si g admet un dveloppement limit l'ordre n en a0, alors go

fadmet un dveloppement limit l'ordre n en x0, obtenu en dveloppant la compose des dveloppements limits defet g.

Dmonstration :

f(x0+h) = A(h) + o(hn) = a0 + B(h) + o(h

n)

avec B(h) polynme en h qui tend vers 0 lorsque h tend vers 0.

g(a0+k) = C(k) + o(kn)

avec C polynme en k

gof(x0+h) = g[a0 + B(h) + o(hn)]

k

= C(B(h) + o(hn

)) + o(kn

)or kse factorise au moins une fois par h car B(0) = 0 donc o(k

n) = o(hn). On obtient :

gof(x0+h) = C o B(h) + o(hn)

Il suffit de ne garder dans C o B que les puissances de h infrieures ou gales n.

EXEMPLE: exp(cos(x)) l'ordre 4 en 0.

cos(x) = 1 x

2

2+

x4

24+ o(x

4) = 1 + X

exp(1+X) = e(1 + X +X2/2 + o(X

2))

Ici X est d'ordre 2 enx, donc il suffit de s'arrter X2

:

X =

x2

2 +

x4

24 + o(x

4

)

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- 8 -

X2

=x

4

4+ o(x

4)

exp(cos(x)) = e(1 x2

2+

x4

6) + o(x

4)

4 QuotientPROPOSITION :

Sif et g admettent un dveloppement limit l'ordre n, au voisinage de x0 , fini ou non, et si lecoefficient constant de g est non nul, alors f/g admet un dveloppement limit l'ordre n.

Dmonstration :

Il suffit de montrer que 1/g admet un dveloppement limit l'ordre n, puis de faire le produit par

celui def. Or (en supposantx0 = 0 pour simplifier les notations) :

g(x) = a0 + a1x + ... + anxn

+ o(xn) = a0 (1 u)

avec u =a1x ... anx

n o(x

n)

a0.

1g(x)

=1

a0

1

1 u

Il suffit alors d'effectuer la composition du dveloppement limit de1

1 upar celui de u.

EXEMPLE:

tan(x) =sin(x)

cos(x)=

x x3/6 +x

5/120 + o(x

5)

1 x2/2 +x

4/24 + o(x

5)

= (x x

3

6+

x5

120+ o(x

5))(1 + u + u

2+ o(x

5))

avec u =x2

2 x

4

24+ o(x5). Il est inutile de calculer u3 qui donnera des termes enx6

tan(x) = (x x3

6+

x5

120+ o(x

5))(1 +

x2

2

x4

24+

x4

4+ o(x

5))

= (x x

3

6+

x5

120+ o(x

5))(1 +

x2

2+

5x4

24+ o(x

5))

=x +x

3

3+

2x5

15+ o(x

6)

th(x) = x x

3

3+

2x5

15+ o(x

6)

Dans le cas o g(0) = 0, on peut oprer d'une manire analogue, mais on obtient un dveloppement

dit gnralis.

EXEMPLE: En dveloppant sin et cos l'ordre 4, on obtiendra :

1

tanx=

1

x

x

3

x3

45+ o(x

3)

5 Intgration et drivation

PROPOSITION

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- 9 -

Sif est continue et drivable au voisinage de x0 , lment deR , et sif' admet un dveloppement

limit en x0 l'ordre n, alorsf admet un dveloppement limit l'ordre n+1 en x0 , obtenu en

intgrant celui def'.

Dmonstration :

Pourx0 = 0.f'(x) = a0 + a1x + ... + anx

n+ o(x

n)

Soit F(x) =f(x) f(0) a0x a1x

2

2 ...

anxn+1

(n+1). Alors :

F(0) = 0, et F'(x) =f'(x) a0 + a1x + ... + anx

n= o(x

n)

donc en appliquant le thorme des accroissements finis, on obtient :

f(x) =xF'(x) avec ]0,1[.

=x o(nxn) = o(xn+1)

EXEMPLE:

ln(1+x) = x x

2

2 +x

3

3 + ... + (1)n+1

x

n

n + o(xn

)

ln(1x) = x x

2

2

x3

3 ...

xn

n+ o(x

n)

arctan(x) =x x

3

3+

x5

5+ ... + (1)n

x2n+1

2n+1+ o(x

2n+2)

Il est noter que le dveloppement limit de arctan a permis la fin du XVIIme une avance

spectaculaire dans le calcul des dcimales de , bas jusque l sur la mthode d'Archimde (IIImeavant JC) qui approxima un cercle par un polygone dont on calcule la longueur du primtre oul'aire. Archimde utilisa un polygone de 96 cts, Al-Kashi (XVme) un polygone de 3 228 cts,

Ludolph van Ceulen ( 1600) un polygone de 262 cts, obtenant pour ce dernier une trentaine dedcimales. Cette mthode fut abandonne au profit de mthodes donnant des expressions de sousforme d'arctan. Citons en particulier la formule de Machin (1706) que le lecteur assidu se chargera de

prouver :

4

= 4 arctan1

5 arctan

1

239

Machin obtint ainsi une centaine de dcimales. On connat aujourd'hui (2006) plus de 1000 milliards

de dcimales de , obtenues partir de la formule de Takano (1982) :4

= 12 arctan1

49+32 arctan

1

57 5 arctan

1

239+ 12 arctan

1

110443

PROPOSITION :

Sifadmet un dveloppement limit en x0 l'ordre n, etsi l'on sait quef' admet un dveloppement

limit l'ordre n1 (par exemple parce quefest de classe Cn), alors le dveloppement limit def '

s'obtient en drivant celui de f.

En effet celui defs'obtient en intgrant celui def'.

EXEMPLE:

1

(1x)2 = 1 + 2x + 3x

2+ ... + nx

n1+ o(x

n1) en drivant

1

1x= 1 +x + ... +x

n+ o(x

n)

On aurait pu aussi :

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u effectuer le produit du dveloppement limit de1

1xpar lui-mme

u effectuer le dveloppement limit de1

1+uavec u = 2x +x

2

u utiliser (1x)

avec = 2.

On remarquera que le fait quefadmette un dveloppement limit ne suffit pas pour quef' en admette

un.

Exemple :f(x) = 1 +x +x2

+x4

cos(1/x) =1 +x +x2

+ o(x3)

maisf'(x) = 1 + 2x + 4x3

cos(1/x) +x2

sin(1/x) 1 + 2x + o(x2)

III : Utilisation des dveloppements limits

1- Calcul de limites

Les dveloppements limits se substituent aux quivalents, lorsque ceux-ci ne suffisent pas.

Considrons par exemple un parachutiste sautant d'une hauteur h avec une vitesse nulle et soumis

l'acclration de la pesanteur et une force de frottement oppose sa vitesse et proportionnelle celle-ci. L'quation diffrentielle vrifie par son altitudez est :

m..z = mg k

.z,z(0) = h et

.z(0) = 0

On en dduit que :

.z =

mg

kexp(

kt

m)

mg

k

puis que :

z = m

2g

k2 exp(

kt

m

) mg

k

t+ h +m

2g

k2

On s'intresse ce qui se passe lorsque l'argument de l'exponentielle tend vers 0. Un dveloppementlimit l'ordre 3 fournit :

z = h 1

2gt

2+

1

6kt

3g

m+ o(

kt3

m)

Ce qui signifie :u Ou bien ket m sont fixs, et quand ttend vers 0, on a :

z = h 1

2gt

2+ o(t

2)

Au dbut de la chute, on est quasiment en chute libre. L'erreur est en t3.

u Ou bien tet m sont donns, et ktend vers 0. On a :

z = h 1

2gt

2+ o(k

0)

Lorsqu'il n'y a pas de frottement, on est en chute libre. L'erreur est en k.

u Ou bien ket tsont fixs et m tend vers . On a :

z = h 1

2gt

2+ o(1/m

0)

Si la masse devient importante, le parachute perd de son efficacit. On obtient la chute libre, avec

une erreur en1

m.

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- 11 -

2 Etude locale d'une courbey =f(x)

Si, au voisinage dex0, on a :

f(x) = a0 + a1(xx0) + a2(xx0)2

+ o((xx0)2)

alors :

y = a0 + a1(xx0) est l'quation de la tangente.fse prolonge par continuit enx0 parf(x0) = a0.

On a par ailleurs f '(x0) = a1, mais rien ne dit que f est deux fois drivable, mme si f admet undveloppement limit l'ordre 2. Il suffit pour cela de considrer la fonctionfdfinie par :

f(x) =x3

sin1

xen 0, avec a0 = a1 = a2 = 0

On af'(x) = 3x2

sin1

xx cos

1

xetf'(0) = 0, maisf

"(0) n'est pas dfinie.

Si a2 0, la position par rapport la tangente est donne par le signe de a2.

Si, au voisinage dex0, on a :

f(x) = a0 + a1(xx0) + a3(xx0)3

+ o((xx0)3)

et si a3 0, alors il y a un point d'inflexion au point d'abscisse x0 puisque la courbe traverse satangente.

3 asymptotes

Si au voisinage de , on a :

f(x) = a0x + a1 +a2x

+ o(1/x)

alors :

y = a0x + a1 est l'quation de l'asymptote.

Si a2 0, la position par rapport l'asymptote est donne par le signe de a2.

Exemple :

f(x) =x2

ln(1 +1

x) =x

2(1

x

1

2x2 +

1

3x3 + o(1/x

3))

= x 1

2+

1

3x+ o(1/x)

On ne ngligera pas cependant les mthodes usuelles lorsqueftend vers si x tend vers , savoir :

Si limx

f(x)

x= 0 il y a branche parabolique de direction Ox.

Si lim

x

f(x)

x

= il y a branche parabolique de direction Oy.

Si limx

f(x)

x= a 0, il y a direction asymptotiquey = ax.

Si limx

f(x) ax = b alorsy = ax + b est asymptote.

Si limx

f(x) ax = alors il y a branche parabolique dans la directiony = ax.

4 Etude locale d'un arc paramtr

On rappelle que, dans le cas d'un arc paramtr tF(t) = OM(t) de classe C1, le vecteur :

limtt0

1

tt0.M(t)M(t0) =F

'(t0)

8/14/2019 Dl Taylor

12/15

- 12 -

s'il est non nul, est un vecteur directeur de la tangente l'arc en M(t0). Le point est dit rgulier.

L'objet de ce chapitre est d'tudier la position de la courbe par rapport la tangente, y compris

lorsqueF'(t0) = 0 (point stationnaire).

a) Tangente :Nous supposerons queF admet un dveloppement limit un ordre suffisamment lev tel que :

F(t) =F(t0) + (t t0)nan + o((t t0)

n) avecan 0

ou bien en effectuant simultanment un dveloppement limit sur chaque composante deF, ou bien

parce queF est de classe Cn

avecF(n)

(t0) 0.

La tangente est la droite passant par M(t0) et de vecteur directeuran. En effet,F(t) F(t0) est gal

M(t)M(t0). C'est donc un vecteur directeur de la corde. Il en est de mme de1

(t t0)n (F(t) F(t0))

qui est gal an + o(1). an, qui est la limite de ce vecteur quand t tend vers t0, est un vecteurdirecteur de la tangente.

Dans le cas d'un point rgulier, n = 1,an =a1 =F '(t0).

EXEMPLE:

x(t) = t

3

y(t) = t2

La tangente en 0 a pour vecteur directeur

0

2 puisqueF(t) =

0

t2 + o(t

2)

b) Concavit :

Dans ce paragraphe, on suppose queF

admet en t0 un dveloppement limit de terme gnral(t t0)kakqui vrifie les hypothses suivantes :

i) Il existe un plus petit entier n tel que :an 0.ii) Il existe un plus petit entier m, (suprieur n) tel que (an,am) forme une base du plan.

M(t0)M(t) peut s'crire X(t)an + Y(t)am avec:

X(t) (t t0)n et Y(t) (t t0)m quand ttend vers t0.

Plusieurs cas se rencontrent, obtenus en tudiant les signes de X(t) et Y(t) suivant que t < t0 ou

t> t0 :u Le cas usuel : n = 1 et m = 2. C'est le cas des reprsentations graphiques de fonctions y = g(x), o

F

'(x0) a pour composantes (1, g'(x0)) etF

"(x0) a pour composantes (0, g"(x0)), si la drive secondede g est non nulle enx0. C'est galement le cas des points ordinaires des courbes planes. Ces pointssont appels birguliers.

Cas analogue au cas prcdent : n impair et m pair. La courbe reste du mme ct de la tangente.amindique le sens de concavit de la courbe.

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13/15

- 13 -

M

F"(t0) ouam

F'(t0) ouan

u Cas o n est impair et m impair (en gnral, n=1 et m=3) : la courbe traverse sa tangente. On a un

point d'inflexion.

M

a3

a1

u Cas o n est pair et m impair : la courbe traverse la tangente, mais la composante suivant le

vecteur tangent garde un signe constant. On a un point de rebroussement de premire espce.

a3

a2

M

u Cas o n est pair et m est pair : la courbe reste du mme ct de la tangente, et la composante

suivant le vecteur tangent garde un signe constant. On a un point de rebroussement de deuximeespce.

a2a4

M

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14/15

- 14 -

IV : Dveloppements limits usuels

ex

= 1 +x +x

2

2+

x3

3!+ ... +

xn

n!+ o(x

n)

sh(x)= x +x

3

3!+

x5

5!+ ... +

x2p+1

(2p+1)!+ o(x

2p+2)

ch(x) = 1 +x2

2+x

4

4!+ ... + x

2p

(2p)!+ o(x

2p+1)

sin(x)= x x

3

3!+

x5

5!+ ... + (1)

p

x2p+1

(2p+1)!+ o(x

2p+2)

cos(x) = 1 x

2

2+

x4

4! ... + (1)

px

2p

(2p)!+ o(x

2p+1)

(1 +x)

= 1 + x + (1)2

x2

+ ... +(1)(2)...(n+1)

n!x

n + o(xn)

1

1 x= 1 + x +x

2+ ... +x

n+ o(x

n)

11 +x

= 1 x +x2 + ... + (1)nxn + o(xn)

ln(1+x) = x x

2

2+

x3

3+ ... + (1)

n+1x

n

n+ o(x

n)

ln(1x) = x x

2

2

x3

3 ...

xn

n+ o(x

n)

arctan(x) =x x

3

3+

x5

5+ ... + (1)

nx

2n+1

2n+1+ o(x

2n+2)

tan(x) = x +x

3

3+

2x5

15+ o(x

6)

th(x) = x

x3

3 +

2x5

15 + o(x6

)

Annexe : Energie potentielle et stabilit d'un quilibre

Considrons une particule de masse m soumise une forceF drivant d'une nergie potentielle Ep.

Nous supposerons que Ep ne dpend que d'une variable d'espace que nous noterons x le long d'un

axe. Par exemple dans le cas d'un ressort, x est l'longation du ressort. Dans le cas de la pesanteur, x

est l'altitude. On a alors simplement, le long de l'axe des x, F = dEpdx

, ce qu'on peut crire encore

sous la forme :

ma = dEp

dx

o a est l'acclration de la particule

mdVdt

= dEpdx

o V est la vitesse de la particule

m V dVdt

= dEpdx

V en multipliant par V

m V dVdt

= dEpdx

dx

dt=

dEpdt

en considrant la composition des fonctions tx Ep

12mV

2= Ep + Cte en intgrant

12mV

2+ Ep = Cte

8/14/2019 Dl Taylor

15/15

- 15 -

La Cte s'appelle nergie totale de la particule. Elle est donc invariante au cours du mouvement si

aucune autre force ne s'exerce.

Soit A le point correspondant, pour simplifier, x = 0 et supposons que la particule se trouve

initialement au repos en A. On a alors :

12mV2 + Ep = Ep(A)

Effectuons un dveloppement limit de Ep au voisinage de A (en supposant Ep de classe C2) :

Ep = Ep(A) +xdEpdx

(A) +x

2

2d

2Ep

dx2 + o(x

2)

La force F s'exerant sur la particule est :

F = dEpdx

= dEpdx

(A) xd

2Ep

dx2 + o(x)

Plusieurs cas sont considrer :

u

dEp

dx (A) 0Alors en A, F 0 et la particule est chasse du point A.

udEpdx

(A) = 0

Alors en A, F = 0 et la position en A est une position d'quilibre.

Ds qu'on s'loigne de A, on a :

F = xd

2Ep

dx2 + o(x)

Si d

2

Epdx2 (A) > 0, alors F est au premier ordre gal x d

2

Epdx2 , oppose x. La force F est donc une

force de rappel ramenant la particule en A. Proportionnelle l'loignement x, elle est comparable laforce de rappel d'un ressort, et, au premier ordre, le mouvement sera sinusodal. Ep tant suppose

C2, la condition

d2Ep

dx2 > 0 est vrifie dans un voisinage de A. La fonction x Ep est convexe, avec

un minimum en A.Les positions d'quilibre stable correspondent aux minima de Ep.

Sid

2Ep

dx2 (A) < 0, alors F est au premier ordre gal x

d2Ep

dx2 , de mme sens que x. La force F est

dirige dans la mme direction que le dplacement et tend donc amplifier ce dplacement. Au

moindre cart, la particule va donc s'loigner de A. L'quilibre est instable. Ep tant suppose C2, la

conditiond

2Ep

dx2 < 0 est vrifie dans un voisinage de A. La fonction x Ep est concave, avec un

maximum en A.Les positions d'quilibre instable correspondent aux maxima de Ep.

Sid

2Ep

dx2 (A) = 0, il faudrait pousser le dveloppement limit plus loin pour pouvoir conclure. Dans le

cas par exemple od

3Ep

dx3 (A) 0, on a (au second ordre) F =

x2

2d

3Ep

dx3 (A). D'un ct de A, la

particule est ramene vers A, mais de l'autre ct elle en est chasse. C'est le cas o le graphe de Epadmet un point d'inflexion avec tangente horizontale.