Domaines convexes par rapport aux fonctions plurisousharmoniques

DOMAINES CONVEXES PAR RAPPORT AUX FONCTIONS

PLURISOUSHARMONIQUES

P a r

P i e r r e L e l o n g

Lille, France

1. Introduction.

Nous 6tudierons ici une notion de convexit~ des domaines dans l'espace

E n des n variables complexes X1 . . . . . Xn. Nous dirons pour abr~ger qu'un

domaine D de E n e s t P-convexe s'il est convexe par rapport ~ la classe

L (D) des fonctions plurisousharmoniques dans D.

La notion introduite ainsi est en relation avec les propri~t6s g6om&riques

raises en lumi~te par l'6tude des domaines d'holomorphie et celle des sin-

gularit~s des fonctions analytiques de n variables complexes. En effet un

domaine d'holomorphie de fonction uniforme est un domaine P-convexe.

L'&ude des fonctions analytiques a multiplid les ~nonc~s donnant des conditior~s

n&essaires pour qu'un domaine D, univalent, soit domaine d'holomorphie.

Tant6t on formule des conditions locales sur la fronti~re de D, supposde

d'ailleurs assez r~guli~re (pseudo-convexit~ de E. E. L e vi), tant6t on ~nonce

des propri~tds relatives ~ la "continuit~ des singularit6s" O). Rappelons aussi

que par des considdrations simples li~es ~ l'&ude de la s~rie de Taylor nous

avons 6tabli [7], [8] que la distance 8 (M) d'un point M int6rieur ~ D ~ la

fronti~re d'un domaine d'holomorphie D poss~de la propri6t8 que - - log 15 (M)

est fonction plurisousharmonique de M dans D, et cette conclusion demeure

valable pour divers types de distance. Elle entralne en particulier l'existence

d'une fonction plurisousharmonique d~finie dans D qui tend vers q-oo quand

on s'approche de la fronti~re de D. La diversit~ apparente de ces propri6t~s

appelait une ~tude qu'on s'est efforc6 de fake ici, celle de leur ~quivalence,

deux propri~t~s 6tant dites 6quivalentes si tout domaine (univalent) de E"

qui poss~de l'une poss~de aussi l'autre. En 6tudiant la P-convexit~ comme

1. Voir [10] et [4] et, pour l'ensemble de la bibliographie ant~rieure ~ 1934, voir [1].

I78

FONCTIONS PLURISOUSHARMONIQUES 179

une notion appartenant ~ la g~om~trie de l'espace E n, nous ~tablirons ici l'~clui-

valence des propri~t~s rappel~es plus haut ; nous interpr~terons au passage au

moyen de la P-convexit~ quelques ~nonc~s anciens. En fait seules interviennent

dans les d~monstrations les propri~t~s des fonctions plurisousharmoniques.

La P-convexit~ (on ~vite ~ dessein le mot pseudo-convexit~ employ~

ces derni~res ann~es avec des acceptions assez variables) apparalt d'~vidence,

partir de la d~finition donn~e plus haut, comme une propri~t~ d'un domaine

qui demeure invariante par les hom~omorphies analytiques complexes (trans-

formations pseudo-conformes). Comme on l 'a remarqu~ ailleurs [9], elle

peut 6tre pr~sent~e comme une extension ~ l'espace E'* de la notion de

domaine convexe dans l'espace euclidien.

On ~tablira ici que, ~ l'instar de ce qui a lieu pour la convexit~

ordinaire, la P-convexit~ locale d'un domaine entralne sa P-convexitY. De la

sorte, il s'agit bien, au moins dans E n, d'une notion susceptible d'une d~finition

locale, quoique certaines des propri~t~s g~om~triques qu'elIe entralne ne con-

servent pas n~cessairement cet aspect.

Cette ~tude nous a conduit ~ revolt quelques r~sultats dont certains,

comme celui de E. E. L e v i [10] sont aujourd'hui classiques. Signalons que

la condition L (~p) > 0 donn~e par E. E. L e v i s'introduit ici comme une

condition locale, n~cessaire et suftisante, pour clue l'ensemble lp = 0 soit, au

voisinage d'un point, l 'ensemble des z~ros d'une fonction plurisousharmonique

dont la forme hermitienne associ~e est d~finie positive.

Plusieurs ~nonc~s concernant des probl~mes d'~quivalence pour n = 2

ont ~t~ donn~s par K. O k a dans la derni~re partie de son m~moire VI

(voir [12]) ; plus r~cemment, H . J . B r e m e r m a n n a montr~ dans sa Th~se

[2] que le "th~or~me de continuitY" suppos~ v~rifi~ pour la fronti~re de D

entralne pour ce domaine la propri6t~ rappel~e plus haut: - - l o g ~ (M) est

pour M ~ D une fonction plurisousharmonique de M, ~ (M) 6tant la distance

euclidienne de M ~ la fronti~re de D.

Nous utiliserons ici pour les d6monstrations les propri~t~s des fonctions

plurisousharmoniques ~tablies dans [7] et [8]. Nous proc~derons en 6tablis-

sant une suite d'inclusions (C~)C ( C j ) C (C,).. . entre classes de domaines

ferm~es, c'est ~ dire telles que (C~)I=(C~), (C~) I ~tant obtenue en fermant

(C~) par l'adjonction des domaines limites de suites r r o i s s a n t e s de

180 PIERRE LELONG

domaines DnE (Ci). L'6quivalence des classes (Ci) r6sultera alors du retour

la classe P-convexe prise comme point de d6part.

2, P-convexi t6 des d o m a i n e s dans l ' espace E".

Darts la suite les domaines consid6r6s seront toujours suppos6s

univalents. On notera D1C C D2 1'inclusion stricte de D1 dans D2, qui

signifie que D~ et sa fermeture D1 appartiennent ~ D2. On notera L (D)

la classe des fonctions plurisousharmoniques (ibis) dans un domaine D. On

appellera domaine compact un domaine born6 augment6 de sa fronti~re.

D6finition. U n d o m a i n e D e s t d i t P - c o n v e x e , (ou c o n -

v e x e p a r r a p p o r t a u x f o n c t i o n s p l u r i s o u s h a r m o n i q u e s ) ,

si, ~ t o u t s o u s - d o m a i n e A C C D , c o r r e s p o n d u n d o m a i n e A"

c o n t e n a n t A ( A c A ' ) a v e c l e s p r o p r i 6 t 6 s s u i v a n t e s :

a) A'C C D ,

b) s o i t o; u n e n s e m b l e o u v e r t q u e l c o n q u e a p p a r t e n a n t

D ' A ' ; i l e x i s t e un p o i n t P ~ c o e t u n e f o n c t i o n V ~ L ( D ) ,

de m a n i ~ r e q u ' o n a i r

v (P) > v ( i ) ,

V(A) 6 r a n t la b o r n e s u p 6 r i e u r e d e V s u r le d o m a i n e A.

De la d6finition donn6e d6coule:

Proposi t ion 1. Si D e s t P - c o n v e x e , e t si Y=T(X) e s t u n e

t r a n s f o r m a t i o n a n a l y t i q u e c o m p l e x e b i u n i v o q u e ( t r a n s -

f o r m a t i o n p s e u d o - c o n f o r m e ) d e D en un d o m a i n e D', a l o r s

D'=T(D) e s t a u s s i P - c o n v e x e .

En effet la famille L (D') se compose des fonctions plurisousharmoniques

transform6es de celles de L (D) et d'autre part la d6finition de la P-con-

vexit6 ne fait intervenir que des rapports topologiques dans E n, rapports

qui sont conserv6s par la transformation T.

En se r6f6rant ~ la topologie de E ~, on dira par abr6viation que la

fonction f ( M ) tend vers +oo quand M "tend vers la fronti~re" de D si

tout nombre .4 on peut faire correspondre un compact K C D tel que

f(M)>A pour M~D--K. Proposi t ion 2. S ' i l e x i s t e u n e f o n c t i o n V E L ( D ) q u i t e n d

l b i s Pour la d6finition et l'6tude de ces fonctions, voir les Notes [7], ou ]e m6moire [8].


v e r s +oo q u a n d M t e n d v e r s la f r o n t i ~ r e d e D, D e s t

P - c o n v e x e .

En effet ~ un domaine A C C D, la foncdon V fait correspondre le

hombre U(A) qui est fini, U ayant une borne sup~rieure finie sur un

compact de D.

Choisissons alors A > G(A) et un compact K tel que l 'on ait

U(M)>A pour M E D - - K ; construisons le domaine A' de mani~re que

l 'on ait K C A ' C CD. Alors si ~ A on fait correspondre A', les conditions

de la d6finition pr~c~dente sont v6rifi~es car on a

A ' C C D U (P) > A > G (A) pour P ~ O - - A'.

Ainsi D est P-convexe.

On remarquera que l'espace E n lui-m6me, muni de la topologie usuelle,

est une vari5t6 P-convexe ; la fonction

Z (X) = max log lX, I i

tend en effet vers +co quand le point X = (X{) "tend vers la fronti~re"

de E n.

3. Expression de la P-convexit~ ~ part ir d ' une m~trique.

X ~ Soit M ( ~ ) un point du domaine D; nous d6signerons par ~5 (M) la

distance de M g la fronti~re de D: c'est le rayon de la plus grande boule

de centre M dont l'int6rieur appartient ~ D.

Soit d'autre part A = (A,) une direction complexe: ~Sa (M) d6signera

la distance de M ~ D ~ la fronti~re de D parall~lement h A, c'est-h-dire le

rayon du plus grand cercle d6fini par:

(1) X u = X ~ + A k U , I U ] K S a ( M ) , Z / A u J 2 = I

de centre M(X~k), porte par le plan d'~quations (1).

Soit encore 5"(M) la distance (~) de M ~ la fronti~re de D d~finie

X ~ comme la borne sup~rieure des nombres r tels que le cylindre [ Xk - - ~ I < r,

(k ~-1 . . . . . n) appartienne ~ D.

Appelons (iF), (F1), (F') les classes de domaines univalents de l~ n tels

2. appel6e parfois "Randdistanz" relativement au domaine D (cf. H. C a r t a n et P. T h u l l e n , [3]).

i82 PIERRE LELONG

que, respectivement, - - log ~i (M) , ou - - l o g S a ( M ) pour tout A, ou

- - log ~ ' (M) soit une fonction plurisousharmonique de M pour M appar-

tenant /~ D, ou la constante --oo. Soit, d'autre part, (Co) la classe des

domaines P-convexes. On obtient entre les classes ainsi d6finies les relations :

Proposi t ion 3. a) ( r l ) c ( r ) c ( C 0 ) ,

b) (ro c (r') c (Co).

En effet on a ~i (M) ---- rain 8a (M) ; - - log ~ (M) = max [-- log 8a (M)]. A A

D'autre part ~5(M) est, par d6finition, une fonction continue. Si le

domaine D est de classe (F0, - - Iog~a (M) est fonction plurisousharmonique

pour tout A (ou - -o0) ; - - l og~ (M) fonction continue, est alors fonction

plurisousharmonique de M dans D ; donc (F , )C(F) . De plus --log~5 (M)

tend vers +oo quand M tend vers la fronti~re de D si D est suppos6 born6.

On a alors ( r ) c ( C 0 ) d'apr~s la proposition 2, et la remarque faite surE".

Pour la d6monstration de b), remarquons que si h(A) est le rayon

du cercle d6coup6 sur le plan

Xk = Ak U

par le polycercle I Xj J< 1, on a :

~ ' (M)-= rain 8 A ( M ) h(A)

D'ofi r6sulte :

- - log ~' (M) = max [-- log 8a (M) + log h (A)]. A

La fonction entre crochets est une fonction plurisousharmonique de M,

la direction A 6tant fix6e; quand on fair varier celle-ci M appartenant

un domaine compact dans D, cette fonction est born6e sup6rieurement; de

plus l'enveloppe sup6rieure - - l og ~5'(M) est fonction continue de M. I1 r6sulte

alors de propri6t6s connues des fonctions plurisousharmoniques (~) que

- - l o g S ' ( M ) est fonction plurisousharmonique de M dans D, quand il en

est ainsi de - - l o g 8a (M) pour tout A; on ach~ve d'&ablir b )en consid6rant

le cas off - - l og 8a (M) est - - oo pour certaines directions A, ou bien pour

toutes.

3. Voir [8], p. 319.


4. Domaines P-convexes d~finis comme composantes compl~tes

d'un ensemble V < 0 .

Nous dirons que le domaine D est d~fini comme composante de

l 'ensemble V < 0 (ou plus bri~vement par V < 0 ) lorsque:

1 ~ V e s t une fonction semi-continue sup~rieurement d6finie dans un

domaine D ' D D D .

2 0 . D est une composante connexe de l 'ensemble V<O, s t r i c t e -

m e n t i n t 6 r i e u r e A D'.

Ces conditions 6quivalent aux suivantes: I ) C D ' , V < 0 sur D et tout

point fronti~re de D est limite de points de D ' - - D en lesquels V_> 0 .

Si V e s t plurisousharmonique dans D', nous dirons que D est de

classe (C~).

Nous poserons :

( G ) '~ = ( C l ) : ,

qui signifie que (C1) e s t l a c l a s s e d e s d o m a i n e s o b t e n u s

c o m m e l i m i t e s d ' u n e s u i t e c r o i s s a n t e d e d o m a i n e s d e

c 1 a s s e (C~): pour que D appartienne ~ (C1) il taut et il suffit qu'il existe

une suite croissante Dq--~D, Dq 6tant d6fini par V q < 0 , off Vq est pluri-

sousharmonique dans D'q2) D Dq.

Pour la suite il sera commode d'introduire des sous-classes particuli~res

de (CI). Nous d6signerons par (C~) la sous-classe de (C~) obtenue quand

les fonctions Vq sont ind6finiment d~rivables. En utilisant les propri&6s des

fonctions plurisousharmoniques, on d6montre ais6ment:

On a (Cl) = (C,~):.

Composons en effet une fonction plurisousharmonique V(Xk), avec

un noyau ~ T(k), posit if ou nul, construit une lois pour toutes, et ind6fini-

ment d6rivable. Pour pr6ciser choisissons ~ (T1 . . . . , T~) ----- ~0 (tl, ..., t~) fonction 1

seulement des t~-----IT~I, nul en dehors du domaine r d6fini par T < t~< 1,

et satisfaisant

(2) y~o(T, ..... f ,(*, ..... t,,)tidt,...t, dt~= l . En F

D{finissons ensuite le noyau ~0p(T) en posant

gp (T, . . . . , T . ) = ,o -2" ~ ( T , / 9 - ' . . . . , T . p - ' ) ;

184 PIERRE LEI.ONG

1 T ~0p(T) v~rifie encore (2), est nul en dehors du domaine Fo; y p ~ [ k['~P,

est positif ou nul dans Fo, et est fonction ind~finiment d~rivable des

variables T~ dans ~.s.

La fonction compos~e

ff V (X, + Tk)~op(T,)do~(Tk) = f V (X, + pT,)q(Tk)dco(T,) (3) VP L

Fp I'

s'~crit encore :

(4) V P = (2#) n f 2 : (X , , pt,) ~0 (t,) t, at, ... t . a*. I'

o3 L ( X , , t,) d6signe la moyenne de V sur l'ar6te du cylindre de centre

(Xk), de rayon tk. D'apr~s (3), ~0 6tant positif ou nul, Vo est fonction

plurisousharmonique d6finie et ind6finiment d6rivable dans tout domaine

contenu dans D, dont les points ont une distance 8' au moins 6gale ~ p

de la fronti~re de D. De plus on a d'apr~s les propri6t6s de la moyenne

L (Xk, /k) :

et s i p tend en d~croissant vers z~ro, Vo tend en d~croissant vers V.

Soit D un domaine de dasse (C1): il est limite d'une suite croissante

Dq, avec Dq~ (C~). Montrons qu'on peut lui substituer une suite croissante

Gq, avec Gg~ (C~).

Soit pq une suite de hombres non croissants et tendant vers z~ro.

Si Dq est d6fini par Vq< 0, Va 6tant plurisousharmonique dans D 'a~ ~Dq, et

si 8q est la distance de Dq ~ la fronti~re de D'q on posera p ' a = m i n ( ~ - , - ~ )

et on prendra pr Consid6rons la suite de fonctions Wq---VOq ls~q

d6finies par (3); on voit que Wq est d6fini dans un domaine G'q~Dq . Soit M0 un point fixe dans D. Dans G'q consid6rons la composante Ga de

l'ensemble ouvert W a < 0 , qui contient M0; elle est non vide ~ partir d'une

certaine valeur de q. On a GaC C DaC C G'a; Ga est de classe (C~). Enfin

GaCGa+I d'apr~s la croissance de Da et la non-croissance de la suite pa.

Finalement on a GaCGa+I ; lira Gq = D, GaC(C~), ce qui 6tablit l'assertion.

Faisons encore la remarque suivante, utile pour la suite: pour que le

F O N C T I O N S P L U R I S O U S H A R M O N I Q U E S

domaine D soit de classe (C1), il faut et il suflfit qu'~ tout domaine compact

KCD on puisse faire correspondre un domaine de classe (C1), soit o, avec

K C C o C C D ; en effet on pourra alors construire une suite ~ de domaines

croissants, avec oq ~ (C~), 6q -->- D .

Nous &ablirons la propri&6 suivante des fonctions plurisousharmoniques:

Proposi t ion 4. S o i t V u n e f o n c t i o n p t u r i s o u s h a r m o n i q u e

d a n s u n d o m a i n e D, e t E l ' e n s e m b l e V ~ 0 d a n s D. S o i t E ~

l e n o y a u o u v e r t d e E. Si A e s t u n e c o m p o s a n t e d e E"

s t r i c t e m e n t i n t 6 r i e u r e ~ D (fi, C C D ) , a l o r s A e s t u n

d o m a i n e d e c l a s s e (C1).

Soit V l = m a x ( V , 0); on peut dans l'6nonc6 remplacer V par V1

sans modifier A. Pour la d6monstration il suffit alors d'&ablir clue si K

est un domaine compact arbitraire contenu dans D, il existe o ~(C1) avec

KCoCC&. Choisissons p assez petit pour clue toute boule de rayon p, centr~e

sur la fronti~re F de & appartienne ~ D - - K et consid~rons V, ~ d~fini par

le proc~d~ de composition (3): V~ est d~fini dans un domaine D'~)& + F. Sur K on a V ~ = 0 . Sur F, on a V ~ 0 ; en effet si l 'on avait V ~ ( M ) = 0

pour M ~ F , on aurait V ~ = 0 dans toute une boule de centre M, de

rayon /9, et par suite M ne serait pas point fronti~re de A d6fini comme

une composante du noyau ouvert de l'ensemble V~ ~ 0 . Finalement on

a V ~ ( M ) ~ 0 pour M ~ F , ce qui entralne V ~ ( M ) ~ m ~ > 0 pour M ~ F ,

F &ant un ensemble compact. p /'~ .

Consid~rons alors la fonction continue W = V I - - - ~ , on a W<O

sur K, et W ~ 0 au voisinage de F : l 'ensemble W < 0 est non videdans A;

il contient une composante connexe o ~ K ; on a donc K C o C C A , o &ant

de classe (C~). L'6nonc~ est alors &abli. A partir de 1~ nous d~montrerons:

Proposi t ion 5. E n t r e l a c l a s s e P - c o n v e x e (Co) e t l a

c l a s s e (C,) o n a l ' i n c l u s i o n (Co)C(C:). Pour la d~monstration, soit D u n domaine P-convexe, K un domaine

compact contenu duns D ; montrons qu'il existe un domaine o avec

K C o C C D , et o~(C~). Soit A un sous-domaine de D, tel qu'on ait K c A c C D; puisque

D est P-convexe, il existe un domaine &' avec A C & ' C C D , une suite

186 PIERRE LELONG

IPq} dense dans D - - A ' et des fonctions V q ~ L (D) de mani~re que

vq (P0 > v~ (A).

Choisissons un domaine G avec A ' C C G C C D et substituons ~ Vq

la fonction plurisousharmonique V'q = aq Vq + bq , aq>O, de mani~re que

V'q(A)~-O, et que la borne sup~rieure de V'q dans G soit 6gale ~ 1. On

a alors V q (Pc) > O.

Soient :

W - - s u p V " a et W * = r e g s u p W a

(W ~ est l 'enveloppe sup6rieure semi-continue sup&ieurement de la suite V' a,

laquelle est born& dans G); on sait que W* est plurisousharmoniqueO)

dans G. On a alors W*=< 0 sur A, W*>O sur G - - A ' . Le noyau ouvert

de l'ensemble W * < 0 poss~de donc une composante connexe o qui satisfait

K C A C o C C G C C D , donc ~ K C o C C D , cequi&abli t l '6nonc~.

5. PropriEt~s de la frontibre ii~es au th~orEme de "continuitY".

Dans l '&ude des domaines d'holomorphie et de m~romorphie apparalt

la propri&~ suivante dont l'~nonc6, pour n = 2, remonte aux travaux de

F. H a r t o g s et E.E. L e v i , propri&~ qui concerne chez ces auteurs les

singularit& ou, si l 'on pr~f~re, la fronti~re du domaine d'holomorphie d'une

fonction uniforme; elle est appel& tant& "continuit6 des singularit&" (5);

tant& "pseudoconvexit6" du domaine d'holomorphie(6) et a fait l 'objet de

nombreuses &udes (7).

Pour l'6noncer, appelons d i s q u e dans l'espace E" l 'image Q du cercle

To : I U[ K 1 par une repr6sentation

Xk = q , ( U ) , (k = z, 2 . . . . . n )

o~t les ~ok sont analytiques de U, et non toutes constantes, pour [ U ] ~ 1,

et sont continues pofir [ U I ~ 1.

Nous dirons qu'une suite Qq de disques converge si les fonctions

~:r162 correspondantes convergent uniform~ment sur le cercle fermd Y0.

La limite est alors un disque Q ou un point.

4. Voir [8] p. 320, et [2] p. 28. 5. cf. B e h n k e - - T h u l l e n [1], p. 49. 6. cf. K. 0 k a, [12], p. 37. 7. Pour les domaines de m~romorphie voir K n e s e r [4].

F O N C T I O N S P L U R I S O U S H A R M O N I Q U E S 187

L'image b de la circonf6rence I U I = 1 sera appel6e le b o r d du

disque Q. La convergence Qq->-Q d6finie plus haut entralne celle des

ensembles de points, en particulier la convergence des bords bq + b e t lui

est 6quivalente.

Nous dirons de m6me que le disque Q (t) est une fonction continue

du param~tre t si ies s X~ = opt(U, 0 sont des fonctions continues

uniform~ment de t et de U pour I UI<~ 1.

Nous appellerons alors (C2) la classe des domaines D de !~.-qui

poss~dent la propri~t~ suivante (propri6t6 du disque):

Soit Q (t) une famille continue de disques obtenue pour - - 1 ~ t _<_ 0;

si Q(t) est dans D pour t < 0 , alors ou bien Q(0) est dans D, ou bien

son bord b(0) a des points communs avec la fronti~re F de D.l"l

Autrement dit : Q (t) ne peut venir toucher la fronti~re de D que si

son bord vient au contact de cette fronti~re.

Ii revient au m~me d'~noncer la propri~t~ sous Ia forme: soit (20 un

disque non r~duit ~ un point, dont le bord bo est darts D; s'il existe une

suite Qq de disques, avec QqCD, qui convergent vers Q0, alors on a QoCD. On passe en effet de la premiere propri~t6 ~ la seconde, d'apparence plus

precise, en englobant la suite Qq dans une famille continue Q(t) : Qq = Q (tq), tq < tq+l < 0 , tq ->- 0 . Alors le bord b (t) appartient n~cessairement ~ D pour

--ot < t <_ 0; la premiere forme de l'~nonc6 entraine la seconde.

On v6rifie ais~ment :

Proposit ion 6. La c l a s s e (C2) d 6 f i n i e p a r la p r o p r i 6 t ~ d u d i s c l u e e s t f e r m 6 e p a r r a p p o r t au p a s s a g e A la l i m i t e s u r

u n e s u i t e c r o i s s a n t e de d o m a i n e s : (C2)/=(C~). En effet soit Dq->-D une suite croissante de domaines et Q(t),

( - 1 < t _< 0) une famille continue de disques, Q0 -- Q (0) , non r6duit ~ un

point, ayant son bord bo dans D; soit Q ( 0 C D pour t < 0 . Montrons

qu'on a QoCD.

Le compact

Q ( - 1) + Y. b (t) - t ~ t < _ 0

q>q0; pour ces valeurs de q, Dq contient Q (t) pour appartient ~ D pour

8. Cf. B e h n k e - - T h u 11 e n [ l ] , p. 49 p o u r l ' ~nonc~ du " K o n t i n u i t i i t s s a t z "

s o u s sa f o r m e c l a s s ique , a i n s i que K n e s e r [4].

188 PIERRE LELONG

- - 1 < t ~ a , et l'on a ct ~ 0 d'apr~s la propri&6 du disque appliqu6e ~ Dq.

Ainsi on a Q0 C Dq pout q ~q0, et, par suite, Q0 C D .

Proposition 7. O n a

(co c

Soit en effet D un domaine de classe (cP), c'est-~-dire d~fini par

V < 0 , ou V est plurisousharmonique et d6rivable dans D ' ~ D . Soit

Q(t) une famille continue de disques pout - - I ~ t < 0 , Q(o) n'6tant pus

r6duit ~ un point, Q(t) appurtenant ~ D pour - - 1 N t N 0 , et b(t) 6tant

dans D pour - - l < ~ t s Montrons qu'on a Q ( 0 ) C D : la fonction V sur

Q(t) devient une fonction V [ f ~ ( U ) , t] ~ ~bt(U), sousharmonique de U

pour J U I < I , continue de U et t pour I U ] ~ I , - - l < t ~ < 0 , Q(t)

demeurant duns D' pour t appurtenant g l'intetvalle ferm6 - -1 < t ~ 0.

Sur le compact ~ b (t) contenu duns D, V a une borne sup6rieure - J ~ t g 0

n6gative - -m. On a donc C t ( U ) ~ - - m pour I UI ~ 1 , - -1 "< t < 0 , Ct(U)

&ant sousharmonique de U pour I u l < 1. On en d6duit

~b0 (U) = lira ~b,(U) < -- m . t = 0

Q(o)=limQ(t) appartient donc encore au domaine D d6fini par V < 0 .

Ainsi D v6rifie la propri6t6 du disque. On a alors

(C, ~) C (C~).

Mais on a 6tabli pr6c6demment:

(C,~)~ = (C,); (C, ) /= (C~).

On a donc

(C,) C (Cz).

Pout r6sumer les r6suttats d6j~ &ablis, notons qu'on a d6j~ construit

les deux chatnes d'inclusions:

( a , ) : (r ,) C ( r ) C (Co) C (c,) c (cz),

(A~): (r,) C (r') c (Co) c (c ,) c (c~),

reliant les classes de domaines &udi6es jusqu'ici.

6. l~tude locale des zeros d'une fonction plurisousharmonique. interpr6tation des conditions diffErentielles de E, E. L e vi.

1. Avant de poursuivre /'6rude des classes pr6c6dentes, pr6cisons


l'ensemble d6fini par V < O, au voisinage d'un point fronti&e en supposant

V plurisousharmonique et d6rivable, au moins jusqu'au 3~me ordre. On

posera, II d6signant une pattie r6elle:

Vi = OV V~ OV OX~ ' OX~

et, avec la convention des indices r~p&& :

(5) d lV~- - .V idX i , d2V=V~d '2 i - - -d lV , d V = d l V + d 2 V ,

(6) a,v = a, (av) + a~ (av) = a~v + a~v + za, as v = a~v + a ~ v + za, a ,v

= z [R(a~v) + a, a, v ] .

La condition de plurisousharmonicit~ s'exprime sur la diff~rentielle mixte:

(7) d, d, V > o.

La condition (7) est peu maniable pour une dtude locale: au contraire

la condition

(8) dl d~ V > 0

exprim& en un point M au voisinage duquel V est d6rivable, entralne

aussi (8) sur un domaine contenant M, donc le caract~re plurisousharmonique

en M. On se limitera ~ l'&ude de l'ensemble V < V (M) au voisinage de

M (X~) avec la condition (dl d2 V)M>0 . De (6) r&ulte alors:

Proposit ion 8. Si V e s t d 6 r i v a b l e au v o i s i n a g e d e M e t

s a t i s f a i t

(9) (a, as v )~ > 0,

1 ~ I I e x i s t e u n e v a r i ~ t ~ a n a l y t i q u e c o m p l e x e W

p a s s a n t p a r M, e t n n v o i s i n a g e to d e M, d e m a n i ~ r e q u ' o n

a i t V ( P ) ) V ( M ) p o u r P-T&M, P E o o ~ W ; IV p e u t 6 t r e o b t e n u e

e n a n n u l a n t u n p o l y n o m e S ( X k - - X ~ du s e c o n d d e g r 6 au

X ~ p l u s d e s v a r i a b l e s (Xu-- ~).

2 0 . I I e x i s t e u n e f o n c t i o n p l u r i h a r m o n i q u e H p o u r

l a q u e l l e o n a

H ( M ) = V(M) et H ( P ) < V ( P ) pour P ~ M , P ~ w .

En effet on a, d'apr~s (6)

1 v (x~ + d x ~ ) - v (x~ = a v + ~ a~v + ... = ~. (2a, v + a~v) + a~ d~ v + .. . .

X ~ (10) V ( k + dX,) -- V (X~ R [2VidXi + VLJdXi dXi] + Vi"~dXl d-Xi+ ....

190 PIERRE LELONG

La condition (9) entralne

dx a~ v = v,,~ d x , j x j >= ~ I d x I s

avec a > O , quel que soit le vecteur d X . Choisissons P(X~) dans un voi-

X ~ sinage to de M ( k ) , avec d X k = X k - - X ~ . Posons:

(11) S (dX~) = 2VidXi + V id dX~dXj

et appelons W la vari&~ d'6quation S (X , - - X~) = 0 ; (10) et (11) entrainent

alors pour P ~ W :

V (P) -- V (M) >= (ct -- Q IMP I s > O,

> 0 &ant rendu aussi petit qu 'on veut par le choix du voisinage considdrd.

La seconde partie de l'dnoncd s 'obtient de m~me en posant

H (P) = H (Xk) = R IS (X , - - X~k)].

2. Cherchons sous quelles conditions une fonction derivable ~ (X i , Xi)

peut avoir, au voisinage d'un point M off la condition (9) est vdrifi&,

les m6mes zdros que la fonction plurisousharmonique V; nous dirons que

q et V sont dquivalentes dans un domaine si les quotients V q~-i et 9 V - I

y sont des fonctions continues non nulles et ddrivables (on les supposera

positives, sans inconvdnient, dans la suite).

Cherchons quelles conditions doit remplir 9 pour &re dquivalente sur

un voisinage to de M ~ une fonction plurisousharmonique satisfaisant

(12) V(M) = 0 , (d, a2 v ) M > o .

Nous d~montrerons :

P r o p o s i t i o n 9a. P o u r q u ' i l e x i s t e u n v o i s i n a g e to d u

p o i n t M s u r l e q u e l ~ s o i t ~ q u i v a l e n t ~ l a f o n c t i o n V q u i

v 6 r i f i e (12), i l f a u t e t i l s u f f i t q u ' o n a i r au p o i n t M :

a) ~ , ( M ) = o ;

b) (dld2~)~c=qi3dX~dfCi>O p o u r t o u t v e c t e u r dX v ~ r i -

f i a n t q i d X i = O.

Nous appellerons b) l a c o n d i t i o n s t r i c t e d e E. E. L e v i C 9).

1 ~ La condition est n&essaire: en effet si ~r est 6quivalent ~ V dans

to, on a V- - - -U~ ; U > O est d~rivable dans co; on a q ( M ) = o ; on a

9. cf. B e h n k e - - T h u l l e n [1], p. 54.


ensuite, les d6riv6es &ant calcul6es en M :

dl d2 V = dl d2 (U~o)

(13) dxd2V=Udldzcc+(d~U)(dzq)+(d2U)(d lq )+~, d l d 2 U > o

qui pour dx ~ = O, q ( M ) = 0 se r6duit

dl d2 V = U (M) dl d2 ~ > O,

done flb).

2 ~ La condition est suffisante : soit ~0 v6rifiant a) et b) en M, d6rivable

au voisinage de M ; montrons qu'on peut trouver U > O au voisinage de M

de coordonn6es (X'~k) de mani~re que V = U~o v6rifie (12).

Distinguons deux cas:

Si en M la forme dl~o = ~oidXi est identiquement nulle (cas oi~

~ i ( M ) = 0 pour i = 1, ..., n) , la condition b) donne (dld2~)m>O pour

tout vecteur dX. I1 suffit alors de prendre U = 1, V ~ q, dans un voisinage

co de M o~t l 'on a d, d2 ~9 > O; la fonction ~ est elle mdme la fonction

plurisousharmonique cherch6e dans w.

Si d(p=~idXi n'est pas identiquement nulle adjoignons-lui n - - 1

formes lin6aires dE2 . . . . . dE,, formant avec d~0 un syst~me complet, ortho-

gonal dans l'espace des vecteurs dX. La forme hermitienne dl de ~ s'6crit q

(14) dld2(~ = qi,fdXid.k" i = A a d x ~ d ~ + XAidEidE~, q ~ n . 2

La condition b) entralne alors q---n, A i>o, la seconde forme devant

dtre d6finie pour dt (p = O.

Choisissons U avec d, U=~,d~o, ~. 6tant un nombre positif, de

mani~re clue [d~d2(U~o)]m>O. D'apr~s (13), il suffit de r6aliser

(15) u (m)[A~da~od~o + ~ A i d E , dEi] + 2 ) . d , ~ 0 d ~ > O . 2

On choisira U ( M ) > 0 ; il suflfit alors de prendre

2~. + A~ U ( M ) > o

OU

2~ = (ct--A1) U(M) , avec ~ > 0 .

On obtient :

(16) U (X~) = U (X~) [1 + (ct - - A,) ~0~ (X, - -X~) + (ct - - AI) ~FM (X{ - - ~.o)]

avec (x>O, A1 6tam d&ermin6 par (14); U peut-dtre pris sous cette forme

192 PIERRE LELONG

dans tous les cas, c'est-~-dire fonction lin6aire de X i - - X , ~ , -~i --Xi--~

Ainsi la condition stricte de E. E. L e v i , (d, dzq)M > 0 pour

(d~ q )u -~O est n6cessaire et suffisante pour que, au voisinage de M, les

z6ros de q soient les z6ros d'une fonction plurisousharmonique V, avec

(a, d~ V )u > o .

R e m o r q u e : Au lieu de l'ensemble ~-~ O, consid6rons l'ensembJe ~0< 0

au voisinage d'un point M. Nous obtenons:

Proposi t ion 9b. P o u r q u e d a n s u n v o i s i n a g e o d e M

l ' e n s e m b l e ~ < 0 p u i s s e 6 t r e d 6 f i n i c o m m e Y e n s e m b l e V<O,

V 6 t a n t p l u r i s o u s h a r m o n i q u e e t d 6 r i v a b l e d a n s o a v e c

(dtd2V),~>O, i l f a u t e t i l s u f f i t q u e 9 v 6 r i f i e l a c o n d i t i o n

s t r i c t e d e E.E. L e v i au p o i n t M.

3. En rapprochant les Propositions 8 et 9 et utilisant (11) on obtient

un 6nonc6 classique depuis les travaux de E. E. L e r iO~

Corol la i re : Si 9 e s t d 6 r i v a b l e au v o i s i n a g e d e M(X~) e t

v 6 r i f i e l a c o n d i t i o n s t r i c t e d e E.E. L e v i

(d, d2 ~)u > 0 pour (d, ~:)M = 0

a l o r s l ' e n s e m b l e q < q ( M ) p o s s ~ d e la p r o p r i 6 t 6 s u i v a n t e :

i l e x i s t e u n e v a r i 6 t 6 a n a l y t i q u e c o m p l e x e W p a s s a n t

p a r M, e t u n v o i s i n a g e co d e M de m a n i ~ r e q u e W f 3 o

a p p a r t i e n n e , l e p o i n t M e x c e p t 6 , ~ l ' e n s e m b l e ~ 0 < ~ ( M ) .

On peut d6finir W e n annulant le polynome S(Xk--X~k) du second

degr6 :

(17) S ( dXk) ~ 29 ~ dX~ + ( qo~.J + 2~. ~ ~:J) dX~ d X j

avec 2 ~ > - - A 1 o~ As est le coefficient qui figure dans l'expression (14)

de dl d2 ~ .

En effet on peut construire V = U g , d'apr~s (16), de mani~re que V

soit plurisousharmonique et 6quivalent ~ q au voisinage de M. On prendra

U ( M ) = 1. Ensuite (11) donne l'6quation S ( X k - - X ~ ) = O, 6crite en (17),

10. Le cas od la surface cr a un point singulier en Aff(~i = 0 en M, i--t ,2,. . . ,n) est laiss6 de c6t6 par E.E. Levi . Dans [12], p. 47, K. O k a traite ce cas pour n=2, et montre qu'on peut prendre pour W une vari~t~ lin6aire : c'est 1~ 6videmment un r6sultat, particulier ~ n--2, d~3 ~ la decomposition du c6ne

d~ = ~i,j dXi dXj = 0 pour n == 2.


de la vari&6 W, 6quation valable dans tous les cas. On remarquera que si

en M on a qgi~-0, i = 1 , 2, . . . , n , sans qu'on ait qg~.J=0 pour t o u s l e s 2

( i , j ) , le r6sultat amine ~ prendre pour W le cSne d~ q9 = 0 de sommet M.

X. Probl~me de i '~quivalence des classes.

1. Les propri6t6s &udi6es au paragraphe pr6c6dent conduisent ~ d6finir

deux classes de domaines, ~ partir des propri6t6s locales de 1'ensemble

fronti~re.

Nous dirons que le domaine D appartient ~ la classe (C~) si, ~ tout

point fronti~re M de D, on peut associer un voisinage co de mani~re que

co/'~D coincide avec 1'ensemble d6fini dans co par q < 0 , q &ant d6rivable

dans co et satisfaisant en M ~ la condition stricte de E. E. L e v i dtd2q>O

pour dl ~ = 0 .

On posera (C3) = (C~)/.

Nous dirons que D appartient /t la classe (C~) si ~ tout point fronti~re

M de D on peut associer une vari6t6 analytique W passant par M e t un

voisinage co de M, de mani~re que con W, M except6, soit ext6rieur ~ D.

En fermant la classe par l'op6ration qui fait passer ~ la limite d'une

suite croissante de domaines, on posera encore (C4)= (C~)/.

D'apr~s le corollaire du paragraphe pr6c6dent on a

c

qui entralne

(C3) C (C,).

2. Rattachons (C3) ~ (C1) en laissant pour le moment (C2) de c6t6;

on a (C1)= (C~)/, (C~) &ant la classe des domaines D d6finis par V<O,

V &ant plurisousharmonique et d~rivable darts D'S)DD. On a aussi

(C1) = (C~)/, (C~) &ant la sous-classe de (C~) obtenue en exigeant que V

satisfasse dans D' ~ dld2 V>O. Pour le voir il suffit (m de remplacer une

suite croissante Dq-->-D, DqC(C~), DC(C1) , par une suite Gq; G~ est

d6fini comme composante de l'ensemble n

V'q = Vq + ~q X Xi X~ < o; 1

Vq &ant plurisousharmonique dans D'qZ):~Dq, il en est de mdme de V'q.

11. cf. K. Oka [12], p. 46,

"194 PIERRE LELONG

On choisira alors un premier domaine compact KtCD,, puis E,< 1, assez

petit pour qu'on ait GI~K,; ensuite on prendra ~2<~- assez petit pour que

l'ensemble V2< 0 dans D'2 comporte une composante G2 qui contienne GI, 1 et ainsi de suite, en choisissant toujours 8 q ~ - et de plus t~q assez petit

pour que Gq contienne Gq_,. On &ablit ainsi:

D = lira Gr

soit :

(c,) =

D'autre part, il est imm&iiat que (C~)C(C~); en effet si D est d6fini

globalement par V<O avec d, dzV>o, la d~finition vaut aussi localement

au voisinage de chaque point fronti~re et la condition stricte de E.E. L e v i

est satisfaite, la fonction ~p 6tant la fonction V elle-m6me.

De (C~) C(Ca) , on d~duit par passage ~ la limite d'une suite crois-

sante de domaines:

(c,)

Finalement on a obtenu la suite d'inclusions:

(r,) c (r) c (Co) c (c,) c c (co .

3. Darts le but de fermer (A3) nous &ablirons

(COo( r , ) . On a :

(r,)~ -- ( r , )

d'apr~s les propri&~s des suites non croissantes de fonctions plurisoushar-

moniques. Il sut~t alors d'Etablir la proposition:

(C~') c ( r , ) ,

ou encore: si De (C~), V(M)=--logSa (M) est une fonction pluri-

sousharmonique de M ~ D, 8a (M) &ant la distance de M ~ D ~ la fronti~re

de D d~finie au paragraphe 3.

En vue de cette d~monstration remarquons que si V(P) est une

fonction semi-continue sup6rieurement dans D et si ~ tout point M de D

on peut faire correspondre une fonction ~b~ (P) plurisousharmonique dans

un voisinage cos/ de M, de mani~re qu'on ait:

V (M) = ~b i (M),

V(P) >= r pour P # M , P~rOM,


alors V e s t plurisousharmonique dans D: la propri&6 r6sulte de la d6finition

d'une fonction plurisousharmonique ~ partir des moyennes (d. [8], p. 317).

Revenons au probl~me pos6: si D appartient ~ (C4), tout point S

de sa fronti~re est centre d'une boule Bs dans laquelle est d6finie une

vari&6 Ws d6finie comme au paragraphe 6 en annulant un polynome du

second degr6, l'intersection Ws de Ws avec la boule f e r m 6 e Bs &ant,

S except6, ext6rieure ~ D.

Formons l'ensemble ferm6 E = X Ws pour S parcourant la fronti~re S

de D. Un ensemble tel que E constitu6 par des morceaux ferm6s Ws de

vari&& analytiques sans coh&ion l'un avec l'autre sera appel6 un agr6gat.

Soit M un point int6rieur ~ D; la distance de M ~ l'agr6gat E

parall~lement ~ une direction complexe A est &idemment 6gale ~ ~a (M).

On est ramen6 ainsi ~ l'&ude de la distance ~a (M) de M ~ un agr~gat.

Fixons la direction A. Alors si le plan (18) de direction (Ak) men~

par M de coordonn&s Xk rencontre l'agr6gat E, il existe sur E un ou

plusieurs points P, de coordonn&s Yk, de mani~re que

(18) Yk = X~ + A~ U avec ] U ] = 8a ( M ) .

Un tel point P sera dit associ6 ~ M sur l'agr6gat. Nous &ablirons:

Proposi t ion 10a. S o i t ~a(M) la d i s t a n c e de M g u n a g r 6 g a t

E de v a r i 6 t 6 s ~ n - - 1 d i m e n s i o n s c o m p l e x e s , p a r a l l ~ l e m e n t

u n e d i r e c t i o n A ; si p o u r M a p p a r t e n a n t ~ u n d o m a i n e

D 6 t r a n g e r ~ E, i l e x i s t e , p o u r c h a q u e M, p a r m i l e s p o i n t s

a s s o c i 6 s ~ M s u r l ' a g r 6 g a t , u n p o i n t P au m o i n s q u i s o i t

p o i n t i n t 6 r i e u r s u r u n e v a r i 6 t 6 au m o i n s d e l ' a g r 6 g a t ,

a l o r s - - l o g ~ a ( M ) e s t f o n c t i o n p l u r i s o u s h a r m o n i q u e d e M

d a n s D.

Soient en effet

( t9 ) X~ -- Ck + Bk T

les 6quations d'un plan (~r) que nous consid6rons au voisinage d'un de ses

points Mo int6rieur ~ D, de param&re To sur (~r). Montrons que sur (~r),

la trace

(20) q9 (T) -~ -- log 8a [X, (T)]

est sousharmonique au voisinage de M0.

196 PIERRE LELONG

Soit P0 un point associ~ ~ M0 sur E ; il existe par Po une vari&~

Wo de l'agr~gat d~finie dans une boule B de centre P0 par une ~quation:

F ( V t . . . . , V,) = F (Yk) ----- 0 ;

car le point P0 appartient ~ W0 comme point int~rieur. D'apr& (18) et

(19) l'~quation pr&~dente s'&rit:

(21) h (U , 7") = F [Ck + Bk T + Ak U] = O .

Soient Uo, To les deux param&res d~finissant Po; on a h(U0, To)= 0;

T d~finit M sur (n) au moyen de (19); U est le param&re d'un point Q

de Wo, intersection de Wo avec le plan (18).

La relation (21) demeure v6rifi& tant que Q demeure sur--W0 dans

le plan (18) passant par M ( X ~ ) .

On n'a pas h ( U , To)-~ 0 pour U voisin de Uo; sinon, on le voit

ais6ment, P o n e serait pas un point associ6 ~ Mo sur l'agr~gat E, celui-ci

comprenant un cercle T = To, I U-Uol<a, de centre Po dans le plan (18)

passant par Mo.

I1 existe a/ors un pseudo-polynome qui pour lU-Uol < rl , [T--To[<r2,

donne les racines de (21), et est de la forme:

(22) (U - - Uo) ~ + As (7") (U - - Uo) ~-' + ... + Ax (T) = 0

off les A i ( T ) sont holomorphes pour IT - -To l< ' r2 avec A ~ ( T 0 ) = 0 ;

(22) repr&ente Wo au voisinage de Po dans l'espace ( U , T ) . Pour T

donn~ voisin de To, on aura ~. racines Uk(T) de (22); si a/ors ~ a ( M )

repr6sente la distance de M, de param&re T, ~ W0, on a:

- - log ~-a (M) = max [-- log I U, (T) I] = $ (T). k

Les racines Uk (7") sont fonctions analytiques sauf en des points de rami-

fication isol&; elles ne s'annulent pas dans un voisinage de To. Cha-

cune des fonctions -- log 1 Uk (T) I est pluriharmonique en dehors des

points de ramification; ~:(T) est sousharmonique sauf peut-&re en ces

points isol&. Mais $(T) demeure born~ et continu en ces points;

$ (T) est donc fonction sousharmonique de T au voisinage de To. D'autre

part en remarquant que la distance ~ta (M) ~ l'agr~gat E est au plus ~gale

~ (M) pour M ~ M 0 , on a:

q~ (To) = -- log~a (X~,) = -- log I Uol = $ (To)

ep (7") = -- log 8a IX (T)] ~_ max [-- log I U, (T) t] = r ( T ) . k


Doric

q~ (To) = $ (To), r (T) _~ $ (T) pour T voisin de To.

q~ (T) est alors sousharmonique de T en To d'apr~s une remarque fake plus

haut, ~ (T) &ant elle m~me sousharmonique dans un voisinage de To.

Finalement on a &abli que - - log 8a (M) est sousharmonique sur (~)

au voisinage d'un point donn~ Mo ; -- log 8a(M) est donc plurisousharmonique

et la proposition est &ablie.

Revenons maintenant ~ un domaine D de classe (C~). Par tout point

P de la fronti~re de D, nous faisons passer une vari&~ W dont nous ne

retenons qu'un 61~ment W, intersection de W avec une boule ferm& de

centre P, de mani~re que W, le point P exceptS, soit ext~rieur t D; nous

formons ainsi un agr6gat que nous substituons ~ la fronti~re de D. Soit M

un point de D; si P e s t un point fronti~re associ~ ~ M, ~ distance finie,

il est point int&ieur d'une vari&~ de l'agr~gat. Ainsi donc, si D est borne,

iI r&ulte de la proposition pr&~dente que - - log 8x (M) est fonction pluri-

sousharmonique de M dans D, c'est-~-dire que D ~ (C~) entraine D e ( r l ) .

si D n'&t pas borne, on consid~rera D comme limite d'une suite

Dp, Dp &ant une composante de l'intersection de D avec la boule

Y~iXiXi--p2<O; on choisit Dp croissant avec p. II est imm6diat qu'une

boule est de classe (C~), donc de classe (C~); on volt ais~ment que

1'intersection de deux domaines de classe (C~) appartient ~ la classe (C~).

Ainsi D = lira Dp, Dp~ (C~), Dp est born6. On a alors Dp~ (r l ) . D'apr&

les propri&& des suites non croissantes de fonctions plurisousharmoniques

on a

( r , ) f = ( r , ) .

D'o~ r6sulte D ~ (r,) et l'6nonc6 :

Proposition 11. ( C O C ( r 0 .

4. Le probl~me de l'6quivalence des diff6rentes classes rencontr6es

sera resolu par l'6nonc6 suivant:

Th6or6me 1. L e s c l a s s e s de d o m a i n e s : ( r 0 , ( r ' ) , ( r ) ,

(c1), (Cz), (c3), ( c o c o i n c i d e n t a v e c l a c l a s s e (Co) d e s

d o m a i n e s c o n v e x e s p a r r a p p o r t a u x f o n c t i o n s p l u r i s o u s -

h a r m o n i q u e s .

198 PIERRE LELONG

En tenant compte des propositions 3, 5, 9 on a en effet les inclusions

(r~) C (r) C (Co) C (c~) C (G) C ( c o C ( r , ) ,

qui entralnent

( r , ) = ( r ) = (c0) = ( c , ) = (c3) = ( G ) .

D'autre part on a 6tabli au paragraphe 3

(r , ) C ( r ' ) C (Co)...

qui entratne

(r ' ) = (Co).

Enfin la Proposition 7 nous a donn4 (C1)c(C2). Dans sa Th~se,

H .J . B r e m e r m a n n [2, p. 50] 4tablit (C2)C:(F,).

Nous compI~terons sa ddmonstration sur un point particulier. O2} Si

D satisfait a la propri4t4 du disque et n'appartient pas a la classe (rl),

alors il existe un domaine d'un plan (a) d6fini par (19), dans lequel

q0 (T) d6fini par (20) n'est pas sousharmonique (ou - - ~ ) . On peut alors

trouver un cercle (k), de ffonti~re (f) , sur (a), une fonction h(T) harmonique

dans (k), continue sur (f), de mani~re que l'on ait cp ( T ) - h ( T ) ~ 0 sur

(f), mais cp(T)--h(T)~.O en des points int4rieurs a (k). En observant

que cp (T) -- h (T) est une fonction semi-continue sup6rieurement, on constate

qu'elle atteint son maximum m, positif, dans (k) et que l'ensemble

c p ( T ) - - h ( T ) ~ m est un ensemble ferm~ e dans (k), disjoint de (f) .

I1 existe alors une circonf&ence concentrique (k') plus petite renfermant e

strictement a son int6rieur. Sur sa fronti~re (f ') , on a

q~ (T) - - h (T) G m, < m

et il existe un point To int&ieur a (k') en lequel

q~ (To) - - h (To) = m.

Au point To on a ~a [Xk (To)] = e--q~ il existe alors un point P,

ffonti~re de D, de coordonndes

(23) Xk = Ck + Bk To + Ak e-~ro)'-~.

Dans (k) construisons la fonction h'(T) harmonique conjugude de

h (T), en achevant de la d6terminer par la condition h' (To) = a. Posons alors :

12. I1 importe en effet que les disques Q(v) utilisds plus loin soient des images c o n t i n u e s du cercle fe rm6.


(24) g ( T ) = h + ih' + m , G(T) =- e-~(r)

et consid6rons le disque Q (v) d6pendant du param&re v;

(25) Xk = Ch + B , T + A k v G ( T ) ;

le disque est d~fini par (25) pour T appartenant ~ (k ' )+ ( i f ) , la fonction

G (T) est analytique dans (k ' )+ ( f ' ) .

Pour v = 0 , Q(0) se r~duit ~ (k') int~rieur ~ D. Pour 0 ~ v < 1,

le bord b (v) demeure int~rieur ~ D, car sur (f ') , on a

log I G (T) l < - - h (T) - - m ~ -- cp (T) + m, - - m.

On a m ~ m l + m 2 , avec m 2 > 0 ; il vient:

log [G (r)J ~ - - q~ (T) - - m, ,

(26) I O (T) I ~ e'-", 8a [X, (T)] ;

(26) assure que b (v) est int~rieur /i D, la distance ~a [X,(T)] relative

la fronti&e de D &ant semi-continue inf~rieurement et toujours sup~rieure

IG(T)[. Ainsi quand le param&re v varie de 0 ~ 1, (0 ~ v ~ 1), Q (v) demeure

dans D si D satisfait ?t la propri&~ du disque; Q (1) doit alors &re int~rieur

D. On aboutit donc ~ une contradiction.

Le raisonnement s'applique au cas oh la solution du probl~me de

D i r i c h 1 e t relatif au cercle (k) avec valeurs fronti~res q0 (T) est la constante

--oo; on &ablit a l o r s - - l o g S a [ X , ( T ) ] ~ - - o o sur (k).

On a suppos~ implicitement que les directions (Ak), (Bk) &aient

diff6rentes; dans le cas oh elles sont confondues, il est imm~diat que la

trace q)(T) consider& est sousharmonique.

Finalement on a &abli que la propri~t6 du disque pour le domaine D

entralne que - - log 8A (M) soit plurisousharmonique ou --oo c'est-~-dire

l'inclusion (C~)C(F:); on est donc assur~ de l'~quivalence de la classe (C2)

avec les sept autres classes indiqu&s, routes ~quivalentes ~ la classe P-convexe.

Remarques . 1 ~ La d~monstration pr&6dente utilise seulement la

propri&~ du domaine D par rapport ~ une famille de disques

(27) X , ~- F~ ( T , v), T E (k') + ( f ' )

d6pendant lin~airement d'un param&re v. On volt que cette "propri&6 du

disque" plus restreinte formellement est ~quivalente ~ la P-convexit&

20 . La P - c o n v e x i t ~ d ' u n d o m a i n e D d e ~.n e s t ~ q u i -

200 PIERRE L E L O N G

v a l e n t e ~ l ' e x i s t e n c e d ' u n e f o n c t i o n p l u r i s o u s h a r m o n i q u e

V q u i t e n d v e r s +oo q u a n d le p o i n t " t e n d v e r s la f r o n -

t i ~ r e " du d o m a i n e . On a ainsi la r6ciproque de la Proposition 2.

La d6monstration se fait, si D est born6, en remarquant que si D est

P-convexe, - - log 8 (M) fournit la fonction V cherch6e. Si D n'est pas born6

on utilise le fait que i~.n lui-m~me satisfait ~ la propri6t6. On pose:

V (X~) = max [log 8 (X~), log I X, I]. /

3 ~ Au point de vue de la recherche de la P-convexit~ les diff~rentes

m~triques utilis6es ~A(M), 8(M), 8 ' (M) sont 6quivalentes; ainsi le fait

que - - l o g S ( M ) soit plurisousharmonique (ou --oo) entra~ne la m~me

propri~t~ pour -- log 8' (M).

4 0 . La P - c o n v e x i t ~ p o s s ~ d e la c o n t i n u i t ~ ~ g a u c h e :

D 6tant P-convexe il existe toujours une suite strictement croissante

Dq, (DqC CDq+I) avec lira D, ~ D, de domaines Dq qui soient P-convexes. 1

II suflit de prendre pour Dq une composante de l'ensemble 8 ( M ) ~ - - , q

1 pour D~+I une composante de l'ensemble 8 ( M ) ~ q +---~ qui contient Dq,

et ainsi de suite.

5 0 . I1 est utile de donner de la propri6t~ du disque qui sert de

d6finition ~ la classe (C2), une forme aussi peu restrictive que possible, car

elle constitue une condition suffisante pour qu'un domaine soit P-convexe.

On a d~j~ remarqu~ qu'il su/~sait qu'elle soit v~rifi~e pour toute

famille de disques Q (v) d6pendant lin~airement du param~tre r6el v. En fait,

dans la d6monstration pr~c6dente, la propri~t6 n'a 6t~ utilis6e que pour une

famille Q (v), (a ~ v _~ 1) poss~dant les propri6t6s particuli~res suivantes :

a) Le disque Q (v) est donn~ par des 6quations de la forme

(25) XI~ = Ck + BkT + AkvG(T) , pour ct<_v~ 1,

T parcourant un cercle ferm~ y; les directions des vecteurs complexes

(Bk), (Ak) peuvent ~tre suppos~es distinctes.

b) G (T) est d~finie et holomorphe sur le cercle ferm6 y (qui joue ici

le rSle de (k ' )d-( f ' ) dans la d6monstration pr6c~dente). Dans la suite on

pourra supposer que y est le cercle I TI ~ 1 .

c) a (T) ne s'annu e pas sur I l=<

d) Enfin on peut imposer ~ G(T) d'etre choisie de mani~re que


log]G(T)] appartienne ~ une famille donn6e (I) de fonctions harmoniques

sur I T I ~ 1, ~ condition que (I) spit une braille dense sur 1'ensemble des

fonctions harmoniques d6finies sut ]T I<: 1; autrement dit, qu '~ tout ~>0 ,

et g toute fonction a(T) harmonique sur I TI ~_1, on puisse faire cor-

respondre une fonction at(T) de la famiUe (I) de mani~re que l 'on ait

I ( T ) - (T) 1 -- pou I T I <---- x .

On pourra donc 6noncer:

Proposi t ion 12. Le d o m a i n e D e s t P - c o n v e x e si, p o u r

t o u t e f a m i l l e de d i s q u e s Q(v) d 6 f i n i e p a r (25) c o m m e

i m a g e s d e IT]<__1, p o u r a ~ v _ < _ l , a v e c l e s c o n d i t i o n s

a), b), c), d), l e s h y p o t h e s e s

Q(v) C D pout a ~ v < l

b(v)CD pour a ~ V ~ l , ( O ~ a < l )

e n t r a l n e n t Q ( 1 ) C D .

Ainsi qu'on le volt, on peut supposer la repr&entation (25) analytique

sur les bords b(v) images de iT I= 1. On a encore :

Corollaire. Si la p r o p r i 6 t 6 d u d i s q u e e s t v 6 r i f i 6 e p o u r

D e t p o u r t o u t e f a m i l l e Q(v) d 6 f i n i e p a r (25) s o u s la

r 6 s e r v e q u e G(T), h o l o m o r p h e p o u r ITI<I n ' a p p a r t i e n n e

p a s ~ un e n s e m b l e d 6 n o m b r a b l e d o n n 6 d e f o n c t i o n s a n a -

l y t i q u e s , a l o r s D e s t P - c o n v e x e .

60 . P o u r q u e D s p i t P - c o n v e x e , i l f a u t e t i l s u f f i t q u e

l ' i n ' t e r s e c t i o n de D a v e c t o u t s o u s - e s p a c e l i n 6 a i r e ~ d e u x

d i m e n s i o n s c o m p l e x e s au m o i n s a i t s e s c o m p o s a n t e s

P - c o n v e x e s. SPit (~x) te sous-espace donn6 par

(28) Xk = Ck + AkT1 + BkT~, 1 < h < n .

Montrons qu'il suffit que les composantes de (n)N D soient P-convexes

pour tout sous-espace (a) ~ deux dimensions. En effet sur le plan

Xk = Ck + B~ T2

on a pour A = (Ak) :

8a (M) = 8a [X, (T~)] = 8a (0,T2) pour (a) = (1,0)

en d&ignant par (a) une direction complexe de l'espace 18 5 (TI, T2), par

202 PIERRE LELONG

8~ (T, , T2) la distance paraU~lement ~ (~) d'un point (T1, T~) ~ la fronti~re

de la composante de ( ~ ) ~ D qui le contient.

7 ~ La proposition 10a conceme la distance ~A (M) d'un point M de

E ~ ~ un ensemble de vari6t6s analytiques complexes E-~ Y~W qui sont

p ~ n ~ 1 dimensions complexes. II est ais6 de voir que la proposition est

fausse si ~ b ~ n - - 1 , en consid6rant l'exemple de la vari6t6 X ~ X 2 = o dans v.3 [on prendra M-----(X b X~, 0) et A = (A~, As, o)].

Par contre l'hypoth~se faite que E----YW soit un ensemble ferm~ peut

&re un peu 61argie : pour que - - log ~.~ (M) soit plurisousharmonique dans D,

D et E &ant sans point commun, iI suffit que pour tout M ~ D , ~ (M)

soit atteinte pour un point P ~ E, int6rieur ~ une vari6t~ de l'ensemble E,

P &ant dit int6rieur g une vari6t~ W si W e s t d6finie dans un voisinage

de P.

La propri&~

euclidienne ~ (M).

Proposi t ion

a n a l y t i q u e s

m a i n e t e l q u e

D la d i s t a n c e

au m o i n s s u r

demeure vraie si on remplace 8a(M) par la distance

On obtient alors:

10b. S o i t E---~W u n e n s e m b l e d e v a r i 6 t 6 s

n - - 1 d i m e n s i o n s c o m p l e x e s e t D u n d o -

DI3E s o i t v i d e . Si p o u r c h a q u e p o i n t M d e

8 (M) d e M ~ E e s t a t t e i n t e p o u r u n p o i n t P

E q u i s o i t p o i n t i n t 6 r i e u r s u r u n e d e s

v a r i 6 t 6 s d e E, a l o r s - - l o g S ( M ) e s t p l u r i s o u s h a r m o n i q u e .

En effet, soit P0 associ6 ~ M 0 ~ D , et W0 une vari6t6 de E dont P0

est point int6rieur; soit (Ao) la direction MoPo. I1 existe un voisinage co

de M0 et un voisinage co' de (A0) tels que la distance 8A (M) ~ Wo soit

d6finie pour [M ~ co, A ~ co'], et atteinte pour P voisin de P0 et int6rieur

W0. On a alors pour la distance euclidienne de M ~ W0:

(29) ~ (M) = min 8A (M). AEto

On d6duit de (29) que - - l o g S ( M ) est plurisousharmonique pour

M ~ co ; on termine alors la d6monstration comme celle de la Proposition 10a.

Corollaire. S o i e n t n f o n c t i o n s ~Si(T1 . . . . . T,_I)=~i(T) h o l o m o r p h e s de T p o u r T a p p a r t e n a n t ~ u n d o m a i n e A d e

!~.,~-1. P o s o n s :

( x , T ) = I x , - - . . . . , T , _ , ) I s .

i .~.l


S u p p o s o n s q u e p o u r X = ( X O v a r i a n t d a n s u n d o m a i n e

D de E '~,

l 2 (X) = rain Z2 ( X , T) , T = (T, . . . . . T ._ , ) TeA

s o i t un m i n i m u m a t t e i n t p o u r u n p o i n t T(X) s a t i s f a i s a n t

a u x c o n d i t i o n s :

a) l e s f o n c t i o n s ~i(T) s o n t d ~ f i n i e s e t h o l o m o r p h e s

au v o i s i n a g e du p o i n t T(X). b) la v a r l e t 6 Yi=~i(T) e s t ~ n - - 1 d i m e n s i o n s c o m p l e x e s

au v o i s i n a g e du p o i n t Yi=~i[T(X)]. A l o r s - - l o g l ( X ) e s t f o n c t i o n p l u r i s o u s h a r m o n i q u e

de X d a n s D.

La condition b) peut &re remplac& par la condition clue la matrice

0Ti id soit de rang n--1 au point T ( X ) quand X varie dans D.

8. P-convexit6 locale.

1. Les 6nonc& qui suivent sont relatifs, l'un ~ l'intersection de deux

domaines P-convexes, l'autre A la r6union de deux tels domaines dans Ie

cas o~ ils se raccordent en dehors de deux ensembles ferm6s El, E2, sans

point commun ~ distance finie.

Proposi t ion 13. Si D1 e t 32 s o n t P - c o n v e x e s , i l en e s t de

m 6 m e de r o u t e c o m p o s a n t e c o n n e x e de l e u r i n t e r s e c t i o n .

La propri&6 est ~vidente h partir de la d6finition m6me de la classe (Co).

Proposi t ion 14. Si D1 e t D2 s o n t / 9 - c o n v e x e s e t o n t d e s

p o i n t s c o m m u n s , e t si l e s e n s e m b l e s

El=D1--32, E2=D2--D1,

s o n t t e l s q u e l e u r s f e r m e t u r e s E~, E2 o n t u n e i n t e r s e c t i o n

v i d e ~ d i s t a n c e f i n i e , a l o r s D-~DI+D2 e s t P - c o n v e x e .

a) Supposons D born6; soit a > 0 la distance de E1 ~ E2. Soit M a

un point de D, ~ distance ~ (M) < -~- de la fronti~re de D. On va montrer

qu'il existe un voisinage du point M dans lequel n&essairement ~(M)

coincide avec la distance ~J~ (M) ~ la fronti~re de D, ou avec 82 (M). Deux

cas sont possibles : a

Si la distance de M ~t ff21 est au plus ~ - , la distance de M ~ E2

204 PIERRE LELONG

a est au moins -~ - , et comme on a D - - - - D I + E 2 , on a 8 (M) = 81(M).

De plus si P est pris dans D ~ une distance inf6rieure ~ r du point M,

la distance de P ~ E-~ est au moins a _ _ _ r ; en s'appuyant toujours sur 2

D --- DI + E2, on volt qu'on a encore 8 (P) -~ ~1 (P) tam qu'est vdrifide

l'indgalitd ~ - r > ~ (M) + r ; elle est satisfaite certainement pour r < a-~ 2 8 "

Si on trace autour de M comme centre une boule de rayon r avec

[8 'l r < m i n , 8 ( M , on aura sur co l'dgalitd 8 (M) = g l ( M ) . Supposons

maintenant la distance de M ~ El au moins dgale ~ a A partir de 2 a

D = D 2 + E I , et de ~ ( M ) < - ~ - , on a ~ (M) ---- 82 (M) ; on &ablit comme

plus haut que l'dgalitd subsiste au voisinage de M. a

Finalement on a &abli qu'~ tout point M pour lequel ~ ( M ) < - ~ - -

correspond un voisinage oh - - log 8 (M) coincide avec l'une des deux fonctions

plurisousharmonique - - l o g ~ (M) , ou - - log 82 (M). D'apr~s une remarque a

ddj~ faite - - log ~ (M) est plurisousharmonique pour 8 (M) < T ;

z ( M ) = - - log [rain (8 , - ~ ) 1 es tune fonction plurisousharmonique qui tend

vers +oo quand on s'approche de la fronti~re de D ; D est P-convexe.

Si D n'est pas bornd, on consid~rera D comme limite d'une composante

DR de l'intersection de D avec la boule de centre 0, de rayon R : DR est

P-convexe; il en est de m~me de D = I i m D R .

L'hypoth&e de l'dnonc6 dquivaut au raccordement des domaines D , , Dz

dans Z ~ - E1 - - E 2 .

2. Dans la suite on utilisera des voisinages P-convexes, par exemple

des boules.

Ddfinition. Le d o m a i n e D e s t d i t P - c o n v e x e e n M s ' i l

e x i s t e u n e b o u l e de c e n t r e M d o n t I ' i n t e r s e c t i o n a v e c D

se c o m p o s e d e d o m a i n e s P - c o n v e x e s .

Si D est P-convexe en tout point de l'espace, D sera dit 1 o c a 1 e-

m e n t P - c o n v e x e (l'ensemble vide &ant ainsi considdrd comme P-convexe).

I1 suffit pour que D soit localement P-convexe qu'il le soit en ses points

fronti~res.


De la Proposition 9 d&oule clue si D est P-convexe, D est locale-

ment P-convexe. La r&iproque est vraie:

Th6orf ime 2. Si D e s t l o c a l e m e n t P - c o n v e x e , D e s t

P - c o n v e x e .

Il suffit d'&ablir que l'intersection D NB (0, R) de D avec la boule

de centre 0, de rayon R quelconque, a ses composantes P-convexes. On

consid~rera ensuite comme plus haut D comme limite d'une telle composante.

On est donc ramen6 au cas off D est un domaine born6. Par hypoth~se

on peut recouvrir la fronti~re F de D avec un nombre fini de boules Bi, de mani~re que Df~Bi ait ses composantes P-convexes. Puisque l 'ensemble

ouvert ~B~ recouvre le compact F, on peut trouver a positif, assez petit,

pour qu'en diminuant de a l e rayon de chaque boule Bi, on obtienne encore

un recouvrement de F avec des boules B'i concentriques aux premieres;

alors si l 'on a M ~ D et a ( M ) inf6rieur ~ un nombre l assez petit, M ap-

partient ~ ~B ' i . Soit / t = m i n ( l , ~ - ) e t M~D avec a ( M ) < l l ; M ap-

t partient ~ une certaine boule B's. Soit C0M la boule de centre M de rayon

1 a (M) ; M e t 00M appartiennent ~t la boule Bs du recouvrement primitif. Y 3 a ( M ) < 3a Pour P ~ oM, on a a ( P ) ~ - ~ - - ~ - , tandis clue la distance de P

la fronti~re de la boule Bs vaut au moins a - 1 ~ (M) > 3a 2 - ~ - . Ainsi Ou

appartient toute enti~re ~ une composante connexe As de l'intersection D&Bs. D'apr~s l 'hypoth&e faite - - log as (P) est plurisousharmonique clans As,

donc dans OM, aS (P) &ant la distance de P ~ la fronti~re de As. De plus

on a &abli clue pour PC0%z, on avait ~ s ( P ) ~ ( P ) , la distance ~J(P)

&ant inf&ieure ~ la distance de P ~ la fronti~re de Bs. Ainsi - - l o g a (M) est plurisousharmonique en tout point de D pour

lequel 5 ( M ) ( l x ; on en d~duit comme plus haut clue D est P-convexe.

3. D'apr& le th~or~me 2, la P-convexit~ est essentiellement une

propri&~ locale, m~me quand elle est formulae comme propri&~ globale;

on n'~largit donc pas la classe de domaines considSr& en supposant que la

propri&~ du disque est v~rifi& seulement localement au voisinage de la

fronti~re, les "disques" utilisSs &ant astreints ~ demeurer dans un voisinage

d'un point fronti~re consider6. De plus on a vu: pour que D soit P-con-

206 PIERRE LELONG

vexe, il faut et il suffit que l'intersection de D avec tout plan analytique

(~) ~ deux dimensions complexes air ses composantes P-convexes.

Ainsi donc la P-convexit~ est essentiellement une propri~t~ locale des

sections de D par les plans (~) ~ deux dimensions complexes.

4. Les ~nonc~s precedents conduisent ~ la propri~t~ suivante d'une

~quation V (-u ..., Xn , Y)-----0 off V e s t une fonction plurisousharmonique

dans l'espace E "+x des variables X ~ (Xk), Y: si V ne d~pend de Y que

par l'interm~diaire de R = I Y I, l'$quation d~finit implicitement

R = ( x , . . . . . x . ) = ( x ) ;

alors --logcp (X D est fonction plurisousharmonique de X, ~ condition que

pour X donn~ on consid~re la solution R ~ I VI qui est la plus grande.

Plus pr$cis6ment nous allons ~tablir:

Th6or~me 3. Si V ( X , Y ) - ~ V ( X , . . . . . X , , Y) e s t p l u r i -

s o u s h a r m o n i q u e d a n s un d o r n a i n e D d e E "+I, e t si V ne

d ~ p e n d d e Y q u e p a r I Y I = R , a / o r s A ~ t a n t u n e c o m p o -

s a n t e de l ' e n s e m b l e V < 0 e t d sa p r o j e c t i o n s u r l ' e s p a c e

E " ( X ) , la b o r n e s u p ~ r i e u r e ] V l = q 0 ( X ) d e s Y p o u r l e s q u e l s

o n a V ~ 0 p o u r X f i x~ , X ~ d , p o s s ~ d e la p r o p r i 6 t 6 s u i -

v a n t e : - - logq0(X) e s t p l u r i s o u s h a r m o n i q u e p o u r X ~ d .

Nous ferons d'abord la remarque suivante:

Proposi t ion 15. P o u r q u e l e d o m a i n e D : X~-(X~ ..... Xn)~d ,

IVI~q~(X) s o i t P - c o n v e x e , i l f a u t e t i l s u f f i t q u e

1 ~ d s o i t P - c o n v e x e d a n s E " ( X ) ,

20 . - - logep(X) s o i t p l u r i s o u s h a r m o n i q u e c lans d.

Les conditions sont n6cessaires car q~ (X) = 6A (M) pour A = [0 .... ,0, 1]

et M satisfaisant ~ Y = 0; d'autre part la condition I o s'obtient en con-

sid~rant 8x (M) pour A = [A~ . . . . . An, 0].

Les conditions sont suffisantes car on a D-~ lirnq De, Dq 6tant d~fini

dans D comme une composante connexe de l'ensemble satisfaisant aux

deux conditions :

- - log 81 (Xl . . . . , Xn) < q, log I Y I< log q~ ( X ) r

off 81 est relative ~ la base d.

Revenons ~ la d4monstration du th~or~me: V ( X , Y) est, pour X E d


une fonction convexe de l og ]Y I, qui est continue. On a donc

v IX, ~ (x) ~,~] _- o,

quel que soit o pour X Ed, tandis qu'on a V ( X , Y ) < 0 pour:

x~a , r ,~(x ). Nous d&ignerons par ~" (X) la couronne d6coup& dans A, dont le plus

grand rayon est pr6cis6ment ~p (X); elle ne contient pas n&essairement

l'origine Y = 0 , reals, puisque A est un domaine, de ses deux rayons, Fun

q)(X) est semi-continu inf6rieurement, l'autre ~ ( X ) est semi-continu

sup6rieurement.

Pour &ablir que - - log q~ (X) est plurisousharmonique en M E d , de

coordonn6es X ~ k, remarquons que si t p ( X 0 ) - - ~ ( X 0 ) = a on a a ~ 0 ; il

existe de plus une boule (b) de centre M, de rayon assez petit pout qu*on

y ait ~ ( X ) < ~ ( X 0 ) - F ~ - , { p ( X ) > { p ( X 0 ) - - - ~ . Dans ces conditions le

cylindre :

L: X ~ b , I Y] < q~(X)

est la rSunion de:

L,: x ~ b , I Y l < C ( x 0 ) + - - 2

et de

z.~: x ~ b , r

L1 est 6videmment P-convexe; L2 l'est aussi comme composante de l'inter-

section de A qui est P-convexe avec le cylindre X E b. Ainsi i l et Lz sont

P-convexes. De plus on a: L=L14-L2 , et les ensembles E I = L I - - L s ,

E2=L2--L~, sont tels clue EII'~E2 soit vide. En effet E1 est contenu

D'apr& la Proposition 14, L = L 1 +L2 est alors P-convexe. Ainsi

[X ~ b, ! Y I ~ ~0 (X)] est un domaine P-convexe. On applique alors la

Proposition 15 pour achever la d6monstration du th~or~me 3.

208 PIERRE L E L O N G

BIBLIOGRAPHIE

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(Re~u le 24. IX. 1952}

Documents

Domaines convexes par rapport aux fonctions plurisousharmoniques