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ADDITIONS DE FRACTIONS
SOUSTRACTIONS DE FRACTIONS
Dossier n°4
Décembre 95Tous droits réservés au réseau AGRIMEDIA
1
C.D.R.
AGRIMEDIA
Additions de fractions
Soustractions de fractions Comparaison de fractions
Apprentissage
et Evaluation
Objectifs : - savoir trouver un dénominateur commun à plusieurs fractions, - savoir additionner ou soustraire des fractions. - Savoir comparer des fractions. Matériel :
- logiciels : de MAC 5 Proportionnalité (CUEEP) REDUC et OPERFRAC.
Contenu : - explications - exercices d’application avec réponses. Public concerné : Toute personne désirant savoir additionner ou soustraire des fractions.
2
ADDITIONS DE FRACTIONS
I - Les fractions ont même dénominateur :
Exemple : Pierre le gourmand mange les 38
d’une tarte et Sylvie les 28
.
Quelle part de la tarte ont-ils mangée à eux deux ? Traduisons cet énoncé par le schéma suivant : Part de Pierre Part de Sylvie
38
28
5 morceaux sur les 8 ont été pris
Pierre et Sylvie ont mangé les 58
de la tarte.
Donc : 38
+ 28
= 58
Ainsi, on peut retenir la règle suivante : Pour additionner deux ou plusieurs fractions de même dénominateur, il faut : - garder le dénominateur commun, - additionner les numérateurs, - simplifier éventuellement le résultat. Autres exemples :
* 23
43
2 43
+ =+
=63 fraction simplifiable
63
2 33
= =x
2
* 97
67
9 67
+ =+
=157
Chapitre 1
+ =
3
Si vous avez des difficultés pour simplifier les fractions, reportez-vous au dossier n°2 chapitre 2 : simplification de fractions. Maintenant exercez-vous :
* 711
311
+ =
* 9
133
135
13+ + =
* 29
49
+ =
* 78
28
38
+ + =
* 35
45
25
+ + =
Voir réponses page suivante
4
REPONSES
* 711
311
7 311
+ =+
=1011 Fraction irréductible
* 9
133
135
139 3 5
13+ + =
+ +=
1713 Fraction irréductible
* 29
49
69
+ = Fraction simplifiable
29
49
+ =69
2 33 3
= =xx
23 Fraction irréductible
* 78
28
38
7 2 38
128
+ + =+ +
= Fraction simplifiable
78
28
38
+ + =128
3 42 4
= =xx
32 Fraction irréductible
* 35
45
25
3 4 25
+ + =+ +
=95 Fraction irréductible
5
II - Les fractions ont des dénominateurs différents :
1er exemple : Pour se rendre en classe, Pierre effectue un trajet d’14
d’heure à pied
puis d'12
heure en bus. Quelle est la durée totale du trajet de Pierre (sous forme de
fraction) ? Traduisons cet énoncé par le schéma suivant : trajet à pied trajet en bus durée totale du trajet
14
12
34
On ne peut ajouter des « quarts » et des « demis ». Il est nécessaire de chercher un dénominateur commun aux deux fractions. (On dit qu’on réduit au même dénominateur les fractions). Ce dénominateur commun doit être un multiple des deux dénominateurs. Ici, puisque 4 = 2 x 2, il suffit de multiplier par 2 le numérateur et le dénominateur de la deuxième fraction pour obtenir 4 comme dénominateur commun.
14
12
14
1 22 2
14
24
+ = + = +xx
Les deux fractions étant réduites au même dénominateur, on peut alors les additionner en appliquant la règle énoncée page 2 de ce chapitre.
14
24
1 24
+ =+
=34
La durée totale du trajet de Pierre est donc de 34
d’heure.
+ =
6
2ème exemple : 57
32
+ =
On ne peut ajouter des « septièmes » et des « demis ». On réduit donc au même dénominateur les fractions proposées. Le dénominateur commun doit être un multiple des deux dénominateurs. Ici, 14 est multiple de 7 et de 2 car 14 = 2 x 7. On va donc multiplier le numérateur et le dénominateur de la première fraction par 2, et par 7 le numérateur et le dénominateur de la seconde fraction.
57
32
5 27 2
3 72 7
1014
2114
+ = + = +xx
xx
On peut alors ajouter les quatorzièmes :
1014
2114
10 2114
+ =+
=3114
3ème exemple : 57
314
+ =
Si on multiplie les deux dénominateurs entre eux, on obtient 98. On trouve un nombre multiple de 7 et de 14 mais ce n’est pas le plus petit dénominateur commun. En effet 14 est aussi un multiple de 7. On peut résoudre cet exercice de deux manières : - avec 14 comme dénominateur commun
57
314
5 27 2
314
1014
314
+ = + = + =xx
1314
- ou avec 98 comme dénominateur commun
57
314
5 147 14
3 714 7
7098
2198
70 2198
9198
+ = + = + =+
=xx
xx
Cette fraction est simplifiable :
9198
7 137 14
= =xx
1314
Quel calcul vous paraît le plus rapide ?
7
4ème exemple : 2
45760
+ =
180, 360, 540 sont des multiples communs à 45 et 60 mais 180 est le plus petit. Afin de trouver 180, nous vous proposons un moyen pour calculer le plus petit dénominateur commun de plusieurs fractions. 1) On décompose les dénominateurs (ici 45 et 60) en produits de facteurs premiers. Si vous ne connaissez pas les nombres premiers reportez-vous à l’annexe page 11
60 = 2 x 2 x 3 x 5 = 2² x 3 x 5 45 = 3 x 3 x 5 = 3² x 5
2) On prend tous les facteurs premiers rencontrés
ici 2, 3 et 5. 3) On les affecte du plus fort exposant rencontré
ici, pour les nombres 2 et 3 on prendra l’exposant 2 2² = 2 x 2 = 4 3² = 3 x 3 = 9
4) On multiplie alors tous les facteurs premiers pris entre eux.
ici 2² x 3² x 5 = 4 x 9 x 5 = 180 Le plus petit dénominateur commun à 60 et 45 est donc 180. Maintenant que le dénominateur commun est trouvé, on peut continuer l’exercice.
* 2
45760
2 445 4
7 360 3
8180
21180
+ = + = +xx
xx
2
45760
8 21180
+ =+
=29
180
8
5ème exemple : 3
1078
512
+ + =
10 x 8 x 12 = 960 est trop grand. Cherchons donc un dénominateur plus petit commun à 10, 8 et 12. 1) Décomposons 10, 8 et 12 en un produit de facteurs premiers.
10 = 2 x 5 8 = 2 x 2 x 2 = 23 12 = 2 x 2 x 3 = 22 x 3
2) Les facteurs premiers sont : 2, 3 et 5 3) Affectons les du plus grand exposant rencontré : 23, 3 et 5. 4) Multiplions les entre eux : 23 x 3 x 5 = 120 120 est donc le plus petit dénominateur commun à 10, 8 et 12.
Continuons l’exercice : 3
1078
512
+ + =
= 3
2 572
52 33 2x x
+ +
On multipliera le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par les nombres qui permettront d’obtenir 120 comme dénominateur.
= 3
2 572
52 33 2
xx x
xx
xx x
2 x 32 x 3
3 x 53 x 5
2 x 52 x 5
2
2 + +
= 3 12
10 127 158 15
5 1012 10
xx
xx
xx
+ +
= 36
120105120
50120
+ +
= 36 105 50
120+ +
= 191120
191120
est une fraction irréductible.
Donc 3
1078
512
191120+ + =
9
6ème exemple : 35
2442
+ =
Avant de commencer tout calcul, vérifier si les différentes fractions de l’énoncé sont irréductibles.
* La fraction 2442
est simplifiable.
2442
6 46 7
47
= =xx
L’énoncé devient : 35
47
+ =
* Le dénominateur commun est 35, multiple de 5 et de 7.
35
47
3 75 7
4 57 5
2135
2035
+ = + = + =xx
xx
4135
Pour réduire deux fractions au même dénominateur on doit : 1) Simplifier les fractions proposées (si nécessaire),
2) Rechercher un dénominateur commun, multiple à la fois des deux dénominateurs,
3) Ecrire les fractions, sous leur nouvelle forme,
4) Additionner les fractions réduites au même dénominateur,
5) Simplifier la fraction obtenue (si nécessaire).
Pour vous entraîner à trouver le dénominateur commun à plusieurs fractions vous pouvez travailler le logiciel REDUC dans MAC 5 Proportionnalité
10
7ème exemple :
Sur une pièce de tissu, une couturière a prélevé successivement 38
de cette pièce, 13
de cette pièce et 14
de cette pièce.
Quelle est la fraction de tissu utilisé ? Traduisons cet énoncé par le schéma suivant :
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3
1 2 3 4
38
de la pièce de tissu
13
de la même pièce de tissu
14
de la même pièce de tissu
38
13
14
+ + =
Le dénominateur commun pourrait être : 8 x 3 x 4 = 96 mais ce n’est pas le plus petit dénominateur commun ; Le plus petit dénominateur commun est 24.
38
13
14
3 38 3
1 83 8
1 64 6
924
824
624
9 8 624
+ + = + + = + + =+ +
=xx
xx
xx
2324
La fraction de tissu utilisé est 2324
11
ANNEXE
Les nombres premiers I - Définition Un nombre est premier s’il n’est divisible que par 1 et par lui-même. Un nombre premier est un nombre entier. Exemples : * 2 = 2 x 1 ; 2 n’est divisible que par 1 et par 2 ; c’est donc un nombre premier. * 31 = 31 x 1 ; 31 n’est divisible que par 1 et par 31 ; c’est donc un nombre premier. * Par contre 9 = 3 x 3 donc 9 est divisible par 1, 3 et 9 ; ce n’est donc pas un nombre premier. Exercice Dans la liste de nombres ci-dessous entourez les nombres premiers. 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 1 0 , 1 1 , 1 2 , 1 3 , 1 5 , 1 7 , 2 7 , 4 7 , 4 9 , 7 3 , 7 9 , 8 0 , 9 2 , 9 5 , 9 7 .
Voir réponses page suivante
12
REPONSES
3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 1 0 , 1 1 , 1 2 , 1 3 , 1 5 , 1 7 , 2 7 , 4 7 , 4 9 , 7 3 , 7 9 , 8 0 , 9 2 , 9 5 , 9 7 . Les nombres entourés sont des nombres premiers. Par contre les autres nombres ne sont pas des nombres premiers car : 4 = 2 x 2 (ou 2²)
6 = 2 x 3
8 = 2 x 2 x 2 (ou 23)
9 = 3 x 3 (ou 3²)
10 = 2 x 5
12 = 2 x 2 x 3 (ou 2² x 3)
15 = 3 x 5
27 = 3 x 3 x 3 (ou 33)
49 = 7 x 7 (ou 7²)
80 = 2 x 2 x 2 x 2 x 5 (ou 24 x 5)
92 = 2 x 2 x 23 (ou 2² x 23)
95 = 5 x 19
13
II - Liste des nombres premiers Voici une liste de tous les nombres premiers inférieurs à 500 :
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
53
59
61
67
71
73
79
83
89
97
101
103
107
109
113
127
131
137
139
149
151
157
163
167
173
179
181
191
193
197
199
211
223
227
229
233
239
241
251
257
263
269
271
277
281
283
293
307
311
313
317
331
337
347
349
353
359
367
373
379
383
389
397
401
409
419
421
431
433
439
443
449
457
461
463
467
479
487
491
499
14
Maintenant à vous ! Exercice 1 Calculer :
* 3
1898
+ =
* 6
1534
+ =
* 1214
64
+ =
* 57
921
+ =
* 712
315
+ =
* 911
12
+ =
* 78
37
+ =
* 58
45
+ =
* 36
39
+ =
* 1713
911
+ =
Voir réponses pages suivantes
15
REPONSES
* 3
1898
+ =
3
18 est simplifiable.
318
3 13 6
16
= =xx
On obtient alors 3
1898
16
98
+ = +
Le dénominateur commun est 6 x 8 = 48. 16
98
1 86 8
9 68 6
848
5448
+ = + = + =xx
xx
6248 fraction simplifiable
6248
2 312 24
= =xx
3124 fraction irréductible
donc 3
1898
3124
+ =
* 6
1534
+ =
6
15 est simplifiable.
615
2 33 5
25
= =xx
On a alors 6
1534
25
34
+ = +
Le dénominateur commun est 5 x 4 = 20. 25
34
2 45 4
3 54 5
820
1520
+ = + = + =xx
xx
2320 fraction irréductible
donc 6
1534
2320
+ =
16
* 1214
64
+ =
Les 2 fractions sont simplifiables.
1214
2 62 7
67
= =xx
64
2 32 2
32
= =xx
On a alors 1214
64
67
32
+ = +
Le dénominateur commun est 7 x 2 = 14. 67
32
6 27 2
3 72 7
1214
2114
+ = + = + =xx
xx
3314 fraction irréductible
donc 1214
64
3314
+ =
* 57
921
+ =
921
est simplifiable. 921
3 37 3
37
= =xx
On a alors 57
921
57
37
+ = + Les fractions ont le même dénominateur.
57
37
+ =87 fraction irréductible
donc 57
921
87
+ =
17
* 712
315
+ =
3
15 est simplifiable.
315
3 13 5
15
= =xx
On a alors 712
315
712
15
+ = + .
Le dénominateur commun est 12 x 5 = 60.
712
15
7 512 5
1 125 12
3560
1260
+ = + = + =xx
xx
4760 fraction irréductible
donc 712
315
4760
+ =
* 911
12
+ =
Le dénominateur commun est 11 x 2 = 22.
911
12
9 211 2
1 112 11
1822
1122
+ = + = + =xx
xx
2922 fraction irréductible
donc 911
12
2922
+ =
* 78
37
+ =
Le dénominateur commun est 8 x 7 = 56. 78
37
7 78 7
3 87 8
4956
2456
+ = + = + =xx
xx
7356 fraction irréductible
donc 78
37
7356
+ =
* 58
45
+ =
18
Le dénominateur commun est 5 x 8 = 40. 58
45
5 58 5
4 85 8
2540
3240
+ = + = + =xx
xx
5740 fraction irréductible
donc 58
45
5740
+ =
* 36
39
+ =
Ces fractions sont simplifiables.
36
3 12 3
12
= =xx
39
3 13 3
13
= =xx
On a alors 36
39
12
13
+ = + .
Le dénominateur commun est 2 x 3 = 6. 12
13
1 32 3
1 23 2
36
26
+ = + = + =xx
xx
56 fraction irréductible
donc 36
39
56
+ =
* 1713
911
+ =
Le dénominateur commun est 13 x 11 = 143. 1713
911
17 1113 11
9 1311 13
187143
117143
+ = + = + =xx
xx
304143 fraction irréductible
donc 1713
911
304143
+ =
19
SOUSTRACTIONS DE FRACTIONS
Pour soustraire des fractions, nous effectuons la même démarche que pour les additionner. I - Les fractions ont même dénominateur : Exemple : Je prévois en découpant mon gâteau que les 8 personnes présentes vont en prendre une part. Cinq personnes seulement se servent. Combien de parts de gâteau me reste-t-il ? Traduisons cet énoncé par le schéma suivant : Le gâteau Les parts prises Les parts restantes
88
58
38
Lorsque les fractions ont même dénominateur, on utilise la règle suivante : Pour soustraire deux ou plusieurs fractions de même dénominateur, il faut : - garder le dénominateur commun, - soustraire les numérateurs, - simplifier éventuellement le résultat obtenu.
Chapitre 2
- =
20
Autres exemples :
* 34
14
3 14
24
− =−
= fraction simplifiable
24
2 12 2
= =xx
12
* 712
212
7 212
− =−
=5
12 fraction irréductible
Maintenant, à vous !
* 32
12
− =
* 9
104
10− =
* 43
23
− =
* 1117
217
− =
* 56
36
− =
Voir réponses page suivante
21
REPONSES
* 32
12
3 12
22
− =−
= fraction simplifiable
32
12
22
2 12 1
− = = =xx
1
* 9
104
109 410
510
− =−
= fraction simplifiable
9
104
10− =
510
5 15 2
= =xx
12 fraction irréductible
* 43
23
4 23
− =−
=23 fraction irréductible
* 1117
217
11 217
− =−
=9
17 fraction irréductible
* 56
36
5 36
26
− =−
= fraction simplifiable
56
36
− =26
2 12 3
= =xx
13 fraction irréductible
22
II - Les fractions ont des dénominateurs différents :
1er exemple : Je dois effectuer un travail en 34
d’heure. J’y ai déjà consacré 12
heure.
Combien de temps me reste-t-il pour le terminer ? Traduisons cet énoncé par le schéma suivant : Durée totale du travail Durée du travail réalisé Durée du travail qui reste à faire
34
12
14
On ne peut soustraire des « quarts » et des « demis ». Il est donc nécessaire, comme pour les additions de fractions, de chercher un
dénominateur commun aux fractions 34
12
et .
On écrira la fraction 12
sous la forme 24
1 22 2
24
carxx
= .
Les deux fractions étant réduites au même dénominateur, on peut alors les soustraire en appliquant la règle énoncée page 19 34
24
3 24
− =−
=14
Il me reste 14
d’heure pour terminer ce travail.
- =
23
2ème exemple : Pour me rendre au centre de formation, je parcours 15
du trajet à pied
puis 23
du trajet en bus. Quelle fraction du trajet me reste-t-il à parcourir ?
Traduisons cet énoncé par le schéma suivant :
1 2 3 4 5 trajet à pied
1 2 3 trajet en bus
Afin de représenter ces deux trajets sur un même graphique, il est nécessaire de trouver une graduation commune aux deux schémas. Puisque 3 x 5 = 15, nous pouvons décomposer chaque schéma en « quinzièmes ».
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
trajet à pied trajet en bus trajet restant
3
15
1015
2
15
Il reste 2
15 du trajet à effectuer.
Vérifions ce résultat par le calcul.
1 - 15
- 23
=
trajet entier trajet à pied trajet en bus
1515
- 3
15 -
1015
= 15 3 10
15− −
=2
15
15
315
=
23
1015
=
24
Si vous avez des difficultés pour trouver le dénominateur commun aux fractions, reportez-vous au dossier n° 4 chapitre 1 : additions de fractions ou au logiciel MAC 5 Proportionnalité REDUC. Pas de problème, alors à vous !
* 53
12
− =
* 25
14
− =
* 156
− =
* 1175
445
− =
* 1130
5105
− =
* 12
23
34
56
+ − + =
Voir réponses page suivante
25
REPONSES
* 53
12
− =
Le dénominateur commun est 3 x 2 = 6 53
12
5 23 2
1 32 3
106
36
10 36
− = − = − =−
=xx
xx
76 fraction irréductible
* 25
14
− =
Le dénominateur commun est 5 x 4 = 20 25
14
2 45 4
1 54 5
820
520
8 520
− = − = − =−
=xx
xx
320 fraction irréductible
* 156
− =
Le dénominateur commun est 6
156
66
56
6 56
− = − =−
=16 fraction irréductible
* 1175
445
− =
75 = 3 x 5 x 5 ou 3 x 5² 45 = 3 x 3 x 5 ou 3² x 5 Le plus petit dénominateur commun est 3² x 5² = 9 x 25 = 225 1175
445
1175
445
33225
20225
33 20225
− = − = − =−
=xx
xx
33
55
13225 fraction irréductible
26
* 1130
5105
− =
5
105 est simplifiable
5105
5 15 21
121
= =x
x
On a alors 1130
5105
1130
121
− = −
30 = 2 x 3 x 5 21 = 3 x 7 Le plus petit dénominateur commun est 2 x 3 x 5 x 7 = 210 1130
121
1130
121
77210
10210
77 10210
− = − = − =−
=xx
xx
77
1010
67210 fraction irréductible
* 12
23
34
56
+ − + =
2 = 2 x 1 3 = 3 x 1 4 = 2 x 2 ou 2² 6 = 2 x 3 Le plus petit dénominateur commun est 2² x 3 = 12 12
23
34
56
12
23
34
56
+ − + = + − +xx
xx
xx
xx
66
44
33
22
= + − + =+ − +6
128
129
121012
6 8 9 1012
=1512 fraction simplifiable
1512
3 53 4
= =xx
54 fraction irréductible
donc : 12
23
34
56
54
+ − + =
27
COMPARAISON DE FRACTIONS Pour comparer des fractions, il est nécessaire de les réduire au même dénominateur.
1er Exemple : Pour se rendre en classe, Pierre effectue un trajet d’14
d’heure à pied
puis d'12
heure en bus. Quel est le trajet le plus long ?
Le dénominateur commun aux fractions 14
12
4et est .
12
heure en bus devient 24
d'heure.
24
est plus grand que 14
Donc le trajet en bus est le plus long.
2ème Exemple : Sur une pièce de tissu, une couturière a prélevé successivement 38
de cette pièce, 13
de cette pièce et 14
de cette pièce.
Quelle est la fraction de tissu utilisé la moins importante ?
Le dénominateur commun aux fractions 38
13
14
, et est 24
Les fractions deviennent alors : 38
924
=
13
824
=
Chapitre 3
28
14
624
=
6
24 est plus petit que
824
924
et
Donc la fraction de tissu la moins importante est 6
2414
ou
3ème Exemple :
Deux réservoirs identiques sont remplis d'eau, l'un aux 23
, l'autre aux 25
.
Quel est celui qui contient le plus d'eau ?
Le dénominateur commun aux fractions 23
25
et est 15.
23
1015
=
25
615
=
1015
est plus grand que 6
15
Le réservoir le plus rempli est celui qui contient 1015
23
ou d'eau
29
ADDITIONS - SOUSTRACTIONS DE FRACTIONS Problèmes
Exercice 1 : Je pars faire mes courses avec 175 F.
Je dépense 57
de cette somme au supermarché et 15
de cette somme à la
boulangerie. Combien ai-je dépensé ? Exercice 2 : Un exploitant agricole dispose d'un terrain dont
13
sont des terres labourables,
15
des bois,
le reste des prairies. Quelle fraction du terrain est représenté par les prairies ? Exercice 3 Un producteur de pommes de terre en a récolté 140 tonnes.
Les 27
de la récolte sont réservés aux besoins de l'exploitation ; le reste, moins un
déchet de 2
75 sera vendu.
- Quelle fraction de la récolte sera vendue ? - Quel poids de pommes de terre sera vendu ?
Voir réponses page 32
30
Exercice 4 Jules a bu, au cours de la semaine :
Lundi : 13
de carafe de vin
Mardi : 25
de carafe de vin
Mercredi : 14
de carafe de vin
Jeudi : 38
de carafe de vin
Vendredi : 12
de carafe de vin
Samedi : 34
de carafe de vin
Dimanche : 56
de carafe de vin
- Quelle fraction de carafe de vin a-t-il bue en tout ? - Sachant que le volume de sa carafe est 0,8 litre, quelle quantité de vin a-t-il consommée durant la semaine ?
Voir réponses page 33 REPONSES
31
Exercice 1
J'ai dépensé : 57
15
+ de 175 F,
soit 5 57 5
1 75 7
25 735
3235
175xx
xx
de F+ =+
= .
J'ai dépensé : 175 F x 3235
= 160 F
J'ai dépensé 160 F Exercice 2 La fraction du terrain représentée par les prairies est :
1 - 13
15
15 5 315
− =− −
=7
15 du terrain
Les prairies représentent 7
15 du terrain
Exercice 3 La fraction de la récolte vendue est :
1 - 27
275
525 150 14525
− =− −
=361525 de la récolte
La fraction de la récolte vendue est 361525
Poids des pommes de terre vendues
140 t x 361525
= 96,267 tonnes
Le poids de pommes de terre vendues est 96,267 tonnes Exercice 4 La fraction de carafe de vin bu pendant la semaine est
32
13
+ 25
+ 14
+ 38
+ 12
+ 34
+ 56
Un dénominateur commun à toutes ces fractions est 120. On obtient :
1 403 40
xx
+ 2 245 24
xx
+ 1 304 30
xx
+ 3 158 15
xx
+ 1 602 60
xx
+ 3 304 30
xx
+ 5 206 20
xx
=
40 48 30 45 60 90 100
120+ + + + + +
=
413120 de carafe
La fraction de carafe de vin bu pendant la semaine est 413120
La quantité de vin consommé durant la semaine est :
0,8 litre x 413120
~− 2,75 litres
Durant la semaine, Jules a consommé 2,75 litres de vin
