Dossier de demande de qualiﬁcation aux fonctions de

Dossier de demande de qualificationaux fonctions de Maıtre de Conferences

– Veronique COHEN-APTEL –

No candidat : 244699

No section CNU : 25

Annee 2012− 2013

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VERONIQUE COHEN-APTEL QUALIFICATION MDC 2012− 2013

TABLE DES MATIERES

I Curriculum Vitae 3

II Enseignements 61/ Synthese des enseignements realises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62/ Experiences professionnelles particulieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63/ Conclusion & projet d’enseignement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

III Activites de Recherche 81/ These . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

a. Fiche synthetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8b. Resume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2/ Master 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123/ IREM (institut de recherche en Mathematiques) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

IV Projet de recherche 13

V Publications et communications 14

VI Responsabilites collectives 15

VII Pieces jointes 16

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I CURRICULUM VITAE

Veronique Cohen-Aptel- AGREGEE ET DOCTEUR EN MATHEMATIQUE -

Etat Civil

VERONIQUE COHEN-APTEL, nee le 12/04/1971 a TOULOUSE, mariee, deux enfants ; nationalite francaise.

Coordonnees professionnelles : Coordonnees personnelles :Lycee Saint-Sernin 3 place Saint-Sernin 12 Rue Salvayre

31070 Toulouse 31400 TOULOUSETel : 05 34 44 11 80 Tel : 05 61 53 05 21 (mobile) 06 73 49 01 19

Mel : [email protected] Mel : [email protected]

Formation universitaire

2012 Doctorat de mathematiques fondamentales UNIVERSITE PAUL SABATIER (TOULOUSE III)Titre : Fonctions Double Gamma liees aux systemes de racinesDiplome decerne le 23/05/2012, avec mention “Tres Honorable”.Composition du jury :– M. Jean-Pierre Ramis President Universite Paul Sabatier– M. Mikhail Kapranov Examinateur Yale University– M. Oleg Ogievetsky Rapporteur Universite de Marseille– M. Vladimir Roubtsov Rapporteur Universite d’Angers– M. Jacques Sauloy Examinateur Universite Paul Sabatier– M. Vadim Schechtman Directeur de these Universite Paul SabatierEcole Doctorale : MITTOrganisme d’accueil : Laboratoire Emile Picard

2008 Master 2 UNIVERSITE PAUL SABATIER (TOULOUSE III)Titre : Master 2 Recherches Mathematiques Fondamentales ToulouseObtenu en juin 2008, avec mention Bien

1995 Concours UNIVERSITE PAUL SABATIERAgregation externe de MathematiquesSpecialite : Mecanique analytiqueObtenue en juillet 1995.

1994 Concours. UNIVERSITE PAUL SABATIERCapes externe de MathematiquesObtenue en juillet 1994

1993 Maitrise Mathematiques Pures UNIVERSITE PAUL SABATIERObtenu en juin 1993 Toulouse

1992 Licence Mathematiques Pures UNIVERSITE PAUL SABATIERObtenu en juin 1992 Toulouse

1989-1991 DEUG MMPI UNIVERSITE PAUL SABATIERObtenu en juin 1991 Toulouse

1988-1989 BAC Baccalaureat general serie C LYCEE FERMATObtenu en juin 1989 Toulouse

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Parcours professionnel : enseignements

Depuis 1995 : Statut et fonction : Professeur agregee de Mathematiques.

Remplacante pour l’annee 2012-2013 en Classes Preparatoires aux Grandes Ecoles (CPGE).

Dates debut Dates fin Etablissements Fonctions et statut01/09/2007 Lycee Saint Sernin Affectation a titre definitif01/09/1997 31/08/2007 Lycee Le Parc Saint-Agne Affectation a titre definitif01/09/1996 31/08/1997 Gers (Lycee Pardailhan) Titulaire Academique01/09/1995 31/08/1996 IUFM Toulouse Stagiaire, lycee Deodat de Severac

Experiences professionnelles particulieres

Septembre-Novembre 2012 : Remplacement en CPGE : BCPST LYCEE FERMAT, TOULOUSE

Premier semestre 2012 : Vacations IUT IUT GENIE CHIMIQUE, UPS, TOULOUSE40 h de TD (4h/semaine), encadrement de deux groupes d’etudiants.

Formations courtes

Depuis 1955 : Stages de formations ACADEMIE DE TOULOUSETitre : Evolution de l’enseignement des mathematiques, liaisons lycees-enseignements superieurs,histoire des mathematiques.

Responsabilites collectives

Depuis 2000 : membre du jury d’examen (Baccalaureat toutes series).

Depuis 2000 : Participation aux commissions d’entente sur l’evaluation de ces examens tous les ans.

Depuis 2008 : Coordonnatrice de l’equipe de Mathematiques au lycee Saint-Sernin.

Depuis 2007 : Membre du conseil pedagogique du lycee Saint-Sernin.

2005-2007 : Correctrice copies CRPE (concours professeurs d’ecole).

Publications & communications

• Veronique Cohen-Aptel. Fonctions Double gamma liees aux systemes de racines.IMT UMR 5219, (MITT),http ://thesesups.ups-tlse.fr/1558/1/2012TOU30004.pdf.

• Veronique Cohen-Aptel, Vadim Schechtman. Vecteurs de Perron-Frobenius et produits gamma.CRASS15006,Comptes rendus - Mathematique 350 (2012) pp. 1003-1006..

• Veronique Cohen-Aptel. Formule de Fateevhttp ://arxiv.org/abs/1012.5203, 2010.

• Veronique Cohen-Aptel, Vadim Schechtman. Produits Gamma et vecteurs propres de matrices de Cartanhttp ://arxiv.org/abs/1010.5945,2010.

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• Veronique Cohen-Aptel, Vadim Schechtman. Formule d’Euler pour la fonction G de barnes. Preuve de laformule d’Alexejevsky.Article interne au laboratoire Picard, 2009.

• V. Cohen-Aptel, C. Denux, R.Pouget et R. Marques. Redaction et niveaux de rigueur en mathematiques.IREM de Toulouse, 1999, Coll. : Bulletin de l’APMEP n˚ 427.

Divers

– Conception de mon site internet : http://letpa.free.fr.– Outils bureautique, Word, Excel, PowerPoint.– Outils de traitement de texte scientifique, Latex.– Outils de programmation, Mathlab, Scilab, Algobox, Python.– Outils de calculs, Maple, Xcas.– Outils grapheurs, Geogebra.– Langues : Anglais scientifique courant.

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II ENSEIGNEMENTS

Cette partie presente les activites d’enseignement que j’ai pu exercer durant mes 18 annees de carriere dansl’education nationale.

1/ Synthese des enseignements realises

Situation professionnelle actuelle : Statut et fonction : Professeur agregee de Mathematiques, remplacantepour l’annee 2012/2013 en Classes Preparatoires aux Grandes EcolesEtablissement : Lycee Saint-Sernin, ToulouseDate d’entree en fonction : 1er septembre 2007

Dates debut Dates fin Etablissements Fonctions et statut1/09/2007 Lycee Saint Sernin Affectation a titre definitif1/09/1997 31/08/2007 Lycee Le Parc Saint-Agne Affectation a titre definitif

01/09/1996 31/08/1997 Gers (Lycee Pardailhan) Titulaire Academique1/09/1995 31/08/1996 IUFM Toulouse Stagiaire, lycee Deodat de Severac

2/ Experiences professionnelles particulieres

CPGE

Sur avis de l’inspection generale de Mathematiques (IGN Mr Cabane Robert), j’ai ete nommee sur un postede remplacement en CPGE (Haute-Garonne) pour l’annee scolaire 2012/2013.J’ai donc effectue une suppleance en BCPST (premiere annee) au lycee Fermat de Toulouse du 01/09/0212 au24/11/2012.J’ai eu la charge a temps plein d’une classe de BCPST, premiere annee (46 eleves), ou j’ai dispense en plus demon service, des colles d’informatique (apprentissage de Mathlab).Depuis 1999, j’interviens egalement dans le cadre de colles (heures d’interrogations orales consistant en questionsde cours et exercices), au lycee Deodat de Severac (Toulouse) en PTSI et PT* a raison de deux a trois heurespar semaines. J’ai egalement effectue des heures de colles au lycee Saint-Sernin en LSSE (1h/semaine de 2008 a2009).

IUT

Au premier semestre (09/2012 au 12/2012), j’ai ete chargee de TD a l’IUT Genie Chimique de l’UniversitePaul Sabatier de Toulouse.J’ai encadre deux groupes de 30 etudiants, a raison de 4 h par semaines.J’ai participe a l’elaboration des deux controles semestriels avec la correction des copies.

Formateurs associes aux IPR

Mes inspecteurs de mathematique (IA-IPR, IGN) m’ont demande d’integrer le groupe des formateurs associesaux IPR. J’ai ainsi participer depuis la rentree 2012 a des groupes de reflexions sur :- l’utilisation pedagogique des TICE (Environnement numerique de travail : ENT) au service des mathematiques.- la preparation de futurs stages (a destination des collegues de mathematiques) concernant cette utilisation parti-culiere de l’ENT.- l’importance du calcul sous toutes ses formes (commission TRAAM) dans le secondaire et le superieur.

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Encadrement stagiaires

Depuis 2007, j’ai ete designee maitre de stage aupres d’etudiants de deuxieme annee du master Mathematiqueset enseignement de l’universite de Toulouse III, parcours CAPES de mathematiques, en association avec l’IUFMMidi-Pyrenees.Ces stages (SOPA) d’observation et de pratique accompagnee ont eu pour objectif d’aider et de preparer cesetudiants a leur futur metier d’enseignant :

– en m’observant dans l’exercice de mes fonctions,– en pratiquant des seances a mes cotes,– en realisant un memoire professionnel a partir de cette experience.

Formations courtes

Durant mes dix-huit annees d’enseignement, j’ai suivi de nombreux stages de formations sur des themes telsque : l’evolution de l’enseignement des mathematiques, liaisons lycees-enseignements superieurs, histoire desmathematiques.

Periode Annees Intitule du stage2 jours 2012/2013 Formation de formateurs, ENT et Mathematiques1 jour 2012/2013 Enseignement de specialite en TS : pilotage academique2 jours 2011/2012 Algorithmique : evolution de l’enseignement des mathematiques2 jours 2011/2012 Maths : animateurs associes aux IPR1 jour 2008/2009 Liaison college- lycee en mathematiques2 jours 2008/2009 Utilisation de l’outil multimedia et informatique1 jour 2008/2009 Du lycee a l’enseignement superieur1 jour 2008/2009 Epreuve pratique en S1 jour 2008/2009 Journee pedagogique : mathematiques au lycee2 jours 2006/2007 PPRE (programme personnalise de reussite educative)2 jours 2004/2005 Histoire des mathematiques1 jour 2003/2004 Aide en sixieme1 jour 2001/2002 Journee pedagogique en 1S.

3/ Conclusion & projet d’enseignement

Disposant d’une experience professionnelle significative dans l’enseignement secondaire, je desire aujourd’huiaccroıtre mes competences.

Je souhaite integrer l’enseignement superieur pour d’une part mener a bien mes recherches et d’autre part pourcontinuer l’enseignement que j’adore. Je me sens prete a prendre en charge des enseignements niveau post-bac.Le poste d’enseignant dans le superieur, trace un portrait dans lequel je crois me reconnaıtre.

Je suis pleinement consciente de l’enjeu que represente la transmission des connaissances et des competencesaux futurs acteurs potentiels de la recherche scientifique.Organisee bien sur, comme l’exige ce metier, je pense avoir le dynamisme, le serieux et la rigueur necessaires :ces qualites m’ont toujours aidee a m’adapter avec beaucoup de polyvalence.

J’aime guider, conseiller les etudiants.Etant coordonnatrice de l’equipe de mathematiques de mon lycee, je suis capable d’encadrer une equipe dans madiscipline, d’impulser des projets.

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III ACTIVITES DE RECHERCHE

1/ These

a. Fiche synthetique

Titre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fonctions Double Gamma liees aux systemes de racines.Discipline . . . . . . . . . . . . . . . . . Mathematiques fondamentales.Mots-cles . . . . . . . . . . . . . . . . . Fonction Gamma, fonction double Gamma, systemes de racines, vecteur de

Perron-Frobenius, systemes integrables.Directeur de these . . . . . . . . . . Vadim Schechtman, Professeur d’universite UPS.Laboratoire d’accueil . . . . . . . Emile Picard.Universite . . . . . . . . . . . . . . . . . Universite Paul Sabatier, Toulouse III.Ecole doctorale . . . . . . . . . . . . MITT, Toulouse.Financement . . . . . . . . . . . . . . Salariee education nationale.Periode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Septembre 2008 a Mai 2012.Date de soutenance . . . . . . . . le 23 Mai 2012.Mention . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tres Honorable.Composition du jury . . . . . . . – M. Jean-Pierre Ramis President Universite Paul Sabatier

– M. Mikhail Kapranov Examinateur Yale University– M. Oleg Ogievetsky Rapporteur Universite de Marseille– M. Vladimir Roubtsov Rapporteur Universite d’Angers– M. Jacques Sauloy Examinateur Universite Paul Sabatier– M. Vadim Schechtman Directeur de these Universite Paul Sabatier

b. Resume

Contenu : Dans mon travail de these, realise sous la direction de Monsieur Schechtman, j’ai aborde les fonc-tions double Gamma liees aux systemes de racines. Ces fonctions apparaissent dans les travaux de physiciens surles modeles integrables quantiques et la theorie conforme de champs.La fonction double Gamma G(z) de Barnes peut etre caracterisee par les proprietes suivantes :(i)G(z) une fonction meromorphe,(ii)G(1) = 1,(iii)G(z + 1) = Γ(z)G(z), (0.1.1)(iv) d3 logG(x+ 1)/dx3 ≥ 0, pour x reel, x ≥ 0.Ici Γ(z) est la fonction Gamma d’Euler.La fonction G(z) est le deuxieme membre dans la hierarchie des fonctions Gamma.Dans ses travaux fondamentaux, E.W.Barnes a etudie cette fonction et ses generalisations.Dans cette these, j’ai analyse certaines fonctions a une et a plusieurs variables qui satisfont aux equations fonc-tionnelles semblables a (0.1.1).Dans la premiere partie, on passe en revue des notions et des resultats connus : y sont surtout soulignees lesrepresentations integrales de nos fonctions (et les representations integrales de logarithmes de nos fonctions).Apres une etude de la fonction Γ(z) dans le chapitre 1, la fonctionG(z) et sa generalisation Γ2(z|b1, b2) de Barnessont discutees dans le chapitre 2.Cette derniere fonction satisfait aux equations fonctionnelles :

Γ2(z + b1|b1, b2) =√

2πb−1/2−z/b22

Γ(z/b2)Γ2(z|b1, b2), (0.2.1a)

Γ2(z + b2|b1, b2) =√

2πb−1/2−z/b11

Γ(z/b1)Γ2(z|b1, b2). (0.2.1b)

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Dans le chapitre 3, on examine une q-deformation de Γ(z) ; est ainsi abordee, la fonction Γq(z) qui satisfait al’equation fonctionnelle :

Γq(z + 1) =1− qz1− q Γq(z). (0.2.2)

Dans une deuxieme partie sont egalement etudiees les versions de la fonction double Gamma, utilisees par desphysiciens, dans leur travail sur les modeles integrables : le modele de Liouville et sa generalisation, le modele deToda de la Theorie Conforme de Champs en dimension 2.Dans le chapitre 4, on considere les fonctions Γb(x) et le double sinus (appele aussi le dilogarithme quantique)Sb(x).La premiere fonction est definie par :

Γb(x) =Γ2(x|b, b−1)

Γ2(q/2|b, b−1),

ou q = b+ b−1.Le double sinus est defini par :

Sb(x) =Γb(x)

Γb(q − x).

Dans le chapitre 5, on etudie la fonction importante Υb(x) des freres Zamolodchikov definie par :

Υb(x) =1

Γb(x)Γb(q − x).

Il apparaıt ainsi, la fonction principale de cette these, que nous appelons la fonction de Fateev Fb(x). Elle estassociee a un systeme de racines de rang l et depend de l variables, x = (x1, . . . , xl).(La fonction de Lukyanov-Zamolodchikov, discutee dans le chapitre 6, est un cas particulier correspondant ausysteme de racines du type A1) Decrivons les equations fonctionnelles de Fb(x).Soient V , un espace vectoriel reel de dimension l et R ⊂ V , un systeme de racines fini reduit irreductible de rangl.Dans cette introduction, on suppose pour simplifier, que R est simplement lace, c’est a dire du type A,D,E.Soit W , le groupe de Weyl de R. On choisit un produit scalaire 〈., .〉W -invariant sur V , ce qui permet d’identifierV avec son dual V ∗.Fixons une base de racines simples {α1, . . . , αl} ⊂ R, d’ou la notion d’une racine positive.On designe suivant l’usage :

ρ =12

∑α>0

α.

Fixons un parametre reel b > 0 et posons :q = b+ b−1.

Pour s ∈W , on definit l’operateur affine translate : sb : V −→ V par :

sb(x) = qρ+ s(x− qρ), x ∈ V.

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On definit une fonction produit Gamma :

Ab : V −→ R,

par :Ab(x) =

∏α>0

Γ(1− 〈xb, α〉b)Γ(1− 〈xb, α〉/b), (0.3.1)

ouxb = x− bρ.

Il est clair que Ab se prolonge en une fonction meromorphe :

Ab : VC := V ⊗R C −→ C.

La fonction de Fateev est une fonction meromorphe a l variables :

Fb : VC −→ C.

Elle satisfait aux |W | equations fonctionnelles :

Ab(x)Fb(x) = Ab(sb(x))Fb(sb(x)), s ∈W. (0.3.2)

(Dans cette these on utilisera la notation GF (x, b) pour Fb(x).)

Voici une valeur limite du gradient de logFb(x) :

limb→0

∂x logFb(x/b) = −∑α>0

log(γ(〈ρ− x, α〉/h))α+ 2 log h · x. (0.3.3)

Ici, h est le nombre de Coxeter de R et

γ(x) =Γ(x)

Γ(1− x).

La troisieme partie contient les nouveaux resultats de cette these.Soit :

θ =l∑i=1

niαi,

la plus longue racine de R. Ceci definit les nombres naturels ni, 1 ≤ i ≤ l.Posons n0 = 1, donc le nombre de Coxeter :

h =l∑i=0

ni.

Supposons, pour simplifier les enonces, que R soit simplement lace, c’est-a-dire, du type A, D ou E. On definitle nombre k(R) par :

k(R) =l∏i=1

nni/2hi .

Voici le premier resultat principal de cette these.Theoreme A. Pour tout i, 1 ≤ i ≤ l,

∏α>0

γ

(〈α, ρ〉h

)〈αi,α〉

= n−1i k(R)2. (0.4.1)

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Cette formule remarquable a ete decouverte par le physicien V.Fateev.On remarque que le premier membre de (0.4.1) est egal a :

〈exp(limb→0

∂x logFb(x/b)|x=0, αi〉.

On a des formules analogues pour les systemes non-simplement laces.Fateev a deduit cette formule des considerations physiques liees a l’Ansatz de Bethe.J’ai donne une demonstration mathematique de cette formule.C’est un calcul direct (assez elabore) qui n’utilise que la formule de multiplication de la fonction Γ :

Γ(nx) = (2π)(1−n)/2nnx−1/2n−1∏i=0

Γ(x+ i/n).

J’ai etabli une formule q-deformation de (0.4.1) pour les systemes du type Al, Dl (par ailleurs, pour Al laformule est triviale).Une formule q-deformation pour les systemes Bl, Cl, G2 est egalement proposee.

Qu’obtient-on si l’on remplace dans l’expression (0.4.1) la fonction γ(x) par Γ(x) ?Une reponse est donnee dans la derniere partie.Soit A la matrice de Cartan de R. La matrice A′ = 2Il − A a ses elements positifs et est indecomposable ; donc,par le theoreme de Perron-Frobenius, elle possede un vecteur propre reel vPF de valeur propre reelle maximale,qui est unique a proportionnalite pres.Evidemment, vPF est aussi un vecteur propre de A, que l’on appellera le vecteur de Perron-Frobenius de A. Sescomposantes sont des nombres reels strictement positifs ; ils sont connus et peuvent etre exprimes en termes defonctions trigonometriques.Dans la physique, ces composantes ont une interpretation remarquable :ces nombres sont les masses des particules dans les deformations integrables de la theorie de Toda.Le premier exemple, decouvert par A. Zamolodchikov, a ete R = E8, ou on retrouve 8 particules du modeled’Ising critique dans un champ magnetique.D’un autre cote, introduisons les nombres :

Γ(R,αi) =∏α>0

Γ(〈α, ρ∨〉/h)−〈α∨,αi〉,

et le vecteur :Γ(R) = (Γ(R,α1), . . . ,Γ(R,αl)) ∈ Rl.

Le deuxieme resultat principal de cette these est le suivant.

Theoreme B. Le vecteur Γ(R) est un vecteur de Perron-Frobenius de A.

Il se trouve aussi que le theoreme A, est equivalent a une assertion similaire pour les matrices de Cartan af-fines.

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2/ Master 2

Dates : Septembre 2006-Mai 2008Lieux : Universite Paul Sabatier (Toulouse III)Ecole Doctorale : MITTOrganisme d’accueil : Laboratoire Emile PicardIntitule du memoire de Master 2 : La fonction Upsilon des freres ZamoldchikovThemes : Fonction speciales-Fonction Gamma-Fonction G de Barnes- Fonction Upsilon.Contenu : Ce memoire a ete consacre a l’etude de la fonction Upsilon des freres Zamolodchikov, cette fonctionremarquable apparait dans la theorie conforme des champs en dimension 2.Les freres Zamolodchikov sont parmi les plus celebres physiciens theoriciens travaillant dans les domaines fon-damentaux de la physique contemporaine, tels que la theorie quantique des champs, la physique statistique, latheorie des cordes et la physique mathematique des systemes integrables. Ils sont a l’origine de disciplines entieresen theorie quantique des champs et en physique statistique, dans lesquelles un grand nombre de physiciens (etmathematiciens) continuent de travailler.Parmi leurs contributions les plus importantes en physique theorique, les plus significatives sont :- l’introduction en 1978 de la matrice S pour les systemes integrables des champs quantiques bi-dimensionnelspar la methode du bootstrap. C’etait le veritable depart du sujet de l’integrabilite quantique en theorie des champs.- l’application, au cours des annees 1990, (avec V. Fateev) des methodes d’integrabilite quantique a la theorie deLiouville.- le travail fondamental, en 1984 (avec A. Belavin et A. Polyakov) (un des articles les plus cites au monde enphysique theorique) sur la symetrie conforme a deux dimensions.Cet article a donne naissance a un nouvel instrument en physique theorique, dont l’importance a ete reconnuedans plusieurs domaines, de la physique des transitions de phase a la theorie des cordes moderne. Il a aussi inspirenombre de travaux de recherche en mathematiques.

3/ IREM (institut de recherche en Mathematiques)

Dates : Septembre 1998-octobre 1999Lieux : Universite Paul Sabatier (Toulouse III)Organisme : IREMIntitule de la publication : Redaction et niveau de rigueur en mathematiques.Themes : analyse, demonstration, evaluation, raisonnement, redaction, rigueur.Contenu : Cette brochure presente une reflexion sur la notion de rigueur en mathematiques dans le monde desenseignants et des eleves de colleges et lycees.Elle tente d’analyser :- dans un premier temps les conceptions de la notion de rigueur chez les enseignants et les eleves,- dans un deuxieme temps son evaluation, sa prise en compte dans un ecrit decontextualise puis dans des copiesde baccalaureat.

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IV PROJET DE RECHERCHE

Durant ma these, j’ai etabli une formule de Fateev q-analogue pour les systemes du type A,B,C,D,G2. Ilme reste a elaborer des formules similaires pour les systemes du type E,F .J’ai deja trouve un resultat pour E6. Je prepare actuellement un article sur ce sujet.

De plus je vais proposer un livre de synthese sur ma these, en collaboration avec Monsieur Schechtman.Une note intitulee Vecteurs de Perron-Frobenius et produits gamma, ecrite en tant que premier auteur, a ete publiedans la revue Comptes rendus - Mathematique de Decembre 2012.Cette note presente des formules permettant d’exprimer les coordonnees des vecteurs de Perron-Frobenius desmatrices de Cartan (finies ou affines) comme des produits de valeurs de la fonction Gamma, pour chaque systemede racines fini irreductible de rang r.

Je souhaiterais affiner certains resultats obtenus pendant mes recherches comme par exemple :– etablir que la fonction de Fateev peut s’exprimer comme un produit des fonctions double Gamma de Barnes.– etudier encore plus precisement la fonction Upsilon des freres Zamolodchikov :

-en physique (mathematique) dans le modele de Liouville.-faire le lien avec les integrales de Selberg (et les integrales de Feynman dans le modele de Liouville).

J’aimerais egalement aborder de nouvelles questions, dans le prolongement des thematiques de ma these.– Pour la fonction de Lukyanov-Zamolodchikov (LZ), il parait interessant de montrer la relation de cette

fonction a double Gamma et Upsilon (pour β2 = 1/2, LZ proche de Υ).– Existe-t-il des proprietes d’amplitudes de reflexion R(a) pour la fonction c de Harish-Chandra comme pour

la fonction de Fateev ? Quelle est la representation integrale de log c(λ) usuelle ?– Pour la fonction DOZZ (Dorn-Otto-Zamolodchikov), comment passer a la limite

” minisuperspace ” ?– Dans le cadre des fonctions multiples de Gamma, il est important de donner une analogue pour la fonction

double Gamma, de la formule :

Γ(s) =∫ ∞

0

e−tts−1dt.

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V PUBLICATIONS ET COMMUNICATIONS

These

⇒ Fonctions Double gamma liees aux systemes de racines, IMT UMR 5219, (MITT),Veronique Cohen-Aptel, These d’universite. Universite Paul Sabatier,Toulouse III, 2012.http ://thesesups.ups-tlse.fr/1558/1/2012TOU30004.pdf.

En tant que premier auteur

⇒ Formule de Fateev.Veronique Cohen-Aptelhttp ://arxiv.org/abs/1012.5203, 2010.

En tant que collaborateur

⇒ Formule d’Euler pour la fonction G de barnes, preuve de la formule d’Alexejevsky.Veronique Cohen-Aptel et Vadim Schechtman.Article interne au laboratoire Picard, 2008.⇒ Produits Gamma et vecteurs propres de matrices de Cartan.

Veronique Cohen-Aptel et Vadim Schechtman.http ://arxiv.org/abs/1010.5945,2010.

Revues internationales avec comite de lecture

⇒ Vecteurs de Perron-Frobenius et produits gamma.Veronique Cohen-Aptel et Vadim Schechtman.Comptes rendus - Mathematique 350 (2012) pp. 1003-1006, CRASS15006.

Autres publications

⇒ Redaction et niveaux de rigueur en mathematiques.V.Cohen-Aptel ; C. Denux ; R.Pouget et R. Marques.IREM de Toulouse, 1999, Coll. : Bulletin de l’APMEP n˚ 427.

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VI RESPONSABILITES COLLECTIVES

J’ai toujours pris beaucoup de plaisir a m’investir dans le travail en equipe et plus generalement a participer ala vie collective des milieux professionnels que j’ai pu integrer.Qu’il s’agisse de collaborations pedagogiques (groupes de formateurs, travail en equipe au sein du lycee Saint-Sernin) ou de responsabilites administratives (direction du secretariat du Baccalaureat pendant deux ans au lyceeSaint-Sernin en 2008 et 2009).

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VII PIECES JOINTES

Liste des pieces jointes

– Rapports (2) de presoutenance de these.– Rapport de soutenance de these.– Une copie du diplome de doctorat.– Mon dernier rapport d’inspection education nationale.– Copie de la carte d’identite.

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Rapport sur la these de Madame Veronique Cohen-Aptel”Fonctions double Gamma lies aux systemes de racines”

par le Professeur V.Roubtsov (LAREMA, Universite d’Angers)

Le sujet de la these de madame V. Cohen-Aptel est consacre a un objet tout-a-fait remarquable. La these s’inscrit dans la lignee des travaux sur la theorie desfonctions speciales de type Gamma d’ Euler et leurs generalisations et applica-tions. Une generalisation majeure et importante de cette theorie est la fonctionGamma double de Barnes, qui apparaise aussi dans les travaux des physiciens-theoriciens sur les modeles de Liouville et de Toda de la Theorie conforme dechamps. Le travail de V. Cohen-Aptel consiste d’une generalisation de la fonc-tion Gamma double de Barnes interessante qui amalgame, en particulier, lesfonctions des Fateev-Lukyanov-Zamolodchicovs des modeles integrables quan-tiques. Elle etudie une analogue de la fonction Gamma de Barnes �(R, �)associee avec un systeme de racines R. Ici, � est une des racines simples deR. Le resultat remarquable de cette These est le theoreme 10.2.1: le vecteur�(R) = (�(R, ↵1), . . . , �(R, ↵l)) est le vecteur de Perron-Frobenius de la matricede Cartan du systeme de racines R. L’importance du theoreme s’explique parle fait que les composantes du vecteur de Perron-Frobenius sont les masses desparticules dans les deformations integrables de la theorie de Toda bidimension-nelle.

La these se compose de trois parties divisee en ounze chapitres et de quatreannexes.

–1. Le premier chapitre rapelle les notions principales de la theorie classiquede la fonction Gamma d’Euler classique ainsi que les fonctions Gamma doubleset leurs q-analogues.. L’auteur rappel les presentations integrales et relationsfonctionnelles et plusieurs formules classiques connues. Elle montre bonne con-naissance de literature scientifique autour du probleme. Le chapitre contientaussi les demonstrations des theoremes et formules classiques d’Alexejewski,de Kinkelin, de Stirling et des formules inegrales qui seront utilises dans cetteThese. En suite V. Cohen-Aptel decrit une q�analogue de la fonction Gamma,son equation fonctionnelle, liens avec l’integrale de Jackson une q� deformationde la formule de multiplication de Gauss.

–2. Le deuxeme chapitre expose les versions de la fonction Gamma doubleutilisant par des physiciens-theoriciens, notamment les fonctions �b , doublesinus et Upsilon (⌥b) apparaissent dans la theorie de Liouville. En suite, ellerappelle les constructions des fonction basees sur celles-ci (il s’agit de fonctionsde Dorn-Otto-Zamolodchikovs et de Lukyanov-Zamolodchikov).

–3. Le coeur de la These consistes de la definition et des proprietes de lafonction de Fateev liees avec une matrice de Cartan d’un systeme de racines.Cette fonction est discute dans les chapitres 7 et 8 ou l’autheur re-demontreles resultat de V.Fateev pour les systemes des racines de Dynkin type (= sim-plement et non-simplement laces) de facon mathematiquement rigoureuse. Uneq� analogue de cette formule est propose. Les beaux theoremes demontres parla candidate explique les liens entre les fonctions Gamma liees aux systemes de

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racines et les vecteures propres de matrices de Cartan (les vecteurs de Perron-Frobenius) dans les cas finis et a�nes

–4. Les annexes contenent les quatre chapitres qui fixent les details de clacultechniques et des demonstrations. Le materiel dans les annexes est un outilregulier le longue du sujet aborde.

Le memoire cree par madame V. Cohen-Aptel represente un travail serieux etexpose quelques points de vue nouveaux permettant des applications interessante.Le texte est claire, mathematiquement correct, detaille et montre a l’evidenceque Madame Cohen-Aptel domine son sujet. Les resultats de la These sontun pas pour la meilleure comprehension des proprietes analytiques de modelesintegrables quantiques bidimensionnels du type Toda.

Nous estimons que cette these apporte une contribution interessante dans cedomaine de la Physique Mathematique moderne et montre encore fois la richessemathematique de la Theorie conforme de champs.

La these est redigee clairement. Le texte mathematiquement correct.C’est clair pour moi que ce travail constitue une bonne these qui merite

d’etre soutenue.

Vladimir Roubtsov, le 29 avril 2012, a MPIM, Bonn

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Rapport sur la these de Veronique Cohen-Aptel

“Fonctions double Gamma liees aux systemes de racines”

Cette these s’inscrit dans le domaine de la physique mathematique ayanttrait a certaines fonctions speciales utilisees par les physiciens en theorieconforme des champs en dimension 2.

La premiere partie est une breve revue des fonctions Gamma et doubleGamma (de Barnes). C’est une presentation bien documentee et tres bienecrite. Puis cette partie se concentre sur le q-analogue de la fonction Gamma.Toutes ces fonctions seront utilisees dans les parties suivantes.

La deuxieme partie concerne les fonctions speciales qui jouent un role im-portant dans les modeles de Liouville et de Toda: la fonction double sinus (oule dilogarithme quantique) ainsi que la fonction Upsilon des freres Zamolod-chikov. Ces fonctions sont definies a l’aide de la fonction double Gamma.Veronique Cohen-Aptel fait preuve dans cette partie d’une bonne connais-sance et d’une grande maıtrise de techniques assez pointues de la theorie desfonctions speciales.

La troisieme partie comporte les resultats nouveaux obtenus par VeroniqueCohen-Aptel. Premierement, Veronique Cohen-Aptel presente une preuvemathematique de la formule de Fateev, concernant les produits des valeursde la fonction �(x) := �(x)/�(1�x), en les points definis par les systemes deracines. C’est la premiere demonstration rigoureuse de la formule de Fateev.Veronique Cohen-Aptel considere d’abord les systemes de racines simplementlaces et puis donne egalement une preuve pour les systemes de racines nonsimplement laces. Le chapitre suivant est consacre a un q-analogue de laformule de Fateev. La formule q-analogue est demontree pour les systemesde racines des types A et D.

Puis, le produit de la fonction Gamma aux memes points est interprete entermes de la matrice de Cartan correspondant au systeme de racines donne.

Enfin, la these se termine par plusieurs annexes destinees aux detailstechniques des calculs.

En resume, cet ouvrage me paraıt a la fois interessant et bien redige. Ony trouve su�samment de resultats nouveaux et originaux. Je suis tout a faitfavorable a la soutenance de la these.

Fait a Marseille, le 28 avril 2012

Oleg Ogievetsky

Documents

Dossier de demande de qualiﬁcation aux fonctions de