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D.S. n°6 de Sciences Industrielles de l ’Ingénieur

Concours Commun Mines-Ponts (MP – PSI – 2015) Les questions sont organisées suivant une progression logique. Toutefois les parties peuvent être abordées indépendamment les unes des autres. La 4e partie est très classique. La rédaction des réponses sera la plus concise possible : on évitera de trop longs développements de calculs en laissant subsister les articulations du raisonnement. Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

LE ROBOT HUMANOIDE LOLA Le développement de robots à forme humaine est en croissance constante depuis quelques dizaines d’années. En robotique, il est difficile d’affirmer que tous les robots remplaçant l’homme dans ses tâches doivent être de forme humaine. Les véhicules autonomes, par exemple, ne sont pas anthropomorphes. Les tâches auxquelles sont destinées les robots définissent leur forme idéale. Si nous souhaitons un jour que les robots remplacent l’homme dans ses tâches ennuyeuses, ils devront s’intégrer au mieux à notre société, à notre environnement et à notre ergonomie.

Les dimensions d’une maison et la hauteur des meubles sont adaptées à notre forme humaine. L’avantage des robots humanoïdes devient alors économique : il n’est pas indispensable de modifier l’environnement quotidien pour les utiliser.

Le robot humanoïde LOLA (figure 1), développé par l’Université de Munich, est un robot de forme humaine conçu pour un mode de marche rapide. LOLA possède une structure à 25 degrés de liberté lui permettant une flexibilité accrue. Chaque jambe possède 7 degrés de liberté, le haut du corps 8 et la tête 3.

Figure 1 : le robot humanoïde LOLA et sa structure

cinématique (sans la tête)

Le robot est équipé d’une caméra stéréoscopique haute définition afin de percevoir son environnement, d’une centrale inertielle équipée de 3 gyroscopes et de 3 accéléromètres. Chaque articulation possède un codeur angulaire absolu et chaque pied est muni d’un capteur d’effort 6 axes permettant d’obtenir l’effort de contact avec le sol. Les caractéristiques techniques de LOLA sont données dans le tableau suivant :

Caractéristiques Valeurs Hauteur 180 cm Masse 55 kg

Nombre de degrés de liberté 25 Vitesse de marche -1km.h 5 Maxi

Hauteur du centre de gravité 105 cm Le diagramme partiel des exigences est donné en annexe 1 (ce n’est peut-être pas nécessire de le lire…). L'objectif de l'étude proposée est de justifier le respect du cahier des charges. Elle se décomposera en 4 parties : l'étude de la stabilité du robot bipède, l'étude des performances de l'asservissement angulaire du tronc, l'analyse des performances de la marche et enfin l’étude de la commande de l’axe de la cheville.

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PARTIE 1 : STABILITE DU ROBOT Par définition, le robot humanoïde bipède s'appuie sur ses deux jambes. Comme tout système de solides en équilibre statique, LOLA est à l’équilibre si la projection de son centre de gravité sur le sol est contenu dans le polygone de sustentation qui est tracé autour de ses deux pieds sur la figure 2. Lorsque le robot marche, il y a une phase où il n'est en appui que sur un seul pied. Dans ce cas, le polygone de sustentation est réduit à un seul pied.

L’objectif de cette partie est de trouver à quelle condition le maintien du contact sur le sol est possible lorsque le robot marche et si l'accélération est compatible avec le cahier des charges, dont un extrait est donné ci-après.

Figure 2 : polygone de sustentation sur deux pieds

Exigence 1.3 : Le robot ne doit pas basculer lors de la marche Description : La position du ZMP* reste dans le polygone de sustentation (* : défini dans la suite) Exigence 1.1 : Le robot doit pouvoir atteindre les performances cibles

Sous-exigence Description Id=1.1.4 La longueur d'une foulée est de 150 cm au maximum Id=1.1.3 Le robot peut accélérer jusqu'à 1,39 m.s−2

Le contact du pied sur le sol est modélisé (en absence de frottement) sur la figure 3.

Figure 3 : modélisation du contact entre le pied et le sol (dans la direction ( 0y ))

I.1 MODELISATION DE L’EFFORT DE CONTACT ENTRE LE SOL ET LE ROBOT. Pour simplifier l’étude, nous supposerons que sous la semelle du robot, la pression de contact avec le sol est supposée répartie de manière uniforme transversalement (suivant la direction 0x ). Le problème se ramène donc à une répartition linéique de pression sur les deux segments de contact [ ]SS A ,O et [ ]SS C ,B . En chaque point M

(d'ordonnée y) de ces segments, la densité d’efforts de contact est 0z . p(M) , avec p(M) en -2N.m . On notera que si le robot n’est pas équipé de semelles magnétiques ou adhésives, on a obligatoirement p(M) > 0. Ainsi, en notant (b) la largeur de la semelle suivant 0x et [ ] [ ]SSSS C ,BA ,O ∪=Σ , le modèle global d'action mécanique de contact du sol sur le pied peut être donné par le torseur :

( )

( )S

S

OM0S

Opiedsol

M0piedsol

piedsoldy . z . p(M) MO . bM

dy . z . p(M) . bRT

∫ Λ=

∫==

Σ∈→

Σ∈→

→

Les coordonnées (selon 0y ) des points SO , SA , SB , SC sont : mm 0ySO = , sA ay

S= , sB by

S= , sC cy

S= ,

avec mm 001as = , mm 002bs = , mm 003cs = .

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S

La densité d’effort de contact peut être modélisée par une relation affine y . cP p(M) max += (le coefficient (c) dépend de la nature du sol et de la semelle ainsi que de la position du centre de gravité du robot). Question P1

Calculez la résultante des actions du sol sur le pied piedsolR → en fonction de maxP , b , c, sa , sb , sc .

Question P2

Calculez le moment en SO des actions du sol sur le pied : SOpiedsolM → en fonction de maxP , b , c, sa , sb , sc .

Question 1

Montrez que piedsolT → est un glisseur (un glisseur est un torseur dont la résultante est non nulle mais donc le produit scalaire de la résultante par le moment est nul. Pour un torseur glisseur, il existe donc au moins un point pour lequel le moment est nul).

Soit SH le point appartenant à ( 0S y ,O ) tel que 0M SHpiedsol =→ , on notera 0HSS y . yHO

S

= . Ce point est fondamental en robotique humanoïde, il prend le nom de Zero Moment Point (ZMP) : de l'anglais « point de moment nul ». Question 2

Montrez que HS ∈[ OS ; CS ] , c'est-à-dire qu'il est situé sous le pied du robot.

Pour que le robot puisse rester immobile sur un sol incliné et/ou puisse avancer/ralentir, il est nécessaire qu’il y ait du frottement entre le sol et les pieds. Nous ne traiterons, pour la question suivante, que le cas d’un mouvement d’avancement dans la direction 0y .

Question P3 Donnez une nouvelle expression de la densité d’effort de contact permettant de provoquer un mouvement du robot dans la direction 0y .

Question 3

Donnez la forme du torseur des actions transmissibles piedsolT → dans ce cas particulier. Montrez que les résultats des questions 1 et 2 sont inchangés.

I.2. ÉTABLISSEMENT DE LA CONDITION DE NON-BASCULEMENT. Considérons le robot en marche avec le torse (1) ayant un mouvement de translation vers l’avant (suivant 0y + ). Le robot est toujours dans la phase d'appui d'un seul pied sur le sol, via une des deux jambes notées (2) (figure 4).

Données et paramètres :

a) Torse (1) :

- masse m1 , accélération de la pesanteur : 0z . gg

−= avec 2s.m81,9g −=

- centre de gravité : G, tel que 0G0GS z . (t)z y . (t)yGO

+= - le torse est supposé en mouvement de translation rectiligne, de direction par

rapport au sol, on a : G0G

sol/1 y . y0V

=

b) Jambes avec les pieds (2)

- Masses et inerties négligeables dans cette phase.

- N.B. : le pied d'appui est sans mouvement par rapport au sol. Figure 4 : modélisation du robot en

marche

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L'action mécanique du sol sur la semelle du pied est modélisée par le glisseur SH

piedsolpiedsol 0

RT

= →→ où :

- SH est le ZMP, point mis en évidence à la question 2 tel que 0HSS y . yHOS

= ;

- 0piedsol0piedsolpiedsol y . Tz . NR

→→→ += , avec à la limite du glissement piedsolpiedsol N .μ T →→ = où µ est le facteur de frottement du contact sol / semelle.

On isole l’ensembe du robot tel que défini à la figure 4 (corps : 1, (jambe + pied) : 2). Question P4

Réalisez le bilan des actions mécaniques extérieures appliquées à l’ensemble du robot. Définissez précisément les différents torseurs d’actions mécaniques extérieures que vous venez de lister.

Question P5

Calculez l’accélération G

0/1a du centre de gravité (G) de (1) par rapport au sol (0).

Appliquez le théorème de la résultante dynamique : G1/01robotext a . m R =→ afin de déterminer deux équations

scalaires liant d’une part piedsolN → , 1m et g et d’autre-part piedsolT → , 1m et 2G

2

G dt)t(yd)t(y = .

Question P6

Appliquez le théorème du moment dynamique en ( SO ) en projection sur 0x . Ce théorème étant uniquement

au programme de seconde année, je vous le donne : 0O

0/robot0O

robotext x . x . M SS

δ=→ . Pour la somme des moments en ( SO ) des actions mécaniques extérieures appliquées sur le robot, je vous laisse faire. Pour le moment dynamique, je vous donne la formule à appliquer (dans le cas particulier de cette partie) :

SS O1/01SS

Orobot/0 a . m Λ GOδ = .

Question 4

Montrez que la condition de stabilité (non basculement) s'écrit : GG

GH y . g

z - yyS

=

Remarque : conformément au résultat de la question 2, le calculateur du robot contrôle en permanence la position du point SH (ZMP) : s'il est positionné à l'intérieur du segment [ OS ;CS ] , le robot ne bascule pas.

On appelle foulée, la longueur entre deux emplacements successifs d'appui du même pied. Lors du premier pas,

le centre de gravité se déplace de sorte que

+

∈4

foulée;4

foulée- yG , car pour une accélération constante, les

deux pas qui constituent une foulée sont de même longueur. Le cahier des charges stipule qu'à partir de la station immobile, le robot doit atteindre la vitesse cible de

1km.h 5 − en une seconde, avec une accélération constante du centre de gravité : 2G m.s 1,39 y −= .

On rappelle que mc 135 zG = .

Question 5

Sachant que la longueur de la semelle du robot [ ]SS C ,O est mm 003 L = , déterminez la longueur de la première foulée du robot qui garantit la condition de non-basculement. Est-ce compatible avec le cahier des charges ?

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Figure 5 : Paramétage de la marche

Question 6

Dans le cas d'un sol relativement glissant, avec un facteur de frottement du contact sol /semelle ,10 =µ quelle accélération maximale MaxGy le robot peut-il avoir ? Est-ce compatible avec le cahier des charges pour la phase de démarrage ?

Le dimensionnement des différents actionneurs, utilisés pour la marche, nécessite le calcul des moments dynamiques des différents solides sur les axes de rotations associés aux actionneurs. Il est donc nécessaire de calculer

les accélérations 2G2/0a et 3G

3/0a . Ces calculs seront menés dans le cas du modèle cinématique du robot décrit à la figure 5.

Le tronc (1) du robot est toujours en translation rectiligne de direction ( 0y ) par rapport à (0) (paramètre de translation ( Gy )). La cuisse (2) est en liaison pivot d’axe ( 0T x ,O ) par rapport à (1) (paramètre angulaire (β )). Le tibia (3) est en liaison pivot d’axe ( 0x J, ) par rapport à (2) (paramètre angulaire (θ )).

00GTS z . hy . (t)y OO

+= , 222T y . l GO

= , 22T y . b JO

= et 333 y . l JG

=. h, 2l , 3l et sont des constantes. () est fixe par rapport au sol(0).

Question P7

Calculez les vitesses 2G2/0V et 3G

3/0V (vous laisserez les vitesses sous les formes les plus contractées possible, inutile de projetter de façon intenpestive).

Question P8

Calculez les accélérations 2G2/0a et 3G

3/0a (vous laisserez les accélérations sous les formes les plus contractées possible).

PARTIE 2 : CONTROLE DE LA POSTURE DE LOLA

Figure n°6 : Architecture générale & détail de motorisation des hanches

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Figure 7 : chaîne structurelle de l’axe de tangage de la hanche

Pour assurer une marche stable et rapide de LOLA, la méthode choisie est le contrôle de la verticalité du tronc du robot (figure 6). Le haut du corps (tronc, bras, tête) sera maintenu vertical en réalisant un asservissement de position angulaire au niveau de l'articulation de la hanche. L'action mécanique de redressement est développée par l'ensemble de motorisation de tangage autour de l'axe )x,O( 0T

.

La chaîne structurelle permettant de modifier la posture du haut du corps autour de l'axe de tangage est représentée sur la figure 7. Elle est composée d’un moteur électrique (1,2) synchrone à aimants permanents piloté par un variateur électronique, d’un réducteur Harmonic-Drive© (3), d’un codeur incrémental (5) ainsi que d’un codeur angulaire absolu (6+7). Une centrale inertielle équipée d'un accéléromètre, d'un gyroscope et d'une unité de traitement permet d'obtenir, en temps réel, la valeur de l'angle d'inclinaison du haut du corps par rapport à la verticale. L'objectif de cette partie est de mettre en place un modèle du maintien vertical du tronc de LOLA et de déterminer une structure de commande permettant d'assurer les performances du cahier des charges de l'exigence 1.3.2.d. Les performances dynamiques de l'axe de tangage doivent vérifier les critères suivants :

Sous-exigence 1.3.2.d : la performance dynamique de chaque axe permet de modifier la posture Critère Niveau Flexibilité

Erreur statique (en poursuite : pour l’entrée principale) 0° nulle Marge de gain dB 6MG = Mini

Marge de phase °=ϕ 50M Mini Erreur statique (en régulation : pour la perturbation) 0° [−0.5 ° ;+ 0.5 ° ]

Temps de réponse à 5% (en régulation) 0,2 s Maxi Dépassement (en régulation) 1° Maxi

II.1 MODELE DE CONNAISSANCE DE LA DYNAMIQUE DE TANGAGE. Le modèle mécanique utilisé pour mener notre étude est donné sur la figure 8. L'association des liaisons entre le tronc et les jambes au niveau de la hanche est équivalente, dans le plan sagital )z,y,O( 00T

, à une liaison pivot d'axe )x,O( 0T

. Le cahier des charges stipule que LOLA doit pouvoir marcher à la vitesse de 5 km/h. Cette vitesse est atteinte en 1 s lors de la première foulée. La loi de commande en vitesse correspondante est représentée sur la figure 8.

Figure n°8

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Le mouvement de marche est imposé et modélisé par le torseur cinématique en )O( T du mouvement du tronc

(1) par rapport au sol (0) : TO0

00/1 y . (t)v

x . V

α

=

Les caractéristiques d'inertie du tronc 1 de LOLA sont :

- la position du centre de gravité : 1GTT z . zGO =

- masse : 1m

- l’accélération de la pesanteur sera égale à -2m.s 9,81g =

L'axe de sortie du réducteur exerce un couple de redressement sur le tronc (1) modélisé par le torseur couple

suivant : TO0R

1réd x . C0T

=→

. L’angle α est faible pendant le mouvement : ainsi 1cos ≈α et α≈αsin .

Une étude dynamique (que nous ne pouvons traiter en première année) permet de relier le couple de redressement appliqué sur le tronc (1) ( 0R x . C ) aux caractéristiques massiques, inertielles et géométriques :

(t)v . cosα . z . m(t)α . A )t(Csinα . g . z . m G11RG1 −=+

Le contrôle de l'angle s'effectue par l'intermédiaire du moteur asservi (la vitesse angulaire du moteur est mω ) ,

suivi du réducteur Harmonic- Drive© de rapport de réduction 100

1r = : r)t(

)t()t()t(

mm

réd =ωα

=ωω

(équ. 1).

Le moment d’inertie de l’arbre moteur suivant son axe de rotation est noté mJ , le couple moteur exercé sur l’arbre d’entrée du réducteur est noté )t(Cm . Une étude dynamique a permis de montrer que :

(t)α . rJ

r)t(C)t(C 2

mmR −= . Ainsi, l’équation différentielle du mouvement devient :

(t)acc . z . mr

)t(C(t) . z . g . m(t)α . J G1m

G1eq +=α− (équ. 2) avec (t)v(t)acc =

eqJ est le moment d'inertie équivalent de l'ensemble du tronc ramené sur l'axe moteur.

II.2 MODELE DU CONTROLE ACTIF DE LA POSITION VERTICALE. Le schéma-bloc du contrôle de la position angulaire du tronc de LOLA est représenté sur la figure 9.

Figure n°9 : Schéma-bloc général du positionnement angulaire du tronc de LOLA

Le comportement du moteur sera considéré comme celui d'un moteur à courant continu dont les équations de comportement sont les suivantes :

i(t) . Rdt

di(t) . Le(t)(t)uc ++= (équ. 3) (t) . ke(t) me ω= (équ. 4) (t)i . k(t)C cm = (équ. 5)

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Les transformées de Laplace utilisées dans ce sujet sont :

))t(u(L(p)U cc = ; ))t(e(L(p)E = ; ))t(i(L(p)I = ; ))t((L(p) mm ω=Ω ; ))t(C(L(p)C mm = ; ))t((L(p) cc α=α ; ))t((L(p) α=α ; ))t(acc(L(p) =Γ ; ))t((L(p) redred ω=Ω

Hypothèse : nous supposerons les conditions initiales nulles pour cette partie. Question P9

Donnez les transformées de Laplace des 5 équations temporelles (équ. 1), (équ. 2), (équ. 3) (équ. 4) et (équ. 5). Indiquerez précisément les conditions qui doivent être vérifiées pour avoir les conditions initiales nulles.

Question 7

Explicitez les fonctions de transfert des blocs 1B , 2B , 3B , 4B , 5B , 6B et 7B (présents dans le schéma-bloc de la figure 9) ainsi que l'expression de la fonction de transfert )p(H1 .

Afin d'analyser la stabilité de cet asservissement, nous cherchons à déterminer la fonction de transfert en boucle

ouverte du système non-corrigé : )p(U

)p()p(F FTBO(p)c

α== en supposant la perturbation nulle (la perturbation est

la consigne d’accélération (ou de vitesse) de déplacement de LOLA). Avec le cours de seconde année, il est plus rapide, par une étude de la FTBO, de conclure sur la stabilité d’un système en boucle fermée. Question 8

Déterminez la fonction de transfert de la boucle dynamique : )p(C

)p()p(Hm

dynα

= (toujours en supposant la

perturbation nulle). Vous exprimerez, dans un premier temps, cette fonction de transfert en fonction de 2B ,

3B , 7B et p, puis en fonction des paramètres des équations.

Question 9

Déterminez la fonction de transfert en boucle ouverte non-corrigée )p(U

)p()p(F FTBO(p)c

α== . Vous

exprimerez, dans un premier temps, cette fonction de transfert en fonction de 4B , 5B , 6B , dynH et p, puis en fonction des paramètres des équations (équ. 1), (équ. 2), (équ. 3), (équ. 4) et (équ. 5). Indiquez son ordre, sa classe et donnez son gain statique K en fonction des données.

Une simulation numérique permet de montrer que F(p) est de la forme : ( ) ( ) ( ).pτ1 . .pτ1 . .pτ1K)p(F

211 ++−+= .

Les diagrammes de Bode de cette fonction de transfert sont donnés sur le document-réponse (question n°10).

Soit p . τ1

K(p)G1 += et

p . τ1-1(p)G2 +

= deux fonctions de transfert.

Question P10

Tracez (sur votre copies) les diagrammes asymptotiques de Bode associés à la fonction p . τ1

K(p)G1 += (il

n’est pas nécessaire de justifier), vous préciserez les grandeurs caractéristiques (pente, valeurs des asymptotes, pulsation de cassure…).

Pour le tracé des diagrammes asymptotiques de Bode associés à la fonction p . τ1-

1(p)G2 += , vous devez

répondre aux questions suivantes : quels sont les signes de la partie réelle et imaginaire de

ω+=ω

. j . τ1-1)(j.G2 ? Donnez les équivalents lorsque 0→ω et lorsque +∞→ω de

ω+=ω

. j . τ1-1)(j.G2 .

Précisez les modules (en dB) et phases (en °) de ces deux équivalents de )(j.G2 ω . Tracez les diagrammes asymptotiques de Bode associés à (p)G2 .

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Question 10

En analysant les diagrammes de Bode du document-réponse (question 10), déterminez les valeurs de 1τ , 2τ et K. Justifiez en complétant les diagrammes du document-réponse avec les diagrammes asymptotiques de gain (en dB) et de phase.

Pour la suite de l'étude, nous simplifierons F(p) sous la forme suivante : ( ) ( ).pτ1 . .pτ1K)p(F

11 +−+≈

Le cours de seconde année permet de définir, par le critère du revers, la stabilité d’un système en boucle fermée à partir de l’étude de la boucle ouverte. Ce critère du revers n’est appliquable que si la fonction de transfert en boucle ouverte est elle même stable. Question 11

Expliquez pourquoi le critère du revers ne peut pas être appliqué pour étudier la stabilité en boucle fermée. Afin de résoudre ce problème, il est décidé d'asservir le système en position et en vitesse. Pour cela, la centrale inertielle permet de mesurer l'angle de tangage )t(α ainsi que la vitesse angulaire de tangage )t()t( redω=α .

L'asservissement ainsi réalisé est présenté sous la forme du schéma-bloc de la figure 10.

)p(Uc est la tension de commande (dans le domaine de Laplace) en sortie du correcteur. La fonction de transfert de la centrale inertielle sera prise égale à ( )p1 . K(p)H 1ci += .

Figure 10 : Schéma-bloc simplifié de la commande angulaire du tronc de Lola

Question P11 Déterminez la fonction de transfert en boucle ouverte non-corrigée de cette nouvelle modélisation (figure

10) : )p(U

(p))p(Fc

1α

= en fonction des paramètres 1K , K , 1τ (donnez l’expression de )p(F1 sous forme

canonique, donnez son ordre et sa classe). Question 12

Déterminez deux conditions sur 1K pour que la fonction de transfert en boucle ouverte non-corrigée )p(F1 soit stable (pensez au fait que )p(F1 est une fonction de transfert d’un ordre pas trop grand). Déduisez-en la valeur minimale de 1K .

Question 13

Déterminez 1K pour que la fonction de transfert )p(F1 ait un facteur d'amortissement 7,1=ξ .

Cette valeur est-elle compatible avec les conditions obtenues précédemment ? Déduisez-en les valeurs de la pulsation propre 0ω et du gain statique BOncK de la boucle ouverte non corrigée.

Quels que soient les résultats trouvés précédemment, nous utiliserons les expressions suivantes pour la suite de

l'étude :

20

2

0

BOnc

C1 pp..21

K)p(U

(p))p(F

ω+

ωξ

+

=α

= avec 13BOnc rad.V 10 . 1,1K −−= , 1,7=ξ et 1

0 rad.s 3ω −= .

Pour répondre aux critères du cahier des charges (erreur de poursuite et marge de phase), il est nécessaire de définir le correcteur dont la fonction de transfert est )p(Hcor (figure 10).

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Etude en poursuite (entrée principale). Afin d’assurer la précision demandée (erreur statique de poursuite nulle), trois correcteurs sont envisagés :

p1cor K)p(H = ;

pK

)p(H p2cor = et

p)p.1.(K

)p(H ip3cor

τ+=

Question P12

Sans correcteur (c’est-à-dire avec 1)p(Hcor = ), et en supposant la stabilité de la fonction de transfert en boucle fermée assurée, calculez l’erreur stabilisée pour une entrée échelon d’amplitude ( 0cα ).

Quel(s) est(sont) le(s) correcteur(s) permettant d’assurer le critère de précision en poursuite ? Justifiez votre réponse.

Une simulation numérique a permis de monter que le respect du critère d’erreur statique nulle (en poursuite) conduisait à des temps de réponse bien trop longs. Il a alors été décidé de libérer ce critère d’erreur statique (en poursuite) et d’autoriser une erreur de 1%. Cela n’a pas réellement d’importance pour la marche, dans la mesure où la consigne en entrée principale est nulle ( °=α 00c ) (le tronc de LOLA doit rester vertical)… Un nouveau

correcteur est alors utilisé : p . τ1

p . τ. a1.K(p)H pcor4 ++

= avec 1a > .

Question P13 Tracez les diagrammes de Bode asymptotiques (amplitude en dB et phase en °) de ce correcteur, vous préciserez les pulsations de cassure (changement de pentes des asymptotes) ainsi que les valeurs asymptotiques et les pentes.

Les diagrammes de Bode de la FTBO corrigée avec ce correcteur p . τ1

p . τ. a1.K(p)H pcor4 ++

= , avec un coefficient

000 10Kp = sont donnés sur le document réponse (question P14).

Je vous donne deux définitions des marges de stabilité :

- la marge de phase se mesure pour une pulsation ( dB0ω ) pour laquelle le gain de la FTBO vaut à 0 dB. La marge de phase vaut : ))(ωphase(FTBO180Mphase de Marge 0dB−°== ϕ ;

- la marge de gain se mesure pour une pulsation ( °−ω 180 ) pour laquelle la phase de la FTBO vaut à -180 . La marge de gain vaut : dB0dBG )FTBO(ωMgain de Marge −== .

Question P14

Indiquez sur le document réponse les pulsations °−ω 180 et dB0ω , indiquez le gain (en dB) et la phase de la FTBO correspondant à ces deux plusations. Donnez les marges de stabilité.

Il convient, maintenant, de définir la valeur du coefficient pK .

Question P15

Quelle est l’influence sur les diagrammes de Bode en module et en phase d’un coefficient pK ?

Déteminez ce coefficient permettant d’assurer la marge de phase souhaitée. Vous préciserez si cette valeur de ( pK ) est une valeur minimale ou maximale.

Etude en régulation (entrée perturbatrie) Une simulation numérique en poursuite (influence de l’entrée principale) du système complet avec le correcteur

(p)Hcor4 a été réalisée et a permis de confirmer le respect des critères de stabilité, de pécision et de rapidité (en poursuite) du système complet modélisé à la figure 9. La réponse temporelle simulée en régulation (pour la perturbation en accélération décrite à la figure 8), pour une

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entrée principale nulle, est donnée sur la figure du document réponse (question 14). Question 14

Déterminez graphiquement sur le document réponse le temps de réponse à 5%, le dépassement maximal et l'erreur stabilisée (pour l’accélération constante non nulle, et pour l’accélération nulle). Attention à la lecture des valeurs de l’angle de tangage, il y a un facteur « 310x − » en haut des graduations des ordonnées….

PARTIE 3 : ALTERNER LES PHASES D'APPUI SUR LES DEUX PIEDS (MARCHE DU ROBOT)

A l'instar de la marche humaine, les jambes du robot alternent les phases d'appui avec le sol avec les phases de balancement, où la jambe en rotation autour de la hanche prépare l'appui suivant la figure 11.

Figure 11 : Chronogramme de la marche bipède en régime permanent

Extrait du cahier des charges à valider dans cette partie 1km.h 5 − :

Exigence 1.1 : Le robot doit pouvoir atteindre les performances cibles Sous-exigence Description

Id=1.1.1 L'amplitude maximale de balancement d'une jambe est de 45° Id=1.1.2 Le robot doit pouvoir se déplacer jusqu'à 1km.h 5 −

Id=1.1.4 La longueur d'une foulée est de 150 cm au maximum Id=1.1.5 La période d'une foulée ne peut être inférieure à 1 seconde

L'objectif de cette partie est d'analyser les solutions techniques mises en œuvre pour obtenir l'alternance des phases d'appui du robot et de vérifier les performances de la marche. Lorsque la jambe est tendue, la distance entre l'axe de tangage de la cheville et celui de tangage de la hanche est de 98 cm. Question 15

Le critère de vitesse de déplacement de 1km.h 5 − est-il cohérent avec ceux de longueur maximale de la foulée et de temps de cycle ? Justifiez.

Compte-tenu des dimensions du robot, pour atteindre l'objectif de vitesse de déplacement de LOLA, la durée de la phase de balancement doit être inférieure à 0,4 secondes. Ce mouvement est imposé par le moteur de tangage de la hanche. Alors que traditionnellement, le moteur d'articulation de la cheville est placé directement sur l'axe de la liaison considérée, une grande avancée technologique sur le robot LOLA a consisté à implanter les moteurs d'orientation de la cheville le plus haut possible sur la jambe afin de réduire le moment d'inertie JJ de la jambe par rapport à l'axe ( )0H x,O : voir annexe 5.

La solution retenue nécessite une transmission de puissance du moteur jusqu'à l'axe de la cheville. La rotation de tangage de la cheville est obtenue par la chaîne décrite partiellement sur l'annexe 5 où l'on donne aussi le débattement angulaire de rotation en tangage de la cheville.

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Question 16

Déterminez graphiquement sur le document-réponse (question 16) la course C∆ du chariot permettant d'obtenir le débattement angulaire spécifié en annexe 5 (vous dessinerez les positions des points B et C permettant d’obtenir les angles extrêmes de la cheville de 45° et de 62°. Faites attention aux signes, le texte n’est pas très rigoureux sur ce point).

Depuis le moteur implanté sur la cuisse, la puissance est transmise par un système composé de poulies, courroies, et d'un renvoi d'angle à pignons coniques comme le montre l'annexe 6. Les diamètres des deux poulies étant identiques et les nombres de dents des deux roues coniques étant identiques la vitesse angulaire nominale de la vis par rapport au tibia est égale à la vitesse nominale en sortie du moto-réducteur soit 1

n tr.min2200N −= .

Le cahier des charges précise que ce débattement angulaire en tangage doit pouvoir être parcouru en moins de 0,8 s. Question 17

En supposant la vitesse de rotation du moteur constante, déterminez le pas ( vP ) en mm de la vis à billes pour obtenir le temps de débattement angulaire en tangage de la cheville spécifié par le cahier des charges.

Comme sur le corps humain, l'articulation de la cheville possède deux degrés de liberté : une rotation en tangage étudiée précédemment et une rotation en roulis. Le mécanisme de transmission de puissance présenté précédemment est donc dupliqué de l'autre coté du tibia et un joint de cardan est placé entre le tibia et le pied : voir l'annexe 7. Les « vis droite » et « vis gauche » sont identiques. Question P16

Tracez le graphe de liaison du mécanisme présenté dans l’annexe (7). Vous ne prendrez pas en compte les pièces situées à « gauches ».

Question 18 Quels mouvements particuliers doit-on imposer simultanément aux « vis droite » et « vis gauche » pour obtenir une rotation uniquement en roulis de la cheville ? Pour une rotation uniquement en tangage ?

PARTIE 4 : COMMANDE L’AXE DE LA CHEVILLE En l’abscence de mouvement de roulis (donc en mouvement de tangage « pur ») du pied (4) par rapport au tibia (0), il est possible d’utiliser un modèle 2D simplifié donné sur la figure 12 :

- le chariot (2) est en mouvement de translation par rapport au tibia (0). La base liée à (2) est donc identique à celle iée à (0). Le paramètre de translation est λ : 00 z . λy . aAC

+−= (a est une constante) ;

- la vis (1) est en liaison hélicoïdale d’axe ( )z O, 0 le chariot (2) et en liaison pivot d’axe ( )z O, 0

avec (0) ;

- la bielle (3) est liée au chariot (2) et au pied (4). )y,y()z,z( 3030

==ϕ , 33 z . lBC

= ;

- le pied (4) est au tibia (0). )y,y()z,z( 4040

==β , 44 y . lBA

= . )y,y()z,z( 4343

==γ

Afin de piloter l’angle de tangage du pied (β ), il est nécessaire de connaitre la relation entre la translation (λ ) de du chariot (2) (liée à la rotation de la vis) et cet angle (β ).

Question P17 Dessinez la(les) figure(s) plane(s) de changement de bases relative(s) à cette étude (la pièce (1) peut-être oubliée).

Question P18 Ecrivez la fermeture géométrique de la chaîne cinématique (0-2-3-4). Projettez cette équation vectorielle dans la base ( 0B ), puis donnez la relation liant β , λ , a, 3l et 4l .

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Figure 12 : schéma cinématique simplifié

Le système de motorisation de l’axe de tangage du pied doit permettre à LOLA de garder des positions d’équilibre (par exemple, lorsque les genoux sont fléchis) ou de provoquer les mouvements pied/tibia nécessaires à la marche. Dans le cadre de la modélisation décrite à la figure 11, on souhaite determiner la relation liant le couple à appliquer sur la vis (1) (

0m1mot z . CC

=→ ) aux actions mécaniques appliquées par le sol sur le pied (4) caractérisées (pour notre étude) par un glisseur :

Hs

4sol4sol4sol 0

z . FRS

== →

→

avec 44s z . fy . eAH

−= .

Nous supposerons que les actions de pesanteur sont négligeables par rapport aux autres actions mécaniques. Toutes les liaisons sont supposées parfaites. Question P19

Tracez le graphe de liaisons de ce mécanisme et complétez-le en indiquant les actions mécaniques extérieures appliquées.

Question P20 Donnez les torseurs d’actions transmissibles par les différentes liaisons présentes dans la figure 11.

Question P21 Déterminez les directions des résultantes des torseurs d’actions mécaniques de (2) sur (3) et de (4) sur (3).

Question P22 Isolez la vis(1), réalisez le bilan des actions mécaniques extérieures et écrivez, après avoir justifié le choix de cette équation, le théorème du moment statique en (O) sur ( 0z ).

Question P23 Isolez l’ensemble (chariot (2) & bielle (3)), réalisez le bilan des actions mécaniques extérieures et écrivez, après avoir justifié le choix de cette équation, le théorème de la résultante statique sur ( 0z ).

Question P24 Isolez le pied (4), réalisez le bilan des actions mécaniques extérieures et écrivez, après avoir justifié le choix de cette équation, le théorème du moment statique en (A) sur ( 0x ).

Question P25

Donnez la relation entre mC et solF .

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Nom : Prénom :

Documents réponses

Question 10

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Question P14

Diagrammes de Bode de la FTBO corrigée (avec 000 10Kp = )

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

0,1 1 10 100 1000 10000

Gai

n (d

B)

Pulsation (rad/s)

-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

0,1 1 10 100 1000 10000

Phas

e (°

)

Pulsation (rad/s)

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Question 14

Question 16 (pour l’échelle : AB = 88 mm)