Développement d'un outil d'aide à la conception et au …theses.insa-lyon.fr/publication/2005ISAL0126/these.pdf · 2016-01-11 · II.1.3 La plastification en extrusion II.2 Description

N° d’ordre 2005ISAL0126 Année 2005

Thèse (manuscrit provisoire pour la soutenance)

Développement d'un outil d'aide à la conception et au fonctionnement d'un

ensemble vis/fourreau industriel -

Application à l'injection des thermoplastiques chargés fibres de verre longues

Présentée devant L’Institut National des Sciences Appliquées de Lyon

Pour obtenir

Le grade de docteur

École doctorale matériaux de Lyon

Par Maël Moguedet

Soutenance le 12 Décembre 2005 devant la Commission d’examen

Jury MM.

Rapporteur P. CARREAU, Professeur (Ecole Polytechnique de Montréal, Canada) Rapporteur F. DUPRET, Professeur (Université Catholique de Louvain-la-Neuve, Belgique) M. VINCENT, Directeur de Recherche CNRS (CEMEF, Sophia Antipolis) P. LE BOT, Docteur-Ingénieur, Chargé de projet chez Plastic Omnium Directeur de thèse J.Y. CHARMEAU, Maître de Conférence HDR (INSA de Lyon) Co-Directeur de thèse Y. BEREAUX, Maître de Conférence (INSA de Lyon)

- i -

Sommaire INTRODUCTION GENERALE PARTIE A - PLASTIFICATION DES THERMOPLASTIQUES CHARGES FIBRES DE VERRE LONGUES Chapitre I : L'Injection des thermoplastiques Chapitre II : Modélisation de la plastification dans l'ensemble vis-fourreau II.1 Bibliographie II.1.1 Le convoyage solide II.1.2 La zone de retard à la fusion II.1.3 La plastification en extrusion II.2 Description des modèles utilisés II.2.1 Plastification en extrusion II.2.2 Plastification en injection II.3 Architecture du programme II.4 Conclusion Chapitre III : Modélisation de la casse des fibres dans l'ensemble vis-fourreau III.1 Bibliographie III.2 Fonctionnement du programme III.3 Résultats obtenus III.3.1 Gupta et al. III.3.2 Sensibilité des simulations III.4 Essais industriels III.4.1 Essais Plastic Omnium III.4.2 Essais ENGEL III.5 Conclusion PARTIE B - DESCRIPTION DES ECOULEMENTS DANS UNE VIS EN PHASE DE POMPAGE Chapitre IV : Simulation des écoulements en zone de pompage IV.1 Bibliographie IV.2 Développement d'un modèle hélicoïdal

1

5

714

141515161919212223

24242830303336364145

49

515154

M. Moguedet

- ii -

IV.2.1 Description de la géométrie hélicoïdale IV.2.2 Equations de conservation IV.2.3 Techniques de résolution des équations IV.3 Résultats IV.3.1 Ecoulement en pression IV.3.2 Ecoulement en entraînement IV.3.3 Trajectoires IV.3.4 Temps de séjour IV.3.5 Taux de déformation IV.3.6 Efficacité de mélange IV.4 Conclusions Chapitre V : Visualisation des écoulements en zone de pompage V.1 Bibliographie V.2 Présentation du dispositif expérimental V.2.1 La Visiovis V.2.2 Le traceur et l’éclairage V.2.3 Les caméras numériques V.2.4 Le calibrateur V.3 L’acquisition des données V.3.1 Détection de la particule V.3.2 Acquisition V.3.3 Filtrage V.4 Post-traitement des données V.4.1 Compilation des données brutes V.4.2 Calibration V.4.3 Correction de la réfraction V.5 Résultats V.5.1 Trajectoires 3D V.5.2 Comparaison avec la simulation V.6 Conclusions et perspectives CONCLUSION GENERALE REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES

5558647172808386878890

919195969697999999

100101102102105106107108109112

115

119

- 1 -

INTRODUCTION GENERALE

M. Moguedet

- 2 -

Introduction Générale

- 3 -

Les matières plastiques se sont considérablement développées au cours du siècle dernier. La recherche de hautes performances mécaniques des matériaux pour certaines applications, ont conduit les industriels à imaginer des alternatives à d'autres matériaux techniques beaucoup plus coûteux. L'idée de charger des matières peu onéreuses avec divers renforts s'est alors répandue, donnant naissance entre autres aux polymères renforcés par des fibres de verre. Contrairement aux composites structuraux, ces "chargés fibres" peuvent être transformés grâce aux mêmes procédés que pour la matière vierge.

Les renforts non-continus peuvent être divisés en deux classes: les fibres courtes, dont la longueur ne dépasse pas le millimètre, et les fibres longues, supérieures au millimètre. Le composite qui en résulte permet alors d'augmenter considérablement les propriétés mécaniques des pièces produites. Ces matériaux sont utilisés dans des domaines d'application très variés comme dans les secteurs de l'automobile ou de l'aéronautique.

Cependant, la rhéologie et la mise en oeuvre de ces matériaux chargés dans l'unité de plastification d'une presse à injecter restent mal connues. Un projet emblématique de ces préoccupations est le projet Eureka SAFFIR, cadre dans lequel s'inscrit cette thèse, en partenariat avec les sociétés Plastic Omnium Auto Exterior, Engel et Dow, et les laboratoires de recherche du CEMEF (Centre de Mise en Forme des Matériaux de l'Ecole des Mines de Paris) à Sophia Antipolis, le Centre des Matériaux de l'Ecole des Mines de Paris à Evry, et le MAPIE (Modélisation, Analyse & Prévention des Impacts Environnementaux de l'ENSAM) à Chambéry. SAFFIR vise à la maîtrise de l'injection des thermoplastiques chargés de fibres longues pour les pièces automobiles de grandes dimensions. Dans cette optique, cette thèse s'intéresse plus particulièrement:

• à la plastification de ces polymères dans l'ensemble vis-fourreau en vue de

comprendre et de proposer un mécanisme permettant de prévoir la casse des fibres longues durant cette phase.

• à la modélisation et la visualisation de l'écoulement du polymère en phase fondue dans le chenal de la vis.

L'objectif majeur de notre travail a été de développer un outil numérique simple et rapide permettant aux industriels transformant les thermoplastiques, renforcés ou non de fibres de verre, de mieux appréhender leur plastification. Cette thèse est constituée de deux grandes parties représentant les deux sujets majeurs ayant fait l'objet de nos travaux de recherche pendant ces trois ans.

La première partie a trait à la plastification des thermoplastiques, non chargés dans un premier temps, puis renforcés par des fibres de verre. Elle comprend trois chapitres dans lesquels nous introduisons tout d'abord le procédé d'injection et la

M. Moguedet

- 4 -

phase de plastification. Ensuite nous développons les modèles utilisés permettant de décrire le phénomène de plastification, pour finalement utiliser un critère de rupture des fibres prédisant leur attrition pendant la plastification.

Dans une deuxième partie, nous examinons la zone de pompage des vis, avec dans un premier temps une modélisation des écoulements dans le chenal de la vis. Ensuite nous consacrons un chapitre à la présentation d'un nouveau dispositif de visualisation tridimensionnelle des écoulements dans la zone de pompage d'une vis. Nous comparons finalement les résultats simulés et expérimentaux.

- 5 -

PARTIE A -

PLASTIFICATION DES THERMOPLASTIQUES CHARGES

FIBRES DE VERRE LONGUES

M. Moguedet

- 6 -

L'injection et les thermoplastiques

- 7 -

Chapitre I : L'Injection des thermoplastiques Depuis l'invention de la première machine en 1872 par les frères John et Isiah Hyatt, le procédé d'injection-moulage n'a cessé d'être perfectionné pour devenir actuellement le procédé de fabrication de pièces plastiques le plus utilisé au monde. Il peut en effet s'adapter autant à l'élaboration de pièces imposantes (plusieurs kilogrammes), comme les pare-chocs d'automobile par exemple, qu'à la production d'objets beaucoup plus petits, de l'ordre du gramme, comme les composants électroniques. L'avantage principal de ce procédé réside dans la possibilité d'obtenir des géométries de pièces très complexes tout en ayant des temps de cycle très rapides, permettant une production à très haute cadence.

Une machine d'injection-moulage comprend une unité de plastification, une unité de fermeture, dans laquelle est fixé le moule, et une unité de commande. Son principe de fonctionnement est le suivant: dans l'unité de plastification, la vis est placée dans un fourreau cylindrique. Elle peut être entraînée soit en rotation, soit mue d'un mouvement de translation, et sa fonction, lorsqu'elle tourne, est tout d'abord de faire fondre des granulés de polymères, de les mélanger et de convoyer la matière à l'entrée de l'unité de fermeture. Ensuite, elle agit comme un piston pour injecter la matière fondue dans un moule. Ce dernier, généralement régulé à une température proche de la température ambiante va permettre de figer le plus rapidement possible le polymère. C'est en tous cas ce qui se passe lorsqu'on transforme des thermoplastiques, catégorie de polymères à laquelle nous allons nous intéresser dans cette thèse. Pour ce qui est des thermodurcissables ou des élastomères, en général le mélange tiède est injecté dans un moule chaud permettant l'initiation de la polymérisation. Le procédé d'injection se déroule en cinq étapes:

• Etape 1 (Cf. Fig. 1.a): la phase de dosage. Les granulés de polymère tombent depuis une trémie dans un ensemble vis-fourreau. Ils sont ensuite fondus progressivement par action conjuguée des colliers chauffant le fourreau et du cisaillement de la matière provoqué par la rotation de la vis et la friction des granulés (entre eux et contre les outillages). La matière fondue est alors convoyée en avant de la vis (via un clapet anti-retour), dans l'espace créé par le recul progressif de cette dernière lors de sa rotation.

• Etape 2 (Cf. Fig. 1.b): la phase d'injection. Grâce à un mouvement de translation de la vis, actionnée par un vérin, et au clapet anti-retour qui dans cette phase empêche la matière de rebrousser chemin, le polymère fondu est transféré du réservoir à un moule via des canaux.

M. Moguedet

- 8 -

• Etape 3 (Cf. Fig. 1.c): la phase de compactage. Le moule, composé de deux parties, une fixe et une mobile, est à ce moment tenu sous pression pour rester fermé, pendant que de son côté la matière est compactée par la vis, jusqu'à atteindre une pression uniforme dans la cavité du moule (également appelée empreinte), dans laquelle du polymère fondu continue à être injecté pour compenser le rétrécissement, ou retrait, de la matière qui refroidit.

• Etape 4 (Cf. Fig. 1.d): la phase de refroidissement. Lorsque le polymère est entièrement figé au niveau du ou des seuils d'injection, il n'est plus nécessaire d'appliquer une pression de maintien, et la pièce continue de se refroidir jusqu'à ce qu'elle soit complètement solidifiée. La vis peut alors reprendre son cycle de rotation à l'etape 1.

• Etape 5 (Cf. Fig. 1.d): la phase d'éjection. Le moule s'ouvre, et la pièce formée est éjectée du moule.

(a)

(b)

(c)

(d)

Fig. 1: Etapes du procédé d'injection-moulage des thermoplastiques


- 9 -

En ce qui concerne les thermoplastiques, la plupart d'entre eux, amorphes ou semi-cristallins, peuvent être injectés, moyennant bien sûr des différences dans le procédé, en fonction du type de polymère, des dimensions et de la qualité recherchée des pièces. Le groupe de plastification, qui est l'objet de notre étude, assure le passage de la matière de l'état solide à l'état fondu. Les principaux éléments constitutifs de ce groupe sont:

• La trémie d'alimentation: située à l'arrière du groupe, elle approvisionne l'unité de plastification en matière première (sous forme de poudre ou de granulés), en général par simple gravité.

• L'ensemble vis/fourreau: la vis est située dans un fourreau cylindrique, mis en température à l'aide de résistances électriques ou "colliers chauffants". Leur rôle est de contribuer à l’apport d’énergie nécessaire à la plastification des polymères. La régulation de la température des résistances est assurée par une boucle de contrôle utilisant le plus souvent des thermocouples.

• Le moteur: il assure la mise en rotation de la vis par des systèmes électriques ou hydrauliques.

• Le système de piston: il permet le déplacement transversal de la vis. La force nécessaire à l’injection du polymère dans le moule est développée en imposant une pression hydraulique sur le cylindre d’injection.

Fig. 2: Schéma d'une unité de plastification, d'après [1]

Collier chauffant

Fourreau

Vis

Trémie

Moteur

Piston

Bâti

Clapet anti-retour

Buse

M. Moguedet

- 10 -

• Le clapet "anti-retour": il est fixé à l’avant de la vis, et permet d'éviter le reflux de matière pendant la phase d'injection proprement dite.

• La buse d’injection: elle effectue la liaison entre le pot d’injection et le moule.

Fig. 3: Schéma de fonctionnement d'un clapet anti-retour

La monovis standard d'injection comprend en général trois zones:

• Une zone d'alimentation, dans laquelle les granulés de polymère sont convoyés et compactés dans le chenal de la vis. C'est ici que la profondeur du chenal est la plus grande, et elle reste constante.

• Une zone de compression, tronconique, dans laquelle les granulés vont être progressivement fondus par action conjuguée des colliers chauffants et du cisaillement de la matière. Les deux premières zones d'une vis permettent de plastifier la matière. La profondeur du chenal diminue progressivement pour atteindre sa valeur minimale en zone de pompage.

• Une zone de pompage: dans cette dernière partie où la profondeur demeure constante, le polymère est mis en pression et s'homogénéise.

Anneau en position avant pendant la plastification.

La matière peut s'accumuler devant le nezdu clapet

Anneau en position arrière, contre l'assise, pendant l'injection

Pas de reflux de la matière dans le chenal dela vis

Anneau

Nez VisAssise


- 11 -

Fig. 4: Schéma d'une monovis "trois zones"

Les différents paramètres permettant de caractériser une vis sont:

• La longueur de la vis: une vis est généralement définie par le rapport entre sa longueur filetée (L) et son diamètre nominal (D). En général ce rapport oscille autour de 20L/D. Les vis d'injection sont plus courtes qu'en extrusion (30/35D)

• La profondeur du chenal: une vis relativement profonde permet d’avoir a priori une capacité de convoyage importante et réduit le cisaillement dans la matière, géométrie souhaitée pour les polymères sensibles à ce paramètre. Cependant la vis serait plus sensible à la contre-pression.

• Le taux de compression: c'est le rapport entre la profondeur du chenal dans la zone d’alimentation et celle de la zone pompage. Il varie entre 2 et 4 pour la majorité des vis industrielles. Une vis avec un faible taux de compression convient aux matières dont la plastification est aisée, comme les polymères visqueux, et inversement.

• Pas de la vis: la plupart des vis d'injection utilisent un pas « carré, » ce qui signifie que le pas de l’hélice est égal au diamètre de la vis. Ce pas est proche de l'optimum pour le convoyage solide, mais peut être plus grand pour la partie fondue [2].

Trouver le bon compromis entre l'augmentation de la vitesse de plastification pour réduire les temps de cycle, et l'homogénéisation physique et thermique du polymère fondu, ou encore l'apparition de nouveaux polymères techniques sont autant de raisons qui ont encouragé les industriels à concevoir des designs de vis de plus en plus complexes.

Parmi les solutions apportées, les concepteurs peuvent modifier géométriquement la vis, soit en adaptant le taux de compression en fonction du polymère utilisé, soit en rallongeant les vis pour favoriser la plastification. Afin de disposer d'un mélange distributif ou dispersif plus efficace, il est usuel d'ajouter des sections de mélange (insertion de picots sur la vis dans le premier cas, éléments créant un cisaillement bref mais intensif dans le second).

Zone d'alimentation Zone de compression Zone de pompage

M. Moguedet

- 12 -

Si le matériau transformé est sensible à la reprise d'humidité ou contient des substances volatiles, il existe des vis à système de dégazage, dont le procédé consiste à mettre bout à bout deux vis trois zones. La différence brutale de profondeur à la jonction provoque une chute de pression, entraînant l'évaporation des matières volatiles via un évent placé dans le fourreau. Enfin, le design de la vis peut s'avérer beaucoup plus compliqué lorsqu'on cherche à maîtriser la rupture du lit solide. Ce phénomène, s'il n'est qu'occasionnel pendant le procédé, peut être à l'origine d'hétérogénéités dans la plastification du matériau.

Afin de le limiter, il existe des designs de vis spécifiques, comme les "vis barrières" [3] (Cf. Fig. 5). Elles comportent en zone de compression un filet secondaire avec un pas légèrement supérieur (balayant progressivement la largeur du chenal) qui permet de séparer le polymère fondu du polymère encore solide, comme s'il matérialisait la frontière entre les deux phases. La hauteur de ce filet est inférieure au filet principal pour permettre au polymère fondu de changer de chenal, mais reste suffisamment grande pour empêcher les granulés solides de franchir cet entrefer. Ces vis assurent une excellente homogénéisation de la matière.

Fig. 5: Schéma de la vis barrière

L'autre alternative permettant d'homogénéiser la plastification est au contraire de favoriser cette rupture de lit solide le long de la phase de compression. C'est le rôle par exemple des "vis à énergie transfert" (Cf. Fig. 6). Ce profil, développé par Barr [4] à l'origine pour l'extrusion, a pris ce nom car elle génère une plastification par conduction plus efficace, et permet donc de travailler à des températures de chauffe moins élevées. D'autre part, ces vis favorisent également le mélange distributif grâce aux nombreuses séparations et à la convergence des différents flux de polymère fondu.

Filet principal Filet barrière

Zone de matière fondue

Zone de matière solide


- 13 -

Comme dans la vis barrière, le chenal est séparé en deux par un second filet à large entrefer. Les deux chenaux ont des taux de compression opposés, puisque pour l'un le chenal est profond au début et se réduit le long de la vis, et que pour le second c'est le contraire. La matière alterne ainsi entre les deux chenaux via des zones de passage dans le filet secondaire, et sa plastification est beaucoup plus homogène tout en nécessitant moins d'énergie.

Fig. 6: Schéma de fonctionnement de la vis "Energie Transfert", d'après [5]

Dans le cadre de cette thèse, le profil avec lequel nous allons travailler sera la "trois zones" standard. Les industriels de la plasturgie se servent encore beaucoup de ce design de vis, et il n'en demeure pas moins que la complexité croissante des profils de vis rend la modélisation du comportement de la matière dans le chenal très difficile. En gardant à l'esprit que l'outil de calcul que nous allons développer pour nos partenaires doit rester simple et rapide, l'étude de la vis "trois zones" s'imposait.

Nous analyserons dans un premier temps le comportement des matériaux chargés fibres pendant la phase de plastification proprement dite, en zones d'alimentation et de compression, et la Partie B de ce manuscrit sera consacrée à la dernière zone de la vis, la zone de pompage, où le polymère doit être complètement fondu.

Filet principal Zone de passage

Ecoulement

Modélisation de la plastification dans l'ensemble vis-fourreau

- 14 -

Chapitre II : Modélisation de la plastification dans l'ensemble vis-fourreau

Avant de pouvoir prédire un quelconque comportement des fibres dans l'enceinte vis-fourreau, il nous était nécessaire dans un premier temps de modéliser le phénomène de plastification, et ce pour des thermoplastiques non chargés. En raison de la complexité actuelle du design des vis d'injection, il nous a paru nécessaire de nous appuyer, dans le cadre de nos recherches, sur le design de vis standard "trois zones" encore largement utilisé. Ce travail a été effectué avec la collaboration de Richard Apaloo, élève ingénieur en projet de fin d'études au Site de Plasturgie de l'INSA de Lyon.

II.1 Bibliographie Le terme de plastification désigne le processus durant lequel le polymère fond progressivement par l'action conjuguée des colliers chauffants et de la rotation de la vis. On peut distinguer différentes étapes dans ce processus :

• Tout d'abord le convoyage solide (alimentation) où les granulés de polymères solides sont transportés depuis la trémie vers l'aval de la vis tout en se compactant pour former un lit solide qui remplit toute la largeur du chenal.

• Ensuite la zone de retard à la fusion où un film de polymère fondu se forme à l'interface entre le lit solide et le fourreau, là où le cisaillement est maximal et où le polymère est le plus proche des colliers chauffants. Ce film croît vers l'aval de la vis. Le lit solide occupe toujours toute la largeur du chenal de la vis.

• Lorsque ce film de polymère fondu a atteint une épaisseur critique, une poche de liquide se crée à l'arrière du filet et l'épaisseur du film fluide se stabilise et la largeur du lit solide décroît nettement le long de la vis, jusqu'à disparaître totalement. On qualifie ce processus de plastification avec lit solide contigu (CSM, Cf. [6]). Lorsqu'il se produit une désagrégation du lit solide on parle au contraire de plastification par lit solide dispersé (DSM [6]).

Idéalement la plastification commence dans la zone d'alimentation et se termine en fin de zone de compression. La fonte prématurée des granulés en zone d'alimentation


- 15 -

entraînerait le colmatage de l'orifice de la trémie, c'est d'ailleurs la raison pour laquelle celui-ci doit être isolé thermiquement.

Voyons maintenant plus précisément les modèles qui ont été retenus dans ce travail.

II.1.1 Le convoyage solide On recherche dans le transport solide la vitesse du lit solide et le développement de la pression au sein du lit solide.

Cette vitesse de lit solide est différente de la vitesse périphérique de la vis Rbω et dépend de la géométrie de la vis (chenal et pas), ainsi que des coefficients de frottement du polymère sur le métal de la vis et celui du fourreau. Pour un bon convoyage, il faut que le polymère frotte plus sur le fourreau que sur la vis.

Le fait que le lit solide se compacte (en début de transport la densité du polymère solide, ρs, augmente) fait varier d'autant la vitesse d'avancée du lit solide. La pression augmente exponentiellement dans la zone d'alimentation et le frottement produit un échauffement considérable. Le modèle de Darnell et Mol [7] est le modèle le plus courant pour représenter le transport solide. Toutefois nous ne l'avons pas utilisé car ses prédictions sont non seulement extrêmement dépendantes des valeurs des coefficients de frottement sec sur le fourreau et sur la vis, mais nécessitent également de connaître les valeurs de pression sous la trémie et à la fin de la zone de convoyage solide. Or ces grandeurs sont difficilement mesurables et varient elles-mêmes avec la température. Nous avons jugé plus raisonnable de calculer la vitesse de lit solide, Vsz, à partir du débit masse m par la simple formule s szm V Sρ= , où S est la section du chenal.

Ce débit masse est soit connu dans l'expérience (il correspond au volume dosé divisé par le temps de dosage, puis multiplié par la masse volumique du polymère fondu), soit il peut être estimé par un calcul de point de fonctionnement de la vis.

II.1.2 La zone de retard à la fusion La zone de retard à la fusion apparaît après la zone de convoyage solide, lorsque le fourreau commence à être chauffé et qu'un film fondu se forme à l'interface, s'épaississant progressivement le long du chenal. Durant cette phase il est possible que le polymère fondu pénètre le lit solide comme dans un milieux poreux ainsi que le suggère Noriega [8]. De plus, du polymère fondu s'échappe par l'entrefer entre le fourreau et le haut des filets de la vis. La taille effective de l'entrefer joue donc un grand rôle dans la croissance de ce film. Kacir et Tadmor [9] ont proposé un modèle

M. Moguedet

- 16 -

complexe qui repose sur la connaissance de l'épaisseur initiale du film. Cependant, celle-ci dépend de la taille de la couche de lit solide qui est d'abord effectivement pénétrée par le polymère fondu avant qu'il ne puisse former un film.

Enfin il est délicat de donner un critère précis permettant de déterminer où la zone de retard se termine et où la plastification proprement dite commence.

D'après Noriega [8] c'est lorsque le lit solide est entièrement saturé en polymère fondu, à la différence de Kacir et Tadmor [9]. Selon ces derniers, c'est lorsque le film de polymère fondu atteint une valeur critique par rapport à l'entrefer (environ cinq fois la valeur de l'entrefer). Enfin, d'après Wey et Agassant [6] c'est lorsque l'épaisseur du polymère fondu est telle que la surpression, créée par l'écoulement de ce polymère fondu au passage de l'entrefer, est suffisante pour percer le lit solide et ainsi créer une poche de liquide. Toutes ces approches, pour pouvoir être utilisables et prédictives, nécessiteraient de connaître la valeur réelle de l'entrefer, la perméabilité du lit solide, et la contrainte seuil d'écoulement du lit solide (laquelle doit changer avec le niveau de saturation en polymère fondu). Là encore nous avons dû opter pour une solution très simple où le calcul de cette zone de retard à la fusion a été exprimé empiriquement par Tadmor [10], le nombre de tours nécessaire à l'initialisation de la plastification valant:

38.10retardN

ψ

−

=

II.1.3 La plastification en extrusion C'est Maddock [11] qui le premier a observé en 1959 le mécanisme de plastification dans une extrudeuse monovis standard. Lors de ses expériences, l'extrudeuse en régime stationnaire était brusquement arrêtée. Le fourreau était rapidement refroidi, puis la vis extraite de son fourreau. Après avoir retiré l'hélice de matière, granulés et polymère fondu se distinguaient très facilement et il était alors possible d'étudier le profil de plastification le long de la vis.

Le modèle le plus courant de plastification est celui de Tadmor [10,12], le premier qui ait rendu compte des extractions de vis par Maddock. Nous avons suivi ce modèle, notamment dans le découpage de la section du chenal en 3 zones d'intérêt: le film fondu situé entre le lit solide et le fourreau, le lit solide et la poche de liquide où s'accumule le polymère fondu.

En effet le cisaillement intense qui se produit entre le lit solide et le fourreau, ainsi que la chaleur qui se propage dans le lit solide, développée par les colliers chauffants, créent et entretiennent un film fondu sur toute la largeur du lit solide.


- 17 -

Ce film est constamment essuyé contre le fourreau et se renouvelle continuellement, ainsi maintenu à une épaisseur h. Ceci assure d'ailleurs l'efficacité de la plastification : si h augmentait avec le temps, le cisaillement dans le film et donc l'auto-échauffement diminueraient, tout comme la chaleur amenée par conduction.

Le polymère ainsi fondu se déverse dans la poche de liquide près du filet arrière et repousse le lit solide un peu plus contre le filet avant. Le lit solide se déforme et sa largeur diminue alors en conséquence. Dans le modèle de Tadmor, le lit solide est dit librement déformable.

La Fig. 7 schématise la circulation du polymère dans le film fondu. On comprend bien que l'épaisseur du film ne peut être constante selon la largeur du lit solide puisque le polymère fondu s'accumule depuis le filet jusqu'à l'extrémité de la largeur du lit solide. En effet, le long d'un incrément de longueur dx le film fluide doit contenir ce qui est fondu le long de dx, c'est à dire Vsy.dx, plus ce qui est entraîné par la vitesse relative du fourreau par rapport au lit solide: Vbx.h(x). C'est pourquoi, à la différence de Tadmor, pour calculer le débit de fonte il faut considérer non pas l'épaisseur moyenne du film h , mais sa valeur à l'extrémité de la largeur du lit solide. Ceci découle de l'analyse faite par Pearson [13] et cette option est justifiée par Rauwendaal [2]. Par contre, pour pouvoir calculer le cisaillement dans le film, nous devons recourir à l'épaisseur moyenne du film fondu.

Fig. 7: Illustration du mécanisme de plastification dans une extrudeuse monovis

D'autres points de vue ont été adoptés dans la littérature, notamment sur l'existence probable de films fondus tout autour du lit solide: le long des filets et dans le fond du chenal. Ces films seraient créés par la chaleur propagée par la vis dont la température n'est pas connue, et en tout état de cause ces films ne sont pas essuyés par le

h1

vsy

X2

X1

h2

H

W

x

y

z

Fourreau

Cœur de la vis

Filet de visLit SolidePoche de

fondu

M. Moguedet

- 18 -

mouvement relatif de la vis par rapport au fourreau. Ils croissent jusqu'à une certaine valeur et ensuite, n'étant pas renouvelés comme le film au contact du fourreau, isolent thermiquement le lit solide. Nous n'avons donc pas considéré que leur influence était importante.

Un autre point controversé concerne l'accélération du lit solide au passage de la zone de compression. Cette accélération serait à l'origine des phénomènes de rupture du lit solide. A l'instar de Tadmor nous avons adopté une vitesse de lit solide constante tout au long de la vis car nous n'avons pas trouvé dans la littérature de modèle convaincant et prédictif, qui permettrait de calculer cette accélération ou décélération du lit solide en zone de compression. Donovan [14,15] a été le premier a proposer un paramètre d'accélération du lit solide (SBAP) qui varie selon que le polymère est mou ou rigide, mais il faut rappeler que ce paramètre est totalement empirique et a été contesté [16].

Si de nombreuses publications expérimentales s'accordent sur l'existence d'une accélération du lit solide, il n'y a pas d'unanimité sur ce point et incidemment Wong [17] montre une légère décélération. On peut être sceptique vis à vis d'une accélération systématique du lit solide au passage de la zone de compression si l'on considère le schéma suivant: si dans la zone de compression la pression est croissante uniquement, et qu'il existe des films fondus tout autour du lit solide qui agissent comme des lubrifiants, alors le frottement du lit solide contre le fourreau et la vis est considérablement réduit et le lit solide ne progresse plus par entraînement de la vis mais parce qu'il est poussé simplement par le lit solide provenant de la zone d'alimentation, à la vitesse initiale Vsz. De plus, les pressions croissantes le long de la vis auraient tendance à le freiner dans sa progression.

Si par contre la pression diminue à partir d'un certain point dans la zone de compression, il est possible qu'elle accélère le lit solide, voire le détache en plusieurs morceaux. Pour conclure sur le choix du modèle de Tadmor, nous l'avons choisi pour deux raisons principales:

• C'est un modèle simple, encore couramment utilisé, et qui a montré par le passé qu'il décrivait très bien le phénomène de plastification.

• Le système d'équations à résoudre est simple et converge rapidement, ce qui réduit considérablement les temps de calcul, contrairement au modèle de Donovan [15] par exemple, qui lui nécessite beaucoup de ressources informatiques pour résoudre le système non linéaire de sept équations à sept inconnues.


- 19 -

II.2 Description des modèles utilisés

II.2.1 Plastification en extrusion Le modèle de Tadmor considère les hypothèses suivantes:

• Les propriétés thermophysiques du polymère sont constantes. Le fluide est incompressible

• Il n'y a pas de glissement à la paroi • Le fourreau tourne autour d'une vis fixe, ce qui permet de travailler en régime

stationnaire • Les forces gravitationnelles sont négligées et l'écoulement est laminaire. • L'épaisseur du film du film fondu est bien inférieure à sa largeur. • Le comportement du polymère fondu est de type rhéofluidifiant

thermodépendant:

Eq. (1) ( )( ) 1. .RefT T nK e βµ γ− − −=

avec µ la viscosité du polymère (Pa.s), γ le cisaillement (s-1), T la température de l'endroit considéré et TRef la température de fusion (K), K le facteur de consistance, β le facteur d'Arrhénius et n l'indice de pseudoplasticité. L'expression de la vitesse dans le film fondu correspond à un cisaillement simple dans un fluide décrit par une loi puissance, et est donnée d'après Potente [18] par la relation suivante:

Eq. (2) ( ). 1

1

Ar

A

v ev

e

ξ −=

−

avec ( )b FlT T

An

β−

= , où vr est la vitesse relative entre le fourreau et le lit solide

(m/s), Tb la température du fourreau, et /y hξ = l'épaisseur de fluide considérée et adimensionalisée par h, l'épaisseur totale du film fondu en dimension. Dans le cas où le chenal est de profondeur constante dans la zone étudiée, comme dans la zone d'alimentation, l'expression de conservation de la masse s'écrit:

M. Moguedet

- 20 -

Eq. (3)

( )( )

( )

s sz

s sz

d V H h X Xdz

d HX Xsoitdz V

ρ φ

φρ

− − =

− =

avec:

o Vsz la vitesse d'avancée du lit solide (supposée constante le long de la vis), en m/s

o ρs et ρm les masses volumique du polymère solide et fondu, en kg/m3 o Hs représente la hauteur de lit solide, en m o X est la largeur du lit solide

L'expression du taux de fonte φ s'écrit:

( )( )( ) ( )( )

12

/ 2. .

2 .m b m

bx ms m s m b m

K T T UV U

Cp T T Cp T Tφ ρ

λ

− +=

− + Θ − +

sachant que:

o Km est la conductivité thermique du polymère fondu, en W.m-1.K-1 o Tb la température du fourreau, en °C o Tm la température de fusion du polymère, et Ts celle du granulé, en °C o Cps et Cpm les capacités calorifiques du polymère solide et fondu, en

J.Kg-1.K-1 o λ la chaleur latente de fusion du polymère, en J/Kg o U1 facteur de dissipation visqueuse (caractéristique de l'auto-

échauffement de la matière), U2, terme de convection, et Θ la température moyenne dans le film, sont développés ci-après.

o Vbx la composante de Rbω selon l'axe x, en m/s o Vsy la vitesse de l'interface, en m/s o Vj la différence de vitesse entre le lit solide et le fourreau, en m/s

( ) 11 1

1 0 2

12. . . .

1

b nn nj b

e b bU m V hb e

− ++ −

−

+ − ⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ( )2

121

b

b

b eUb e

−

−

− −=−


- 21 -

( )b mT Tb a

n−

= − ( )1 112

1

b

b

b e b b

b e

− − −

−

+ + −Θ =

+ −

2

2m sz

sys

U vv hX

ρρ

=

Au final, l'expression reliant deux valeurs successives de largeur de lit solide X1 et X2 (Cf. Fig. 7), est:

Eq. (4) 2

2 1 2 112

X X Z ZW W H

ψ −⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

avec W (m) la largeur du chenal, H (m) la hauteur du chenal dans la zone considérée, Zi (m) l'abscisse curviligne dans le chenal de la vis, et ψ vaut:

Eq. (5) 1. .sz sV X

φψρ

=

Si l'on se place dans une zone ou la profondeur du chenal varie, comme en zone de compression, l'expression devient:

Eq. (6) 2 1 1

2

1X X HW W A A H

ψ ψ⎛ ⎞⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Hi (m) représentant les valeurs successives de la profondeur du chenal, et A étant la tangente de l'angle de cône en zone de compression. En connaissant la valeur de X, il nous est enfin possible de calculer la hauteur de lit fondu, h (m), suivant l'expression:

Eq. (7) ( )( )

( ) ( )( )

12

1

2

2.. . . .

m b ms

bx m s m s m b m

k T T U Xh et H h h

v U Cp T T Cp T Tρ λ⎛ ⎞− +

= = +⎜ ⎟⎜ ⎟− + Θ − +⎝ ⎠

II.2.2 Plastification en injection Bien que l'injection soit un procédé discontinu, il est usuel de la considérer comme étant la succession de phases d'extrusion, quand la vis est en rotation, où viennent

M. Moguedet

- 22 -

s'intercaler des phases d'attentes, quand la vis reste immobile, et des phases d'injection proprement dites, lorsque la vis est en translation.

Pendant les phases de rotation de la vis, la plastification a lieu par conduction issue des colliers chauffants, et par cisaillement de la matière, à travers son auto-échauffement.

Lors des phases d'attente, seule la conduction permet de fondre la matière. Enfin, pendant l'injection, le mouvement de translation de la vis entraîne de forts cisaillements sur la matière. Pendant ces phases de conduction pure, le film fondu va s'épaissir et le modèle de Nunn [1] permet de le calculer:

( )( )( )

2 20

2. m b m c

s s m s

k T T th h

Cp T Tρ λ−

= ++ −

avec tc le temps de conduction, ti le temps de remplissage, si la course d'injection, µ la viscosité du fluide h0 la hauteur du film au début de la phase de conduction et X0 la largeur du lit solide au début du remplissage. Nunn décrit également l'évolution de la largeur de lit solide pendant la phase d'injection, la vis n'étant animée que d'un mouvement de translation:

( ) ( )( )( )

220

2 cos1exp2 2

m i b m i

r m s m s

K t T T sXXW W t hH Cp T T

µ θρ λ

⎛ ⎞− +−⎜ ⎟=⎜ ⎟− +⎝ ⎠

Ces deux expressions nous donnent X et h à la fin des phases d'attente et d'injection. Lorsque la vis va entrer à nouveau en rotation, le lit solide va se réorganiser, modifiant l'épaisseur de film fondu, pour que le tout reprenne une configuration de type Tadmor. Au final, la combinaison des modèles de Tadmor et de Nunn nous permet d'obtenir l'évolution de la largeur de lit solide le long de la vis, ainsi que l'évolution de la hauteur du film fondu. Cette dernière sera un paramètre crucial lorsque l'on étudiera la casse des fibres ultérieurement.

II.3 Architecture du programme Le programme que nous avons développé permet de simuler la plastification en extrusion ou en injection, partie dans laquelle nous ajoutons des phases d'attente. Il


- 23 -

est basé sur les modèles de Tadmor et de Nunn cités précédemment, et prend en compte alternativement les phases de rotation et de translation de la vis, ainsi que les phases de conduction pure.

Les données d'entrée sont la géométrie de la vis, les propriétés rhéologiques et thermiques du polymère transformé, et les réglages de la machine. Ensuite, nous effectuons un maillage de la vis. Après avoir déterminé la longueur de la zone de retard à la fusion, la plastification débute et on calcule les profils de largeur de lit solide et de hauteur de film fondu le long de la vis en fonction du type de zone où l'on se trouve (profondeur de chenal constante ou variable). Il faut noter que dans une même zone, la température du fourreau et la profondeur du chenal varient linéairement avec l'abscisse curviligne. Si l'on utilise le programme en mode "Injection", nous devons ajouter que nous tenons compte du temps d'arrivée de la matière dans la zone d'alimentation. En effet, des granulés entrant dans le chenal au commencement de la rotation de la vis parcourent une certaine distance jusqu'à l'arrêt de la vis, moment qui correspond à la fin du dosage. Généralement il s'ensuit d'ailleurs une phase d'attente pendant laquelle le refroidissement de la pièce précédemment moulée se termine. Cependant, si la matière n'entre dans le chenal que plus tard, par exemple juste avant la fin de la rotation de la vis, son temps de séjour dans le chenal sera bien moins important que dans le premier cas. Les profils de plastification seront alors différents selon la matière considérée. Notre programme de simulation devra ainsi permettre de choisir à quel moment la matière considérée doit entrer dans le chenal. Cependant, dans un soucis de clarté et pour simplifier nos calculs de casse de fibre, le profil de plastification obtenu par défaut, et réutilisé pour la casse des fibres, sera calculé sur un temps de séjour moyen de la matière dans le chenal.

II.4 Conclusion Cette première partie de notre travail nous permet de décrire le phénomène de plastification dans un ensemble vis/fourreau, en extrusion ou en injection. D'un point de vue technique, ces simulations donnent aux utilisateurs de ces procédés un moyen simple de prédire les profils de largeur de lit solide et d'épaisseur de film fondu le long de la vis. En outre, en fonction des différents paramètres de réglages machine, de la matière utilisée ou du profil de la vis, la simulation nous renseigne sur le nombre de tours nécessaires à la fonte totale du matériau, information importante pour optimiser le procédé.

M. Moguedet

- 24 -

Chapitre III : Modélisation de la casse des fibres dans l'ensemble vis-fourreau

Le renforcement des polymères par des fibres de verre permet d’obtenir des matériaux composites ayant de meilleures propriétés mécaniques. Ces matériaux, représentant un faible coût de fabrication, sont de plus en plus utilisés car ils peuvent être mis en forme avec des moyens conventionnels comme l'extrusion ou l'injection, le premier en général pour produire les granulés qui constitueront la matière première du deuxième. Malheureusement, au cours du procédé, les fibres vont subir des contraintes, engendrant alors leur rupture, et la réduction de la longueur des fibres initiales affaiblit leur efficacité.

III.1 Bibliographie Afin de préserver les fibres, il est nécessaire de comprendre leur comportement dans le procédé. Les propriétés mécaniques des pièces produites dépendent grandement de la longueur finale des fibres. Kelly et al. [19] ont développé une théorie d'après laquelle, selon eux, l'énergie provenant d'une sollicitation du matériau est transférée de la matrice vers les fibres à travers un cisaillement de l'interface fibre/matrice. Il existe alors une longueur critique nécessaire afin que la fibre puisse se rompre. Si cette longueur n'est pas suffisante, la fibre ne jouera pas son rôle de renfort. Cela démontre l'importance de préserver au maximum la longueur des fibres lorsque l'on transforme le matériau.

L'orientation finale de ces fibres joue également un rôle important pour les propriétés mécaniques, l'idéal étant que cette orientation soit la plus isotrope possible afin d'avoir des propriétés mécaniques du matériau identiques dans toutes les directions et en tous points. D'autre part, l'orientation des fibres dans les écoulements a fait l'objet de multiples travaux, tant afin de décrire ces mécanismes d'orientation [20] que pour comprendre l'influence de la présence de fibres sur la rhéologie des écoulements de fluides chargés [21].

D'autres paramètres peuvent avoir un effet direct ou indirect sur la distribution finale des longueurs de fibres. Ainsi, Lunt et Shortall [22,23] montrent que l'augmentation de la vitesse de rotation de la vis dégrade davantage les fibres. Il a

Plastification des thermoplastiques chargés fibres de verre longues

- 25 -

aussi été démontré que plus la concentration de fibres dans le fluide augmente, plus la longueur moyenne de celles-ci diminue [24,25,26]. Le polymère constituant la matrice agit également sur l'attrition des fibres, puisque Fisa [26] a observé qu'un polymère plus visqueux qu'un autre engendrera des fibres plus courtes.

Tous ces auteurs s'accordent à dire que la grande majorité des fibres se rompent pendant la plastification, même si elles peuvent continuer à se dégrader lors de leur passage dans la buse et les canaux, ou encore lors de l'injection dans le moule. Il a été montré que la réduction du diamètre de la buse et des canaux d'injection [25,27] est susceptible de réduire la longueur moyenne des fibres, mais généralement cette dégradation reste faible comparé à celle subie dans l'enceinte vis-fourreau. La fibre peut se rompre à la suite de différents phénomènes:

• Les interactions fibre/fibre: l’abrasion des surfaces de verre réduit leur résistance en provoquant des concentrations de contraintes, conduisant à la rupture de la fibre. La rupture peut également avoir lieu lorsque la fibre fléchit.

• Le contact des fibres avec les parois de la vis et du fourreau • Les interactions fibre/polymère : la forte viscosité des polymères engendre de

fortes contraintes de cisaillement, provoquant la rupture des fibres. Les deux premières sources de rupture des fibres sont très difficiles à modéliser. Il n'existe à l'heure actuelle aucun modèle tenant compte de ces phénomènes. Cependant, Mittal et al. [28] ont développé une théorie intéressante en ce qui concerne la rupture des fibres pendant la plastification. Si l'on reprend le mécanisme de plastification décrit par Tadmor et présenté dans le chapitre précédent, les fibres se dégraderaient selon eux à l'interface lit solide/film fluide, à proximité du fourreau. Le cisaillement dans l'écoulement crée la rupture des fibres par flexion. D'autres études, et notamment celles de Lunt et Shortall [22,23] et de Fisa [26] ont démontré qu'effectivement, en mesurant les longueurs de fibres dans le polymère solide et fondu pendant le procédé, la dégradation intervient là où a lieu la fonte du polymère, à l'interface solide-liquide.

Une autre approche, exposée par Forgacs et Mason [29], reprise ensuite par plusieurs auteurs [30,31], considère une dégradation des fibres par flambement dans un écoulement en cisaillement. Bien que ce phénomène ait été observé dans le cas d'une fibre isolée et soumise à de très forts cisaillements, il apparaît peu probable que ce type de dégradation puisse avoir lieu pendant la plastification. En effet, la quantité importante de fibres présentes en général dans le fluide ne permet plus de se considérer en milieu dilué, et la présence d'autres fibres à proximité ou en contact remet en cause cette théorie pour ce qui est de la transformation des thermoplastiques chargés fibres. En outre, une fibre ayant flambé n'est pas forcément rompue.

M. Moguedet

- 26 -

Au final, le choix du critère de rupture à intégrer dans nos programmes de simulation s'est porté sur le critère de Mittal. Bien que ce modèle présente l'inconvénient de ne pas tenir compte des interactions fibres/fibres ou fibres/outillages, il reste selon nous le seul à permettre la prédiction des longueurs finales de fibres.

• Modèle de Mittal et Al. [28] Dans le cas de thermoplastiques renforcés par des fibres, les granulés sont introduits dans le chenal de la vis via la trémie, et sont transportés progressivement vers l'avant de la vis. Pendant cette phase de transport solide, les fibres sont supposées être protégées par la matrice thermoplastique. Alors que le fourreau commence à être chauffé, et comme Maddock [11] a pu l'observer auparavant, le polymère fond principalement près du fourreau, formant une pellicule de fluide dans laquelle le cisaillement est important. Les fibres vont dès lors être progressivement dénudées et elles vont apparaître, pour se retrouver finalement ancrées d'un côté dans le lit solide, et soumises de l'autre côté à l'écoulement du polymère fondu, près du fourreau. Mittal et al. (1988) déterminent alors un moment de flexion exercé sur la fibre. La fibre casse, théoriquement à l'interface solide/liquide, si la contrainte subie par la fibre dépasse la contrainte maximale applicable (Cf. Fig. 8). Le critère de Mittal se propose de calculer la valeur de cette contrainte maximale, décrite dans la relation Eq. (8). La figure Fig. 8 illustre une fibre de longueur l, orientée d'un angle θ par rapport à l'écoulement. La longueur projetée de la fibre sur l'axe x vaut l'=lcosθ et h est l'épaisseur du film fondu. La vitesse relative entre le lit solide (vitesse nulle) et le fourreau (vitesse maximale vj, correspondant à la vitesse relative du fourreau par rapport à celle du lit solide utilisée précédemment dans les calculs de plastification avec fourreau tournant) évolue linéairement dans l'épaisseur du fluide: ( ) 0 /v x v x h= , avec x compris entre 0 et l'.

Fig. 8: Fibres à l'interface solide/liquide pendant la plastification

µ (polymère fondu)

h

x

l’

Granulés solides

θ

Fourreau vj

v=0


- 27 -

Eq. (8): ( )2 2'/

max 3 0max

128. . . .ln(7.4 / ) ln

l hjv h y dy xet yd Re y hµ

σ = =−∫

Où σmax représente la contrainte maximale applicable à la fibre, µ la viscosité du fluide (Pa.s), v0 la vitesse de rotation de la vis (m/s), h l'épaisseur du lit fondu (m), d le diamètre de la fibre (m), l' la hauteur projetée de la fibre sur l'axe x et Remax la valeur maximale du nombre de Reynolds dans l'écoulement, correspondant à v0 à l'interface solide/liquide.

• Modèle pseudo-plastique thermodépendant En suivant la méthode utilisée par Mittal et al., nous avons amélioré ce critère de rupture sur trois points:

La hauteur de film fondu n'est plus arbitraire mais calculée tout au long du chenal par la plastification. Les auteurs n'avaient considéré le polymère fondu que comme un fluide

newtonien. Nous avons alors décrit les vitesses comme étant fonction du cisaillement dans le fluide, et tenu compte d'un comportement rhéofluidifiant du polymère. Enfin, nous obtenons des distributions de longueurs de fibres directement

comparables aux distributions expérimentales. L'expression de la vitesse dans le film fondu, provenant directement de la plastification, est donnée par l'équation Eq. (2).

La force créée par cette vitesse sur une fibre plongée dans l'écoulement est décrite par:

( )2

2Dv df x C ρ=

où d est le diamètre de la fibre, ρ la masse volumique du fluide et CD est le coefficient d'entraînement. Ce dernier dépend du type d'écoulement et est fonction du nombre de Reynolds, qui vaut:

( )1Re

1

Ar

A

eVdv de

ξρ ρµ µ

−= =

−.

M. Moguedet

- 28 -

µ étant la viscosité du fluide. Cette viscosité étant généralement élevée dans le cas des polymères fondus, le nombre de Reynolds est en général très faible, et l'écoulement par conséquent laminaire, et CD s'exprime alors grâce à la formule d'Oseen correspondant au déplacement d'une fibre dans le sens de son axe et à vitesse constante, en tenant compte des effets d'inertie, et décrite par Batchelor [32]:

87,4Re.lnRe

DC π=⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Le moment de flexion résultant de f(x) au point d'ancrage de la fibre est donné par:

2'

0.

2l

Dv dM C x dxρ= ∫

et la contrainte maximale sur la fibre vaut:

2'

max 3 3 0

32 32 .2

l

DM v dC x dxd d

ρσπ π

= = ∫

soit, en intégrant les expressions de M et de v:

Eq. (9) ( )

( )

( )( )12 '/

max 12 0

128 1 .7, 41 lnRe

n Axn l hrnn A

h Kv A e x dxd h e

σ− −

−

−=⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

III.2 Fonctionnement du programme L'idée de notre programme est de simuler la casse des fibres pendant la plastification d'un thermoplastique chargé fibres, pour aboutir à la prédiction de la distribution finale des longueurs de fibres.

Nous appliquons pour cela le critère de rupture présenté précédemment à un nombre important de fibres. Cependant, l'insertion d'un nombre plus ou moins important de fibres dans le système n'aura qu'une influence sur la précision et la reproductibilité des distributions de longueurs finales. Il ne nous sera donc pas possible d'étudier l'influence du taux de fibres dans la matrice sur la casse des fibres.


- 29 -

Notre programme fonctionne comme suit: • Renseignement des données de départ:

o Avant toute chose il est nécessaire de renseigner toutes les informations concernant la géométrie de la vis, les données matière (matrice et fibres), ainsi que les paramètres de mise en œuvre (vitesse de rotation, etc…).

o Dans un premier temps, nous calculons le profil de plastification à l'aide du logiciel "SIMPLAST+" évoqué précédemment. Celui-ci nous permet de connaître l'évolution de la hauteur de lit fondu, h, celle de la largeur du lit solide, X, et celle de la vitesse de plastification, vsy.

o Afin d'atteindre une très bonne reproductibilité des distributions finales, le calcul fait sur 2000 fibres s'avère être amplement suffisant, et c'est sur cette base que nous avons obtenu tous nos résultats.

o Des orientations aléatoires sont données aux fibres, comprises entre l'angle minimal et l'angle maximal possible pour une fibre présente dans un chenal. A titre d'exemple, une fibre de 9mm de long ne pourra pas avoir un angle θ (Cf. Fig. 8) inférieur à 64° si elle se trouve dans un chenal de 4mm de profondeur.

• Lancement du programme o Nous avons relié directement la densité de fibres exposées à l'écoulement

avec la largeur de lit solide. Ainsi, si la largeur du lit solide s'est réduite de 10%, il n'y aura que 10% des fibres soumises au critère de rupture, le reste étant considéré comme intact et protégé par le lit solide.

o Ensuite, il est nécessaire de déterminer combien de fois le critère de rupture va être appliqué à ces fibres. Pour cela, nous avons utilisé vsy, la vitesse de l'interface solide/liquide selon l'axe y (Cf. Fig. 7). Elle nous permet de déterminer le temps nécessaire pour renouveler en totalité la pellicule de polymère fondu proche du fourreau. Pendant ce temps le lit solide a progressé vers l'avant de la vis. Nous pouvons ainsi connaître le nombre de fois où le film de polymère fondu a été renouvelé avant d'atteindre la fonte totale des granulés. A chaque renouvellement de couche fondue est associé un calcul de casse des fibres en présence.

o Au final, les longueurs de tous les morceaux de fibres résultant de la dégradation sont connues, ce qui nous permet d'obtenir directement des distributions de longueurs de fibres.

M. Moguedet

- 30 -

III.3 Résultats obtenus en extrusion

III.3.1 Gupta et al. Gupta et al. [33] ont fait en 1989 des expériences sur une extrudeuse(Type 45 de la compagnie Frieseke & Hoepfner GmbH, Allemagne). Les différents paramètres de leur expérience sont listés dans le tableau Tab. 1. Après avoir atteint un régime stationnaire de la machine, celle-ci a été arrêtée, refroidie, et des échantillons de matière ont été prélevés tout le long de la vis. Les longueurs de fibre ont été finalement mesurées permettant la représentation de distributions de longueurs de fibres. Les expériences faites par Gupta ont l'avantage de permettre l'accès à la distribution des longueurs de fibres non seulement en fin de procédé, mais également pendant le procédé.

Matière PP chargé 30% de fibres de verre longues

Diamètre des fibres 10 µm Longueur initiale des fibres 9 mm Contrainte à la rupture de la fibre (fibre de verre E)

1,1 GPa

Vitesse de rotation de la vis 60 rpm Température du fourreau 240°C Débit massique (Qm) 10 kg/h Diamètre de vis (D) 38 mm Rapport L/D de la vis 20

Tab. 1: Paramètres des simulations issus des expériences de Gupta et al.

Nos simulations ont donc été conduites à partir de leurs paramètres d'expérience. Néanmoins, deux détails importants sont inconnus:

N'ayant aucune information sur la nature rhéologique du polypropylène utilisé (Profil G 60/30 de la compagnie M/s Wilson Fiberfil International au Canada), nous avons utilisé les données matières du Pryltex, du groupe Arkema, également un PP chargé 30% de fibres de verre longues.

Ensuite, il nous était absolument nécessaire de connaître le débit massique de matière débitée par la vis, et nous avons dû l'évaluer, en nous basant sur des observations expérimentales montrant que pour ces conditions de géométrie, de matière et de transformation, la vitesse d'avancée du lit solide correspond à environ


- 31 -

15% de Vbz, la composante de Rbω selon l'axe de la vis, ce qui nous permet d'estimer un débit massique d'environ 10 Kg/h.

Enfin, la température indiquée des différents colliers chauffants nous étonne, puisqu'elle est uniforme à 240°C tout le long du fourreau, ce qui n'est pas courant lorsque l'on met en œuvre des polymères.

• Profils de plastification Il est possible dans un premier temps d'obtenir les profils de largeur de lit solide et d'épaisseur de film fondu le long de la vis. Ils sont représentés sur la Fig. 9. Dans le cas présent, la plastification commence au tour 7. Avant, l'épaisseur du film fondu croît linéairement jusqu'à ce que la pression soit suffisante pour créer une poche de fondu à l'arrière du lit solide, et ainsi initier la plastification. A ce moment là, h va alors décroître jusqu'à une valeur nulle, au tour 15, qui désigne la fin de la plastification. En fait, cela ne signifie pas qu'il n'y a plus de film fluide, mais au contraire que la totalité du lit solide a fondu et qu'il reste uniquement du fluide.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0

20

40

60

80

100 Epaisseur du film fondu

Largeur du lit solide (%)

Epa

isse

ur d

u fil

m fo

ndu,

h (m

m)

Nombre de tours de vis

Largeur de lit solide

Fig. 9: Profils de plastification – Evolution de l'épaisseur du film fondu et de la largeur du lit solide en

fonction du tour de vis.

• Distribution finale des longueurs de fibres La comparaison des distributions en nombre expérimentée et simulée est illustrée sur la Fig. 10-a. Simulation et mesure révèlent un pic majeur de fibres autour de 0,5 mm:

M. Moguedet

76% des fibres insérées sont inférieures à 1 mm. Ensuite la fraction des fibres diminue avec leur longueur, pour n'atteindre qu'une très faible population de fibres longues. La fraction en nombre étant grandement influencée par les fibres courtes, les distributions peuvent être également représentées en traçant la fraction en masse des fibres en fonction de leur longueur (Cf. Fig. 10-b). Ce type de représentation caractérise davantage le rôle de renfort qu'ont les fibres dans la matrice. La Fig. 10 révèle une forme bimodale de la distribution aussi bien expérimentalement qu'en simulation.

Bien qu'il y ait quelques faibles écarts entre les deux distributions, nous constatons que nos distributions simulées sont extrêmement proches de l'expérience.

0 1 2 3 40

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Longueu

Frac

tion

en

nom

bre

(%) 90

100

%)

Fig. 10: Distributions finentr

A partir des longueursmoyenne en nombre, largement utilisées chcaractérisent le compo

Nous obtenons seulemnos simulations (Cf. F

• Evolution de la

Notre programmque soit leur position
(a)
- 32 -

5 6 7 8 9 10 11 12

r de fibre ( mm)

SimulationLw = 1,1 mm

ExpérienceLw = 1,05 mm

0 1 2 3 40

10

20

30

40

50

60

70

80

Longueu

S

EFr

acti

on e

n m

asse

(

ales, en nombre (a) et en masse (b), des longueue l'expérience de Gupta et al. (1989) et la simula

peuvent être considérées les moyennes

nL , et la longueur moyenne en masse, Lez les transformateurs de thermoplastiqrtement plus ou moins renforçant des fib

Eq. (10): 2. .

.i i i i

n wi i i

n l n lL L

n n l= =∑ ∑∑ ∑

ent une erreur de 5% entre les longueursig. 10).

distribution des longueurs de fibre le long

e nous donne accès également à la long dans la vis. Ainsi la Fig. 11 nous m

(b)

5 6 7 8 9 10 11 12

r de fibre ( mm)

imulationLw = 3,6 mm

xpérienceLw = 3,85 mm

rs de fibres: comparaison tion

suivantes: la longueur

w . Ces moyennes sont ues chargés fibres, et

res.

moyennes mesurées et

de la vis

ueur des fibres quelle ontre l'évolution des


- 33 -

longueurs moyennes simulées et expérimentales, illustrant parfaitement la casse progressive des fibres pendant la plastification. nL chute de 9 à 1,1 mm tandis que

wL est réduite à 3,6 mm. Nous remarquons qu'en simulation la casse des fibres apparaît plus tôt

qu'expérimentalement mais que l'allure des courbes reste semblable, avec une usure des fibres sans grande conséquence dans un premier temps, puis des ruptures bien plus importantes pendant la phase de compression, pour finalement tendre vers une asymptote en zone de pompage. Expérimentalement, la casse se poursuit dans cette zone, mais demeure beaucoup plus faible qu'en amont du procédé.

Notons également que dans nos simulations, et d'après le modèle que nous avons choisi, la casse s'interrompt lorsqu'il n'y a plus de lit solide. Sur la Fig. 11 on constate qu'elle se termine quelques tours avant la disparition totale du lit solide (tour 15 sur la Fig. 9), et cela est dû au fait que la hauteur du film fondu est devenue trop faible pour créer la rupture de la fibre, malgré l'augmentation du cisaillement.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Ln simulée Ln expérimentale

L n

Nombre de tours

Lw simulée Lw expérimentale

Lw

Fig. 11: Comparaison de l'évolution des longueurs moyennes expérimentales et simulées

III.3.2 Sensibilité des simulations Le paragraphe précédent nous a permis de valider notre programme. Dans ce paragraphe nous allons maintenant étudier l'influence de certains paramètres sur les distributions finales des longueurs de fibres.

M. Moguedet

- 34 -

• Influence de la température de fourreau L'influence de la température imposée au fourreau est illustrée sur les figures Fig. 12 et Fig. 13. La plastification a été simulée avec une température réduite de 240°C à 180°C. L'augmentation de viscosité se traduit bien évidemment par une chute des longueurs moyennes, mais cet effet est également atténué par la diminution de l'épaisseur du film fondu. En effet, si cette épaisseur est inférieure à la hauteur critique de casse des fibres soumises à l'écoulement, ces dernières ne se rompront pas et iront rejoindre la poche de fondue indemnes.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Fibre length( mm)

T = 240°CLn = 1,1 mm

T = 180°CLn = 0,8 mm

Num

ber

frac

tion

(%)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Fibre length( mm)

T = 240°CLw = 3,6 mm

T = 180°CLw = 3,5 mm

Wei

ght

frac

tion

(%)

Fig. 12: Effet de la température du fourreau sur

la distribution finale en nombre Fig. 13: Effet de la température du fourreau sur la

distribution finale en masse

• Influence de la vitesse de rotation de la vis Une comparaison entre la distribution finale des fibres à 60 rpm et à 90 rpm est illustrée sur la figure Fig. 14. Il apparaît que l'attrition des fibres ne semble pas être très dépendante de la vitesse de rotation de la vis. En fait, lorsque l'on analyse de plus près les modèles de plastification et de rupture des fibres, on s'aperçoit que d'une part, la contrainte maximale appliquée à la fibre,σmax, est directement fonction de v0.h², mais que d'autre part, dans notre modèle de plastification, h est proportionnel à

01/ v . Malheureusement, on constate donc que le couplage des deux modèles contrecarre les effets de la vitesse de rotation, ce qui ne nous permet pas d'en étudier son influence. Cependant, les quelques différences qui apparaissent sur la Fig. 14 sont attribuées au fait que le profil de plastification reste différent lorsque l'on change la vitesse de rotation de la vis, comme l'illustre la figure Fig. 15. On constate que la plastification est moins rapide à 90 rpm, puisqu'elle se termine après 16,5 tours, contre 15 tours à 60 rpm. Ainsi, la hauteur critique de film fondu au-delà de laquelle la fibre cassera s'étend plus loin dans la vis, et le critère de rupture est appliqué un

Longueur de fibre (mm) Longueur de fibre (mm)

Frac

tion

en

mas

se (%

)

Frac

tion

en

nom

bre

(%)


- 35 -

nombre de fois supérieur (47 fois à 60 rpm contre 56 fois à 90 rpm) lorsque la vis tourne rapidement que lorsqu'elle tourne lentement.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Fibre length ( mm)

60 rpmLw = 3,6 mm

90 rpmLw = 3,4 mm

Wei

ght

frac

tion

(%)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

60 rpm 90 rpm

Epai

sseu

r du

film

fond

u, h

(mm

)


Fig. 14: Effet de la vitesse de rotation de la vis sur la distribution finale en masse

Fig. 15: Effet de la vitesse de rotation de la vis sur le profil des plastification

• Influence du diamètre de la fibre Comme on pouvait le prédire au vu du critère utilisé (Cf Eq. (9)), si on augmente le diamètre de la fibre, celle-ci résiste mieux à l'écoulement et il en résulte des longueurs moyennes plus élevées. Dans le cas de la Fig. 17, nous comparons la distribution finale pour des fibres ayant un diamètre de 10 et 20 µm, et cette augmentation de diamètre provoque un agrandissement de la longueur moyenne en poids de 25%, et de près de 45% pour la longueur moyenne en nombre.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Fibre length( mm)

d = 10 µmLn = 1,1 mm

d = 20 µmLn = 2,5 mm

Num

ber

frac

tion

(%)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Fibre length( mm)

d = 10 µmLw = 3,6 mm

d = 20 µmLw = 4,8 mm

Mas

s fr

acti

on (%

)

Fig. 16: Effet du diamètre de la fibre sur la distribution finale en nombre

Fig. 17: Effet du diamètre de la fibre sur la distribution finale en masse

Longueur de fibre (mm)

Frac

tion

en

mas

se (%

)


Épai

sseu

r du

film

fon

du, h

(mm

)

Longueur de fibre (mm) Longueur de fibre (mm)

Frac

tion

en

mas

se (%

)

Frac

tion

en

nom

bre

(%)

M. Moguedet

- 36 -

• Influence de l'indice de pseudoplasticité. Il est possible d'étudier l'influence de la matrice polymère sur la rupture des fibres, par exemple en modifiant l'indice de pseudoplasticité n dans sa loi de comportement (Cf. Eq. (1)). Pour un indice de 0,5 nous obtenons les figures Fig. 17 et Fig. 18. D'après ces observations, nous constatons que l'augmentation de cet indice de 0,2251 à 0,5 engendre des longueurs moyennes légèrement plus faibles, de l'ordre de 20% pour Ln et 5% pour Lw. On peut justifier ce phénomène par le fait que l'indice de pseudoplasticité joue sur la viscosité du polymère: plus celui-ci est élevé, et moins la viscosité de la matière diminue avec le taux de cisaillement. Si l'on augmente n, les contraintes appliquées à la fibre dans le film fondu seront plus élevées, facilitant alors la rupture des fibres.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Longueur de fibre ( mm)

n=0,2251Ln = 1,1 mm

n=0,5Ln = 0,9 mm

Frac

tion

en

nom

bre

(%)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100


n=0,2251Lw = 3,6 mm

n=0,5Lw = 3,4 mm

Frac

tion

en

mas

se (%

)

Fig. 18: Effet de l'indice de pseudoplasticité sur la distribution finale en nombre

Fig. 19: Effet de l'indice de pseudoplasticité sur la distribution finale en masse

III.4 Essais industriels

III.4.1 Essais Plastic Omnium Après avoir validé notre programme de simulation dans le cas du procédé d'extrusion, nous allons à présent le tester pour l'injection. Nous nous sommes pour cela appuyés sur des essais chez Plastic Omnium Automotive Exterior effectués avec une vis "trois zones" classique, mesurant 90 mm de diamètre. Ces expériences ont été conduites avec trois polypropylènes renforcés soit de 30% en masse de fibres courtes (4 mm), soit de 40% en masse de fibres longues.


- 37 -

Ces expériences ont été menées selon deux modes: • soit en mode "purge": la presse fonctionne normalement mais au lieu d'injecter

la matière dans un moule, celle-ci est injectée dans un pot. Cela nous permet de nous affranchir de tous les effets indésirables créés par le passage de la matière chargée dans les canaux et dans l'empreinte du moule.

• soit en mode "extrusion": la vis débite la matière en continu, sans qu'il y ait de phases de translation ou d'attente (maintien, refroidissement). Cette expérience diffère du procédé d'extrusion à travers la vis utilisée, puisque celle-ci est munie à son extrémité d'un clapet anti-retour.

La matière produite est alors récupérée et il devient possible de mesurer la longueur finale des fibres.

• Protocole de mesure des longueurs de fibres Le protocole de mesure des longueurs de fibres a été effectué par l'entreprise Compositec pour le compte de Plastic Omnium, et se déroule en trois étapes:

• Tout d'abord, les échantillons à analyser sont calcinés pendant 1h30 à 450°C, puis pendant 1h à 650°C. Ceci permet de supprimer la matrice organique, sans pour autant altérer les fibres.

• Ensuite, les fibres inférieures à 1 mm, également appelées fines, sont filtrées successivement à l'aide de trois tamis identiques de 500 µm de maille. Elles sont ensuite séchées pendant une heure à 110°C et pesées afin de déterminer un taux massique de fines dans les pièces. Les résultats sont obtenus sur la base de 5 mesures par référence.

• Enfin, les fibres restantes sont réparties manuellement sur une lamelle de 10x10 cm². Leur longueur est mesurée via un logiciel de traitement d'images (gamme de mesure de 1 à 12 mm), à raison de 6 mesures par référence sur une population d'environ 15000 fibres par lamelle.

Parmi les outils de comparaison que nous avons à notre disposition, le taux de fines est selon nous le critère d'évaluation le plus fiable car la pesée des fibres est une méthode plus précise que la mesure de leurs longueurs par traitement d'images. Bien que cette méthode soit couramment utilisée, elle comporte cependant quelques limites, notamment dans les algorithmes permettant de mesurer les longueurs de fibres. Nous remarquerons dans le paragraphe suivant que lors de l'étude de polymère chargé de fibres courtes, initialement à 4mm, apparaissent sur la distribution finale des populations de fibres de longueur supérieure, ce qui est bien sûr impossible. Le problème majeur réside dans la préparation des échantillons à étudier, puisqu'il est nécessaire d'isoler les fibres les unes des autres, et ce pour une raison simple, c'est que

M. Moguedet

- 38 -

les algorithmes utilisés à l'heure actuelle sont encore sources d'erreurs. Ainsi, si les fibres ne sont pas isolées les unes des autres, il existe trois configurations difficiles à discerner: lorsque deux fibres se croisent, lorsque les fibres sont côte à côte, et lorsque l'extrémité des fibres se rejoignent. Dans ces trois cas, les algorithmes peuvent ne considérer alors qu'un seul objet et calculent la longueur équivalente, ce qui peut amener aux erreurs visibles sur les distributions des fibres courtes ci-après. Dans le cas des fibres longues, il n'est pas impossible d'obtenir par exemple des fibres de 4 mm qui ne seraient en fait que des paires de fibres de 2 mm mises bout à bout.

• Influence de la longueur initiale des fibres. Les figures Fig. 20 et Fig. 21 représentent les distributions finales en nombre et en masse de fibres ayant une longueur initiale de 4 mm. Sont également indiquées les longueurs moyennes en nombre et en masse, mais sans prendre en compte les fibres inférieures à 1 mm, "SF" signifiant "Sans les Fines". Comme nous pouvons le constater, nos simulations sont assez proches des résultats expérimentaux à 40 rpm. Pour la longueur moyenne nous obtenons une erreur inférieure à 10% qu'elle soit en nombre ou en masse. On constate que la forme de la distribution simulée diffère quelque peu de l'expérimentale, car au final la longueur prédite des fibres est plus élevée. Le plus encourageant c'est que nous calculons un pourcentage massique de fines 38% contre 41% en réalité, ce qui fait simplement 3% d'erreur.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100


SimulationL

nSF = 2,2 mm

ExpérienceLnSF = 2,0 mm

Frac

tion

en

nom

bre

(%)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100


SimulationLwSF = 2,7 mm

Taux de fines : 38 % Expérience

LwSF = 2,5 mm Taux de fines : 41 %

Frac

tion

en

mas

se(%

)

Fig. 20: PP 30% fibres courtes en mode purge à 40 rpm - Distribution en nombre

Fig. 21: PP 30% fibres courtes en mode purge à 40 rpm - Distribution en masse


- 39 -

Notre programme semble donc s'appliquer de façon très satisfaisante à la prédiction des longueurs moyennes pour des fibres courtes renforçant à hauteur de 30% en masse une matrice polypropylène à 40 rpm. Il faut cependant rester prudent puisque les erreurs sur les résultats le sont sur une gamme de longueurs beaucoup moins élargie que dans le cas des fibres longues, et qu'en outre, dans nos simulations, il reste tout de même au final une fraction beaucoup importante de fibre les plus longues (3mm et plus) qu'expérimentalement. Cependant, le fait de prévoir le taux de fines final à quelques pour cent près peut être une information très intéressante pour les industriels transformant ce type de matériaux.

• Influence de la vitesse de rotation Les expériences présentées ici ont toutes été conduites dans les mêmes conditions, excepté la vitesse de rotation de la vis, dont l'influence sur la casse des fibres était l'objet de l'étude.

Les trois essais ont été menés avec du PP renforcé de 40% de fibres de verre longues, la presse fonctionnant en mode extrusion. Des vitesses de rotation de vis de 40, 80 et 120 rpm ont été utilisées. Les comparaisons entre les distributions simulées et expérimentales sont exposées de la figure Fig. 22 à la figure Fig. 27.

Il semble que nos prédictions sous-estiment grandement l'usure des fibres pendant le procédé, même pour une vitesse de rotation de la vis relativement faible de 40 rpm. Une détérioration légèrement plus importante est constatée si l'on tourne la vis à 80 rpm, mais pas de façon aussi dramatique que dans l'expérience, où le taux fines passe de 33% à 67% en masse. Et enfin, nos simulations divergent complètement des résultats obtenus à 120 rpm.

Il existe selon nous plusieurs explications aux différences parfois importantes entre nos simulations et les données expérimentales.

Quoiqu'il en soit, si l'on regarde nos prédictions pour le premier essai, à 40 rpm, nous n'avons qu'un taux massique de fines de 15% contre 33% dans la réalité. Rappelons que la presse fonctionne en mode extrusion, et que les mesures de fibres sont faites sur la matière sortant de l'unité de plastification. Par conséquent, ni les phases d'attente, ni la phase d'injection ne peuvent être la cause d'un tel écart. Nous avons cependant une grande différence avec les simulations d'extrusions du chapitre précédent, très proches des résultats expérimentaux de Gupta. En analysant les conditions de travail dans les deux cas, nous en avons conclu que la différence majeure qu'il y avait entre les deux expériences était la présence, dans le cas des essais chez Plastic Omnium, d'un clapet anti-retour en bout de vis qui n'existe pas sur les vis d'extrusion. Selon nous, cet élément pourrait être à l'origine de ruptures de fibres supplémentaires, principalement à cause du passage dans l'anneau du clapet.

M. Moguedet

- 40 -

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100


SimulationLnSF = 4,2 mm

ExpérienceL

nSF = 2,3 mm

Frac

tion

en

nom

bre

(%)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100


SimulationL

wSF = 7,1 mm


LwSF

= 3,6 mm Taux de fines : 33 %

Frac

tion

en

mas

se (%

)

Fig. 22: PP 40% fibres longues en mode extrusion à 40 rpm - Distribution en nombre

Fig. 23: PP 40% fibres longues en mode extrusion à 40 rpm - Distribution en masse

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100



ExpérienceLnSF = 2,1 mm

Frac

tion

en

nom

bre

(%)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100


SimulationLwSF = 5,9 mm


LwSF = 2,9 mm Taux de fines : 67 %

Frac

tion

en

mas

se(%

)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100



ExpérienceL

nSF = 2,4 mm

Frac

tion

en

nom

bre

(%)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100


SimulationL

wSF = 6,2 mm


LwSF

= 3,6 mm Taux de fines : 70 %

Frac

tion

en

mas

se(%

)




- 41 -

La géométrie de la conduite changeant brusquement, l'écoulement subit en effet des perturbations importantes, et les contraintes en cisaillement, ainsi que celles en élongation provoquées par la restriction puis par l'expansion de la géométrie pourraient être à l'origine de cette divergence entre les résultats en extrusion et ceux de l'injection fonctionnant en mode "extrusion".

Enfin, comme nous avons malheureusement pu le constater dans le chapitre

précédent, nos simulations ne reflètent pas assez l'influence qu'a la vitesse de rotation de la vis expérimentalement. Ainsi, les prédictions montrent un taux de fines augmentant seulement de 17 à 22% entre 40 et 80 rpm, redescendant même à 17% pour 120 rpm. Or les mesures expérimentales de fibres indiquent un comportement tout autre, puisque le taux de fine est de 33, 67 puis 70% respectivement pour une vitesse de rotation de 40, 80 puis 120 rpm. L'attrition des fibres à l'interface solide/film fondu n'apparaît donc plus comme étant le mécanisme dominant, et l'interaction des fibres entre elles et avec les outillages semble prendre une importance considérable avec l'augmentation de la vitesse de rotation de la vis.

Il est également possible ici d'avancer l'hypothèse de l'impact non négligeable d'un clapet anti-retour sur les dommages causés aux fibres, surtout à des vitesses de passage élevées à travers l'anneau.

III.4.2 Essais ENGEL Au vu des résultats obtenus en extrusion et avec une presse à injecter fonctionnant en mode extrusion, nous avons émis l'hypothèse que la divergence de nos résultats comparés aux expériences pouvait être en partie due à la présence du clapet anti-retour à l'extrémité de la vis d'injection. Afin d'étudier cette hypothèse, nous avons effectué des essais d'injections, toujours à l'échelle industrielle, chez Engel (Autriche), partenaire du programme SAFFIR. Mais cette fois ci, il devenait nécessaire de faire des extractions de vis pour accéder aux longueurs des fibres tout au long du procédé, depuis le granulé de départ jusqu'à la pièce injectée. Ces essais ont également eu pour objectif d'analyser l'influence de certains paramètres de réglage de la presse sur la casse des fibres. La presse à injecter sur laquelle nous avons travaillé était une ENGEL DUO 11050/1500, et nous avons injecté des plateaux de tables de jardin. Les essais ont été menés avec du polypropylène renforcé de 30% de fibres longues. Le mode opératoire se déroule de la manière suivante:

• Après avoir déterminé les paramètres de fonctionnement de la presse, nous effectuons une vingtaine de moulées après lesquelles nous supposons avoir alors atteint un régime d'équilibre.

M. Moguedet

- 42 -

• Nous arrêtons les injections, et nous abaissons la température de tous les colliers chauffant 200°C, température offrant un compromis qui limite la fonte de la matière solide restante, tout en évitant que la matière ne se fige à l'intérieur du fourreau.

• Sur ce type de presse, après avoir reculé l'ensemble vis-fourreau, il est possible de le faire pivoter afin de faciliter l'extraction de la vis. Cette dernière est alors désolidarisée du bloc moteur, et il devient possible de l'extraire. C'est l'étape la plus difficile, et il faut être particulièrement prudent, puisqu'il est nécessaire de démonter la buse d'injection et le clapet anti-retour avec des outillages brûlants. Cette étape prend environ 30 minutes.

• Au fur et à mesure que la vis sort de son fourreau, nous recueillons la totalité de l'hélice de polymère, en la découpant successivement à chaque pas de vis extrait.

• Au final, nous avons un nombre d'échantillons correspondant au nombre de pas de la vis. Après avoir nettoyé les outillages, la vis est replacée dans son fourreau, le clapet anti-retour et la buse d'injection sont fixés et l'unité de plastification est ramenée dans sa position initiale, prête à injecter.

Au cours de ces expériences, nous avons récupéré la totalité du polymère présent dans les différentes zones du procédé, depuis les granulés à peine fondus de la zone d'alimentation jusqu'à la pièce moulée, en passant par la matière accumulée devant le clapet anti-retour. Le but est de pouvoir analyser quels sont les endroits critiques de la dégradation des fibres.

Fig. 28: Extraction de la vis et apparition de l'hélice de PP chargé fibres longues dans le chenal.


- 43 -

Il est à noter que lors de ces expériences nous n'avons malheureusement pas pu différencier les deux phases du polymère dans le chenal de la vis. En effet, la matière demeurant encore solide juste après la dernière moulée fond par conduction pendant le temps que nous mettons à démonter les outillages. De plus, l'extraction de la vis engendre un repli général de la matière du filet avant vers le filet arrière du chenal. Le peu de granulés solides qui reste dans les premiers tours est alors mélangé dans la matière fondue, et il devient impossible de distinguer les limites entre le lit solide, le film fondu et la poche de fondu. Pour y remédier, il est nécessaire de refroidir très rapidement le fourreau juste après la dernière moulée, et d'utiliser un fourreau qui puisse s'ouvrir, comme celui mis en oeuvre par Edmonson et- Fenner en 1975 [34], où d'extraire la vis du fourreau avec la matière figée à l'intérieur comme Maddock [11], au risque de détériorer les outillages, voire même de briser la vis. Les paramètres que nous avons choisi d'étudier lors de ces essais ont été la vitesse de rotation de la vis (expérience 2) et la contre-pression (expérience 3), l'expérience 1 étant notre essai référence. Les réglages des trois expériences sont listés dans le tableau Tab. 2.

Expérience Réglages

1 (référence) 2 3 Rotation de la vis (rpm) 28 42 28 Contre-pression (Bar) 5 5 15 Pression sur la matière (Bar) 31 31 93 Débit massique de plastification (Kg/h)

216 261 163

Temps de cycle (s) 96 106 119 Temps de dosage (s) 68 45 79 Temps de remplissage (s) 9,6 9,6 9,6 Temps de maintien (s) 3,7 3,7 3,7 Temps de refroidissement (s) 66 75 75

Tab. 2: Réglages et paramètres de la presse pour les trois expériences.

Les premières observations concernent l'aspect des pièces produites. Les pièces 1 et 3 ont un aspect de surface très satisfaisant, et les fibres sont parfaitement dispersées dans la pièce. La pièce 2 par contre dévoile des amas de fibres n'ayant pas été correctement dispersées, que l'on aperçoit encerclés sur la figure Fig. 29. A 43 rpm, le temps de séjour dans le chenal ne semble donc pas être suffisant pour disperser convenablement les fibres.

M. Moguedet

- 44 -

Fig. 29: Apparition d'amas de fibres non dispersées à la surface de la pièce injectée n° 2, avec 5 bar de contre-pression (sur le vérin) et à une vitesse de rotation de vis de 43 rpm, soit une fois et demie plus

rapide que pour l'essai référence.

Nous n'avons malheureusement eu ni les moyens financiers pour faire faire des mesures de fibres, ni les compétences de développer dans le temps imparti de nouveaux algorithmes de traitements d'image pour éviter d'obtenir le type d'erreurs obtenues sur les mesures de fibres des essais Plastic Omnium. Nous avons donc gardé la totalité des échantillons prélevés lors de ces essais, et des mesures de longueurs de fibres seront effectuées ultérieurement, pour compléter notre étude.

Afin de faciliter les mesures de longueurs de fibres par les méthodes d'imagerie, nous pensons qu'il serait souhaitable dans un premier temps d'effectuer un premier tri des fibres, à l'aide d'un système de tamisage, comme illustré sur la figure Fig. 30. On utiliserait un tamis par intervalle de longueur de fibre souhaité dans les distributions finales (millimètre par millimètre par exemple, de 12 à 1 mm pour les fibres longues). Afin d'éviter que des fibres longues ne puissent passer par une maille de plus petit diamètre, il suffirait de limiter la hauteur du tamis à 1 mm par exemple, de sorte que les fibres ne puissent pas se redresser.


- 45 -

Fig. 30: Premier tri des fibres par leur longueur

Ces analyses devraient permettre:

• d'identifier l'influence de l'augmentation de la contre-pression. Une contre-pression élevée entraîne des cisaillements et des recirculations importants dans l'écoulement, comme nous le constaterons dans la partie B de cette thèse. Nous nous attendons donc à obtenir un taux de fines considérable et une longueur moyenne des fibres beaucoup plus courte que pour l'essai référence.

• de confirmer le fait qu'une augmentation de la vitesse de rotation entraîne au final des dommages plus conséquents sur les fibres, comme dans les essais menés chez Plastic Omnium,

• et enfin de déterminer le rôle du clapet anti-retour sur la casse des fibres. Nous espérons pouvoir confirmer l'hypothèse évoquée lors des essais chez Plastic Omnium, à savoir que les fibres seraient beaucoup plus longues avant de traverser cet élément.

III.5 Conclusion Dans cette partie de notre travail, nous avons développé un programme qui couple un critère de rupture des fibres avec un modèle de plastification. Le modèle de Tadmor nous permet de connaître l'évolution de l'épaisseur du film fondu et de la largeur du lit de matière solide tout au long de la vis. Le critère de Mittal, que nous avons amélioré en considérant le comportement rhéofluidifiant des polymères et une thermo-dépendance du fluide, prédit la rupture des fibres en flexion, à l'interface solide/liquide, principalement là où la matière est plastifiée. Ce programme nous

φmaille = 12 mm

φmaille = 1 mm

H = 1 mm

M. Moguedet

- 46 -

permet de simuler l'attrition des fibres pendant la plastification, et donne accès directement aux distributions des longueurs de fibres finales ou progressives.

Nous avons comparé nos simulations avec des expériences d'extrusion menées par Gupta et al. Nos résultats se sont avérés très proches de la réalité, ce qui nous permet de confirmer la bonne approche que nous avons adoptée.

Par la suite nous avons étudié l'influence de la température des colliers chauffants, du diamètre de la fibre et de l'indice de pseudoplasticité du polymère sur les distributions finales des fibres. Malheureusement l'influence de la vitesse de rotation de la vis sur les distributions finales des longueurs de fibres ne peut pas être déterminée.

Cela nous a amené ensuite à effectuer des essais à l'échelle industrielle. Nous avons constaté que nos simulations corrélaient correctement le comportement du polypropylène chargé fibres de verre courtes (4 mm).

Cependant, nos prédictions concernent uniquement une population de fibres ayant atteint l'extrémité de la phase de pompage de la vis, et ne considèrent pas le passage des fibres dans le clapet anti-retour. Une étude menée par Haffelner et al. [35] nous conforte dans cette idée puisqu'elle a montré que cette partie de la vis pouvait engendrer une usure supplémentaire des fibres. L'analyse des essais menés chez Engel devrait nous permettre à terme d'identifier plus précisément l'importance de cet outillage, et nous pourrons ensuite comparer ces mesures de longueurs de fibres à nos simulations, que nous avons représentées de la Fig. 31 à la Fig. 36.

Du point de vue industrialisation, nous pensons qu'un tel outil fournit des premières informations et tendances très utiles à la transformation des thermoplastiques chargés fibres, et qu'il devrait être très bénéfique non seulement pour comprendre la sensibilité des multiples paramètres, mais aussi afin de valider ou non l'achat d'une vis.


- 47 -

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 130

20

40

60

80

100


SimulationLn = 1,1 mm

Frac

tion

en

nom

bre

(%)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 130

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100



Taux de fines : 36 %

Frac

tion

en

mas

se (%

)

Fig. 31: Distribution finale en nombre pour l'essai référence: v=28 rpm ; P = 5 bar

Fig. 32: Distribution finale en masse pour l'essai référence: v=28 rpm ; P = 5 bar

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 130

20

40

60

80

100



Frac

tion

en

nom

bre

(%)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 130

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100




Frac

tion

en

mas

se (%

)

Fig. 33: Distribution finale en nombre pour l'essai n°2 : v=43 rpm ; P = 5 bar

Fig. 34: Distribution finale en masse pour l'essai n°2 : v=43 rpm ; P = 5 bar

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 130

20

40

60

80

100



Frac

tion

en

nom

bre

(%)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 130

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100




Frac

tion

en

mas

se (%

)



M. Moguedet

- 48 -

- 49 -

PARTIE B -

DESCRIPTION DES ECOULEMENTS DANS UNE VIS EN PHASE DE

POMPAGE

M. Moguedet

- 50 -

Simulation des écoulements dans une vis en zone de pompage

- 51 -

Chapitre IV : Simulation des écoulements en zone de pompage

L'objectif principal étant de fournir à nos partenaires industriels un outil numérique rapide et simple d'utilisation, il nous a fallu dans un premier temps déterminer la méthode à employer pour effectuer nos simulations. Nous nous sommes naturellement dirigé vers une modélisation analytique des écoulements dans un environnement Matlab, rapide et simple, l'objectif pour nos partenaires n'étant pas d'utiliser des outils numériques existants ni de développer notre propre code de calcul numérique. Nous avons utilisé la simulation numérique par éléments finis dans le seul but de valider nos calculs analytiques.

La méthode de simulation analytique ayant été choisie, seule la description du comportement d'un fluide Newtonien pouvait être étudiée, car c'est le seul moyen de séparer et d'analyser les différentes contributions de l'écoulement, et de les recombiner par la suite. Les résultats qui suivent ont été publiés en 2004 [36]

IV.1 Bibliographie Dans ce chapitre nous allons dresser la bibliographie des modèles et méthodes de résolution concernant les écoulements de fluides newtoniens.

Le comportement de l'écoulement dans le chenal des vis joue généralement un rôle très important lors de la mise en œuvre des polymères. Il peut être décomposé en deux écoulements plus simples, à savoir un écoulement d'entraînement provoqué par la rotation de la vis, et un écoulement en pression engendré par la restriction du chenal à l'extrémité de l'unité de plastification. Dans le cas où il n'y a pas de restriction de chenal, aucune contre-pression n'intervient et le débit de la vis est à son maximum. On est alors en conditions d'écoulement libre. A l'opposé, il est possible de fonctionner à contre-pression maximale, ce qui reviendrait à obturer l'extrémité de l'unité de plastification, sans que la vis puisse débiter. A première vue l'écoulement global semble être très complexe, puisque qu’il apparaît comme étant tridimensionnel avec des parois mobiles. C’est pour cette raison qu’il est courant dans la littérature de recourir à des hypothèses simplificatrices, aboutissant ainsi à une description de l’écoulement pouvant être

M. Moguedet

- 52 -

solvable analytiquement. Ces hypothèses se présentent ainsi, de la plus générale à celles plus spécifiques :

• La première de ces hypothèses considère non pas une vis en rotation dans un fourreau, mais à l’inverse le fourreau tournant autour de la vis. Cette approche permet ainsi de traiter le problème dans des conditions stationnaires. Il a par ailleurs été démontré par Rauwendaal et al. [37] que ce changement de repère n'affectait en rien le statut initial du problème si l'on considère un fluide suffisamment visqueux, comme peuvent l'être les polymères fondus, pour lequel les effets n'inertie sont négligeables.

• L'écoulement en zone de pompage est supposé traverser un chenal de section rectangulaire bidimensionnelle, admis comme étant de pas et de profondeur constants.

• L'écoulement d'un fluide visqueux, incompressible et newtonien, est gouverné par des Equations aux Dérivées Partielles (EDP) linéaires. L'analyse du problème est alors grandement simplifiée puisqu'il devient possible d'étudier séparément les différentes contributions de l'écoulement: d'une part l'écoulement en entraînement (vitesse imposée au fourreau), et d'autre part celui en pression (gradient de pression imposé).

• L'hélicité du chenal est négligée: le chenal est considéré comme étant rectangulaire et droit, au-dessus duquel le fourreau tournant agît comme une plaque qui glisse en continu (cf. Fig. 37). La première composante de la vitesse entraîne le fluide en aval du chenal, alors que l'autre, proportionnelle à l'angle de la vis, engendre une circulation du fluide dans la section du chenal. Cet écoulement secondaire est connu sous le nom de "cavité entraînée", pour lequel la paroi supérieure glisse dans le plan de la cavité, à vitesse constante, tandis que les trois autres parois restent immobiles.

Cette simplification est couramment utilisée et est souvent désignée comme étant un déroulement du chenal. Les EDP régissant la vitesse et la fonction de courant sont résolue dans la section rectangulaire grâce à l'utilisation de séries de fonctions propres. Cette approche constitue la base de toute modélisation analytique de ce type d'écoulement [38], et est référencée sous le nom de Modèle des Plaques Parallèles (PPM).

• Enfin, lorsque le chenal est peu profond, le rapport d'aspect (largeur du chenal divisé par sa hauteur) est grand et les variations suivant la largeur sont négligées. Il devient alors possible de dériver des solutions polynomiales, puisque l'écoulement ne dépend alors uniquement que de la profondeur du chenal. Cependant, les effets locaux créés par la présence de filets ne peuvent plus être pris en compte. Pour se référer à ces solutions, nous les appellerons par la suite solutions polynomiales.


- 53 -

Fig. 37 : Approximations du modèle des plaques parallèles

Les deux derniers points négligent l'hélicité du chenal, c'est-à-dire sa torsion et sa courbure. Il serait alors intéressant d'en tenir compte dans un modèle analytique, puisque même si la profondeur du chenal est habituellement petite comparée au diamètre de la vis ou du fourreau, le pas de la vis a généralement la même valeur que le diamètre du fourreau, donnant une importance a priori non négligeable à l'hélicité du chenal.

Dans le domaine de la mise en œuvre des polymères, plusieurs auteurs ont commencé à prendre en compte la géométrie réelle du chenal. Citons par exemple le travail de Booy [39] qui a proposé le Modèle du Chenal Courbé (Curved Channel Model, CCM), tenant compte de la courbure du chenal, mais pas la torsion ni l'effet des filets de vis.

Plus récemment Yu et Hu [40] ont développé une approche générale basée sur un système de coordonnées curviligne hélicoïdal, mais leurs résultats analytiques ne prennent pas en compte l'influence des filets de vis.

En résumé, il apparaît que jusqu'à présent les solutions polynomiales ont été progressivement modifiées pour prendre en compte la véritable géométrie du chenal de la vis, mais pour l'instant sans que la présence des filets de vis n'ait une influence sur l'écoulement. Il apparaît important de pouvoir travailler sur un modèle analytique incluant l'effet de la torsion et de la courbure du chenal, ainsi que l'influence des filets, quelque soit le rapport d'aspect du chenal rectangulaire.

Il serait dès lors intéressant d'analyser l'importance de ces différentes contributions sur l'écoulement, après validation de celles-ci en les comparant à des simulations numériques tridimensionnelles. Ce sera l'objet de ce chapitre, dans lequel nous décrirons la méthode employée: un développement asymptotique des équations de Stokes selon les deux paramètres géométriques hélicoïdaux, la torsion et la courbure du chenal. Cette méthode est utilisée pour un écoulement stationnaire en

x

y z

Vbz Vbx

Vb

Filet AR

Filet AV

W

H

Plaque mobile(fourreau)

Cœur de la vis

δ

M. Moguedet

- 54 -

entraînement et en pression, dans un repère hélicoïdal curviligne. L'écoulement dans l'entrefer est dans notre cas négligé.

Quelque soit l'ordre en torsion ou en courbure, les solutions des équations harmoniques et biharmoniques dans la section du chenal sont également obtenues grâces à des séries de fonctions orthogonales. D'ailleurs, dans notre travail, le modèle PPM et l'écoulement de cavité entraînée correspondent aux solutions à l'ordre zéro en courbure et en torsion, auxquelles nous devons ajouter les contributions des ordres supérieurs. Afin de pouvoir appliquer notre méthode de perturbation, il est absolument nécessaire de connaître ces solutions analytiques à l'ordre zéro. Le fait d'utiliser ce procédé nous permet de définir précisément les effets spécifiques de la géométrie sur l'écoulement dans un ordre de grandeur réaliste.

IV.2 Développement d'un modèle hélicoïdal Cette méthode de perturbation provient de travaux réalisés en mécanique des fluides puis appliqués au domaine de la mise en œuvre des polymères, notamment sur des écoulements en pression dans des conduites courbées. Ce type de géométrie a suscité un intérêt particulier dès 1927 à travers les travaux de Dean [41]. Germano [42] a proposé ce développement asymptotique dans le but de comprendre la structure des vortex et les changements se produisant dans les écoulements. Mais selon nous c'est Bolinder, en 1996 [43,44,45], qui a développé de façon la plus claire la méthodologie à adopter pour dériver les équations de Navier Stokes dans un système de coordonnées hélicoïdal et non-orthogonal. D'autre part, Thomson et al. [46] ont présenté les techniques permettant de résoudre analytiquement ce genre de problème.

Ce que nous apportons de plus dans notre travail, c'est l'ajout d'un écoulement en entraînement, car jusqu'à présent seuls les écoulements en pression ont été étudiés, impliquant aux vitesses des conditions homogènes aux frontières. L'effet conjugué des écoulements principal et transversal est pour la première fois étudié ici en profondeur. Ces méthodes de perturbations ne sont en aucun cas limitées aux fluides newtoniens, et plusieurs études sur des fluides viscoélastiques ont été menées, dans des conduites courbées de sections circulaires [47, 48, 49] ou elliptiques [50]. Cependant, l'étude des fluides viscoélastiques est limitée aux écoulements en pression ne possédant pas de seconde différence des contraintes normales, pour deux raisons: la première est qu'il n'existe pas à notre connaissance de solutions analytiques décrivant l'écoulement transversal de cavité entraînée pour un fluide viscoélastique. La seconde raison est que s'il était effectivement possible de connaître l'ordre zéro de cet écoulement secondaire, cela empêcherait l'utilisation d'une méthode de perturbation, faisant des


- 55 -

contraintes viscoélastiques des fonctions explicites des gradients de vitesses, au lieu d'aboutir à des solutions pour une équation constitutive viscoélastique différentielle.

Dans le cadre de cette thèse, notre étude se limite aux fluides newtoniens, mais nous avons également appliqué cette méthode de perturbation à l'écoulement secondaire de fluides viscoélastiques dans la section rectangulaire du chenal, et nous avons étudié les effets de la torsion, de la courbure et du rapport d'aspect [36]. Ce chapitre comprendra les sections suivantes:

• Dans un premier temps, nous allons décrire la géométrie de notre chenal hélicoïdal dans la base de Frenet. La comparaison des vis d'injection avec cette géométrie hélicoïdale sera également discutée.

• Ensuite nous exposerons les équations constitutives de conservation dans la base de Frenet. Nous décrirons le développement asymptotique en courbure et en torsion des vitesses et de la fonction de courant, ainsi que les conditions initiales qui lui sont associées.

• Nous expliquerons enfin comment les équations harmoniques et biharmoniques vont pouvoir être résolues, avec des conditions initiales homogènes et non-homogènes, en suivant le travail de Thomson [46] et de Meleshko [51].

IV.2.1 Description de la géométrie hélicoïdale

• Développement Le chenal hélicoïdal sur lequel nous allons travailler est illustré sur la Fig. 38. La fibre neutre du chenal est une hélice de rayon Rh et de pas Ph constants. Le repère de Frenet est construit sur cette courbe. Le vecteur position de cette fibre neutre s'écrit:

Eq. (11) c h r h zr R e P eθ= +

où re , eθ et ze sont les vecteurs unitaires du système de coordonnées cylindriques. La longueur d'arc de cette fibre neutre est définie comme suit:

Eq. (12) 2 2h hs R Pθ= +

et sera utilisée comme coordonnée le long de la conduite. La courbure κ, la torsion τ et l'angle φ de l'hélice valent respectivement:

M. Moguedet

- 56 -

Eq. (13) ( )2 2 2 2 tanh h h

h h h h h

R P PR P R P R

κ τ φ= = =+ +

Fig. 38: Chenal hélicoïdal rectangulaire représenté dans la base de Frenet

Nous définissons ensuite, dans la base de Frenet, la tangente T , la normale N et la bi-normale B :

Eq. (14)

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

cos sin

sin cos

z

r

z

T s e e

N s e

B s e e

θ

θ

φ φ

φ φ

= +

= −

= − +

Maintenant, en utilisant ce repère, le vecteur position d'un point quelconque dans la conduite peut être écrit sous la forme:

Eq. (15) ( ) ( ) ( ) ( ), , cr s x y r s xN s yB s= + +

Les axes de coordonnées x et y ont dans notre cas été choisis de sorte que la section du chenal reste continuellement parallèle à N , quelque soit l'endroit où elle se trouve dans la conduite.

2W

yx

B

N

T

2 hPπ

2HhR

z

θ


- 57 -

Le diamètre hydraulique Dhy d'une section rectangulaire de largeur W et de hauteur H est donné par la relation:

Eq. (16) 2

hyHWD

H W=

+

En utilisant cette valeur, combinée à celles de la courbure et de la torsion (Eq. (13), nous déterminons quatre nombres adimensionnels qui vont caractériser la forme de notre chenal: la courbure ε, la torsion α, l'angle de l'hélice (φ) et le rapport d'aspect λ.

Eq. (17) ( ). . tanhy hyWD DH

αε κ α τ φ λε

= = = =

• Géométrie des vis dédiées à la transformation des polymères Notre travail est destiné initialement à la description des écoulements lors de la mise en œuvre des polymères, bien qu'il puisse être utilisé pour obtenir des résultats plus généraux. Ainsi, dans la zone de pompage des vis d'extrusion ou d'injection, le chenal est généralement peu profond, et la valeur du pas est souvent proche de celle du diamètre. Des données typiquement utilisées pour les vis en zone de pompage sont présentées dans le Tab. 3.

Dimensions caractéristiques Zone de pompage

d'une vis d'après [6] VISIOVIS (Cf. Chapitre V :)

Diamètre du fourreau Db 120 mm 40 mm Diamètre du noyau de la vis Ds 110 mm 30 mm Pas 2πPh 120 mm 40 mm Profondeur de chenal H 5 mm 5 mm Largeur de chenal W 109 mm 34,6 mm Angle de la vis (à mi-hauteur dans le chenal) φ 18,37 ° 19,9 °

Rapport d'aspect λ 21,8 21,8 Courbure ε 0,15 0,44 Torsion α 0,05 0,16 Tan(φ) α/ε 0,33 0,33

Tab. 3: Valeurs caractéristiques de la zone de pompage d'une vis classique et de notre vis expérimentale.

M. Moguedet

- 58 -

Dans ce type de vis, la section du chenal conserve une orientation radiale, c'est-à-dire qu'elle reste alignée avec le vecteur N (Cf. Fig. 38).

Si l'on impose un pas de vis constant, cela signifie que l'angle de la vis ainsi que la largeur du chenal varient avec le rayon [6]. Par conséquent, le chenal n'est donc pas rectangulaire. L'erreur faite en considérant une section rectangulaire correspond à la différence de largeur de chenal, entre celle prise au fourreau et celle prise au niveau du cœur de la vis. Il s'avère que cet écart n'apparaît qu'à l'ordre 3 du rapport α/ε., et diminue lorsque le rapport d'aspect augmente. Nous avons déduit qu'il était suffisamment faible pour ne pas influer sur les résultats finaux.

IV.2.2 Equations de conservation

• Equations de Stokes L'écoulement d'un fluide visqueux est décrit par les équations de Stokes, développées ici dans le repère de coordonnées curviligne de Frenet, en suivant le travail de travail de Bolinder [43]

Comme nous l'avons précisé auparavant, deux écoulements doivent être considérés: un écoulement en pression et un en entraînement. Chacun d'eux sera subdivisé en deux autres écoulements: un premier qualifié d'écoulement principal ou longitudinal, dirigé vers l'aval du chenal et agissant directement sur le débit de la vis, ainsi qu'un deuxième, dit écoulement secondaire ou transversal, orienté dans le plan de la section du chenal et entraînant le fluide dans des mouvements de recirculations. Ce dernier influe grandement sur le mélange et les temps de séjour dans le chenal.

Les équations ont été adimensionalisées par rapport au diamètre hydraulique Dhy. En ce qui concerne l'écoulement en pression, la vitesse moyenne dans une conduite droite et rectangulaire a été choisie comme vitesse de référence, alors qu'il convenait mieux d'utiliser la vitesse de rotation du fourreau, Rbω, (avec ω vitesse angulaire de rotation) comme vitesse de référence de l'écoulement en entraînement.

Le champ des vitesses, inconnu pour l'instant, est noté:

Eq. (18) V wT uN vB= + +

w correspond à l'écoulement débitant, alors que u et v sont les composantes

définissant l'écoulement transversal. Le fait d'avoir choisi un repère curviligne nous permet d'obtenir les relations suivantes pour un écoulement stationnaire dans une géométrie hélicoïdale:


- 59 -

0w u v Pet Gps s s s

∂ ∂ ∂ ∂= = = =∂ ∂ ∂ ∂

Gp est la chute de pression imposée au fluide dans le cas d'un écoulement en

pression, mais restant nul pour l'écoulement en entraînement. L'équation de continuité, dans le cas d'un écoulement stationnaire développé, permet de définir une pseudo fonction de courant ψ:

( )( ) ( )( )1 1 0x u yw x v xwx y

ε α ε α∂ ∂− + + − − =∂ ∂

Eq. (19) 1 1

1 1u yw et v yw

x y x xψ ψα α

ε ε⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞= − = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ∂ − ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

Le mouvement du fluide incompressible est alors décrit par l'équation:

( ).rot rot 0P Vµ−∇ − = Dans notre système de coordonnées curviligne et non-othogonal, cette relation engendre trois équations aux dérivées partielles, notée ici avec des indices:

Eq. (20) ( )( ) ( )( )rot

j l ki ijk j mklj l m

VP g g rot V ex x

µε⎛ ⎞∂∂ ⎜ ⎟− − −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

sachant que ( )1 2 3, ,x x x se réfèrent à ( ), ,s x y , et les seuls termes non nuls restant sont:

211 121

321 231

e ee e

εα

= − == − =

alors que le tenseur métrique g vaut:

11 1 1

0 0 00 0 0

x x xg

αε αεε ε ε

⎛ ⎞−⎜ ⎟− − −⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

M. Moguedet

- 60 -

Les détails de calcul tensoriel proviennent du travail de Bolinder [43], travail dans lequel cette analyse du système de coordonnées curviligne de Frenet détaillé plus en profondeur.

w et ψ sont les principales inconnues que nous avons choisi, et les deux

équations aux dérivées partielles les décrivant sont obtenues en retirant Px

∂∂

et Py

∂∂

dans l'équation Eq. (20) par une de dérivation croisée, puis en insérant la définition de u et v lorsqu'ils apparaissent. Cette étape, relativement lourde à effectuer manuellement, a été menée grâce au logiciel de calcul mathématique Mupad [52]. Nous présentons ci-après les EDP pour la composante de vitesse w et la fonction de courant ψ, jusqu'au second ordre en torsion et en courbure.

Eq. (21)

2 2 22

2 2

2 2 2

2 2 2 2 22 2 2 2 2

2 2 2

5 6

2 3 4 4

5 10 15

2 2 2

p p

p

ww G xG x wx

x y x x y xy xx y x x y x y y x

ww x x G x wx

w w w w w w wx y xy x y x yx y x y x x y

ε

ψ ψ ψ ψα ψ ψ εα ψ ψ

ε

α

∂⎛ ⎞∆ = − + + + ∆⎜ ⎟∂⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ ∆ + ∆ + + − + − ∆ − ∆⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∂⎛ ⎞+ − − − ∆⎜ ⎟∂⎝ ⎠

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − − + − − − −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

( )2

p qO avec 3

y

p qα ε

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ + ≥

Eq. (22)

( )

4 4

2 2 22

2 2

22 2 4

2

2 4 4 42 2 2 2 2

4 2 2

5 2

4

4 5 18 17 5

10 8 3

2

xx

w x w y wx y

w w w wx w x x y xy wx x x y x y y

x xx x

x y xy y x y xx y x y x x y

ψ ε ψ ψ

α

εα

ψε ψ ψ

ψ ψ ψ ψα ψ ψ

∂⎛ ⎞∇ = ∇ − ∆⎜ ⎟∂⎝ ⎠⎛ ⎞∂ ∂+ ∆ + ∆ + ∆⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − ∆ − − − − ∆⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎛ ⎞∂ ∂+ − ∇ − ∆ −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∂ ∂ ∂ ∆ ∂ ∂ ∂+ ∆ + ∆ + − − + −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

( )4

p qO avec 3

y

p qα ε

⎛ ⎞⎜ ⎟∂⎝ ⎠

+ + ≥


- 61 -

Ces deux équations, combinées avec les définitions de u et v, permettent la description complète des écoulements principal et secondaire dans le chenal, à l'ordre 2 en courbure et en torsion.

• Ecoulement en pression d'un fluide newtonien Dans cette partie nous ne considérons uniquement que l'écoulement en pression. Afin de décrire les inconnues que sont la composante de vitesse axiale, w, et la fonction de courant, ψ, nous utilisons un développement en série, en puissances de α et de ε jusqu'à l'ordre 2:

2 22 2

0w w w w wε ε α

α εα

ε ε αψ αψ εαψ

= + + + +

= + +

Les termes non nuls obéissent à l'EDP suivante, après avoir identifié tous les termes aux différents ordres dans les équations Eq. (21) et Eq. (22):

Eq. (23) ( )

2

2

0

0

2 00

2 2 22 2 2 20 0 0 0 0

2 2

4

4 0

2

4

2 8 8

p

p

p

p

p

xp

w G

ww G xxw ww G x x wx x

w w w w ww G x y x y x y xy x yx y y x x y x y

G

wG xx x

ε

εε

α αα

α

αε

ψ ψ

ψψψ

∆ = −

∂∆ = − +∂∂ ∂∆ = − + + +∂ ∂

∂∆ ∂∆ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∆ = − + + + − − + − −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∇ = −

∂∆ ∂∇ = − − +∂ ∂

Dans ce développement, chacun des termes de vitesse et de fonction de courant, pour un ordre en torsion et en courbure donné, dépend du rapport d'aspect de la section du chenal.

Concernant cet écoulement en pression, nous remarquons que le premier terme des relations Eq. (23), 0w∆ , est le seul que le modèle PPM peut résoudre, et que par conséquent ce modèle ne peut pas prédire l'influence de l'écoulement transversal lorsque un gradient de pression est appliqué au fluide.

Remarquons également qu'il n'y a pas d'effet au premier ordre de la torsion α sur l'écoulement longitudinal, ni d'influence spécifique de la courbure sur l'écoulement

M. Moguedet

- 62 -

secondaire, excepté celui combiné avec la torsion. Lorsque l'on regarde le terme wε∆ on observe que concernant l'écoulement en pression, le premier ordre en courbure doit être négligeable et n'aura aucun effet sur le débit. On peut donc en conclure, comme le fait Bolinder [43], que la relation entre le débit et les pertes de charge ne sera affectée que par les termes d'ordre 2 en courbure et en torsion.

Notons enfin que nous choisirons la vitesse moyenne dans la conduite droite

0w comme étant la vitesse de référence pour l'écoulement en pression dans la cavité

entraînée.

• Ecoulement en entraînement d'un fluide newtonien En ce qui concerne l'écoulement en entraînement, il n'y a pas de pertes de charges à imposer puisque l'écoulement est créé par le déplacement de la paroi supérieure, qui matérialise le fourreau de rayon Rb, tournant à une vitesse angulaire ω. La condition limite sur la vitesse de l'écoulement en rotation, dans la base de Frenet, est:

tancos tan

bb z

b bb

V e r

V R T B y NR

ω

φω φ φ

= ∧

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

Si nous prenons cosb bw R ω φ= comme vitesse de référence, nous obtenons une vitesse de fourreau adimensionnelle:

Eq. (24) tan

bb

V T B y NR

α φε

= − −

Le champ de vitesses induit par les deux premiers termes de l'équation Eq. (24) ci-dessus sont pris en compte par le modèle PPM. Le dernier terme provient du fait que nous avons correctement défini l'orientation de la section du chenal utilisée dans le système de coordonnées hélicoïdal. Ce nouveau terme permet, du point de vue de la section (Cf. Fig. 37), d'un côté la limite de la section remonte lorsque le fourreau tourne, alors que de l'autre côté elle descend.

A partir de l'équation Eq. (24) nous pouvons formuler les conditions sur les premières inconnus, à savoir w et ψ :

Eq. (25) 3

21w v u yα ααε ε

⎛ ⎞= = − = − + +⎜ ⎟

⎝ ⎠


- 63 -

Le dernier terme se réfère au développement asymptotique de tan

bRφ en courbure et en

torsion adimensionnalisées. A partir des définitions de u et de v (Cf. Eq. (19)), on en

déduit les conditions limites au fourreau pour xψ∂

∂ et

yψ∂

∂ :

Eq. (26) xψ α

ε∂ =∂

yyψ β∂ =

∂

où β est un développement dans lequel le terme prépondérant est à l'ordre 3

2

αε

.

La méthode de perturbation va être cette fois ci appliquée selon les équations de Stokes (Eq. (21) et Eq. (22)), et les conditions aux limites non nulles (Eq. (25) et Eq. (26)). Ainsi le développement asymptotique de w et de ψ peut à présent être élargit aux termes d'ordre α/ε :

2 2

22

0d /

/ d

w w w w wε ε α ε

α ε β α

αε εε

αψ ψ βψ αψε

= + + + +

= + + +

• Ecoulements principal et secondaire en entraînement Il existe un écoulement principal créé par la composante longitudinale de la vitesse au fourreau, et qui débute dès l'ordre 0. Les termes non nuls sont les mêmes que pour l'écoulement en pression et obéissent aux mêmes EDP, mais cette fois sans gradient de pression Gp. Ainsi, pour l'écoulement principal à l'ordre 0 nous avons 0d 0w∆ = avec comme condition limite non nulles au fourreau ( )0d , 1bw x y = .

Le premier terme non-nul spécifique à l'écoulement en entraînement obéit à l'EDP suivante:

2 / //w x y

x yα ε α εα ε ψ ψ∂ ∂∆ = ∆ + ∆∂ ∂

Nous pouvons observer que un écoulement débitant wα²/ε est généré simplement par l'écoulement de cavité entraînée. Attardons-nous maintenant sur l'écoulement provoqué par la composante tangentielle de la vitesse au fourreau, vB , à l'ordre α/ε. C'est ce que l'on appelle l'écoulement de cavité entraînée, dans laquelle la fonction de courant obéit à une équation

M. Moguedet

- 64 -

biharmonique, avec une condition limite non nulle sur la composante de vitesse au fourreau:

Eq. (27) ( ) ( )4 / // b b0 , 1 , 0x y x y

x yα ε α ε

α εψ ψψ ∂ ∂∇ = = =∂ ∂

Cet écoulement a été souvent étudié par le passé, en témoigne l'étude menée par Meleshko [51], ainsi que travail de Joseph et Sturges [53] et celui de Shankar [54]. Cependant, cette solution reste seulement le premier terme du développement asymptotique de la pseudo fonction de courant, et elle doit par conséquent être complétée afin de mieux rendre compte de l'effet de la courbure et de la torsion du chenal sur l'écoulement en entraînement.

Nous complétons cette solution en ajoutant une contribution provenant de la vitesse normale au fourreau, à l'ordre β, que nous pouvons définir en suivant l'équation biharmonique et les conditions aux limites suivantes:

( ) ( )4b b0 , 0 ,x y x y y

x yβ β

β

ψ ψψ

∂ ∂∇ = = =

∂ ∂

De plus, un autre terme apparaît au premier ordre en torsion α, mais créé par la courbure du chenal, et avec des condition limites nulles :

4/2

xα α εψ ψ∂∇ = − ∆∂

IV.2.3 Techniques de résolution des équations L'ensemble des équations harmoniques et biharmoniques résultant du développement asymptotique décrit dans le paragraphe précédent est résolu en utilisant des techniques de séparations de variables et de fonctions propres. Nous devons différencier ici deux cas bien distincts, avec d'un côté l'écoulement en pression qui présente des conditions limites homogènes sur la vitesse, à toutes les parois, alors que de l'autre côté l'écoulement en entraînement n'a pas de gradient de pression mais produit au moins une composante de vitesse non homogène sur une paroi. Le premier cas a été entièrement résolu par Thomson et al. [46], alors que pour le second Meleshko [51] a récemment proposé une solution efficace basée sur une méthode de superposition de deux séries de fonctions propres orthogonales. Afin de simplifier la présentation de ces solutions, les conditions limites qui ne sont pas précisées sont considérée comme nulles.


- 65 -

• Changement de variables

Les équations harmoniques et biharmoniques seront encadrées entre 12

− et 12

, car

nous utilisons un changement de variables, en lassant de xdim et ydim à xrscl et yrscl:

Eq. (28) dim12 rsclx xλλ

+= dim1

2 rscly yλ+=

Nos opérateurs harmoniques et biharmoniques peuvent à présent être définis sous la forme:

Eq. (29) 2 2

22 2x y

λ ∂ ∂∆ = +∂ ∂

4 4 4

4 4 24 2 2 42

x x y yλ λ∂ ∂ ∂∇ = + +

∂ ∂ ∂ ∂

Ceci va nous permettre de réutiliser les mêmes fonctions orthogonales propres sans se soucier du rapport d'aspect de la section du chenal. A partir de maintenant, sauf si nous le précisons, xrscl et yrscl seront notés simplement x et y.

• Ecoulement en pression Comme nous l'avons vu dans les paragraphes précédents, l'écoulement en pression engendre des problèmes harmoniques et biharmoniques avec des conditions aux limites homogènes.

Equation harmonique: composante de vitesse w Pour ce qui est de l'écoulement débitant, après avoir changé de variable nous avons la relation suivante:

Eq. (30)

( ) ( )21

, ,4

1 1, 0 , 02 2

w f x y

w y w x

λλ

+∆ =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞± = ± =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

où f peut être l'une des définitions des différentes composantes de w∆ aux

différents ordres dans les expressions Eq. (23).

M. Moguedet

- 66 -

Ces problèmes peuvent se résoudre en utilisant la superposition de deux séries de fonctions propres orthogonales sinus et cosinus, suivant la parité (pair ou impaire) de w, définit elle-même par la parité de la fonction f dans le problème Eq. (30) ci-dessus. Ces fonctions propres, leurs valeurs propres et leurs propriétés sont décrites dans le tableau Tab. 4.

Fonctions propres Equation Conditions

à 12

t = ± Parité Valeur propre

( ) cosh coscosh / 2 cos / 2

k kk

k k

t tC t σ σσ σ

= − 4ivk k kC Cσ= ' 0k kC C= = Paire

tanh2

tan 02

k

k

σ

σ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) sinh sinsinh / 2 sin / 2

k kj

k k

t tS t µ µµ µ

= − 4ivk k kS Cµ= ' 0k kS S= = Impaire

tanh2

tan 02

k

k

µ

µ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )cos cosk kt tγ=

" 2cos cosk k kγ= − cos 0k = Paire ( )2 1k kγ π= −

( ) ( )sin sink kt tη=

" 2sin sink k kη= − sin 0k = Impaire 2k kη π=

Tab. 4: Fonctions propres utilisées dans la solution de w et ψ pour l'écoulement en pression

Ainsi, par exemple, la vitesse peut s'exprimer de la façon suivante:

( ) ( )cos sinij i ji j

w d x yγ η∞ ∞

=∑∑

Afin de calculer chacun des termes dij, l'opérateur harmonique est appliqué à la relation précédente, puis intégré à la fonction propre orthogonale appropriée:

( ) ( ) ( ) ( )2

1/ 2 1/ 2

2 2 2 1/ 2 1/ 2

14 , , cos sin4 i j

i j

dij f x y x y dxdyλ

λ γ ηλ γ η

+ +

− −

+−= ×+ ∫ ∫


- 67 -

Equation biharmonique: pseudo fonction de courant ψ Dans ce problème, nous obtenons de la même manière, après avoir changé de variable:

( ) ( )4

4 1,

161 10 si ou2 2

f x y

x yx y

λψ

ψ ψψ

+∇ =

∂ ∂= = = = ± = ±∂ ∂

Dans ce cas précis, une autre classe de fonctions propres orthogonales doit être utilisée, plus appropriée au problème biharmonique, à savoir les fonctions C et S décrites dans le tableau Tab. 4. Ces fonctions ont été proposées en 1958 par Reid et Harris [55]. Ainsi, ψ peut s'exprimer sous la forme de doubles séries infinies de fonctions propres:

( ) ( )ij i ji j

D C x S yψ∞ ∞

=∑ ∑

et l'opérateur biharmonique est dans un premier temps appliqué à la solution sous cette forme, mais ici la détermination directe de chaque coefficient n'est pas possible, à cause du fait que les dérivées seconde de C ou de S ne sont pas orthogonales aux autres fonctions propres. Il en résulte un système linéaire infini qui doit être tout d'abord tronqué en un nombre fini de termes, puis résolu numériquement avec Matlab.

Produit scalaire des fonctions propres 1/ 2

1/ 2,f g fg dt

+

−= ∫

1cos ,cos2k l klδ= ,k l klC C δ=

1sin ,sin2k l klδ= ,k l klS S δ=

sin ,cos 0k l = , 0k lS C =

Tab. 5: Propriétés d'orthogonalité

M. Moguedet

- 68 -

• Ecoulement en entraînement

Ecoulement de cavité entraînée Le changement de variables est également appliqué aux équations régissant

l'écoulement secondaire ( ), ,u v ψ provoqué par la composante Bαε

− de la condition

limite au fourreau tournant sur la vitesse:

Eq. (31) 4

/ 0α εψ∇ =

Eq. (32) / 1 1,2 2

yxα εψ λ

λ∂ +⎛ ⎞− =⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

Eq. (33) / /1 1, 0 , 0

2 2y et x

x yα ε α εψ ψ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ± =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

avec toutes les autres conditions limites sur ψ ou ψ∇ valant zéro. Ce problème biharmonique, dans lequel seulement les conditions limites normales au fourreau sont non nulles, peut se résoudre en suivant la méthode de Meleshko présentée dans plusieurs publications récentes [51,56,57,58]. La résolution est basée sur une séparation des variables et sur la superposition de deux séries de Fourier, valable

quelque soit la condition limite normale aux parois 1 1, et ,2 2

y xx yψ ψ⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞± ±⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

tout

en assurant que les autres conditions limites sont toutes nulles. Grâce au fait que le problème soit linéaire, la contribution des conditions limites normales peut être séparée en termes pairs et impairs. Ces fonctions spécifiques sont représentées dans le tableau Tab. 6. Il est à noter qu'à cause du changement de variables, le terme ak doit être divisé par λ lorsque t représente x, alors que ak est multiplié par λ lorsque t représente y.

Fonctions propres Conditions à 12

t = ± Parité

( ) coth / 2 sinh cosh,2 sinh / 2 sinh / 2

k k kk

k k

a a t a tP a t ta a

= −

0

Impaire

( ) tanh / 2 cosh sinh,2 cosh / 2 cosh / 2

k k kk

k k

a a t a tQ a t ta a

= −

0

Paire

Tab. 6: Fonctions utilisées dans la solution de ψ dans l'écoulement de cavité entraînée


- 69 -

Dans ces circonstances, la partie paire du problème (Eq. (31)) engendre une fonction de courant impaire en x et en y:

( ) ( )/1 1, , cos , sin

i ii

i i j j ji ji j

x y X P x y Y Q y xα εγψ γ η λ η

γ λ η

∞ ∞− −⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑

Les coefficients Xi et Yj font partie d'un système infini d'équations linéaires, obtenu tout d'abord en écrivant les conditions limites normales au fourreau Eq. (32) Eq. (33):

Eq. (34)

( )

1

2

1 1,2

1coth cos2 2 sinh / 2

1 1,2 2

i

ii i

i ii

i

j jj

y Xx

y

Y Q y

ψγ

γ γ γλ λ γ λ

λη λλ

+∞

∞

∂ −⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

⎛ ⎞× −⎜ ⎟⎝ ⎠

++ =

∑

∑

Eq. (35)

1

2

1 1,2

1tanh sin2 2 cosh / 2

, 0

j

jj j

j jj

j

ii

i

x Yy

x

X P x

ψη

η λ η λη

η λ

γλ

+∞

∞

∂ −⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

⎛ ⎞× +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

∑

Ensuite, le système est obtenu en intégrant les équations Eq. (34) et Eq. (35) sur cosl ou sin l de la façon à obtenir:

( )( )( )

21

22 22

41 1 1coth 1 ,cos2 2 2 sinh / 2 2

ll jl ll j l l

jll j

X Y yγ η λγ γ λγ γ

λ λ γ λ λγ η λ

∞+⎛ ⎞ +− + = −⎜ ⎟

⎝ ⎠ +∑

( )( )( )

21

22 22

4 /1 1tanh / 2 1 0,sin2 2 cosh / 2 /

lj l jj j i l l

ijl j

Y X xη λ η γ λ

η λ η ηη λ η γ λ

∞+⎛ ⎞

+ + = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ +

∑

M. Moguedet

- 70 -

Ce système doit finallement être tronqué afin de le résoudre. Une étude complète sur la convergence de ces systèmes est décrite dans le travail de Meleshko [51].

L'écoulement secondaire à l'ordre β est également décrit par un problème biharmonique, mais cette fois avec des conditions limites tangentielles non-nulles:

Eq. (36) 4 0βψ∇ =

Eq. (37) ( )211 ,2 4

y yy

βψ λ∂ +⎛ ⎞− =⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

Eq. (38) / 1 , 0

2y

xα εψ∂ ⎛ ⎞− =⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

Nous pouvons supprimer ces conditions limites tangentielles en introduisant une fonction polynomiale auxiliaire ψpol qui satisfait à ces conditions, alors que l'utilisation d'une seconde fonction auxiliaire doit elle satisfaire la nouvelle condition limite normale créée par la fonction polynomiale ψpol. Ce second problème biharmonique peut être entièrement résolu de la même manière que précédemment, et l'on obtient:

( )

( )

1

22

4

2

1 18 4 2

0

11 ,2 4

pol

pol

pol

pol

x x y

y yy

βψ ψ ψ

λψ

ψ

ψ λ

= +

+ ⎛ ⎞⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∇ =

∂ +⎛ ⎞− =⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

Ecoulement principal en entraînement La vitesse w0d créée par le mouvement du fourreau le long d'un chenal rectangulaire a été résolu par Tadmor en 1979 [38]. Nous avons appliqué notre changement de variable et séparé les conditions initiales en contributions paires et impaires, afin de continuer à utiliser nos fonctions propres cosk et sink dans les applications suivantes:


- 71 -

( )

0d

0d

1

0d

01 12

1 cosh / sinh /2 coscosh / 2 sinh / 2

ii i

ii i i i

w

w y

x xw yγ λ γ λ γγ γ λ γ λ

+∞

∆ =

⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

− ⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

IV.3 Résultats Nous allons dans cette section exposer les premiers résultats obtenus grâce à notre modèle. Nous ferons des comparaisons avec des simulations numériques tridimensionnelles. Les résultats seront séparés en fonction du type d'écoulement et de l'effet hélicoïdal étudié, comme décrit dans le tableau Tab. 7.

Ecoulement Direction Perturbations Longitudinal w 20d d /

, ,w w wε α ε Entraînement

Transversal ψ / d, ,α ε β αψ ψ ψ Longitudinal w 2 20 , , ,w w w wε ε α

Pression Transversal ψ ,α αεψ ψ

Tab. 7: Termes de la perturbation étudiés

Pour chaque type d'écoulement, nous considérerons l'écoulement principal (débitant), pour lequel les contours de vitesses peuvent être tracés, alors que pour l'écoulement secondaire nous représenterons le champ des vecteurs dans le plan de la section du chenal. Les différents termes qui ont été calculés dans notre étude sont listés dans le Tab. 7.

Nous allons examiner dans cette partie l'effet de la courbure et de la torsion du chenal, séparément puis combinés à différents ordres. Les géométries où l'on rencontre uniquement de la courbure, uniquement de la torsion ou les deux ensemble sont représentées sur la Fig. 39. Les effets purement en courbure et en torsion, au premier ordre, vont être les plus dominants dans le chenal hélicoïdal, la première contribution spécifiquement hélicoïdale intervenant à l'ordre αε.

M. Moguedet

- 72 -

Fig. 39: Conduites toroïdale (ε), hélicoïdale (α et ε) et tordue (α)

Ces simulations numériques ont été effectuées à l'aide d'une station de travail DEC alpha 500u, sur le logiciel de calcul Fluent Polyflow [59]. Polyflow est un code de calcul par éléments finis destiné à l'étude des polymères fondus. La paire d'éléments finis permettant d'intégrer la vitesse et la pression est appelée "mini-élément". Elle combine une pression constante avec une interpolation quadri-linéaire de la vitesse aux nœuds des mailles, augmentée par une interpolation quadratique uniquement pour les composantes normales de la vitesse [60]. Ce couple est le plus simple satisfaisant ces conditions pour des méthodes par éléments finis mixtes.

IV.3.1 Ecoulement en pression

• Ecoulement principal Commençons par analyser l'effet séparé de la courbure et de la torsion du chenal sur la vitesse débitante, illustrée sur la figure Fig. 40, où nous avons représenté les isovaleurs de w dans une section carrée (λ=1) puis dans une section rectangulaire (λ=2 ; 0,5). Nous constatons que la courbure du chenal engendre un décalage de la vitesse maximale du centre vers la paroi interne de la courbe. Cet effet est relativement important car sous un gradient de pression, le fluide s'écoulera plus rapidement le long du chemin le plus court, proche de l'intérieur de la courbe. L'effet de la courbure s'accroît lorsque le chenal est plus profond (Cf. Fig. 40 [b] et [e]). Nous avons comparés ces contributions avec les calculs d'éléments finis. Ainsi, le décalage de la vitesse maximale est bien visible sur la figure Fig. 41, en prenant en compte l'ordre 2wε , visiblement nécessaire pour corréler parfaitement nos calculs avec la simulation numérique, pour cette géométrie de section (λ=0,5 et ε=0,66). La courbure, à l'ordre 2, semble favoriser le débit lorsque le chenal est profond (Cf. Fig. 42, λ <1), mais n'a pas d'effet si le chenal est peu profond (Cf. Fig. 42, λ >1).


- 73 -

Fig. 40: Ecoulement en pression d'un fluide Newtonien: contours des vitesses 0 0/w w [a, d],

( )22

0 0/w w w wε εε ε+ + [b, e], ainsi que ( )2

20 0

/w w wαα+ [c, f], dans une section de rapport d'aspect 1 [a-c], puis dans une section rectangulaire [d-f]. L'écart entre deux isovaleurs vaut 0,5, et les

vitesses augmentent des parois vers le centre.

Paroi externe Paroi interne x

Paroi externe Paroi interne x Paroi externe Paroi interne x

(a) λ=1

(b) λ=1

(c) λ=1

(d) λ=0,5 ; 2

(e) λ=0,5

(f) λ=0,5 ; 2

Paroi externe Paroi interne x

Conduite droite: ε=0, α=0


Conduite courbée: ε=1, α=0

Conduite tordue: ε=0, α=1

M. Moguedet

- 74 -

Fig. 41: Effet de la courbure du chenal sur w. Comparaison entre la simulation numérique ("plfw",

symboles) et le modèle analytique (lignes) pour ε = 0,66 et λ = 0,5.

L'influence de la torsion sur la vitesse longitudinale n'apparaît qu'à l'ordre 2, et elle se révèle faible pour une section carrée (Cf. Fig. 40 [c]), mais s'intensifie en augmentant le rapport d'aspect de la section (Cf. Fig. 40 [f]). Notons que pour un chenal en torsion pure, les effets entre une valeur de λ et son inverse sont identiques, seule la position de la section change (ce qui n'est pas le cas pour un chenal courbé, puisque dans ce cas la position de la paroi intérieure à la courbe est importante). En analysant les contours de vitesse, on constate simplement qu'ils sont légèrement plus arrondis, et que le contour de la vitesse maximale ne se décale pas vers les parois du chenal comme dans une conduite droite, mais semble au contraire se recentrer. La torsion semble donc restreindre les capacités du fluide à s'écoulement de façon rectiligne, et cela s'avère être au détriment de la vitesse maximale et du débit (Cf. Fig. 42). La relation suivante permet une bonne approximation de cette tendance:

( )2

2

0

124

QQ

α λ+⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠

Les effets de la torsion sur la vitesse débitante augmentent avec le carré du rapport d'aspect. Un exemple explicite est illustré sur la figure Fig. 43, où nous avons

x, y

wT

wplfw, y=0

wplfw, x=0

w0 + εwε + ε²wε², y=0

w0 + εwε + ε²wε², x=0

w0 + εwε, y=0

w, <

w>

0


- 75 -

représenté les contours de vitesses en pression et en entraînement, mais à contre-pression maximale, ce qui correspondrait à obturer l'extrémité de la vis (le débit est nul). Dans ce cas, le contour de la vitesse maximale en pression (négative ici, puisque l'écoulement en pression s'oppose à celui en entraînement) est plus étroit que dans les prédictions du modèle PPM, dans le cas d'un rapport d'aspect λ de 7.

Dans le cas de notre dispositif expérimental Visiovis, la perte de débit causée par la torsion uniquement atteint 6,5% du débit nominal dans une conduite droite.

Fig. 42: Effets de la torsion et de la courbure sur le débit, pour différents rapports d'aspect du chenal, pour l'écoulement en pression.

λ ; 1/λ

Qε² / Q0 ; λ > 1

Qα ²

/ Q

0 ; Q

ε ² /

Q0

Qα² / Q0

Qε² / Q0 ; λ < 1

M. Moguedet

- 76 -

Fig. 43: Contours de la vitesse débitante w, à contre-pression maximale, pour une géométrie type Visiovis: λ=7, α=0,17 et ε=0,52. La prédiction du modèle PPM est à gauche, et celle du modèle

hélicoïdal à droite. La vitesse est maximale au fourreau (w=wb), et la minimale correspond à w=-0,3wb. La différence entre deux isovaleurs consécutives vaut 0,1wb.



- 77 -

Fig. 44: Comparaison entre la simulation numérique (symboles) et notre modèle (lignes), dans le cas d'un écoulement en pression dans une conduite hélicoïdale étroite (λ=5, α=0,17 et ε=0,52), avec la composante de vitesse débitante w en haut, et une de celles dans la section du chenal, u, en bas.

w0 + εwε + ε²wε² + α²wα², x = 0

x

y

Vis

Fourreau

y

w0 + εwε + ε²wε²+ α²wα² ; x = +0,25

w0 + εwε + ε²wε²+ α²wα² ; x = - 0,25

wplfw, x = 0

wplfw, x = - 0,25

wplfw, x = + 0,25

w0, x = ± 0,25w0, x = 0

u, x = 0

uplfw, x = 0

u, x = 0,25

u, x = -0,25

uplfw, x = 0,25

uplfw, x = -0,25

u, y = 0,25

uplfw, y = - 0,25

uα, y = 0,25

x

y

Vis

Fourreau

x,y

w, <

w>

0 w, <

w>

0

M. Moguedet

- 78 -

La figure Fig. 44 présente l'effet combiné de la torsion et de la courbure du chenal. Nous comparons notre model avec le modèle des plaques parallèles (w0), et il s'avère que la courbure semble changer le profil des vitesses dans la section, que la profondeur de chenal testée soit proche (x=0,25) ou non (x=-0,25) de la paroi intérieure de la courbe. La torsion montre encore une fois un profil de vitesse plus étroit si l'on teste une profondeur au milieu du chenal. La diminution du débit atteint ici 3%. Enfin nous pouvons constater que notre modèle concorde parfaitement avec les simulations numériques 3D.

• Ecoulement secondaire Alors qu'il n'existe aucun écoulement secondaire créé par la courbure du chenal, dans le cas d'un fluide newtonien en pression, il en existe un engendré par la torsion, au premier ordre en α, comme l'illustre la figure Fig. 45 [a]. C'est un écoulement impair dans toutes les directions, avec un maximum de puissance dans des coins. Ce graphique est en accord avec de précédents résultats présentés par Bolinder [45].

Il y a aussi une autre influence de la torsion sur l'écoulement transversal, mais due spécifiquement à la géométrie hélicoïdale puisqu'elle apparaît à l'ordre αε (Cf. Fig. 45 [b]). L'intensité de cet écoulement s'accroît avec l'augmentation du rapport d'aspect, comme nous pouvons l'observer sur la figure Fig. 44, où la composante de vitesse u peut atteindre 25% de la vitesse débitante moyenne. En fait, si l'on regarde la définition du changement de variable pour la composante uα, nous avons:

02 1

1 2u w y

yα

αψ λ

λ∂ += −

+ ∂

On en déduit alors que pour grand rapport d'aspect, une contribution majeur

provient du produit 01

2w yλ+ . Cela nous fournit ainsi un moyen simple d'estimer

l'importance de l'écoulement transversal provoqué par la torsion du chenal. Les effets de courbure apparaissent une fois de plus évidents si l'on considère la

différence entre le tracé de la vitesse le long de l'abscisse x=0,25 et celle ou x=-0,25. A l'inverse de u, l'intensité de la composante de vitesse v s'atténue lorsque le rapport d'aspect est grand, et représente moins de 1% de la vitesse débitante moyenne. C'est selon nous la raison pour laquelle il est très difficile d'apporter une corrélation parfaite entre cette composante et les calculs par éléments finis. Nous nous sommes aperçus que des contributions à des ordres supérieurs, que nous avons calculées mais que nous ne présentons pas ici, peuvent être moins importantes que les erreurs induites par la déformation des maillages que nous avons à notre disposition.


- 79 -

Fig. 45: tracé des vecteurs, dans une section carrée, dans l'écoulement secondaire en pression (a,b), en entraînement (c), et pour une combinaison des deux à contre-pression maximale (d).

(a) Vα (b) Vαε

(c) /Vα ε (d) V

x x

x x

y

y y

y

/

Entraînement Pression

Entraînement

Pression

V V GpV

V V V

V V V

α ε β

α αε

α βε

α αε

= −

= +

= +

M. Moguedet

- 80 -

IV.3.2 Ecoulement en entraînement En ce qui concerne l'écoulement en rotation, de la même manière que pour l'écoulement en pression, nous allons le diviser en deux autres écoulements: le premier étant l'écoulement longitudinal, provoqué non plus par un gradient de pression mais par le déplacement de la paroi supérieure du chenal, et le second étant l'écoulement transversal, ou écoulement de "cavité entraînée".

• Ecoulement principal Etudions dans un premier temps le cas de la vitesse débitante, w. Comme nous pouvons le constater sur la figure Fig. 46, courbure et torsion du chenal apportent quelques changements par rapport à la solution du déroulement de chenal adoptée dans le modèle PPM, dans une conduite hélicoïdale de section carrée. Notre modèle se corrèle parfaitement avec les calculs par éléments finis.

Fig. 46: Composante de vitesse w pour l'écoulement en entraînement d'un fluide newtonien dans une géométrie hélicoïdale (λ=1, α=0,25 et ε=0,25). Comparaison entre la simulation numérique ("plfw",

symboles) et le modèle analytique (lignes

w0 + εwε, x = - 0,25

y

w0 + εwε + (α²/ε)wα²/ε, y = 0

wplfw, x = - 0,25

w0, x = - 0,25

w0 + εwε, y = 0

wplfw, y = 0w0, y = 0

w0 + εwε + (α²/ε)wα²/ε, y = - 0,25

yxVisFourreau

w /

wb


- 81 -

Cependant, les différences observées n'ont pas énormément d'effet sur le débit (Cf. Fig. 47), en particulier si l'on considère de grands rapports d'aspects. Ceci est confirmé si l'on observe le contour des vitesses débitantes entre le modèle PPM et le nôtre (Cf. Fig. 43), lorsque l'écoulement en pression et celui en entraînement sont combinés, à contre-pression maximale. Indéniablement, le changement le plus radical intervient dans la région où domine l'écoulement en pression (la plus éloignée de la paroi mobile). Cependant, il existe quelques différences entre les contours de vitesses si l'on est très proche des parois latérales (filets), là où la contribution de wα²/ε est la plus élevée.

Fig. 47: Effets de la torsion et de la courbure sur le débit, pour différents rapports d'aspect du chenal, pour l'écoulement en entraînement.

• Ecoulement secondaire La structure de l'écoulement transversal est dominée par l'écoulement de cavité entraînée /V α ε représenté sur la figure Fig. 45 [c]. Alors qu'avec le modèle PPM il n'est pas possible de prédire un écoulement secondaire en pression, ce graphique est également valable quelques soient les conditions de contre-pression, en l'occurrence à contre-pression maximale sur la figure. Si on le compare maintenant à notre modèle, (Cf. Fig. 45 [d]), outre le fait que les vitesses normales au fourreau apparaissent si

λ, 1/λ

Qε d /

Q0d

Qε ²

d /

Q0d

Qα ²

/ε /

Q0d

Qεd / Q0d ; λ > 1

Qε²d / Q0d ; λ > 1

Qα²/ε / Q0d ; λ > 1

Qα²/ε / (10Q0d) ; λ < 1

Qεd / Q0d ; λ < 1

Qε²d / Q0d ; λ < 1

M. Moguedet

- 82 -

l'on utilise une géométrie véritablement hélicoïdale, il se manifeste tout de même quelques différences.

Par contre, si le rapport d'aspect est important comme dans la géométrie de la Visiovis (Cf. Fig. 48). Il y a une différence considérable entre l'approche du modèle PPM (à gauche) et la nôtre (à droite), où l'intensité de composante de vitesse normale au fourreau est très élevée et a un impact important sur l'allure de l'écoulement au voisinage du fourreau. De plus, cet écoulement secondaire, créé par l'association de l'écoulement en pression et de l'hélicité du chenal, se révèle être important près du cœur de la vis (à droite sur la Fig. 48).

Fig. 48: Tracé des vecteurs vitesse dans l'écoulement secondaire combiné en pression et en

entraînement, pour une contre-pression maximale et pour une géométrie type Visiovis (λ=7, α=0,16 et ε=0,52)

En traçant le profil des vitesses transversales à plusieurs profondeurs dans le chenal (Cf. Fig. 49), nous observons encore une fois une corrélation parfaite entre nos calculs analytique et la simulation numérique 3D, alors que le modèle PPM quant à lui s'en écarte.

y y

VisFourreau

VisFourreau

x x

(a) /Vα ε (b) V


- 83 -

Fig. 49: Composantes de vitesse u et v pour un fluide newtonien en écoulement d'entraînement dans une conduite hélicoïdale (λ=5, α=0,16 et ε=0,52). Comparaison entre la simulation numérique ("plfw",

symboles) et le modèle analytique (lignes)

IV.3.3 Trajectoires En connaissant le champ des vitesses dans la section du chenal, nous pouvons dès lors calculer des trajectoires de particules, en intégrant les vitesses sur le temps. Ainsi, nous avons utilisé la fonction ode113 de l'outil Matlab, qui utilise un solveur de type Adams-Bashforth-Moulton PECE à l'ordre quatre. Cette fonction s'avère être plus précise et moins coûteuse que les autres fonctions ODE. La méthode de Runge-Kutta à l'ordre quatre est également utilisée pour initier la première méthode. La figure Fig. 50 représente les trajectoires de particules insérées à des profondeurs différentes dans le chenal. Le même nombre d’itérations a été fait sur chacune de ces trajectoires, ce qui correspond à observer chacune de ces particules en mouvement pendant un temps donné (22 minutes dans le cas présent, à 1rpm). Les coordonnées dans la section du chenal sont centrées sur zéro, et le fourreau, tournant, est situé au dessus de la conduite (y = -2,5 mm).

u

/ w

b ; v

/ w

b

x, y

vα/ε , x = - 0,4vplfw , x = - 0,4

v , x = - 0,4

uα/ε , x = 0u , x = 0

uplfw , x = 0

vα/ε , x = 0

vplfw , x = 0v , x = 0

vα/ε , y = 0

vplfw , y = 0v , y = 0

yxVis

Fourreau

M. Moguedet

- 84 -

Les particules sont animées d’un mouvement hélicoïdal périodique le long du chenal. Comme on peut l’observer, la vitesse croît lorsque la particule se rapproche du fourreau (caractérisés par l’espacement plus important entre les points). Si l'on change le point d'entrée de la particule, nous constatons que toutes les trajectoires sont concentriques, et qu'il existe en quelque sorte une "fibre neutre", trajectoire rectiligne de la particule dans le chenal pour x=0 et y=-0,85 mm dans le cas présent.

Fig. 50: Influence du point d'entrée d'une particule sur sa trajectoire

La Fig. 51 illustre l'effet de la contre-pression qui s'applique au fluide. Dans le premier cas (cercles bleus), la contre-pression est de 0,12 bar, ce qui correspond à la contre-pression de fonctionnement de la Visiovis à 1 rpm. Nous l'avons déterminée en calculant les pertes de charge lors du parcours du fluide à travers l'extrémité du système vis/fourreau et le passage dans les tuyaux et les coudes. La deuxième trajectoire (ronds rouges) subit une contre-pression deux fois supérieure (0,24 bar), sachant que la contre-pression maximale applicable au fluide, et qui correspondrait à boucher l'extrémité de la vis (débit nul) en continuant la rotation de la vis, vaut 0,36 bar à 1 rpm. On remarque que la particule est considérablement freinée dans sa progression près de la vis, et qu'elle peut même reculer dans le chenal si elle est suffisamment profonde, là où l'écoulement en pression l'emporte sur l'écoulement en entraînement. A l'opposé, on vérifie que l'écoulement en pression devient négligeable

Fourreau

Vis


- 85 -

devant celui en entraînement lorsqu'on est proche du fourreau, n'altérant que très peu la progression de la particule le long de l'abscisse curviligne.

A contre-pression maximale, la particule avance puis recule successivement selon sa profondeur dans les chenal, mais revient toujours par son point de départ. Il existe alors un point d'équilibre pour lequel une particule placée sur la fibre neutre reste parfaitement immobile.

Fig. 51: Influence de la contre-pression sur les trajectoires, pour une représentation dans le repère

mobile de Frenet - Contre-pression de 0,12 bar (fonctionnement à 1rpm) en bleu, et contre-pression de 0,24 bar en rouge, sachant que la contre-pression maximale (débit nul) correspond à 0,36 bar à 1rpm.

Afin de représenter ces trajectoires dans un repère cartésien, nous utilisons les formules de changement de repère suivantes:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2

1 1.cos . .cos . . .sin .sin .

2 21 1

.sin . .sin . . .cos .sin .2 2

1. . .cos .

2

.

Cart h hy hy

Cart h h

Fre

y hy

Frenet

Frenet

FrenCart

net

Frene

eth hy

hy

Fre t

h

e

t

h

n

Z

X R D D

X R D D

Z P D

et DR

X

X

Y

Y

P

Y

λ λθ θ θ φ

λλ λ

θ θ θ φλ

λθ φ

θ

+ += − +

+ += − −

+= +

=+

L'effet de la contre-pression sur une trajectoire est représenté sur la figure Fig. 52. Les mêmes observations peuvent être faite que dans le cas précédent, et la progression de la particule dans la longueur de la vis est nettement inférieure pour une contre-pression de 0,24 bar que pour 0,12 bar, ce qui va naturellement engendrer des temps de séjour dans le chenal très différents selon la contre-pression appliquée, mais également en fonction du point d'entrée de la particule dans le chenal.

Fourreau

Vis

M. Moguedet

- 86 -

Fig. 52: Influence de la contre-pression sur les trajectoires: contre-pression de 0,12 bar (fonctionnement à 1rpm) (disques), et contre-pression de 0,24 bar (cercles), sachant que la contre-pression maximale

(débit nul) correspond à 0,36 bar à 1rpm.

IV.3.4 Temps de séjour Grâce aux trajectoires calculées précédemment, nous pouvons déterminer des distributions de temps de séjour dans le chenal de la vis. Notre méthode consiste à calculer une quantité importante de trajectoires, se différenciant les unes de autres par le point d'entrée de la particule. Pour cela, la section de départ a été maillée avec des nœuds espacés de 1/20 de la largeur et de la hauteur de la section du chenal, ce qui nous fait une distribution calculée sur 400 trajectoires. Ensuite, nous calculons pour chacune d'elle le temps nécessaire pour parcourir une distance prédéterminée. Cela donne la figure Fig. 53 où nous avons représenté la distribution des temps de séjour pour un pas de chenal, ou en d'autres termes le temps que mettent les particules à parcourir une distance de 40 mm le long de l'abscisse curviligne du chenal.

Le temps le plus court pour parcourir cette distance correspondrait à une particule qui resterait collée à la vis, ou plutôt au fourreau dans notre cas. La vitesse linéaire du fourreau valant 2 mm/s, le temps de séjour de cette particule serait de 20 secondes. Sur la Fig. 53, on s'aperçoit que les plus rapide mettent environ 30 secondes.


- 87 -

0 100 200 300 400 500 600 7000

2

4

6

8

10

12

Qua

ntité

(%)

Temps (s)

Fig. 53: Distribution des temps de séjour dans le chenal de la vis

IV.3.5 Taux de déformation Il est courant d'avoir recours à un taux de déformation équivalent, Eqγ , définit dans la relation Eq. (39), où Dij est un tenseur des déformations, vi la vitesse selon i.

Eq. (39)

( )2 2 2 2 2 22 2 2 2

12

Eq xx xy xz yz yy zz

jiij

j i

D D D D D D

vvavec Dx x

γ = + + + + +

⎛ ⎞∂∂= +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

Sur la figure Fig. 54 nous avons cartographié ce taux de déformation équivalent dans la section (x,y) du chenal. L'intensité de Eqγ est représentée dans la troisième direction. D'après les résultats obtenus, nous observons un maximum de cisaillement aux coins supérieurs de la section, près du fourreau et du haut des filets.

M. Moguedet

- 88 -

Fig. 54: Représentation du taux de déformation équivalent dans la section du chenal.

IV.3.6 Efficacité de mélange Le mélange est l'une des fonctions principales de la zone de pompage d'une vis. Dans le cas des polymères fondus, il peut se diviser en deux catégories mettant en jeu deux phénomènes physiques distincts, le mélange dispersif et le distributif. Dans le premier cas, des agglomérats de particules solides ou de gouttelettes maintenues les unes auprès des autres par des tensions interfaciales doivent être soumis à une contrainte mécanique afin d'en réduire la taille. Ainsi, un écoulement générant de forts taux de déformation pour être qualifié de "dispersif". En plasturgie, les monovis sont réputées pour avoir une faible capacité à engendrer du mélange dispersif.

Dans le second cas, le mélange distributif a pour effet d'améliorer la distribution spatiale de composants dans un fluide, sans qu'aucune force de cohésion n'entre en jeu.

Afin d'évaluer l'importance de la composante élongationnelle d'un écoulement devant sa composante de cisaillement, il est possible d'utiliser un critère de mélange [61,62].

γχ

γ=

+ Ω

où γ est le tenseur des taux de déformation (Eq. (39)), et Ω le tenseur des taux de rotation, définit comme suit:

( )1Eq sγ −


- 89 -

( )2 2 2 2 2 22 2 2

12

xx xy xz yz yy zz

jiij

j i

vvavecx x

Ω = Ω + Ω + Ω + Ω + Ω + Ω

⎛ ⎞∂∂Ω = −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

La valeur de χ varie entre 0, synonyme de rotation pure, et 1 pour une élongation pure, en passant par 0,5 lorsque l'écoulement est en cisaillement pur. On constate que l'écoulement est majoritairement un écoulement de cisaillement, à l'exception du voisinage immédiat du haut des filets, où la composante élagontionnelle est plus marquée.

Fig. 55: Critère de mélange dans la section du chenal

-0.5

0

0.5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

40.45

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.48

0.5

0.52

0.54

0.56

0.58

0.6

0.62

0.64

0.66

0.68

Largeur du chenal (adimensionnelle)

Profondeur du chenal (adimensionnelle)

χ

χ

M. Moguedet

- 90 -

IV.4 Conclusions Les écoulements d'un fluide visqueux ont été décrits dans un chenal de pas, de profondeur et de section rectangulaire constants, en tenant compte de la courbure et de la torsion du chenal. L'approche de Bolinder [43] et les techniques de résolution de Thomson [46] ont été utilisées avec succès et validées en comparant les prédictions analytiques aux calculs numériques 3D par éléments finis, aussi bien pour un écoulement en pression que pour un écoulement en entraînement. Ceci nous permet de construire des solutions références qui dépendent uniquement du rapport d'aspect de la section du chenal.

Pour l'instant, ces solutions se restreignent aux problèmes pouvant se réduire à des équations aux dérivées partielles harmoniques et biharmoniques, et par conséquent les fluides rhéofluidifiants ne peuvent pas entrer dans le cadre de cette étude. Il apparaît également que, comme pour toute technique de perturbation, une solution analytique à l'ordre zéro doit être disponible, ce qui n'est pas le cas pour un fluide viscoélastique ou inélastique, en écoulement de cavité entraînée.

Malgré tout, nous avons tout de même pu souligner de nouveaux phénomènes pertinents relevant de la mise en forme des polymères et de la rhéologie.

Dans le cas d'un écoulement en pression, la torsion du chenal entraîne le fluide dans un mouvement de recirculation dans la section, et diminue le débit. Ces effets de torsion sont plus importants si le rapport d'aspect de la section est supérieur à un, ce qui est le cas des chenaux dans les vis de transformation des polymères. L'écoulement en entraînement semble moins sujet à ces effets hélicoïdaux que l'écoulement en pression, excepté le fait qu'une composante normale de vitesse doit être ajoutée à la vitesse du fourreau. Cette dernière apparaît lorsqu'on utilise un système de coordonnées hélicoïdal, que par conséquent le modèle des plaques parallèles (PPM [38]) ne peut pas prendre en compte.

Toutes ces nouvelles contributions produisent des changements notoires sur l'allure de l'écoulement comparé à l'approche traditionnelle des plaques parallèles, et il s'en suit des conséquences très importantes sur les trajectoires, temps de séjour, taux de déformation et efficacité de mélange.

Enfin, en ce qui concerne la transformation des polymères, nous sommes conscient que les thermoplastiques commerciaux sont rhéofluidifiants, et par conséquent cette méthode de perturbation ne peut pas être facilement utilisée pour dimensionner les vis. Cependant, le point que nous voulions soulever ici est que même dans le cas d'un fluide de viscosité en cisaillement constante, le modèle des plaques parallèles comporte des imprécisions, et que par conséquent pour un fluide rhéofluidifiant ces imprécisions seront au moins aussi importantes.

Visualisation des écoulements dans une vis en zone de pompage

- 91 -

Chapitre V : Visualisation des écoulements en zone de pompage

V.1 Bibliographie Les écoulements dans le chenal d'une vis d'extrusion ou d'injection ont un rôle extrêmement important dans la mise en œuvre des polymères puisqu'ils contrôlent le débit, les temps de séjour et le mélange du polymère fondu. De nombreux auteurs ont développé dans le passé des expériences permettant d'observer le comportement de la matière dans les ensembles vis-fourreau. Le premier d'entre eux a été Maddock [11] 1956: il a obtenu des illustrations des écoulements, de la plastification et du mélange dans les vis d'extrusion. En arrêtant et en refroidissant rapidement l'ensemble vis-fourreau, il pouvait alors retirer l'ensemble de l'hélice de polymère présente dans le chenal de la vis et faire ses observations, grâce notamment à du polyéthylène (PE) et du polychlorure de vinyle (PVC) colorés et utilisés comme traceurs. Cette méthode a été reprise de nombreuses fois par la suite [63,64,65]. Même si cette technique est très utile et permet une meilleure compréhension du comportement du polymère dans l’extrudeuse, elle présente néanmoins l'inconvénient d'être très difficile à mettre en oeuvre. De plus, la phase d'arrêt avant extraction induit une fonte par conduction pure qui peut changer considérablement les profils de plastification. Plus récemment, Wong et al. [66] et Song et al. [67] ont présenté une extrudeuse industrielle dans laquelle avaient été placées à intervalle régulier des fenêtres en verre, permettant l'observation directe du comportement du polymère lors de la plastification. Grâce à ce dispositif, les uns ont pu étudier le comportement à la fusion de différents polymères commerciaux destinés à la production de films plastiques, et ceci afin d'améliorer le design de leurs vis. Les autres ont quant à eux cherché à prévoir la longueur requise d’une bi-vis d’extrusion pour obtenir la fusion complète d’un polymère, dans des conditions de mise en œuvre données.

L'idée a été reprise ensuite par Gao & Jin [68] pour une presse à injecter industrielle. Le dispositif a été conçu à l'origine pour l'étude de la rupture du lit solide pendant la phase de plastification.

Ce type de système permet de visualiser la dynamique des écoulements dans le fluide à travers des photos et des vidéos, tout en mesurant les conditions dans l’enceinte grâce à des capteurs de pression et de température. Cependant, même si les fourreaux à fenêtres apportent des informations précieuses sur la fonte du polymère,

M. Moguedet

- 92 -

ils présentent l'inconvénient majeur de n'avoir qu'une estimation partielle en deux dimensions de l'écoulement, généralement avec l'utilisation d'une seule caméra pour visualiser, et non mesurer. Un troisième type de dispositif peut être utilisé afin d'avoir une vision complète des écoulements dans le chenal de la vis; ce sont les fourreaux entièrement transparents. Ainsi, plusieurs expériences ont été menées sur la visualisation des écoulements dans des géométries mobiles, avec mesures des vitesses (Choo [69] et Campbell [70]). Ils ont utilisé un traceur plongé dans un fluide visqueux. Une caméra de télévision enregistre le parcours de la particule à une fréquence de 30 images par seconde, et sa position par rapport à la vis peut alors être déduite. La vitesse peut être recalculée entre deux positions consécutives. Malheureusement, cette technique ne donne qu'une information bidimensionnelle sur l'écoulement. De plus, la particule ne peut être observée la moitié du temps car elle est cachée par la vis. D'autres auteurs [71,72,73,74,75]ont utilisé par le passé des fourreaux entièrement transparents, mais dans les plupart des cas ces expériences n'étaient destinées qu'à faire des observations, au mieux à procéder à des mesures bidimensionnelles, mais à notre connaissance aucun d'eux n'a cherché à faire des mesures de vitesses ou de position en trois dimensions. L'imagerie par Résonance Magnétique (IRM) a également été utilisée [76,77] pour faire des mesures de vitesses dans des petites extrudeuses. Le principal inconvénient de cette technique est qu'aucun des composants de l'extrudeuse ne peut être ferromagnétique, ce qui rend la conception des outillages beaucoup trop complexe. Si l'on regarde maintenant les techniques utilisées non plus pour la mise en œuvre des polymères, mais plus généralement en mécanique des fluides, il existe d'autres systèmes permettant de mesurer des vitesses ou des positions, la plupart nécessitant des outillages ou des conduites transparentes, comme les fourreaux transparents cités précédemment.

Ainsi l'Anémométrie par Laser Doppler (ALD) est une technique couramment employée pour l'étude dynamique des gaz et liquides [78], car elle donne des informations sur les vitesses dans les écoulements. Elle est basée sur un phénomène physique, l'effet Doppler, qui fait que la fréquence d'une lumière, monochromatique et linéairement polarisée, est déphasée lorsque celle-ci rencontre un objet en mouvement. La mesure de ce déphasage via des capteurs permet de remonter directement à la vitesse de la particule. Cependant, l'ALD n'est pas idéale pour mesurer des vitesses pendant la mise en œuvre des polymères, principalement à cause de la présence de la vis en mouvement dans le fourreau, mais également en raison des faibles vitesses rencontrées en plasturgie. La précision des résultats dépend en effet des vitesses considérées: le changement de fréquence est d'autant plus important et simple à identifier que les vitesses sont élevées.


- 93 -

La vélocimétrie par imagerie de particule, ou PIV (Particle Imaging Velocimetry) est une autre technique très utilisée en mécanique des fluides [79,80,81]. C'est une technique de mesure planaire dans laquelle une nappe laser est utilisée pour illuminer rapidement et à plusieurs reprises un fluide contenant une multitude de traceurs suffisamment petits pour suivre les écoulements. La Fig. 56 présente une configuration typique d'une expérience de PIV, où un laser est utilisé comme stroboscope pour obtenir l'illumination des particules. La position des particules est enregistrée par une caméra orientée à 90° du plan de la nappe laser. Deux images prises à un intervalle de temps très faible permettent de mesurer le décalage de position des particules entre les deux images. L'analyse des données consiste à déterminer le déplacement moyen des particules dans une région spécifique de l'image (par une méthode de corrélation croisée). Le traitement est répété sur la totalité de l'image pour finalement retracer les trajectoires, et, connaissant l'intervalle de temps entre deux prises de vue, cartographier les vitesses. A notre connaissance, cette méthode n'a été appliquée en plasturgie que pour étudier les instabilités d'écoulement dans les filières d'extrusion [82], mais en aucun cas pour étudier les écoulements dans le chenal des vis. Il apparaît en effet bien difficile de mettre en place un tel dispositif avec des géométries mobiles comme dans le cas d'un système vis-fourreau.

Fig. 56: Principe de fonctionnement de la PIV

x

y

t t’

Plan de l'image

1er exposition à t 2ème exposition à t’

Fluide contenant des traceurs Particules

éclairées

Nappe Laser

Miroir

Laser

Direction del'écoulement

M. Moguedet

- 94 -

Fig. 57: Principe de fonctionnement de la PTV

Enfin, il existe une dernière technique: la P.T.V. (Particle Tracking Velocimetry). Elle peut également être appelée "P.I.V. à faible densité de particules", car le principe est semblable à celui de la P.I.V. Dans les deux cas le champ de vitesses est déterminé d'après le déplacement de particules en mouvement dans un fluide pendant un temps défini. Cependant, dans le cas de la P.T.V. les particules sont suivies individuellement. L'avantage principal est de pouvoir observer les écoulements en trois dimensions sur de longues distances [83], et ces trajectoires peuvent être de formes très complexes comme dans le cas de la turbulence. Ceci peut alors s'avérer très utile dans la mise en œuvre de polymères, puisque les vis d'injection et d'extrusion peuvent atteindre plusieurs mètres de long, avec des géométries complexes et variées. Cette technique permet en outre d'analyser le comportement viscoélastique de certains fluides, sur lesquelles les déformations subies au préalable par le matériau influent sur son comportement. Le seul inconvénient de cette technique reste la nécessité d'effectuer un nombre important de mesures avant de pouvoir cartographier les écoulements. En résumé, la P.T.V. semble être la technique la plus adaptée à l'étude des écoulements dans les ensembles vis fourreaux, d'une part car elle permet une véritable étude en trois dimensions, et d'autre part car le comportement du fluide peut être étudié sur de longues distances.

x

y

t1

Déplacement de la caméra pour un suivi en continu d'une particule

Direction de l'écoulement

x

y

tn

Eclairage du traceur

xz

t1 tn

xz


- 95 -

La suite de ce chapitre décrit une expérience originale de P.T.V. développée pour la première fois dans notre laboratoire, permettant la visualisation et les mesures en trois dimensions de trajectoires et de vitesses dans un ensemble vis-fourreau transparent.

V.2 Présentation de notre dispositif original de visualisation 3D dans le chenal d'une vis

La Fig. 58 illustre notre dispositif de PTV. Il a été conçu et réalisé avec l'aide de Jean Balcaen, technicien en instrumentation au Site de Plasturgie de l'INSA de Lyon. L'élément principal en est l'ensemble vis-fourreau transparent, que nous avons baptisé Visiovis. Ensuite, une particule en mouvement dans le chenal de la vis est suivie par quatre caméras numériques connectées à deux ordinateurs pour l'acquisition et le traitement des données. A l'une des extrémités de la Visiovis, un calibrateur a été ajouté, permettant le réglage des quatre cameras. Nous allons vous présenter dans ce paragraphe les différentes parties de notre dispositif.

Fig. 58: Photographie de notre dispositif expérimental de visualisation des écoulements

Ouverture

Caméra CCD Filets de la vis

Fourreau en PMMA

Sortie du fluide (circuit fermé)

Diodes UV

Moteur

Calibrateur

Cadre mobile

M. Moguedet

- 96 -

V.2.1 La Visiovis La Visiovis, comme nous l'avons évoqué un peu plus haut, est le nom de l'ensemble vis-fourreau conçu au laboratoire. Elle est composée d'une vis à pas "carré" (identique au diamètre externe de la vis, Cf. Tab. 8), ajustée dans un fourreau transparent en poly-méthacrylate de méthyle (PMMA). Nous avons choisi d'utiliser comme fluide modèle une huile silicone, le poly-dimethyle siloxane (PDMS), fluide visqueux newtonien et transparent, ayant dans notre cas une viscosité constante de 100 Pa.s. Comme nous le voyons sur la Fig. 58, notre Visiovis est fixée sur un support immobile. La vis est actionnée par un moteur électrique pouvant atteindre une vitesse maximale de 44 tours par minutes (tpm) et supporter un couple de 9 N.m. Elle transporte l'huile silicone (sans l'aide d'une pompe annexe) et la vide dans un tuyau connecté à l'entrée de la Visiovis, la faisant fonctionner en circuit fermé. Ainsi, ce système nous permet d'éviter de gaspiller notre fluide, et surtout de faire fonctionner la Visiovis pendant très longtemps, sans avoir à se soucier du réapprovisionnement en fluide. Une ouverture a été percée à l'entrée de la Visiovis pour permettre l'insertion de nos traceurs, ainsi que le changement facile du fluide étudié.

Diamètre du fourreau (Db) 40 mm Diamètre du Coeur de la vis (Ds) 30 mm Pas (2π.Ph) 40 mm Profondeur de chenal (H) 5 mm Largeur de chenal (W) 34,6 mm Angle de vis (au milieu du chenal) (φ) 20° Rapport d'aspect (λ) 6,9 Longueur de vis (L) 250 mm

Tab. 8: Géométrie de la Visiovis

V.2.2 Le traceur et l’éclairage Comme nous le décrirons plus tard dans le paragraphe V.3, l'acquisition des données se fera en détectant le maximum d'intensité lumineuse sur l'image. La particule doit alors pouvoir être facilement repérable sur l'image, puis isolée. Notre traceur est un échantillon de Nylon® fluorescent de 0,4 mm de diamètre, ayant une densité très proche de celle de l'huile silicone, ce qui nous permet de supposer qu'il suivra les


- 97 -

lignes de courant du fluide. L'avantage d'utiliser un traceur fluorescent est de pouvoir supprimer facilement l'arrière-plan de l'image pour permettre un post-traitement plus efficace. Des diodes Ultra-Violet (émettant à 400 ± 5 nm) illuminent la particule qui émet alors dans le jaune. Le PMMA est traité anti-UV et si l'on considère l'ensemble des milieux, nous avons environ 60% de transparence au-delà de 380 nm (Cf. Fig. 59), ce qui reste parfaitement raisonnable pour nos acquisitions. Enfin, nos caméras sont équipées de filtres jaunes permettant d'éliminer la source de lumière: la particule apparaît seule sur l'image, ce qui est idéal pour le post-traitement.

200 400 600 800 1000 12000

20

40

60

80

100

PMMA PDMSTr

ansm

issi

on (%

)

Longueur d'onde (nm)

Fig. 59: Courbes de transmission de la lumière du PMMA et de l'huile silicone (PDMS)

V.2.3 Les caméras numériques Pour l'étude des écoulements dans des géométries simples, seules deux caméras sont suffisantes pour visualiser l'écoulement en trois dimensions. Cependant, dans notre cas, nous avons la présence d'une vis mobile et surtout opaque en rotation dans le fourreau. Nous avons dû placer par conséquent quatre caméras (Basler A301F) autour de la Visiovis, deux sur un axe horizontal et les deux autres sur un axe vertical (chacune d'elle faisant face à la seconde sur un même axe), équidistantes du fourreau. Grâce à cette configuration, le traceur est observé à chaque instant par au

M. Moguedet

- 98 -

moins deux caméras, nous permettant de reconstituer a posteriori sa position en trois dimensions. Les capteurs intégrés dans nos caméras sont des capteurs CCD (Coupled Charged Device). Nous les avons choisis car ils sont plus sensibles à la lumière que la plupart des capteurs CMOS (Complementary Metal Oxide Semi Conductor) par exemple, ce qui est important lorsque l'on travaille en fluorescence. Les quatre caméras sont fixées sur un cadre mobile, ce dernier pouvant se déplacer le long de la Visiovis pour suivre la particule où qu'elle soit. Cela permet également de déplacer notre cadre sur notre calibrateur afin de régler nos caméras. Ce système est bien entendu évolutif, et permettra à l'avenir de faire des études sur des longueurs bien plus importantes.

V.2.4 Le calibrateur Des mesures faites avec le système décrit jusqu'à présent ne peuvent être correctes que si le dispositif est parfaitement symétrique. Malheureusement il est absolument impossible d'atteindre ces conditions: les caméras peuvent en effet avoir des légers décalages (en translation ou en rotation), ne sont pas forcément parfaitement équidistantes du fourreau, peuvent avoir des orientations, des zooms ou des focalisations différentes les unes des autres, et tout ceci peut générer des erreurs considérables sur nos mesures. La tolérance sur les décalages en translation et en rotation devrait être idéalement inférieurs à 100 microns et 1/1000ème de degré respectivement.

Le positionnement des caméras sur le cadre a dû être fait en fonction de l'emplacement du capteur CCD au sein même de la caméra, car ce dernier peut varier de quelques millimètres d'une caméra à une autre.

Fig. 60 : Illustration de notre calibrateur


- 99 -

Pour toutes ces raisons il nous a été nécessaire de concevoir un calibrateur qui puisse mesurer et quantifier tous ces décalages, de sorte que nos quatre caméras puissent avoir dans la mesure du possible un réglage identique. Ce calibrateur est fixé à l'extrémité de la vis (Cf. Fig. 58), et représente une référence objective pour nos caméras, valide non seulement pour deux caméras se faisant face, mais également d'un axe à l'autre. Il est composé de deux maillages carrés perpendiculaires, de maille 5 mm par 5 mm (Cf. Fig. 60), fabriqué avec du Nylon phosphorescent (identique à celui du traceur), ce qui lui permet d'être vu de la même manière par les quatre caméras.

V.3 L’acquisition des données Les caméras numériques (Basler A301F) enregistrent jusqu'à 80 images par seconde en noir et blanc, avec une résolution de 640*480 pixels, et à travers une interface IEEE 1394 (firewire), interface rapide et peu coûteuse. Elles travaillent en 8 bits de dynamique, ce qui fait 256 niveaux de gris. Les données enregistrées par chaque caméra peuvent atteindre 25 Mo/s et, par conséquent, nous pouvons être amenés à traiter jusqu'à 100 Mo/s de données en temps réel. Comme les bus PCI standards sont supposés traiter 132 Mo/s mais qu'en réalité ils ne supportent que 60 à 80 Mo/s, nous avons dû utiliser deux ordinateurs. L'unique système d'exploitation compatible avec les drivers de nos caméras étant Microsoft Windows Edition 2000®, c'est avec ce système que nous avons dû travailler.

V.3.1 Détection de la particule L'acquisition est basée sur la détection du maximum d'intensité sur l'image. En effet, enregistrer et traiter des images de 640*480 pixels à raison de 80 images par seconde est absolument impossible avec les outils dont nous disposons, et nous avons donc dû de réduire les informations à traiter. Pour cela, nous avons ajouté à nos acquisition un traitement en temps réel: après que le traceur soit détecté, et celui-ci mesurant 4*4 pixels, nous ne sauvegardons qu'une image de 60*60 pixels autour du point le plus lumineux, afin d'être sûr d'avoir la totalité de la particule sur l'image sauvée.

M. Moguedet

- 100 -

V.3.2 Acquisition Les instruments permettant l'acquisition peuvent être rassemblés en deux ensembles indépendants et interagissant l'un avec l'autre. Le premier regroupe les caméras, une horloge externe et des mémoires D-latch (6 par ordinateur pouvant stocker chacune un octet de donnée), et le second les deux ordinateurs (Cf. Fig. 61).

Fig. 61: Acquisition des images

Il nous a été nécessaire d'ajouter à notre système une horloge externe, pour deux raisons:

• les quatre caméras doivent prendre les images en même temps, et l'horloge externe synchronise la prise d'image des caméras à travers un déclencheur.

• Nous ne pouvons en aucun cas assurer le fait que les ordinateurs auront le temps de lire et de sauvegarder la totalité les images prises par les caméras. Pour cette raison les images doivent absolument nous indiquer la date à laquelle elles ont été prises. Nous devons alors avoir un repère de temps objectif reliant les images prises au même instant entre elles (pour permettre un post-traitement). Comme nous travaillons avec le système d'exploitation Microsoft Windows®, qui a une résolution autour de 1 ms avec des temps d'accès à l'horloge de l'ordre de 15 ms, il nous était indispensable d'utiliser une horloge externe, si l'on compare ces données avec la fréquence de prise des images: 80 images par seconde dans le meilleur des cas, soit un accès toutes les 12 ms à l'horloge. Ainsi la base de temps doit être identique pour les deux ordinateurs, et la seule manière de les synchroniser est d'utiliser une horloge externe avec une très haute résolution pour améliorer la qualité des mesures, soit 2 µs dans notre cas.

Mémoire 1 Horloge externe

CH 1

Mémoire 2

O 1

O 2

'

CH 2

CV 1

CV 2


- 101 -

L'acquisition a été entièrement automatisée à travers un programme que nous avons conçu en langage C++. La figure Fig. 61 illustre les étapes de l'acquisition, qui débute avec un signal envoyé aux quatre caméras par le déclencheur de l'horloge externe (Fig. 61 étape ), qui leur demande de prendre une photo. L'heure à laquelle le signal est envoyé est mémorisée dans les mémoires D-latch (Cf. Fig. 61 étape ')

Le programme génère alors un processus informatique par caméra, et chacun de ces processus vérifie la présence d'une image dans la mémoire des caméras. Le premier à en détecter une la lit (étape ), et lit en même temps l'heure de prise de vue de la photo dans les D-latch (étape ).

Au final, l'image de la particule, sa position et sa date de prise de vue sont encodées en binaire et sauvegardées sur les disques durs des ordinateurs correspondants en format bitmap. Un exemple de prises d'images successives d'une caméra est illustré sur la figure Fig. 62. Exécuter des traitements d'image en temps réel, et de surcroît utiliser des ports externes d'accès à Windows, fait que malheureusement nous ralentissons considérablement la capacité des ordinateurs à enregistrer les données, et nous ne sauvons en moyenne que 7 img/s.

Fig. 62: Succession de 5 images prises par une des caméras, avec la particule et la date correspondante,

encodée en binaire dans l'image même (entourées sur la figure)

V.3.3 Filtrage Il existe une source d'erreurs de détection, appelée "le bruit de grenaille".. Il est provoqué par la résistance de l'amplificateur de sortie du capteur CCD sur la totalité de l'image, mais avec une grande variance d'intensité selon les pixels. Ainsi ce bruit s'avère parfois être le point le plus "lumineux" de l'image. Cependant, il n'intervient que sur un seul pixel contrairement à au traceur qui occupe quatre d'entre eux. Pour éviter cette mauvaise détection nous faisons un traitement en temps réel qui consiste à faire une moyenne de la luminosité sur une matrice 3*3 pixels autour du point le

M. Moguedet

- 102 -

plus lumineux. Nous ne considérons donc plus un seul pixel, mais neuf pixels, et les chances de détecter la particule sont bien plus importantes. Au final, pour l'acquisition des images et les traitement en temps réels, la charge du processeur atteint 60% de sa capacité maximale pour un Intel® Pentium® 4 cadencé à 2,8 GHz, et la charge mémoire atteint 570 Mo. Les imagettes sont sauvegardées périodiquement dans un fichier Bitmap.

V.4 Post-traitement des données Avant de pouvoir reconstituer les vitesses et trajectoires de notre particule, il est nécessaire d'apporter des corrections à nos données brutes, après leur compilation: d'une part des corrections de calibration, dues à la position et aux réglages de nos caméras, et d'autre part des corrections de réfraction, puisque dans notre expérience la lumière traverse trois milieux d'indices de réfraction différents, à savoir l'air, le fourreau en PMMA, et le fluide. Le post-traitement des données se fait en semi-automatique grâce à un programme développé sous Matlab.

V.4.1 Compilation des données brutes et premières corrections

Quatre sets d'images sont disponibles après l'acquisition, un set par caméra. A partir de là, la position de la particule étant enregistrée pendant l'acquisition, nous pouvons reconstituer dans un premier temps les positions successives en deux dimensions de la particule, comme le représente la Fig. 63. Les premières corrections que nous allons apporter à ces données concernent les points aberrants que nous pouvons observer sur la Fig. 63. Le traceur n'est malheureusement pas la seule source de luminosité lors de l'expérience, et d'autres objets comme les poussières présentes dans le fluide, ou plus souvent la réflexion sur les hauts de filets, peuvent engendrer des erreurs de mesure. La procédure qui nous permet d'écarter les mauvaises détections est basée sur la géométrie de l'objet le plus lumineux. Elle consiste à sommer l'intensité lumineuse des pixels ligne par ligne dans un premier temps, puis colonne par colonne, pour finalement soustraire les deux vecteurs l'un à l'autre (Cf. Fig. 64). Si la norme de


- 103 -

Fig. 63 : Trajectoires 2D brutes

Fig. 64 : Automatisation de la détection de la particule (image valide) ou d'un autre objet (image à supprimer)

Haut de filet

Particule

La norme de la soustraction des deux vecteurs est nulle

(Symétrie) IMAGE VALIDE

La norme de la soustraction des deux vecteurs est positive

(Asymétrie) IMAGE A SUPPRIMER

X

Y

Z

M. Moguedet

- 104 -

l'intensité résultante n'est pas proche de zéro, l'image considérée est éliminée car il n'est pas possible pour un objet symétrique (ce qui est le cas ici avec notre particule) d'avoir une norme non nulle. Nous devons aussi traiter le cas où la particule est détectée par trois caméras, à cause de la réfraction à travers le fourreau, du côté opposé (Cf. Fig. 65). Ce phénomène a lieu la plupart du temps lorsque la particule s'approche d'un des deux axes de symétrie du dispositif, si la particule est assez lumineuse. Deux positions de la particule sont alors disponibles au même instant, et la position choisie comme étant juste est celle la plus basse sur la courbe, la trajectoire d'adaptant parfaitement avec le set de données suivant ou précèdent.

Fig. 65: Détection multiple de la particule liée à la réfraction.

Enfin, après avoir apporté ces premières corrections, et compte tenu de la densité de points expérimentaux disponibles, nous effectuons une série d'interpolations cubiques sur cinq points au voisinage immédiat de celui recherché, dans chaque dimension, dont nous faisons une moyenne. Nous obtenons ainsi les trajectoires de la Fig. 66.

Particule

Détection erronée

Vis

X

Y

Trajectoire réelle

Détection erronée


- 105 -

Fig. 66 : Trajectoires 2D après les premières corrections

V.4.2 Calibration Notre dispositif expérimental ne pouvant pas être parfaitement symétrique, nous utilisons un calibrateur pour corriger les décalages de nos caméras. Pour cela nous déplaçons le cadre qui supporte les quatre caméras sur le calibrateur, et nous comparons la vue de deux caméras se faisant face, horizontalement puis verticalement. Nous pouvons alors corriger mécaniquement les décalages en translation ou en rotation, ainsi que l'amplification et la focalisation, pour les quatre caméras. Cette manipulation a lieu avant l'acquisition des images, mais il reste généralement de faibles décalages que nous ne pouvons corriger que numériquement.

La Fig. 67 représente le maillage du calibrateur après les corrections mécaniques. Il est observé par deux caméras se faisant face, et la vue des deux caméras est superposée sur une seule image. A chaque caméra correspond une couleur, bleu ou jaune, et lorsque les vues se superposent parfaitement, le maillage apparaît en violet. Nous pouvons observer sur la Fig. 67 des décalages en translations et rotations, mais aussi une différence d'amplification entre les deux objectifs.

Nous devons également tenir compte de la déformation dite "en coussinet" des images, créée par la lentille des objectifs. Pour la contrebalancer, nous appliquons alors une déformation "en barillet" (Cf. Fig. 68).

X

Y

Z

M. Moguedet

- 106 -

Fig. 67: Images du calibrateur prises par deux caméras se faisant face, avec des décalages en translation, rotation ou amplification.

Fig. 68: Déformations "en barillet" (a) et en "coussinet" (b) de

l'objectif

Après corrections de tous ces décalages, nous obtenons la Fig. 69. Les paramètres rectificatifs étant calculés, nous les appliquons à toutes les images sauvegardées pendant l'acquisition.

Fig. 69: superposition des images après corrections, grâce au calibrateur, pour une paire de caméras se faisant face.

V.4.3 Correction de la réfraction Des distorsions optiques subsistent et sont dues à la réfraction en 3D engendrée par la forme cylindrique du fourreau et la présence, sur le chemin optique, d’air, de

(a) Barillet

(b) Coussinet

Amplification

Translation

Rotation

1èrecamera

2èmecamera 5 mm


- 107 -

PMMA et de PDMS tous d’indice de réfraction différent. La présence de ces différents milieux génère une forte perturbation optique qui se manifeste par un écart entre la position apparente et la position réelle du traceur. Cet écart est mis en évidence par la Fig. 70. Ces effets sont corrigés indépendamment pour chaque caméra par une méthode de lancer de rayon qui consiste à reconstituer le chemin optique du rayon lumineux en partant de l'observateur, et grâce aux lois optiques de Snell-Descartes (Cf. Fig. 70).

Fig. 70: Position réelle et virtuelle de la particule

V.5 Résultats Les résultats présentés dans ce chapitre ont pour objectif la détermination des trajectoires et des vitesses dans une huile silicone, fluide supposé newtonien. Les propriétés des fluides newtoniens nous permettent d'étudier les écoulements à des vitesses de rotation de vis peu élevées, puisque les profils de vitesses ou de positions ne sont pas affectés par le cisaillement. La particule a donc été suivie avec une vitesse de rotation de un tour par minute (1 rpm), afin de pouvoir traiter le plus d'informations possible, sachant que la fréquence maximum de prise d'images que nous avons pu atteindre a été de 7 images par seconde.

1i

2i3i

nair

1nPMMA

1,491nPDMS

1,404

Position virtuelle de la particule

Position réelle de la particule

1 2 3ˆ ˆ ˆsin sin sinair PMMA PDMSn i n i n i= =

Loi de Snell-Descartes

M. Moguedet

V.5.1 Trajectoires 3D Tout d'abord, nous avons tracé sur la figure Fig. 71 l'évolution des coordonnées cylindriques de la particule. Il apparaît que les progressions angulaire et axiale suivent deux régimes, un lent et un rapide, observable à la différence de pente. A travers l'évolution du rayon de la particule, on constate qu'en régime lent la particule est proche du fourreau et qu'en régime rapide est plus près de l'axe de la vis.

00

5

10

15

20

25

30

35

40

45

2

4

6

8

10

Profondeur du chenal,entre 15 et 20 mm (5mm)

2π

Ang

le (r

ad)

Progression dans l'axe de la vis (axe X) Evolution du rayon de la particule (distance à l'axe de la vis)

Dis

tanc

e (m

m)

Evolution de l'angle de la particule

Fig. 71: Ev

Nous pouvons entrajectoire tridimeffectivement saprofondeur du ch

Comme on ce qui correspond3D, et il s'avère erreurs dues à cecaméra. L'erreur lorsque la trajectet nous devons le
Régime lent
- 108 -

50

Temps

olution des coordonnées cylindrique

suite tracer cette trajectoire densionnelle dans le chenal

progression proche du foenal et entre en régime rapidepeut le constater, il manque d à la position des caméras. que malgré les corrections optte réfraction, et notammentrésultante alors sur la caméraoire dévie, nous considérons les éliminer. Par ailleurs, il fa

Régime rapide

100 1500

(s)

s de la particule en fonction du temps

ans un repère cartésien, et visualiser la de la vis. La particule commence urreau. Elle plonge ensuite dans la . es informations tous les quarts de tour, Cela provient de notre reconstruction tiques apportées, nous conservons des

au passage de la particule devant une perpendiculaire devient importante, et s points reconstruits comme aberrants,

ut noter que plus le traceur est proche


- 109 -

du fourreau, et plus ces erreurs de reconstructions s'intensifient, engendrant des pertes de données plus importantes.

Fig. 72: Trajectoire tridimensionnelle d'une particule dans le chenal de la Visiovis, à 1 rpm

V.5.2 Comparaison avec la simulation Nous avons cherché à comparer directement les trajectoires obtenues expérimentalement à celles simulées, afin de pouvoir valider notre modèle. Nos résultats modélisés étant représentés en repère cartésien avec un fourreau tournant et une vis fixe, nous avons pensé utiliser un changement de repère pour nous mettre dans les conditions expérimentales, à travers les relations suivantes:

( ) ( )( ) ( )

cos . sin .

sin . cos .VT VT VT

VT V

FT

FTT VT

VT

VT F

FT

FT

T

FT

X t t

Y t t

Y

ZZave

X

c

Y

X ω ωω ω

ω ω

= −

= +=

= −

(X,Y,Z)FT désignant les coordonnées cartésiennes avec fourreau tournant, (X,Y,Z)VT les coordonnées cartésiennes avec vis tournante, ω est la vitesse angulaire de rotation de la vis (en rad/s), et t le temps de passage de la particule (en s).

M. Moguedet

- 110 -

Une comparaison entre une trajectoire expérimentale et sa simulation est représentée sur la figure Fig. 73. On s'aperçoit au début de la courbe, que la trajectoire simulée, proche du cœur de la vis à ce moment, effectue environ quatre tours de vis alors que l'expérience n'en fait que deux. Nous arrivons à obtenir une vitesse nulle au fourreau (régime lent lorsque l'on s'en approche) et maximale à la vis (régime rapide), mais nous ne représentons apparemment pas correctement l'influence de la contre-pression.

Ainsi, lorsque nous travaillons en fourreau tournant, l'effet de la contre-pression est important près du cœur de la vis et négligeable au fourreau, l'écoulement étant dominé ici par la composante d'entraînement. C'est ce que nous avons pu remarquer dans nos simulations au Chapitre IV, notamment sur la Fig. 52. En vis tournante, c'est le contraire qui a lieu, et nous l'observons expérimentalement.

Or visiblement, en passant en vis tournante, la particule sur la figure Fig. 73 semble subir cette contre-pression non pas au fourreau, mais près de la vis, ce qui a pour effet de l'entraîner rapidement en rotation autour de l'axe de la vis, mais sans pour autant progresser rapidement vers l'avant de la vis.

Fig. 73: Comparaison entre une trajectoire obtenue expérimentalement avec la Visiovis à 1 rpm, et la trajectoire correspondante en simulation (vis tournante).

Expérience Simulation Prolongement de la simulation


- 111 -

On peut observer différemment ces effets sur la Fig. 74, où nous avons représenté les progressions angulaires et axiales, expérimentales et simulées, d'une particule. Nous précisons ici que pour nos simulations, la position expérimentale initiale de la particule dans la section du chenal a été fidèlement reproduite.

Les changements de régime (flèches pleines) interviennent presque en même temps dans les deux cas, ce qui confirme la bonne démarche que nous avons adoptée. En revanche, on remarque que la progression angulaire de notre modélisation est rapide puis lente, et que que cette progression lente en simulation semble correspondre à celle rapide de l'expérience ( , pentes identiques). Le même comportement est observable sur la progression axiale, mais cette fois-ci sans déphasage.

Fig. 74: Evolution de l'angle et de la distance parcourue le long de la vis par la particule. Comparaison

entre la simulation et l'expérience.

En ce qui concerne l'évolution du rayon de la particule dans le chenal,

représentée sur la Fig. 75, nous obtenons des résultats très proches. La particule remonte près du fourreau ou plonge vers le cœur de la vis aux mêmes instants, mais surtout le temps de passage près de l'un ou l'autre des deux outillages est presque identique.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 4500

5

10

15

20

25

30

35

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Dis

tanc

e (m

m)

Ang

le (R

ad)

Temps (s)

Progression angluaire expérimentale Progression angluaire simulée à t final Progression angluaire simulée après t final

Progression axiale expérimentale Progression axiale simulée à t final Progression axiale simulée après t final

M. Moguedet

- 112 -

0 50 100 150 200 250 300 350 400 4500

5

10

15

20

25

30

35

Coeur de la vis

Ray

on (m

m)

Temps (s)

Rayon expérimental Rayon simulé au temps final Prolongement de la simulation après t final

Fourreau

Fig. 75: Evolution du rayon simulé et expérimental de la particule dans la Visiovis, à 1 rpm

V.6 Conclusions et perspectives Nous avons développé dans notre laboratoire un dispositif expérimental novateur et prometteur pour la plasturgie, qui nous permet de visualiser les écoulements 3D d'un fluide visqueux dans le chenal d'une vis. Cette technique, semi-automatisée, nous permet de suivre l'évolution d'une particule et de déterminer sa vitesse. A la suite d'un traitement d'images, nous sommes à même d'obtenir des trajectoires tridimensionnelles.

Les premières observations ont permis de mettre en évidence deux régimes de vitesse, un lent près du fourreau, et un rapide près du cœur de la vis, que nous avons retrouvé en simulation. Nous avons également obtenus des évolutions très proches en ce qui concerne la position simulée et expérimentale de la particule dans la profondeur du chenal, et nous espérons pouvoir corréler à court terme la simulation avec l'expérience, au point de vue de l'évolution angulaire et axiale.

A plus long terme, il serait intéressant cependant de reconcevoir l'outil Visiovis sur plusieurs points:

• La technique de détection du point le plus lumineux de l'image engendre des difficultés de détection de la particule dans certaines configurations. C'est cependant selon nous la seule possible lorsque que l'on veut utiliser des caméras pilotées par informatique, puisque nous somme limités en capacité d'acquisition et en temps de traitement des données. L'enregistrement d'un maximum d'information pourrait être rendu possible grâce à de nouvelles caméras "intelligentes" qui ont fait leur apparition récemment (associées à des ordinateurs plus récents), permettant d'effectuer des traitements en temps réel


- 113 -

grâce à un système d'exploitation "temps réel" directement intégré aux caméras, libérant ainsi le processeur des ordinateurs.

• Un des objectifs de départ de notre dispositif était de pouvoir suivre une particule le long de la vis, avec un déplacement du cadre mobile. Nous désirions à l'origine pouvoir asservir la vitesse d'avancé de ce cadre à la position de la particule, et c'est la principale raison qui nous a fait choisir des caméras "informatiques", avec sauvegarde des données sur ordinateur pour avoir accès aux données en temps réel dont la conséquence directe est la réduction de la capacité de traitement des données en temps réel. Au vu des difficultés rencontrées avec la Visiovis, nous pensons qu'il serait intéressant de découpler d'un côté l'acquisition, permettant l'utilisation de caméras avec sauvegarde de la totalité de l'image sur une bande magnétique suivi d'un traitement des données a posteriori , et de l'autre le déplacement du cadre soit avec un asservissement basé sur une méthode de détection similaire à la notre, soit en lui imposant une vitesse constante. Dans ce dernier cas nous pourrions ainsi visualiser les trajectoires de plusieurs particules.

• Nous avons constaté que nous avions très peu de marge de manœuvre sur les différents décalages et réglages entre les caméras, et nous avons notamment rencontré des problèmes de reconstruction en 3D des trajectoires à travers la correction des effets de réfraction. Nous pensons pouvoir réduire ces erreurs tout d'abord en installant notre Visiovis et son cadre sur un banc optique (diminution des décalages en translations et en rotation). Ensuite, nous pensons qu'en utilisant un fourreau transparent non plus cylindrique à l'extérieur mais cette fois ci rectangulaire, nous diminuerions les effets néfastes de la réfraction.

Enfin, l'avantage d'un dispositif innovant tel que la Viosivis, c'est que nous allons pouvoir à l'avenir l'utiliser pour d'autres études. Des trajectoires de particules dans des fluides viscoélastiques pourront être analysées, avec des géométries de vis de plus en plus complexes et des passages dans des éléments de mélange par exemple. Il sera également intéressant d'étudier le comportement des fibres dans le fluide en mouvement, avec entre autre l'évolution de l'orientation de celles-ci par rapport à l'écoulement. Enfin, cet outil devrait être utilisé à court terme dans le cadre d'une thèse portant sur la transformation des nanocomposites par le procédé d'injection, et il devrait permettre de visualiser la dispersion de nanocharges lamellaires dans le chenal en zone de pompage.

Conclusion Générale

- 114 -


- 115 -

CONCLUSION GENERALE

M. Moguedet

- 116 -


- 117 -

Inscrite dans le cadre d'un projet européen ayant pour but la maîtrise de l'injection des thermoplastiques chargés de fibres longues pour les pièces automobiles de grandes dimensions, cette thèse s'est intéressée à deux aspects de la transformation de ces matériaux dans un ensemble vis-fourreau:

• D'un côté la plastification de ces polymères en vue de comprendre et de proposer un mécanisme permettant de prévoir la casse des fibres longues durant cette phase.

• De l'autre côté la modélisation et la visualisation de l'écoulement du polymère en phase fondue dans le chenal de la vis.

Concrètement, pour répondre à la première problématique nous avons programmé dans un environnement Matlab différentes approches de la plastification, afin de les évaluer et de déterminer quels peuvent être les paramètres influant sur la plastification. A ces profils de plastification nous avons greffé un modèle original et prédictif de la casse des fibres durant cette phase. Le modèle prend en compte la rupture des fibres en flexion à l'interface solide/liquide. Ainsi des distributions bimodales de longueurs de fibres, tout à fait réalistes, ont été obtenues. Nous avons pu valider notre programme sur des essais d'extrusion, ainsi que sur l'injection des fibres courtes. Nous avons également pu rendre compte de l'effet de certains paramètres comme le changement des températures de chauffe du fourreau ou la pseudoplasticité plus ou moins importante de la matrice, corrélant ainsi les observations faites industriellement. Nos simulations sous-estiment cependant l'usure des fibres en injection, et nous attribuons cet écart à la présence d'un clapet anti-retour en extrémité de vis, inexistant en extrusion. Sur le plan expérimental, nous avons mené, au centre d'essai Engel en Autriche, une série d'expériences sur presse à injecter avec extraction de la vis pleine de polymère, ce qui nous permettra d'analyser l'influence de ce clapet anti-retour.

Ces premiers travaux sont extrêmement positifs, mais il reste encore beaucoup d'efforts à effectuer en ce qui concerne la prédiction de la casse des fibres en injection. Le taux de fibres dans la matrice, la vitesse de rotation de la vis ou encore l'effet du clapet anti-retour se sont avéré être des paramètres influant sur l'usure des fibres, et il sera à l'avenir nécessaire de pouvoir les prendre en compte. De plus, notre travail s'est consacré à l'unité de plastification, mais il serait à présent intéressant de déterminer le comportement de ces fibres en aval du procédé, lors de la phase d'injection dans le moule. Pour ce qui est du second aspect de ce travail de recherche, l'étude des écoulements dans les systèmes vis-fourreau est encore à l'heure actuelle largement dominée par l'hypothèse de chenal déroulé et le modèle des plaques parallèles (PPM). Il y a comme alternatives, la simulation tridimensionnelle, instationnaire, thermique et couplée qui est a priori assez lourde. Nous avons développé des modèles analytiques ou numériquement "réduits", qui prennent en compte la véritable géométrie de la vis

M. Moguedet

- 118 -

(courbure et hélicité) et fournissent des solutions de références auxquelles nous avons pu corréler les solutions numériques plus complètes obtenues avec Polyflow, code de calcul par éléments finis.

Cette recherche s'est basée sur la formulation de la mécanique des fluides en coordonnées curvilignes hélicoïdales générales. Notre approche a été de faire intervenir la courbure et la torsion comme les deux petits paramètres adimensionnels d'un développement en série de la vitesse, et de résoudre à chaque ordre les équations de Stokes écrites dans le repère curviligne de Frenet. Contrairement à ce qui est communément admis, nous avons pu observer que la torsion du chenal joue un rôle non négligeable dans l'écoulement car ces effets sont multipliés par le rapport d'aspect de la section, qui est toujours très grand dans le cas des vis d'injection. Ce modèle nous a permis ensuite de voir les effets de la contre-pression sur l'écoulement, de générer des trajectoires, de calculer des taux de déformation, des efficacités de mélange et des distributions de temps de séjour dans la zone de pompage de la vis.

Ces trajectoires ont ensuite pu être comparées à celles acquises par un dispositif expérimental novateur: le concept Visiovis, expérience de visualisation tridimensionnelle de l'écoulement dans le chenal d'une vis en rotation. La position d'une particule fluorescente en mouvement est mesurable en permanence par au moins deux caméras. Les images sont enregistrées en continu et la trajectoire tridimensionnelle est reconstituée a posteriori, moyennant des traitements d'images développés au sein du laboratoire. Le réglage des caméras et de leurs axes optiques a fait l'objet d'un soin tout particulier à l'aide d'un calibrateur et d'un traitement d'image spécifique pour enregistrer les distorsions résiduelles.

Actuellement, nous corrélons partiellement les trajectoires simulées et expérimentales, et espérons à court terme pouvoir les comparer directement. Nous souhaitons à l'avenir exploiter plus en profondeur l'outil Visiovis et étudier d'autres phénomènes liés à la transformation des thermoplastiques chargés fibres, à travers l'observation de fluides viscoélastiques, l'évolution du comportement des charges dans l'écoulement (orientation, dispersion) et l'influence de géométries plus complexes sur les écoulements. En conclusion, nous pensons avoir répondu aux attentes de nos partenaires industriels en ce sens que notre outil de calcul leur fournira des premières informations et tendances très utiles à l'optimisation de la transformation des thermoplastiques chargés fibres, et qu'il devrait être très bénéfique non seulement pour comprendre la sensibilité des multiples paramètres, mais aussi afin de valider ou non l'achat d'une vis.

Ce projet s'est finalement attaché à répondre à une double attente: d'une part mettre en évidence et analyser scientifiquement les phénomènes physiques présents lors de la transformation des polymères dans l'unité de plastification d'une presse à injecter, et d'autre part de rendre ces conclusions directement utilisables par les industriels, qu'ils soient transformateurs ou fabricants de presses à injecter.

Références Bibliographiques

- 119 -

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] R. Nunn, "The reciprocating screws process", Chapter 3 pp. 56-83, Injection-Moulding Handbook (1986) [2] C. Rauwendaal, "Polymer extrusion", Munich, Hanser, 4th edition (2001) [3] C. Rauwendaal, "Extruder screws with barrier sections", Polymer Engineering and Science, 26, n°18, pp. 1245-1253 (1986) [4] R. Barr, "High performance screw is custom designed for molding engineering polymers", Retec 87, pp. 57-59 (1987). [5] R. Barr, "Energy Transfer Screws" [en ligne], <www.robertbarr.com> (consulté le 01/09/2005) [6] J. F. Agassant, P. Avenas, J. P. Sergent, B. Vergnes, et M. Vincent, "La mise en forme des matières plastiques", Paris, Technique et Documentation, 3e édition (1996). [7] W. H. Darnell & E. A. J. Mol., "Solids conveying in extruders", SPE Journal, pp. 20–29, April 1956. [8] M. Noriega, T. A. Osswald, & N. Ferrier, "In line measurement of the polymer melting behaviour in single-screw extruders", SPE-ANTEC Technical papers, 50, pp. 154–161 (2004). [9] L. Kacir & Z. Tadmor, "Solids conveying in screw extruders part iii: The delay zone", Polymer Engineering and Science, 12(5), pp. 387–395 (September 1972) [10] Z Tadmor, IJ Duvdevani, & I Klein, "Melting in plasticating extruders. Theory and experiments", Polymer Engineering and Science, pp. 198–217 (1967) [11] B. Maddock, "A visual analysis of flow and mixing in extruder screws", SPE Journal, 15, pp. 383-389, (May 1959) [12] Z. Tadmor, "Non-newtonian tangential flow in cylindrical annuli". Polymer Engineering and Science, pp. 203–212 (1966) [13] J. R. A. Pearson, "On the melting of solids near hot moving interface, with particular reference to beds of granular polymers", Int. Journal Heat Mass Transfer, 19, pp. 405–411 (1976) [14] R. C. Donovan, "The plasticating process in injection molding", Polymer Engineering and Science, 14(2), pp. 101-111 (1974) [15] R C Donovan, "A theoretical melting model for plasticating extruders", Polymer Engineering and Science, 11(3), pp. 247-257 (1971)


- 120 -

[16] Chan I. Chung, "A scientific approach to screw design", SPE ANTEC Tech. Papers, 42 (1996) [17] A C-Y Wong, T Liu, J C M Lam & F Zhu, "Dynamic performance of single-screws of different configurations", International polymer processing, 14(1), pp. 35–43 (1999). [18] H. Potente, W. Hanhart, & T. Reski, "Design and processing optimization of extruder screws", Polymer Engineering and Science, 34(11), pp. 937-945 (1994) [19] Kelly & W.R. Tyson, "Tensile Properties of Fiber-Reinforced Metals: Copper/Tungsten and Copper/Molybdenum", J. Mech. Phys. Solids, 13, pp. 329–350 (1965) [20] M. Vincent, "Orientation des fibres courtes dans les pièces en thermoplastique renforcé", Techniques de l'Ingénieur, AM3729 (2003) [21] J. Thomasset, P.J. Carreau, B. Sanschagrin & G. Ausias, "Rheological properties of long glass fiber filled polypropylene", J. Non-Newt. Fluid Mech, 125, pp. 25-34 (2005) [22] J.M.Lunt & B.Shortall, "The effect of extrusion compounding on fibre degradation and dtrength properties in short glass-fibre-reinforced nylon 6.6", Plast. Rubber. Proc., 108 (1979) [23] J.M.Lunt & B.Shortall, "Extrusion compounding of short-glass-fibre-filled nylon 6.6 blends", Plast. Rubber. Proc., 37 (1980) [24] J. Denault, T. Vu-Khanh & B. Foster, "Tensile properties of injection molded long fiber thermoplastic composites", Polymer Composites, 10-5, pp. 313-321 (1989) [25] D. O'Regan & M. Akay, "The distribution of fibre lengths in injection moulded polyamide composite components", Journal of Materials Processing Technology, 56, pp. 282-291 (1996) [26] B. Fisa, "Mechanical degradation of glass fibers during compounding with polypropylene", Polymer Composites, 6-4, pp. 232-241 (1985) [27] R. Bailey & H. Kraft, "A study of fibre attrition in the processing of long fibre reinforced thermoplastics", Inter. Pol. Proc, 2-2, pp. 94-101 (1987) [28] R.K. Mittal, V.B. Gupta & P.K. Sharma, "Theoretical and experimental study of fiber attrition during extrusion of glass fiber-reinforced polypropylene", Comp. Sci. Tech, 31, pp. 295-313, (1988) [29] O.L. Forgacs & S.G. Mason, "Particle motions in sheared suspensions", Journal of Colloid Sciences, 14, pp. 457-472 (1959) [30] A. Salinas & J.F.T. Pittman, "Bending and breaking fibres in sheared suspensions", Pol. Eng & Sci, 21-1, pp. 23-31 (1981)


- 121 -

[31] R.V. Turkovitch & L. Erwin, "Fiber fracture in reinforced thermoplastic processing", Pol. Eng. & Sci, 23-13, pp. 743-749 (1983) [32] G.K. Batchelor, "An introduction to fluid dynamics", Cambridge University Press, Chapitre 4, Cambridge (1967) [33] V.B. Gupta, R.K. Mittal, P.K. Sharma, G. Menning & J. Wolters, "Some studies on glass fiber-reinforced polypropylene. Part II. Mechanical properties and their dependence on fiber length, interfacial adhesion, and fiber dispersion", Polymer composites, 10-1, pp. 16-27 (February 1989) [34] I. Edmonson & R. Fenner, "Melting of thermoplastics in single screw extruders", Polymer, 16, pp. 49-56 (1975). [35] R. Hafellner, M. Pichler, R. Wörndle & P. Egger, "Injection moulding long fibres", KU Kunststoffe plast Europe, 90-3, pp. 7-8 (2000) [36] Y. Béreaux, M. Moguedet, X. Raoul, J.Y. Charmeau, J. Balcaen & D. Graebling, "Series solutions for viscous and viscoelastic fluids flow in the helical rectangular channel of an extruder screw", Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics, 123(2-3), pp. 237-257 (2004) [37]C. Rauwendaal, T.A. Osswald, G. Tellez & P.J. Gramman, "Flow analysis in screw extruders : Effect of kinematic conditions", International Polymer Processing, 13(4), pp. 327-333 (1998) [38] Z. Tadmor & C. G. Gogos, Principles of Polymer Processing, New-York, John Wiley, p. 736 (1979) [39] M.L. Booy, "Influence of channel curvature on flow, pressure distribution, and power requirements of screw pumps and melt extruders", Soc. Plastic Eng. Transactions, 3, pp. 176 (1963) [40] Q. Yu and G.H. Hu, "Development of a helical coordinate system and its application to analysis of polymer flow in screw extruders - Part 1: the balance equations in a helical coordinate system", Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics, 69, pp. 155-167 (1997). [41] W.R. Dean, "Note on the motion of a fluid in a curved pipe", Phil. Mag., 4, pp. 208-223 (1927) [42] M. Germano, "On the effect of torsion on a helical pipe flow", Journal of Fluid Mechanics, 125, pp. 1-8 (1982) [43] C.J. Bolinder, "Curvilinear coordinates and physical components: An application to the problem of viscous flow and heat transfer in smoothly curved ducts", Journal of applied mechanics, 63(4), pp.985 (1996)


- 122 -

[44] C.J. Bolinder and B Sunden, "Numerical prediction of laminar ow and forced convective heat transfer in a helical square duct with a finite pitch", International journal of heat and mass transfer, 39(15), pp. 3101 (1996) [45] C.J. Bolinder, "First- and higher-order effects of curvature and torsion on the flow in a helical rectangular duct", Journal of fluid mechanics, pp. 314-113 (1996) [46] D.L. Thomson, Y. Bayazitoglu & A.J. Meade, "Series solution of low dean and germano number flows in helical rectangular ducts", International Journal of Thermal Science, 40, pp. 937-948 (2001) [47] P.J. Bowen, A.R. Davies & K. Walters, "On viscoelastic effects in swirling flows", Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics, 38(2/3), pp. 113-126 (1991) [48] R. H. Thomas & K. Walters, "On the flow of an elastico-viscous liquid in a curved pipe under a pressure gradient", Journal of Fluid Mechanics, 16, pp. 228-242 (1963) [49] A.M. Robertson & S.J. Muller, "The flow of an Oldroyd-B fluid in curved pipes of circular and annular cross section", Int. J. Non-Linear Mech., 31, pp. 1-20 (1996) [50] R. H. Thomas & K. Walters, "On the flow of an elastico-viscous liquid in a curved pipe of elliptic cross-section under a pressure gradient", Journal of Fluid Mechanics, 21, pp. 173-182 (1965) [51] V.V. Meleshko, "Biharmonic problem in a rectangle", Applied Scientific Research, 58(1/4), pp. 217-249 (1997) [52] Oevel, Wehmeier, & Gerhard, "The Mupad Tutorial.", SciFace GmbH, www.sciface.com (2002) [53] D.D. Joseph and L. Sturges, "The convergence of biorthogonal series for biharmonic and stokes flow edge problems: Part ii", SIAM J. APPL. MATH, 34(1)(7) (1978) [54] P.N. Shankar, "The eddy structure in stokes flow in a cavity", Journal of Fluid mechanics, 250, pp. 371 (1993) [55] D.L. Harris &W.H. Reid, "On orthogonal functions which satisfy four boundary conditions: Ii integrals for use with Fourier-type expansions", Astrophys. J. Suppl. Ser 3, pp. 448-452 (1958) [56] V.V. Meleshko, "Steady stokes flow in a rectangular cavity", Proc. R. Soc. London ser. A, 452, pp. 1999-2022 (1996) [57] V.V. Meleshko, "Equilibrium of elastic rectangle: Mathieu-inglis-pickett solution revisited", Journal of elasticity, 40(3), pp. 207 (1995) [58] V.V. Meleshko & A.M. Gomilko, "Infinite systems for a biharmonic problem in a rectangle", Proceedings - Mathematical, physical, and engineering sciences / the Royal Society, 453 (1965), pp. 2139 (1997)


- 123 -

[59] Fluent Inc, Center Resource Park, 10 Cavendish Court, Lebanon NH 03766, USA, Polyflow 3.8 User's Guide (August 2000) [60] M. Fortin, "Old and new finite elements for incompressible flows", Int. J. Numerical Methods Fluids, 1, 347-364 (1987) [61] P. Fan, J. Vlachopoulos, N. Smith & H. Sheth, "Computer Simulation of Melt Flow in Wave Screws", ANTEC Proceedings, Atlanta, pp. 97-101 (1998) [62] C. Rauwendaal, T. Osswald, P. Gramann & B. Davis, "Design of dispersive mixing devices", Int. Polym. Process, 14, pp. 28-34 (1999) [63] R. Donovan, "Experimental study of plasticating in a reciprocating-screw injection molding machine", Pol. Eng. Sci., 11-5, pp. 356-360 (1971) [64] I. Edmonson & R. Fenner, "Melting of thermoplastics in single screw extruders", Polymer, 16, pp. 49-56 (1975) [65] R. Nunn & R. Fenner, "Reciprocating screw plastication", 36th ANTEC, pp. 72-76 (1978) [66] A. C-Y. Wong, T. Liu, J.C.M. Lam & F.H. Zhu, "Dynamic performance of single-screws of different configurations", Intern. Pol. Proc., XIV-1, pp. 35-43 (1999) [67] W. Song, J. Perdikoulias & M. Planeta, "Extruder Analysis Utilizing a Transparent Extruder and Simulation Software", 58th ANTEC Conference, Orlando, pp. 89-93 (2000) [68] F. Gao, Z. Jin, & X. Chen, " visual barrel system for study of reciprocating screw injection molding., Pol. Eng. Sci. , 40(6), pp. 1334-1343 (2000) [69] K. P. Choo, N. R. Neelakantan, & J. F. T. Pittman, "Experimental deep channel velocity profiles and operating characteristics for a single screw extruder", Pol. Eng. Sci., 20(5), pp. 349-356, (1980) [70] G A Campbell, P A Sweeney, & J N Felton, "Experimental investigation of the drag flow assumption in extruder analysis", Pol. Eng. Sci, 32(23), pp. 1765-1768 (1992) [71] M.Y. Anastas, R.E. Lynn and R.S. Brodkey, "A visual study of the dynamics of polymer extrusion",.Journal of Rheology, 22(2), pp. 135-164 (1978) [72] Z. Tadmor, I.J. Duvdevani and I. Klein, "Melting in plasticating extuders theory and experiments", Poly. Eng. Sci., 7(3), pp. 198-217 (1967) [73] I. Gestring & D. Mewes, "Devolatilization of polymers in a transparent double-screw extruder", 60th ANTEC Conference, San Francisco (May 2002) [74] G.A. Campbell, C. Wang, H. Cheng, M. Bullwinkel & M.A. Te-Riele, "Investigation of flow rate and viscous dissipation in a single screw pump-extruder", Int. Pol. Proc., XVI, pp. 323-333 (2001)


- 124 -

[75] O.S. Carneiro, A. Pulesquen, J.A. Covas & B. Vergnes, "Visualisation and analysis of the flow along the kneading block of a twin-screw extruder", Int. Pol. Proc., XVII, pp. 301-308 (2002) [76] C.K. Agemura, R. J. Kauten, & K. L. McCarthy, "Flow Fields in Straight and Tapered Screw Extruders Using Magnetic Resonance Imaging", Journal of Food Engineering, 24, pp. 55-7 (1995). [77] M H G Amin, A D Hanlon, L D Hall, C Marriott, S Ablett, W Wang, & W J Frith, "A versatile single-screw-extruder system designed for magnetic resonance imaging measurements", Meas. Sci. Tech., 14(10), pp. 1760-1768 (2003). [78] L.E. Drain, "The Laser Doppler Technique", John Wiley Press, USA, p. 241 (1980) [79] C.E. Willert & M. Gharib, "Digital particle image velocimetry", Exp. Fluids, 10, pp. 181–93 (1991) [80] R. J. Adrian: Bibliography of Particle Velocimetry Using Imaging Methods: 1917-1995, TSI Inc., St. Paul, Minnesota, USA (1996) [81] M. Raffel, C. Willert and J. Kompenhans, Particle Image Velocimetry, a Practical Guide, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg (1998) [82] S. Nigen, N. El Kissi, J.-M. Piau, S. Sadun, "Velocity field for polymer melts extrusion using particle image velocimetry. Stable and unstable flow regimes", J. Non-Newtonian Fluid Mech., 112, pp. 177-202 (2003) [83] M. Virant & Th. Dracos, "3d PTV and its application on Lagrangian motion", Meas. Sci. Technol, 8, pp. 1539-1552 (1997)

Documents

Développement d'un outil d'aide à la conception et au …theses.insa-lyon.fr/publication/2005ISAL0126/these.pdf · 2016-01-11 · II.1.3 La plastification en extrusion II.2 Description