État de ontraintes

ours synthétique

Dimensionnement des stru tures

GMP2 module F312

1 État de ontraintes

Ve teurs ontraintes sur une fa ette

Le solide étudié est supposé

• homogène (tous les éléments du matériau ont une stru ture identique;

la matière a même omposition himique en tout point),

• ontinu (les distan es intermolé ulaires sont très petites vis-à-vis des

dimensions onsidérées i i),

• isotrope (en tout point, dans toutes les dire tions, le matériau possède

les mêmes propriétés mé aniques).

Ce solide est en équilibre sous l'a tion de for es extérieures (torseur des a -

tions mé aniques extérieures).

Nous partageons le solide en deux parties E1 et E2 séparées par un plan (π).On onsidère un point M ∈ (π) situé sur la surfa e (S) ommune aux deux

solides.

Isolons la partie E1 : l'équilibre est possible si on admet la présen e d'a tions

intermolé ulaires appelées a tions de ohésion, présentes sur la se tion (S).Le tronçon E1 est en équilibre sous l'a tion des for es extérieures qu'il sup-

porte, et des for es de ohésion orrespondant aux a tions "internes" de la

partie 2.

Prenons un élément de surfa e dS au point M et ~n la normale unitaire ex-

térieure en M à ette surfa e. On dé�nit une fa ette (fa ette = surfa e

in�nitésimale + normale).

1

Ve teur ontrainte - dé�nition

Soit

−−→∆F l'e�ort élémentaire de ohésion appliqué lo alement en M . Le

ve teur ontrainte en e point pour une fa ette orientée suivant ~n est noté

~T (M,~n) = lim∆S→0

−−→∆F

∆S=

d~F

dS(1)

De façon générale, e ve teur n'est pas perpendi ulaire à la surfa e.

unités : Pas al (N/m

2) - MPa (N/mm

2)

État de ontraintes en tra tion simple � Résultat expérimental

La rupture d'un matériau du tile se fait toujours en isaillement : l'e�ort

né essaire pour "arra her" les atomes est beau oup plus important que elui

né essaire pour faire glisser les atomes les uns sur les autres. Pour une solli -

itation donnée d'une piè e, il faut don savoir dans quelle se tion la ission

τ est maximale.

Prenons le as de la tra tion simple, ou tra tion uniaxiale. On sait que

lors de et essai, le fa iès de rupture va s'amor er lorsqu'il est orienté à 45

degrés par rapport à l'axe de l'éprouvette.

2

2 Tenseur (matri e) des ontraintes

Ve teur ontrainte sur une fa ette quel onque

Résultat :

Le ve teur ontrainte en un point M ourant sur le solide S, onsidéré sur

une fa ette de normale ~n est donné par

~T (M,~n) = Σ(M,S).~n ave la matri e des ontraintes Σ(M,S) =

σxx τxy τxzτxy σyy τyzτxz τyz σzz

B0

Propriétés de ette matri e :

• dépend de la base de proje tion (i i B0) ;

• matri e symétrique (dé�nie positive) don diagonalisable ;

• il existe une base propre dans laquelle la matri e est diagonale.

Contraintes prin ipales

Soit B0 = (~x1, ~x2, ~x3) une base "quel onque" dans laquelle la matri e des

ontraintes est onnue. Nous verrons en e�et en travaux pratiques, qu'un

dispositif de mesures utilisant des jauges de déformations

1

permet indire te-

ment, via es déformations, de dé�nir la matri e des ontraintes.

Il existe une base prin ipale B = ( ~XI , ~XII , ~XIII) telle que la matri e des

ontraintes soit diagonale.

La matri e prend alors la forme, en prenant σI ≤ σII ≤ σIII

Σ(M,S) =

σI 0 00 σII 00 0 σIII

B

Les ontraintes σI , σII et σIII sont les

ontraintes prin ipales.

La base B = ( ~XI , ~XII , ~XIII) dé�nit les dire tions prin ipales des on-traintes.

1

elles fon tionnent sur le prin ipe de variation de la résistan e d'un �l en fon tion de

sa longueur R = ρ.l

Soù R est la résistan e, l la longueur du �l, S sa se tion et ρ sa

résistivité en ohm-mètre

3

Diagonalisation - rappel de la méthode

on peut trouver la base propre en é rivant que λ est valeur propre de la

matri e des ontraintes, asso iée au ve teur propre ~u, soit :

Σ(M,S)B0.~u = λ.~u soit

σxx σxy σxzσxy σyy σyzσxz σyz σzz

B

u

v

w

B0

= λ

u

v

w

B0

Ce qui donne

σxx σxy σxzσxy σyy σyzσxz σyz σzz

B0

u

v

w

B0

− λ

u

v

w

B0

σxx − λ σxy σxzσxy σyy − λ σyzσxz σyz σzz − λ

B0

u

v

w

B0

=

000

En mathématiques, on a vu qu'il existe une solution non nulle on ernant

le ve teur ~u si le déterminant de la dernière matri e arrée est nul, soit

det

σxx − λ σxy σxzσxy σyy − λ σyzσxz σyz σzz − λ

B0

= 0

Dans le as général, il existe trois valeurs propres ( ontraintes prin ipales),

notées λI , λII et λIII auxquelles on peut asso ier les trois ve teurs propres

(dire tions prin ipales)

~Ui tels que

Σ(M,S)B0.~Ui = λ.~Ui.

On obtient en�n la base propre B = ( ~XI , ~XII , ~XIII) (base prin ipale as-

so iée aux ontraintes prin ipales) en é rivant que es ve teurs forment une

base orthogonale normée ave

~Xi =~Ui

‖~Ui‖

tri- er le de Mohr des ontraintes

On donne un do ument manus rit pour la réalisation du er le de Mohr dans

le as de ontraintes planes.

Si l'état de ontraintes est à trois dimensions, dans e as il faudra onstruire

trois er les orrespondants respe tivement aux plans (~x, ~y), (~y, ~z), (~x, ~z).

La onstru tion du er le de Mohr permet d'éviter l'étude mathématique du

problème aux valeurs propres (détermination des valeurs propres, ou on-

traintes prin ipales puis détermination des dire tions prin ipales des on-

traintes) : 'est don un outil graphique "rapide" et un visuel intéressant

pour l'utilisation des ritères de résistan e évoqués dans le paragraphe suiv-

ant.

4

3 Critères de résistan e

L'obje tif est de dé�nir, dans le as de solli itations omposées impliquant

des ontraintes normales et de isaillements, une ontrainte normale

équivalente en tra tion pure.

3.1 Critère de Tres a ou ritère de la ontrainte de isaille-

ment maximale

Dé�nition

Au paragraphe 1.2.1, Nous avons onsidéré une piè e en tra tion/ ompression.

On remarque que la ission (ou isaillement) est maximale dans un plan or-

thogonal à 45 degrés : il est plus fa ile aux atomes de glisser ( ission) les uns

sur les autres que de s'éloigner : voir �gure i-dessous.

Dans e as parti ulier de tra tion/ ompression, le ritère de résistan e utilisé

s'é rit :

|σxx| < σe ou |σyy| < σeOn ajoute lassiquement à e ritère deux éléments indispensables pour un

bon dimensionnement :

• un oe� ient de sé urité allant de 1 (aéronautique) à 15 (éléments de

levage, sé urité des personnes) en passant par les valeurs ourantes : 2

à 4.

• la prise en ompte des on entrations de ontraintes asso iées aux a -

idents de formes (épaulements, trous, lamages, et .).

Sur la �gure pré édente, on visualise plusieurs ara téristiques si la tra -

tion/ ompression a lieu suivant deux dire tions orthogonales :

• si la piè e est solli itée en tra tion sur les deux axes x et y, les issions

dans le plan à 45 degrés s'opposent,

5

• si la piè e est solli itée en tra tion sur x et ompression sur y par

exemple, les issions dans le plan à 45 degrés s'ajoutent.

Le ritère de Tres a se base sur e onstat : la déformation plastique se

fait par isaillement.

|σII − σI | < σe Critère de Tres a ou du isaillement maximum

Généralisation : σTRESCA = max (|σII − σI |, |σIII − σI |, |σIII − σII |)

Appro he graphique et lien ave le er le de Mohr

Dans le as d'un problème de ontraintes à trois dimensions, il faudra tra-

vailler sur trois er les.

L'utilisation du er le de Mohr permet de visualiser le ritère de Tres a fa ile-

ment.

On retrouve le ritère de résistan e pour un matériau du tile solli ité au

isaillement : σTRESCA =diamètre du plus grand er le = 2.τmax qui orre-

spond dire tement au ritère τe =σe

2

6

3.2 Critère de Von Mises ou ritère de l'énergie de distorsion

élastique

Dé�nition

C'est le ritère utilisé par la majorité des logi iels de al uls éléments �nis ;

il date de 1913.

Ce ritère s'appuie sur l'énergie de déformation né essaire pour déformer la

piè e (voir semestre 4).

Il est plus pré is que le ritère de Tres a et adapté pour des matériaux durs

(a ier allié par exemple).

σVM =

√

(σI − σIII)2 + (σII − σIII)

2 + (σI − σII)2

2Critère de Von Mises

σVM < σe

3.3 État de ontraintes planes parti ulier : appli ation

On onsidère le as de ontraintes planes ou la matri e des ontraintes est

réduite à une ontrainte normale σ = σxx et une ontrainte de isaillement

σxy = τ , les ritères de Tres a et de Von Mises prennent une forme parti -

ulière.

σTRESCA =√σ2 + 4.τ2

σVM =√σ2 + 3.τ2

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4 Matri e des déformations

La matri e des déformations, symétrique, est dé�nie par :

E(M,S) =

εxx εxy εxzεxy εyy εyzεxz εyz εzz

B0

5 Loi de Hooke généralisée

Forme dire te : Σ(M,S) =E

1 + ν

(

E(M,S) +ν

1− 2ν.trace(E(M,S)).I3

)

Forme inverse : E(M,S) =1 + ν

E.Σ(M,S)− ν

E.trace(Σ(M,S)).I3

Expresssions développées de la Loi de Hooke généralisée

On peut é rire :

εxx =1

Eσxx −

ν

Eσyy −

ν

Eσzz

εyy = − ν

Eσxx +

1

Eσyy −

ν

Eσzz

εzz = − ν

Eσxx −

ν

Eσyy +

1

Eσzz

εxy =1

2Gτxy

εxz =1

2Gτxz

εyz =1

2Gτyz

Où G est le module d'élasti ité transversale (ou module de Coulomb), ex-

primé en MPa. Dans le as des matériaux du tiles :

G =E

2(1 + ν)Module de Coulomb, ou d'élasti ité transversale

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