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École des Hautes Études Industrielles - Département AutomatiqueCours de régulation industrielle
CHAPITRE 3
Dynamique des Systèmes Asservis
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Dynamique des Systèmes Asservis
Introduction :Généralement, nous appliquons à l’entrée d’un
système un signal temporel, que la sortie suit plus ou moins suivant le système à étudier.
Les objectifs de l’analyse de la dynamique des SA sont de pouvoir comparer les performances de différents systèmes suivant un signal d’entrée bien défini, mais aussi de pouvoir appréhender le système de commande idéal pour ce type de système.
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Dynamique des Systèmes Asservis
Introduction :Suivant la nature du signal mis en entrée, différentes
informations peuvent être obtenues.
Avec un signal temporel, nous pouvons caractériser la rapidité, la précision et la stabilité du système.
Avec un signal fréquentiel, nous pourrons déterminer la stabilité, le filtrage, la bande passante, le déphasage provoqué par le système.
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Dynamique des Systèmes Asservis
Introduction :Les critères pour le choix du signal à appliquer sont :
Faciliter la résolution des équations différentiellesAttaquer un régime d’exploitation du système plus difficilePouvoir comparer les performances de différents systèmes
Les signaux appliqués sont :Un dirac,Un échelon,Une rampe,Une excitation harmonique.
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Dynamique des Systèmes Asservis
Signaux d’entrée : Impulsion de Dirac
t
e(t)
(t)
G(p)E(p) S(p)
Or TL((t)) = 1 d’où S(p) = G(p) E(p) = G(p)
Si l’entrée est une impulsion, la réponse est diteIMPULSIONNELLE
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Dynamique des Systèmes Asservis
Signaux d’entrée :Échelon unitaire :
t
e(t)
1
Or TL( ) = 1 / p
et si l’échelon vaut k, on a TL( k ) = k / p
Si l’entrée est un échelon, la réponse est diteINDICIELLE
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Dynamique des Systèmes Asservis
Signaux d’entrée :Entrée de vitesse (rampe)
t
e(t)
de pente k
TL( e(t)) = k / p²
Excitation harmonique
t
U (t)
Seconde
Volts
0
La réponse à une excitation harmonique est appelée
REPONSE HARMONIQUE
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Dynamique des Systèmes Asservis
Régime transitoire et permanent
Régime transitoire : réaction d’un système au repos lorsque nous appliquons un signal d’entrée, ou lorsque le signal d’entrée est modifié.
Régime permanent : se met en place à la fin du régime transitoire lorsque le signal de sortie est constant.
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Dynamique des Systèmes Asservis
Régime permanent : Il permet d’avoir des renseignements sur le
comportement final du système. Il est caractérisé par l’erreur entre la sortie et l’entrée.
REPONSE INDICIELLE :
t
s(t)
0
1
Échelon
Réponse du système :
Erreur nulleErreur finie
Erreurinfinie
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Dynamique des Systèmes AsservisREPONSE A UNE RAMPE :
t
s(t)
L’erreur permanente s’appelle l’erreur de traînage ou de vitesse
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Dynamique des Systèmes AsservisREPONSE HARMONIQUE :
Dans le cas d’une entrée harmonique, le régime permanent est une sinusoïde de même fréquence que l’entrée, mais qui diffère en amplitude et en phase.
e(t) = A sin (t)
s(t) = A’ sin (t + )
AAGain '
Phase
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Dynamique des Systèmes Asservis
Régime transitoire :Lorsqu’un système est soumis aux entrées précédentes, il lui faut un certain temps pour atteindre son régime permanent. La période entre t=0 et ce régime est appelé régime transitoire.
Asservissement «mou» Asservissement trop peu amorti
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Dynamique des Systèmes Asservis
Asservissement trop peu amortiet trop lent !
Bon asservissement
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Performances d’un système asserviGain statique : le rapport entre la valeur de sortie du
système en régime permanent sur la valeur d’entrée.
Entrée = 2
Sortie = 4
224 Gain
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Dynamique des Systèmes AsservisRapidité : donnée par le temps de réponse tr à n % au
bout duquel la réponse du système ne s’écarte pas de + ou – n % de la valeur finale.
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Dynamique des Systèmes AsservisErreur d’un système asservi :
S(p)G(p)
E(p)
-+
H(p)
R(p) ++
Z(p)
Erreur en asservissement : Z(p) = 0
l’erreur est définie par : )(lim)(lim0
pptpt
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Dynamique des Systèmes AsservisErreur en asservissement :
S(p) = R(p) G(p) (p)
(p) = E(p) – H(p) S(p) = E(p) – H(p) R(p) G(p) (p)
donc :
)(1)(
)()()(1)()(
pWpE
pGpRpHpEp
BO
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Dynamique des Systèmes AsservisErreur statique : E(p) = Eo / p
000
0000 1)()()(1
1limGRH
EpGpRpHp
Epp
Erreur de traînage : E(p) = E0 / p²
)()()(11lim 0
0 pGpRpHpE
pt
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Dynamique des Systèmes AsservisErreur de régulation: E(p) = 0
(p) = – H(p) S(p) et S(p) = G(p) ( R(p) (p) + Z(p))
D’où :
)()()()(1
)()()( pzpGpRpH
pGpHp
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Dynamique des Systèmes Asservis Soit le système suivant :
Calculer et représenter la réponse impulsionnelle
Calculer et représenter la réponse indicielle
211
ppS(p)E(p)
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Réponse impulsionnelle : E(p) = 1
1)()2(lim
1)()1(lim
21)2)(1(1
)(
2
1
pSpB
pSpA
pB
pA
pppS
p
p
tt eets 2)(
21
11
)(
pp
pS
D’où
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Réponse indicielle :
tt eets )1(21)( 2
ppE
1)(
Après décomposition en éléments simples et transformée deLaplace inverse, on obtient :
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Dynamique des Systèmes Asservis Calculer et représenter la réponse indicielle de :
ppp211
1
S(p)E(p)
• Calculer et représenter les réponses indicielles et impulsionnelles :
pe p
31
2
S(p)E(p)
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Dynamique des Systèmes Asservis Calculer l’erreur statique d’asservissement pour un
échelon unitaire et l’erreur statique de régulation pour un échelon de 0,2.
S(p)E(p)
-+ 2 ++
Z(p)
)110(5,0pp
11,01p
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•Erreur statique d’asservissement :
0
)11,0)(110(5,0
21
1lim
0
ppp
ps
10,0
)11,0)(110(5,0
21
)110(5,0
)11,0(1
2,0lim0
ppp
pppps
•Erreur statique de régulation :
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