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École des Hautes Études Industrielles - Département Automat Cours de régulation industri CHAPITRE 3 Dynamique des Systèmes Asservis

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CHAPITRE 3

Dynamique des Systèmes Asservis

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Dynamique des Systèmes Asservis

Introduction :Généralement, nous appliquons à l’entrée d’un

système un signal temporel, que la sortie suit plus ou moins suivant le système à étudier.

Les objectifs de l’analyse de la dynamique des SA sont de pouvoir comparer les performances de différents systèmes suivant un signal d’entrée bien défini, mais aussi de pouvoir appréhender le système de commande idéal pour ce type de système.

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Introduction :Suivant la nature du signal mis en entrée, différentes

informations peuvent être obtenues.

Avec un signal temporel, nous pouvons caractériser la rapidité, la précision et la stabilité du système.

Avec un signal fréquentiel, nous pourrons déterminer la stabilité, le filtrage, la bande passante, le déphasage provoqué par le système.

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Introduction :Les critères pour le choix du signal à appliquer sont :

Faciliter la résolution des équations différentiellesAttaquer un régime d’exploitation du système plus difficilePouvoir comparer les performances de différents systèmes

Les signaux appliqués sont :Un dirac,Un échelon,Une rampe,Une excitation harmonique.

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Signaux d’entrée : Impulsion de Dirac

t

e(t)

(t)

G(p)E(p) S(p)

Or TL((t)) = 1 d’où S(p) = G(p) E(p) = G(p)

Si l’entrée est une impulsion, la réponse est diteIMPULSIONNELLE

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Signaux d’entrée :Échelon unitaire :

t

e(t)

1

Or TL( ) = 1 / p

et si l’échelon vaut k, on a TL( k ) = k / p

Si l’entrée est un échelon, la réponse est diteINDICIELLE

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Signaux d’entrée :Entrée de vitesse (rampe)

t

e(t)

de pente k

TL( e(t)) = k / p²

Excitation harmonique

t

U (t)

Seconde

Volts

0

La réponse à une excitation harmonique est appelée

REPONSE HARMONIQUE

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Régime transitoire et permanent

Régime transitoire : réaction d’un système au repos lorsque nous appliquons un signal d’entrée, ou lorsque le signal d’entrée est modifié.

Régime permanent : se met en place à la fin du régime transitoire lorsque le signal de sortie est constant.

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Régime permanent : Il permet d’avoir des renseignements sur le

comportement final du système. Il est caractérisé par l’erreur entre la sortie et l’entrée.

REPONSE INDICIELLE :

t

s(t)

0

1

Échelon

Réponse du système :

Erreur nulleErreur finie

Erreurinfinie

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Dynamique des Systèmes AsservisREPONSE A UNE RAMPE :

t

s(t)

L’erreur permanente s’appelle l’erreur de traînage ou de vitesse

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Dynamique des Systèmes AsservisREPONSE HARMONIQUE :

Dans le cas d’une entrée harmonique, le régime permanent est une sinusoïde de même fréquence que l’entrée, mais qui diffère en amplitude et en phase.

e(t) = A sin (t)

s(t) = A’ sin (t + )

AAGain '

Phase

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Régime transitoire :Lorsqu’un système est soumis aux entrées précédentes, il lui faut un certain temps pour atteindre son régime permanent. La période entre t=0 et ce régime est appelé régime transitoire.

Asservissement «mou» Asservissement trop peu amorti

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Asservissement trop peu amortiet trop lent !

Bon asservissement

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Performances d’un système asserviGain statique : le rapport entre la valeur de sortie du

système en régime permanent sur la valeur d’entrée.

Entrée = 2

Sortie = 4

224 Gain

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Dynamique des Systèmes AsservisRapidité : donnée par le temps de réponse tr à n % au

bout duquel la réponse du système ne s’écarte pas de + ou – n % de la valeur finale.

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Dynamique des Systèmes AsservisErreur d’un système asservi :

S(p)G(p)

E(p)

-+

H(p)

R(p) ++

Z(p)

Erreur en asservissement : Z(p) = 0

l’erreur est définie par : )(lim)(lim0

pptpt

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Dynamique des Systèmes AsservisErreur en asservissement :

S(p) = R(p) G(p) (p)

(p) = E(p) – H(p) S(p) = E(p) – H(p) R(p) G(p) (p)

donc :

)(1)(

)()()(1)()(

pWpE

pGpRpHpEp

BO

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Dynamique des Systèmes AsservisErreur statique : E(p) = Eo / p

000

0000 1)()()(1

1limGRH

EpGpRpHp

Epp

Erreur de traînage : E(p) = E0 / p²

)()()(11lim 0

0 pGpRpHpE

pt

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Dynamique des Systèmes AsservisErreur de régulation: E(p) = 0

(p) = – H(p) S(p) et S(p) = G(p) ( R(p) (p) + Z(p))

D’où :

)()()()(1

)()()( pzpGpRpH

pGpHp

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Dynamique des Systèmes Asservis Soit le système suivant :

Calculer et représenter la réponse impulsionnelle

Calculer et représenter la réponse indicielle

211

ppS(p)E(p)

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Réponse impulsionnelle : E(p) = 1

1)()2(lim

1)()1(lim

21)2)(1(1

)(

2

1

pSpB

pSpA

pB

pA

pppS

p

p

tt eets 2)(

21

11

)(

pp

pS

D’où

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Réponse indicielle :

tt eets )1(21)( 2

ppE

1)(

Après décomposition en éléments simples et transformée deLaplace inverse, on obtient :

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Dynamique des Systèmes Asservis Calculer et représenter la réponse indicielle de :

ppp211

1

S(p)E(p)

• Calculer et représenter les réponses indicielles et impulsionnelles :

pe p

31

2

S(p)E(p)

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Dynamique des Systèmes Asservis Calculer l’erreur statique d’asservissement pour un

échelon unitaire et l’erreur statique de régulation pour un échelon de 0,2.

S(p)E(p)

-+ 2 ++

Z(p)

)110(5,0pp

11,01p

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•Erreur statique d’asservissement :

0

)11,0)(110(5,0

21

1lim

0

ppp

ps

10,0

)11,0)(110(5,0

21

)110(5,0

)11,0(1

2,0lim0

ppp

pppps

•Erreur statique de régulation :

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