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COURS DE THERMIQUECOURS DE THERMIQUE

© HES-SO - 2004

Jean-Bernard [email protected]

Ecole d‘Ingénieurs de Genève

Séance N°5


7 séances

• 1 - Introduction et Généralités• 2 - La conduction thermique• 3 - L'équation de la chaleur• 4 - Le rayonnement thermique• 5 - La convection thermique• 6 - Les échangeurs de chaleur• 7 - Petite Classe d'application


Transfert par conduction


Transfert radiatif


Transfert convectif


Chauffage par convection


Coefficient d'échange de chaleur par convection

d2Q : Quantité de chaleur qui traverse dSpendant le temps dt, en Joules

( )dQdtd ( )dQdtd

Flux de chaleur, en Watt

( ) dtdSTThQd p 2∞−=

en W/(m2.K)


Détermination du coefficient h

h dépend:

• de la conduction entre les particules de fluide

• du mélange de ces particules par suite dumouvement d'ensemble du fluide

• l'échange de chaleur peut être accompagné d'unchangement de phase


Différents échanges convectifs

• échange thermique monophasique en convection forcée• échange thermique monophasique en convection naturelle• échange thermique accompagné d'ébullition• échange thermique accompagné de condensation


Convection forcée sans changement d'état

Le problème consiste à préciser l'expression du flux thermique Φ échangé entre le fluide extérieur à la température T∞ et une longueur unité de la surface du tuyau à la température Tp


Flux thermique transféré par l'écoulement autour d'un tube

( )Φ = h T - T Dp ∞ π

Surface d'échange par m de tuyau, en m2Ecart de température

entre paroi extérieureet fluide à l'infini, en K

Flux transféré, en Watt

en W/(m2.K)


Analyse dimensionnelle

8 Grandeurs physiques et 4 dimensions: M, L, T et θ


Analyse dimensionnelle

Le théorème de VASCHY-BUCKINGHAM permet de prévoir que la forme la plus générale de la loi physique décrivant le phénomène étudié s'écrira:

F( , , , ) = 01 2 3 4π π π π

( )π λ ρ µ = D U C h T Ta b c d e f gp∞ ∞−

i

où les πi sont des groupements sans dimension de la forme:


Equations aux dimensions des 8 grandeurs

D U∞ ρ µ λ C h Tp-T∞

L, Longueur

M, Masse

T, Temps

θ, température

1

1

-3

-1

2

0

-2

-1

0

1

-3

-1

0

0

0

1

1

0

0

0

1

0

-1

0

-3

1

0

0

-1

1

-1

0


Dimension d'un groupement p

Définition d'un groupement π


i

où

a, b, c, d, e, f, g, i

sont 8 paramètres inconnus



i

rien rien d e b rien g riencontribution de la Masse à la dimension du groupement π

soit: b + d + e + g = 0



i

a c -3d -e b 2f rien riencontribution de la Longueurà la dimension du groupement π

soit: a + b + c - 3d - e + 2f = 0



i

rien -c rien -e -3b -2f g riencontribution du Temps à la dimension du groupement π

soit: - 3b - c - e - 2f - 3g = 0



i

rien riencontribution de laTempératureà la dimension du groupement π

rien rien -b -f -g i

soit: - b - f - g + i = 0


Dimension d'un groupement p

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]π θ = M L T b+d +e+g a+b+c-3d-e+2f -3b-c-e-2f -3g -b-f -g+i

Chacun de ces termes en exposant doit être nul


Groupements p sans dimension

b + d + e + g = 0

a + b + c- 3d - e + 2f = 0

- 3b - c - e - 2f - 3g = 0

- b - f - g + i = 0

4 conditions pour que qu'un π soit adimensionnel

mais 8 paramètres inconnus !



i

4 des 8 paramètres peuvent être choisisde manière arbitraire

g = 1 Pour obtenirune loi de la forme h = f ( . . .)

c = d = 0 Le groupement π trouvé nedépendra pas de l'énergiecinétique du fluide ρU2

i = 0 Le groupement π trouvé nedépendra pas de l'écart detempérature Tp - T∞


Résolution du système déterminant le premier groupement adimensionnel p

Avec g = 1 et c = d = i = 0

b + d + e + g = 0

a + b + c- 3d - e + 2f = 0

- 3b - c - e - 2f - 3g = 0

- b - f - g + i = 0

a = 1 b = - 1 e = 0 f = 0

b + e = -1

a + b + 2f - e = 0

- 3b - e - 2f = 3

- b - f = 1


Nombre de Nusselt Nu

Avec : g = 1 et : c = d = i = 0

a = 1 b = - 1 e = 0 f = 0

λπ Dh N u1 ==


i


Signification du Nombre de Nusselt Nu

Nu = Coefficient de convection h mis sous forme adimensionnelle

Fconvecté = h ( Tp - T∞ ) ( DL )

Flux de référence = flux de conduction = λ ( DL ) [(Tp - T∞) / D]

=h ( Tp - T∞ ) ( DL )

λ ( DL ) [(Tp - T∞) / D]

h D

λ

Nu =Fconvecté

Flux de référence

=



i

4 des 8 paramètres peuvent être choisis de manière arbitraire

b = 0

f = 0

g = 0

i = 0

de manière à ne conserver que les caractéristiques de l'interactionfluide-obstacle créant le transfert de chaleur:

ω celles du fluide: ρ , µ

ω celles de l'écoulement: U∞ , D


Nombre de Reynolds Re

Avec :

b = f = g = i = 0

µρπ D U R e2

∞==


i


Signification du Nombre de Reynolds Re

Re =Forces d'inertie

Forces de viscosité=

ρ U∞ D

µ

Re caractérise la forme du profil de vitesse de l'écoulement fluide



i

4 des 8 paramètres peuvent être choisis de manière arbitraire

a = 0

c = 0

g = 0

i = 0

de manière à ne conserver que les caractéristiques du fluide:

ρ, µ, λ, C


Nombre de Prandtl Pr


i

Avec :

a = c = g = i = 0

λµπ C P r3 ==


Signification du Nombre de Prandtl Pr

Pr =Viscosité dynamique

Diffusivité thermique=

µ / ρ

λ /ρC

µ C

λ =

Pr compare les influences respectives:

• du profil de vitesse du fluide (viscosité)

• du profil de température (diffusivité)

Pour les gaz usuels, Pr est voisin de 0.75


Influence de la diffusivité thermique a

tT

a1 =

xT2

2

∂∂

∂∂

ca

ρλ

=avec dT proportionnel à a


Conclusion de l'analyse dimensionnelle

Le transfert de chaleur convectif implique une relation entre 4 nombres sans dimension

0 = ) , , , F( 4321 ππππ

F (Nu , Re , Pr , Ec ) = 0

λDh Nu =

µρ DU Re

∞=

λµ C Pr =

Le quatrième groupement adimensionnel possible est le Nombre d'Eckert.

Il n'intervient que dans la description d'écoulements proches de la vitesse du son.


Nombres dérivés

• Nombre de Peclet: papport des flux thermiques par convection et par conduction

• Il existe aussi les nombres de Stanton , Grashof, Froude, Weber, Rayleigh

p.C thermiqueédiffusivit a, avec

.

....Pr.Re

ρλ

λµ

µρ

=

=

==

aDUPe

CDUPe p


Loi de la convection forcée

F (Nu , Re , Pr) = 0

ou

Nu = f (Re , Pr)

= ∞

λµ

µρ

λCDU ,f hD


Écoulement dans un tube

• Régime permanent dans une conduite cylindrique circulaire de diamètre intérieur D.

• Flux de chaleur dΦ échangé à travers l’aire latérale de paroi dS comprise entre les abscisses x et x + dx:

( ) dx D T - Th = d pm πΦ


Coefficient d’échange en régime turbulent

• Pour les nombres de Reynolds : 104 < Re < 1,2.105

• Formule de Colburn – corrélation expérimentale:

Conditions d’application:• Le régime d’écoulement doit être parfaitement établi x/D > 60

• 0,7 < Pr < 100.

0,8e3

1ru R P 0.023 = N


Régime turbulent non établi

• x/D < 60

0.70.8

e31

ru xD + 1 R P 0.023 = N


Régime laminaire

• Re < 2000, • corrélations expérimentales de Lévêque, avec:

pC

DV

. avec

.Dx

P R1 =A

re

ρλα

α

=

=

0.05 <A pour A 1.06 = N

0.05 >A pour 3.66 = N0.4 -

u

u


Exemple d’application

• Tuyau de diamètre D = 20 mm • Débit Q = 0,5 l/s d’eau à 50°C.• Déterminer le flux thermique transmis par convection du

fluide vers la paroi, par mètre linéaire de conduite, dans le cadre des hypothèses suivantes:– Température d’entrée de l’eau constante;– Paroi du tube assez mince - on néglige la conduction;– Température extérieure = 15°C;– Ecoulement parfaitement établi

• Propriétés physiques de l’eau:– Masse volumique à 50°C: ρ = 988 kg/m3– Viscosité dynamique à 50°C: µ = 0.55.10-3 Pa.s– Conductivité thermique à 50°C: λ = 0.639 W/(m.°C)– Capacité thermique massique à 50°C: Cp = 4’184 J/(kg.°C)


Résolution d'un problème de convection forcée

1 une géométrie

2 une dimension caractéristique L

3 L'écart Tp - T∞ entre paroi et fluide

4 La vitesse U∞ du fluide

5 ρ , µ, C et λ du fluide


1 une géométrie

Exemple:

Un tuyau à section circulaire transportant de l'eau chaude.


2 une dimension caractéristique L

Exemple:

un tuyau de diamètre

D = 20 mm


3 L'écart Tp - T∞ entre paroi et fluide

Exemple:

Le tuyau transporte de l'eau à la température moyenne:

Tm = 50 °C

alors que la paroi est à la température:

Tp = 15 °C

EcoulementFlux de chaleur


4 La vitesse U∞ du fluide

Exemple:

Le tuyau transporte un débit:

Q = 0,5 l/s

La vitesse moyenne de l'écoulement est alors:

Um = Q/S = 1,6 m/s1,6 m/s


5 ρ , µ, C et λ du fluide

Masse volumique à 50°C: ρ = 988 kg/m3

Viscosité dynamique à 50°C: µ = 0.55.10-3 Pa.s

Conductivité thermique à 50°C: λ = 0.639 W/(m.°C)

Capacité thermique massique à 50°C: C = 4184 J/(kg.°C)

Pour de l'eau:


Calcul du coefficient de transfert convectif h

= ∞

λµ

µρ

λCDU ,f hD

13h4

2


1 - Calcul du Nombre de Prandtl du fluide

3.60 = 0.639

41840.55.10 = C = P-3

r×

λµ


2 - Calcul du Nombre de Reynolds du fluide

57124 0.55.10

0.021.59988 = D U = R 3-m

e =××

µρ


3 - Choix de la corrélation expérimentale Nu = f(Re, Pr)

Pour: 104 < Re < 1.2 x105

et: 0,7 < Pr < 100

on applique la corrélation de COLBURN:

0,8e3

1ru R P 0.023 = N


Calcul du Nombre de Nusselt (Formule de Colburn)

N = 0,023 P Ru r1

3e

0,8

Pr = 1

Pr = 3,6

Pr = 10

NR = 57124

Nu = 224


4 - Calcul de h

N = 224 = h D

u λ

C). W/(m7156 0.02

2240.639 = DN =h 2u °=

×λ


Calcul du Flux thermique transmis par convection

( ) dxd D T - Th = p π∞Φ

( ) kW/m 15.7 = D T - Th = dxd =W pm πΦ


Ecoulement autour d’un tube

31.0PrRe11.1

:liquideun Pour Re

:gazun Pour

⋅⋅⋅=

⋅=

m

m

A Nu

A Nu

Re A m 1 < Re < 4 0.891 0.330 4 < Re < 40 0.821 0.385 40 < Re < 4.103 0.615 0.466 4.103 < Re < 4.104 0.174 0.618 4.104 < Re < 4.105 0.024 0.805


Cas des échangeurs à tubes

( ) ( )

0.33 B :quinconceen Faisceau 0.26 B :alignéFaisceau

P R B = N 33.0r

6.0eu

==

⋅⋅


Exercice d’application

• Calculer la longueur de tube nécessaire à un échangeur air-eau

• Températures• Air in = 800 °C• Air out = 40°C• Eau in = 15°C• Eau out = 40°C• Puissance moyenne fournie = 10 kW• Diametre du tube= 10 mm


Ecoulement le long d’une plaque

( )]./[

n T

T - T - =h

dt dS T - Th = Qd

:laminairecouche-souslaDans

2

0=np

p2

0

2

KmW

n T = - λ

dS dtQd =

dSdΦ

m

m

n=

°

⋅

∂∂λ

∂∂


Cas d’une paroi plane – Régime laminaire

µρ L U = Re m

L

λL h uN L =

( ) ( )

( ) ( ) 33.08.0LL

33.05.0LL

Pr Re 0,036 = uN

: turbulentRégime

Pr Re 32 = uN

:2000Relaminaire Régime <


Convection naturelle: nombres de Grashof et de Froude

2

3

cte = p

2

3

.

T1 parfait fluideun Pour

T v

v1 =

fluidedu isobare volumiquedilatation det coefficien avec

...

γ

α

∂∂α

αγ

α

DgTTGr

TDgGr

⋅∆

=

=

=

∆=

Rapport entre forces de poussée ascensionnelle dues à une différence de température et forces de viscosité


Nombre de Froude

LgUFr

.

2=

• Rapport entre forces de viscosité, de gravité et d’inertie.


Couche limite de convection naturelle

2

32 r

L T g = Gµ

ρα ∆

G = g T

1L

r

3

α

µρ

∆

2

Forces de gravitéPar unité de volume

Forces de frottement visqueux par unité devolume


Convection naturelle laminaire et turbulente

( )

1/3 n :Turbulent 1/4 n :Laminaire

paroi-fluide moyenne, re températula à calculés

P . G C = N rru

==

n


Facteur de forme C

Géométrie et orientation de la paroi

Dimension caractéristique

L

C en convection

laminaire

C en convection

turbulente Plaque verticale

Hauteur 0,59 (104 < Gr.Pr < 109)

0,13 (109 < Gr.Pr < 1013)

Cylindre horizontal

Diamètre extérieur 0,53 (103 < Gr.Pr < 109)

0,10 (109 < Gr.Pr < 1013)

Plaque horizontale chauffant vers le haut

Largeur 0,54 (105 < Gr.Pr < 2.107)

0,14 (2.107 < Gr.Pr < 3.1010)

Plaque horizontale chauffant vers le bas

Largeur 0,27 (3.105 < Gr.Pr < 3.1010)

0,07 (3.1010 < Gr.Pr < 1013)


Exemple d’application: mur ensoleillé

Tp = 313°KTa = 293°KTm = 303°Kρ = 1,149 kg/m3λ = 0.0258 W/(m.K)µ = 18.4 10-6 Pa.sCp = 1006 J/(kg.K)

H=6 m

L=10 m

K W/m13.4.960.13.0

10.02.4

10.61.5

72.0Pr

2

333.0

11

11

°==

==

=

=

=

LNuh

RaNu

Ra

Gr

λ

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