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ECOULEMENT LAMINAIRE TRANSITOIRE AUTOUR D’UN CYLINDRE Introduction L’écoulement d’un fluide autour d’un cylindre fait partie des problèmes les plus étudiés en mécanique des fluides ou en aérodynamique, à cause de son aspect pratique car on le rencontre dans de nombreux domaines de l’ingénierie mécanique.

L’écoulement est caractérisé par un nombre de Reynolds µ

ρ= ∞DURe , qui prend en compte les

propriétés mécaniques du fluide (masse volumique ρ et viscosité dynamique µ) et la géométrie du cylindre (diamètre D). Dans le cas où l’écoulement est supposé incompressible, ce nombre permet de distinguer les différents régimes : Nombre de Reynolds Régime d’écoulement Forme de l’écoulement

Re→0 Ecoulement rampant

3-4<Re<30-40 Paire de vortex dans le sillage

30-40<Re<80-90 Début de vortex de Karman

80-90<Re<150-300 Purs vortex de Karman

150-300<Re<105-1.3.105 Régime sub-critique

Source: « Boundary layer theory. » H. Schlichting & K. Gersten, 8th Revised and Enlarged Edition L’écoulement est en outre caractérisé par les nombres adimensionnels suivants :

Coefficient de pression : 221p U

ppC∞

∞

ρ−

= ,

Coefficient de traînée AU

traineeForceC 221D

∞ρ= , avec A= aire projetée, soit ∫

πθθ−=

2

0 pD dcosC21C ,

où θ est l’angle mesuré en partant de l’arrière cylindre dans le sens antihoraire.

Le nombre de Strouhal, ∞

=UfDSr , avec f =fréquence des vortex

Description du problème L’écoulement autour du cylindre est modélisé en 2-D avec l’axe de rotation du cylindre perpendiculaire au sens de l’écoulement. Le cylindre est modélisé par un cercle de rayon R, situé dans le domaine représenté par un rectangle (Cf. figure ci-dessous).

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RESUME DES DIFFERENTES ETAPES DE LA RESOLUTION 1. Pre-traitement (Preprocessing) :

1.1. Attribution d’un nom de fichier 1.2. Définition des différentes constantes du problème 1.3. Définition du type d’élément 1.4. Création du domaine d’écoulement et de la géométrie du cylindre 1.5. Maillage du domaine

2. Solution :

2.1. Application des conditions limites du domaine 2.2. Définition des propriétés du fluide 2.3. Contrôle du mode d’exécution 2.4. Résolution du problème

3. Post-traitement (Postprocessing) :

3.1. Visualisation dans le temps du champ de vitesse dans le domaine et autour du cylindre 3.2. Variation du coefficient de pression le long du cylindre

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Avant toute chose commencez par définir le type d’analyse à effectuer afin de rendre facilement disponible dans le menu principal un certain nombre de sous menu. Main Menu>Preferences

1. Pré-traitement

1.1. Attribution d’un nom de fichier : Dans le menu principal Utility Menu >File >Change Jobname

Entrer le nom de fichier que vous souhaitez, par exemple « Ecoulement_autour_cyl » et cliquez « OK »

1.2. Définition des différentes constantes du problème Paramètres scalaires : Allez dans le menu Utility

Utility Menu>Parameters>Scalar Parameters Dans la fenêtre qui s’affiche, entrez les paramètres qui suivent les uns après les autres, dans le champ « Selection ». Cliquez sur « Accept » après avoir entré chaque paramètre, et enfin sur « Close » pour fermer cette fenêtre lorsque vous avez fini.

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Paramètres Valeur Description

R 0.05 Rayon du cylindre NU 1.8e-5 Viscosité dynamique de l’air RHO 1.23 Masse volumique de l’air RE 100 Nombre de Reynolds VE RE*NU/(2*R *RHO) Vitesse à l’infini NR1 30 Nombre de divisions sur les lignes 25 à 28, 7, 11, 13, 17, 23 NR2 30 Nombre de divisions des lignes 29 à 32 NX1 4*NR1 Nombre de divisions des lignes 10 et 12 NX2 6 Nombre de divisions des lignes 8 et 15 NX3 2 Nombre de divisions des lignes 18 et 13 RX1 0.2 Rapport d’espacement sur les lignes 29 à 32

1.3. Définition du type d’élément Main Menu>Preprocessor>Element Type>Add/Edit/Delete Cliquez sur « Add ». Dans la boîte de dialogue qui apparaît (voir figure ci-après), sélectionnez « FLOTRAN CFD » puis cliquez sur « 2D FLOTRAN 141 ». Cliquez sur « OK » pour la fermer. Ensuite cliquez sur « close » pour clore la dernière boîte de dialogue.

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1.4. Création du domaine d’écoulement et de la géométrie du cylindre

1.4.1. Création des points clés : Main Menu>Preprocessor>Modeling>Create>Keypoints>In Active CS

Dans la fenêtre qui apparaît, remplissez chaque champ avec les valeurs qui figurent dans le tableau ci-après, en cliquant à chaque fois sur « Apply » afin de ne pas la faire disparaître tant que tous les points ne sont pas créés :

Numéro x y Numéro x y 1 -10*R -20*R 12 -10*R -5*R 2 -5*R -20*R 13 -5*R -5*R 3 5*R -20*R 14 5*R -5*R 4 40*R -20*R 15 5*R 5*R 5 40*R -5*R 16 -5*R 5*R 6 40*R 5*R 17 - 2

2 *R 22 *R

7 40*R 20*R 18 - 22 *R - 2

2 *R 8 5*R 20*R 19

22 *R - 2

2 *R 9 -5*R 20*R 20

22 *R 2

2 *R 10 -10*R 20*R 21 0 0 11 -10*R 5*R

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1.4.2. Création des aires délimitées par les différents points clés :

Main Menu>Preprocessor>Modeling>Create>Areas>Arbitrary>Through KPs A l’aide de la souris, sélectionnez, dans cet ordre, les points 1, 2, 13 et 12 puis cliquez sur « Apply ». Répétez cette procédure afin de créer les autres aires conformément au tableau suivant :

Aire n° Suite de points clés 1 1, 2, 13, 12 2 2, 3, 14, 13 3 3, 4, 5, 14 4 5, 6, 15, 14 5 6, 7, 8, 15 6 8, 9, 16, 15 7 9, 10, 11, 16 8 11, 12, 13, 16

Lorsque la dernière série de points est sélectionnée, cliquez sur « OK » pour fermer la boîte de dialogue.

1.4.3. Création de quatre arcs de cercle dont le centre est le point de coordonnées (0 ;0) et de rayon R :

Commencer d’abord par afficher le numéro de chaque point clé si ce n’est déjà fait. Menu Utility>PlotCtrls>Numbering… Dans la boîte de dialogue, cochez « KP Keyppoint numbers » et cliquez ensuite sur « OK » pour valider et quitter.

Faites ensuite Menu Utility>Plot>Keypoinys> Keypoints, pour afficher les points clés. Faites un zoom pour voir convenablement les points clés 17, 18, 19, 20 et 21. Il faut après créer quatre arcs de cercle ayant le même rayon R. Main Menu> Preprocessor> Modeling> Create> Lines>Arcs> By End KPs & Rad La boîte de dialogue apparaît, pour vous permettre de sélectionner à l’aide de la souris les deux points extrêmes de l’arc. Sélectionnez les points 18 et 19 puis cliquez sur « OK ».

Une seconde boîte de dialogue s’affiche pour la sélection du point centre de l’arc. Sélectionnez le point 21 et cliquez sur « OK ». Une troisième boîte de dialogue apparaît. Tapez dans le champ « RAD Radius of the arc », R qui est le rayon de l’arc. Cliquez sur « Apply » pour valider. Recommencer la même procédure pour créer les trois autres arcs.

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Créez ensuite les droites joignant les points 16 et 17 ; 13 et 18 ; 14 et 19 ; 15 et 20 comme suit : Main Menu> Preprocessor> Modeling> Create> Lines>Lines>Straight Line

Une fois les droites créées, cliquez sur « OK » dans la boîte de dialogue pour la fermer.

1.4.2. Création des aires délimitées par différentes lignes : Main Menu>Preprocessor>Modeling>Create>Areas>Arbitrary>By Lines A l’aide de la souris, sélectionnez, les lignes 7, 25, 30 et 31. Cliquez sur « Apply » dans la boîte de dialogue pour créer l’aire n°9. Il faut procéder ainsi pour créer les autres aires :

Aire n° Suite de lignes 9 7, 25, 30, 31 10 13, 26, 31, 32 11 17, 27, 29, 32 12 23, 28, 29, 30

Enregistrez tout le travail fait durant cette étape en cliquant sur « SAVE_DB » dans le menu « ANSYS Toolbar ».

1.5. Maillage du domaine Le maillage des différentes surfaces qui ont été créées va se faire à l’aide de l’outil de maillage dont dispose ANSYS. Main Menu> Preprocessor> Meshing> MeshTool On commence d’abord par subdiviser les différentes lignes délimitant le domaine d’écoulement en intervalles (Cf. tableau paragraphe 1.2).

1 2

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Dans le menu qui s’affiche, choisissez « Lines Set », puis sélectionnez les lignes L25 à L28 comme le montre la figure 1.5.a.

Fig.1.5.a Cliquez en suite sur « Apply » dans le menu, puis dans l’autre boîte qui apparaît , tapez NR1 dans le champ « No. of elements divisions » et ensuite 1 dans le champ « Spacing ratio » et enfin « Apply » pour prendre en compte ces valeurs. Recommencer ainsi la procédure pour toutes les autres lignes avec les valeurs de NDIV et SPACE comme indiquées dans le tableau ci-après.

Lignes NDIV SPACE 25 à 28 NR1 1 7, 11, 13, 17, 23 NR1 1 29 à 32 NR2 RX1 10 et 12 NX1 1 8 et 15 NX2 1 5 et 18 NX3 1 1, 3, 20 et 21 NX3 1

Remarque : Le rapport d’espacement RX1 dans le cas des lignes 29 à 32 doit rester inférieur à 1 si on veut que les éléments soient plus resserrés au voisinage du cylindre et s’élargissent lorsqu’on s’en éloigne (Cf. documentation ANSYS). Cela afin de prendre en compte les forts gradients de vitesse au voisinage du cylindre.

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Note : en cas d’erreur cliquez sur « Lines Clear », sélectionnez la ligne à réinitialiser puis « OK ».

Nous utilisons un maillage quadrilatéral structuré, dans la zone situé au niveau du cylindre. Dans le menu MeshTool, choisissez Mesh→Areas, Shape→Quad et « Mapped ». Après avoir cliqué sur « Mesh », apparaît une boîte de dialogue vous permettant de sélectionner les aires à mailler. Sélectionnez les aires numéro 4, 9, 10, 11 et 12 puis cliquez sur « OK ». Note : pour afficher le numéro de chaque aire, suivez la procédure décrite au paragraphe 1.4.3. Cochez « AREA area number » dans la boîte de dialogue puis faites Menu Utility>Plot>Areas pour afficher les aires avec leur numéro.

Utilisez ensuite un maillage libre avec des éléments triangulaires pour le reste des surfaces non encore maillées. Vous devez obtenir un maillage comme sur la figure ci-après si tout a été fait correctement.

Enregistrez tout le travail fait durant cette étape en cliquant sur « SAVE_DB » dans le menu « ANSYS Toolbar ».

2. Solution

2.1. Application des conditions limites au domaine Les conditions initiales aux limites du domaine seront appliquées sur les lignes qui le délimitent. Pour ce faire il faut afficher les numéros des différents points clés et les numéros des lignes uniquement si cela n’a pas été déjà fait. Menu Utility>PlotCtrls>Numbering Sélectionnez « KP » et « LINE » puis cliquez sur « OK ».

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Affichez ensuite les lignes à partir du menu principal : Menu Utility>Plot>Lines

2.1.1. Conditions limite à l’entrée

Les lignes 4, 22 et 24 délimitent l’entrée du domaine. On y donnera la valeur VE à VX et 0 à VY. Main Menu> Preprocessor> Loads > Define Loads> Apply> Fluid/CFD> Velocity> On Lines A l’aide de la souris sélectionnez les lignes 4, 22 et 24. Cliquez sur « OK » dans la boîte de dialogue. Entrez VE dans le champ « VX Load value » et 0 dans le champ « VY Laod value », puis faites « OK ».

2.1.2. Conditions de non glissement sur le cylindre

Sur tout le périmètre du cercle formé par les lignes 25 à 28, la vitesse est nulle. Main Menu> Preprocessor> Loads > Define Loads> Apply> Fluid/CFD> Velocity> On Lines Comme précédemment, sélectionnez les lignes 25 à 28 puis cliquez sur « OK ». Ensuite appliquez la valeur 0 à « VX » et « VY » dans la boîte de dialogue qui s’affiche. Cliquez sur « OK » pour valider et quitter.

2.1.3. Conditions limites aux frontières haut, bas et en sortie Main Menu> Preprocessor> Loads > Define Loads> Apply> Fluid/CFD> Pressure DOF > On Lines Sélectionnez les lignes 1, 5, 8, 9, 11, 14, 15, 18 et 21, puis cliquez sur « OK ». Donnez la valeur 0 à « Pressure value » puis cliquez sur « OK » pour valider et quitter.

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La figure ci-dessous présente en définitive les conditions aux frontières du domaine et sur le cylindre.

Faites une sauvegarde avant de passer à la suite : cliquez sur « SAVE_DB » dans le menu principal.

2.2. Propriétés du fluide (Air à 20°C) La masse volumique de l’air RHO est prise égale à 1.23 kg.m-3 et sa viscosité dynamique NU=1.8.10-5 kg.m-1.s-1 à la température de 20°C. Main Menu> Solution> FLOTRAN Set Up> Fluid Properties

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Dans la boîte de dialogue qui apparaît , choisissez dans les champs « Density » et « Viscosity » la valeur « Constant », puis cliquez sur « OK ». Ensuite entrez les valeurs respectives RHO, NU dans les champs « Density » et « Viscosity », dans la seconde boîte de dialogue , puis cliquez sur « OK » pour valider les données et la fermer.

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2.3. Contrôle du mode d’exécution 2.3.1. Définition du caractère transitoire et du régime de l’écoulement

L’écoulement de l’air autour du cylindre est transitoire, laminaire et incompressible. Main Menu> Solution> FLOTRAN Set Up> Solution Options Choisissez « Transient » et « Laminar », les autres options (défaut) restent inchangées puis cliquez sur « OK » pour fermer la fenêtre.

2.3.2. Choix du type d’algorithme : Main Menu> Solution> FLOTRAN Set Up> Algoritm Ctrl

Cochez « SIMPLEN » puis cliquez sur « OK » pour valider et quitter. L’algorithme « SIMPLEN » est la version améliorée de « SIMPLEF ». Il permet d’accroître la vitesse de convergence quand les taux de relaxation des différents paramètres sont choisis convenablement (Cf. documentation Ansys).

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2.3.3. Contrôle de l’exécution Main Menu> Solution> FLOTRAN Set Up> Execution Ctrl Choisissez dans le champ «STEP», « Advection » et ensuite « Time Steps » dans le champ « Base output control ».

Après avoir cliqué sur « OK », la fenêtre ci-dessous apparaît.

Dans les champs « NUMB », « GLOB » et « STEP, APPE », entrez respectivement les valeurs 4000, 30 et 1. Les autres valeurs devant rester inchangées.

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2.3.4. Choix du mode d’intégration en temps Main Menu> Solution> FLOTRAN Set Up> Transient Ctrl>Time Integration Meth

Dans la boîte de dialogue qui apparaît choisissez « Newmark » puis sur cliquez sur « OK » et encore « OK » dans la seconde. La méthode « Newmark » est plus précise comparée à « Backward ».

2.3.5. Définition des paramètres de relaxation Main Menu> Solution> FLOTRAN Set Up> Relax/Stab/Cap>DOF Relaxation

Entrez la valeur 0.95 comme facteur de relaxation pour « VX » et « VY » puis cliquez sur « OK ».

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2.3.6. Traitement de paramètres additionnels :

Pour permettre le stockage des données relatives au coefficient de pression (Cp) et de la contrainte à la surface du cylindre (τw) lors de l’analyse et pouvoir les traiter à la fin, il faut les activer. Main Menu> Solution> FLOTRAN Set Up> Additional Out>RFL Out Derived

Dans la boîte de dialogue qui s’affiche, cochez, en plus de celles déjà cochées, « PCOE Output pressure coeff », « TAUW Output wall shear stress » et cliquez sur « OK » pour fermer. Cliquez sur « SAVE_DB » dans le menu « ANSYS Toolbar » pour tout sauvegarder avant de passer à l’étape de la résolution.

2.4. Résolution du problème Main Menu> Solution> Run FLOTRAN Après quelques minutes voire quelques heures (donc il faut vous armer de patience), ANSYS vous annonce que l’analyse est terminée. Fermez alors la boîte de message qui s’affiche passer à la phase de post-traitement.

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3. Post-traitement 3.1. Visualisation dans le temps du champ de vitesse dans le domaine et autour du

cylindre

Re=100

(Double-cliquez sur chaque figure pour lancer l’animation)

Re=150

3.2. Variation du coefficient de pression le long du cylindre

Re=150t=609,057s

-1,5

-1,2

-0,9

-0,6

-0,3

0

0,3

0,6

0,9

1,2

0 60 120 180 240 300 360

θ (°)

Cp