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Comparaison des différents modèles de la turbulence dans le cas s'un écoulement en canal plan
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Hazem Ben Aissia, BE Turbulence 5me Mcanique Page 1
Bureau dtude Turbulence :
Ecoulement turbulent en canal plan
Travail labor par : Ben Aissia Hazem
Mcanique 5A
Hazem Ben Aissia, BE Turbulence 5me Mcanique Page 2
1. Introduction et objectifs
La turbulence constitue un enjeu majeur dans la plupart des domaines tel que l'aronautique,
l'nergtique, l'astronautique et locanographie. La science a montr que la turbulence joue un rle
primordial dans les phnomnes de transfert dnergie et de masse.
La turbulence est un phnomne toujours prsent dans les coulements et dont la modlisation constitue
un facteur dune importance majeure dans la prcision des rsultats numriques.
Bien dcrire les coulements turbulents constitue un dfi pour la majorit des mcaniciens des fluides et
cest un problme qui nest pas encore rigoureusement rsolu jusqu lheure actuelle. Pour donner un
modle consistant de la turbulence il ne faut pas se limiter la thorie car cette dernire n'est pas
suffisante pour dcrire de manire exacte la turbulence do le recours lexprience et comme a dit le
pionnier de la turbulence et le vainqueur de prix Nobel Richard Feynman :It doesn't matter how
beautiful your theory is, it doesn't matter how smart you are. If it doesn't agree with experiment, it's
wrong.
Do le recours des modles semi-empirique dont la fiabilit des rsultats varie selon la physique du
problme.
Il est ainsi intressant dtudier chaque modle part dans le but de comprendre les limites et les
conditions optimales demploi de chaque modle.
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Paroi fixe
Paroi fixe
Ecoulement + = 587,2
2. Construction du modle
2.1. Gomtrie du problme
Nous se proposons dans ce BE dtudier lcoulement turbulent dans un canal plan. Bien que ce type
dcoulement parait trs simple en le comparant aux coulements dans les applications industrielle, il
permet de dvoiler et comprendre plusieurs aspects universels de la turbulence.
Dans ce BE on va traiter lcoulement dans un canal plan infini comme prsent sur la figure ci-dessous :
Le dbit adimensionn choisi pour ce BE est gal 10953.
On voit bien que notre coulement possde une symtrie par rapport au plan (OXZ) ce qui revient traiter
la moiti suprieure du canal correspondant y>0
Notre canal possde une invariance par translation suivant la direction . Pour prendre cela en compte dans notre modle, on applique la condition de priodicit sur fluent.
2.2. Maillage : On sait que la rgion proche de la paroi est une zone de fort gradient des grandeurs physiques, il est donc
plus judicieux de raffiner le maillage dans cette zone. Pour cette raison, le maillage adopt sera non
uniforme, plus serr prs des parois comme prsent sur la figure 1. D'aprs le cahier propos, le maillage
doit tre :
- Selon x : maillage rgulier avec 11 intervalles
- Selon y : maillage progressif avec 21 intervalles et un rapport de rafinage de 30.
Hazem Ben Aissia, BE Turbulence 5me Mcanique Page 4
3. Aperu sur les modles de la turbulence
Les modles quon se propose dtudier dans ce BE sont le modle K-epsilon et le modle RSM. Les autres
sont des extensions ou des amliorations de ces deux derniers.
2.3. Modle K-epsilon :
Cest le modle le plus populaire vu quil se rduit deux quations de transport.
Les quations rgissant ce modle sont des quations de nature nergtique : une quation portant
sur lnergie cintique turbulente et une sur la dissipation visqueuse :
Avec
Si on veut employer le modle de Boussinesq
, , , sont des constantes, est le terme de production et et sont les termes de
flottabilit.
On distingue plusieurs modle K-epsilon qui se diffrent par le choix de la modlisation de la viscosit
turbulente. Pour le modle k-epsilon standard la viscosit turbulente scrit =
.
Le modle RNG (dvelopp par Yakhot & Smith en 1992) consiste en une estimation au cours du calcul de
la constante , remplace dans lquation de dissipation par donne par lexpression:
=
+ avec =
le taux de dformation.
Le modle Kepsilon ralisable utilise la mme forme de la viscosit turbulente sauf que la constante
dpend des tenseurs de taux de dformation et de taux de rotation.
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2.4. Modle RSM : (Reynolds Stress Model)
Ce modle consiste rsoudre les quations rgissant les variations des tensions de Reynolds :
La vitesse et les autres grandeurs sont modlises en se basant sur l'expression des tensions de
Reynolds.
Lavantage de ce modle est quil prend en compte les effets de courbures arodynamiques, de
structures tourbillonnaires, de rotation et du changement rapide du taux de chargement.
Hazem Ben Aissia, BE Turbulence 5me Mcanique Page 6
3. Rsultats obtenus et discussion
Notre objectif de ce BE est de tester les diffrents modles de turbulence et dexaminer les rsultats fournis
pour chaque modle. Dans la suite les modles suivants seront tests:
Modle K-epsilon
Modle K-epsilon standard avec loi de paroi;
K-epsilon standard et modle amlior de paroi;
K-epsilon RNG amlior la paroi;
K-epsilon Ralisable amlior la paroi.
Modle RSM
RSM standard;
RSM amlior la paroi avec condition aux limites partir de K;
RSM amlior la paroi avec terme dcho;
RSM amlior la paroi avec terme dcho et condition aux limites partir de K.
Et on se propose de dterminer les grandeurs suivantes pour chaque modle :
Vitesse moyenne;
Gradient de la vitesse moyenne;
Energie cintique turbulente;
La production de lnergie cintique turbulente;
La dissipation visqueuse;
La viscosit turbulente;
Les tensions de Reynolds.
Les rsultats obtenus seront compars en particulier ceux obtenus par DNS (donne du problme).
Pour voir lequel des modles est le mieux prcis pour chaque grandeur on attribue pour chaque modle
une note allant de 1 3 (cf. Tableau annexe).
3.1. Vitesse moyenne
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Figure 2: Vitesse moyenne pour les deux modles K-epsilon standard
La premire constatation qui dcoule des rsultats de calcul prsents sur les figures 2 et 3 est que la vitesse
moyenne est linaire prs de la paroi pour le modle K-epsilon standard avec la loi de paroi (courbe en rouge) : cest
la sous couche visqueuse ceci est compatible avec la bibliographie. Au-del de + = le profil commence se
courber et la vitesse suit une loi logarithmique.
Figure 3:Vitesse moyenne pour les diffrents modles de turbulence
On voit que les modles K-epsilon standard et loi de paroi et RSM amlior au niveau paroi, sans terme dcho et
sans condition limite partir de K, donnent des rsultats loigns de ceux fournis par la DNS et les autres modles
de turbulence. On remarque galement que lcart entre les rsultats de ses deux derniers et les rsultats DNS sont
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importants dans la zone situe entre + = 5 et + = : cest la rgion buffer layer . On conclut que le
modle qui dcrit ses modles dans cette zone nest pas consistant.
L'ensemble de ces modles ont t classs en leur donnant une note allant de 1 3(3 tant la note attribu pour le
meilleur modle). Les notes attribues sont consigne dans le tableau prsent en annexe.
3.2. Gradient de la vitesse moyenne
Cette grandeur est obtenue en effectuant une drivation numrique de la vitesse moyenne. Les rsultats obtenus
sont prsents sur la figure 4.
Une telle grandeur permet dvaluer le taux de cisaillement prs de la paroi et donc destimer la perte de charge
rpartie dans le canal. Cette grandeur permet galement de dimensionner une canalisation en tenant compte des
contraintes thermiques et mcanique. En effet, une telle grandeur contribue laugmentation de la temprature
dans un fluide prs de la paroi et donc elle est source de flux thermique.
Figure 4: Gradient de la vitesse moyenne
On constate que les modles RSM amlior la paroi et le modle K-epsilon standard fournissent des rsultats
loigns de ceux de la DNS. De plus ces modles sous-estiment la contrainte dans la zone buffer layer , il est donc
dconseill dutiliser ces modles pour un dimensionnement mcanique.
3.3. Energie cintique turbulente
Cette grandeur prsente sur la figure 5 est calcule soit directement partir du modle K-epsilon soit
partir des tensions de Reynolds contracts pour le modle RSM.
Une telle grandeur permet dvaluer lnergie cintique des tourbillons et donc la comparer lnergie
cintique de lcoulement moyen. Elle nous permet de tirer des informations sur la nature de
lcoulement et de conclure sur le rgime de l'coulement : laminaire, turbulent ou en transition vers la
turbulence. Une telle comparaison permet de localiser le champ tourbillonnaire et donc connaitre le
lieu dans lequel le mlangeage ou le transfert thermique est optimale puisque le transfert de masse et
de quantit de mouvement en dpend.
Hazem Ben Aissia, BE Turbulence 5me Mcanique Page 9
Figure 5: Energie cintique turbulente
On constate comme pour les autres rsultats que les deux modles K-epsilon RSM et K-epsilon standard avec loi de
paroi et donnent des valeurs loignes de la DNS. Il est donc conseill dviter ses modles pour calculer lnergie
cintique turbulente. On observe aussi que les autres modles sont proches de la DNS loin de la paroi et sen loigne
dans la zone Buffer layer .
Les deux modles K-epsilon RSM et K-epsilon standard avec loi de paroi surestiment lnergie cintique turbulente
donc si un processus de transfert de chaleur est dcrit par cette grandeur, il vaut mieux utiliser ces modles pour
prendre des marges de scurit (par exemple le phnomne de la crise dbullition dans un gnrateur de vapeur).
On rappelle aussi que le spectre dune telle grandeur permet de prvoir la rpartition de lnergie sur les structures
tourbillonnaire et donc savoir faire un choix appropri de la taille des lments en simulation numrique.
3.4. Production de lnergie cintique turbulente
Cette quantit reprsente lnergie cde par le mouvement moyen au mouvement turbulent.
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Figure 6: Production de l'nergie cintique turbulente
On constate partir des rsultats prsents sur la figure 6. que le terme de production (ou de destruction dans
certain cas) est positif ce qui signifie que linteraction champs fluctuants et champs moyen contribuent la
production de lnergie cintique turbulente
La mme constatation qu'avant que les deux modles k-epsilon standard et RSM amlior la paroi donnent des
rsultats trs loin de ceux de la DNS, contrairement aux autres modles qui sont valids par le modle DNS.
La position du pic de lnergie cintique turbulente concide avec celui du max de la production de lnergie de K, ce
qui est compatible avec la ralit physique du problme.
3.5. Dissipation visqueuse La dissipation visqueuse est une grandeur qui permet de quantifier lnergie perdue par les effets de
cisaillement induit par la nature visqueuse du fluide. Une telle grandeur permet dvaluer les pertes de
charges dans les conduites et donc dduire les paramtres gouvernants la physique dans le but
doptimiser les pertes.
Cette grandeur permet de quantifier la quantit dnergie cintique convertie en chaleur. En pratique
cette grandeur permet davoir une ide sur la contrainte mcanique secondaire (exemple du fluage) dans
les systmes thermo hydrauliques tel que les gnrateur de vapeur et constitue ainsi un lment essentiel
pour le dimensionnement de ces systmes.
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Figure 7: Dissipation visqueuse
Les rsultats prsents sur la figure 7 montrent que prs de la paroi les modles k-epsilon standard et RSM amlior
la paroi donnent des rsultats loigns de ceux de la DNS. On remarque aussi que le pic de la dissipation
turbulente des autres modles concide avec le pic de la production.
3.6. Viscosit turbulente
Cest cette grandeur qui va permettre de fermer les quations de Navier stokes.
Figure 8: Viscosit turbulente
Hazem Ben Aissia, BE Turbulence 5me Mcanique Page 12
On constate partir des rsultats prsents sur les figures 8 et 9 que cette grandeur varie dun modle un autre.
Ceci veut dire que les amliorations faites sur le modle K-epsilon standard pour obtenir le K-epsilon ralisable et le
K-epsilon RNG se sont focalis sur la modlisation de ce terme.
Figure 9: Viscosit turbulente sur une chelle log
3.7. Tensions de Reynolds Les rsultats de calcul de la tension de Reynolds sont prsents sur les figures 10 13.
La mme constatation quant aux valeurs obtenues par le modle RSM amlior la paroi qui sont
loigns de ceux de la DNS.
Hazem Ben Aissia, BE Turbulence 5me Mcanique Page 13
Figure 10: Tension de Reynolds uu
Figure 11: Tension de Reynolds uv
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Figure 12: Tension de Reynolds vv
Figure 13: Tension de Reynolds ww
Hazem Ben Aissia, BE Turbulence 5me Mcanique Page 15
4. Conclusion
La DNS est une mthode de calcul trs performante qui permet de recouvrir toutes les chelles de la
turbulence. Toutefois, l'inconvnient majeur de cette mthode rside pour l'essentiel au temps de calcul
qui est relativement lev ce qui n'est pas compatible avec lexigence des industriels. Pour cette raison
des travaux de recherches ont t orients vers le dveloppement des modles de turbulence permettant
de dcrire les coulements avec une prcision qui varie selon la grandeur modliser et le domaine
dapplication, ainsi plusieurs modles ont t dvelopps. On conclut de notre tude que les modles k-
epsilon standard et RSM amlior la paroi donnent des rsultats loigns de ceux de la DNS.
Par ailleurs, le problme majeur des modles de la turbulence est quils ne permettent pas de modliser toutes les
chelles de la turbulence. Il est ainsi recommand de faire une simulation exprimentale afin de caractriser les
chelles de temps et despace du mcanisme (traage du spectre dnergie K et de la dissipation D). Ceci permettra
de faire un choix judicieux des chelles de temps et despace pour la DNS ainsi que connaitre les limites du modles
de turbulence utiliser. Un choix judicieux du modle de turbulence permettra de se rapprocher des rsultats de
calcul obtenus par DNS, et permet galement un gain norme en termes de temps et cout de calcul.
Hazem Ben Aissia, BE Turbulence 5me Mcanique Page 16
5. Annexes
Modle K-epsilon standard avec loi de paroi
Modle K-epsilon standard amlior de paroi
Modle K-epsilon RNG amlior de paroi
Modle K-epsilon Ralisable amlior de paroi
Modle RSM amlior de paroi
Modle RSM amlior de paroi avec terme cho
Modle RSM amlior de paroi avec terme cho et condition limite partir de K
Vitesse moyenne
1 3 3 3 1 2 2
Gradient de la vitesse moyenne
1 3 3 3 1 2 2
Energie cintique turbulente
1 3 3 3 1 3 3
Production de lnergie cintique turbulente
1 3 3 3 1 3 3
Dissipation visqueuse
1 3 3 3 1 3 3
Viscosit turbulente
2 3 3 3 1 2 1
Tension de Reynolds uv
1 3 3
Tension de Reynolds uu
1 2 2
Tension de Reynolds vv
1 2 2
Tension de Reynolds ww
1 3 3