Ecoulements Et Transferts Thermiques en Convection Naturel

INSTITUT NATIONAL AGRONOMIQUE PARIS-GRIGNON

Ecole Doctorale ABIES

THSE pour obtenir le grade de

Docteur de lInstitut National Agronomique Paris-Grignon Discipline : Gnie des Procds

Prsente et soutenue publiquement le 04 fvrier 2005 par

Sami BEN AMARA Ingnieur Industries Alimentaires ESIA-TUNIS

DEA Gnie des Procds ENSIA-MASSY

EECCOOUULLEEMMEENNTTSS EETT TTRRAANNSSFFEERRTTSS TTHHEERRMMIIQQUUEESS EENN CCOONNVVEECCTTIIOONN NNAATTUURREELLLLEE

DDAANNSS LLEESS MMIILLIIEEUUXX MMAACCRROO--PPOORREEUUXX AALLIIMMEENNTTAAIIRREESS AAPPPPLLIICCAATTIIOONN AAUUXX RREEFFRRIIGGEERRAATTEEUURRSS MMEENNAAGGEERRSS

Membres de Jury : Franoise MONCHOUX Prsident

Alain KONDJOYAN Rapporteur

Dominique GOBIN Rapporteur

Denis FLICK Directeur de thse

Marie-Catherine CHARRIER-MOJTABI Codirecteur de thse

Onrawee LAGUERRE Examinateur Membres invits : Graciela ALVAREZ

Brengre LARTIGUE

Jean MOUREH

Institut de recherche pour lingnierie de lagriculture et de lenvironnement

Unit de Recherche Gnie des Procds Frigorifiques - Antony

A tous ceux qui me sont chers,

Remerciements

Au terme de ce travail, je voudrais remercier ici toutes les personnes qui ont contribu de prs ou

de loin son bon droulement.

Mes premiers remerciements sadressent mon directeur de thse M. Denis FLICK, professeur

lINAP-G. Je tiens lui exprimer ma profonde reconnaissance pour ses prcieux conseils, lenthousiasme

et les innombrables heures quil ma consacres. La qualit de son encadrement, sa perspicacit et lucidit

scientifiques, et son esprit de rigueur ont t primordiaux tout au long de la thse. Quil trouve ici le

tmoignage de ma plus profonde gratitude.

Je remercie Mme Onrawee LAGUERRE, charge de recherche au sein de la division GPAN du

Cemagref, qui ma fait profiter de son exprience dans le domaine de la rfrigration des produits. Je tiens

galement lui exprimer ma sincre reconnaissance pour lintrt avec lequel elle a suivi ce travail, pour

toute sa gentillesse, son bon accueil, sa constante bonne humeur et ses prcieuses contributions tout au

long de la thse.

Jadresse mes plus vifs remerciements mon codirecteur de thse, Mme Marie-Catherrine

CHARRIER-MOJTABI, professeur au Laboratoire dEnergtique de Toulouse qui a bien voulu encadrer

ce travail. Je remercie trs vivement Mme Brengre LARTIGUE, matre de confrence au Laboratoire

dEnergtique de Toulouse et Mme Franoise MONCHOUX, professeur au Laboratoire dEnergtique de

Toulouse pour leur soutien efficace et attentif. Je suis sensible toutes leurs remarques dintrt envers

mon travail. Je noublierai pas de remercier le personnel de lIMFT qui a contribu au bon droulement de

mon sjour Toulouse.

Je voudrais garder une place particulire Mme Graciela ALVAREZ et M. Jean MOUREH,

chargs de recherche au sein de la division GPAN pour leur amicale collaboration et lintrt constant

apport ce travail.

Je remercie M. Dominique GOBIN, directeur de recherche au CNRS ainsi que M. Alain

KONDJOYAN, charg de recherche lINRA, qui mont fait lhonneur dtre rapporteurs pour cette

thse. Par la mme occasion je remercie Mme Franoise MONCHOUX, qui a bien voulu accepter de faire

partie de mon jury de thse.

Je tiens remercier Mr. Jacques GUILPART, chef de la division GPAN du Cemagref, de mavoir

accueilli au sein de son unit de recherche.

Je garde en mmoire tous ceux qui ont contribu de prs ou de loin au bon droulement des

exprimentations : Michle UDE, Franoise OLLIVON, Mamady TANGARA, Christophe JOUQUIN,

Joseph ANDREU et Claude FAVIER, quils trouvent ici le tmoignage de ma plus profonde

reconnaissance.

Ma gratitude sadresse galement lensemble du personnel de la division GPAN et du GIE-

Cemafroid. Jai vcu au sein de cette division une exprience trs enrichissante aussi bien sur le plan

professionnel que sur le plan humain.

Jexprime enfin mes remerciements tout le personnel, aux stagiaires et thsards du Cemagref, ainsi qu

mes parents, ma famille et mes amis, qui, par leur bonne humeur, sympathie et amiti ont contribu au

bon droulement de cette thse.

Avant propos

Ce travail de thse a t ralis au sein de lunit de recherche GPAN (Gnie des

Procds frigorifiques - Antony) du Cemagref (Institut de recherche pour lingnierie de

lagriculture et de lenvironnement). Un sjour de 3 mois a t effectu lInstitut de

Mcanique de Fluide de Toulouse, en liaison avec le Laboratoire dEnergtique de Toulouse,

afin de raliser des mesures de Vlocimtrie par images de particules.

La thse fait partie des thmatiques de recherche de lUMR-Gnial (Unit Mixte de

Recherche Gnie industriel alimentaire, qui regroupe le Cemagref, lINAPG, lENSIA et

lINRA). Elle est inscrite dans le cadre dun projet AQS (Aliment Qualit Scurit) financ

par la Direction Gnrale de lAlimentation (DGAl) du Ministre de lAgriculture. Le

financement de la thse a t ralis conjointement par le Cemagref et la rgion Ile de France.

Plusieurs partenaires ont particip ce projet :

Des partenaires scientifiques

INAP-G (Institut National Agronomique Paris Grignon).

Laboratoire dEnergtique de Toulouse.

Des partenaires industriels : deux fabricants de rfrigrateurs mnagers

Bosch et Siemens lectromnager

Whirlpool France

Rsum Abstract

Rsum

Ltude porte sur les coulements et les transferts en convection naturelle au sein dempilements de

produits alimentaires et plus particulirement dans des rfrigrateurs mnagers. Lapproche est la

fois exprimentale et numrique. Une premire tude a t effectue dans un empilement ordonn de

sphres soumis une convection faible vitesse dair (u

Publications - Communications

Publications

BEN AMARA S., LAGUERRE O., et FLICK D., (2004), Experimental study of convective heat transfer

during cooling with low air velocity in a stack of objects, International Journal of Thermal Sciences, vol.

43, p. 1212-1221.

LAGUERRE O., BEN AMARA S., et FLICK D., (2005), Experimental study of heat transfer by natural

convection in closed cavity : Application to domestic refrigerator, Journal of Food Engineering, (Soumis

le 22/04/2004, accept le 05/10/2004 ).

LAGUERRE O., BEN AMARA S., et FLICK D., (2005), Heat transfer between wall and packed bed

crossed by low velocity airflow, International Journal of Thermal Sciences, (Soumis le 04/10/2004)

Communications

BEN AMARA S., LAGUERRE O., et FLICK D., (2003), Echanges convectifs faible vitesse dair dans

un empilement dobjets, Congrs de la Socit Franaise de Thermique- Thermique et micro

technologies, 3-6 juin, Grenoble, Elsever, p. 471- 476.

BEN AMARA S., FLICK D., ALVAREZ G., et LAGUERRE O., (2003), Heat transfer and Air flow in

domestic refrigerators, 21st IIR International Congress of Refrigeration, August 17-22, Washington, DC

USA, CD-ROM.

FLICK D., DOURSAT Ch., BEN AMARA S., LAGUERRE O., et ALVAREZ G., (2003), Modlisation

empirique des transferts thermiques dans un empilement de produits alimentaires, 6mes Journes Milieux

Poreux, 12-14 novembre, Toulouse.

BEN AMARA S., FLICK D., MOUREH J., ALVAREZ G., et LAGUERRE O., (2004), Numerical

simulation and experiment in domestic refrigerators, International Congress on Engineering and Food

ICEF 9, 7-11 March, Monpellier, CD-ROM.

BEN AMARA S., LAGUERRE O., MOUREH J., et FLICK D., (2005), Numerical and experimental

study of heat transfer in a domestic refrigerator, Soumis Model-It : The third international symposium

on Applications of Modelling as an Innovative Technology in the Agri-Food Chain, May 29 - June 2,

Leuven, Belgium.

BEN AMARA S., LAGUERRE O., CHARRIER-MOJTABI M-C., et LARTIGUE B., (2005),

Visualisation des coulements dans une maquette de rfrigrateur domestique par PIV, Soumis au 11me

dition du Congrs FLUVISU (Visualisation et Traitement d'Images en Mcanique des Fluides) 7-9 juin,

Lyon.

BEN AMARA S., LAGUERRE O., CHARRIER-MOJTABI M-C., LARTIGUE B., et FLICK D., (2005),

Numerical and experimental study of airflow in a domestic refrigerator model, Soumis au Congrs

Eurotherm77 (Heat and Mass Transfer in Food Processing), June 20th - 22nd, University of Parma, Italy.

Tables des Matires

9

Table des Matires Introduction................................................................................................................. 19 I. Analyse Bibliographique......................................................................................... 23

I-1. Gnralits sur les rfrigrateurs mnagers ................................................................... 23 I-1-1. Exigences du produit : La chane du froid ......................................................................... 23 I-1-2. Importance des tempratures dans la matrise du dveloppement microbien .................... 24 I-1-3. Diffrents types de rfrigrateurs mnagers....................................................................... 26 I-1-4. Rglementations................................................................................................................. 27 I-1-5. Consommation nergtique................................................................................................ 28 I-1-6. Enjeux conomiques .......................................................................................................... 28

I-2. Transferts thermiques dans les rfrigrateurs mnagers................................................. 28 I-2-1. Analyse qualitative des changes...................................................................................... 28

A. Echanges thermiques dans les rfrigrateurs................................................................................. 28 B. Exemples dvolution de temprature dans les rfrigrateurs mnagers ....................................... 29

1-2-2. Etudes exprimentales et numriques................................................................................ 30 I-3. Convection naturelle en milieu libre............................................................................... 32

I-3-1. Equations gnrales de la convection naturelle.................................................................. 33 A. Equations de conservation.............................................................................................................. 33 B. Equations dtat et de transfert, hypothses simplificatrices.......................................................... 33 C. Forme adimensionnelle en convection mixte.................................................................................. 34 D. Forme adimensionnelle en convection naturelle............................................................................ 35

I-3-2. Convection naturelle externe : notion de couche limite thermique et hydrodynamique .... 36 A. Dveloppement de la couche limite laminaire sur une plaque verticale ........................................ 36 B. Effet de la turbulence...................................................................................................................... 39 C. Corrlations empiriques................................................................................................................. 40

I-3-3. Convection naturelle interne .............................................................................................. 40 A. Convection interne dans un espace entre deux plaques parallles horizontales ............................ 40 B. Convection interne dans une cavit rectangulaire ferme.............................................................. 41

I-3-4. Rayonnement dans une cavit ............................................................................................ 44 I-4. Ecoulements et transferts en milieu poreux.................................................................... 44

I-4-1. Caractrisation des coulements en milieu poreux ............................................................ 44 I-4-2. Modlisation des transferts thermiques en milieu poreux.................................................. 47

A. Modle une temprature .............................................................................................................. 48 B. Modles deux tempratures ......................................................................................................... 57

I-4-3. Convection naturelle en milieu poreux .............................................................................. 61 A. Convection externe ......................................................................................................................... 61 B. Convection interne.......................................................................................................................... 62

I-5. Conclusion ...................................................................................................................... 64

II. Matriels et Mthodes ........................................................................................... 67

II-1. Caractrisation exprimentale des diffrents modes dchange dans un empilement ordonn de sphres faible vitesse dair............................................................................... 67

II-1-1. Dispositif exprimental..................................................................................................... 68 II-1-2. Mthodes........................................................................................................................... 69

A. Caractrisation de la perte de charge dans lempilement .............................................................. 69

Tables des Matires

10

B. Caractrisation des diffrents modes de transfert au sein de lempilement ................................... 70 C. Caractrisation exprimentale des changes convectifs entre la paroi de la conduite et lair ...... 75

II-2. Caractrisation des coulements et des transferts dans une maquette de rfrigrateur mnager ................................................................................................................................. 77

II-2-1. Dispositif exprimental : Maquette de rfrigrateur ......................................................... 78 A. Caractristiques des rfrigrateurs commerciaux.......................................................................... 78 B. Caractristiques de la maquette ..................................................................................................... 79

II-2-2. Mthodes........................................................................................................................... 81 A. Mesures thermiques........................................................................................................................ 81 B. Mesures de lcoulement de lair dans la maquette par vlocimtrie par images de particules

(PIV).................................................................................................................................................... 86 II-3. Caractrisation des transferts thermiques dans un rfrigrateur mnager..................... 91

III. Modlisations et Simulations............................................................................... 97

III-1. Modle macro-poreux ............................................................................................... 97 III-1-1. Description du modle macro-poreux ............................................................................. 98

A. Equation de conservation de la masse............................................................................................ 98 B. Equation de conservation de la quantit de mouvement................................................................. 99 C. Bilan des changes de chaleur au niveau de la surface du produit................................................ 99 D. Bilan des changes de chaleur dans lair..................................................................................... 100 E. Echange entre lair et le produit................................................................................................... 100 F. Echange entre lair et la paroi ..................................................................................................... 101 G. Conduction radiale dans le produit.............................................................................................. 101

III-1-2. Algorithme et rsolution................................................................................................ 102 A. Algorithme .................................................................................................................................... 102 B. Rsolution ..................................................................................................................................... 103

III-1-3. Validation du code de calcul ......................................................................................... 103 III-2. Modlisation directe : Approche CFD ....................................................................... 104

III-2-1. Phnomnes et hypothses ............................................................................................ 104 III-2-2. Discrtisation et rsolution ............................................................................................ 105 III-2-3. Conditions initiales et conditions aux limites (CFD Fluent) ......................................... 107 III-2-4. Tests de convergence..................................................................................................... 109

A. Principe ........................................................................................................................................ 109 B. Comparaison des rsultats ........................................................................................................... 111

III-2-5. Influence du pas de temps ............................................................................................. 113 A. Principe ........................................................................................................................................ 113 B. Comparaison des rsultats ........................................................................................................... 113

III-2-6. Etude du maillage .......................................................................................................... 114 A. Principe ........................................................................................................................................ 114 B. Comparaison des rsultats ........................................................................................................... 114

III-2-7. Etude du rayonnement ................................................................................................... 115 A. Principe ........................................................................................................................................ 115 B. Comparaison des rsultats ........................................................................................................... 117

III-2-8. Paramtres de rsolution adopts .................................................................................. 119 III-3. Conclusion.................................................................................................................. 119

Tables des Matires

11

IV. Rsultats et Discussions...................................................................................... 123 IV-1. Caractrisation exprimentale des coulements et des transferts dans un empilement ordonn de sphres faible vitesse dair............................................................................. 123

IV-1-1. Caractrisation exprimentale de la perte de charge dans lempilement....................... 123 A. Comparaison avec la littrature ................................................................................................... 124 B. Expression de la perte de charge sous forme adimensionnelle ................................................... 125

IV-1-2 Caractrisation exprimentale des transferts au sein de lempilement de sphres ......... 125 A. Estimation du coefficient de transfert par convection, par conduction et par rayonnement ........ 125 B. Caractrisation exprimentale des changes par conduction entre deux sphres en fonction de leur

conductivit ....................................................................................................................................... 128 C. Influence des paramtres opratoires sur le coefficient de transfert par convection................... 130

IV-1-3. Caractrisation exprimentale des transferts au niveau de la paroi de la conduite et lair.................................................................................................................................................... 133

A. Estimation de la conductance entre la paroi de la conduite et les sphres .................................. 133 B. Influence des paramtres opratoires sur le coefficient de transfert convectif entre la paroi de la

conduite et lair................................................................................................................................. 134 IV-1-4. Conclusion..................................................................................................................... 139

IV-2. Caractrisation des coulements et des transferts par convection naturelle dans des enceintes remplies ou non dempilements de produits........................................................ 139

IV-2-1. Ecoulements et transferts dans des enceintes vides....................................................... 140 A. Cas de la maquette de rfrigrateur vide ..................................................................................... 140 B. Cas du rfrigrateur mnager vide (sans tagres)..................................................................... 159

IV-2-2. Ecoulements et transferts dans des enceintes remplies de produits inertes thermiquement.................................................................................................................................................... 161

A. Cas de la maquette de rfrigrateur remplie de quatre blocs de sphres creuses........................ 161 B. Cas du rfrigrateur mnager vide avec tagres en verre.......................................................... 172

IV-2-3. Ecoulements et transferts dans des enceintes remplies de produits changeant de la chaleur........................................................................................................................................ 174

A. Cas de la maquette exprimentale charge avec un bloc de sphres en gel................................ 174 B. Cas de lenceinte paralllpipdique compltement remplie de sphres en gel........................... 181 C. Cas du rfrigrateur mnager charg avec des paquets de mthyle cellulose ............................. 187

IV-2-4. Conclusion..................................................................................................................... 190

Conclusion Gnrale................................................................................................. 193 Rfrences Bibliographiques ................................................................................... 199 Annexes ...................................................................................................................... 205

Nomenclature

13

Nomenclature Lettres latines a : coefficient dabsorption du rayonnement m-1 av : rapport surface des sphres / volume du lit occup par ces sphres m-1 a1 : coefficient relatif aux transferts par conduction et par rayonnement entre particules Wm-1K-1 a2 : coefficient relatif aux changes par conduction et dispersion dans lair Wm-1K-1 a3 : coefficient dpendant de la gomtrie et de la position du produit dans lempilement - a4 : coefficient dpendant de la gomtrie et de la position du produit dans lempilement - A : surface dchange m2 Asf : interface entre la phase solide et la phase fluide m2 A0 : surface spcifique m-1 b3 : coefficient dpendant de la gomtrie et de la position du produit dans lempilement - b4 : coefficient dpendant de la gomtrie et de la position du produit dans lempilement - c3 : coefficient dpendant de la gomtrie et de la position du produit dans lempilement - C : conductance de contact entre deux sphres WK-1 Cparoi : conductance entre la paroi et les sphres WK-1 Cp : capacit thermique massique pression constante de lair J kg-1 K-1 Cv : capacit thermique massique volume constant J kg-1K-1 C : conductance quivalente lchange par rayonnement WK-1 C1 : facteur li aux frottements visqueux (terme de Darcy) m-2 C1

* : facteur adimensionnel li aux frottements visqueux (terme de Darcy) - C2 : facteur li aux frottements turbulents et aux changements de direction dair (terme de

Forchheimer) m-1

C2* : facteur adimensionnel li aux frottements turbulents et aux changements de direction

dair (terme de Forchheimer) -

C3 : facteur li aux rtrcissements/largissements lentre/sortie de lempilement - d3 : coefficient dpendant de la gomtrie et de la position du produit dans lempilement - D : tenseur de diffusion total m2 s-1 D : diamtre des particules (des sphres) m Da : constante de Darcy ; Da =K/L2 - Dd : tenseur de dispersion. m2 s-1 DT : diamtre de la colonne m D : dispersion transversale m2 s-1 D|| : dispersion longitudinal m2 s-1 F : coefficient empirique qui dpend de la porosit et de la microstructure du milieu poreux

(terme de Forchheimer) -

Fo : nombre de Fourier ; Fo =t/R2 - Fr : facteur dchange radiatif - F12 : facteur de forme dpendant de la gomtrie tudie - g : acclration de pesanteur m s-2 Gr : nombre de Grashof ; Gr= gTL3/2 - H : hauteur de lempilement (hauteur occupe par les sphres) m H : enthalpie massique J kg-1 hext : coefficient de transfert entre lair ambiant et la paroi externe de la maquette Wm-2K-1 hglob : coefficient de transfert global au niveau des parois Wm-2K-1 hmaq : coefficient de transfert global de la maquette Wm-2 K-1

Nomenclature

14

hparoi : coefficient de transfert convectif entre la paroi et lair Wm-2 K-1 hrel : coefficient de transfert global dun rfrigrateur rel Wm-2 K-1 hsf : coefficient de transfert convectif linterface Wm-2 K-1 Ientrant : intensit radiative entrante dans la direction s

r( la position r

r) Wm-2 sr-1

( )s,rI rr : intensit radiative dans la direction sr ( la position rr ) Wm-2 sr-1 jq : densit de flux convectif la paroi Wm-2 jq.int : densit de flux de chaleur moyenne sur linterface particule/fluide. Wm-2 jr : densit de flux de chaleur par rayonnement entre deux corps gris Wm-2 k : conductivit thermique de lair W m-1 K-1 kA : moyenne arithmtique de la conductivit thermique W K-1 ke : conductivit thermique effective. W K-1 kef : conductivit thermique effective de la phase fluide W K-1 kes : conductivit thermique effective de la phase solide W K-1 kf : conductivit thermique de la phase fluide W K-1 kG : moyenne gomtrique de la conductivit thermique W K-1 kH : moyenne harmonique de la conductivit thermique W K-1 kp : conductivit thermique du produit W K-1 kr : conductivit radiative W K-1 kr : conductivit radiative quivalente W K-1 ks : conductivit thermique de la phase solide W K-1 ks* : conductivit adimensionnelle de la phase solide - K : permabilit m2 K : tenseur de permabilit m2 L : longueur m m : facteur de forme qui dpend de la gomtrie - M : rapport entre la dimension de limage photographie et lobjet tudi - Ma : masse molaire de lair (29 g mole-1) kg mole-1 Mw : masse molaire de leau (18 g mole-1). kg mole-1 n : nombre de ranges - n0 : indice de rfraction - nr

: vecteur normal unitaire - Nu : nombre de Nusselt - Nup,n : nombre de Nusselt la paroi face la range n - Nup, : nombre de Nusselt dans la zone tablie - N : discrtisation de langle rad-1 N : discrtisation de langle rad-1 p : pression ou pression motrice Pa p* : nombre dEuler - pn+1 : pression litration n+1 Pa Pe : nombre de Peclet ; Pe= uR/ - Pr : nombre de Prandtl ; Pr=/ - Q& : puissance de chauffage W

rr

: vecteur position m R : rayon de la sphre m Ra : nombre de Rayleigh ; Ra = Gr Pr - Rc : rsistance lectrique des lments chauffants Re : nombre de Reynolds ; Re=L u/ -

Nomenclature

15

sr

: vecteur direction - 'sr

: direction du vecteur de dispersion - t : temps s t0 : temps de rfrence s t* : temps adimensionnel - T : temprature, temprature dair, temprature mesure C ou K Tair : temprature de lair C ou K Tamb : temprature ambiante dans la cellule dessai C ou K TC : temprature de la paroi chaude C ou K Teq : temprature cur du produit lquilibre thermique (rgime permanent) C ou K Tf : temprature de la phase fluide C ou K TF : temprature de la paroi froide C ou K Tini : temprature initiale C ou K Tm : temprature moyenne du produit C ou K Tp : temprature de particule C ou K Tparoi : temprature de la paroi C ou K Tp.int : temprature des particules linterface C ou K Ts : temprature de surface du solide ou temprature de la phase solide C ou K TS.C : temprature de la sphre chauffe C ou K Tsf : temprature du solide linterface solide-fluide C ou K TS.R : temprature de la sphre rceptrice C ou K TS.1 : temprature de la sphre creuse en cellulod en contact avec la sphre chauffe C ou K TS.2 : temprature de la sphre creuse en cellulod en contact avec la sphre rceptrice C ou K T0 : temprature de rfrence C ou K T1 : temprature de la surface 1 C ou K T2 : temprature de la surface 2 C ou K T : moyenne volumique de la temprature au niveau dun lment de volume reprsentatif C ou K Tf : moyenne volumique de la temprature dans la phase fluide au niveau dun lment de

volume reprsentatif C ou K

Ts : moyenne volumique de la temprature dans la phase solide au niveau dun lment de volume reprsentatif

C ou K

T : temprature loin de surface du solide C ou K T* : temprature adimensionnelle - T : cart de temprature C ou K Td : cart maximum de temprature entre les phases solide et fluide au niveau de llment

reprsentatif C ou K

Tl : cart maximum de temprature entre les phases solide et fluide au niveau du pore C ou K TL : cart de temprature globale C ou K u : vitesse du fluide m s-1 uy : vitesse verticale du fluide m s-1 u0 : vitesse de rfrence m s-1 un : vitesse litration n ms-1 un : vitesse dduite partir de lestimation de la pression ms-1 u* : vitesse adimensionnelle - ur

: vitesse de filtration = vitesse superficielle du fluide = vitesse de Darcy m s-1

pur

: vitesse moyenne interstitielle de pore m s-1

U : nergie interne massique J kg-1 U : tension de chauffage V

Nomenclature

16

Vf : volume occup par le fluide m3 Vs : volume occup par le solide m3 w : fraction massique de vapeur deau - w0 : fraction massique de vapeur deau de rfrence - x : distance, position suivant la direction horizontale m x* : distance adimensionnelle - x : pas despace suivant la direction horizontale m (x,y) : position du centre de la sphre - (x,y,r) : position radiale dans une particule centre en (x,y) - X : dplacement des particules mesur pendant un intervalle t m y : distance, position suivant la direction verticale m yr

: vecteur unitaire ascendant -

y : pas despace suivant la direction verticale m z : distance, profondeur de la maquette m

Lettres grecques : diffusivit thermique du fluide m2 s-1 m : diffusivit thermique moyenne m2 s-1 r : coefficient de sous-relaxation - : coefficient dexpansion thermique K-1 : coefficient dexpansion hydrique - t : intervalle de temps s : diffrence de masse volumique kg m-3 : porosit de lempilement - r : missivit - r1 : missivit de la surface 1 - r2 : missivit de la surface 2 - rad_12 : flux radiatifs entre les deux surfaces S1 et S2 W m-2 rad_entrant : flux radiatif entrant au niveau dune surface W m-2 rad_sortant : flux radiatif sortant dune surface W m-2 : fonction de phase - : paramtre de similarit - : angle azimutal rad : viscosit dynamique du fluide Pa s : viscosit effective Pa s : viscosit cinmatique du fluide m2 s-1 : angle polaire rad : masse volumique de lair kg m-3 0 : masse volumique de lair dans les conditions de rfrence (T0, w0) kg m-3 : masse volumique loin de la surface du solide kg m-3 : constante de Stefan-Boltzmann, = 5.6704010-8 W m-2 K-4 s : coefficient de dispersion du rayonnement m-1

: tenseur des contraintes visqueuses Pa

: angle solide sr : coefficient li la conduction unidirectionnel en rgime transitoire dans une sphre rad : coefficient li la conduction unidirectionnel en rgime transitoire dans une sphre -

pr

: gradient de pression Pa m-1

Introduction

Introduction

19

Introduction

Dans les industries agroalimentaires, au cours de procds tel que le refroidissement ou

le schage dun empilement de produits, on constate souvent des diffrences importantes dans

la qualit du produit final en fonction de sa position dans lensemble. Ces htrognits de

traitement sont dues, dune part, aux diffrences de proprits de lcoulement dair

(humidit, temprature, vitesse) arrivant localement au niveau des produits, dautre part, une

multiplicit de paramtres technologiques. Ces derniers sont lis la gomtrie de

linstallation (conception) ainsi quaux caractristiques de lempilement dobjets (forme des

produits, cartements, arrangement, type de conditionnement).

Ce travail de thse vise apporter des lments pour expliquer et quantifier leffet de

diffrents facteurs sur les htrognits de temprature dans un empilement de produits

soumis des transferts par convection naturelle.

Lobjectif scientifique est de comprendre les mcanismes dcoulement et de transfert

en convection naturelle interne, dans des configurations tridimensionnelles et en prsence de

nombreux obstacles, afin de dvelopper une mthodologie de prdiction de ces mcanismes.

La dmarche applique ici se veut gnrale et transposable diffrents types

dempilement de produits soumis la convection naturelle. Ce phnomne est souvent

rencontr en industrie agroalimentaire, cest le cas par exemple de la conservation de produits

dans une chambre froide, du transport dans un camion frigorifique ou de palettes de produits

laisses sur un quai de chargement. Toutefois, pour tre applicable, un travail de cette nature

doit tenir compte des spcificits de chaque cas. Lapplication traite dans cette thse est la

conservation des produits alimentaires dans les rfrigrateurs mnagers froid statique (sans

ventilation).

Lobjectif pratique est de localiser, en fonction du type de rfrigrateur et de son

chargement, les zones chaudes et froides qui peuvent prsenter des risques sanitaires ou

de conglation pour les produits qui y seraient places et de proposer ventuellement des

dispositifs susceptibles de rduire lhtrognit de la temprature.

Un des points cls de ltude est quen convection naturelle, les vitesses et les flux

changs sont faibles et on sattend ce que les changes par conduction ou par rayonnement

soient du mme ordre de grandeur que ceux par convection.

Cest pourquoi, nous avons dabord entrepris une caractrisation exprimentale des

diffrents changes ayant lieu au sein dun empilement dobjets (sphres) en contact avec les

parois dune enceinte et soumis un coulement dair faible vitesse : convection entre lair

et la surface des produits ou les parois de lenceinte, conduction et rayonnement entre produits

ou avec les parois.

Introduction

20

Nous avons abord la modlisation et la simulation numrique de ces phnomnes par

deux approches :

Utilisation dun code industriel de mcanique des fluides et de transfert thermique

(Computational Fluid Mechanics, CFD)

Formalisation dun modle semi-empirique considrant lempilement comme un

milieu poreux en distinguant les tempratures de lair, en surface et cur des

produits. Pour cela, nous avons crit un code de calcul spcifique dont les

paramtres ont t identifis exprimentalement.

Nous avons ensuite tudi exprimentalement et numriquement diffrentes

configurations dcoulement et de transfert en convection naturelle interne se rapprochant de

celle dun rfrigrateur mnager. Pour viter une confrontation directe avec toute la

complexit gomtrique et de fonctionnement dun rfrigrateur rel et pour pouvoir effectuer

des mesures de vitesse par PIV (vlocimtrie par images de particules), nous avons construit

une maquette de rfrigrateur ( lchelle 1) permettant dobserver les mmes phnomnes

que dans le cas rel mais avec des conditions aux limites plus simples et bien tablies.

Dans une dmarche complexit croissante, nous avons tudi successivement le cas

denceintes vides (maquette et rfrigrateur rel), celui denceintes remplies de produits

inertes thermiquement (maquette remplie de sphres creuses, rfrigrateur muni dtagres) et

celui denceintes remplies de produits changeant de la chaleur (maquette et enceinte

paralllpipdique remplies de sphre pleines, rfrigrateur charg de produits test).

Une analyse des rsultats exprimentaux portant notamment sur linfluence de la

temprature et de la surface de la paroi froide a t effectue. Une comparaison avec les

simulations numriques a t ensuite ralise.

Aprs une analyse bibliographique sur les rfrigrateurs mnagers, sur la convection

naturelle et les milieux poreux. On prsente dans ce mmoire de thse les dispositifs et plans

exprimentaux, on aborde ensuite lapproche de modlisation et de simulations numriques.

Enfin, on analyse et compare les diffrents rsultats exprimentaux et numriques.

Chapitre I

Analyse Bibliographique

I. Analyse Bibliographique

23


I-1. Gnralits sur les rfrigrateurs mnagers

Pour situer les enjeux, lheure actuelle, la quasi-totalit des mnages franais sont

quips dappareils de conservation des aliments par le froid : rfrigrateurs, rfrigrateurs-

conglateurs et/ou conglateurs domestiques. En 1999, le parc est estim environ 37

millions dunits en France et 130 millions en Europe (AFF (2001)).

I-1-1. Exigences du produit : La chane du froid

Le risque sanitaire dorigine microbienne associ la consommation daliments

contamins est bien connu. Les industriels ont mis en place des mesures dhygine,

notamment par la matrise de la temprature dans la chane du froid ds la production des

denres alimentaires, puis tout au long des tapes de transformation, de stockage, de transport

et de distribution. Si prsent, les premiers maillons de la chane du froid sont en gnral

solides, il nen est pas de mme du dernier (maillon consommateur), qui est souvent trs

faible, voire inexistant.

Le consommateur disposant dun rfrigrateur a confiance dans la protection apporte

par ce dernier, mais, mal inform ou ngligent, il commet souvent des erreurs pouvant tre

prjudiciables sa sant.

Une tude ralise en 2004 par le Cemagref la demande de lANIA (Association

nationale des industries alimentaires) et men par Derens et al. (2004) sur trois types de

produits rfrigrs (yaourts, produits carns et produits de charcuterie) et sur tous les maillons

de la chane du froid : de lexpdition du produit (usine) la conservation domestique

(consommateur), a montr que les produits passent en moyenne autant de temps dans le

meuble de vente que dans les rfrigrateurs mnagers (3 5 jours en moyenne). Les produits

rfrigrs sont globalement conservs dans des bonnes conditions chez les professionnels.

Cependant, lenqute a montr que plus de 40% de ces produits sont conservs par le

consommateur dans des conditions dfavorables ds quils sortent du point de vente (Fig. I-1).

Une autre tude ralise par le Cemagref (Laguerre et al. (2002)) sur le niveau de

temprature dans les rfrigrateurs en France a montr que 26% des rfrigrateurs

domestiques prsentent une temprature moyenne suprieure 8C. Cette temprature est

pourtant la temprature maximale tolre pour les aliments (arrt du 9 mai 1995

rglementant lhygine des aliments remis directement au consommateur). De plus, il a t

observ une forte htrognit de temprature au sein dun mme appareil. Ceci est li

gnralement un mauvais rglage de thermostat ou un mauvais chargement des produits

dans le rfrigrateur.


24

Des enqutes concernant la conservation des aliments dans les rfrigrateurs mnagers

(dans des conditions dutilisation relle) ont t galement menes dans dautres pays :

Irlande du Nord (Flynn et al. (1992)), Royaume Uni (James et Evans (1992)), Pays-

Bas (Lezenne Coulander (1994)), Nouvelle Zlande (OBrien (1997)) et Grce (Sergelidis et

al. (1997)). Ces enqutes ont montr que la moyenne de la temprature dair dans les

rfrigrateurs est aux alentours de 6C (minimum 0C et maximum 12C), alors que la valeur

moyenne prconise par la rglementation est de 4C ou 5C (suivant le pays).

Figure I-1. Rpartitions en classe des moyennes des tempratures de yaourts et des produits

carns par maillon de la chane du froid (en ordonnes % des produits) - Derens et al. (2004)

I-1-2. Importance des tempratures dans la matrise du dveloppement microbien

Le recours au froid est primordial en agroalimentaire. On diffrencie en matire de

conservation, les procds de rfrigration (ou froid dit positif : temprature suprieure au

point de conglation voisin de 0C) et les procds de conglation (ou froid dit ngatif :

temprature nettement infrieure au point de conglation). Par ailleurs, on distingue, dune

part, le froid dynamique, permettant le refroidissement rapide des denres alimentaires, et

dautre part, le froid statique permettant le maintien en temprature des aliments

pralablement rfrigrs. De par leurs performances, les matriels correspondants sont

diffrents. Le froid agit en inhibant le dveloppement des micro-organismes, voire en le

stoppant pour les tempratures infrieures -18C. En revanche, mme des tempratures

ngatives, le froid ne constitue en aucun cas un moyen daction pour leur destruction. La

figure I-2 illustre quelques exemples de tempratures approximatives darrt de croissance de

germes pathognes.


25

Figure I-2 : Temprature approximative darrt de croissance de germes pathognes - Rosset

(2002)

En ralit, essentiellement deux bactries savrent dangereuses, la salmonelle et la

listeria, parce quil sagit de germes dangereux qui nentranent pas de modifications

apparentes de laliment. Les autres agents daltration ont une action visible, en rendant, par

exemple, une viande poisseuse, puis en lui donnant une odeur de putrfaction bien avant que

ces transformations soient pathognes.

Toute hausse de temprature des produits acclre plus ou moins fortement la

croissance microbienne. On peut dire quune monte de 5C (pendant quelques dizaines de

minutes) multiplie approximativement la vitesse de croissance de certains germes par deux

(voire plus). Indiquons par exemple que la teneur en Listeria peut passer, en moins de 8 jours,

de quelques units par gramme plus de 1000 lors dun stockage +10C (Rosset et Rosset

(2000)).

Il faut signaler que laction du froid sexerce galement sur les enzymes :

ralentissement, mais sans arrt complet, de leur activit (dgradation des protines,

destruction des vitamines ).

Compte tenu des htrognits de temprature dans les rfrigrateurs mnagers, il est

important de bien connatre la position des zones froides et des zones chaudes afin de bien

placer les aliments sensibles.

Pour un rfrigrateur dont la zone la plus froide est situe au-dessus du bac lgumes,

ce qui est le cas pour la majorit de rfrigrateurs, il est recommand de placer les aliments

selon la figure I-3.


26

Figure I-3 : Recommandation pour le placement des aliments dans les rfrigrateurs mnagers

(daprs Roussille (2002))

Zone froide infrieure 4C : Poisson, viande et volaille, charcuterie, plats cuisins et salades

composes, ptes fraches et fromages au lait cru.

Zone frache, de 4C 6C : Lait et produits laitiers, yaourts, fromage la dcoupe ou rp et

ptisseries sans crme..

Zone tempre, de 6C 10C : Beurre, oeufs, crme frache, fromage pte molle, fruits et

lgumes..

I-1-3. Diffrents types de rfrigrateurs mnagers

La rfrigration domestique propose diffrents types de froid ; froid statique, froid

brass ou froid ventil.

a. Froid statique

Dans ce cas, il ny a pas de ventilation, la circulation se fait uniquement par convection

naturelle (Fig. I-4-a). Cest le modle le plus ancien et le plus courant en Europe. Le froid

statique ne maintient pas une temprature gale en tous points du rfrigrateur, qui comporte

une zone froide (infrieure ou gale 4 degrs) et des zones chaudes (5 8 degrs, voire

davantage dans le bac lgumes).

b. Froid brass

Il sagit de rfrigrateurs froid statique quips de ventilateurs (Fig. I-4-b). Les

ventilateurs font circuler l'air et permettent ainsi une descente en temprature plus rapide

aprs ouverture de la porte ou si lon y met des produits chauds. En rgime permanent, la


27

temprature dair est plus homogne que dans les rfrigrateurs froid statique. Il y a

cependant un surcot nergtique ; il faut non seulement apporter lnergie mcanique au

ventilateur mais aussi vacuer lapport de chaleur supplmentaire li la dissipation

thermique de celle-ci.

c. Froid ventil ( air puls)

Cette technique, prsente sur les rfrigrateurs type amricains ou No Frost, produit

une temprature trs homogne (Fig. I-4-c). Une turbine (encastre dans la paroi arrire)

pousse lair dans le rfrigrateur aprs quil soit pass proximit de lvaporateur. Il ny a

pas stratification de temprature et il y a moins de rchauffement aprs ouverture de la porte.

Les inconvnients de cette technique sont quelle est plus bruyante, plus chre, quelle

dessche lgrement les aliments non emballs et quelle consomme davantage dnergie.

(a) (b) (c)

Figure I-4 : Les trois types de froid ; (a) froid statique, (b) froid brass, (c) froid ventil (daprs Roussille (2002))

I-1-4. Rglementations

Un dcret dat du 3 avril 2002 impose aux rfrigrateurs de possder une zone

dentreposage temprature infrieure ou gale 4C clairement identifie par une

signaltique indlbile, sous forme littrale, graphique ou de couleur. En gnral, cette zone

se situe en bas du rfrigrateur. Cette nouvelle norme est rendue obligatoire pour tous les

appareils commercialiss partir doctobre 2002, seuls les modles froid ventil y

chappent puisque, avec cette technique, la temprature est presque uniforme dans tout le

compartiment.

Remarque : les circulations dair indiques ne reposent ici ni sur des mesures ni sur des simulations.


28

I-1-5. Consommation nergtique

La part des quipements mnagers frigorifiques tait estime 5 % de la consommation

nergtique en France en 1992 (avec 18 TWh), et reprsentait prs du quart de la

consommation du secteur rsidentiel (AFF (2001)).

I-1-6. Enjeux conomiques

Dun strict point de vue sanitaire, la prise en compte du risque de contamination mne

logiquement abaisser la temprature des rfrigrateurs et assurer la plus grande

homognit possible. Pour ce faire, diffrentes solutions techniques sont envisageables:

diminution de la temprature dvaporation, amlioration des transferts convectifs. Quelle que

soit la solution retenue, elle se traduit par une augmentation des consommations nergtiques

des rfrigrateurs. Or, le consommateur souhaite avoir un appareil qui dpense peu dnergie

et qui garantisse la scurit des aliments. Pour rpondre ces objectifs contradictoires, il est

ncessaire de mieux comprendre et mieux matriser les phnomnes de circulation dair et de

transfert thermique en convection naturelle dans les gomtries complexes que constituent les

rfrigrateurs lorsquils sont chargs de produits.

I-2. Transferts thermiques dans les rfrigrateurs mnagers

I-2-1. Analyse qualitative des changes

Gnralement, les dimensions extrieures des rfrigrateurs commercialiss sont de

60cm60cm (largeurprofondeur) avec une hauteur variant entre 90cm 200cm. Lpaisseur moyenne des parois des rfrigrateurs est de lordre de 4cm avec une conductivit thermique

globale denviron 0.027 W m-1K-1 (donnes constructeurs). Ces parois sont gnralement un

assemblage de trois types de matriaux : une fine couche de mtal pour le revtement

extrieur du rfrigrateur, une couche de polyurthane qui assure lisolation thermique et

enfin, une fine couche de polystyrne pour le revtement intrieur du rfrigrateur.

Lemplacement et la dimension de la paroi de levaporateur varie selon le modle. Il est

gnralement encastr dans la paroi verticale situe au fond du compartiment et occupe en

moyenne entre 40% et 80% de la surface de cette paroi.

A. Echanges thermiques dans les rfrigrateurs

Dans le cas dun rfrigrateur vide, une boucle de circulation dair va sinstaller : lair

refroidi prs de lvaporateur descend et lair chaud en contact avec la porte et les parois

monte (Fig. I-5). Les changes de chaleur sont dus essentiellement la convection naturelle

entre les parois internes du rfrigrateur et lair, au rayonnement entre la paroi de

lvaporateur et les autres parois internes, la conduction au sein mme des parois (Laguerre

et Flick (2004)).


29

Dans le cas dun rfrigrateur rempli de produits, ceux-ci sont refroidis grce la fois

la convection naturelle, au rayonnement entre les parois internes du rfrigrateur et la surface

des produits, la conduction et au rayonnement entre les produits.

Figure I-5 : Schma des changes convectifs et radiatifs dans un rfrigrateur mnager vide

B. Exemples dvolution de temprature dans les rfrigrateurs mnagers

Le fonctionnement dun rfrigrateur est cyclique. En effet, la rgulation de la

temprature est effectue par une commande tout ou rien (marche/arrt) du compresseur ce

qui entrane des variations de temprature de la paroi de lvaporateur et par suite de la

temprature de lair dans le rfrigrateur. La figure I-6 prsente un exemple de variation de

temprature de la paroi de lvaporateur dans un rfrigrateur mnager pour un thermostat

rgl 6C. Nous constatons partir de cette figure que la temprature varie de 12C

+7C, avec une temprature moyenne estim 1.2.

Figure I-6 : Exemple de variation de temprature sur la paroi de lvaporateur dun

rfrigrateur mnager, le thermostat tant rgl sur 6C (Laguerre et Flick (2004))


30

Malgr les variations de temprature de lair au sein des rfrigrateurs, due au cycle

arrt-marche du compresseur (Fig. I-7), il y a trs peu de fluctuations de temprature du

produit car les aliments, composs majoritairement deau, ont une assez forte inertie

thermique. En effet, sur lexemple du suivi de refroidissement dun morceau de cervelas

ralis par Laguerre et Flick (2004), on observe que la fluctuation de la temprature de lair

dans le rfrigrateur nest pas perue ni au niveau de la temprature de surface, ni au niveau

de la temprature cur de ce produit (Fig. I-8).

Figure I-7 : Exemple de variation de temprature de lair diffrentes positions dans un rfrigrateur mnager, le thermostat tant rgl sur 6C (Laguerre et Flick (2004))

Figure I-8 : Evolution de la temprature dun cervelas dans un rfrigrateur mnager, le

thermostat tant rgl sur 6C (Laguerre et Flick (2004))

1-2-2. Etudes exprimentales et numriques

Peu dtudes ont port spcifiquement sur les transferts thermiques au sein des

rfrigrateurs domestiques alors que des tudes assez nombreuses portent sur le systme de

production du froid des rfrigrateurs.


31

Les tudes ralises sur les rfrigrateurs mnagers sont essentiellement lies la

quantification des changes thermiques travers les parois et les joints et de lapport de

chaleur d la ventilation (Boughton et al. (1996), Deschamps et al. (1999)). Dautres

travaux portent sur le pilotage du compresseur laide dun simple thermostat ou en utilisant

un systme lectronique plus sophistiqu (Sorensen et al. (1997)). Ces tudes ont pour

objectif doptimiser les performances nergtiques mais elles ne tiennent pas compte de

lhtrognit de temprature de lair au sein des rfrigrateurs et les appareils sont tests

vide.

Quelques tudes (exprimentales ou/et numriques) portant sur les coulements dair et

les transferts thermiques dans les rfrigrateurs mnagers ont t ralises mais toujours

vide. Ding et al. (2004) ont tudi numriquement linfluence de lespacement entre les

tagres en verre et la paroi de lvaporateur (ainsi que la paroi ct porte) sur la distribution

de temprature dans un rfrigrateur vide froid statique. Ils ont montr que lcart maximal

de temprature de lair, calcul entre le haut et le bas du rfrigrateur, augmente quand cet

espacement augmente. Pereira et Nieckele (1997) ont tudi les changes par convection

naturelle au niveau de lvaporateur. Silva et Melo (1998) ont caractris exprimentalement

un rfrigrateur non ventil (vide) par une cartographie des tempratures et par des flux

locaux sur les parois et sur lvaporateur. Deschamps et al. (1999) ont ralis une tude

numrique de lcoulement dair et des transferts thermiques permettant de prdire le champ

de temprature et de vitesse dans un rfrigrateur.

Une exprimentation en laboratoire sur des rfrigrateurs vides ou chargs de paquets

tests a t ralise par James et Evans (1992) afin dtudier linfluence des ouvertures de

porte, du rglage du thermostat et de lintroduction dun aliment chaud sur la temprature.

Cette tude reste nanmoins empirique et aucune extrapolation nest envisageable.

Il est important de souligner que la circulation de lair et sa temprature dpendent

fortement de la conception de lappareil (position et taille de lvaporateur), de larrangement

des produits et du taux de remplissage. Afin dtudier ces phnomnes, nous pouvons nous

inspirer des nombreuses tudes sur les coulements et les transferts en convection naturelle et

force dans une enceinte remplie dobstacles ou dempilements dobjets. Certaines de ces

tudes ont montr limportance de lhtrognit des changes qui dpend de la porosit et

de la position des objets par rapport au parcours de lair (Muralidher et Kulacki (1987),

Stanek et Vychodil (1988), Kazmierczak et Muley (1994), Carniol (2000)). Nanmoins, les

rsultats de ces tudes ne peuvent pas tre appliqus directement au cas des rfrigrateurs

chargs de produits du fait des diffrences de gomtrie des enceintes et de proprits (nature,

dimension, forme) des produits.

De nombreuses tudes ont port sur le refroidissement dempilements de produits

alimentaires : Baird et al (1975) pour des oranges, Arifin et Chau (1987, 1988), Emond et al.

(1996) pour des fraises, Amos et al. (1993), Parsons et al. (1970) pour des prunes et des

pches, Gaffney et Baird (1977) pour des poivrons, Wang et Tupun (1969), Bennett et al.


32

(1980) pour des tomates ; Alvarez et Flick (1999) pour des fruits et lgumes conditionns en

palette et Carniol et al. (2000) pour des produits laitiers. Mais ces tudes ne prennent pas en

compte les changes par conduction et par rayonnement entre les produits. Or ceux-ci ne sont

plus ngligeables si la convection seffectue faible vitesse (dans les zones mal ventiles ou

dans les installations fonctionnant en convection naturelle).

I-3. Convection naturelle en milieu libre

La convection naturelle est le mouvement qui rsulte dun gradient de temprature ou/et

de concentration qui engendre un gradient de masse volumique dans le fluide (pousse

dArchimde).

La variation de la masse volumique peut tre due la prsence dun gradient de

temprature (cas le plus courant) ou de concentration. La masse volumique des gaz et des

liquides diminue gnralement avec l'augmentation de la temprature (/T


33

I-3-1. Equations gnrales de la convection naturelle

A. Equations de conservation

La convection naturelle est rgit par trois quations : lquation de conservation de la

masse, lquation de conservation de la quantit de mouvement et lquation de conservation

de lnergie. Ces quations scrivent respectivement :

0=+

ut

rr (I-2)

gpuut

u rrrrrrr

++=+

(I-3)

upu:juUt

Uq

rrrrrrrr +=+

(I-4)

U : nergie interne massique [J kg-1], u : vitesse du fluide [m s-1], jq : densit du flux convectif

[Wm-2], : tenseur des contraintes visqueuses [Pa], g : acclration de pesanteur [m s-2],

p : pression [Pa].

B. Equations dtat et de transfert, hypothses simplificatrices

- Approximation de Boussinesq : Lapproximation de Boussinesq consiste supposer

que la masse volumique est constante sauf dans le terme gnralis de la convection naturelle

soit le terme gr de lquation de Navier Stoks. Ainsi ;

0 = (I-5) Sauf pour :

( )( )gTTg rr 00 1 = (I-6)

Cette approximation linaire est valable pour (T-T0)


34

On suppose que la conductivit thermique est constante

Tkjq =rr

(I-9)

En appliquant ces approximations, les quations I-2, I-3 et I-4 deviennent

respectivement :

0= urr

(I-10)

( ) ( )gTTugzpuut

u rrrrrrr

002

0000 ++=+

(I-11)

TuTt

T 2=+ r

r (I-12)

avec =k/(Cp) ; =/ : diffusion thermique du fluide [m2 s-1], : viscosit cinmatique du fluide [m2 s-1] Par la suite on note abusivement p au lieu de (p+0gz) et au lieu de 0.

C. Forme adimensionnelle en convection mixte

Les quations de conservation de la masse, de la quantit de mouvement et de lnergie

peuvent tre exprimes sous forme adimensionnelle en ralisant les substitutions suivantes :

x=x*L ; u= u*u0 ; T=T0+T*T ; t=t*u0 /L ; p=p*(u02) o L, T , u0 sont des valeurs caractristiques du systme tudi et p* est le nombre dEuler.

0** = urr

(I-13)

yTRe

Gru

Repuu

t

u *********

*rrrrrr

r

2

21 ++=+

(I-14)

*****

*

*

TPrRe

uTt

T 21

=+ rr

(I-15)

avec :

Re : le nombre de Reynolds ; Re=L u0/ Gr : le nombre de Grashof ; Gr= gTL3/2 Pr : le nombre de Prandtl ; Pr=/ yr

: vecteur unitaire ascendant.

Rappelons que le nombre de Reynolds fournit une mesure du rapport entre les forces

dinertie et les forces visqueuses agissant sur un lment de fluide et que le nombre de

Grashof indique le rapport de la force de flottabilit la force visqueuse agissant sur le fluide.

Les rsolutions des quations I-13 I-15, permet dtablir des corrlations pour les

transferts de chaleur de la forme Nu= f(Re ,Gr ,Pr) ; Nu tant le nombre de Nusselt dfinie par

Nu=hL/k, il reprsente le rapport entre les changes convectifs et conductifs. Il est important

de noter que cette formulation nest possible que sil existe une vitesse de convection force


35

caractristique (u0) bien dfinie. D'une faon gnrale, les effets combins de la convection

naturelle et force doivent tre considrs quand (Gr/Re2) 1. Si (Gr/Re2)> l, les effets de convection force

peuvent tre ngligs (Incropera et Dewitt (1996)).

D. Forme adimensionnelle en convection naturelle

Dans le cas de la convection naturelle, le temps de rfrence (t0) est bas sur la

diffusivit thermique :

2

0

Lt = (I-16)

2L

t*t

= (I-17)

On en dduit une vitesse de rfrence :

Lu

=0 (I-18)

Ainsi,

uL

*u = (I-19)

Les quations adimensionnelles de conservation de masse, de la quantit de mouvement

et de lnergie scrivent respectivement :

0** = urr

(I-20)

y*TPrGruPrpuut

u ********

*rrrrrr

r22 ++=+

(I-21)

*****

*

*

TuTt

T 2=+ rr

(I-22)

Pour une gomtrie donne, si les tempratures aux limites du systme sont constantes,

les seuls nombres sans dimensions qui interviennent sont ceux de Grashof (Gr) et de Prandtl

(Pr). On utilise souvent le couple (Ra, Pr) au lieu du couple (Gr, Pr) o Ra = Gr Pr est le nombre de Rayleigh. Pour un objet de forme donn, le nombre de Nusselt scrit alors :

( ) ( )Pr,GrgPr,Rafk

L

TA

QNu

.

===

(I-23)

A tant la surface de lobjet et .

Q tant le flux de chaleur total travers cette surface.

Ensuite, on peut montrer que :

)(RafNu = pour Pr >> 1 (I-24)

Pr)Ra(fNu = pour Pr


36

Les solutions en rgime laminaire et permanent des quations I-20, I-21 et I-22 ont t

dtermines dans diffrentes situations. Le cas dun long cylindre horizontal (Ts et T

=constantes), par exemple, a t tudi numriquement par Fujii et al. (1979) et Kuehn et

Goldstein (1980). Leurs rsultats, exprimant le nombre de Nusselt en fonction du nombre de

Rayleigh (pour Pr=0.71), sont reprsents sur la figure I-9. Un bon accord est observ entre

leurs rsultats et ceux des expriences. Les diffrences observes pour Ra106 sont dues la turbulence qui na pas t prise en compte dans leurs tudes.

Figure I-9 : (a) Valeurs prdites et mesures du nombre de Nu pour un long cylindre horizontal ; (b) champ de temprature autour dun cylindre horizontal en convection naturelle

I-3-2. Convection naturelle externe : notion de couche limite thermique et hydrodynamique

A. Dveloppement de la couche limite laminaire sur une plaque verticale

Un exemple classique de convection naturelle externe est celui du dveloppement de la

couche limite sur une plaque verticale chauffe (Fig. I-10). Ce cas de figure est proche de

celui rencontr prs des parois latrales internes dun rfrigrateur (autre que la paroi de la

lvaporateur). La plaque est immerge dans un fluide tendu et immobile avec Ts>T . Les

forces de flottabilit induisent une couche limite dynamique dans laquelle le fluide chauff

slve verticalement, entranant le fluide de la rgion immobile. Une couche limite se

dveloppe galement si Ts


37

Figure I-10 : Dveloppement de la couche limite sur une plaque verticale chauffe

Considrons maintenant un coulement laminaire de couche limite en rgime permanent

(Fig. I-10). La gravit est dirige vers le bas (direction -x). On suppose que le problme est

bidimensionnel et on utilise lapproximation de Boussinesq.

Lquation de mouvement suivant la direction x scrit alors (en ngligeant le terme

( )22 x/u ) :

2

21y

ug

x

p

y

uv

x

uu

+

=

+

(I-26)

Notons quil ny a aucune force de gravit dans la direction y (dans l'quation du

mouvement suivant y), do, p/y=0. Par consquent le gradient de pression suivant x un point quelconque dans la couche limite est gal au gradient de pression dans la rgion hors de

la couche limite. Dans cette rgion u=0, et lquation I-26 se rduit :

gx

p=

(I-27)

En substituant l'quation I-27 dans I-26, nous obtenons l'expression suivante:

( )2

2

y

ug

y

uv

x

uu

+=

+

(I-28)

Lquation I-28 sapplique chaque point de la couche limite.

Le premier terme dans le second membre de l'quation I-28 dsigne la pousse

dArchimde qui peut tre explicite en utilisant le coefficient volumtrique de dilatation

thermique (), lensemble des quations rgissant le problme est alors :

0=+

y

v

x

u (I-29)

( )2

2

y

uTTg

y

uv

x

uu

+=

+

(I-30)


38

2

2

y

T

y

Tv

x

Tu

=

+

(I-31)

avec les conditions aux limites suivantes :

Pour y=0 ; u=v=0 et T=Ts

Pour y ; u0 et TT

Le problme dynamique (Eq. I-29 et I-30), ne peut pas tre dcoupl du problme

thermique (Eq. I-31) : la solution de l'quation de mouvement dpend de la connaissance de la

temprature T, et par consquent de la solution de l'quation de l'nergie.

Une solution ce problme a t propos par Ostrach (1953). Elle utilise une

transformation des variables du problme en introduisant un paramtre de similarit de la

forme :

4/1

4

xGrx

y (I-32)

avec

2

3)(

xTTg

Gr sx= (I-33)

Les rsultats sont prsents sur la figure I-11. On peut ainsi obtenir la valeur de la

composante de vitesse suivant x et la temprature T en chaque point.

Figure I-11 : Couche limite laminaire sur une plaque plane verticale isotherme en convection

naturelle (a) profil de vitesse ; (b) profil de temprature (daprs Ostrach (1953))


39

En introduisant la loi de Fourier pour obtenir lexpression du flux parital et en

exprimant le gradient de temprature en fonction de (Eq. I-32), on obtient :

(Pr)gGr

d

dT*Gr

k

hxNu

/

x

/

xx

41

0

41

44

=

===

(I-34)

Remarquons que le gradient de temprature (sans dimension) la surface est fonction

du nombre de Prandtl (g(Pr)). Cette dpendance est bien illustre par la figure I-11-b, et elle a

t dtermine numriquement pour quelques valeurs de Prandtl (Ostrach (1953)). Ces

rsultats ont t ensuite corrls par une formule dinterpolation par Le Fevre (1956) :

( ) 412121

238122116090

750//

/

Pr.Pr..

Pr.(Pr)g

++= (I-35)

Cette corrlation est valable pour 0 Pr

La moyenne du coefficient de transfert sur une surface de longueur L scrit :

( )

== L

/

/

s

L

x

dx(Pr)g

TTg

L

khdx

Lh

041

41

20 4

1 (I-36)

En intgrant cette expression, on obtient :

(Pr)gGr

k

LhNu

/

LL

41

43

4

== (I-37)

B. Effet de la turbulence

Il est important de noter que la couche limite hydrodynamique (issue de la convection

naturelle) nest pas ncessairement laminaire. Typiquement, la convection naturelle est due

une instabilit thermique qui entrane une instabilit hydrodynamique ; cette dernire peut

samplifier impliquant une transition de lcoulement dun rgime laminaire un rgime

turbulent (Fig. I-12).

Figure I-12 : Transition dans la couche limite sur une plaque plane verticale en convection naturelle


40

La transition dans la couche limite dpend de limportance de la force de flottabilit et

des forces visqueuses dans le fluide. Cette magnitude est dtermine laide du nombre de

Rayleigh (qui dpend en particulier de lcart de temprature). Pour une plaque verticale, le

nombre de Rayleigh critique est denviron 109 :

( ) 93 10==

xTTgPrGrRa sx,cx,c

(I-38)

Ce phnomne de transition est discut par Gebhart et al.(1988).

C. Corrlations empiriques

Les corrlations empiriques exprimant la convection naturelle externe sont

gnralement de la forme suivante :

nRaCtek

LhNu == (I-39)

Le nombre de Nusselt tant bas sur la longueur caractristique L de lobjet (le diamtre

pour une sphre ou un cylindre horizontal infini, la hauteur pour une plaque verticale, par

exemple). Typiquement, n = 1/4 pour un coulement laminaire et n=1/3 pour un coulement

turbulent.

Par exemple, pour une plaque verticale isotherme, Churchill et Chu (1975) ont propos

deux corrlations. La premire corrlation est valable pour tout nombre de Ra (Eq. I-40). La

deuxime corrlation est valable seulement en rgime laminaire (Ra 109 ; Eq. I-41).

( )2

278169

61

49201

38708250

++= //

/

LPr)/.(

Ra..Nu (I-40)

( ) 9416941

49201

6700680 //

/

LPr)/.(

Ra..Nu

++= (I-41)

I-3-3. Convection naturelle interne

A. Convection interne dans un espace entre deux plaques parallles horizontales

La prsence d'un gradient de masse volumique dans un fluide soumis la force de la

gravit n'assure pas ncessairement l'existence dun phnomne de convection naturelle.

Considrons par exemple les deux conditions de la figure I-13 o un fluide est compris entre

deux grandes plaques horizontales maintenues des tempratures diffrentes (T1T2).


41

Figure I-13 : (a) Gradient instable de temprature (b) Gradient stable de temprature

Dans le premier cas (Fig. I-13-a), o la temprature de la plaque infrieure (T2) est plus

leve que celle de la plaque suprieure (T1), la masse volumique dcrot dans le mme sens

que la direction de la force de gravit. Si la diffrence de la temprature dpasse une valeur

critique, il y a naissance de la convection naturelle. La force de gravit exerce sur le fluide

plus dense des couches suprieures excde celle qui agit sur le fluide plus lger des couches

infrieures. Le fluide plus lourd descendra, alors que le fluide plus lger slvera. La

condition de dcroissance de la masse volumique dans la direction de la gravit nest pas

vrifie dans le deuxime cas (Fig. I-13-b), pour lequel la plaque infrieure est la plus froide

(T1>T2). Les conditions sont maintenant stables, le transfert thermique (Fig. I-13-b) se produit

alors uniquement par conduction. On a affaire des couches immobiles de fluide de plus en

plus chaude vers le haut, on parle de stratification thermique.

B. Convection interne dans une cavit rectangulaire ferme

La circulation dair dans une cavit vide est gnralement provoque par un cart entre

la temprature des parois. Catton (1978), Yang (1988) et Ostrach (1988) ont ralis une

synthse sur ce sujet o les rsultats exprimentaux et de modlisations ont t prsents.

Daprs ces auteurs, deux types dcoulement sont gnrs par les forces de flottabilit.

Le premier type dcoulement est appel convection conventionnelle qui se produit

lorsque le gradient de densit (qui est d un gradient de temprature ou de concentration) est

perpendiculaire au champ de pesanteur. Dans ce cas, la convection dmarre sans seuil. Cest

typiquement le cas lorsquune paroi verticale dune cavit rectangulaire est chauffe et celle

situe en face est refroidie.

Le deuxime type dcoulement est appel convection instable ; il se produit lorsque

le gradient de densit est parallle mais oppos au vecteur de gravit. Ce type dcoulement

est observ quand la paroi horizontale du bas est chauffe et celle du haut est refroidie. Un

mouvement de convection napparat alors qu partir dun certain cart de temprature.


42

Dans ce qui suit, nous nallons prsenter que le cas de la convection conventionnelle :

coulement dans une cavit diffrentiellement chauffe qui correspond aux phnomnes

rencontrs dans un rfrigrateur domestique froid statique, lvaporateur (paroi froide) tant

gnralement situ sur la face verticale arrire.

La prcision des rsultats exprimentaux est limite par les faibles vitesses et par le fait

que lcoulement et le transfert de chaleur dans une cavit ferme sont trs sensibles aux

conditions aux limites. En effet, il est difficile de maintenir des parois parfaitement

adiabatiques dans une cavit ferme, surtout lorsque le fluide utilis est lair. Ces difficults

expliquent le nombre limit dtudes exprimentales concernant la convection naturelle dans

les cavits fermes remplie dair.

Dans le cas de la convection naturelle dans une cavit remplie dair, pour Ra


43

Figure I-14 : Ecoulement dans une cavit ferme (Tian et Karayiannis (2000))

Ramesh et Venkateshan (2001) ont utilis linterfromtrie diffrentielle afin de

visualiser lcoulement dans la couche limite thermique dune cavit carre (de section

4cm4cm - parois verticales isothermes) et en rgime laminaire (105 < Gr < 106). Mergui et al. (1993) ont visualis les coulements dans une cavit vide laide dune tomographie laser

pour un nombre de Rayleigh fix 1.7109. Dans les deux cas, les auteurs ont remarqu la prsence de couches limites stables le long des parois verticales chaude et froides. Pour

Ra=1.7109, Mergui et al. (1993) ont par ailleurs constat des oscillations priodiques, en particulier dans le coin suprieur du ct de la plaque chaude.

Ltat de surface des parois a galement une influence importante sur les transferts

thermiques. Anderson et Bohn (1986) ont tudi linfluence de la rugosit des parois sur la

convection naturelle dans une cavit cubique. Ils ont observ une augmentation du nombre de

Nusselt pouvant atteindre 15%.

Quelques corrlations entre Nu et Ra sont prsentes dans le tableau I-1 pour le cas de la

convection naturelle dans une cavit rectangulaire vide dont une paroi verticale est chauffe,

celle situe en face est refroidie et celles du haut et du bas sont isoles.

Tableau I-1 : Corrlation empirique des transferts de chaleur par convection dans une cavit rectangulaire vide

Corrlation Domaine de validit Auteurs

290

20180

.

LL

__

RaPr.

Pr.Nu

+

=

1 < H/L


44

Une tude bibliographique sur les diffrentes corrlations entre Nu et Ra dans une cavit ferme vide a t ralis par Khalifa (2001). Cette tude concerne plus de 40 articles.

I-3-4. Rayonnement dans une cavit

Nous allons traiter dans ce paragraphe le cas simple du rayonnement entre deux des

surfaces constituant une cavit. Dans le cas ou le fluide compris entre ces surfaces est lair, ce

dernier peut tre considr comme un milieu transparent (pas dabsorption, dmission ni de

diffusion). Lchange par rayonnement entre surfaces sajoute aux changes par convection et

par conduction au niveau des parois.

Le bilan des flux radiatifs entre les deux surfaces scrit :

22

2

12111

1

42

41

12 111

AFAA

)TT(

r

r

r

r_rad

++=

(I-42)

o F12 est un facteur de forme sans dimension ne dpendant que de la gomtrie, est la constante de Stefan-Boltzmann, = 5.6704010-8 W m-2 K-4.

Quelques cas dchanges radiatifs entre deux surfaces grises et diffuses sont donns par

le tableau I-2.

Tableau I-2 : Quelques cas dchanges radiatifs entre deux surfaces grises et diffuses

Gomtrie Relation

Plans parallles infinis A1=A2=A F12=1 1

11

21

42

41

12

+

=

rr

_rad

)TT(A

Long cylindres concentriques (r1


45

que le dbit dun coulement deau travers une colonne de sable tait proportionnel au

gradient de pression appliqu entre deux sections de cette colonne.

Pour un milieu isotrope, lquation de Darcy gnralis peut scrire :

guK

p

rrr += (I-43)

o pr

est le gradient de pression,

et sont respectivement la viscosit et la masse volumique du fluide, K est la permabilit (exprime en [m2]) qui ne dpend pas de la nature du fluide, mais

seulement de la gomtrie de la matrice solide,

ur

est la vitesse de filtration ou la vitesse superficielle du fluide, dfinie comme le dbit

volumique du fluide par unit de section normale lcoulement (vitesse moyenne sur un

volume lmentaire reprsentatif VER).

On peut dfinir galement la vitesse moyenne interstitielle de pore ( pur

) comme le dbit

volumique rapport la surface occupe par le fluide. Ces deux vitesses sont relies par la

relation suivante :

puurr = (I-44)

tant la porosit, dfinie comme suit :

sf

f

VV

V

+= (I-45)

Vf est le volume occup par le fluide et Vs est le volume occup par le solide.

Pour des milieux non isotropes, le gradient de pression et la vitesse ne sont pas

ncessairement parallles en labsence de forces extrieures, on utilise alors un tenseur de

permabilit not K.

Cependant, la loi de Darcy nest pas adapte aux coulements forte vitesse et aux

coulements des gaz basse pression. A de faibles pressions de gaz et pour de petites

dimensions de pore, le libre parcourt moyen des molcules du gaz est du mme ordre de

grandeur que la dimension des pores et cest pourquoi, il y a prsence dune vitesse de

glissement (Effet Kundsen). Scheidegger (1974) a examin leffet de glissement de Kundsen,

de la rugosit de la surface interne, de labsorption de la surface, de la condensation capillaire

et de la diffusion molculaire sur la permabilit, et il a remarqu que les permabilits aux

gaz et liquides dune mme matrice poreuse peuvent tre remarquablement diffrentes.

Ds le dbut du 20ime sicle, Forchheimer (1901) a mis en vidence exprimentalement

quil y a apparition de re-circulations lchelle du pore lorsque le dbit de lcoulement est

Une introduction la prise de moyenne sur un volume lmentaire reprsentatif (VER) est propose par Kaviany dans Rohsenow et al. (1992), une discussion dtaille pour des milieux priodiques et non priodiques a t prsente par Quintard et Whitaker (1994 a et b)


46

important. Ces re-circulations produisent une chute supplmentaire de pression exprime sous

la forme dune fonction quadratique de la vitesse de filtration :

uuK

Fgu

K

p

rrrrr += (I-46)

o F est un coefficient empirique qui dpend de la porosit et de la microstructure du milieu

poreux.

Pour un Re/(1-)10, (o Re =Du/ est le nombre de Reynolds bas sur le diamtre de particule D), le terme de Forchheimer peut tre nglig. Par ailleurs, lorsque la permabilit

du milieu est grande, les forces de cisaillement visqueux au sein du fluide peuvent tre du

mme ordre de grandeur que la rsistance induite par la matrice poreuse. Lintroduction dun

terme reprsentant les contraintes visqueuses (forces de cisaillements) a t propose par

Brinkman (1947). Ce terme permet galement de rendre compte des forces de frottement qui

ont lieu au niveau des surfaces qui dlimitent le milieu poreux (en prsence de ce terme, on

considre une condition aux limites dadhrence ces surfaces, alors quen labsence de ce

terme, on considre quil y a glissement sans frottement).

La loi modifie de Darcy-Brinkman-Forchheimer (DBF) est alors reprsente par

lquation suivante :

u'uuK

Fgu

K

p

rrrrrr 2++= (I-47)

o est une viscosit effective qui dpend de la viscosit du fluide () et de la porosit ().

Enfin, une forme plus gnrale dquation du mouvement qui tient compte de linertie

macroscopique du fluide a t propose, cit par Kaviany dans Rohsenow et al. (1992).

uuK

Fu

K

u

'gpuu

t

u

rrrrrrrrrr

++=

+ 20

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

(I-48)

(1) terme exprimant les forces dinertie macroscopiques (dveloppement des coulements lchelle

macroscopique)

(2) gradient de pression

(3) force de gravit

(4) cisaillement visqueux lchelle macroscopique, appel terme visqueux de Brinkman ou encore terme de

leffet de la surface dlimitant le milieu poreux.

(5) cisaillement visqueux lchelle microscopique, appel terme de Darcy

(6) terme exprimant les forces dinertie microscopiques, appel terme dinertie dErgun ou encore terme de

Forchheimer (dveloppement des coulements lchelle microscopique)

Plusieurs auteurs, dont Irmay (1958), ont propos des relations empiriques pour relier la

permabilit et le coefficient de Forchheimer de lits fixes de particules en vrac la porosit et

la taille des particules sous la forme :

32

2

1

11

D

)(C

K* = (I-49)


47

32

1

D

)(C

K

F * = (I-50)

C1* et C2

* sont des facteurs dpendant de la forme des particules, dterminer par voie

exprimentale. Le tableau I-3 prsente quelques valeurs de C1* et C2

* proposes par la

littrature pour des particules sphriques en vrac.

Tableau I-3 : Quelques valeurs C1* et C2* de proposs par la littrature

Rfrences C1* C2

* Ergun (1952) 150 1.75 Macdonald et al. (1979) 180 1.8

Achenbach (1995) 160 ( )( ) 1013 .Re/ Kozeny-Carman (daprs Lorences et al. (2003)) 180 0

Les relations exprimant la perte de charge dans un milieu poreux prsupposent que la

matrice poreuse est parfaitement homogne. Cette matrice est caractrise par la dimension

moyenne des particules et par sa porosit moyenne (ou taux de vide moyen). Or, la porosit

varie en fait trs fortement notamment prs des parois. La figure I-15 montre la fluctuation de

la porosit prs des parois. A cet emplacement, des passages prfrentiels dair sont

frquemment observs. Cet effet est particulirement marqu lorsque le rapport entre le

diamtre de la colonne et le rayon des particules est proche de 1.

Figure I-15 : Distribution radiale de la porosit dans un lit fixe de sphre en vrac (R =rayon de la sphre, DT = diamtre de la colonne) (Achenbach (1995))

I-4-2. Modlisation des transferts thermiques en milieu poreux

Il existe de trs nombreux travaux concernant la caractrisation des transferts de chaleur

et de matire au sein dun milieu poreux fixe travers par un fluide en coulement.

Lobjectif de notre analyse nest pas dtablir une synthse exhaustive de ces travaux,

mais den prsenter quelques-uns qui refltent les diffrents concepts et les dmarches

classiquement utilises.

Les transferts de chaleur dans un milieu poreux dpendent la fois des proprits

thermiques et physiques de la phase solide et de la phase fluide, ils peuvent tre approchs par

2 types de modle : modle une temprature et modles deux tempratures.


48

A. Modle une temprature

On sintresse dans ce paragraphe au cas dun milieu poreux isotrope, en ngligeant les

dissipations dues aux forces visqueuses et les variations dnergie interne dues aux

changements de pression.

Le milieu poreux est normalement htrogne (milieu compos des phases fluide et

solide). Dans le cas dun modle dit une temprature, le milieu est cependant considr

comme homogne : tout se passe comme sil y avait un quilibre thermique local entre les

phases solide et fluide. Cette hypothse est rendue possible en supposant que lcart

maximum de temprature entre les deux phases (solide et fluide) au niveau du pore (Tl) et au niveau dun lment reprsentatif (Td) du milieu poreux est trs petit devant lcart de temprature globale (TL) au niveau de lensemble du milieu poreux considr. On peut donc ngliger la diffrence de temprature locale entre la phase solide et la phase fluide.

En utilisant cette hypothse dquilibre local Ts=Tf=T, lquation de bilan dnergie (moyenne sur un volume lmentaire reprsentatif contenant les phases solide et

fluide) peut tre crite en tenant compte des diffrents modes de transfert thermique qui

interviennent.

Si seul les transferts thermiques par conduction interviennent (le fluide tant immobile

dans les pores), le bilan scrit :

( ) ( )( )[ ] ( )Tkt

TCC espfp =

+

rr1 (I-51)

Les indices s et f reprsentent ici respectivement la phase fluide et la phase solide.

Cp est la capacit thermique massique,

ke est la conductivit thermique effective [W m-1 K-1].

Si des transferts thermiques par conduction et par convection interviennent (le fluide

tant en mouvement dans les pores), le bilan scrit :

( ) ( )( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )TCpTkTuCpt

TCpCp fefsf +=+

+

rrrrrr dD1 (I-52)

Dd est appel tenseur de dispersion.

Ts et Tf sont respectivement les moyennes volumiques de la temprature dans la phase solide et dans la

phase fluide au niveau dun lment de volume reprsentatif ( = sVs

sTdV

VT

1 et =

fVf

fTdV

VT

1)


49

Si des transferts thermiques par conduction, par convection et par rayonnement

interviennent, le bilan scrit :

( ) ( )( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )TkTCpTkTuCpt

TCpCp rfefsf ++=+

+

rrrrrrrr dD1

(1) (2) (3) (4) (5)

(I-53)

(1) terme dinertie thermique,

(2) terme exprimant leffet convectif lchelle macroscopique,

(3) terme exprimant la conduction lchelle des pores,

(4) terme exprimant leffet convectif lchelle des pores,

(5) terme exprimant le rayonnement lchelle des pores.

Documents

Ecoulements Et Transferts Thermiques en Convection Naturel