EDF R&D Dépt. Matériaux et Mécanique des Composants

Problèmes de fiabilité dépendant du temps

Bruno Sudret

EDF R&DDépt. Matériaux et Mécanique des Composants

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EDF R&DJFMS 2008 – Nantes

Fiabilité dépendant du temps

Pourquoi la dimension temporelle ?

Rappel

( , )g R S R S= −Résistance Sollicitation

( ( ), ( ), ) ( ) ( )g R t S t t R t S t= −

Résistance- activation de phénomènes aléatoirement dans le temps

Initiation de la corrosion des armatures

- dégradation des propriétés des matériauxTénacité de l’acier de cuve

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Pourquoi la dimension temporelle ?

Sollicitations

- chargements climatiques . vent, hauteur de vague (dynamique) . neige (pseudo-statique)

- chargement sismique : γ(t) (dynamique)

- charges de trafic, d’occupation de bureau, etc. (pseudo-statique)- température de fluide (transitoire)

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Sommaire

Processus stochastiques : notions élémentaires


- Formulation

- Problèmes à marge décroissante

Approche asymptotique

- Taux de franchissement

- Bornes sur la probabilité de défaillance

- Intégration de Laplace

- Mise en oeuvre

Méthode PHI2

- Calcul analytique du taux de franchissement

- Mise en oeuvre

Exemples d’application

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Processus stochastiques

• Définition : ensemble de variables aléatoires ( , )X t ω indexées sur le temps

0( , )X t ω(trajectoire du processus)

: réalisation 0( , )X t ωVariable aléatoire

0( , )Xf x t

x

2 ( )x t

1t 2tt

1 1( ) ( , )x t X t ω≡3( )x t

• Caractérisation : densité conjointe de tout ensemble fini de variables

( )1 ,..., 1, ,t tnX X nf x x pour tout (t1, .. tn)

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Notations

Moyenne

Variance

Fonction d’auto-corrélation

Fonction d’auto-covariance

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Propriétés importantes (1)

Stationnarité• Moyenne et écart-type indépendant du temps• Fonction d’auto-corrélation invariante par translation

1 2 2 1( , ) ( )XX XXR t t R t t≡ −Différentiabilité

(convergence en moyenne quadratique)

Propriétés:

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Propriétés importantes (2)

Ergodicité

• Moyenne temporelle

• Espérance

Ergodicité :

… permet de déterminer les propriétés d’un processus à partird’une seule trajectoire

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Processus ponctuel

• On considère un évènement se produisant aléatoirement dans le temps• On définit les temps d’arrivée (aléatoires)

( ) ( )10 nT Tω ω< < <

• La fonction de comptage N(t,ω) est le nombre d’occurrence de l’évènement avant l’instant t (processus à valeur entières) :

( ) ( ){ }, sup : nN t n T tω ω= ≤

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Processus ponctuel de Poisson

Le processus ponctuel est de Poisson ssi

1) suit une loi de Poisson de paramètre(λ est l’intensité du processus)

, ( ) ( )s t N t N s∀ < − ( )t sλ −

soit en particulier

2) Les v.a. sont indépendantes1 2 1 1( ), ( ) ( ), ( ) ( )k kN t N t N t N t N t −− −

Corollaire : - temps de première occurrence : loi exponentielle

- Les intervalles Tk+1 – Tk suivent des lois exponentielles- Le temps Tk suit une loi gamma ( ),kλΓ

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Processus de renouvellement à saut

t3T2T1T 4T 5T( )Sf s

( )S t

• L’occurrence des sauts suit un processus de Poisson• Les amplitudes S sont indépendantes les unes des autres• Les amplitudes S suivent la même loi fS(s)

(charges de trafic, occupation de locaux, etc.)

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Processus gaussien

• Définition : {X(t1), …, X(tn)} est un vecteur gaussien. En particulier X(t) est

de moyenne

de variance

de densité

( )X tµ2 ( )X tσ

• Caractérisé par le coefficient d’auto-corrélation

• Différentiabilité : ssi existence de la dérivée croisée

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Processus gaussien stationnaire

Propriétés de X(t)

Moyenne, écart-type constantAutocorrelation ρ(t) : dépendant d’une seule variable

Différentiabilité si ρ’’(0) existe

Pulsation :

Propriétés du processus dérivé

Moyenne nulle

Ecart-type :

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Coefficients d’autocorrélation

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Exemples de trajectoires

(méthode de discrétisation

EOLE)

Moyenne : 5Ecart-type : 1λ = 1

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Sommaire



- Formulation






- Mise en oeuvre

Méthode PHI2


- Mise en oeuvre


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Problème de fiabilité dépendant du temps

Ensemble de variables aléatoires et de processus scalaires

( )jR ω( , )jS t ω

( , )X t ω

( , ( , ))g t X t ω Fonction d’état limite

Probabilité cumulée de défaillance

Probabilité instantanée de défaillance

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Problèmes à marge décroissante (1)

Définition• La fonction d’état limite ne comporte que des variables aléatoires et desfonctions du temps (pas de processus au sens strict) : on note

• Les réalisations de g sont des fonctions décroissantes du temps

Propriété fondamentale

)

… la probabilité cumulée de défaillance se calcule comme la probabilité instantanée.

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Problèmes à marge décroissante (2)

Applications : problèmes de durabilité des structures

• le modèle de dégradation a une cinétique connue, par contre ses paramètres sont mal estimés g est fonction de t et de variables aléatoires X• la performance du matériau se dégrade de façon monotone

la fonction g est décroissante

Exemple : corrosion des armatures dans le bétondo

d(t)

Temps d’initiation aléatoire :(modèle de carbonatation du béton)

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Sommaire



- Formulation






- Mise en œuvre

Méthode PHI2


- Mise en oeuvre


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Franchissements d’un processusFranchissement

en décroissant (downcrossing)

a

Franchissements en croissant (upcrossing)

1T 2T

( )x t

t123 ( )0,N t

( ), ( )g t x t

t

Défaillance premier passage de g dans le domaine négatifT1 temps de premier passage : 1(0, ) ( )fP t P T t= ≤

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Taux de franchissement

Définition

: nombre (aléatoire) de franchissements entre t1 et t21 2( , )N t t

Propriété

Remarque : processus régulier

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Bornes sur la probabilité de défaillance

Cas général

Problème stationnaire

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Cas des processus à sauts

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Cas des processus différentiables

( )a t

( )x t

( )x t

( )a t ( )x t t∆

t t+ ∆t

Formule de Rice :

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Formule de Rice : applications

Processus stationnaire et seuil constant

Processus stationnaire gaussien et seuil constant

( ) ~ (0, )XX t N σ( ) ~ ( , )X XX t N µ σ

( ) et ( )X t X t indépendants :

Processus stationnaire gaussien et seuil variable

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Approche asymptotique (1)

Calcul de ν+ - Résumé

- franchissement de seuil (plus généralement, d’une surface) déterministe

- seule source d’incertitude : dans le processus (gaussien)

insuffisant pour traiter des problèmes pratiques

- problème de l’intégration temporelle à résoudre dans le casnon stationnaire

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Approche asymptotique (2)

Notation

R : variables aléatoiresQ : paramètres aléatoires de séquences ergodiquesS : processus stochastiques, de paramètres pouvant dépendre de Q,R

Principes- Formules analytiques pour calculer le taux de franchissementconditionnel

- Intégration asymptotique (Laplace) dans le temps

- Intégration du nombre de franchissements conditionnels : asymptotique

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Intégration de Laplace - principe

Soit à approximer :

λ, h(x), f(x) >0+ différentiabilité

On suppose que f possède un minimum en un point critique x*

… développement limité autour de ce point

x*=a ou b :

x*∈ ]a,b[ :

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Mise en oeuvre de l’approche asymptotique

Détermination du point critique t*Utilisation d’un algorithme FORM d’Abdo-Rackwitz modifiéqui détermine en même temps le point de conceptionet le t* minimisant β(t) sur [t1,t2]

Implémentation

• Méthode développée par Rackwitz, Breitung, Faber et al.,• Implémentée dans COMREL – TV• Différentes approximations dans le raisonnement, pas toujours

faciles à maîtriser• Difficile de compréhension et de mise en œuvre

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Sommaire



- Formulation






- Mise en oeuvre

Méthode PHI2


- Mise en oeuvre


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Méthode PHI2 (1)

Retour sur la définition du taux de franchissement :

… au numérateur, probabilité de défaillance d’un système parallèle

Approche intuitive (Der Kiureghian, 1995 ; Andrieu, 2002)

On calcule la différence finie pour ∆t suffisamment petit : Résolution d’un problème de fiabilité d’un système

parallèle à deux composants par FORM

Problème : choix de ∆t délicat instabilités numériques

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Méthode PHI2 – approche analytique (1)

Notations(Sudret, 2005)

Soit :

On a :

Résolution FORM

Φ2 : fonction de répartition binormale

Indice de fiabilité à l’instant t

indice de fiabilité à l’instant t+h

Produit des cosinus directeurs

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Méthode PHI2 – approche analytique (2)

Problème stationnaire

… indépendant du temps :

Problème non stationnaire

avec :

… dépendant du temps, à intégrer pour avoir etla borne sup de Pf(t1,t2)

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Méthode PHI2 – mise en oeuvre

obtenu par FORM enfixant t dans les fonctions du tempsremplaçant les processus par des v.a

[ ]P ( , ( , )) 0g t X t ω >

( , )jS t ω (1)jS

β(t), α(t)

β(t+∆t), α(t +∆t)

[ ]P ( , ( , )) 0g t X t t ω+ ∆ ≤

( , )jS t t ω+ ∆(2)jS

obtenu par FORM enfixant t+∆t dans les fonctions du tempsremplaçant les processus par des v.a corrélées aux (1)

jS

Cas stationnaire :

Choix de ∆t : petit devant la longueur de corrélation (~1%),schéma très stable

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Méthode PHI2 – résumé

Deux analyses FORM de problèmes indépendants du temps

- Utilisation d’outils / logiciels classiques de fiabilité (pas d’implémentation spécifique pour calculer ν+)- La deuxième est très rapide (choix du point de départ)- On peut aussi utiliser les corrections SORM des indices de fiabilité

Pour calculer la probabilité de défaillance cumulée

- schéma d’intégration cumulatif (type trapèzes) pour avoir t Pf(0,t)

- intégration asymptotique de Laplace si la variation temporelleest lente, et si on connaît le point critique

( ) ( )1

2 11, 2 1 1

0

1E[ ( )] ( 1) ;2

N

k

t tN t t t t k t t k t tN

ν ν−

+ + +

=

− ≈ ∆ + ∆ + + + ∆ ∆ = ∑

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Sommaire



- Formulation






- Mise en oeuvre

Méthode PHI2


- Mise en oeuvre


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Un exemple analytique (1)

( ),S Sµ σN2

2 11 2( , ) expS

t tt tρλ

− = − pulsation 2 /oω λ=

Fonction d’état limiteProcessusgaussien

( ),R Rµ σN


Probabilité cumulée de défaillanceLBfP =

( )1LB LBfPβ −= −Φ ( )1UB UB

fPβ −= −Φ

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Un exemple analytique (2)

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Durabilité d’une poutre corrodée

F(ω ,t)

b0

h0dc(t)=κ tF(ω ,t)F(ω ,t)

b0

h0dc(t)=κ t

b0

h0dc(t)=κ t

corroded area

sound steel

zone corrodée

acier sain

( ) ( ) ( )ultg t M t M t= −

2( ) ( )( )4

eult

b t h tM t σ=2

0 0( )4 8

stFl b h LM t ρ= +

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Variables aléatoires

Parameter Type of distribution Mean Coefficient of variation

Load Gaussian 3500 N 20 % Steel yield stress Lognormal 240 MPa 10 %

Beam breadth Lognormal 0.2 m 5 % Beam height Lognormal 0.04 m 10 %

Cas n°1 : la charge est constante dans le temps (variable aléatoire)

Cas n°2 : la charge est modélisée par un processus gaussien, de longueur de corrélation 1 jour

Durée de vie de la structure : 20 ans

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Résultats


(années)

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Résultats

Indice de fiabilité

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Conclusions

Problèmes à marge décroissante

- dégradation lente de structures : variables aléatoires + fonctions du temps monotones

- se ramène à un problème indépendant du temps

- on peut utiliser les techniques classiques (FORM/SORM/IS/subsetsimulation, etc.)

Approches par taux de franchissement- nécessaire quand il y a des processus stochastiques

- permet d’obtenir une borne supérieure de Pf(t1,t2), c’est-à-dire de la fonction de répartition du temps de première défaillance

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Conclusions (2)


- basée sur des formules analytiques pour le franchissementde processus élémentaires

- utilisation de formules d’intégration asymptotique dans le tempset dans l’espace des paramètres

- difficile d’accès, implémenté dans un logiciel unique (COMREL –TV)

Méthode PHI2

- plus intuitif dans sa formulation

- utilise les outils de l’analyse de fiabilité système classique (FORM)

Pas d’implémentation spécifique (FERUM, PhimecaSoft, OpenTurns)

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