Effets des déformations élastiques sur le comportement des paliers multi-couches

Mec. Ind. (2000) 1, 499–510 2000 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservésS1296-2139(00)00125-1/FLA

Effets des déformations élastiques sur le comportementdes paliers multi-couches

M. Lahmar a, D. Nicolas b

a Institut de Mécanique, Université de Guelma, B.P. 401, Algérieb Laboratoire de Mécanique des Solides, URA-CNRS, Université de Poitiers, SP2MI, B.P. 179, 86960 Futuroscope, France

(Reçu le 12 octobre 1999 ; accepté le 17 mars 2000)

Résumé —L’utilisation des revêtements de surface tels que les métaux blancs et les élastomères dans les paliers hydrodynamiquesconduit à des déformations élastiques importantes de la surface du coussinet qui peuvent être de l’ordre de grandeur de l’épaisseurdu film lubrifiant. Ces revêtements, utilisés dans le but de réduire l’usure pendant le régime de lubrification limite, se caractérisent parde faibles valeurs du module d’élasticité. La pression dans le film lubrifiant est calculée à partir de l’équation de Reynolds en utilisantla méthode des différences finies. Le champ de déplacement radial à l’interface fluide-solide est déterminé à partir d’une nouvelleapproche semi-analytique basée sur un développement, en séries de Fourier complexes, de la pression hydrodynamique exercée parle fluide sur la surface du coussinet. La prise en considération des déformations élastiques nécessite une résolution simultanée deséquations de l’hydrodynamique et de l’élasticité linéaire à travers un processus de calcul itératif. Les résultats obtenus montrent queles déformations élastiques des revêtements de surface ont une influence non négligeable sur le comportement statique des paliershydrodynamiques notamment dans le cas des revêtements constitués de matériaux quasi-incompressibles comme les élastomères. 2000 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS

lubrification élasto-hydrodynamique / paliers hydrodynamiques / revêtements multi-couches / matériaux incompressibles /approche semi-analytique / séries de Fourier

Abstract —The effects of elastic distortions on multi-layered journal bearings behaviour. The surface coatings, used inhydrodynamic journal bearings, involve significant elastic distortions of the fluid-solid interface due to the hydrodynamic pressure.These coatings which may be metallic (babbitt) or nonmetallic such as rubber are generally characterised by a low elastic modulus. Thefluid film pressure in the clearance space of the journal bearing is calculated from the Reynolds’ equation using the finite differencemethod. The radial displacement field at fluid–film interface is obtained using a new semi-analytical approach based on complexFourier series development of the hydrodynamic pressure. The elasto-hydrodynamic (EHD) solution in isothermal conditions is foundthrough an iterative procedure. The results obtained show that the performance characteristics of the multi-layered journal bearingsare significantly changed by taking into account the elasticity of the coatings made in almost incompressible materials such as rubber. 2000 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS

elastohydrodynamic lubrication / hydrodynamic journal bearings / multi-layered coatings / incompressible materials /semi-analytical approach / Fourier series

Nomenclature

C = R0−R, jeu radial du palier . . . . . . . . . m

Cd = µ0ω(R/C)3/E1, coefficient de déformation

sans dimension

D = 2R, diamètre du palier . . . . . . . . . . . . m

e excentricité de fonctionnement . . . . . . . . . m

E1 module d’élasticité du matériau constituantle revêtement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pa

E2 module d’élasticité du matériau constituantla bague . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pa

fu portance hydrodynamique unitaire du palier . . N·m−1

Fu = fuC2/(µ0ωR

3), portance hydrodynamiqueadimensionnée

h épaisseur du film lubrifiant . . . . . . . . . . . mH = h/C épaisseur du film relativeh1 = R1/R0, rapport du rayon extérieur au rayon

intérieur du revêtementh2 = R2/R1, rapport du rayon extérieur au rayon

intérieur de la bagueL longueur du palier . . . . . . . . . . . . . . . . mMθ nombre de mailles suivant la direction

circonférentielle du palierMz nombre de mailles suivant la direction axiale

du palierOa centre de l’arbre

499

M. Lahmar, D. Nicolas

Oc centre du coussinetp pression dans le film lubrifiant . . . . . . . . . PaP = p/[µ0ω(R/C)

2], pression adimensionnéer coordonnée radiale . . . . . . . . . . . . . . . . mR rayon de l’arbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . mR0 rayon intérieur du revêtement . . . . . . . . . . mR1 rayon extérieur du revêtement . . . . . . . . . . mR2 rayon extérieur de la bague . . . . . . . . . . . mth = R1−R0, épaisseur du revêtement élastique . mtu force de frottement unitaire . . . . . . . . . . . N·m−1

Tu = tuC/(µ0ωR2), force de frottement

adimensionnéeU(0)r composante radiale du déplacement à l’interface

fluide–revêtement . . . . . . . . . . . . . . . . mU(0)r =U(0)r /C, déplacement radial relatif

σ(0)rr contrainte radiale à l’interface fluide–revêtement Pa

σ(0)rθ contrainte tangentielle à l’interface

fluide–revêtement . . . . . . . . . . . . . . . . PaW charge extérieure appliquée au palier . . . . . . Nz coordonnée axiale dont l’origine est située dans

la section médiane du palier . . . . . . . . . . . mz = z/L, coordonnée axiale adimensionnéeε = e/C, excentricité relativeµ0 viscosité dynamique du fluide lubrifiant . . . . Pa·sµ1 =E1/[2(1+ ν1)], module de Coulomb

du matériau constituant le revêtement . . . . . Paµ2 =E2/[2(1+ ν1)], module de Coulomb

du matériau constituant la bague . . . . . . . . Paν1 coefficient de Poisson du matériau constituant

le revêtementν2 coefficient de Poisson du matériau constituant

la bagueω vitesse angulaire de l’arbre . . . . . . . . . . . rad·s−1

Ω coefficient de sous-relaxationθ coordonnée circonférentielle . . . . . . . . . . radθs angle de cavitation . . . . . . . . . . . . . . . . radχj = 3− 4νj (j = 1,2), paramètre d’élasticité

dépendant du coefficient de Poisson

1. INTRODUCTION

L’étude de l’influence des déformations élastiques surles caractéristiques statiques des paliers lisses, soumis àune charge statique, a fait l’objet de plusieurs travauxtant théoriques qu’expérimentaux. Les premières consta-tations expérimentales ont été faites en 1964 par Carl [1]et se résument par :

• une augmentation de l’excentricité relative et de lalongueur de la zone de pression,

• une diminution de la pression maximale dans le planmédian du palier,

• un déplacement du point d’épaisseur minimale vers lepoint de pression maximale.

Ces constatations sont importantes du point de vuetechnologique ; en effet, la diminution de l’épaisseur mi-nimale du film et le fait que le pic de pression soit plusproche du point où l’épaisseur du film est minimale, aug-mentent sensiblement les risques de grippage et d’avariespar rupture du film d’huile. Depuis, plusieurs auteurs sesont intéressés à l’étude théorique des effets des déforma-tions élastiques sur le comportement des paliers hydrody-namiques en se basant sur les résultats expérimentaux deCarl.

En 1966, Higginson [2] est le premier chercheur quis’est intéressé à l’étude théorique des effets des déforma-tions élastiques sur le comportement statique d’un palierinfiniment long(L/D→∞) dont le coussinet est consti-tué d’une couche élastique encastrée dans un support ri-gide. Le fluide lubrifiant utilisé est isovisqueux et les dé-formations élastiques sont supposées proportionnelles àla pression dans le film.

Le même problème a été étudié par O’Donoghueet al. [3], ces auteurs aboutissent à des constatationsidentiques à celles de Carl.

En 1967, les mêmes auteurs [4] ont publié dans le casd’un palier de longueur finie des résultats théoriques etexpérimentaux et montrent qu’il existe une bonne corré-lation entre ces derniers. Les équations de l’élasticité sontrésolues à l’aide d’un développement en double séries deFourier de la pression hydrodynamique.

Conway et Lee [5] ont étudié le même problèmeproposé par Higginson. Ils se sont intéressés à l’effetde la variation de la viscosité avec la pression sur lescaractéristiques statiques du palier tels que la portancehydrodynamique, le coefficient de frottement, l’anglede calage et l’abscisse de rupture du film. Ces auteursutilisent une loi exponentielle pour exprimer la variationde la viscosité avec la pression.

Jain, Sinhasan et Singh [6] ont étudié par la méthodedes éléments finis le problème élastohydrodynamique(EHD) d’un palier de longueur finie. Ils ont montré quedans le cas d’un revêtement mince(th/R 1), le champde déplacement radial de la surface du coussinet, c’est-à-dire à l’interface fluide–revêtement, peut être calculérapidement et avec une précision suffisante en utilisantle modèle élastique proposé par Higginson et repris parConway et Lee.

Récemment plusieurs chercheurs [7–10] se sont inté-ressés à l’étude de l’influence des déformations élastiquessur les caractéristiques dynamiques et la stabilité d’un

500

Effets des déformations élastiques sur le comportement des paliers multi-couches

palier statiquement chargé. La modélisation linéaire estsouvent utilisée.

À travers cette étude bibliographique, il est à soulignerque la plupart des études élastohydrodynamiques aussibien théoriques qu’expérimentales ont été effectuées dansle cas de paliers monocouches. Ces paliers sont généra-lement constitués d’un coussinet en bronze massif fixédans un support rigide. En réalité, les paliers lisses utili-sés dans les machines tournantes modernes pour le gui-dage des lignes d’arbres sont composés de matériaux defrottement multicouches où la première couche repré-sente généralement le revêtement et la seconde représentela bague en bronze ou en acier. L’ensemble revêtement–bague est rigidement fixé dans un support. Les revête-ments utilisés dans les paliers peuvent être métalliquescomme les métaux blancs à base de plomb et d’étain (ré-gules ou babbitt) ou en polymères tels que les élastomèreset les caoutchoucs.

Dans la présente étude, nous nous intéressons à la mo-délisation du comportement élasto-hydrodynamique despaliers multi-couches et à l’étude de l’influence des dé-formations élastiques sur le comportement statique de cespaliers. La prise en considération des déformations élas-tiques nécessitent la résolution de deux problèmes l’unfluide et l’autre solide. La partie élastique est traitée àl’aide d’une nouvelle approche semi-analytique [11, 12]tandis que la partie hydrodynamique, régie par l’équationde Reynolds, est traitée numériquement par la méthodedes différences finies centrées en faisant un développe-ment du palier suivant sa direction circonférentielle. Laméthode des sur-relaxations successives (SOR) est utili-sée pour la détermination du champ de pression hydrody-namique et pour satisfaire les conditions limites de Rey-nolds qui tiennent compte de la rupture du film. Le cou-plage entre ces deux parties est assuré à l’aide d’un pro-cessus itératif avec algorithme de sous-relaxation.

2. ÉQUATIONS DE LA LUBRIFICATIONHYDRODYNAMIQUE

La figure 1montre les détails géométrique et cinéma-tique d’un palier multi-couches. Le palier est composéd’un arbre rigide tournant à une vitesse angulaireω etd’un coussinet fixe constitué de deux couches élastiquesde caractéristiques élastiques(E1, ν1) et (E2, ν2) repré-sentant respectivement le revêtement et la bague. L’arbreet le coussinet sont séparés par un film lubrifiant mince etvisqueux supposé incompressible et newtonien.

Figure 1. Géométrie du palier multi-couches.

2.1. Équation de Reynolds

Dans le cas d’un palier fonctionnant en régime station-naire et pour un écoulement laminaire, l’équation de Rey-nolds s’écrit [13] :

1

R2

∂

∂θ

(h3∂p

∂θ

)+ ∂

∂z

(h3∂p

∂z

)= 6µ0ω

∂h

∂θ(1)

où p est la pression dans le film,h est l’épaisseur dufilm, µ0 est la viscosité dynamique du fluide,θ et zsont respectivement les coordonnées circonférentielle etaxiale du palier etR étant le rayon de l’arbre. Il fautnoter que l’origine de la coordonnée angulaireθ est situéesur la ligne des centres reliant le centre de l’arbreOa aucentre du coussinetOc. La solution de l’équation (1) doitsatisfaire les conditions limites de Swift–Stieber [14, 15]connues sous le nom des conditions de Reynolds :

p(θ = 0, z)= 0

p(θ = θs, z)= ∂p∂θ(θ = θs, z)= 0

(2)

où θs est l’abscisse de rupture du film lubrifiant quiest une inconnue supplémentaire du problème. Notonsque l’algorithme proposé par Christopherson [16] permetde satisfaire à ces conditions en annulant, au coursdes calculs, les termes de pression négatifs calculés.L’utilisation de cet algorithme ne permet pas de connaîtreavec précision l’abscisse de reformation du film.

501


L’hypothèse du palier infiniment long permet de né-gliger l’écoulement axial du fluide lubrifiant devantl’écoulement circonférentiel(∂p/∂z ∂p/∂θ). Dansces conditions, l’écoulement du fluide est unidimension-nel et l’équation aux dérivées partielles (1) se réduit àl’équation différentielle ordinaire :

d

dθ

(h3(θ)

dp

dθ

)= 6µ0ωR

2 dh

dθ(3)

Commeh est une fonction qui dépend de la pression, leséquations (1) et (3) sont alors des équations non linéairesenp.

En variables adimensionnées, l’équation (1) s’écrit :

∂

∂θ

(H 3∂P

∂θ

)+ α ∂

∂z

(H 3∂P

∂z

)= 6

∂H

∂θ(4)

avec

H = h

C, z= z

L, α =

(R

L

)2

et

P = p

µ0ω(R/C)2

La solution de l’équation de Reynolds normalisée (4)est obtenue par la méthode des différences finies. Le sys-tème linéaire d’équations est résolu par la méthode ité-rative de Gauss–Seidel avec coefficient de sur-relaxationsuivant l’algorithme de Christopherson qui permet deprendre en considération la rupture du film. La connais-sance du champ de pression permet de calculer les carac-téristiques statiques du palier telles que la portance hy-drodynamique (par intégration du champ de pression àla surface du coussinet) et la force de frottement (par in-tégration des contraintes de cisaillement à la surface del’arbre).

2.2. Équation géométrique du film

Pour un coussinet cylindrique et déformable, l’équa-tion géométrique du film s’écrit :

h(θ)= C(1+ ε cosθ)+U(0)r (θ) (5)

où U(0)r est le champ de déplacement radial de la

surface du coussinet dû à l’action du champ de pressionhydrodynamique,C est le jeu radial du palier etε = e/Cest l’excentricité relative du centre de l’arbre par rapportau centre du coussinet tel quee= |OaOc|.

En variables adimensionnées, l’équation de l’épais-seur du film (5) devient :

H(θ)= 1+ ε cosθ +U (0)r (θ) avec U (0)

r =U(0)r

C(6)

3. EXPRESSIONS DU CHAMPDE DÉPLACEMENT RADIAL

Dans ce paragraphe, nous ne présenterons que les re-lations essentielles permettant de déterminer le champde déplacement élastique dans le cas des paliers mono-couche et multi-couches. Les détails et les démonstra-tions ayant permis d’obtenir l’expression du champ dedéplacement figurent dans les références [11, 12].

Le champ de déplacement radial, à l’interface fluide–solide, est calculé à l’aide d’une nouvelle approche semi-analytique basée sur un développement de la contraintecomplexeσ (0)rr (θ) − iσ (0)rr (θ) en séries de Fourier com-plexes. D’après Villechaise et Lahmar, l’expression dudéplacement radial sur le cercle intérieur de rayonr =R0s’écrit :

U(0)r (θ)= R0

2µ1Re

(∑k∈Z

U(0)k eikθ

)(7)

où µ1 = E1[2(1+ ν1)] est le module de Coulomb dumatériau constituant le revêtement.

Pourk ∈N , la relation (7) s’écrit :

U(0)r (θ)= R0

2µ1Re

(U(0)0 +

∑k≥1

(U(0)k eikθ +U(0)−k e−ikθ ))

(8)où le symbole Re désigne la partie réelle.

Les coefficients complexesU(0)k et U(0)−k de l’équa-tion (8) sont calculés à partir de l’équation matriciellesuivante :

U(0)k

U(0)−k

=[Hk GkG−k H−k

]σ(0)k

σ(0)−k

](9)

oùσ (0)k etσ (0)−k sont les coefficients de Fourier complexes

de la contrainte complexeσ (0)rr − iσ (0)rθ . Notons que si

la contrainte de cisaillementσ (0)rθ est négligée, nouspouvons alors écrire :

σ(0)k = σ (0)−k =

1

2π

∫ 2π

0σ (0)rr eikθ dθ (10)

puisqueσ (0)rr =−p est une fonction réelle.

502


Les coefficients de Fourier complexes sont évaluésnumériquement en utilisant la méthode des trapèzes.

Compte tenu de la relation (9), l’équation (8) devient :

U (0)r (θ)=

R0

2µ1Re

((H0+G0)σ

(0)0

+∑k≥1

((Hk +Gk)σ (0)k eikθ

+ (H−k +G−k)σ (0)−k e−ikθ)) (11)

En variables sans dimension, l’équation (11) devient :

U (0)r (θ)= (1+ ν1)CdRe

((H0+G0)σ

∗0

+∑k≥1

((Hk +Gk)σ ∗k eikθ

+ (H−k +G−k)σ ∗−k e−ikθ )) (12)

avec

σ ∗k =σ(0)0

µ0ω(R/C)2(k ∈N)

et

Cd= µ0ω(R/C)3

E1

appelé coefficient de déformation.

Les coefficientsHk,Gk,H−k et G−k sont définiscomme suit.

3.1. Cas des paliers multi-couches

[Hk GkG−k H−k

]= [G1,k] + [G2,k]

[Gn−1

2,k

][F1,k] avec G′′2,k =µ2

µ1E′2,k − F2,k (13)

oùµ1 etµ2 sont respectivement les modules de Coulomb des matériaux constituant le revêtement et la bague.Les matricesG1,k,G2,k,E

′2,k,F2,k etF1,k sont définies par :

• pourk 6= 1 :

G1,k = 1

1Mk

(1− h2

1

)(1+ χ1) − 1

1+ k[(

1− k2)(h21− 1

)2+ χ1

(1− h2+2k

1

)(1+ χ1h

2−2k1

)]− 1

1− k[(

1− k2)(h21− 1

)2+ χ1

(1− h2−2k

1

)(1+ χ1h

2+2k1

)] (1− h2

1

)(1+ χ1)

G2,k = 1

1Mk

[−(1+ χ1)(1+ χ1h

2−2k1

)h2+k

1 (1− k)(1+ χ1)(1− h2

1

)h2−k

1

(1+ k)(1+ χ1)(1− h2

1

)h2+k

1 −(1+ χ1)(1+ χ1h

2+2k1

)h2−k

1

]

F1,k = 1

1Mk

[−(1+ χ1)(1+ χ1h

2+2k1

)h−k1 (1− k)(1− h2

1

)(1+ χ1)h

−k1

(1+ k)(1− h21

)(1+ χ1)h

k1 −(1+ χ1)

(1+ χ1h

2−2k1

)hk1

]

F2,k = 1

1Mk

(1− k2

)(1− h2

1

)(1+ χ1)h

21 (1− k)[(1+ χ1h

2k+21

)(1− h2−2k

1

)− (1− k2

)(1− h2

1

)2](1+ k)[(1+ χ1h

−2k+21

)(1− h2+2k

1

)− (1− k2

)(1− h2

1

)2] (1− k2

)(1− h2

1

)(1+ χ1)h

21

avec

1Mk =(1− k2)(1− h2

1

)2− (1+ χ1h2−2k1

)(1+ χ1h

2+2k1

)et h1= R1

R0

1Mk 6= 0 ∀k ∈ Z503


E′2,k =1

1Uk

(1− k2)(1+ χ2)

(1− h2

2

)(1− k)[(1− k2)(1− h2

2

)2− χ2

(1+ χ2h

2−2k2

)(h2+2k

2 − 1)]

(1+ k)[(1− k2)(1− h22

)2− χ2

(1+ χ2h

2+2k2

)(h2−2k

2 − 1)] (

1− k2)(1+ χ2)(1− h2

2

)

avec

1Uk = χ22

(h2−2k

2 − 1)(h2+2k

2 − 1)− (1− k2)(h2

2− 1)2 et h2= R2

R1

1Uk 6= 0 ∀k ∈ Z• pourk = 1 :

G1,1=

h2

1− 1

1+ χ1h41

χ1(1− h41)

2(1+ χ1h41)

2

1+ χ1

[(1− h2

1)2

1+ χ1h41

− χ1 lnh1

]h2

1− 1

1+ χ1h41

, G2,1=

(1+ χ1)h

31

1+ χ1h41

0

2h31(h

21− 1)

1+ χ1h41

h1

F1,1= h−1

1 0

2h1(h21− 1)

1+ χ1h41

(1+ χ1)h1

1+ χ1h41

, F2,1= 0 0

2(h41− 1)

1+ χ1h41

0

E′2,1=1

1U1

−(1+ χ2) −χ2

2(1+ χ2)(1+ h2

2)

2[(χ2(1+ χ2h42) lnh2)− (1− h2

2)2]

(1− h22)

−(1+ χ2)

avec

1U1= χ22

(1+ h2

2

)lnh2+ 1− h2

2

On peut vérifier que1U1 6= 0 carh2 6= 0 et 1.

3.2. Cas des paliers monocouches

Dans le cas d’un palier monocouche où seul le revête-ment est déformable, l’équation (13) se réduit à[

Hk GkG−k H−k

]= [G1,k] (14)

Lorsque le rapport des rayonsh1 tend vers 1+ th/R0 avecth/R0 1, les nouvelles expressions des coefficientsHketGk s’écrivent :

Hk =H−k = 2

1+ χ1

th

R0

Gk =G−k =− 2χ1

1+ χ1

th

R0, ∀k ∈ Z

(15)

avec

χ1= 3− 4ν1 (hypothèse de déformations planes)

th=R1−R0 (épaisseur du revetement élastique)

Dans ces conditions, l’expression du déplacement ra-dial (11) devient :

2µ1

R0U(0)r (θ)=−2(1− χ1)

1+ χ1

th

R0p(θ) (16)

La relation (16) montre que la couche élastique mincepeut être modélisée par des ressorts disposés radialementindépendants les uns des autres dont la raideur seraitdéfinie par

kr = χ1+ 1

χ1− 1µ1

Si on remplaceχ1 et µ1 par leurs expressions, larelation (16) prend la forme finale suivante :

U(0)r (θ)= (1+ ν1)(1− 2ν1)

1− ν1

th

E1p(θ) (17)

soit en variables adimensionnées :

504


U (0)r (θ)=

(1+ ν1)(1− 2ν1)

1− ν1

th

R0CdP(θ) (18)

Le modèle décrit par l’équation (17) est connu sous lenom de « modèle couche mince ». Notons que ce modèleest identique à celui utilisé par Higginson [2] et Conwayet Lee [5].

Dans la référence [12], Lahmar a montré que cemodèle ne peut être utilisé que pour le cas de revêtementsélastiques minces constitués de matériaux compressiblespour lesquels le coefficient de Poissonν1 est très prochede 0,30. Pour des matériaux tels que les élastomèrescaractérisés par des valeurs du coefficient de Poissonproches de 0,5, ce modèle perd de son efficacité caril ne permet pas de prendre en considération l’effet del’incompressibilité de ce type de matériaux. Cet effetse caractérise par l’apparition de termes de déplacementnégatifs dans la région divergente du contact.

Il est intéressant de noter que le calcul du champde déplacement peut être effectué en appliquant le prin-cipe de superposition de l’élasticité linéaire à partir dela connaissance du champ de déplacement à la surfacedu coussinet pour une pression unitaire appliquée en unpoint donné. L’introduction de la méthode de superposi-tion permet de calculer analytiquement et avec une bonneprécision le champ de déplacement radial de la structuredu coussinet. Cependant, l’efficacité de la méthode dé-pend directement du choix de la fonction de répartitionde la pression unitaire [12].

4. STRATÉGIE NUMÉRIQUE DERÉSOLUTION

La figure 2présente sous forme d’un organigrammel’algorithme de résolution du problème EHD en régimeisotherme. La stratégie de résolution est comme suit.

Pour une géométrie initiale (parfaitement cylindrique),on calcule le champ de pression par intégration de l’équa-tion de Reynolds écrite en variables réduites équation (4)puis le champ de déplacement élastique du revêtementéquation (12). Ce dernier modifie la forme géométriquedu contact qui n’est plus cylindrique. Une nouvelle répar-tition de pression est alors calculée, le processus de calculse poursuit jusqu’à stabilisation de la déformation ce quise traduit numériquement par l’obtention de deux champsde déplacement ou de pression consécutifs suffisammentproches. Pour assurer la convergence du processus itéra-tif, les déplacements calculés sont pondérés avant d’êtreutilisés dans la partie hydrodynamique. L’algorithme de

Figure 2. Schéma de résolution du problème EHD en régimeisotherme.

sous-relaxation s’écrit :(U (0)r

)n+1=Ω(U (0)r

)n+1+ (1−Ω)(U (0)r

)nHn+1= 1+ ε cosθ + (U (0)

r

)n+1 (19)

où(U (0)r )

n+1 et(U (0)r )

n sont les champs de déplacementradial calculés aux itérations(n + 1) et n, Ω est lecoefficient de sous-relaxation dont la valeur est compriseentre 0 et 1. Le problème réside dans la détermination dela valeur optimale deΩ pour laquelle la convergence duprocessus itératif s’obtient plus rapidement.

La nécessité d’appliquer un algorithme de sous-relaxa-tion pour relier les deux parties du problème EHD pro-vient du fait que le problème est fortement non linéaire ;les déplacements engendrés par le champ de pressiondans le film sont parfois supérieurs à l’épaisseur du filmqui intervient à une puissance cubique dans l’équation deReynolds. Une faible variation de l’épaisseur du film peut

505


TABLEAU ICaractéristiques géométriques et conditions de fonctionnement.

Caractéristiques géométriquesRayon de l’arbre,R 0,025 mJeu radial,C 5·10−5 mÉpaisseur de la bague,R2−R1 0,010 m

Conditions de fonctionnementVitesse angulaire de l’arbre,ω 100π rad·s−1

Excentricité relative,ε 0,80Propriétés du lubrifiant

Viscosité dynamique mesurée à la pression atmosphérique,µ0 0,030 Pa·sCaractéristiques élastiques de la bague

Module d’Young de la bague,E2 2,1 GPa (cas de l’acier)1 GPa (cas du bronze)

Coefficient de Poisson,ν2 0,30 (pour l’acier et le bronze)

donc induire une modification considérable de la pressionhydrodynamique.

Le test d’arrêt du processus itératif est défini par

1

Np

Mθ+1∑i=1

Mz+1∑j=1

∣∣∣∣Pn+1i,j − Pni,jP n+1i,j

∣∣∣∣≤ 10−5 (20)

oùMθ etMz sont respectivement les nombres de maillessuivant les directions circonférentielle et axiale du palier ;Np est le nombre total des nœuds du maillage pourlesquels la valeur de la pression dans le film est positive.

5. RÉSULTATS ET DISCUSSIONS

Dans ce paragraphe, nous allons comparer les carac-téristiques hydrodynamiques d’un palier rigide à cellesd’un palier multi-couches déformable et montrer l’in-fluence des déformations élastiques sur le champ de pres-sion, la géométrie du film, la portance hydrodynamiqueetla force de frottement. Nous avons choisi une excentricitérelative de fonctionnementε = 0,80 et un revêtement enélastomère afin de bien mettre en évidence les effets desdéformations sur le comportement du palier. Les donnéesde cette étude sont reportées dans letableau I.

Lesfigures 3aet 3b représentent les courbes de pres-sion dans une section du palier pour une excentricitéε = 0,80. Lafigure 3amontre les variations circonféren-tielles de la pression pour trois valeurs du coefficient dedéformation adimensionnéCd = 0,0,25,0,5 correspon-dant respectivement àE1 =∞,4,71,2,355 GPa. Le co-efficient de Poisson a pour valeurν1 = 0,490 (matériauquasi-incompressible).

La figure 3b représente les variations circonféren-tielles de la pression pour trois valeurs de l’épaisseur re-lative du revêtementth/R = 0,0,08,0,16 correspondantrespectivement àth = 0,2,4 mm. Les valeurs nulles deCd et th/R correspondent au cas du palier rigide (théoriehydrodynamique classique).

D’après ces figures, nous constatons un étalement dela courbe de pression (déplacement de l’angle de cavi-tation θs) selon la direction circonférentielle et une di-minution très importante de la pression maximale sur-tout pour le cas de revêtements élastiques caractériséspar des épaisseurs importantes et/ou des modules d’élas-ticité faibles. Notons que ces constatations sont en bonneconcordance avec celles établies par Carl.

Les variations circonférentielles de l’épaisseur dufilm dans une section du palier sont présentées sur lesfigures 4aet 4b pour différentes valeurs du coefficientde déformation et de l’épaisseur relative du revêtement.Dans le cas où les déformations élastiques sont ignorées,la géométrie du film, selon la direction circonférentielle,est de forme sinusoïdale dont la valeur minimale estsituée àθ = 180 (courbes en traits discontinus). Lorsqueles déformations élastiques sont prises en considération,l’épaisseur du film change de géométrie. D’après cesfigures, on constate une augmentation de l’épaisseurminimale du film et un déplacement de son abscisse.Ceci explique bien la chute de la pression maximaleet l’étalement du champ de pression par rapport aucas rigide. Par comparaison au cas du palier rigide,cette diminution peut atteindre 77 % pour un revêtementélastique d’épaisseur relativeth/R = 0,16.

Les variations de la portance hydrodynamiqueunitaireadimensionnéeFu et la force de frottement unitaire sansdimensionTu en fonction du coefficient de déformation

506


(a) (b)

Figure 3. Variations circonférentielles de la pression hydrodynamique.

(a) (b)

Figure 4. Variations circonférentielles de l’épaisseur du film.

sont respectivement présentées sur lesfigures 5et 6. Lesrésultats sont présentés pour deux valeurs de l’épaisseurdu revêtementth = 2 mm (courbe en traits discontinus)et th = 4 mm (courbe en traits continus). La portancehydrodynamique et la force de frottement du palier sont

calculées par une intégration du champ de pression et descontraintes de cisaillement exercées par le fluide sur lasurface de l’arbre. Les valeurs de la force de frottementont été obtenues en supposant que tout le palier est remplide lubrifiant.

507


Figure 5. Variations de la portance adimensionnelle en fonc-tion du coefficient de déformation pour deux valeurs de l’épais-seur du revêtement.

Figure 6. Variations de la force de frottement adimensionnelleen fonction du coefficient de déformation pour deux valeurs del’épaisseur du revêtement.

Les résultats obtenus montrent que la capacité decharge du palier et la force de frottement due à l’actiondu fluide sur la surface de l’arbre diminuent sensiblementavec la flexibilité du matériau constituant les revêtementsde surface. On note que pour un coefficient de déforma-tion Cd = 0,5, la diminution de la force de frottementvarie de 6 % pour une épaisseur de revêtementth = 2mm à 12 % pour un revêtement d’épaisseurth = 4 mm.Par conséquent, l’énergie dissipée dans le palier diminueavec l’épaisseur du revêtement.

Sur lesfigures 7et8, nous comparons les variations dela capacité de charge du palier et la force de frottementen fonction de la flexibilité du revêtement dans le casdes paliers monocouche (revêtement élastique/bague in-déformable) et multicouches (revêtement élastique/baguedéformable) pour deux valeurs de l’épaisseur du revête-ment th = 2 et 4 mm. Les courbes en traits discontinusreprésentent les résultats obtenus pour le palier mono-couche pour une excentricité relative imposéeε = 0,80.La prise en considération de l’élasticité de la bague en-traîne des écarts très importants entre les résultats ob-tenus dans le cas de l’utilisation des modèles de pa-liers monocouche et multicouches (cf.tableaux IIet III ).On remarque par ailleurs que ces écarts sont importantsmême pour les faibles valeurs du coefficient de déforma-tion Cd du revêtement. D’après les résultats obtenus, ondoit conclure que la prise en considération de l’élasticitédu revêtement et de la bague s’avère nécessaire pour ledimensionnement et la conception des paliers lisses revê-tus.

6. CONCLUSION

Dans cette étude, nous avons montré que les revête-ments de surface multi-couches, utilisés dans le but deréduire l’usure des paliers en régime de lubrification li-mite, conduit à des déformations élastiques non négli-geables de la surface du coussinet en régime de lubri-fication hydrodynamique; c’est-à-dire lorsque les sur-faces métalliques contiguës au film lubrifiant sont tota-lement séparées. La prise en considération des déforma-tions élastiques dues à la pression dans le film a per-mis de constater que la pression maximale, la portancedu palier et la puissance dissipée dans le contact dimi-nuent avec l’épaisseur du revêtement tandis que l’épais-seur minimale du film et l’étendue de la zone de pres-sion (région active du palier) augmentent. Ces varia-tions sont d’autant plus significatives que le moduled’élasticité des matériaux constituant le revêtement estfaible.

508


(a) (b)

Figure 7. Variations de la portance hydrodynamique adimensionnée en fonction du coefficient de déformation pour (a) th = 2 mm,(b) th = 4 mm.

TABLEAU IIComparaison des performances statiques des paliers monocouche et multi-couches pour Cd= 0,5 et th= 2 mm.

palier monocouche palier multicouchesbague en acier écart en % bague en bronze écart en %

F u 14,953 14,358 4 13,788 8T u 13,691 13,216 4 12,913 6

TABLEAU IIIComparaison des performances statiques des paliers monocouche et multi-couches pour Cd= 0,5 et th= 4 mm.

palier monocouche palier multicouchesbague en acier écart en % bague en bronze écart en %

F u 13,947 13,416 4 12,908 8T u 12,682 12,392 3 12,111 5

509


(a) (b)

Figure 8. Variations de la force de frottement adimensionnée en fonction du coefficient de déformation pour (a) th = 2 mm,(b) th = 4 mm.

RÉFÉRENCES

[1] Carl T.E., An experimental investigation of a cylindricaljournal bearing under constant and sinusoidal loading, Proc.IMechE 178 (1963–64) Pt 3N.

[2] Higginson G.R., The theoretical effects of elastic deformationof the bearing liner on journal bearing performance, Proc.IMechE 180 (1965–66) 180.

[3] O’Donoghue J., Brighton D.K., Hooke C.J.K., The effect ofelastic distortions on journal bearing performance, J. Lubrica-tion Technol. Series F (1967) 409–417.

[4] Brighton D.K., Hooke C.J.K., O’Donoghue J., A theoreticaland experimental investigation of the effect of elastic distor-tions on the performance of journal bearings, Proc. IMechE182 (1967–68) Pt 3N, 192–200.

[5] Conway H.D., Lee H.C., The analysis of the lubrication of aflexible journal bearing, J. Lubrication Technol. (1975) 599–604.

[6] Jain S.C., Sinhasan R., Singh D.V., The performance characte-ristics of thin compliant shell journal bearings, Wear 81 (1982)251–261.

[7] Zhang Z., Mao Q., Xu H., The effect of dynamic deformationon dynamic properties and stability of cylindrical journalbearings, in: Proceedings of 13th Leeds–Lyon Symposium onTribology, 1986, Paper XI(IV), pp. 363–366.

[8] Majumdar B.C., Brewe D.E., Khonsari M.M., Stability ofa rigid rotor supported on a flexible oil journal bearings,J. Tribology 110 (1988) 181–187.

[9] Chandrawat H.N., Sinhasan R., A study of steady state andtransient performance characteristics of a flexible shell journalbearing, Tribology Int. (1988) 137–148.

[10] Lahmar M., Haddad A., Nicolas D., Elasto-hydrodynamicanalysis of one layered journal bearings, J. Engrg. Tribo-logy, Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers(IMechE) Part J 212 (1998) 193–205.

[11] Villechaise B., Étude bidimensionnelle des contacts largesentre domaines élastiques finis, Thèse de Docteur Ingénieurde l’Université Claude Bernard, Lyon, février 1981.

[12] Lahmar M., Modélisation du comportement élasto-hydrody-namique des revêtements de surfaces dans les paliers hydro-dynamiques, Thèse de Docteur de l’Université de Poitiers(France), décembre 1991.

[13] Nicolas D., Les paliers hydrodynamiques soumis à un torseurde forces quelconques, Thèse de Docteur Ingénieur de l’Uni-versité Claude Bernard, Lyon, 1972.

[14] Swift H.W., The stability of lubrication film in journal bea-rings, Proc. Inst. Civil Eng. 233 (1) (1931) 267–322.

[15] Stieber W., Das Schwimmlager, VDI, Berlin, 1933.[16] Christopherson D.G., A new mathematical method for the

solution of film lubrication problems, Proc. IMechE (1941)126–135.

510

Documents

Effets des déformations élastiques sur le comportement des paliers multi-couches