Elaboré par M. NUTH Sothan 1. Soit la suite a 1, a 2, a 3,...,a n,.... On note {a n }. L’expression : a 1 + a 2 + a 3 +... + a n +....= (1) s’appelle

1

Série numériqueElaboré par M. NUTH Sothan

2

Soit la suite a1 , a2 , a3 , ... ,an , .... On note {an }.

L’expression :a1 + a2 + a3 + ... + an + ....= (1)

s’appelle série numérique,où a1 , a2 , a3 , ... ,an , .... sont des termes de série et est an un terme

général.Les sommes :S1 = a1 ,

S2 = a1 + a2 ,

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an .

s’appellent sommes partielles d’une série (1).

I. Définition

1n

n

a

3

Déf. : La série (1) est dite convergente si

où S est la somme de série (1).R. : Si {Sn} est une suite convergente, alors la série (1)

est dite convergente.Ex.1 : Montrer que la série est convergente.

Ex.2 : Etudier la convergence la série :

Ex.3 : Etudier la convergence la série :

I. Définition...

lim , (2)nn

S S

1

1

( 1)n n n

1

1

( 1)n

n

1

1

, 0n

n

aq a

4

Th.1 : est convergente, ssi est convergente.

Th.2 : Si est convergente et sa somme est égale à ,

alors est aussi convergente et sa somme est égale

à c .

II. Propriété de la convergence

1n

n

a

1n

n k

a

1n

n

a

1n

n

ca

5

Th.3 : Si et sont convergentes admettant les

sommes S et respectivement, alors est

aussi convergente et sa somme est égale à S.

Th.4 (CN) : Si est convergente, alors

R.: Th4 n’est qu’une condition nécessaire.

Ex.4 :

II. Propriété de la convergence...

1n

n

a

1

( )n nn

a b

1

nn

b

1n

n

a

lim 0n

na

1

1

n n

6

Th.5 : Pour que soit convergente, il faut et il suffit que

la suite de la somme partielle {Sn} soit bornée.

Th.6 (Règle de comparaison 1) : Soit et tel que

0 ≤ an ≤ bn , n N. Alors :

1) Si est convergente, alors est aussi convergente

2) Si est divergente, alors est aussi divergente

III. Série à terme non-négatif

1n

n

a

1n

n

a

1n

n

b

1n

n

b

1n

n

a

1n

n

a

1n

n

b

7

Th.7 (Règle de comparaison 2) : Soit et tel

que an bn , an , bn ≥ 0, n N et

Alors :

et sont conv. ou div. simultanément.

Ex.5 : a) b)

III. Série à terme non-négatif…

1n

n

a

1n

n

a

1n

n

b

1n

n

b

11

1

( 1)nn n

1

1s

n n

lim 0,n

nn

ak

b

8

Th.8 (Règle de D’Alambert) : Soit , an ≥ 0, n N

et , alors :

1) Si < 1, est convergente

2) Si > 1 est divergentes.

R.: On ne peut pas dire si = 1.


1n

n

a

1 lim n

nn

a

a

1n

n

a

1n

n

a

9

Ex.6 : a) b) c)

d) f) g)

h) i) j)


1

1

!n n

1 !

n

n

n

n

1

1

n n

2

1

( !)

(2 )!n

n

n

2

2

1

( !)

2nn

n

1

2 !n

nn

n

n

1

3 !n

nn

n

n

1

!

3nn

n

2

1

!

2 nn

n

10

Th.9 (Règle de Cauchy) : Soit , an ≥ 0, n N et

, alors :

1) Si < 1, est convergente

2) Si > 1 est divergentes.

R.: On ne peut pas dire si = 1.


1n

n

a

lim nn

na

1n

n

a

1n

n

a

11

Ex.7 : a) b) c)


1 2 1

n

n

n

n

12

Th.10 (Règle d’intégrale) : Soit , où f (n) est

une valeur de f(x) positive et décroissante sur [1, +[.

Alors :

1) Si est conv. est aussi conv.

2) Si est div. est aussi div.


1

( )n

f n

1

( )f x dx

1

( )n

f n

1

( )f x dx

1

( )n

f n

13

Ex.8 : a) b) c)


1

1

n n

14

La série , où an > 0 (1)

est une série alternée.

Th.1 (Règle de Leibniz) : Si les valeurs absolues des

termes de (1) sont monotones décroissantes :

a1 > a2 > a3 > …. > an > …..

et , alors (1) est conv.

IV. Série alternée

1

1

( 1)nn

n

a

lim 0nn

a

15

Considérons : , (1)

où an peut être positif ou négatif.

Et , (2)

Th.2: Si (2) est conv. , alors (1) est conv. absolument.

Ex.8 : a) b)

IV. Série alternée…

1n

n

a

1n

n

a

1

1

( 1)n

n n

1

21

( 1)n

n n

16

Th.3 (Règle de Raabe):

La série (1) est conv. si L > 1.

Th.4 (Règle de Gauss):

Où pour n > N.

La série (1) est conv. si L > 1.

IV. Série alternée…

1lim 1 n

nn

an L

a

12

1n n

n

a cL

a n n

nc P

17

Une série : a1 x + a2 x2 + a3 x3 + …. + an xn + …= (1)

où an est un coefficient et x est une variable, s’appelle série de

puissante.

On peut poser Sn(x) = a1 x + a2 x2 + a3 x3 + …. + an xn

et S(x) =

L’ensemble de valeur x où la série (1) est convergente

s’appelle domaine de convergence.

IV. Série de puissante

0

nn

n

a x

0

nn

n

a x

18

Considérons :f(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + …. + an xn +…. (2)

Où le domaine de convergence est de (R, R).Alors, on dit que f(x) se développe en série de puissante

sur (R, R).Th.3 : Si f(x) se développe en série de puissante (2) sur

(R, R), alors elle est différentiable sur cet intervalle etf’(x) = a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + 4a4 x3 + …. + nan xn-1 +….

IV. Série de puissante…

19

Th.4 : Si f(x) se développe en série de puissante (2) sur (R, R), alors elle est intégrable sur cet intervalle et


1 1

20 1 2

2 3 11 20

( ) ( ... ...)

... ...2 3 1

x xn

n

x x

nn

f x dx a a x a x a x dx

aa aa x x x x

n

20

Th.4 : Si f(x) se développe en série de puissante (2) sur (R, R), alors cet développement est unique et

Alors, (2) devient :

La série (3) s’appelle série Maclaurin.


( ) (0)

!

n

n

fa

n

( )2'(0) "(0) (0)

( ) (0) ... ... (3)1! 2! !

nnf f f

f x f x x xn

21

En général :

Où

La série (4) s’appelle série de Taylor.


( ) ( )

!

n

n

f aa

n

( )2'( ) "( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ... (4)1! 2! !

nnf a f a f a

f x f a x a x a x an

22

Th.5 : Pour que la série Maclaurin (5) soit convergente sur (R, R) et possède la somme égale à f(x), il faut et il suffit que

Où

Ex.1 : a) f(x)= ex b) f(x)=sin x c) f(x)=cos x

d)


lim ( ) 0, ( , )nn

R x x R R

( 1)1( )

( ) , , 0 1 (5)( 1)!

nn

n

fR x x x

n

1( )

1f x

x

Documents

Elaboré par M. NUTH Sothan 1. Soit la suite a 1, a 2, a 3,...,a n,.... On note {a n }. L’expression : a 1 + a 2 + a 3 +... + a n +....= (1) s’appelle