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EElleeccttrroossttaattiiqquuee mmaaggnnééttoossttaattiiqquuee
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A. Le champ électrostatique ......................................................................................................................................... 4
AAA111 Les sources du champ électrostatique ............................................................................................. 4
AA11--11 La charge électrique .................................................................................................................... 4
AA11--22 Modélisation d’une répartition de charges .................................................................................. 4
AA11--33 Les différentes distributions de charges ...................................................................................... 5
AA11--44 Les symétries de distributions de charges ................................................................................... 6
AAA222 Le Champ électrostatique ................................................................................................................ 6
AA22--11 Interaction entre deux charges ponctuelles: Loi de Coulomb ..................................................... 6
AA22--22 Le Champ électrostatique créé par une charge ponctuelle........................................................... 7
AA22--33 Le principe de superposition ....................................................................................................... 7
AA22--44 Champ créé par une distribution de charges ................................................................................ 7
AA22--55 La topographie du champ électrostatique .................................................................................... 8
AAA333 Les propriétés du champ électrostatique........................................................................................ 10
AA33--11 La circulation ............................................................................................................................ 10
AA33--22 Le flux ...................................................................................................................................... 11
AAA444 Le potentiel électrique ................................................................................................................... 15
AA44--11 Définition .................................................................................................................................. 15
AA44--22 Le potentiel électrique créé par une charge ponctuelle .............................................................. 16
AA44--33 Potentiel électrique créé par une distribution de charges........................................................... 16
AA44--44 Les surfaces équipotentielles..................................................................................................... 16
AAA555 Calcul du champ électrostatique créé par des distributions de charges .......................................... 18
AA55--11 A partir de l’expression du champ électrostatique .................................................................... 18
AA55--22 A partir du potentiel électrique V(x,y,z) ................................................................................... 18
AA55--33 A partir du théorème de Gauss .................................................................................................. 18
AA55--44 Exercices d’application ............................................................................................................. 19
AAA666 Actions d’un champ électrostatique sur des charges. .................................................................... 22
AA66--11 Action sur une charge ponctuelle .............................................................................................. 22
AA66--22 Action sur un dipôle .................................................................................................................. 24
AA66--33 Equilibre des conducteurs chargés ............................................................................................ 25
AA66--44 Exercices ................................................................................................................................... 29
B. Le champ magnétique ............................................................................................................................................ 31
BBB111 Les sources du champ magnétique .................................................................................................... 31
BB11--11 Courant électrique ..................................................................................................................... 31
BB11--22 Intensité du courant ................................................................................................................... 31
BB11--33 Les distributions de courants ..................................................................................................... 34
BBB222 Le Champ magnétique ....................................................................................................................... 36
BB22--11 Action d’un aimant sur une particule chargée en mouvement ................................................... 36
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BB22--22 Le champ magnétique créé par un élément de courant .............................................................. 36
BB22--33 Le champ magnétique créé par un circuit parcouru par un courant ........................................... 37
BB22--44 La topographie du champ magnétique ...................................................................................... 38
BBB333 Les propriétés du champ magnétique ................................................................................................ 39
BB33--11 La circulation du champ magnétique ........................................................................................ 39
BB33--22 Le flux du champ magnétique ................................................................................................... 41
BB33--33 Le champ magnétique dérive d’un potentiel vecteur ................................................................. 42
BBB444 Méthodes de calcul du champ magnétique créé par des courants ...................................................... 42
BB44--11 Calcul en utilisant la formule de BIOT et SAVART ................................................................. 42
BB44--22 Calcul en utilisant le potentiel vecteur ...................................................................................... 43
BB44--33 Calcul à partir du théorème d’Ampère ...................................................................................... 43
BBB555 Exercices d’application ..................................................................................................................... 44
BB55--11 Champ créé par un fil ................................................................................................................ 44
BB55--22 Champ créé par une spire circulaire sur son axe ....................................................................... 44
BB55--33 Champ créé par un solénoïde .................................................................................................... 44
BB55--44 Le dipôle magnétique ................................................................................................................ 45
BBB666 Les actions du champ magnétique .................................................................................................... 46
BB66--11 Action sur une particule chargée ............................................................................................... 47
BB66--22 Action sur un circuit, travail de la force magnétique ................................................................. 47
BB66--33 Action sur un dipôle magnétique .............................................................................................. 49
BB66--44 Exercices ................................................................................................................................... 50
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AA.. LLee cchhaammpp éélleeccttrroossttaattiiqquuee
Après avoir réalisé une balance de torsion très sensible qui permet de décrire l’interaction entre des
particules chargées immobiles, Charles Augustin COULOMB (1736-1806) énonce en 1785 la loi qui porte
son nom.
2
21
r
qqKF où q1 et q2 sont les deux charges ponctuelles et r la distance qui les sépare.
Le CHAMP ELECTROSTATIQUE est l’objet mathématique qui permet de décrire les effets de charges
électriques immobiles sur l’espace qui les entoure. Ainsi pour deux charges ponctuelles, on décrira la force
exercée par la charge ponctuelle q2 sur la charge ponctuelle q1 à partir du champ électrostatique créé par q2
au point où se trouve q1.
AAA111 Les sources du champ électrostatique
Le champ électrostatique est créé par des charges électriques. Ce premier chapitre recense les principales
particularités des distributions de charge.
AA11--11 La charge électrique
La charge électrique élémentaire est la charge portée par l’électron:
--ee == --11..660022 1100--1199
CCoouulloommbb.
Le proton porte la charge +e.
Les neutrons ne portent pas de charge.
Les particules plus élémentaires (les quarks) portent des charges e/3 mais ils sont rassemblés pour
que la charge de l’ensemble soit un multiple de e.
La conservation de la charge électrique:
Toutes les interactions connues ont la propriété de conserver la charge électrique.
Si le système est fermé, c’est dire sans échange de matière avec l’extérieur, la charge reste constante.
Si le système est ouvert, la variation de la charge est liée aux courants qui résultent de l’échange de
particules avec le milieu extérieur.
AA11--22 Modélisation d’une répartition de charges
A1-2.1. Echelle élémentaire
Une particule élémentaire a une “dimension” de l’ordre du Fermi. (1 fermi=1 femtomètre=10-15
m).
A l’échelle des particules élémentaires, on peut considérer que les charges sont ponctuelles.
Notons qu’à cette échelle, les lois de la physique classique ne s’appliquent plus, il faut utiliser la mécanique
quantique et la position d’une particule n’est connue qu’avec une certaine probabilité. Cependant, des
modèles très simplifiés utilisant les lois de la mécanique classique permettent d’obtenir des lois
macroscopiques en bon accord avec les observations expérimentales.
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A1-2.2. Echelle microscopique
La distance caractéristique est la distance entre les atomes. d~1Å=0.1 nm=10-10
m.
A cette échelle, la description est discontinue.
A1-2.3. Echelle mésoscopique
La distance caractéristique l (~ 10 nm) est très grande devant d (l >> d).
Les grandeurs caractéristiques sont moyennées dans un petit volume de matière. Ce sont des grandeurs
locales moyennes. On définit alors des densités locales de charge et la représentation devient continue.
A1-2.4. Echelle macroscopique
C’est une représentation à l’échelle de l’expérience. La distance caractéristique est D~1m (D>> l >> d).
A l’échelle macroscopique, les distributions de charges, qui sont des entités microscopiques, seront
représentées à l’aide de la densité de charge, une grandeur moyennée à l’échelle mésoscopique.
AA11--33 Les différentes distributions de charges
A1-3.1. Charges ponctuelles
C’est une distribution à l’échelle microscopique (Figure 1).
A1-3.2. Charges linéiques
La distribution est filiforme (Figure 2) car on considère que les
dimensions latérales sont négligeables devant la longueur du fil.
(M) est la densité de charge dans un petit volume Sdl où S est la
section du fil. On l’appelle la densité linéique de charge. Une
longueur élémentaire dl porte une charge dq telle que :
ddqq((MM))== ((MM)) ddll ((MM))
C C.m-1 m
A1-3.3. Charges surfaciques
C’est une distribution à l’échelle mésoscopique (Figure 3) :
ddqq((MM))== ((MM)) ddSS((MM)) avec dS=d2r=dx.dy
C C.m-2 m2
(M) est la densité de charge dans un petit volume d’épaisseur microscopique. h~0.1 nm. C’est le cas des
conducteurs, dont la charge est entièrement à la surface,
contrairement aux isolants qui possèdent une charge volumique.
A1-3.4. Charges volumiques
C’est une distribution à l’échelle mésoscopique (Figure 4).
On définit la densité de charge (M) dans un petit volume autour du
point M telle que ddqq((MM))== ((MM)) ddVV avec dV=d3r=dx.dy.dz.
C C.m-3 m3
Figure 1
Figure 2
Figure 3
Figure 4
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AA11--44 Les symétries de distributions de charges
A1-4.1. Symétrie et antisymétrie plane
Exemple de symétrie par rapport au plan P.
Symétrie plane (M) = (M’)
soit (x, y, z) = (x, y, -z)
Anti-symétrie plane (M) = -(M’)
soit (x, y, z) = -(x, y, -z)
A1-4.2. Invariance par translation, symétrie cylindrique
Exemple: Si la densité de charge dans un fil est indépendante de x, elle
est invariante par translation dans la direction Ox (Figure 6):
(x, r, ) = ( r, )
Si le fil a une section circulaire, la symétrie est cylindrique si la densité de
charge est indépendante de : (M)=(r).
A1-4.3. Invariance par rotation, symétrie sphérique
Si la densité surfacique de charge d’un disque ne dépend que de la
distance au centre, on dit qu’elle est invariante par translation. (r, ) =
(r).
Dans la cas d’une sphère, si elle est indépendante des deux angles et , il
s’agit d’une symétrie sphérique (Figure 8): (M) = (r).
AAA222 Le Champ électrostatique
AA22--11 Interaction entre deux charges ponctuelles: Loi de Coulomb
Soit deux charges ponctuelles q1 et q2 séparées
d’une distance r12 (Figure 8).
La force 12F exercée par la charge q1 sur la charge
q2 est :
122
12
21
0
12 ur
4
1F
où 12u est le vecteur unitaire porté par O1O2 et 11
90 m.V.C1036
1
est la permittivité du vide.
Si les deux charges ponctuelles ont le même signe, la force est répulsive.
Si elles sont de signes contraires, la force est attractive.
Figure 5
Figure 6
Figure 7
Figure 8
Page 7 sur 54
Remarque
Force électrostatique entre deux électrons distants de 1mm: Fe=2.3 10-22 N.
Force de gravitation entre deux électrons distants de 1mm. Fg=5.5 10-65 N avec me=9.1 10-31 kg.
Fe/Fg=4.2 1042: On néglige généralement les forces de gravitation.
AA22--22 Le Champ électrostatique créé par une charge ponctuelle
Champ créé par q1>0
On définit le champ créé en M par la charge q1 placée en O en écrivant que
c’est la force exercée sur la charge q2 placée en M divisée par la valeur de
cette charge (Figure 9):
122
12
1
02
)M(12
)M(1 ur
q
4
1
q
FE
AA22--33 Le principe de superposition
Exemple du champ créé par trois charges q1<0, q2>0 et q3>0
(Figure 10)
L’expérience montre que
)M(q)M(q)M(q)M(q,q,q 321321EEEE
)ur
qu
r
qu
r
q(
4
1E 32
3
322
2
212
1
1
0
)M(
CC’’eesstt llee pprriinncciippee ddee ssuuppeerrppoossiittiioonn
AA22--44 Champ créé par une distribution de charges
Les champs créés par chacune des charges s’ajoutent vveeccttoorriieelllleemmeenntt.
Distribution de
charges ponctuelles
i
i2
i
i
0i)M(i)M( u
r
q
4
1EE
Distribution volumique
de charges
dq= dV
PM2
PM0
)M( ur4
1E
dV(P)
Distribution
surfacique de charges
dq= dS
PM2
PM0
)M( ur4
1E
dS(P)
Distribution linéique
de charges
dq= dl
PM2
PM0
)M( ur4
1E
dl(P)
.I.S1094
1 9
0
Figure 9
Figure 10
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AA22--55 La topographie du champ électrostatique
Elle permet d’imager les variations du champ électrostatique dans
l’espace.
A2-5.1. Topographie du champ électrostatique
En tout point de l’espace, le champ électrostatique est continuellement tangent à des courbes appelées lliiggnneess
ddee cchhaammpp (Figure 11).
)M(dl//)M(E
Les lignes de champ sont orientées dans le sens du champ électrostatique
L’équation d’une ligne de champ s’obtient en écrivant )M(E)M(dl
On obtient un système d’équations différentielles
L’ensemble des lignes champ qui s’appuient sur une courbe fermée forme une surface appelée tube de
champ (Figure 12).
A2-5.2. Exemples de topographie
Les lignes de champ ne se coupent pas sauf quand:
• Le champ est nul au point M
• Le champ n’est pas défini au point M
(il existe une charge en M, Figure 13)
Deux charges ponctuelles : q1=q et q2=2q Deux charges ponctuelles : q1=q et q2=-2q
Figure 14 Figure 15
A2-5.3. Les propriétés de symétrie
En 1894, dans le Journal de Physique, tome III, Pierre Curie énonce les deux lois suivantes :
Lorsque certaines causes produisent certains effets, les éléments de symétrie des causes doivent se
retrouver dans les effets produits.
Lorsque certains effets révèlent une certaine dissymétrie, cette dissymétrie doit se retrouver dans les
causes qui lui ont donné naissance.
Figure 11
Figure 12
Figure 13
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Symétrie plane
Exemple de symétrie plane avec 4 charges : q1= q2=-q et q3 =q4=2q
Figure 16 Figure 17
kk
LLee cchhaammpp eenn uunn ppooiinntt dduu ppllaann ddee ssyymmééttrriiee eesstt ppaarraallllèèllee àà ccee ppllaann : )E(SE )M()'M(
Antisymétrie plane
Exemple d’antisymétrie plane avec 4 charges : q1=-q et q2=+q, q3 =2q et q4=-2q
Figure 18 Figure 19
LLee cchhaammpp eenn uunn ppooiinntt dduu ppllaann dd’’aannttiissyymmééttrriiee eesstt ppeerrppeennddiiccuullaaiirree àà ccee ppllaann : )E(SE )M()'M(
Page 10 sur 54
AAA333 Les propriétés du champ électrostatique
AA33--11 La circulation
A3-1.1. Définition
La circulation élémentaire du champ électrostatique dC le long d’un
trajet élémentaire )M(dl est le produit scalaire entre)M(E
et )M(dl :
dl.EdC )M(
La circulation le long d’un trajet quelconque entre deux points A et B (Figure 20) est définie par :
B
A
)M(AB .EC dl
A3-1.2. Circulation du champ créé par une charge ponctuelle
On choisit l’origine du repère sur la charge située en O (Figure 21).
r2
0
)M( er
q
4
1E
e.dsinre.rde.dr r
dl
2
0
)M(r
dr
4
q.EdC
dl
)r
1
r
1(
4
qC
BA0
AB
LLaa cciirrccuullaattiioonn eesstt iinnddééppeennddaannttee dduu cchheemmiinn ssuuiivvii
)2(
AB
)1(
AB CC
A3-1.3. Circulation du champ créé par une distribution de charges
La circulation dC du champ dE créé par une charge dq est
indépendante du chemin suivi. On utilise le principe de
superposition.
La circulation du champ électrostatique créé par une distribution
de charges est indépendante du chemin suivi (Figure 22).
Figure 20
Figure 21
Figure 22
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A3-1.4. Circulation sur un contour (boucle fermée)
Prenons un point B quelconque sur ce contour fermé (Figure 23):
BAABfermécontour CCC où )1(
ABAB CC et )2(
ABBA CC .
Or )2(
AB
)1(
AB CC puisque la circulation de A à B est indépendante du
chemin suivi.
On en déduit que llaa cciirrccuullaattiioonn dduu cchhaammpp éélleeccttrroossttaattiiqquuee ssuurr uunn
ccoonnttoouurr ffeerrmméé eesstt nnuullllee : 0.EC )M( dl
Conséquence: une ligne de champ ne peut être fermée sur elle même car la circulation le long d’une ligne de
champ est strictement positive.
A3-1.5. Le potentiel électrique
La circulation d’un point A à un point B étant indépendante du chemin suivi, on peut écrire CAB = VA-VB , où
VA et VB sont les valeurs d’une grandeur électrique au point de « départ » A et au point « d’arrivée » B.
Cette grandeur est appelée le potentiel électrique V. La circulation du champ électrostatique E entre deux
points A et B est égale à la différence de potentiel VA-VB entre ces deux points.
B
A
BA .EVV dl
AA33--22 Le flux
A3-2.1. définition
Le flux élémentaire )M(d au point M à travers une surface élémentaire orientée (nous verrons plus tard les
conventions d’orientation des surfaces) est égal au produit scalaire au
point M entre le champ électrostatique )M(E
et le vecteur surface )M(dS
(Figure 24).
)M()M()M( dS.Ed
.
Le flux à travers toute la surface S est la somme de tous les flux
élémentaires et s’écrit comme l’intégrale sur la surface S:
S
)M()M(S dS.E
SS eesstt llee fflluuxx dduu vveecctteeuurr E
àà ttrraavveerrss llaa ssuurrffaaccee SS
Figure 23
Figure 24
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A3-2.2. Flux du champ électrostatique créé par une charge ponctuelle
On choisit l’origine du repère sur la charge située en O (Figure 25).
dS.er
q
4
1dS.Ed r2
0
2
0 r
cosdS
4
qdS.Ed
dd eesstt ll’’aannggllee ssoolliiddee ssoouuss lleeqquueell oonn vvooiitt llaa ssuurrffaaccee ddSS
d4
qd
0
Définition de l’angle solide
stéradiansr
'dSd
2
dr
cosdS2
dsinr.rd'dS
Angle solide
dsinr.rd'dS
ddsind avec [0, ] et [0, 2]
stéradians4ddsin0
2
0
Figure 26 Figure 27
Figure 25
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A3-2.3. Flux à travers une surface fermée du champ électrostatique créé par une charge ponctuelle
La surface fermée contient la charge (Figure 28)
On utilise le résultat qui donne le flux élémentaire
pour une charge ponctuelle :
0
2
0 000
S
qddsin
4
qd
4
q
Le flux du champ créé par une charge ponctuelle à
travers une surface fermée qui contient cette charge
est :
0
S
q
La surface fermée ne contient pas la charge (Figure 29)
)"dS".E'dS'.E(4
qd
0
)"dS".E'dS'.E(4
qd
0
)"d'd(4
qd
0
D’après les propriétés de l’angle solide : d’=- d”
0
Le flux du champ électrostatique créé par une charge ponctuelle à travers une surface fermée est nul quand
cette surface fermée ne contient pas la charge.
A3-2.4. Flux à travers une surface fermée du champ électrostatique créé par une distribution discontinue
de charges
On utilise le principe de superposition (Figure 30).
• Le flux du champ créé par les charges extérieures à
la surface fermée est nul
• Le flux du champ créé par les charges intérieures à
la surface fermée est
0
i
i
S
q
Figure 28
Figure 29
Figure 30
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A3-2.5. Flux à travers une surface fermée du champ électrostatique créé par une distribution continue de
charges
La surface fermée S entoure un volume V (Figure 31).
D’après le principe de superposition,
0
intQdS.E
La charge intérieure est l’intégrale de la distribution de charges sur
le volume V.
V
int dVQ
On en déduit:
0
VdV
dS.E
Ce qui constitue le tthhééoorrèèmmee ddee GGaauussss.
LLee fflluuxx dduu cchhaammpp éélleeccttrroossttaattiiqquuee àà ttrraavveerrss uunnee ssuurrffaaccee ffeerrmmééee eesstt ééggaall àà llaa cchhaarrggee ccoonntteennuuee ddaannss llee
vvoolluummee VV eennttoouurréé ppaarr llaa ssuurrffaaccee ffeerrmmééee ddiivviissééee ppaarr 00..
Forme locale du théorème de Gauss
Le théorème d’Ostrogradsky énonce que le flux d’un vecteur à travers une surface fermée est égale à
l’intégrale sur le volume entouré par la surface fermée de la divergence de ce vecteur : V
dVEdivdS.E
.
La comparaison avec le théorème de Gauss conduit à une relation locale 0
Ediv
qui est uunnee ddeess
ééqquuaattiioonnss ddee MMaaxxwweellll ppoouurr lleess rrééggiimmeess iinnddééppeennddaannttss dduu tteemmppss. C’est l’équation de MMaaxxwweellll GGaauussss.
La relation entre le champ électrostatique et le potentiel électrique conduit à une autre loi locale où intervient
le potentiel électrique (voir pages suivantes):
0
)Vgrad(divEdiv
En coordonnées cartésiennes, zyx ez
Ve
y
Ve
x
VVgrad
et
z
E
y
E
x
EEdiv
yyx
.
On a donc Vz
E
y
E
x
E)Vgrad(div
2
z
2
2
y
2
2
x
2
qui conduit à la llooii ddee PPooiissssoonn : 0V
0
Figure 31
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AAA444 Le potentiel électrique
AA44--11 Définition
Le potentiel électrique est une grandeur électrique scalaire définie à partir de la circulation du champ
électrostatique, qui est indépendante du chemin suivi, et qui peut donc s’écrire comme la variation d’une
grandeur qui dépend de l’état électrique du
point de départ et l’état électrique du point
d’arrivée.
B
A
BA .EVV dl
On peut en déduire une relation locale entre le
champ électrostatique et le potentiel électrostatique.
Exprimons la circulation élémentaire entre M et M’ séparés de dl (Figure 32) : dl.EVV )'M()M(
.
Avec )dzz,dyy,dxx(V)z,y,x(VVV )'M()M( = dV .
Où dzz
Vdy
y
Vdx
x
VdV
dans une base orthonormée.
Dans cette même base, le champ électrostatique estzzyyxx eEeEeEE
et le déplacement élémentaire
est zyx edzedyedx
dl . La circulation élémentaire s’écrit donc dz.Edy.Edx.E.E zyx dl
.
Par comparaison, on obtient alors une relation entre les composantes du champ électrostatique et les dérivées
partielles du potentiel électrostatique : x
VEx
,
y
VEy
et
z
VEz
Ce qui s’écrit encore M)M( VgradE
On dit que llee cchhaammpp éélleeccttrroossttaattiiqquuee )M(E ((ggrraannddeeuurr vveeccttoorriieellllee)) aauu ppooiinntt MM ddéérriivvee dd’’uunn ppootteennttiieell
MV ((ggrraannddeeuurr ssccaallaaiirree)) aauu ppooiinntt MM..
Remarque :
Comme VM est défini à partir d’une différence ou d’un gradient, il est défini à une constante près.
Si on définit un potentiel V’M=VM+V0 où V0 est une constante, M0MM Vgrad]VV[grad'Vgrad .
Alors )M()M( E'E
et V’M et VM caractérisent le même champ électrostatique
V0 est une constante arbitraire. On choisit souvent de prendre V0=0 loin des sources du champ
électrostatique, c’est à dire à l’infini s’il n’y a pas de charges à l’infini (ce qui n’est pas le cas des
distributions de charge illimitées dans l’espace : fil infini, plaque infini…).
Figure 32
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AA44--22 Le potentiel électrique créé par une charge ponctuelle
Si on choisit l’origine du repère (coordonnées sphériques) sur la charge
placée en O (Figure 33), l’expression du champ électrostatique créé par une
charge ponctuelle placée en O est r2
0
)M( er
q
4
1E
. Ses trois composantes
dans ce repère sont :
0E
0E
r
1
4
qE
2
0
r
En utilisant la relation entre le champ électrostatique et le potentiel électrique, on peut trouver ce potentiel
qui est indépendant de et de puisque les dérivées de V par rapport à et de sont nulles.
2
0
rr
q
4
1
dr
dV
r
VE
permet d’obtenir 0
0
Vr
q
4
1)r(V
.
Puisqu’il n’y a pas de charges à l’infini, on peut prendre V0=0 et le potentiel créé par une charge ponctuel en
un point M distant de r de la charge est r
q
4
1)r(V
0 .
AA44--33 Potentiel électrique créé par une distribution de charges
Les expressions générales du potentiel créé par une distribution de charges se déduisent aisément de
l’expression précédente en utilisant le principe de superposition.
Distribution de
charges ponctuelles
te
i
i
0
M
i
iM Cr
q
4
1VV
Distribution volumique
de charges
dq= dV
PM0
Mr4
1V
dV(P)
Distribution
surfacique de charges
dq= dS
PM0
Mr4
1V
dS(P)
Distribution linéique
de charges
dq= dl
PM0
Mr4
1V
dl(P)
AA44--44 Les surfaces équipotentielles
Ce sont les surfaces d’égal potentiel : tous les points d’une surface équipotentielle ont le même
potentiel.
Une surface équipotentielle de potentiel V0 est définie par l’équation VM=V0.
Deux surfaces équipotentielles ne peuvent se couper.
Figure 33
Page 17 sur 54
Les surfaces équipotentielles et les lignes de champ
Deux points A et B appartenant à une même surface équipotentielle sont
distants de dl (Figure 34. La circulation du champ électrostatique de A à
B est donc nulle ( 0VV.EC BA
B
A
AB dl
) car VA=VB sur la surface
équipotentielle. On déduit de 0.E
B
A
dl
que dlE
.
LLeess lliiggnneess ddee cchhaammpp ssoonntt ppeerrppeennddiiccuullaaiirreess aauuxx ééqquuiippootteennttiieelllleess (Figure 35).
Exemple:
Surfaces équipotentielles pour une charge ponctuelle positive (Figure 36).
Figure 35
Figure 34
Figure 36
Page 18 sur 54
AAA555 Calcul du champ électrostatique créé par des distributions de charges
AA55--11 A partir de l’expression du champ électrostatique
Le champ électrostatique créé en un point M par une charge élémentaire dq placée en un point P est
PM2
PM0
)M( ur
dq
4
1dE
où dq=qi, dl, dS ou dV.
On calcule les 3 composantes du champ en tenant compte dans un premier
temps des ssyymmééttrriieess ddee llaa ddiissttrriibbuuttiioonn ddee cchhaarrggee.
Exemple: champ créé par un fil infini uniformément chargé.
Le plan perpendiculaire au fil et passant par M est plan de symétrie. Le
champ est donc contenu dans le plan P1 (Figure 37).
Tout plan contenant le point M et le fil est plan de symétrie: Le champ est
donc contenu dans le plan P2.
On en déduit que le champ est porté par la droite passant par M et
perpendiculaire au fil et qu’il suffit de trouver seulement l’expression de la
composante radiale du champ, ce qui facilite l’intégration.
AA55--22 A partir du potentiel électrique V(x,y,z)
C’est une grandeur scalaire qui se calcule plus facilement que le champ électrostatique qui est une grandeur
vectorielle. Le potentiel électrique créé en un point M situé à la distance r d’une charge élémentaire dq
s’écrit
PM
)M(
0
)M(r
dq
4
1dV
avec dq=qi, dl, dS ou dV.
On peut aussi considérer les éléments de symétrie pour trouver le repère approprié et faciliter l’intégration et
trouver l’expression du potentiel en un point. A partir de cette expression, on utilise la relation vectorielle
M)M( VgradE
pour trouver les trois composantes du champ électrostatique.
AA55--33 A partir du théorème de Gauss
Il faut choisir une ssuurrffaaccee ddee GGaauussss qui permet de calculer facilement le flux.
On tient compte des éélléémmeennttss ddee ssyymmééttrriiee de la distribution de charge.
0
VdV
dS.E
Exemple: Fil uniformément chargé ( ).
Surface de Gauss: on choisit pour surface de gauss un cylindre d’axe
porté par le fil, de rayon x égal à la distance entre le fil et le point où
on veut calculer le champ électrostatique et de hauteur h quelconque
(Figure 38).
Figure 37
Figure 38
Page 19 sur 54
Expression du flux : le flux à travers les surfaces de base est nul puisque le champ électrique est
radial ( 0)S()S( 21 ). Le champ E a la même direction que dS sur la surface de révolution S3.
Il a aussi toujours la même valeur puisqu’il ne dépend que de r et pas de ou :
S.EdSEdS.EdS.E)S( 3 avec S=2xh.
Expression de la charge contenue dans le volume entouré par la surface du cylindre : ce volume
contient une longueur h de fil portant une densité linéique de charge par unité de longueur :
hq .
Application du théorème de Gauss : 0
hExh2
et on en déduit l’expression de l’amplitude
du champ électrostatique créé à une distance x de l’axe d’un fil uniformément chargé :
00 x2xh2
1hE
. Ce champ est perpendiculaire à l’axe du fil.
AA55--44 Exercices d’application
A5-4.1. Champ créé par deux charges ponctuelles
Trouver l’expression du champ électrostatique créé par deux charges ponctuelles –q et +q placées en deux
point M1 et M2 distants de 2d sur deux axes particuliers (on prendra l’origine du repère orthonormé au point
O situé au centre du segment M1M2):
sur l’axe qui porte les charges
sur la médiatrice
On utilisera la méthode directe puis on retrouvera le résultat en calculant d’abord le potentiel électrique.
A5-4.2. Le dipôle électrique
Les atomes, les molécules et les milieux matériels sont
électriquement neutres. Parfois, les barycentres des charges
positives et des charges négatives sont décalés. On dit que le
milieu est polarisé. Les propriétés électriques d’un milieu polarisé
peuvent être décrites à l’aide d’un modèle élémentaire: llee ddoouubblleett ddee
cchhaarrggeess (Figure 40).
Il est caractérisé par son mmoommeenntt ddiippoollaaiirree dqABqAAqm
.
Son unité de mesure est le Debye (D) 1 Debye=1/3 10-29
C.m
Le potentiel électrique créé par un dipôle
Le principe de superposition permet d’écrire le potentiel en M créé par
deux charges ponctuelles : )r
1
r
1(
4
qV
120
M
en prenant le potentiel
Figure 40
Figure 39
Page 20 sur 54
nul à l’infini (Figure 39).
Avec cette distribution de charge, le champ électrostatique est contenu dans le plan contenant le point M et
les deux charges ponctuelles. On peut donc définir la position du point M dans un plan contenant les deux
charges à partir des deux paramètres r et . Dans la base (e,er
) la position du point M est donnée par
rerOM .
La distance r1 est la norme du vecteur AM qui s’écrit OMAOAMr1 ,
Sa norme est 2
122
1 )4
dcosrdr(r soit
2
1
2
2
1 )r4
dcos
r
d1(rr .
De la même façon, la distance r2 est 2
1
2
2
2 )r4
dcos
r
d1(rr .
AApppprrooxxiimmaattiioonn ddiippoollaaiirree:: On calcule le potentiel à une distance très grande devant la dimension du dipôle.
(d/r<<1)
On utilise (1+x) ~ 1+ x pour obtenir )
r8
dcos
r2
d1(
r
1
r
12
2
1
et )r8
dcos
r2
d1(
r
1
r
12
2
2
.
Le potentiel en M est donc r2
cosd2
r
1
4
qV
0
M
, soit
2
0
Mr
cosqd
4
1V
ou encore
2
0
Mr
cosm
4
1V
dont l’expression plus
générale est 2
r
0
Mr
e.m
4
1V
.
Le champ électrostatique créé par un dipôle
On utilise M)M( VgradE
et la base d’Euler (Figure 41)
M)M( VgradE
=
V
r
1E
r
VE r
Ce qui donne :
3
0 r
sinm
4
1V
r
1E
et
3
0
rr
cosm2
4
1
r
VE
Et ce qui conduit à une expression plus générale : 3
r
0 r
e.sinme.cosm2
4
1E
Avec )e.sine.(cosmm r
3
rr
0 r
me)e.m(3
4
1E
Figure 41
Page 21 sur 54
Topographie du champ électrostatique et des équipotentielles
Cette topographie est représentée sur la Figure 42 pour un plan contenant les deux charges. Elle est
caractéristique des éléments de symétrie (symétrie par rapport à un plan l’axe contenant les charges et
antisymétrie par rapport au plan médiateur).
A5-4.3. Champ électrostatique créé à une distance r de son axe par un fil uniformément chargé
Soit un fil de longueur L portant une densité de charge .
Trouver l’expression du champ électrostatique puis du potentiel électrique en un point M situé à une distance
x sur la médiatrice du fil.
Que deviennent ces expressions quand le fil est infini?
Comparer au résultat obtenu en utilisant le théorème de Gauss.
A5-4.4. Champ électrostatique créé sur son axe par une rondelle plane chargée uniformément
Une rondelle métallique de rayon extérieur R2 et de rayon intérieur R1 porte une charge répartie
uniformément (densité surfacique de charge ).
Calculer le champ électrostatique sur l’axe de la rondelle à la distance z de son centre.
Retrouver le résultat à partir du calcul du potentiel.
Etudier le cas particulier R1=0.
Quel est le champ créé par un plan infini ? Retrouver ce résultat par application du théorème de Gauss.
Le résultat précédent est-il en accord avec le théorème de Coulomb qui dit que le champ au voisinage d’un
conducteur métallique de charge surfacique est 0
E
?
A5-4.5. Champ électrostatique créé par une distribution sphérique de charges
Soit une distribution sphérique de charges telle que :
(r)=0 si r<R1
(r)=0 si R1<r<R2
(r)=0 si r>R2
Figure 42
Page 22 sur 54
Trouver les expressions du potentiel et du champ électrostatique en fonction de r.
Tracer l’allure des courbes E(r) et V(r).
AAA666 Actions d’un champ électrostatique sur des charges.
Le champ électrostatique est produit par d’autres sources que les charges sur lesquelles on étudie son action.
On dit qu’il est extérieur à ces charges.
AA66--11 Action sur une charge ponctuelle
A6-1.1. La force de Coulomb
Une charge électrique ponctuelle est située en un point M où existe un
champ électrostatique )M(E (Figure 43). Cette charge subit une force électrique )M()M( EqF .
C’est la ffoorrccee ddee CCoouulloommbb.. Puisque le champ électrostatique est lié au potentiel électrostatique VM, on peut
encore écrire : M)M( VgradqF .
A6-1.2. Travail de la force de Coulomb
Un opérateur extérieur déplace la charge q d’un pont M à un point
N (Figure 44). Le travail WMN de la force de Coulomb lors de ce
déplacement est égal à la somme des travaux élémentaires
ld.FdW .
lll d.Vgradqd.Eqd.FW
N
M
N
M
N
M
MN ou encore )VV(qdVqW NM
N
M
MN
LLee ttrraavvaaiill eesstt iinnddééppeennddaanntt dduu cchheemmiinn ssuuiivvii..
Remarque :
Si le déplacement se fait spontanément sous la seule action de la force de Coulomb, ce déplacement se fait
dans le sens de la force. Le travail est donc positif. Le potentiel de départ est donc supérieur au potentiel
d’arrivée. LLee ddééppllaacceemmeenntt ssppoonnttaannéé ssee ffaaiitt ddoonncc vveerrss lleess ppootteennttiieellss ddééccrrooiissssaannttss, ce qui donne le sens du
champ électrostatique quand la répartition du potentiel est connue.
A6-1.3. Energie potentielle électrostatique
Le travail de la force de Coulomb étant indépendant du chemin suivi, on dit qu’il dérive d’une énergie
potentielle EP. Ce travail est égal à l’inverse de la variation de l’énergie potentielle. WMN=-EP=EPM-EPN
L’énergie potentielle d’une charge ponctuelle placée dans un champ électrostatique est donc telle que
WMN=EPM-EPN = q (VM-VN). Soit EEPP==qqVV++CCttee.
L’énergie est définie à une constante près, généralement prise égale à zéro quand le potentiel est nul à
l’infini.
Figure 43
Figure 44
Page 23 sur 54
A6-1.4. Application : Energie potentielle d’une distribution de charges ponctuelles isolées dans l’espace
On recherche dans ce chapitre l’énergie potentielle d’une répartition de charges en équilibre électrostatique
en ll’’aabbsseennccee ddee cchhaammpp éélleeccttrroossttaattiiqquuee eexxttéérriieeuurr. Chacune des charges est dans le potentiel créé par les
autres. La distribution est indépendante du temps et les charges ne sont pas en mouvement.
A.6.1.4.a. Energie potentielle de deux charges ponctuelles seules dans l’espace
Une des charges est dans le potentiel créé par l’autre charge (Figure 45).
22
12
1
0
2
12
2
0
111p Vqr
q
4
1q
r
q
4
1qVqE
V1 est le potentiel créé par la charge q2 à l’endroit où se trouve q1 et V2 est le
potentiel créé par la charge q1 à l’endroit où se trouve q2.
Ce qui peut encore s’écrire :
)VqVq(2
1E 2211p
A.6.1.4.b. Energie potentielle de n charges ponctuelles seules dans l’espace
On recherche tout d’abord l’expression de l’énergie potentielle de trois charges
ponctuelles puis on généralisera (Figure 46). Il y trois interactions : entre q1 et
q2, entre q1 et q3 et entre q2 et q3.
Pour chacune de ces interactions, on utilise le résultat précédent :
)VqVq(2
1)VqVq(
2
1)VqVq(
2
1E 232323313131212121p .
)VV(q2
1)VV(q
2
1)VV(q
2
1E 323132321213121p
)r
q
4
1
r
q
4
1(q
2
1)
r
q
4
1
r
q
4
1(q
2
1)
r
q
4
1
r
q
4
1(q
2
1E
32
2
031
1
0
3
23
3
021
1
0
2
13
3
012
2
0
1p
332211p Vq2
1Vq
2
1Vq
2
1E
où V1, V2 et V3 sont respectivement les potentiels aux point où se trouvent les charges q1, q2 et q3, créés par
les autres charges ponctuelles.
On peut alors généraliser à n charges ponctuelles : n
i
iip Vq2
1E
Figure 45
Figure 46
Page 24 sur 54
AA66--22 Action sur un dipôle
A6-2.1. Action d’un champ uniforme
Les forces qui s’exercent sur les deux charges de signe opposé
sont de même intensité, de même direction mais de sens
contraire (Figure 47).
La somme des forces électriques qui s’exercent sur le
dipôle est nulle et il n’y a ppaass ddee ttrraannssllaattiioonn du dipôle.
Le moment de ces forces par rapport à un axe de rotation
n’est pas nul et il y a donc un eeffffeett ddee rroottaattiioonn.
Si on calcul le moment par rapport à un point quelconque O’, on obtient BA'O/ FB'OFA'O M .
Soit BB'O/ FABF)A'OB'O( M qui s’écrit aussi EABq'O/ M
LLee ddiippôôllee eesstt ssoouummiiss àà uunn ccoouuppllee ddee ffoorrcceess dont le moment est EmC .
Sous l’action de ce couple de forces, le dipôle
s’oriente dans la direction du champ
électrostatique.
Il existe deux positions d’équilibre (Figure 48)
caractérisées par 0C . La position stable est celle pour laquelle m à le même sens que E .
Energie potentielle du dipôle placé dans un champ électrostatique extérieur.
L’énergie potentielle du dipôle est la somme de l’énergie potentielle de chacune des deux charges
ponctuelles placées dans ce champ électrostatique extérieur.
BBAAp VqVqE soit )VV(qE ABp
On peut l’exprimer en fonction du champ électrostatique extérieur et du moment dipolaire en écrivant la
circulation du champ électrostatique de A à B.
AB.EdEd.Ed.VgraddVVV
B
A
B
A
B
A
B
A
AB lll .
Et on obtient
E.mAB.EqEp
L’énergie potentielle est extremum lorsque m et E ont la même direction. Ce qui correspond bien aux deux
positions d’équilibre trouvées précédemment. L’énergie est la plus faible lorsque m et E ont le même sens.
Figure 48
Figure 47
Page 25 sur 54
A6-2.2. Action d’un champ non uniforme
Il existe toujours un effet de rotation dont le
moment est plus difficile à exprimer. Sous l’action
du couple de forces, le dipôle s’oriente suivant les
lignes de champ (Figure 49). Comme les forces
qui s’exercent sur les deux charges ne sont plus
égales et opposées, la somme des forces n’est plus nulle et le dipôle a un mouvement de translation. Le
déplacement spontané (sous l’action de cette seule force) se fait dans la direction où le champ électrostatique
est le plus intense. Donc vers les potentiels décroissants. Ce qui correspond à une énergie potentielle du
dipôle de plus en plus petite (de plus en plus négative).
AA66--33 Equilibre des conducteurs chargés
Un conducteur est un matériau dans lequel des charges peuvent se déplacer.
Lorsque le conducteur est en équilibre, les charges sont immobiles.
A6-3.1. Répartition des charges dans un conducteur
On prend l’exemple d’un conducteur métallique dans lequel les charges mobiles sont des électrons qui ne
sont pas liés aux atomes (électrons libres ou électrons de conduction). La charge d’un conducteur est la
charge en excès. Lorsqu’un conducteur est neutre, la charge des électrons est égale à la charge des protons.
Si on charge ce conducteur en apportant ou en enlevant des électrons, ceux-ci vont se repousser (charges de
même signe). Ils se répartissent sur la surface du conducteur.
Dans un conducteur en équilibre, la charge est entièrement répartie
sur la surface et la charge volumique est nulle.
A6-3.2. Champ et potentiel d’un conducteur à l’équilibre
Champ et potentiel à l’intérieur :
A l’intérieur du conducteur en équilibre (Figure 50), la somme des
charges dans un petit volume quelconque est nulle. La forme locale
du théorème de Gauss conduit à écrire 0Ediv . Ce qui permet de
démontrer que le champ est nul partout à l’intérieur du conducteur
(on le démontrera avec un conducteur sphérique).
Comme le champ électrostatique est lié au potentiel par la relation VgradE , le potentiel à l’intérieur du
conducteur est constant.
Champ et potentiel à la surface
Le champ étant nul à l’intérieur, la circulation du champ E le long d’une trajectoire appartenant à la
« surface intérieure » est nulle. La surface du conducteur est donc une équipotentielle.
Figure 49
Figure 50
Page 26 sur 54
A l’extérieur, le champ n’est plus nul mais la surface du conducteur étant une équipotentielle, le champ
électrostatique au voisinage de la surface est perpendiculaire à
cette surface.
Si on prend autour d’un point M une petite calotte sphérique de
surface dS et que l’on calcule le champ à son voisinage (Figure
51), on peut utiliser le résultat du champ créé par un plan infini. Il
a la même intensité mais est de sens contraire de part et d’autre de
cette calotte.
0
)M(
)M(2
E
.
Par utilisation du principe de superposition, le champ créé par le
reste du conducteur doit être égal à –E(M) dans la partie intérieure
(à une distance <<1) pour assurer que le champ est nul à
l’intérieur du conducteur. Pour cette partie du conducteur, le
champ est le même (même intensité, même direction et même
sens) en un point situé à une très petite distance vers l’extérieur
de la surface.
Le champ crée par le conducteur à l’extérieur est donc égal à
0
)M(
)M(E
.
Ceci constitue le tthhééoorrèèmmee ddee CCoouulloommbb : LLee cchhaammpp aauu vvooiissiinnaaggee dd’’uunn ccoonndduucctteeuurr àà ll’’ééqquuiilliibbrree eesstt
ppeerrppeennddiiccuullaaiirree àà ssaa ssuurrffaaccee eett ssoonn iinntteennssiittéé vvaauutt
0
)M(
.
nE0
)M()M(
où n est la normale au conducteur.
Pression électrostatique
A partir des résultats précédents, on peut trouver la force exercée par le reste du conducteur sur la petite
calotte sphérique de surface dS.
Cette calotte porte la charge (M)dS et elle est dans un champ électrostatique 0
)M(
2
. La force est donc
0
)M(2
2
dS
. On en déduit la pression électrostatique en chaque point du conducteur
0
)M(2
)M(2
P
.
Figure 51
Page 27 sur 54
Potentiel et énergie d’une sphère conductrice chargée seule dans l’espace
La relation entre la charge et le potentiel
Soit une sphère conductrice de rayon R et portant une charge Q. Toute cette charge Q est sur la surface. Par
application du théorème de Gauss, on trouve facilement que le champ à l’extérieur est le même que celui
créé par une charge ponctuelle de même valeur située au centre de la sphère : 2
0
)Rr(r
Q
4
1E
.
Le potentiel en r=R est donc aussi identique à celui créé par cette charge ponctuelle, soit R
Q
4
1V
0 en
prenant le potentiel nul à l’infini. On peut alors écrire que la charge d’une sphère conductrice seule dans
l’espace est liée à son potentiel par VCVR4Q 0 .
CC eesstt llaa ccaappaacciittéé ddee llaa sspphhèèrree iissoollééee ddaannss ll’’eessppaaccee
Energie de la sphère
La sphère de charge Q possède une énergie électrique. Cette énergie est égale au travail qu’un opérateur
extérieur a du fournir pour apporter les charges d’un endroit O jusqu’à la sphère, ce qui a modifié son
potentiel.
Si on divise la charge totale en charges élémentaires, on peut calculer le travail élémentaire qu’il faut fournir
pour modifier la charge de dq. Si la charge de la sphère à un instant donné est q, elle exerce sur la charge dq
qu’on apporte de O une force répulsive. Le travail qu’il faut fournir pour apporter dq sur la sphère est
l’opposé du travail de la force électrique qu’il faut vaincre. On a vu que ce travail est égal à dq.(V-VO) avec
C
q
R
q
4
1V
0
.
Si on apporte les charges de l’infini où le potentiel est nul, le travail total pour faire passer la charge de 0 à Q
est donc dqqC
1dq
R
q
4
1W
Q
0
Q
0 0
.
On trouve ainsi l’énergie que possède la sphère de capacité C et de charge Q est: 2
2
CV2
1
C
q
2
1W
Pouvoir des pointes
Pour comprendre le pouvoir des pointes, on peut modéliser
un conducteur en forme de pointe en assemblant des sphères
de rayons décroissants (Figure 52). Comme toutes ces
sphères se touchent, elles ont le même potentiel. Mais elles
ne portent pas la même charge. La charge surfacique est
d’autant plus élevée que le rayon est plus petit
( VCVR4Q 0 ). La charge est donc plus élevée à la pointe du conducteur.
Figure 52
Page 28 sur 54
Si on calculait le potentiel créé en chaque point par cette répartition de charge, on trouverait un potentiel
constant. C'est-à-dire que les charges à la surface d’un conducteur de forme quelconque seul dans l’espace se
répartissent pour assurer une équipotentielle sur la surface.
Comme le champ au voisinage d’un conducteur dépend de sa densité de charge surfacique (0
E
), le
champ au voisinage d’une pointe est plus élevé qu’au voisinage d’un autre point. Si le potentiel du
conducteur est suffisamment élevé, le champ peut alors ioniser l’air ambiant et créer un vent électrique et
même une décharge électrique. Une expérience classique consiste à courber la flamme d’une bougie au
voisinage d’une pointe.
A6-3.3. Influence entre les conducteurs à l’équilibre
A.6.3.3.a. Charges et potentiels des conducteurs en équilibre
Si on rapproche deux conducteurs l’un de l’autre, leurs potentiels et leurs charges vont être modifiés, de
manière à assurer un potentiel constant à la surface de chacun des conducteurs. S’il s’agit de sphères, la
répartition des charges à la surface n’est plus homogène.
Si un conducteur n’est pas relié à une source de potentiel, sa charge totale n’est pas modifiée: son
potentiel (constant sur sa surface) et la répartition de sa charge sont modifiés.
Si un conducteur est relié à une source de potentiel, sa charge ainsi que la répartition de la charge
varient mais son potentiel reste constant.
A.6.3.3.b. Le théorème des éléments correspondants
Un tube de champ découpe sur les surfaces de deux conducteurs
sous influence deux calottes dont les charges sont liées par une
relation déduite du théorème de Gauss. Ce sont des éléments
correspondants (Figure 52).
On construit une surface fermée (surface de Gauss) constituée
par un tube de champ et deux surfaces situées dans les conducteurs. Le flux du champ électrostatique à
travers cette surface fermée est nul car le champ électrostatique est nul dans les conducteurs et parallèle à la
surface de Gauss que constitue le tube de champ.
La somme des deux charges Q1 et Q2 est donc nulle. On en déduit que les deux charges sont de signes
opposés et ont la même valeur absolue : Q1 = -Q2.
CCeeccii ccoonnssttiittuuee llee pprriinncciippee ddeess éélléémmeennttss ccoorrrreessppoonnddaannttss..
Si V2<V1, le champ est dirigé vers le conducteur 2 et la charge Q1 est
positive tandis que Q2 est négative.
A.6.3.3.c. L’influence totale
On dit que deux conducteurs sont sous influence totale si toutes les lignes
de champ issues d’un des deux conducteurs aboutissent à l’autre
conducteur. Si l’un des conducteurs entoure l’autre (Figure 54), ils sont sous influence totale.
Figure 53
Figure 54
Page 29 sur 54
C’et le cas des deux conducteurs d’un câble coaxial.
La charge intérieure du conducteur 2 a la même valeur absolue de la charge du conducteur 1. Le schéma
correspond au cas où le potentiel V1 du conducteur 1 est inférieur au potentiel du V2 conducteur 2.
A.6.3.3.d. Les condensateurs
Deux conducteurs sous influence totale forment un condensateur. Les deux armatures portent des charges
égales en valeur absolue et opposées en signe.
On appelle capacité d’un condensateur le rapport
21
21
VV
QQC
.
Si on appelle Q la valeur absolue de la charge portée par les armatures et U=V2-V1 la valeur absolue de la
différence de potentiel entre les deux armatures, on peut écrire Q=CU.
La capacité s’exprime en Farad. Les capacités usuelles sont de l’ordre du microfarad (1F=10-6
F).
Remarque :
Q2=-Q1=C (V2-V1)
AA66--44 Exercices
A6-4.1. Capacité d’un condensateur plan :
En faisant l’hypothèse que les dimensions géométriques des plaques d’un condensateur plan sont grandes
devant la distance e entre les armatures, trouver le champ électrostatique existant entre les deux armatures
(0
où est la densité de charge de la plaque positive). En faisant circuler le champ d’une armature à
l’autre, trouver la relation entre la différence de potentiel et la charge et montrer que la capacité d’un
condensateur plan est .S
C 0
e
A6-4.2. Force entre les armatures d’un condensateur plan
Calculer l’expression du champ crée par une des armatures sur l’autre armature.
En déduire la force qui s’exerce entre les deux armatures puis la pression électrostatique.
A6-4.3. Force entre un plateau chargé et une charge ponctuelle
Un plateau circulaire vertical métallique de très grande dimension est relié à la terre (potentiel V=0). On
place à une distance x une petite sphère métallique de rayon r et de charge q suspendue à un fil. La sphère
prend une position d’équilibre xe.
Trouver la force qui s’exerce sur la petite sphère assimilée à une charge ponctuelle.
A6-4.4. Charges et capacité de deux sphères sous influence totale
Deux sphère métalliques 1 et 2 concentriques de rayon R1, R2>R1 et R’2>R2 sont séparées par de l’air.
La première sphère est reliée à une source de potentiel V1 et la seconde à une source de potentiel V2.
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Calculer la charge Q1 de la sphère 1.
Trouver l’expression de la charge Q2 de la surface interne de la sphère 2.
Donner l’expression de la charge Q’2 portée par l’armature externe de la sphère 2.
Donner l’expression de la capacité C du condensateur formé par les deux sphères.
Quelle est l’expression approchée de C quand R2 est très voisin de R1 : R2=R1+e ?
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BB.. LLee cchhaammpp mmaaggnnééttiiqquuee
BBB111 Les sources du champ magnétique
BB11--11 Courant électrique
B1-1.1. Définition
En électrostatique, les charges sont immobiles. Leur mise en mouvement donne naissance à des courants
électriques. Ces courants électriques sont à l’origine du champ magnétique.
Définition: On appelle courant électrique tout mouvement d’ensemble de particules chargées dans un
référentiel R.
B1-1.2. Les divers courants électriques
Les courants de conduction sont associés au déplacement:
o d’électrons dans les métaux
o d’ions dans les solutions d’électrolytes
o d’électrons et de lacunes électroniques dans les semi-conducteurs.
Les courants de convection sont obtenus par déplacement du support matériel qui contient les
charges. Ce ne sont pas les charges qui se déplacent à l’intérieur du support mais le support lui-
même.
Les courants particulaires sont obtenus à partir de faisceaux d’électrons ou d’ions dans les tubes à
vide.
BB11--22 Intensité du courant
B1-2.1. Définition
Soit une surface S orientée placée dans un espace où des charges électriques sont en mouvement (Figure
55a). Entre les instants t et t+t,
certaines de ces charges
traversent la surface S (charges
« blanches » sur la Figure 55b).
Q(t) est la charge électrique
totale qui traverse la surface S
entre les instants t et t+t.
L’intensité électrique est liée à la charge Q qui traverse S pendant l’intervalle de temps t par la relation:
QQ((SS,,tt)) == II((SS,,tt)) tt qui peut encore s’écrire .t
QI
L’unité de courant est l’AMPERE (A).
a b
Figure 55
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B1-2.2. Le vecteur densité volumique de courant
On considère des particules chargées identiques mobiles qui possèdent une charge électrique q et dont le
nombre par unité de volume est n.
mm== nnqq s’appelle la densité volumique des charges mobiles.
Ces particules peuvent être mises en mouvement sous l’action d’un champ électrique et elles acquièrent alors
une vitesse moyenne v . Dans un conducteur métallique, la relation entre la vitesse moyenne et le champ
électrique constitue ce qu’on appelle la loi d’Ohm locale. Sa démonstration est en dehors du cadre de ce
Le mouvement de ces particules chargées engendre un courant caractérisé par un vveecctteeuurr ddeennssiittéé ddee
ccoouurraanntt qui s’écrit vvnqj m
.
Remarques:
Ne pas confondre m, densité des charges mobiles, avec qui est la densité totale de charge.
Si les particules ne sont pas identiques (de charge et de vitesse différentes), Le vecteur densité
volumique de courant est i
i
i
m
i
iii vvqnj
B1-2.3. Relation entre j et I
La charge qui passe à travers la surface dS
pendant l’intervalle de temps t est celle
contenue dans le cylindre oblique de volume
V= t.dS.v
(Figure 56).
Cette charge vaut Q= nq V. Par définition, Le
courant dI qui passe à travers dS est tel que .t
Q)dS(dI
Soit dS.jdS.vnqdI
Pour obtenir le courant qui traverse une surface S, il faut prendre l’intégrale du résultat précédent sur cette
surface S et on obtient : S
dS.jI .
LL’’iinntteennssiittéé dduu ccoouurraanntt éélleeccttrriiqquuee ttrraavveerrssaanntt uunnee ssuurrffaaccee SS eesstt ééggaallee aauu fflluuxx dduu vveecctteeuurr ddeennssiittéé
vvoolluummiiqquuee ddee ccoouurraanntt àà ttrraavveerrss cceettttee ssuurrffaaccee..
Remarque :
La valeur de I(t) et son signe dépendent de l’orientation de la surface puisque la charge qui traverse la
surface provient de particules chargées en mouvement dans une direction.
Figure 56
Page 33 sur 54
B1-2.4. Principe de conservation de la charge
Si la surface est fermée, elle entoure un volume qui contient des
charges électriques.
Si le système est ouvert, l’évolution de la charge dans le volume V
est liée aux transferts de charges entre le système et l’extérieur
(Figure 57).
L’évolution de la charge Q pendant l’intervalle t est liée aux
courants qui circulent vers l’extérieur ou l’intérieur du volume V (le
sens de circulation des courants est caractérisé par leurs signes).
Si le courant est positif, c’est que des charges positives circulent de
l’intérieur vers l’extérieur, ce qui conduit à une diminution de la charge à l’intérieur de V. Si le courant est
négatif, la charge intérieure augmente. Dans les deux cas, il faut donc introduire un signe négatif de sorte que
QQ == -- ((II11++II22++II33++II44)) tt==--IISS tt où IS est le courant total à travers la surface S qui entoure le volume V.
Si on appelle la densité de charge à l’intérieur du volume V, on peut alors écrire
V
S dV.tt
QI (il faut mettre une dérivée partielle car la densité de charge dépend du temps et
de l’espace).
On sait que IS est aussi le flux du vecteur densité de courant à travers la surface S. Pour lier l’évolution de la
charge avec le vecteur densité de courant, on utilise un théorème de l’analyse vectorielle, le théorème de
Green-Ostrogradsky, qui relie la divergence d'un champ vectoriel à la valeur de l'intégrale de surface du
flux défini par ce champ : VS
dV.FdivdS.F où S est la surface fermée qui entoure V. La surface S est
orientée vers l’extérieur. Appliqué au flux du vecteur densité de courant à travers la surface fermée S, ce
théorème permet d’obtenir VS
S dV.jdivdS.jI .
On en déduit l’équation de conservation de la charge : 0t
jdiv
qui relie la divergence du vecteur
densité de courant à la dérivée partielle par rapport au temps de la densité
de charge.
Si le système n’a aucun échange avec l’extérieur (système fermé), il
n’y a pas de modification de la charge dans le volume V entouré par la
surface S (Figure 58). La charge reste constante : QQ ==00. Le courant à
travers la surface S est nul.
L’équation de conservation de la charge se réduit à 0jdiv .
Figure 57
Figure 58
Page 34 sur 54
BB11--33 Les distributions de courants
B1-3.1. lignes et tubes de courant
Une ligne de courant est une ligne tangente en tout point au vecteur
densité de courant (Figure 59): )M()M( dl//j
Les lignes de courant sont orientées dans le sens du vecteur densité de
courant.
L’ensemble des lignes de courant champ qui s’appuient sur une courbe
fermée forme une surface appelée tube de courant (Figure 60).
B1-3.2. Cas du régime permanent
En régime permanent, la charge contenue à l’intérieur d’une surface fermée
fixe n’évolue pas.
Soit un tube de courant de surface S3 entre deux de ses
sections S1 et S2. S1+S2+S3 forment une surface fermée S’
(Figure 61) avec '
3
'
2
'
1 dSetdS,dS orientés vers l’extérieur
Puisque la charge est constante dans le volume V, le flux de
j à travers cette surface S est nul.
0dS.jdS.jdS.jdS.j
321 S
'
3
S
'
2
S
'
1
'S
Puisque S3 est un tube de courant, j est perpendiculaire à '
3dS en tout point de cette surface. On en déduit
0dS.j
3S
'
3
Par définition,
1S
'
11 dS.jI et
2S
'
22 dS.jI . Le signe – pour I1 vient du fait que l’orientation de la
surface S1 est l’opposé de l’orientation de la surface S2. Ce qui conduit à II11 == II22.
EEnn rrééggiimmee ppeerrmmaanneenntt,, llee vveecctteeuurr j aa uunn fflluuxx ccoonnsseerrvvaattiiff.. LLee ccoouurraanntt éélleeccttrriiqquuee eesstt llee mmêêmmee àà ttrraavveerrss
ttoouutteess lleess sseeccttiioonnss dd’’uunn mmêêmmee ttuubbee ddee ccoouurraanntt..
Figure 60
Figure 59
Figure 61
Page 35 sur 54
B1-3.3. Les courants surfaciques
Lorsque la distribution de courants est répartie sur une
épaisseur microscopique, on dit que la distribution est
surfacique. Le courant circule à la surface dans l’épaisseur h.
Si j
est la densité volumique de courant, le courant dI à
travers une surface orientée u.hdl
est u.h.dljdI
. On
définit alors un vecteur densité de courant surfacique en
écrivant .dlu.jdI S
LLoorrssqquuee lleess ccoouurraannttss cciirrccuulleenntt eenn ssuurrffaaccee,, oonn ddééffiinniitt uunn vveecctteeuurr
ddeennssiittéé ddee ccoouurraanntt ssuurrffaacciiqquuee mmeessuurréé eenn AA..mm--11
..
B1-3.4. Les courants filiformes
Dans le cas des courants filiformes, j est considéré uniforme sur une
section droite S du fil. On peut alors écrire :
dlS.jIdl
.
On introduit alors le vecteur élément de courant dV.jS.j.I
dldl
où dV=Sdl (Figure 63).
dl.I eesstt llee vveecctteeuurr éélléémmeenntt ddee ccoouurraanntt ((oouu éélléémmeenntt ddee
ccoouurraanntt)).. IIll ss’’eexxpprriimmee eenn AA..mm..
IIll nn’’aa ppaass ddee ssiiggnniiffiiccaattiioonn pphhyyssiiqquuee ccaarr uunn éélléémmeenntt ddee
ccoouurraanntt nnee ppeeuutt ppaass eexxiisstteerr sseeuull.. CC’’eesstt uunn «« êêttrree
mmaatthhéémmaattiiqquuee »» uuttiillee àà llaa ddeessccrriippttiioonn ddeess pphhéénnoommèènneess
oobbsseerrvvééss..
B1-3.5. Les symétries dans les distributions de courants
Comme pour les distributions de charges, sources du champ
électrostatiques, les symétries dans les distributions de
courant produisent des symétries dans les champs
magnétiques produits. Les principales symétries sont
représentées sur la Figure 64.
La symétrie plane par rapport à un plan est caractérisée par
)j(Sj
et l’antisymétrie plane par )j(Sj
.
Figure 64
Figure 62
Figure 63
Page 36 sur 54
BBB222 Le Champ magnétique
C’est en 1820 qu’Oersted, physicien et chimiste danois, découvre le déplacement d’une aiguille placée sous
un fil parcouru par un courant. Un mois après avoir pris connaissance des expériences d'Œrsted, les
physiciens français Biot et Savart communiquent l'Académie Française la loi qui porte leur nom et qui
permet de connaître la valeur du champ magnétique créé en un point distant d'un conducteur parcouru par un
courant d'intensité I. A partir de cette expérience qu’il a su interpréter, le physicien Ampère établit en
quelques semaines les bases de toute une science à laquelle il donne le nom d'électromagnétisme avec
l’introduction de la notion de CHAMP ELECTROMAGNETIQUE, un objet qui permet de décrire les
effets des courants électriques sur l’espace qui les entoure. Excellent mathématicien, Laplace est l'un de
ceux qui ont participé à l’élaboration de la description mathématique de l’électromagnétisme. Un peu plus
tard , en 1831, Faraday découvrit l'induction électromagnétique, ce qui permit à Maxwell de donner une
formulation mathématique complète (les équations de Maxwell) de l'ensemble des phénomènes de
l’électromagnétisme. En réalité, les équations de Maxwell étant relativistes, c’est l’élaboration de la théorie
de la relativité par Einstein qui permet dès 1905 une description plus rigoureuse de l’électromagnétisme.
C’est cette théorie qui devrait être utilisée pour définir le champ magnétique. Nous nous contenterons d’une
approche phénoménologique en adoptant une démarche similaire à la description du champ électrostatique.
BB22--11 Action d’un aimant sur une particule chargée en mouvement
Si une charge q>0 animée d’une vitesse v arrive au
voisinage d’un aimant, on observe une déviation de la
trajectoire (Figure 65a). La particule subit une force dite
force de Lorentz et on dit que l’aimant est la source d’un
champ magnétique B
tel que la force subie par la
particule chargée en un point M est )M()M()M( BvqF
.
L’unité du champ magnétique est le Tesla (T).
BB22--22 Le champ magnétique créé par un élément de
courant
Si on remplace l’aimant par une spire parcourue par un
courant, on observe aussi une déviation. On en déduit que
le courant circulant dans la spire produit aussi un champ
magnétique.
L’expression du champ magnétique dB créé par un élément de courant dl.I a été obtenu empiriquement, à
partir de résultats expérimentaux (pour une description rigoureuse, il est nécessaire d’utiliser la théorie de la
relativité).
Figure 65
a
b
Page 37 sur 54
C’est la loi de BIOT et SAVART :
2
0)M(
r
u.I
4dB
dl
où 0=4 10-7
(en unité du système international) est la
perméabilité du vide (l’air est assimilé au vide).
Le trièdre u,dB,
dl est un trièdre direct (Figure 66).
On obtient le champ total en faisant la somme vectorielle des
champs élémentaires dB .
Remarque :
On a vu précédemment qu’il y a équivalence entre
dVvnqdVjet.I
dl .
On peut donc écrire )r
uvq
4(dVndB
2
0)M(
.
Ou encore )M()M( dbdVndB où 2
0)M(
r
uvq
4db
est le champ créé par une charge q animée d’une
vitesse v . Ce qui permet de justifier la formule de Biot et Savart, le champ total apparaissant comme la
somme vectorielle des champs magnétiques élémentaires créés par chacune des charges mobiles en
mouvement.
On voit ainsi apparaître les sources du champ magnétique sont des charges en mouvement. Comme le
mouvement d’une particule dépend du référentiel d’étude et si on admet que les interactions
électromagnétiques se produisent à la vitesse de la lumière, on entrevoit la nécessité de faire appel à la
relativité pour la description rigoureuse.
BB22--33 Le champ magnétique créé par un circuit parcouru par un courant
Les champs créés par chacun des éléments de courant dl.I s’ajoutent vveeccttoorriieelllleemmeenntt.
Distribution volumique
de courants
dVj.I
dl
2
PM
PM0)M(
r
udVj
4B
)P(
Distribution
surfacique de courants
dSj.I s
dl
2
PM
PMs0)M(
r
udSj
4B
)P(
Courants filiformes
dl.I
2
PM
PM0)M(
r
udlI
4B
Figure 66
.I.S104 7
0
Page 38 sur 54
BB22--44 La topographie du champ magnétique
B2-4.1. Les lignes de champ
En tout point de l’espace, le champ électrique est continuellement
tangent à des courbes appelées lignes de champ : )M()M( //B dl
(Figure 67).
Les lignes de champ sont orientées dans le sens du champ magnétique
L’équation d’une ligne de champ s’obtient en écrivant 0)M()M( B dl qui
permet d’obtenir un système d’équations différentielles.
L’ensemble des lignes champ qui s’appuient sur une courbe fermée forme une
surface appelée tube de champ (Figure 68).
B2-4.2. Exemples de topographie
D’après le principe de Curie, on doit retrouver dans la topographie du champ magnétique les symétries des
distributions de courants qui en sont la source. Cependant, il faut remarquer que dans un changement de
repère, llee cchhaammpp mmaaggnnééttiiqquuee nnee ssee ttrraannssffoorrmmee ppaass ccoommmmee uunn vveecctteeuurr mmaaiiss ccoommmmee llee pprroodduuiitt ddee ddeeuuxx
vveecctteeuurrss : 2
0)M(
r
u.I
4dB
dl. On dit que B est un pseudo-vecteur (ou vecteur axial) par opposition à E ,
vecteur polaire.
Symétrie plane
]B[B )M()'M( S
LLee cchhaammpp eenn uunn ppooiinntt dduu ppllaann ddee ssyymmééttrriiee eesstt
ppeerrppeennddiiccuullaaiirree àà ccee ppllaann (Figure 69).
Antisymétrie plane
]B[B )M()'M( S
LLee cchhaammpp eenn uunn ppooiinntt dduu ppllaann dd’’aannttiissyymmééttrriiee eesstt
ppaarraallllèèllee àà ccee ppllaann (Figure 70).
Figure 69 Figure 70
Figure 67
Figure 68
Page 39 sur 54
Exemples: Les plans dans lesquels sont tracés les lignes de champ sont des plans d’antisymétrie car les
courants arrivent d’un côté de ce plan et repartent par l’autre côté. On vérifie sur ces tracés que le champ
magnétique est bien perpendiculaire aux plans de symétrie, par exemple le plan qui contient la spire (Figure
71).
Champ magnétique créé par une spire circulaire parcourue par
un courant I
Champ magnétique créé par trois fils
parcourus par des courants 2I et –I.
Figure 71 Figure 72
BBB333 Les propriétés du champ magnétique
BB33--11 La circulation du champ magnétique
B3-1.1. définition
La circulation élémentaire du champ magnétique sur
un parcours élémentaire est le produit scalaire entre le vecteur champ magnétique et le vecteur circulation
élémentaire : dl.BdC )M(
(Figure 73). L’intégrale sur un trajet de A à B donne la circulation totale
B
A
)M(AB dl.BC
B3-1.2. Circulation sur un contour (boucle fermée) : théorème
d’Ampère.
Le contour est orienté arbitrairement et la surface S qui
s’appuie sur ce contour est orientée à partir de l’orientation du
contour selon la règle du tire-bouchon: On se déplace dans le sens de
dl.BdC )M(
ds quand le tire-bouchon tourne dans le sens du
contour dl.BdC )M(
(Figure 74). La circulation le long d’un trajet
allant de A à B (Figure 75) est
dl.BC )M(
.
Figure 73
Figure 74
Figure 75
Page 40 sur 54
Les sources du champ magnétique sont des conducteurs parcourus par des courants. Certains de ces
conducteurs traversent une surface S qui s’appuie sur le contour sur lequel on calcule la circulation.
Si les courants étudiés sont indépendants du temps et si le contour n’a pas d’intersection avec un des
courants filiformes, on peut relier la circulation du champ magnétique B
sur le contour et les courants
sources de ce champ magnétique. Cette relation constitue le théorème d’Ampère que l’on va énoncer sans le
démontrer.
La circulation du champ magnétique sur un contour
est égale à la somme algébrique des courants qui
traversent toute surface S qui s’appuie sur le contour
, multipliée par 0.
SSoommmmee aallggéébbrriiqquuee:: OOnn mmuullttiipplliiee llee ccoouurraanntt ppaarr
++11 qquuaanndd iill ttrraavveerrssee llaa ssuurrffaaccee ddaannss llee sseennss
dd’’oorriieennttaattiioonn ddee llaa ssuurrffaaccee eett ppaarr --11 ddaannss llee ccaass
ccoonnttrraaiirree..
Les courants qui ne sont pas enlacés par le contour
traversent la surface un nombre pair de fois, une fois dans le sens de la surface, une fois dans le sens
contraire (Figure 76). Ils n’interviennent pas dans la somme.
)IIIII(dl.BC 433210)M(
.
Pour des régimes indépendants du temps, LLaa cciirrccuullaattiioonn dduu cchhaammpp B
mmaaggnnééttiiqquuee ssuurr llee ccoonnttoouurr eesstt
ééggaallee àà llaa ssoommmmee aallggéébbrriiqquuee ddeess ccoouurraannttss eennllaaccééss ppaarr llee ccoonnttoouurr ,, mmuullttiipplliiééee ppaarr 00..
enlacés0)M( Idl.BC
constitue le tthhééoorrèèmmee dd’’AAmmppèèrree..
En utilisant une relation de l’analyse vectorielle (théorème de Stockes), on peut trouver une forme locale du
théorème d’Ampère. La circulation d’un vecteur sur un contour est égale au flux du rotationnel de ce vecteur
à travers une surface qui s’appuie sur le contour : dS.Brotdl.BS
)M()M(
.
En coordonnées cartésiennes, le rotationnel s’écrit
zxy
yzx
x
yZ
zZ
yy
xx
z
y
x
ey
B
x
B
ex
B
z
B
ez
B
y
B
eB
eB
eB
ez
ey
ex
Brot
Figure 76
Page 41 sur 54
La somme algébrique des courants entrelacés peut s’écrire comme le flux des vecteurs densités de courant à
travers une surface S qui s’appuie sur le contour : dS.jIS
0enlacés0
.
On en déduit )M()M( jB.rot 0
qui est la ffoorrmmee llooccaallee dduu tthhééoorrèèmmee dd’’AAmmppèèrree.
BB33--22 Le flux du champ magnétique
B3-2.1. définition
Le flux élémentaire à travers une surface élémentaire est le produit
scalaire entre le vecteur champ magnétique et le vecteur surface :
)M()M()M( dS.Bd
. L’intégrale sur toute la surface S donne le flux
total : S
)M()M(S dS.B
.
SS eesstt llee fflluuxx dduu vveecctteeuurr B
àà ttrraavveerrss llaa ssuurrffaaccee SS..
B3-2.2. Flux à travers une surface fermée du champ créé par un élément de courant
2
0
r
u.I
4dB
dl
Si on considère les éléments de symétrie d’un élément de courant, on
voit que les lignes de champ sont des cercles centrés sur l’élément de
courant et les tubes de champ sont des tores. On en déduit que le flux qui
rentre dans une surface quelconque est égal au flux qui sort (Figure 78).
'ddd T
LLee fflluuxx àà ttrraavveerrss uunnee ssuurrffaaccee ffeerrmmééee dduu cchhaammpp mmaaggnnééttiiqquuee ccrréééé ppaarr
uunn éélléémmeenntt ddee ccoouurraanntt eesstt nnuull..
B3-2.3. Flux à travers une surface fermée du champ créé par une distribution de courants
On peut « découper » la distribution de courants en éléments de courant et le champ magnétique total sera la
somme des champs magnétiques créés par chacun de ces éléments de courant. Pour chacun des éléments de
courant, le flux du champ magnétique à travers une surface fermée est nul.
Par application du principe de superposition, le flux à travers une surface fermée du champ magnétique créé
par la distribution de courants est nul.
On dit que llee cchhaammpp mmaaggnnééttiiqquuee eesstt àà fflluuxx ccoonnsseerrvvaattiiff : S
0dS.B
Figure 77
Figure 78
Page 42 sur 54
On peut en déduire une forme locale en utilisant le théorème d’Ostrogradsky : VS
dVBdivdS.B
avec
z
B
y
B
x
BBdiv zyx
en coordonnées cartésiennes.
On en déduit 0Bdiv
.
C’est l’équation qui traduit à l’échelle mésoscopique la propriété macroscopique de conservation du flux à
travers une surface fermée du champ magnétique.
BB33--33 Le champ magnétique dérive d’un potentiel vecteur
L’équation locale 0Bdiv
permet d’écrire que ArotB car 0)A.()Arot(div .
On dit que B dérive d’un ppootteennttiieell vveecctteeuurr A , exprimé en Tesla par m.
Remarques:
Soit le potentiel vecteur gradA'A . On a donc 'Arot'B et
Arot)gradA(rot'Arot car le rotationnel d’un gradient est nul. On en déduit que B'B .
On dit que A est défini au gradient d’un scalaire près. Le choix du scalaire correspond à une
ccoonnddiittiioonn ddee jjaauuggee. On choisit souvent le scalaire tel que 0Adiv .
On se souvient qu’une des équations locales est jBrot 0 où j est le vecteur densité de courant et
A)A.()A()Arot(rot . Si on choisit la condition de jauge 0Adiv , alors on
obtient une autre équation de la magnétostatique qui est 0jA 0 .
A joue un rôle analogue à celui du potentiel scalaire V; cette analogie est mise en évidence quand
on compare l'expression de A à celle de V. A partir de l’équation précédente, on peut trouver
dvr
j
4A 0
, à rapprocher de dvr4
1V
0
.
BBB444 Méthodes de calcul du champ magnétique créé par des courants
BB44--11 Calcul en utilisant la formule de BIOT et SAVART
2
0
r
u.I
4dB
dl avec dSjdVj.I s
dl quand les courants ne sont pas filiformes.
On peut très souvent simplifier les calculs en utilisant les symétries des distributions des courants.
Page 43 sur 54
exemple: champ créé par un fil infini parcouru par un courant
(Figure 79).
Tout plan contenant le point M et le fil est plan de symétrie: Le
champ est perpendiculaire au plan P1.
Le plan perpendiculaire au fil et passant par M est plan
d’antisymétrie. Le champ est contenu dans le plan P2.
L’axe du fil est axe de symétrie. Le champ est indépendant de , il
ne dépend que de r, la distance au fil.
LLeess lliiggnneess ddee cchhaammpp ssoonntt ddeess cceerrcclleess ccoonntteennuuss ddaannss ddeess ppllaannss
ppeerrppeennddiiccuullaaiirreess aauu ffiill eett cceennttrrééss ssuurr ll’’aaxxee dduu ffiill..
BB44--22 Calcul en utilisant le potentiel vecteur
On utilise l’expression de dvr
j
4A 0
puis la relation ArotB .
Cette méthode est rarement appliquée pour les distributions de courant
classiques.
BB44--33 Calcul à partir du théorème d’Ampère
enlacés0 I.BC dl
Il faut choisir un contour qui permet de calculer facilement la
circulation en tenant compte des éléments de symétrie de la
distribution de courants.
Exemple: Fil infini parcouru par un courant constant.
On cherche à calculer le champ à la distance r du fil. On
choisit de prendre comme contour une ligne de courant
qui passe par le point M qui sont des cercles centrés sur
l’axe du fil (Figure 80).
Il faut calculer la circulation de B sur le contour choisi :
dl.BC
.
Exemple: Fil infini parcouru par un courant constant.
o On oriente le contour (Figure 81),
o Puisqu’on a judicieusement choisit une ligne de champ: B
et dl sont colinéaires.
rπ2.BB.B.B
dldldl
.
o Ce qui donne CC== 22rr BB((rr))
Figure 79
Figure 80
Figure 81
Page 44 sur 54
Il faut calculer la somme algébrique des courants enlacés par le contour : enlacés0 IC .
Exemple: Fil infini parcouru par un courant constant.
o On choisit la surface qui s’appuie sur le contour .
o Cette surface est orientée à partir du contour.
o Un seul courant (I) traverse cette surface dans le sens de dS .
o On trouve CC == 00 II
On applique le théorème d’Ampère
enlacés0 I.BC dl
.
Exemple: Fil infini parcouru par un courant constant.
o C= 2r B = 0 I
o On en déduit r2
IB 0
.
o Remarque: Si on oriente le contour dans l’autre sens, on trouve un signe négatif, ce qui
signifie que B
est orienté dans le sens opposé au contour. Le théorème d’Ampère donne
donc aussi l’orientation de B
.
BBB555 Exercices d’application
BB55--11 Champ créé par un fil
Soit un fil vertical infini parcouru par un courant constant I. Trouver l’expression du champ magnétique créé
par ce courant à une distance x du fil en utilisant la formule de Biot et Savart.
BB55--22 Champ créé par une spire circulaire sur son axe
Une spire circulaire de rayon R est parcourue par un courant d’intensité constante I. Trouver l’expression du
champ magnétique créé par ce circuit en un point M sur l’axe de la spire à une distance x de son centre. On
exprimera le résultat en fonction de l’angle sous lequel on voit la spire à partir du point M.
BB55--33 Champ créé par un solénoïde
Un solénoïde de longueur L comportant N spires circulaires de rayon R est parcouru par un courant
d’intensité constante I. Trouver l’expression du champ magnétique en un point M de son axe. On exprimera
le résultat en fonction des angles sous lesquels on voit les deux extrémités du solénoïde à partir du point M
(on commencera par calculer l’expression du champ dB créé par une tranche d’épaisseur dx du solénoïde).
Trouver l’expression du champ quand le solénoïde peut être considéré comme infini (L>>R). Montrer que le
champ est uniforme à l’intérieur du solénoïde et nul à l’extérieur.
Page 45 sur 54
BB55--44 Le dipôle magnétique
B5-4.1. Définition
Les propriétés de la matière sont interprétées par l’existence de boucles de courant
microscopiques. On explique ainsi le champ magnétique créé par un aimant.
Boucle de courant: Une boucle de courant est constituée par un circuit orienté
dans lequel circule un courant I (Figure 82).
Le vecteur surface S associé au contour est
S
dSS
. Il est indépendant du choix de la
surface qui s’appuie sur (Figure 83).
Le mmoommeenntt mmaaggnnééttiiqquuee d’une boucle de courant est défini par le courant I qui la parcourt, son contour et
son vecteur surface S : SIM
s’exprime en A.m-2
.
Le champ électrique créé par un dipôle électrique et le champ magnétique créé par un dipôle magnétique ont
la même topographie (Figure 84).
Figure 84 : Analogie avec le dipôle électrique (
Dipôle électrique
Dipôle magnétique
Figure 82
Figure 83
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B5-4.2. Champ créé par un dipôle
Champ sur l’axe du dipôle
On le calcule par application de la formule de Biot et Savart. Comme
tout plan qui contient l’axe du dipôle est un plan d’antisymétrie, le
champ est porté par l’axe. On peut alors intégrer en utilisant seulement
la composante de dB sur l’axe. Après cette intégration, on obtient
x2
3
2
2
0 e)R
x1(
R2
IB
.
L’expression du champ très loin du dipôle (X>>R) est
x3
2
0x3
3
0 ex
1
2
IRe
x
R
R2
IB
Soit x30 ex
M2AB
avec
4A 0
0 .
Champ en dehors de l’axe du dipôle, loin du dipôle
On utilise l’analogie avec le dipôle électrique et on modifie les relations
obtenues en remplaçant m par M et 0
1
par 0 (Figure 85).
Pour le champ électrostatique créé par un dipôle électrique, on a trouvé :
3
0
rr
cosm2
4
1E
,
3
0 r
sinm
4
1E
et 0E
.
Ce qui conduit à :
30rr
cosM2AB
,
30r
sinMAB
et 0B .
Remarque : On retrouve bien l’expression du champ sur l’axe loin du dipôle lorsqu’on prend =0.
En effet 30r
r
M2A)0(B .
BBB666 Les actions du champ magnétique
Dans cette partie, le champ magnétique est créé par des sources extérieures et on recherche les interactions
entre ce champ magnétique et d’autres courants, les particules chargées en mouvement étant des courants
particulaires. Les actions du champ magnétique sur des courants sont aussi les interactions entre ces courants
et les courants qui sont les sources de ce champ.
Figure 85
Page 47 sur 54
BB66--11 Action sur une particule chargée
Lorsqu’une particule de masse m et de charge q est animée d’une vitesse v dans un espace où règne un
champ magnétique B , elle subit une force BvqF appelée Force de Lorentz.
F , v et B forment un trièdre direct.
En l’absence d’autres forces, la norme de la vitesse de la particule est constante. En effet, le travail de cette
force magnétique est nul car la force est toujours perpendiculaire à la vitesse. On en déduit que l’éénneerrggiiee
cciinnééttiiqquuee ddee llaa ppaarrttiiccuullee eesstt ccoonnssttaannttee.
La trajectoire de la particule dépend de la topographie de B et des conditions initiales.
Exemple d’un champ B uniforme.
Si la vitesse initiale 0v est perpendiculaire B (Figure 86).
La trajectoire est contenue dans le plan perpendiculaire à B .
L’accélération de la particule est normale (toujours perpendiculaire à v )
et vaut R
v2
0 où R est le rayon de la trajectoire circulaire de la particule
(m
BqvR 0 ).
Si la vitesse initiale 0v fait un angle quelconque avec B . On décompose le mouvement en un
mouvement dans le plan perpendiculaire à B (mouvement circulaire uniforme) et dans le plan
parallèle à B (mouvement rectiligne uniforme). La trajectoire est une hélice dont le pas dépend de
v0 et de .
BB66--22 Action sur un circuit, travail de la force magnétique
B6-2.1. Force de Laplace
Un élément de courant dlI placé dans un champ magnétique B subit une
force BIdF dl appelée FFoorrccee ddee LLaappllaaccee (Figure 87).
On retrouve ainsi l’analogie entre vq et dlI .
Pour obtenir la force exercée sur le circuit, il faut faire l’intégration des
forces qui agissent sur les éléments de courant qui le constituent.
circuit
BIF dl .
Figure 86
Figure 87
Page 48 sur 54
B6-2.2. Travail des forces magnétiques
Le flux coupé
Considérons pour simplification un circuit plan parcouru par un courant I et
placé dans un champ magnétique extérieur B (Figure 88), ce champ n’est pas
créé par le courant I.
Un élément de courant de ce circuit est soumis à une force élémentaire
BIdF dl .
Si on le déplace d’une distance élémentaire d, le travail de la force
élémentaire est d).BI(Wd2 dl
A partir des propriétés du produit vectoriel, on obtient B).d(IWd2 dl où dld représente une
surface orientée B
2Sd .
Si on intègre sur la totalité du circuit, le travail élémentaire dW de la force magnétique pendant le
déplacement d est alors circuit
cB
2 dISd.B.IdW où circuit
B
2
c Sd.Bd est le flux de B à travers la
surface balayée par le circuit pendant son déplacement élémentaire d. ddcc ss’’aappppeellllee llee fflluuxx ccoouuppéé.
Théorème de Maxwell
Dans le cas particulier où le champ magnétique B et le courant I sont
indépendants du temps, on peut établir une relation entre le flux de B à
travers le circuit et le travail des forces électromagnétiques.
On peut constituer une surface fermée en prenant la surface S1 qui
s’appuie sur le circuit avant son déplacement, la surface balayée dSB et la
surface S2 qui s’appuie sur le circuit à la fin de son déplacement (Figure
89). Il faut prendre la précaution d’orienter toutes ces surfaces de la
même manière si on veut qu’elle constitue une seule surface fermée.
Décidons de l’orienter vers l’extérieur comme sur le schéma.
On a vu que le flux de B à travers une surface fermée est nul. On peut donc écrire que la somme des flux à
travers les trois surfaces précédentes est nulle : T=1+dB+2=0.
Par construction (cela résulte de l’orientation des surfaces), le flux 1 à travers la surface S1 correspond au
flux 1 à travers le circuit tandis que le flux 2 correspond à l’inverse du flux 2 à travers le circuit après le
déplacement élémentaire. On en déduit : dB= 2-1 =.
Ce qui constitue le tthhééoorrèèmmee ddee MMaaxxwweellll : LLaa vvaarriiaattiioonn dduu fflluuxx dd’’uunn cchhaammpp mmaaggnnééttiiqquuee eexxttéérriieeuurr
ppeerrmmaanneenntt àà ttrraavveerrss uunn cciirrccuuiitt lloorrss ddee ssoonn ddééppllaacceemmeenntt eesstt ééggaallee aauu fflluuxx ccoouuppéé,, llee fflluuxx ddee ccee cchhaammpp
mmaaggnnééttiiqquuee àà ttrraavveerrss llaa ssuurrffaaccee bbaallaayyééee ppeennddaanntt ssoonn ddééppllaacceemmeenntt. La surface balayée doit être orientée
comme dld où d est le déplacement et dl l’orientation du circuit.
Figure 88
Figure 89
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Remarque :
Si le courant I est variable et si le circuit est déformable, il apparaît des phénomènes d’induction et d’auto-
induction mais on admettra que le théorème de Maxwell s’applique encore.
Loi du flux maximum
Si le circuit est soumis à la seule force magnétique, le déplacement se fait dans le sens de la force et son
travail est donc positif. On en déduit que le flux après le déplacement spontané est plus grand que le flux
avant le déplacement. SSoouuss ll’’aaccttiioonn ddee llaa ffoorrccee mmaaggnnééttiiqquuee,, llee cciirrccuuiitt ssee ddééppllaaccee ppoouurr qquuee llee fflluuxx qquuii llee
ttrraavveerrssee ssooiitt llee pplluuss ggrraanndd ppoossssiibbllee.
Energie potentielle
Nous avons montré que le travail de la force magnétique due à un champ extérieur est dW=I dc. Dans le
cas où le champ est permanent, on peut alors écrire que dW=I=I(2-1). Cette relation indique que le
travail est indépendant du chemin suivi.
La force magnétique peut donc être décrite comme dérivant d’une énergie potentielle et son travail pendant
un déplacement d’une position 1 à une position 2 s’écrit W12=-EP=EP1-EP2.
On en déduit EEpp==--II++CCttee.
UUnn cciirrccuuiitt ppllaaccéé ddaannss uunn cchhaammpp mmaaggnnééttiiqquuee eexxttéérriieeuurr ppeerrmmaanneenntt ppoossssèèddee uunnee éénneerrggiiee ppootteennttiieellllee
mmaaggnnééttiiqquuee.
BB66--33 Action sur un dipôle magnétique
Un dipôle magnétique est une spire de faible dimension parcourue par un courant. Il est caractérisé par son
moment magnétique M . L’étude des actions d’un champ B sur un cadre rectangulaire (voir exercice)
permet de donner les effets d’un champ magnétique extérieure B sur un dipôle.
On admettra que le champ B peut être considéré comme uniforme en tout point du circuit constitué par le
dipôle. Il y a alors un effet de rotation caractérisé par un couple BMC .
Quand le champ est uniforme, llee ddiippôôllee ss’’oorriieennttee ppoouurr qquuee M ddeevviieennnnee ppaarraallllèèllee àà B . Le circuit est
alors perpendiculaire à B et la position stable correspond à un flux maximum (positif).
Quand le champ magnétique n’est pas uniforme, il y a un eeffffeett ddee ttrraannssllaattiioonn caractérisé par une force F
telle que )B.M(grad)BS.I(grad)I(gradF . LLee ddiippôôllee mmaaggnnééttiiqquuee ssee ddééppllaaccee ddaannss llaa
ddiirreeccttiioonn ddeess cchhaammppss lleess pplluuss iinntteennsseess pour que le flux soit le plus grand possible et pour que son énergie
potentielle diminue.
Page 50 sur 54
BB66--44 Exercices
B6-4.1. Champ magnétique créé par une ligne bifilaire
On donne les valeurs numériques de la permittivité absolue du
vide 9
0 1036
1
SI et de la perméabilité du vide 0=4 10
-7
SI ainsi que des formules d'analyse vectorielle en coordonnées
cylindriques.
Un point M est repéré par (r, , z), le repère local étant (re ,
e ,ze ) orthonormé direct (Figure 90), V(r,,z) un champ scalaire et A (r,,z) un champ vectoriel.
zr edzerdedrdM
zr ez
Ve
Ve
r
VgradV
zrzr
rz e)
r
A
r
A
r
A(e)
r
A
z
A(e)
z
AA
r
1(Arot
z
AA
r
1)Ar(
rr
1Adiv z
r
A)Adiv(grad)Arot(rot
Etude du champ magnétique créé par un fil rectiligne infini.
On considère un fil rectiligne F; conducteur, de rayon a, supposé très
long et parcouru par un courant électrique de vecteur densité j et
d'intensité I. On suppose j uniforme à l'intérieur du fil, parallèle à
l'axe Oz et de même sens et constant dans le temps. La perméabilité
des milieux considérés est 0. On considère un point M repéré dans l'espace par ses coordonnées cylindriques
r, et z (Figure 91).
En utilisant le théorème d'Ampère et les propriétés de symétrie de l'ensemble, exprimer en fonction
de 0, I et r, dans la base ( zr e,e,e ), le vecteur champ magnétique )M(B créé en M par le courant.
On supposera r>a, donc M extérieur au fil.
Même question si r<a
Que se passe-t-il en r=a ?
Calculer Brot dans les deux cas: r>a et r<a, Conclure.
Justifier que l'on peut chercher dans les deux cas r>a et r<a le potentiel vecteur associé au champ
magnétique )M(B sous la forme )M(A =Az(r) ze .
Figure 90
Figure 91
Page 51 sur 54
Exprimer )M(A dans la base ( zr e,e,e ) dans les deux cas considérés en fonction de 0, I, r et a et
d'une constante fonction de 0A , valeur du potentiel vecteur en un point de la surface du fil.
Que vaut dans les deux cas Adiv ? Comment appelle-t-on traditionnellement la relation obtenue ?
Etude d’une ligne bifilaire
On considère la ligne bifilaire formée par deux fils F1
et F2 , rectilignes, de même rayon a et dont les axes.
parallèles à z'z et symétriques par rapport à cet axe,
sont distants de d supposée très grande devant a.
F1 est parcouru par le même courant que F à la
question précédente : vecteur densité j constant dans
le temps, uniforme à l'intérieur du fil, parallèle à l'axe
Oz et de même sens; l'intensité du courant vaut I. F2
est parcouru par le courant de vecteur densité - j .
Que vaut )O(A , potentiel vecteur au point O, centre du repère Oxyz ?
Exprimer )M(A dans la base ( zr e,e,e ) en fonction de 0, I, r1, r2 et ze , M étant un point
quelconque situé à l'extérieur des fils.
M étant repéré par ses coordonnées r et , on se place dans la situation r>>d, montrer que
z0 e
r2
cosdI)M(A
.
En déduire )M(B dans la base ( zr e,e,e ).
Établir l'équation différentielle en r et des lignes de champ magnétiques.
Donner l'allure de ces lignes de champ ; orienter les courbes obtenues.
B6-4.2. Interaction entre deux fils, définition de l’Ampère
Deux fils rectiligne F1 et F2 infinis, parallèles entre eux et distants de d, sont parcourus respectivement
par des courants I1 et I2.
Trouver l’expression du champ magnétique B1 produit à la distance d du fil F1.
En déduire la force exercée sur un élément de courant du fil F2.
Le résultat précédent est-il en accord avec la définition de l'ampère donnée par le Comité
international des poids et mesures en 1948 : un ampère est l’intensité d’un courant constant qui, s’il
est maintenu dans deux conducteurs linéaires et parallèles, de longueurs infinies, de sections
négligeables, et distants d’un mètre dans le vide, produirait entre ces deux conducteurs, une force
égale à 2 × 10-7 newton par mètre linéaire.
Figure 92
Page 52 sur 54
B6-4.3. Action sur un cadre
Une spire rigide, carrée, de côté a, d'aire S, est parcourue par un courant d'intensité I imposé par un
générateur. On définit son moment magnétique nSIM où n est un vecteur unitaire, orthogonal au plan de
la spire, orienté conventionnellement comme indiqué suivante.
Spire dans un champ magnétique uniforme.
La spire de centre M, mobile sans frottement autour de l’axe =Mz est
placée dans un champ magnétique uniforme B , de module B, ayant la
direction et le sens de l’axe Mx. Sa position est repérée par l’angle
(Figure 93).
On note 1F et 3F les forces subies respectivement par les côtés
perpendiculaires à Oz de milieux P1 et P3 (Figure 94). On note 2F et
4F
les forces subies respectivement par les côtés parallèles à Oz de milieux P2 et P4.
Déterminer la somme des forces exercées sur la spire.
Montrer que ces forces constituent un couple dont on exprimera le
moment, par rapport à , en fonction de M, B et .
Montrer que l'énergie potentielle de cette spire dans la position repérée
par peut être écrite B.Ep M .
Quelle est la position d'équilibre stable de la spire dans le champ?
Justifier.
Spire dans un champ magnétique avec gradient
Le champ magnétique créé par l'aimant en un point de coordonnées x,y,z a pour
composantes Bx(x,y,z), By(x,y,z) et Bz(x,y,z). On dispose des informations
suivantes:
En M (x,0,0): Bx=Bx(x,0,0) By = 0 Bz=0 (par raison de symétrie)
de plus 0z
B
y
B
x
B zyx
. Quelle propriété importante du champ
magnétique est traduite par cette relation ?
Par raison de symétrie, on écrit Bx(P1)=Bx(P3) et Bx(P4)=Bx(P2)
z
B
2
a)P(B z
1z
en (x,0,0)
z
B
2
a)P(B z
3z
en (x,0,0)
y
B
2
a)P(B
y
2y
en (x,0,0)
y
B
2
a)P(B
y
4y
en (x,0,0)
Figure 93
Figure 94
Page 53 sur 54
Quel est le signe de x
Bx
? Justifier.
Donner une justification simple de l'expression proposée pour Bz(P1).
Quelle est la position de la normale n lorsque la spire est en position d'équilibre stable vis à vis de la
rotation autour de l'axe ?
On suppose que la spire est perpendiculaire à l’aimant avec n colinéaire et dans la direction et le
sens Ox.
Établir les expressions des quatre forces 1F ,
2F , 3F et 4F . En déduire leur somme F en faisant
apparaître M et x
Bx
.
On peut utiliser une autre méthode qui ne détaille pas les expressions des quatre forces précédentes.
On vient de montrer ci-dessus que, pour des raisons de symétrie, la force F est parallèle à Ox. En
admettant ce fait et en utilisant l'énergie potentielle, retrouver l'expression de F .
B6-4.4. Effet Hall classique
On utilise une plaquette conductrice parallélépipédique de
longueur L, de largeur b, d'épaisseur h, dans laquelle on impose
un courant dans la direction de la longueur. Les charges mobiles
y sont des électrons de charge q=-e=-1,6 10-19
C et dont la
concentration (ou densité particulaire ou nombre de particules
par unité de volume) est n. En l'absence de champ magnétique,
leur vitesse d'ensemble est xuvv où v est positif et
xu est
le vecteur unitaire de l'axe Ox. I est l'intensité du courant,
mesurée avec le sens de Ox.
On admet que I=n e v b h. Vérifier l'homogénéité de cette relation.
Cette plaquette est placée dans un champ magnétique uniforme B , de module B, ayant la direction
et le sens de Oz. Montrer que sous l'effet du champ magnétique, les lignes de courant s’incurvent et
que des charges de signes différents apparaissent sur les faces 1 et 2.
On suppose que ces charges accumulées produisent un champ électrique HE uniforme, perpendiculaire aux
faces chargées et qu'un régime stationnaire est très rapidement atteint, la vitesse d'ensemble des charges
mobiles étant de nouveau xuvv .
Montrer qu'il apparaît une tension UH positive entre les faces 1 et 2, en précisant s'il s'agit de (V1-V2)
ou de (V2-V1).
Figure 95
Page 54 sur 54
Montrer que l'on peut écrire h
BIRU HH et établir l'expression de le constante de Hall RH du
conducteur en fonction de n et e.
Page 1 sur 25
EElleeccttrroossttaattiiqquuee MMaaggnnééttoossttaattiiqquuee
CCoorrrriiggééss ddeess eexxeerrcciicceess
Page 2 sur 25
EExxeerrcciiccee AA55..44..11
Trouver l’expression du champ électrostatique créé par
deux charges ponctuelles –q et +q placées en deux point
M1 et M2 distants de 2d sur deux axes particuliers (on
prendra l’origine du repère orthonormé au point O situé
au centre du segment M1M2) sur l’axe qui porte les
charges (Figure 1).
Comme les longueurs des segments O1M et O2M interviennent dans les expressions du champ électrique, il
faut faire l’étude séparément dans trois domaines de variation de la variable x (x<-d, -d<x<d et x>d).
xx<<--dd
Le champ créé par les deux charges est la somme vectorielle des champs 1E et
2E créés par chacune des
charges.
12
10
1 ur
q
4
1E
avec 11 rr où
x111 e)xd(OMOOMOr et x
1
11 e
r
ru .
Comme x est une grandeur algébrique, (x+d) peut être négatif ou positif. La valeur de la distance O1M est la
valeur absolue de (x+d). Pour x<d, (x+d) est négatif et )dx(r)dx( 1 .
De la même façon, 22
20
2 ur
q
4
1E
avec
x222 e)xd(OMOOMOr et x
2
22 e
r
ru .
Comme (x-d) est négatif, r2=-(x-d)=(d-x).
Le champ total est donc x2
2
2
10
e)r
1
r
1(
4
qE
. Ce qui donne )
)dx(
1
)dx(
1(
4
qE
22
0
qui peut
encore s’écrire 222
0 )dx(
xqdE
.
--dd<<xx<<dd
Dans ce cas, x1 eu et (x+d) est positif tandis que
x2 eu et (x-d) est toujours négatif.
On en déduit x2
2
2
10
e)r
1
r
1(
4
qE
qui donne )
)dx(
1
)dx(
1(
4
qE
22
0
.
xx >>dd
On voit aisément que x1 eu et (x+d)>O et x2 eu et (x-d)>0.
x2
2
2
10
e)r
1
r
1(
4
qE
qui donne )
)dx(
1
)dx(
1(
4
qE
22
0
qui s’écrit
222
0 )dx(
xqdE
.
Figure 1
Page 3 sur 25
Sur la médiatrice du segment O1O2 (Figure 2)
Le point M est situé à égal distance r des points O1 et O2.
Le plan qui contient la médiatrice et les charges est un plan de symétrie.
Le champ électrostatique en M est dans ce plan.
Le plan perpendiculaire au plan précédent et qui contient aussi la
médiatrice est un plan d’antisymétrie. Le champ électrostatique est
perpendiculaire à ce plan.
Le champ électrostatique est donc perpendiculaire à la médiatrice, ce
qu’on retrouve par construction.
On va donc calculer la somme des projections des champs électrostatiques
1E et 2E sur la direction donnée par
xe .
x2
0
er
cos
4
q2E
avec )dy(r 22 et
r
dcos .
On obtient x3
0
er
1
2
qdE
.
Calcul du champ électrostatique à partir du potentiel
Le potentiel créé au point M est la somme des potentiels créés par chacune des charges :
V(M)=V1(M)+V2(M).
Avec 10
1r
q
4
1V
et
20
2r
q
4
1V
en prenant la constante nulle car la charge est nulle à l’infini.
xx<<--dd
Dans ce cas, r1=-(x+d) et r2=(d-x) et )xd
1
dx
1(
4
qV
0
.
On utilise maintenant la relation entre le champ électrostatique et le potentiel électrique : VgradE .
Comme le potentiel ne dépend que de x, on en déduit que le champ électrostatique a une seule composante
sur xe telle que
x
VEx
.
On trouve ))xd(
1
)dx(
1(
4
qE
22
0
x
qui est identique au résultat précédent.
--dd<<xx<<dd
Dans ce cas, r1=(x+d) et r2=(d-x) et )xd
1
dx
1(
4
qV
0
.
On en déduit ))xd(
1
)dx(
1(
4
qE
22
0
x
.
Figure 2
Page 4 sur 25
xx>>dd
Dans cet intervalle, r1=(x+d) et r2=x-d, soit )dx
1
dx
1(
4
qV
0
.
On en déduit ))xd(
1
)dx(
1(
4
qE
22
0
x
On pourrait essayer d’adopter la même démarche pour trouver le champ sur l’axe. On trouve que le potentiel
sur la médiatrice est .0)dy
q
dy
q(
4
1V
22220
Le potentiel est nul et il n’est pas possible d’en
calculer le gradient. Cette méthode n’est pas adaptée pour trouver le champ électrique.
EExxeerrcciiccee AA55..44..33
Champ électrostatique créé à une distance r de son axe par un fil uniformément chargé
Soit un fil de longueur L portant une densité de charge .
Trouver l’expression du champ électrostatique puis du
potentiel électrique en un point M situé à une distance x
sur la médiatrice du fil. Que deviennent ces expressions
quand le fil est infini? Comparer au résultat obtenu en
utilisant le théorème de Gauss.
En considérant les éléments de symétrie, on montre que le
champ électrostatique total est perpendiculaire au fil. Si ce
fil porte une charge positive, le champ est dirigé vers
l’extérieur (Figure 3).
Le champ électrostatique élémentaire créé par une
longueur élémentaire dx est udx
4
1dE
2
0 l
.
On recherche tout d’abord la projection sur la direction
perpendiculaire à l’axe.
cos
dx
4
1'dE
2
0 l
Dans cette expression, il y a 3 variables qui sont x [L/2,
L/2], [-, +] et l qui est reliée au deux précédentes.
Pour résoudre le problème, on peut utiliser n’importe
laquelle de ces variables qui sont reliées entre elles par les
relations suivantes :
22 rx l , l
cr
os et r
xtan .
Figure 3
Page 5 sur 25
Le calcul le plus facile se fait à l’aide de la variable en utilisant
2cos
dr)(tandrdx .
dcos
r4
1
cos
rdcos
cos
r4
1'dE
0
2
2
2
0
En intégrant de - à +, on obtient :
r2
sinθsin
r4dcos
r4E
000
][
où 22 r4L
Lsin
.
Quand le fil est infini, sin est égal à 1. On retrouve alors le résultat obtenu avec le théorème de Gauss.
r2
sinE
0
EExxeerrcciiccee AA55..44..44
Champ électrostatique créé sur son axe par une rondelle plane chargée
uniformément
Une rondelle métallique de rayon extérieur R2 et de rayon intérieur R1
porte une charge répartie uniformément (densité surfacique de charge
). Calculer le champ électrostatique sur l’axe de la rondelle à la
distance z de son centre.
On considère une surface élémentaire sur le disque située à la distance r
de l’origine O. Dans une base cylindrique )e,e,e( zr , cet élément de
surface s’écrit d2S= dr.rd.
Il porte une charge d2q=d
2S et créé un champ élémentaire Ed2
tel
que uqd
4
1Ed
2
2
0
2
l . Comme le champ total est porté par
ze , on
cherche l’expression de la projection sur cet axe.
2
2
0
z
2 cosqd
4
1Ed
l
.
Toutes les surfaces élémentaires situées à la distance r de O créent des
champs électrostatiques élémentaires qui font le même angle avec l’axe
Oz. On peut donc intégrer le résultat précédent avec variant entre 0 et
2.
2
0
2
0
2
0
2
0
z
2
z
drcosr
2d
drcosr
4EddE
ll
.
Il reste à intégrer sur r variant entre R1 et R2, en tenant compte de
Figure 4
Page 6 sur 25
l2=r
2+z
2 et
l
zcos .
2
1
2
1
R
R 2
3
220
R
R
z
)zr(
rdr
2
zdEE .
On pose )zr(u 22 qui donne du=2rdr avec )zR(u 22
11 et )zR(u 22
22 .
On a donc 2
1
2
1
u
u
0
u
u 2
3
0
u24
z
u2
du
2
zE
.
Soit ))zR
1
)zR
1(
2
zE
22
2
22
10
Retrouver le résultat à partir du calcul du potentiel.
e potentiel créé par l’élément de surface d2S est
l
qd
4
1Vd
2
0
2
. Après intégration sur l’angle , on
obtient 22
00 zr
rdr
2
rdr
2dV
l. On pose comme précédemment )zr(u 22 et on obtient
u
du
4dV
0
qui donne
)zRzR(2
)uu(2
u2u
du
4V 22
1
22
2
0
12
0
u
u
0
u
u0
2
1
2
1
.
En coordonnées cylindriques, le gradient s’écrit zr ez
Ve
V1e
r
VV
.
Appliquée au résultat précédent, on trouve bien une seule composante du champ électrostatique suivant Oz
puisque les dérivées partielles par rapport à r et sont nulles.
)zR
1
zR
1(
2
z)
zR
z
zR
z(
2E
22
2
22
1022
2
22
10
z
qui est le résultat trouvé
précédemment.
Etudier le cas particulier R1=0.
Lorsque R1=0, on trouve le champ créé sur son axe par un disque uniformément chargé.
)
z
R1
11(
2)
)zR
1
z
1(
2
zE
2
2
2022
20
Quel est le champ créé par un plan chargé infini
Pour un plan infini (R2), on a 0R
z
z
R
1
z
R1
1
2
2
2
2
2
2
2
.
Page 7 sur 25
Le champ devient indépendant de z, la distance au plan. En tout point en dehors du plan chargé, le champ
vaut 02
E
.
Retrouver ce résultat par application du théorème de Gauss.
Avant d’appliquer le théorème de Gauss, on recherche les éléments de symétrie. Tout plan passant par M et
perpendiculaire au plan chargé est un plan de symétrie. On en déduit que le champ est perpendiculaire au
plan.
Pour calculer le champ électrostatique à une distance
z du plan chargé, on prend comme surface de Gauss
un cylindre de hauteur 2z et de section S dont l’axe
est perpendiculaire au plan chargé et qui est
symétrique par rapport au plan chargé.
2R1 S
22
S
RR
S
11
cylindre
dS.EdS.EdS.EdS.E
Comme le champ électrostatique est perpendiculaire au plan chargé, son flux à travers la surface de
révolution du cylindre est nul.
21 S
22
S
11 dS.EdS.E
Le flux du champ électrostatique à travers la surface du cylindre (une surface fermée) se réduit au flux à
travers les surfaces de base. Comme on a pris la précaution de prendre un cylindre symétrique par rapport au
plan chargé, on trouve que :
1S
11 dS.E2
Sur une surface de base, 1E et
1dS sont perpendiculaires. On peut alors écrire
1S
11dSE2 . De plus E1 ne
dépend que de z, il est donc constant sur toute la surface S1. On obtient donc =2 E1 S.
D’après le théorème de Gauss, le flux est égal à la charge contenue dans le volume du cylindre, divisée par
0. Ce cylindre ayant une section S, il découpe dans le plan un disque de section S et de charge S.
On en déduit 02
E
et on retrouve le résultat trouvé précédemment.
Le résultat précédent est-il en accord avec le théorème de Coulomb qui dit que le champ au voisinage d’un
conducteur métallique de charge surfacique est 0
E
?
Le résultat que nous avons obtenu ne semble pas en accord avec le théorème de Coulomb puisque nous
trouvons la moitié de ce qu’il énonce. Mais il faut avoir à l’esprit que nous avons calculé le champ en
utilisant un « plan » chargé qui du point de vue du physicien possède une épaisseur h très faible devant sa
dimension latérale. Les charges portées par un conducteur métallique sont réparties sur sa surface. Une
surface élémentaire a donc une charge qui est également répartie entre le « haut » et le « bas » du plan. Du
Page 8 sur 25
point de vue du physicien, la densité surfacique de charge
est ’=/2. Et on trouve bien que le champ électrostatique
au voisinage du conducteur est 0
'E
, en accord avec le
théorème de Coulomb.
D’après le calcul précédant, chacune des « faces » du plan
chargé créé un champ 02
'E
et le principe de
superposition redonne bien un champ 0
'E
de chaque
côté de ce plan et un champ nul à l’intérieur du conducteur.
EExxeerrcciiccee AA55..44..55
Champ électrostatique créé par une distribution sphérique de charges
Soit une distribution sphérique de charges telle que :
(r)=0 si r<R1 - (r)=0 si R1<r<R2 - (r)=0 si r>R2
Trouver les expressions du potentiel et du champ électrostatique en
fonction de r.
Pour les distributions de charge à symétrie sphérique, c’est le
théorème de Gauss qui permet de calculer le plus facilement le
champ électrostatique. En en déduira ensuite le potentiel électrique
en tenant compte de sa continuité pour trouver la constante.
On cherche le champ électrostatique en un point M situé à une
distance r du centre des deux sphères. Tout plan qui passe par le
point M et le centre des sphères est un plan de symétrie. On en déduit
que le champ électrostatique est radial : rr eEE .
On va faire l’étude de ce champ dans les trois intervalles r<R1, R1<r<R2
et r>R2.
r<R1
On prend comme surface de Gauss une sphère de rayon r centrée sur les
deux autres sphères. Le flux à travers cette surface est
SEdSEdSEdSE =4r2E.
Quand r<R1, il n’y a aucune charge à l’intérieur de la sphère. On en
déduit que le champ est nul.
En utilisant VgradE et l’expression du gradient en coordonnées sphériques
(
e
V
sinr
1e
V
r
1e
r
VVVgradE r ), on en déduit que le potentiel est constant. Pour
Page 9 sur 25
trouver cette constante dans l’intervalle r>R1, il faut utiliser la continuité du potentiel. On écrira que les
expressions du potentiel pour R1<r<R2 et r<R1 donnent la même expression pour r=R1. IL faut donc tout
d’abord trouver l’expression du potentiel pour r>R2, choisir une constante puis utiliser les relations de
continuité pour trouver les constantes dans les autres intervalles.
Dans l’intervalle r<R1, on a donc :
E1=0 et V1=C1.
R2<r<R1
Comme précédemment le théorème de Gauss donne 0
22 QEr4
où 0
3
1
3
2 )Rr(3
4Q .
On obtient )r
Rr(
3r
Rr
3E
2
3
1
0
0
2
3
1
3
0
02
.
Pour trouver le potentiel, on utilise )r
Rr(
3r
V2
3
1
0
0
qui donne
2
3
1
2
0
02 C)
r
R
2
r(
3V
.
r>R2
Dans cet intervalle, la charge comprise à l’intérieur de la sphère est 0
3
1
3
23 )RR(3
4Q .
L’expression du champ électrostatique est )r
R_R(
3E
2
3
1
3
2
0
03
et celle du potentiel électrique
3
3
1
3
2
0
03 C)
r
R_R(
3V
On peut prendre C3=0 car il n’y a pas de charges à l’infini.
Par continuité, on a V3(r=R2)=V2(r=R2).
)R
R_R(
3C)
R
R
2
R(
3 2
3
1
3
2
0
02
2
3
1
2
2
0
0
qui donne
2
2
0
0
2
3
1
2
2
2
3
12
2
0
02 R
2)
R
R
2
R
R
RR(
3C
.
L’expression du potentiel V2 est donc ]2
R3)
r
R
2
r[(
3V
3
2
3
1
2
0
02
De même, pour r=R1, on a V2(r=R1)=V1(r=R1)
)RR(2
]2
R3)
R
R
2
R[(
3CV 2
1
2
2
0
0
3
2
1
3
1
2
1
0
011
Tracer l’allure des courbes E(r) et V(r).
r
Ch
am
p é
lec
tro
sta
tiq
ue
Po
ten
tie
l é
lec
triq
ue
R1 R2
Page 10 sur 25
EExxeerrcciiccee AA66..44..11
Capacité d’un condensateur plan :
En faisant l’hypothèse que les dimensions géométriques des
plaques d’un condensateur plan sont grandes devant la distance e
entre les armatures, trouver le champ électrostatique existant entre
les deux armatures. En faisant circuler le champ d’une armature à
l’autre, trouver la relation entre la différence de potentiel et la
charge et montrer que la capacité d’un condensateur plan est
.S
C 0
e
Si les dimensions des armatures sont grandes devant la distance qui les sépare, on peut considérer que le
champ entre les armatures est le même que le champ au voisinage d’un conducteur en équilibre. Le champ
est donc uniforme entre les deux armatures et vaut 0
où est la densité de charge surfacique. L’armature
positive porte une charge +S. L’armature négative porte la charge -S.
On pourrait aussi utiliser le principe de superposition et écrire que le champ électrostatique est la somme des
champs créés par chacune des armatures. Si elle était seule dans l’espace, l’armature qui porte la charge
positive donnerait un champ électrostatique 02
dirigé vers l’autre armature. Seule dans l’espace, l’armature
négative donnerait un champ électrostatique 02
dirigé vers elle-même. Le champ total vaut donc
0
.
Ce champ est dirigé vers les potentiels décroissants, vers l’armature qui porte la charge négative. La
circulation de ce champ d’une armature à l’autre est égale à la différence de potentiel V2-V1.
)VV(e
EeC 12
0
21
.
On en déduit la relation entre la charge de l’armature positive et la différence de potentiel et donc la capacité
du condensateur :
)VV(e
SQ 12
0
conduit à l’expression e
SC 0 .
EExxeerrcciiccee AA66..44..22
Force entre les armatures d’un condensateur plan
Calculer l’expression du champ crée par une des armatures sur l’autre armature.
En déduire la force qui s’exerce entre les deux armatures puis la pression électrostatique.
En faisant l’hypothèse que la distance entre les armatures est faible, l’expression du champ créé par une des
armatures est celle du champ donné par un plan infini. On a montré que ce champ électrostatique est
indépendant de la distance au plan. Ainsi, si l’armature portant la charge Q est seule dans l’espace, elle créé
Page 11 sur 25
un champ 02
dirigé vers l’autre armature.
L’armature négative, qui porte une charge –Q=-S
subit donc une force de Coulomb qui vaut
0
c2
SF
dirigée vers l’armature positive.
La pression électrostatique sur les armatures est la force électrostatique par unité de surface, elle vaut
0
2c
2S
FP
.
EExxeerrcciiccee AA66..44..33
Force entre un plateau chargé et une charge ponctuelle
Un plateau circulaire vertical métallique de très grande dimension est relié à la terre (potentiel V=0). On
place à une distance x une petite sphère métallique de rayon r et de charge q suspendue à un fil. La sphère
prend une position d’équilibre xe.
Trouver la force qui s’exerce sur la petite sphère assimilée à une charge ponctuelle.
La distribution de charge consiste en un charge +q qui peut être considérée ponctuelle et un plan porté au
potentiel V=0.
Avant de mettre la charge +q au voisinage du plateau, le plateau n’était pas chargé. Quand on approche la
charge +q, le plateau se charge négativement de telle sorte que son potentiel reste constant. La charge +q est
donc attirée par le plateau.
La charge +q et le plateau créé dans l’espace une répartition de
potentiel caractérisée par un plan de potentiel V=0 (une surface
équipotentielle) en x=0.
Si on remplace le plateau par une charge ponctuelle –q située à la
distance –xe, on a la même répartition de potentiel (le plan médiateur
est un plan de potentiel V=0). Cette charge est appelée l’image
électrique de la charge +q par rapport au plan. L’interaction entre la
charge +q et le plateau porté au potentiel V=0 est la même que
l’interaction entre la charge +q et la charge –q.
2
e
2
0 x4
q
4
1F
EExxeerrcciiccee AA66..44..44
Charges et capacité de deux sphères sous influence totale
Deux sphères métalliques 1 et 2 concentriques de rayon R1, R2>R1 et R’2>R2 sont séparées par de l’air.
La première sphère est reliée à une source de potentiel V1 et la seconde à une source de potentiel V2.
Calculer la charge Q1 de la sphère 1.
Page 12 sur 25
L’application du théorème de Gauss pour R1<r<R2 permet de montrer
que le champ électrostatique est le même que celui créé par une charge
ponctuelle située au centre de la sphère.
On cherche le champ électrostatique en un point M situé à une distance
r du centre de la sphère 1. On sait que pour les distributions sphériques
de charge, le champ électrostatique est radial : rr eEE .
On prend comme surface de Gauss une sphère de rayon r centrée sur
les deux autres sphères. Le flux à travers cette surface est
SEdSEdSEdSE =4r2E.
La charge de la sphère métallique 1 est répartie sur sa surface. Cette
surface est à l’intérieur de la sphère de Gauss précédente.
On a donc 2
1
0 r
Q
4
1E
, ce qui conduit à 1
1
0
Cr
Q
4
1V
. La constante C1 peut être obtenue en tenant
compte de la continuité du potentiel. En effet, V(r=R2)=V2 et 1
2
1
0
2 CR
Q
4
1V
donne
2
1
0
21R
Q
4
1VC
.
L’expression du potentiel est )R
1
r
1(
4
QVV
20
12
.
On sait aussi que le potentiel de la sphère est V1 qui est égal à V(r=R1) par continuité du potentiel.
On en déduit )R
1
R
1(
4
QVV
210
121
et donc )VV(
RR
RR4Q 21
12
2101
.
Trouver l’expression de la charge Q2 de la surface interne de la sphère 2.
Les deux sphères sont sous influence totale et d’après le théorème des éléments correspondants, la charge
interne Q2 est l’opposée de la charge Q1.
)VV(RR
RR4)VV(
RR
RR4Q 12
12
21021
12
2102
.
Donner l’expression de la charge Q’2 portée par l’armature externe de la sphère 2.
Pour trouver Q’2, on recherche d’abord l’expression du potentiel à l’extérieur des deux sphères, en utilisant
d’abord le théorème de Gauss pour trouver l’expression du champ.
Pour r>R’2, le champ électrostatique a pour expression 2
'
221
0 r
QQQ
4
1'E
=
2
'
2
0 r
Q
4
1
.
On en déduit que '
2
'
2
0
Cr
Q
4
1'V
. On peut prendre C’2=0 car il n’y a pas de charges à l’infini.
Par continuité du potentiel, V’(r=R’2)=V2, le potentiel de la sphère métallique 2.
Page 13 sur 25
'
2
'
2
0
2R
Q
4
1V
qui conduit à
2
'
20
'
2 VR4Q .
Donner l’expression de la capacité C du condensateur formé par les deux sphères.
La capacité est donnée par )VV(CQ 211 où )VV(CQ 122 .
12
210
RR
RR4C
.
Quelle est l’expression approchée de C quand R2 est très voisin de R1 : R2=R1+e.
Dans ce cas, on a2
1
1
2
121 R)R
e1(RRR et R2-R1e.
e
S
e
R4
e
R4C 0
2
10
2
10
.
On retrouve la formule de la capacité d’un condensateur plan.
EExxeerrcciiccee BB55..11
Champ créé par un fil
Soit un fil vertical infini parcouru par un courant constant I. Trouver l’expression du champ magnétique
créé par ce courant à une distance r du fil en utilisant la formule de Biot et Savart.
Tout plan qui contient le fil et le point M où on calcule le champ magnétique est un plan de symétrie. Le
champ magnétique est perpendiculaire à ce plan.
Tout plan perpendiculaire au fil et qui contient le point M est un plan d’antisymétrie car le courant arrive
d’un côté et repart de l’autre. Le champ magnétique est contenu dans ce plan.
D’autre part, le champ ne dépend que de la distance r au fil.
Les lignes de champ sont donc des cercles centrés sur le fil.
L’expression du champ créé par un élément de courant est 2
0 udzI
4dB
l
.
Dans cette formule, les variables sont z, u , l et , l’angle entre la normale au fil et
u . Le calcul le plus simple se fait avec l’angle .
On va utiliser un repère cylindrique (zr e,e,e
).
Dans ce repère, ecosdzudz . On a aussi
r
ztan et
l
rcos .
edcos
r4
Ie
cos
rd
cos
r
cos
4
IdB 0
2
2
2
0
En intégrant de -/2 à /2, on trouve l’expression du champ magnétique.
Page 14 sur 25
e
r2
Iesin
r4
Iedcos
r4
IB 02/
2/0
2/
2/
0 .
On retrouve l’expression du champ magnétique obtenue avec l’utilisation du théorème d’Ampère.
EExxeerrcciiccee BB55..22
Champ créé par une spire circulaire sur son axe
Une spire circulaire de rayon R est parcourue par un courant d’intensité constante I. Trouver l’expression
du champ magnétique créé par ce circuit en un point M sur l’axe de la spire à une distance x de son centre.
On exprimera le résultat en fonction de l’angle sous lequel on voit la spire à partir du point M.
Tout plan qui contient l’axe de la spire et le point M où on calcule le champ magnétique est un plan
d’antisymétrie car le courant arrive d’un côté et repart de l’autre. Le champ magnétique est contenu dans ce
plan. Le champ magnétique en un point M de l’axe est donc sur l’axe de la spire. On va donc rechercher
l’expression de la composante sur cet axe du champ magnétique créé par un élément de courant.
L’expression du champ créé par un élément de courant est
2
0
r
udI
4dB
l et la composante sur l’axe est
2
0x
r
αsinId
4dB
l
où est l’angle sous lequel on voit la spire
du point M tel que r
Rsin .
Dans cette dernière expression, la seule variable est l.
En intégrant sur toute la spire, on obtient :
x
30x2
3
0x2
0x
spire
2
0 esinR2
IeR2
R4
sinIeR2
r4
sinIed
r4
sinIB
l
.
Cette expression peut aussi s’écrire en fonction de x en utilisant
22 xR
R
r
Rsin
et on obtient
x
2
3
22
2
0 e
)xR(
1
2
RIB
.
EExxeerrcciiccee BB55..33
Champ créé par un solénoïde
Un solénoïde de longueur L comportant N spires circulaires de rayon R est parcouru par un courant
d’intensité constante I. Trouver l’expression du champ magnétique en un point M de son axe. On exprimera
Page 15 sur 25
le résultat en fonction des angles sous lesquels on voit les deux extrémités du solénoïde à partir du point M
(on commencera par calculer l’expression du champ dB créé par une tranche d’épaisseur dx du solénoïde).
Le champ créé par une tranche d’épaisseur dx
est égal à x
30 endxsinR2
IdB
où ndx
est le nombre de spires de la tranche (L
Nn ).
En utilisant x
Rtan , on obtient
dxsin
Rdx
2
.
On a donc :
x0
x0
x2
3
0 ecos2
nIedsin
2
nIed
sin
R
R2
sinnIB 2
1
2
1
2
1
.
Et l’expression finale est x120 e)cos(cos2
nIB
.
Trouver l’expression du champ quand le solénoïde peut être considéré comme infini (L>>R). Montrer que le
champ est uniforme à l’intérieur du solénoïde et nul à l’extérieur.
Si le solénoïde est infini, les deux angles sous lesquels on voit les extrémités du solénoïde sont 1= et 2=0.
On obtient alors x0 enIB .
Avant d’utiliser le théorème d’ampère, on regarde les éléments de symétrie de la distribution de courant :
tout plan qui contient l’axe du solénoïde et le point M où on calcule le champ magnétique est un plan
d’antisymétrie (le courant arrive d’un côté du plan et repart de l’autre côté). Le champ magnétique est dans
ce plan. Tout plan perpendiculaire à l’axe du solénoïde et qui contient le point M est un plan de symétrie, le
champ magnétique est partout parallèle à l’axe du solénoïde.
Pour montrer que le champ est uniforme à
l’intérieur du solénoïde, on prend un contour
fermé rectangulaire ABCD dont le côté AB est
parallèle à l’axe du solénoïde.
La circulation sur ce contour est :
DACDBCABABCD
dBdBdBdBdBC lllll
. Les circulations sur BC et DA sont nulles car
ldetB sont perpendiculaires sur ces segments et le champ est constant sur les segments AB (champ BAB) et
CD (champ BCD).
Comme aucun courant ne traverse le contour fermé ABCD, la circulation totale est nulle.
Page 16 sur 25
On en déduit que CDBABBdBdB CDAB
CDAB
ll . Comme AB=CD, la valeur du champ
magnétique est la même en tout point à l’intérieur du solénoïde. Le champ est uniforme.
Si une partie du contour fermé est à l’extérieur du solénoïde (parcours A’B’C’D’), la circulation est
'D'C'B'A
dBdB'C ll .
Comme le solénoïde est infini, les lignes de champ ne peuvent aller à l’extérieur, le champ est donc nul à
l’extérieur du solénoïde et la circulation précédente est 'B'AdBdB'C'B'A'B'A
B ll .
Le contour A’B’C’D’ est traversé par des courants et IL
'B'AN
enlacés
0 .
Le théorème d’Ampère donne donc nIB 0 .
On retrouve ainsi l’expression du champ sur l’axe d’un solénoïde infini obtenue avec la formule de Biot et
Savart.
EExxeerrcciiccee BB66..44..11
Champ magnétique créé par une ligne bifilaire
On donne les valeurs numériques de la permittivité absolue du vide 9
0 1036
1
SI et de la perméabilité
du vide 0=4 10-7 SI ainsi que des formules d'analyse vectorielle en coordonnées cylindriques.
Un point M est repéré par (r, , z), le repère local étant (re ,
e ,ze ) orthonormé direct, V(r,,z) un champ
scalaire et A (r,,z) un champ vectoriel.
zr edzerdedrdM
zr ez
Ve
Ve
r
VgradV
zrzr
rz e)
r
A
r
A
r
A(e)
r
A
z
A(e)
z
AA
r
1(Arot
z
AA
r
1)Ar(
rr
1Adiv z
r
A)Adiv(grad)Arot(rot
Etude du champ magnétique créé par un fil rectiligne infini.
On considère un fil rectiligne F; conducteur, de rayon a, supposé très long et parcouru par un courant
électrique de vecteur densité j et d'intensité I. On suppose j uniforme à l'intérieur du fil, parallèle à l'axe
Page 17 sur 25
Oz et de même sens et constant dans le temps. La perméabilité des milieux considérés est 0. On considère
un point M repéré dans l'espace par ses coordonnées cylindriques r, et z.
En utilisant le théorème d'Ampère et les propriétés de symétrie de l'ensemble, exprimer en fonction de 0, I et
r, dans la base ( zr e,e,e ), le vecteur champ magnétique )M(B créé en M par le courant. On supposera
r>a, donc M extérieur au fil.
Si on considère les propriétés de symétrie de la distribution de courant, on
montre que les lignes de champ sont des cercles situés dans des plans
perpendiculaires au fil et centrés sur son axe (voir l’exercice sur le champ
magnétique créé par un fil infini).
champdeligne
.BC dl =2rB=0I
On trouve
e
r2
IB 0 .
Même question si r<a
Il faut dans ce cas utiliser le fait que I est le flux du vecteur densité de courant à travers la surface qui
s’appuie sur le contour utilisé pour la circulation du champ magnétique.
jads.jI 2
surface
2
0
champdeligne
jrds.j.BC dl .
On en déduit 2
0
2
0a
I
2
r
r2
jrB
.
Que se passe-t-il en r=a ?
On a une discontinuité dans l’évolution du champ magnétique. Alors qu’il augmente proportionnellement à r
entre o et a, il est ensuite décroissant pour r>a.
Calculer Brot dans les deux cas: r>a et r<a, Conclure.
Le champ magnétique a une seule composante sur e et il ne dépend que de r de telle sorte que
ze)r
B
r
B(Brot
.
Pour r<a, jea
Ie)
a
I
2
r
ra
I
2
r
r
1(Brot 0z2
0z2
0
2
0
. C’est l’équations de Maxwell-Ampère dans un
matériau où circulent des courants.
Pour r>a, 0e)r2
I
r2
I(e)
r2
I
rr2
I
r
1(Brot z2
0
2
0z
00
. C’est l’équation de Maxwell-Ampère dans
Justifier que l'on peut chercher dans les deux cas r>a et r<a le potentiel vecteur associé au champ
magnétique )M(B sous la forme )M(A =Az(r) ze .
Page 18 sur 25
Les expressions du champ magnétique dans les deux intervalles vérifient l’équation de Maxwell
0)M(Bdiv car sa seule composante sur e ne dépend pas de :
( 0z
BB
r
1)Br(
rr
1Bdiv z
r
).
Le champ magnétique dérive d’un potentiel vecteur tel que ArotB . Ce qui conduit à trois équations
différentielles :
zrzr
rz e)
r
A
r
A
r
A(e)
r
A
z
A(e)
z
AA
r
1(Arot
0Bz
AA
r
1r
z
,
B
r
A
z
A zr et 0r
A
r
A
r
A r
.
La solution proposée ( )M(A =Az(r) ze ) vérifie ces trois équations.
Exprimer )M(A dans la base ( zr e,e,e ) dans les deux cas considérés en fonction de 0, I, r et a et d'une
constante fonction de 0A , valeur du potentiel vecteur en un point de la surface du fil.
Pour r<a, 2
0z
a
I
2
r
r
A
qui donne 12
0
2
z Ca
I
4
rA
. On trouve la constante en écrivant que le
potentiel vecteur vaut A0 pour r=a : 10
0 C4
IA
. On obtient 0z2
2
0 Ae)a
r1(
4
IA
.
Pour r>a, r2
I
r
A 0z
donne 2
0z Crln
2
IA
avec 2
00 Caln
2
IA
. On obtient
0z0 Ae
r
aln
2
IA
.
Que vaut dans les deux cas Adiv ? Comment appelle-t-on traditionnellement la relation obtenue ?
0z
A
z
AA
r
1)Ar(
rr
1Adiv zz
r
.
C’est une condition de jauge.
Etude d’une ligne bifilaire
On considère la ligne bifilaire formée par deux
fils F1 et F2 , rectilignes, de même rayon a et dont
les axes. parallèles à z'z et symétriques par
rapport à cet axe, sont distants de d supposée
très grande devant a.
F1 est parcouru par le même courant que F à la
question précédente : vecteur densité j constant
dans le temps, uniforme à l'intérieur du fil,
Page 19 sur 25
parallèle à l'axe Oz et de même sens; l'intensité du courant vaut I. F2 est parcouru par le courant de vecteur
densité - j . Que vaut )O(A , potentiel vecteur au point O, centre du repère Oxyz ?
Le point O étant situé à égale distance entre les deux fils, les potentiels vecteurs créés par les fils ont la
même valeur. Mais comme les courants circulent en sens contraire dans les deux fils, ils sont de sens opposés
suivant OZ. Le potentiel vecteur au point étant la somme des potentiels vecteurs créés par les deux courants,
il est nul au point O.
Exprimer )M(A dans la base(zr e,e,e
) en fonction de 0, I, r1, r2 et ze , M étant un point quelconque situé
à l'extérieur des fils.
Pour trouver le potentiel vecteur en un point M, on utilise le principe de superposition.
)M(A)M(A)M(A 21 avec 0z
1
01 Ae
r
aln
2
IA
et 0z
2
02 Ae
r
aln
2
IA
.
z
1
20 er
rln
2
I)M(A
.
M étant repéré par ses coordonnées r et , on se place dans la situation r>>d, montrer que
z0 e
r2
cosdI)M(A
.
En un point M quelconque, OMOOMOr 111 et OMOOMOr 222 .
On en déduit .cosrdr4
dOM.OO2r
4
d)OMOO()MO(r 2
2
1
22
2
1
2
1
2
1
De la même façon, .cosrdr4
dOM.OO2r
4
d)OMOO()MO(r 2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
Si r>>d, on peut faire une approximation.
)cosr2
d
r8
d1(rcos
r
d
r4
d1rr
2
2
2
2
1 et )cosr2
d
r8
d1(rr
2
2
2 .
Ce qui donne
cosr
d1)cos
r2
d
r8
d1)(cos
r2
d
r8
d1(
cosr2
d
r8
d1
cosr2
d
r8
d1
r
r2
2
2
2
2
2
2
2
1
2 .
En utilisant
)1ln(lim0
, on obtient z0
z
1
20 er
cosd
2
Ie
r
rln
2
I)M(A
qui correspond à
l’expression proposée.
En déduire )M(B dans la base ( zr e,e,e ).
ArotB donne
z
r
A
r
1B et
r
AB z
.
Soit 2
0r
r
sin
2
IdB
et
2
0
r
cos
2
IdB
.
Page 20 sur 25
Donner l'allure des lignes de champ ; orienter les courbes obtenues.
EExxeerrcciiccee BB66..44..22
Interaction entre deux fils, définition de l’Ampère
Deux fils rectiligne F1 et F2 infinis, parallèles entre eux et distants de d,
sont parcourus respectivement par des courants I1 et I2.
Trouver l’expression du champ magnétique B1 produit à la distance d du fil
F1.
En utilisant le théorème d’Ampère, on trouve facilement que le champ
magnétique créé par le courant I1 à l’endroit où se trouve le fil F2 est
.d2
IB 10
r
Si on représente les deux fils dans un plan XOY avec le courant I1 dans le
sens de OX et le fil F2 situé à la distance d suivant OY, le champ B1 est
dirigé suivant Oz.
En déduire la force exercée sur un élément de courant du fil F2.
Ce fil subit une force de Laplace telle que
y210
z10
x2r2 ed2
IIe
d2
IeIBIdF dldldl
.
Ce résultat est bien en accord avec la définition de l’Ampère.
EExxeerrcciiccee BB66..44..33
Action sur un cadre
Une spire rigide, carrée, de côté a, d'aire S, est parcourue par un courant
d'intensité I imposé par un générateur. On définit son moment magnétique
nSIM où n est un vecteur unitaire, orthogonal au plan de la spire,
orienté conventionnellement comme indiqué suivante.
Spire dans un champ magnétique uniforme.
La spire de centre M, mobile sans frottement autour de l’axe =Mz est placée dans un champ magnétique
uniforme B , de module B, ayant la direction et le sens de l’axe Mx. Sa position est repérée par l’angle .
On note 1F et 3F les forces subies respectivement par les côtés perpendiculaires à Oz de milieux P1 et P3.
On note 2F et
4F les forces subies respectivement par les côtés parallèles à Oz de milieux P2 et P4.
Déterminer la somme des forces exercées sur la spire.
Les forces qui s’exercent sur les côtés du cadre sont des forces de Laplace caractérisées par BIdF dl .
Sur le côté A1A2, la force est zz211 ecosBaIe)2
sin(BaIBAAIF
.
+j -j
Page 21 sur 25
Par analogie, la force sur le côté A3A4 est :
zz433 ecosBaIe)2
sin(BaIBAAIF
.
Sur le côté A2A3, la force est :
yxz322 eaBIeBeaIBAAIF
Par analogie, la force sur le côté A4A1 est :
yxz144 eaBIeBeaIBAAIF
On voit aisément que 2F =-
4F et 1F =-
3F de sorte que la somme des forces
est nulle.
Montrer que ces forces constituent un couple dont on exprimera le moment,
par rapport à , en fonction de M, B et .
Le moment des forces 1F et
3F par rapport à l’axe est nulle car ces forces
sont portées par cet axe.
Les deux 2F et
4F sont perpendiculaires à l’axe et leur moment par rapport à
cet axe est : )FMPFMP(FMPFMPC 24224422
Ce qui donne zz
2
224 esinBesinBIaFPPC M
Montrer que l'énergie potentielle de cette spire dans la position
repérée par peut être écrite B.Ep M .
Le travail élémentaire du couple de force lors d’une rotation
élémentaire est zedd est dsinBd.C M .
Pour une rotation de la position 1 à 2, le travail est )cos(cosBW 1212 M . Ce travail est
indépendant du chemin suivi. Il dérive d’une énergie potentielle telle que W12=-EP=EP1-EP2.
On en déduit BcosBEP MM .
Quelle est la position d'équilibre stable de la spire dans le champ? Justifier.
La position stable est celle qui correspond à l’énergie potentielle minimum. Donc lorsque le moment
magnétique de la spire est dans le même sens que le champ magnétique. Cela correspond aussi à un flux
magnétique maximum à travers la spire.
Spire dans un champ magnétique avec gradient
Le champ magnétique créé par l'aimant en un point de coordonnées x,y,z a pour composantes Bx(x,y,z),
By(x,y,z) et Bz(x,y,z). On dispose des informations suivantes:
En M (x,0,0): Bx=Bx(x,0,0) By = 0 Bz=0 (par raison de symétrie)
Page 22 sur 25
de plus 0z
B
y
B
x
B zyx
. Quelle propriété importante du champ magnétique est traduite par cette
relation ?
C’est une des équations de Maxwell - 0Bdiv - qui traduit la conservation du flux magnétique à travers une
surface fermée.
Par raison de symétrie, on écrit Bx(P1)=Bx(P3) et Bx(P4)=Bx(P2)
z
B
2
a)P(B z
1z
en (x,0,0)
z
B
2
a)P(B z
3z
en (x,0,0)
y
B
2
a)P(B
y
2y
en (x,0,0)
y
B
2
a)P(B
y
4y
en (x,0,0)
Quel est le signe de x
Bx
? Justifier.
Le champ produit par l’aimant décroît quand on s’éloigne de cet aimant : x
Bx
<0.
Donner une justification simple de l'expression proposée pour Bz(P1).
Il s’agit du développement limité d’une fonction autour du point M.
0,0,x
z1z1z
z
BMP)0,0,x(B)P(B
Quelle est la position de la normale n lorsque la spire est en position d'équilibre stable vis à vis de la
rotation autour de l'axe ?
La normale à la spire est suivant Ox, dans le sens du champ magnétique.
On suppose que la spire est perpendiculaire à l’aimant avec n colinéaire et dans la direction et le sens Ox.
Établir les expressions des quatre forces 1F ,
2F , 3F et 4F . En déduire leur somme F en faisant apparaître
M et x
x
B
B.
BAAIF 211 avec y21 eaAA et z1zx1x e)P(Be)P(BB
z1x
y
x1z
z1z
y
x1x
z
y
x
1
e)P(IaB
e0
e)P(IaB
e)P(B
e0
e)P(B
e0
eIa
e0
F
BAAIF 433 avec y43 ecosaAA et
z3zx3x e)P(Be)P(BB
Page 23 sur 25
z3x
y
x3z
z3z
y
x3x
z
y
x
2
e)P(IaB
e0
e)P(IaB
e)P(B
e0
e)P(B
e0
eIa
e0
F
BAAIF 322 avec z32 eaAA et
y2yx2x e)P(Be)P(BB
z
y2x
x2y
z
y2y
x2x
z
y
x
3
e0
e)P(IaB
e)P(IaB
e0
e)P(B
e)P(B
eIa
e0
e0
F
BAAIF 144 avec z43 eaAA et
y4yx4x e)P(Be)P(BB
z
y4x
x4y
z
y4y
x4x
z
y
x
4
e0
e)P(IaB
e)P(IaB
e0
e)P(B
e)P(B
eIa
e0
e0
F
La somme des forces est :
z1x
y
x1z
1
e)P(IaB
e0
e)P(IaB
F
+
z3x
y
x3z
2
e)P(IaB
e0
e)P(IaB
F
+
z
y2x
x2y
3
e0
e)P(IaB
e)P(IaB
F
+
z
y4x
x4y
4
e0
e)P(IaB
e)P(IaB
F
)P(IaB)P(IaB)(PIaB-)(P-IaBF 4y2y3z1zx
y
B
2
Ia
y
B
2
Ia
z
B
2
Ia-
z
B
2
Ia-F
y2
y2
z
2
z
2
x
x
BaI)
y
B
z
B(-IaF x2yz2
x
0)(PaBI)(P-IaBF 4x2xy
0)(PaBI)(PaBIF 3x1xz
La somme des forces est dirigée suivant Ox et peut s’écrire x
BF x
x
M .
Lorsque le champ magnétique n’est pas uniforme, le cadre subit un effet de translation. Cette force est telle
que le cadre va se déplacer vers les champs les plus intenses de telle sorte que le flux qui le traverse devienne
maximum.
On peut utiliser une autre méthode qui ne détaille pas les expressions des quatre forces précédentes. On
vient de montrer ci-dessus que, pour des raisons de symétrie, la force F est parallèle à Ox. En admettant ce
fait et en utilisant l'énergie potentielle, retrouver l'expression de F .
Page 24 sur 25
La force doit dérivée de l’énergie potentielle.
x
B)B(grad)B.(grad-Egrad-F x
xPx
MMM .
EExxeerrcciiccee BB66..44..44
Effet Hall classique
On utilise une plaquette conductrice parallélépipédique de
longueur L, de largeur b, d'épaisseur h, dans laquelle on impose
un courant dans la direction de la longueur. Les charges mobiles
y sont des électrons de charge q=-e et dont la concentration (ou
densité particulaire ou nombre de particules par unité de
volume) est n. En l'absence de champ magnétique, leur vitesse
d'ensemble est xuvv où v est positif et
xu est le vecteur
unitaire de l'axe Ox. I est l'intensité du courant, mesurée avec le
sens de Ox.
On admet que I=n e v b h. Vérifier l'homogénéité de cette relation.
]I[L.L.LT.L.T]I[]h][b][v][n][q[]I[ 13
La relation précédente est obtenue à partir de la définition du vecteur densité de courant ( vnqj ) en
écrivant que le courant est le flux de ce vecteur à travers une section bh du conducteur.
Cette plaquette est placée dans un champ magnétique uniforme
B , de module B, ayant la direction et le sens de Oz. Montrer
que sous l'effet du champ magnétique, les lignes de courant
s’incurvent et que des charges de signes différents apparaissent
sur les faces 1 et 2.
Les électrons de charge q=-1.6 10-19
C sont animés d’une vitesse
v . Placés dans un champ magnétique, ils subissent la force de
Lorentz : yzxL uevBuuevBBvqf .
Les électrons vont donc s’accumuler sur la face 1, ce qui
provoque l’apparition d’une charge négative sur cette face et
simultanément d’une charge positive sur la face 2.
On suppose que ces charges accumulées produisent un champ électrique HE uniforme, perpendiculaire aux
faces chargées et qu'un régime stationnaire est très rapidement atteint, la vitesse d'ensemble des charges
mobiles étant de nouveau xuvv . Montrer qu'il apparaît une tension UH positive entre les faces 1 et 2,
en précisant s'il s'agit de (V1-V2) ou de (V2-V1).
En régime permanent, les électrons subissent la force de Coulomb EqfC et la force de Lorentz
.BvqfL Ces deux forces ont la même valeur mais sont opposées de sorte que 0ff CL .
Page 25 sur 25
La circulation du champ électrique de la plaque positive à la plaque négative (le champ est dirigé vers les
potentiels décroissants) permet d’écrire Eb=(V2-V1)=UH.
Montrer que l'on peut écrire h
BIRU HH et établir l'expression de le constante de Hall RH du
conducteur en fonction de e et n.
L’égalité des deux forces conduit à b
UvBE H qui donne
h
IB
ne
1bB
enbh
IvbBUH .
