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Electromagnétisme et Optique Physique · Electromagnétisme et Optique Physique Travaux Pratiques PEIP – 2e année . 1 ELECTROMAGNETISME OPTIQUE PHYSIQUE Rappels de Cours : 1 –

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  • 2013-2014

    Electromagntisme et Optique Physique

    Travaux Pratiques

    PEIP 2e anne

  • 1

    EELLEECCTTRROOMMAAGGNNEETTIISSMMEE

    OOPPTTIIQQUUEE PPHHYYSSIIQQUUEE

    Rappels de Cours :

    1 Prambule p 2

    2 Interfrences p 3

    3 Diffraction p 5

    Manipulations : p 8

    1 Champs magntiques crs par les courants p 9

    2 Interfrences linfini : Dispositifs de Fresnel p 13

    3 Interfromtre de Michelson en Ondes centimtriques p 15

    4 Diffraction par des fentes (lumire visible) p 17

    5 Interfrences localises : Anneaux de Newton p 19

    5 Rappels de 1re anne : incertitudes, graphes p 21

  • 2

    PPRREEAAMMBBUULLEE AA LLIIRREE AABBSSOOLLUUMMEENNTT

    PREPARATION DES TRAVAUX PRATIQUES Vous devez, avant chaque sance : tudier soigneusement le texte du TP ; faire les calculs prliminaires dans la mesure du possible ; rflchir lintroduction et la teneur du compte-rendu. MANIPULATION - REDACTION DES COMPTES RENDUS La manipulation est faite en binme, ce qui implique une participation de chaque tudiant la

    ralisation pratique et la rdaction.

    Prendre soin du matriel qui vous est confi (parfois couteux), ranger la table avant de partir (pensez aux tudiants qui vous suivront), ne pas mlanger le matriel dune table lautre mme entre manips quivalentes, font partie du code de bonne conduite en TP.

    Travailler avec soin et intelligence sont les qualits dun bon exprimentateur.

    Un compte-rendu de TP est un document autonome, qui se lit sans avoir besoin de se rfrer au texte du polycope, Respectez la prsentation :

    - titre, - introduction (pourquoi faire ce TP), - paragraphes explications sur chaque mesure, - schmas, - rsultats des mesures, en tableaux si possible , graphes - respect et mention des units, - calculs dincertitudes, rsultats prsents sous la forme x = m m (unit) ; - remarques sur les difficults exprimentales , explications complmentaires donnes

    par lenseignant, - conclusion (qua-ton appris ? lexprience est-elle probante ? intressante ? amliorer,

    et comment ?)

    (Eviter que le CR , hors schmas, fasse moins de 2 et plus de 4 ou 5 pages, et plus dune faute dorthographe par ligne...)

    Pour plus de dtails, reportez vous au guide de rdaction qui vous a t distribu prcdemment.

    RESTITUTION DES CR- NOTATION Le compte-rendu est rdig par binme (avec les deux noms, le rdacteur soulign) et rendu la

    fin de la sance. La mme note est attribue aux deux tudiants. Le travail en trinme nest pas admis. La note de TP est attribue entirement en contrle continu. Les TP sont prvus pour une dure de 3h, rdaction comprise. Les sorties avant la fin des 3h ne

    sont pas souhaites. Une question complmentaire, Si vous avez le temps , peut faire la diffrence, qualit de rdaction gale, entre un TP correct et un bon TP.

    LLEESS NNOOTTIIOONNSS CCOONNCCEERRNNAANNTT LLEESS CCAALLCCUULLSS DDIINNCCEERRTTIITTUUDDEESS,, TTRRAACCEESS DDEE GGRRAAPPHHEESS,, EETTCC RRAAPPPPEELLEEEESS EENN FFIINN DDEE PPOOLLYYCCOOPPEE SSOONNTT CCOONNSSIIDDEERREEEESS CCOOMMMMEE CCOONNNNUUEESS

  • 3

    OOPPTTIIQQUUEE PPHHYYSSIIQQUUEE :: RAPPELS DE COURS

    INTERFERENCES

    Dfinition

    Une onde se modlise par une fonction A(x,t), x tant la position dans l'espace (vecteur) et t le temps.

    Lorsque l'on a deux sources distinctes, deux metteurs, crant deux ondes A1 et A2, en un point x donn, l'amplitude de A sera : A(x, t) = A1(x, t) + A2(x, t)

    En physique, on considre classiquement deux phnomnes idaux qui se produisent lorsqu'on mlange deux ondes sinusodales :

    l'interfrence quand les deux ondes ont la mme frquence le battement quand les frquences sont lgrement diffrentes.

    Cette approche est justifie par le fait que toute fonction continue peut se dcomposer en une somme de fonctions sinusodales (dcomposition en srie de Fourier).

    Illustration de l'exprience des fentes de Young Diffrence de marche Diffrence de phase - Interfrange

    On considre deux ondes de mme pulsation mais de phases diffrentes (cela peut tre caus par un

    trajet multiple de l'onde dans sa propagation) d'expressions :

    et

    On peut crire l'onde rsultante sous la forme :

    Soit le dphasage en x entre les ondes planes issues des sources. Si les deux sources ont la mme amplitude A, l'intensit lumineuse en x est : I(x) = 4.A2.cos2/2.

    Soit, en un point x dun cran distance D des sources, :

    Dx xaAI

    cos4

    22

    Les franges claires correspondent ax/ D = k (k entier) ; linterfrange vaut . i = D/a .

    D

  • 4

    Avec un dispositif optique, (biprisme, miroirs de Fresnel, bilentille...) on forme deux images d'une source lumineuse monochromatique de longueur d'onde : ces deux sources sont synchrones. La distance entre ces deux sources est gale a. On observe dans un plan parallle au plan des sources situ la distance D de celles-ci.

    Les sources tant synchrones et les deux vibrations lumineuses ayant la mme direction, on a des interfrences : dans la reprsentation de Fresnel, il y a addition vectorielle des amplitudes des deux vibrations.

    Franges dgale inclinaison franges dgale paisseur

    On obtient galement des interfrences lorsquune mme onde incidente est divise en plusieurs faisceaux qui suivent des chemins de longueurs diffrentes avant dtre nouveau runis : les dphasages dus aux diffrences de marche donnent alors galement des interfrences.

    Exemple : dispositif de Michelson

    Une onde incidente est divise en deux parties angle droit lune de lautre par une lame semi-rflchissante ;

    ces 2 ondes sont rflchies aprs des parcours respectifs D1 et D2 et se rejoignent aprs traverse de la mme lame ;

    la diffrence de marche est =2(D1-D2), elle vaut entre 2 maxima ou 2 zros successifs ;

    en ajustant , on mesure directement la longueur donde spatiale de londe.

    Dans le cas des lames faces parallles (a), o l'paisseur est fixe, la diffrence de marche (donc l'intensit lumineuse) dpend de l'inclinaison des rayons. On parle de franges d'gale inclinaison, dites franges d'Haidinger. Au contraire, dans des dispositifs tels que le coin d'air (b) ou les anneaux de Newton (c), la diffrence de marche (donc l'intensit lumineuse) dpend de l'paisseur (l'inclinaison des rayons est fixe). On a des franges d'gale paisseur, dites franges de Fizeau.

    (a) (b) (c)

    = D2 - D1

    Dk

    D0 D2

    D1

    a D x

  • 5

    DIFFRACTION

    La diffraction est le comportement des ondes lorsqu'elles rencontrent un obstacle qui ne leur est pas compltement transparent, et qui ragit en r-emettant des ondes de mme frquence que londe incidente dans des directions diffrentes de la direction dincidence. La diffraction se manifeste par le fait qu'aprs la rencontre d'un objet, la densit de l'onde n'est pas conserve selon les lois de l'optique gomtrique.

    La diffraction par un objet peut tre considre comme le rsultat de l'interfrence dondes de mme frquence, cohrentes, diffuses par tous les points de lobjet.

    Diffraction par un trou rond Diffraction par un trou carr

    La diffraction s'observe avec la lumire, mais galement avec le son, les vagues, les neutrons, les rayons X (une onde lectro-magntique comme la lumire) ou la matire. Elle est une signature de la nature ondulatoire d'un phnomne.

    Par exemple, dans le cas de la diffraction des Rayons X par la matire, sous leffet dune onde incidente plane, chaque atome entre en vibration et devient la source dune onde sphrique de mme frquence.

    Pour observer un phnomne de diffraction, l'obstacle que rencontre l'onde doit avoir une taille caractristique relativement petite par rapport la distance laquelle l'observateur se place.

    Lorsque l'objet a une structure priodique (rseau), l'objet peut tre reprsent comme une cellule lmentaire rpte intervalles rguliers. Le rsultat de l'onde est alors la superposition l'interfrence des ondes diffractes par les diffrentes cellules (la cellule unitaire tant elle-mme compose de points qui diffusent chacun l'onde).

    Dans l'approche du phnomne, on a donc deux niveaux d'interfrences : la cellule unitaire (diffraction par une seule cellule), et entre les cellules (diffraction de l'objet complet).

    Si l'on considre la diffraction par une couche mince, on a une rflexion de la lumire aux deux interfaces de la couche. La figure d'interfrences obtenue (par exemple, les irisations d'une mince couche d'huile) rsulte de l'interfrence des ondes diffuses par les deux interfaces.

    Diffraction par une fente

    La diffraction par une fente est un modle thorique utilis pour modliser les phnomnes de diffraction en optique. ( La diffraction par une fente peut galement s'appliquer, pour dcrire la figure de diffraction obtenue avec un fil plac sur le trajet d'un rayon lumineux).

    Une fente est une ouverture de largeur a et de longueur infinie, centre sur lorigine (la fente stend de a/2 a/2 dans laxe des x). Du fait de la symtrie par translation du problme, on ne considre les variations dintensit que sur un seul axe x.

  • 6

    On se place dans le cas o lcran est situ linfini (diffraction de Fraunhoffer), cest--dire que les rayons issus de diffrents points de la fente, qui arrivent en un mme point M de lcran sont considrs comme parallles. (Ecran loign de plusieurs mtres de la fente)

    Ces rayons sont en phase au niveau de la fente, mais leur dphasage est diffrent arriv sur l'cran. Ils vont interfrer, il faut donc calculer le dphasage entre les rayons.

    Si un rayon parcourt une distance entre deux points, la diffrence de phase introduite par ce chemin

    est : tant la longueur d'onde de la radiation lumineuse (monochromatique).

    Si D est la distance entre l'cran et la fente, alors l'intensit I en un point x de l'cran s'crit : I = Io sinc2 ([ a sin]/) ;

    linfini (onde incidente plane) sin= x/D, do :

    o sinc (sinus cardinal) sinc(x) = [sin(x)]/x. L'intensit a donc pour pseudo longueur d'onde:

    est la distance entre 2 minima ; le pic central est deux fois plus large que les autres. La fonction sin C dcrot rapidement.

    Noter la diffrence avec linterfrence de 2 sources ponctuelles, thoriquement non amortie (de fait, sattnue mais beaucoup plus lentement):

    Dx xaII

    cos

    2.0

    Figure de diffraction de la fente

    Distance D

    H

    x a

    M

    O Onde incidente plane, longueur donde

    +

    +

    Fente, largeur a

    +

  • 7

    Diffraction par plusieurs fentes

    La diffraction par deux fentes, par N fentes ou plus gnralement par N objets sera la superposition de la diffraction de lobjet lmentaire et de linterfrence des 2 (ou N) objets. Lamplitude rsultante sera la convolution des facteurs de forme dus chaque tape. Si la dimension caractristique de lobjet lmentaire (fente) dune part, et la distance ou priode ontre objets, dautre part, est assez diffrente, il sera facile de sparer les deux effets et de mesurer les priodes (interfranges) caractristiques de chaque phnomne. Plus la distance ou dimension de lobjet est petite, plus linterfrange ou priode correspondante est grande (cest une TF !)

    Cas de deux fentes identiques de largeur a spares par une distance c :

    Dxc

    Dxa

    Dxa

    x II

    cossin 2

    2

    2

    .0

    Cas de N fentes identiques de largeur a spares par une distance c :

    2

    sin

    sinsin.0

    Dxc

    DxcN

    Dxa

    Dxa

    xN

    II

    On observe des maxima principaux, spares par N-2 maxima secondaires. Lintensit des pics secondaires et la largeur des pics principaux diminuent, lorsque le nombre N dobjets diffractants augmente.

    0,000 50 100 150 200 250

    amlp

    itud

    e lu

    min

    euse

    abcisse sur l'cran (mm)

    Diffraction par deux fentes

    Diffraction par lintervalle c entre fentes

    Diffraction par une fente de largeur a

  • 8

    MANIPULATIONS

  • 9

    I CHAMPS MAGNETIQUES CREES PAR LES COURANTS

    I- RAPPELS THEORIQUES

    1. Le champ magntique : Le champ magntique est un champ vectoriel, c'est--dire une fonction qui associe chaque point M(x, y, z) de l'espace et chaque instant t une grandeur vectorielle caractrise par une amplitude, une direction et un sens (donns par le vecteur unitaire

    r u parallle au vecteur r B ).

    En base cartsienne, on note le champ magntique :

    urktBeBeBeBuBB zzyyxx .cos0

    o 222 zByBxBB

    et zyx ezeyexr

    Les instruments tels que le teslamtre permettent d'effectuer une mesure de la norme du champ magntique. Cependant, bien que le champ oscille au cours du temps, ces oscillations sont trop rapides pour tre dtectes l'aide d'instruments de mesure conventionnels. Le temps de mesure des instruments utiliss tant considrablement plus grand que la priode des oscillations du champ magntique, la valeur de la norme B du champ mesure est une moyenne temporelle, gale la moiti de l'amplitude B0 du champ

    r B . Elle est exprime en tesla (T).

    La reprsentation du champ peut tre effectue l'aide de vecteurs ou de lignes de champ (cf. figure 1). Ces deux types de reprsentation permettent de visualiser les variations locales d'orientation du champ magntique (tangent aux vecteurs et aux lignes de champ) et d'amplitude (proportionnel la norme des vecteurs et inversement proportionnel la distance sparant les lignes de champ).

    Fig. 1 : Reprsentations 2D du champ magntique. gauche : reprsentation l'aide de vecteurs dont la norme est proportionnelle l'intensit locale du champ et dont la direction et le sens sont fixs par ceux du champ magntique. droite les lignes de champ (parallles au champ magntique en chaque point) permettent de reprsenter l'orientation locale du champ magntique. L'intensit est d'autant plus forte que les lignes sont resserres. N.B. Les lignes de champ cres par un diple magntique sont toujours fermes.

  • 10

    2. Champ magntique cr par des bobines: Le champ magntique est produit par les charges lectriques en mouvement. C'est le cas notamment lorsqu'un courant circule dans un conducteur. Lorsque le conducteur est enroul et forme une spire, le sens du champ magntique produit obit la rgle du tire bouchon (cf. figure 2).

    Fig. 2 : Rgle du tire-bouchon et rgle de la main droite permettant de dterminer l'orientation du champ magntique

    r B cr par un courant circulant dans un enroulement conducteur. En haut : rgle du tire-

    bouchon. L'enroulement est reprsent par un tire-bouchon (attention au sens de l'enroulement). Le courant circulant positivement du manche vers la pointe du tire-bouchon produit un champ

    r B orient

    selon l'axe dans le sens reprsent sur la figure. En bas : rgle de la main droite. Le sens de l'enroulement doit ici aussi tre tel que reprsent sur la figure. Le courant entrant dans la bobine par la main droite produit un champ

    r B orient vers la gauche. Pour ces deux rgles, le changement du sens de l'enroulement

    ou du sens de circulation du courant s'accompagne du changement de sens du champ r B .

    La norme du champ cr par une bobine plate (de rayon R trs grand devant la longueur L d'enroulement) possdant N spires, dans laquelle circule un courant I, s'exprime :

    avec 0 = 1,25710-6 T.m.A-1 Pour un solnode (bobine pour laquelle L > 10R) possdant N spires, la norme du champ magntique cr par un courant I est en son centre :

    II - MATERIEL ET RECOMMANDATIONS

    Le matriel disposition comprend :

    Une alimentation de tension continue MCP

    Deux bobines plates (bobines de Helmoltz) mobiles, de rayon R=65 mm.

    Un solnode de rayon R=25 mm form de deux enroulements de 200 spires. L'un des deux enroulements est de longueur fixe (bornes noires). L'autre prsente diffrents connecteurs (bornes rouges) permettant de faire varier le nombre de spires dans lesquelles circule le courant.

    RNIBsp 2

    0

    LNIBb 0

    expression (1)

    expression (2)

    Bobines de Helmoltz

  • 11

    Un multimtre (A/V/-mtre)

    Un teslamtre (incertitude relative 5%) Une boussole

    Les intensits dlivres par le gnrateur pour effectuer ce TP sont relativement leves (quelques ampres). Bien que les tensions utilises soient faibles, de tels courants peuvent provoquer une lvation de temprature importante des conducteurs et un endommagement irrmdiable des appareils. Il est donc ncessaire d'effectuer les mesures de la norme du champ magntique assez rapidement lorsque le courant dlivr excde 2 A et de couper l'alimentation lorsque les mesures sont finies. Ne dpasser en aucun cas 4 A. Faire systmatiquement vrifier le montage par un enseignant avant d'alimenter le circuit. Les courbes et tableaux seront raliss l'aide du logiciel Microsoft Excel disposition sur les postes informatiques, imprims puis insrs dans le compte-rendu. Reprsenter les barres d'erreurs sur les courbes. Le teslamtre est un appareil de mesure du champ magntique. Le dispositif mis disposition dans ce TP est muni d'une sonde reposant sur le principe de l'effet Hall. Cet effet dsigne l'apparition d'un champ lectrique (appel champ de Hall ou champ de modration) li la modification de la trajectoire de charges mobiles, soumises l'action de la force de Lorentz, sous l'effet d'un champ magntique. La mesure de la diffrence de potentiel U associe ce champ de Hall, perpendiculaire la fois au champ magntique et la circulation du courant i dans la sonde, permet de mesurer la norme du champ magntique

    r B .

    En pratique, pour la sonde fournie, le courant i circule suivant une direction r e x et la mesure de U

    s'effectue selon la direction r e y , ces deux directions tant perpendiculaires l'axe

    r e z de la sonde. La mesure effectue correspond donc la projection de

    r B sur l'axe de la sonde. Afin de mesurer

    correctement la norme de r B , il faut donc placer la sonde paralllement au champ magntique.

    Le signe indiqu, dpend du sens de r B (positif si la sonde est oriente dans le mme sens que

    r B ).

    III - TUDE EXPERIMENTALE

    On alimente le solnode long l'aide du gnrateur. On utilisera l'enroulement de longueur variable en fixant le nombre de spires N=200 : utiliser pour cela les deux bornes rouges indiquant 100. Sur le gnrateur, rgler le potentiomtre de tension au maximum et le potentiomtre de courant au minimum. Placer un ampremtre dans le circuit. Aprs vrification du montage par un enseignant, augmenter progressivement la valeur de l'intensit jusqu' ce qu'un courant de 2 A environ circule dans le circuit.

    1) tude quantitative du champ magntique produit par le solnode : Utiliser le montage dcrit ci-dessus en respectant la convention d'alimentation donne par la rgle de la main droite (cf. figure 2).

  • 12

    1. Placer la sonde du teslamtre au milieu du solnode (position 0) et relever les valeurs de la norme du champ magntique en faisant varier I de 0,5 A 4,0 A. On prendra une dizaine de mesures (tous les 0,3 A environ). Donner les valeurs mesures dans un tableau.

    2. Tracer la courbe B=f(I). Mesurer la pente de la courbe obtenue et la comparer avec la pente de la courbe thorique dduite de l'expression (2). Discuter le rsultat obtenu.

    3. Rpter la mesure pour diffrentes valeurs de N (N=140, 100, 60, 40, 20 et 10) pour un courant fixe de 2,5 A. Donner les valeurs mesures dans un tableau.

    4. Comparer les mesures de B=f(N) aux valeurs thoriques calcules l'aide des expressions (1) et (2). Discuter les domaines de validit des deux expressions.

    2) tude des bobines de Helmoltz :

    1. Alimenter une seule des deux bobines l'aide du gnrateur en prenant les mmes prcautions que dans la partie prcdente. Placer la sonde du teslamtre au centre de la bobine et relever les valeurs de la norme du champ magntique en faisant varier I de 0,5 A 4,0 A. On prendra une dizaine de mesures (tous les 0,3 A environ).

    Donner les valeurs mesures dans un tableau.

    2. Tracer la courbe B=f(I). Mesurer la pente de la courbe obtenue et en utilisant l'expression (1), en dduire le nombre de spires N de cette bobine..

    3. Placer les deux bobines de Helmoltz l'une contre l'autre. Brancher les deux bobines en srie et alimenter le circuit avec un courant de 2,5 A. Mesurer le champ selon diffrents points de l'axe en dplaant la sonde entre les positions 0 et 20 (prendre une mesure tous les 2 cm). Rpter les mmes mesures pour un espacement de 8 cm et 12 cm entre les deux bobines. Donner les valeurs mesures dans un tableau.

    4. Tracer sur un mme graphique les courbes B=f(x) pour les 3 espacements choisis. Estimer la valeur moyenne du champ entre les deux bobines et comparer la valeur obtenue avec celle calcule l'aide de l'expression (2) en considrant l'association des deux bobines comme une seule. Discuter les rsultats obtenus.

    3) tude qualitative du champ magntique : l'aide des appareils fournis, rpondre aux questions suivantes :

    1. Dterminer l'orientation du champ l'extrieur de la bobine en diffrents points de l'espace. Faites une reprsentation qualitative des variations d'orientation du champ magntique dans un plan contenant l'axe de la bobine.

    2. Dterminer le sens du champ magntique l'extrieur et l'intrieur de la bobine. Inverser le branchement de la bobine et observer l'effet produit sur le champ magntique. Discuter ce rsultat.

  • 13

    II DISPOSITIFS DE FRESNEL

    I - Principe

    Il sagit de crer deux sources cohrentes ; pour cela, on prend une seule source et on en fait deux images. Deux dispositifs sont classiquement utiliss : les bi-prismes et les bi-miroirs.

    On utilisera ici un bi-prisme, plus facile rgler.

    Les deux sources secondaires S1 et S2 sont spares dune distance a et situes peu prs dans le mme plan que S (en ralit, sur un cercle) c'est--dire dans le plan focal image de la lentille L1 place juste aprs le laser. Leurs rayonnements interfrent, on observe les franges obtenues sur un cran (ou mur, ou photo-diode) situ une distance D des sources.

    Linterfrange observ vaut = D/a . II- Manipulation

    1) Prambule : Mesure des distances focales des lentilles utilises.

    Vous disposez de 2 lentilles convergentes, lune paisse et de trs courte focale, L1, destine crer le point source S partir du faisceau quasi parallle qui sort du laser, lautre L2, sert former une image relle des sources S1 et S2. Un banc optique supplmentaire, comportant une lampe blanche, un support de lentille, un cran et un miroir, est votre disposition ; vous pouvez utiliser la mthode de votre choix (autocollimation, objet linfini, mesure des distances objet-lentille et lentille-image) pour dterminer la position du foyer image du systme L1 et la distance focale de la lentille L2. 2) Mettre le laser en route et rgler lalignement des diffrents lments jusqu lobtention des franges dinterfrences sur lcran E. La position du foyer image de L1 est aussi celle du point S servant de source. Daprs la configuration du bi-prisme (schma question 5), les sources secondaires S1, S2 sont considres comme situes dans le plan perpendiculaire laxe et passant par S.

    ! La distance source S biprisme ne doit pas changer ente les questions 2), 3) et 5) !

    Placer une feuille de papier portant un trait horizontal, sur lcran ; relever au crayon les positions des franges. Mesurer autant de franges que possible et en dduire la valeur de linterfrange i.

    Mesurer D =SE; estimer les incertitudes sur D et i. ! Bien noter que la position de S nest ni sur la lentille L1, ni sur le bi-prisme, mais au foyer image de L1 !

    On donnne vert = 532nm (rouge : 632nm) : en dduire la valeur de a avec son incertitude.

    Lentille de focalisation

    Dispositif de Fresnel Ecran

    Zone dinterfrences

    Source primaire S

    Sources secondaires S1, S2

    Faisceau parallle

    Laser

    +

    +

    +

  • 14

    3) Pour mesurer plus simplement la distance a entre les sources S1 et S2, on utilise une lentille convergente f dans la configuration objet plac avant la lentille, image relle agrandie pour former sur lcran une image relle S1 , S2 des sources. (voir schma);

    on mesure les distances objet-lentille, p et lentille-image, p , ainsi que la taille de limage, a

    et on applique la relation du grandissement : a / a = = p/p pour en dduire a avec le plus de prcision possible. On a galement: 1/p + 1/p = 1/f (relation de conjugaison)

    rappel : calcul de lincertitude relative sur a : a/ a = a/ a + p/ p + p/ p

    Placer la lentille L2 entre le dispositif de Fresnel et lcran; la dplacer jusqu obtenir une image agrandie et nette des 2 points sources. Dterminer les distances p = sources-lentille et p= lentille-cran. (La nettet tant difficile dterminer, vrifier par le calcul, daprs 1/p + 1/p = 1/f2)

    Mesurer la distance a entre les 2 points images ; en dduire la valeur de a avec lincertitude.

    4) Comparer dans un tableau les mesures 2) et 3). Commenter. 5) Le biprisme donne de la source S, deux images S1 et S2 dont les positions sont fonction de langle du bi-prisme, de lindice n du matriau le constituant, et de la distance d entre S et larte du prisme :

    la dviation dun prisme entre point objet et point image, dans lapproximation des petits angles, est =(n 1); dterminer la relation entre et la distance entre sources, a = S1-S2, en fonction de la distance d et de lindice n ;

    On donne pour ce bi-prisme, n = 1.50 : calculer en fonction de la distance d de votre montage et de la valeur obtenue pour a .

    6) Des dispositifs de type bi-miroirs sont votre disposition ; placez les sur le banc et commentez les figures observes.

    = E

    + +

    +

    +

    +

    + S1

    S2 F2 F2

    O2 S H

    S1

    S2

    S

    +

    biprisme

    a

    indice n

    d

    S2 +

    S1 +

    p p

  • 15

    III INTERFEROMETRE DE MICHELSON EN ONDES CENTIMETRIQUES

    I- Principe

    Linterfromtre de Michelson a pour but la mesure de la longueur donde dune onde lectromagntique laide de franges dinterfrences. Pour assurer la cohrence des deux signaux, on procde par division donde.

    Les 2 ondes suivent des parcours respectifs L1 et L2, puis sont superposes et interfrent. On fixe un des parcours et en faisant varier lautre, on observe le dfilement des franges dinterfrences.

    La diffrence de marche est = (L1-L2) =2(D1-D2). quand elle vaut le dphasage est 2; en mesurant la variation de entre 2 maxima ou 2 zros successifs, on mesure directement la longueur donde .

    La prcision obtenue sur est celle de la mesure de D1 et D2. Cette manipulation est donc trs difficile raliser en ondes visibles ( = 0,4 0,8 m) . Elle est bien plus aise en ondes centimtriques.

    II- Appareillage

    Linterfromtre a pour source une diode GUNN de frquence 10,5 (0,1) Ghz.

    Londe mise est polarise dans un plan.

    Le rcepteur est galement polaris (voir forme des cornets). Lintensit du signal reu est traduite en courant mesur par un milli-ampremtre.

    Lappareil comporte 4 rails gradus articuls autour dun mme axe, deux supports dcrans rflecteurs et un support central plac au dessus de laxe, pouvant recevoir une lame sparatrice.

    III- Manipulation

    1) Observation de la Polarisation :

    Placer lmetteur E et le rcepteur R face face, cornets parallles (=0). Mettre en route la diode et lampremtre. Ajuster la distance entre E et R pour adapter lintensit.

    Faire ensuite une srie de mesures de lintensit I en variant de 10 en 10 langle entre les directions des cornets metteur et rcepteur.

    On note I0 la valeur maximale de I : calculer les valeurs = I/I0 (on appelle ceci : normer les valeurs) et tracer le graphe norm : = f ().

    Retrouver que lexpression attendue pour lintensit IL (carr de lamplitude !) en fonction de , angle entre antennes mettrice et rceptrice, si londe est polarise linairement, est IL = ILo cos2 . (a)

    d = D2 - D1

    Dk

    D0 D2

    D1

    E

    R

    E

    R

  • 16

    Sur le mme graphe, tracer L = IL / ILo ; la loi de Malus (a) est-elle vrifie ?

    2) Mesure de la longueur donde

    Rglages : Placer lmetteur, le rcepteur, les rflecteurs et la sparatrice selon le schma ci-dessus. Adapter les distances de dpart pour avoir un signal aussi intense que possible. Par la suite on fera varier seulement D2, on gardera fixes les autres lments.

    Faire varier la distance D2 et observer le dfilement des maxima et des minima. Compter un nombre N de franges aussi grand que possible et mesurer sur la rgle gradue la distance entre elles; en dduire la longueur donde des ondes mises. Evaluer lincertitude sur la mesure de .

    Calculer la longueur donde thorique daprs la frquence annonce par le constructeur. Comparer et commenter.

    3) Propagation dans un milieu autre que lair

    Avec la mme disposition quen 2), placer lcran D2 de faon obtenir un zro dintensit pour les franges. On a donc L2 L1 = 2 (D2 D1) = /2 (+ k k entier)

    Sans modifier la position de lcran D1, placer devant celui-ci un, deux, puis trois blocs de polystyrne rouge , ou de parafine : On observe un dcalage du zro (dphasage). En effet, le chemin optique * parcouru par londe qui se rflchit sur le miroir 1 nest plus D1 (distance gomtrique), mais D1 , si la vitesse de londe change dans le milieu diffrent de lair ; pour un aller-retour, L = 2 D .

    (* Chemin qui serait parcouru par la mme onde dans le vide pendant le mme temps)

    Retrouver lexpression liant la variation du chemin optique D = D1 D1 parcouru par londe, lpaisseur e des blocs et lindice n de celui-ci , pour londe mise par la source : D = (n-1) e

    Pour trois blocs, dplacer dlicatement D2 pour retrouver un zro dintensit dinterfrences. (Attention ! trs sensible !) . On dtermine ainsi D = D2 D2.

    En dduire la valeur (approximative) de lindice de propagation de londe de frquence 10,5 GHz dans le polystsyrne ou la parafine , et sa vitesse v.

    (* Dans le vide et lair, c = 2.998 108 m/s)

    4) Observation de la diffraction par des fentes

    Sil reste du temps : Placer lmetteur et le rcepteur face face, oter les miroirs ;

    remplacer la sparatrice par un cran perc de deux fentes, et dplacer le rcepteur autour de laxe du gonio ; on observe que lintensit I = f) prsente des oscillations en fonction de langle ; faire le lien avec les franges dinterfrences et de diffractions (voir la diffraction par deux fentes, rappel de cours et TP IV).

    E

    R

    Dk

    D0

    D1

    D = D2- D2

    D2

    D2

  • 17

    IV DIFFRACTION PAR DES FENTES EN LUMIERE VISIBLE

    I- Principe

    Au cours de ce TP on sattachera dans un premier temps retrouver les dimensions caractristiques des objets : largeur a dune fente, distance c entre les deux fentes; on pourra ensuite utiliser le dispositif dacquisition (si disponible) pour tenter de dterminer lallure des variations dintensit des franges.

    Lintensit reue sur un cran la distance D des fentes, en un point cart de x de laxe, vaut :

    .2

    2sin

    0

    Dxa

    Dxa

    x II

    pour 1 fente et

    Dxc

    Dxa

    Dxa

    x II

    cossin 2

    2

    2

    .0 pour 2fentes.

    Linterfrange observ vaut . i = D/a dans le 1er cas ; dans le 2e on observe un double pointill dont le pas le plus serr correspond un interfrange . j = D/c. .

    II- Manipulation

    1) Diffraction par une fente

    Etude des franges de diffraction Pour une fente simple, mesurer sur lcran linterfrange i obtenu. D est la distance entre la fente et le mur, vaut 632nm (laser rouge) ou 532 nm (laser vert) ; en dduire la valeur de a avec son incertitude. Comparer avec la valeur annonce.

    (Noter le pic central, plus intense, largeur = 2 i )

    Mesure directe de la dimension des fentes

    Placer la lentille convergente entre les fentes et lcran, de faon former sur lcran une image nette de la fente.

    Mesurer la taille de limage, les distances fente-lentille et lentille-cran, en dduire la largeur de la fente ;

    Comparer avec la valeur annonce et la valeur calcule par linterfrange.

  • 18

    2) Diffraction par 2 fentes a identiques spares de c

    Les diffrents systmes de fentes sont regroups sur un cadre type diapositive . On comparera des fentes de largeurs identiques, dans le cas dune fente simple (largeur a) et de deux fentes (largeur a, spares de c).

    Noter que (c) est la distance entre les milieux des fentes,

    pas lintervalle entre les bords, qui lui, vaut ( c- a) !

    Mesure des franges de diffraction et dinterfrences Placer un couple de fentes dans le faisceau et observer les franges obtenues : on peut distinguer 2 interfranges diffrents, quon notera i et j. Mesurer sur lcran linterfrange j. lintrieur du pic central de largeur 2 i ; en dduire la valeur de c avec lincertitude. Comparer avec la valeur annonce.

    Si possible, mesurer aussi i et en dduire a .

    Mesure directe de la dimension des fentes

    Placer la lentille convergente entre les fentes et lcran, de faon former sur lcran une image nette de la fente.

    Comme dans le cas dune seule fente, mesurer les images des largeurs des fentes et de la distance qui les spare : a et c ;

    Daprs le grandissement de la lentille, dterminer les grandeurs a et c avec lincertitude ;

    3) Bilan

    Faire un tableau regroupant les valeurs annonces, et les rsultats pour une seule fente, puis pour deux, daprs les deux mthodes, en prcisant les incertitudes ; commentez.

    Sil reste du temps :

    Dautres objets diffractants vous sont proposs : trous de diamtres divers, rseaux, etc

    On en observera quelques-uns et on fera des schmas et commentaires sur les figures observes.

    c

    a

    c-a

  • 19

    III INTERFERENCES LOCALISEES : COIN DAIR ANNEAUX DE NEWTON

    Principe

    On considre 2 surfaces planes semi-rflchissantes formant un didre dangle faible. A leurs surfaces, se produit une succession de rflexions et rflexions partielles. Les rayons mis dans une mme direction produisent des figures dinterfrence qui sont situes sur la surface, do le terme interfrences localises . Une rflexion sur une surface verre-air s'effectue sans dphasage, une rflexion sur une surface air-verre induit un dphasage de 180.

    Entre deux rayons successifs, la diffrence de marche est = 2e+/2 si e est la dimension locale de lespace entre les deux dioptres. Lintensit des franges trace les lignes dgale paisseur.

    Pour les franges sombres, = (2k+1)/2 (k entier) et e = k /2 ; pour les claires = ket e = (2k-1)/4.

    Manipulation

    Pour les deux montages suivants, on utilisera une lentille convergente pour projeter sur un cran les figures dinterfrences : on se place dans le cas o les images sont relles et agrandies, ce qui permet de les mesurer avec une meilleure prcision ; une premire lentille dite condenseur, est place entre la source lumineuse et lobjet (coin dair ou de Newton) pour augmenter la luminosit.

    On observera les franges parallles formes par un coin dair (mthode de Tolanski) et les franges circulaires dites anneaux de Newton. Pour les mesurer plus facilement, on en projette une image agrandie sur un cran, par lintermdiaire dune lentille convergente. On choisira les distances objet-lentille p et lentille-image p pour que limage soit plus grande que lobjet !! et on appliquera la relation de grandissement des lentilles : AB/AB = = p/p , pour dterminer la taille relle de linterfrange ou du rayon des anneaux.

    1) Coin dAir

    Dans le cas du coin dair (fig.1), = 2e+/2 peut scrire : = 2 x +/2 , x tant la distance de la frange larte du didre (ligne de contact des 2 plans) et langle du didre. Linterfrange vaut i = /2 Mesurer limage dune dizaine de franges ; Calculer leur taille relle et la valeur de linterfrange i ; En dduire langle du coin dair (incertitude). La longueur donde mise par la lampe au Sodium vaut = 589.30.3 nm.

    a S

    p

    p

    a

    Coin dair condenseur lampe Ecran Lentille de projection

    (1)

  • 20

    2) Anneaux de Newton

    On considre 2 dioptres semi-rflchissants accols, lun plan, lautre sphrique, quon assimile un coin dair. On claire lensemble avec la lampe au sodium. On observe l encore des franges dgale paisseur. Lensemble ayant un axe de rvolution, les franges sont des anneaux centrs sur l'axe (2).

    Soient R le rayon de courbure du dioptre et rk le rayon de lanneau dordre k, on aura : = rk2/R + /2 et k= / et R = (2 rk2)/(2k+1)(franges sombres, k=1.5 , 2.5, 3.5 )

    Placer une feuille de papier sur lcran et rgler les distances pour avoir une image nette des anneaux. Reporter et mesurer les rayons rk des anneaux images successifs ;

    (mesurer les anneaux sombre, plus nets ; mesurer des diamtres d pour tre plus prcis, en prendre autant que possible, une dizaine par exemple)

    -- dterminer le grandissement et calculer les rayons rk des anneaux rels; chacun donne une mesure du rayon de courbure R :

    --reporter les rsultats en tableau et En dduire le rayon de courbure R de la lentille de Newton. (Moyenne, incertitude). Il est plus facile de faire lensemble des calculs dans un tableau excel, nanmoins ne pas oublier les calculs dincertitudes ( la main ).

    k 2k+1 d' r R

    mm mm mtres

    0,5 2 1,5 4

    9.5 20 .

  • 21

    RRAAPPPPEELLSS DDEE 11EERREE AANNNNEEEE ::

    IINNCCEERRTTIITTUUDDEE DDEESS MMEESSUURREESS

    TTRRAACCEESS DDEESS GGRRAAPPHHEESS

  • 22

    EECCRRIITTUURREE EETT CCAALLCCUULL DDEESS IINNCCEERRTTIITTUUDDEESS

    I LECTURE DES MESURES.

    Les appareils de mesure dans leur grande diversit donne un affichage numrique ou analogique de la grandeur mesure.

    Dans les deux cas, il y a une incertitude de mesure due la prcision de lappareil et lexactitude de son calibrage (position du zro et talonnage de lappareil). A cela se rajoute, dans le cas dun affichage analogique, lincertitude de lecture.

    I.1 Affichages numriques.

    On pourrait tre tent de croire quun tel affichage ne comporte pas derreur : ceci est FAUX .

    Cas dun affichage stable : 8.35 V incertitude sur le dernier chiffre affich, donc la mesure est au mieux 0.01 V et au pire 0.09 V.

    Si on dispose de la notice de lappareil, le constructeur indique la prcision de la mesure, qui varie souvent dun calibre lautre. Elle est gnralement donne en % de la mesure, ou en (% de la mesure 1 ou 2 digit ), ce qui correspond lincertitude daffichage explique ci- dessus.

    Lerreur de calibre et lerreur daffichage peuvent tre du mme ordre de grandeur : auquel cas il faut les ajouter, ou dordre diffrent, auquel cas il faut au moins saligner sur la plus grande. (NB : erreur pour incertitude )

    I.2 Affichages analogiques.

    Le principe de lincertitude due la prcision du calibre existe sur les appareils analogiques de la mme faon que sur les appareils numriques. Elle se calcule de la mme faon si on dispose des informations du constructeur. A cela se rajoute lincertitude de lecture.

    II ECRITURE DES INCERTITUDES.

    Par convention, le dernier chiffre dun rsultat numrique est celui sur lequel porte lerreur ; si on crit lincertitude, celle-ci est arrondie un chiffre, situ la mme prcision que le dernier chiffre du rsultat. On crit (grandeur) = (meilleure estimation de la mesure) +/- (incertitude)

    Ex : 23.4 0.3 cm ; 23.0 0.5 cm ; mais PAS : 23 0.5 cm ou 232 20 mm !!!

    Chiffres significatifs : La notion de chiffre significatif est intimement lie celle de prcision. Plus un rsultat

    contient de chiffres significatifs, plus il est prcis. Pour dterminer le nombre de chiffres significatifs d'une valeur, on utilise la convention prcdente d'criture des rsultats. Prenons par exemple 10,2. L'incertitude porte sur le dernier chiffre et sa valeur minimale est donc de 0,1. Ecrivons cette incertitude sous la forme d'un chiffre (et non plus d'un nombre), en utilisant la puissance de 10 adquate : 0,1 = 1. 10-1. Il suffit ensuite d'crire 10,2 en utilisant la mme puissance de 10 : 10,2 = 102 . 10-1. Il faut 3 chiffres pour crire 102, ce sont les chiffres significatifs.

    Ex : 0,025 : 0,025 0,001 = (25 1) 10-3 donc : 2 chiffres significatifs. 0,0250 : 0,0250 0,0001 = (250 1) 10-4 donc : 3 chiffres significatifs.

    Bien que 0.025 et 0.0250 reprsentent la mme valeur, crire 0.0250 implique une prcision 10 fois plus leve que 0,025. Ecrire un zro n'est donc jamais anodin...

  • 23

    La connaissance du nombre de chiffres significatif est utile lorsquon veut crire une grandeur calcule partir dune mesure sans passer par le calcul dincertitude de cette grandeur. En effet, en premire approximation nous pouvons utiliser la rgle du report du nombre de chiffres significatif. Ainsi si la mesure de m comporte 5 chiffres significatifs, toutes les valeurs calcules a partir de m comme 1/m, m2 devront tre crite avec 5 chiffres significatif.

    III - INCERTITUDES ABSOLUES ET INCERTITUDES RELATIVES.

    Lincertitude absolue est une grandeur du mme type que la mesure m ; elle a la mme unit (sil y a lieu). On la note m . Si on ajoute deux valeurs, on ajoute leurs incertitudes.

    Ex : L1 = 23.4 0.2 cm et L2 = 12.0 0.3 cm : L1 +: L2 = 35.4 0.5 cm

    Il arrive souvent que lon veuille comparer lincertitude sa mesure ; on parle alors

    dincertitude relative . On la note mm .

    Ex : On pse m1 = (200 2) g ; m2 = (2 000 2) g ; m3 = (200 2) kg

    Lincertitude absolue sur m1 et m2 est la mme : 2 g ; celle sur m3 est 1000 fois plus grande (2 kg).

    Lincertitude relative sur m1 est 2/200 soit 1% , lincertitude relative sur m2 est 2/2 000 soit 0.1% (10 fois plus petite) , lincertitude relative sur m3 est 2/200 = 1%, la mme que sur m1 .

    IV - CALCUL DES INCERTITUDES .

    IV.1 Rappels sur la diffrentielle dune fonction.

    A toute fonction drivable dune seule variable, y = f(x) , on relie la variation locale de y la variation locale de x par la forme dite diffrentielle , dy = f (x) dx .

    Cest dire quautour de ce point x, on assimile la variation de f(x) avec le produit de la drive en x par la variation de x (on linarise la fonction f en x). La diffrentielle scarte dautant moins de la vraie variation de f(x) que lintervalle dx est petit (tend vers zro).

    Ecriture : y = a xn dy = a n x n-1 dx

    Y = ln (ax+b) dxbax

    adY

    Pour une fonction de plusieurs variables, on gnralise en utilisant les drives partielles calcules en supposant une grandeur variable et les autres fixes :

    Soit f(x,y) : dyyfdx

    xfdy)y,x('fdx)y,x('fdf yx

    IV.2 Utilisation de la diffrentielle.

    Lorsquun rsultat R est obtenu aprs un calcul utilisant des mesures mi , on doit dterminer lincertitude sur le rsultat en fonction des incertitudes sur les diffrentes mesures. Selon les cas, il sera plus facile de dterminer lincertitude absolue R ou lincertitude relative R / R .

    Quand les oprations en jeu sont des sommes ou des diffrences, on utilise les incertitudes absolues. Dans le cas o R scrit comme une fonction de plusieurs variables, on utilisera la diffrentielle pour exprimer la variation sur R partir des variations mi.

  • 24

    Notations : Soit G une grandeur physique.

    Gm est la valeur mesure de G. Ge est la valeur exacte de G (mais forcment inconnue).

    Lerreur absolue que lon fait sur une mesure est note :

    G = Gm Ge (G est alors inconnue).

    Lincertitude sur G, que lon note G et que lon prend positive, est la limite suprieure de lerreur (le pire des cas). Contrairement G, G peut tre estime.

    Cas gnral Supposons que la grandeur physique G soit relies dautres grandeurs physiques x, y, z...

    par une relation mathmatique connue : G = f (x, y, z).

    Ce sont les valeurs de x, y et z que lon mesure exprimentalement et dont on connat les incertitudes de mesure x, y, z La valeur de G est obtenue par le calcul (relation mathmatique) et lobjectif est de connatre lincertitude G qui se rpercute sur G du fait des incertitudes x, y, z...

    Les diffrentes tapes du calcul de G sont les suivantes : G = f(x, y, z)

    1re tape : Diffrencier

    dG = fx dx + fy dy + fz dz +

    avec fx = xf (drive partielle de f par rapport la variable x)

    On suppose que lerreur de mesure est suffisamment petite pour que G dG et donc :

    G = fx x + fy y + fz z +

    2me tape : Chercher le maximum de G

    G, la limite suprieure de lerreur prise positive est dfinie par :

    G = G max

    = (fx x)max + (fy y)max + (fz z)max +

    = fx . x max + fy . y max + fz .z max +

    = fx . x + fy . y + fz . z +

    Exemple dapplication : 1

    ),,(

    x

    zxyzyxG

    1re tape : diffrencier :

    1x

    dz dy x dx 1x

    z y dG 2

    2me tape : majorer G = 1x

    zyxx1x

    zy 2

  • 25

    Cas particulier : drive logarithmique et incertitudes relatives Dans le cas o la grandeur G apparat sous forme de produits ou quotients des autres

    grandeurs, on simplifie beaucoup les calculs en diffrentiant le logarithmique de G.

    Soit une fonction G(x, y,z) = xa yb zc , alors zzc

    yyb

    xxa

    GG

    Ex 1 : 2yzxG =x1 y-1 z-2 Alors on dfinit F telle que : zyxGF ln2lnlnln

    dzzFdy

    yFdx

    xF)G(lnddF

    dzz2dy

    y1dx

    x1 dG

    G1 dF

    zdzc

    ydyb

    xdxa

    zdz

    ydy

    xdx

    GdG

    2

    En crivant de nouveau : G = G max

    On obtient : zzc

    yyb

    xxa

    zz

    yy

    xx

    GG

    2

    Cette technique de calcul est connaitre par cur , on lapplique chaque fois que cest possible (plus rapide que la mthode gnrale).

    Ex 2 : I = RD/a2 , on a : I/I = R/R + D/D + 2 a/a

    IV.3 Estimation rapide des incertitudes.

    Dans certains cas seulement, on peut avoir une ide (gnralement par excs) de lincertitude en calculant Rmax ou Rmin par les valeurs des mi + mi ou mi - mi .

    Ex : V = 220 3 volts, I = 4.5 0.1 A ; on trouve R = V / I = 48.889 . Que vaut R ?

    Par les diffrentielles logarithmiques:

    IVR donc ln R = ln V ln I ;

    d'o : I

    dIV

    dVR

    dR et :

    II

    VV

    RR

    AN : 036.05.41.0

    2203

    RR

    et R = 1.753 = 2 : on crit R = 49 2

    Estimation :

    4,4223

    IVR

    min

    maxmax et 6,4

    217IVR

    max

    minmin

    Soit: R max = 50.68 et R min = 47.17 cest dire R = 49 2

  • 26

    TTRRAACCEE EETT EEXXPPLLOOIITTAATTIIOONN DDEESS GGRRAAPPHHEESS

    I. TRACES DE GRAPHES

    On rappelle quun graphe doit tre clair, lisible par tous et comprhensible, en principe, mme sorti de son contexte.

    Les axes sont gradus de faon rgulire*. Ils comportent une lgende et obligatoirement lunit. (ex : Pression (Pa), Volume (m3))

    Lchelle est choisie pour illustrer le mieux possible les rsultas attendus (passage par zro ou pas, faibles variations autour dune valeur fixe, etc).

    Le titre dfinit lexprience plutt que rpter les intituls des axes. (ex : Vrification de la loi des gaz parfaits temprature constante et non Pression dun gaz en fonction de son volume , ni P ( Pa) =f(V)( m3) ).

    Les points exprimentaux sont ports proprement, avec la barre derreur si possible ; le trac est fait selon une ligne rgulire, sans faire du point point surtout sils sont disperss (mise en vidence de points abberants).

    Les graphes illustrent un phnomne mieux quun tableau de mesures et permettent de vrifier rapidement (visuellement) si une loi physique simple relie les grandeurs mesures.

    Les logiciels de simulation sont capables de rechercher ladquation entre une srie de valeurs et une loi non linaire. Nanmoins, il est pratique et donc frquent, de faire des changements de variables lorsque ceux-ci permettent de ramener la reprsentation graphique une droite. On appliquera ensuite les techniques de rgression linaire pour dterminer les paramtres rgissant le phnomne tudi.

    Ex : temprature constante T, le volume et la pression dun gaz sont lis par P = (nRT) .1/V , la variation de P en fonction de V est une hyperbole. Si on calcule x= 1/V, le trac P=f(x) doit tre linaire et la pente vaut (nRT).

    *Une graduation non linaire peut remplacer un changement de variable. En particulier, on utilise frquemment les chelles logarithmiques (sur les 2 axes) ou semi-logarithmiques (sur un seul axe).

    Ex : PV=nRT donne log(P) = log(nRT)+log(V) ; T constante, log P = log V + cste ; variation linaire en log-log

    : Courant I de dcharge dun condensateur C dans une rsistance R en fonctions du temps t : I=Io e (-t/RC) donne ln (I) =( -1/RC) . t + ln(Io) ; le trac de ln(I) en fonction de t ou le trac de I (axe logarithmique) en fonction de t(axe linaire) donne une droite ; le calcul de la pente permet de dterminer la constante RC.

    V (cm3) 1/V P (hPa)

    13 0,077 5100

    20 0,05 3400

    30 0,033 2305

    40 0,025 1775

    50 0,02 1420

    55 0,018 1300 10001500200025003000350040004500500055006000

    10 20 30 40 50 60

    Pres

    sion

    (hPa

    )

    Volume (cm3)

    Vrification de la loi de Gaz parfaits: Pression en fonction du volume, temprature constante

    0

    1000

    2000

    3000

    4000

    5000

    6000

    0,000 0,010 0,020 0,030 0,040 0,050 0,060 0,070 0,080

    Pression (hPa)

    Inverse du volume (cm-3)

    Verification de la loi des gaz parfaits : Pression en fonction de l'inverse du volume Temperature cste

    1000

    10000

    10 100

    Pres

    sion

    (hPa

    )

    Volume (cm3)

    Vrification de la loi des Gaz parfaits: Pression en fonction du volume temprature constante

  • 27

    II. REGRESSION LINEAIRE

    De nombreuses quantits physiques sont relies par des conditions du type y=ax+b. Par des expriences, on arrive connaitre des couples (xi,yi), et on cherche dterminer a et b. En gnral, en raison des erreurs de mesure, les points (xi,yi) ne sont pas aligns, mais sont "presque" sur une mme droite. Il faut alors choisir a et b de sorte que la droite soit la meilleure possible.

    Pour cela, il faut choisir une mesure de l'cart entre une droite y=ax+b et le nuage de points exprimentaux (xi,yi). On choisit en gnral le carr de la diffrence entre le point thorique et le point exprimental, c'est- -dire (yi-(axi+b))2. L'cart total est donc :

    Effectuer une rgression linaire, c'est trouver la droite qui minimise l'cart prcdent, c'est- -dire la somme des carrs des diffrences : on parle de droite des moindres carrs.

    Un minimum d'une fonction de plusieurs variables ne peut se produire qu'en un point o les drives partielles s'annulent, cest dire:

    On a un systme linaire d'ordre 2 en a et b rsoudre, et on trouve :

    Ces formules sont en gnral directement implmentes dans les calculatrices ou les tableurs.

    Ex : La tension U aux bornes d'une batterie de force lectromotrice E et de rsistance interne R est U = E- RI. On a procd diffrentes mesures :

    Intensit mesure (A) : 0 0,1 0,4 1

    Tension mesure (V) : 12 11 7 1

    La rgression linaire donne y = a x + b avec a =- 11.7 et b = +11.9 , soit E=11,9 Volts et R=11,07 Ohms.

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    III . METHODE DES MOINDRES CARRES

    2.1 Principe

    Bien sr, toutes les quantits physiques ne sont pas linaires. On peut parfois s'y ramener si l'volution est exponentielle (comme dans l'tude d'une population) en prenant le logarithme, ou si l'volution est logarithmique (comme pour une tude de pH) en prenant l'exponentielle. Mais ce n'est pas toujours le cas...

    Lorsque la dpendance entre y et x est rgie par une fonction f, o f dpend de certains paramtres, la mthode des moindres carrs consiste trouver les paramtres pour minimiser

    o les (xi,yi) sont les points exprimentaux. On ralise ensuite le mme type d'tude que pour le cas linaire.

    2.2 Ajustement par moindres carrs sous Excel

    Cas dune relation linaire : y = a x + b

    Une fois les valeurs entres sous forme de tableau, slectionner la zone des cellules contenant les donnes ;

    Utiliser Insertion graphes , puis, sur le graphique obtenu, slectionner les points de donnes ; utiliser (clic droit) Insrer une courbe de tendance , linaire et Afficher lquation de la courbe

    On obtient le rsultat ci-contre

    ! Excel calcule vite et bien mais ne rflchit pas votre place : vous devez comprendre les valeurs qui sont donnes dans lquation de la courbe de tendance, rflchir aux units, la prcision (cart entre les points de mesure et la droite de tendance), etc.

    On peut galement obtenir les valeurs de a et b sans faire tracer la droite :

    Si: - Les valeurs x sont dans les cellules A1 A8

    - Les valeurs y sont dans les cellules B1 B8

    >> a se calcule avec la formule =DROITEREG(B1:B8;A1:A8)

    >> b se calcule avec la formule =MOYENNE(B1:B8)- DROITEREG(B1:B8;A1:A8)*MOYENNE(A1:A8)

    NOTE : lutilisation dExcel ou tout autre logiciel pour tracer les graphes ne dispense pas dcrire les lgendes des axes, les units et le titre du graphique.