Electronique de Communication

Institut Superieur des Etudes Technologiques de Rades

Departement de Genie Electrique

Electronique de Communication

Support de courset exercices corriges

3eme niveau Genie ElectriqueOption Electronique

Dr J.Y. HaggegeIngenieur ENIT

Agrege de Genie Electrique

Technologue a l’ISET de Rades

2004

ii

ISET Rades cours d’electronique de communication HAGGEGE, 2003

Table des matieres

1 Les signaux 11.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Representation mathematique d’un signal . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Classification des signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Les signaux periodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3.2 Signaux sinusoıdaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4 Spectre d’un signal periodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4.1 Developpement en serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4.2 Repesentation spectrale d’un signal periodique . . . . . . . . . . . . 41.4.3 Exemple de calcul du spectre d’un signal periodique . . . . . . . . . 5

1.5 Generalisation de la notion de spectre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5.1 Spectre d’un signal non periodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5.2 Exemple de calcul du spectre d’un signal non periodique . . . . . . 71.5.3 Calcul de la puissance d’un signal a partir de son spectre . . . . . . 81.5.4 Spectre des signaux utilises en telecommunications . . . . . . . . . 8

1.6 Filtrage des signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6.2 Exemples de filtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 La modulation d’amplitude 112.1 But d’une modulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 La modulation AM Double Bande Sans Porteuse . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.2 Cas d’un signal modulant sinusoıdal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.3 Cas d’un signal modulant quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Generation du signal AM DBSP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.1 Utilisation de circuit integres specialises . . . . . . . . . . . . . . . 162.3.2 Modulateur en anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Demodulation des signaux AM DBSP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4.2 Representation spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4.3 Probleme de la demodulation du signal AM DBSP . . . . . . . . . 20

2.5 La modulation AM Double Bande Avec Porteuse . . . . . . . . . . . . . . 21

HAGGEGE, 2003 cours d’electronique de communication ISET Rades

iv Table des matieres

2.5.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5.2 Representation temporelle du signal AM DBAP . . . . . . . . . . . 212.5.3 Representation spectrale du signal AM DBAP . . . . . . . . . . . . 222.5.4 Puissance d’un signal AM DBAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.6 Generation du signal AM DBAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.6.1 Methode directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.6.2 Utilisation d’une non linearite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.6.3 Amplificateur a gain variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.7 Demodulation des signaux AM DBAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.7.1 Demodulation coherente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.7.2 Demodulation AM par detection d’enveloppe . . . . . . . . . . . . . 28

2.8 La modulation AM a Bande Laterale Unique . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.8.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.8.2 Caracteristiques du signal BLU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.8.3 Generation du signal BLU par filtrage passe-bande . . . . . . . . . 312.8.4 Generation du signal BLU par la methode du dephasage . . . . . . 332.8.5 Demodulation du signal BLU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.9 La modulation AM a Bande Laterale Residuelle . . . . . . . . . . . . . . . 342.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.10.1 Modulateur AM a non linearite cubique . . . . . . . . . . . . . . . 352.10.2 Modulation d’amplitude en quadrature (QAM) . . . . . . . . . . . 362.10.3 Demodulation quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.10.4 Codage et decodage stereophonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.10.5 Cryptage par inversion de spectre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.10.6 Puissance d’un signal AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3 La modulation de frequence 433.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2 Caracteristiques de la modulation de frequence . . . . . . . . . . . . . . . . 443.3 Analyse spectrale du signal FM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3.1 Developpement en serie de Fourier d’un signal FM . . . . . . . . . . 453.3.2 Les fonctions de Bessel de premiere espece . . . . . . . . . . . . . . 453.3.3 Representation spectrale du signal FM . . . . . . . . . . . . . . . . 483.3.4 Occupation spectrale utile du signal FM . . . . . . . . . . . . . . . 493.3.5 Generalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.4 Generation du signal FM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.4.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.4.2 Methode par variation de parametres . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.4.3 Modulateur d’Armstrong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.5 Demodulation des signaux FM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.5.1 Discriminateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.5.2 Boucle a verrouillage de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.6 Les recepteurs a changement de frequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.7 La modulation de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60


Table des matieres v

3.7.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.7.2 Occupation spectrale du signal PM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.8.1 Mesure de la sensibilite d’un modulateur de frequence . . . . . . . . 613.8.2 Modulateur FM a diode varicap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.8.3 Demodulateur FM quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.8.4 Synthese d’une PLL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Bibliographie 71


vi Table des matieres


Chapitre 1

Les signaux

1.1 Definitions

1.1.1 Signal

Un signal est le support physique d’une information. Exemples :– signaux sonores : fluctuations de la pression de l’air transportant un message a notre

oreille ;– signaux visuels : ondes de lumiere apportant une information a notre œil.En telecommunications, on appelle signal tout phenomene electromagnetique, genera-lement de faible niveau, qui constitue le support d’une information. Exemple : tensionmodulee en frequence ou en amplitude.

1.1.2 Representation mathematique d’un signal

Un signal est represente par une fonction d’une ou plusieurs variables. Generalement, uneseule variable est utilisee : le temps car l’information transportee par un signal est lavariation d’une grandeur au cours du temps.

Notation des signaux : x(t), y(t), s(t), ...

Exemples de signaux :– x(t) = A (signal constant)– y(t) = at + b– s(t) = s0e

αt

Ces fonctions constituent une idealisation mathematique des signaux reels.

1.2 Classification des signaux

Les signaux peuvent etre classes en deux categories :

– signaux deterministes :

- analogiques : amplitude et temps continus, images exactes des informations a trans-mettre ;


2 Chapitre 1. Les signaux

- numeriques : amplitude et temps discrets, obtenus par passage de l’informationpar un convertisseur analogique/numerique ou signaux naturellement numeriquesprovenant d’un calculateur.

– signaux aleatoires : etudies en utilisant la theorie des probabilites et des processusaleatoires. Ils permettent de mieux representer les signaux reels.

Consequence : il y a deux types de transmission des signaux : transmission analogique ettransmission numerique.

1.3 Les signaux periodiques

1.3.1 Definitions

Un signal x(t) est periodique s’il existe une duree T telle que x(t + T ) = x(t).

Exemples :

t

t

x(t) y(t)

TT

AA

signal carré signal en dents de scie

Un signal periodique x(t) est caracterise par :– son amplitude A ;– sa periode T (en secondes) ou sa frequence f = 1

T(en Hertz) ;

– sa puissance moyenne P =1

T

T∫0

x(t)2dt ;

– sa valeur moyenne (composante continue) : Xm =1

T

T∫0

x(t)dt.

1.3.2 Signaux sinusoıdaux

Les signaux sinusoıdaux (ou harmoniques) sont des signaux periodiques tres importants.Ce sont les signaux de la forme :

x(t) = A0 sin(2πf0t + ϕ0)

avec :– A0 : amplitude ;– f0 : frequence ;– ϕ0 : phase a l’origine (ou dephasage ou phase) ;– 2πf0t + ϕ0 : phase instantannee.


1.4. Spectre d’un signal periodique 3

Puissance d’un signal sinusoıdal : P = A2

2.

Representation temporelle d’un signal sinusoıdal :

T0

ϕ0

A

t

Autre representation d’un signal sinusoıdal : c’est la representation spectrale :

A

ϕ

f

f

0A

0ϕ

0f

0f

spectre d'amplitude

spectre de phase

amplitude

phase

fréquence

1.4 Spectre d’un signal periodique

1.4.1 Developpement en serie de Fourier

Soit x(t) un signal periodique quelconque (non sinusoıdal) de periode T (ou de frequencef = 1

T). On montre que x(t) peut s’ecrire sous la forme d’un developpement en serie de

Fourier, c’est-a-dire une somme de signaux sinusoıdaux de frequences multiples entiers def :

x(t) =a0

2+

∞∑n=1

an cos 2πnft + bn sin 2πnft

avec :

a0

2=

1

T

T∫0

x(t)dt



et ∀n ≥ 1,

an =2

T

T∫0

x(t) cos 2πnft dt

bn =2

T

T∫0

x(t) sin 2πnft dt

Le signal sinusoıdal de frequence f est appele fondamental et les signaux sinusoıdaux defrequences nf , n ≥ 2 sont appeles harmoniques.Si x(t) est impair (c’est-a-dire x(−t) = −x(t)), alors ∀n > 0, an = 0, et si x(t) est pair(c’est-a-dire x(−t) = x(t)) alors ∀n > 1, bn = 0.

1.4.2 Repesentation spectrale d’un signal periodique

Le developpement en serie de Fourier d’un signal periodique x(t) peut egalement s’ecriresous la forme :

x(t) =a0

2+

∞∑n=1

Ax(n) cos(2πnft + ϕx(n))

avec :Ax(n) =

√a2

n + b2n

et :

ϕx(n) = −arctanbn

an

Ax(n) et ϕx(n) representent respectivement le spectre d’amplitude et le spectre de phasede x(t). Ce sont des spectres de raies ou spectres discrets : un signal periodique ne possedede composantes spectrales que pour des frequences multiples entiers du fondamental.Representation graphique :

fréquence

fréquence

spectre d'amplitude

spectre de phase

A (n)x

ϕ (n)x

A (1)x

A (5)xA (4)xA (3)x

A (2)x

ϕ (5)xϕ (4)

x

ϕ (3)x

ϕ (2)x

ϕ (1)x

f 2f 3f 4f 5f

f 2f 3f 4f 5f

En pratique, le spectre d’un signal est visualise au moyen d’un analyseur de spectre.


1.4. Spectre d’un signal periodique 5

1.4.3 Exemple de calcul du spectre d’un signal periodique

On considere un signal carre bipolaire :

t

x(t)

TA

-A

TT2

x(t) est impair ⇒⎧⎪⎨⎪⎩

a0

2= 0

∀n ≥ 1, an = 0

bn =2

T

T2∫

0

A sin2πnt

Tdt +

2

T

T∫T2

−A sin2πnt

Tdt

= 2TA T

2πn

[− cos 2πnt

T

]T2

0− 2

TA T

2πn

[− cos 2πnt

T

]TT2

= − Aπn

[(−1)n − 1] + Aπn

[1 − (−1)n]

= 2Aπn

[1 − (−1)n]

=

0 si n = 2p4Aπn

si n = 2p + 1

Finalement, le developpement en serie de Fourier de x(t) est :

x(t) =4A

π

∞∑p=0

1

2p + 1sin

2π(2p + 1)t

T

Representation graphique :



f 3f 5f 7f

4Aπ

4A3π4A5π4A7π4A9π

9f

A (n)x

fréquence

1.5 Generalisation de la notion de spectre

1.5.1 Spectre d’un signal non periodique

Soit x(t) un signal quelconque, en particulier non periodique. On montre dans ce cas quele spectre de x(t) est une fonction continue de la frequence, c’est-a-dire que x(t) possededes composantes spectrales a toutes les frequences. Le signal x(t) peut alors s’ecrire sousla forme :

x(t) =∫ +∞

0Ax(f) cos(2πft + ϕx(f) df

avec : Ax(f) = 2 |X(f)| : spectre d′amplitudeϕx(f) = arg X(f) : spectre de phase

ou X(f) est la transformee de Fourier de x(t) definie par :

X(f) =∫ +∞

−∞x(t)e−j2πft dt

Contrairement aux signaux periodiques, les signaux non periodiques possedent donc unspectre continu :

A (f)x

f

spectre d'amplitudeϕ (f)x

f

spectre de phase


1.5. Generalisation de la notion de spectre 7

1.5.2 Exemple de calcul du spectre d’un signal non periodique

Soit une impulsion x(t) de duree τ et d’amplitude A :

x(t)

t

A

τ

X(f) =∫ +∞

−∞x(t)dt =

∫ τ

0Ae−j2πft dt = − A

j2πf

[e−j2πft

]τ0

= − A

j2πf

[e−j2πfτ − 1

]

=A

j2πf

[1 − e−j2πfτ

]=

A

j2πfe−jπfτ

[ejπfτ − e−jπfτ

]=

A

πfe−jπfτ sin πfτ = Aτ

sin πfτ

πfτe−jπfτ

Ainsi :

Ax(f) = 2 |X(f)| = 2Aτ

∣∣∣∣∣sin πfτ

πfτ

∣∣∣∣∣et :

ϕx(f) = arg X(f) = −πfτ


τ1

τ2

τ3

τ4

−π

−4π−3π−2π

2Ατ

ϕ (f)x

A (f)x

f

f0



1.5.3 Calcul de la puissance d’un signal a partir de son spectre

La puissance d’un signal est egale a la somme des puissances des composantes de sonspectre d’amplitude.

Dans le cas d’un signal x(t) periodique dont le developpement en serie de Fourier s’ecrit :

x(t) =a0

2+

∞∑n=1

Ax(n) cos(2πnft + ϕx(n))

la puissance moyenne est :

P =1

T

∫ T

0x(t)2dt︸︷︷︸

domaine temporel

=a2

0

4+

∞∑n=1

Ax(n)2

2︸︷︷︸domaine spectral

(egalite de Parseval)

Dans le cas d’un signal non periodique s’ecrivant sous la forme :

x(t) =∫ +∞

0Ax(f) cos(2πft + ϕx(f) df

son energie est :

E =∫ +∞

−∞x(t)2dt︸︷︷︸

domaine temporel

=1

2

∫ +∞

0Ax(f)2 df︸︷︷︸

domaine spectral

1.5.4 Spectre des signaux utilises en telecommunications

Les signaux transmis par un systeme de telecommunications sont des signaux a bandeetroite. Ces signaux possedent un spectre nul en dehors d’un intervalle de largeur B,appelee largeur de bande ou occupation spectrale du signal.

Cet intervalle est generalement centre autour d’une frequence f0 appelee frequence centraledu signal. S’il est de la forme [0, B], alors le signal est appele signal en bande de base.

B

A (f)x signal en bande de base

0 f

B

f0

A (f)x signal à bande étroite

f

La connaissance du spectre d’un signal permet de dimensionner les canaux de transmis-sion.


1.6. Filtrage des signaux 9

1.6 Filtrage des signaux

1.6.1 Principe

L’operation de filtrage d’un signal consiste a modifier le spectre de ce signal de maniere aaffaiblir certaines parties du spectre et/ou a en amplifier d’autres.Dans le domaine spectral, le filtrage se traduit par la multiplication du spectre d’amplitudedu signal par une fonction de la frequence et de l’addition d’une autre fonction de lafrequence au spectre de phase du signal.Soit un filtre de fonction de transfert H(f) (H(f) est une fonction complexe de f).

H(f)e(t) s(t)

Si on injecte a l’entree de ce filtre un signal e(t) dont le spectre d’amplitude est Ae(f)et le spectre de phase est ϕe(f), alors les spectres d’amplitude et de phase du signal desortie s(t) sont respectivement :

As(f) = |H(f)| · Ae(f)

etϕs(f) = ϕe(f) + arg H(f)

1.6.2 Exemples de filtres

Filtre passe-bas :symbole

1

0,71

H(f)

fc fréquence

de coupure

f

fonction de transfert

Filtre passe-bande :symbole

1

0,71

H(f)

fc1

f

fonction de transfert

fc2

bande

passante

f0

fréquence centrale




Chapitre 2

La modulation d’amplitude

2.1 But d’une modulation

Soit le montage suivant :

A

Générateur

sinusoïdal

de fréquence

f = constante

I

tige métallique de

longueur variable

l

tran

sfo

rmat

eur

En faisant varier la longueur l de la tige metallique, on constate que pour une longueurl0, le courant debite par le generateur devient tres superieur au courant consomme par leprimaire du transformateur a vide : tout se passe comme si le secondaire du transformateuretait connecte a une charge.

l0

l

I

courant en charge

du transformateur

courant à vide

du transformateur

Il y a donc un echange d’energie entre le generateur et le milieu ambiant. Cet echange se


12 Chapitre 2. La modulation d’amplitude

fait sous forme de rayonnement electromagnetique. La tige metallique joue le role d’uneantenne emettrice.On constate egalement que la longueur l0 pour laquelle le rayonnement est maximal estliee a la frequence f du generateur par la relation :

l0 =λ

2

avec : λ =c

f= longueur d’onde du signal produit par le generateur, c etant la vitesse de

la lumiere.Exemple de calcul : si on veut transmettre un signal audio dont le spectre se situe autourde 10 kHz, la longueur de l’antenne doit etre :

l =c

2f=

3 · 108

2 × 10 · 103= 15 000 m

L’antenne doit avoir une longueur tres grande : difficile en pratique. Pour diminuer lalongueur de l’antenne, on doit augmenter la frequence du signal a transmettre : on effectueun decalage spectral vers les hautes frequences du signal : c’est la modulation.Exemple : si l’emission se fait a la frequence f = 10 MHz, la longueur de l’antenne devient :

l =c

2f=

3 · 108

2 × 10 · 106= 15 m

C’est une antenne realisable pratiquement.A la reception, le signal HF doit etre ramene vers les basses frequences : decalage spectralvers les basses frequences du signal : c’est la demodulation.Ainsi, les signaux basse frequence (signaux audio) ne peuvent pas etre directement trans-mis en bande de base car ils necessitent de trop grandes antennes. Le but d’une modulationest donc de decaler le signal a emettre vers les hautes frequences afin d’avoir des antennesemettrices de dimensions raisonnables.La frequence a laquelle se fait l’emission en HF est appelee frequence porteuse car elletransporte l’information BF. Le signal transmis en HF est appele signal module.On en deduit le schema synoptique d’une chaıne de transmission :

source

d'informationmodulateur

canal de

transmissiondémodulateur destinataire

message

m(t)

signal émis

s(t)

signal reçu

r(t)

signal démodulé

m(t)^

BF HF HF BF

signal en

bande de base

signal à

bande étroite

signal en

bande de base

signal à

bande étroite

La methode la plus simple de transposition spectrale est la modulation d’amplitude (oumodulation lineaire), notee AM (Amplitude Modulation). C’est la methode utilisee pourles premieres transmissions radio, dans les annees 1920.Il y a quatre types de modulations d’amplitude :


2.2. La modulation AM Double Bande Sans Porteuse 13

– AM Double Bande Sans Porteuse (DBSP) : utilisee pour le multiplexage frequentiel etle cryptage analogique ;

– AM Double Bande Avec Porteuse (DBAP) : utilisee en radiodiffusion ;– AM Bande Laterale Unique (BLU) : utilisee pour le multiplexage frequentiel, la telephonie,

les radiocommunications militaires et marines ;– AM Bande Laterale Residuelle (BLR) : utilisee pour l’emission des signaux de television.

2.2 La modulation AM Double Bande Sans Porteuse

2.2.1 Principe

Soit un signal sinusoıdal haute frequence p(t) = cos 2πf0t, appele porteuse. Le messagem(t) a transmettre est appele signal modulant.Le signal AM module en amplitude Double Bande Sans Porteuse (DBSP) s’ecrit :

s(t) = p(t) · m(t)

2.2.2 Cas d’un signal modulant sinusoıdal

On considere un signal modulant sinusoıdal m(t) = A cos 2πfmt avec fm f0. Le signalAM s’ecrit alors :

s(t) = cos 2πf0t · A cos 2πfmt

Representation temporelle :p(t)

1

-1

t

m(t)

A

-A

t

s(t)

A

-A

t



Representation spectrale : pour determiner le spectre de s(t), il faut decomposer s(t) enune somme de signaux sinusoıdaux. On a :

s(t) = cos 2πf0t · A cos 2πfmt =A

2cos 2π(f0 + fm)t +

A

2cos 2π(f0 − fm)t

Le spectre d’amplitude du signal module s(t) est donc constitue de deux raies symetriquessituees aux frequences f0 − fm et f0 + fm. De plus, il n’y a pas de composante spectrale ala frequence f0 de la porteuse. L’allure du spectre d’amplitude du signal module justifiel’appellation Double Bande Sans Porteuse.

fm

mA (f)

A

f

signal modulant

0f0 f + f mf - f 0 m

A (f)s

A2

A2

f

signal modulé

Le signal module est un signal a bande etroite, centre autour de la frequence f0 de laporteuse. Le but de la modulation est atteint : le signal BF est transforme en un signalHF.

2.2.3 Cas d’un signal modulant quelconque

Representation temporelle :m(t)

t

s(t)

t


2.3. Generation du signal AM DBSP 15

Representation spectrale :

mA (f)

f

signal modulant

f0 0f + Bmf - B0 m

A (f)s

f

signal modulé

A

Bm

B = 2 Bs m

bande latérale

inférieure (BLI)

bande latérale

supérieure (BLS)

A2

Le spectre d’amplitude du signal AM DBSP avec un signal modulant quelconque estconstitue de deux bandes symetriques, centrees autour de f0 : la bande laterale inferieure(BLI) et la bande laterale superieure (BLS).

L’occupation spectrale du signal AM DBSP est :

Bs = 2 × Bm

La transmission d’un signal en modulation AM DBSP necessite donc une largeur de bandedouble de celle du signal modulant.

2.3 Generation du signal AM DBSP

Pour produire un signal AM DBSP, il faut effectuer le produit du signal modulant parla porteuse. Le systeme qui effectue cette operation est appele multiplieur analogique oumodulateur ou encore melangeur.

m(t) s(t)

p(t)

multiplieur analogique

(ou modulateur, ou mélangeur)

Il existe differentes realisations possibles du modulateur.



2.3.1 Utilisation de circuit integres specialises

On utilise des circuits integres specifiques bases sur le principe de l’amplificateur differentiel :

circuit constructeur frequence maximaleAD 633 Analog Device 1 MHzMC 1496 Motorola 1 MHzMC 1596 Motorola 1 MHzMC 1495 Motorola 10 MHzMC 1595 Motorola 10 MHzSO42P Siemens 200 MHz

Exemple de mise en œuvre :

signal modulant

porteuse

réglage d'offset

+ 15 V

sortie signal AM

- 15 V

8,2 kΩ 8,2 kΩ

3 kΩ

3,3 kΩ

3,3 kΩ

1,8 kΩ

10 µF

10 µF

1

2

3

45 6

7

8

9

10 11

12

13

14

MC 1595

2.3.2 Modulateur en anneau

Le produit m(t) cos 2πf0t peut etre obtenu en multipliant le signal modulant m(t) par unsignal carre bipolaire c(t) de frequence f0 et en effectuant un filtrage passe-bande centresur f0.


2.3. Generation du signal AM DBSP 17

t

t

t

m(t)

c(t)

u(t) = m(t) c(t)

+U

-U

1/f0

Spectre du signal u(t) = c(t) · m(t) :

c(t) =4U

π

∞∑n=0

1

2n + 1cos 2π(2n + 1)f0t

u(t) = c(t) · m(t) =4U

π

∞∑n=0

1

2n + 1m(t) cos 2π(2n + 1)f0t

=4U

πm(t) cos 2πf0t +

4U

π

1

3m(t) cos 2π(3f0)t +

4U

π

1

5m(t) cos 2π(5f0)t + · · ·

Apres filtrage passe-bande autour de f0, on obtient un signal AM DBSP :

s(t) =4U

πm(t) cos 2πf0t



f

f

f

A

4Uπ

A2

4U5π

A2

4U3π

A2

Bm

f0 3f0 5f0

4Uπ

A2

f0

A (f)m

A (f)u

A (f)s

1

filtrage

passe-bande

signal AM DBSP

La multiplication du signal modulant m(t) par le signal carre bipolaire c(t) revient amultiplier alternativement m(t) par +1 ou par −1. La realisation pratique du modulateuren anneau est basee sur le fait que cette multiplication est une commutation de signe, cequi se traduit par une inversion periodique du sens d’un courant ou d’une tension. Pourrealiser cette operation, on utilise le montage suivant, appele modulateur en anneau :

c(t)

nn

nn

n

nm(t) u(t) s(t)

f0

D1

D'1

2D'

2D

Le signal c(t) commande l’ouverture des diodes disposees en anneau (d’ou le nom demodulateur en anneau) et assure ainsi la multiplication par ±1 : si c(t) = +U , les diodesD1 et D′

1 conduisent et les diodes D2 et D′2 sont bloquees et u(t) = m(t) ; si c(t) = −U ,


2.4. Demodulation des signaux AM DBSP 19

les diodes D2 et D′2 conduisent et les diodes D1 et D′

1 sont bloquees et u(t) = −m(t).

LL

LL

L

Lm(t)

D1

1D'

m(t)U

LL

LL

L

Lm(t)

2D'

2D

-m(t)U

c(t) = +U et m(t) > 0 c(t) = -U et m(t) > 0

LL

LL

L

Lm(t)

D1

1D'

m(t)U

LL

LL

L

Lm(t)

2D'

2D

-m(t)

U

c(t) = +U et m(t) < 0 c(t) = -U et m(t) < 0

2.4 Demodulation des signaux AM DBSP

2.4.1 Principe

m(t)^ v(t)s(t) = m(t) cos 2πf0t

cos 2πf0t : porteuse locale

passe bas

v(t) = s(t) cos 2πf0t = m(t) cos2 2πf0t

= m(t) · 1

2(1 + cos 4πf0t) =

1

2m(t) +

1

2m(t) cos 4πf0t

Apres filtrage passe bas de v(t), on obtient le signal demodule :

m(t) =1

2m(t)



2.4.2 Representation spectrale

mA (f)

f

f0 0f + Bmf - B0 m

A (f)s

f

A

Bm

A2

f0 0f + Bmf - B0 m

A (f)v

f

A4

A2

f

Bm

mA (f)^

A2

filtrage

passe bas

signal modulant

signal modulé

signal démodulé

2.4.3 Probleme de la demodulation du signal AM DBSP

Si la porteuse locale est affectee d’un dephasage ϕ, on a :

v(t) = s(t) cos(2πf0t + ϕ) = m(t) cos 2πf0t · cos(2πf0t + ϕ)

=1

2m(t) cos ϕ +

1

2m(t) cos(4πf0t + ϕ)

Apres filtrage passe bas :

m(t) =1

2m(t) cos ϕ

On constate qu’il y a attenuation du signal demodule, d’ou la necessite que la porteuse lo-cale soit en phase avec la porteuse recue : demodulation coherente ou synchrone. Solution :transmission separee d’une porteuse de reference appelee frequence pilote.La modulation AM DBSP n’est pas utilisee pour la radiodiffusion mais pour des techniquesde multiplexage frequentiel : transmission de plusieurs signaux sur un meme support,chaque signal etant transmis sur une porteuse differente.


2.5. La modulation AM Double Bande Avec Porteuse 21

2.5 La modulation AM Double Bande Avec Porteuse

2.5.1 Principe

Soit p(t) = A cos 2πf0t la porteuse et m(t) le message a transmettre. Le signal AM DBAPs’ecrit :

s(t) = (A + m(t)) cos 2πf0t

Dans le cas d’un signal modulant sinusoıdal m(t) = Am cos 2πfmt, le signal AM DBAPdevient :

s(t) = (A + Am cos 2πfmt) cos 2πf0t

= A(1 + Am

Acos 2πfmt) cos 2πf0t

= A(1 + k cos 2πfmt) cos 2πf0t

avec k = Am

A: indice de modulation (ou taux de modulation) = rapport entre l’amplitude

du signal modulant et celle de la porteuse.

Pour un signal modulant quelconque, l’indice de modulation est defini par :

k =|m(t)|max

A

2.5.2 Representation temporelle du signal AM DBAP

t

-Am

m(t)

Am

t

2,5 A

-2,5 A

0,5 A

-0,5 A

A

A

s(t) k > 1

(k = 1,5)

t

1,5 A

-1,5 A

0,5 A

-0,5 A

A

A

s(t)k < 1

(k = 0,5)smax

smin

t

2 A

2 A

A

A

s(t)k = 1 enveloppe

du signal

signal modulant

Si k ≤ 1, l’enveloppe du signal module s(t) possede exactement la forme du signal modu-lant. Si k > 1, l’enveloppe du signal module ne correspond plus au signal modulant : lasignal AM est surmodule. En pratique, on doit toujours avoir k ≤ 1.



Determination de l’indice de modulation k a partir de la representation temporelle dusignal AM DBAP :

smax = A(1 + k)smin = A(1 − k)

⇒ k =smax − smin

smax + smin

Autre methode de determination pratique de l’indice de modulation d’un signal AMDBAP : methode du trapeze. On trace le signal module s(t) en fonction du signal modu-lant m(t) :

smax = A (1+k)

-smax = -A (1+k)

smin = A (1-k)

-smin = -A (1-k)

s(t)

m(t)

s max

-

s min

s max

+

sm

in

M

N

P

k < 1 s(t)

m(t)

M

N

P

k > 1

k =smax − smin

smax + smin

⇒ k =MN

MP

2.5.3 Representation spectrale du signal AM DBAP

s(t) = A(1 + k cos 2πfmt) cos 2πf0t

= A cos 2πf0t + kA cos 2πfmt cos 2πf0t

= A cos 2πf0t + kA2

cos 2π(f0 − fm)t + kA2

cos 2π(f0 + fm)t

Le spectre du signal AM DBAP possede donc une raie d’amplitude A a la frequence f0

de la porteuse et deux raies laterales d’amplitude kA2

aux frequences f0 − fm et f0 + fm.

f

As(f)

A

kA

2

kA

2

f0 - fm f0 + fmf0


2.5. La modulation AM Double Bande Avec Porteuse 23

Cas d’un signal modulant quelconque :

f

As(f)

A

f0 - Bm f0 + Bmf0

bande

latérale

supérieure

bande

latérale

inférieure

Occupation spectrale du signal AM DBAP :

Bs = 2Bm

2.5.4 Puissance d’un signal AM DBAP

On a les relations suivantes :

⎧⎪⎨⎪⎩

Ps = Pporteuse + PBLI + PBLS

PBLI = PBLS

d’ou :

Ps = Pporteuse + 2 × PBL

Dans le cas d’un signal modulant sinusoıdal :

Ps =A2

2+ 2 × (kA

2)2

2=

A2

2+

k2A2

4=

(1 +

k2

2

)A2

2

Ainsi :

Ps =

(1 +

k2

2

)Pporteuse

En general, le signal AM transmis ne doit pas etre surmodule : k ≤ 1. Pour k = 1 (valeurmaximale), on a donc :

Ps =3

2Pporteuse ⇒ Pporteuse =

2

3Ps

Donc seul un tiers (au maximum) de la puissance du signal AM contient l’informationutile. C’est un inconvenient de la modulation AM DBAP : gaspillage de puissance.



2.6 Generation du signal AM DBAP

2.6.1 Methode directe

ΣA

m(t)

s(t)

cos 2πf0t

Cette methode est tres peu utilisee.

2.6.2 Utilisation d’une non linearite

Σm(t) s(t)

p(t) = A cos 2πf0t

NLy(t)

f0

x(t)

Exemple : on considere la non linearite definie par :

y = F (x) = a0 + a1x + a2x2

Le signal y(t) s’ecrit alors :

y(t) = F (m(t) + p(t))

= a0 + a1[m(t) + p(t)] + a2[m(t)2 + p(t)2 + 2m(t)p(t)]

= a0︸︷︷︸0

+ a1m(t)︸︷︷︸Bm

+ a1p(t)︸︷︷︸f0

+ a2m(t)2︸︷︷︸2Bm

+ a2p(t)2︸︷︷︸2f0

+ 2a2m(t)p(t)︸︷︷︸f0

Apres filtrage passe bande du signal y(t) autour de la frequence f0, on obtient :

s(t) = a1p(t) + 2a2m(t)p(t)

= [a1 + 2a2m(t)] p(t)

C’est bien un signal AM DBAP :

f

Ay(f)

f0 2f0

a0a1m(t)

a2m(t)2

a1p(t)

a2p(t)2

2a2(m(t)p(t)

filtrage

passe bande

autour de f0

Bm 2Bm


2.6. Generation du signal AM DBAP 25

Application pratique :

R

LC

+Vcc

HF

porteuse

BF

signal

modulant

Cl

LA

RbiHF

iBF

ib

s(t)ic

VCE

impédance Z

Dans ce circuit, le condensateur de liaison Cl (impedance faible aux hautes frequences,elevee aux basses frequences) et l’inductance d’arret LA (impedance elevee aux hautesfrequences, faible aux basses frequences, appelee egalement self de choc) permettent l’ai-guillage des courants HF et BF vers la base du transistor sans que les deux sources(porteuse et signal modulant) ne se perturbent mutuellement. On a ainsi :

ib = iHF + iBF

Le point de fonctionnement du transistor est choisi dans la zone non lineaire de sa ca-racteristique IC − VCE :

IC

VCEIB

IC = β IBVcc

R

Vcc

variation de

ib = iHF + iBF

variation de

VCE = f(iHF + iBF)

coude de saturation

= non linéarité

point de

fonctionnement

Ainsi, la tension VCE est bien une fonction non lineaire de ib = iHF + iBF , pouvant etrerepresentee sous la forme :

VCE = a0 + a1ib + a2i2b + · · ·



Le filtrage autour de la frequence f0 de la porteuse est effectue par le circuit RLC setrouvant dans le circuit de collecteur du transistor. En effet, l’impedance du circuit RLCest :

Z(f) =1

1R

+ j(2πfC − 1

2πfL

)et sa frequence de resonnance est :

fr =1

2π√

LC

Celle-ci est choisie telle que fr = f0.

fr = f0f

Z(f)

R

En dehors de la resonnance (f f0 ou f f0), Z ≈ 0 et VCE = Vcc = constante. A laresonnance, Z = R et on a alors le signal AM DBAP sur le collecteur du transistor. Ona donc bien un filtrage de la porteuse et des bandes laterales.

2.6.3 Amplificateur a gain variable

Ampli

HF

p(t) = A cos 2πf0t

(porteuse)

m(t)

(signal modulant)

commande

de gain

s(t)

A la frequence f0 de la porteuse, l’amplificateur HF a un gain G(f0) = G0ejϕ0 . Pour

une entree p(t) = A cos 2πf0t, on a s(t) = AG0 cos(2πf0t + ϕ0). Le gain G0 depend despolarisations du montage, on peut donc faire varier G0 en fonction de m(t) en agissantsur ces polarisations. Ainsi, le gain devient :

G = G0 + αm(t)

Le signal modulant m(t) varie lentement par rapport a la porteuse d’ou :

s(t) = A[G0 + αm(t)] cos(2πf0t + ϕ0) = AG0

[1 +

α

G0

m(t)]cos(2πf0t + ϕ0)

C’est bien un signal AM DBAP.


2.7. Demodulation des signaux AM DBAP 27

Exemple de realisation d’un emetteur AM 27 MHz :

+12 V

+12 V

27 MHz

2N2218

12 kΩ

6,8 kΩ 47 Ω220 Ω

47 nF

10 nF5-65

pF

100 pF

10 nFBD158

2N3053

10 nF

7-100

pF

7-100

pF

L1*

L2*

L3*

antenne

* L1 : 10 spires, fil diamètre 1 mm, noyau ferrite diamètre 9 mm

L2 : 15 spires, fil diamètre 1 mm, noyau ferrite diamètre 9 mm

L3 : 12 spires, fil diamètre 0,4 mm, noyau VK200

entrée

modulation

2.7 Demodulation des signaux AM DBAP

2.7.1 Demodulation coherente

m(t)^ v(t)s(t)

cos 2πf0t

(porteuse locale)

passe bas suppression

de la composante

continue



Pour un signal m(t) tel que |m(t)|max = 1, on a :

v(t) = s(t) cos 2πf0t

= A(1 + k · m(t)) cos2 2πf0t

= A2(1 + k · m(t))(1 + cos 4πf0t)

= A2

+ k·A2

m(t) + A2

cos 4πf0t + k·A2

m(t) cos 4πf0t

Apres filtrage passe-bas et suppression de la composante continue :

m(t) =k · A

2m(t)

La demodulation coherente presente le probleme de la synchonisation de la porteuse localeavec la porteuse a l’emission. Une methode de demodulation plus efficace est la detectiond’enveloppe.

2.7.2 Demodulation AM par detection d’enveloppe

Principe : mesure de l’enveloppe du signal pour recuperer le signal modulant m(t) :

t

s(t)

enveloppe = m(t)

Detecteur d’enveloppe :

R C R'

C'

s(t) m(t)^

redresseur cellule RCsuppression

de la composante

continue


2.7. Demodulation des signaux AM DBAP 29

Fonctionnement : le signal AM est redresse par la diode afin de garder seulement l’alter-nance positive. Le signal AM ne doit pas etre surmodule pour que l’enveloppe du signalredresse soit proportionelle au signal modulant :

t

signal AM

redressé

Pendant l’alternance positive du signal AM ou la diode conduit, le condensateur C secharge. Lorsque la diode se bloque pendant l’alternance negative, le condensateur sedecharge a travers la resistance R avec une constante de temps τ = RC. Si cette constantede temps est suffisamment grande, la tension aux bornes du condensateur reproduit ap-proximativement la forme de l’enveloppe du signal AM.

t

tension aux bornesdu condensateur

Apres elimination de la composante continue, on obtient le signal demodule :

t

m(t)^



Si τ est de l’ordre de la periode Tm = 1fm

du signal modulant, le condensateur se dechargetrop lentement → le signal demodule ne peut pas suivre les variations du signal modulant :

t

Tm

Si τ est de l’ordre de la periode T0 = 1f0

de la porteuse, le condensateur se decharge troprapidement → le signal demodule presente une forte ondulation haute frequence :

t

T0

Pour une demodulation correcte, on doit donc avoir :

T0 τ Tm

c’est-a-dire :

fm 1

RC f0

L’avantage de la modulation AM DBAP est la simplicite de la realisation du demodulateur.La modulation AM DBAP est tres utilisee pour la radiodiffusion.

2.8 La modulation AM a Bande Laterale Unique

2.8.1 Principe

En modulation AM double bande, avec ou sans porteuse, le spectre du signal modulepresente deux bandes laterales symetriques autour de la frequence de la porteuse. Cesdeux bandes laterales se deduisent l’une de l’autre, donc elles contiennent chacune lameme information. Leur occupation spectrale vaut le double de celle du signal en bande


2.8. La modulation AM a Bande Laterale Unique 31

de base. Il y a donc un gaspillage de la puissance de l’emetteur et de la bande passantedu canal de transmission.

Principe de la modulation AM a bande laterale unique (BLU) : supprimer l’une des deuxbandes laterales du signal transmis pour une meilleure exploitation de la puissance et dela bande passante.

La modulation BLU (ou SSB : Single Side Band) est principalement utilisee en ra-diotelephonie militaire et marine.

2.8.2 Caracteristiques du signal BLU

f

Am(f)

Bm

f0 + Bmf0

bande latérale

supérieure

bande latérale

inférieure

As(f)

f0 - Bm f0

ff

As(f)

ou

signal modulant

signal BLU signal BLU

Occupation spectrale du signal BLU :

Bs = Bm

2.8.3 Generation du signal BLU par filtrage passe-bande

s(t)m(t)

cos 2πf0t

passe bande

f0 + Bm

2

f0 - Bm

2(BLI)

(BLS)

ou



f0 + Bm

filtrage de la

bande latérale

supérieure

f0

f

As(f)

Probleme pose par cette methode : realisation d’un filtre passe-bande avec une coupurenette en f0 (pente infinie) → le spectre du signal modulant ne doit pas contenir defrequences tres basses pour pouvoir utiliser un filtre passe-bande realisable.

En pratique, on supprime les frequences du signal modulant comprises dans un intervalle[0 ∆f ] a l’aide d’un filtre passe bande avant d’effectuer la modulation (∆f = 300 Hz pourla telephonie) :

f

Am(f)

Bm f0 + Bm

filtrage

passe-bande

réalisable

f0

f

As(f)

signal modulant signal BLU

f0 + ∆ff0 - ∆f

∆f 2∆f

Pour augmenter encore ∆f afin de pouvoir utiliser un filtre passe-bande avec une faiblepente, on peut realiser une double modulation BLU :

f

Am(f)

Bm f1

f

signal modulant

f1 + ∆f

∆f f1 + ∆ffiltrage

passe-bande

à faible pente

f2

f

As(f)

signal BLU

2(f1 + ∆f)première

modulation

BLU

deuxième

modulation

BLU

s(t)m(t)

cos 2πf1t cos 2πf2t


2.8. La modulation AM a Bande Laterale Unique 33

2.8.4 Generation du signal BLU par la methode du dephasage

s(t)

m(t) cos 2πf0t

sin 2πf0t

Σfiltre

déphaseur

m1(t)

+

+ (BLS)− (BLI)

π

2−

Le filtre dephaseur (ou filtre de Hilbert) presente un gain egal a 1 et introduit un dephasagede −π

2dans la bande de frequences [0 Bm] (Bm : occupation spectrale du signal modulant) :

f

f

H(f)

H(f)

1

π

2−

Bm

Bm

Pour un signal modulant m(t) = Am cos 2πfmt, on a :

s(t) = m(t) cos 2πf0t ± m1(t) sin 2πf0t

= Am cos 2πfmt cos 2πf0t ± Am sin 2πfmt sin 2πf0t

= Am

2cos 2π(f0 + fm)t + Am

2cos 2π(f0 − fm)t

±Am

2[cos 2π(f0 + fm)t − cos 2π(f0 − fm)t]

=

∣∣∣∣∣∣∣Am cos 2π(f0 + fm)t (+ : BLS)

Am cos 2π(f0 − fm)t (− : BLI)

La realisation pratique du filtre dephaseur reste cependant delicate.



2.8.5 Demodulation du signal BLU

La demodulation d’un signal BLU se fait par demodulation coherente :

m(t)^ v(t)s(t)

cos 2πf0t : porteuse locale

passe bas

Pour un signal BLU s(t) = Am cos 2π(f0 + fm)t, on a :

v(t) = s(t) cos 2πf0t

= Am cos 2π(f0 + fm)t cos 2πf0t

= Am

2cos 2πfmt + Am

2cos 2π(2f0 + fm)t

Apres filtrage passe-bas, on obtient le signal demodule :

m(t) =Am

2cos 2πfmt =

1

2m(t)

2.9 La modulation AM a Bande Laterale Residuelle

La modulation AM a Bande Laterale Residuelle (BLR ou VSB : Vestigial Side Band) estutilisee lorsque les signaux a transmettre presentent des composantes spectrales impor-tantes aux tres basses frequences qui ne peuvent donc pas etre eliminees comme dans lecas de la modulation BLU. Exemple caracteristique : les signaux video. La modulationBLR est une technique intermediaire entre les modulations double bande et BLU.Principe :

f ff

Am(f) As(f)

f0Bm f0 + Bmf0 - Bm

f0 − αBm f0 + Bm

filtragesymétrie

locale

modulation

double bande

sans porteuse

signal modulant signal BLR

L’occupation spectrale du signal BLR est :

Bs = (1 + α)Bm avec 0 < α < 1 (α = 0, 15 en general)

On montre que la demodulation d’un signal BLR peut se faire par detection d’enveloppe.


2.10. Exercices 35

2.10 Exercices

2.10.1 Modulateur AM a non linearite cubique

Le schema bloc suivant represente un modulateur d’amplitude ou p(t) = A cos 2πf0trepresente la porteuse et m(t) = b · x(t) le signal modulant avec |x(t)| ≤ 1. Le circuit nonlineaire est caracterise par l’equation vs = a · v3

e ou vs designe sa sortie et ve son entree.

: 2

NLΣ Σ+

+ +

+m(t)

p(t)

ve(t) vs(t) s(t)

e(t)filtre

passe bande

diviseur

de fréquence

1. Donner l’expression des signaux ve(t) et vs(t).

2. Quelle est la condition sur le filtre passe bande pour obtenir un signal AM DBAPen sortie ? Donner alors l’expression de s(t).

3. Determiner l’indice de modulation k du signal AM si A = 1, a = 2 et b = 0,2.Donner la representation temporelle puis spectrale de s(t).

Correction :

1. On a :ve(t) = m(t) + e(t)

= bx(t) + A cos ω0t2

avec ω0 = 2πf0

et :

vs(t) = ave(t)3 = a

(bx(t) + A cos ω0t

2

)3= ab3x(t)3 + 3abx(t)A2 cos2 ω0t

2+ 3ab2x(t)2A cos ω0t

2+ aA3 cos3 ω0t

2

= ab3x(t)3 + 3abx(t)A2(

12

+ 12cos ω0t

)+ 3ab2x(t)2A cos ω0t

2

+aA3(

34cos ω0t

2+ 1

4cos 3ω0t

2

)

2. Le signal vs(t) possede des composantes spectrales aux frequences f0,f0

2et 3f0

2. La

composante a la frequence f0 correspond au produit de x(t) par la porteuse. Il fautdonc garder seulement ce terme pour obtenir la modulation souhaitee : le filtre passebande doit ainsi posseder une frequence centrale fc = f0. A la sortie du filtre passebande, il ne reste plus que le terme 3

2abA2x(t) cos ω0t. Le signal s(t) s’ecrit alors :

s(t) = A cos 2πf0t +3

2abA2x(t) cos 2πf0t = A

(1 +

3abA

2x(t)

)cos 2πf0t

C’est bien un signal AM DBAP dont l’indice de modulation est k = 3abA2

puisqu’ona |x(t)| ≤ 1.



3. Pour A = 1, a = 2 et b = 0,2, on a :

k =3abA

2=

3 × 2 × 0,2 × 1

2= 0,6

Representation temporelle (cas d’un signal modulant sinusoıdal) :

0 5 10 15-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

2

1.5

amplitude

temps

Representation spectrale :

f0 fréquence

amplitude

f0 − fm f0 + fm

0,3

1

2.10.2 Modulation d’amplitude en quadrature (QAM)

On veut transmettre deux messages m1(t) et m2(t) dont l’occupation spectrale est res-pectivement Bm1 et Bm2 sur une meme porteuse de frequence f0. Pour cela, on utilise lesysteme de modulation suivant :

m1(t)

m2(t)

cos 2πf0t

sin 2πf0t

s(t)

+

+

Σπ/2


2.10. Exercices 37

1. Ecrire l’expression temporelle du signal s(t) a transmettre (signal QAM).

2. Representer le spectre de s(t) en fonction de celui de m1(t) et m2(t) dans le cas oum1(t) et m2(t) sont des signaux sinusoıdaux de frequences respectives fm1 et fm2 .

3. Donner l’occupation spectrale de s(t) et conclure.

4. Proposer un demodulateur qui permet d’extraire les signaux m1(t) et m2(t) du signals(t).

Correction :

1. D’apres le schema synoptique du modulateur, on a :

s(t) = m1(t) cos 2πf0t + m2(t) sin 2πf0t

Le signal s(t) est la somme des signaux AM DBSP m1(t) cos 2πf0t et m2(t) sin 2πf0t.

2. Le spectre du signal QAM s(t) est la somme des spectres des deux signaux AMDBSP :

fm1fm2

Am1 Am2

f0 − fm1 f0 f0 + fm1f0 − fm2 f0 + fm2

f

ff

f

f

f0

f0

Am1

2 Am2

2

signaux modulants

signaux modulés en amplitude DBSP

signal s(t) transmis

f0 − fm1 f0 + fm1f0 − fm2

f0 + fm2

Bm1 = 2 fm1 Bm2

= 2 fm2

Bs = 2 max(Bm1,Bm2

)

Am1

2Am2

2

3. D’apres le spectre de s(t), on a :

Bs = 2 × max(Bm1 , Bm2)

Le signal QAM contient deux signaux modulants et donc deux informations differen-tes. L’occupation spectrale de ce signal est egale a celle d’un signal AM DBSP qui necontient qu’un seul signal. Donc la modulation QAM permet de transmettre deuxfois plus d’information que la modulation AM DBSP en utilisant la meme bandepassante.



4. On peut utiliser le demodulateur suivant :

cos 2πf0t

sin 2πf0t

s(t)

π/2

m1(t)^

m2(t)^

v1(t)

v2(t)

En effet, on a :

v1(t) = s(t) cos 2πf0t = m1(t) cos2 2πf0t + m2(t) sin 2πf0t cos 2πf0t

=1

2m1(t)(1 + cos 4πf0t) +

1

2m2(t) sin 4πf0t

=1

2m1(t) +

1

2m1(t) cos 4πf0t︸︷︷︸

2f0

+1

2m2(t) sin 4πf0t︸︷︷︸

2f0

Le filtre passe bas permet d’eliminer les composantes a la frequence 2f0 et on adonc :

m1(t) =1

2m1(t)

De meme :

v2(t) = s(t) sin 2πf0t = m1(t) cos 2πf0t sin 2πf0t + m2(t) sin2 2πf0t

=1

2m1(t) sin 4πf0t +

1

2m2(t)(1 − cos 4πf0t)

=1

2m1(t) sin 4πf0t︸︷︷︸

2f0

+1

2m2(t) − 1

2m2(t) cos 4πf0t)︸︷︷︸

2f0

Le filtre passe bas permet d’eliminer les composantes a la frequence 2f0 et on adonc :

m2(t) =1

2m2(t)

2.10.3 Demodulation quadratique

On considere un signal s(t) module en amplitude DBAP. Determiner a quelle conditionle dispositif suivant permet de demoduler s(t) :

m(t)s(t)(.)2

QuadrateurFiltre

passe-bas

Suppression

de la composante

continue


2.10. Exercices 39

Correction :Pour un signal modulant m(t) tel que |m(t)| ≤ 1, on a :

s(t) = A ((1 + k m(t)) cos 2πf0t

et donc :s(t)2 = A2 ((1 + k m(t))2 cos2 2πf0t

=A2

2

(1 + 2k m(t) + k2 m(t)2

)(1 + cos 4πf0t)

=A2

2

(1 + cos 4πf0t + 2k m(t) + 2k m(t) cos 4πf0t + k2 m(t)2 + k2 m(t)2 cos 4πf0t

)Apres filtrage passe bas et elimination de la composante continue, on obtient :

m(t) = kA2m(t) +k2A2

2m(t)2

Pour que le signal demodule m(t) soit proportionnel au signal modulant m(t), il faut quele terme k2A2

2m(t)2 soit faible devant le terme kA2m(t) :

∣∣∣∣∣k2A2

2m(t)2

∣∣∣∣∣∣∣∣kA2m(t)

∣∣∣⇒ |km(t)| 2

Comme on a |m(t)| ≤ 1, la condition s’ecrit :

|k| 2

2.10.4 Codage et decodage stereophonique

Le signal composite stereophonique c(t) possede le spectre suivant :

0 15 kHz 19 kHz 23 kHz 38 kHz 53 kHz

Gauche + Droite

Gauche − Droite

Sous-porteuse

Ac(f)

f

Il contient les voies droite d(t) et gauche g(t) par multiplexage frequentiel. La somme g(t)+d(t) est transmise en bande de base, la difference g(t)− d(t) est transmise en modulationDBSP a la frequence f0 = 38 kHz. On ajoute en plus une sous-porteuse (frequence pilote)a 19 kHz pour faciliter la synchronisation du demodulateur a la reception.

1. Justifier le choix du signal composite utilise.

2. Donner l’expression du signal composite c(t).



3. Proposer un schema de decodeur stereophonique permettant d’obtenir separementles signaux g(t) et d(t). On utilisera une demodulation coherente et des filtres.

Correction :

1. Le signal composite utilise permet de transmettre un signal stereophonique, c’est-a-dire contenant un signal « gauche » g(t) et un signal « droite » d(t) , sans affecter lareception monophonique. En effet, un recepteur monophonique doit etre capable derecevoir correctement une emission stereophonique. Pour cela, on ne transmet pasdirectement les signaux g(t) et d(t) mais plutot le signal g(t) + d(t) qui constitue lesignal monophonique et le signal g(t)−d(t) module sur une sous-porteuse de 38 kHzsituee au-dela du spectre des frequences audibles. Un recepteur monophonique recoitdonc seulement le signal g(t) + d(t) tandis qu’un recepteur stereophonique recoit enplus le signal g(t) − d(t). Le recepteur stereophonique peut ainsi reconstituer lessignaux g(t) et d(t) a partir du signal composite recu.

2. D’apres le spectre du signal composite, on a :

c(t) = g(t) + d(t) + (g(t) − d(t)) cos 2πf0t + cos 2πf0

2t

avec f0 = 38 kHz.

3. Schema d’un decodeur stereophonique :

x 2

+/−

c(t)

g(t) + d(t)

g(t) − d(t)

g(t)

d(t)

0 - 15 kHz

23 -53 kHz

19 kHz

multiplicateur

de fréquence

38 kHz

0 - 15 kHz

2.10.5 Cryptage par inversion de spectre

On veut crypter un message m(t), une emission de television par exemple, dont l’occu-pation spectrale est Bm. Proposer le schema de principe d’un systeme qui effectue uneinversion de spectre :

Am(f)

f

A'm(f)

f

cryptage


2.10. Exercices 41

Correction :Pour realiser le cryptage par inversion de spectre, on peut effectuer une modulation abande laterale unique en conservant la bande laterale inferieure qui est symetrique parrapport a la bande laterale superieure puis demoduler ce signal :

Am(f)

f

A'm(f)

f

modulation

BLU

fBm f0 − Bm f0

démodulationBande

Latérale

Inférieure

signal en "clair" signal crypté

2.10.6 Puissance d’un signal AM

Sachant qu’un signal AM double bande avec porteuse est emis avec une puissance de1000 W, completer le tableau suivant :

Indice de modulation Pporteuse (W) PBLI (W) PBLS (W)1

734,6956,9 21,9

87,2

Correction :

Premiere ligne du tableau :

Ps =(1 + k2

2

)Pporteuse ⇒ Pporteuse = Ps(

1+ k2

2

) = 10001,5

= 666,7 W

Ps = Pporteuse + 2PBL ⇒ PBLI = PBLS = Ps−Pporteuse

2= 1000−666,7

2= 166,7 W

Deuxieme ligne :

Ps =(1 + k2

2

)Pporteuse ⇒ k =

√2(

Ps

Pporteuse− 1)

=

√2 ×

(1000734,6

− 1)

= 0,85

Ps = Pporteuse + 2PBL ⇒ PBLI = PBLS = Ps−Pporteuse

2= 1000−734,6

2= 132,7 W

Troisieme ligne :

Ps =(1 + k2

2

)Pporteuse

Ps = Pporteuse + 2PBL

⇒(1 + k2

2

)Pporteuse = Pporteuse + 2PBL ⇒ k2

2Pporteuse = 2PBL

⇒ PBL

Pporteuse= k2

4⇒ k = 2

√PBL

Pporteuse= 2 ×

√21,9956,9

= 0,3

PBLS = PBLI = 21,9 W



Quatrieme ligne :

Pporteuse = Ps(1+ k2

2

)Pporteuse = Ps − 2PBL

⎫⎪⎬⎪⎭⇒ Ps(

1 + k2

2

) = Ps − 2PBL ⇒ k =

√√√√ 4PBL

Ps

1 − 2PBL

Ps

=

√√√√ 4 × 87,21000

1 − 2 × 87,21000

= 0,65

Pporteuse =Ps(

1 + k2

2

) =1000(

1 + 0,652

2

) = 825,6 W

PBLS = PBLI = 87,2 W

On a ainsi :

Indice de modulation Pporteuse (W) PBLI (W) PBLS (W)1 666,7 166,7 166,7

0,85 734,6 132,7 132,70,3 956,9 21,9 21,90,65 825,6 87,2 87,2


Chapitre 3

La modulation de frequence

3.1 Definitions

Soit un signal s(t) = A cos(2πf0t + ϕ(t)). On definit :

- la phase instantanee :

Θi(t) = 2πf0t + ϕ(t)

- la frequence instantanee :

Fi(t) =1

2π

dΘi(t)

dt= f0 +

1

2π

dϕ(t)

dt

La modulation de frequence (FM : Frequency Modulation) est la transformation du mes-sage m(t) a transmettre en variations de la frequence instantanee du signal s(t) qui esttransmis sur le canal de transmission. La transformation est lineaire :

Fi(t) = f0 + kf · m(t)

On en deduit l’expression du signal module en frequence :

Θi(t) = 2π∫ t

0Fi(u)du = 2πf0t + 2πkf

∫ t

0m(u)du

d’ou :

s(t) = A cos(2πf0t + 2πkf

∫ t

0m(u)du

)


44 Chapitre 3. La modulation de frequence

Representation temporelle :

t

t

m(t)

s(t)

signal modulant

signal FM

3.2 Caracteristiques de la modulation de frequence

La FM possede une tres bonne resistance au bruit (perturbations) : elle est utilisee pourla radiodiffusion haute fidelite et les transmissions par satellites.

C’est une modulation a enveloppe constante, d’ou :

- puissance constante : PFM = A2

2, independante du signal modulant m(t), ce qui

facilite le dimensionnement et la realisation des emetteurs ;

- resistance aux non linearites :

NLs(t)

signal FM

u(t)

u = a0 + a1s + a2s2 + a3s

3 + · · ·

s(t) = A cos(2πf0t + ϕ(t))

u(t) = m + n cos(2πf0t + ϕ(t)) + p cos(4πf0t + 2ϕ(t)) + q cos(6πf0t + 3ϕ(t)) + · · ·Un filtrage passe bande permet de recuperer le signal FM : n cos(2πf0t + ϕ(t)).On peut ainsi utiliser, pour l’amplification des signaux FM, des amplificateurs depuissance fonctionnant pres de la saturation (zone fortement non lineaire), doncavec un tres bon rendement : amplificateurs a T.O.P (tubes a ondes progressives)pour les transmissions satellites et les faisceaux hertziens.


3.3. Analyse spectrale du signal FM 45

3.3 Analyse spectrale du signal FM

3.3.1 Developpement en serie de Fourier d’un signal FM

Soit un signal FM :

s(t) = A cos(2πf0t + 2πkf

∫ t

0m(u)du

)On ne sait pas calculer le spectre de s(t) pour un signal modulant m(t) quelconque. Oneffectue le calcul dans le cas d’un signal modulant sinusoıdal :

m(t) = Am cos 2πfmt

Dans ce cas, la frequence instantanee du signal FM est :

Fi(t) = f0 + kfm(t) = f0 + kfAm cos 2πfmt

Fi(t) varie de maniere sinusoıdale dans un intervalle [f0 − ∆f, f0 + ∆f ] avec :

∆f = kfAm

∆f est appele excursion maximale en frequence. C’est une grandeur proportionnelle al’amplitude du signal modulant.On en deduit la phase instantanee du signal FM :

Θi(t) = 2π∫ t

0Fi(u)du = 2πf0t +

kfAm

fm

sin 2πfmt

On definit l’indice de modulation du signal FM :

β =∆f

fm

=kfAm

fm

Le signal FM s’ecrit donc :

s(t) = A cos (2πf0t + β sin 2πfmt)

C’est un signal periodique. On montre que son developpement en serie de Fourier s’ecrit :

s(t) = A+∞∑

n=−∞Jn(β) cos 2π(f0 + nfm)t

ou Jn(β) est la fonction de Bessel de premiere espece d’ordre n.

3.3.2 Les fonctions de Bessel de premiere espece

La fonction de Bessel de premiere espece d’ordre n est definie par :

Jn(x)def=

1

2π

π∫−π

exp(jx sin θ − jnθ)dθ



Elle peut etre developpee en serie par :

Jn(x) =+∞∑m=0

(−1)m(x2)n+2m

m! (n + m)!

Elle possede les proprietes suivantes :

Jn(x) = (−1)nJ−n(x)

Jn(x) = (−1)nJn(−x)

Jn−1(x) + Jn+1(x) =2n

xJn(x)

Pour x 1, Jn(x) ≈ xn

2n n!

Pour x 1, Jn(x) ≈√

2

πxcos(x − π

4− nπ

2

)+∞∑

n=−∞J2

n(x) =+∞∑

n=−∞

+∞∑m=−∞

Jn(x)Jm(x) = 1


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-0. 5

0

0.5

1

J1(β)

J0(β)

J2(β)J3(β)

J4(β)

β



Table des fonctions Jn(β) pour differentes valeurs de l’indice β :

n\β 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 1.000000 0.99002 0.9604 0.912 0.84629 0.7652

1 0 0.099501 0.19603 0.2867 0.36884 0.44005

2 0 0.0049834 0.019735 0.043665 0.075818 0.1149

3 0 0.00016625 0.0013201 0.0043997 0.010247 0.019563

4 0 4.1583e-006 6.6135e-005 0.00033147 0.001033 0.0024766

5 0 8.3195e-008 2.6489e-006 1.9948e-005 8.3084e-005 0.00024976

6 0 1.3869e-009 8.8382e-008 9.9956e-007 5.5601e-006 2.0938e-005

7 0 1.9816e-011 2.527e-009 4.2907e-008 3.1864e-007 1.5023e-006

8 0 2.4774e-013 6.321e-011 1.611e-009 1.5967e-008 9.4223e-008

9 0 2.753e-015 1.4053e-012 5.3755e-011 7.1092e-010 5.2493e-009

10 0 2.7532e-017 2.8116e-014 1.614e-012 2.8478e-011 2.6306e-010

11 0 2.5031e-019 5.1136e-016 4.4047e-014 1.0368e-012 1.198e-011

12 0 2.0861e-021 8.5248e-018 1.1018e-015 3.4597e-014 4.9997e-013

13 0 1.6048e-023 1.3118e-019 2.5439e-017 1.0655e-015 1.9256e-014

14 0 1.1463e-025 1.8744e-021 5.4536e-019 3.0465e-017 6.8854e-016

15 0 7.6424e-028 2.4996e-023 1.0911e-020 8.1294e-019 2.2975e-017

16 0 4.7767e-030 3.1249e-025 2.0465e-022 2.0335e-020 7.1864e-019

n\β 2 3 4 5 6 7

0 0.22389 -0.26005 -0.39715 -0.1776 0.0.15065 0.30008

1 0.57672 0.33906 -0.066043 -0.32758 -0.27668 -0.0046828

2 0.35283 0.48609 0.36413 0.046565 -0.24287 -0.30142

3 0.12894 0.30906 0.43017 0.36483 0.11477 -0.16756

4 0.033996 0.13203 0.28113 0.39123 0.35764 0.1578

5 0.0070396 0.043028 0.13209 0.26114 0.36209 0.3479

6 0.0012024 0.011394 0.049088 0.13105 0.24584 0.3392

7 0.00017494 0.0025473 0.015176 0.053376 0.12959 0.23358

8 2.218e-005 0.00049344 0.0040287 0.018405 0.056532 0.12797

9 2.4923e-006 8.4395e-005 0.0009386 0.0055203 0.021165 0.058921

10 2.5154e-007 1.2928e-005 0.00019504 0.0014678 0.006964 0.023539

11 2.3043e-008 1.794e-006 3.6601e-005 0.00035093 0.0020479 0.0083348

12 1.9327e-009 2.2757e-007 6.2645e-006 7.6278e-005 0.00054515 0.0026556

13 1.4949e-010 2.6591e-008 9.8586e-007 1.5208e-005 0.00013267 0.00077022

14 1.0729e-011 2.8802e-009 1.4362e-007 2.8013e-006 2.9756e-005 0.0002052

15 7.183e-013 2.9076e-010 1.9479e-008 4.7967e-007 6.1917e-006 5.059e-005

16 4.506e-014 2.7488e-011 2.4717e-009 7.675e-008 1.2019e-006 1.1612e-005

n\β 8 9 10 11 12 13

0 0.17165 -0.090334 -0.24594 -0.17119 0.047689 0.20693

1 0.23464 0.24531 0.043473 -0.17679 -0.22345 -0.070318

2 -0.11299 0.14485 0.25463 0.13905 -0.08493 -0.21774

3 -0.29113 -0.18094 0.058379 0.22735 0.19514 0.0033198

4 -0.10536 -0.26547 -0.2196 -0.01504 0.1825 0.21928

5 0.18577 -0.055039 -0.23406 -0.23829 -0.073471 0.13162

6 0.33758 0.20432 -0.014459 -0.20158 -0.24372 -0.11803

7 0.32059 0.32746 0.21671 0.018376 -0.17025 -0.24057

8 0.22345 0.30507 0.31785 0.22497 0.045095 -0.14105

9 0.12632 0.21488 0.29186 0.30886 0.23038 0.066976

10 0.060767 0.12469 0.20749 0.28043 0.30048 0.23378

11 0.025597 0.062217 0.12312 0.20101 0.27041 0.29269

12 0.0096238 0.027393 0.06337 0.1216 0.19528 0.26154

13 0.0032748 0.01083 0.028972 0.064295 0.12015 0.19015

14 0.0010193 0.0038946 0.011957 0.030369 0.06504 0.11876

15 0.0002926 0.0012864 0.004508 0.013009 0.031613 0.065644

16 7.8006e-005 0.0003933 0.0015668 0.00511 0.013991 0.032725



3.3.3 Representation spectrale du signal FM

D’apres les proprietes des fonctions de Bessel :

- le spectre du signal FM module par un signal sinusoıdal de frequence fm est constitued’une infinite de raies distantes de fm, situees aux frequences f0±nfm, d’amplitudeA · Jn(β) ;

- les raies symetriques aux frequences f0 +nfm et f0−nfm ont meme amplitude maissont en opposition de phase pour n impair car Jn(β) = (−1)nJn(−β) ;

- le nombre de raies est infini, mais Jn(β) → 0 quand n → ∞ donc le signal FM peutetre considere comme un signal a largeur de bande limitee ;

- lorsque l’indice de modulation est faible, c’est-a-dire β 1, on a :

J0(β) ≈ 1, J1(β) ≈ β

2et Jn(β) ≈ 0 pour n > 1

donc le spectre est constitue d’une raie a la frequence f0 de la porteuse et de deuxraies laterales aux frequences f0 − fm et f0 + fm : il ressemble a un signal AMdouble bande avec porteuse sauf que les raies laterales sont en opposition de phasecar J−1(β) = −J1(β). Un tel signal est appele signal FM a bande etroite (NBFM :Narrow Band FM ).

f

f

f

f

β = 0,2

β = 5

β = 3

β = 1

f0 f0 + fmf0 − fm

f0 f0 + fmf0 − fm f0 + 2fmf0 − 2fm

f0f0 + fmf0 − fm

f0 + 2fmf0 − 2fm

f0 + 3fmf0 − 3fm

f0 − 4fm f0 + 4fm

f0 + 5fmf0 − 5fm

f0f0 + fmf0 − fm

f0 + 2fmf0 − 2fm

f0 + 3fmf0 − 3fm

f0 − 4fm f0 + 4fm

f0 + 5fmf0 − 5fm

f0 + 6fm

f0 + 7fm

f0 + 8fmf0 − 6fm

f0 − 7fmf0 − 8fm

0.99

0.10.1

0.76

0.44

0.11

0.44

0.11

0.260.34

0.49

0.31

0.130.04

0.340.49

0.31

0.130.04 0.010.01

f0 + 6fmf0 − 6fm

0.18

0.33

0.05

0.360.39

0.26

0.13

0.050.02

0.33

0.05

0.360.39

0.26

0.13

0.050.02



3.3.4 Occupation spectrale utile du signal FM

Le signal FM possede theoriquement une occupation spectrale infinie (nombre de raiesinfini), il necessite donc un canal de transmission possedant une bande passante infinie :irrealisable en pratique.La transmission du signal FM se fait donc en remarquant que, pour une valeur donnee del’indice de modulation β, l’amplitude des raies spectrales devient de plus en plus faiblelorsqu’on s’eloigne de la frequence de la porteuse. On peut donc negliger les raies dont lerang est superieur a une certaine valeur qui reste a determiner en fonction de β.Soit N(β) le nombre de raies significatives de part et d’autre de la porteuse. L’occupationspectrale utile du signal FM est donc :

Bs = 2N(β)fm

Il existe differents criteres de determination de N(β), par exemple la regle de Carson :pour mesurer N(β), on ne garde que les raies dont la somme des puissances constitue aumoins 98 % de la puissance totale du signal FM.En utilisant le developpement en serie de Fourier du signal FM, la puissance de celui-cis’ecrit :

PFM =+∞∑

n=−∞

[A · Jn(β)]2

2=

A2

2

+∞∑n=−∞

Jn(β)2 =A2

2(car

+∞∑n=−∞

Jn(β)2 = 1)

Le nombre N(β) de raies significatives selon la regle de Carson est donc defini parl’inegalite :

A2

2

+N(β)∑n=−N(β)

Jn(β)2

︸︷︷︸puissance des raies significatives

≥ 0, 98 · A2

2︸︷︷︸98 % de la puissance totale

c’est-a-dire :+N(β)∑

n=−N(β)

Jn(β)2 ≥ 0, 98

ou encore :

J0(β)2 + 2N(β)∑n=1

Jn(β)2 ≥ 0, 98

car, pour n > 1, on a J−n(β) = (−1)nJn(β) donc J−n(β)2 = Jn(β)2.En utilisant la table des fonctions de Bessel, on trouve que :

N(β) = β + 1

d’ou :Bs = 2(β + 1)fm

Puisque β = ∆ffm

, on a egalement :

Bs = 2

(∆f

fm

+ 1

)fm = 2(∆f + fm) = 2(kfAm + fm)

L’occupation spectrale du signal FM depend donc de deux grandeurs :



- l’excursion en frequence ∆f , proportionnelle a l’amplitude du signal modulant ;

- la frequence fm du signal modulant.

Dans le cas d’un signal FM a faible indice (β 1), on a Bs = 2(β + 1)fm ≈ 2fm : onretrouve l’occupation spectrale d’un signal AM.Dans le cas d’un signal FM a grand indice (β 1), on a Bs = 2(β+1)fm ≈ 2βfm = 2kfAm

donc l’occupation spectrale d’un signal FM a grand indice de modulation (appele signalWBFM : Wide Band FM ) est proportionnelle a l’amplitude du signal modulant. Cedernier resultat est connu sous le nom de theoreme de Woodward.

3.3.5 Generalisation

Dans le cas d’un signal modulant m(t) quelconque, on peut utiliser pour determiner l’oc-cupation spectrale utile du signal FM, le resultat trouve dans le cas d’un signal modulantsinusoıdal en definissant l’indice de modulation generalise :

β =∆f

Bm

=kf |m(t)|max

Bm

avec :

- ∆f = kf |m(t)|max : excursion maximale de la frequence instantanee ;

- Bm : occupation spectrale du signal modulant.

La regle de Carson donne :Bs = 2(∆f + Bm)

Exemple de calcul : en radiodiffusion FM dans la bande 88 – 108 MHz, on a ∆f = 75 kHzet Bm = 15 kHz (norme HI-FI : haute fidelite). Dans ce cas, on a :

β =∆f

Bm

=75

15= 5

et :Bs = 2(∆f + Bm) = 2 × (75 + 15) = 180 kHz

La valeur ainsi determinee constitue une estimation de Bs. Il reste necessaire d’effectuerdes mesures pour chaque cas particulier.

3.4 Generation du signal FM

3.4.1 Principe

Generer un signal FM consiste a transformer des variations de tension en variations defrequence. La transformation tension u → frequence f doit etre lineaire :

f(u) = f0 + kf · uPour u = 0, f = f0 : le modulateur FM delivre la porteuse non modulee, kf est appelesensibilite du modulateur (en Hz/V) et mesure la variation de frequence ∆f produite parune variation de tension ∆u.


3.4. Generation du signal FM 51

3.4.2 Methode par variation de parametres

Le signal FM est obtenu en faisant varier la frequence d’un oscillateur LC en agissantsur la valeur de la capacite qui determine la frequence d’oscillation. L’element a capacitevariable utilise est une diode varicap placee en parallele avec la capacite du circuit LC :

LA Cl

LCDVm(t) oscillateur

La diode varicap se comporte comme une capacite dont la valeur depend de la tensioninverse Vp appliquee entre ses bornes. La capacite d’une diode varicap est :

C(Vp) =C0(

1 + Vp

V0

)n

ou C0, V0 et n sont des constantes. Par exemple, pour la diode BB909A : C0 = 30 pF,V0 = 700 mV et n = 0, 7.

0 5 10 15 20 25 30 350

5

10

15

20

25

30

C (pF)

Vp (V)

Vp DV

Le condensateur de liaison Cl, d’impedance negligeable en haute frequence, permet d’eviterque l’inductance L ne court-circuite le signal modulant m(t). L’inductance d’arret LA (selfde choc), d’impedance negligeable en basse frequence, presente une impedance elevee enhaute frequence afin de ne pas court-circuiter le signal de l’oscillateur par la source dusignal modulant.La frequence de l’oscillateur est egale a la frequence de resonance du circuit LC donc :

f(Vp) =1

2π√

L[C + C(Vp)]avec Vp = m(t)

En utilisant l’approximation (1 + x)α ≈ 1 + αx pour x 1, avec un signal modulant defaible amplitude Vp V0, on a :

C(Vp) =C0(

1 + Vp

V0

)n = C0

(1 +

Vp

V0

)−n

≈ C0

(1 − nVp

V0

)



donc :

f(Vp) ≈ 1

2π

√L[C + C0

(1 − nVp

V0

)] =1

2π

√L(C + C0 − nC0

V0Vp

)

=1

2π√

L(C + C0)[1 − nC0

(C+C0)V0Vp

] =1

2π√

L(C + C0)

[1 − nC0

(C + C0)V0

Vp

]− 12

≈ 1

2π√

L(C + C0)

[1 +

nC0

2(C + C0)V0

Vp

]

Ainsi :

f(Vp) ≈ f0 + kfVp = f0 + kfm(t)

avec :

f0 =1

2π√

L(C + C0)

et

kf =nC0f0

2(C + C0)V0

La frequence de l’oscillateur est une fonction lineaire du signal modulant m(t). L’oscilla-teur delivre donc bien un signal FM. Un tel oscillateur est appele oscillateur commandeen tension ou VCO (Voltage Controlled Oscillator).

Application : on veut transmettre un signal d’amplitude Am = 10 mV sur une porteusede frequence f0 = 98 MHz avec une excursion en frequence ∆f = 75 kHz. Determiner lesvaleurs de L et C dans le cas ou une diode varicap BB109A est utilisee.

On a : ∆f = kfAm, d’ou kf = ∆fAm

= 7510

= 7, 5 kHz/mV. Des expressions de f0 et kf

trouvees precedemment, on deduit :

L =1

4π2f 20 C0

(1 − 2kfV0

nf0

)≈ 74, 4 nH

et

C =C0

nf0

2kf V0− 1

≈ 5, 42 pF

Avantage de cette methode : elle permet d’obtenir des excursions en frequence impor-tantes.

Inconvenient : les caracteristiques de l’oscillateur varient avec le temps a cause du vieillis-sement des composants, des variations de temperature . . . d’ou une derive de la frequencede la porteuse.


3.4. Generation du signal FM 53

3.4.3 Modulateur d’Armstrong

Cette methode est basee sur la generation d’un signal FM a faible indice de modulationβ1 tel que β1 1.Soit un signal FM :


avec :

ϕ(t) = 2πkf

∫ t

0m(u)du

Dans le cas d’un signal modulant sinusoıdal m(t) = Am cos 2πfmt, on a :

ϕ(t) = β1 sin 2πfmt

Si β1 1, alors :

|ϕ(t)| = |β1 sin 2πfmt| ≤ β1 1

ainsi :

|ϕ(t)| 1

Le signal FM peut s’ecrire :

s(t) = A cos 2πf1t cos ϕ(t) − A sin 2πf1t sin ϕ(t)

Puisque |ϕ(t)| 1, on peut faire les approximations suivantes :

cos ϕ(t) ≈ 1sin ϕ(t) ≈ ϕ(t)

d’ou :

s(t) ≈ A cos 2πf1t − Aϕ(t) sin 2πf1t

On en deduit le schema fonctionnel d’un modulateur permettant d’obtenir un signal FMa faible indice de modulation :

s(t)m(t)

A cos 2πf1t

Σ

π

2−

ϕ(t)

intégrateurA sin 2πf1t

−

+

modulateur de fréquence à faible indice

2πkf



Le signal FM a faible indice genere par ce modulateur possede une frequence porteusef1 et une excursion en frequence ∆f1 = β1fm, donc sa frequence instantanee varie dansl’intervalle [f1 − ∆f1, f1 + ∆f1].Pour obtenir un indice de modulation β donne, on multiplie la frequence du signal FM afaible indice par une valeur n. Ainsi, la frequence instantanee du signal FM est rameneedans l’intervalle [nf1 −n∆f1, nf1 +n∆f1] donc son excursion en frequence devient ∆f =n∆f1. L’indice de modulation du signal FM devient alors :

β =∆f

fm

=n∆f1

fm

= nβ1

La frequence porteuse du signal FM ainsi obtenu est nf1. Pour obtenir un signal FM defrequence porteuse f0 donnee, on effectue un changement de frequence par une modulationd’amplitude double bande sans porteuse avec une frequence porteuse f2. Le signal FMobtenu possede alors une frequence porteuse f0 telle que :

f0 = f2 ± n f1

En effectuant un filtrage passe-bande, on peut conserver l’une des deux composantesf0 = f2 − nf1 ou f0 = f2 + nf1.Ainsi, en choisissant convenablement les valeurs de n et f2, on peut obtenir un signalFM de frequence porteuse et d’indice de modulation quelconques. Un modulateur FMfonctionnant selon ce principe est appele modulateur d’Armstrong.Schema fonctionnel du modulateur d’Armstrong :

modulateur de

fréquence

à faible indice

multiplicateur

de fréquence

par n

f1 f2

f1

∆f1

n f1

n ∆f1

f0 = f2 n f1+−

n ∆f1

m(t)s(t)

changement

de fréquence

filtrage

passe bandef0 = f2 + n f1

f0 = f2 − n f1

ou

n ∆f1

fréquence

centrale = f0

Application : le modulateur de frequence a faible indice delivre un signal FM de frequenceporteuse f1 = 0,5 MHz et d’indice de modulation β1 = 0,1. On veut obtenir un signal FMde frequence porteuse f0 = 98 MHz et d’indice de modulation β = 5. Calcul de n et f2 :

β = nβ1 ⇒ n =β

β1

=5

0,1= 50

f0 = f2 ± nf1 ⇒ f2 = f0 ∓ nf1 =

∣∣∣∣∣ 98 − 50 × 0,5 = 73 MHz98 + 50 × 0,5 = 123 MHz

On choisit en general la frequence la plus faible, donc on peut prendre f2 = 73 MHz. Lefiltre passe bande doit avoir une frequence centrale fc = f0 = 98 MHz.L’avantage du modulateur d’Armstrong reside dans le fait que les oscillateurs utilises pourgenerer les frequences porteuses f1 et f2 possedent une frequence constante, pouvant doncetre fixee avec une grande precision en utilisant par exemple un quartz, d’ou une bonnestabilite de la frequence porteuse du signal FM au cours du temps, contrairement a lamethode par variation de parametres utilisant une diode varicap.


3.5. Demodulation des signaux FM 55

3.5 Demodulation des signaux FM

3.5.1 Discriminateur

Soit le signal FM :


avec :

ϕ(t) = 2πkf

∫ t

0m(u)du

Si on derive le signal s(t), on obtient :

ds

dt= −A

(2πf0 +

dϕ

dt

)sin(2πf0t + ϕ(t))

or :dϕ

dt= 2πkf m(t)

donc :ds

dt= −2πA[f0 + kfm(t)] sin(2πf0t + ϕ(t))

Le signal dsdt

est un signal FM dont l’enveloppe est une fonction lineaire du signal modulantm(t). Une detection d’enveloppe permet de recuperer m(t). On en deduit le schema deprincipe d’un discriminateur :

filtre

dérivateur

détecteur

d'enveloppe

s(t) m(t)^

signal

FM

signal

démodulé

ds

dt

t

s(t)signal FM

t

ds

dt enveloppe

t

m(t)^signal démodulé

Realisation pratique du filtre derivateur : l’operation de derivation correspond a unemultiplication par j2πf dans le domaine frequentiel. La fonction de transfert d’un filtrederivateur est donc :

H(f) = j2πf



pente = 2πf

H(f)

f

En pratique, on realise une approximation lineaire autour de la frequence f0 en utilisantun circuit resonnant :

H(f)

ff0 fr

fréquence du signal

FM à démoduler

fréquence de résonnance

du circuit RLC

LCs(t)

R

u(t)

linéarisation

autour de f0

On choisit les valeurs de R, L et C de maniere a avoir la partie lineaire de la courbede resonance dans l’intervalle [f0 − ∆f, f0 + ∆f ], ∆f etant l’excursion en frequence dusignal FM a demoduler. La demodulation du signal FM se fait sur le flanc de la courbede resonance.

Pour augmenter la plage de linearite du filtre derivateur, on peut monter deux circuitsresonnants en tete-beche :

s(t) m(t)^

circuits

résonnants

détecteurs

d'enveloppe

H(f)

ff0

H1(f)

H2(f)

H1(f) + H2(f)

fr1

fr2

Les deux circuits resonnants de frequences de resonance fr1 et fr2 relativement prochesrestent cependant delicats a regler.

Inconvenient de la demodulation FM par le discriminateur : sensibilite aux variationsd’amplitude parasites du signal FM puisque la modulation de frequence est transformee


3.5. Demodulation des signaux FM 57

en modulation d’amplitude avant d’etre demodulee comme un signal AM par le detecteurd’enveloppe. Pour resoudre ce probleme, on fait preceder le discriminateur par un limiteurqui permet d’eliminer les variations d’amplitude parasites sans perturber la modulation :

discriminateur

limiteur

s(t) m(t)^

3.5.2 Boucle a verrouillage de phase

La boucle a verrouillage de phase (BVP ou PLL : Phase Locked Loop) est utilisee lorsqueles conditions de reception du signal FM sont trop difficiles, pour lesquelles le discrimina-teur ne se comporte plus de maniere satisfaisante, par exemple dans le cas des communi-cations par satellites.Une PLL est un systeme boucle constitue d’un comparateur de phase et d’un oscillateurcommande en tension (VCO) :

+

−

comparateur

de phase

VCO

s(t)

r(t)

y(t)

On note :

- s(t) = A cos(2πf0t + ϕ(t)) avec ϕ(t) = 2πkf

∫ t

0m(u)du, le signal FM a demoduler ;

- y(t), le signal delivre par le comparateur de phase qui represente la sortie de la PLL ;

- r(t) = B cos(2πf0t + ψ(t)) avec ψ(t) = 2πk0

∫ t

0y(u)du, le signal de sortie du VCO

qui constitue le signal de retour de la PLL.

Le comparateur de phase est un dispositif qui delivre une tension y(t) proportionnelle audephasage entre les signaux d’entree :

y(t) = K · [ϕ(t) − ψ(t)]

ou K est la sensibilite du comparateur de phase.Le VCO est un modulateur FM dont la frequence porteuse est f0, egale a la frequenceporteuse du signal a demoduler, et la sensibilite est k0.La tension en sortie du comparateur de phase est :

y(t) = K · [ϕ(t) − ψ(t)] = K ·(2πkf

∫ t

0m(u)du − 2πk0

∫ t

0y(u)du

)



En derivant cette expression par rapport au temps, on obtient :

dy

dt= 2πkfKm(t) − 2πk0Ky(t)

ou encore :dy

dt+ 2πk0Ky(t) = 2πkfKm(t)

C’est une equation differentielle lineaire du premier ordre. On pose :⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

τ =1

2πk0K: constante de temps de la PLL

G =kf

k0

: gain de la PLL

Ainsi, l’equation de la PLL s’ecrit :

τdy

dt+ y(t) = Gm(t)

Reponse indicielle de la PLL :m(t) y(t)

t tτ

∆m ∆y = G ∆m

En regime permanent, c’est-a-dire pour t ≥ 3τ , on a :

dy

dt≈ 0 ⇒ 2πk0Ky ≈ 2πkfK∆m ⇒ y ≈ kf

k0

∆m = G ∆m

Le signal y(t) en sortie de la PLL presente donc une variation proportionnelle a la variation∆m du signal modulant. Donc si le signal modulant varie assez lentement pour que laPLL puisse atteindre son regime permanent a tout instant, on a bien une demodulationdu signal FM.En pratique, on insere dans la chaıne d’action de la PLL un filtre passe-bas qui permetde regler ses performances (temps de reponse, gain, depassement, . . .) :

+

−

comparateur

de phase

VCO

s(t)

r(t)

y(t)

filtre

passe-bas


3.6. Les recepteurs a changement de frequence 59

3.6 Les recepteurs a changement de frequence

La fonction d’un recepteur radio est de restituer le message transmis a partir du signalHF (porteuse) recu au niveau de l’antenne. Generalement, le recepteur doit recevoir plu-sieurs emissions a des frequences porteuses differentes. Or le demodulateur du recepteurdoit fonctionner a la frequence de la porteuse. Il faudrait donc autant de demodulateursque d’emissions a recevoir : difficile a realiser en pratique. Deux solutions existent pourresoudre ce probleme.

La premiere solution consiste a changer les caracteristiques du demodulateur : c’est lecas des recepteurs a conversion directe. On peut, par exemple, faire varier la frequencecentrale de la PLL d’un demodulateur FM :

+

−

comparateur

de phase

VCO

f0

FMBF

Cette solution reste cependant delicate a mettre en œuvre techniquement.

La deuxieme solution consiste a changer la frequence du signal recu pour l’adapter a undemodulateur dont les caracteristiques restent fixes : c’est le cas d’un recepteur a chan-gement de frequence ou recepteur superheterodyne dont la frequence du demodulateur,appelee frequence intermediaire (FI), reste constante.

Schema fonctionnel d’un recepteur superheterodyne :

ampli

HF

ampli

FIdémodulateur ampli

BF

oscillateur

local

HF FIHF

filtre HF

à large bande

filtre FI

à bande étroite

filtre BF

BF BF

étage HF

convertisseur

de fréquence

étage à fréquence intermédiaireétage basse fréquence

antenne

Fonctionnement : le signal HF est multiplie par un signal sinusoıdal delivre par un os-cillateur local de frequence fOL. On obtient deux signaux aux frequences fOL − fHF etfOL + fHF . Le signal a la frequence fOL + fHF est elimine par le filtre FI a bande etroite.On obtient le signal a frequence intermediaire de frequence fI = fOL − fHF .



Pour garder la frequence fI constante, on fait varier fOL de maniere a avoir fOL = fHF +fI .Ainsi, pour choisir l’emission a demoduler, on agit sur la frequence de l’oscillateur local.En pratique, on a fI = 10,7 MHz pour la reception FM et fI = 455 kHz pour la receptionAM.

fHF

fOLfI = fOL − fHF fOL + fHF

f

f

filtre FI

signal HF

signal FI

Exemple de calcul : pour la reception d’un signal FM a 96 MHz, on doit avoir fOL =96 + 10,7 = 106,7 MHz.

3.7 La modulation de phase

3.7.1 Principe

Soit un signal s(t) = A cos(2πf0t + ϕ(t)). En modulation de phase (PM : Phase Modula-tion), le dephasage ϕ(t) est proportionnel au signal modulant :

ϕ(t) = kpm(t)

Le signal PM a donc pour expression :

s(t) = A cos(2πf0t + kpm(t))

Pour generer un signal PM, on peut utiliser un modulateur FM dont le signal d’entree estla derivee du signal modulant :

modulateur

FM

m(t)dm

dt s(t)dérivateur

En effet :

s(t) = A cos

(2πf0t + 2πkf

∫ t

0

dm

dudu

)= A cos (2πf0t + 2πkfm(t))

C’est un signal PM avec kp = 2πkf .Les modulations FM et PM sont appelees modulations angulaires.


3.8. Exercices 61

3.7.2 Occupation spectrale du signal PM

Dans le cas d’un signal modulant sinusoıdal m(t) = Am cos 2πfmt, le signal PM devient :

s(t) = A cos(2πf0t + kpAm cos 2πfmt)

On note βPM = kpAm l’indice de modulation du signal PM. Celui-ci s’ecrit alors :

s(t) = A cos(2πf0t + βPM cos 2πfmt)

D’apres la regle de Carson, on deduit l’occupation spectrale d’un signal PM :

BPM = 2(βPM + 1)fm = 2(kpAm + 1)fm

3.8 Exercices

3.8.1 Mesure de la sensibilite d’un modulateur de frequence

Soit s(t) un signal FM, de frequence centrale f0, module par une sinusoıde de frequencefm = 1 kHz et d’amplitude Am.

1. Tracer le spectre de s(t) lorsque Am = 0.

2. Que devient ce spectre lorsque Am augmente ?

3. Comment varie l’amplitude de la raie a la frequence f0 ?

4. On donne les trois premieres solutions de l’equation J(x) = 0 : x1 = 2, 4 ; x2 = 5, 5 ;x3 = 8, 7. En deduire une methode pratique de mesure de la sensibilite kf dumodulateur.

5. On mesure kf = 0, 5 kHz/mV. Determiner l’occupation spectrale de s(t) pour Am =30 mV.

Correction :

1. Lorsque Am = 0, le modulateur FM delivre la porteuse non modulee, c’est-a-direun signal sinusoıdal pur :

f

A

As(f)

f0



2. Lorsque Am augmente, les raies laterales apparaissent autour de f0 :

f

As(f)

......

f0

A.J0(β)

3. D’apres le spectre du signal FM, la raie a la frequence f0 de la porteuse varieproportionnellement a la fonction de Bessel J0(β) :

As(f0) = A · J0(β)

4. Lorsque la raie a la frequence f0 de la porteuse s’annule, on a alors :

J0(β) = 0 ⇒ β = 2, 4 ⇒ kfAm

fm

= 2, 4 ⇒ kf = 2, 4 · fm

Am

Il suffit donc d’injecter a l’entree du modulateur FM un signal modulant de frequencefm donnee et de faire varier son amplitude Am a partir de 0 tout en observant lespectre du signal FM sur un analyseur de spectre. On releve alors la valeur de Am

pour laquelle l’amplitude de la raie centrale du spectre s’annule une premiere foiset on en deduit la valeur de la sensibilite kf du modulateur a partir de la derniereegalite.

5. D’apres la regle de Carson, on a :

Bs = 2(∆f + fm) = 2(kfAm + fm) = 2 × (0, 5 × 30 + 1) = 32 kHz

3.8.2 Modulateur FM a diode varicap

On considere le circuit resonnant LC suivant, utilise dans la realisation d’un oscillateur :

L

C

Cd

LA

+

_ Vp

La diode varicap se comporte comme un condensateur de capacite Cd =K

(V0 + Vp)0,5ou K

et V0 sont des constantes et Vp est la tension de polarisation. Cette diode est utilisee dans


3.8. Exercices 63

le circuit resonnant ou LA est une self d’arret d’impedance negligeable en basse frequenceet elevee a la frequence d’oscillation f0. On donne : L = 0, 32 µH, C = 10 000 pF,V0 = 0, 36 V. Pour Vp = 0 V, on a Cd = 1 500 pF.

1. Exprimer la frequence d’oscillation f0 du circuit et montrer qu’elle se met sous la

forme f0 = A√

B + (D + Vp)0,5. Donner les valeurs numeriques de A, B et D. Tracer

le graphe de f0 en fonction de Vp lorsque Vp varie entre 0 et 12 V (echelle : 1 V/cmet 1 MHz/cm). Determiner la valeur de Vp pour avoir une frequence f0 = 15 MHz.

2. La tension Vp est la somme d’une tension continue V = 7 V et d’une tension si-nusoıdale v(t) d’amplitude Vm = 0, 2 V et de frequence fm = 20 kHz. Montrer quel’oscillateur est module sinusoıdalement en frequence. Donner sa frequence de reposf0 et sa sensibilite kf . Determiner l’indice de modulation β du signal FM obtenu,ainsi que la bande passante necessaire pour transmettre ce signal.

Correction :

1. La frequence d’oscillation du circuit LC est :

f0 =1

2π√

LCeq

avec Ceq =CCd

C + Cd

f0 =1

2π

(C + Cd

LCCd

) 12

=1

2π

[C + K(V0 + Vp)

−0,5

LCK(V0 + Vp)−0,5

] 12

=1

2π

[C(V0 + Vp)

0,5 + K

LCK

] 12

=1

2π√

LK

[(V0 + Vp)

0,5 +K

C

] 12

= A√

B + (D + Vp)0,5

avec : A =1

2π√

LK, B =

K

Cet D = V0

Pour Vp = 0, on a Cd = 1 500 pF ⇒ 1 500 · 10−12 = K√0,36

⇒ K = 1 500 · 10−12 × 0, 6

= 900 · 10−12. On a donc :

A =1

2π ×√0, 32 · 10−6 × 900 · 10−12

= 9, 378 · 106

B =900 · 10−12

10 000 · 10−12= 0, 09

D = 0, 36

Ainsi :

f0 = 9, 378 ·[0, 09 + (0, 36 + Vp)

0,5] 1

2 (en MHz)

Pour representer f0 en fonction de Vp, on calcule quelques valeurs :

Vp (en V) 0 2 4 6 8 10 12f0 (en MHz) 7,79 11,96 13,84 15,16 16,19 17,06 17,80



0 2 4 6 8 10 126

8

10

12

14

16

18

f0 (MHz)

Vp (V)

Pour avoir f0 = 15 MHz, on peut determiner Vp graphiquement ou par le calcul :

f 20 = A2

[B + (D + Vp)

12

]⇒ Vp =

(f 2

0

A2− B

)2

− D

⇒ Vp =

(152

9, 3782− 0, 09

)2

− 0, 36 = 5, 73 V

2. On a Vp = V + v(t) avec V = 7 V et |v(t)|max = Vm = 0, 2 V V . Pour mon-trer que l’oscillateur est module sinusoıdalement en frequence, on peut effectuer undeveloppement limite au premier ordre de f0(Vp) autour de Vp = 7 V.Rappel : le developpement limite au premier ordre d’une fonction f(x) autour d’unpoint x0 s’ecrit : f(x) ≈ f(x0) + f ′(x0) (x − x0).On a :

f0(Vp) = A[B + (D + Vp)

0,5] 1

2

On en deduit :

f ′0(Vp) = A×0, 5

[B + (D + Vp)

0,5]−0.5×0, 5(D+Vp)

−0.5 =0, 25A√

B + (D + Vp)0,5(D + Vp)0.5

=0, 25 A2

f0(Vp) (D + Vp)0,5car

√B + (D + Vp)0,5 =

f0(Vp)

A

Ainsi :

f0(Vp) ≈ f0(V ) +0, 25 A2

f0(V ) (D + Vp)0,5· (Vp − V )︸︷︷︸

v(t)


3.8. Exercices 65

Donc :

f0(Vp) ≈ f0(V ) + kfv(t) avec kf =0, 25 A2

f0(V ) (D + Vp)0,5

La tension v(t) etant sinusoıdale, la frequence instantanee f0(Vp) varie sinusoıdale-ment autour de f0(V ), donc l’oscillateur est module en frequence.La frequence de repos de l’oscillateur est :

f0(V ) = A√

B + (D + V )0,5 = 9, 378 ×√

0, 09 + (0, 36 + 7)0,5 = 15, 7 MHz

Sa sensibilite est :

kf =0, 25 A2

f0(V ) (D + Vp)0,5=

0, 25 × 9, 3782

15, 7 ×√0, 36 + 7

= 0, 516 MHz/V

L’indice de modulation du signal FM est :

β =kfVm

fm

=0, 516 · 106 × 0, 2

20 · 103= 5, 16

La bande passante necessaire pour transmettre le signal FM est :

Bs = 2(β + 1)fm = 2 × (5, 16 + 1) × 20 = 246, 4 kHz

3.8.3 Demodulateur FM quadratique

Soit le demodulateur FM suivant, appele demodulateur quadratique :

filtre

déphaseur

multiplieur

filtre passe-bas

s(t) v(t)

u(t)

m(t)^

s(t) est le signal FM a demoduler, donne par l’expression s(t) = A cos (2πf0t + ϕ(t)) avec

ϕ(t) = 2πkf

∫ t

0m(θ)dθ. Le filtre dephaseur est caracterise par une fonction de transfert

H(f) telle que, pour f0 − ∆f ≤ f ≤ f0 + ∆f :

⎧⎨⎩

|H(f)| = H0 = cste

H(f) =π

2− α(f − f0) avec α > 0

,

ou ∆f est l’excursion maximale en frequence de s(t).

1. Tracer l’allure de |H(f)| et H(f). Comment peut-on realiser en pratique un telfiltre ?



2. Donner l’expression de la phase instantanee du signal dephase u(t) et en deduirel’expression du signal v(t) en sortie du multiplieur.

3. Donner l’expression de m(t) en sortie du filtre passe-bas. En deduire une conditionsur α pour que m(t) soit proportionnel a m(t).

Correction :

1. Allure de |H(f)| et H(f) :

f0f0 − ∆f f0 + ∆f f0f0 − ∆f f0 + ∆f

π2

H0

H(f) H(f)

f f

pente = −α

Realisation pratique d’un tel filtre :

L

C

s(t)

R

u(t)

En posant ω = 2πf , la fonction de transfert de ce filtre s’ecrit :

H(ω) =jLω

R + jLω + 1jCω

=jLω

R + j LCω2−1Cω

Le dephasage introduit par ce filtre est :

H(ω) =π

2− arctan

LCω2 − 1

RCω

On pose ω = ω0+∆ω avec ω0 = 1√LC

(frequence de resonance du filtre) et ∆ω ω0.

On a alors, en negligeant les termes en ∆ω2 et sachant que LCω20 = 1 :

LCω2 − 1

RCω=

LC (ω20 + 2ω0∆ω + ∆ω2) − 1

RC(ω0 + ∆ω)≈ LCω2

0 + 2LCω0∆ω − 1

RCω0

(1 + ∆ω

ω0

) =2L∆ω

R(1 + ∆ω

ω0

)

≈ 2L∆ω

R

(1 − ∆ω

ω0

)=

2L∆ω

R− 2L∆ω2

Rω0

≈ 2L∆ω

R

⇒ H(ω) ≈ π

2− arctan

2L∆ω

R≈ π

2− 2L

R∆ω si

2L∆ω

R 1 c.a.d ∆ω R

2L

(car arctan x ≈ x pour x 1) ⇒ H(ω) ≈ π

2− 2L

R(ω − ω0) =

π

2− 4πL

R(f − f0)


3.8. Exercices 67

Donc, on a bien :

H(f) ≈ π

2− α(f − f0) avec α =

4πL

Ret ∆f R

4πL

De meme, on a :

|H(ω)| =Lω√

R2 +(

LCω2−1Cω

)2 ≈ L(ω0 + ∆ω)√R2 + 4L2∆ω2

carLCω2 − 1

Cω≈ 2L∆ω

or, on a :

∆ω R

2L⇒ 4L2∆ω2 R2 ⇒ |H(ω)| ≈ L

R(ω0 + ∆ω) ≈ Lω0

R= |H(ω0)|

car ∆ω ω0.Ainsi, on a bien :

|H(f)| ≈ |H(f0)| = H0 = constante, pour ∆f R

4πL

On peut donc utiliser un tel filtre RLC en choisissant R, L et C tels que :

1

2π√

LC= f0 et

R

L 4π∆f

2. La phase instantanee de s(t) est :

Θs(t) = 2πf0t + ϕ(t)

La phase instantanee de u(t) est :

Θu(t) = Θs(t) + H(fs(t))

ou fs(t) est la frequence instantanee de s(t) :

fs(t) =1

2π

dΘs

dt= f0 +

1

2π

dϕ

dt= f0 + kfm(t)

⇒ H(fs(t)) =π

2− α [f0 + kfm(t) − f0] =

π

2− α kfm(t)

Ainsi, la phase instantannee du signal dephase u(t) est :

Θu(t) = 2πf0t + ϕ(t) +π

2− α kfm(t)

Le signal u(t) a donc pour expression :

u(t) = H0A cos(2πf0t + ϕ(t) +

π

2− α kfm(t)

)



Ainsi, le signal v(t) en sortie du multiplieur est :

v(t) = s(t) · u(t) = A cos(2πf0t + ϕ(t)) · H0A cos(2πf0t + ϕ(t) +

π

2− α kfm(t)

)

=H0A

2

2

⎡⎢⎢⎢⎣cos

(π

2− α kfm(t)

)+ cos

(4πf0t + 2ϕ(t) +

π

2− α kfm(t)

)︸︷︷︸composante HF eliminee par le filtre passe bas

⎤⎥⎥⎥⎦

3. Apres filtrage passe bas du signal v(t), on obtient :

m(t) =H0A

2

2cos(

π

2− α kfm(t)

)=

H0A2

2sin [α kfm(t)]

Le signal demodule m(t) est proportionnel au signal modulant m(t) a conditionque :

α kf |m(t)|max 1 c.a.d α∆f 1 car kf |m(t)|max = ∆f

Cette condition est bien verifiee car on a :

α =4πL

R 1

∆f

d’apres la condition sur le filtre dephaseur.On peut ainsi appliquer l’approximation sinx ≈ x pour x 1. On obtient finale-ment :

m(t) ≈ H0A2α kf

2m(t)

3.8.4 Synthese d’une PLL

On considere la boucle a verrouillage de phase (PLL) representee par le schema suivant :

+

_

comparateur

de phase

filtre passe-bas

oscillateur

commandé

en tension

VCO

s(t)

u(t)

r(t)

ε(t)


3.8. Exercices 69

Cette PLL est utilisee pour demoduler un signal FM s(t) = A cos(2πf0t + 2πkf

∫ t

0m(θ)dθ

),

avec kf = 75 Hz/V. Le comparateur de phase possede une sensibilite K = 0, 1 V/rad,le filtre passe-bas est un filtre du premier ordre, caracterise par une fonction de transfert

H(f) =G

1 + j2πfτ, le VCO possede une sensibilite k0 = 50 Hz/V. On note ε(t) le signal

delivre par le comparateur de phase, u(t) le signal de sortie du filtre passe-bas et r(t) lesignal produit par le VCO.

1. Donner les relations entre les signaux ε(t), u(t) et m(t). Montrer que m(t) et u(t)sont lies par une equation differentielle de la forme :

1

ω20

d2u

dt2+

2ξ

ω0

du

dt+ u = αm(t)

dont on exprimera les parametres ω0, ξ et α en fonction de k0, kf , K, G et τ . Quelleest la signification physique de ces parametres ?

2. Le signal modulant m(t) etant donne par : m(t) =

M = cste > 0 si t ≥ 00 si t < 0

, tracer

l’allure de u(t) pour ξ < 1, ξ = 1 et ξ > 1. Que peut-on dire de u(t) ?

3. D’apres ce qui precede, preciser le role du filtre passe-bas et calculer le gain G et laconstante de temps τ de ce filtre afin d’assurer a la PLL un amortissement ξ = 0, 8et une pulsation naturelle ω0 = 100 rad/s.

Correction :

1. On a :

s(t) = A cos (2πf0t + ϕ(t)) avec ϕ(t) = 2πkf

∫ t

0m(θ)dθ

r(t) = B cos (2πf0t + ψ(t)) avec ψ(t) = 2πk0

∫ t

0u(θ)dθ

D’apres la fonction de transfert du filtre passe bas :

H(f) =u

ε=

G

1 + jωτ⇒ u + τ

du

dt= Gε(t) ⇒ ε(t) =

1

G

[u + τ

du

dt

]

D’autre part :ε(t) = K (ϕ(t) − ψ(t))

⇒ K[2πkf

∫ t

0m(θ)dθ − 2πk0

∫ t

0u(θ)dθ

]=

1

G

[u + τ

du

dt

]

En derivant cette expression par rapport au temps, on obtient :

2πkfKGm(t) − 2πk0KGu(t) =du

dt+ τ

d2u

dt2

⇒ τd2u

dt2+

du

dt+ 2πk0KGu = 2πkfKGm(t)



⇒ τ

2πk0KG

d2u

dt2+

1

2πk0KG

du

dt+ u =

kf

k0

m(t)

⇒ 1

ω20

d2u

dt2+

2ξ

ω0

du

dt+ u = αm(t)

avec : ω20 =

2πk0KG

τ,

2ξ

ω0

=1

2πk0KGet α =

kf

k0Les parametres ω0, ξ et α sont respectivement la pulsation naturelle, l’amortissementet le gain de la PLL.

2. Pour m(t) tel que :

m(t) =

M = cste > 0 si t ≥ 00 si t < 0

on obtient la reponse indicielle de la PLL :

ξ = 1

ξ > 1

ξ < 1

u(t)

t

2πω0 1 − ξ2

α Μ

Apres extinction du regime transitoire, on a :

u(t) ≈ αm(t)

Ainsi, si la duree du regime transitoire de la PLL est suffisamment faible, celle-cipermet bien de demoduler le signal FM.

3. Le filtre passe bas permet d’ajuster la reponse indicielle de la PLL pour obtenir lesperformances desirees en terme de temps de reponse, de depassement, . . .On a :

2ξ

ω0

=1

2πk0KG⇒ G =

ω0

4πk0Kξ

ω20 =

2πk0KG

τ⇒ τ =

2πk0KG

ω20

=2πk0K

ω20

ω0

4πk0Kξ=

1

2ξω0

Pour avoir un amortissement ξ = 0, 8 et une pulsation naturelle ω0 = 100 rad/s, ondoit avoir :

G =100

4π × 50 × 0, 1 × 0, 8≈ 2

et

τ =1

2 × 0, 8 × 100= 6, 25 ms


Bibliographie

[1] P. Clerc et P. Xavier. Principes fondamentaux des telecommunications. Ellipses,Paris, 1998.

[2] E. Fernandez et M. Matthieu. Les faiseaux hertziens analogiques et numeriques.Dunod, Paris, 1991.

[3] P. Fraisse, R. Protiere, et D. Marty-Dessus. Telecommunications 1 – Trans-mission de l’information. Ellipses, Paris, 1999.

[4] D. Ventre. Communications analogiques. Ellipses, Paris, 1991.


Documents

Electronique de Communication