Electronique des Systèmes d'Acquisition

Eacutelectronique des Systegravemes dAcquisitionTraitement et Propagation des Signaux Physiques

Cours exercices et travaux pratiques

Premiegravere Anneacutee 2020-2021

Paul Chollet

Patricia Desgreys

Chadi Jabbour

Reda Mohellebi

Germain Pham

Christophe Roblin

Direction de la FormationDeacutepartement Communications et Eacutelectronique

Teacuteleacutecom Paris

Table des matiegraveres

Avant propos 5

1 Introduction agrave leacutelectronique des systegravemes dacquisition 7

2 Transformeacutee de Laplace 19

3 Amplication Elementaire 41

4 Amplicateur dieacuterentiel et opeacuterationnel 55

5 Echantillonnage et Transformeacutee en Z 67

6 TP Amplication (Preacutesentiel) 81

7 TP Amplication (Distanciel) 85

8 Electronique analogique agrave temps discret 91

9 TP Circuits agrave capaciteacutes commuteacutees (Preacutesentiel et distanciel) 99

10 Filtrage analogique 105

11 TP Filtrage analogique (Preacutesentiel) 121

12 TP Filtrage analogique (Distanciel) 127

13 Conversion analogique-numeacuterique 133

14 TP Conversion analogique-numeacuterique (Preacutesentiel) 147

15 TP Conversion analogique-numeacuterique (Distanciel) 153

16 Travaux Dirigeacutes MoDem ADSL 159

A Maquette de Prototypage 163

TABLE DES MATIEgraveRES 3

Avant propos

Objectifs

Par le suivi de ce module leacutetudiant est sensibiliseacute au rocircle et agrave limportance des interfaces eacutelectroniques dacquisition analogique-

numeacuterique pour les applications en instrumentation ou en communications doit ecirctre capable didentier les composants eacutelectroniques essentiels dun systegraveme dac-

quisition de signal et en comprend la fonction doit connaicirctre les principaux critegraveres de performances de ces composants et leur impact

sur les caracteacuteristiques globales du systegraveme doit savoir utiliser les outils de theacuteorie du signal (transformeacutee de Laplace transformeacutee

en Z) pour les signaux veacutehiculeacutes par un systegraveme dacquisition est sensibiliseacute agrave la reacutealisation microeacutelectronique de tels systegravemes et en particulier en

exploitant le traitement du signal analogique en temps discret gracircce agrave la technique descapaciteacutes commuteacutees

Thegravemes abordeacutes

Ce module ore une premiegravere approche de leacutelectronique des systegravemes dacquisition ensuivant une meacutethode danalyse - du systegraveme vers le composant - et propose plus particuliegravere-ment leacutetude des fonctions de traitement du signal analogique et de sa conversion en un signalnumeacuterique Les fonctions damplication de ltrage et de conversion analogique-numeacuteriquesont preacutesenteacutees leurs principales caracteacuteristiques sont deacutecrites les composants les reacutealisantsont modeacuteliseacutes La technique des capaciteacutes commuteacutees largement utiliseacutee pour le traitementdu signal analogique en temps discret est preacutesenteacutee et systeacutematiquement utiliseacutee pour lamise en divideuvre des fonctions notamment lors de travaux pratiques utilisant des composantsrecongurables

Modaliteacute de controcircle de connaissances

La note nale est constitueacutee tout au long du module par un controle continu Chacune des4 seacuteances de travaux pratiques donne lieu agrave une note comptant pour 10 de la note nale Lamoyenne des notes de travaux pratiques compte donc pour 40 de la note nale Un controlnal avec documents dune dureacutee de 1h30 portant sur linteacutegraliteacute du module comptant pour60 de la note nale complegravetera la note Les modaliteacutes de lorganisation de cet examenrestent agrave deacutenir

Informations Pratiques

Ce polycopieacute ainsi que les transparents des cours et les annales sont disponibles sur lapage web du module httpsc2stelecom-paristechfrELEC101

Chapitre 1

Introduction agrave leacutelectronique dessystegravemes dacquisition

11 Avant-propos

Leacutelectronique est habituellement diviseacutee en de grands domaines partiellement recouvrantset aux limites oues la fourniture de puissance la transduction (acquisition ou restitutiondune information exteacuterieure non eacutelectronique ) et le traitement du signal quil soit numeacute-rique ou analogique De plus en plus ces divers aspects de leacutelectronique sont pris en compteconjointement au sein de systegravemes toujours davantage inteacutegreacutes

Nous traitons dans ce cours de leacutelectronique des systegravemes dacquisition de signaux ennous inteacuteressant particuliegraverement aux principales fonctions analogiques et mixtes neacutecessairesagrave cette acquisition que le signal soit issu dun capteur ou dune antenne Les fonctions eacutetudieacuteessont lamplication le ltrage et la conversion analogique-numeacuterique Leacutetude de ces fonctionssappuie sur lemploi doutils de theacuteorie du signal (transformeacutee de Laplace et transformeacutee enZ) ainsi que sur une technique permettant la mise en divideuvre du traitement analogique dusignal en temps discret (technique agrave capaciteacutes commuteacutees)

A lissue de ce cours leacutetudiant doit connaicirctre la composition fonctionnelle basique dunechaicircne dacquisition eacutelectronique dun signal analogique doit pouvoir comprendre le sens desprincipales caracteacuteristiques de chaque fonction et doit enn pouvoir deacuteduire de speacutecicationsglobales des contraintes ou des caracteacuteristiques des eacuteleacutements de la chaicircne Leacutetudiant doiteacutegalement avoir pris conscience du rocircle dinterfaces dacquisition eacutelectronique de signaux dansle cadre de systegravemes complexes et limpact de leurs caracteacuteristiques sur les performancesglobales

Ce cours adopte une deacutemarche de synthegravese (encore dite descendante du systegraveme vers lecomposant) adapteacutee agrave des ingeacutenieurs des teacuteleacutecommunications cest-agrave-dire ameneacutes agrave conduirela conception la gestion ou lacquisition de systegravemes complexes de communications

La conception microeacutelectronique de ces interfaces dacquisition nest pas abordeacutee dans cecours Le lecteur curieux den connaicirctre davantage peut se reporter aux articles ou ouvragesciteacutes en reacutefeacuterence

12 Introduction

Leacutelectronique des systegravemes dacquisition de signaux peut ecirctre deacutenie comme comprenant un ou des transducteurs (capteurs et actionneurs) linterface eacutelectronique entre un transducteur et une uniteacute de traitement et dexploita-

tion du signal diverses uniteacutes neacutecessaires agrave linterface dacquisition (geacuteneacuteration des horloges controcircle

gestion de la consommation)

8CHAPITRE 1 INTRODUCTION Agrave LEacuteLECTRONIQUE DES SYSTEgraveMES DACQUISITION

Un transducteur est un dispositif convertissant une grandeur physique en une autre Dansle cas de transducteurs pour systegravemes eacutelectroniques dacquisition de signaux la transductionconsiste en la conversion dune grandeur physique quelconque en un signal eacutelectrique Voiciquelques exemples de transducteurs

Microphone capteur dun signal acoustique Thermocouple capteur utiliseacute particuliegraverement pour la mesure de tempeacuterature Cristal pieacutezoeacutelectrique capteur utiliseacute pour la mesure de pression Haut-parleur transducteur de conversion dun signal eacutelectrique en un signal acous-

tique Voyant lumineux conversion dun signal eacutelectrique en signal lumineux Antenne transducteur permettant de capter ou de rayonner un signal eacutelectro-magneacutetique

Les grandeurs physiques agrave leacutechelle macroscopique sont de nature analogique cest-agrave-dire queleurs variations peuvent ecirctre deacutecrites par un signal continu dans le temps et dans lespace Lesignal analogique issu dun capteur est donc de nature analogique Cependant freacutequemmentaujourdhui linterface dacquisition est inteacutegreacutee directement avec le capteur dans ce caslutilisateur reacutecupegravere un signal numeacuteriseacute donc repreacutesenteacute par une seacutequence de mots binaires

sources de puissance

transmission(paire filaire

coaxialfibre

radiofrequences)

stockagedprimeinformations

images

capteurs

systeme mixteanalogique et numerique

systemenumeriqueintegre

Figure 11 Place de linterface dacquisition et exemples dusages

Luniteacute de traitement et dexploitation du signal reacutealise par exemple des opeacuterations decodage deacutecodage modulation deacutemodulation et assure lexploitation de linformation veacutehicu-leacutee par le signal Cette uniteacute est normalement mise en divideuvre en eacutelectronique numeacuterique Ellenest pas traiteacutee dans ce cours

Ce cours dElectronique des Systegravemes dAcquisition traite de linterface eacutelectronique entreun transducteur et une uniteacute de traitement et dexploitation du signal Nous nous inteacuteressonsdonc agrave lensemble des traitements appliqueacutes au signal eacutelectrique issu dun capteur jusquagrave sarestitution numeacuteriseacutee Les principales fonctions eacutetudieacutees sont donc lamplication le ltrageet la conversion analogique-numeacuterique

Dans ce chapitre dans la section 13 nous introduisons quelques donneacutees eacuteconomiquessur le marcheacute des semiconducteurs Dans la section 14 nous deacutecrivons quelques systegravemesdacquisition de signaux Dans la section 15 nous indiquons quelques deacutes techniques ettechnologiques lieacutes agrave leacutelectronique des systegravemes dacquisition

13 CONTEXTE EacuteCONOMIQUE 9

13 Contexte eacuteconomique

Le marcheacute mondial des semiconducteurs repreacutesente en 2020 468 milliards de US$ Cemarcheacute devrait deacutepasser 600 milliards de US$ en 2025 La part des composants dits analogiques(la distinction est deacutelicate du fait de linteacutegration de systegravemes complets sur puce) repreacutesenteen 2020 un montant de 598 milliards de US$

Figure 12 Distribution sectorielle du marcheacute des semiconducteurs [3]

Les marcheacutes les plus importants actuellement sont les marcheacutes des ordinateurs et descommunications comme le montre la Figure 13 Dans les anneacutees agrave venir le marcheacute des com-munications va continuer agrave avoir un bon taux de croissance gracircccedile notamment agrave la cinquiegravemegeacuteneacuteration des communications mobiles 5G Les autres marcheacutes tregraves prometteurs sont lauto-mobile et la biomeacutedicale qui protent merveilleusement de lexplosion du marcheacute de linternetdes objets (IoT) (Figure 14)

Une des raisons principales qui a permis ces bons taux de croissance dans le marcheacute dessemiconductors est la diminution du coucirct par transistor dans la technologie CMOS Commeon peut le constater dans la Figure 15 un US$ dans la n des anneacutees 90 avec la technologieCMOS 180 nm permettait de fabriquer 26 Millions de transistors Actuellement avec lestechnologies 28 nm et 16 nm un US$ permet de fabriquer approximativement dix fois plusde transistors Cependant comme on peut le constater le coucirct par transistor est en trainde stagner voire daugmenter Ceci est ducirc au fait que les approches classiques de fabricationne sont plus adapteacutees aux dimensions actuelles des transistors notamment aux eacutepaisseurs degrilles qui avoisinent le nanomegravetre dans les technologies les plus reacutecentes Dans une telle eacutepais-seur on peut agrave peine placer 5 agrave 10 atomesmoleacutecules disolants Pour adresser ce problegravemeles fabricants de circuit dits eacutegalement fondeurs ont ducirc introduire de nouvelles approches defabrications telles que les technologies FinFet et FDSOI [4][1] Ces technologies sont tregraves inteacute-ressantes et tregraves prometteuses mais malheureusement plus complexes et en conseacutequence pluscoucircteuses Ceci demandera plus dinnovation et plus de creacuteativiteacute dans la phase de conceptionpour compenser le ralentissement au niveau technologique

La table 16 preacutesente limportance relative des dix plus importantes entreprises dans ledomaine des semiconducteurs en 2020 Les prols de ces entreprises sont diverses certainescomme TSMC et UMC ne font que la fonderie Dautres dites fabless sont sans usine defabrication tels que Broadcom Qualcomm ou Nvidia leur savoir faire est dans le domainede la conception Pour la fabrication elles font appel agrave des fondeurs Il existe eacutegalementdes entreprises qui font agrave la fois de la conception et de la fonderie On peut notamment enciter Intel Samsung et STMicroelectronics (le plus grand fondeur europeacuteen dont les usines se

Figure 13 Distribution sectorielle du marcheacute des semiconducteurs

Figure 14 Croissance du marcheacute des semiconducteurs

14 EXEMPLES DE SYSTEgraveMES EacuteLECTRONIQUES DACQUISITION 11

Figure 15 Evolution du coucirct par transistor en fonction de la technologie CMOS -source ARM

trouvent agrave Crolles en France)

Figure 16 Principales entreprises dans le domaine des semiconducteurs

14 Exemples de systegravemes eacutelectroniques dacquisition

Dans ce qui suit nous traitons trois exemples de systegravemes eacutelectroniques dacquisitionappliqueacutes agrave des domaines distincts Nous verrons que bien que tregraves dieacuterents ces systegravemesont de nombreux objectifs communs en terme de conception

141 Prothegravese auditive implant cochleacuteaire

Deacutenition

Un implant cochleacuteaire est un dispositif eacutelectronique conccedilu pour induire des sensationsauditives utiles au patient malentendant par une stimulation eacutelectrique des nerfs agrave linteacute-rieur de loreille interne Il est important de noter quun systegraveme dimplant cochleacuteaire esttregraves dieacuterent dun dispositif daide auditive Ce dernier capte amplie et restitue le sonLimplant cochleacuteaire a pour objet de compenser des deacutefaillances partielles ou complegravetes departies de loreille interne Lorsque loreille interne fonctionne normalement elle convertit leson en stimuli eacutelectriques transmis au cerveau Limplant cochleacuteaire reacutealise la mecircme fonctionmecircme sil ne fournit pas agrave lutilisateur exactement la mecircme sensation Ce systegraveme permet lacommunication sans toutefois assurer une restitution sonore degravele

Description du systegraveme

Il existe de nombreux types de prothegraveses auditives Nous consideacuterons ici un exemple par-ticulier nous allons analyser la composition de ce systegraveme puis relever les caracteacuteristiquesrepreacutesentant des deacutes techniques

La Figure 17 repreacutesente un systegraveme complet de prothegravese auditive Ce systegraveme comprend un microphone pour capter le signal acoustique un module de traitement du signal analogique et numeacuterique associeacute agrave une chaicircne deacutemis-

sion un module de reacuteception et de stimulation un jeu deacutelectrodes implanteacutees dans loreille interne relieacute au module de stimulation par

une liaison laire

Figure 17 Systegraveme de prothegravese auditive agrave implant cochleacuteaire (source NIDCD [7])

Particulariteacutes du systegraveme

Une partie du systegraveme est invasive cest agrave dire quelle est implanteacutee agrave linteacuterieur du corpshumain Cette partie (les eacutelectrodes et le module connecteacute) doit donc

ne pas entraicircner de rejet ne pas provoquer de dommage lors de la mise en place ou lors du fonctionnement ne pas entraicircner de nuisance pour lutilisateur disposer dune autonomie importante ecirctre adaptable aux speacuteciciteacutes de chaque patient neacutecessiter une intervention chirurgicale la plus leacutegegravere possible

Ces particulariteacutes requiegraverent donc une tregraves grande abiliteacute une tregraves faible consommation et eacuteventuellement la mise en oeuvre de reacutecupeacuteration

deacutenergie une miniaturisation pousseacutee des possibiliteacutes de reacuteglages et de controcircleLa partie non implanteacutee doit eacutegalement

ecirctre peu encombrante et leacutegegravere (tenir dans une poche) disposer dune autonomie susante ecirctre able (en particulier ne pas transmettre agrave limplant des signaux perturbants)

142 Chaicircne deacutemission-reacuteception radio

Deacutenition

La chaicircne deacutemission-reacuteception radio est eacutetudieacutee en deacutetail dans lUE ELEC340-ISER duCycle Master Nous nous contentons ici dune description tregraves geacuteneacuterale La chaicircne deacutemission-reacuteception radio est utiliseacutee pour de tregraves nombreuses applications aux contraintes tregraves dieacute-rentes Nous nous contentons ici deacutevoquer son application en communications cellulaires etplus preacuteciseacutement pour un terminal mobile La chaicircne deacutemission reacuteception radio (encore ap-peleacute frontal radiofreacutequences) a pour objet la transmission de signaux radiofreacutequences entreune station de base et le terminal mobile qui la contient Elle reacutealise notamment les fonc-tions damplication ltrage translation en freacutequences et conversion analogique-numeacuteriqueou numeacuterique-analogique Le frontal RF est une sous-partie de lensemble complexe que consti-tue le terminal

Un scheacutema simplieacute deacutemetteur-reacutecepteur est repreacutesenteacute sur la Figure 18

G G CAN

Oscillateur

numerique

Figure 18 Scheacutema simplieacute dun frontal radiofreacutequence

Le systegraveme contient une chaicircne deacutemission (partie infeacuterieure du scheacutema) et une chaicircne dereacuteception (partie supeacuterieure du scheacutema) Ces deux chaicircnes se rejoignent avant lantenne viaun composant radiofreacutequences appeleacute duplexeur agrave pour objet la seacuteparation des signaux eacutemisde forte puissance et des signaux reccedilus de tregraves faible puissance

La voie de reacuteception contient des ltres des amplicateurs dont certains agrave gain variabledes meacutelangeurs (translatant le signal agrave des freacutequences plus basses et nalement au moins unconvertisseur analogique-numeacuterique Le signal ainsi numeacuteriseacute est ensuite deacutemoduleacute deacutecodeacutepuis exploiteacute pour lapplication voulue

A partir du signal agrave transmettre encore repreacutesenteacute sous forme numeacuterique la voie deacutemis-sion contient au moins un convertisseur numeacuterique-analogique des ltres des meacutelangeurs etnalement un amplicateur de puissance

Des freacutequences doivent ecirctre geacuteneacutereacutees et controcircleacutees en interne pour le traitement correctdes signaux Des oscillateurs et des boucles agrave verrouillage de phase sont alors neacutecessaires

Dans le cas dune chaicircne deacutemission-reacuteception radio inteacutegreacutee dans un terminal mobile lesystegraveme doit

ne pas entraicircner de nuisance eacutevidente pour lutilisateur ou son entourage disposer dune autonomie importante

ecirctre adaptable aux speacuteciciteacutes de chaque utilisateur disposer dune abiliteacute eacuteleveacutee avoir une tregraves faible consommation et eacuteventuellement mettre en oeuvre la reacutecupeacuteration

deacutenergie orir une miniaturisation pousseacutee et un faible poids proposer des possibiliteacutes de programmation (customisation)

Ces caracteacuteristiques inuent sur lensemble des domaines de deacutenition du systegraveme et enparticulier sur la conception mateacuteriellogiciel dun tel systegraveme

143 Modem ADSL

Un modem (pour modulateur-deacutemodulateur) est un systegraveme eacutelectronique dinterface entreune ligne teacuteleacutephonique et un eacutequipement informatique un ordinateur en particulier Il permetdonc dune part de transmettre via la ligne teacuteleacutephonique des donneacutees vers dautres systegravemesinformatiques et dautre part de recevoir des donneacutees issues de systegravemes informatiques dis-tants Lun des protocoles les plus couramment utiliseacute par les particuliers aujourdhui estlADSL introduit en France en 1999 ADSL signie Asymmetric Digital Subscriber Line soiten franccedilais Raccordement Numeacuterique Asymeacutetrique (RNA)

Figure 19 Connexions agrave un modem ADSL

Les communications ADSL sont compatibles avec le signal teacuteleacutephonique classique (POTS Plain Old Telephone Service) Elles ne doivent donc pas perturber le signal teacuteleacutephonique Acette n les communications ADSL utilisent une bande freacutequence distincte de celle du signalteacuteleacutephonique Les communications utilisent un spectre entre 0 kHz et 1104 kHz partageacute en 256canaux dune largeur de 4312 kHz Le premier canal (canal 0 jusquagrave asymp4 kHz) sert au signalclassique Les premiers canaux voisins ne sont pas utiliseacutes du fait dune seacuteparation assez simpleet donc tregraves imparfaite de ce canal teacuteleacutephonique Cette seacuteparation est eectueacutee par un dispositifappeleacute seacuteparateur de voies ADSLPOTS (en anglais splitter) qui est en fait un ltre freacutequentiel(Figure 19) Les signaux ADSL sont placeacutes au dessus de 25 kHz car ils sont ainsi inaudiblesLes communications montantes cest-agrave-dire de labonneacute vers le central teacuteleacutephonique occupentles canaux de 25 kHz agrave 128 kHz Les communications descendantes cest-agrave-dire du centralvers labonneacute occupent les canaux de 141 kHz jusquagrave 1 1 MHz ou parfois de 25 kHz agrave11 MHz sous certaines conditions (Figure 110) La porteacutee des communications ADSL estau plus de quelques kilomegravetres Le deacutebit possible diminue rapidement avec la distance Il existeaujourdhui diverses eacutevolutions ou variantes de communications DSL notamment ReADSLADSL 2+ SDSL VDSL2 Ces dieacuterentes techniques ameacuteliorent le deacutebit agrave courte distancemais la dieacuterence avec lADSL devient neacutegligeable au-delagrave de 2 km pour une ligne en calibre410

puissance spectrale

liaison montante liaison descendante

4kHz 25kHz 141kHz 1 1MHz

frequence

Figure 110 Bandes de freacutequences des communications ADSL

La Figure 111 repreacutesente larchitecture simplieacutee du frontal deacutemission-reacuteception dunmodem ADSL

En reacuteception apregraves une interface hybride dont la fonction est dassurer une protection dumodem vis-agrave-vis de perturbations importantes sur la ligne le signal reccedilu est tout dabordamplieacute via un premier amplicateur de gain faible Le signal est ensuite ltreacute via un ltrepasse-bande dont la fonction consiste agrave eacuteliminer tout signal ou bruit en dehors de la bandeADSL Le signal est alors de nouveau amplieacute gracircce agrave un amplicateur agrave gain variable etcontrocircleacute (AGC) permettant dadapter le gain en fonction de la puissance du signal reccedilu Lebut est daugmenter la puissance de ce signal an dexploiter au mieux la pleine dynamiquedes eacuteleacutements en aval de la chaicircne de traitement

Leacutegaliseur analogique est un ltre adaptatif permettant en permanence de compenser desdistorsions damplitude et de phase induites par la ligne teacuteleacutephonique Les caracteacuteristiques dece ltre sont ajusteacutee continuellement via un controcircle opeacutereacute par le processeur de traitementnumeacuterique du signal (DSP)

Finalement le signal analogique est transformeacute en un signal numeacuterique via un convertis-seur analogique-numeacuterique (CAN ou ADC) A ce convertisseur est souvent associeacute un ltrenumeacuterique dont la fonction est en particulier de parfaire la seacutelection de la bande spectraledinteacuterecirct

En eacutemission le signal est tout dabord mis en forme par un ltre numeacuterique Ensuite unconvertisseur numeacuterique-analogique (CNA ou DAC) restitue un signal analogique Ce signalest alors ltreacute dans le domaine analogique an de restreindre son spectre agrave la bande defreacutequences voulue Finalement le signal est amplieacute gracircce agrave un amplicateur de puissanceCette amplication est ici particuliegraverement importante car le signal parvient au central aaiblitet dans un environnement riche en interfeacuterences du fait du voisinage dense de lignes

Un modem ADSL est aujourdhui tregraves souvent une sous-partie dun systegraveme eacutelectroniqueplus complexe plutocirct quun appareil indeacutependant Il est notamment preacutesent sur des cartes-megraveres dordinateurs personnels ou associeacute agrave des routeurs reacuteseaux Le modem ADSL supposelexistence dune liaison cacircbleacutee Degraves lors il ny a normalement pas de neacutecessiteacute dautonomieeacutenergeacutetique et lutilisation du reacuteseau de distribution est possible La consommation eacutelectriquenest donc pas un critegravere primordial dans la plupart des cas sauf lorsque le modem estassocieacute agrave un ordinateur portable et deacutepend de la batterie de celui-ci Dautres caracteacuteristiquessont eacutegalement fortement deacutependantes du contexte demploi Par exemple la miniaturisationest forte sur une carte-megravere ou une carte PCMCIA et est non critique pour une utilisationdomestique

LigneF iltre

numerique

F iltrenumerique CNA Filtre

analogique

Amplificateur

CAN Egaliseuranalogique

Amplificateura gain variable

F iltreanalogique

Amplificateur

Interf

hybride

Boucle averrouillagede phase

Oscillateur Horloges

Interf

versDSP

Emetteur

Recepteur

Figure 111 Architecture dun frontal deacutemission-reacuteception ADSL

15 Deacutes techniques

Comme nous lavons expliqueacute preacuteceacutedemment linteacutegration de fonctions de traitement dusignal analogique est indispensable pour pouvoir mettre en oeuvre des systegravemes interagissantavec lenvironnement Ceci concerne par exemple quasiment tous les systegravemes de communi-cations Les attentes eacutevoluent des bandes passantes toujours plus larges sont neacutecessairesles bandes de freacutequences utiliseacutees eacutegalement du fait de lencombrement croissant du spectreDans le mecircme temps les informations agrave eacutemettre agrave recevoir agrave traiter sont plus heacuteteacuterogegraveneset requiegraverent des puissances de calcul toujours accrues Pour quexiste un marcheacute signicatifpermettant entre autre agrave lindustrie eacutelectronique de poursuivre son deacuteveloppement le coucirctnal des produits doit rester abordable et en tout cas en rapport avec le service fourni etlinnovation introduite An de reacutepondre agrave ces exigences de nouvelles technologies sont enpermanence mises au point Elles sont presque toujours optimiseacutees en premier lieu pour linteacute-gration de leacutelectronique numeacuterique Cependant linteacutegration de systegravemes monopuces confegravereaujourdhui agrave linteacutegration de fonctions analogiques ou radiofreacutequences une part croissantedans leacutevolution technologique Pour reacutepondre aux attentes exprimeacutees ci-dessus les chercheurset deacuteveloppeurs en eacutelectronique doivent relever de nombreux deacutes dont les principaux sontexposeacutes dans ce qui suit

151 Critegraveres de performances

Les critegraveres sont varieacutes Leur importance relative varie dune application agrave une autreCitons les plus courants la largeur de bande de freacutequences la consommation deacutenergie lasurface de circuit neacutecessaire agrave la mise en oeuvre la lineacuteariteacute le rapport signal sur bruitla dynamique la abiliteacute les potentialiteacutes de programmation ou de reconguration Il estimportant de noter que ces dieacuterents critegraveres sont lieacutes de faccedilon complexe Gagner sur uncritegravere peut induire de plus grandes diculteacutes agrave satisfaire les exigences sur un autre

152 Vitesse bandes de freacutequences

Les progregraves reacutealiseacutes en communications numeacuteriques ont permis en particulier daugmenterle deacutebit de transmission pour une mecircme largeur de bande Cette augmentation nest pas su-sante pour couvrir avec des bandes de quelques centaines de kHz les besoins lieacutes agrave de nouveauxusages tels que la visualisation de videacuteo (en dieacuterentes qualiteacutes)sur des terminaux mobiles (reacute-

15 DEacuteFIS TECHNIQUES 17

seaux cellulaires ou locaux) Laccroissement des largeurs de bande requiert des composantseacutelectroniques adapteacutes amplicateurs ltres convertisseurs etc tout en maintenant les exi-gences en rapport signal sur bruit en consommation en lineacuteariteacute Pour y parvenir la seuleinnovation technologique nest pas susante Linnovation en techniques de traitement dusignal en circuiterie et en architecture est indispensable

153 Consommation deacutenergie

Une fois les speacutecications dun systegraveme eacutetablies agrave partir des donneacutees de lapplication delusage particulier et des normes consideacutereacutees des performances minimales et nominales pourchaque sous-partie du systegraveme peuvent ecirctre deacutetermineacutees apregraves choix dun partitionnementmateacuteriel-logiciel puis dun partitionnement analogique-numeacuterique Le respect de ces perfor-mances par le systegraveme construit est indispensable pour garantir la fonctionnaliteacute au regard delapplication envisageacutee Dautres caracteacuteristiques telles que la consommation ninterviennentpas directement dans la fonctionnaliteacute mais ont un impact direct sur le coucirct du produit etdonc sur sa compeacutetitiviteacute La consommation peut aussi avoir un impact sur lencombrement oulautonomie du produit et donc sur son ergonomie et sa praticiteacute Moins consommer deacutenergiesignie soit une meilleure autonomie avec un mecircme type de batterie soit des batteries moinsencombrantes ou moins oneacutereuses pour une mecircme autonomie Moins consommer deacutenergiereacutepond aussi agrave une preacuteoccupation croissante de nature environnementale et eacutecologique Lagrave en-core linnovation technologique contribue agrave cet objectif agrave condition dy associer linnovationen circuit en architecture et en gestion de la consommation Ce dernier point (power mana-gement power-aware system) est devenu une preacuteoccupation systeacutematique au sein de systegravemescomplexes Leacutecart entre les preacutevisions technologiques et les preacutevisions de performances de sys-tegravemes futurs montrent que linnovation technologique ne pourra sure agrave elle seule agrave reacutepondreaux attentes

154 Surface dun circuit volume dun systegraveme

Le couple (technologie surface de puce) joue un rocircle tregraves important dans le coucirct naldun produit La reacuteduction de la surface de circuit pour la mise en oeuvre dune fonctionpeut cependant engendrer dautres diculteacutes comme une eacutenergie dissipeacutee par uniteacute de surfaceaccrue Des moyens deacutevacuation de la chaleur doivent alors ecirctre mis en oeuvre Le choixdune liegravere technologique (CMOS BiCMOS SiGe SOI AsGa etc) puis dune geacuteneacuterationtechnologique inue sur la faisabiliteacute du systegraveme sur la surface de puce neacutecessaire et donc sur lecoucirct nal Au sein dune mecircme liegravere le CMOS par exemple il faut encore deacuteterminer si des options technologiques sont souhaitables transistors agrave faible tension de seuil mateacuteriaufortement reacutesistif oxyde mince entre couches meacutetalliques pour implantation de capaciteacutesetc Pour chaque projet ce choix doit ecirctre eacutetabli en fonction de la preacutevision de surfacedu coucirct surfacique de la technologie du surcoucirct des options etc mais aussi du savoir-fairedes concepteurs dans la technologie consideacutereacutee de la disponibiliteacute de plusieurs sources defonderie de la possibiliteacute de reacuteutiliser pour dautres projet le travail eectueacute Pour une liegraveredonneacutee la technologie la plus avanceacutee ne constitue pas toujours le meilleur choix lagrave encoreune estimation de surface pour le systegraveme complet est neacutecessaire Les fonctions numeacuteriquesbeacuteneacutecient pleinement de lavanceacutee technologique en terme de densiteacute et de vitesse Il nenva pas de mecircme pour les blocs analogiques dont la surface ne diminue que tregraves lentementen fonction de leacutevolution technologique En revanche le coucirct du mm2 de circuit croicirct tregravesfortement dune geacuteneacuteration technologique agrave une autre

155 Inteacutegration de systegravemes monopuces

Linteacutegration de systegravemes monopuces induit divers deacutes techniques dont certains deacutejagrave citeacutespreacuteceacutedemment Nous pouvons ajouteacute agrave ceux deacutejagrave citeacutes preacuteceacutedemment la neacutecessaire maicirctrise

des couplages et interfeacuterences sur la puce Certains composants sont sources de bruit dautrescomposants ou mateacuteriaux le transportent et dautres enn sont particuliegraverement sensibles Enparticulier les circuits analogiques sensibles doivent ecirctre isoleacutes le plus possibles des circuitsnumeacuteriques sources de bruit ducirc aux commutations

156 Outils daide agrave la conception

La maicirctrise des coucircts impose lemploi doutils daide agrave la conception an dameacuteliorer etde abiliser la production Il sagit

doutils de synthegravese pour aner une repreacutesentation de tout ou partie dun systegravemejusquagrave la creacuteation des masques (repreacutesentation bidimensionnelle des dieacuterentes couchesconductrices et semi-conductrices constituant la structure physique dun circuit)

doutils danalyse et de veacuterication pour sassurer que les performances atteintes sontconformes aux speacutecications

Il est important de noter que la conception de circuits analogiques ou mixtes est encore engrande partie non automatiseacutee requeacuterant ainsi le savoir-faire de concepteurs speacutecialiseacutes

Bibliographie

[1] An introduction to FD-SOI httpswwwyoutubecomwatchv=uvV7jcpQ7UY

[2] IC Insights httpwwwicinsightscom

[3] Semiconductor Industry from 2015 to 2025 httpwwwibs-incnetwhite-paper

[4] Understanding The FinFet Semiconductor Process httpswwwyoutubecomwatch

v=Jctk0DI7YP8

[5] International Technology Roadmap for Semiconductors httpwwwitrs2net

[6] F Maloberti and A Davies A short history of circuits and systems River 2016

[7] National Institute on Deafness and National Institutes of Health Other Communication Di-sorders wwwnidcdnihgovhealth

[8] G Scalise SIA World Semiconductor Forecast 2007 wwwsia-onlineorg June 2007

Chapitre 2

Transformeacutee de Laplace

Les transformeacutees de Laplace et en Z sont (avec la transformeacutee de Fourier) les outils ma-theacutematiques pour le traitement des signaux et des systegravemes analogiques en temps continu ouen temps discret 1

An de mettre en divideuvre ces outils matheacutematiques il est neacutecessaire de comprendre leacuteco-systegraveme (un peu matheacutematique mais surtout physique) dans lequel ils se deacutenissent Parmiles notions essentielles dans cet eacutecosystegraveme on trouve le concept de signal de systegraveme et demodegravele puisque les transformeacutees servent essentiellement dans lanalyse des signaux et dansla modeacutelisation des systegravemes cest pourquoi ce chapitre deacutebute par la deacutenition de ces no-tions Une fois ces notions approprieacutees lapplication des transformeacutees se deacuteveloppera asseznaturellement

Pour des raisons de coheacuterence peacutedagogique et au grand deacutesarroi des matheacutematiciens theacuteo-riciens et des physiciens passioneacutes danalyse 2 nous naborderons que (tregraves) partiellementcertains concepts purement matheacutematiques Par exemple nous eacuteluderons 3 les questions deconvergence dinteacutegrales et la theacuteorie des distributions (qui sont pourtant les bases matheacutema-tiques fondamentales des theacuteories des transformeacutees)

21 Concepts preacuteleacuteminaires signaux systegravemes et modeacutelisation

211 Signaux et systegravemes

Tout pheacutenomegravene physique variant dans le temps qui est destineacute agrave transmettre de lin-formation est un signal Des exemples de signaux sont la voix humaine la langue des signesle code Morse les feux de signalisation les tensions dans les cacircbles teacuteleacutephoniques les champseacutelectriques eacutemanant des eacutemetteurs de radio ou de teacuteleacutevision et les variations dintensiteacute lumi-neuse dans une bre optiqueLe bruit est aussi un signal en ce quil sagit dun pheacutenomegravene physique variant dans le tempsmais il ne transporte geacuteneacuteralement pas dinformation utile et est consideacutereacute comme indeacutesirablePlus preacuteciseacutement on peut remarquer que la distinction entre signal et bruit est articielle etdeacutepend des critegraveres propres de lutilisateur Ce qui dieacuterencie le signal du bruit est donclinteacuterecirct de lobservateur

Les signaux sont exploiteacutes par des systegravemes Lorsquune ou plusieurs excitations (appeleacuteessignaux dentreacutee) sont appliqueacutees agrave une ou plusieurs entreacutees du systegraveme le systegraveme produitune ou plusieurs reacuteponses (appeleacutees signaux de sortie) agrave ses sorties

Les capteurs et les instruments scientiques sont des systegravemes qui mesurent des pheacuteno-megravenes physiques (tempeacuterature pression vitesse etc) et les convertissent en une grandeur

1 Note Le contenu de ce chapitre sinspire fortement du contenu dun certain nombre de livres Ces livrescorrespondent aux reacutefeacuterences bibliographiques suivantes [6 3 7] Ces ouvrages sont donc recommandeacutes si lebesoin dapprofondir les notions preacutesenteacutees dans ce chapitre se faisait sentir

2 mais au plus grand plaisir des autres3 outrageusement

20 CHAPITRE 2 TRANSFORMEacuteE DE LAPLACE

SystegravemeExcitation

Signal dentreacutee

Reacuteponse

Signal de sortie

Figure 21 Scheacutema bloc dun systegraveme agrave entreacutee unique et sortie unique

exploitable comme une tension ou un courant Lacquisition de signaux comme ceuxpreacute-citeacutes est le coeur mecircme de ce module denseignement

En deuxiegraveme eacutetape le pheacutenomegravene observable est traduit par un modegravele matheacutema-tique La repreacutesentation classique intuitive est une fonction du temps mais la repreacutesen-

Valeur du signal

Systegraveme

Figure 22 Repreacutesentation classique dun systegraveme

tation spectrale est eacutegalement un moyen de caracteacuteriser parfaitement les signaux (dualiteacutetemps-freacutequence) et de faciliter leacutetude des systegravemes

Ainsi lacquisition dun signal a deux objectifs principaux lexploiter plus ou moins directement pour en un extraire un message lorsquil

sagit dune communication lanalyser pour extraire des proprieacuteteacutes lieacutees agrave son obtention par exemple an de reacutealiser

des preacutedictions ceci sappelle de la modeacutelisationCes deux exploitations des signaux sont relativement dieacuterentes mais fortement lieacutees Lestravaux dun ingeacutenieur se caracteacuteriseront universellement par une phase de modeacutelisation Cettephase est tellement naturelle quil est souvent dicile pour leacutetudiant-ingeacutenieur de dissocierla phase de modeacutelisation de lanalyse dun systegraveme reacuteel 4 Un des objectifs secondaire de cecours sera de sensibiliser agrave la dieacuterenciation de ces phases

Signaux

Pour analyser les signaux nous devons comprendre leur nature et par la mecircme occasionles classier an de clarier les limites de notre analyse Les signaux sont classieacutes en fonctionde leurs caracteacuteristiques et proprieacuteteacutes de base et nous allons voir quil y a dieacuterentes maniegraveresde les classier

Dans lanalyse des signaux et des systegravemes les signaux sont souvent deacutecrits par des fonc-tions matheacutematiques dune ou plusieurs variables indeacutependantes Certaines des fonctions quideacutecrivent des signaux communs devraient deacutejagrave ecirctre familiegraveres comme les sinusoiumldes

Il faut comprendre degraves agrave preacutesent que les signaux peuvent ecirctre consideacutereacutes sur deux plans 5 un plan reacuteel ou expeacuterimental un plan theacuteorique

Dans le premier cas on parlera de signal expeacuterimental Il sagira de limage dun processusphysique et pour cette raison il doit ecirctre physiquement reacutealisable Il est ainsi soumis agrave une

4 La premiegravere consiste agrave reproduire le comportement plus ou moins complexe dun systegraveme agrave partirdune description que lon sait plus ou moins erroneacutee la deuxiegraveme peut se caracteacuteriser par la recherche ou lacompreacutehension de ce que la modeacutelisation narrive pas agrave reproduire

5 ce qui suit est tregraves inspireacute du livre [4] son contenu eacutetant dune clarteacute ineacutegalable le paragraphe ici preacutesenten est une quasi-reproduction

21 CONCEPTS PREacuteLEacuteMINAIRES SIGNAUX SYSTEgraveMES ET MODEacuteLISATION 21

seacuterie de contraintes (qui pourront ecirctre modeacuteliseacutees dun point de vue matheacutematique) leacutenergie du signal doit ecirctre borneacutee lamplitude du signal doit ecirctre borneacutee dans les systegravemes analogiques lamplitude sera une fonction continue car linertie des

systegravemes reacuteels interdit toute discontinuiteacute le spectre du signal est lui aussi borneacute et doit tendre vers zeacutero lorsque la freacutequence

tend vers linniDans le deuxiegraveme cas on consideacuterera directement et souvent 6 de maniegravere implicite le modegraveledu signal qui sera donc une fonction matheacutematique Il tregraves important de noter degraves agrave preacutesentquil sera tregraves courant dutiliser une repreacutesentation simplieacutee et parfois inexacte en choisissantdes modegraveles commodes et qui par exemple ne respecteront pas les proprieacuteteacutes de reacutealisabiliteacuteeacutenonceacutees preacuteceacutedemment

Cest ainsi que lon fait un usage universel de modegraveles de signaux agrave eacutenergie theacuteoriqueinnie agrave amplitude non borneacutee ou subissant des discontinuiteacutes 7

Lusage et la qualiteacute dun modegravele deacutependent donc de la qualiteacute de lapproximation viseacuteeet de la commoditeacute demploi

On peut classier les modegraveles de signaux selon dieacuterents modes dont les principaux sont une classication pheacutenomeacutenologique le signal est alors caracteacuteriseacute par ses proprieacuteteacutes

ou son eacutevolution deacuteterministes ou bien aleacuteatoires une classication eacutenergeacutetique on se focalise dans ce cas sur les caracteacuteristiques eacutener-

geacutetiques et de puissance On y remarquera les signaux agrave eacutenergie nie (physiquementreacutealisables) et certains signaux purement theacuteoriques (mais tregraves pratiques agrave manipuler)comme les signaux agrave puissance moyenne nie et mais agrave eacutenergie innie

une classication morphologique dans ce cas on distinguera les signaux selon le ca-ractegravere continu ou discret de lamplitude et du temps On y distinguera les signauxanalogiques temps continu ou temps discret les signaux quantieacutes temps continu etles signaux numeacuteriques

Signaux analogiques et ses discreacutetisations possibles Dans ce cours nous precircterons uneattention toute particuliegravere agrave la derniegravere classication car la nature du temps et de lamplitudeimplique des proprieacuteteacutesinterpreacutetations des transformeacutees bien speacuteciques (cf peacuteriodisation duspectre disque de convergence) La Figure 23 illustre les dieacuterentes morphologies de signauxque nous allons analyser dans le cours Le signal analogique (x(t)) se caracteacuterise par le fait quetoutes les grandeurs sont continues (temps et amplitude) Tous les autres signaux possegravedentau moins une grandeur discreacutetiseacutee

le signal (analogique) eacutechantillonneacute (x(tk)) temps discret uniquement le signal quantieacute (xq(t)) amplitude discregravete uniquement le signal numeacuterique (xq(tk)) amplitude et temps discrets

Les signaux agrave temps discret x[k] et xq[k] sont aussi appeleacutes des seacutequences en theacuteorie du signalLopeacuteration de discreacutetiser le temps sappelle aussi eacutechantillonnage (temporel) Cette opeacuterationsera eacutetudieacutee en deacutetails dans le chapitre 5

Caracteacuteristiques suppleacutementaires Les signaux sont de dureacutee nie lorsque le pheacutenomegravene ne se manifeste que sur un

intervalle de temps ni Si leur dureacutee est faible on parle de signaux transitoires ouimpulsionnels

Les signaux de dureacutee innie sont stationnaires si leurs uctuations observent une cer-taine reacutegulariteacute quelque soit t cest le cas des signaux peacuteriodiques ou quasi peacuteriodiques(superposition de plusieurs composantes harmoniques quelconques)

6 si ce nest pas systeacutematiquement7 ces signaux sont alors repreacutesenteacutes par des distributions

Amplitude

Continue DiscregraveteNaturedu

Continu

x (t )

Signal analogique

xq (t )

Signal quantifieacute

Discret

x (t k)≝x [k ]

kSignal eacutechantillonneacute

xq (t k)=xq [k ]

kSignal numeacuterique

Figure 23 Classication morphologique des signaux illustrations et notations

Les signaux sont causaux si leurs valeurs sont nulles pour t k lt 0 ou anticausaux sileurs valeurs sont nulles pour t k gt 0

Exemples de signaux usuels Eacutechelon uniteacute (Heaviside)

u(t) =

0 si t lt 0

1 si t ge 0u[k] =

0 pour k lt 0

1 pour k ge 0 Impulsions

Impulsion de Dirac Impulsion discregravete

δ(t) =

0 si t 6= 0

infin si t = 0δ[k] =

0 pour k 6= 0

1 pour k = 0int +infin

minusinfinδ(t)ϕ(t) dt = ϕ(0) (1)

Limpulsion de Dirac en continu est une distribution qui associe agrave toute fonction conti-nue sa valeur agrave lorigine elle modeacutelise la deacuteriveacutee dun eacutechelon uniteacute

Signal sinusoiumldal x(t) = A cos(2πf0t+ ϕ) x[k] = A cos(2πν0k + ϕ)

Freacutequence f0 isin [0infin] Freacutequence reacuteduite ν0 isin[0

Amplitude A Amplitude APhase agrave lorigine ϕ isin [minusππ] Phase agrave lorigine ϕ isin [minusππ]

Fait remarquable contrairement au cas continu un signal sinusoiumldal agrave temps discretnest pas systeacutematiquement peacuteriodique et de peacuteriode eacutegale agrave linverse de la freacutequenceLe cas peacuteriodique ne se produit que pour ν0 = 1N ougrave N est entier

Systegravemes

Le concept de systegraveme est utile pour traiter des dispositifs ou des processus reacuteels agrave desns danalyse et de synthegravese Une ligne de transmission par exemple est un systegraveme mecircmesi physiquement il ne sagit que de ls reliant deux bornes Un autre exemple de systegraveme

est un ltre RLC constitueacute de reacutesistances de condensateurs et dinductances Nous allonsvoir quen repreacutesentant ces composants par des modegraveles 8 on peut en eectuer lanalyse et lasynthegravese Aussi plus largement dans un systegraveme de communication un eacutemetteur produit unsignal et un reacutecepteur lacquiert Ce qui seacutepare (au sens physique ou bien au sens conceptuel)leacutemetteur et le reacutecepteur sappelle le canal et cest le chemin emprunteacute par un signal lorsdune transmission entre un eacutemetteur et un reacutecepteur Des perturbations sont ineacutevitablementintroduites par leacutemetteur le canal et le reacutecepteur et ces perturbations seront appeleacutees bruitsetou distorsions Leacutemetteur le canal et le reacutecepteur sont tous des composants ou sous-systegravemes du systegraveme global

La meacutethodologie associeacutee agrave la modeacutelisation et agrave lanalyse de tels (sous-)systegravemes est es-sentielle agrave la conception de ces mecircme systegravemes

Comme mentionneacute preacuteceacutedemment un systegraveme met en relation une ou plusieurs sortiesavec une ou plusieurs entreacutees Dans le cas dun systegraveme agrave une entreacutee et une sortie on note Hla relation fonctionnelle entre x et y

y = H(x) (2)

Systegraveme HEntreacutee x Sortie y

Figure 24 Scheacutema bloc dun systegraveme avec une entreacutee x et une sortie y

Pour caracteacuteriser ou concevoir nos systegravemes nous devons travailler avec un modegravele

Modeacutelisation

Par deacutenition le modegravele permettra de reproduire le comportement du systegravemes en coursdeacutetude en dautres termes il sagira dune ideacutealisation matheacutematique du comportement dessystegravemes

Dans le contexte de leacutelectronique et du traitement du signal on commence par eacutetudierles modegraveles lineacuteaires et invariant dans le temps (LTI) car les composants eacutelectronique de basese modeacutelisent par ce type de modegraveleCependant on pourra garder en tecircte que la plupart des systegravemes pratiques sen eacutecartentmais que malgreacute cela le comportement de nombreux dispositifs sapproxime convenablementpar ces modegraveles LTI ce qui est susant pour aborder les premiegraveres phases de conception dessystegravemes Un exemple concret que nous traiterons dans un prochain chapitre est le transistorCest un dispositif non lineacuteaire et on lanalyse agrave laide de modegraveles lineacuteaires autour dun pointde fonctionnement

Pour conclure vous verrez aussi que certaines opeacuterations essentielles des systegravemes decommunication et de traitement ne correspondent pas au modegravele LTI et quelles sintegravegrentdans une theacuteorie plus large des systegravemes non lineacuteaires ou variant dans le temps comme lesopeacuterations deacutechantillonnage ou de quantication

Modegraveles et systegravemes LTI (MLISLI)

Un systegraveme est dit lineacuteaire si son modegravele respecte la proprieacuteteacute suivante

aiH (xi) (3)

ougrave les ai sont des coecients constants Ceci est eacutequivalent au principe de superposi-tion

8 ideacuteaux en premier lieux

Un systegraveme est dit invariant si son modegravele ne deacutepend pas du temps

Selon la nature des signaux x et y le systegraveme peut ecirctre homogegravene (x et y de mecircme nature)ou mixte (continueacutechantillonneacute analogiquenumeacuterique)Pour les systegravemes analogiques voici les quatre possibiliteacutes assorties dun exemple usuel

x et y continus

x (t)=u (t )Eacutechelon uniteacute

y (t)=1minuseminustRC

RCy(1)(t) + y(t) = u(t)

Figure 25 Filtre RC

Le comportement de ce type de systegraveme peut ecirctre modeacuteliseacute par une eacutequation dieacuteren-tielle dordre n agrave coecients reacuteels et constants

b0y(t) + b1y(1)(t) + + bny

(n)(t) = a0x(t) + + amx(m)(t) avec m 6 n (4)

x et y eacutechantillonneacutes

Filtredeacuterivateur

-4 -2 0 2 4 6

x [k ] y [k ]=x [k ]minusx [kminus1]

-4 -2 0 2 4 6

Figure 26 Filtre deacuterivateur temps-discret

Ce ltre reacutealise la dieacuterence entre deux points conseacutecutifs dougrave son nom de deacuterivateurLe comportement de ce type de systegraveme peut ecirctre modeacuteliseacute par une `eacutequation auxdieacuterences nies dordre n agrave coecient αi et βi reacuteels et constants

y[k] = minusnsum

βiy [k minus i] +msum

αjx [k minus j] ougrave m et n sont nis (5)

x continu et y eacutechantillonneacute eacutechantillonneur reacuteel agrave pas constant Te et dureacutee de fer-meture τ (τ ltlt Te)

x (t)T e y [k ]=x (t ϵ) pour k T eltt ϵltk T e+τ

Peacuteriode drsquoeacutechantillonnage

Figure 27 Eacutechantillonnage reacuteel (avec dureacutee de fermeture non-nulle)

x eacutechantillonneacute et y continu interpolation dordre 0 ou blocage

Bloqueurdrsquoordre 0

-4 -2 0 2 4 6

x [k ] y (t)

-4 -2 0 2 4 6

Figure 28 Blocage dordre 0

Pour le traitement matheacutematique les systegravemes inhomogegravenes (dun point de vue tempo-rel) sont deacutecomposeacutes en sous systegravemes homogegravenes relieacutes par des eacutechantillonneurs etou desinterpolateurs qui font les interfaces de changement de domaine

Les outils matheacutematiques et leurs proprieacuteteacutes sont deacutenis pour les systegravemes homogegravenescontinus ou eacutechantillonneacutes

Proprieacuteteacute Un SLI est un systegraveme de convolution

Deacutemonstration

Temps discret

La reacuteponse impulsionnelle est la sortie correspondante agrave une entreacutee impulsionnellex[k] = δ[k]

Systegraveme HEntreacutee x[k] = δ[k] Sortie y[k]

Puis une entreacutee quelconque x[k] peut ecirctre deacutecomposeacutee en une somme dimpulsionsdiscregravetes

x[k] =sum

x[n]δ[k minus n] (6)

Le systegraveme H est lineacuteaire et invariant donc

y[k] =sum

x[n]H δ[k minus n] (7)

x[n]h[k minus n] (8)

Ceci est un produit de convolution discret noteacute lowast

y[k] = x lowast h[k] (9)

Temps continu

De mecircme dans le cas continu une entreacutee quelconque peut ecirctre deacutecomposeacutee en unesomme dimpulsions reacuteelles de largeur τ

minus τ2

δτ (t )

δ(t )=limτrarr0

δτ (t )

Figure 29

x(t) sum

x(nτ)τδτ (tminus nτ) minusminusminusrarrτrarr0

x(t) =

int +infin

minusinfinx(θ)δ(tminus θ)dθ (10)

SLIminusminusrarr x(t) sum

x(nτ)τhτ (tminus nτ) minusminusminusrarrτrarr0

x(t) =

int +infin

minusinfinx(θ)h(tminus θ)dθ (11)

Ceci est un produit de convolution continu noteacute eacutegalement lowast

y(t) = x lowast h(t) (12)

Autres proprieacuteteacutes

Le produit de convolution est commutatif

y(t) = x lowast h(t) = h lowast x(t) =

int +infin

minusinfinh(θ)x(tminus θ)dθ (13)

y[k] = x lowast h[k] = h lowast x[k] =sum

h[n]x[k minus n] (14)

Dans le cas dun systegraveme causal la reacuteponse agrave un instant donneacute ne deacutepend que desvaleurs preacuteceacutedentes de lentreacutee (h(t) = 0 pour t lt 0 ou h[n] = 0 pour n lt 0)

y(t) =

int +infin

0h(θ)x(tminus θ)dθ (15)

y[k] =+infinsum

Certains systegravemes discrets ont une reacuteponse impulsionnelle de dureacutee nie (systegraveme RIF)tandis que dautres ont une reacuteponse impulsionnelle de dureacutee innie (systegravemes RII)

Tous les systegravemes continus reacuteels ont une reacuteponse impulsionnelle de dureacutee innie

22 DEacuteFINITION ET PROPRIEacuteTEacuteS DE LA TRANSFORMEacuteE DE LAPLACE 27

212 Geacuteneacuteraliteacutes sur les transformeacutees

En matheacutematiques une transformeacutee consiste agrave associer une fonction deacutenie sur un do-maine agrave une autre fonction deacutenie sur un domaine eacuteventuellement dieacuterent Lapplicationprincipale que nous en ferons consiste agrave eacutetudier un signal deacuteni sur le domaine temporel parsa transformation sur le domaine freacutequentiel

Il existe une grande varieacuteteacute de transformeacutees (Fourier Laplace Z cosinus Walsh onde-lettes) et chacune peut avoir des deacutenitions variables en fonction de lespace de fonctionenvisageacute Dans ce module denseignement nous utiliserons intensivement

la transformeacutee de Laplace et sa restriction la transformeacutee de Fourier (qui servira essentiellement agrave tracer les

reacuteponses freacutequentielles) la transformeacutee en Z et sa restriction la transformeacutee de Fourier agrave temps discret (qui servira aussi essentiel-

lement agrave tracer les reacuteponses freacutequentielles)En pratique leacutetude de la transformeacutee de Laplace se fait souvent apregraves leacutetude des seacuteries de

Fourier et de leur extension continue la transformeacutee de Fourier En eet lapproche classiquepour eacutetendre la seacuterie de Fourier agrave la transformeacutee de Fourier consiste agrave consideacuterer que la peacuteriodefondamentale dun signal peacuteriodique peut augmenter agrave linni faisant fusionner les freacutequencesdiscregravetes kf0 de la SFTC (seacuterie de Fourier temps continue) dans le continuum de freacutequencesf de la TFTC (transformeacutee de Fourier temps continue)

Concernant la transformeacutee de Laplace il existe deux approches communes pour lintro-duire Une approche consiste agrave concevoir la transformeacutee de Laplace comme une geacuteneacuteralisationde la transformeacutee de Fourier en exprimant des fonctions comme des combinaisons lineacuteairesdexponentielles complexes plutocirct que comme des combinaisons lineacuteaires de la classe plus res-treinte de fonctions des sinusoiumldes complexes utiliseacutees dans la transformeacutee de FourierLautre approche consiste agrave exploiter la nature unique de lexponentielle complexe en tantque fonction propre des eacutequations dieacuterentielles qui deacutecrivent les systegravemes lineacuteaires et agrave serendre compte quun systegraveme LTI exciteacute par une exponentielle complexe reacutepond avec uneautre exponentielle complexe La relation entre les exponentielles complexes dexcitation etde reacuteponse dun systegraveme LTI est la transformeacutee de LaplaceDans ce cours nous priviligierons la premiegravere approche

22 Deacutenition et proprieacuteteacutes de la transformeacutee de Laplace

Loutil matheacutematique qui lie les domaines temporel et freacutequentiel est la transformeacutee deFourier

X(ω) =

int +infin

minusinfinx(t) eminusjωt dt (17)

X(ω) peut sinterpreacuteter comme la projection de x(t) sur le signal harmonique eminusjωt oncherche dans toute lhistoire (passeacute et future) de x(t) ce qui correspond agrave la pulsation ω

221 Deacutenition condition dexistence

La transformeacutee de Laplace constitue une extension de la deacutenition de la transformeacutee deFourier agrave tout le plan complexe de la variable freacutequentielle

La deacutenition retenue est celle de la TL unilateacuterale car en pratique les signaux et leurssystegravemes de traitement sont causaux La borne infeacuterieure est xeacutee agrave 0minus pour englober uneeacuteventuelle discontinuiteacute ou impulsion qui se produirait en t = 0

X(p) =

int +infin

0minusx(t) eminusσteminusjωtdt (18)

Fourier Laplace

σ=0larrminusminusminusminusminusminusp=jω σ

Figure 210

Le facteur eminusσt est un facteur de convergence que la transformeacutee de Fourier ne possegravedepas Il en reacutesulte que la transformeacutee de Laplace est deacutenie (convergente) pour un plus grandnombre de signaux en particulier les signaux dont la croissance est exponentielle

Notation Il y a quelques variations de notations On utilisera le plus souvent

TL(f) ou Lf(t) ou Lf(p) ou TLf(p) ou F (p)

Exemple la fonction f(t) = exp(αt) ougrave α est une constante reacuteelle positive ne possegravede pasde transformeacutee de Fourier En revanche pour σ gt α la transformeacutee de Laplace est deacutenie etvaut F (p) = 1

pminusα Ce reacutesultat sobtient simplement par

F (p) =

int +infin

0minusexp[(αminus p)t] dt (19)

F (p) =1

αminus p[

exp[(αminus σ)t] exp(minusjωt)]infin

Et le plan de convergence est repreacutesenteacute agrave la Figure 211

Figure 211

La transformeacutee de Laplace dune fonction x(t) est donneacutee par lensemble de la fonctionX(p) et de la bande de convergence

Une condition susante pour lexistence de la TL est quil existe un reacuteel positif σ0 tel quelinteacutegrale suivante converge int +infin

0minus|x(t)| eminusσ0t dt (21)

Puis pour tout σ gt σ0 linteacutegrale a fortiori converge et donc la TL est deacutenieTous les signaux causaux qui ont une transformeacutee de Laplace sont tels que cette transfor-

meacutee existe dans un demi plan droit (contenant lt(p) = +infin)

Pour satisfaire agrave cette condition x(t) doit ecirctre localement sommable et la croissance dex(t) avec t ne doit pas ecirctre trop rapide x(t) doit ecirctre dordre exponentiel ie il existe deuxreacuteels positifs M et α tels que pour trarrinfin

|x(t)| lt M eαt (22)

Exemples f(t) = K une constante il existe M tel que |K| lt M eαt avec α gt 0 quand t rarr infin

K est dordre exponentiel

f(t) = tn n gt 0 comme limtrarrinfin(

exp(αt)

)= 0 avec α gt0 il existe M tel que |tn| lt

M eαt quand trarrinfin tn est dordre exponentiel En revanche f(t) = exp(t3) nest pas dordre exponentiel

222 La transformeacutee de Laplace de quelques signaux

Echelon uniteacute (Heaviside)

TL(u) =

int infin

0minusu(t) eminustp dt (23)

int infin

0minuseminustp dt (24)

=[minus 1

peminustp

]infin0minus

TL(u) =1

ppour lt(p) gt 0 (26)

Impulsion de Dirac

TL(δ) =

int infin

0minusδ(t) eminustp dt (27)

TL(δ) = 1 (28)

Toute leacutenergie de limpulsion de Dirac est concentreacutee en 0 (de 0minus agrave 0+) donc elle estbien englobeacutee dans linteacutegrale gracircce au choix de la borne 0minus pour la deacutenition de laTL unilateacuterale

Signal sinusoiumldal complexe f(t) = exp(plusmnjω0t) (29)

ougrave ω0 est une constante reacuteelle positive (pulsation)

TL(f) =

int infin

0minusexp(plusmnjω0t) eminustp dt (30)

minuspplusmn jω0

[exp [(minuspplusmn jω0)t]

]infin0minus

TL(f) =1

p∓ jω0pour lt(p) gt 0 (32)

223 Proprieacuteteacutes de la TL

Lineacuteariteacute

aixi(t)

ai TL [xi(t)] (33)

ougrave les ai sont des constantes Application deacutetermination des TL des fonctions cos(ω0t) et sin(ω0t)

TL [cos(ω0t)] = TL

[ejω0t + eminusjω0t

2(pminus jω0)+

2(p+ jω0)=

p2 + ω20

TL [sin(ω0t)] = TL

[ejω0t minus eminusjω0t

2j(pminus jω0)minus 1

2j(p+ jω0)=

p2 + ω20

Contractiondilatation temporelle Multiplication de la variable t par une constantepositive α

TL[x(αt)] =1

αX( pα

Deacuteriveacutee temporelle

[dx(t)

]= pX(p)minus x(0minus) (37)

Cette proprieacuteteacute est tregraves importante la deacuteriveacutee dans le domaine temporel correspond agrave unemultiplication par la variable complexe p dans le domaine freacutequentiel (avec laddition determes correspondant aux conditions initiales) Donc lopeacuteration transcendante de deacuterivationest convertie en une opeacuteration algeacutebrique de multiplication Ceci est le vrai pouvoir de la TLqui la rend si utile pour reacutesoudre les eacutequations dieacuterentielles

Inteacutegration temporelle

[int t

0minusx(τ) dτ

pX(p) (38)

Cette relation montre que linteacutegration dans le domaine temporel correspond agrave une divisiondans le domaine freacutequentiel

En combinant les deux derniegraveres proprieacuteteacutes nous pouvons conclure que gracircce agrave la TL leseacutequations inteacutegro-dieacuterentielles sont remplaceacutees par des eacutequations algeacutebriques

Application deacutetermination de la TL de la fonction fn(t) = tn ougrave n est un entierSachant que la TL de leacutechelon uniteacute u(t) vaut 1

f1(t) = t u(t) =

0minusu(τ) dτ =rArr TL (f1) =

pTL(u(t)) =

p2(39)

f2(t) = t2 u(t) = 2

0minusτ dτ =rArr TL (f2) =

pTL(t u(t)) =

p3(40)

fn(t) = tn u(t) = n

0minusτnminus1 dτ =rArr TL (fn) =

pTL(fnminus1(t)) =

pn+1(41)

Dieacuterentiation dans le domaine freacutequentiel

TL[minust x(t)] =dX(p)

dp(42)

Inteacutegration dans le domaine freacutequentiel

int infin

pX(p) dp (43)

Translation en temps

TL [x(tminus α)u(tminus α)] = eminusαpX(p) (44)

Translation en freacutequence

eαt x(t)]

= X(pminus a) (45)

Convolution en temps

TL [x1 lowast x2(t)] = X1(p) middotX2(p) (46)

Signaux peacuteriodiques x(t) peacuteriodique de peacuteriode T

TL [x(t)] =1

1minus eminusTp

0x(t) eminustp dt (47)

224 Theacuteoregravemes de la valeur initiale de la valeur nale

Theorem 21 Soit x(t) un signal causal de transformeacutee X(p) agrave condition que les limitesexistent on a

limtrarr0+

x(t) = limpisinR prarr+infin

pX(p) (48)

limtrarr+infin

x(t) = limpisinR prarr0+

pX(p) (49)

Le theacuteoregraveme de la valeur initiale permet de connaicirctre la valeur de deacutepart de x(t) agrave partirde sa transformeacutee de LaplaceLe theacuteoregraveme de la valeur nale permet de deacuteterminer la valeur de x(t) agrave leacutetat stable agrave partirde sa transformeacutee de Laplace

Exemple On a la transformeacutee de Laplace suivante

X(p) =5p+ 3

p(p+ 1)(50)

pX(p) =5p+ 3

p+ 1et

x(0+) = limpisinR prarr+infin pX(p) = 5

x(infin) = limpisinR prarr0+ pX(p) = 3(51)

Pour connaicirctre complegravetement x(t) agrave partir de sa transformeacutee de Laplace il faut inverser latransformeacutee de Laplace

225 Transformeacutee inverse reacutesumeacute succinct

En toute rigueur quand on introduit la transformeacutee de Laplace il est dusage de preacutesen-ter lopeacuteration inverse agrave savoir la transformeacutee inverse de Laplace Cependant la deacutenitioncomplegravete de la transformeacutee de Laplace inverse (TLminus1) requiert un bagage theacuteorique (espacesde fonctions existence theacuteoregraveme des reacutesidus ) qui ne sera pas ecirctre deacuteveloppeacute ici pour desraisons de coheacuterence peacutedagogique

Nous indiquerons donc succinctement que sous les bonnes conditions dans le cas geacuteneacuterallinverse de la fonction de Laplace X(p) sobtient par la formule suivante

x(t) =1

int σ0+jinfin

σ0minusjinfinX(p) ept dp (52)

On peut voir que la transformeacutee inverse de Laplace preacutesente la mecircme structure que la trans-formeacutee inverse de Fourier et en fait que toutes les transformeacutees inverses Cette expressionest en pratique dicile agrave exploiter et on utilise deux approches pour traiter les problegravemesdinversion de Laplace

quand X(p) nest pas particuliegravere on utilise le theacuteoregraveme des reacutesidus quand X(p) seacutecrit sous forme dune fonction rationnelle on la deacutecompose en eacuteleacutements

simples puis on inverse chaque eacuteleacutements simples

De la mecircme maniegravere que nous avons eacuteludeacute les deacutetails matheacutematiques lieacutes agrave la deacutenition de latransformeacutee de Laplace inverse nous ne deacutevelopperons pas les deacutetails concernant le premier cas(theacuteoregraveme des reacutesidus) Cependant nous encourageons lela lecteurtrice curieuxse (etoupassionneacutee) agrave consulter les reacutefeacuterences bibliographiques suivantes qui traitent du sujet demaniegravere rigoureuse

Transformeacutees de Laplace des fonctions et des distributions J-L Raimbault (Polytech-nique2008)

Chapitre 9 Transformation de Laplace J-B Zuber (Jussieux2013)Enn il est agrave noter que dans le cadre des systegravemes eacutelectroniques eacutetudieacutes dans ce cours il

ne sera traiteacute quasiment exclusivement que des fonctions de Laplace de type fonction ration-nelle Cest pourquoi nous ne deacutevelopperons que ce cas dusage dinversion de transformeacutee deLaplace

226 La transformeacutee inverse dune fonction rationnelle

Nous consideacuterons la fonction de la variable complexe p suivante

F (p) =N(p)

D(p)(53)

ougrave N(p) et D(p) sont des polynocircmes agrave coecients reacuteels et deg(N) lt deg(D)

Une meacutethode ecace pour obtenir la TLminus1 de F (p) repose sur la deacutecomposition en eacuteleacute-ments simples Les TLminus1 des eacuteleacutements simples sont connues et reacutepertorieacutees (voir tableau enannexe) Lavantage de cette deacutecomposition reacuteside dans linterpreacutetation physique associeacutee agravechaque terme qui nous eacuteclaire sur le comportement temporel du signal ou du systegraveme

Les zeacuteros de F (p) sont les zeacuteros de N(p) et les pocircles de F (p) sont les zeacuteros de D(p) lespocircles de F (p) sont noteacutes pk ils peuvent ecirctre reacuteels ou complexes simples ou multiples (dordremk)

F (p)N(p)prodn

k=1(pminus pk)mk(54)

Comme D(p) est agrave coecients reacuteels chaque pocircle complexe de F (p) est accompagneacute de sonconjugueacute Le tableau ci-dessous preacutesente les dieacuterents types de pocircles et lexpression de leurseacuteleacutements simples associeacutes

Type de pocircle Expression Eleacutements simples associeacutes

Pocircle reacuteel simple pminus a Apminusa

Pocircle reacuteel dordre r (pminus b)r B1pminusb + B2

(pminusb)2 + middot middot middot+ Br(pminusb)r

2 pocircles simples complexesconjugueacutes

p2 + cp+ d Cp+Dp2+cp+d

2 pocircles dordrem complexesconjugueacutes

(p2 + ep+ f

)m E1p+F1

p2+ep+f+ E2p+F2

(p2+ep+f)2 + + Emp+Fm(p2+ep+f)m

Table 21 Les types de pocircles et leurs deacutecompositions en eacuteleacutements simples

Pour deacuteterminer les coecients au numeacuterateur de chaque terme les meacutethodes sont lessuivantes

par identication inversion par calcul de linteacutegrale complexe (formule des reacutesidus)

23 PRINCIPALES UTILISATIONS DE LA TRANSFORMEacuteE DE LAPLACE 33

23 Principales utilisations de la transformeacutee de Laplace

Le point cleacute des meacutethodes dinversion que nous venons de deacutetailler est la deacuteterminationdes pocircles de la fonction transformeacutee X(p) En eet les pocircles de X(p) contiennent toutelinformation neacutecessaire agrave la connaissance du comportement temporel de la fonction doriginex(t)

231 Preacutediction de la reacuteponse dun systegraveme agrave un stimulus

Signal donneacute (theacuteorique) reacutesolution deacutequation dieacuterentielles

La principale force de la repreacutesentation symbolique de Laplace est de convertir les eacutequa-tions inteacutegro-dieacuterentielles qui caracteacuterisent les systegravemes lineacuteaires invariants en temps continuen eacutequation algeacutebriques

Domaine temporel Domaine freacutequentiel

Deacuterivationd

dtx(t)

Multiplication par pp middotX(p)

Inteacutegrationint t

0x(u)du

Division1

De leacutequation algeacutebrique en X(p) il est facile dextraire linconnue X(p) Puis les meacutethodesdinversion de la transformeacutee de Laplace sont mises en divideuvre pour obtenir x(t)

Les mecircmes consideacuterations peuvent sappliquer agrave un systegraveme deacutequations dieacuterentielles avecplusieurs variables

Lutilisation concregravete de cette proprieacuteteacute de la transformeacutee de Laplace sera deacuteveloppeacutee etmise en pratique agrave la section 232

Pocircles du systegraveme et comportement qualitatif

Soit la fonction rationnelle factoriseacutee

X(p) =N(p)prodn

Chaque pocircle est symboliseacute par une croix dans le plan p complexeLa fonction x(t) est la somme des transformeacutees inverses de chaque terme correspondant

agrave un pocircle ou une paire de pocircles Le comportement qualitatif dun terme en fonction de lalocalisation de son pocircle dans le plan p est le suivant

Pocircle reacuteel simple

p = σ0 (56)

ϕ(t) = k exp (σ0t) (57)

Si le pocircle reacuteel est eacutegal agrave 0 la fonction dorigine est une fonction eacutechelon (Figure 212(c)) Si le pocircle reacuteel est neacutegatif la fonction dorigine deacutecroicirct exponentiellement et plus le pocircle

est loin de laxe jω plus la deacutecroissance est rapide (Figure 212(a)) En revanche si le pocircle est positif la fonction croicirct indeacuteniment (Figure 212(e))

Figure 212 Reacuteponses dun systegraveme en fonction du positionnement de ses pocircles

Pocircles complexes conjugueacutes

p = σ0 plusmn jω0 (58)

ϕ(t) = k exp(σ0t) cosω0t (59)

Si le pocircle est imaginaire pur la fonction dorigine est sinusoiumldale Plus le pocircle est loin de laxedes reacuteels plus la freacutequence des oscillations est rapide (Figure 212(d))

Si la partie reacuteelle du pocircle est neacutegative lamplitude des oscillations deacutecroicirct exponentielle-ment (Figure 212(b)) En revanche si la partie reacuteelle du pocircle est positive lamplitude desoscillations croicirct indeacuteniment (Figure 212(f))

Ces consideacuterations montrent que selon le signe de la partie reacuteelle des pocircles de X(p) lesignal x(t) converge ou diverge ou encore reste borneacute ce qui se traduit pour un systegraveme parla notion de stabiliteacute

Stabiliteacute

La stabiliteacute est une notion importante dans leacutetude des systegravemes

Intuitivement un systegraveme est stable si lorsquon supprime lexcitation x la sortie y tend versune limite borneacutee

Systegravemes forceacutes la stabiliteacute au sens EBSB Un systegraveme est dit forceacute lorsque sonentreacutee est non nulle et ses condition initiales nulles

Pour ces systegravemes agrave toute entreacutee x borneacutee en amplitude correspond une sortie y eacutegale-ment borneacutee en amplitudeUne condition neacutecessaire et susante pour quun systegraveme soit stable EBSB est que

sa reacuteponse impulsionnelle soit absolument sommable 9

int +infin

0|h(t)| dt lt +infin (60)

sa fonction de transfert H(p) nait que des pocircles agrave partie reacuteelle neacutegative et que ledegreacute du numeacuterateur soit infeacuterieur ou eacutegal agrave celui du deacutenominateur (ce qui est toujoursle cas en pratique)

Exemples Un retard pur est stable EBSB Un inteacutegrateur K

p nest pas stable EBSB

Systegravemes libres stabiliteacute au sens large Un systegraveme est dit libre lorsque son entreacuteeest nulle mais ses conditions initiales sont non nulles Ces systegravemes permettent deacutelargir leconcept de la stabiliteacute agrave la situtation suivante

Un systegraveme est stable au sens large si sa reacuteponse impulsionnelle est borneacutee pour tout t gt0

Pour cette deacutention de la stabiliteacute H(p) peut aussi avoir des pocircles agrave partie reacuteelle nulledordre 1

Exemples

H(p) = 5p3minus6pminus3p3(p+1)2 est la fonction de transfert dun systegraveme instable

H(p) = pminus2p(p+1)3 est la fonction de transfert dun systegraveme stable au sens large mais pas

EBSB H(p) = 2p+3

p2+4p+8est la fonction de transfert dun systegraveme stable dans les deux sens du

termes

232 Eacutelectronique

Eacutetude dun circuit eacutelectrique

La transformeacutee de Laplace est un outil puissant pour lanalyse et la conception de circuitset systegravemes eacutelectriques Et au delagrave leacutetude de tout systegraveme (meacutecanique biologique) pourlequel il existe une eacutequivalence (un modegravele) eacutelectrique peut se servir de loutil de Laplace

Les eacuteleacutements de base Consideacuterons les principaux eacuteleacutements dun circuit eacutelectrique et leurexpression dans le domaine freacutequentiel

9 Observez quil sagit de la deacutenition de lespace de fonction L1(R)

Grandeur Expression temporelle Expression en Laplace

Tension u(t) U(p)

Courant i(t) I(p)

Reacutesistance R = u(t)i(t) ZR = U(p)

I(p) = R

Inductance u(t) = Ldi(t)dt U(p) = LpI(p)minus Li(0minus) = ZLI(p)minus Li(0minus)

Capaciteacute i(t) = C du(t)dt I(p) = CpU(p)minus Cu(0minus) = 1

ZCU(p)minus Cu(0minus)

Les termes correspondants aux conditions initiales sont tregraves importants ils peuvent ecirctremodeacuteliseacutes par une source de tension continue ou de courant continu

Meacutethode deacutetude geacuteneacuterale Nous allons preacutesenter la technique geacuteneacuterale pour deacuteterminerlexpression dun signal dans un circuit en lappliquant simultaneacutement agrave un exemple Les don-neacutees sont la topologie du circuit les expressions temporelles des excitations et les conditionsinitiales (valeurs des tensions et des courants agrave t=0)

Soit le circuit inteacutegrateur et lexcitation repreacutesenteacutes ci-dessous deacuteterminer lexpressiontemporelle de la sortie vs(t) en fonction de sa valeur initiale

C=1Fve (t )

v s(t )

(a) Circuit RC

1 t (s)

(b) Signal dexcitation

Calculer les transformeacutees de Laplace des entreacutees

ve(t) = t [u(t)minus u(tminus 1)] + u(tminus 1) = tu(t)minus (tminus 1)u(tminus 1) (61)

Ve(p) =1

p2minus 1

p2eminusp =

(1minus eminusp

Repreacutesenter le circuit avec les eacuteleacutements transformeacutes et des geacuteneacuterateurs pour les condi-tions initiales

V e (p) V s( p)Z=1Cp

IC(p) = CpVs(p)minus Cvs0Vs(p) = ZCIC(p) + vs0

vs0 = vs (0minus)

Ecrire autant deacutequations que dinconnues dans le systegraveme gracircce aux lois des ndivideuds etdes mailles

Vs(p) =1

CpIC(p) +

Vs(p) +RIC(p) = Ve(p) (64)

Reacutesoudre le systegraveme deacutequations pour toutes les inconnues ou seulement pour celles

qui sont rechercheacutees

Vs(p) =Ve(p) +RCvs0RCp+ 1

=Ve(p) + vs0p+ 1

Vs(p) =1

(1minus eminusp

)+ vs0

Calculer la transformeacutee de Laplace inverse

F1(p) =1

(p+ 1)p2=

p+ 1minus 1

p2=rArr f1(t) =

(eminust minus 1 + t

)u(t) (68)

F2(p) =vs0

(p+ 1)=rArr f2(t) = vs0e

minustu(t) (69)

=rArr vs(t) =f1(t)minus f1 (tminus 1) + f2(t) (70)

1 t (s)

Figure 214 Allure de vs(t) pour vs0 = 0

24 Exercices TL

241 Transformeacutee de Laplace

Soit la fonction g(t) deacutenie graphiquement par la gure 215

Figure 215 Fonction g(t)

Question 2411 Deacutemontrer que la fonction g(t) peut seacutecrire sous

g(t) = t middot u(t)minus 2(tminus 1) middot u(tminus 1) + (tminus 2) middot u(tminus 2)

Question 2412 Calculer la transformeacutee de Laplace G(p) de g(t)

Question 2413 En deacuteduire sa transformeacutee de Fourier G(jω)

242 Etude en Laplace dun ltre seacutelectif

On considegravere un circuit agrave temps continu dont le scheacutema de principe est reporteacute sur lagure 216 Lamplicateur opeacuterationnel est supposeacute ideacuteal le gain en tension de lamplicateurest inni et indeacutependant de la freacutequence Limpeacutedance dentreacutee est innie (i+ = iminus = 0)

Figure 216 Circuit agrave ampli-op

BIBLIOGRAPHIE 39

La fonction de transfert du systegraveme est donneacutee par

F (p) =minusa(τ2p2 + 3τp+ 1)

τ2p2 + (3minus a)τp+ 1

avec a = 1 + R2R1

et τ = RC

Question 2421 A quelle condition sur a le systegraveme est-il stable

Question 2422 Calculer les zeacuteros z12 de F(p) en fonction de τ et expliciter F(p) enfonction de τ12 = minus1

Question 2423 Tracer le diagramme asymptotique de Bode de F |F (p = jω)|dB etΦ (F (p = jω)) ainsi que lallure de la courbe reacuteelle dans le cas ougrave a = 1 10

Question 2424 Quelle est la fonction reacutealiseacutee par le systegraveme pour a = 1 Pour a = 3

Bibliographie

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[2] D Beauvois and Y Tanguy Repreacutesentation des signaux certains et des systegravemes ESE1999

[3] L Chaparro and A Akan Signals and Systems using MATLAB Elsevier Science 2018

[4] F de Coulon Theacuteorie et traitement des signaux Traiteacute deacutelectriciteacute Presses po-lytechniques et universitaires romandes 1998 httpsbooksgooglefrbooksid=

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[5] ESE Analyse des systegravemes lineacuteaires 1980

[6] A Palamides and A Veloni Signals and Systems Laboratory with MATLAB CRC Press2010

[7] MJ Roberts Signals and Systems Analysis Using Transform Methods amp MATLABMcGraw-Hill Education 2018

10 a=1 correspond au cas particulier ou R2 = 0

Chapitre 3

Amplication Elementaire

31 Introduction

Dans les chaines dacquisition ou de reacuteception les signaux en deacutebut de chaine ont souventdes amplitudes tregraves faibles Par exemple dans les applications ADSL le signal au niveaudu reacutecepteur peut avoir une amplitude de lordre du mV Dans les communications mobilescomme la 4G la 5G ou le WiFi les amplitudes sont encore plus faibles pouvant avoisiner lemicroV Pour pouvoir traiter ces signaux et les rendre utilisables et les adapter aux caracteacuteristiquesdes circuits en aval il est neacutecessaire de reacutealiser une amplication

La fonction amplication a souvent eacuteteacute la premiegravere fonction reacutealiseacutee en eacutelectronique quelquessoient les technologies utiliseacutees (tube transistor bipolaire circuit inteacutegreacute)

Cette fonction eacuteleacutementaire constitue souvent le circuit dentreacutee de nombreux traitementsde signaux plus globaux quils soient analogiques ou numeacuteriques (ltrage modulation deacutemo-dulation conversion analogique numeacuterique communication radio )

32 Amplicateur eacuteleacutementaire

321 Architecture Ideacuteale

La maniegravere la plus simple au vu des technologies actuelles pour implanter un amplicateurest de moduler lintensiteacute dun courant en fonction de la tension agrave amplier Puis ce courantcircule dans une reacutesistance an de reacutecupeacuterer le signal amplieacute Comme preacutesenteacute dans la -gure 31 gauche) pour implanter une telle architecture nous avons besoin de 3 ingreacutedients

Une source deacutenergie qui fournit la tension dalimentation en pratique ccedila peut ecirctreune batterie ou un redresseur (Alimentation DC)

Un modulateur lineacuteaire tension courant le fonctionnement dun transistor peut syrapprocher sous certaines conditions

Une charge qui convertit le courant en tension de nombreux de possibiliteacutes sont envisa-geables mais pour des raisons de simpliciteacute nous allons nous contenter dune reacutesistance

Analysons notre architecture si lamplicateur na pas de charge externe le courant IRqui traverse la reacutesistance Rd serait eacutegal au courant IT Ce courant est proportionnel agrave lentreacuteeVe gracircce agrave un modulateur lineacuteaire tension courant avec IT = gm middot Ve Limplantation de cemodulateur ainsi que la validiteacute de cette approximation seront discuteacutees dans la suite Ainsila sortie Vs est donneacutee par

Vs = V DD minusRd middot IT = V DD minusRd middot gm middot Ve (1)

Et donc le gain de cette architecture est donneacute par

A =partVspartVe

= minusRd middot gm (2)

42 CHAPITRE 3 AMPLIFICATION ELEMENTAIRE

Figure 31 Amplicateur eacuteleacutementaire gauche) Ideacuteal droite) Reacuteel

Cette architecture permet ainsi de reacutealiser une fonction damplication dont on peut ajusterfacilement la valeur du gain en agissant sur Rd etou gm Deux points meacuteritent decirctre clarieacutesLe premier au sujet du signe du gain En eet la fonction reacutealiseacutee est un gain inverseur Cecinest pas probleacutematique en pratique car il est facile de compenser le changement de signeen ajustant les traitements en aval Le deuxiegraveme point est la preacutesence du terme V DD danslexpression de Vs Cet aspect non plus nest pas probleacutematique car il est facile en pratiquede supprimerchanger la valeur de la tension continue dun signal

Transistor MOSFET

Dans larchitecture de la gure 31 gauche) leacuteleacutement cleacute est le modulateur lineacuteaire ten-sion courant Malheureusement il nexiste pas de composant eacutelectronique qui permet dereproduire exactement ce fonctionnement Cependant les transistors ont un fonctionnementqui se rapprochent de celui-ci sous certaines conditions Nous allons lillustrer avec un transis-tor MOSFET (Metal Oxide Semiconductor Field Eect Transistor) mais sachez que dautrestechnologies de transistors peuvent ecirctre utiliseacutees pour limplantation de ce genre de circuits

Le transistor MOSFET a 3 zones de fonctionnement principales 1 Le choix entre cesdieacuterents modes se fait en fonction des tensions au niveau des 3 terminaux du transistor s lasource 2 d le Drain et g la Grille La gure 32 illustre le circuit eacutequivalent pour les 3 modespour un transistor type NMOS

Interrupteur ouvert pour V gs lt VT ougrave VT est la tension de seuil du transistor Source de courant pour (V gs gt VT ) amp (V ds gt V gsminusVT ) avec IT = K(V gsminusVT )2 ou

K est une constante qui deacutepend de la technologie et des dimensions du transistor Reacutesistance pour (V gs gt VT ) amp (V ds lt V gs minus VT ) avec RT = Kprime

V gsminusVT ou K prime est unedeuxiegraveme constante qui deacutepend de la technologie et des dimensions du transistor

Il est important de souligner que dans les 3 modes limpeacutedance de la grille est extrecircmementeacuteleveacutee Nous allons la consideacuterer innie dans ce module ce qui reacutesulte en un courant de grillenul

1 Ceci est une simplication il en existe dautres zones de fonctionnement sur les modegraveles complets2 A ne confondre avec la sortie

32 AMPLIFICATEUR EacuteLEacuteMENTAIRE 43

ITReacutesistanceInterrupteur

ouvert

Source de courantFigure 32 Zone de fonctionnement du transistor MOS

322 Architecture reacuteelle et caracteacuteristiques grand signal

Regardons agrave preacutesent le fonctionnement quand on remplace le modulateur tensioncourantideacuteal par un transistor NMOS (gure 31 droite) Pour cela analysons leacutevolution de la sortieVs quand on fait varie lentreacutee Ve de 0 agrave VDD

Pour Ve = V gs lt VT le transistor est bloqueacute =rArr IT = 0 =rArr Vs = V DD Quand Ve deacutepasse VT le transistor se comporte en source de courant =rArr Vs =

V DD minusRK(Ve minus VT )2

Quand on augmente davantage Ve la tension drain-source V ds du transistor (eacutegaleagrave Vs dans notre architecture) devient infeacuterieure agrave (V gs minus VT ) et donc le montage sereacutesume agrave preacutesent agrave un diviseur reacutesistif avec Vs = RT

RT+RdV DD

Lallure de la courbe Vs = f(Ve) est donneacutee par la gure 33 Sur les 3 zones de fonctionnementclairement deacutelimiteacutees sur la courbe il est eacutevident que cest la zone centrale qui ore la possibi-liteacute de reacutealiser une amplication Malheureusement la courbe a un comportement quadratiqueet non pas lineacuteaire sur cette zone Cependant autour du point central M0 en limitant lesplages dentreacutee et de sortie il est possible dapproximer le comportement Vs = f(Ve) agrave uncomportement lineacuteaire

La deacutetermination de la fonction Vs = f(Ve) est la premiegravere eacutetape de ce quon appellelanalyse grand-signal grands-signaux ou large-signal en anglais On parle dune analyse grandsignal lorsque les eacutevolutions de signaux peuvent provoquer des comportements non-lineacuteairesetou des changements de zone de fonctionnement pour le transistor Lanalyse grand signalpermet didentier les caracteacuteristiques suivantes

Point de fonctionnement

Le point de fonctionnement est le pointM0 avec ses coordonneacutees (VE0VS0) Cest le pointautour duquel variera lentreacutee et la sortie Le choix du point M0 deacutepend de divers paramegravetrestels que le gain requis et aussi les circuits en amont et en aval de lamplicateur

Figure 33 Caracteacuteristique entreacutee sortie de lamplicateur

Figure 34 Caracteacuteristique entreacutee sortie de lamplicateur illustrant ∆Ve et ∆Vs La courbeest identique agrave la courbe de la gure 33 On a seacutepareacute les 2 gures pour des soucis de clareteacute

La dynamique dentreacuteesortie

La dynamique dentreacutee ∆Ve est la plage dentreacutee autour de VE0 sur laquelle la caracteacute-ristique Vs = f(Ve) peut ecirctre approximeacutee lineacuteaire La dynamique dentreacutee ∆Vs est la plagede sortie autour de VS0 correspondante agrave ∆Ve La gure 34 illustre comment deacuteterminer ces2 grandeurs Le choix de ∆Ve et ∆Vs est un compromis entre les valeurs des plages den-treacuteesortie et de la variation du gain sur la plage ∆Ve

Gain grand signal

Le gain de lamplicateur est donneacute par la pente moyenne de la courbe Vs = f(Ve) il estdonneacute par

A =∆Vs∆Ve

323 Caracteacuteristiques petits signaux

Principe des analyses petits signaux

Lanalyse petits-signaux petit-signal ou small signal en anglais consiste agrave eacutetudier le com-portement dun circuit en reacuteponse agrave des signaux inniment petit autour dun point de pola-risation donneacute notamment le point de fonctionnement Le fait de manipuler des signaux detregraves faibles amplitudes autorise la lineacutearisation de tous les composants non-lineacuteaires du cir-cuit Ce type danalyse va nous permettre de deacuteterminer rapidement diverses caracteacuteristiquesdu circuit notamment son comportement freacutequentiel Pour cela commenccedilons par redeacutenir lesentreacuteessorties comme suit

ve = Ve minus VE0 vs = Vs minus VS0 (4)

Les tensions ve et vs correspondent aux tensions dentreacuteesortie petit-signal elles sont no-teacutees par des lettres minuscules en oppositions aux tensions grand-signal noteacutees par des lettresmajuscules Comme illustreacute dans la gure 34 ce changement correspond agrave un changementdorigine pour recentrer les variations autour de M0

2 transformations additionnelles qui permettent de simplier le circuit sont permises etrecommandeacutees

Lineacuteariser tous les eacuteleacutements non lineacuteaires du circuit le transistor sera remplaceacute par unesource lineacuteaire it = gm middot ve ou gm est la valeur de la tangente au point VEO dans lafonction IT = f(Ve)

Court-circuiter toutes les tensions non-concerneacutees par lanalyse notamment les tensionscontinues (Alimentation polarisation) agrave la masse Par exemple si on veut eacutetudierA(jω) = partvs(jω)

partve(jω) il est facile de se convaincre vu que notre circuit est lineacuteaire quetous les termes qui deacutependent dautres tensions notamment de VDD seront annuleacuteeslors de lapplication de la deacuteriveacutee en fonction de partve

La gure 35 montre le modegravele petit signal de lamplicateur de la gure ainsi que sonmodegravele eacutequivalent Theacutevenin Il est facile de deacutemontrer que

vs = minusgm middotRd middot ve =rArr A = minusgm middotRd (5)

Dans le circuit consideacutereacute nous navons pas de comportement freacutequentiel car nous nous sommesrestreints agrave une architecture tregraves simple sans charge Cependant en pratique lamplicateuraura une charge capacitive en sortie qui engendrera un pocircle dans la fonction de transfert Ilest aussi assez courant de cascader plusieurs amplicateurs en seacuterie La fonction de transfertde telles architectures peut devenir rapidement dicile agrave calculer avec une multitude de pocircleset eacuteventuellement des zeacuteros Lanalyse petit signal est un outil tregraves ecace pour eacutetudier cegenre darchitecture

V g Rdve

Modegravele eacutequivalent Theacutevenin

minusgm middotRd middot ve

Architecture amplificateur

gm middot ve

Modegravele petit signal

court-circuiteragrave la masse

Remplacer parle modegravelelineacuteaire

Figure 35 Modegravele petit signal de lamplicateur

Fonction de transfert

La fonction de transfert est tout simplement le gain de larchitecture en petit signalComme on a vu auparavant le gain se calcule en faisant une deacuteriveacutee partielle de la sortieen fonction de lentreacutee Cependant avec la conguration petit signal le circuit est lineacuteaire ettoutes les tensions continues sont relieacutees agrave la masse ceci ramegravene le gain agrave une simple division

A(jω) =vs(jω)

ve(jω)(6)

Comme preacuteciseacute dans la section preacuteceacutedente cette fonction de gain peut contenir plusieurspocircles et eacuteventuellement des zeacuteros si on utilise des architectures complexes notamment deseacutetages en cascade

La gure 36 preacutesente un exemple de gain et de diagramme asymptotique de Bode dugain et la phase de la fonction de transfert dun amplicateur en fonction de la freacutequenceLexemple consideacutereacute est un modegravele avec 2 poles aux freacutequences f1 et f2 et un gain DC A0

(exprimeacute en dB) On voit que leacutecart entre lapproximation droite et la courbe reacuteelle est de3 dB pour la valeur f1 de la freacutequence f1 est donc ici eacutegale agrave la freacutequence de coupure fc Lareacutegion comprise entre f1 et f2 a une chute de 6 dB par octave ou 20 dB par deacutecade on ditque cette chute est dordre 1 La reacutegion au delagrave de f2 a une chute en 12 dB par octave ou40 dB par deacutecade on dit que cette chute est dordre 2 Ainsi lordre dune courbe de reacuteponseindique comment varie la courbe de reacuteponse en fonction de la freacutequence Une courbe dordre npreacutesente une reacutegion dont la pente sera de 6middotn dB par octave Lapproximation droite preacutesenteacuteeci-dessus est tregraves utiliseacutee dans la pratique

Freacutequence de transition

La freacutequence de transition ou freacutequence unitaire est la freacutequence fT pour laquelle le gainde lamplicateur vaut 1 ou 0 dB

Produit gain-bande

Pour une cellule passe-bas ayant une chute de 6 dB par octave la transmittance est de laforme

A(j2πf) = A01

1 + j ffc

et si on utilise cette cellule agrave une freacutequence f gtgt fc alors on a |A(f)| middot f A0 middot fcAinsi le produit de la transmittance par la freacutequence a lallure dune quantiteacute constante

appeleacutee produit gain-bande Ce paramegravetre traduit la possibiliteacute de transmittance maximumque peut fournir une structure amplicatrice pour une freacutequence donneacutee

33 SOURCES DERREUR 47

3 dB 6 dB oct

12 dB oct

fminus180deg

Figure 36 Reacuteponse en freacutequences de lamplicateur

Par exemple comme lillustre la gure 37 une cellule de produit gain-bande de 1010 nepourra pas amplier de plus de 100 un signal sinusoiumldal de 100 MHz si le gain doit ecirctresupeacuterieur agrave 100 pour ce signal il faudra utiliser une autre cellule plus important ou unestructure multi-cellules

Le produit gain-bande dune cellule est en quelque sorte un paramegravetre marquant lespossibiliteacutes maximales damplication de la cellule

Il est inteacuteressant de constater quagrave la freacutequence fT∣∣∣∣∣∣A(fT )︸︷︷︸

∣∣∣∣∣∣middot fT A0 middot fc =rArr fT A0 middot fc (8)

Ainsi dans les systegravemes qui peuvent ecirctre approximeacutes agrave des systegravemes du premier ordre leproduit gain-bande et la freacutequence de transition sont presque eacutegaux

33 Sources derreur

Dans les systegravemes eacutelectroniques il existe deux grandes sources derreur le bruit et ladistorsion

331 Bruit

Le bruit dans un systegraveme eacutelectronique est modeacuteliseacute comme un processus aleacuteatoire oupseudo-aleacuteatoire dont la variance ne deacutepend pas du signal dentreacutee Les bruits sont classieacutessouvent en fonction de leur densiteacute spectrale de puissance (DSP) La majoriteacute des bruits

10 -2 10 0 10 2 10 4 10 6

f(MHz)

PGB100x100 Mhz=10 GHz

PGB1x10 GHz=10 GHz

PGB10000x1 MHz=10 GHz

Figure 37 Conservation du produit gain bande

en eacutelectronique sont dits blancs cest des bruits dont la DSP est uniforme sur la plage defreacutequence dutilisation Le bruit blanc qui aecte le plus les systegravemes eacutelectronique est le bruitthermique Il est geacuteneacutereacute par lagitation thermique des porteurs de charge La variance du bruitthermique est proportionelle agrave la tempeacuterature en Kelvin Il existe dautres sources de bruitblanc notamment le bruit de quantication qui sera eacutetudieacute plus en deacutetails dans le chapitre 13

La deuxiegraveme grande famille de bruit est les bruits dits coloreacutes Cest des bruits dont laDSP nest pas uniforme On peut citer par exemple le bruit de scintillement ou le icker noiseen anglais Cest un bruit dont la DSP a un comportement en 1f et donc tregraves probleacutematiquepour les systegravemes agrave faible bande passante

Il est important de noter que les concepteurs de circuits eacutelectroniques peuvent agir surla deacutegradation induite par les dieacuterents bruits dans un systegraveme en ajustant les valeurs descomposant passifs etou en ajustant les courants de polarisation dans les transistors Ladiminution du bruit se paie souvent par une augmentation de la consommation de puissance

332 Distorsion

On appelle distorsion toutes les erreurs dont la valeur deacutepend du signal dentreacutee Onpeut distinguer 2 grands types de distorsion les distorsions lineacuteaires et non-lineacuteaires Lesdistorsions lineacuteaires sont des erreurs dont la valeur deacutepend lineacuteairement du signal dentreacuteeLeur impact peut sapparenter agrave un ltrage

Les distorsions non-lineacuteaires sont des erreurs dont la valeur deacutepend non lineacuteairement dusignal dentreacutee Lapproche la plus classique est de modeacuteliser lamplicateur ou plus geacuteneacuterale-ment le systegraveme par un polynocircme dordre p mais sachez quen pratique des modegraveles bien pluscomplexes peuvent ecirctre utiliseacutees pour modeacuteliser de tels systegraveme Prenons un exemple pourillustrer cela Theacuteoriquement un amplicateur fonctionne de la faccedilon suivante

Vsminusid = β middot Ve = A middot Ve (9)

34 MEacuteTRIQUE DEacuteVALUATION DES PERFORMANCES 49

ougrave Ve est le signal dentreacutee β le gain damplication et Vsminusid le signal ideacuteal de sortie Malheu-reusement comme on la preacuteciseacute ci-dessus dans la reacutealiteacute la relation entreacuteesortie est plutocirctmodeacuteliseacutee par un polynocircme Pour des raisons de simpliciteacute contentons-nous dun ordre 2

Vsminusrl = α+ β middot Ve + γ middot V 2e (10)

ougrave α est la composante continue (ou tension de deacutecalage) β est le gain damplication sou-haiteacute γ le coecient du second dordre et Vsminusrl le signal de sortie reacuteel Ainsi si lentreacutee estune sinusoiumlde donneacutee par Ve = Amp middot cos(ωt) lexpression de Vsminusrl sera donneacutee par

Vsminusrl = α+γ middotAmp2

2︸︷︷︸V0

+β middotAmp︸︷︷︸V1

middot cos(ωt) +γ middotAmp2

2︸︷︷︸V2

middot cos(2ωt) (11)

Ainsi on retrouve agrave la sortie Vs non seulement le signal de deacutepart amplieacute de mecircme pulsationque Ve mais aussi une tension continue V0 et une sinusoiumlde agrave la pulsation 2ω damplitude V2

En geacuteneacuteralisant agrave un polynocircme dordre p il est facile de deacutemontrer que des composantesfreacutequentielles aux pulsations [0 1 p] middot ω apparaicirctront Ainsi par exemple pour un ampli-cateur modeacuteliseacute par un polynocircme dordre 5 le spectre de sortie aura des composantes agrave DC(ω = 0) ω 2ω 3ω 4ω et 5ω Et donc lexpression dun systegraveme eacutelectronique reacuteel 3 et plusparticuliegraverement dun amplicateur peut ecirctre rameneacutee apregraves lineacutearisation et simplication agravelexpression suivante

V s = V0 + V1 middot cos(ωt) + V2 middot cos(2ωt) + V3 middot cos(3ωt) + middot middot middot (12)

Les composantes du signal peacuteriodique sont appeleacutees composantes harmoniques ou simplementharmoniques Ainsi un signal peut preacutesenter apregraves distorsion une composante fondamentaleune composante agrave la deuxiegraveme harmonique damplitude V2 une composante agrave la troisiegravemeharmonique damplitude V3 etc

Les non-lineacuteariteacutes dans les amplicateurs et plus geacuteneacuteralement dans les systegravemes eacutelectro-niques analogiques et RF peuvent ecirctre causeacutees par dieacuterents pheacutenomegravenes Tout dabord nousavons vu que les transistors ont un comportement non-lineacuteaire Il est par exemple quadratiquepour les transistors MOS Ainsi la fonction de transfert autour du point de fonctionnementa un comportement approximeacute lineacuteaire mais bien eacutevidement il ne lest pas vraiment et doncla fonction de transfert qui lie la sortie agrave lentreacutee est non lineacuteaire Il est facile de se convaincreque la relation devient moins lineacuteaire quand les dynamiques dentreacuteesortie sont plus impor-tantes Il existe dautres sources derreur qui peuvent causer de la non-lineacuteariteacute telle que lasaturation ou les interfeacuterences entre symboles Il est important de noter que les coecientsVi sont souvent deacutecroissants en pratique on limite le modegravele agrave lordre agrave partir duquel lescontributions des ordres deviennent tregraves neacutegligeables Il est aussi courant que les composantespaires et impaires aient des dieacuterences damplitude importantes Nous deacutetaillerons ce pointdans le chapitre 4

34 Meacutetrique deacutevaluation des performances

Comme preacuteciseacute dans la section preacuteceacutedente la preacutecision des amplicateurs est deacutegradeacuteepar 2 pheacutenomegravenes le bruit et la distorsion Il existe une grande varieacuteteacute de meacutetriques pourquantier leurs impacts sur les performances dun systegraveme donneacute Nous allons nous limiterpour des raisons de simpliciteacute agrave 3 meacutetriques

Pour quantier la distorsion harmonique dun amplicateur on deacutenit le taux de distorsioncauseacutee par chaque harmonique comme eacutetant le rapport entre la valeur de lharmonique etcelle du fondamental et le taux total de distorsion harmonique comme eacutetant le rapport en

3 modeacuteliseacute par un polynocircme

valeurs ecaces de lensemble des harmoniques sur celle du fondamental Par exemple le tauxde distorsion harmonique causeacute par la deuxiegraveme harmonique et le taux total de distorsionharmonique sont donneacutes respectivement par

HD2minuslin =

∣∣∣∣V2

∣∣∣∣ (13)

THDlin =

radic|V2|2 + |V3|2 + middot middot middot

|V1|(14)

Il est courant dexprimer cette grandeur en dB dans les publications scientiques et les chestechniques des produits

THDdB = 20 log10

Pour quantier limpact dun bruit sur un amplicateur la meacutetrique la plus utiliseacutee est lerapport signal agrave bruit plus communeacutement connu sous les initiales SNR (pour Signal to NoiseRatio) Le SNR est le rapport entre la puissance du signal et la puissance du bruit Il est toutsimplement donneacute par

SNRlin =PSignalPBruit

V 2rmsminusbruit

En dB lexpression devient

SNRdB = 10 log10

(PsignalPBruit

Il est opportun de rappeler que la conversion en dB se fait en appliquant 10 log10 quand onmanipule des puissances et en appliquant 20 log10 quand on manipule des tensions

Pour quantier agrave la fois limpact du bruit et des distorsions la meacutetrique la plus utiliseacuteeest le SNDR pour (pour Signal to Noise and Distortion Ratio)

SNDRlin =PSignal

PBruit + PDistorsion=

(V 22 + V 2

3 + middot middot middot ) + V 2rmsminusbruit

Et donc nous avons

(SNDRlin)minus1 = (SNRlin)minus1 + THD2lin (19)

Pour illustrer ces 3 meacutetriques dune maniegravere plus claire prenons la gure 38 qui illustrele spectre de sortie dun amplicateur audio en reacuteponse agrave une sinusoiumlde agrave environ 1 kHzLe produit en question est le ADAU1592 fabriqueacute par la socieacuteteacute Analog Devices Analysonsdabord le bruit nous pouvons constater quil a un comportement en 1f pour les freacutequences lt500 Hz Ceci est du tregraves probablement au bruit de scintillement Au delagrave de 500 Hz la DSPdevient uniforme on peut ainsi deacuteduire que le bruit dominant agrave preacutesent est un bruit blanc tregravesprobablement le bruit thermique Inteacuteressons nous aux harmoniques nous pouvons observerque lharmonique correspondante au signal dentreacutee apparaicirct comme preacutevu agrave 1 kHz et nouspouvons constater eacutegalement la preacutesence de composantes aux multiples 2 agrave 7 de la freacutequencedentreacutee On peut constater que les composantes paires ont des puissances moins eacuteleveacuteesque les composantes impaires Ceci est une conseacutequence de lutilisation dune architecturedieacuterentielle que nous eacutetudierons dans le chapitre 4

Figure 38 Spectre de sortie de lamplicateur Audio ADAU1592 - Puissance reacute-feacuterence =15 W Puissance dentreacutee 1 W- https wwwanalogcommediaentechnical-documentationdata-sheetsadau1592pdf

Rd1 Rd2

Figure 39 Gauche) Amplicateur 1-eacutetage Droite) Amplicateur 2-eacutetages

35 Exercices Amplicateur eacuteleacutementaire

351 Amplicateur 2 eacutetages

Nous deacutesirons impleacutementer un amplicateur avec un gain DC (agrave la freacutequence f = 0 Hz)de 500 (54 dB) Nous deacutecidons dans un premier temps dutiliser le montage agrave 1 eacutetage de lagure 39 gauche) La capaciteacute CL modeacutelise la capaciteacute de charge de lamplicateur qui inclutles capaciteacutes parasites de lamplicateur lui-mecircme et des autres blocs connecteacutes agrave la sortie delamplicateur

Question 3511 Tracer le montage petit signal de lamplicateur deacuteterminer son gainG1minuset(p) = Vs(p)

Ve(p) Le modegravele petit signal du transistor est une source de courant controcircleacutee par

la tension vgs avec une transconductance quon notera gm

Question 3512 En deacuteduire lexpression du module du gain dans le domaine de FourierQuel est la ltrage reacutealiseacute par lamplicateur Quel est son gain DC pour gm=3 mS et Rd=10kΩ

Lamplicateur reacutealiseacute nayant pas un gain susant nous deacutecidons de cascader 2 eacutetagescomme illustreacute dans la gure 39 droite) Les transistors des 2 eacutetages sont identiques

Question 3513 Tracer le montage petit signal du montage agrave 2 eacutetages et calculer son gainGtot(p) = Vs(p)

Ve(p) Calculer son gain DC pour gm=3 mS et Rd1=Rd2=10 kΩ

Question 3514 Quels sont les conditions sur Rd1 Rd2 CL1 et CL2 qui permettent degarantir la stabiliteacute de lamplicateur 2 eacutetages

352 Etude de la preacutecision dun amplicateur

On considegravere un montage dun amplicateur eacuteleacutementaire composeacute dune source de cou-rant commandeacutee par la tension dentreacutee Ve dune reacutesistance (R = 10 kΩ) et dune tensiondalimentation constante Vdd = 33 V(gure 310) Le courant Is est donneacute par

Is = K(Ve minus VT )2

ougrave K = 500 microAV2 et VT = 0 7 VNous appliquons un signal dentreacutee Ve = B +A cos(ωt) avec B = 165 V

Question 3521 Deacuteterminer lexpression lineacuteariseacutee du signal de sortie Vs

BIBLIOGRAPHIE 53

Figure 310 Amplicateur eacuteleacutementaire

Le bruit thermique de la reacutesistance et du transistor se manifeste en sortie avec une puis-sance PB de 10minus4 V2

Question 3522 Calculer le gain le SNR la TDH et le SNDR pour A = 001 V puis pourA = 01 V

Bibliographie

[1] M Bouthier Electronique Analogique Tome III Opeacuterateurs ENSTA 1989

[2] J Huijsing Operational Ampliers Theory and Design Springer International Publi-shing 2017

[3] B Razavi Design of Analog CMOS Integrated Circuits McGraw-Hill 2002

[4] A Sedra and K Smith Circuits microeacutelectroniques De Boeck supeacuterieur 2016

Chapitre 4

Amplicateur dieacuterentiel etopeacuterationnel

41 Amplicateur dieacuterentiel

Un amplicateur dieacuterentiel est un amplicateur particulier qui amplie non pas le si-gnal dentreacutee mais la dieacuterence entre ses deux signaux dentreacutee Lamplicateur doit eacuteliminerle signal commun aux deux entreacutees an damplier seulement la dieacuterence dougrave le termedieacuterentiel

On peut le repreacutesenter selon la gure 41 On dispose de deux entreacutees lentreacutee inverseuse

Vminuse Aminus

Vminuss

Figure 41 Structure eacuteleacutementaire de lamplicateur dieacuterentiel

(V minuse ) de gain Aminus et lentreacutee non-inverseuse (V +e ) de gain Aminus Ainsi la sortie seacutecrit Vs =

A+V +e minus AminusV minuse En posant lentreacutee en mode commun Vec = V +

e +V minuse2 et lentreacutee dieacuterentielle

Ved = V +e minus V minuse on peut eacutecrire la sortie sous la forme

Vs = Ad middot Ved +Ac middot Vec (1)

ougrave Ad est le gain dieacuterentiel et Ac le gain de mode commun avec

Ad =A+ +Aminus

2et Ac = A+ minusAminus (2)

Le choix naturel pour les gains est de prendre A+ = Aminus = A Ceci permettra davoir un gaindieacuterentiel Ad = A et un gain de mode commun Ac nul

56 CHAPITRE 4 AMPLIFICATEUR DIFFEacuteRENTIEL ET OPEacuteRATIONNEL

Les circuits dieacuterentiels sont tregraves largement utiliseacutes en pratique bien plus que les circuitsclassiques pour plusieurs raisons Tout dabord les circuits dieacuterentiels sont plus robustesaux perturbations externes En fait le bruit et perturbations externes qui se couplent sur lesentreacutees de lamplicateur auront quasiment la mecircme valeur ducirc agrave la proximiteacute de V +

e et V minuse etainsi seront supprimeacutes agrave la sortie de lamplicateur Un deuxiegraveme avantage des amplicateursdieacuterentiels est la suppression des harmoniques paires En fait comme on la vu dans lechapitre 3 une modeacutelisation plus reacutealiste de la relation entreacuteesortie dun amplicateur estdonneacutee par

Vs = α+ β middot Ve + γ middot V 2e + δ middot V 3

Ceci nous donnera pour lentreacutee V +e

V +s = α+ β middot V +

e + γ middot (V +e )2 + δ middot (V +

e )3 (4)

Et pour lentreacutee neacutegative pour simplier le calcul prenons le cas particulier V minuse = minusV +e

V minuss = α+ β middot V minuse + γ middot (V minuse )2 + δ middot (V minuse )3 = αminus β middot V +e + γ middot (minusV +

e )2 + δ middot (minusV +e )3 (5)

La sortie de lamplicateur est alors donneacutee par

Vs = V +s minus V minuss = 2β middot V +

e + 2δ middot (V +e )3 (6)

On voit donc que les distorsions dordre paire sont eacutelimineacutees par lamplicateur dieacuterentielCe pheacutenomegravene est visible dans le spectre de la gure 38 On peut ainsi constater que lesdistorsions dordre paire sont signicativement infeacuterieures aux distorsions dordre impaireLannulation nest pas totale car en pratique il y aura toujours des deacutefauts de fabrication quiengendrent des dieacuterences entre lamplicateur de la voie positive A+ et lamplicateur de lavoie neacutegative Aminus Ces dieacuterences sont appeleacutees deacutesappariemments ou mismatch en anglaisUn troisiegraveme avantage de limpleacutementation dieacuterentielle est le doublement de la dynamiquede tension En fait comme on dispose de deux circuits travaillant en opposition de phase lesdynamiques des 2 eacutetages sajoutent

Les impleacutementations dieacuterentielles ont bien eacutevidement des deacutesavantages Pour commencerils neacutecessitent de doubler le mateacuteriel an dimpleacutementer la partie positive et neacutegative Enplus lannulation du bruit ambiant et des distorsions paires neacutecessite que les amplicateursde voies positives et neacutegatives soient identiques Ceci requiert de prendre un grand nombrede preacutecautions de symeacutetrie et de proximiteacute Malgreacute ces deacutesavantages lutilisation des circuitsdieacuterentiels reste la norme en pratique Lutilisation des circuits non-dieacuterentiels se reacutesume auxcircuits pour lesquels on peut se permettre de sacrier la preacutecision pour reacuteduire la complexiteacuteetou la consommation deacutenergie

42 Amplicateur opeacuterationnel

Lamplicateur opeacuterationnel doit son nom au fait quil a dabord eacuteteacute conccedilu pour eec-tuer des opeacuterations arithmeacutetiques dans des calculateurs analogiques addition soustractionreacutesolution deacutequations dieacuterentielles Aujourdhui il est devenu le composant universel deleacutelectronique analogique gracircce agrave sa faciliteacute demploi et son faible coucirct Ce circuit peut fonc-tionner aussi bien en reacutegime lineacuteaire (amplicateurs ltres ) quen reacutegime de commutation(comparateurs geacuteneacuterateurs de signaux carreacutes )

Lamplicateur opeacuterationnel est un amplicateur dieacuterentiel de tregraves fort gain (gain inniideacutealement) En dautres termes lamplicateur opeacuterationnel ideacuteal est un systegraveme lineacuteaire agravedeux entreacutees et une sortie ampliant inniment la dieacuterence des signaux dentreacutee et rejetantparfaitement leur somme On peut le repreacutesenter selon la gure 42

Ad =infin et Vs nie rArr Ved = ε = 0 (7)

1 Le calcul reste valide pour le cas geacuteneacuteral Vec =V +e +Vminus

43 LA CONTRE-REacuteACTION 57

Eminus

Zs = 0

= 0 Ad = Ac et

Ac Ec AdEd +

Figure 42 Repreacutesentation de lamplicateur opeacuterationnel

Dautre part ses impeacutedances dentreacutee (de mode commun Zc et de mode dieacuterentiel Zd) sontinnies son impeacutedance de sortie Zs est nulle

Les caracteacuteristiques principales des amplicateurs opeacuterationnels sont reacutesumeacutees dans letableau suivant

Proprieacuteteacute Cas ideacuteal

Gain dieacuterentiel inniImpeacutedance dentreacutee innieImpeacutedance de sortie nulleBande passante innieCourants dentreacutee nul

Oset nul

Table 41 Caracteacuteristiques principales des amplicateurs opeacuterationnels

43 La contre-reacuteaction

431 Principe scheacutema de base et proprieacuteteacute fondamentale

Consideacuterons le scheacutema suivant Il est composeacute dun amplicateur de fonction de transfert A(jω) appeleacute dans ce cas preacutesent

chaicircne directe dun circuit de fonction de transfert R(jω) appeleacute chaicircne de retour et dunsoustracteur de signaux

Pour examiner plus en deacutetail les proprieacuteteacutes de ce circuit boucleacute nous choisirons A(jω) etR(jω) ideacuteaux et du type gain en tension

A lentreacutee du circuit boucleacute on applique une tension Ve A la sortie de ce circuit boucleacuteon a une tension Vs

La tension e eective preacutesente agrave lentreacutee de A(jω) est

e(jω) = Ve(jω)minusR(jω) middot Vs(jω) (8)

Ve(ω) e(ω)A(ω)

Vs(ω)

Figure 43 Scheacutema de principe de la contre-reacuteaction

Il est important de faire attention au signe moins dans cette eacutequation De plus on a

Vs = A(jω) middot e (9)

On en deacuteduit

Vs(jω) =A(jω)

1 +A(jω) middotR(jω)Ve(jω) (10)

On appelle taux de contre-reacuteaction la quantiteacute

1 +A(jω) middotR(jω) (11)

Ces relations ci-dessus tout agrave fait geacuteneacuterales se simplient dans le cas particulier ougrave letaux de contre-reacuteaction est grand par rapport agrave luniteacute dans ce cas particulier la fonction detransfert du circuit boucleacute devient

Vs(jω)

Ve(jω)=

R(jω)(12)

Cest linverse de la fonction de transfert de la chaicircne de retour Sa valeur ne deacutepend pasde la valeur de A(jω) et des variations de A(jω) en fonction de divers facteurs (dispersiondes caracteacuteristiques des eacuteleacutements actifs de A(jω) deacutependance de leurs valeurs vis-agrave-vis desvariations de tempeacuterature de la valeur de la tension dalimentation de la charge ) pourvuque le taux de contre-reacuteaction reste grand devant luniteacute

En utilisant pour la chaicircne de retour R(jω) des eacuteleacutements passifs stables (reacutesistancescapaciteacutes inductances) on aura un circuit boucleacute ayant lui aussi une fonction de transfertxeacutee reproductible peu deacutependante deacutevolutions dues agrave lenvironnement ou au vieillissementdes composants actifs

Ceci est la proprieacuteteacute fondamentale du circuit boucleacute agrave contre-reacuteactionCes notions eacuteleacutementaires sur les circuits boucleacutes agrave contre-reacuteaction demandent agrave ecirctre preacute-

ciseacutees mais il est essentiel de retenir quun circuit boucleacute agrave contre-reacuteaction est une structuredans laquelle un signal deacutependant du signal de sortie est retrancheacute au signal appliqueacute agrave len-treacutee et que le taux de contre-reacuteaction est toujours grand devant luniteacute quel que soit le signalconsideacutereacute et quelle que soit sa freacutequence son amplitude etc

432 Augmentation de la bande passante

Admettons que A(jω) soit une fonction de transfert du premier ordre telle que

A(jω) =ADC

1 + j ωωc(13)

avec ADC le gain maximal de lamplicateur (souvent son gain DC f = 0 ) et ωc pulsationde coupure agrave 3 dB et que R(jω) soit indeacutependant de la pulsation ω (R(jω) = R) Le circuitboucleacute a pour fonction de transfert

HBF (jω) =A(jω)

1 +R middotA(jω)(14)

HBF =ADC

1 + j ωωc

1 +R ADC1+j ω

1 +R middotADC1

1 + j ωωc(1+RmiddotADC)

ou donc

HBF = HBFminusDC1

1 + j ωωprimec(16)

On reconnaicirct ainsi que le circuit boucleacute a pour fonction de transfert maximum

HBFminusDC =ADC

1 +R middotADC(17)

et que sa pulsation de coupure agrave 3 dB a pour valeur ωprimec = ωc middot (1 + R middot ADC) cest-agrave-direla pulsation de coupure de la fonction de transfert A(jω) multiplieacutee par le taux de contre-reacuteaction

On notera au passage que le produit gain-bande du circuit boucleacute est le mecircme que celuide la chaicircne directe A(jω)

433 Diminution de la distorsion

La non lineacuteariteacute dune fonction de transfert telle que A(jω) engendre en sortie la preacutesencedharmonique du signal dentreacutee

Cette distorsion apparaicirct surtout dans les eacutetages de sortie de A(jω) et deacutepend de lampli-tude du signal dans ces eacutetages On compare ce qui de passe avec ou sans la contre-reacuteaction

On peut consideacuterer quau niveau des eacutetages de sortie de A(jω) on a une source de signauxparasites qui fournit un signal u Sans contre-reacuteaction cest cette tension qui apparaicirct

Avec un circuit de retour il y a agrave lentreacutee du circuit boucleacute reacuteinjection dune tension quiest amplieacutee par la fonction de transfert A(jω)

A cause des proprieacuteteacutes de la contre-reacuteaction la source de signaux parasites fournit unsignal uprime dieacuterent de u quon deacutetermine de la faccedilon suivante

uprime est une somme du signal u engendreacute au niveau des eacutetages de sortie de A(jω) et dusignal qui a eacuteteacute transmis par la chaicircne de retour et amplieacute par A(jω)

La chaicircne de retour donne le signal R middot uprime et lamplicateur A(jω) middot R middot uprime on a donc larelation

uprime = u+A(jω) middotR middot uprime (18)

soituprime =

Pour un mecircme signal de sortie lamplitude harmonique due agrave la non lineacuteariteacute est reacuteduite dela valeur du taux de contre-reacuteaction

434 Notion de stabiliteacute

La contre-reacuteaction consiste en un couplage eacutetabli volontairement entre la sortie et lentreacuteedune fonction de transfert A(p) de telle sorte que le signal appliqueacute en retour se retranche dusignal dattaque Or tout amplicateur introduit un deacutephasage des signaux de sortie par rap-port aux signaux dentreacutee Il faut donc prendre garde que les rotations de phase introduites parA(p) et R(p) maintiennent toujours un fonctionnement en contre-reacuteaction du circuit boucleacute

Il faut donc examiner la stabiliteacute du circuit boucleacute sachant quun circuit et plus geacuteneacuterale-ment un systegraveme est dit stable si eacutecarteacute par une perturbation de sa position deacutequilibre il atendance agrave y revenir

Dans ce cas du circuit boucleacute les conditions dinstabiliteacute sont exprimeacutees par la relation

1 +A(p) middotR(p) = 0 (20)

Si au moins une racine complexe de cette relation a une partie reacuteelle positive ou nulle alorsle circuit boucleacute sera instable

435 Marge de stabiliteacute

Il est important de noter que la notion de stabiliteacute dans les systegravemes temps continu nestpas purement binaire En eet un systegraveme est soit stable soit instable mais la proximiteacute dusystegraveme de la zone dinstabiliteacute peut engendrer des pheacutenomegravenes indeacutesirables Il est pour celaimportant dassurer une marge de stabiliteacute Pour mieux illustrer ce pheacutenomegravene prenons le

VminusVe

Figure 44 Scheacutema dun suiveur

circuit de la gure 44 Le gain de lamplicateur opeacuterationnel sera noteacute

A(p) =Vs

V + minus V minus (21)

En analysant le circuit on peut facilement montrer que la fonction de transfert du montagepeut exprimeacutee par

HBF (p) =Vs(p)

Ve(p)=

1 +A(p)(22)

Dans ce cas le facteur de la chaicircne de retour R(p) est eacutegale agrave 1 On peut aussi constater quequand A(p) tend vers linni on retrouve le reacutesultat HBF 1 quon aurait obtenu dans lecas ougrave lamplicateur opeacuterationnel serait ideacuteal avec V + = V minus

Inteacuteressons nous agrave preacutesent au circuit de lamplicateur opeacuterationnel nous allons eacutetudier les2 impleacutementations illustreacutees dans la gure 45 La premiegravere consiste en un amplicateur 1 eacutetagedont on xera le gain agrave 30 dB (314 2 en lineacuteaire) La deuxiegraveme consiste en un amplicateur 2eacutetages avec chacun un gain de 30 dB soit un gain total de 60 dB (1000 en lineacuteaire) Analysonsla stabiliteacute du montage suiveur en remplaccedilant A(p) par son expression Il faut ainsi analyserles pocircles de HBF ce qui revient agrave trouver les racines de lexpression 1+A(p) vu que R(p) = 1dans le cas du suiveur Commenccedilons dabord par larchitecture 1 eacutetage une analyse simplenous donne le reacutesultat suivant

p = minusADC + 1

τ(23)

Le systegraveme a un seul pole agrave partie reacuteelle neacutegative donc il est stable Passons agrave lanalyse dusuiveur avec lamplicateur 2 eacutetages Pour des valeurs raisonnables de constante de temps et

2 Une petite piqucircre de rappel la conversion lineacuteaire pour un gain en tension se fait en appliquant 20log10(A)

Vminus

Vsminusaop

A2(p) = A2DC

1+τ2 p

VminusVeVsminusaop

VminusVsminusaop

Amplificateur 1 Etage

A1(p) = A1DC

1+τ1 p

Amplificateur 2 Etages

Etage 1 Etage 2

A(p) = A1(p)A2(p) = A1DCA2

DC(1+τ1 p)(1+τ2 p)

A(p) = Vsminusaop

V+minusVminus = ADC1+τp

Figure 45 Scheacutema dun suiveur avec 2 impleacutementations pour lamplicateur opeacuterationnel

de gain DC 3 le deacuteterminant est neacutegatif On obtient dans ce cas les pocircles suivants

p12 =minus(τ1 + τ2)plusmn j

radicminus∆

2τ1τ2avec ∆ = (τ1 minus τ2)2 minus 4τ1τ2A

2DC (24)

Le systegraveme a 2 pocircles complexes conjugueacutes agrave partie reacuteelle neacutegative donc lui aussi est stableAnalysons les performances des 2 systegravemes Nous prendrons dans un premier lieu les

constantes de temps eacutegales avec τ1 = τ2 = τ = 1 On va tester notre suiveur avec un eacutecheloncomme entreacutee On sattend que lamplicateur 2 eacutetages ait une meilleure performance carson gain est 30 dB supeacuterieur agrave celui de lamplicateur 1 eacutetage Cependant la simulationdu montage illustreacutee dans la gure 46 gauche) montre que le suiveur avec lamplicateur2 eacutetages soure dun deacutepassement oscillatoire tregraves important qui ralentit signicativementla convergence Refaisons lexpeacuterience mais en prenant τ1 = 500τ2 = τ = 1 le reacutesultat estpreacutesenteacute dans la gure 46 droite) on voit quagrave preacutesent lamplicateur 2 eacutetages permet uneconverge plus rapide que celle de lamplicateur 1 eacutetage

Pour comprendre la dieacuterence de performance entre les 2 congurations calculons lex-pression des pocircles en remplaccedilant dabord τ1 et τ2 par τ

p12 = minus1plusmn 314j (25)

Pour le deuxiegraveme cas avec τ1 = 500τ2 = τ = 1 on obtient

3 Pour un deacuteterminant positif il faut que le rapport des constantes de temps soit approximativementsupeacuterieur agrave 4A1

DCA2DC cest possible mais pas du tout inteacuteressant en terme de conception

Figure 46 Reacuteponse du suiveur agrave un eacutechelon agrave un eacutechelon gauche) τ1 = τ2 = τ = 1 droite)τ1 = 500τ2 = τ = 1

On peut constater que la partie reacuteelle est largement supeacuterieure en valeur absolue dans cettedeuxiegraveme conguration ceci se traduit ainsi par une marge de stabiliteacute plus importanteCependant une analyse de la marge de stabiliteacute tel quon la faite dans cet exemple estextrecircmement chronophage Lanalyse en boucle ouverte qui sera introduite dans la sectionsuivante permet deacutetudier la stabiliteacute plus rapidement et est souvent preacutefeacutereacutee agrave lanalyse faitedans cette section dite analyse boucle fermeacutee

436 Analyse boucle ouverte et marge de phase

Lanalyse en boucle ouverte utilise comme point de deacutepart lexpression du systegraveme enboucle fermeacutee exprimeacutee dans le domaine de Fourier

HBF (jω) =A(jω)

1 +R(jω) middotA(jω)(27)

En analysant lexpression il est facile de se convaincre que le systegraveme serait instable sil existeune pulsation ω0 pour laquelle le produit R(jω0) middotA(jω0) vaut -1

Ce produit R(jω) middotA(jω) est tout simplement le gain en boucle ouverte de notre systegravemePour rappel 4 le calcul du gain boucle ouverte se fait comme lillustre la gure 47

On court-circuite lentreacutee du systegraveme agrave la masse On ouvre la boucle dans un point de notre choix On injecte le signal dentreacutee VeminusBO en aval du point douverture et on relegraveve le signal

de sortie VsminusBO en amont Le gain de boucle ouverte est donneacutee par

HBO(jω) = minusVsminusBO(jω)

VeminusBO(jω)= A(jω) middotR(jω) (28)

Ainsi le systegraveme serait instable sil existe une pulsation pour laquelle HBO(jω0) minus 1 Enexprimant

HBO(jω) =| HBO(ω) | ejΦ(ω) (29)

ceci reviendrait agrave avoir | HBO(ω) |=1 et Φ(ω) = minusπ Or la pulsation pour laquelle | HBO(ω) |=1 est la pulsation unitaire ou pulsation de transition ωT Ainsi an deacuteviter linstabiliteacute il estneacutecessaire que la phase Φ(ωT ) lt minusπ La dieacuterence entre la phase du gain en boucle ouverte et

4 Nous ne deacutetaillerons pas dans ce module le principe dasservissement eacutetudieacute en deacutetail dans les coursdautomatique Nous nous contenterons dun rappel rapide

44 EXERCICE AMPLIFICATEUR DIFFEacuteRENTIEL 63

e(ω)A(ω)

VeminusBO(ω)

VsminusBO(ω)

Figure 47 Analyse en boucle ouverte

le point instabiliteacute minusπ permet de mesurer la marge de stabiliteacute du systegraveme en boucle fermeacuteeCette grandeur est dite la marge de phase 5 et est calculeacutee par lexpression suivante

MP = Φ(ωT ) + π (30)

Pour illustrer limpact de la marge de phase sur un systegraveme eacutelectronique reprenons lexempledu suiveur consideacutereacute preacuteceacutedement Simulons son comportement pour dieacuterentes valeurs demarge de phase Les reacutesultats sont preacutesenteacutes dans la gure 48 Comme on peut le constateraugmenter la marge de phase permet de reacuteduire le deacutepassement (overshoot en anglais) et lesoscillations Cependant augmenter la marge de phase neacutecessite de reacuteduire τ2 ou si on raisonnefreacutequentiellement cela revient agrave augmenter la pulsation du pocircle non dominant ω2 Ceci se paieen pratique par une augmentation de la consommation de puissance Pour cela en pratique onvise une marge de phase de lordre de 60 car ccedila donne un bon compromis entre performanceset contraintes sur le deuxiegraveme eacutetage

Figure 48 Reacuteponse dun suiveur agrave un eacutechelon pour dieacuterentes valeurs de marge de phase

44 Exercice Amplicateur dieacuterentiel

441 Calcul de la fonction de transfert dun circuit agrave base damplicateuropeacuterationnel

On considegravere le circuit agrave temps continu reporteacute sur la gure 49 que nous avons eacutetudieacutepreacuteceacutedement Dans le chapitre sur la transformeacutee de Laplace nous eacutetions partis de la fonc-

5 La gure 36 illustre cette grandeur dune maniegravere grahique

tion de transfert pour eacutetudier la stabiliteacute et le fonctionnement du circuit Pour cet exercicelobjectif est de reacutealiser ce calcul de la fonction de transfert

Lamplicateur opeacuterationnel est supposeacute ideacuteal le gain en tension de lamplicateur estinni et indeacutependant de la freacutequence et son impeacutedance dentreacutee est innie La tension dentreacuteeVin est une tension dieacuterentielle et donc le courant I+

in=Iminusin

Z2I+in

Iminusin

Figure 49 Circuit de Wien gauche) Vue haut niveau droite) vue deacutetailleacutee

Question 4411 En utilisant la repreacutesentation haut-niveau de la gure 49 gauche) calculerla fonction de transfert F (p) = Vs

Veen fonction de a = 1 + R2

R1et H = Z1

Question 4412 En utilisant la repreacutesentation deacutetailleacutee de la gure 49 droite) exprimerdans le formalisme de Laplace Z1 Z2 et H(p) en fonction de τ = RC

Question 4413 Donner lexpression de la fonction de transfert F(p) en fonction de a etde τ

442 Etude de la stabiliteacute dun systegraveme boucleacute

On considegravere le circuit de la gure 410

Figure 410 Figure 411

Question 441 On suppose dans un premier temps lAOP parfaitement ideacuteal Exprimer lafonction de transfert Ho = VsVe de lamplicateur

BIBLIOGRAPHIE 65

Question 442 On suppose maintenant que le gain dieacuterentiel A de lAOP est ni et donneacutepar

A(p) =Ao

(1 + τ1 p)(1 + τ2 p)avec τ1 τ2

Montrer que le fonctionnement du circuit peut ecirctre repreacutesenteacute par le scheacutema fonctionnel de lagure 411 Deacuteterminer K et exprimer le gain en boucle fermeacutee H = VsVe en fonction de Aet de K

Question 443 Tracer les diagrammes de Bode asymptotique puis reacuteel (approcheacute agrave mainleveacutee) du gain en boucle ouverte G = vminusε pour les deux cas τ2 ωT gt 1 et τ2 ωT lt 1 ougravefT = ωT 2π est la freacutequence de transition de lAOP On indiquera leacutecart (en dB) entre lestraceacutes des gains reacuteel et asymptotique pour les points dinteacuterecirct ainsi que la marge de phaseMP sur les diagrammes

Question 444 Donner la condition pour assurer une marge de phase susanteMP ge π4En quoi cette condition a une relation avec la conservation du produit gain-bande

Bibliographie

Chapitre 5

Echantillonnage et Transformeacutee en Z

51 Echantillonnage

Leacutechantillonnage est lopeacuteration qui permet de transformer un signal temps continu agrave unsignal discret Dans les systegravemes dacquisition et de communication modernes cette opeacutera-tion est presque incontournable car les traitements se font dans la tregraves grande majoriteacute desapplications dans le domaine numeacuterique Il est cependant important de noter quune partiedes traitements analogiques peut se faire en temps discret notamment gracircce agrave la techniquedes capaciteacutes commuteacutees qui sera deacutetailleacutee dans le chapitre 8

511 Analyse temporelle de leacutechantillonnage

On considegravere un signal continu x(t) quon souhaite eacutechantillonner aux multiples dunepeacuteriode Te comme illustreacute dans la gure 51 La peacuteriode Te ou la peacuteriode deacutechantillonnageest eacutegalement noteacutee tregraves souvent Ts pour Sampling Period Le signal reacutesultant xlowast(t) est unsignal dont les valeurs ne sont deacutenies quaux multiples entiers de Te Les valeurs de xlowast(t)sont nulles pour n lt 0 si on considegravere des signaux causaux Lopeacuteration deacutechantillonnagepeut ecirctre modeacuteliseacutee par une multiplication entre le signal analogique x(t) et une suite innniedimpulsions de Dirac espaceacutees de Te Cette suite est appeleacutee peigne de Dirac et noteacutee Te(t)

Lexpression du signal eacutechantillonneacute xlowast(t) ou xlowast(nTe) est alors donneacutee par

xlowast(t) = xlowast(nTe) = x(t) middot Te(t) = x(t) middot+infinsum

n=minusinfinδ(tminus nTe) =

+infinsum

n=minusinfinx(nTe)δ(tminus nTe) (1)

Te 2Te 3Te 4Te 5Te 6Te t

x(t)xlowast(t) (t)

Figure 51 Modeacutelisation de leacutechantillonnage

Dapregraves le theacuteoregraveme deacutechantillonnage de Nyquist-Shannon la freacutequence deacutechantillonnagefe (tregraves souvent noteacutee aussi fs pour Sampling frequency) doit respecter la condition suivante

fe gt 2times fmax (2)

68 CHAPITRE 5 ECHANTILLONNAGE ET TRANSFORMEacuteE EN Z

ougrave fmax est la freacutequence maximale du signal x(t)Pour mieux comprendre cette condition consideacuterons x1(t) = cos(2πf1t) et x2(t) = cos(2πf2t)2 signaux quon eacutechantillonnera agrave une freacutequence fe = 1

Te On prendra f2 = fe + f1

xlowast1(t) = cos(2πf1t)+infinsum

+infinsum

n=minusinfincos(2πf1nTe)δ(tminus nTe) (3)

xlowast2(t) =

+infinsum

n=minusinfincos(2πf2nTe)δ(tminus nTe)

=+infinsum

n=minusinfincos(2πfenTe︸︷︷︸

+2πf1nTe)δ(tminus nTe) = xlowast1(t) (4)

Comme on peut le constater leacutechantillonnage du signal x2(t) qui ne respecte pas le critegravere deNyquist-Shannon a pour eet de le faire apparaicirctre agrave la freacutequence f1 = f2 minus fe La gure 52montre un exemple simuleacute avec f1 = 3 Hz f2 = 13 Hz et fe=10 Hz Comme on peut leconstater les signaux xlowast1(t) et xlowast2(t) sont indistinguables malgreacute le fait que x1(t) et x2(t) lesoient tregraves facilement

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

time (s)

Echantillonnage de x1(t) et x2(t) avec fe=10Hz

x1(t) cont f1=3 Hz

x2(t) cont f2=13 Hz

Peigne de Dirac

x1(nTe) Ech f1=3 Hz

x2(nTe) Ech f2=13 Hz

Figure 52 Echantillonage de 2 sinusoiumldes de freacutequence 3 et 13 Hz agrave une freacutequence deacutechan-tillonnage fe de 10 Hz

51 ECHANTILLONNAGE 69

512 Analyse Freacutequentielle de leacutechantillonnage

Nous allons nous inteacuteresser agrave preacutesent agrave limpact freacutequentiel de leacutechantillonnage On peutdeacutemontrer en utilisant les seacuteries de Fourrier que

Te(t) = fe

+infinsum

n=minusinfinejn2πfet (5)

La transformeacutee de Fourier de Te(t) est donc donneacutee par

TF Te(t) = (f) =

+infinint

minusinfinTe(t)e

minusj2πftdt = fe

+infinsum

n=minusinfinδ(f minus nfe) (6)

Leacutechantillonnage est modeacuteliseacute par une multiplication par un peigne de Dirac dans le domaine

Te 2Te 3Te 4Te 5Te 6Te minus3 feminus2 feminus fet fe 2 fe 3 fe f

Peigne de DiracTemporel Freacutequentiel

Figure 53 Transformeacutee de Fourier dun Peigne de Dirac

temporel donc cest une convolution dans le domaine freacutequentiel

Xlowast(f) = X(f) lowast (f) = X(f) lowast fe+infinsum

En deacuteveloppant expression

Xlowast(f) = fe

+infinsum

k=minusinfin

+infinsum

n=minusinfinX(k)δ(f minus nfeminus k) = fe

+infinsum

n=minusinfinX(f minus nfe) (8)

Le spectre de Xlowast(f) est ainsi inni et est peacuteriodiseacute avec une peacuteriode fe La gure 54 illustredune maniegravere scheacutematique limpact freacutequentiel de leacutechantillonnage Le choix dillustrer lespectre comme une fonction paire est pour signier que le signal x(t) est reacuteel 1 Le spectre dusignal eacutechantillonneacute est peacuteriodiseacute avec une peacuteriode fe et a une symeacutetrie autour de la freacutequencefe2 dite eacutegalement la freacutequence de Nyquist Le non respect du critegravere de Shannon-Nyquistengendre comme repreacutesenteacute dans la gure 54 agrave droite un recouvrement spectral qui auracomme conseacutequence de corrompre le signal

Pour comprendre comment deacuteterminer le spectre du signal eacutechantillonneacute il sut de faire lasomme de toutes les reacutepliques du signal geacuteneacutereacutees suite agrave la convolution agrave (f) Consideacuteronslexemple de la gure 55 Le spectre du signal dorigine temps continu est illustreacute sur lepremier spectre Eacutechantillonnons ce signal agrave une freacutequence f1 Pour simplier lachage nousallons normaliser laxe des freacutequences agrave f1 Le deuxiegraveme spectre qui correspond agrave n = 0dans lexpression 8 est tout simplement le spectre dorigine Le troisiegraveme spectre est obtenupar un deacutecalage de +f1 et correspond agrave un n = minus1 Les quatriegraveme cinquiegraveme et sixiegravemespectres sont respectivement obtenus en faisant un deacutecalage de minusf1 de +2f1 et de minus2f1 etcorrespondent respectivement agrave n = 1 n = minus2 et n = 2 On sest limiteacute dans cet exemple

1 Une fonction de densiteacute spectrale de puissance paire est une condition neacutecessaire mais pas susantepour prouver que x(t) est reacuteel

feminus fe

X( f )

=Xlowast( f )

BwminusBw

feminus fe

X( f )

=Xlowast( f )

BwminusBw

minus fe

minus fe fe 2 feminus2 fe

fe 2 feminus2 fe

Figure 54 Impact freacutequentiel de leacutechantillonnage gauche) critegravere de Shannon-Nyquistrespecteacute droite) critegravere de Shannon-Nyquist non respecteacute

agrave minus2 le n le 2 car le spectre dorigine est compris entre -2f1 et 2f1 Le spectre de sortieest la somme de ces dieacuterentes reacutepliques Comme on peut le constater le spectre du signaleacutechantillonneacute a une peacuteriode f1 et comme le signal dorigine x(t) est reacuteel le spectre de Xlowast(f)est symeacutetrique par rapport agrave f12 Pour clarier davantage ce type danalyse refaisons laen reacutealisant leacutechantillonnage agrave f2 = 2f1 La gure 56 montre le reacutesutat de lanalyse Les 2premiers spectres correspondent toujours au signal dorigine agrave n = 0 dans lexpression 8 Letroisiegraveme spectre correspond agrave n = minus1 mais qui est obtenu cette fois en faisant un deacutecalage de+f2 ou de +2f1 La quatriegraveme spectre correspond agrave n = 1 quon obtient avec un deacutecalage de-f2 Le cinquiegraveme spectre correspond agrave la somme des 3 spectres Comme on peut le constaterdans ce cas nous nous sommes contenteacutes de minus1 le n le 1 car le spectre dorigine est comprisentre -f2 et +f2 En comparant les 2 gures 55 et 56 on peut facilement observer limpactde la freacutequence deacutechantillonnage sur le spectre Dans le premier cas le signal en bande debase (signal vert) est corrompu par les 2 autres signaux (bleu et violet) alors que dans le 2egravemecas les signaux bleu et violet ne se replient pas sur le signal vert

En pratique pour deacuteterminer le spectre de sortie dune opeacuteration deacutechantillonnage ilnest pas neacutecessaire de deacutetailler lanalyse telle quelle a eacuteteacute faite dans ces 2 exemples Il sutde deacuteterminer pour les dieacuterentes reacutepliques les composantes qui se replient entre minusfe2 etfe2 On peut meme se restreindre agrave 0 agrave fe2 pour les signaux reacuteels

52 La transformeacutee en Z

Les systegravemes lineacuteaires invariants (SLI) eacutechantillonneacutes constituent une classe tregraves impor-tante pour le traitement du signal La transformeacutee en Z pour de tels systegravemes joue le mecircmerocircle que la transformeacutee de Laplace pour les SLI continus

52 LA TRANSFORMEacuteE EN Z 71

321minus3 minus2 minus1

1minus1

X( f )

n =minus2

Xlowast( f )

f ( f1)

f ( f1)n = 2

f ( f1)

n =minus1

f ( f1)

n = 1f ( f1)

f ( f1)

Signal drsquoorigine temps continu

Figure 55 Calcul du repliement eacutechantillonnage agrave f1

1minus1

X( f )

f ( f1)

f2 = 2 f1

Xlowast( f )

f ( f1)n = 1

f ( f1)

n =minus1

Figure 56 Calcul du repliement eacutechantillonnage agrave f2 = 2f1

521 Deacutenition condition dexistence et analyticiteacute

Soit une seacutequence x[k] de nombre reacuteels la transformeacutee en Z est une fonction de la variablecomplexe z deacutenie par

TZx[k] = X(z) =infinsum

n=minusinfinx[k]zminusk (9)

La deacutenition retenue est celle de la TZ unilateacuterale valable pour les signaux et les systegravemesde traitement causaux

La variable complexe z peut seacutecrire z = ρejθ Alors une condition susante pourlexistence de la TZ est quil existe un reacuteel positif ρ0 tel que la somme suivante converge

infinsum

|x [k]| ρminusn0 (10)

Puis pour tout ρ gt ρ0 la somme agrave fortiori converge et donc la TZ est deacutenieTous les signaux causaux qui ont une transformeacutee en Z sont tels que cette transformeacutee

existe dans le plan complexe (contenant ρ=+infin) priveacute dun disque centreacute sur lorigine

Exemple La fonction f [k] = ak ougrave a est une constante reacuteelle positive

F (z) =+infinsumk=0

akz_k =+infinsumk=0

(azminus1

F (z) = 11minusazminus1 si

∣∣azminus1∣∣ lt 1

pour ρ gta la transformeacutee en Z est deacutenieLa transformeacutee en Z dune seacutequence x[k] est donneacutee par lensemble de la fonction X(z) et

du codisque de convergencePour satisfaire agrave cette condition x[k] doit ecirctre localement sommable et la croissance de

x[k] avec k ne doit pas ecirctre trop rapide il existe deux reacuteels positifs M et α tels que pourkrarrinfin

|x [k]| lt Mαk (11)

Dans ce cas la transformeacutee en Z de x[k] X(z) est deacutenie et analytique (deacuterivable) dans lecodisque de convergence telle que |z| = ρ gt α

522 La transformeacutee en Z de quelques signaux

Echelon uniteacute (Heaviside) TZu[k] =+infinsumk=0

u [k] zminusk

=+infinsum

zminusk

TZu[k] =1

1minus zminus1pour |z| gt 1

Impulsion discregravete TZδ =+infinsumk=0

δ [k] zminusk = 1

Seacutequence exponentielle f [k] = e(minusαk) ougrave α est une constante reacuteelle positive

TZf [k] =

+infinsum

exp (minusαk) zminusk

+infinsum

(eminusαzminus1

TZf [k] =1

1minus eminusαzminus1pour |z| gt eminusα

523 Proprieacuteteacutes de la TZ

Lineacuteariteacute TZ

nsumi=1

aixi [k]

nsumi=1

ai middot TZ xi [k] ougrave ai sont des constantes

Multiplication du signal par un signal exponentiel TZakx [k]

Multiplication du signal par sa variable deacutevolution TZ k middot x [k] = minusz dX(z)dz

Convolution 2 TZ x1[k] lowast x2 [k] = X1 (z) middotX2 (z) Translation en temps soit y le signal x retardeacute de k0 eacutechantillons avec y [k] = x [k minus k0]

TZ y [k] = zminusk0 middotX (z)

Cette proprieacuteteacute montre que retarder un signal dune uniteacute (une peacuteriode deacutechantillonnage)revient agrave multiplier par zminus1 dans le domaine freacutequentiel Ceci conduit agrave consideacuterer la variablezminus1 au sens dun calcul symbolique comme un opeacuterateur retard dun eacutechantillon

524 Relation entre la transformeacutee en Z et la transformeacutee de Laplace

Si la seacutequence x[k] provient de leacutechantillonnage dun signal continu x(t) x [k] = x(kTe) k=0 1 2

la transformeacutee en Z seacutecrit X (z) =+infinsumk=0

x(kTe)zminusk

Dautre part le signal eacutechantillonneacute xe (t) =+infinsumk=0

x(kTe)δ (tminus kTe)

possegravede une transformeacutee de Laplace L [xe (t)] = Xe (p) =+infinsumk=0

x(kTe) exp (minuskTep)

Si lon identie X(z) et Xe(p) il vient z = epTe

Gracircce agrave cette relation les transformeacutees en Z et de Laplace dun signal eacutechantillonneacute causalsont identiques

Cas particulier Lorsque les domaines de convergence incluent laxe jω dun coteacute et le cercle uniteacute de

lautre la seacutequence x[k] possegravede une transformeacutee de Fourier

p = jω z = ejTeω TF (x) = Xe (jω) = X(ejTeω

+infinsum

x [k] exp (minusjkTeω)

Les transformeacutees en Z et de Fourier dune seacutequence causale sont identiques

53 Principales utilisations de la transformeacutee en Z

La transformeacutee en Z permet leacutetude des systegravemes discrets avec les mecircmes possibiliteacutes quela transformeacutee de Laplace pour les systegravemes continus

531 Fonction de transfert et reacuteponse en freacutequence des SLI

Les systegravemes lineacuteaires invariants sont les systegravemes tels que lentreacutee et la sortie sont lieacutees parune eacutequation aux dieacuterences lineacuteaire avec des coecients constants Cette cateacutegorie de sys-tegravemes est tregraves importante car elle correspond aux systegravemes de traitement du signal numeacuterique(ltres numeacuteriques)

2 pour des signaux causaux x1[k] lowast x2 [k] =ksumn=0

x1 [n]x2 [k minus n]

53 PRINCIPALES UTILISATIONS DE LA TRANSFORMEacuteE EN Z 75

Soit un systegraveme H avec une entreacutee x et une sortie y Le systegraveme H est un SLI et de plus ilest causal (la sortie y ne deacutepend que du passeacute ou du preacutesent de x et du passeacute de y) Dans cecas leacutequation aux dieacuterences est de la forme geacuteneacuterale suivante ar et br sont des constantesreacuteelles

y [k] =

arx [k minus r]minusNsum

bry [k minus r] avec M 6 N (12)

La transformation en Z de cette relation donne

Y (z) = X (z)Msum

arzminusr minus Y (z)

brzminusr (13)

Alors la fonction de transfert H(z) du systegraveme est de la forme

H (z) =Y (z)

X (z)=

Msumr=0

arzminusr

1 +Nsumr=1

brzminusr(14)

Une fraction rationnelle en z (ou zminus1) relie lentreacutee et la sortie dun SLI dans le domaine en ZSi lon considegravere que les seacutequences x et y repreacutesentent des signaux continus eacutechantillonneacutes

la reacuteponse en freacutequence du systegraveme peut ecirctre obtenue en remplaccedilant z par ejTeω

H(ejωTe

Msumr=0

areminusjrωT

1 +Nsumr=1

breminusjrωT=∣∣H(ejωT

)∣∣ exp (jΦ (ω)) (15)

H(z) est une fraction rationnelle et exp(-jωTe) est peacuteriodique Donc les reacuteponses en amplitudeset en phase sont peacuteriodiques de peacuteriode 2πTe

532 Stabiliteacute

Une application tregraves inteacuteressante de la transformeacutee en Z est leacutetude de la stabiliteacute dessystegravemes discrets En fait on sait dune part quil y a une eacutequivalence entre la transformeacuteede Laplace et la transformeacutee en Z Dautre part on sait que dans le domaine temps continuun systegraveme de fonction de transfert H(p) est stable si tous les pocircles de H(p = sont agrave partiereacuteelle neacutegative Sachant que la relation qui lie z = epTe

p = σ + jω =rArr Z = e(σ+jω)Te = eσTe middot ejωTe (16)

σ lt 0 =rArr| epTe |lt 1 (17)

Ainsi une condition neacutecessaire et susante pour quun systegraveme soit stable EBSB est quesa fonction de transfert H(z) nait que des pocircles dont le module est strictement infeacuterieur agrave 1

La transmittance dun systegraveme stable au sens large peut avoir des pocircles dordre quelconquedont le module est infeacuterieur agrave 1 et des pocircles dordre 1 dont le module est eacutegal agrave 1 Un telsystegraveme se comportera en oscillateur comme illustreacute dans la gure 58

Figure 57 Equivalence entre TL et TZ

x(t) X(p) X(z)u(t) 1

pzzminus1

tu(t) 1p2

Tz(zminus1)2

t2u(t)2

T 2z(z+1)

2(zminus1)3

eminusatu(t) 1p+a

zzminuseminusaT

teminusatu(t) 1(p+a)2

TzeminusaT

(zminuseminusaT )2

u (t)minus eminusatu(t) ap(p+a)

(1minuseminusaT )z(zminus1)(zminuseminusaT )(

tminus 1minuseminusata

)u(t) a

p2(p+a)Tz

(zminus1)2 minus (1minuseminusaT )za(zminus1)(zminuseminusaT )

eminusat sin(bt)u(t) b(p+a)2+b2

zeminusaT sin bTz2minus2zeminusaT cos bT+eminus2aT

eminusat cos(bt)u(t) p+a

(p+a)2+b2z2minuszeminusaT cos bT

z2minus2zeminusaT cos bT+eminus2aT

2 eminusatu(t) 1

(p+a)3T 2zeminusaT

2(zminuseminusaT )2 + T 2zeminus2aT

(zminuseminusaT )3

Table 51 Transformations de Laplace et en Z dune fonction causale x(t) ou x[kT]

minus30 30 f(Hz)

X( f )48 rarr 52-52 rarr -48

Signal utilePerturbateur 50 Hz

Figure 59 Gauche) Signal ECG reacuteel droite) Modeacutelisation

54 Exercices Echantillonnage et TZ

541 Exercice Echantillonnage dun signal ECG

Nous souhaitons faire lacquisition dun signal Electro-Cardiogramme (ECG) Le spectrede ce signal est illustreacute dans la gure 59 gauche) Comme on peut le constater le signalpreacutesente un perturbateur fort autour de la freacutequence 50 Hz du agrave reacuteseau eacutelectrique

Question 5411 Sachant que la phase du signal ECG est une fonction impaire dans ledomaine freacutequentiel et que son module comme illustreacute est une fonction paire quelle conclusionpeut-on tirer sur le signal ECG

Question 5412 En utilisant la modeacutelisation de la gure 59 droite) tracer le module duspectre du signal ECG pour une freacutequence deacutechantillonnage fe de 70 Hz

Question 5413 Que faut-il faire pour eacuteviter davoir le problegraveme du repliement

542 Exercice Echantillonnage et TZ

Soit le signal eacutechantillonneacute selon la Figure 510

x(t)xlowast(t) (t)

Figure 510 Echantillonnage avec un peigne de Dirac

Question 5421 Ecrire lexpression du signal xlowast(t) en fonction de la valeur des eacutechantillonsde x(t) et du peigne de Dirac

Question 5422 Trouver la transformation de Laplace puis la transformation en z dexlowast(t) En deacuteduire la relation entre z et p De cette relation sachant que les pocircles dune fonctionde transfert T(p) doivent ecirctre dans le 12 plan gauche de Laplace pour garantir la stabiliteacutedu systegraveme en deacuteduire la position des pocircles dune fonction de transfert T(z) pour garantireacutegalement la stabiliteacute du systegraveme en temps discret

BIBLIOGRAPHIE 79

543 Exercice Signal eacutechantillonneacute et bloqueacute

En pratique le signal analogique eacutechantillonneacute est bloqueacute en geacuteneacuteral pendant une peacuteriodedhorloge (Figure 511) On se propose deacutetudier linuence de ce blocage sur le signal enfreacutequence

x(t)xlowast(t) xEB(t)

Figure 511

Question 5431 Exprimer xEB (t)) en fonction des eacutechantillons x(nTe) et de la fonctioneacutechelon u(t) en supposant x(t) = 0 pour t lt 0

Question 5432 Calculer la transformation de Laplace de xEB(t) XEB (p) Faire ap-paraicirctre dans cette expression la transformation de Laplace de xlowast(nTe) Xlowast (p) En deacuteduirela fonction de transfert dun bloqueur noteacutee TB (p) Repreacutesenter le module de TB (jω) enfonction de la freacutequence

Bibliographie

[3] M Bergounioux Matheacutematiques pour le traitement du signal - 2e eacuted Cours et exercicescorrigeacutes Matheacutematiques appliqueacutees pour le MasterSMAI Dunod 2014 httpsbooksgooglefrbooksid=WeWmAwAAQBAJ

[5] Richard G Lyons Understanding Digital Signal Processing Addison-Wesley LongmanPublishing Co Inc USA 1st edition 1996

Chapitre 6

TP Amplication (Preacutesentiel)

61 Introduction Geacuteneacuterale pour les Travaux Pratiques

Dans le cadre des TPs ESA nous allons nous inteacuteresser agrave la mise en oeuvre dune banquedeets musicaux quon appliquera agrave une guitare eacutelectrique

Dans le TP1 nous eacutetudierons lamplication Cette fonction est neacutecessaire pour lanumeacuterisation du signal quon abordera dans le TP4 mais aussi en ajustant son gainun amplicateur peut ecirctre utiliseacute pour geacuteneacuterer un eet distorsion

Dans le TP2 nous impleacutementerons un eet Tremolo agrave laide de circuits agrave capaciteacutescommuteacutees

Le TP3 sera consacreacute agrave la fonction ltrage Nous reacutealiserons un ltre passe bandeexible controcircleacute eacuteleacutement de base pour la mise en oeuvre de leet Wahwah

Dans le TP4 nous changerons de monde pour passer agrave des eets numeacuteriques (OctaverEcho ) Ce passage neacutecessitera bien eacutevidement une conception et un dimensionnementapproprieacutes du convertisseur analogique numeacuterique

Figure 61 Eets musicaux sur la guitare eacutelectrique

82 CHAPITRE 6 TP AMPLIFICATION (PREacuteSENTIEL)

62 Introduction TP amplication

Lobjectif de ce premier TP est de concevoir lamplicateur de la chaicircne de numeacuterisationdu signal issu de la guitare eacutelectrique Nous eacutetudierons eacutegalement limpleacutementation de leetdistorsion 1 en sappuyant sur la mecircme architecture damplicateur Le signal issu de la guitarea une dynamique de plusmn250 mV avec une tension moyenne nulle Freacutequentiellement ce signalpourrait avoir des composantes sur un spectre allant de 50 Hz agrave 20 kHz Le convertisseuranalogique numeacuterique (CAN) a une dynamique de 0 agrave 4 V An de maximiser les performancesdu CAN il est neacutecessaire que le signal agrave son entreacutee occupe le plus possible cette dynamiquesans la deacutepasser pour eacuteviter la saturation Le fonctionnement du CAN sera eacutetudieacute en deacutetailsdans le chapitre 13

Pour ce TP ainsi que pour le TP 3 nous utiliserons la maquette de prototypage preacutesenteacuteedans lannexe A1

63 Analyse statique

V g Rdve

Rd=10 kΩ

gm middot ve

Figure 62 Montage pour la mesure de la fonction de transfert

Larchitecture choisie est lamplicateur composeacute dun transistor et dune reacutesistance eacutetu-dieacute en cours Lamplicateur est illustreacute dans la gure 62 Pour reacutealiser le montage nousutiliserons le circuit inteacutegreacute se trouvant sur la partie supeacuterieure de votre maquette La grilleest connecteacutee au connecteur 6 la source au connecteur 7 et le drain au connecteur 14 Il estimportant de ne pas confondre la source du transistor noteacutee s avec la sortie du montage noteacuteeVs La valeur de VDD est xeacutee agrave 5 V elle sera fournie par le geacuteneacuterateur dalimentation DC

An de veacuterier que le gain et les dynamiques dentreacutee et de sortie de lamplicateurreacutepondent aux besoins de notre chaicircne nous allons tracer la fonction de transfert du montageVs = f(Ve) Pour reacutealiser cette opeacuteration rapidement sans faire varier la tension dentreacutee Veagrave la main lapproche la plus simple est dappliquer un signal triangulaire faible freacutequence agravelentreacutee de lamplicateur et lutiliser pour tracer la courbe Vs = f(Ve) en sappuyant sur lemode xy de loscilloscope Pour cela il est neacutecessaire de connecter lentreacutee agrave la premiegravere voiede loscilloscope et la sortie agrave la deuxiegraveme Pour le signal dentreacutee nous reacuteglerons la freacutequenceagrave 100 Hz la tension crecircte-crecircte (ou peak-peak Vpp) agrave 5 V et la tension moyenne (ou oset)agrave 25 V (an de couvrir la plage de tension allant de la 0 agrave VDD) Ce signal sera fourni parle geacuteneacuterateur basse freacutequence

1 Pour mieux comprendre cet eet vous pouvez regarder la videacuteo suivante qui compare le son dun guitaresans et avec leet httpswwwyoutubecomwatchv=REZP6yF38MA Vous pouvez aussi regarder la videacuteosuivante qui montre M David Guilmour dans ses oeuvres httpswwwyoutubecomwatchv=o5Ht6WIhhmU

64 ANALYSE PETIT SIGNAL 83

Question 631 Relever agrave loscilloscope la courbe Vs = f(Ve) du circuit de la gure 62Deacuteterminer la zone de fonctionnement du transistor (Dynamique dentreacutee et dynamique desortie) ougrave le montage consideacutereacute est un amplicateur de tension ( Vs minus Vs0 = G middot (Ve minus Ve0) ougraveVe0 et Vs0 sont des tensions constantes) En deacuteduire la valeur du gain G

Question 632 Dans notre but de solliciter la dynamique dentreacutee du CAN dune faccedilonsymeacutetrique nous choisissons de xer Vs0 agrave 2 V Discuter si lamplicateur est adapteacute pournotre application

Le signal issu de la guitare eacutetant centreacute autour de la masse il ne peut pas ecirctre appliqueacutedirectement agrave lentreacutee de lamplicateur Il est neacutecessaire de changer sa tension moyenne Pourreacutealiser cette opeacuteration nous proposons de rajouter le circuit composeacute par les composants R1R2 et C1 agrave notre amplicateur voir illustreacute dans la gure 63

Question 633 Quelle est la fonction freacutequentielle reacutealiseacutee par ce montage HPF (jω) =vg(jω)ve(jω)

Question 634 Compleacuteter votre montage en rajoutant les composants R1 R2 et C1 Nerajouter pas les composants dans le rectangle en pointilleacute ceux lagrave seront rajouteacutes dans lasection 65 Deacuteconnecter ou deacutesactiver lentreacutee du geacuteneacuterateur faible freacutequence Reacutegler le poten-tiomegravetre R2 an dobtenir une tension de sortie Vs = 2 V Relever la valeur de R2 agrave laide delohmmegravetre ainsi que la valeur Vg

Question 635 Au vu des valeurs choisies pour R1 R2 et C1 est ce que lajout de cemontage pourrait poser problegraveme pour lapplication viseacutee Si oui comment peut-on pallier ceproblegraveme

R2= 0 - 100 kΩ

Rd = 10 kΩ

C1=10 nF Ecouteurs

Oscilloscope

C2=10 nFR1 = 100 kΩ

Figure 63 Montage amplicateur avec reacuteseau dentreacutee

64 Analyse petit signal

Nous allons passer agrave preacutesent agrave lanalyse freacutequentielle de notre amplicateur Pour cetteopeacuteration nous utiliserons un signal sinusoiumldal avec une faible amplitude de 100 mVpp et

2 Pour faire cette analyse petit signal vous pouvez connecter toutes les tensions continues agrave la masse Onrappelle aussi que le courant de grille du transistor peut ecirctre approximeacute nul

une freacutequence de 5 kHz Pour loset sa valeur na pas dimpact sur le fonctionnement delamplicateur vu que le montage R1-R2-C1 permet de la supprimer

Question 641 Mesurer le gain G0 = vsve comparer agrave la valeur obtenue avec lanalysestatique

Question 642 Faites varier la freacutequence du signal ve pour deacuteterminer la freacutequence decoupure basse f bc et la freacutequence de coupure haute fhc (les freacutequences pour lesquelles le gainen tension vaut G0

radic2) Veacuterier que f bc est en concordance avec le calcul theacuteorique de la

question 633

Question 643 Calculer le produit gain-bande (PGB = G0 middot fhc )

Question 644 Deacuteterminer la freacutequence de transition La comparer avec le produit gain-bande

65 Et si on jouait de la guitare

Pour eacutevaluer la qualiteacute du signal agrave la sortie de lamplicateur nous souhaitons leacutecouterPour cela nous allons utiliser les 2 sorties BNC S3 et S4 pour connecter le signal de sortie agrave lafois agrave des eacutecouteurs et agrave loscilloscope Les eacutecouteurs peuvent ecirctre modeacuteliseacutes par une reacutesistancede 4 agrave 10 Ω An deacuteviter de changer le point de polarisation de lamplicateur nous allonsconnecter sa sortie agrave un condensateur de 10 nF en amont des eacutecouteurs comme illustreacute dansle rectangle vert en pointilleacute de la gure 63 Dans un premier temps nous garderons en signaldentreacutee une sinusoiumlde de 5 kHz damplitude 100 mVpp

Question 651 En observant loscilloscope que se passe-t-il quand nous branchons les eacutecou-teurs Conseil Appuyez vous sur le modegravele eacutequivalent Theacutevenin de lamplicateur pour votre analyseen comparant le gain sans et avec eacutecouteurs

Pour pallier ce problegraveme nous utilisons un circuit pilote (ou driver) audio qui a la parti-culariteacute davoir une impeacutedance dentreacutee extrecircmement eacuteleveacutee et un eacutetage de sortie qui permetde charger des faibles impeacutedances comme celle des eacutecouteurs Brancher le driver audio agrave lasortie de lamplicateur en passant par le condensateur C2

Question 652 Commencer par observer la sortie avec un signal issu du geacuteneacuterateur puispasser agrave un signal issu de la guitare 3

Un eet musical tregraves utiliseacute parmi les guitaristes est la distorsion quon peut obtenir ensaturant la sortie de la guitare Pour cela nous allons augmenter le gain de notre amplicateuren remplaccedilant la reacutesistance Rd par une reacutesistance de 100 kΩ

Question 653 Modier la reacutesistance Rd ajuster la valeur de R2 pour ramener la compo-sante continue Vs0 agrave 2 V Jouez et faites ressortir le David Gilmour qui est en vous

3 Si vous necirctes pas agrave laise avec une guitare vous pouvez utiliser le signal audio preacute-enregistreacute sur legeacuteneacuterateur

Chapitre 7

TP Amplication (Distanciel)

86 CHAPITRE 7 TP AMPLIFICATION (DISTANCIEL)

Lobjectif de ce premier TP est de concevoir lamplicateur de la chaicircne de numeacuterisationdu signal issu de la guitare eacutelectrique Nous eacutetudierons eacutegalement limpleacutementation de leetdistorsion 1 en sappuyant sur la mecircme architecture damplicateur Le signal sonore a unedynamique de plusmn300 mV avec une tension moyenne nulle Freacutequentiellement ce signal pourraitavoir des composantes sur un spectre allant de 50 Hz agrave 20 kHz Le convertisseur analogiquenumeacuterique (CAN) a une dynamique de 0 agrave 4 V An de maximiser les performances du CANil est neacutecessaire que le signal agrave son entreacutee occupe le plus possible cette dynamique sans ladeacutepasser pour eacuteviter la saturation Le fonctionnement du CAN sera eacutetudieacute en deacutetails dans lechapitre 13

Pour ce TP ainsi que pour le TP 3 nous utiliserons le logiciel LTspice dAnalog DevicesVous pouvez trouver un court tutoriel sur LTspice sur le site web de lUE Toutes les res-sources pour suivre le TP ainsi quun canevas pour le compte-rendu sont disponibles dans lereacutepertoire zippeacute TP_Amplificationzip que vous pouvez teacuteleacutecharger sur le site web de lUEhttpsc2stelecom-paristechfrELEC101documentsTP

73 Analyse statique

V g Rdve

Rd=10 kΩ

gm middot ve

Larchitecture choisie est lamplicateur composeacute dun transistor NMOS (CD4007) avecune charge reacutesistive eacutetudieacute en cours Lamplicateur est illustreacute dans la gure 72 La valeurde la tension dalimentation VDD est xeacutee agrave 5V Pour utiliser le transistor CD4007 dansLTspice copiez le chier standardmos et remplacer lexistant dans le reacutepertoire de LTspiceCUsersVotreNomUtilisateurDocumentsLTspiceXVIIlibcmp 2 Pour linstancier dansLTspice cliquez sur component minusrarrnmos suivi dun clic droit sur licocircne du composant dans lescheacutematique cliquez sur Pick new MOSFET et choisissez le CD4007 dans la liste Pour instan-cier la reacutesistance Rd il faut utiliser le menu Resistor pour lalimentation ainsi que la sourcedentreacutee il faut utiliser le menu Component minusrarr voltage Fixer VDD et Rd agrave respectivement5 V et 10 kΩ Nous xerons les paramegravetres de Ve plus tard Noubliez pas de nommer lesnoeuds dentreacutee et de sortie en utilisant la fonction Label Net Le tableau 71 vous donne les

2 Ce chemin est le chemin par deacutefaut il se peut quil soit dieacuterent pour vous si vous avez deacutecidez dinstallerLTspice dans un autre reacutepertoire que celui proposeacute par deacutefaut

73 ANALYSE STATIQUE 87

10minus12 10minus9 10minus6 10minus3 103 106 109

p n u m k meg g

Table 71 Uniteacutes sous LTspice

deacutenitions des uniteacutes sous LTspice Par exemple pour xer la valeur dune reacutesistance agrave 10 kΩil sut de mettre 10k (sans uniteacute)

An de veacuterier que le gain et les dynamiques dentreacutee et de sortie de lamplicateur reacute-pondent aux besoins de notre chaicircne nous allons tracer la fonction de transfert du montageVs = f(Ve) Pour reacutealiser cette eacutetude nous allons faire appel agrave une analyse DC sweep dispo-nible dans le menu Simulate minusrarr Edit Simulation Cmd Cette analyse permet deacutetudier lecomportement statique du circuit en fonction de la variation dune source de tension Choi-sissez la source dentreacutee comme source agrave faire varier et faites un balayage lineacuteaire allant de 0agrave 5 V pour couvrir tout la plage entre la masse et VDD

Question 731 Relever agrave laide de LTspice la courbe Vs = f(Ve) du circuit de la gure 72Deacuteterminer la zone de fonctionnement du transistor (Dynamique dentreacutee et dynamique desortie) ougrave le montage consideacutereacute est un amplicateur de tension ( Vs minus Vs0 = G middot (Ve minus Ve0) ougraveVe0 et Vs0 sont des tensions constantes) En deacuteduire la valeur du gain G

Le signal sonore utiliseacute dans ce TP eacutetant centreacute autour de la masse il ne peut pas ecirctreappliqueacute directement agrave lentreacutee de lamplicateur Il est neacutecessaire de changer sa tensionmoyenne Pour reacutealiser cette opeacuteration nous proposons de rajouter le circuit composeacute par lescomposants RA RB et CA agrave notre amplicateur voir illustreacute dans la gure 73

Compleacuteter votre montage en rajoutant les composants RA RB et CA Ne rajouter pas lescomposants dans le rectangle en pointilleacute ceux lagrave seront rajouteacutes dans la section 75 Deacutecon-necter la source du signal dentreacutee du reste du circuit Eectuer une simulation parameacutetriquedu point de fonctionnement en faisant varier la reacutesistance RB Pour ce faire commencez parattribuer un nom de paramegravetre au composant en question que vous mettrez dans le champs dela valeur (par ex Resistance(Ω)) entre accolade(par ex RB) Ensuite tapez la directiveSpice 4 dans le menu Spice Directive Pour nir congurez et lancer une simulation dupoint fonctionnement 5 pour tracer la courbe Vs = f(RB)

Question 734 Deacuteterminer la valeur RB ainsi que la valeur Vg an dobtenir une tensionde sortie Vs = 2 V

Fixez RB agrave la valeur obtenue dans la question preacuteceacutedente et eacez la commande de lasimulation parameacutetrique de votre scheacutematique

Question 735 Au vu des valeurs choisies pour RA RB et CA est ce que lajout de cemontage pourrait poser problegraveme pour lapplication viseacutee Si oui comment peut-on pallier ceproblegraveme

3 Pour faire cette analyse transcrivez ce circuit en mode petit signal en connectant toutes les tensionscontinues agrave la masse On rappelle aussi que le courant de grille du transistor peut ecirctre approximeacute nul

4 (par ex step param RB 10k︸︷︷︸Val initiale

100k︸︷︷︸Val nale

2k︸︷︷︸Pas

5 Simulate minusrarr Edit Simulation Cmd minusrarr DC opt pnt

RB= 0 - 100 kΩ

Rd = 10 kΩ

CA=10 nF

CB=10 nF

REcouteurs

Vaudio

RA = 100 kΩ

Nous allons passer agrave preacutesent agrave lanalyse freacutequentielle de notre amplicateur Pour cetteopeacuteration nous utiliserons un signal sinusoiumldal avec une faible amplitude de 50 mV et unefreacutequence de 5 kHz Pour loset sa valeur na pas dimpact sur le fonctionnement de lam-plicateur vu que le montage RA-RB-CA permet de la supprimer

Question 741 Lancer un simulation transitoire 6 de 1 ms sur LTspice Tracer le signaldentreacutee et le signal de sortie Mesurer le gain G0 = vsve comparer agrave la valeur obtenue aveclanalyse statique

Question 742 Pour deacuteterminer la bande passante de lamplicateur nous allons reacutealiserune simulation AC sur LTspice Pour ce faire parameacutetrez la source du signal dentreacutee avecAC amplitude=1 V et AC phase=0 Parameacutetrez la simulation AC pour couvrir la bande defreacutequence 1 Hz agrave 100 MHz 7 Deacuteterminer la freacutequence de coupure basse f bc et la freacutequence decoupure haute fhc (les freacutequences pour lesquelles le gain en tension vaut G0

radic2 en lineacuteaire ou

G0minusdB -3 dB) Veacuterier que f bc est en concordance avec le calcul theacuteorique de la question 733

75 Vers la magie musicale

Pour eacutevaluer la qualiteacute du signal agrave la sortie de lamplicateur nous souhaitons leacutecouterPour cela nous allons modeacuteliser dune maniegravere reacutealiste les eacutecouteurs par une reacutesistance de5 Ω An deacuteviter de changer le point de polarisation de lamplicateur nous allons connectersa sortie agrave un condensateur de 10 nF en amont des eacutecouteurs comme illustreacute dans le rectanglevert en pointilleacute de la gure 73 Dans un premier temps nous garderons en signal dentreacuteeune sinusoiumlde de freacutequence 5 kHz et damplitude 50 mV

6 Simulateminusrarr Edit Simulation Cmdminusrarr Transient

7 Le symbole des Mega sous LTspice est meg

75 VERS LA MAGIE MUSICALE 89

Question 751 Que se passe-t-il quand nous branchons les eacutecouteurs Conseil Appuyez vous sur le modegravele eacutequivalent Theacutevenin de lamplicateur pour votre analyseen comparant le gain sans et avec eacutecouteurs

Pour pallier ce problegraveme on utilise en pratique un circuit pilote (ou driver) audio quia la particulariteacute davoir une impeacutedance dentreacutee extrecircmement eacuteleveacutee et un eacutetage de sortiequi permet de charger des faibles impeacutedances Dans le cadre de ce TP on va se contenterde modeacuteliser les eacutecouteurs dune maniegravere ideacuteale par un impeacutedance tregraves eacuteleveacutee de 1 MΩ andeacuteviter la chute de gain

Question 752 Commencez par observer (grace agrave une simulation transient) la sortie avecle mecircme signal utiliseacute dans la question 751 puis utiliser un des signaux audio Fixez ladureacutee de la simulation agrave 10 secondes Pour manipuler les chiers audio sur LTspice regardezle tutoriel agrave partir de la minute 18 Fixez la freacutequence deacutechantillonnage dans votre chier desortie agrave 441 KHz et le nombre de bits agrave 16

Question 753 Modier la reacutesistance Rd ajuster la valeur de RB pour ramener la compo-sante continue Vs0 agrave 2 V Quobservez-vous sur le signal de sortie et comment ccedila se traduitau niveau sonore

Chapitre 8

Electronique analogique agrave tempsdiscret

81 Historique

La premiegravere publication connue sur les signaux analogiques eacutechantillonneacutes se trouve dansTreatise on Electricity and magnetism de James Clerk MAXWELL en 1873 La theacuteorie surles signaux analogiques eacutechantillonneacutes a ensuite eacuteteacute deacuteveloppeacutee dans les anneacutees 1950 [6]

A partir de 1970 plusieurs scheacutemas utilisant des commutateurs et des capaciteacutes poursimuler des ltres sont proposeacutes ([3] [4]) Notamment FRIED montre que sous certainesconditions il y a eacutequivalence entre une capaciteacute commuteacutee et une reacutesistance (Figure 81a)Le scheacutema de la Figure 81b est aussi deacutecrit

La technologie bipolaire seule disponible agrave leacutepoque na pas permis de gros deacuteveloppe-ment A la n des anneacutees 1970 et durant les anneacutees 80 de nombreuses recherches aboutissentnotamment agrave la reacutealisation de ltres analogiques eacutechantillonneacutes gracircce agrave leacutevolution de la tech-nologie MOS Ces applications ont eacuteteacute rapidement suivies par un deacuteveloppement plus geacuteneacuteralde circuits de traitement de signal analogique

Figure 81 (a) Equivalence de Fried (b) Capaciteacute commuteacutee seacuterie

La technique des capaciteacutes commuteacutees est aujourdhui tregraves largement utiliseacutee pour lin-teacutegration des fonctions analogiques en temps discret cette technique a permis un gain tregravesimportant en densiteacute dinteacutegration et en exactitude des caracteacuteristiques des fonctions reacutealiseacuteesCette technique couvre tous les domaines dapplications degraves lors que la freacutequence du signalest compatible avec les possibiliteacutes deacutechantillonnage de la technologie dinteacutegration

92 CHAPITRE 8 ELECTRONIQUE ANALOGIQUE Agrave TEMPS DISCRET

82 Analogie entre capaciteacute commuteacutee et reacutesistance

Consideacuterons le circuit de la Figure 81a ougrave VA et VB sont les tensions supposeacutees constantesaux noeuds A et B Nous analysons le comportement de ce circuit en eacutetudiant le transfert dechargeNous formulons les hypothegraveses suivantes

Les commutateurs sont consideacutereacutes comme parfaits pas de capaciteacute parasite la reacutesis-tance est nulle lorsque le commutateur est fermeacute et innie lorsquil est ouvert

Les condensateurs sont consideacutereacutes comme parfaits pas de capaciteacute parasite pas decourant de fuite

Les signaux dhorloges paire (P) et impaire (I) commandant respectivement les commutateurspair (P) et impair (I) ont une peacuteriode Te et sont deacutecaleacutes de Te2 Pendant chaque peacuteriodedhorloge la capaciteacute C est chargeacutee et puis deacutechargeacutee Par conseacutequent la dieacuterence de chargependant une peacuteriode dhorloge ∆Q transfeacutereacutee du noeud A au noeud B est donneacutee par

∆Q = C(VA minus VB) (1)

Puisque le transfert de charge est reacutepeacuteteacute agrave chaque peacuteriode dhorloge le courant moyen ducirc agravece transfert de charge est donneacute par

Imoy =C (VA minus VB)

Te (2)

Le courant traversant la reacutesistance eacutequivalente Req est donneacute par

Ieq =VA minus VBReq

Nous constatons que le courant traversant le circuit agrave capaciteacutes commuteacutees est eacutegal agrave celui ducircuit de la reacutesistance eacutequivalente agrave condition que

Req =TeC

Cfe (4)

Leacutequivalence entre R et1

Cfeest deacutemontreacutee plus en deacutetail dans leacutetude du passe-bas du

premier ordre

83 Etude du passe-bas du premier ordre

Le scheacutema de la Figure 82 montre un circuit passif (cest-agrave-dire sans composant de typetransistor) de ltrage passe-bas du premier ordre composeacute dune reacutesistance et dune capaciteacute(voir le Chapitre 10 sur le ltrage)

Figure 82 Circuit passif de ltrage passe-bas du premier ordre

La reacuteponse en freacutequence dun tel circuit est donneacute par leacutequation

T (ω) =1

1 + jRCω(5)

83 ETUDE DU PASSE-BAS DU PREMIER ORDRE 93

ou encore

T (f) =1

1 + j2πRCf(6)

Le scheacutema de la Figure 83 montre un circuit de ltrage passe-bas du premier ordre agravecapaciteacutes commuteacutees Les commutateurs et les condensateurs sont consideacutereacutes comme parfaitsLes signaux dhorloges paire (P) et impaire (I) commandant respectivement les commutateurspair (P) et impair (I) ont une peacuteriode Te et sont deacutecaleacutes de Te2

(nminus1)Te nTe (n+1)Te

Figure 83 Passe-bas du premier ordre et signaux de commande

Nous allons montrer que en imposant une condition suppleacutementaire ce circuit agrave capaciteacutescommuteacutees est eacutequivalent au circuit passif du premier ordre deacutecrit preacuteceacutedemment

Les conditions initialement imposeacutees font quagrave chaque phase (paire ou impaire) correspondun transfert de charge instantaneacute Un bilan des charges des capaciteacutes (prises sur le noeud B)agrave ces instants particuliers donne

Instants pairs t = n middot Te Instants impairs t = (nminus 12) middot TeQPC1

(nTe) = C1 middot(V Ps (nTe)minus V P

e (nTe))

QIC1((nminus 12)Te) = 0

QPC2(nTe) = C2 middot V P

s (nTe) QIC2((nminus 12)Te) = C2 middot V I

s ((nminus 12)Te)(7)

Nous pouvons veacuterier quil ny a pas de mouvement de charges dans le circuit entre lesinstants de commutation (interphase) tous les commutateurs eacutetant ouverts Autrement dittoute charge contenue agrave linteacuterieur dune sous-partie isoleacutee du circuit a neacutecessairement eacuteteacuteacquise agrave la phase preacuteceacutedenteEn phase paire le ndivideud B est isoleacute cest-agrave-dire quaucun transfert de charge nest possibleavec une source de courant ou de tension Lapplication du principe de conservation de lacharge aux instants pairs pour les deux capaciteacutes en seacuterie permet deacutecrire

QPC1(nTe) +QPC2

(nTe) = QIC1((nminus 12)Te) +QIC2

((nminus 12)Te) (8)

La capaciteacute C2 est isoleacutee aux instants impairs dougrave

QIC2((nminus 12)Te) = QPC2

((nminus 1)Te) (9)

En combinant les deux eacutequation preacuteceacutedentes nous obtenons leacutequation aux dieacuterencesnies

(C1 + C2) middot V Ps (n)minus C2 middot V P

s (nminus 1) = C1 middot V Pe (n) (10)

Notation V ps (n) est la tension de sortie agrave linstant pair (n middot Te)

Les eacutequations ci-dessus font reacutefeacuterence aux tensions Ve et Vs agrave des instants discrets mul-tiples de Te2 Lapplication de la transformation en z sur ces eacutequations donne les fonctionsde transfert en z

T11 (z) =V Ps (z)

V Pe (z)

1 + C2C1

(1minus zminus1) T21 (z) =

V Is (z)

V Pe (z)

=zminus12

1 + C2C1

(1minus zminus1)

T12 (z) =V Ps (z)

V Ie (z)

= 0 T22 (z) =V Is (z)

V Ie (z)

Il existe donc plusieurs fonctions de transferts selon les instants consideacutereacutes pour le signaldentreacutee et le signal de sortieLa reacuteponse en freacutequence du circuit est donneacutee pour z = ejωTe la sortie eacutetant bloqueacutee durantTe On en deacuteduit

S (ω)

E (ω)= eminusj πf

fe sinc

1 + C2C1

(1minus eminusjωTe) (12)

Il vient

T (ω) =1

1 + C2C1

avec la conditionf

feltlt 1

En comparant cette fonction de transfert et celle obtenue dans le cas dun circuit passif

RC nous constatons bien leacutequivalence entre R1 et1

C1fe degraves lors que

feltlt 1

84 Inteacuterecircts et contraintes lieacutes agrave la technologie MOS ou CMOS

841 Inteacuterecircts

Exactitude des rapports capacitifs

La technologie MOS permet de reacutealiser des capaciteacutes de bonne qualiteacute Elles sont peuexactes en valeurs absolues (par exemple dans une technologie 65 nm elles sont environ de20) Par contre le rapport de capaciteacutes peut ecirctre obtenu avec une exactitude de 01 agrave 1dougrave une bonne preacutecision sur les fonctions de transfert (constantes de temps gains etc) sanscalibrage dans la mesure ougrave les coecients sont deacutenis par des rapports de capaciteacutesLa valeur absolue des capaciteacutes nintervenant pas directement dans la fonction de transfert(cette valeur inue sur lexactitude des valeurs des coecients en pratique) celles-ci peuventecirctre choisies tregraves petites Des capaciteacutes de quelques centaines de femtoFarad sont courammentutiliseacutees

Emulation de comportements reacutesistifs

Comme nous lavons vu une capaciteacute commuteacutee peut eacutemuler un comportement reacutesistif degraveslors que la freacutequence deacutechantillonnage est tregraves supeacuterieure agrave la freacutequence maximale du signalet que les commutateurs et la capaciteacutes sont ideacuteaux

Possibiliteacutes de conguration

La valeur de la reacutesistance eacutemuleacutee dans les circuits agrave capaciteacute commuteacutees deacutepend de lafreacutequence deacutechantillonnage Cette proprieacuteteacute permet dopeacuterer des recongurations rapides surce type de systegravemes Ceci est important pour de nombreuses applications ougrave la recongurationde linterface dacquisition est neacutecessaire (communications mobiles multistandards calibragedinterfaces pour linstrumentation)

Avanceacutee technologique

La technique des capaciteacutes commuteacutees prote des avanceacutees de la technologie CMOS Enfait la diminution des tailles des transistors entraicircne une diminution de la taille des capa-citeacutes parasites des commutateurs Ceci permet dameacuteliorer les performances et de reacuteduire laconsommation de puissance neacutecessaire pour piloter ces commutateurs

84 INTEacuteREcircTS ET CONTRAINTES LIEacuteS Agrave LA TECHNOLOGIE MOS OU CMOS 95

842 Contraintes

Les dieacuterentes imperfections lieacutees aux eacuteleacutements constituant les circuits agrave capaciteacutes com-muteacutees imposent des limites sur les performances obtenues

Les commutateurs

Commutateur CMOSCommutateur NMOS

Figure 84 Symboles et reacutealisations des commutateurs

Le comportement ideacuteal du commutateur pourrait se reacutesumer agrave une impeacutedance inniequand il est ouvert ou O et une impeacutedance nulle quand il est fermeacute ou On Cependant enpratique en position ouverte limpeacutedance des commutateurs nest pas innie notamment agravecause des capaciteacutes parasites des transistors MOS Ces capaciteacutes engendrent des courants defuite surtout en haute freacutequence Ces courants modient la charge stockeacutee sur la capaciteacute etpeuvent ainsi deacutegrader les performances du systegraveme notamment sa lineacuteariteacute

En position fermeacutee les commutateurs doivent avoir une impeacutedance nulle Cependant enpratique il preacutesentent une reacutesistance Ron denviron 10 agrave 1kΩ La valeur de cette reacutesistance estnotamment xeacutee par la taille des transistors MOS formant le commutateur En fait reacuteduirela reacutesistance du transistor MOS neacutecessite une augmentation de sa largeur W ceci se paie parune augmentation de la surface de la consommation et des capaciteacutes parasites

En pratique le choix de larchitecture du commutateur et de la taille des transistorsle composant est un compromis entre ses performances dans les modes fermeacute et ouvert laconsommation de puissance neacutecessaire pour le piloter et la surface ainsi que dautres aspectsqui ne seront pas traiteacutes dans ce cours tels que la deacutependance entre Ron et le signal dentreacuteeet linjection de charges lors de louverture et de la fermeture

Les amplicateurs opeacuterationnels

Le deacutesavantage principal des circuits agrave capaciteacutes commuteacutees est quils augmentent lescontraintes sur les amplicateurs opeacuterationnels compareacutes aux circuits temps continu Dunemaniegravere qualitative il est possible de comprendre ce problegraveme en comparant le pourcentagede temps donneacute agrave la charge et deacutecharge de la capaciteacute utile dans les deux types de circuitsEn eet dans les circuits temps continu la charge de la capaciteacute se fait dune maniegravere conti-nue Cependant dans un circuit agrave capaciteacutes commuteacutees ce pourcentage est souvent de lordrede 50 Ceci augmente les contraintes sur les amplicateurs opeacuterationnels en terme de pro-duit gain bande et en terme de Slew Rate et se traduit ainsi par une augmentation de laconsommation de puissance

85 Applications

Le ltrage analogique et la conversion ont constitueacute les premiegraveres applications des circuits agravecapaciteacutes commuteacutees Puis dautres applications ont eacuteteacute deacuteveloppeacutees La faciliteacute dimplantationen technologie MOS rend cette technique attractive Le concepteur de systegravemes de traitementdu signal peut choisir entre lapproche tout analogique tout numeacuterique ou mixte et ainsioptimiser les performances et la surface pour une application donneacutee

Des exemples de circuits agrave capaciteacutes commuteacutees pour le ltrage sont preacutesenteacutees dans lechapitre 10 et pour la conversion analogique-numeacuterique dans le chapitre 13 Les capaciteacutescommuteacutees peuvent eacutegalement servir agrave bien dautres fonctions amplication redressementdun signal deacutetection de crecircte etc

86 Exercices

861 Exercice 1

Nous disposons du circuit de la Fig 85 impleacutementeacute agrave laide de la technique des capaciteacutescommuteacutees Lamplicateur opeacuterationnel est consideacutereacute comme ideacuteal

Figure 85 Circuit agrave base de capaciteacutes commuteacutees

Question 8611 Deacuteterminer la fonction de transfert en z du circuit

Question 8612 Quelle est la fonction reacutealiseacutee par le montage

Question 8613 Proposer une impleacutementation temps continu eacutequivalente agrave ce montagedans laquelle vous remplacerez les commutateurs et capaciteacute(s) par des reacutesistances dont vousdeacuteterminerez les expressions

862 Exercice 2

Nous disposons du circuit de la Fig 86 impleacutementeacute agrave laide de la technique des capaciteacutescommuteacutees Lamplicateur opeacuterationnel est consideacutereacute comme ideacuteal Notez que lentreacutee estbloqueacutee sur les instants pairs Ceci se traduit par Ve(nTe minus 05Te) = Ve(nTe minus Te)

BIBLIOGRAPHIE 97

Question 8621 Deacuteterminer la fonction de transfert du circuit H(Z) = Vs(Z)Ve(Z)

Question 8622 Deacutemontrer que la fonction de transfert dans le domaine freacutequentiel peutsexprimer sous la forme ci-dessous pour C1 = C3 et ω ltlt 1

Te Deacuteterminer lexpression deωc

H(jω) minusj ωωc

1 + j ωωc

Question 8623 Tracer le diagramme de Bode du module et de la phase de H(jω) Quelleest la fonction reacutealiseacutee par le circuit

Bibliographie

[1] P Allen and E Sanchez-Sinencio Switched capacitor circuits Technical report VanNostrand Reinhold Company 1984

[2] F Baillieu Y Blanchard P Loumeau H Petit and J Porte Capaciteacutes commuteacutees etapplications Dunod 1996

[3] A Fettweis Realisation of general network fonctions using the resonant transfert principleIn Fourth Asilomar Conf on Circuits and Systems pages 663666 Nov 1970

[4] D L Fried Analog sample data lters IEEE J of Solid State Circuits pages 302304Aoucirct 1972

[5] G Hueber and R Staszewski Multi-Mode Multi-Band RF Transceivers for WirelessCommunications Advanced Techniques Architectures and Trends Wiley-IEEE Press2010

[6] James Clerk Maxwell A Treatise on Electricity and Magnetism Clarendon Press 1873

Chapitre 9

TP Circuits agrave capaciteacutes commuteacutees(Preacutesentiel et distanciel)

91 Introduction

Lobjectif de ce TP est de concevoir un oscillateur exible (2 agrave 20 Hz) agrave laide de circuitsagrave capaciteacutes commuteacutees Cet oscillateur constituera leacuteleacutement de base pour limpleacutementationdun eet Tremolo sur le son de la guitare 1

Loscillateur sera impleacutementeacute en simulations sur le simulateur eacutelectrique LTspice Nousutiliserons eacutegalement le logiciel de calcul Octave pour lanalyse des circuits de base et pour lavalidation de leet Vous pouvez trouver un court tutoriel sur lutilisation de LTspice sur lesite web de lUE Toutes les ressources pour suivre le TP ainsi quun canevas pour le compte-

1 Le Tremolo est un eet musical qui est qualieacute parfois par un tremblement de la musique Cet eet estobtenu par une modulation damplitude avec un signal sinusoiumldal de tregraves faible freacutequence(lt 20 Hz) an que lechangement de note du agrave la modulation soit neacutegligeable Vous pouvez regarder la videacuteo suivante qui comparele son dune guitare sans et avec leet httpswwwyoutubecomwatchv=oOCNB1izw8A

100CHAPITRE 9 TP CIRCUITS Agrave CAPACITEacuteS COMMUTEacuteES (PREacuteSENTIEL ET DISTANCIEL)

rendu sont disponibles dans le reacutepertoire zippeacute TP_Capacomzip que vous pouvez teacuteleacutechargersur le site web de lUE httpsc2stelecom-paristechfrELEC101documentsTP

92 Inteacutegrateur Non-inverseur

Pour construire loscillateur nous allons utiliser linteacutegrateur suivant (gure 92) quoneacutechantillonnera agrave fe =1 kHz

+φ2 φ1

φ1Veφ2

(n+1)TsnTs(nminus1)Ts

Figure 92 Inteacutegrateur en circuit capaciteacutes commuteacutees

Question 921 Montrer que la fonction de transfert aux instants pairs (n de φ2) est donneacuteepar lexpression ci-dessous Vous pouvez consideacuterer que lentreacutee Ve est bloqueacutee sur les instantspairs Ceci se traduit par Ve(nTe minus 05Te) = Ve(nTe minus Te)

T (z) =Vs(z)

Ve(z)=

k zminus1

1minus zminus1avec k =

On applique agrave lentreacutee de linteacutegrateur une tension continue Ve = 1 V

Question 922 Deacuteterminer la sortie Vs sur 10 peacuteriodes avec Vs(0) = 0 et k = 1

Nous allons agrave preacutesent simuler le fonctionnement de linteacutegrateur en utilisant LTspice Pourobtenir un gain k = 1 nous xerons C1=C2=10 pF Pour instancier les condensateurs C1 etC2 il faut utiliser le menu Capacitor Le tableau 91 donne les deacutenitions des uniteacutes sousLTspice Par exemple pour xer la valeur dune capaciteacute agrave 10 pF il sut de mettre 10p (sansuniteacute)

p n u m k meg g

Nous utiliserons un amplicateur opeacuterationnel ideacuteal disponible dans le menu Opamps minusrarrUniversalOpamp2 Les tensions dalimentation de lamplicateur opeacuterationnel seront xeacutees agraveplusmn5 V Pour les instancier ainsi que la source dentreacutee il faut utiliser le menu Component minusrarrvoltage il sut de xer la valeur voulue dans le champs DC value

93 ETUDE SYSTEgraveME DU GEacuteNEacuteRATEUR SINUSOIumlDAL 101

Pour utiliser des commutateurs dans LTspice il est neacutecessaire de creacuteer un modegravele sousforme de directive Pour ce faire il faut instanicer le modegravele suivant dans le menu Spice

Directive accessible dans la barre doutils agrave droite op model SWID︸︷︷︸

Nom du modegravele

SW (Ron=1︸︷︷︸reacutesistance ON

Ro=1g︸︷︷︸reacutesistance OFF

Vt=25︸︷︷︸tension seuil

Vh=2)︸︷︷︸plage de transition

Nous pouvons agrave preacutesent instancier les commutateurs dans le menu Component minusrarr sw quenous devons pointer vers le modegravele que nous avons creacuteeacute en changeant value de SW agrave SWID Pourle controcircle des commutateurs les bornes positives seront connecteacutees aux signaux dhorloge etles bornes neacutegatives agrave la masse Pour creacuteer les signaux dhorloge il faut commencer par lesinstancier en utilisant le menu Component minusrarr voltage Appuyer sur Advanced minusrarr PULSEIl nous faut 2 signaux dhorloge de peacuteriode 1 ms deacutecaleacutes entre eux dune demi-peacuteriode avecun niveau bas de 0 V et un niveau haut de 5 V avec des temps de monteacuteedescente de 10 microsPour cela pour φ1 xer Vinitial agrave 0 Von agrave 5 Tdelay agrave 0 Trise agrave 10u Tfall agrave 10u Ton agrave480u et Tperiod agrave 1m Pour φ2 il faut prendre les mecircmes paramegravetres mais en xant Tdelayagrave 500u an davoir une horloge deacutecaleacutee dune demi-peacuteriode Pour garder une bonne lisibiliteacutede votre scheacutema ne reliez pas les signaux dhorloge aux commutateurs agrave laide de ls mais enutilisant la fonction Label Net

Question 923 Lancer un simulation transitoire 2 de 10 ms sur LTspice Tracer le signaldentreacutee et le signal de sortie Comparer le reacutesultat obtenu au calcul de la question preacuteceacutedente

93 Etude systegraveme du geacuteneacuterateur sinusoiumldal

Pour construire loscillateur exible on propose dutiliser 2 inteacutegrateurs mis en boucleAn dobtenir un oscillateur stable qui reacutepond agrave nos besoins nous allons commencer par uneeacutetude haut niveau de notre montage

Leacutequation dieacuterentielle part2upart2t

+ ωo2u = 0 a comme solution geacuteneacuterale

u(t) = C1 sin (ωot) + C2 cos (ωot)

Nous nous proposons deectuer une simulation temps-discret de la forme vectorielle de cetteeacutequation

partxpartt = ωo y

partypartt = minusωo x

Pour cela on utilise lapproximation de Euler pour la deacuteriveacutee

partt(nTe) equiv

partt(n) =

x(n+ 1)minus x(n)

La gure 93 repreacutesente le scheacutema-bloc agrave partir de deux inteacutegrateurs reacutealisant cette approxi-mation

Question 931 En deacuteduire la valeur du coecient k des inteacutegrateurs en fonction de lapulsation ωo et de la peacuteriode deacutechantillonnage Te

Le script Octave gen-sinm eectue une simulation du systegraveme discret (veacuterier la confor-miteacute des eacutequations sur x et y avec le scheacutema de la gure 93)

Question 932 Exeacutecuter le script et conclure qualitativement sur la stabiliteacute du systegraveme

kZminus1

1minusZminus1 X(Z)minuskZminus1

1minusZminus1

Figure 93 Geacuteneacuterateur sinusoiumldal cas 1

Pour analyser la stabiliteacute de cette architecture analytiquement il est neacutecessaire de deacuteter-miner les pocircles de la fonction de transfert eacutequivalente On peut deacutemontrer quils sont eacutegauxaux racines en z de leacutequation I1 I2 = 1 ougrave I1 et I2 sont les fonctions de transfert des deuxinteacutegrateurs Pour des contraintes de temps nous vous donnons le reacutesultat

minusk2zminus2

(1minus zminus1)2= 1 =rArr z12 = 1plusmn j k

Question 933 Quelle est la contrainte sur k pour garantir la stabiliteacute

kZminus1

1minusZminus1 X(Z)minusk

1minusZminus1

On modie le scheacutema-bloc conformeacutement agrave celui de la gure 94

Question 934 Etablir les eacutequations discregravetes sur x et y correspondantes et modier lescript gen-sinm en conseacutequence

Question 935 Eectuer la simulation et conclure qualitativement sur la stabiliteacute du sys-tegraveme

Le calcul des pocircles en z donne le reacutesultat suivant agrave preacutesent

minusk2zminus1

(1minus zminus1)2= 1

pour k le 2 ∆ le 0 z12 =minus(k2 minus 2)plusmn jk

radic4minus k2

pour k gt 2 ∆ gt 0 z12 =minus(k2 minus 2)plusmn k

radick2 minus 4

94 IMPLEacuteMENTATION DU GEacuteNEacuteRATEUR SINUSOIumlDAL SOUS LTSPICE 103

94 Impleacutementation du geacuteneacuterateur sinusoiumldal sous LTspice

Nous souhaitons agrave preacutesent impleacutementer loscillateur de la gure 94 sur LTspice Pourrappel la freacutequence de sortie de cet oscillateur doit pouvoir ecirctre varieacutee entre 2 et 20 Hz Cettevariation sera impleacutementeacutee par une modication du rapport capacitif k = C1

C2 Nous deacutecidons

de garder la valeur de C2 constante agrave 10 pF Les modications de k se feront en jouant sur lavaleur de C1

Question 941 Calculer la valeur de k qui permet davoir une freacutequence doscillation de2 Hz puis de 20 Hz En deacuteduire les valeurs de C1 correspondantes

Pour limpleacutementation du montage il sut de dupliquer le circuit de linteacutegrateur reliezla sortie du premier inteacutegrateur au second et vise versa Deux changements additionnels sontneacutecessaires Le premier concerne le retard de la boucle Cascader deux inteacutegrateurs identiquesdonnera une boucle similaire agrave celle de la gure 93 Pour impleacutementer une boucle avec unseul retard (gure 94) il faut faire fonctionner les inteacutegrateurs en opposition de phase Ilfaut donc intervertir φ1 et φ2 pour un des 2 inteacutegrateurs Le deuxiegraveme changement concernele gain neacutegatif neacutecessaire pour I2 Pour cela il sut dinseacuterer un gain ideacuteal de -1 entre les2 inteacutegrateurs disponible dans le menu Component minusrarr E2 3 Fixer k pour lobtention dunefreacutequence de 20 Hz Lancer une simulation transitoire de 2 secondes

Question 942 Pourquoi selon vous le circuit noscille pas Conseil Fixez dans le code Octave gen-sinm les conditions initiales agrave 0 et analyser limpactsur le comportement du circuit

Pour simuler correctement le fonctionnement de loscillateur avec LTspice nous allonsexciter le systegraveme en ajoutant une impulsion Pour cela ajouter une source du type PULSE

entre I2 et I1 avec les paramegravetres suivants Vinitial = 0 Von = 5 Tdelay = 0 Trise =10u Tfall = 10u Ton = 100m et Tperiod = 10

Question 943 Simuler le montage et veacuteriez quil est bien capable dassurer toute la plagede freacutequence requise

Sachez quen pratique les oscillateurs nont pas besoin decirctre exciteacutes pour rentrer en phasedoscillation Le bruit ambiant qui nest pas pris en compte dans nos simulations permet defaire sortir le systegraveme de leacutequilibre instable ougrave tous les noeuds sont agrave 0

Inteacuteressons nous agrave preacutesent agrave la freacutequence deacutechantillonnage fe On rappelle que lapprocheque nous avons deacutecideacute dadopter pour impleacutementer loscillateur variable est dopeacuterer agrave feconstant et de faire varier le gain des inteacutegrateurs k an de changer la freacutequence de reacutesonanceentre 2 et 20 Hz Nous avons choisi une freacutequence deacutechantillonnage fe de 1 kHz mais on auraitpu choisir une valeur dieacuterente

Question 944 Quels auraient eacuteteacute selon vous les avantages et inconveacutenients de choisir unevaleur supeacuterieure ou infeacuterieure de fe Conseil Analyser limpact de fe sur sur la qualiteacute du signal en sortie de loscillateur et surk aussi

95 Eet Tremolo

Comme preacuteciseacute dans lintroduction dans le cadre de ce TP nous nimpleacutementerons queloscillateur variable Le reste de la chaicircne requise pour leet Tremolo sera abordeacutee au niveausystegraveme avec le logiciel Octave Charger le script Octave Tremolom qui permet de reacutealiser unemodulation damplitude ou un eet Tremolo La variable effet permet dactiver (effet=1)ou de deacutesactiver (effet=0) leet Tremolo

3 Ce composant eacutetant dieacuterentiel il sura de connecter ses branches neacutegatives agrave la masse

Question 951 Pour commencer xer effet agrave 0 pour eacutecouter le signal original sans eet

Vous disposez dans le script de 3 degreacutes de liberteacute pour leet Tremolo La freacutequence de la modulation Lindice de la modulation La ou les fenecirctres temporelles sur lesquelles sera appliqueacute leet Tremolo

Question 952 Analyser les impacts de ces 3 paramegravetres et trouver le jeu de paramegravetres quivous permet davoir le meilleur rendu sonore

Chapitre 10

Filtrage analogique

101 Introduction

Les ltres analogiques sont des composants essentiels des systegravemes dacquisition (numeacuteri-sation) et de restitution du signal Ils peuvent ecirctre utiliseacutes pour conditionner le signal avantdeectuer certaines opeacuterations Cest le cas par exemple lors dune opeacuteration deacutechantillon-nage agrave la freacutequence Fs ougrave le spectre Xd(f) du signal eacutechantillonneacute est relieacute au spectre X(f)du signal dentreacutee par

Xd(f) =sum

kisinZX(f minus k Fs)

Pour pouvoir eacutechantillonner agrave une freacutequence Fs = 2B (Nyquist-Shannon) on doit garantir quele spectre du signal dentreacutee na pas de composantes supeacuterieures agrave B Ceci est geacuteneacuteralementassureacute par un ltre appeleacute ltre anti-repliement (gure 101)

minusFs Fs

fminusB B

Figure 101 Filtrage anti-repliement

Les ltres analogiques sont eacutegalement utiliseacutes pour seacutelectionner une partie du spectre dunsignal Cest par exemple le cas lorsquune bande de freacutequences est utiliseacutee dans un systegravemeradio

FOL FIF

Figure 102 Filtrage dans un reacutecepteur radio

La gure 102 montre un exemple de reacutecepteur radio ougrave le ltrage est reacuteparti dans lachaicircne de reacuteception sur un ensemble de ltres (RFIFBB) la technologie utiliseacutee pour cesdieacuterents ltres est eacutetroitement lieacutee agrave la freacutequence du signal agrave traiter Nous en donneronsquelques exemples agrave la n du cours

106 CHAPITRE 10 FILTRAGE ANALOGIQUE

102 Speacutecication des ltres

Les ltres analogiques temps continu sont reacutegis de maniegravere geacuteneacuterale par des eacutequationsdieacuterentielles du temps et de lespace Consideacuterons une onde qui se propage dans le ltre agravela vitesse v Si d est la dimension du dispositif et si la longueur donde λ = v

f est voisinede d les pheacutenomegravenes de propagation doivent ecirctre consideacutereacutes Lorsque d est tregraves infeacuterieuragrave λ on pourra neacutegliger les pheacutenomegravenes de propagation Cest geacuteneacuteralement vrai pour lesderniers eacutetages dune chaicircne telle que celle de la gure 102 (ltre BB) Le circuit est alorsdit agrave eacuteleacutements localiseacutees (lumped element model) Les eacuteleacutements du circuit (RLC) sontconsideacutereacutes comme ponctuels et celui-ci est deacutecrit par les lois de Kircho Nous supposeronscette condition reacutealiseacutee dans la suite de ce cours

Exemple v = 4000 ms (ltre agrave onde de surface ougrave ltre SAW Surface AcousticWave)

f = 2GHz rArr λ = 2microm

Dans ce cas λ est une longueur caracteacuteristique des motifs du ltre et lapproxi-mation preacuteceacutedente nest pas valide

1021 Fonction de transfert

Un ltre lineacuteaire est deacutecrit de faccedilon geacuteneacuterale par sa reacuteponse impulsionnelle h(t) ou latransformeacutee de Laplace T (p) de cette derniegravere (gure 103) La fonction T (p) = Y (p)

X(p) est lafonction de transfert du ltre

Y (p)h(t) hArr T (p)

Figure 103 Fonction de transfert

Pour les circuits agrave eacuteleacutements localiseacutes les eacutequations de constitution de ces eacuteleacutements asso-cieacutees aux lois topologiques (Kircho) conduisent agrave des fonctions de transfert rationnelle enp

ikj = 0

︸︷︷︸Lois topologiques

et i = Cdv

Lharr I(p) = C pV (p)︸︷︷︸

Equations de constitution

T (p) =

mprodj=1

(pminuszj)nprodi=1

(pminuspi)(1)

pi pocircles

zj zeacuteros

n ordre du ltre

Les fonctions de transfert de ces ltres sont ainsi caracteacuteriseacutees par les racines des poly-nocircmes numeacuterateur (zeacuteros) et deacutenominateur (pocircles) Le nombre n de pocircles est appeleacute ordre dultre Il caracteacuterise sa complexiteacute Ayant la forme de la fonction de transfert il nous faut main-tenant deacuteterminer quelles sont les contraintes imposeacutees agrave cette derniegravere pour quelle puisseecirctre exploiteacutee ecacement

1022 Reacuteponse transitoire et harmonique

Consideacuterons la reacuteponse dun ltre (lineacuteaire agrave constantes localiseacutees) agrave une entreacutee sinusoiumldaleagrave la pulsation ω Pour simplier nous consideacuterons que tous les pocircles sont simples le calcul

102 SPEacuteCIFICATION DES FILTRES 107

pouvant facilement ecirctre eacutetendu au cas des pocircles multiples

x(t) = ej ω t middot 1tgt0 hArr Lx(t) = X(p) = 1pminusj ω

La sortie du ltre est donneacutee par

Y (p) = T (p) middotX(p) = N(p)nprodi=1

(pminuspi)middot 1pminusj ω =

nsumi=1

Cipminuspi + Cn+1

pminusj ω

On obtient par identication le coecient Cn+1

Cn+1 = [T (p)]p=j ω = T (j ω)

et par transformeacutee inverse la reacuteponse temporelle

y(t) =nsum

i=1Ci e

pi t + T (j ω) ej ω tReacuteponse transitoire Reacuteponse harmoniqueLa reacuteponse temporelle fait apparaicirctre une partie transitoire qui deacutepend uniquement des

conditions initiales et une reacuteponse harmonique avec un gain complexe donneacute par leacutevaluationde T (p) pour p = j ω Nous nous inteacuteresserons dans la suite agrave cette deuxiegraveme partie de lareacuteponse du ltre La reacuteponse transitoire est normalement une reacuteponse eacutevanescente Pour quilen soit eectivement ainsi on doit satisfaire au critegravere de stabiliteacute de la fonction de transfert

Stabiliteacute m le n Re(pi) lt 0

1023 Causaliteacute de la reacuteponse impulsionnelle

An de mettre en eacutevidence une autre contrainte imposeacutee agrave la reacuteponse dun ltre nousconsideacuterons le cas dun passe-bas ideacuteal Celui-ci a un gain unitaire dans la bande [minusfc fc](bande passante) et un gain nul en dehors de cette bande Nous autorisons dautre part unretard to entre lentreacutee et la sortie du ltre (gure 104)

Nous remarquons que la reacuteponse impulsionnelle dun tel ltre est non nulle pour t lt 0Ce ltre nest pas causal Le theacuteoregraveme de Paley-Wiener stipule que la fonction de transfert Tdun ltre causal doit ecirctre telle que

infinint

minusinfin

| ln |T (f)||1 + f2

df ltinfin

En conclusion on ne peut pas annuler le module de T(f) sur une bande de freacutequence aussipetite soit elle Nous chercherons donc dans la suite des fonctions de transfert de la forme(1) de la section 1021 qui approchent au mieux les caracteacuteristiques du ltre preacuteceacutedent

1024 Gabarits

Les gabarits de ltrage deacuteterminent les limites de variation permises des caracteacuteristiquesdu ltre Parmi celles-ci les plus importantes sont laaiblissement et le temps de propagationde groupe

T (f) = exp(minusj2πfto) middot 1minusfcfc

minusfc fc

|T (f)|

arg[T (f)]

h(t) =infinint

minusinfinT (f) middot exp(j2πft) df = 2 fc middot sinc2πfc(tminus to)

Figure 104 Filtre passe-bas ideacuteal

Gabarit daaiblissement

Laaiblissement du ltre est geacuteneacuteralement exprimeacute en dB

A(ω) = minus20 log10 |T (j ω)|

Remarque Pour les ltres agrave constantes localiseacutees (fonctions rationnelles agrave coecients reacuteels)on a la proprieacuteteacute de reacuteexion

T (p) = T (p) |T (ω)|2 = [T (p) middot T (minusp)]p=j ωougrave la barre supeacuterieure indique le complexe conjugueacute

Gabarit de temps de propagation de groupe

La phase fait intervenir une fonction transcendante On preacutefegravere utiliser le temps de propa-gation de groupe

tg(ω) = minuspart arg[T (j ω)]partω

103 APPROXIMATIONS STANDARDS 109

103 Approximations standards

Les approximations standards sont baseacutees sur la construction dun ltre passe-bas nor-maliseacute en amplitude et en freacutequence par une fonction caracteacuteristique Ψn Celui-ci est ap-peleacute ltre prototype La variable complexe normaliseacutee correspondant au prototype sera noteacuteeS = Σ + j Ω

A(Ω) = 10 log10[1 + ε2 Ψ2n(Ω)] |T (Ω)|2 =

1 + ε2 Ψ2n(Ω)

Lapproximation sur le prototype consiste agrave deacuteterminer la fonction Ψ qui satisfait le gaba-rit daaiblissement Pour reacutealiser les autres types de ltres que le passe-bas (passe-hautreacutejecteur passe-bande) on utilise une transformation de freacutequences

S = f(p) avec p = σ + j ω

1031 Deacutenition du prototype

Le prototype est un ltre passe-bas normaliseacute Il est caracteacuteriseacute par son aaiblissementmaximum en bande passante Amax son aaiblissement maximum en bande atteacutenueacutee Amin etsa limite de bande atteacutenueacutee normaliseacutee Ωs

0 1 Ωs Ω

Amin A(Ω) = 10 log10[1 + ε2 Ψ2n(Ω)]

Ω isin [0 1]rArr |Ψn(Ω)| le 1

Ψn(1) = 1

Amax = 10 log10(1 + ε2)

La relation suivante permet de deacuteterminer lordre du ltre lorsque quun choix particuliera eacuteteacute eectueacute pour Ψ

As = 10 log10[1 + ε2 Ψ2n(Ωs)] ge Amin Ψn(Ωs) ge D =

radic10Amin10 minus 1

10Amax10 minus 1

1032 Approximation sur le prototype

Nous ne consideacutererons ici que quelques approximations classiques sur le module de lafonction de transfert Celles-ci consistent agrave faire un choix particulier de Ψ qui approche aumieux le prototype On peut distinguer deux classes particuliegraveres selon la forme polynocircmialeou rationnelle de la fonction caracteacuteristique

bull Approximations polynocircmiales

1 Approximation de Butterworth Ψn(Ω) = Ωn

2 Approximation de Tchebyche

Ψn(Ω) = Tn(Ω) Tn polynocircme de Tchebyche dordre n

bull Approximations rationnelles

1 Tchebyche en bande atteacutenueacutee Ψn(Ω) = Tn(Ωs)

Tn( ΩsΩ

2 Approximation de Cauer ou Elliptique

n pair n impair

Ψn(Ω) = C1

n2prodi=1

Ω2minusΩ2oi

Ω2minusΩ2zi

Ψn(Ω) = C2Ωnminus12prodi=1

Ω2minusΩ2oi

Ω2minusΩ2zi

Ωoi middot Ωzi = Ωs

La gure 105 montre quelques exemples daaiblissements obtenus pour n=5

minus110

Butterworth

Tchebycheff

Elliptique

Affaiblissement

Figure 105 Exemples dapproximation standard (n=5 Amax=3 dB)

1033 Transformations de freacutequences

Les transformations de freacutequences permettent de reacutealiser dautres types de ltre agrave partirdu passe-bas prototype Le tableau 101 donne les principales transformations S = f(p) etleur paramegravetres associeacutes

(1) passe-haut (2) reacutejecteur (3) passe-bande

0 ω2 ω

ω1 0 ω3

ω2ω1 ω4 0 ω3

ω2ω1 ω4

S = ω2p S = B

+ ωop

]minus1S = ωo

+ ωop

B = ω4 minus ω3 B = ω3 minus ω2

Ωs = ω2ω1

Ωs = ω4minusω1ω3minusω2

Contrainte ω1 middot ω4 = ω2 middot ω3 = ω2o

Table 101 Transformations de freacutequences

La principale contrainte imposeacutee aux transformations (2) et (3) du tableau 101 est lasymeacutetrie geacuteomeacutetrique autour de la freacutequence centrale ωo

ω1 middot ω4 = ω2 middot ω3 = ω2o

Ainsi si le gabarit de deacutepart nest pas agrave symeacutetrie geacuteomeacutetrique nous devrons trouver un gabaritplus seacutevegravere qui satisfait cette condition pour pouvoir appliquer la meacutethode dapproximationsur un prototype

Exemple de transformation Nous allons appliquer la transformation passe-bas passe-bande au protype du premier ordre suivant

T (S) =1

1 + ST (j Ω) =

1 + j Ω

Laaiblissement pour Ω = 1 est A = 10 log(2) asymp 3 dB On obtient le ltre passe-bande dusecond ordre agrave laide de la transformation

S =ωoB

ωo+ωop

Nous avons noteacute Qo = ωoB le rapport entre la pulsation centrale et la bande B (bande passante

agrave 3 dB) Qo est le coecient de qualiteacute du ltre du second ordre

(log)1

1|T |(log)

Q = 10

Figure 106 Transformation passe-bas passe-bande

On notera que cette transformation eacutetablit bien une correspondance sur laxe imaginairepuisque pour p = j ω on a

S = j Qo

ωominus ωoω

)= j Ω avec Ω = Qo

ωominus ωoω

La fonction de transfert du ltre transformeacute est

Tbp(p) =

ωoQop

p2 + ωoQop+ ω2

Le module de cette fonction de transfert et celle du prototype sont repreacutesenteacutes en eacutechelleslogarithmiques pour deux valeur du coecient de qualiteacute Qo

x(k)X(z)ej k ω T

y(k) =infinsuml=0

x(l) middot h(k minus l)

Y (z) = T (z) middotX(z)ej k ω T middot T (z)|z=ej ω T

h(k) hArr T (z)

Figure 107 Fonction de transfert en z

1034 Filtre agrave temps discret

Les ltres agrave temps discret sont deacutecrits par leur fonction de transfert en z (gure 107)La meacutethode du prototype preacuteceacutedemment deacutecrite peut ecirctre appliqueacutee en utilisant une trans-

formation univoque du plan p vers le plan z La transformation bilineacuteaire suivante est geacuteneacute-ralement utiliseacutee

p = f(z) =2

z minus 1

z + 1p = j ωa rarr z =

1 + j ωa T2

1minus j ωa T2

= ej 2π f T

La transformation de laxe des freacutequences entre le prototype fa et le ltre discret fd est alorsdonneacutee par (gure 108)

ωa =2

Ttan(π fd T )

p = j ωa

rArr0 1

z = ej 2π f

plan p plan z

Figure 108 transformation bilineacuteaire

104 Types de ltres

Le choix dune technologie particuliegravere pour reacutealiser un ltre est guideacute par un certainnombre de critegraveres

Performances peu sensibles aux variations des composants de la tempeacuterature Distorsion reacuteduite faible bruit Faible surface consommation coucirct Seacutelectiviteacute eacuteleveacutee Faciliteacute de calibrage si celui-ci est neacutecessaire middot middot middotLa gure 109 donne une classication des technologies usuelles de ltrageNous donnons dans la suite quelques exemples de ltre de la gure 109

104 TYPES DE FILTRES 113Filtres analogiques Filtres numeacuteriquespassifs a13tifsLCPieacutezo-eacutele13triquesLCRCE13hantillonneacutesCapa13iteacutes 13ommuteacutees

Figure 109 Dieacuterents types de ltres

1041 Filtre passif LC

Les ltres LC avec terminaisons reacutesistives sont utiliseacutes depuis plus dun demi siegravecle Cesltres peuvent ecirctre deacutecrits en terme de puissance incidente Pi utile Pu et reacuteeacutechie Pr (-gure 1010)

︸︷︷︸Pi=

︸︷︷︸Pu=

(PQ = 0)

Figure 1010 Filtre LC avec terminaisons reacutesistives

On a les relations suivantes

Pr = Pi minus Pu |t|2 =PuPile 1 |r|2 =

|K|2 =PrPu

|t|2 =4R1

∣∣∣∣V2

∣∣∣∣2

Pu + Pr=

1 + |K|2

On notera la similitude entre la fonction K et la fonction caracteacuteristique de la section 103Le quadripocircle LC est ideacutealement sans pertes et sans bruit

La gure 1011 montre un exemple dun ltre prototype polynocircmial du 5egraveme ordreLa valeur des eacuteleacutements est fonction du type dapproximation On a par exemple dans le cas

dune approximation de Butterworth avec Amax = 3 dB (ε = 1) les valeurs du tableau 102

k impair k pair

Ck = 2 sin[

(2 k+1)π2n

]Lk = 2 sin

[(2 k+1)π

Table 102 Valeur des eacuteleacutements L et C (Butterworth Amax = 3 dB)

L0 L21

Figure 1011 Prototype passe-bas LC du 5egraveme ordre

Pour calculer les valeurs eectives des composants on utilise les formules de deacutenormalisa-tion suivantes

ck =Ckωp R

lk =Lk R

ougrave R est la reacutesistance de terminaison et ωp est la pulsation limite de bande passanteCes ltres sont particuliegraverement inteacuteressant en haute freacutequence (quelques centaines de

meacutegahertz) ougrave les inductances ont un encombrement et un coucirct raisonnables Les performancesdes inductances inteacutegreacutees sur silicium sont cependant limiteacutees comme le montre la gure 1012qui donne un exemple de reacutealisation dune inductance plane

0 1 2 3 4 5 6 7 80

PSfrag repla13ements

f (GHz)

︸︷︷︸Z = R + j middotX

Q = XR

Figure 1012 Reacutealisation dune inductance plane inteacutegreacutee et coecient de qualiteacute

Le coecient de qualiteacute dune inductance est deacutenit comme Q = XR ougrave R et X sont les

parties reacuteelle et imaginaire de limpeacutedance complexe du circuit reacuteel Les courants induits dansle substrat ainsi que les reacutesistances du meacutetal limitent la valeur de ce coecient de qualiteacute etla possibiliteacute de reacutealiser une seacutelectiviteacute importante du ltre (Ωs voisin de 1)

1042 Filtre actif RC

Nous donnons agrave titre dexemple la cellule du second ordre de Sallen-Key (gure 1013)

T (p) =ω2o

p2 + ωoQop+ ω2

ωo =1

RradicC1C2

radicC1

Lavantage dune telle structure est de ne neacutecessiter quun seul amplicateur (contrairementaux cellules baseacutees sur des inteacutegrateurs telles que celle examineacutee agrave la section suivante ougravele nombre damplicateurs est au moins eacutegal agrave celui du ltre) La sortie basse impeacutedancepermet de reacutealiser un ltre dordre eacuteleacuteveacute en utilisant plusieurs cellules de ce type en cascade(cf section 1044)

104 TYPES DE FILTRES 115

Figure 1013 cellule du second ordre de Sallen-Key

Les performances du ltre deacutependent bien sur des performances de lamplicateur Lagure 1014 montre un exemple de reacutesultat obtenu pour un ltre de Butterworth ayant unefreacutequence de coupure de 10 kHz On constate une tregraves forte deacutegradation agrave partir de 1 MHz(Amplicateur LT1007 1)

1 10 100 1000 10000

f(kHz)

Figure 1014 Inuence de lamplicateur sur la fonction de transfert

1043 Filtres agrave capaciteacutes commuteacutees

Les circuits agrave capaciteacutes commuteacutees preacutesentent lavantage de pouvoir reacutealiser eacuteconomique-ment des circuits eacutechantillonneacutes utiliseacutes en ltrage et en conversion Nous donnons agrave titredexemple une cellule de ltrage passe-bas du circuit programmable utiliseacute en travaux pra-tiques (gure 1015) La fonction de transfert T (z) = Vout(z)Vin(z) est donneacutee par

T (z) = minus C1C3

CACBmiddot z(

+ 1)z2 +

(C2 C3CA CB

minus C4CBminus 2)z + 1

Lorsque la freacutequence deacutechantillonnage Fs = 1Ts est tregraves supeacuterieure agrave la freacutequence du signalLa fonction de transfert Ti(z) dun inteacutegrateur temps discret peut ecirctre assimileacutee agrave celle duninteacutegrateur temps continu

Ti(f) =1

z minus 1

∣∣∣∣z=ej 2π f Ts

pour f Ts 1 on a Ti(f) asymp 1

j 2π f Ts

Dans ce cas la fonction de transfert preacuteceacutedente peut ecirctre approcheacutee par

T (p) =VoutVinasymp minusG ω2

p2 + ωoQop+ ω2

1 http wwwlinearcom

Figure 1015 Cellule passe-bas du circuit Anadigm AN10E40 (IP F01 low Q)

ωo middot Ts =

radicC2C3

CACB G =

C2 Qo =

radicC2C3

1044 Structure cascade

Cette section sapplique aux ltres actifs de maniegravere geacuteneacuterale La structure cascade dunltre actif est donneacutee agrave la gure 1016

T1 Ti = kiNiDi

Figure 1016 Structure cascade

Ces caracteacuteristiques sont les suivantes

1 Chaque cellule reacutealise un ltrage du premier ou du second ordre

2 Linteraction entre les cellules est supposeacutee neacutegligeable

3 La reacutealisation du ltre complet fait intervenir m minus 1 fonctions intermeacutediaires ce quineacutecessite les choix suivants ordonnancement des deacutenominateurs Di

ordonnancement des numeacuterateurs Ni

reacutepartition des gains ki

Ce sont en geacuteneacuteral les performances en bruit et en lineacuteariteacute qui guiderons ces dieacuterents choixcar dans le cas ideacuteal et si la condition 2 est veacuterieacutee toutes ces solutions sont eacutequivalentesavec

prodiki = K ougrave K est le gain global du ltre

105 Exercices

1051 Temps de propagation de groupe

On deacutesire ltrer un signal x(t) agrave bande eacutetroite agrave laide dun ltre passe-bande centreacute sur lapulsation ωo Au voisinage de cette pulsation le module du ltre peut ecirctre consideacutereacute commeconstant et de valeur To La phase est approcheacutee par un deacuteveloppement limiteacute au premierordre

φ(ω) = φo + (ω minus ωo) middotpartφ

partω

∣∣∣∣ωo

105 EXERCICES 117

Question 1051 Deacuteterminer la forme du signal de sortie s(t) lorsque x(t) est un signalmoduleacute en amplitude centreacute en ωo

x(t) = a(t) middot ej ωo t

Quel retard subit lenveloppe a(t)

1052 Filtre pour reacutecepteur ZigBee

Dans les prochaines anneacutees des compteurs intelligents viendront remplacer les compteursclassiques deacutelectriciteacute Cette nouvelle geacuteneacuteration de compteurs permettra de mesurer dunemaniegravere deacutetailleacutee et en temps reacuteel la consommation deacutelectriciteacute et transmettre ces donneacutees agraveun gestionnaire deacutenergie qui adaptera le fonctionnement de certains appareils (Chaue-eauradiateur ) en fonction des contraintes imposeacutees par lutilisateur ou le fournisseur deacutenergieLa gure 1017 montre un sceacutenario dutilisation proposeacute par la socieacuteteacute Linky

Un standard tregraves utiliseacute pour ce type dapplication est le standard ZigBee Cest un proto-cole permettant des communications faibles deacutebits avec une faible consommation eacutenergeacutetiqueet est par conseacutequent largement utiliseacute pour des applications IoT (Internet of Things) Ilexiste trois bandes principales pour les communications ZigBee centreacutees agrave 868 MHz 915 MHzet 24 GHz Les canaux de transmission ont une bande passante de 2 MHz et sont espaceacutesde 5 MHz Dans le cadre de cet exercice nous nous inteacuteressons agrave la conception du ltre deseacutelection pour un reacutecepteur de ce standard de communication

Figure 1017 Exemple de compteur intelligent

Nous deacutecidons dimpleacutementer ce reacutecepteur agrave laide dune architecture agrave faible freacutequenceintermeacutediaire Ce type de reacutecepteur est robuste face aux perturbations faible freacutequence qui

sont susceptibles de deacutegrader signicativement linteacutegriteacute du signal speacutecialement pour lesapplications agrave faible bande passante La gure 1018 montre un diagramme du spectre agravelentreacutee du ltre apregraves les phases damplication et de meacutelange Le signal utile est centreacuteautour dune freacutequence intermeacutediaire de 10 MHz 2 et est entoureacute par dautres canaux ZigBeequon souhaite ltrer avant de passer dans le domaine numeacuterique

Dans le cadre de cet exercice nous limiterons notre eacutetude aux deux canaux adjacents(canal 1 et canal 2 dans la gure 1018) Ces canaux neacutecessitent une atteacutenuation supeacuterieureagrave 20 dB sur toute leur bande de freacutequence Nous souhaitons eacutegalement avoir une ondulationinfeacuterieure agrave 05 dB agrave linteacuterieur de la bande passante (9 MHz agrave 11 MHz) Pour la mise enoeuvre du ltre nous utiliserons un ltre de Butterworth agrave symeacutetrie geacuteomeacutetrique

utileSignal

5 10 150

Canal 2

f (MHz)

Filtre PBSortie Numeacuterique

Antenne

Meacutelangeur

Canal 1

Figure 1018 Scheacutema du Haut) Chaicircne de reacuteception simplieacutee Scheacutema du Bas) Spectredu signal agrave lentreacutee du ltre

Question 1052 Parmi les canaux 1 et 2 quel serait le plus contraignant agrave ltrer

Question 1053 En vous basant sur la reacuteponse de la question preacuteceacutedente deacuteterminer legabarit du ltre passe-bande agrave symeacutetrie geacuteomeacutetrique permettant de seacutelectionner le canal utile

Question 1054 Deacuteterminer le paramegravetre de seacutelectiviteacute Ωs et le gabarit prototype passe-bas

Question 1055 Calculer lordre du ltre prototype pour une approximation polynomiale detype Butterworth

2 Sachez quen pratique cette freacutequence est plus faible (typiquement 3 agrave 4 MHz) nous avons modieacute cettevaleur pour simplier lexercice

BIBLIOGRAPHIE 119

Nous disposons de cellules Butterworth de second ordre passe bas passe bande et passehaut

Question 1056 Proposer une impleacutementation pour le ltre

Bibliographie

[1] H Baher Synthesis of Electrical Networks Wiley 1984

[2] HJ Belinchiko and AI Zverev Filtering in the Time and Frequency Domains Krieger1986

[3] A Mohan VLSI Analog Filters Springer 2013

[4] MH Nichols and LL Rauch Radio Telemetry J Wiley 1956 httpsbooksgooglefrbooksid=vhkZAAAAIAAJ

[5] R Schaumann MS Ghausi and KR Laker Design of Analog Filters Prentice-Hall1990

[6] LA Times Lawrence Lee Rauchs life story Online 2008

[7] JC Whitaker The Electronics Handbook Electrical Engineering Handbook Taylor ampFrancis 1996 httpsbooksgooglefrbooksid=08wHm9EqX20C

Chapitre 11

TP Filtrage analogique (Preacutesentiel)

111 Introduction

Lobjectif de ce TP est dimpleacutementer un eet WahWah sur le son de la guitare 1 Cecineacutecessite de concevoir un ltre passe bande avec une freacutequence centrale recongurable Dans lecadre de ce TP nous concevrons un ltre avec une freacutequence centrale allant de 800 Hz agrave 2400Hz Limpleacutementation se fera avec des composants sur eacutetagegravere (reacutesistances condensateursamplicateurs )

1 Le WahWah est un eet modiant la qualiteacute voyelle dune note Autrement dit il transforme un son o en a et inversement produisant cet eet quasiment vocal Pour mieux comprendre vous pouvezregarder les videacuteos suivantes qui montrent plusieurs solos agrave base deet Wahwah httpswwwyoutubecom

watchv=R87mpsSAHXg httpswwwyoutubecomwatchv=8aLegMCAQvkt=1m30s

122 CHAPITRE 11 TP FILTRAGE ANALOGIQUE (PREacuteSENTIEL)

112 Filtre agrave base de cellule de Rauch

Nous proposons dutiliser la cellule de Rauch pour mettre en oeuvre le ltre (Figure 112)

-Z1 Z3

Figure 112 Cellule passe-bande du second ordre

La fonction de transfert du ltre est donneacutee par lexpression suivante

H(p) =minusY1(p) middot Y3(p)

Y3(p) middot Y4(p) + Y5(p) middot (Y1(p) + Y2(p) + Y3(p) + Y4(p))

ougrave Yi = 1Zi

sont les admittances des impeacutedances ZiAn de construire un ltre passe bande nous allons utiliser la conguration suivante pour

la cellule de Rauch Z1 est une reacutesistance R1 = 10 kΩ Z2 est une reacutesistance variable RV Z3 et Z4 sont des condensateurs de valeur C = 10 nF Z5 est une reacutesistance de valeur R2 = 100 kΩ

Question 1121 Deacuteterminer la fonction de transfert du ltre reacutealiseacutee dans le domaine deLaplace en fonction de R1 R2 RV et C

La fonction de transfert a un zeacutero agrave DC (f=0 Hz) et 2 pocircles donneacutes par 2

p12 =minusR1 middotRV plusmn j

radicR1 middotRV middot (R2 middotR1 +R2 middotRV minusR1 middotRV )

R1 middotR2 middotRV middot C

Question 1122 Quelles sont les conditions neacutecessaires sur R1 R2 RV et C pour garantirla stabiliteacute du ltre

An deacutetudier le comportement en freacutequence nous allons exprimer la fonction de transfertH(jω) dans le domaine de Fourier Celle-ci peut ecirctre eacutecrite sous la forme suivante

H(jω) =minusH0

1 + j middotQ middot ( ωω0minus ω0

2 Pour R2 gt R1

113 IMPLEacuteMENTATION DU FILTRE 123

H0 =R2

2 middotR1

radic(R1 +RV ) middotR1 middotR2 middotRV

2 middotR1 middotRV

radicR1 +RV

R1 middotR2 middotRV middot C2

Question 1123 En vous appuyant sur les notions du cours reliez H0 Q et ω0 agrave desparamegravetres physiques du ltre

Question 1124 Ouvrez le script Rauch_TFm xer RV agrave 1000 Ω Relever les valeurs dugain de la freacutequence centrale et de la bande passante agrave 3 dB Comparer les aux valeurs theacuteo-riques

Question 1125 Deacuteterminer la plage de valeur de RV qui permet dobtenir une freacutequencecentrale variant de 800 Hz agrave 2400 Hz Veacuterier votre reacutesultat en simulant la fonction de trans-fert pour les freacutequences minimale et maximale avec le script Rauch_TFm

Question 1126 Sachant que limpleacutementation dune reacutesistance variable controcircleacutee est plussimple que celle dun condensateur variable expliquer pourquoi le choix de Z2 comme levierde reconguration se justie-t-il

113 Impleacutementation du Filtre

Nous allons agrave preacutesent impleacutementer le ltre sur la maquette Nous utiliserons lamplica-teur opeacuterationnel MC1458P de Texas Instruments que nous alimenterons avec les tensionsdalimentation positive VDD de 5 V et neacutegative VSS de -5 V 3 Le circuit a eacuteteacute installeacute sur lesupport du bas de la maquette agrave droite Voici le descriptif de ses connecteurs

Lalimentation positive VDD est connecteacutee agrave la broche 14 Lalimentation neacutegative VCC est connecteacutee agrave la broche 10 Lentreacutee V minus de lamplicateur est connecteacutee agrave la broche 8 Lentreacutee V + de lamplicateur est connecteacutee agrave la broche 9 La sortie de lamplicateur est connecteacutee agrave la broche 7

Nous allons xer dans un premier lieu RV agrave 6600 Ω Utiliser lohmmegravetre pour la reacutegler

Question 1131 Mesurer le gain la freacutequence centrale et la bande passante en balayant unesinusoiumlde damplitude 04 Vpp avec un oset nul Comparer les valeurs obtenues aux valeurstheacuteoriques

Question 1132 Refaire la question preacuteceacutedente pour un RV de 460 Ω Conclure

Le retard de groupe ou temps de propagation dun ltre passe bande autour de la pulsationcentrale ω0 est donneacute par

tg = minus dφ

∣∣∣∣ω=ω0

=2 middotQω0

Question 1133 En vous appuyant sur lexpression ci-dessus calculer la valeur theacuteoriquedu retard de groupe

3 Pour cette manipulation utiliser les sorties plusmn 20 V de lalimentation en connectant la sortie +20 V auVDD de la maquette la sortie -20 V au VSS de la maquette et la masse (port COM) du geacuteneacuterateur agrave la massede la maquette

Pour mesurer le retard de groupe en pratique nous deacutecidons dappliquer une modulationdamplitude en entreacutee de notre ltre En fait lutilisation dune sinusoiumlde pure de pulsationω0 ne nous permet pas de mesurer des retards supeacuterieurs agrave la peacuteriode du signal

Question 1134 Mesurer le retard de groupe que subit lenveloppe pour le signal dentreacuteesuivant

Ve(t) = A middot (1 +m middot cos(2π fm t)) middot cos(2π f0 t)

avec une freacutequence de modulation fm=200 Hz une freacutequence porteuse f0= 2400 Hz un indicede modulation m=1 (100) et une amplitude A de 04 Vpp Comparer la mesure pratique agravela valeur theacuteorique

114 Impleacutementation de la reacutesistance variable et eet Wahwah

Comme indiqueacute dans lintroduction leet WahWah neacutecessite une reconguration de lafreacutequence centrale actionneacutee par un signal de controcircle Ce signal est en pratique geacuteneacutereacute parune peacutedale une manette ou un acceacuteleacuteromegravetre Cependant dans ce TP pour des limitations detemps nous utiliserons le geacuteneacuterateur dalimentation 4 Un des meilleurs moyens pour limpleacute-mentation dune reacutesistance variable controcircleacutee est le transistor MOS dont la reacutesistance drain-source peut ecirctre recongureacutee en modiant la tension de grille Pour caracteacuteriser la reacutesistancedu transistor nous allons impleacutementer le circuit de la gure 113 Dans cette congurationavec la valeur choisie de Rcar le transistor se comportera comme une reacutesistance sur toute laplage ougrave il est passant La puce contenant le transistor NMOS est installeacutee sur le support duhaut de la maquette Le drain du transistor est connecteacute agrave la broche 14 la source agrave la broche7 et la grille agrave la broche 6

Rcar=150 KΩ

Architecture pont diviseur

Modegravele eacutequivalent

Figure 113 circuit de caracteacuterisation

Question 1141 Deacuteterminer la relation qui lie RT agrave Rcar VDD et Vd en utilisant le modegraveleeacutequivalent

Question 1142 Faites varier la tension Vg de 1 V agrave 3 V en passant par les points suivants[10 14 18 22 26 30]) Relever la courbe RT = f(Vg) Conclure

Remplacer le potentiomegravetre RV par le transistor dans le ltre Pour cela il sut dedeacutebrancher la reacutesistance Rcar et de connecter le drain du transistor au bon noeud du circuitla source eacutetant deacutejagrave connecteacutee agrave la masse

4 Pour cette manipulation utiliser la sortie 6 V de lalimentation

114 IMPLEacuteMENTATION DE LA REacuteSISTANCE VARIABLE ET EFFET WAHWAH 125

Question 1143 Appliquer une sinusoiumlde de freacutequence 16 kHz et damplitude 400 mVppConnecter le signal de sortie agrave la fois aux eacutecouteurs et agrave loscilloscope Faites varier la tensionde grille du transistor de 1 agrave 3 V Deacutecrivez briegravevement les pheacutenomegravenes observeacutes et perccedilu

Pour bien percevoir leet Wahwah il faut appliquer un signal riche freacutequentiellementVous pouvez geacuteneacuterer un tel signal en utilisant la guitare 5

Question 1144 Faites varier plus ou moins rapidement (environ 1 cycle par seconde) latension de grille entre 1 et 3 V deacutecrivez briegravevement leet perccedilu

Chapitre 12

TP Filtrage analogique (Distanciel)

121 Introduction

Lobjectif de ce TP est dimpleacutementer un eet WahWah sur le son de la guitare 1 Cecineacutecessite de concevoir un ltre passe bande avec une freacutequence centrale recongurable Dansle cadre de ce TP nous concevrons un ltre avec une freacutequence centrale allant de 800 Hz agrave2400 Hz Limpleacutementation se fera avec LTspice Nous utiliserons eacutegalement le logiciel de calculOctave pour leacutetude haut niveau Toutes les ressources pour suivre le TP ainsi quun canevaspour le compte-rendu sont disponibles dans le reacutepertoire zippeacute TP_Filtragezip que vouspouvez teacuteleacutecharger sur le site web de lUE httpsc2stelecom-paristechfrELEC101

documentsTP

128 CHAPITRE 12 TP FILTRAGE ANALOGIQUE (DISTANCIEL)

Nous proposons dutiliser la cellule de Rauch 2 pour mettre en oeuvre le ltre (Figure 122)

-Z1 Z3

ougrave Yi = 1Zi

la cellule de Rauch Z1 est une reacutesistance RA = 10 kΩ Z2 est une reacutesistance variable RV Z3 et Z4 sont des condensateurs de valeur C = 10 nF Z5 est une reacutesistance de valeur RB = 100 kΩ

Question 1221 Deacuteterminer la fonction de transfert du ltre reacutealiseacutee dans le domaine deLaplace en fonction de RA RB RV et C

p12 =minusRA middotRV plusmn j

radicRA middotRV middot (RB middotRA +RB middotRV minusRA middotRV )

RA middotRB middotRV middot CQuestion 1222 Quelles sont les conditions neacutecessaires sur RA RB RV et C pour garantirla stabiliteacute du ltre

H(jω) =minusH0

2 Pour ceux qui se posent la question de la prononciation cette structure a eacuteteacute introduite par MyronHiram Nichols et Lawrence Lee Rauch dans leur ouvrage Radio Telemetry en 1956 Ainsi ces messieurs eacutetantdorigine ameacutericaine (tout du moins M Rauch) il semble que Rauch doivent se prononcer rock si lonsen reacutefegravere aux regravegles de prononciation anglaise

3 Pour RB gt RA

H0 =RB

2 middotRA

radic(RA +RV ) middotRA middotRB middotRV

2 middotRA middotRV

radicRA +RV

RA middotRB middotRV middot C2

Nous allons agrave preacutesent impleacutementer le ltre sur LTspice Nous utiliserons lamplicateuropeacuterationnel LTC6242 que nous alimenterons avec les tensions dalimentation positive VDDde 5 V et neacutegative VSS de -5 V Le composant LTC6242 est disponible dans Component minusrarr[OpAmps] Pour les reacutesistances RA RB et RV utilisez le menu Resistor pour les condensa-teurs CA et CB le menu Capacitor Les sources de tension sont disponibles dans Componentminusrarr Voltage Nous allons xer dans un premier lieu RV agrave 6600 Ω et les autres composants agraveleurs valeurs listeacutees ci-dessus

Nous allons commencer par une simulation AC 4 pour cela parameacutetrez la source du signaldentreacutee avec AC amplitude=1 V et AC phase=0

Question 1231 Mesurer le gain la freacutequence centrale et la bande passante en reacutealisantune simulation couvrant la plage 50 Hz-20 KHz Comparer les valeurs obtenues aux valeurstheacuteoriques

tg = minus dφ

∣∣∣∣ω=ω0

=2 middotQω0

Pour acher le retard de groupe simuleacute il sut de faire un clic droit sur laxe achantla phase (laxe des ordonneacutees agrave droite) et de cocher la case Group Delay

Question 1234 Relever le retard de groupe autour de la freacutequence centrale et comparer leagrave la valeur theacuteorique

Question 1235 Refaites les 2 derniegraveres questions pour un RV de 6600 Ω Que constate-t-on Appuyez votre conclusion par une eacutetude analytique

4 Simulate minusrarr Edit Simulation Cmd minusrarr AC Analysis

Comme indiqueacute dans lintroduction leet WahWah neacutecessite une reconguration de lafreacutequence centrale actionneacutee par un signal de controcircle Ce signal est en pratique geacuteneacutereacute par unepeacutedale une manette ou un acceacuteleacuteromegravetre Dans ce TP nous utiliserons une source de tensionpour eectuer ce controcircle Un des meilleurs moyens pour limpleacutementation dune reacutesistancevariable controcircleacutee est le transistor MOS dont la reacutesistance drain-source peut ecirctre recongureacuteeen modiant la tension de grille Nous utiliserons ainsi le transistor NMOS CD4007 que nousavons utiliseacute dans le TP1 Pour caracteacuteriser la reacutesistance du transistor nous allons impleacutementerle circuit de la gure 123 Dans cette conguration avec la valeur choisie de Rcar le transistorse comportera comme une reacutesistance sur la quasi-totaliteacute de la plage ougrave il est passant

Sauvegarder votre scheacutematique et ouvrez un nouveau sous LTspice pour reacutealiser le sheacutemade la gure 123 Pour instancier le transistor dans LTspice cliquez sur component minusrarrnmos

suivi dun clic droit sur licocircne du composant dans le scheacutematique cliquez sur Pick new

MOSFET et choisissez le CD4007 dans la liste La tension dalimentation VDD est xeacutee agrave 5 V

Rcar=150 KΩ

Question 1242 En utilisant lanalyse DC sweep disponible dans le menu Simulate minusrarrEdit Simulation Cmd faites varier la tension Vg entre 165 et 5 V pour relever la courbeRT = f(Vg)

5 Conclure

Revenez sur le scheacutematique de votre ltre remplacer la reacutesistance RV par le transistorNMOS en connectant son drain aux impeacutedances Z1 Z3 et Z4 sa source agrave la masse et sa grilleagrave une source de tension sinusoiumldale ayant un oset de 285 V une amplitude de 1 V et unefreacutequence de 1 Hz

Question 1243 Appliquer une sinusoiumlde de freacutequence 16 kHz et damplitude 200 mV agravelentreacutee du ltre Eectuer une simulation transitoire de 10 s Deacutecrivez briegravevement les pheacuteno-megravenes observeacutes

Pour bien percevoir leet Wahwah il faut appliquer un signal riche freacutequentiellementNous utiliserons un des signaux audio enregistreacutes Fixez la dureacutee de la simulation transitoireagrave 10 secondes Pour manipuler les chiers audio sur LTspice regardez le tutoriel agrave partir de

5 Vous pouvez tracer la courbe avec LTspice il sut de faire un clique droit sur le nom du noeud acheacuteen haut de la gure du reacutesultat et de la remplacer par la relation RT = f(Vd)

la minute 18 Fixez la freacutequence deacutechantillonnage dans votre chier de sortie agrave 441 KHz etle nombre de bits agrave 16

Question 1244 Faites varier la freacutequence du signal de controcircle ainsi que son amplitudedeacutecrivez briegravevement leet perccedilu

Chapitre 13

Conversion analogique-numeacuterique

131 Introduction

Les circuits inteacutegreacutes numeacuteriques en terme de vitesse et de densiteacute permettent de mettreen oeuvre des traitements de signaux agrave tregraves grande complexiteacute De ce fait et aussi gracircceaux possibiliteacutes de programmation le traitement numeacuterique du signal est privileacutegieacute pour denombreuses applications le traitement analogique servant alors essentiellement agrave lacquisitionet au preacute-traitement indispensable pour reacutealiser une conversion du signal de lanalogiquevers le numeacuterique ou agrave la restitution pour des opeacuterations de ltrage ou damplication apregravesconversion du numeacuterique vers lanalogique

Le traitement analogique et degraves lors les circuits analogiques restent indispensables pourla reacutecupeacuteration dinformations avec le monde exteacuterieur En eet la plupart des capteursdinformations fournissent une donneacutee du domaine analogique en temps continu

Lors de la speacutecication architecturale dun systegraveme le choix dun partitionnement condui-sant agrave un traitement massif du signal en numeacuterique et un traitement minimal en analogique neconduit pas toujours agrave un optimum globalement Le meilleur partitionnement deacutepend notam-ment des technologies dinteacutegration du traitement agrave eectuer des performances rechercheacuteeset des divers coucircts

De nombreuses applications en transmission ou en radiocommunications requiegraverent dessystegravemes mixtes (analogique et numeacuterique) dans lesquels la recherche dun optimum din-teacutegration deacutepend de nombreux paramegravetres et notamment de leacutetat de lart en conversionanalogique-numeacuterique et en conversion numeacuterique-analogique Ceci illustre limportance desinterfaces dacquisition et de restitution en geacuteneacuteral et des interfaces entre traitement dun si-gnal sous sa forme analogique et traitement sous sa forme numeacuterique Les convertisseurs jouentun rocircle fondamental pour le choix darchitectures et au-delagrave pour latteinte des performancesvis-agrave-vis dobjectifs de conception

Lobjet de ce chapitre est tout dabord de preacutesenter les principes de la conversion Lesgrandes familles de convertisseur classiques sont deacutecrites en soulignant les caracteacuteristiques dechacune delles

132 Principe de la conversion

La conversion analogique numeacuterique requiert 2 eacutetapes principales Une discreacutetisation dans le temps ou un eacutechantillonnage Une discreacutetisation en valeur ou une quantication

1321 Echantillonnage

Lopeacuteration deacutechantillonnage a eacuteteacute eacutetudieacutee en deacutetails dans le chapitre 5 nous nous conten-terons donc dun rappel rapide Le signal dentreacutee x (t) est un signal analogique temps continuOn ne va convertir que les valeurs du signal dentreacutee espaceacutees du temps Tconv correspondant

134 CHAPITRE 13 CONVERSION ANALOGIQUE-NUMEacuteRIQUE

au temps neacutecessaire agrave la conversion Aussi doit-on reacutecupeacuterer cette information et pour ce faireeacutechantillonner le signal dentreacutee agrave la freacutequence fe = 1

Tconv= 1

Lexpression du signal en sortie de leacutechantillonneur est

xlowast(t) = x(kTe) = x(t)infinsum

k=minusinfinδ(tminus kTe) =

+infinsum

k=minusinfinx(kTe)δ(tminus kTe) (1)

La transformation de Fourier de cette expression permet dobtenir le spectre du signal

Xlowast(f) =1

TeX(f) lowast

+infinsum

k=minusinfinδ(f minus kfe) =

+infinsum

k=minusinfinX(f minus kfe) (2)

Pour eacuteviter le recouvrement des spectres on rappelle quil est neacutecessaire que le spectre dusignal dentreacutee soit limiteacute agrave B lt fe

2 Ceci impose en geacuteneacuteral un ltrage du signal dentreacutee

1322 Quantication et encodage

Lopeacuteration de quantication consiste agrave attribuer un niveau preacutedeacuteni aux eacutechantillonsxlowast(kTe) Le but de la cette opeacuteration est de reacuteduire lensemble des valeurs traiteacutees agrave unensemble de valeurs connues Ceci est indispensable pour pouvoir reacutealiser un traitement dansle domaine numeacuterique Prenons lexemple de la gure 131 dans laquelle on considegravere lanumeacuterisation dune sinusoiumlde de freacutequence agrave 1 Hz et damplitude 1 V La premiegravere eacutetape duprocessus est leacutechantillonnage Pour des raisons de simpliciteacute et de clarteacute nous choisirons unefreacutequence fe de 10 Hz Le reacutesultat de cette premiegravere opeacuteration est le signal xlowast(kTe) Passonsagrave preacutesent la quantication nous allons arrondir les eacutechantillons xlowast(kTe) agrave un nombre limiteacutede valeurs 4 pour le signal y2b et 8 pour le signal y3b Le choix dune puissance de 2 permetde simplier lencodage mais nest pas obligatoire

Les signaux y2b et y3b sont ainsi une approximation du signal xlowast(kTe) On peut facilementanticiper que plus le nombre de niveaux est eacuteleveacute plus lerreur de quantication sera petiteMais bien eacutevidemment augmenter le nombre de niveaux se paiera par une augmentation dela consommation de puissance et de la complexiteacute du systegraveme

La sortie nale est un code numeacuterique repreacutesenteacutee sous une forme binaire an que le coeurde traitement puisse lutiliser ou apregraves conditionnement

Dans la section suivante nous allons analyser en deacutetails lerreur de quantication et sonimpact sur le processus de numeacuterisation

133 La conversion analogique-numeacuterique

1331 Deacutenitions

Pour un Convertisseur Analogique Numeacuterique (CAN) la grandeur analogique discregravetetemps continu x[k] est transformeacutee en un signal discret (b1 b2 bnb) Leacutequation de deacutenitiondu convertisseur seacutecrit

x[k] = Vmin + b1[k]PE

2+ b2[k]

4+ middot middot middot bn[k]

2n+ e = N [k]

2nb+1+ e

= Vmin +Nq +q

PE la pleine eacutechelle du convertisseur eacutegale agrave la dieacuterence entre la tension maximaleVmax et la tension minimale Vmin supporteacutees par le convertisseur Par exemple pourun CAN opeacuterant entre 0 et 5 V PE sera eacutegale agrave 5 V pour un CAN opeacuterant entre -2et 2 V PE sera eacutegale agrave 4 V et pour un CAN opeacuterant entre 1 et 4 V PE sera eacutegale agrave3 V

133 LA CONVERSION ANALOGIQUE-NUMEacuteRIQUE 135

000 000

y3by2b

xlowast(t)

Figure 131 Echantillonnage et numeacuterisation dun sinusoiumlde de 1 Hz eacutechantillonneacutee agrave 10Hz

e lerreur de quantication du convertisseur N la sortie numeacuterique du convertisseur nb le nombre de bits ou la reacutesolution du CAN b1 le bit de poids le plus fort (MSB Most Signicant Bit) et bnb le bit de poids le

plus faible (LSB Least Signicant Bit)On deacutenit eacutegalement le pas de quantication qui se nomme eacutegalement le quantum

Lajout du terme q2 dans lexpression permet de centrer lerreur ainsi au lieu davoir une erreur

0 lt e lt q on obtient une erreur centreacutee minus q2 lt e lt + q

2 On peut ainsi deacutenir la grandeur a[k]qui correspond agrave lestimation de x[k] avec

a[k] = N [k]q +q

2+ Vmin = x[k]minus e (5)

Pour clarier ces dieacuterentes notions prenons lexemple de la gure 132 qui preacutesente lafonction de transfert dun CAN 3 bits La tension Vmax de ce CAN est eacutegale agrave 1 V Vmin agrave-1 V et donc PE vaut 2 V On en deacuteduit que q = 025 V Prenons par exemple une entreacutee x[k]de -041 V Le niveau numeacuterique correspondant N [k]=2 et le mot binaire de sortie binairebi[k] = 010 Lestimation analogique a[k] de x[k] est calculeacutee ainsi

a[k] = 2times 025 + 0125minus 1 = minus0375 V =rArr e[k] = minus0035 V

1332 Etude de limpact du bruit de quantication sur la preacutecision

Lapproximation due agrave la quantication peut ecirctre repreacutesenteacutee comme une erreur (-gure 133) comprise entre plusmnq2

111a[k]

minus 14minus 1

2minus 34-1

minus 58

minus 78

minus 38

minus 18

nb=3 PE=2 V q=025 V

Figure 132 CAN 3 bits

Le comportement non lineacuteaire du quanticateur fait que lon ne peut pas utiliser lesmeacutethodes classiques Aussi fait-on appel au modegravele statistique La reacutefeacuterence de base de cetravail est un article de Bennett [1]

Par la suite nous allons consideacuterer la quantication comme un bruit blanc additif deprobabiliteacute uniforme (gure 134) Nous parlerons dans la suite de bruit de quantication

entre analogique

code de sortie

entre analogique

erreur de quantification

minusq2

Figure 133 Fonction de transfert dun CAN et erreur de quantication

La variance du bruit de quantication est donneacutee par

σ2 =1

+q2int

minusq2

e2de =q2

La puissance Pe de ce processus aleacuteatoire eacutechantillonneacute agrave la freacutequence fe est eacutegale agrave savariance Lhypothegravese de bruit blanc donne une densiteacute spectrale de puissance constante sur

minusq2 +q2

Figure 134 Densiteacute de probabiliteacute de lerreur de quantication

tout le spectre Il en reacutesulte

+fe2int

minusfe2

dspedf =q2

12avec dspe =

12fe(7)

Pour analyser linuence de la quantication sur la qualiteacute du signal nous utilisons lerapport signal sur bruit de quantication (SQNR Signal to Quantifcation Noise Ratio)

SQNR =puissance du signalpuissance du bruit

+fe2intminusfe2

|Signal (f)|2df

+fe2intminusfe2

dspedf

(en supposant ecirctre agrave la limite de la freacutequence de Nyquist B = fe2)Avec une tension dentreacutee sinusoiumldale damplitude Amp et donc dexcursion 2 middot Amp la

puissance du signal est Ps = Amp2

2 Si la pleine eacutechelle du convertisseur est une tension PEalors la puissance du bruit de quantication est

Pe =q2

1222nb(9)

Ceci permet de deacuteduire le rapport signal sur bruit de quantication

SQNR =3

2middot 22nb middot

(2 middotAmpPE

soit en deacutecibel

SQNRdB = 10 log(SQNR) = 1 76 + 6 02nb+ 20 log

(2 middotAmpPE

Cette relation montre leacutequivalence entre un gain de 6 dB de rapport signal sur bruit et1 bit de plus en reacutesolution (en numeacuterique la reacutesolution indique le nombre de bits signicatifsavec lequel sont repreacutesenteacutes les nombres)

1333 Etude de limpact du sur-eacutechantillonnage

Dans la section preacuteceacutedente nous avons deacutetermineacute limpact du bruit de quanticationdans le cas ou le signal dentreacutee est eacutechantillonneacute agrave une freacutequence 2 fois supeacuterieure agrave sabande passante Or comme nous le savons rien ne nous interdit de prendre une freacutequence

BwminusBw BwminusBwf

DSP DSP

12timesFe

Fe=2timesBw F primee=4times2times Bw

12timesF primee

-F primee2 F prime

OSR =F primee

2timesBw

Figure 135 Densiteacute spectrale de puissance du bruit de quantication a) CAN Nyquist sanssur-eacutechantillonnage b) CAN sureacutechantillonneacute avec un OSR = 4

deacutechantillonnage fe sensiblement supeacuterieure agrave 2 fois la bande passante du signal Essayonsde deacuteterminer lexpression du SQNR dans cette nouvelle conguration

Analysons dabord la puissance du signal dentreacutee Comme nous le savons la freacutequencedeacutechantillonnage na pas dimpact sur cette derniegravere et donc sur-eacutechantillonnage ou pas lapuissance du signal reste inchangeacutee Pour le bruit de quantication on peut facilement seconvaincre que sa puissance ne varie pas Cependant gracircce au sur-eacutechantillonnage le bruitest eacutetaleacute sur une bande de freacutequence plus large Ceci est illustreacute dans la gure 135 En sebasant sur cette information et comme on est sur que pour la bande f gt Bw il ny a pasde signal utile il est ainsi tout agrave fait possible de faire un ltrage passe bas dans le domainenumeacuterique du signal de sortie agrave la freacutequence Bw Ceci permettra de diviser la puissance dubruit de quantication par le facteur de sur-eacutechantillonnage noteacute OSR = fe

2Bw En inteacutegrantce facteur dans le calcul du SQNR on peut facilement deacutemontrer que lexpression geacuteneacuteraledevient

(2 middotAmpPE

)+ 10 log(OSR) (12)

En analysant leacutequation on peut deacuteduire quun sur-eacutechantillonnage par 4 a le meme eetquune augmentation de nb par 1 Cette solution permet ainsi de reacuteduire la complexiteacute dunCAN mais se paie globalement par une augmentation de la consomation de puissance due agravelutilisation dune freacutequence deacutechantillonnage plus eacuteleveacutee

134 Etude des principaux convertisseurs analogique-numeacuterique

Un grand nombre de techniques de Conversion Analogique-Numeacuterique ont eacuteteacute deacutevelop-peacutees pour une grande diversiteacute dapplications Le choix dune de ces techniques deacutepend tregraveseacutetroitement de lapplication viseacutee Dans certains cas le paramegravetre important est la preacuteci-sionreacutesolution dans dautres cest la rapiditeacute Lorsque les deux paramegravetres sont exigeacutes ilfaut aboutir agrave un compromis Nous pouvons classer les CAN en quatre familles essentielles

les CAN parallegraveles ou ash reacutealisent la conversion en une peacuteriode dhorloge les CAN agrave approximations successives procegravedent agrave des essais successifs pour arriver agrave

la solution les CAN pipeline sont composeacutes de plusieurs eacutetages qui minimisent au fur et agrave mesure

lerreur de quantication les CAN ∆Σ baseacutes sur la mise en forme de bruit de quantication

134 ETUDE DES PRINCIPAUX CONVERTISSEURS ANALOGIQUE-NUMEacuteRIQUE139

1341 Les CAN parallegraveles ou ash

Ce sont les plus rapides La gure 136 donne le scheacutema de principe pour un convertisseur 3bits Ce type de convertisseur utilise un comparateur analogique seacutepareacute pour chaque niveau dequantication Pour nb bits de reacutesolution 2nbminus1 comparateurs sont neacutecessaires La complexiteacutedu systegraveme croicirct donc exceptionnellement avec le nombre de bits Lopeacuteration de conversionest eectueacutee en un seul cycle dhorloge dougrave son nom de convertisseur ash

V ref VA

b1 (22)

b2 (21)

b3 (20)

V ref8

2V ref8

3V ref8

4V ref8

5V ref8

6V ref8

7V ref8

b1 b2 b3

Figure 136 CAN ash

La plus large gamme dapplications de ce type de convertisseurs est le traitement du signalvideacuteo Ils sont utiliseacutes dans la compression de bande videacuteo la transmission videacuteo numeacuteriquelanalyse de signal radar notamment Ces applications requiegraverent des vitesses de conversionsdans la gamme de 50 MHz agrave 1 GHz voire au-delagrave

Les CANs ash sont aussi tregraves souvent utiliseacutes pour brique de bases pour des convertisseursplus complexes comme les convertisseurs pipeline ou Delta Sigma

1342 Les CAN agrave approximations successives

Le principe de fonctionnement de larchitecture SAR comme son nom lindique consisteagrave reacutealiser la conversion avec des approximations successives

Une implantation possible de larchitecture SAR est illustreacutee dans la gure 137 En deacutebutde chaque peacuteriode de conversion le signal dentreacutee V e est eacutechantillonneacute en connectant toutesles capaciteacutes entre V e et la masse La deacutetermination du signal de sortie numeacuterique se ferasur nb sous-cycles en allant du bit du poids fort b1 au bit du poids faible bnbPendant cessous-cycles suivants V e est deacuteconnecteacute et cycle par cycle les capaciteacutes sont connecteacutees agrave V ref

ou minusV ref2 en fonction des sorties bi Le calcul du signal de reacutesidu resi et des bits de sortie se

fait suivant les regravegles suivantes

1 si resi gt

V ref2

0 sinon

C2C4C2nminus1C C

V re f2

Logique

de controcircleSAR

minusV re f2

V re f2

Figure 137 Circuit dun Convertisseur agrave approximations successives SAR

resi+1 =

resi minus V ref

2i+1 si bi = 1

resi + V ref2i+1 sinon

res1 = V e

La valeur analogique eacutequivalente agrave la sortie numeacuterique est donneacutee par

biV ref

2i+V ref

le convertisseur numeacuterique analogique qui geacutenegravere les tensions pondeacutereacutees composeacute parle circuit agrave capaciteacutes commuteacutees

le comparateur qui compare resi agrave la masse la logique de commande et de controcircle qui traite le signal de sortie du comparateur

Le CAN agrave approximations successives est un CAN seacuterie puisque quon eacutelabore un bit agrave chaqueeacutetape il faut nb peacuteriodes dhorloge pour obtenir une preacutecision de nb bits Ainsi compareacute auCAN ash laugmentation de la reacutesolution ou du nombre de bit du CAN SAR ne neacutecessitepas une augmentation exponentielle de la complexiteacute mais une augmentation lineacuteaire de ladureacutee de conversion Ceci rend les CANs SAR adapteacute agrave la conversion des signaux agrave bandemoyenne (quelques dizaines de MHz) avec des reacutesolutions intermeacutediaires ou eacuteleveacutees (8 agrave 16bits)

1343 Les CANs pipeline

Dans les CANs pipeline la conversion se fait agrave laide de plusieurs eacutetages cascadeacutes permet-tant datteindre une reacutesolution plus eacuteleveacutee quun CAN Flash avec moins de comparateurs Lagure 138 illustre le scheacutema bloc dun CAN pipeline Il est composeacute de N eacutetages et chacunest composeacute

Un CAN ash de reacutesolution Mi (i est lindex de leacutetage) Un CNA de reacutesolution Mi

Un soustracteur Un gain de valeur 2Mi

Le principe du fonctionnement est le suivant Lentreacutee du CAN est discreacutetiseacute avec unefaible reacutesolution (1 agrave 5 bits) par le premiegravere eacutetage Ceci permettra de geacuteneacuterer les bits depoids forts de la sortie binaire La sortie numeacuterique Di est reconvertie en analogique an de lasoustraire du signal dentreacutee Ce signal vi correspond en fait agrave lerreur de quantication qui estamplieacutee et transmis agrave leacutetage suivant Ce dernier reacutealise une nouvelle estimation permettantainsi dameacuteliorer la preacutecision du convertisseur Les sorties numeacuteriques des dieacuterents eacutetagesMi

sont recombineacutes pour creacuteer la sortie numeacuterique globale du CANLa reacutesolution globale du CAN est la somme des reacutesolutions des eacutetages Ainsi pour construire

un CAN 12 bits on peut le reacutealiser par exemple agrave laide de 3 eacutetages de 4 bits chacun Cette

Etage 1 Etage 2 Etage N

Mi Bits

+- yi[n]xi[n]

Controle numeacuteriqueSortie Numeacuterique

Entreacutee

Figure 138 Scheacutema bloc dun eacutetage Pipeline

impleacutementation neacutecessitera 45 comparateurs (3 times (24minus1)) compareacutee aux 4095 (212minus1) compa-rateurs requis pour un CAN Flash de 12 bits Par contre le point bloquant dans larchitecturePipeline est leacutetage de soustractiongain qui neacutecessite lutilisation dun amplicateur opeacutera-tionnel Ceci limite la vitesse des CANs pipeline par rapport aux CANs ash Les CANspipeline sont ainsi utiliseacutes pour la conversion des signaux agrave bande moyenne ou large (quelquesdizaines agrave quelques centaines de MHz) agrave moyenne ou haute reacutesolution

1344 Les CANs Sigma Delta

Les CANs Delta Sigma (∆Σ) sont des convertisseurs baseacutes sur les principes du sur eacutechan-tillonnage et de la mise en forme du bruit de quantication Le scheacutema bloc geacuteneacuteral dun CAN∆Σ est illustreacute dans la gure 139 Il sagit dun ltre de boucle suivi dun quanticateur Flashde faible reacutesolution (1 agrave 5 bits en pratique) et dune boucle de retour qui permet de stabiliserle CAN et de garantir la mise en forme du bruit Tous ces blocs vont fonctionner agrave une vitessefe = OSR times 2Bw Le ltre numeacuterique de deacutecimation en sortie permet le passage entre unsignal agrave haute vitesse et faible reacutesolution agrave un signal agrave faible vitesse et haute reacutesolution

Figure 139 Principe de fonctionnement des modulateurs ∆Σ

Le fonctionnement des CANs ∆Σ ne sera pas abordeacute en deacutetails dans le cadre de modulemais sachez que cest des CANs adapteacutes pour reacutealiser des reacutesolutions tregraves eacuteleveacutees deacutepassantles 20 bits

Flash Pipeline SAR ∆Σ

Vitesse Tregraves eacuteleveacute eacuteleveacute Moyen Faible

Reacutesolution Faible eacuteleveacute eacuteleveacute Tregraves eacuteleveacute

Cons de Puis Tregraves eacuteleveacute eacuteleveacute Tregraves Faible Faible

Surface Tregraves eacuteleveacute eacuteleveacute Faible Moyen

DeacutesavantagesReacutesolution LimiteacuteeNb comparateurs exp

Limiteacute parle SH

Limiteacute parle matching duDAC ou CNA

Instabiliteacuteet horlogehaute freacutequence

Table 131 Comparaison entre les architectures de CANs

135 Conclusions sur la Conversion

Le tableau 131 compare qualitativement les dieacuterentes architectures de CAN Commeon peut le constater le choix dune architecture doit se faire en fonction des speacutecicationsrequises en bande passsante reacutesolution consommation de puissance

Il est important de noter quil existe dans leacutetat de lart un grand nombre dautres architec-tures de CANs Certaines sont une fusion entre 2 architectures comme les CANs pipeline-SARan dessayer de proter des avantages des 2 architectures Il est aussi courant de disposer lesCANs en parallegravele en entrelacement temporel ou freacutequentiel an daugmenter les vitesses deconversion

136 Exercice Chaicircne de Conversion

La 5egraveme geacuteneacuteration des communications mobiles (5G) speacutecie que les eacutequipements dureacuteseau cellulaire (mobiles et stations de base) pourront utiliser des porteuses avec des bandespassantes tregraves varieacutees allant de 14 MHz jusquagrave 20 MHz La norme speacutecie eacutegalement lapossibiliteacute de faire de lagreacutegation de jusquagrave huit canaux permettant ainsi datteindre danscertaines conditions de fonctionnement un deacutebit descendant supeacuterieur agrave 3 Gbitss Nous nousfocaliserons dans ce TD sur leacutetude de la sous-partie bande de base dune chaicircne de reacuteceptionadapteacutee agrave un canal de 20 MHz de bande Comme le montre la gure 1310 les blocs quicomposent cette sous-partie du reacutecepteur sont le ltre anti-repliement et le convertisseuranalogique-numeacuterique (CAN)

Nous nous xons comme objectif doptimiser les paramegravetres de la chaicircne an dobtenirla consommation de puissance la plus basse possible Nous pourrons intervenir sur les troisparamegravetres suivants

la freacutequence deacutechantillonnage du CAN fs lordre du ltre nfil le nombre de bits du CANs nCANLe cahier des charges nous impose une reacutesolution supeacuterieure agrave 74 dB agrave la sortie du CAN

et une atteacutenuation supeacuterieure agrave 50 dB pour les perturbateurs qui peuvent corrompre le signalutile agrave cause du repliement Par ailleurs latteacutenuation maximale agrave linteacuterieur de la bandepassante doit ecirctre infeacuterieure agrave 1 dB

136 EXERCICE CHAIcircNE DE CONVERSION 143

f (MHz)

Signalutile

Filtre Anti-repliement

CANSortie Numeacuterique

n f il

Interfereurs

Figure 1310 Chaicircne dacquisition de signal 5G en bande de base

Nous deacutecidons dinvestiguer trois possibiliteacutes pour fs 50 MHz 200 MHz et 800 MHzLa proceacutedure sera de deacuteterminer pour chaque valeurs de fs les valeurs de nfil et nCAN quipermettent de satisfaire le cahier des charges Ceci nous permettra de comparer les troissolutions en utilisant les meacutetriques suivantes pour eacutevaluer la consommation de puissance

Pfil = nfil middot 5times 10minus3 [W]

PCAN = 2nCAN middot fs middot 5times 10minus14 [W]

Question 1361 Tracer le gabarit du ltre anti-repliement pour les trois valeurs possiblesde fs

Question 1362 Deacuteterminer la valeur du critegravere seacutelectiviteacute Ωs pour les trois valeurs de fs

Nous deacutecidons dutiliser une approximation de Tchebyche pour le ltre anti-repliementLes polynocircmes de Tchebyche sexpriment par forallx ge 1 Tn(x) = ch(n argch(x)) ougrave ch repreacutesente le cosinus hyperbolique et argch largumentdu cosinus hyperbolique 1 reacuteciproque de la fonction ch

Question 1363 Deacuteduisez-en lordre du ltre requis dans les trois cas

Inteacuteressons nous agrave preacutesent au CAN Pour ce calcul nous nous permettons dapproximerlentreacutee agrave une sinusoiumlde qui occupe linteacutegraliteacute de la dynamique dentreacutee du CAN

Question 1364 Calculer le nombre theacuteorique de bits neacutecessaires pour chaque valeur de fspour satisfaire le cahier des charges Nous arrondirons le nombre agrave lentier supeacuterieur

Question 1365 Comparer les trois solutions en terme de consommation de puissanceRetenez pour la suite de lexercice celle qui permet de la minimiser

Inteacuteressons nous agrave preacutesent agrave limpleacutementation du CAN Nous deacutecidons au vu des speacute-cications dutiliser larchitecture pipeline Le principe de fonctionnement de cette famillede CAN est de cascader plusieurs eacutetages travaillant agrave haute vitesse mais de preacutecision reacuteduite(typiquement 1 agrave 5 bits) an dobtenir une reacutesolution globale eacuteleveacutee (typiquement 9 agrave 12 bits)

Commenccedilons dabord par eacutetudier le comportement dun seul eacutetage du CAN pipeline Lagure 1311 illustre le scheacutema bloc dun eacutetage du CAN pipeline Il est composeacute de

1 argch(x) = ln(x +radicx2 minus 1

)pour x ge 1

Mi Bits

+- yi[n]xi[n]

Sortie CANSortie CNA

111Sortie CNA

Sortie CAN

minus 12

minus 14minus 1

2minus 34-1

minus 58

minus 78

minus 38

minus 18

b) M=3 V re f =2a) M=1 V re f =2

Figure 1312 Sortie du CAN (code numeacuterique) et du CNA (tension) en fonction de lentreacutee(tension)

Un CAN ash de reacutesolution Mi (i est lindex de leacutetage) avec une tension de reacutefeacuterenceou pleine eacutechelle V ref

Un CNA de reacutesolution Mi et de tension de reacutefeacuterence V ref 2Miminus12Mi

Pour clarier les caracteacuteristiques de transfert du CAN et du CNA leurs sorties sontillustreacutees en fonction du signal dentreacutee x[n] dans la gure 1312 pour V ref = 2 et Mi = 1 bitet 3 bits

Question 1366 Que repreacutesente le signal v[n]

Question 1367 Deacuteterminer un encadrement theacuteorique pour v[n] en fonction de la pleineeacutechelle et le nombre de bits du CAN de leacutetage

Question 1368 En deacuteduire pourquoi faut-il mettre un gain de valeur 2Mi en sortie deleacutetage

La sortie numeacuterique dun CAN pipeline K eacutetages est obtenu par une concateacutenation dessorties des K eacutetages ougrave les M1 bits de poids forts sont xeacutes par la sortie du premiegravere eacutetagelesM2 bits suivants par le deuxiegraveme et ainsi de suite La sortie analogique globale eacutequivalenteagrave cette sortie numeacuterique une donneacutee par

aglob[n] = a1[n] +

isumj=2

Mjminus1

ou en dautre termes

aglob[n] =

(a1[n] +

2M1+M2

BIBLIOGRAPHIE 145

Question 1369 Donnez la sortie analogique et numeacuterique pour un CAN agrave deux eacutetages avecM1=M2=3 bits pour une entreacutee de 052 V avec V ref = 2 V

Question 13610 Quelle aurait eacuteteacute lerreur de quantication si on navait pas appliqueacute legain de 23 agrave la sortie du premiegravere eacutetage

Question 13611 Proposer une impleacutementation possible en utilisant 3 eacutetages pour le CANde notre application 5G

Bibliographie

[1] W R Bennett Spectra of quantized signals Bell Systems Technical Journal Jul 1948

[2] P Jespers Integrated Converters D to A and a to d Architectures Analysis and Simu-lation Oxford University Press Jan 2001

[3] F Maloberti Data Converters Springer 2007

[4] R Schreier and G Temes Understanding Delta-Sigma Data Converters Wiley-Interscience 2005

Chapitre 14

TP Conversionanalogique-numeacuterique (Preacutesentiel)

141 Introduction

Dans les TPs preacuteceacutedents nous avons impleacutementeacute dans le domaine analogique des eetsmusicaux tels que la distorsion le Tremolo et leet WahWah Dautres pheacutenomegravenes tels queloctaver 1 ou lecho simpleacutementent plus facilement dans le domaine numeacuterique Un eacuteleacutementcleacute dune telle chaicircne est le convertisseur analogique-numeacuterique (CAN) et sera ainsi le sujetprincipal de ce TP

Pour rappel le signal de la guitare a une bande passante de 20 kHz et nous souhaitonsle numeacuteriser avec un SNR minimum de 90 dB an de garantir une bonne qualiteacute audio pour

1 Loctaver est un eet audio qui a pour but de transposer agrave une ou plusieurs octaves en dessous ou au-dessus la tonaliteacute du signal entrant Pour mieux comprendre cet eet vous pouvez regarder la videacuteo suivantehttpswwwyoutubecomwatchv=sdnT31AONis

148CHAPITRE 14 TP CONVERSION ANALOGIQUE-NUMEacuteRIQUE (PREacuteSENTIEL)

DSP DSP

12timesFe

12timesF primee

-F primee2 F prime

OSR =F primee

2timesBw

le signal Pour respecter le theacuteoregraveme deacutechantillonnage il faut eacutechantillonner ce signal agrave aumoins 40 kEs (kilo-eacutechantillonss)

Les expeacuterimentations utiliseront le logiciel Octave dune part et la plateforme dacquisitionADALM 1000 dautre part

142 CAN Flash

Dans cette partie on deacutesire impleacutementer ce convertisseur en utilisant larchitecture Flash(Voir section 1341) On montre dans le cours que le SNR maximal dun CAN Nyquist peutsexprimer en fonction dun nombre de bit de quantication n par

SNRdB asymp 602n+ 176

Question 1421 Charger le chier flashm dans leacutediteur de Octave Fixer le nombre debit n dans le script en utilisant la formule du SNR et visualiser le signal en sortie ainsi queson spectre Comparer le SNR pratique au SNR theacuteorique

Question 1422 En vous appuyant sur le cours discuter les deacutesavantages dune telle im-pleacutementation

Pour reacuteduire la complexiteacute de notre CAN on deacutecide de faire dusur-eacutechantillonnage En dautre termes au lieu deacutechantillonner le signal agrave 2 fois la bandepassante en loccurrence 40 kHz (2 times 20 kHz) on va eacutechantillonner le signal agrave OSR (over-sampling ratio) fois 40 kHz Ceci aura pour eet deacutetaler le bruit de quantication sur uneplage de freacutequence plus large comme illustreacute agrave la Fig 142 et donc de reacuteduire le niveau debruit dans la bande utile On pourra ensuite appliquer un ltrage passe bas dans le domainenumeacuterique pour eacuteliminer le bruit pour les freacutequences supeacuterieures agrave BW

Lorsquil y a sur-eacutechantillonnage le SNRmaximal peut ecirctre exprimeacute en fonction du nombrede bit n et du coecient de sur-eacutechantillonnage OSR = Fs

2timesBW par

SNRdB asymp 602n+ 176 + 10 log10(OSR)

Question 1423 En deacuteduire la nouvelle valeur de n neacutecessaire pour lobtention de la reacuteso-lution cibleacutee avec une freacutequence deacutechantillonnage de 4 MHz ou un OSR de 100

143 CONVERTISSEUR Agrave APPROXIMATIONS SUCCESSIVES SAR 149

C2C4C2nminus1C C

V re f2

Logique

de controcircleSAR

minusV re f2

V re f2

Question 1424 Fixer OSR agrave 100 dans le chier flashm et n agrave la valeur obtenue dansla question preacuteceacutedente Visualiser le signal en sortie ainsi que son spectre Comparer le SNRpratique au SNR theacuteorique

Ainsi le sur-eacutechantillonnage permet de reacuteduire la surface du circuit eacutelectronique en dimi-nuant le nombre de comparateurs neacutecessaires agrave lobtention du SNR cible Cette diminutiondu nombre de composants se fait au coucirct dune freacutequence deacutechantillonnage signicativementaugmenteacutee (4MHz en loccurrence) et nest pas susante pour rendre cette solution utilisableEn fait les convertisseurs Flash sont plutocirct utiliseacutes pour la conversion des signaux large bandes(plusieurs centaines de MHz) agrave faible reacutesolution (6 agrave 8 bits) Pour la conversion des signauxaudio 2 architectures de CAN sont tregraves largement utiliseacutees les architectures Sigma Deltaet les architectures agrave approximations successives connues sous le nom darchitectures SAR 2Nous proposons dutiliser cette derniegravere pour la conversion de notre signal audio

143 Convertisseur agrave approximations successives SAR

Le principe de fonctionnement de larchitecture SAR comme son nom lindique consiste agravereacutealiser la conversion avec des approximations successives(section 1342) Le script SAR_principempermet dillustrer la logique de fonctionnement de ce CAN Chargez le chier pensez agrave unentier entre 0 et 100 reacutepondez aux questions successives qui apparaissent sur la fenecirctre descommandes

Question 1431 Quelle est lapproche utiliseacutee par le script et donc par les CAN SAR pourretrouver votre chire et combien diteacuterations ont eacuteteacute requises pour atteindre cet objectif

Pensez agrave preacutesent agrave un chire entre 0 et 1000 changer dans le script max agrave 1000

Question 1432 Combien diteacuterations sont neacutecessaires pour faire la conversion pour cettenouvelle plage de valeur Proposez une approche theacuteorique qui permet de lier le nombre diteacute-rations agrave la plage

Une impleacutementation possible de larchitecture SAR est illustreacutee dans la gure 143 Endeacutebut de chaque peacuteriode de conversion le signal dentreacutee V e est eacutechantillonneacute en connectanttoutes les capaciteacutes entre V e et la masse La deacutetermination du signal de sortie numeacuterique sefera sur n sous-cycles en allant du bit du poids fort b1 au bit du poids faible bn Pendant cessous-cycles suivants V e est deacuteconnecteacute et cycle par cycle les capaciteacutes sont connecteacutees agrave V ref

1 si resi gt

V ref2

0 sinon

2 Successive Approximation Register

resi+1 =

resi minus V ref

2i+1 si bi = 1

res1 = V e

biV ref

2i+V ref

Question 1433 En vous appuyant uniquement sur les eacutequations ci-dessus dans un premiertemps expliquer pourquoi larchitecture de la gure 143 permet dimpleacutementer une approchesimilaire que celle suivie dans SAR_principem

Question 1434 Deacuteterminer les valeurs de resi et de bi pour i de 1 agrave 4 pour un CANSAR 4-bit de dynamique dentreacutee 0 agrave 4 V (Tension de reacutefeacuterence V ref = 4 V) pour un signaldentreacutee V e de 13 V Calculer aussi lerreur de quantication

Question 1435 Charger le chier SAR_statiquem comparer les reacutesultats obtenus dans laquestion preacuteceacutedente aux reacutesultats de simulation

Question 1436 Faites lanalyse du fonctionnement du circuit en eacutetudiant la conservationde charges entre les dieacuterentes phases Deacuteterminer la conguration nale dun CAN SAR 4bit pour un V e de 13 V

Les contraintes en vitesse sur le comparateur ainsi que sur le reacuteseau capacitif sont xeacuteespar la dureacutee du sous-cycle

Question 1437 Deacuteterminer la dureacutee du sous-cycle pour assurer un signal en sortie de40 kES avec une reacutesolution de 90 dB

Question 1438 Charger le script SAR_dynamiquem qui permet de reacutealiser une simulationdun CAN SAR pour une entreacutee dynamique Reacutegler la dureacutee du sous-cycle Tsc agrave la valeurobtenue dans la question preacuteceacutedente Relever la valeur du SNR

Question 1439 En vous appuyant sur les analyses et simulations faites dans cette sectioncomparer briegravevement larchitecture SAR agrave celle dun Flash

144 Numeacuterisation et eets musicaux

Pour les expeacuterimentations nous allons utiliser la plateforme ADALM 1000 3 illustreacutee dansla Figure 144 Elle integravegre deux CANs SAR AD7682 dont les performances sont en adeacutequa-tion avec nos speacutecications Elle integravegre eacutegalement une partie numeacuterique (micro-controcircleur etinterface USB) qui permet de transfeacuterer les donneacutees numeacuteriseacutees agrave lordinateur La freacutequencedeacutechantillonnage fe sera xeacutee agrave 40 kHz Le CAN a une plage dentreacutee de 0 agrave 4 V LADALM1000 est installeacute sur une maquette qui facilite les interconnections avec les instruments demesure Le fonctionnement de cette maquette est deacutetailleacute dans lannexe A2

Nous allons commencer par tester le CAN SAR avec un signal sinusoiumldal Charger lechier Acq_Dynm qui vous permettra de visualiser le signal de sortie en temporel ainsi queson spectre

Question 1441 Appliquer un signal sinusoiumldal de freacutequence 5 kHz et dun oset de 2 V agravelentreacutee du CAN 4 Faites varier lamplitude de 025 Vpp agrave 4 Vpp (en passant par 05 Vpp1 Vpp et 2 Vpp) relever la valeur du SNDR pour chaque mesure et analyser sa variation enfonction de lamplitude

3 (https wikianalogcomuniversitytoolsm1k)4 Pour cette manipulation connectez le geacuteneacuterateur agrave une des entreacutees BNC de la maquette et connectez la

sortie pointe correspondante agrave lentreacutee CH A

144 NUMEacuteRISATION ET EFFETS MUSICAUX 151

Figure 144 Adalm 1000

Nous allons agrave preacutesent numeacuteriser le signal de la guitare 5 Pour rappel le signal issu de laguitare a une dynamique de plusmn250 mV avec une tension moyenne nulle Freacutequentiellement cesignal pourrait avoir des composantes sur un spectre allant de 50 Hz agrave 20 kHz An de bienproter de la dynamique dentreacutee du CAN (0 agrave 4 V) nous utiliserons lamplicateur conccediludans le TP1 (gure 145) qui permet damplier le signal de la guitare par environ un facteur6 agrave 7 et de le centrer autour de 2 V Un circuit identique a eacuteteacute disposeacute sur la breadboard dela maquette de lADALM Limpeacutedance dentreacutee du CAN est de 1 MΩ permettant ainsi dedirectement connecter lamplicateur sans passer par un circuit tampon (driver) Notez aussique la capaciteacute C1 a eacuteteacute modieacutee 100 nF au lieu de 10 nF an de reacutesoudre le problegraveme dela freacutequence de coupure basse releveacute pendant le TP1 Avec cette nouvelle valeur de capaciteacutela freacutequence de coupure est de 34 Hz compareacutee agrave 340 Hz pour une capaciteacute de 10 nF

R2= 0 - 100 K Ω

C1=100 nFV g

Rd = 10 KΩR1 = 100 KΩ

Question 1442 Charger le chier Acq_Guitarem La variable Compteur vous permet dereacutegler le retard entre le lancement du programme et le deacutebut de lacquisition La dureacutee de len-registrement est xeacutee agrave 125 s Si vous souhaitez reacute-eacutecouter votre acquisition il vous sut de

taper soundsc(yfe) dans votre console Une fois que vous ecirctes satisfaits de votre enregis-trement xez la variable Acquisition agrave 0 pour arrecircter de faire de nouvelles acquisitions

Le premier eet musical que nous allons mettre en place est loctaver Leet voulu estde transposer le signal vers une octave infeacuterieure ou supeacuterieure La fonction smbPitchShift

permet dimpleacutementer cet eet

Question 1443 Tester la fonction smbPitchShift Ajuster la variable shift agrave 05 pourtransposer agrave loctave en dessous et agrave 2 pour loctave au dessus Une note do de la 5emeoctave a son harmonique principal agrave une freacutequence fdo 10465 Hz et des harmoniques agrave desmultiples de cette freacutequence Quelle serait la composition freacutequentielle du signal dans le casdune transposition vers le haut ou vers le bas

Question 1444 Impleacutementer un autre eet musical tel que leacutecho en expliquant lapprochesuivie pour le faire

Chapitre 15

TP Conversionanalogique-numeacuterique (Distanciel)

151 Introduction

Dans les TPs preacuteceacutedents nous avons impleacutementeacute dans le domaine analogique des eetsmusicaux tels que la distorsion le tremolo et leetWahWah Dautres eets tels que loctaver 1

ou leacutecho simpleacutementent de maniegravere assez complexe en analogique mais assez facilement dansle domaine numeacuterique Un eacuteleacutement cleacute dune telle chaicircne est alors le convertisseur analogique-numeacuterique (CAN) et sera ainsi le sujet principal de ce TP

Pour rappel le signal de la guitare a une bande passante de 20 kHz et nous souhaitons lenumeacuteriser avec un SNR minimum de 90 dB an de garantir une bonne qualiteacute audio Pour

154 CHAPITRE 15 TP CONVERSION ANALOGIQUE-NUMEacuteRIQUE (DISTANCIEL)

DSP DSP

12timesFe

12timesF primee

-F primee2 F prime

OSR =F primee

2timesBw

respecter le theacuteoregraveme deacutechantillonnage il faut eacutechantillonner ce signal agrave au moins 40 kEs(kilo-eacutechantillonss)

Les expeacuterimentations utiliseront le logiciel de calcul GNU Octave 2 Toutes les ressourcespour suivre le TP ainsi quun canevas pour le compte-rendu sont disponibles dans larchivecompresseacutee TP_Conversionzip que vous pouvez teacuteleacutecharger sur le site web de lUE httpsc2stelecom-paristechfrELEC101documentsTP

152 CAN Flash

Dans cette partie on deacutesire impleacutementer ce convertisseur en utilisant larchitecture Flash 3On montre dans le cours que le SNR maximum dun CAN Nyquist peut sexprimer en fonctiondun nombre de bit de quantication n par

SNRdB asymp 602n+ 176 (1)

Question 1521 Charger le chier flashm dans leacutediteur de GNU Octave Fixer le nombrede bit n dans le script 4 en utilisant la formule du SNR et visualiser le signal en sortie ainsique son spectre Comparer le SNR pratique au SNR theacuteorique

Pour reacuteduire la complexiteacute de notre CAN on deacutecide de faire du sur-eacutechantillonnage Endautre termes au lieu deacutechantillonner le signal agrave 2times la bande passante en loccurrence 40 kHz(2 times 20 kHz) on va eacutechantillonner le signal agrave OSRtimes40 kHz 5 Ceci aura pour eet deacutetaler lebruit de quantication sur une plage de freacutequence plus large comme illustreacute agrave la Fig 152 etdonc de reacuteduire le niveau de bruit dans la bande utile On pourra ensuite appliquer un ltragepasse-bas dans le domaine numeacuterique pour eacuteliminer le bruit pour les freacutequences supeacuterieures agraveBW

Lorsquil y a sur-eacutechantillonnage le SNR maximum sexprime en fonction du nombre debit n et du coecient de sur-eacutechantillonnage OSR = Fs

2timesBW par

SNRdB asymp 602n+ 176 + 10 log10(OSR) (2)

2 Clone open source de Matlab3 Pour rappel la section 1341 du cours donne les deacutetails de cette architecture de CAN4 Dans le code nombre de bit n est repreacutesenteacute par la variable M5 OSR est le sigle de oversampling ratio qui signie coecient de sur-eacutechantillonnage

153 CONVERTISSEUR Agrave APPROXIMATIONS SUCCESSIVES (SAR) 155

Question 1523 En deacuteduire la nouvelle valeur de n neacutecessaire agrave lobtention de la reacutesolutioncibleacutee avec une freacutequence deacutechantillonnage de 4 MHz cest agrave dire un OSR de 100

Ainsi le sur-eacutechantillonnage permet de reacuteduire la surface du circuit eacutelectronique en dimi-nuant le nombre de comparateurs neacutecessaires agrave lobtention du SNR cible Cette diminutiondu nombre de composants se fait au coucirct dune freacutequence deacutechantillonnage signicativementaugmenteacutee (4 MHz en loccurrence) et nest pas susante pour rendre cette solution inteacuteres-sante dun point de vue impleacutementation En fait les convertisseurs Flash sont plutocirct utiliseacutespour la conversion des signaux large-bandes (plusieurs centaines de MHz) agrave faible reacutesolution(6 agrave 8 bits) Pour la conversion des signaux audio deux architectures de CAN sont tregraves lar-gement utiliseacutees les architectures Sigma Delta (Σ∆) et les architectures agrave approximationssuccessives connues sous le nom de CAN SAR 6 Nous choisissons dutiliser cette derniegraverepour la conversion de notre signal audio

153 Convertisseur agrave approximations successives (SAR)

Le principe de fonctionnement de larchitecture SAR comme son nom lindique consiste agravereacutealiser la conversion avec des approximations successives 7 Le script SAR_principem permetdillustrer la logique de fonctionnement de ce CAN Chargez le chier pensez agrave un entier entre0 et 100 et reacutepondez aux questions successives qui apparaissent sur la fenecirctre des commandes

Question 1531 Quelle est lapproche utiliseacutee par le script (et donc par les CAN SAR) pourretrouver votre chire Combien diteacuterations ont eacuteteacute requises pour atteindre cet objectif

1 si resi gt

V ref2

0 sinon

resi+1 =

resi minus V ref

2i+1 si bi = 1

res1 = V e

y =nsum

biV ref

2i+V ref

6 Successive Approximation Register7 Pour rappel la section 1342 du cours donne les deacutetails de cette architecture de CAN

C2C4C2nminus1C C

V re f2

Logique

de controcircleSAR

minusV re f2

V re f2

Question 1534 Deacuteterminer les valeurs de resi et de bi pour i de 1 agrave 4 pour un CAN SAR4-bit de dynamique dentreacutee 0 agrave 4 V (Tension de reacutefeacuterence V ref =4 V) pour un signal dentreacuteeV e =13 V Calculer aussi lerreur de quantication

Question 1536 Faites lanalyse du fonctionnement du circuit en eacutetudiant la conservationde charges entre les dieacuterentes phases Deacuteterminer la conguration nale dun CAN SAR4 bits pour V e =13 V

Question 1537 Deacuteterminer la dureacutee du sous-cycle pour assurer un signal en sortie de40 kEs avec une reacutesolution de 90 dB

154 Eets musicaux

Malheureusement nous ne pourrons pas faire lacquisition avec une plateforme mateacuteriellevu quon fait ce TP en distanciel Ceci dit vous pouvez bien eacutevidement utiliser le microphonede votre ordinateur pour faire lacquisition dun signal issu dun instrument de musique et lesauvegarder avec un format wav En fait la chaine dacquisition dans votre ordinateur estsimilaire agrave celle quon aurait impleacutementeacute en TP (Un amplicateur suivi dun ltre suivi dunCAN)

Proceacutedez agrave lacquisition du signal sous GNU Octave en utilisant le script AcquisitionmLe chier wav peut ecirctre le chier que vous avez enregistreacute vous-mecircme un chier de votrebibliothegraveque personnelle ou un des chiers fournis avec les scripts du TP

154 EFFETS MUSICAUX 157

Question 1541 Tester la fonction smbPitchShift Ajuster la variable shift agrave 05 pour transposer agrave loctave infeacuterieure 2 pour loctave supeacuterieure

Une note do de la 5egraveme octave a son harmonique principal agrave une freacutequence fdo5 = 10465 Hz etdes harmoniques agrave des multiples de cette freacutequence Quelle serait la composition freacutequentielledu signal dans le cas dune transposition vers le haut ou vers le bas Donnez la valeur delharmonique 3 pour chaque cas de transposition

Chapitre 16

Travaux Dirigeacutes MoDem ADSL

161 Geacuteneacuteraliteacutes

LADSL ore des services numeacuteriques rapides sur le reacuteseau cuivreacute existant en superpositionet sans interfeacuterence avec le service teacuteleacutephonique analogique traditionnel La gure 161 preacutesenteles bandes de freacutequence occupeacutees par les dieacuterents services

Le service teacuteleacutephonique classique occupe la bande 0 agrave 4 kHz Le service multimeacutedia ADSL en liaison montante occupe 27 canaux de largeur 43 kHz

agrave partir de 25 kHz Le service multimeacutedia ADSL en liaison descendante occupe 223 canaux de largeur 43

kHz jusquagrave la freacutequence maximale de 11 MHz

43 kHz

canal utile4 kHz

canal avec bandes de garde141125

Signal POTSLien Montant

Signal POTSLien Descendant

1100f(kHz)

f(kHz)

27 canaux2 le N le 6

Figure 161 Allocation des freacutequences pour les signaux transmis sur une paire torsadeacutee

Cette reacutepartition des canaux permet au client de recevoir du serveur bien plus dinforma-tions quil est capable den geacuteneacuterer Chaque sous-canal preacutesente une modulation damplitude

160 CHAPITRE 16 TRAVAUX DIRIGEacuteS MODEM ADSL

en quadrature (QAM) sur 2N niveaux N variant entre 2 et 15 pour la liaison descendanteet entre 2 et 6 pour la liaison montante Une plus grande preacutecision est transmise en liaisondescendante car le signal atteacutenueacute en bout de ligne est moins soumis agrave la diaphonie chez leclient quau niveau du central teacuteleacutephonique La superposition des signaux de lensemble descanaux geacutenegravere un symbole DMT (Discrete Multi Tone) et la dureacutee de chaque symbole estxeacutee agrave 250micros

Question 1611 Quel est le deacutebit theacuteorique maximal de la ligne (en liaison montante etdescendante)

Les deacutebits reacuteels sont xeacutes par autotest en fonction de leacutetat de la ligne Certains sous-canaux peuvent ecirctre inutilisables ou le nombre de niveaux par sous-canal peut ecirctre reacuteduit Laqualiteacute susante pour quun symbole DMT puisse contenir 15 bits par sous-canal correspondagrave un SNR par canal de 80 dB Le SNR (Signal to Noise Ratio) correspond au rapport entrela puissance utile dun sous canal et la puissance du bruit agrave la mecircme freacutequence

162 Numeacuterisation dun signal ADSL liaison descendante

Nous eacutetudions la transmission de donneacutees du central teacuteleacutephonique vers le particulier surla boucle locale Le signal circule sur une paire torsadeacutee en cuivre et linformation complegraveteveacutehiculeacutee est preacuteleveacutee grace agrave un coupleur A partir de lagrave le signal analogique doit ecirctrenumeacuteriseacute car lensemble du traitement de deacutemodulation est eectueacute en numeacuterique

Question 1621 Sachant que le signal preacuteleveacute en bout de ligne est atteacutenueacute et bruiteacute quelssont les trois eacuteleacutements fondamentaux que contient la chaicircne de numeacuterisation

163 Filtrage

Un ltre (splitter) est utiliseacute pour seacuteparer les signaux ADSL liaison descendante des si-gnaux POTS (Plain Old Telephone Service) Latteacutenuation fournie en bande atteacutenueacutee doitreacuteduire le signal teacuteleacutephonique classique de 60 dB Latteacutenuation maximale autoriseacutee dans labande passante est de 1 dB

Question 1631 Deacuteterminer le gabarit du ltre de seacutelection de bande

Question 1632 Pour reacutealiser ce ltrage on utilise un ltre actif passe-haut Butteworthdordre n Montrer que latteacutenuation de ce ltre agrave la freacutequence f A(f) peut se mettre sous laforme

A(f) = 10 middot log10

Question 1633 Deacuteterminer les valeurs de f0 et n (entier) pour respecter le gabarit voulu

Question 1634 Justier que la bande transmise en hautes freacutequences par le ltre reacuteel nestpas innie

164 Amplication

Les standards ADSL deacutenissent les niveaux de puissance des signaux transmis en liai-son descendante Les densiteacute spectrales de puissance reccedilues dans les 223 sous-canaux sontquasiment identiques et comprises entre 125middot10minus7 V2Hz et 2middot10minus6 V2Hz 1 en fonction de

1 La densiteacute spectrale devrait sexprimer en toute rigueur en V2Hzminus1 middotΩminus1 ce qui est eacutequivalent agrave WHzmais il est courant de lexprimer en V2Hz si on considegravere une reacutesistance de conversion constante

165 CONVERSION 161

latteacutenuation de la boucle qui deacutepend principalement de sa longueur Nous savons aussi quepour toute la plage de latteacutenuation de la boucle le rapport entre la tension maximale Vpeak etla tension ecace Vrms du signal reccedilu est de 8 dB Lobjectif de lamplicateur est damplierles symboles DMT an doccuper linteacutegraliteacute de la pleine eacutechelle du convertisseur analogiquenumeacuterique de plusmn4 V

Question 1641 Calculer la tension ecace pour la plage des puissances reccedilues Nous rap-pelons que la puissance est linteacutegrale de la densiteacute spectrale de puissance sur la bande defreacutequence dinteacuterecirct

Question 1642 Deacuteduisez-en la plage de tension maximale Vpeak que nous avons agrave lentreacuteede lamplicateur

Question 1643 Expliquer pourquoi il serait judicieux dutiliser un amplicateur agrave gainprogrammable (PGA) et donner la plage des valeurs de son gain en dB

165 Conversion

Un convertisseur analogique numeacuterique (CAN) assure la numeacuterisation des symboles DMTVu le faible rapport entre la freacutequence maximale du signal et sa bande passante on deacutecide defaire la numeacuterisation sans transposition de freacutequence

Question 1651 Quelle est la freacutequence minimale pour leacutechantillonnage du signal en en-treacutee

Dans le budget de bruit du systegraveme 50 sont alloueacutes au CAN

Question 1652 Calculer la reacutesolution minimale (en dB) requise pour le CAN

Dans le budget du CAN 30 sont alloueacutes au bruit de quantication (Les 70 restantssont alloueacutes aux autres imperfections et bruit du CAN)

Question 1653 Calculer le nombre de bits de quantication neacutecessaire pour le CAN

Annexe A

Maquette de Prototypage

A1 Maquette de prototypage geacuteneacuterique

Pour les TP1 et TP3 nous utiliserons la maquette de prototypage illustreacutee dans la -gure A1 Cette maquette contient dans sa partie centrale 2 supports agrave circuits de 20 brocheschacun Les connecteurs mini-banane numeacuteroteacutes de 1 agrave 20 sur le bas et le haut de la maquettepermettent de se connecter aux broches des circuits inteacutegreacutes quon disposerait dans les sup-ports agrave circuits De part et dautre des supports agrave circuits vous disposez de 2 zones avec desconnecteurs mini-banane que vous pourrez utilisez pour disposer vos composants (reacutesistancescondensateurs inductances) Les connecteurs relieacutes par un trait en vert fonceacute sont connecteacutesentre eux Par ailleurs tous les connecteurs partageant le mecircme nom (Vdd Gnd et Vss) sontdeacutejagrave connecteacutes entre eux Enn pour interfacer la carte avec les instruments de mesure vousdisposez de 4 entreacuteessorties BNC (S1 S2 S3 et S4) Ces connecteurs sont respectivementrelieacutes aux connecteurs mini-banane qui se trouvent agrave leur proximiteacute 1

Figure A1 Maquette de prototypage geacuteneacuterique

1 La masse de tous connecteurs BNC est connecteacutee agrave la masse de la maquette (le noeud Gnd)

164 ANNEXE A MAQUETTE DE PROTOTYPAGE

A2 Maquette Convertisseur Analogique Numeacuterique

Pour le TP4 nous utiliserons la maquette illustreacutee dans la gure A2 Le composant prin-cipal de la maquette est la plateforme ADALM 1000 Cette plateforme comprend 2 Conver-tisseurs Analogiques Numeacuteriques du type SAR Leurs entreacutees respectives sont les brochesCH A et CH B La plateforme ADALM 1000 integravegre eacutegalement une partie numeacuterique (micro-controcircleur et interface USB) qui permet de transfeacuterer les donneacutees numeacuteriseacutees agrave lordinateurLinterface USB permet aussi dalimenter la plateforme Sur la partie basse de la plateformenous avons disposeacute une carte dexpeacuterimentation (breadboard) quon utilisera pour mettre enoeuvre des circuits en amont du Convertisseur Analogique Numeacuterique Sur la partie gauchede la maquette nous avons disposeacute 4 connecteurs BNC pour se connecter aux instrumentsde mesure Les signaux des connecteurs BNC sont respectivement relieacutees aux ls de couleursagrave proximiteacute Les masses des 4 connecteurs BNC sont connecteacutees entre elles et sont relieacuteesau l noir Ainsi pour faire une acquisition il sut de connecter le l de couleur associeacute auconnecteur BNC auquel vous vous ecirctes brancheacutes agrave lentreacutee du CAN de votre choix (CH A ouCH B) et de connecter le l noir agrave la masse de la carte la broche Gnd

Figure A2 Maquette Convertisseur Analogique Numeacuterique

Avant propos

Introduction agrave leacutelectronique des systegravemes dacquisition

Amplification Elementaire

Amplificateur diffeacuterentiel et opeacuterationnel

TP Amplification (Preacutesentiel)

TP Amplification (Distanciel)

Electronique analogique agrave temps discret

TP Circuits agrave capaciteacutes commuteacutees (Preacutesentiel et distanciel)

Filtrage analogique

TP Conversion analogique-numeacuterique (Preacutesentiel)

TP Conversion analogique-numeacuterique (Distanciel)

Table des matiegraveres

Avant propos 5

1 Introduction agrave leacutelectronique des systegravemes dacquisition 7

2 Transformeacutee de Laplace 19

3 Amplication Elementaire 41

4 Amplicateur dieacuterentiel et opeacuterationnel 55

5 Echantillonnage et Transformeacutee en Z 67

6 TP Amplication (Preacutesentiel) 81

7 TP Amplication (Distanciel) 85

8 Electronique analogique agrave temps discret 91

9 TP Circuits agrave capaciteacutes commuteacutees (Preacutesentiel et distanciel) 99

10 Filtrage analogique 105

11 TP Filtrage analogique (Preacutesentiel) 121

12 TP Filtrage analogique (Distanciel) 127

13 Conversion analogique-numeacuterique 133

14 TP Conversion analogique-numeacuterique (Preacutesentiel) 147

15 TP Conversion analogique-numeacuterique (Distanciel) 153

16 Travaux Dirigeacutes MoDem ADSL 159

A Maquette de Prototypage 163

Avant propos

Objectifs

Chapitre 1

11 Avant-propos

12 Introduction

coaxialfibre

radiofrequences)

images

capteurs

Deacutenition

une liaison laire

Deacutenition

G G CAN

Oscillateur

numerique

143 Modem ADSL

puissance spectrale

frequence

LigneF iltre

numerique

analogique

Amplificateur

F iltreanalogique

Amplificateur

Interf

hybride

Interf

versDSP

Emetteur

Recepteur

Bibliographie

v=Jctk0DI7YP8

Chapitre 2

Signal dentreacutee

Reacuteponse

Signal de sortie

Valeur du signal

Systegraveme

Signaux

Amplitude

Continu

x (t )

Signal analogique

xq (t )

Discret

x (t k)≝x [k ]

xq (t k)=xq [k ]

u(t) =

0 si t lt 0

1 si t ge 0u[k] =

0 pour k lt 0

δ(t) =

0 si t 6= 0

0 pour k 6= 0

Systegravemes

y = H(x) (2)

Modeacutelisation

aiH (xi) (3)

x et y continus

RCy(1)(t) + y(t) = u(t)

Figure 25 Filtre RC

b0y(t) + b1y(1)(t) + + bny

-4 -2 0 2 4 6

y[k] = minusnsum

-4 -2 0 2 4 6

x [k ] y (t)

-4 -2 0 2 4 6

Deacutemonstration

Temps discret

x[k] =sum

y[k] =sum

Temps continu

minus τ2

δτ (t )

δ(t )=limτrarr0

δτ (t )

Figure 29

x(t) sum

x(t) =

int +infin

x(t) =

int +infin

y(t) =

int +infin

y[k] =+infinsum

X(ω) =

int +infin

X(p) =

int +infin

Fourier Laplace

Figure 210

F (p) =

int +infin

F (p) =1

αminus p[

Figure 211

exp(αt)

TL(u) =

int infin

=[minus 1

peminustp

]infin0minus

TL(u) =1

Impulsion de Dirac

TL(δ) =

int infin

TL(δ) = 1 (28)

TL(f) =

int infin

minuspplusmn jω0

]infin0minus

TL(f) =1

Lineacuteariteacute

aixi(t)

ai TL [xi(t)] (33)

TL [cos(ω0t)] = TL

2(pminus jω0)+

2(p+ jω0)=

p2 + ω20

TL [sin(ω0t)] = TL

2j(p+ jω0)=

p2 + ω20

TL[x(αt)] =1

αX( pα

[dx(t)

[int t

0minusx(τ) dτ

pX(p) (38)

f1(t) = t u(t) =

pTL(u(t)) =

p2(39)

f2(t) = t2 u(t) = 2

pTL(t u(t)) =

p3(40)

fn(t) = tn u(t) = n

pTL(fnminus1(t)) =

pn+1(41)

dp(42)

int infin

pX(p) dp (43)

eαt x(t)]

= X(pminus a) (45)

TL [x(t)] =1

1minus eminusTp

limtrarr0+

pX(p) (48)

limtrarr+infin

pX(p) (49)

X(p) =5p+ 3

p(p+ 1)(50)

pX(p) =5p+ 3

p+ 1et

x(t) =1

int σ0+jinfin

F (p) =N(p)

D(p)(53)

F (p)N(p)prodn

(p2 + ep+ f

)m E1p+F1

p2+ep+f+ E2p+F2

Deacuterivationd

dtx(t)

0x(u)du

Division1

X(p) =N(p)prodn

p = σ0 (56)

ϕ(t) = k exp (σ0t) (57)

Stabiliteacute

int +infin

Exemples

EBSB H(p) = 2p+3

termes

Tension u(t) U(p)

Courant i(t) I(p)

I(p) = R

C=1Fve (t )

v s(t )

(a) Circuit RC

1 t (s)

Ve(p) =1

p2minus 1

p2eminusp =

(1minus eminusp

vs0 = vs (0minus)

Vs(p) =1

CpIC(p) +

Vs(p) +RIC(p) = Ve(p) (64)

=Ve(p) + vs0p+ 1

Vs(p) =1

(1minus eminusp

)+ vs0

F1(p) =1

(p+ 1)p2=

p+ 1minus 1

p2=rArr f1(t) =

)u(t) (68)

F2(p) =vs0

minustu(t) (69)

1 t (s)

24 Exercices TL

BIBLIOGRAPHIE 39

avec a = 1 + R2R1

et τ = RC

Bibliographie

4XsODQAAQBAJ

Chapitre 3

31 Introduction

A =partVspartVe

Transistor MOSFET

ouvert

RT+RdV DD

Gain grand signal

A =∆Vs∆Ve

V g Rdve

gm middot ve

A(jω) =vs(jω)

ve(jω)(6)

Produit gain-bande

A(j2πf) = A01

1 + j ffc

3 dB 6 dB oct

12 dB oct

fminus180deg

33 Sources derreur

331 Bruit

10 -2 10 0 10 2 10 4 10 6

f(MHz)

PGB1x10 GHz=10 GHz

332 Distorsion

2︸︷︷︸V0

2︸︷︷︸V2

HD2minuslin =

∣∣∣∣V2

∣∣∣∣ (13)

THDlin =

|V1|(14)

THDdB = 20 log10

V 2rmsminusbruit

SNRdB = 10 log10

(PsignalPBruit

SNDRlin =PSignal

(V 22 + V 2

Et donc nous avons

Rd1 Rd2

BIBLIOGRAPHIE 53

Bibliographie

Chapitre 4

Vminuse Aminus

Vminuss

Ad =A+ +Aminus

e )3 (4)

e + 2δ middot (V +e )3 (6)

Eminus

Zs = 0

= 0 Ad = Ac et

Ac Ec AdEd +

Oset nul

Ve(ω) e(ω)A(ω)

Vs(ω)

On en deacuteduit

Vs(jω) =A(jω)

Vs(jω)

Ve(jω)=

R(jω)(12)

A(jω) =ADC

1 + j ωωc(13)

HBF (jω) =A(jω)

HBF =ADC

1 + j ωωc

1 +R ADC1+j ω

1 +R middotADC1

ou donc

HBF = HBFminusDC1

HBFminusDC =ADC

1 +R middotADC(17)

soituprime =

1 +A(p) middotR(p) = 0 (20)

VminusVe

A(p) =Vs

HBF (p) =Vs(p)

Ve(p)=

1 +A(p)(22)

p = minusADC + 1

τ(23)

Vminus

Vsminusaop

A2(p) = A2DC

1+τ2 p

VminusVeVsminusaop

VminusVsminusaop

A1(p) = A1DC

1+τ1 p

Etage 1 Etage 2

A(p) = A1(p)A2(p) = A1DCA2

DC(1+τ1 p)(1+τ2 p)

A(p) = Vsminusaop

radicminus∆

2DC (24)

HBF (jω) =A(jω)

e(ω)A(ω)

VeminusBO(ω)

VsminusBO(ω)

MP = Φ(ωT ) + π (30)

in=Iminusin

Z2I+in

Iminusin

R1et H = Z1

BIBLIOGRAPHIE 65

A(p) =Ao

(1 + τ1 p)(1 + τ2 p)avec τ1 τ2

Bibliographie

Chapitre 5

51 Echantillonnage

+infinsum

x(t)xlowast(t) (t)

+infinsum

xlowast2(t) =

+infinsum

=+infinsum

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

time (s)

x1(t) cont f1=3 Hz

x2(t) cont f2=13 Hz

Peigne de Dirac

x1(nTe) Ech f1=3 Hz

Te(t) = fe

+infinsum

TF Te(t) = (f) =

+infinint

minusinfinTe(t)e

minusj2πftdt = fe

+infinsum

Xlowast(f) = fe

+infinsum

k=minusinfin

+infinsum

feminus fe

X( f )

=Xlowast( f )

BwminusBw

feminus fe

X( f )

=Xlowast( f )

BwminusBw

minus fe

fe 2 feminus2 fe

1minus1

X( f )

n =minus2

Xlowast( f )

f ( f1)

f ( f1)n = 2

f ( f1)

n =minus1

f ( f1)

n = 1f ( f1)

f ( f1)

1minus1

X( f )

f ( f1)

f2 = 2 f1

Xlowast( f )

f ( f1)n = 1

f ( f1)

n =minus1

infinsum

F (z) =+infinsumk=0

akz_k =+infinsumk=0

(azminus1

|x [k]| lt Mαk (11)

u [k] zminusk

=+infinsum

zminusk

TZu[k] =1

δ [k] zminusk = 1

TZf [k] =

+infinsum

(eminusαzminus1

TZf [k] =1

nsumi=1

aixi [k]

nsumi=1

x(kTe)zminusk

+infinsum

y [k] =

Y (z) = X (z)Msum

brzminusr (13)

H (z) =Y (z)

X (z)=

Msumr=0

arzminusr

1 +Nsumr=1

brzminusr(14)

H(ejωTe

Msumr=0

areminusjrωT

1 +Nsumr=1

)∣∣ exp (jΦ (ω)) (15)

532 Stabiliteacute

pzzminus1

tu(t) 1p2

Tz(zminus1)2

t2u(t)2

T 2z(z+1)

2(zminus1)3

eminusatu(t) 1p+a

zzminuseminusaT

TzeminusaT

(zminuseminusaT )2

)u(t) a

p2(p+a)Tz

2 eminusatu(t) 1

(p+a)3T 2zeminusaT

(zminuseminusaT )3

minus30 30 f(Hz)

X( f )48 rarr 52-52 rarr -48

x(t)xlowast(t) (t)

BIBLIOGRAPHIE 79

Figure 511

Bibliographie

Chapitre 6

63 Analyse statique

V g Rdve

Rd=10 kΩ

gm middot ve

R2= 0 - 100 kΩ

Rd = 10 kΩ

C1=10 nF Ecouteurs

Oscilloscope

C2=10 nFR1 = 100 kΩ

question 633

Chapitre 7

73 Analyse statique

V g Rdve

Rd=10 kΩ

gm middot ve

p n u m k meg g

2k︸︷︷︸Pas

RB= 0 - 100 kΩ

Rd = 10 kΩ

CA=10 nF

CB=10 nF

REcouteurs

Vaudio

RA = 100 kΩ

Chapitre 8

81 Historique

Te (2)

Ieq =VA minus VBReq

Req =TeC

Cfe (4)

premier ordre

T (ω) =1

1 + jRCω(5)

ou encore

T (f) =1

1 + j2πRCf(6)

e (nTe))

QPC1(nTe) +QPC2

((nminus 12)Te) (8)

((nminus 1)Te) (9)

T11 (z) =V Ps (z)

V Pe (z)

1 + C2C1

V Is (z)

V Pe (z)

=zminus12

1 + C2C1

(1minus zminus1)

T12 (z) =V Ps (z)

V Ie (z)

= 0 T22 (z) =V Is (z)

V Ie (z)

S (ω)

E (ω)= eminusj πf

fe sinc

1 + C2C1

Il vient

T (ω) =1

1 + C2C1

avec la conditionf

feltlt 1

842 Contraintes

Les commutateurs

85 Applications

86 Exercices

861 Exercice 1

862 Exercice 2

BIBLIOGRAPHIE 97

H(jω) minusj ωωc

1 + j ωωc

Bibliographie

Chapitre 9

91 Introduction

+φ2 φ1

φ1Veφ2

T (z) =Vs(z)

Ve(z)=

k zminus1

p n u m k meg g

Nom du modegravele

partxpartt = ωo y

partt(nTe) equiv

partt(n) =

x(n+ 1)minus x(n)

kZminus1

1minusZminus1

minusk2zminus2

kZminus1

1minusZminus1

minusk2zminus1

radic4minus k2

radick2 minus 4

95 Eet Tremolo

Chapitre 10

Filtrage analogique

101 Introduction

Xd(f) =sum

minusFs Fs

fminusB B

FOL FIF

ikj = 0

et i = Cdv

T (p) =

mprodj=1

(pminuszj)nprodi=1

(pminuspi)(1)

pi pocircles

zj zeacuteros

n ordre du ltre

nsumi=1

Cipminuspi + Cn+1

pminusj ω

Cn+1 = [T (p)]p=j ω = T (j ω)

y(t) =nsum

i=1Ci e

infinint

minusinfin

| ln |T (f)||1 + f2

df ltinfin

1024 Gabarits

minusfc fc

|T (f)|

arg[T (f)]

h(t) =infinint

A(Ω) = 10 log10[1 + ε2 Ψ2n(Ω)] |T (Ω)|2 =

1 + ε2 Ψ2n(Ω)

0 1 Ωs Ω

Amin A(Ω) = 10 log10[1 + ε2 Ψ2n(Ω)]

Ψn(1) = 1

Amax = 10 log10(1 + ε2)

10Amax10 minus 1

Tn( ΩsΩ

n pair n impair

Ψn(Ω) = C1

n2prodi=1

Ω2minusΩ2oi

Ω2minusΩ2zi

Ω2minusΩ2oi

Ω2minusΩ2zi

minus110

Butterworth

Tchebycheff

Elliptique

Affaiblissement

0 ω2 ω

ω1 0 ω3

ω2ω1 ω4 0 ω3

ω2ω1 ω4

S = ω2p S = B

+ ωop

]minus1S = ωo

+ ωop

Ωs = ω2ω1

T (S) =1

1 + ST (j Ω) =

1 + j Ω

S =ωoB

ωo+ωop

(log)1

1|T |(log)

Q = 10

S = j Qo

ωominus ωoω

Tbp(p) =

ωoQop

p2 + ωoQop+ ω2

x(k)X(z)ej k ω T

y(k) =infinsuml=0

h(k) hArr T (z)

p = f(z) =2

z minus 1

1 + j ωa T2

1minus j ωa T2

= ej 2π f T

ωa =2

Ttan(π fd T )

p = j ωa

rArr0 1

z = ej 2π f

plan p plan z

104 Types de ltres

︸︷︷︸Pi=

︸︷︷︸Pu=

(PQ = 0)

|K|2 =PrPu

|t|2 =4R1

∣∣∣∣V2

∣∣∣∣2

Pu + Pr=

1 + |K|2

k impair k pair

Ck = 2 sin[

(2 k+1)π2n

]Lk = 2 sin

[(2 k+1)π

L0 L21

ck =Ckωp R

lk =Lk R

0 1 2 3 4 5 6 7 80

f (GHz)

Q = XR

T (p) =ω2o

p2 + ωoQop+ ω2

ωo =1

RradicC1C2

radicC1

1 10 100 1000 10000

f(kHz)

T (z) = minus C1C3

CACBmiddot z(

+ 1)z2 +

(C2 C3CA CB

Ti(f) =1

z minus 1

j 2π f Ts

p2 + ωoQop+ ω2

1 http wwwlinearcom

ωo middot Ts =

radicC2C3

CACB G =

C2 Qo =

radicC2C3

T1 Ti = kiNiDi

105 Exercices

partω

∣∣∣∣ωo

105 EXERCICES 117

utileSignal

5 10 150

Canal 2

f (MHz)

Antenne

Meacutelangeur

Canal 1

BIBLIOGRAPHIE 119

Bibliographie

Chapitre 11

111 Introduction

-Z1 Z3

ougrave Yi = 1Zi

H(jω) =minusH0

2 Pour R2 gt R1

H0 =R2

2 middotR1

2 middotR1 middotRV

radicR1 +RV

tg = minus dφ

∣∣∣∣ω=ω0

=2 middotQω0

Rcar=150 KΩ

Chapitre 12

121 Introduction

documentsTP

-Z1 Z3

ougrave Yi = 1Zi

H(jω) =minusH0

3 Pour RB gt RA

H0 =RB

2 middotRA

2 middotRA middotRV

radicRA +RV

tg = minus dφ

∣∣∣∣ω=ω0

=2 middotQω0

Rcar=150 KΩ

5 Conclure

Chapitre 13

131 Introduction

Tconv= 1

+infinsum

Xlowast(f) =1

TeX(f) lowast

+infinsum

1331 Deacutenitions

2+ b2[k]

2n+ e = N [k]

2nb+1+ e

= Vmin +Nq +q

000 000

y3by2b

xlowast(t)

a[k] = N [k]q +q

111a[k]

minus 14minus 1

2minus 34-1

minus 58

minus 78

minus 38

minus 18

nb=3 PE=2 V q=025 V

entre analogique

code de sortie

entre analogique

minusq2

σ2 =1

+q2int

minusq2

e2de =q2

minusq2 +q2

+fe2int

minusfe2

dspedf =q2

12avec dspe =

12fe(7)

+fe2intminusfe2

|Signal (f)|2df

+fe2intminusfe2

dspedf

Pe =q2

1222nb(9)

SQNR =3

2middot 22nb middot

(2 middotAmpPE

DSP DSP

12timesFe

12timesF primee

-F primee2 F prime

OSR =F primee

2timesBw

(2 middotAmpPE

)+ 10 log(OSR) (12)

V ref VA

b1 (22)

b2 (21)

b3 (20)

V ref8

2V ref8

3V ref8

4V ref8

5V ref8

6V ref8

7V ref8

b1 b2 b3

Figure 136 CAN ash

1 si resi gt

V ref2

0 sinon

C2C4C2nminus1C C

V re f2

Logique

de controcircleSAR

minusV re f2

V re f2

resi+1 =

resi minus V ref

2i+1 si bi = 1

res1 = V e

biV ref

2i+V ref

Mi Bits

+- yi[n]xi[n]

Entreacutee

f (MHz)

Signalutile

n f il

Interfereurs

)pour x ge 1

Mi Bits

+- yi[n]xi[n]

111Sortie CNA

Sortie CAN

minus 12

minus 14minus 1

2minus 34-1

minus 58

minus 78

minus 38

minus 18

b) M=3 V re f =2a) M=1 V re f =2

aglob[n] = a1[n] +

isumj=2

Mjminus1

ou en dautre termes

aglob[n] =

(a1[n] +

2M1+M2

BIBLIOGRAPHIE 145

Bibliographie

Chapitre 14

141 Introduction

DSP DSP

12timesFe

12timesF primee

-F primee2 F prime

OSR =F primee

2timesBw

142 CAN Flash

2timesBW par

C2C4C2nminus1C C

V re f2

Logique

de controcircleSAR

minusV re f2

V re f2

1 si resi gt

V ref2

0 sinon

resi+1 =

resi minus V ref

2i+1 si bi = 1

res1 = V e

biV ref

2i+V ref

R2= 0 - 100 K Ω

C1=100 nFV g

Rd = 10 KΩR1 = 100 KΩ

Chapitre 15

151 Introduction

DSP DSP

12timesFe

12timesF primee

-F primee2 F prime

OSR =F primee

2timesBw

152 CAN Flash

2timesBW par

1 si resi gt

V ref2

0 sinon

resi+1 =

resi minus V ref

2i+1 si bi = 1

res1 = V e

y =nsum

biV ref

2i+V ref

C2C4C2nminus1C C

V re f2

Logique

de controcircleSAR

minusV re f2

V re f2

154 Eets musicaux

Chapitre 16

43 kHz

canal utile4 kHz

1100f(kHz)

f(kHz)

163 Filtrage

164 Amplication

165 CONVERSION 161

165 Conversion

Annexe A

Avant propos

Filtrage analogique

Avant propos

Objectifs

Chapitre 1

11 Avant-propos

12 Introduction

coaxialfibre

radiofrequences)

images

capteurs

Deacutenition

une liaison laire

Deacutenition

G G CAN

Oscillateur

numerique

143 Modem ADSL

puissance spectrale

frequence

LigneF iltre

numerique

analogique

Amplificateur

F iltreanalogique

Amplificateur

Interf

hybride

Interf

versDSP

Emetteur

Recepteur

Bibliographie

v=Jctk0DI7YP8

Chapitre 2

Signal dentreacutee

Reacuteponse

Signal de sortie

Valeur du signal

Systegraveme

Signaux

Amplitude

Continu

x (t )

Signal analogique

xq (t )

Discret

x (t k)≝x [k ]

xq (t k)=xq [k ]

u(t) =

0 si t lt 0

1 si t ge 0u[k] =

0 pour k lt 0

δ(t) =

0 si t 6= 0

0 pour k 6= 0

Systegravemes

y = H(x) (2)

Modeacutelisation

aiH (xi) (3)

x et y continus

RCy(1)(t) + y(t) = u(t)

Figure 25 Filtre RC

b0y(t) + b1y(1)(t) + + bny

-4 -2 0 2 4 6

y[k] = minusnsum

-4 -2 0 2 4 6

x [k ] y (t)

-4 -2 0 2 4 6

Deacutemonstration

Temps discret

x[k] =sum

y[k] =sum

Temps continu

minus τ2

δτ (t )

δ(t )=limτrarr0

δτ (t )

Figure 29

x(t) sum

x(t) =

int +infin

x(t) =

int +infin

y(t) =

int +infin

y[k] =+infinsum

X(ω) =

int +infin

X(p) =

int +infin

Fourier Laplace

Figure 210

F (p) =

int +infin

F (p) =1

αminus p[

Figure 211

exp(αt)

TL(u) =

int infin

=[minus 1

peminustp

]infin0minus

TL(u) =1

Impulsion de Dirac

TL(δ) =

int infin

TL(δ) = 1 (28)

TL(f) =

int infin

minuspplusmn jω0

]infin0minus

TL(f) =1

Lineacuteariteacute

aixi(t)

ai TL [xi(t)] (33)

TL [cos(ω0t)] = TL

2(pminus jω0)+

2(p+ jω0)=

p2 + ω20

TL [sin(ω0t)] = TL

2j(p+ jω0)=

p2 + ω20

TL[x(αt)] =1

αX( pα

[dx(t)

[int t

0minusx(τ) dτ

pX(p) (38)

f1(t) = t u(t) =

pTL(u(t)) =

p2(39)

f2(t) = t2 u(t) = 2

pTL(t u(t)) =

p3(40)

fn(t) = tn u(t) = n

pTL(fnminus1(t)) =

pn+1(41)

dp(42)

int infin

pX(p) dp (43)

eαt x(t)]

= X(pminus a) (45)

TL [x(t)] =1

1minus eminusTp

limtrarr0+

pX(p) (48)

limtrarr+infin

pX(p) (49)

X(p) =5p+ 3

p(p+ 1)(50)

pX(p) =5p+ 3

p+ 1et

x(t) =1

int σ0+jinfin

F (p) =N(p)

D(p)(53)

F (p)N(p)prodn

(p2 + ep+ f

)m E1p+F1

p2+ep+f+ E2p+F2

Deacuterivationd

dtx(t)

0x(u)du

Division1

X(p) =N(p)prodn

p = σ0 (56)

ϕ(t) = k exp (σ0t) (57)

Stabiliteacute

int +infin

Exemples

EBSB H(p) = 2p+3

termes

Tension u(t) U(p)

Courant i(t) I(p)

I(p) = R

C=1Fve (t )

v s(t )

(a) Circuit RC

1 t (s)

Ve(p) =1

p2minus 1

p2eminusp =

(1minus eminusp

vs0 = vs (0minus)

Vs(p) =1

CpIC(p) +

Vs(p) +RIC(p) = Ve(p) (64)

=Ve(p) + vs0p+ 1

Vs(p) =1

(1minus eminusp

)+ vs0

F1(p) =1

(p+ 1)p2=

p+ 1minus 1

p2=rArr f1(t) =

)u(t) (68)

F2(p) =vs0

minustu(t) (69)

1 t (s)

24 Exercices TL

BIBLIOGRAPHIE 39

avec a = 1 + R2R1

et τ = RC

Bibliographie

4XsODQAAQBAJ

Chapitre 3

31 Introduction

A =partVspartVe

Transistor MOSFET

ouvert

RT+RdV DD

Gain grand signal

A =∆Vs∆Ve

V g Rdve

gm middot ve

A(jω) =vs(jω)

ve(jω)(6)

Produit gain-bande

A(j2πf) = A01

1 + j ffc

3 dB 6 dB oct

12 dB oct

fminus180deg

33 Sources derreur

331 Bruit

10 -2 10 0 10 2 10 4 10 6

f(MHz)

PGB1x10 GHz=10 GHz

332 Distorsion

2︸︷︷︸V0

2︸︷︷︸V2

HD2minuslin =

∣∣∣∣V2

∣∣∣∣ (13)

THDlin =

|V1|(14)

THDdB = 20 log10

V 2rmsminusbruit

SNRdB = 10 log10

(PsignalPBruit

SNDRlin =PSignal

(V 22 + V 2

Et donc nous avons

Rd1 Rd2

BIBLIOGRAPHIE 53

Bibliographie

Chapitre 4

Vminuse Aminus

Vminuss

Ad =A+ +Aminus

e )3 (4)

e + 2δ middot (V +e )3 (6)

Eminus

Zs = 0

= 0 Ad = Ac et

Ac Ec AdEd +

Oset nul

Ve(ω) e(ω)A(ω)

Vs(ω)

On en deacuteduit

Vs(jω) =A(jω)

Vs(jω)

Ve(jω)=

R(jω)(12)

A(jω) =ADC

1 + j ωωc(13)

HBF (jω) =A(jω)

HBF =ADC

1 + j ωωc

1 +R ADC1+j ω

1 +R middotADC1

ou donc

HBF = HBFminusDC1

HBFminusDC =ADC

1 +R middotADC(17)

soituprime =

1 +A(p) middotR(p) = 0 (20)

VminusVe

A(p) =Vs

HBF (p) =Vs(p)

Ve(p)=

1 +A(p)(22)

p = minusADC + 1

τ(23)

Vminus

Vsminusaop

A2(p) = A2DC

1+τ2 p

VminusVeVsminusaop

VminusVsminusaop

A1(p) = A1DC

1+τ1 p

Etage 1 Etage 2

A(p) = A1(p)A2(p) = A1DCA2

DC(1+τ1 p)(1+τ2 p)

A(p) = Vsminusaop

radicminus∆

2DC (24)

HBF (jω) =A(jω)

e(ω)A(ω)

VeminusBO(ω)

VsminusBO(ω)

MP = Φ(ωT ) + π (30)

in=Iminusin

Z2I+in

Iminusin

R1et H = Z1

BIBLIOGRAPHIE 65

A(p) =Ao

(1 + τ1 p)(1 + τ2 p)avec τ1 τ2

Bibliographie

Chapitre 5

51 Echantillonnage

+infinsum

x(t)xlowast(t) (t)

+infinsum

xlowast2(t) =

+infinsum

=+infinsum

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

time (s)

x1(t) cont f1=3 Hz

x2(t) cont f2=13 Hz

Peigne de Dirac

x1(nTe) Ech f1=3 Hz

Te(t) = fe

+infinsum

TF Te(t) = (f) =

+infinint

minusinfinTe(t)e

minusj2πftdt = fe

+infinsum

Xlowast(f) = fe

+infinsum

k=minusinfin

+infinsum

feminus fe

X( f )

=Xlowast( f )

BwminusBw

feminus fe

X( f )

=Xlowast( f )

BwminusBw

minus fe

fe 2 feminus2 fe

1minus1

X( f )

n =minus2

Xlowast( f )

f ( f1)

f ( f1)n = 2

f ( f1)

n =minus1

f ( f1)

n = 1f ( f1)

f ( f1)

1minus1

X( f )

f ( f1)

f2 = 2 f1

Xlowast( f )

f ( f1)n = 1

f ( f1)

n =minus1

infinsum

F (z) =+infinsumk=0

akz_k =+infinsumk=0

(azminus1

|x [k]| lt Mαk (11)

u [k] zminusk

=+infinsum

zminusk

TZu[k] =1

δ [k] zminusk = 1

TZf [k] =

+infinsum

(eminusαzminus1

TZf [k] =1

nsumi=1

aixi [k]

nsumi=1

x(kTe)zminusk

+infinsum

y [k] =

Y (z) = X (z)Msum

brzminusr (13)

H (z) =Y (z)

X (z)=

Msumr=0

arzminusr

1 +Nsumr=1

brzminusr(14)

H(ejωTe

Msumr=0

areminusjrωT

1 +Nsumr=1

)∣∣ exp (jΦ (ω)) (15)

532 Stabiliteacute

pzzminus1

tu(t) 1p2

Tz(zminus1)2

t2u(t)2

T 2z(z+1)

2(zminus1)3

eminusatu(t) 1p+a

zzminuseminusaT

TzeminusaT

(zminuseminusaT )2

)u(t) a

p2(p+a)Tz

2 eminusatu(t) 1

(p+a)3T 2zeminusaT

(zminuseminusaT )3

minus30 30 f(Hz)

X( f )48 rarr 52-52 rarr -48

x(t)xlowast(t) (t)

BIBLIOGRAPHIE 79

Figure 511

Bibliographie

Chapitre 6

63 Analyse statique

V g Rdve

Rd=10 kΩ

gm middot ve

R2= 0 - 100 kΩ

Rd = 10 kΩ

C1=10 nF Ecouteurs

Oscilloscope

C2=10 nFR1 = 100 kΩ

question 633

Chapitre 7

73 Analyse statique

V g Rdve

Rd=10 kΩ

gm middot ve

p n u m k meg g

2k︸︷︷︸Pas

RB= 0 - 100 kΩ

Rd = 10 kΩ

CA=10 nF

CB=10 nF

REcouteurs

Vaudio

RA = 100 kΩ

Chapitre 8

81 Historique

Te (2)

Ieq =VA minus VBReq

Req =TeC

Cfe (4)

premier ordre

T (ω) =1

1 + jRCω(5)

ou encore

T (f) =1

1 + j2πRCf(6)

e (nTe))

QPC1(nTe) +QPC2

((nminus 12)Te) (8)

((nminus 1)Te) (9)

T11 (z) =V Ps (z)

V Pe (z)

1 + C2C1

V Is (z)

V Pe (z)

=zminus12

1 + C2C1

(1minus zminus1)

T12 (z) =V Ps (z)

V Ie (z)

= 0 T22 (z) =V Is (z)

V Ie (z)

S (ω)

E (ω)= eminusj πf

fe sinc

1 + C2C1

Il vient

T (ω) =1

1 + C2C1

avec la conditionf

feltlt 1

842 Contraintes

Les commutateurs

85 Applications

86 Exercices

861 Exercice 1

862 Exercice 2

BIBLIOGRAPHIE 97

H(jω) minusj ωωc

1 + j ωωc

Bibliographie

Chapitre 9

91 Introduction

+φ2 φ1

φ1Veφ2

T (z) =Vs(z)

Ve(z)=

k zminus1

p n u m k meg g

Nom du modegravele

partxpartt = ωo y

partt(nTe) equiv

partt(n) =

x(n+ 1)minus x(n)

kZminus1

1minusZminus1

minusk2zminus2

kZminus1

1minusZminus1

minusk2zminus1

radic4minus k2

radick2 minus 4

95 Eet Tremolo

Chapitre 10

Filtrage analogique

101 Introduction

Xd(f) =sum

minusFs Fs

fminusB B

FOL FIF

ikj = 0

et i = Cdv

T (p) =

mprodj=1

(pminuszj)nprodi=1

(pminuspi)(1)

pi pocircles

zj zeacuteros

n ordre du ltre

nsumi=1

Cipminuspi + Cn+1

pminusj ω

Cn+1 = [T (p)]p=j ω = T (j ω)

y(t) =nsum

i=1Ci e

infinint

minusinfin

| ln |T (f)||1 + f2

df ltinfin

1024 Gabarits

minusfc fc

|T (f)|

arg[T (f)]

h(t) =infinint

A(Ω) = 10 log10[1 + ε2 Ψ2n(Ω)] |T (Ω)|2 =

1 + ε2 Ψ2n(Ω)

0 1 Ωs Ω

Amin A(Ω) = 10 log10[1 + ε2 Ψ2n(Ω)]

Ψn(1) = 1

Amax = 10 log10(1 + ε2)

10Amax10 minus 1

Tn( ΩsΩ

n pair n impair

Ψn(Ω) = C1

n2prodi=1

Ω2minusΩ2oi

Ω2minusΩ2zi

Ω2minusΩ2oi

Ω2minusΩ2zi

minus110

Butterworth

Tchebycheff

Elliptique

Affaiblissement

0 ω2 ω

ω1 0 ω3

ω2ω1 ω4 0 ω3

ω2ω1 ω4

S = ω2p S = B

+ ωop

]minus1S = ωo

+ ωop

Ωs = ω2ω1

T (S) =1

1 + ST (j Ω) =

1 + j Ω

S =ωoB

ωo+ωop

(log)1

1|T |(log)

Q = 10

S = j Qo

ωominus ωoω

Tbp(p) =

ωoQop

p2 + ωoQop+ ω2

x(k)X(z)ej k ω T

y(k) =infinsuml=0

h(k) hArr T (z)

p = f(z) =2

z minus 1

1 + j ωa T2

1minus j ωa T2

= ej 2π f T

ωa =2

Ttan(π fd T )

p = j ωa

rArr0 1

z = ej 2π f

plan p plan z

104 Types de ltres

︸︷︷︸Pi=

︸︷︷︸Pu=

(PQ = 0)

|K|2 =PrPu

|t|2 =4R1

∣∣∣∣V2

∣∣∣∣2

Pu + Pr=

1 + |K|2

k impair k pair

Ck = 2 sin[

(2 k+1)π2n

]Lk = 2 sin

[(2 k+1)π

L0 L21

ck =Ckωp R

lk =Lk R

0 1 2 3 4 5 6 7 80

f (GHz)

Q = XR

T (p) =ω2o

p2 + ωoQop+ ω2

ωo =1

RradicC1C2

radicC1

1 10 100 1000 10000

f(kHz)

T (z) = minus C1C3

CACBmiddot z(

+ 1)z2 +

(C2 C3CA CB

Ti(f) =1

z minus 1

j 2π f Ts

p2 + ωoQop+ ω2

1 http wwwlinearcom

ωo middot Ts =

radicC2C3

CACB G =

C2 Qo =

radicC2C3

T1 Ti = kiNiDi

105 Exercices

partω

∣∣∣∣ωo

105 EXERCICES 117

utileSignal

5 10 150

Canal 2

f (MHz)

Antenne

Meacutelangeur

Canal 1

BIBLIOGRAPHIE 119

Bibliographie

Chapitre 11

111 Introduction

-Z1 Z3

ougrave Yi = 1Zi

H(jω) =minusH0

2 Pour R2 gt R1

H0 =R2

2 middotR1

2 middotR1 middotRV

radicR1 +RV

tg = minus dφ

∣∣∣∣ω=ω0

=2 middotQω0

Rcar=150 KΩ

Chapitre 12

121 Introduction

documentsTP

-Z1 Z3

ougrave Yi = 1Zi

H(jω) =minusH0

3 Pour RB gt RA

H0 =RB

2 middotRA

2 middotRA middotRV

radicRA +RV

tg = minus dφ

∣∣∣∣ω=ω0

=2 middotQω0

Rcar=150 KΩ

5 Conclure

Chapitre 13

131 Introduction

Tconv= 1

+infinsum

Xlowast(f) =1

TeX(f) lowast

+infinsum

1331 Deacutenitions

2+ b2[k]

2n+ e = N [k]

2nb+1+ e

= Vmin +Nq +q

000 000

y3by2b

xlowast(t)

a[k] = N [k]q +q

111a[k]

minus 14minus 1

2minus 34-1

minus 58

minus 78

minus 38

minus 18

nb=3 PE=2 V q=025 V

entre analogique

code de sortie

entre analogique

minusq2

σ2 =1

+q2int

minusq2

e2de =q2

minusq2 +q2

+fe2int

minusfe2

dspedf =q2

12avec dspe =

12fe(7)

+fe2intminusfe2

|Signal (f)|2df

+fe2intminusfe2

dspedf

Pe =q2

1222nb(9)

SQNR =3

2middot 22nb middot

(2 middotAmpPE

DSP DSP

12timesFe

12timesF primee

-F primee2 F prime

OSR =F primee

2timesBw

(2 middotAmpPE

)+ 10 log(OSR) (12)

V ref VA

b1 (22)

b2 (21)

b3 (20)

V ref8

2V ref8

3V ref8

4V ref8

5V ref8

6V ref8

7V ref8

b1 b2 b3

Figure 136 CAN ash

1 si resi gt

V ref2

0 sinon

C2C4C2nminus1C C

V re f2

Logique

de controcircleSAR

minusV re f2

V re f2

resi+1 =

resi minus V ref

2i+1 si bi = 1

res1 = V e

biV ref

2i+V ref

Mi Bits

+- yi[n]xi[n]

Entreacutee

f (MHz)

Signalutile

n f il

Interfereurs

)pour x ge 1

Mi Bits

+- yi[n]xi[n]

111Sortie CNA

Sortie CAN

minus 12

minus 14minus 1

2minus 34-1

minus 58

minus 78

minus 38

minus 18

b) M=3 V re f =2a) M=1 V re f =2

aglob[n] = a1[n] +

isumj=2

Mjminus1

ou en dautre termes

aglob[n] =

(a1[n] +

2M1+M2

BIBLIOGRAPHIE 145

Bibliographie

Chapitre 14

141 Introduction

DSP DSP

12timesFe

12timesF primee

-F primee2 F prime

OSR =F primee

2timesBw

142 CAN Flash

2timesBW par

C2C4C2nminus1C C

V re f2

Logique

de controcircleSAR

minusV re f2

V re f2

1 si resi gt

V ref2

0 sinon

resi+1 =

resi minus V ref

2i+1 si bi = 1

res1 = V e

biV ref

2i+V ref

R2= 0 - 100 K Ω

C1=100 nFV g

Rd = 10 KΩR1 = 100 KΩ

Chapitre 15

151 Introduction

DSP DSP

12timesFe

12timesF primee

-F primee2 F prime

OSR =F primee

2timesBw

152 CAN Flash

2timesBW par

1 si resi gt

V ref2

0 sinon

resi+1 =

resi minus V ref

2i+1 si bi = 1

res1 = V e

y =nsum

biV ref

2i+V ref

C2C4C2nminus1C C

V re f2

Logique

de controcircleSAR

minusV re f2

V re f2

154 Eets musicaux

Chapitre 16

43 kHz

canal utile4 kHz

1100f(kHz)

f(kHz)

163 Filtrage

164 Amplication

165 CONVERSION 161

165 Conversion

Annexe A

Avant propos

Filtrage analogique

Chapitre 1

11 Avant-propos

12 Introduction

coaxialfibre

radiofrequences)

images

capteurs

Deacutenition

une liaison laire

Deacutenition

G G CAN

Oscillateur

numerique

143 Modem ADSL

puissance spectrale

frequence

LigneF iltre

numerique

analogique

Amplificateur

F iltreanalogique

Amplificateur

Interf

hybride

Interf

versDSP

Emetteur

Recepteur

Bibliographie

v=Jctk0DI7YP8

Chapitre 2

Signal dentreacutee

Reacuteponse

Signal de sortie

Valeur du signal

Systegraveme

Signaux

Amplitude

Continu

x (t )

Signal analogique

xq (t )

Discret

x (t k)≝x [k ]

xq (t k)=xq [k ]

u(t) =

0 si t lt 0

1 si t ge 0u[k] =

0 pour k lt 0

δ(t) =

0 si t 6= 0

0 pour k 6= 0

Systegravemes

y = H(x) (2)

Modeacutelisation

aiH (xi) (3)

x et y continus

RCy(1)(t) + y(t) = u(t)

Figure 25 Filtre RC

b0y(t) + b1y(1)(t) + + bny

-4 -2 0 2 4 6

y[k] = minusnsum

-4 -2 0 2 4 6

x [k ] y (t)

-4 -2 0 2 4 6

Deacutemonstration

Temps discret

x[k] =sum

y[k] =sum

Temps continu

minus τ2

δτ (t )

δ(t )=limτrarr0

δτ (t )

Figure 29

x(t) sum

x(t) =

int +infin

x(t) =

int +infin

y(t) =

int +infin

y[k] =+infinsum

X(ω) =

int +infin

X(p) =

int +infin

Fourier Laplace

Figure 210

F (p) =

int +infin

F (p) =1

αminus p[

Figure 211

exp(αt)

TL(u) =

int infin

=[minus 1

peminustp

]infin0minus

TL(u) =1

Impulsion de Dirac

TL(δ) =

int infin

TL(δ) = 1 (28)

TL(f) =

int infin

minuspplusmn jω0

]infin0minus

TL(f) =1

Lineacuteariteacute

aixi(t)

ai TL [xi(t)] (33)

TL [cos(ω0t)] = TL

2(pminus jω0)+

2(p+ jω0)=

p2 + ω20

TL [sin(ω0t)] = TL

2j(p+ jω0)=

p2 + ω20

TL[x(αt)] =1

αX( pα

[dx(t)

[int t

0minusx(τ) dτ

pX(p) (38)

f1(t) = t u(t) =

pTL(u(t)) =

p2(39)

f2(t) = t2 u(t) = 2

pTL(t u(t)) =

p3(40)

fn(t) = tn u(t) = n

pTL(fnminus1(t)) =

pn+1(41)

dp(42)

int infin

pX(p) dp (43)

eαt x(t)]

= X(pminus a) (45)

TL [x(t)] =1

1minus eminusTp

limtrarr0+

pX(p) (48)

limtrarr+infin

pX(p) (49)

X(p) =5p+ 3

p(p+ 1)(50)

pX(p) =5p+ 3

p+ 1et

x(t) =1

int σ0+jinfin

F (p) =N(p)

D(p)(53)

F (p)N(p)prodn

(p2 + ep+ f

)m E1p+F1

p2+ep+f+ E2p+F2

Deacuterivationd

dtx(t)

0x(u)du

Division1

X(p) =N(p)prodn

p = σ0 (56)

ϕ(t) = k exp (σ0t) (57)

Stabiliteacute

int +infin

Exemples

EBSB H(p) = 2p+3

termes

Tension u(t) U(p)

Courant i(t) I(p)

I(p) = R

C=1Fve (t )

v s(t )

(a) Circuit RC

1 t (s)

Ve(p) =1

p2minus 1

p2eminusp =

(1minus eminusp

vs0 = vs (0minus)

Vs(p) =1

CpIC(p) +

Vs(p) +RIC(p) = Ve(p) (64)

=Ve(p) + vs0p+ 1

Vs(p) =1

(1minus eminusp

)+ vs0

F1(p) =1

(p+ 1)p2=

p+ 1minus 1

p2=rArr f1(t) =

)u(t) (68)

F2(p) =vs0

minustu(t) (69)

1 t (s)

24 Exercices TL

BIBLIOGRAPHIE 39

avec a = 1 + R2R1

et τ = RC

Bibliographie

4XsODQAAQBAJ

Chapitre 3

31 Introduction

A =partVspartVe

Transistor MOSFET

ouvert

RT+RdV DD

Gain grand signal

A =∆Vs∆Ve

V g Rdve

gm middot ve

A(jω) =vs(jω)

ve(jω)(6)

Produit gain-bande

A(j2πf) = A01

1 + j ffc

3 dB 6 dB oct

12 dB oct

fminus180deg

33 Sources derreur

331 Bruit

10 -2 10 0 10 2 10 4 10 6

f(MHz)

PGB1x10 GHz=10 GHz

332 Distorsion

2︸︷︷︸V0

2︸︷︷︸V2

HD2minuslin =

∣∣∣∣V2

∣∣∣∣ (13)

THDlin =

|V1|(14)

THDdB = 20 log10

V 2rmsminusbruit

SNRdB = 10 log10

(PsignalPBruit

SNDRlin =PSignal

(V 22 + V 2

Et donc nous avons

Rd1 Rd2

BIBLIOGRAPHIE 53

Bibliographie

Chapitre 4

Vminuse Aminus

Vminuss

Ad =A+ +Aminus

e )3 (4)

e + 2δ middot (V +e )3 (6)

Eminus

Zs = 0

= 0 Ad = Ac et

Ac Ec AdEd +

Oset nul

Ve(ω) e(ω)A(ω)

Vs(ω)

On en deacuteduit

Vs(jω) =A(jω)

Vs(jω)

Ve(jω)=

R(jω)(12)

A(jω) =ADC

1 + j ωωc(13)

HBF (jω) =A(jω)

HBF =ADC

1 + j ωωc

1 +R ADC1+j ω

1 +R middotADC1

ou donc

HBF = HBFminusDC1

HBFminusDC =ADC

1 +R middotADC(17)

soituprime =

1 +A(p) middotR(p) = 0 (20)

VminusVe

A(p) =Vs

HBF (p) =Vs(p)

Ve(p)=

1 +A(p)(22)

p = minusADC + 1

τ(23)

Vminus

Vsminusaop

A2(p) = A2DC

1+τ2 p

VminusVeVsminusaop

VminusVsminusaop

A1(p) = A1DC

1+τ1 p

Etage 1 Etage 2

A(p) = A1(p)A2(p) = A1DCA2

DC(1+τ1 p)(1+τ2 p)

A(p) = Vsminusaop

radicminus∆

2DC (24)

HBF (jω) =A(jω)

e(ω)A(ω)

VeminusBO(ω)

VsminusBO(ω)

MP = Φ(ωT ) + π (30)

in=Iminusin

Z2I+in

Iminusin

R1et H = Z1

BIBLIOGRAPHIE 65

A(p) =Ao

(1 + τ1 p)(1 + τ2 p)avec τ1 τ2

Bibliographie

Chapitre 5

51 Echantillonnage

+infinsum

x(t)xlowast(t) (t)

+infinsum

xlowast2(t) =

+infinsum

=+infinsum

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

time (s)

x1(t) cont f1=3 Hz

x2(t) cont f2=13 Hz

Peigne de Dirac

x1(nTe) Ech f1=3 Hz

Te(t) = fe

+infinsum

TF Te(t) = (f) =

+infinint

minusinfinTe(t)e

minusj2πftdt = fe

+infinsum

Xlowast(f) = fe

+infinsum

k=minusinfin

+infinsum

feminus fe

X( f )

=Xlowast( f )

BwminusBw

feminus fe

X( f )

=Xlowast( f )

BwminusBw

minus fe

fe 2 feminus2 fe

1minus1

X( f )

n =minus2

Xlowast( f )

f ( f1)

f ( f1)n = 2

f ( f1)

n =minus1

f ( f1)

n = 1f ( f1)

f ( f1)

1minus1

X( f )

f ( f1)

f2 = 2 f1

Xlowast( f )

f ( f1)n = 1

f ( f1)

n =minus1

infinsum

F (z) =+infinsumk=0

akz_k =+infinsumk=0

(azminus1

|x [k]| lt Mαk (11)

u [k] zminusk

=+infinsum

zminusk

TZu[k] =1

δ [k] zminusk = 1

TZf [k] =

+infinsum

(eminusαzminus1

TZf [k] =1

nsumi=1

aixi [k]

nsumi=1

x(kTe)zminusk

+infinsum

y [k] =

Y (z) = X (z)Msum

brzminusr (13)

H (z) =Y (z)

X (z)=

Msumr=0

arzminusr

1 +Nsumr=1

brzminusr(14)

H(ejωTe

Msumr=0

areminusjrωT

1 +Nsumr=1

)∣∣ exp (jΦ (ω)) (15)

532 Stabiliteacute

pzzminus1

tu(t) 1p2

Tz(zminus1)2

t2u(t)2

T 2z(z+1)

2(zminus1)3

eminusatu(t) 1p+a

zzminuseminusaT

TzeminusaT

(zminuseminusaT )2

)u(t) a

p2(p+a)Tz

2 eminusatu(t) 1

(p+a)3T 2zeminusaT

(zminuseminusaT )3

minus30 30 f(Hz)

X( f )48 rarr 52-52 rarr -48

x(t)xlowast(t) (t)

BIBLIOGRAPHIE 79

Figure 511

Bibliographie

Chapitre 6

63 Analyse statique

V g Rdve

Rd=10 kΩ

gm middot ve

R2= 0 - 100 kΩ

Rd = 10 kΩ

C1=10 nF Ecouteurs

Oscilloscope

C2=10 nFR1 = 100 kΩ

question 633

Chapitre 7

73 Analyse statique

V g Rdve

Rd=10 kΩ

gm middot ve

p n u m k meg g

2k︸︷︷︸Pas

RB= 0 - 100 kΩ

Rd = 10 kΩ

CA=10 nF

CB=10 nF

REcouteurs

Vaudio

RA = 100 kΩ

Chapitre 8

81 Historique

Te (2)

Ieq =VA minus VBReq

Req =TeC

Cfe (4)

premier ordre

T (ω) =1

1 + jRCω(5)

ou encore

T (f) =1

1 + j2πRCf(6)

e (nTe))

QPC1(nTe) +QPC2

((nminus 12)Te) (8)

((nminus 1)Te) (9)

T11 (z) =V Ps (z)

V Pe (z)

1 + C2C1

V Is (z)

V Pe (z)

=zminus12

1 + C2C1

(1minus zminus1)

T12 (z) =V Ps (z)

V Ie (z)

= 0 T22 (z) =V Is (z)

V Ie (z)

S (ω)

E (ω)= eminusj πf

fe sinc

1 + C2C1

Il vient

T (ω) =1

1 + C2C1

avec la conditionf

feltlt 1

842 Contraintes

Les commutateurs

85 Applications

86 Exercices

861 Exercice 1

862 Exercice 2

BIBLIOGRAPHIE 97

H(jω) minusj ωωc

1 + j ωωc

Bibliographie

Chapitre 9

91 Introduction

+φ2 φ1

φ1Veφ2

T (z) =Vs(z)

Ve(z)=

k zminus1

p n u m k meg g

Nom du modegravele

partxpartt = ωo y

partt(nTe) equiv

partt(n) =

x(n+ 1)minus x(n)

kZminus1

1minusZminus1

minusk2zminus2

kZminus1

1minusZminus1

minusk2zminus1

radic4minus k2

radick2 minus 4

95 Eet Tremolo

Chapitre 10

Filtrage analogique

101 Introduction

Xd(f) =sum

minusFs Fs

fminusB B

FOL FIF

ikj = 0

et i = Cdv

T (p) =

mprodj=1

(pminuszj)nprodi=1

(pminuspi)(1)

pi pocircles

zj zeacuteros

n ordre du ltre

nsumi=1

Cipminuspi + Cn+1

pminusj ω

Cn+1 = [T (p)]p=j ω = T (j ω)

y(t) =nsum

i=1Ci e

infinint

minusinfin

| ln |T (f)||1 + f2

df ltinfin

1024 Gabarits

minusfc fc

|T (f)|

arg[T (f)]

h(t) =infinint

A(Ω) = 10 log10[1 + ε2 Ψ2n(Ω)] |T (Ω)|2 =

1 + ε2 Ψ2n(Ω)

0 1 Ωs Ω

Amin A(Ω) = 10 log10[1 + ε2 Ψ2n(Ω)]

Ψn(1) = 1

Amax = 10 log10(1 + ε2)

10Amax10 minus 1

Tn( ΩsΩ

n pair n impair

Ψn(Ω) = C1

n2prodi=1

Ω2minusΩ2oi

Ω2minusΩ2zi

Ω2minusΩ2oi

Ω2minusΩ2zi

minus110

Butterworth

Tchebycheff

Elliptique

Affaiblissement

0 ω2 ω

ω1 0 ω3

ω2ω1 ω4 0 ω3

ω2ω1 ω4

S = ω2p S = B

+ ωop

]minus1S = ωo

+ ωop

Ωs = ω2ω1

T (S) =1

1 + ST (j Ω) =

1 + j Ω

S =ωoB

ωo+ωop

(log)1

1|T |(log)

Q = 10

S = j Qo

ωominus ωoω

Tbp(p) =

ωoQop

p2 + ωoQop+ ω2

x(k)X(z)ej k ω T

y(k) =infinsuml=0

h(k) hArr T (z)

p = f(z) =2

z minus 1

1 + j ωa T2

1minus j ωa T2

= ej 2π f T

ωa =2

Ttan(π fd T )

p = j ωa

rArr0 1

z = ej 2π f

plan p plan z

104 Types de ltres

︸︷︷︸Pi=

︸︷︷︸Pu=

(PQ = 0)

|K|2 =PrPu

|t|2 =4R1

∣∣∣∣V2

∣∣∣∣2

Pu + Pr=

1 + |K|2

k impair k pair

Ck = 2 sin[

(2 k+1)π2n

]Lk = 2 sin

[(2 k+1)π

L0 L21

ck =Ckωp R

lk =Lk R

0 1 2 3 4 5 6 7 80

f (GHz)

Q = XR

T (p) =ω2o

p2 + ωoQop+ ω2

ωo =1

RradicC1C2

radicC1

1 10 100 1000 10000

f(kHz)

T (z) = minus C1C3

CACBmiddot z(

+ 1)z2 +

(C2 C3CA CB

Ti(f) =1

z minus 1

j 2π f Ts

p2 + ωoQop+ ω2

1 http wwwlinearcom

ωo middot Ts =

radicC2C3

CACB G =

C2 Qo =

radicC2C3

T1 Ti = kiNiDi

105 Exercices

partω

∣∣∣∣ωo

105 EXERCICES 117

utileSignal

5 10 150

Canal 2

f (MHz)

Antenne

Meacutelangeur

Canal 1

BIBLIOGRAPHIE 119

Bibliographie

Chapitre 11

111 Introduction

-Z1 Z3

ougrave Yi = 1Zi

H(jω) =minusH0

2 Pour R2 gt R1

H0 =R2

2 middotR1

2 middotR1 middotRV

radicR1 +RV

tg = minus dφ

∣∣∣∣ω=ω0

=2 middotQω0

Rcar=150 KΩ

Chapitre 12

121 Introduction

documentsTP

-Z1 Z3

ougrave Yi = 1Zi

H(jω) =minusH0

3 Pour RB gt RA

H0 =RB

2 middotRA

2 middotRA middotRV

radicRA +RV

tg = minus dφ

∣∣∣∣ω=ω0

=2 middotQω0

Rcar=150 KΩ

5 Conclure

Chapitre 13

131 Introduction

Tconv= 1

+infinsum

Xlowast(f) =1

TeX(f) lowast

+infinsum

1331 Deacutenitions

2+ b2[k]

2n+ e = N [k]

2nb+1+ e

= Vmin +Nq +q

000 000

y3by2b

xlowast(t)

a[k] = N [k]q +q

111a[k]

minus 14minus 1

2minus 34-1

minus 58

minus 78

minus 38

minus 18

nb=3 PE=2 V q=025 V

entre analogique

code de sortie

entre analogique

minusq2

σ2 =1

+q2int

minusq2

e2de =q2

minusq2 +q2

+fe2int

minusfe2

dspedf =q2

12avec dspe =

12fe(7)

+fe2intminusfe2

|Signal (f)|2df

+fe2intminusfe2

dspedf

Pe =q2

1222nb(9)

SQNR =3

2middot 22nb middot

(2 middotAmpPE

DSP DSP

12timesFe

12timesF primee

-F primee2 F prime

OSR =F primee

2timesBw

(2 middotAmpPE

)+ 10 log(OSR) (12)

V ref VA

b1 (22)

b2 (21)

b3 (20)

V ref8

2V ref8

3V ref8

4V ref8

5V ref8

6V ref8

7V ref8

b1 b2 b3

Figure 136 CAN ash

1 si resi gt

V ref2

0 sinon

C2C4C2nminus1C C

V re f2

Logique

de controcircleSAR

minusV re f2

V re f2

resi+1 =

resi minus V ref

2i+1 si bi = 1

res1 = V e

biV ref

2i+V ref

Mi Bits

+- yi[n]xi[n]

Entreacutee

f (MHz)

Signalutile

n f il

Interfereurs

)pour x ge 1

Mi Bits

+- yi[n]xi[n]

111Sortie CNA

Sortie CAN

minus 12

minus 14minus 1

2minus 34-1

minus 58

minus 78

minus 38

minus 18

b) M=3 V re f =2a) M=1 V re f =2

aglob[n] = a1[n] +

isumj=2

Mjminus1

ou en dautre termes

aglob[n] =

(a1[n] +

2M1+M2

BIBLIOGRAPHIE 145

Bibliographie

Chapitre 14

141 Introduction

DSP DSP

12timesFe

12timesF primee

-F primee2 F prime

OSR =F primee

2timesBw

142 CAN Flash

2timesBW par

C2C4C2nminus1C C

V re f2

Logique

de controcircleSAR

minusV re f2

V re f2

1 si resi gt

V ref2

0 sinon

resi+1 =

resi minus V ref

2i+1 si bi = 1

res1 = V e

biV ref

2i+V ref

R2= 0 - 100 K Ω

C1=100 nFV g

Rd = 10 KΩR1 = 100 KΩ

Chapitre 15

151 Introduction

DSP DSP

12timesFe

12timesF primee

-F primee2 F prime

OSR =F primee

2timesBw

152 CAN Flash

2timesBW par

1 si resi gt

V ref2

0 sinon

resi+1 =

resi minus V ref

2i+1 si bi = 1

res1 = V e

y =nsum

biV ref

2i+V ref

C2C4C2nminus1C C

V re f2

Logique

de controcircleSAR

minusV re f2

V re f2

154 Eets musicaux

Chapitre 16

43 kHz

canal utile4 kHz

1100f(kHz)

f(kHz)

163 Filtrage

164 Amplication

165 CONVERSION 161

165 Conversion

Annexe A

Avant propos

Filtrage analogique

coaxialfibre

radiofrequences)

images

capteurs

Deacutenition

une liaison laire

Deacutenition

G G CAN

Oscillateur

numerique

143 Modem ADSL

puissance spectrale

frequence

LigneF iltre

numerique

analogique

Amplificateur

F iltreanalogique

Amplificateur

Interf

hybride

Interf

versDSP

Emetteur

Recepteur

Bibliographie

v=Jctk0DI7YP8

Chapitre 2

Signal dentreacutee

Reacuteponse

Signal de sortie

Valeur du signal

Systegraveme

Signaux

Amplitude

Continu

x (t )

Signal analogique

xq (t )

Discret

x (t k)≝x [k ]

xq (t k)=xq [k ]

u(t) =

0 si t lt 0

1 si t ge 0u[k] =

0 pour k lt 0

δ(t) =

0 si t 6= 0

0 pour k 6= 0

Systegravemes

y = H(x) (2)

Modeacutelisation

aiH (xi) (3)

x et y continus

RCy(1)(t) + y(t) = u(t)

Figure 25 Filtre RC

b0y(t) + b1y(1)(t) + + bny

-4 -2 0 2 4 6

y[k] = minusnsum

-4 -2 0 2 4 6

x [k ] y (t)

-4 -2 0 2 4 6

Deacutemonstration

Temps discret

x[k] =sum

y[k] =sum

Temps continu

minus τ2

δτ (t )

δ(t )=limτrarr0

δτ (t )

Figure 29

x(t) sum

x(t) =

int +infin

x(t) =

int +infin

y(t) =

int +infin

y[k] =+infinsum

X(ω) =

int +infin

X(p) =

int +infin

Fourier Laplace

Figure 210

F (p) =

int +infin

F (p) =1

αminus p[

Figure 211

exp(αt)

TL(u) =

int infin

=[minus 1

peminustp

]infin0minus

TL(u) =1

Impulsion de Dirac

TL(δ) =

int infin

TL(δ) = 1 (28)

TL(f) =

int infin

minuspplusmn jω0

]infin0minus

TL(f) =1

Lineacuteariteacute

aixi(t)

ai TL [xi(t)] (33)

TL [cos(ω0t)] = TL

2(pminus jω0)+

2(p+ jω0)=

p2 + ω20

TL [sin(ω0t)] = TL

2j(p+ jω0)=

p2 + ω20

TL[x(αt)] =1

αX( pα

[dx(t)

[int t

0minusx(τ) dτ

pX(p) (38)

f1(t) = t u(t) =

pTL(u(t)) =

p2(39)

f2(t) = t2 u(t) = 2

pTL(t u(t)) =

p3(40)

fn(t) = tn u(t) = n

pTL(fnminus1(t)) =

pn+1(41)

dp(42)

int infin

pX(p) dp (43)

eαt x(t)]

= X(pminus a) (45)

TL [x(t)] =1

1minus eminusTp

limtrarr0+

pX(p) (48)

limtrarr+infin

pX(p) (49)

X(p) =5p+ 3

p(p+ 1)(50)

pX(p) =5p+ 3

p+ 1et

x(t) =1

int σ0+jinfin

F (p) =N(p)

D(p)(53)

F (p)N(p)prodn

(p2 + ep+ f

)m E1p+F1

p2+ep+f+ E2p+F2

Deacuterivationd

dtx(t)

0x(u)du

Division1

X(p) =N(p)prodn

p = σ0 (56)

ϕ(t) = k exp (σ0t) (57)

Stabiliteacute

int +infin

Exemples

EBSB H(p) = 2p+3

termes

Tension u(t) U(p)

Courant i(t) I(p)

I(p) = R

C=1Fve (t )

v s(t )

(a) Circuit RC

1 t (s)

Ve(p) =1

p2minus 1

p2eminusp =

(1minus eminusp

vs0 = vs (0minus)

Vs(p) =1

CpIC(p) +

Vs(p) +RIC(p) = Ve(p) (64)

=Ve(p) + vs0p+ 1

Vs(p) =1

(1minus eminusp

)+ vs0

F1(p) =1

(p+ 1)p2=

p+ 1minus 1

p2=rArr f1(t) =

)u(t) (68)

F2(p) =vs0

minustu(t) (69)

1 t (s)

24 Exercices TL

BIBLIOGRAPHIE 39

avec a = 1 + R2R1

et τ = RC

Bibliographie

4XsODQAAQBAJ

Chapitre 3

31 Introduction

A =partVspartVe

Transistor MOSFET

ouvert

RT+RdV DD

Gain grand signal

A =∆Vs∆Ve

V g Rdve

gm middot ve

A(jω) =vs(jω)

ve(jω)(6)

Produit gain-bande

A(j2πf) = A01

1 + j ffc

3 dB 6 dB oct

12 dB oct

fminus180deg

33 Sources derreur

331 Bruit

10 -2 10 0 10 2 10 4 10 6

f(MHz)

PGB1x10 GHz=10 GHz

332 Distorsion

2︸︷︷︸V0

2︸︷︷︸V2

HD2minuslin =

∣∣∣∣V2

∣∣∣∣ (13)

THDlin =

|V1|(14)

THDdB = 20 log10

V 2rmsminusbruit

SNRdB = 10 log10

(PsignalPBruit

SNDRlin =PSignal

(V 22 + V 2

Et donc nous avons

Rd1 Rd2

BIBLIOGRAPHIE 53

Bibliographie

Chapitre 4

Vminuse Aminus

Vminuss

Ad =A+ +Aminus

e )3 (4)

e + 2δ middot (V +e )3 (6)

Eminus

Zs = 0

= 0 Ad = Ac et

Ac Ec AdEd +

Oset nul

Ve(ω) e(ω)A(ω)

Vs(ω)

On en deacuteduit

Vs(jω) =A(jω)

Vs(jω)

Ve(jω)=

R(jω)(12)

A(jω) =ADC

1 + j ωωc(13)

HBF (jω) =A(jω)

HBF =ADC

1 + j ωωc

1 +R ADC1+j ω

1 +R middotADC1

ou donc

HBF = HBFminusDC1

HBFminusDC =ADC

1 +R middotADC(17)

soituprime =

1 +A(p) middotR(p) = 0 (20)

VminusVe

A(p) =Vs

HBF (p) =Vs(p)

Ve(p)=

1 +A(p)(22)

p = minusADC + 1

τ(23)

Vminus

Vsminusaop

A2(p) = A2DC

1+τ2 p

VminusVeVsminusaop

VminusVsminusaop

A1(p) = A1DC

1+τ1 p

Etage 1 Etage 2

A(p) = A1(p)A2(p) = A1DCA2

DC(1+τ1 p)(1+τ2 p)

A(p) = Vsminusaop

radicminus∆

2DC (24)

HBF (jω) =A(jω)

e(ω)A(ω)

VeminusBO(ω)

VsminusBO(ω)

MP = Φ(ωT ) + π (30)

in=Iminusin

Z2I+in

Iminusin

R1et H = Z1

BIBLIOGRAPHIE 65

A(p) =Ao

(1 + τ1 p)(1 + τ2 p)avec τ1 τ2

Bibliographie

Chapitre 5

51 Echantillonnage

+infinsum

x(t)xlowast(t) (t)

+infinsum

xlowast2(t) =

+infinsum

=+infinsum

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

time (s)

x1(t) cont f1=3 Hz

x2(t) cont f2=13 Hz

Peigne de Dirac

x1(nTe) Ech f1=3 Hz

Te(t) = fe

+infinsum

TF Te(t) = (f) =

+infinint

minusinfinTe(t)e

minusj2πftdt = fe

+infinsum

Xlowast(f) = fe

+infinsum

k=minusinfin

+infinsum

feminus fe

X( f )

=Xlowast( f )

BwminusBw

feminus fe

X( f )

=Xlowast( f )

BwminusBw

minus fe

fe 2 feminus2 fe

1minus1

X( f )

n =minus2

Xlowast( f )

f ( f1)

f ( f1)n = 2

f ( f1)

n =minus1

f ( f1)

n = 1f ( f1)

f ( f1)

1minus1

X( f )

f ( f1)

f2 = 2 f1

Xlowast( f )

f ( f1)n = 1

f ( f1)

n =minus1

infinsum

F (z) =+infinsumk=0

akz_k =+infinsumk=0

(azminus1

|x [k]| lt Mαk (11)

u [k] zminusk

=+infinsum

zminusk

TZu[k] =1

δ [k] zminusk = 1

TZf [k] =

+infinsum

(eminusαzminus1

TZf [k] =1

nsumi=1

aixi [k]

nsumi=1

x(kTe)zminusk

+infinsum

y [k] =

Y (z) = X (z)Msum

brzminusr (13)

H (z) =Y (z)

X (z)=

Msumr=0

arzminusr

1 +Nsumr=1

brzminusr(14)

H(ejωTe

Msumr=0

areminusjrωT

1 +Nsumr=1

)∣∣ exp (jΦ (ω)) (15)

532 Stabiliteacute

pzzminus1

tu(t) 1p2

Tz(zminus1)2

t2u(t)2

T 2z(z+1)

2(zminus1)3

eminusatu(t) 1p+a

zzminuseminusaT

TzeminusaT

(zminuseminusaT )2

)u(t) a

p2(p+a)Tz

2 eminusatu(t) 1

(p+a)3T 2zeminusaT

(zminuseminusaT )3

minus30 30 f(Hz)

X( f )48 rarr 52-52 rarr -48

x(t)xlowast(t) (t)

BIBLIOGRAPHIE 79

Figure 511

Bibliographie

Chapitre 6

63 Analyse statique

V g Rdve

Rd=10 kΩ

gm middot ve

R2= 0 - 100 kΩ

Rd = 10 kΩ

C1=10 nF Ecouteurs

Oscilloscope

C2=10 nFR1 = 100 kΩ

question 633

Chapitre 7

73 Analyse statique

V g Rdve

Rd=10 kΩ

gm middot ve

p n u m k meg g

2k︸︷︷︸Pas

RB= 0 - 100 kΩ

Rd = 10 kΩ

CA=10 nF

CB=10 nF

REcouteurs

Vaudio

RA = 100 kΩ

Chapitre 8

81 Historique

Te (2)

Ieq =VA minus VBReq

Req =TeC

Cfe (4)

premier ordre

T (ω) =1

1 + jRCω(5)

ou encore

T (f) =1

1 + j2πRCf(6)

e (nTe))

QPC1(nTe) +QPC2

((nminus 12)Te) (8)

((nminus 1)Te) (9)

T11 (z) =V Ps (z)

V Pe (z)

1 + C2C1

V Is (z)

V Pe (z)

=zminus12

1 + C2C1

(1minus zminus1)

T12 (z) =V Ps (z)

V Ie (z)

= 0 T22 (z) =V Is (z)

V Ie (z)

S (ω)

E (ω)= eminusj πf

fe sinc

1 + C2C1

Il vient

T (ω) =1

1 + C2C1

avec la conditionf

feltlt 1

842 Contraintes

Les commutateurs

85 Applications

86 Exercices

861 Exercice 1

862 Exercice 2

BIBLIOGRAPHIE 97

H(jω) minusj ωωc

1 + j ωωc

Bibliographie

Chapitre 9

91 Introduction

+φ2 φ1

φ1Veφ2

T (z) =Vs(z)

Ve(z)=

k zminus1

p n u m k meg g

Nom du modegravele

partxpartt = ωo y

partt(nTe) equiv

partt(n) =

x(n+ 1)minus x(n)

kZminus1

1minusZminus1

minusk2zminus2

kZminus1

1minusZminus1

minusk2zminus1

radic4minus k2

radick2 minus 4

95 Eet Tremolo

Chapitre 10

Filtrage analogique

101 Introduction

Xd(f) =sum

minusFs Fs

fminusB B

FOL FIF

ikj = 0

et i = Cdv

T (p) =

mprodj=1

(pminuszj)nprodi=1

(pminuspi)(1)

pi pocircles

zj zeacuteros

n ordre du ltre

nsumi=1

Cipminuspi + Cn+1

pminusj ω

Cn+1 = [T (p)]p=j ω = T (j ω)

y(t) =nsum

i=1Ci e

infinint

minusinfin

| ln |T (f)||1 + f2

df ltinfin

1024 Gabarits

minusfc fc

|T (f)|

arg[T (f)]

h(t) =infinint

A(Ω) = 10 log10[1 + ε2 Ψ2n(Ω)] |T (Ω)|2 =

1 + ε2 Ψ2n(Ω)

0 1 Ωs Ω

Amin A(Ω) = 10 log10[1 + ε2 Ψ2n(Ω)]

Ψn(1) = 1

Amax = 10 log10(1 + ε2)

10Amax10 minus 1

Tn( ΩsΩ

n pair n impair

Ψn(Ω) = C1

n2prodi=1

Ω2minusΩ2oi

Ω2minusΩ2zi

Ω2minusΩ2oi

Ω2minusΩ2zi

minus110

Butterworth

Tchebycheff

Elliptique

Affaiblissement

0 ω2 ω

ω1 0 ω3

ω2ω1 ω4 0 ω3

ω2ω1 ω4

S = ω2p S = B

+ ωop

]minus1S = ωo

+ ωop

Ωs = ω2ω1

T (S) =1

1 + ST (j Ω) =

1 + j Ω

S =ωoB

ωo+ωop

(log)1

1|T |(log)

Q = 10

S = j Qo

ωominus ωoω

Tbp(p) =

ωoQop

p2 + ωoQop+ ω2

x(k)X(z)ej k ω T

y(k) =infinsuml=0

h(k) hArr T (z)

p = f(z) =2

z minus 1

1 + j ωa T2

1minus j ωa T2

= ej 2π f T

ωa =2

Ttan(π fd T )

p = j ωa

rArr0 1

z = ej 2π f

plan p plan z

104 Types de ltres

︸︷︷︸Pi=

︸︷︷︸Pu=

(PQ = 0)

|K|2 =PrPu

|t|2 =4R1

∣∣∣∣V2

∣∣∣∣2

Pu + Pr=

1 + |K|2

k impair k pair

Ck = 2 sin[

(2 k+1)π2n

]Lk = 2 sin

[(2 k+1)π

L0 L21

ck =Ckωp R

lk =Lk R

0 1 2 3 4 5 6 7 80

f (GHz)

Q = XR

T (p) =ω2o

p2 + ωoQop+ ω2

ωo =1

RradicC1C2

radicC1

1 10 100 1000 10000

f(kHz)

T (z) = minus C1C3

CACBmiddot z(

+ 1)z2 +

(C2 C3CA CB

Ti(f) =1

z minus 1

j 2π f Ts

p2 + ωoQop+ ω2

1 http wwwlinearcom

ωo middot Ts =

radicC2C3

CACB G =

C2 Qo =

radicC2C3

T1 Ti = kiNiDi

105 Exercices

partω

∣∣∣∣ωo

105 EXERCICES 117

utileSignal

5 10 150

Canal 2

f (MHz)

Antenne

Meacutelangeur

Canal 1

BIBLIOGRAPHIE 119

Bibliographie

Chapitre 11

111 Introduction

-Z1 Z3

ougrave Yi = 1Zi

H(jω) =minusH0

2 Pour R2 gt R1

H0 =R2

2 middotR1

2 middotR1 middotRV

radicR1 +RV

tg = minus dφ

∣∣∣∣ω=ω0

=2 middotQω0

Rcar=150 KΩ

Chapitre 12

121 Introduction

documentsTP

-Z1 Z3

ougrave Yi = 1Zi

H(jω) =minusH0

3 Pour RB gt RA

H0 =RB

2 middotRA

2 middotRA middotRV

radicRA +RV

tg = minus dφ

∣∣∣∣ω=ω0

=2 middotQω0

Rcar=150 KΩ

5 Conclure

Chapitre 13

131 Introduction

Tconv= 1

+infinsum

Xlowast(f) =1

TeX(f) lowast

+infinsum

1331 Deacutenitions

2+ b2[k]

2n+ e = N [k]

2nb+1+ e

= Vmin +Nq +q

000 000

y3by2b

xlowast(t)

a[k] = N [k]q +q

111a[k]

minus 14minus 1

2minus 34-1

minus 58

minus 78

minus 38

minus 18

nb=3 PE=2 V q=025 V

entre analogique

code de sortie

entre analogique

minusq2

σ2 =1

+q2int

minusq2

e2de =q2

minusq2 +q2

+fe2int

minusfe2

dspedf =q2

12avec dspe =

12fe(7)

+fe2intminusfe2

|Signal (f)|2df

+fe2intminusfe2

dspedf

Pe =q2

1222nb(9)

SQNR =3

2middot 22nb middot

(2 middotAmpPE

DSP DSP

12timesFe

12timesF primee

-F primee2 F prime

OSR =F primee

2timesBw

(2 middotAmpPE

)+ 10 log(OSR) (12)

V ref VA

b1 (22)

b2 (21)

b3 (20)

V ref8

2V ref8

3V ref8

4V ref8

5V ref8

6V ref8

7V ref8

b1 b2 b3

Figure 136 CAN ash

1 si resi gt

V ref2

0 sinon

C2C4C2nminus1C C

V re f2

Logique

de controcircleSAR

minusV re f2

V re f2

resi+1 =

resi minus V ref

2i+1 si bi = 1

res1 = V e

biV ref

2i+V ref

Mi Bits

+- yi[n]xi[n]

Entreacutee

f (MHz)

Signalutile

n f il

Interfereurs

)pour x ge 1

Mi Bits

+- yi[n]xi[n]

111Sortie CNA

Sortie CAN

minus 12

minus 14minus 1

2minus 34-1

minus 58

minus 78

minus 38

minus 18

b) M=3 V re f =2a) M=1 V re f =2

aglob[n] = a1[n] +

isumj=2

Mjminus1

ou en dautre termes

aglob[n] =

(a1[n] +

2M1+M2

BIBLIOGRAPHIE 145

Bibliographie

Chapitre 14

141 Introduction

DSP DSP

12timesFe

12timesF primee

-F primee2 F prime

OSR =F primee

2timesBw

142 CAN Flash

2timesBW par

C2C4C2nminus1C C

V re f2

Logique

de controcircleSAR

minusV re f2

V re f2

1 si resi gt

V ref2

0 sinon

resi+1 =

resi minus V ref

2i+1 si bi = 1

res1 = V e

biV ref

2i+V ref

R2= 0 - 100 K Ω

C1=100 nFV g

Rd = 10 KΩR1 = 100 KΩ

Chapitre 15

151 Introduction

DSP DSP

12timesFe

12timesF primee

-F primee2 F prime

OSR =F primee

2timesBw

152 CAN Flash

2timesBW par

1 si resi gt

V ref2

0 sinon

resi+1 =

resi minus V ref

2i+1 si bi = 1

res1 = V e

y =nsum

biV ref

2i+V ref

C2C4C2nminus1C C

V re f2

Logique

de controcircleSAR

minusV re f2

V re f2

154 Eets musicaux

Chapitre 16

43 kHz

canal utile4 kHz

1100f(kHz)

f(kHz)

163 Filtrage

164 Amplication

165 CONVERSION 161

165 Conversion

Annexe A

Avant propos

Filtrage analogique

Deacutenition

une liaison laire

Deacutenition

G G CAN

Oscillateur

numerique

143 Modem ADSL

puissance spectrale

frequence

LigneF iltre

numerique

analogique

Amplificateur

F iltreanalogique

Amplificateur

Interf

hybride

Interf

versDSP

Emetteur

Recepteur

Bibliographie

v=Jctk0DI7YP8

Chapitre 2

Signal dentreacutee

Reacuteponse

Signal de sortie

Valeur du signal

Systegraveme

Signaux

Amplitude

Continu

x (t )

Signal analogique

xq (t )

Discret

x (t k)≝x [k ]

xq (t k)=xq [k ]

u(t) =

0 si t lt 0

1 si t ge 0u[k] =

0 pour k lt 0

δ(t) =

0 si t 6= 0

0 pour k 6= 0

Systegravemes

y = H(x) (2)

Modeacutelisation

aiH (xi) (3)

x et y continus

RCy(1)(t) + y(t) = u(t)

Figure 25 Filtre RC

b0y(t) + b1y(1)(t) + + bny

-4 -2 0 2 4 6

y[k] = minusnsum

-4 -2 0 2 4 6

x [k ] y (t)

-4 -2 0 2 4 6

Deacutemonstration

Temps discret

x[k] =sum

y[k] =sum

Temps continu

minus τ2

δτ (t )

δ(t )=limτrarr0

δτ (t )

Figure 29

x(t) sum

x(t) =

int +infin

x(t) =

int +infin

y(t) =

int +infin

y[k] =+infinsum

X(ω) =

int +infin

X(p) =

int +infin

Fourier Laplace

Figure 210

F (p) =

int +infin

F (p) =1

αminus p[

Figure 211

exp(αt)

TL(u) =

int infin

=[minus 1

peminustp

]infin0minus

TL(u) =1

Impulsion de Dirac

TL(δ) =

int infin

TL(δ) = 1 (28)

TL(f) =

int infin

minuspplusmn jω0

]infin0minus

TL(f) =1

Lineacuteariteacute

aixi(t)

ai TL [xi(t)] (33)

TL [cos(ω0t)] = TL

2(pminus jω0)+

2(p+ jω0)=

p2 + ω20

TL [sin(ω0t)] = TL

2j(p+ jω0)=

p2 + ω20

TL[x(αt)] =1

αX( pα

[dx(t)

[int t

0minusx(τ) dτ

pX(p) (38)

f1(t) = t u(t) =

pTL(u(t)) =

p2(39)

f2(t) = t2 u(t) = 2

pTL(t u(t)) =

p3(40)

fn(t) = tn u(t) = n

pTL(fnminus1(t)) =

pn+1(41)

dp(42)

int infin

pX(p) dp (43)

eαt x(t)]

= X(pminus a) (45)

TL [x(t)] =1

1minus eminusTp

limtrarr0+

pX(p) (48)

limtrarr+infin

pX(p) (49)

X(p) =5p+ 3

p(p+ 1)(50)

pX(p) =5p+ 3

p+ 1et

x(t) =1

int σ0+jinfin

F (p) =N(p)

D(p)(53)

F (p)N(p)prodn

(p2 + ep+ f

)m E1p+F1

p2+ep+f+ E2p+F2

Deacuterivationd

dtx(t)

0x(u)du

Division1

X(p) =N(p)prodn

p = σ0 (56)

ϕ(t) = k exp (σ0t) (57)

Stabiliteacute

int +infin

Exemples

EBSB H(p) = 2p+3

termes

Tension u(t) U(p)

Courant i(t) I(p)

I(p) = R

C=1Fve (t )

v s(t )

(a) Circuit RC

1 t (s)

Ve(p) =1

p2minus 1

p2eminusp =

(1minus eminusp

vs0 = vs (0minus)

Vs(p) =1

CpIC(p) +

Vs(p) +RIC(p) = Ve(p) (64)

=Ve(p) + vs0p+ 1

Vs(p) =1

(1minus eminusp

)+ vs0

F1(p) =1

(p+ 1)p2=

p+ 1minus 1

p2=rArr f1(t) =

)u(t) (68)

F2(p) =vs0

minustu(t) (69)

1 t (s)

24 Exercices TL

BIBLIOGRAPHIE 39

avec a = 1 + R2R1

et τ = RC

Bibliographie

4XsODQAAQBAJ

Chapitre 3

31 Introduction

A =partVspartVe

Transistor MOSFET

ouvert

RT+RdV DD

Gain grand signal

A =∆Vs∆Ve

V g Rdve

gm middot ve

A(jω) =vs(jω)

ve(jω)(6)

Produit gain-bande

A(j2πf) = A01

1 + j ffc

3 dB 6 dB oct

12 dB oct

fminus180deg

33 Sources derreur

331 Bruit

10 -2 10 0 10 2 10 4 10 6

f(MHz)

PGB1x10 GHz=10 GHz

332 Distorsion

2︸︷︷︸V0

2︸︷︷︸V2

HD2minuslin =

∣∣∣∣V2

∣∣∣∣ (13)

THDlin =

|V1|(14)

THDdB = 20 log10

V 2rmsminusbruit

SNRdB = 10 log10

(PsignalPBruit

SNDRlin =PSignal

(V 22 + V 2

Et donc nous avons

Rd1 Rd2

BIBLIOGRAPHIE 53

Bibliographie

Chapitre 4

Vminuse Aminus

Vminuss

Ad =A+ +Aminus

e )3 (4)

e + 2δ middot (V +e )3 (6)

Eminus

Zs = 0

= 0 Ad = Ac et

Ac Ec AdEd +

Oset nul

Ve(ω) e(ω)A(ω)

Vs(ω)

On en deacuteduit

Vs(jω) =A(jω)

Vs(jω)

Ve(jω)=

R(jω)(12)

A(jω) =ADC

1 + j ωωc(13)

HBF (jω) =A(jω)

HBF =ADC

1 + j ωωc

1 +R ADC1+j ω

1 +R middotADC1

ou donc

HBF = HBFminusDC1

HBFminusDC =ADC

1 +R middotADC(17)

soituprime =

1 +A(p) middotR(p) = 0 (20)

VminusVe

A(p) =Vs

HBF (p) =Vs(p)

Ve(p)=

1 +A(p)(22)

p = minusADC + 1

τ(23)

Vminus

Vsminusaop

A2(p) = A2DC

1+τ2 p

VminusVeVsminusaop

VminusVsminusaop

A1(p) = A1DC

1+τ1 p

Etage 1 Etage 2

A(p) = A1(p)A2(p) = A1DCA2

DC(1+τ1 p)(1+τ2 p)

A(p) = Vsminusaop

radicminus∆

2DC (24)

HBF (jω) =A(jω)

e(ω)A(ω)

VeminusBO(ω)

VsminusBO(ω)

MP = Φ(ωT ) + π (30)

in=Iminusin

Z2I+in

Iminusin

R1et H = Z1

BIBLIOGRAPHIE 65

A(p) =Ao

(1 + τ1 p)(1 + τ2 p)avec τ1 τ2

Bibliographie

Chapitre 5

51 Echantillonnage

+infinsum

x(t)xlowast(t) (t)

+infinsum

xlowast2(t) =

+infinsum

=+infinsum

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

time (s)

x1(t) cont f1=3 Hz

x2(t) cont f2=13 Hz

Peigne de Dirac

x1(nTe) Ech f1=3 Hz

Te(t) = fe

+infinsum

TF Te(t) = (f) =

+infinint

minusinfinTe(t)e

minusj2πftdt = fe

+infinsum

Xlowast(f) = fe

+infinsum

k=minusinfin

+infinsum

feminus fe

X( f )

=Xlowast( f )

BwminusBw

feminus fe

X( f )

=Xlowast( f )

BwminusBw

minus fe

fe 2 feminus2 fe

1minus1

X( f )

n =minus2

Xlowast( f )

f ( f1)

f ( f1)n = 2

f ( f1)

n =minus1

f ( f1)

n = 1f ( f1)

f ( f1)

1minus1

X( f )

f ( f1)

f2 = 2 f1

Xlowast( f )

f ( f1)n = 1

f ( f1)

n =minus1

infinsum

F (z) =+infinsumk=0

akz_k =+infinsumk=0

(azminus1

|x [k]| lt Mαk (11)

u [k] zminusk

=+infinsum

zminusk

TZu[k] =1

δ [k] zminusk = 1

TZf [k] =

+infinsum

(eminusαzminus1

TZf [k] =1

nsumi=1

aixi [k]

nsumi=1

x(kTe)zminusk

+infinsum

y [k] =

Y (z) = X (z)Msum

brzminusr (13)

H (z) =Y (z)

X (z)=

Msumr=0

arzminusr

1 +Nsumr=1

brzminusr(14)

H(ejωTe

Msumr=0

areminusjrωT

1 +Nsumr=1

)∣∣ exp (jΦ (ω)) (15)

532 Stabiliteacute

pzzminus1

tu(t) 1p2

Tz(zminus1)2

t2u(t)2

T 2z(z+1)

2(zminus1)3

eminusatu(t) 1p+a

zzminuseminusaT

TzeminusaT

(zminuseminusaT )2

)u(t) a

p2(p+a)Tz

2 eminusatu(t) 1

(p+a)3T 2zeminusaT

(zminuseminusaT )3

minus30 30 f(Hz)

X( f )48 rarr 52-52 rarr -48

x(t)xlowast(t) (t)

BIBLIOGRAPHIE 79

Figure 511

Bibliographie

Chapitre 6

63 Analyse statique

V g Rdve

Rd=10 kΩ

gm middot ve

R2= 0 - 100 kΩ

Rd = 10 kΩ

C1=10 nF Ecouteurs

Oscilloscope

C2=10 nFR1 = 100 kΩ

question 633

Chapitre 7

73 Analyse statique

V g Rdve

Rd=10 kΩ

gm middot ve

p n u m k meg g

2k︸︷︷︸Pas

RB= 0 - 100 kΩ

Rd = 10 kΩ

CA=10 nF

CB=10 nF

REcouteurs

Vaudio

RA = 100 kΩ

Chapitre 8

81 Historique

Te (2)

Ieq =VA minus VBReq

Req =TeC

Cfe (4)

premier ordre

T (ω) =1

1 + jRCω(5)

ou encore

T (f) =1

1 + j2πRCf(6)

e (nTe))

QPC1(nTe) +QPC2

((nminus 12)Te) (8)

((nminus 1)Te) (9)

T11 (z) =V Ps (z)

V Pe (z)

1 + C2C1

V Is (z)

V Pe (z)

=zminus12

1 + C2C1

(1minus zminus1)

T12 (z) =V Ps (z)

V Ie (z)

= 0 T22 (z) =V Is (z)

V Ie (z)

S (ω)

E (ω)= eminusj πf

fe sinc

1 + C2C1

Il vient

T (ω) =1

1 + C2C1

avec la conditionf

feltlt 1

842 Contraintes

Les commutateurs

85 Applications

86 Exercices

861 Exercice 1

862 Exercice 2

BIBLIOGRAPHIE 97

H(jω) minusj ωωc

1 + j ωωc

Bibliographie

Chapitre 9

91 Introduction

+φ2 φ1

φ1Veφ2

T (z) =Vs(z)

Ve(z)=

k zminus1

p n u m k meg g

Nom du modegravele

partxpartt = ωo y

partt(nTe) equiv

partt(n) =

x(n+ 1)minus x(n)

kZminus1

1minusZminus1

minusk2zminus2

kZminus1

1minusZminus1

minusk2zminus1

radic4minus k2

radick2 minus 4

95 Eet Tremolo

Chapitre 10

Filtrage analogique

101 Introduction

Xd(f) =sum

minusFs Fs

fminusB B

FOL FIF

ikj = 0

et i = Cdv

T (p) =

mprodj=1

(pminuszj)nprodi=1

(pminuspi)(1)

pi pocircles

zj zeacuteros

n ordre du ltre

nsumi=1

Cipminuspi + Cn+1

pminusj ω

Cn+1 = [T (p)]p=j ω = T (j ω)

y(t) =nsum

i=1Ci e

infinint

minusinfin

| ln |T (f)||1 + f2

df ltinfin

1024 Gabarits

minusfc fc

|T (f)|

arg[T (f)]

h(t) =infinint

A(Ω) = 10 log10[1 + ε2 Ψ2n(Ω)] |T (Ω)|2 =

1 + ε2 Ψ2n(Ω)

0 1 Ωs Ω

Amin A(Ω) = 10 log10[1 + ε2 Ψ2n(Ω)]

Ψn(1) = 1

Amax = 10 log10(1 + ε2)

10Amax10 minus 1

Tn( ΩsΩ

n pair n impair

Ψn(Ω) = C1

n2prodi=1

Ω2minusΩ2oi

Ω2minusΩ2zi

Ω2minusΩ2oi

Ω2minusΩ2zi

minus110

Butterworth

Tchebycheff

Elliptique

Affaiblissement

0 ω2 ω

ω1 0 ω3

ω2ω1 ω4 0 ω3

ω2ω1 ω4

S = ω2p S = B

+ ωop

]minus1S = ωo

+ ωop

Ωs = ω2ω1

T (S) =1

1 + ST (j Ω) =

1 + j Ω

S =ωoB

ωo+ωop

(log)1

1|T |(log)

Q = 10

S = j Qo

ωominus ωoω

Tbp(p) =

ωoQop

p2 + ωoQop+ ω2

x(k)X(z)ej k ω T

y(k) =infinsuml=0

h(k) hArr T (z)

p = f(z) =2

z minus 1

1 + j ωa T2

1minus j ωa T2

= ej 2π f T

ωa =2

Ttan(π fd T )

p = j ωa

rArr0 1

z = ej 2π f

plan p plan z

104 Types de ltres

︸︷︷︸Pi=

︸︷︷︸Pu=

(PQ = 0)

|K|2 =PrPu

|t|2 =4R1

∣∣∣∣V2

∣∣∣∣2

Pu + Pr=

1 + |K|2

k impair k pair

Ck = 2 sin[

(2 k+1)π2n

]Lk = 2 sin

[(2 k+1)π

L0 L21

ck =Ckωp R

lk =Lk R

0 1 2 3 4 5 6 7 80

f (GHz)

Q = XR

T (p) =ω2o

p2 + ωoQop+ ω2

ωo =1

RradicC1C2

radicC1

1 10 100 1000 10000

f(kHz)

T (z) = minus C1C3

CACBmiddot z(

+ 1)z2 +

(C2 C3CA CB

Ti(f) =1

z minus 1

j 2π f Ts

p2 + ωoQop+ ω2

1 http wwwlinearcom

ωo middot Ts =

radicC2C3

CACB G =

C2 Qo =

radicC2C3

T1 Ti = kiNiDi

105 Exercices

partω

∣∣∣∣ωo

105 EXERCICES 117

utileSignal

5 10 150

Canal 2

f (MHz)

Antenne

Meacutelangeur

Canal 1

BIBLIOGRAPHIE 119

Bibliographie

Chapitre 11

111 Introduction

-Z1 Z3

ougrave Yi = 1Zi

H(jω) =minusH0

2 Pour R2 gt R1

H0 =R2

2 middotR1

2 middotR1 middotRV

radicR1 +RV

tg = minus dφ

∣∣∣∣ω=ω0

=2 middotQω0

Rcar=150 KΩ

Chapitre 12

121 Introduction

documentsTP

-Z1 Z3

ougrave Yi = 1Zi

H(jω) =minusH0

3 Pour RB gt RA

H0 =RB

2 middotRA

2 middotRA middotRV

radicRA +RV

tg = minus dφ

∣∣∣∣ω=ω0

=2 middotQω0

Rcar=150 KΩ

5 Conclure

Chapitre 13

131 Introduction

Tconv= 1

+infinsum

Xlowast(f) =1

TeX(f) lowast

+infinsum

1331 Deacutenitions

2+ b2[k]

2n+ e = N [k]

2nb+1+ e

= Vmin +Nq +q

000 000

y3by2b

xlowast(t)

a[k] = N [k]q +q

111a[k]

minus 14minus 1

2minus 34-1

minus 58

minus 78

minus 38

minus 18

nb=3 PE=2 V q=025 V

entre analogique

code de sortie

entre analogique

minusq2

σ2 =1

+q2int

minusq2

e2de =q2

minusq2 +q2

+fe2int

minusfe2

dspedf =q2

12avec dspe =

12fe(7)

+fe2intminusfe2

|Signal (f)|2df

+fe2intminusfe2

dspedf

Pe =q2

1222nb(9)

SQNR =3

2middot 22nb middot

(2 middotAmpPE

DSP DSP

12timesFe

12timesF primee

-F primee2 F prime

OSR =F primee

2timesBw

(2 middotAmpPE

)+ 10 log(OSR) (12)

V ref VA

b1 (22)

b2 (21)

b3 (20)

V ref8

2V ref8

3V ref8

4V ref8

5V ref8

6V ref8

7V ref8

b1 b2 b3

Figure 136 CAN ash

1 si resi gt

V ref2

0 sinon

C2C4C2nminus1C C

V re f2

Logique

de controcircleSAR

minusV re f2

V re f2

resi+1 =

resi minus V ref

2i+1 si bi = 1

res1 = V e

biV ref

2i+V ref

Mi Bits

+- yi[n]xi[n]

Entreacutee

f (MHz)

Signalutile

n f il

Interfereurs

)pour x ge 1

Mi Bits

+- yi[n]xi[n]

111Sortie CNA

Sortie CAN

minus 12

minus 14minus 1

2minus 34-1

minus 58

minus 78

minus 38

minus 18

b) M=3 V re f =2a) M=1 V re f =2

aglob[n] = a1[n] +

isumj=2

Mjminus1

ou en dautre termes

aglob[n] =

(a1[n] +

2M1+M2

BIBLIOGRAPHIE 145

Bibliographie

Chapitre 14

141 Introduction

DSP DSP

12timesFe

12timesF primee

-F primee2 F prime

OSR =F primee

2timesBw

142 CAN Flash

2timesBW par

C2C4C2nminus1C C

V re f2

Logique

de controcircleSAR

minusV re f2

V re f2

1 si resi gt

V ref2

0 sinon

resi+1 =

resi minus V ref

2i+1 si bi = 1

res1 = V e

biV ref

2i+V ref

R2= 0 - 100 K Ω

C1=100 nFV g

Rd = 10 KΩR1 = 100 KΩ

Chapitre 15

151 Introduction

DSP DSP

12timesFe

12timesF primee

-F primee2 F prime

OSR =F primee

2timesBw

152 CAN Flash

2timesBW par

1 si resi gt

V ref2

0 sinon

resi+1 =

resi minus V ref

2i+1 si bi = 1

res1 = V e

y =nsum

biV ref

2i+V ref

C2C4C2nminus1C C

V re f2

Logique

de controcircleSAR

minusV re f2

V re f2

154 Eets musicaux

Chapitre 16

43 kHz

canal utile4 kHz

1100f(kHz)

f(kHz)

163 Filtrage

164 Amplication

165 CONVERSION 161

165 Conversion

Annexe A

Avant propos

Filtrage analogique

Deacutenition

une liaison laire

Deacutenition

G G CAN

Oscillateur

numerique

143 Modem ADSL

puissance spectrale

frequence

LigneF iltre

numerique

analogique

Amplificateur

F iltreanalogique

Amplificateur

Interf

hybride

Interf

versDSP

Emetteur

Recepteur

Bibliographie

v=Jctk0DI7YP8

Chapitre 2

Signal dentreacutee

Reacuteponse

Signal de sortie

Valeur du signal

Systegraveme

Signaux

Amplitude

Continu

x (t )

Signal analogique

xq (t )

Discret

x (t k)≝x [k ]

xq (t k)=xq [k ]

u(t) =

0 si t lt 0

1 si t ge 0u[k] =

0 pour k lt 0

δ(t) =

0 si t 6= 0

0 pour k 6= 0

Systegravemes

y = H(x) (2)

Modeacutelisation

aiH (xi) (3)

x et y continus

RCy(1)(t) + y(t) = u(t)

Figure 25 Filtre RC

b0y(t) + b1y(1)(t) + + bny

-4 -2 0 2 4 6

y[k] = minusnsum

-4 -2 0 2 4 6

x [k ] y (t)

-4 -2 0 2 4 6

Deacutemonstration

Temps discret

x[k] =sum

y[k] =sum

Temps continu

minus τ2

δτ (t )

δ(t )=limτrarr0

δτ (t )

Figure 29

x(t) sum

x(t) =

int +infin

x(t) =

int +infin

y(t) =

int +infin

y[k] =+infinsum

X(ω) =

int +infin

X(p) =

int +infin

Fourier Laplace

Figure 210

F (p) =

int +infin

F (p) =1

αminus p[

Figure 211

exp(αt)

TL(u) =

int infin

=[minus 1

peminustp

]infin0minus

TL(u) =1

Impulsion de Dirac

TL(δ) =

int infin

TL(δ) = 1 (28)

TL(f) =

int infin

minuspplusmn jω0

]infin0minus

TL(f) =1

Lineacuteariteacute

aixi(t)

ai TL [xi(t)] (33)

TL [cos(ω0t)] = TL

2(pminus jω0)+

2(p+ jω0)=

p2 + ω20

TL [sin(ω0t)] = TL

2j(p+ jω0)=

p2 + ω20

TL[x(αt)] =1

αX( pα

[dx(t)

[int t

0minusx(τ) dτ

pX(p) (38)

f1(t) = t u(t) =

pTL(u(t)) =

p2(39)

f2(t) = t2 u(t) = 2

pTL(t u(t)) =

p3(40)

fn(t) = tn u(t) = n

pTL(fnminus1(t)) =

pn+1(41)

dp(42)

int infin

pX(p) dp (43)

eαt x(t)]

= X(pminus a) (45)

TL [x(t)] =1

1minus eminusTp

limtrarr0+

pX(p) (48)

limtrarr+infin

pX(p) (49)

X(p) =5p+ 3

p(p+ 1)(50)

pX(p) =5p+ 3

p+ 1et

x(t) =1

int σ0+jinfin

F (p) =N(p)

D(p)(53)

F (p)N(p)prodn

(p2 + ep+ f

)m E1p+F1

p2+ep+f+ E2p+F2

Deacuterivationd

dtx(t)

0x(u)du

Division1

X(p) =N(p)prodn

p = σ0 (56)

ϕ(t) = k exp (σ0t) (57)

Stabiliteacute

int +infin

Exemples

EBSB H(p) = 2p+3

termes

Tension u(t) U(p)

Courant i(t) I(p)

I(p) = R

C=1Fve (t )

v s(t )

(a) Circuit RC

1 t (s)

Ve(p) =1

p2minus 1

p2eminusp =

(1minus eminusp

vs0 = vs (0minus)

Vs(p) =1

CpIC(p) +

Vs(p) +RIC(p) = Ve(p) (64)

=Ve(p) + vs0p+ 1

Vs(p) =1

(1minus eminusp

)+ vs0

F1(p) =1

(p+ 1)p2=

p+ 1minus 1

p2=rArr f1(t) =

)u(t) (68)

F2(p) =vs0

minustu(t) (69)

1 t (s)

24 Exercices TL

BIBLIOGRAPHIE 39

avec a = 1 + R2R1

et τ = RC

Bibliographie

4XsODQAAQBAJ

Chapitre 3

31 Introduction

A =partVspartVe

Transistor MOSFET

ouvert

RT+RdV DD

Gain grand signal

A =∆Vs∆Ve

V g Rdve

gm middot ve

A(jω) =vs(jω)

ve(jω)(6)

Produit gain-bande

A(j2πf) = A01

1 + j ffc

3 dB 6 dB oct

12 dB oct

fminus180deg

33 Sources derreur

331 Bruit

10 -2 10 0 10 2 10 4 10 6

f(MHz)

PGB1x10 GHz=10 GHz

332 Distorsion

2︸︷︷︸V0

2︸︷︷︸V2

HD2minuslin =

∣∣∣∣V2

∣∣∣∣ (13)

THDlin =

|V1|(14)

THDdB = 20 log10

V 2rmsminusbruit

SNRdB = 10 log10

(PsignalPBruit

SNDRlin =PSignal

(V 22 + V 2

Et donc nous avons

Rd1 Rd2

BIBLIOGRAPHIE 53

Bibliographie

Chapitre 4

Vminuse Aminus

Vminuss

Ad =A+ +Aminus

e )3 (4)

e + 2δ middot (V +e )3 (6)

Eminus

Zs = 0

= 0 Ad = Ac et

Ac Ec AdEd +

Oset nul

Ve(ω) e(ω)A(ω)

Vs(ω)

On en deacuteduit

Vs(jω) =A(jω)

Vs(jω)

Ve(jω)=

R(jω)(12)

A(jω) =ADC

1 + j ωωc(13)

HBF (jω) =A(jω)

HBF =ADC

1 + j ωωc

1 +R ADC1+j ω

1 +R middotADC1

ou donc

HBF = HBFminusDC1

HBFminusDC =ADC

1 +R middotADC(17)

soituprime =

1 +A(p) middotR(p) = 0 (20)

VminusVe

A(p) =Vs

HBF (p) =Vs(p)

Ve(p)=

1 +A(p)(22)

p = minusADC + 1

τ(23)

Vminus

Vsminusaop

A2(p) = A2DC

1+τ2 p

VminusVeVsminusaop

VminusVsminusaop

A1(p) = A1DC

1+τ1 p

Etage 1 Etage 2

A(p) = A1(p)A2(p) = A1DCA2

DC(1+τ1 p)(1+τ2 p)

A(p) = Vsminusaop

radicminus∆

2DC (24)

HBF (jω) =A(jω)

e(ω)A(ω)

VeminusBO(ω)

VsminusBO(ω)

MP = Φ(ωT ) + π (30)

in=Iminusin

Z2I+in

Iminusin

R1et H = Z1

BIBLIOGRAPHIE 65

A(p) =Ao

(1 + τ1 p)(1 + τ2 p)avec τ1 τ2

Bibliographie

Chapitre 5

51 Echantillonnage

+infinsum

x(t)xlowast(t) (t)

+infinsum

xlowast2(t) =

+infinsum

=+infinsum

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

time (s)

x1(t) cont f1=3 Hz

x2(t) cont f2=13 Hz

Peigne de Dirac

x1(nTe) Ech f1=3 Hz

Te(t) = fe

+infinsum

TF Te(t) = (f) =

+infinint

minusinfinTe(t)e

minusj2πftdt = fe

+infinsum

Xlowast(f) = fe

+infinsum

k=minusinfin

+infinsum

feminus fe

X( f )

=Xlowast( f )

BwminusBw

feminus fe

X( f )

=Xlowast( f )

BwminusBw

minus fe

fe 2 feminus2 fe

1minus1

X( f )

n =minus2

Xlowast( f )

f ( f1)

f ( f1)n = 2

f ( f1)

n =minus1

f ( f1)

n = 1f ( f1)

f ( f1)

1minus1

X( f )

f ( f1)

f2 = 2 f1

Xlowast( f )

f ( f1)n = 1

f ( f1)

n =minus1

infinsum

F (z) =+infinsumk=0

akz_k =+infinsumk=0

(azminus1

|x [k]| lt Mαk (11)

u [k] zminusk

=+infinsum

zminusk

TZu[k] =1

δ [k] zminusk = 1

TZf [k] =

+infinsum

(eminusαzminus1

TZf [k] =1

nsumi=1

aixi [k]

nsumi=1

x(kTe)zminusk

+infinsum

y [k] =

Y (z) = X (z)Msum

brzminusr (13)

H (z) =Y (z)

X (z)=

Msumr=0

arzminusr

1 +Nsumr=1

brzminusr(14)

H(ejωTe

Msumr=0

areminusjrωT

1 +Nsumr=1

)∣∣ exp (jΦ (ω)) (15)

532 Stabiliteacute

pzzminus1

tu(t) 1p2

Tz(zminus1)2

t2u(t)2

T 2z(z+1)

2(zminus1)3

eminusatu(t) 1p+a

zzminuseminusaT

TzeminusaT

(zminuseminusaT )2

)u(t) a

p2(p+a)Tz

2 eminusatu(t) 1

(p+a)3T 2zeminusaT

(zminuseminusaT )3

minus30 30 f(Hz)

X( f )48 rarr 52-52 rarr -48

x(t)xlowast(t) (t)

BIBLIOGRAPHIE 79

Figure 511

Bibliographie

Chapitre 6

63 Analyse statique

V g Rdve

Rd=10 kΩ

gm middot ve

R2= 0 - 100 kΩ

Rd = 10 kΩ

C1=10 nF Ecouteurs

Oscilloscope

C2=10 nFR1 = 100 kΩ

question 633

Chapitre 7

73 Analyse statique

V g Rdve

Rd=10 kΩ

gm middot ve

p n u m k meg g

2k︸︷︷︸Pas

RB= 0 - 100 kΩ

Rd = 10 kΩ

CA=10 nF

CB=10 nF

REcouteurs

Vaudio

RA = 100 kΩ

Chapitre 8

81 Historique

Te (2)

Ieq =VA minus VBReq

Req =TeC

Cfe (4)

premier ordre

T (ω) =1

1 + jRCω(5)

ou encore

T (f) =1

1 + j2πRCf(6)

e (nTe))

QPC1(nTe) +QPC2

((nminus 12)Te) (8)

((nminus 1)Te) (9)

T11 (z) =V Ps (z)

V Pe (z)

1 + C2C1

V Is (z)

V Pe (z)

=zminus12

1 + C2C1

(1minus zminus1)

T12 (z) =V Ps (z)

V Ie (z)

= 0 T22 (z) =V Is (z)

V Ie (z)

S (ω)

E (ω)= eminusj πf

fe sinc

1 + C2C1

Il vient

T (ω) =1

1 + C2C1

avec la conditionf

feltlt 1

842 Contraintes

Les commutateurs

85 Applications

86 Exercices

861 Exercice 1

862 Exercice 2

BIBLIOGRAPHIE 97

H(jω) minusj ωωc

1 + j ωωc

Bibliographie

Chapitre 9

91 Introduction

+φ2 φ1

φ1Veφ2

T (z) =Vs(z)

Ve(z)=

k zminus1

p n u m k meg g

Nom du modegravele

partxpartt = ωo y

partt(nTe) equiv

partt(n) =

x(n+ 1)minus x(n)

kZminus1

1minusZminus1

minusk2zminus2

kZminus1

1minusZminus1

minusk2zminus1

radic4minus k2

radick2 minus 4

95 Eet Tremolo

Chapitre 10

Filtrage analogique

101 Introduction

Xd(f) =sum

minusFs Fs

fminusB B

FOL FIF

ikj = 0

et i = Cdv

T (p) =

mprodj=1

(pminuszj)nprodi=1

(pminuspi)(1)

pi pocircles

zj zeacuteros

n ordre du ltre

nsumi=1

Cipminuspi + Cn+1

pminusj ω

Cn+1 = [T (p)]p=j ω = T (j ω)

y(t) =nsum

i=1Ci e

infinint

minusinfin

| ln |T (f)||1 + f2

df ltinfin

1024 Gabarits

minusfc fc

|T (f)|

arg[T (f)]

h(t) =infinint

A(Ω) = 10 log10[1 + ε2 Ψ2n(Ω)] |T (Ω)|2 =

1 + ε2 Ψ2n(Ω)

0 1 Ωs Ω

Amin A(Ω) = 10 log10[1 + ε2 Ψ2n(Ω)]

Ψn(1) = 1

Amax = 10 log10(1 + ε2)

10Amax10 minus 1

Tn( ΩsΩ

n pair n impair

Ψn(Ω) = C1

n2prodi=1

Ω2minusΩ2oi

Ω2minusΩ2zi

Ω2minusΩ2oi

Ω2minusΩ2zi

minus110

Butterworth

Tchebycheff

Elliptique

Affaiblissement

0 ω2 ω

ω1 0 ω3

ω2ω1 ω4 0 ω3

ω2ω1 ω4

S = ω2p S = B

+ ωop

]minus1S = ωo

+ ωop

Ωs = ω2ω1

T (S) =1

1 + ST (j Ω) =

1 + j Ω

S =ωoB

ωo+ωop

(log)1

1|T |(log)

Q = 10

S = j Qo

ωominus ωoω

Tbp(p) =

ωoQop

p2 + ωoQop+ ω2

x(k)X(z)ej k ω T

y(k) =infinsuml=0

h(k) hArr T (z)

p = f(z) =2

z minus 1

1 + j ωa T2

1minus j ωa T2

= ej 2π f T

ωa =2

Ttan(π fd T )

p = j ωa

rArr0 1

z = ej 2π f

plan p plan z

104 Types de ltres

︸︷︷︸Pi=

︸︷︷︸Pu=

(PQ = 0)

|K|2 =PrPu

|t|2 =4R1

∣∣∣∣V2

∣∣∣∣2

Pu + Pr=

1 + |K|2

k impair k pair

Ck = 2 sin[

(2 k+1)π2n

]Lk = 2 sin

[(2 k+1)π

L0 L21

ck =Ckωp R

lk =Lk R

0 1 2 3 4 5 6 7 80

f (GHz)

Q = XR

T (p) =ω2o

p2 + ωoQop+ ω2

ωo =1

RradicC1C2

radicC1

1 10 100 1000 10000

f(kHz)

T (z) = minus C1C3

CACBmiddot z(

+ 1)z2 +

(C2 C3CA CB

Ti(f) =1

z minus 1

j 2π f Ts

p2 + ωoQop+ ω2

1 http wwwlinearcom

ωo middot Ts =

radicC2C3

CACB G =

C2 Qo =

radicC2C3

T1 Ti = kiNiDi

105 Exercices

partω

∣∣∣∣ωo

105 EXERCICES 117

utileSignal

5 10 150

Canal 2

f (MHz)

Antenne

Meacutelangeur

Canal 1

BIBLIOGRAPHIE 119

Bibliographie

Chapitre 11

111 Introduction

-Z1 Z3

ougrave Yi = 1Zi

H(jω) =minusH0

2 Pour R2 gt R1

H0 =R2

2 middotR1

2 middotR1 middotRV

radicR1 +RV

tg = minus dφ

∣∣∣∣ω=ω0

=2 middotQω0

Rcar=150 KΩ

Chapitre 12

121 Introduction

documentsTP

-Z1 Z3

ougrave Yi = 1Zi

H(jω) =minusH0

3 Pour RB gt RA

H0 =RB

2 middotRA

2 middotRA middotRV

radicRA +RV

tg = minus dφ

∣∣∣∣ω=ω0

=2 middotQω0

Rcar=150 KΩ

5 Conclure

Chapitre 13

131 Introduction

Tconv= 1

+infinsum

Xlowast(f) =1

TeX(f) lowast

+infinsum

1331 Deacutenitions

2+ b2[k]

2n+ e = N [k]

2nb+1+ e

= Vmin +Nq +q

000 000

y3by2b

xlowast(t)

a[k] = N [k]q +q

111a[k]

minus 14minus 1

2minus 34-1

minus 58

minus 78

minus 38

minus 18

nb=3 PE=2 V q=025 V

entre analogique

code de sortie

entre analogique

minusq2

σ2 =1

+q2int

minusq2

e2de =q2

minusq2 +q2

+fe2int

minusfe2

dspedf =q2

12avec dspe =

12fe(7)

+fe2intminusfe2

|Signal (f)|2df

+fe2intminusfe2

dspedf

Pe =q2

1222nb(9)

SQNR =3

2middot 22nb middot

(2 middotAmpPE

DSP DSP

12timesFe

12timesF primee

-F primee2 F prime

OSR =F primee

2timesBw

(2 middotAmpPE

)+ 10 log(OSR) (12)

V ref VA

b1 (22)

b2 (21)

b3 (20)

V ref8

2V ref8

3V ref8

4V ref8

5V ref8

6V ref8

7V ref8

b1 b2 b3

Figure 136 CAN ash

1 si resi gt

V ref2

0 sinon

C2C4C2nminus1C C

V re f2

Logique

de controcircleSAR

minusV re f2

V re f2

resi+1 =

resi minus V ref

2i+1 si bi = 1

res1 = V e

biV ref

2i+V ref

Mi Bits

+- yi[n]xi[n]

Entreacutee

f (MHz)

Signalutile

n f il

Interfereurs

)pour x ge 1

Mi Bits

+- yi[n]xi[n]

111Sortie CNA

Sortie CAN

minus 12

minus 14minus 1

2minus 34-1

minus 58

minus 78

minus 38

minus 18

b) M=3 V re f =2a) M=1 V re f =2

aglob[n] = a1[n] +

isumj=2

Mjminus1

ou en dautre termes

aglob[n] =

(a1[n] +

2M1+M2

BIBLIOGRAPHIE 145

Bibliographie

Chapitre 14

141 Introduction

DSP DSP

12timesFe

12timesF primee

-F primee2 F prime

OSR =F primee

2timesBw

142 CAN Flash

2timesBW par

C2C4C2nminus1C C

V re f2

Logique

de controcircleSAR

minusV re f2

V re f2

1 si resi gt

V ref2

0 sinon

resi+1 =

resi minus V ref

2i+1 si bi = 1

res1 = V e

biV ref

2i+V ref

R2= 0 - 100 K Ω

C1=100 nFV g

Rd = 10 KΩR1 = 100 KΩ

Chapitre 15

151 Introduction

DSP DSP

12timesFe

12timesF primee

-F primee2 F prime

OSR =F primee

2timesBw

152 CAN Flash

2timesBW par

1 si resi gt

V ref2

0 sinon

resi+1 =

resi minus V ref

2i+1 si bi = 1

res1 = V e

y =nsum

biV ref

2i+V ref

C2C4C2nminus1C C

V re f2

Logique

de controcircleSAR

minusV re f2

V re f2

154 Eets musicaux

Chapitre 16

43 kHz

canal utile4 kHz

1100f(kHz)

f(kHz)

163 Filtrage

164 Amplication

165 CONVERSION 161

165 Conversion

Annexe A

Avant propos

Filtrage analogique