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Mthode des Ensembles deNiveaux par Elments Finis P1

Jrme Piovano

Stage de DEA

Sous lencadrement de Thodore Papadopoulo

INRIASophia Antipolis

Projet Odysse

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Introduction1.

Segmentation dimage Trouver des regions dimages selon certaines caractristiques

lments finis Mthode dapproximation discrte de fonctions continues

Implmenter la mthode des ensembles de niveaux laide des lments finis

Ensembles de niveaux ou Levels Sets Modlise lvolution dune hypersurface travers une fonction continue Application la segmentation dimage

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Plan

Dfinitions Ensemble de niveaux lments finis

Modlisation quations dvolution

Discrtisation temporelle Discrtisation spatiale

Algorithmique Notion de bande volution de la bande

Simplification des quationsRsultats volution par courbure moyenne volution pour contour godsiques

Conclusion

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Dfinitions

volution de linterface par lintermdiaire de lafonction distance

= 1 = Dtection de contours godsiques.

Schmas par bande bases de diffrences

finies instabilit

Ensembles de niveaux ouLevels Sets

t+ |r| = 0;

Interface reprsente par le niveau 0 dune fonction distance

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Dfinitions

Approximation discrte dune fonction continue1. Partitionnement de lespace en lments formant un maillage

2. Calcul des valeurs de aux sommets du maillage3. Reprsentation de par interpolation linaire de ses valeurs aux sommet

Mthode deslments finis

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Plan

Dfinitions Ensemble de niveaux lments finis

Modlisation quations dvolution

Discrtisation temporelle Discrtisation spatiale

Algorithmique Notion de bande volution de la bande

Simplification des quationsRsultats volution par courbure moyenne volution pour contour godsiques

Conclusion

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Modlisation

Soit u lapproximation de la fonction distance par lment finis

udfinie par 2 facteurs:

Espacement constant entre ses diffrents niveaux

Vitesse dvolution

Calculs des valeurs de u sur les sommets du maillage en minimisant unenergie associe a ces 2 termes

(rxu)2 - 1 = 0

ut - = 0

Calcul de la fonction distance grce aux lments finis

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Modlisation

u(x, t + t) = u(x, t) + v(x, t)

v(x, t) = u(x, t + t) - u(x, t)

v(x, t) = t ut(x, t)

Exprimer lvolution de u sous forme discrte dans le temps.

v = Pas dvolution

Discretisation temporelle

(rxu)2 - 1 = 0

ut - = 0

(rxu + rxv)2 - 1 = 0

v - t= 0

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Modlisation

Discretisation spatiale

Discretisation de Galerkin : Utilise des fonctions de bases comme des

fonctions tests mesurant la dviation auvoisinage du sommet auquel elles sont attaches

(rxu + rxv)2 - 1 = 0

v - t= 0s((ru + rv)2- 1)i = 0 8i 21 ns(v - t)i= 0 8i 21 n

Rsolution dun systme de 2n quations ninconnues qui est donc surdtermin

Rsolution par moindres carrs

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Modlisation

On peut exprimer les quations prcdente en fonction des valeurs auxsommets du maillage de uet v

Reformulation des quations

s((ru + rv)2- 1)i (u + v)TQi(u + v) - sis(v - t)i Piv - tsi

Les vitesses ncessitent le calcul dune drive secondethoreme de Green

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Plan

Dfinitions Ensemble de niveaux lments finis

Modlisation quations dvolution

Discrtisation temporelle Discrtisation spatiale

Algorithmique Notion de bande volution de la bande Simplification des quations

Rsultats volution par courbure moyenne volution pour contour godsiques

Conclusion

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Algorithmique

Adaptation du problme un maillage 2D rgulier

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Algorithmique

La fonction distance nest pas calcul sur la totalit de lespace, mais auvoisinage du niveau 0 Ajout des lments proches du niveau 0

Suppression des lments loigns du niveau 0

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Algorithmique

Dynamique dvolution

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Algorithmique

Les equations devolutions peuvent se simplifier sur des maillages 2Drguliers des calculs par difference finies.

Sur un maillage de type:

(u + v)TQ0(u + v)1/6((S2- S3)2+ (S3- S4)2+ (S5- S6)2+ (S6- S1)2) +

1/3((S1- S0)2+ (S2- S0)2+ (S4- S0)2+ (S5- S0)2)

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AlgorithmiqueAvantage de la methode

Les equations devolutions peuvent se simplifier sur des maillages 2Drguliers des calculs par difference finies.

Sur un maillage de type:

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Fin