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ELG3575
10. La modulation FM à large bande
La modulation de fréquence à large bande (« Wideband FM » - WBFM)
• La modulation FM à bande étroite exige que F << 1.
• Alors tous les signaux FM pour lesquelles ce n’est pas vrai sont considérés d’être la modulation à large bande.
• Cependant, typiquement F > 1
• Pour la modulation FM à large bande, la largeur de bande du signal modulé est plus large que la modulation des signaux FM à bande étroite parce que fmax est plus grande.
• Alors, le spectre d’un signal FM à large bande est non zéro sur une plus grande gamme de fréquences.
Signal WBFM pour m(t) = Amcos2fmt et son enveloppe complexe.
• Prenons l’exemple où m(t) = Amcos2fmt.
• Le signal FM est :
tftfAtff
kAtfAts mFccm
m
fmccFM 2sin2cos2sin2cos)(
tftfjcFM
mFceAts 2sin2Re)(
})(~Re{)( 2 tfjFMFM
cetsts
)2sin()(~ tfjcFM
mFeAts
La série de Fourier de l’enveloppe complexe du signal WBFM pour m(t) = Amcos2fmt.
• L’enveloppe complexe du signal FM dans ce cas est un signal périodique avec fréquence fondamentale fm.
n
tnfjnFM
meSts 2~)(~
m
m
mmF
m
m
mmF
f
f
tnftfjcm
f
f
tnfjtfjcmn
dteAf
dteeAfS
2/1
2/1
)2)2sin((
2/1
2/1
2)2sin(~
où
La série de Fourier de l’enveloppe complexe du signal WBFM pour m(t) = Amcos2fmt.
• En remplaçant 2fmt par x, devient
• La fonction de Bessel du premier genre d’ordre n, Jn() est donnée par :
• Alors
nS~
dxe
AS nxxjcn
F )sin(
2
~
dxeJ nxxj
n)sin(
2
1)(
)(~
Fncn JAS
La série de Fourier de l’enveloppe complexe du signal WBFM pour m(t) = Amcos2fmt.
• Alors l’enveloppe complexe peut être exprimé par
• Et le signal FM est:
n
tnfjFncFM
meJAts 2)()(~
nmcFnc
n
tnftfjFnc
tfjFMFM
tnffJA
eJA
etsts
mc
c
))(2cos()(
)(Re
})(~Re{)(
)22(
2
Le spectre du signal WBFM quand m(t) = Amcos2fmt.
• Le spectre de ce signal est :
• Cette expression démontre que le spectre du signal FM consiste d’un nombre infini d’impulsions aux fréquences f = fc+nfm.
• Alors la largeur de bande théorique d’un signal FM est infinie. • Cependant, des propriétés de la fonction de Bessel du premier
genre, la plupart des impulsions de l’expression ci-dessus ne contribuent pas beaucoup à la puissance du signal FM.
• Nous définissons la largeur de bande pratique d’un signal d’être la largeur de bande qui au moins 99% de la puissance totale du signal.
nmcmcFn
cFM nfffnfffJ
AfS )()()(
2)(
La fonction Jn()
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Jn()
n=0
n=1n=2
n=3
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Jn()
n=0
n=1n=2
n=3
Les propriétés de Jn()
Si n est un entier :
Jn() = J-n() pour n paire
et
Jn() =-J-n() pour n impaire
Quand << 1
J0() ≈ 1
J1() ≈ /2
et
Jn() ≈ 0, n > 1
nnJ 1)(2
1)
2)
3)
4) Im{Jn()}=0
Puissance du signal FM
• La puissance d’un signal FM est :
• Si on trouve la puissance à partir de l’expression ci-dessus, on trouve:
2
2c
FMA
P
nmcFncFM tnffJAts ))(2cos()()(
nFn
c JA
P )(2
22
Filtrage d’un signal FM pour limiter sa largeur de bande.
B
f
x(t)
nmcFnc
FM
tnffJA
ts
))(2cos()(
)(
-fc fc
B
f
x(t)
nmcFnc
FM
tnffJA
ts
))(2cos()(
)(
-fc fc
Nous voulons choisir B pour que la puissance de x(t) soit au moins 0.99× la puissance de sFM(t).
où X est la plus grande valeur de n qui satisfait les relations :
X
XnmcFnc tnffJAtx ))(2cos()()(
2
BfXff cmc et
2
BfXff cmc
• La puissance de x(t) est :
• Alors, on doit choisir X pour que :
• On sait que Jn2(F) = J-n
2(F). Alors
X
XnFn
cx J
AP )(
22
2
99.0)(2
X
XnFnJ
99.0)(2)(1
220
X
nFnF JJ
Valeurs de la fonction Jn(). n =0.1 =0.2 =0.5 =1 =2 =3 =5 =10
0 0.997 0.99 0.938 0.765 0.224 -0.2601 -0.178 -0.246
1 0.05 0.1 0.242 0.44 0.577 0.3391 -0.323 0.043
2 0.001 0.005 0.031 0.115 0.353 0.4861 0.047 0.255
3 2×10-5≈0 1.6×10-4 0.0026 0.02 0.129 0.3091 0.365 0.058
4 0.002 0.034 0.1320 0.391 -0.220
5 0.007 0.0430 0.261 -0.234
6 0.001 0.0114 0.131 -0.014
7 0.0025 0.053 0.217
8 0.018 0.318
9 0.006 0.292
10 0.001 0.207
11 0.123
12 0.063
13 0.029
Exemple
• Le signal m(t) = Amcos(2fmt) va être transmis en utilisant la modulation FM. Trouvez la largeur de bande pratique pour
(a) Am = 5V, fm = 20 Hz et kf = 4 Hz/V
(b) Am = 10V, fm = 400 Hz et kf = 200 Hz/V.
• SOLUTION
(a) Dans cette exemple, F = (5)(4)/(20) = 1. On doit trouver X
pour que S = . Du tableau, si X = 1, S =
(0.7652+2×0.442)=0.9648. Si X = 2, S = 0.9648+2×0.1152 = 0.9912. Alors X = 2 et B = 4fm.
(b) Ici, F = (10)(200)/(400) = 5. Il faut que X = 6, pour que S = 0.994. Alors B = 12fm.
99.0)(2)(1
220
X
nFnF JJ
La règle de Carson
• Pour m(t) = Amcos(2fmt), si nous évaluons la largeur de bande pour chaque où est un entier, on trouve que X = +1.
• Alors, on estime la largeur de bande pratique du signal FM B = 2(F+1)fm.
• Pour n’importe quel signal m(t) avec valeur maximum Am et largeur de bande Bm, la largeur de bande du signal modulé est difficile à trouver.
• Mais le pire cas, c’est quand c’est quand le spectre du signal m(t) est concentré autour de la fréquence f = Bm (comme une onde sinusoïdale).
• Alors, la largeur de bande d’un signal FM, BFM, qui transmet le signal m(t) est estimée par la loi de Carson qui dit :
mFFM BB )1(2 (*****)