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ELIMINATION D E S B R O U I L L E U R S P A R T R A I T E M E N T OPTIMAL D'ANTENNE
Henr i MERMOZ, Ing6nieur en chef des t616communications *
SOMMAIRE. - - Une antenne composde de N dldments sensibles recoil de l'extdrieur des bruits el du signal. Ce dernier est issu d 'une source unique. On sail qu 'un ensemble de N filtres optimalise alors la ddleclion. Dans certaines conditions le bruit peul ~lre dlimind totalement sans que le s ignal lui-mgme le soil. Le plus gdndralemenl, ces conditions ne sonl pas maHrisables par le seal ehoix de la valeur de N. Cependant si les bruits parasites sonl produits par un hombre limitd de sources discr~tes ind6pendantes , on montre que N capleurs dliminenl N-1 bruiteurs ft route /rdquenee. L 'ensemble capleurs-bruileurs ddfinit le filtrage dl iminateur (N-fi l lres) . II peut se /aire alors qu'une classe parliculidre de sources tides aux N-1 bruiteurs soient s imul tandmenl dlimi- nables par le m~me filtrage ; it [aut dviler, si cela est possible, que la source-signal ne /asse partie de celte classe. Ces r@les gdndrales sont illustrdes pour N = 2 el N = 3 sous des hypotheses simplifieatriees qui rdduisenl le probl~me aux disposit ions gdomdtriques relatives de N eapteurs poncluels el de N-1 brouilleurs poneluels. yLorsque N augmente le syst~me devienl de plus en plus sp~eifique. S a u l disposit ions particulidres des capteurs, la classe des sources dliminables par un filtrage donnd - - classe que la source-signal doll dviter - - a tendance
se rdtrdcir.
PLAN. - - �9 1 : Rappe ls sur le traitement opt imal d'antenne. �9 2 : Reprdsentation de l'ensemble des s ignaux. �9 3 : Reprdsentation de l 'ensemble des bruits parasi tes; filtrage optimal. �9 4 : Cas o& le bruit parasite est dliminable. �9 5 : Bru i t s parasites & structure discrOte, bruiteurs el brouilleurs. �9 6 : E l im ina t ion des bruiteurs (1 route frdquence. �9 7 : Conditions d 'dl iminalion clu s ignal dz route frdquence. �9 8 : Broui l leurs el eapteurs ponctuels en champ libre. �9 9 : E l im ina t ion ~, gdomdtrique ~> de deux brouilleurs par trois capteurs. �9 10 : Gdndralit~s sur l '~limination ~ gdomdtrique ~> pour N >1 4. �9 Conclusion. �9 Annexe .
�9 Bibl iographie (8 r6f.).
t . B 2 k P P E L S S U R L E T R A I T E M E N T O P T I M A L D ' A N T E N N E
I1 est bien connu depuis quelques ann6es (*) que lorsqu 'une an tenne compor te plusieurs capteurs rece- r a n t chacun du signal et du b ru i t paras i te , il existe une fa~on op t imale d 'u t i l i se r les sorties de ces 616ments pour ob ten i r le mei l leur r a p p o r t s igna l /bru i t possible. Cette u t i l i sa t ion opt imale , au sens de la th6orie de la d6tect ion si les b ru i t s sont gaussiens, dans un sens plus res t r ic t i f s ' ils ne le sont pas, consiste h f i l t rer chaque sort ie de cap teu r pa r un filtre l in6aire conve- nab lemen t choisi et ik add i t ionner les tensions de sortie des filtres.
Ces N filtres, co r respondan t h N capteurs , consti- tuen t un f i l t rage op t imal . Ils sont d6finis :
a) en fonct ion des densit6s spectrales et des inter- corr61ations des N bru i t s paras i tes suppos6s station-
naires ;
b) en fonct ion des s ignaux. Ceux-ci sont suppos6s de tou te fa~on ind~pendants des bruits paras i tes . A condi t ion d ' exp r imer convenab lemen t l ' ensemble "des N signaux, on peu t englober dans le m6me formal isme les s ignaux cer ta ins (non al6atoires) et les s ignaux al6atoires (b ru i t s - s ignaux s ta t ionnaires) .
(*) Voir bibliographic.
2. B E P R I ~ , S E N T A T I O N D E L ' E N S E M B L E D E S S I G N A U X
Le formal i sme matr ic ie l s ' imposan t dans cc genre de probl~me, il sera util is6 ici sous la forme la plus s imple possible, en n ' i n t r o d u i s a n t que des mat r ices carr6es iN, N/ et des matr ices- l ignes [1, N] .
Lorsqu ' i l s ' ag i t de s ignaux cer ta ins , repr6sentons l ' ensemble signal pa r N fonc t ions de la fr6quence v :
s j (v ) , 1 ~< ] ~< N ,
qui seront les imaginai res conjugu6s des spectres de N s ignaux cer ta ins S j(/) recueil l is sur les capteurs .
O n a :
(s 7 (~) ~ sj (t), i sj ( , ) ~ s* ( - t),
off le signe * repr6sente l ' imag ina i re conjugu6 et off le signe ~- repr6sente la t r ans fo rma t ion de Four ie r . L ' ensemble signal est repr6sent6 ma t r i c i e l l emen t pa r la mat r ice- l igne s(v) des fonct ions s / ( , ) , ou encore
pa r le vec teur s de composan te s s/(v) dans l ' espace complexe ~ N dimensions,
Lorsqu ' i l s ' ag i t de s ignaux al6atoires s ta t ionna i res , l ' ensemble signal est d6fini pa r la matrice d'intercorr~-
lation des N bru i t s -s ignaux. Rappe lons que ce t te
* Attach6 aux Services techniques de l'Arm6e.
- - 2 8 2 - -
t. 24, n ~ 7-8, I~#~;!lJ
matr iee est earrde {N, N], hermi t ienne ddlinie positive. Les 616ments en sont les transformdes de Fourier :
yjk (v) ~ Pjk (t),
des fonetions d'intercorr61ation des N brui ls pris deux h deux (les 616ments diagonaux sont les densitds
spectrales). Appelons Ys (v) cette matrice et introduisous l 'hypo-
th~se, ici n6cessaire, dite de ~, l 'origine commune ,,
ou de la <, source unique ,~, des N brui ts-s ignaux.
Cette hypoth6se consiste ia admet t re que les N brui ts -s ignaux proviennent lous d'mt bruit-signal unique h t ravers des t ransformat ions (retards de pro- pagation, a t tdnua t ion s61ective, diffraction) apparte- n a n t toutes t't la classe des filtrages lira!aires.
Aut remen t dit, on admet qu 'on peut d6finir une fonction de la frdquence v, fj (~) qui reprdsente le gain complexe du filtre lindaire pe rme t t an t de passer de la source h la sortie du /e capteur (y compris le gain
de celui-ci). Cette hypoth~se rdagit sur la s t ructure de la matrice
Ys (~) dont le rang s 'abaisse /~ la valeur 1. En effet,
l'616ment (1, k) de cette matrice prend pour valeur : r162
W (v) fj (~) f~ (~),
densit6 spectrale de la source unique. off W (v) est la Posons alors :
sj (v) = lW(~)l q~ f~ (v),
ou, en 6criture matricielle (matriees-lignes) :
s(v) = I w (u)l qe f* (~).
La matrice carrOe y.s (v) preml la forme :
y~ (v) = st (~) s (v),
et il est 6vident qu'elle est de rang I.
Les fonctions s i (v) ainsi ddfinies ddrivent du sens
physique de l'hypoth0se de (, source-signal unique ,),
mais on peut, d ' une faqon plus abstrai te , les ddfinir directement ~ part ir de la matr ice ys (v) suppos~e de rang 1.
Les fonctions sj (v) s 'ob t iennent alors par diagona- l isation de cette matrice. Dans ce cas, il est 6vident
qu'elles ne sont d6finies qu"h nne m&ne lonction arbitraire prbs, de la forme :
exp [i ~ (v)],
(v) 6 tant une fonction r6elle arbitraire. De toute fa~on, l 'hypoth6se de la source unique est implicite lorsqu 'on admet que la matrice ys (v) est de rang 1.
On peut alors s '6tonner que cette hypothbse n ' a i t pas 6t6 f a r e pour les signaux r6els. En r6alitd, elle n ' a pas besoin d '6tre explieite. On peut toujours poser en effet :
s~ (~) = ~ (v) fj (~),
ee qui signifie que le signal issu du fe capteur est celui d 'une source commune a (v) ; t ransform6 par
un flltrage lin6aire fj (v) ayan t le m~me sens que prdcddemment.
Le r6sultat est le m~me, soit qn 'effect ivement il
I ~ . L I M I N A T I O N D E S B R O U I L L E U R S P A R T R A I T E M E N T O P T I M A L D ' A N T E N N E 2/12
y ait source unique ~ (v), soit que, d 'une fagon plus abs t ra i te on (( met te 6 (v) en faeteur , dans les s~" (v) recueillis sur l ' an tenne .
Dans t o u s l e s cas, l 'enseml)le signal est reprdsent6 :
--- par les s~ (v) ou sj (v),
- - par la matriee-l igne s (v),
- - par le vecteur s.
Dans le cas ou la (, source unique ,~ est une rdalitd
physique, on peut d6finir la matr iee f (v) ou le veeteur __->
[, qui repr6sente le filtrage lin6aire entre la source et l ' an tenne .
On notera alors que dans l 'espaee eomplexe h N ---->
dimensions, les vecteurs s et [* sont (( colindaires ,, c 'est-h-dire que :
s = ~ (v) I* ,
avec :
0t (v) = 6" (v) pour les signaux r6els,
a (v) = [W (v)]t] "-' pour les signaux al6atoires.
3. R E P P ~ S E N T A T I O N D E L ' E N S E M B L E D E S B R U I T S P A R A S I T E S .
F I L T R A G E O P T I M A L
Les brui ts sont N fonctions al6atoires s ta t ionnaires qnelconques et g6n6ralement intercorrdl6es. Leur
ensemble est ddfini par leur matrice d'intereorr61ation,
YB (v),
matr ice carr6e [N, N], hermit ienne ddfinie positive, dont les 61dments sont les transform6es de Fourier
des fonctions d'intercorr61ation des N brui ts parasites pris deux 'h deux. En g6n6ral, cette matr ice est tle rang N.
Les N filtres lin6aires Io rmant le filtrage opt imal que nous recherchons ont pour gain complexe :
h i (v) , 1 ~< ] ~< X.
Leur ensemble est repr6sent6 par la matrice-l igne
[1, N], h (v), dont les 616ments sont les h I (v). Les donn6es du probl6me sont done :
s (v), YB ( %
et <~ l ' inconnue ~> e n e s t :
h (v).
La solution (que nous ne d6montrerons pas car il
s'agit ici d'un rappel) s'dcrit sous la forme matricielle,
repr6sentant N 6quations lin6aires :
h(v ) YB(v) = [K exp[i ~(v)] ] s (v) ,
off :
- - K est un facteur arbitraire, inddpendant de la
[rdquence v ; il t r adu i t l '6vidence physique que les
flltres hj (v) sont d6finis h u n mOme faeteur prbs,
- - la fonction rdelle ~ (v) est ent i~rement arbi t raire darts le cas des signaux al6atoires. Dans le eas des
- - 283
3/12
signaux certains, elle d~finit u n , r e t a r d , arbi t raire t 0 :
(v ) = - - 2 ~ v t o .
II sera d6sormais implieite que les matrices carries ou les matriees-lignes utilisdes sont des fonetions de la fr6quenee v.
On posera en outre :
Q = K e x p [ i ~ (u)],
off Q est par cons6quent un sealaire dont le module
Iol ne d~pend en aucun eas de la fr~quenee u. La relat ion qui d~finit h s'~erit alors, plus rapt-
dement :
h y B = Q S .
A u x ]r~quences of~ la matrice est rdgulidre, cette
solution s 'explieite en :
h = Q S yB -1
Rappelons encore que la densitd spectrale du bruit
d la sortie du syst~me (sortie form~e par addi t ion des tensions de sortie des filtres hi (v) est donn6e, quels que soient ces filtres, par la forme b iquadra t ique non n~gative de YB :
h yB h'~.
Lorsque h est le filtrage optimal, on a : densit~ spectrale du b ru i t parasi te fi la sortie =
Q ~ s y~-~ st off IQ ~ ne d~pend pas de la fr~quence.
Le signal h la sortie du syst~me se repr~sente de
la fagon su ivante :
a) s'il s 'agi t de s ignaux certains, le spectre du signal
de sortie est le scalaire :
h St = E h ] (u) s~' ( v ) , t
quand le filtrage h est optimal , cette expression prend la valeur :
O s 7~ -z s t ,
eL l 'on peut dire que le module du spectre du signal de sortie a la m~me ]orme que la densit6 spectrale du b ru i t pa r a s i t e ; ils ne different en effet que du coefficient
I QI ind6pendan t de u ;
b) s'il s 'agi t de s ignaux al~atoires, la densitd spec- trale du bruit-signal h la sortie du syst~me est la forme b iquadra t ique non n6gative de ys (matriee d ' in ter- eorr61ation des bru i t s -s ignaux i :
h y , h i ;
mais on sait que :
y , = s t s ,
eL cette densit~ devient :
h s * s h e = Ihs~[Z;
quand h e s t le filtrage optimal, on a : densit4 spee- trale de signal h la sortie = IQI (s yB -x S?) z, et l 'on peut dire que la densit6 spectrale du signal a la /orme du carr6 de la densit6 speetrale du bru i t
parasite.
H. MERMOZ [ANNALES DI~8 T]~L~COMMUNICATI0r~S
Dans t o u s l e s cas, le filtrage opt imal donne la valeur maximale compatible auec les donndes, au rapport (scalaire non n~gatif) :
p = h , ,
qui est le rapport des ~ densit~s speetrales , du signal
el du bruit, en 6 tendan t cette expression, dans le cas des s ignaux certains, au carrd du module du spectre du signal de sortie (*).
La valeur de p rendue rnaximale par le ffitrage opt imal est :
Pm~ = s yn -1 s t ,
et ne d6pend ni du coefficient IQI arbi t ra i re ni de la fonetion ~ (~) en part ie ou to t a l emen t arbitraire.
La valeur de p ~ mesure la <, performance ~ du filtrage optimal. Elle ne d~pend que des donn~es :
s et YB
mais peut ~tre, effectivement, plus ou moins ~lev~e su ivan t la fa~on dont sont constitu~s les s ignaux et les bruits.
Nous allons h present nous int~resser plus par t icu- l i~rement aux structures de brui ts et de s ignaux qui rendent cette performance (, tr~s ~lev~e ,).
4. GAS O U L E B I : t U I T P A R A S I T E E S T ] ~ L I M I N A B L E
Les expressions pr~c6dentes qui con t i ennen t yB -1
n ' o n t de sens que si la matr ice YB est r~guli~re. Les 616ments de la matr ice inverse yB -1 sont des
fractions dont le d~nominateur est le d~ te rminan t de YB. Si cette matr ice (( tend }) h devenir non rdguli~re, son d6 te rminan t (~ tend )> vers z~ro et les ~l~ments de yB -1 peuven t tendre vers (~ l ' inf ini ,>.
On soup~onne donc que la valeur de p .... pen t
devenir tr~s grande lorsque la matr ice YB est non r~guli~re. Cela signifierait que la (c performance )) du filtrage opt imal pourra i t 6tre (~ infinie ~) pour pen que les bruits parasites s'g prdlent.
Supposons par consequent que des brui ts soient teas que, dans un domaine de fr~quence D, plus ou moins ~tendu, la matr ice YB soil non r~guli~re.
E n calcul matriciel , cela signifie qu ' i l existe h chaque valeur de v de ce domaine D :
i - - un vecteur g de l 'espace complexe ii N dimen- sions et de composantes gl (v) ;
t - - u n e matrice-l igne g d '~ldments gl (v),
les g] (~) n'~tant ]amais tous identiquement nuls sur
aucune {r~quence de D, et tels que :
g YB = O, ~ D .
Le veeteur g est une direction proprc de YB,
mais la valeur propre correspondante est nulle. Si alors on consid~re les g] (v) comme les gains
(*) Expression impropre, en toute rigueur, puisque la seconde quantit6 n'a pas les dimensions d'une densit6 spectrale.
284 - -
t. 24, n ~ 7-8, 1969]
c o m p l e x e s de fl l tres l indaires ut i l isds c o m m e les fil tres
h p r d c 6 d e m m e n t , la densit~ spectrale du bruit ~ la
sortie du sys t~me est la fo rme b i q u a d r a t i q u e :
g Y8 g r �9
Cet t e q u a u t i t 6 est nui le d a n s le d o m a i n e D :
g YB g~" : O, v ~ D .
Le filtrage g est done dliminateur (*) de bruit dons
le domaine D. N o u s v e n o u s d 'u t i l i se r le fa i t que :
g y u : O,
en t r a ine :
g YB g t : o .
On p e u t .montrer que la r(~ciproque est vraie parce
que la m a t r i c e YB est d6finie pos i t ive . On p e u t done
dire que l'existence d'un filtrage g dliminaleur de bruit
dans un d o m a i n e D entratne la non-r~gularit~ de la
matrice YB dans ce domaine . Les p ropos i t i ons success ives ci-apr6s sont done
t o u t e s dqu iva len tes , l ' une d ' e n t r e elles e n t r a l n a u t
t ou t e s les au t res :
- - YB non rdguli~,re (au moius une v a l e u r
p rop re nulle) , -_+
- - ex i s t ence de g, d i rec t ion p r o p r e de YB,
e o r r e s p o n d a n t h une v a l e u r 1)ropre nul le , u ~ D
- - g Y B = O,
- - g yB g t = o,
- - f i l t rage g d l imina t eu r de brui t .
En rr pour certaines structures des bruits
parasites qui r e n d e n t la m a t r i c e YB non rdguli~re, on
peut lrouver un fillrage g qui ~!limine le bruit. I1 est diffieile d ' i m a g i n e r une me i l l eu re faqon d ' am6-
l iorer le r a p p o r t s igna l /b ru i t h la sort ie . Eneore/aut-il
qu'il y air du signal daus le d o m a i n e spec t ra l D.
Or, p o u r eela, il fau t :
a) que les d ldments de la ma t r i e e - l i gne s qu i ddfini t
l ' e n s e m b l e s ignal ne soient pas tous nuls h t o u t e frd-
quenee du d o m a i n e D. Nous a d m e t t r o n s eeei qui
r e v i e n t h dire qu'il g a du signal, dans ce doma ine ,
sur Ies entrdes ;
b) que le s ignal de sor t ie :
- - de spec t re g s ' f ( s ignaux cer ta ins) ,
- - de dens i td spec t ra le Igs, I ( s ignaux aldatoires) , ne soi t pas lui attssi annuld dans le d o m a i n e D, pa r
une e o m b i n a i s o n m a l c h a n e e u s e en t r e les s ignaux et
les f i l t res gj (u) alors que ces f i l t res sont ddfinis par
les seuls bruits parasites.
Ainsi , h r i n t d r i e u r du cas pa r t i cu l i e r , et spde i a l emen t
p r o m e t t e u r de f i l t rage o p t i m a l <, b ru i t pa r a s i t e dlimi-
(*) Cette expression a un sens limit6 et, ne prend en compte que des bruits , ext6rieurs ~ h l'antenne. On peut montrer en effet que les bruits thermiques, pr6sents sur chaque cap- teur et inddpendants d'un capteur A l'autre, emp~chent la matriee yn de d6gdndrer tout h faR, sur aucune fr6quence. I1 y aura toujours, bien 6videmment, un bruit thermique r6siduel, occupant tout le spectre.
~ 2 L I M I N A T I O N D E S B R O U I L L E U R S P A R T R A I T E M E N T O P T I M A L D ' A N T E N N E 4/12 uab le ,), suscep t ib le d ' e n t r a i n e r un (~ r a p p o r t s ignal /
b ru i t inf ini ~), se p rdsen te un sous-cas d6 favorab le
(, s ignal dl imind pa r le f i l t rage d l im ina t eu r de b ru i t ,).
Ce sous-cas se t r a d u i t pa r la re la t ion :
g s ~ = 0 ,
c 'es t -h-d i re pa r l ' o r t h o g o n a l i t d des v e e t e u r s g et s.
Or g est une d i rec t ion p ropre de YB (h v a l e u r
p ropre uulle). On sai t que t ou t e s les d i r ec t ions p ropres
d ' u n e m a t r i c e h e r m i t i e n n e son t o r t hogona l e s en t re
elles. La cond i t i on p rdc~dente signif ie done que le - +
v e c t e u r s a p p a r t i e n t au m ~ m e (~ h y p e r p l a n ,> que (ou
b ien : est ~ cop lana i r e ,> avec) les N - 1 d i rec t ions ---N
propres au t res que g.
Nous al lons h p rdsen t a p p l i q u e r les rdsu l ta t s pr~c6-
den t s h des s t r u c t u r e s par t ieu l i~res de b ru i t s suscep-
t ib les d ' d l i m i n a t i o n to ta le .
5. B R U I T S P A R A S I T E S A S T R U C T U R E D I S C R ~ . T E .
B R U I T E U R S E T B R O U I L L E U R S
Nous n ' a v o n s pas fa i t j u s q u ' i c i d ' h y p o t h 6 s e sur la
s t r u c t u r e de la m a t r i c e YB saul h d i s t ingue r les cas off
elle 6 ta i t r6guli6re ou non r6guli~re.
P o u r prdciser ee t t e s t r uc tu r e , il f a n t savo i r q u e l q u e
chose sur la r 6 p a r t i t i o n des sources de b ru i t paras i te .
Sur ce t t e r6pa r t i t i on , on p e u t fa i re d e u x hypo th6se s
oppos6es, en la s u p p o s a n t c o n t i n u e ou d i scont inue .
P a r exemple , le c lass ique (, b r u i t o m n i d i r e c t i o n n e l ,~
d6r ive d ' u n e r6pa r t i t i on con t inue . Mats nous nous
iu tdresserons ici au c o n t r a i r e / t un mi l i eu oh les causes
d o m i n a n t e s de b ru i t son t le fa i t de sources discrOtes
(non i n f i n i m e n t vois ines) , pratiquement ponetuelles et
inddpendantes statistiquemenl entre elles ( c o m m e de la
source-s ignal) .
U u te l mod61e est un module de bruiteurs (prOs de
l ' a n t e n n e ) et de b rou i l l eurs (loin de l ' an t enne ) . C o m m e
nous l ' a v o n s fa i t pour la source-s ignal , nous suppo-
serons q u ' e n t r e une source q u e l c o n q u e de b r u i t et
un e a p t e u r q u e l c o n q u e ne se p r o d u i s e n t que des t rans -
f o r m a t i o n s ( re ta rds , a t t e n u a t i o n sdleet ive, d i f f rac t ions ,
r6flexions, etc.) de la elasse des f i l t rages l in6aires.
Cherehons alors l ' exp re s s ion de la m a t r i e e YB
lo rsque les N e a p t e u r s son t en pr6senee de b r u i t e u r s
inddpendan t s . Ce t t e i nd6pendance e n t r a i n e l ' a d d i t i v i t d des in te r -
cor rd la t ions dues a u x p sources de bru i t s , en t r e c h a q u e
pai re de cap teur . R 6 p 6 t a n t un r a i s o n n e m e n t fa i t p o u r
la source-s ignal appe lons :
Wp ( v ) ,
la densi t6 spec t ra le de la pe source, et :
f~ ( v ) ,
le ga in c o m p l e x e du f l l t rage l in~aire qu i f a r passer
de ce t t e source h la sor t ie du ]e cap teur .
La c o n t r i b u t i o n de la source p au t e r m e (], k) de YB
2 8 5 - -
5/12
(~ l ' intercorr~lat ion globale entre les capteurs ] et k)
est : w~ (~) t~ (~) [t~ (v)l*.
En posant :
~v (v) = [w~ (~)l'l ~ [q~
cette cont r ibut ion s'6crit :
[~ (~)]* ~ (v).
Si cette source 6tait seule, la matr ice TB s'~crirait :
off r est la matr ice- l igne des q~ (v).
En pr6sence de P sources, on a : p = p
Chacune des P matr ices ~ t r est carr ie IN, N]
hermit ienne, d~finie posit ive et de rang 1. Mais la matr ice YB est a priori de rang N. I1 s 'agit
de savoir dans quelles condit ions l 'ensemble des P brui teurs est ~liminable (~ en bloc ,, dans un domaine
de fr~quence D. I1 revient au m6me de chercher si dans un tel do-
maine il existe un filtrage [liminateur g r6pondant fi :
g y B = 0 .
Notons que tous les vecteurs <~ colin~aires , au
vecteur g pr6c~dent, c 'est-h-dire de la forme :
~(~) g,
off ~(v) est un scalaire quelconque, correspondent 6ga- lement h u n filtrage ~liminateur. Un tel filtrage est
done d~fini par une direction dans l 'espace complexe. Ses composantes, les gains complexes des filtres, sont
d6finies h une m6me fonct ion arbi t raire pr~s. Sa d6finition est donc plus <~ libre ~> que celle du
filtrage opt imal h dans le cas g~n6ral (pour lequel seule une fonction de phase ~ (v) est par t ie l lement
ou to ta lement arbi t ra i re (w 3).
6. ~.LIMINATION DES B ~ U I T E U B S A TOUTE FP~QUENCE
La condi t ion :
g Y B = 0
peut 6ventuel lement 6tre remplie, ~ certaines fr6-
quenees (domaine D l imit 0 pour un nombre P quel-
eonque et m6me pour :
P > ~ N .
On ne peut rien dire de tr~s g6n6ral sur ce sujet. Par eontre, u n cas int6ressant se pr6sente aussit6t , dfi
la s t ructure particuli~re de y , off l '61imination se produi t d route fr~quence.
Ce cas est :
P < ~ N - - 1 .
H. M E ~ M O Z [ANNALES DES TI~I.I~COMMUNICATIONS
En effet, dans ce cas, ii existe un vecteur g au moins qui r6pond h :
= 0 ,
pour toutes les valeurs de p.
Les P relations analogues fi la pr6c~dente expr iment ---->
en effet que g est orthogonal h P veeteurs cpp. Ces veeteurs sont donn6s - - li~s aux sources donn~es
de b ru i t - - dans l 'espace complexe ~ N dimensions. Si P = N - 1, et s'il n 'ex is te aueune colin~arit6
entre deux veeteurs epp queleonques, ces veeteurs
d~finissent un , hyperp lan ,. Le veeteur g est alors
par fa i t ement d~fini (~ une colin~arit~ pros, c'est-~-dire en direction) comme l a , normale * h e e t (, hyperplan ,.
Sans utiliser d 'analogie g~om~trique, on peut dire
que les eomposantes de g sont d~finies h u n faeteur pros, par les N - 1 relations,
g l* = 0 ,
g .t : o ,
qui forment un syst~me lin~aire et homog6ne de
N - 1 ~quations h N inconnues (et ceci h chaque fr~quence).
--+ Le vecteur g, le flltrage g , les filtres gl (v) sont done
calculables ~ route [r~quence.
Si P < N - - 1, ou s'il y a des colin6arit6s entre les
~ , le choix du veeteur g est encore plus libre et l 'on peut t rouver plusieurs solutions (non colin~aires).
II est clair que l 'existence de g tel que :
g ~%t = 0, u p , ent ra ine :
g yB = Z g r r = o . p
Par consdquent, d route [r~quence, le filtrage g ~l#nine l'ensemble des bruiteurs.
II est tou]ours possible d'dliminer, d toute /rdquence, N - 1 bruiteurs avee N capteurs.
--> Le ~r vecteur 61 imina teur , g est gdn~ralement d~fini
de far unique comme orthogonal aux N - - 1 vecteurs --> ~ qui ddfinissent les sources de bruits par rappor t aux
capteurs.
Dans les N - 1 relat ions qui d6finissent g :
g ~ o ~ t = 0, 1 <<. p <~ N - - t , --->
on peut aussi bien remplacer chaque vecteur Op par un vecteur qui lui soit colin~aire.
* Or ~ est colin6aire h f~ en raison de la relat ion d~jh
posde : ~ (v) = [W~ (~)pl~ (f~ @))*.
On peut done aussi bien d6flnir g par :
g f ~ = 0.
- - 286 - -
t. 24, n ~ 7-8, 1969]
I1 en r6sul te que le filtrage dl iminateur it route [rd-
quence de N - - 1 bruiteurs ne ddpend pas des densilds spectrales de ces sources de bruit, mats seulement des
(~ incidents de parcours ~ enlre sources el eapteurs (y
compr i s la t r ave r s6e dc ccux-ci) .
Ce r6su l t a t est b ien li6 an sens p h y s i q u e pr~t6 - +
a u x v e c t e u r s f. Si une p a r t de ces <, i nc iden t s de pa rcou r s ~> 6 ta i t
comnmne it tous les tra]ets en t re la source p e t les - +
N cap t eu r s , le v e c t e u r fp p o u r r a i t encore 6tre (, s im-
plif i6 ,> d ' u n f ac t eu r c o m m u n h rou t e s ses c o m p o s a n t e s
ff (~). Tel est le cas pa r e x e m p l e si les capteurs sont iden-
tiques. Leur gain comman s' t!limine alors de la ddfinition - - - ~ - - - - N
de g, car t ous les v e c t e u r s fp p e u v e n t cn ~tre d6bar-
rass~s p a r f ac to r i sa t ion .
D a n s ce r t a ins cas, l ' a t t 6 n u a t i o n s61ective en t r e
sources et c a p t e u r s p e u t 6tre 6 g a l e m e n t 6cart6e. P o u r
les b r u i t e u r s (proches des cap teurs ) , elle est par fo is
n6gl igeable , dans la b a n d e u t i l e du moins . P o u r un
b rou i l l eu r (loin des cap teurs ) , elle est s ens ib l emen t
la m 6 m e p o u r t o u s l e s t r a j e t s en t r e ce b rou i l l eu r et
les cap teurs . Le v e c t e u r [p c o r r e s p o n d a n t p e u t en
6tre simplif i6.
L o r s q u e b r u i t e u r s e t c a p t e u r s son t plac6s (, en
c h a m p l ibre ~> ou dans des cond i t i ons su f f i s ammen t
p roches du c h a m p l ibre, la d i f f rac t ion p e u t 6trc
n6glig6e.
Bref , il ex is te un ce r t a in h o m b r e d ' h y p o t h 6 s e s
id6al i santes , ma t s p laus ib les , qu i t e n d e n t h r a m e n e r
les f i l t rages l in6aires 1' h de s imples retards de parcours.
du moins pour ce qui coneerne la d~finilion de g .
Sous ces hypo th6ses , le p r o b l 6 m e se r am~ne ent i~re-
m e n t h la configuration g~omdtrique r e l a t i v e des sources
et des cap teurs .
N o u s les appe lons donc hypothdses de g~omdtrisalion,
et nous v e r r o n s p lus loin que lques exemple s t ra i t6s
dans ce cadre .
Mais t e r m i n o n s - e n a u p a r a v a n t avec le cas de P
sources de b ru i t l o r sque :
P > ~ N .
I1 n ' e s t pas poss ible en g6n6ral de t r o u v e r un v e c t e u r ---->
g o r t h o g o n a l s i m u l t a n 6 m e n t h t o u s l e s v e e t e u r s q~v,
mo ins que ceux-c i n ' a p p a r t i e n n e n t j u s t e m e n t /k un
m ~ m e ~ h y p e r p l a n ,>. U n e te l le a p p a r t e n a n c e se t r a d u i t
a lors p a r :
P - - N + I ,
r e l a t ions l in6aires en t r e les ? v .
On se r e t r o u v e alors dans le cas p r6c6den t a v e c g
o r t h o g o n a l h u n h y p e r p l a n d6fini p a r N - 1 v e c t e u r s
% p a r m i les P ex i s t an t s , les au t res a p p a r t e n a n t h c e
m 6 m e h y p e r p l a n .
II y a alors gl imination de toutes les sources dt loule
]rdquence, mais c ' e s t au p r i x d ' u n e d i spos i t ion r e l a t i v e
pa r t i cu l i6 re de eel les-ei , d i spos i t ion qui co r r e spond
t ~ L I M I N A T I O N D E S B R O U I L L E U R S P A R T R A I T E M E N T O P T I M A L D ' A N T I Z N N E 6/12
la (r cop lan6ar i t6 ~> de t o u s l e s v e e t e u r s %
R 6 c i p r o q u e m e n t d ' a i l l eurs , lorsqu'on ~limine N - 1
sources avec N capteurs, le filtrage g ainsi ddfini ~limine @alement d'aatres sources ...... h t o u t e s f r6quences , e t
quel les quc so icn t les densi t6s spec t ra les - - p a r t i c u -
l i~ remen t (, ifien plac6es ,> pa r r a p p o r t a u x N - - 1 sources
<, or ig inales ,~.
Ce son t celles d o n t les v e c t e u r s ~q sout coplanaires
a u x N -- 1 v e c t e u r s ~v o r ig inaux .
On p e u t aussi dire que les v e c t e u r s fq son t <, copla-
naires ,> a u x N - 1 v e c t e u r s fv o r ig inaux .
Par ro t les sources <, q ~> <, supp l6men ta i r e s ,> coplanaires
a u x sources <, p ~> or ig ina les et 61imin6es en m e m e
t e m p s qu 'e l les , f iguren t les sources colin~aires h cha-
curie des sources or iginales .
B ien que ceci soit clair d ' apr6s le c o n t e x t e , pr6cisons
l ' a b u s de l angage pr6c6dent .
U n e source q est col in6ai re ~ unc source p si :
t ~q - ~ ( ~ ) ~ v ,
i - + - ~ lq - - :r (v) l v ,
off ~ (v) est un scala i re que l conque .
U n e source q est cop lana i r e h d e u x sources p e t p'
si :
, _ + _ + r /q = cr (v) fv + ~* (v) fp' ,
off ~ (v) et ~ (v) son t des scala i res que lconques .
7. C O N D I T I O N S D ' ~ . L I M I N A T I O N D U S I G N A L
A T O U T E FB]~QUENCE
N o u s v e n o n s de vo i r q u ' u n e source de b ru i t est
61imin6e pa r un f i l t rage g si s o n v e c t e u r q~v est o r tho-
gona l h g :
g q~vr = 0 ,
ou encore si :
g f v = 0 ,
p u i s q u e / ~ est col in6aire "~ q~v �9
N o u s av ions v u 6 g a l e m e n t que la c o n d i t i o n g6n6rale
d '61 imina t ion de la source-s igna l d6finie p a r s 6 ta i t
( w
g s t = o .
Le v e c t e u r s est d ' a i l l eurs d6fini pa r r a p p o r t /~ la
source-s igna l c o m m e un v e c t e u r q~ pa r r a p p o r t ~ une
source de b r u i t . D a n s le cas off la , s o u r c e - u n i q u e ,>
est une r6al i t6 p h y s i q u e , les c o m p o s a n t e s du v e c t e u r
s se f a c t o r i s e n t d ' u n t e r m e c o m m u n r e p r 6 s e n t a n t la
source seule e t d ' u n t e r m e r e p r 6 s e n t a n t le t r a j e t
en t re la source et le ]e cap teur .
- - 2 8 7 - -
7 / 1 2
On a vu en effet (w 2) que : ---->
s = ~ (~) l * ,
avec ~(v) : a* (v) pour les signaux r6els, ~(v) : [W (v)]~/"~ pour les signaux al6atoires.
---> ___>
Le vecteur f a l e m~me sens qu ' un vecteur / p . La condit ion d '~ l iminat ion de la source-signal
s'~crit done :
g f = 0
m a i s / ne serf pas d d~finir g. Ce sont les sources de
bru i t parasi te qui le d~finissent par les [~ .
Une source-signal sera done ~limin~e h toute
fr~quence si son vecteur [ e s t coplanaire ~ toute
fr~quenee, aux N ~ 1 vecteurs /p qui d~finissent l '~l iminat ion des brui teurs .
En r~sum~, ~viter qu'une souree-signal ne soil ~limin~e
par le fiUrage ~liminateur de N - 1 brouilleurs donn~s, c'esl ~viter qu'elle ne ]asse part& de la classe des sources
simultandment ~liminables par le m~me filtrage. L'~tude de la non-~l iminat ion de la source-signal
se confond, par consequent , avec la recherche des sources ~liminables en m~me temps que N - - 1 sources
donn~es. Dans la condit ion :
g f = 0 ,
le vecteur I peu t fitre remplac~ par un veeteur colin~aire.
Toutes les possibilit~s de factorisat ion qui d6rivent des , hypotheses de g~om~trisation , envisag~es au
paragraphe 6 sont done applicables. Dans certaines condit ions il peut ~tre possible de r~duire le vecteur
1, pour ce qui concerne l '~l iminat ion ou la non-~limi- na t ion de la source-signal, i~ exprimer les seuls retards
de t ra je ts entre la source-signal et les capteurs.
8. B R O U I L L E U B S E T C A P T E U R S P O N C T U E L S
E N C H A M P L I B R E
Cas N = 2.
Nous allons h present, pour t ra i ter compl~tement quelques exemples simples, nous r~duire jus tement l ' un des cas off le probl~me est purcment g~om~trique. Id~alement, consid~rons N ~ 1 brui teurs ponctuels ind~pendants et N capteurs ponctuels identiques, dans un milieu ind~fini, done, en champ libre et sans diffraction appreciable.
De plus, nous admet t rons qu ' i l s 'agit p lu t6 t de
N ~ 1 brouilleurs, c'est-h-dire de sources de bru i t plac~es assez loin des capteurs, de telle sorte que l 'affaiblissement de propagat ion sph~rique soit sensi- b lement le m~me entre une source donn~e et tons les capteurs. (Cette s i tua t ion n '~ t an t pas ~vidente sur les figures 1 et 2, il importe de bien la noter.) Cet affaiblissement pour ra done se me t t r e en facteur, et
par consequent non signiflcatif, dans le vecteur / de chaque source.
H. M E R M O Z [ANNALES DES Ti~LI~COMMUNICATION8
Pour la m~me raison, l ' a t t~nua t ion s~lective est suppos~e identique, done non signifieative, entre une source et tous les capteurs.
En r~sum~, on se ram~ne aux conditions, [quelque peu acad~miques sans aucun doute, mais il s 'agit
d ' un exemple d 'appl icat ion] , off les / ~ , ddbarrassds des facteurs communs, non significatifs dans les relations d 'orthogonali t~, n ' exp r imen t plus que les retards entre une source et les capteurs.
Par consequent :
f~ (v) = exp [-- 2 7z i v xvl 1,
off xvl est le re tard de propagat ion entre la source p et le capteur ].
De m6me, pour la source-signal et dans les memes conditions, on aura :
fj (v) : exp [-- 2 7: i v vvt ] .
Rappelons alors que : soient N capteurs C 1 , C 2 ... CN et N - - 1 brouilleurs B, B ' , B" , etc., le filtrage 61iminateur g est d6fini par :
g f ~ = O, 1 <<. p <~ N - - 1 .
Toutes les sources de brui ts parasi tes , iei les points
de l 'espaee, telles que :
g f q = O,
sont ~galement 61imin6es. Tout vecteur /q est alors
coplanaire aux N - 1 vecteurs [p . La source de signal sera aussi ~limin~e si :
g f = 0 .
Commen~ons par le cas tr~s simple de deux capteurs
C t et C 2 et d ' u n seul b ru i teur B (Fig. 1).
r - - - . . ~ . C2
Fig. 1 . - Elimination d'un brouflleur par deux eapteurs.
--->
I1 n ' y a q u ' u n seul veeteur lp qu 'on appellera ici - + fB de composantes :
exp [-- 2 r: i v v l ] ,
exp [-- 2 7: i v v~].
Le filtrage g est d6flni par :
g"fB=O, soil :
gl (v) exp [-- 27: i v zi] + g2 (v) exp [-- 27: i v ~2] = 0,
c'est-h-dire, /t un flltrc arbi t ra i re pros, X (v) :
g t (v) : ~.(v) exp [-- 2 7: i v v2] ,
g~ (v) = - - X (v) exp [-- 2 7: i v Xl] .
- - 2 8 8 - -
t . 24 , l| O~ 7-8, 1969]
Le f i l t r age 61 i m i na t eu r se c o m p o s e d ' u n e l igne h
r e t a r d v2 plaeOe de r r ib re C1 , e t d ' u n e l igne "h r e t a r d
% p lac6e de r r ib re C2. L a d i f fdrenee 6 l imine b i e n le
b r u i t , que l que soi t le f i l t re X (v), p l ac6 en s6rie a v e e
e h a e u n e des d e u x l ignes h r e t a r d , ou plae6, de fac, on
6 q u i v a l e n t e , sur la so r t i e g6n6rale .
Les sourees X 61imin6es en m 6 m e t e m p s q u e 1~ onL
u n v e e t e u r [ e o p l a n a i r e a /B.
Mais d a n s u n espace e o m p l e x e h d e u x d i m e n s i o n s
s e u l e m e n t , e o p l a n d a r i t 6 e t eo l i n6a r i t 6 se e o n f o n d e n t . --->
Les [ x ( d ' a i l l e u r s o r t h o g o n a u x h g) s o n t d o n e eo l in6a i res
5 [B:
l x = o: (,~) /B ,
off ~ (v) es t u n e f o n c t i o n a r b i t r a i r e de v.
P o s o n s ~ g a u x h x 1 e t x~ les r e t a r d s r e s p e e t i f s d ' u n e
sou rce X <, eo l in6a i re ,> ~. B. On a u r a :
exp [ - - 2 r: i v x,)] := ~ ( v ) exp [ - - 2 r: i v %] ,
exp [ - - 2 7v i v Xl] = ~ ( v ) exp [ - 2 r: i v %] ,
que l l e q u e so i t la f r 6 q u e n c e v.
Ceei en t r a~ne :
;F2 - - - X I : = %'2 - %'1"
Les sources X se lrouve,tt doric sur une ,zappe d'hgper-
boloide ddfinie par le point B el les logers C~ el C 2.
T o u t e sou rce s i tu6e su r c e t t e n a p p e es t 61imin6e
h t o u t c f r 6 q u e n c e , c o m m e B e l l e -m6me , p a r le f i l t r age
61iminateur de B .
Toule source de signal qui serail, par malchance, silu&
sur la mdme surlace serait ~!galetnenl <;limin& g~ loulc
[rdquence.
Le p roe6d6 n ' e s t d o n e u t i l e que p o u r des sources-
s igna l s i tu6es en d e h o r s de e e t t e n a p p e h y p e r l ) o l i q u e
d6f in ie p a r l ' a n t e n n e e t le b r ou i l l eu r .
E L I M I N A T I O N D E S B O B U I L L E U n S P A R T R A I T E S I E N T O P T I M A L D ' A N T E N N E 8 / 1 2
9. r (( G C . O M I ~ T R I Q U E )) D E D E U X B R O U I L L E U R S
P A R T R O I S C A P T E U B S
Sous les m 6 m e s h y p o t h 6 s e s expos6es au d 6 b u t d u
p a r a g r a p h e 8, e x a m i n o n s le cas de d e u x b r o u i l l e u r s
B e t B ' e t de t ro i s c a p t e u r s C 1 C 2 C a (Fig . 2). Ce cas
es t i n t 6 r e s s a n t p a r c e q u e <~ l ' e s p a e e c o m p l e x e ~ N
d i m e n s i o n s >> d6j'h 5 v o q u 6 est , ici h t r o i s d i m e n s i o n s ,
t o u t c o m m e l ' e s p a e e <( o r d i n a i r e )) off se t r o u v e n t
p h y s i q u e m e n t loeal is6s les e a p t e u r s .
On a u r a :
- + ~ exp [ - - 2 ~ i v v z ] ,
[B i e x p [-- 2 r: i v % ] ,
exp [ - - 2 x i v v a ] ,
--> i exp [ - - 2 7c i v v~] , !
[B, ~ e x p [-- 2 rc i v v~ ] ,
exp [ - - 2 x i v va]."
E s t <, co l in6a i r e ,) ~ l ' m l e de ees sourees , h B p a r
e x e m p l e , t o u t e s o u r e e X te l le q u e :
exp [ - - 2 r r i v x l ] = ~ ( v ) exp [ - - 2 r : i v % ] ,
exp [ - - 2 r : i v x2] = ~ ( v ) exp [ - - 2 r : i v % ] ,
exp [-- 2 rc i v xa] = ~ ( v ) exp [ - - 2 x i v % ] ;
ee qu i e n t r a l n e :
X 1 - - X 2 = T 1 - - - T 2 ,
Xl -- X 3 ~ TI -- ~ 3 )
(v) = exp [ - 2 rr i v0 ] ,
a v e c 0, n o m b r e r~el a r b i t r a i r e .
Les sources X (~ co l in~a i res )) /t B s o n t d o n c s i tu6es
'a l ' i n t e r s e c t i o n de d e u x n a p p e s h y p e r b o l i q u e s r e spec -
t i v e m e n t d~f inies p a r :
- - B eL foyer s C1 e t C 2 ,
- - B e t foye r s C, e t C a .
C1
/ / / /
/ I / /
e.( / / // % C2 ~; " --" ,.~1 + ' ~ - \ / / /
\A .-%~ / / / ~ "
B '~('... \ 5 \
<�9
Retards [_~ "r + "~; ]chan,ementdesi~e
Fiitre Somme X/~)
arbitrair~
Fig. 2. - El iminat ion de deux brouilleurs par trois capteurs.
- - 2 8 9 - -
9/12
Leur lieu est donc une courbe de l 'espace. (Si los trois capteurs sont align6s, cette courbe est le cercle passant
par B et dont le plan est normal h la droite C 1 C~ Cs .) Les sources colin6aires h B e t les sources colin6aires
B' (deux courbes de l 'espace) sont 61imin6es par le
filtrage ~, 61iminateur de B e t B', dont on donnera plus loin l 'expression.
Mais, a priori, ce ne sont pas les seules.
Toutes les sources X ~ coplanaires ~ h / B e t ~ /S' sont 6galement 61imin6es.
Pour l 'ensemble des sources X 61imin6es par g, les retards xl, x2, x 3 v6rifient, quelle que soil la [rdquence, les relations :
exp[-- 2z: i v Xl] = or (v) exp[-- 2z: i v %-1] + ~ (v) X exp [-- 2 ~ i v TI ] ,
exp[-- 2~: i v xi] = o~ (v) exp[-- 2 x i v "~] + ~ (v) X exp [ ~ 2 x i v "r
exp[-- 2 x i vxa] = ~r exp[-- 2 ~ i v %-a] + ~(v) X exp [-- 2 h i v T~],
off a (~) et ~ (v) sont des fonctions arbitraires de v. Par cons6quent, le d6 te rminan t ci-aprSs doit
s ' annuler h toute fr6quence :
exp[-- 2x i VXl] e x p [ - - 2 x i v %'1] e x p [ - - 2 n i v z~]
exp[-- 2re i v x~] exp[--2~: i ~ v~] exp[ - -2x i v T'~] = 0 .
exp[-- 2~:i ~ xs] exp [ - -2x i v Ts] exp[--27: i v %-~]
Lorsqu 'on discute en d6tail toutes les solutions possibles de la relat ion pr@6dente, qui d6finit le lieu des sources X, on t rouve :
a) que si les sources B e t B ' sont plac6es de fa~on abso lument quelconque par rappor t aux capteurs
C 1 C~ et C a l e s seules sources X possibles sont les sources colin6aires h B e t les sources colin6aires h B ' , d6jfi d6finies (deux courbes de l 'espace, 6ventuelle-
men t deux cercles si les capteurs sont align6s) ; b) que si les points B e t B ' sont situ6s sur une m6me
nappe hyperbol ique a y a n t pour foyers deux des trois capteurs (si par exemple : z I -- %-~ = %-'x-- T~.) r o u t e s les sources situ6es sur cette nappe sont 61imin6es par g. Cette nappe cont ient d 'ai l leurs les sources colin6aires h B ou h B ' (sur deux courbes). Pour les autres ponts; il s 'agit d 'une , vraie ~ coplan6arit6 entre :
f x , fB, fB' .
La nappe en quest ion, [points B et B ' et foyers
C 1 et C~], est bien le lieu des sources X 61iminables
en m~me temps que B et B'. E n faR, dans un cas de ce genre, il y a u n capteur de trop (le troisi~me) qui
ne sert ~ r ien et un b ru i t eur ~, de trop ~> d6j~ 61imin6
en meme temps que l ' au t re sur les seuls capteurs C1
et C~ ; c) que si, enfin, les deux sources B e t B' sont coli-
n6aires entre elles par rappor t aux trois capteurs - - c 'est-h-dire situ6es sur la m6me intersect ion de deux nappes hyperboliques l 'une de foyers C 1 et C~, l ' au t re
de foyers C1 et Cs
H. MERMOZ [fl-NNALES DES TI~LI~COMMUNICATIONS
T 1 - T2 = %"1- %. '2'
T1- TS = T t l - T 'S'
alors toutc source de l 'espace est 61imin6e parce que le gain du filtrage correspondant est nul s6par6ment sur les trois capteurs :
g - = 0
Les r6sultats pr6c6dents se v6rifient ais6ment sur la solution explicit6e ci-apr~s du filtrage g , et sur le sch6ma qu 'en donne la figure 2.
Si l 'on r6sout :
g ? B = 0 ,
g f B , = 0 , on t rouve :
gl (v) = k (v) [exp[-- 2 x i ~(%-~ + %-~)] - -
e x p [ - - 2 ~ i v(Ts + v'~)]] ,
g~ (~) : k (~) [ e x p [ - - 2 r: i v(zs + Ttl )] - -
e x p [ - - 2 r : i v(T 1 + T'a)]],
ga (~) = k (v) [exp[-- 2 r: i v(%- 1 + T~)] - - e x p [ - - 2 x i v(T~ + T~)]] .
i 0 . G ~ . N ~ . R A L I T ~ . S S U R L q ~ L I M I N A T I O N ~ G ~ . O M ~ . T R I Q U E ~
POUR N >~ 4
Pour N = 4 (quat re capteurs et trois brouilleurs),
on peut mont re r d 'une fa~on analogue :
a) que pour une disposition quelconque des trois brouilleurs par rappor t aux quatre capteurs, seules
peuven t ~tre 61imin6es en meme temps qu 'eux un nombre limit6 de sources, situ6es h l ' in tersect ion de trois nappes hyperboliques distinctes, c'est-h-dire d6fi- nie chacune soit par un bru i teur diff6rent, soit par une paire diff6rente de capteurs-foyers. I1 n ' y a donc pas de lieu proprement dit de sources ~liminables,
b) que si deux des trois brouil leurs se t r ouven t sur la mgme intersection de deux nappes dist inctes, toute cette intersection - - une courbe de l 'espace - - est un lieu de sources 61iminables ;
c) que si les trois brouil leurs sont sur une m6me nappe, cette nappe enti~re est un lieu de sources
61iminables ;
d) que si deux des trois brouil leurs se t rouven t ensemble faire part ie du nombre limit6 de points appa r t enan t h trois nappes distinetes, toutes les sources
de l 'espace sont 61iminables par d6g6n6rescence to ta le
du syst~me. La tendance g6n6rale i~ mesure que N augmente est
donc une c ro i s san te , difficult6 * h t rouver, en g6n6ral,
des sources 61iminables en m6me temps que N - 1
brouilleurs donn6s. Ce qui 6tait un lieu-surface pour N ---- 2 devien t
une ligne pour N = 3, puis un nombre limit6 de points pour N = 4, et s '6vanoui t pour N = 5 (points communs h quat re nappes), sauf dispositions particuli~res de
plus en plus improbables.
- - 290
t. 24, n ~ 7-8, 1969]
Le filtrage g est donc de plus en plus sp~cifique et, les chances d iminuent d'61iminer la source-signal en m~me temps que les sources bruits .
Remarquons cependant que si les capteurs sont
align~s et quel que soit leur nombre N, tou t cercle passant par un brouil leur et de plan normal h la droite (C 1 C2 ... C ) reste un lieu de sources ~liminables. Cette disposition des capteurs n 'esl donc pas ~ priori
favorable.
] ~ L I M I N A T I O N D E S B R O U I L L E U R S P A R T R A I T l V . M E N T O P T I M A L D ' A N T E N N E 10/12 oft X est un scalaire complexe arbitraire. Cette propo- sition est facile h d6montrer en choisissant des matrices x poss6dant seulement deux ~l~ments non nuls.
CONCLUSION
a) Un rappel du formalisme du t r a i t emen t optimal d ' an t enne a permis de presenter cette th6orie dans l 'hypoth~se de la (, source-signal un ique ~> et de fa~on
met t re en lumi~re les cas part iculiers oft la perfor-
mance de ce t r a i t emen t peut 6tre tr6s 61ev@ par (, ~l imination du bru i t ~>.
Ces cas coincident avec un abaissement du rang de la matr iee d' intercorr61ation des brui ts parasites. Des
relations matricielles simples pe rme t t en t alors de d6finir le filtrage opt imal 61iminateur de brui t , et d'6crire la condit ion de non-~l iminat ion simultan6e du signal.
b) En supposant une structure discrOte de sources
de b ru i t ind6pendantes , on peut mont re r que N cap- teurs d 'une an tenne peuven t ~liminer N - 1 sources
de bru i t h toute fr6quence, quelles que soient leurs densit~s spectrales.
D 'au t res sources de bru i t peuven t 6galement 5tre
61imin~es si elles sont li~es aux premieres par des relations (il s 'agit de relations vectorielles, l ' ind6pen- dance s tat is t ique subsistant) bien pr6cises. La source- signal est ~limin~e si, et seulement si, elle satisfait h ees relations.
c) Sous certaines hypotheses de (, g~om~trisation ~), le probl~me pr6cddent se ram~ne h la disposition relative des points-sources et des points-capteurs. Dans ce cadre, on a examin~ en d~tail les cas N = 2
et N = 3. Lorsque N augmente , le filtrage 61iminateur de N - 1 brouilleurs est de plus en plus sp6eiflque.
Les emplacements de sources s imul tan6ment 61imi-
nables se r~duisent en gdn6ral, et la source-signal a de moins en moins de chances de les occuper.
A N N E X E
Voici, r ap idement expos~es, les 6tapes d 'une d6mons- t r a t ion de la solution du filtrage optimal.
1. Lemme I.
Soit deux matrices lignes [1, N] de nombres com- plexes :
s et M,
Si, pour toute matrice ligne x [1, N] telle que :
x s t = O,
o n a : x M t M x = O,
alors :
M = k s ,
2. Lomme I I .
Soit une matr ice ligne [1, N] de nombres complexes s e t une matr ice carr6e [N, N] de hombres complexes y, hermi t ienne d6finie positive.
Cherchons la matr ice ligne [1, N] de nombres complexes h, telle que le rappor t :
l a . t l 2 P - - h y h t '
soit maximal .
Remarquons que la matr iee h cherch~e n 'es t d~finie
qn '~ un facteur scalaire pros, qui ne change pas la valeur de p.
On peut donc faire varier h de sorte qne h s t reste cons tant et chercher, sous cette eontrainte , le m i n i m u m
de : Q = hyht.
Donnons h h nn (~ aceroissement ~> sous forme d 'une matr ice ligne x.
La cont ra in te :
entraine :
h st = Cte ,
xst = O.
D'au t re part , la quant i t6 Q s 'accroit de :
A Q = x y h t + h y s t + x y x t .
Le dernier terme est non n6gatif (y est d6flnie positive). I1 est d 'ai l leurs du second ordre e t l a quan- tit6 Q est bien minimale autour de sa posit ion sta- t ionnai re exprim6e par :
x y h t + h y x t -- o . En posant :
M = h y .
on est ramen6 h r6sondre :
xs t : O,
x M t + M x t = O,
ce qui conduit , d'apr~s le lemme I, h :
M----- ) , s , s o i t :
hy = ~s,
oft k est le sealaire complexe arbi t raire d6jh pr6vu. Cette relat ion d6finit la valeur de h qui rend max imal
le rappor t p.
3. Cas des signaux certains.
I1 s 'agi t de t rouver un syst~me de flltres h I (v), repr~sent6s par h matr ice ligne [1, N] fonet ion de et tel que si l 'on forme une sortie un ique (que nous
appellerons (~ sortie h ,)) en somma n t les tensions de sortie des filtres hi(v), on y t rouve une tension ponr
291
11/12
laquelle se t rouve optimalis6 le param6tre caract6- r ist ique du filtrage adapt6, c'est-/~-dire :
[valeur h u n in s t an t arbi t raire t o du signal seul] ~
puissance du b ru i t
([2] chap. IV, et [3]). Or le spectre du signal de sortie est :
a s t ,
La fonction du temps qui le repr6sente vau t donc h l ' i n s t an t t o :
.f(hs~) e 2~lvt0 d ~ .
La densit6 spectrale du bru i t de sortie est :
hyh~ ,
d'oh : [f(hsr o2=l"to du] 2
r f ( hyh? ) d~
I1 s 'agit de rendre r max ima l par le ehoix de h. Pour appliquer l ' in~galit6 de Schwartz, posons :
h $ ~ e2nluto = A B*,
hyh? = B B* ,
off A et B sont deux fonct ions de v. Notons que :
I A [ ~ - - I h s * l ~ / h ~ h * .
L'in6galit6 de Schwartz exprime alors que :
r .< I l a l ~ d ~ ,
l '6galit6 6tant aequise lorsque :
A ( v ) = K* B ( v ) ,
oh K est tm scalaire inddpendant de ~. I1 faut done d 'abord satisfaire h cette condit ion,
e'est-~-dire h :
A hs'~ e2~ivt0 - - K * - -
B hyhr
soit : * hyh~f = (K* e2=lvto) hsf
Cette condi t ion sealaire 6 tant remplie, la valeur de r e s t :
r = I [AI~ dv = J" Ih *l h y h t d r .
Cette int6grale d ' une quant i t6 non n6gative sera
son tour maximalis6e par choix de h si la quant i t6 elle-m6me :
hst - h y h t '
est maximale d toute frdquence. D'apr6s le lemme II , ceci en t ra ine :
h y = k s ,
oil X est un sealaire en prineipe fonetion de ~. Mais si l 'on t i en t compte de la (~ condit ion scalaire ~)
pr~c6dente, on a s imul tan6ment :
hyh? = K* e2~lvt~ h s ? ,
hyh? = k sh f ,
�9 Ce signe typographique indique les formules eneadrfies sur le manuserit , f
292 - -
H . M E R M O Z [ANNALES DES TELI~COMMUNICATIONS
Le premier membre 6rant r6el, on a :
~. -~ K o -2~lvto ,
et la solution s '@rit :
�9 h y = K O-2rdvt0 $ ,
avec K ind6pendan t de v.
On remarqera que le rappor t 9 ainsi maximalis6 dt chaque frdquence n 'es t aut re que le rappor t des densit~s spectrates du signal et du b ru i t (densit6 d'6nergie pour le signal et de puissance pour le bruit) .
I1 est phys iquement assez na tu re l que le filtrage opt imal rende un tel rappor t maximal .
4. Gas de s i g n a u x a l6a to i ros (s tat ionnaires)
I1 faut rappeler que le t r a i t emen t consid6r6 corn- porte : (quadra t ion - in t6grat ion - cf. [7], chap. V, p. 82).
- - les filtres hj (~) den t les sorties sent somm6es (sortie h),
- - un quadra teur ,
- - une int6grat ion , forte ,~ (un filtre passe-bas).
Pour la dis t inguer de la (~ sortie h ,~, appelons ~ sortie
i ,~ celle de l ' in t6grat ion.
Le (~ signal ,~ sur la sortie ~ i ,~ est const i tu6 par la puissance du signal seul Ws eonsid6r6 sur la <~ sortie h ~.
C'est en effet l ' a u g m e n t a t i o n de valeur moyenne de la t ens ion 61ectrique provoqu6e par le signal sur la <~ sortie i ~ (on suppose que les s ignaux sent non corr616s avec les .bruits).
Le (, b ru i t ,) sur la (, sortie i ,~ est la valeur eflieaee
de la f luctuat ion r6siduelle qui subsiste au tour de la valeur moyenne apr6s l ' in t6grat ion. C'est en effet eette
f luctuat ion qui g6ne la perception.
Si B (t) est le bruit sur la , sortie h ~, le quadra teur fourni t [B (0] 2 , dont la valeur moyenne est la puis-
sance de B (t), soit WB �9
Autour de cette valeur moyenne fluctue la fouction al6atoire centr6e :
v (t) = [B (012 - - WB.
L' in t6gra t ion forte est un filtrage passe-bas tr6s 6troit, qui ne laisse in te rveni r que la eomposante
speetrale v = 0 du spectre de Y(t) .
La puissance de la f luctuat ion r6siduelle est done proport ionnelle h la valeur de eette eomposante.
Si ry (~) est la fonet ion d'autoeorr61ation de Y (t), eette composante v a u t :
f F r (x) a T .
Or, sous hypoth~se gaussienne, il se t rouve que :
P y (v) = 2 [PB (v)] 2,
(cf. [7], chap. IV, p. 64). Done la puissance de la f luctuat ion r6siduelle est
porport ionnel le fi �9
[I~B (1:)12 d ~ : ,
t. 24, n o~ 7-8, 1969]
que la re la t ion de Parseva l pe rme t d '@ri re aussi :
[YB (v)lZ d v ,
off yB (v) est la densit6 spectra le du bru i t sur la ~, sort ie h , .
En d~finit ive, le choix de h dol t op t imal i se r la quan- t i t6 (carr~ du r a p p o r t s igna l /bru i t sur la (~ sort ie i ~) :
(Ws) 2 r z -
f [u 2 dv
Or la densitd speclrale du signal sur la ~ sortie h ~ est ~gale (dcnsit6 de puissance) :
d 'ofl :
D ' a u t r e pa r t , la densi t6 spectra le du b ru i t sur la sortie h ~ est :
YB (~) = h YB M .
Rappe lons que yB est la mat r i ce des densit6s spec- t ra les d ' intercorr61at ion des N brui t s sur les entr6es. On a donc h op t imal i se r :
r = [flhsT[ 2 d~]2l f (hyB hT) u d ~ .
Pour app l iquer l ' in t6gra l i t6 de Schwar tz , posons :
(hyB h i ) 2 = B 2,
off A et B sont deux fonct ions r6elles de ~. Notons que :
( h y ~ h?) ~"
L ' in6gal i t6 de Schwar tz condui t , comme au w 3 h une re la t ion scalaire :
A I . =
avec K r6el ind6pendan t de ~. Ce qui donne :
�9 K2[hst[ = (hy a t ) 2 .
Cette condi t ion 6 tant rempl ie la va leur de r dev ien t :
r = y l a l ---- y l h s ' t l ' / ( a w hr
Cette int6grale d ' une quant i t6 non n6gat ive sera maximal is6e pa r le choix de h, s ice choix rend ma x ima l t ou t e fr6quence le r a p p o r t :
= h s ~ l h y h ~ ,
ce qui en t ra ine d 'apr~s le l emme I I :
, h y = ~ s ,
off k est un scalaire complexe, en pr ine ipe fonct ion de ~.
E L I M I N A T I O N D E S B R O U I L L E U R S P A R T R A I T E M E N T O P T I M A L D ' A N T E N N E 12/12 Mais en t e n a n t compte de la condi t ion scalaire prfi-
c6dente, on t rouve que :
h y h ? = ~ h s ? ,
d'ofi : Ik] 2 = K 2 .
Cette condi t ion ne por te que sur le module de k, et la re la t ion s '6cri t :
h y = K el+(``) S ,
off K est inddpendant de v e t off ~ (v) esl une fonclion arbitraire de v.
Ici encore, le r a p p o r t i~ maximal i s6 h chaqne fr6- quenee est le r a p p o r t des densit6s spect ra les (de puissance) du signal et du b ru i t sur la , sort ie h ~.
On peu t done dire que, quel que soil le type de s ignaux recevoir, le filtrage optimal spatial ma xima l i s e sur
sa sortie, el ceci (1 toute ]r~quenee, le rapport des densitds spectrales du signal el du bruil.
Manuscrit recu le 18 novembre 1968.
BIBLIOGRAPHIE
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