Emmy Noether

Amalie Emmy Noether (pronunciado en alemn [n-t], Erlangen, Baviera, Alemania, 23 de marzo de 1882 Bryn Mawr, Pensilvania, Estados Unidos, 14 de abril de1935) fue una matemtica, juda, alemana de nacimiento,conocida por sus contribuciones de fundamental impor-tancia en los campos de la fsica terica y el lgebra abs-tracta. Considerada por David Hilbert, Albert Einstein yotros personajes como la mujer ms importante en la his-toria de las matemticas,[1][2] revolucion las teoras deanillos, cuerpos y lgebras. En fsica, el teorema de Noet-her explica la conexin fundamental entre la simetra enfsica y las leyes de conservacin.[3]

Naci en una familia juda en la ciudad bvara deErlangen; su padre era el matemtico Max Noether.Emmy originalmente pens en ensear francs e inglstras aprobar los exmenes requeridos para ello, pero en sulugar estudi matemticas en la Universidad de Erlangen-Nremberg, donde su padre imparta clases. Tras defen-der su tesis bajo la supervisin de Paul Gordan, trabajen el Instituto Matemtico de Erlangen sin percibir re-tribuciones durante siete aos. En 1915 fue invitada porDavid Hilbert y Felix Klein a entrar en el departamentode matemticas de la Universidad de Gotinga, que en esemomento era un centro de investigacin matemtica defama mundial. La facultad de filosofa, sin embargo, pu-so objeciones a su puesto y por ello se pas cuatro aosdando clases en nombre de Hilbert. Su habilitacin reci-bi la aprobacin en 1919, permitindole obtener el rangode Privatdozent.Noether continu siendo uno de los miembros ms im-portantes del departamento de matemticas de Gotingahasta 1933; sus alumnos a veces eran conocidos comolos chicos de Noether. En 1924 el matemtico holan-ds B. L. van der Waerden se uni a su crculo y prontocomenz a ser el principal expositor de las ideas de Noet-her: su trabajo fue el fundamento del segundo volumen desu influyente libro de texto, publicado en 1931, Moder-ne Algebra. Cuando pronunci su alocucin en la sesinplenaria de 1932 del Congreso Internacional de Matem-ticos en Zrich, su acervo algebraico ya era reconocidomundialmente. En los siguientes aos, el gobierno nazi deAlemania expuls a los judos que ocupaban puestos enlas universidades, y Noether tuvo que emigrar a EstadosUnidos para ocupar una plaza en el Bryn Mawr Collegede Pensilvania. En 1935 sufri una operacin de quisteovrico y, a pesar de los signos de recuperacin, fallecicuatro das despus a la edad de 53 aos.El trabajo de Noether en matemticas se divide en trespocas:[4] En la primera (19081919), efectu contribu-

ciones significativas a la teora de los invariantes y de loscuerpos numricos. Su trabajo sobre los invariantes dife-renciales en el clculo de variaciones, el llamado teoremade Noether ha sido calificado uno de los teoremas mate-mticos ms importantes jams probados de entre los queguan el desarrollo de la fsica moderna".[5] En su segun-da poca (19201926), comenz trabajos que cambia-ron la faz del lgebra [abstracta]".[6] En su artculo cl-sico Idealtheorie in Ringbereichen (Teora de ideales enlos dominios de integridad, 1921) Noether transform lateora de ideales en los anillos conmutativos en una po-derosa herramienta matemtica con aplicaciones muy va-riadas. Efectu un uso elegante de la condicin de la ca-dena ascendente, y los objetos que la satisfacen se de-nominan noetherianos en su honor. En la tercera poca(19271935), public sus principales obras sobre lge-bras no conmutativas y nmeros hipercomplejos y unila teora de la representacin de los grupos con la teorade mdulos e ideales. Adems de sus propias publicacio-nes, Noether fue generosa con sus ideas y se le atribuyeel origen de varias lneas de investigacin publicadas porotros matemticos, incluso en campos muy distantes desu trabajo principal, como la topologa algebraica.

1 Biografa

Noether se crio en la ciudad bvara de Erlangen, representadaen esta imagen de una postal de 1916.

El padre de Emmy, Max Noether, era descendiente deuna familia de comerciantes al por mayor de Alemania.Qued paraltico a causa de la poliomielitis a la edad decatorce aos. Recuper parte de la movilidad, pero unade sus piernas qued afectada. En gran medida autodi-dacta, obtuvo el doctorado de la Universidad de Heidel-berg en 1868. Tras desempear su labor docente duran-

1

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2 1 BIOGRAFA

te siete aos, obtuvo un puesto en la ciudad bvara deErlangen, donde conoci y posteriormente despos a IdaAmalia Kaufmann, la hija de un prspero mercader.[7]Las contribuciones a la matemtica de Max Noether per-tenecen principalmente al campo de la geometra alge-braica, siguiendo los pasos de Alfred Clebsch. Su trabajoms conocido es el Teorema de BrillNoether y el residuo,o teorema AF+BG. Tambin es autor de otros teoremas,entre los que destaca el teorema de Max Noether.Emmy Noether naci en el seno de esa familia un 23 demarzo de 1882, siendo la primognita de los cuatro her-manos. Su primer nombre era Amalie, por su padre yabuela materna, pero comenz a usar su segundo nom-bre al convertirse en una jovencita. De aspecto era bienparecida. No destac acadmicamente, aunque era cono-cida por ser inteligente y amable. Emmy era corta de vistay hablaba con un leve sigmatismo durante su infancia. Unamigo de la familia cont una ancdota aos ms tardesobre la joven Emmy, en la que resolvi con rapidez unacertijo en una fiesta infantil, apuntando ya su capacidadpara la lgica a temprana edad.[8] AEmmy le ensearon acocinar y limpiar - como se acostumbraba con las jvenesde su poca - y recibi lecciones de piano, sin aplicarsecon excesiva pasin a ninguna estas actividades, aunquele gustaba bailar.[9]

De sus tres hermanos, slo Fritz Noether, nacido en 1884,es recordado por sus logros acadmicos. Tras estudiaren Mnich se cre una reputacin en el campo de lamatemtica aplicada. Su hermano mayor, Alfred, nacien 1883, obtuvo un doctorado en qumica por la Univer-sidad de Erlangen-Nremberg en 1909, pero muri nueveaos despus. El menor de sus hermanos, Gustav Robert,naci en 1889. Se sabe muy poco sobre su vida. Sufriuna enfermedad crnica y falleci en 1928.[10]

1.1 En la Universidad de Erlangen-Nremberg

El Kollegienhaus de Erlangen, uno de los edificios de la antiguauniversidad donde se gradu y dio sus primeras lecciones EmmyNoether.

Emmy Noether mostr a temprana edad su capacidad pa-ra la lengua inglesa y francesa. En la primavera de 1900se present al examen de profesor de esas lenguas y re-cibi una calificacin global de sehr gut (sobresaliente).Su capacitacin le cualificaba para ensear idiomas en es-cuelas femeninas, pero en lugar de ello decidi continuarsus estudios en la Universidad de Erlangen-Nremberg.Esta decisin era muy poco convencional en su poca.Dos aos antes, el senado acadmico de la universidadhaba declarado que la coeducacin podra subvertir to-do el orden acadmico.[11] Siendo una de las dos nicasmujeres estudiantes en una universidad con 986 alum-nos matriculados, a Noether se le oblig a asistir comooyente a algunas clases, contando previamente con el per-miso preceptivo de cada uno de los profesores a cuyasclases deseara asistir. A pesar de los obstculos, el 14de julio de 1903 aprob el examen de graduacin en elRealgymnasium de Nremberg.[12]

Durante el semestre de invierno 190304 estudi en laUniversidad de Gotinga, asistiendo a lecciones imparti-das por el astrnomo Karl Schwarzschild y los matemti-cos Hermann Minkowski, Otto Blumenthal, Felix Klein,y David Hilbert. Muy poco despus, las distinciones enlos derechos de las mujeres que pendan en esa universi-dad fueron rescindidos.Noether regres a Erlangen. Oficialmente se reincorpora la universidad el 24 de octubre de 1904 y declar su in-tencin de centrarse exclusivamente en las matemticas.Bajo la supervisin de Paul Gordan escribi su tesis berdie Bildung des Formensystems der ternren biquadratis-chen Form (Sobre la construccin de los sistemas formalesde las formas ternarias bicuadrticas, 1907). Aunque fuebien acogida, Noether describi posteriormente su tesiscomo bazofia.[13]

Durante los siguientes siete aos (19081915) imparticlases en el Instituto matemtico de la Universidad de Er-langen sin percibir emolumentos, sustituyendo ocasional-mente a su padre cuando se encontraba demasiado postra-do para dar clase. En 1910 y 1911 public una ampliacinde su tesis doctoral generalizando el caso de 3 variables an variables.Gordan se jubil en la primavera de 1910, pero continuenseando ocasionalmente con su sucesor, Erhard Sch-midt, quien poco despus se fue para ocupar una plazaen Breslau. Gordan abandon la enseanza en 1911 conla llegada de su segundo sucesor, Ernst Fischer. Gordanfalleci en diciembre de 1912.Segn HermannWeyl, Fischer ejerci una importante in-fluencia en Noether, en particular por introducirle a laobra de David Hilbert. De 1913 a 1916 Noether publicvarios artculos ampliando y aplicando la metodologa deHilbert a objetos matemticos como los cuerpos de fun-ciones racionales y la teora de los invariantes de gruposfinitos. Esta fase marca el comienzo de su compromisocon el lgebra abstracta, el campo de las matemticas enel que efectu contribuciones fundamentales.

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1.2 En la Universidad de Gotinga 3

Noether en ocasiones empleaba postales para discutir temas delgebra abstracta con su colega, Ernst Fischer. Esta postal tienematasellos del 10 de abril de 1915.

Noether y Fischer compartieron con entusiasmo su pla-cer por las matemticas y con frecuencia discutiran susclases mucho despus de que su relacin hubiera termi-nado. Se sabe que Noether envi postales a Fischer conti-nuando su intercambio de impresiones sobre pensamien-tos matemticos.[14]

1.2 En la Universidad de Gotinga

En la primavera de 1915, Noether fue invitada a regre-sar a la Universidad de Gotinga por David Hilbert y FelixKlein. No obstante, sus esfuerzos por reclutarla fueronbloqueados por los fillogos e historiadores de la Facultadde Filosofa, bajo el argumento, segn ellos, de que lasmujeres no deban acceder a la condicin de privatdozent.Uno de los miembros de la facultad protest diciendo"qu pensarn nuestros soldados cuando vuelvan a launiversidad y encuentren que se les pide que aprendanponindose a los pies de una mujer?"[15] Hilbert respon-di con indignacin, espetando: No veo por qu el sexode un candidato pueda ser un argumento en contra de suadmisin como privatdozent. Despus de todo, somos unauniversidad, no un establecimiento de baos.[15]

Noether se dirigi a Gotinga a finales de abril. Dos se-manas ms tarde a su madre le sobrevino repentinamen-te la muerte. Previamente haba recibido un tratamientopor una afeccin ocular, pero se desconoce su naturale-za y el impacto que sobre ella tuvo la desaparicin de sumadre. Por esas fechas el padre de Emmy se jubil y su

hermano se alist en el ejrcito de Alemania para com-batir en la Primera Guerra Mundial. Regres a Erlangendurante algunas semanas, principalmente para ocuparsede su anciano padre.[16]

Durante los primeros aos como profesora en Gotinga notuvo una plaza oficial y no perciba retribucin. Su fami-lia le pagaba el alojamiento y manutencin, sufragando deese modo su labor acadmica. Frecuentemente sus clasesse anunciaban con el nombre de Hilbert y tena la consi-deracin de ayudante.No obstante, poco despus de llegar a Gotinga mostr sucapacidad probando el teorema que hoy en da lleva sunombre, que muestra que toda ley de conservacin en unsistema fsico proviene de alguna simetra diferenciabledel mismo.[17] El fsico estadounidense Leon M. Leder-man y Christopher T. Hill argumentan en su libro Sym-metry and the Beautiful Universe que el teorema de Noet-her es ciertamente uno de los ms importantes teoremasmatemticos jams probados que guiaron el desarrollode la fsica moderna, posiblemente al mismo nivel queel teorema de Pitgoras".[5]

El departamento de matemticas de la Universidad de Gotingapermiti la habilitacin de Noether en 1919, cuatro aos despusde que hubiera comenzado a dar clases en su facultad.

Cuando finaliz la primera guerra mundial, la Revolucinde Noviembre trajo un cambio significativo en los usossociales, lo que se tradujo en ms derechos para las muje-res. En 1919 la Universidad de Gotinga permiti a Noet-her optar a su habilitacin (capacidad de ejercer comoprofesora). Su examen oral tuvo lugar a finales de mayo,y su leccin de habilitacin fue pronunciada con xito enjunio.Tres aos despus recibi una carta del Ministerioprusiano de Ciencia, Arte y Educacin Pblica en elque se le confera el ttulo de nicht beamteter ausseror-dentlicher Professorin (Profesora no funcionaria exter-na, es decir, con derechos y funciones administrativaslimitadas).[18]). Este cargo era un profesorado extraor-dinario sin paga, no correspondiente al profesorado or-dinario, que conllevaba la condicin de funcionario p-blico. Aunque se reconoca la importancia de su trabajo,el puesto an no conllevaba la percepcin de un salario.Noether no fue retribuida por sus clases hasta que fuedesignada para su puesto especial de Lehrauftrag fr Al-gebra (catedrtica de lgebra) un ao despus.[19]

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4 1 BIOGRAFA

1.3 Trabajos determinantes para la lge-bra abstracta

Aunque el teorema de Noether tiene un profundo efectosobre la fsica, entre los matemticos es clebre por seruno de los que iniciaron el campo de la lgebra abstrac-ta. Como dice Nathan Jacobson en su introduccin a losCollected Papers (Artculos reunidos) de Noether:

El desarrollo de la lgebra abstracta, quees una de las ms importantes innovaciones delas matemticas del siglo XX, se debe en granmedida a ella por sus publicaciones, clases einfluencia personal sobre sus contemporneos.

La obra fundamental para el lgebra de Noether comenzen 1920. Cuando pudo contar con la colaboracin de W.Schmeidler public un artculo sobre la teora de idealesen la que defina los ideales por la izquierda y por la dere-cha en un anillo. Los aos siguientes public un artculoque se convirti en un hito, titulado Idealtheorie in Ring-bereichen, analizando la condicin de la cadena ascenden-te al respecto de los ideales. Un notable algebrista, IrvingKaplansky, calific su trabajo de revolucionario,[20] ysu publicacin dio lugar al trmino anillo noetheriano.Tambin otros objetos matemticos fueron renombradoscomo noetherianos.[21]

En 1924, un joven matemtico holands, B. L. van derWaerden, lleg a la Universidad de Gotinga. Inmediata-mente comenz a trabajar con Noether, quien le propor-cion mtodos de incalculable valor en la conceptualiza-cin abstracta. Van der Waerden dijo posteriormente quesu originalidad estaba absolutamente ms all de cual-quier comparacin.[22] En 1931 public Moderne Alge-bra, un texto central para este campo. Su segundo vo-lumen est enormemente influenciado por el trabajo deNoether. Aunque Emmy no buscaba el reconocimiento,Bartel incluy como nota en su sptima edicin la ob-servacin basado en parte en las clases de E. Artin yE. Noether.[23] En ocasiones permiti que sus colegas yalumnos recibieran la atribucin de sus ideas, ayudndo-les a desarrollar sus carreras a expensas de ella misma.[24]

Las visitas de Van der Waerden eran parte de una con-vergencia de los matemticos de todo el mundo haciaGotinga, que se convirti en el centro ms importantede contacto entre la investigacin en fsica y matemti-cas. De 1926 a 1930 el toplogo ruso Pavel Alexandrovdio una clase en la universidad. Noether y l rpidamentese convirtieron en buenos amigos. Comenz a referirse aella como der Noether (el Noether), utilizando el artcu-lo nominativo masculino singular alemn como apelativocarioso para mostrar su respeto hacia ella. Ella intentbuscar la manera de obtener un puesto para l en Gotingacomo profesor regular, pero slo fue capaz de ayudar-le a asegurarse una beca de la Fundacin Rockefeller.[25]Ambos se encontraban con regularidad y disfrutaban dis-cutiendo sobre los puntos en comn del lgebra y la to-

pologa. En su alocucin en el homenaje que recibi en1935, Alexandrov se refiri a Emmy Noether como elms grande matemtico de todos los tiempos.[26]

1.4 Docencia y alumnado

En Gotinga, Noether supervis ms de una docena dedoctorandos. El primero fue Grete Hermann, quien de-fendi su tesis en febrero de 1925. Posteriormente ha-bl reverentemente de su madrina de tesis.[27] Noethertambin dirigi la tesis de Max Deuring, quien se distin-gui como estudiante de grado y continu contribuyen-do significativamente en el campo del lgebra aritmtica.Hans Fitting, a quien se conoce por el teorema de Fitting yel lema de Fitting. Zeng Jiongzhi, quien prob el teoremade Tsen. Tambin trabaj estrechamente con WolfgangKrull, quien hizo avanzar grandemente el lgebra conmu-tativa con su Hauptidealsatz (teorema del ideal principal)y su teora de la dimensin en el lgebra conmutativa, pa-ra anillos conmutativos.[28]

Adems de su instinto para las matemticas, Noether fuerespetada por su consideracin hacia los dems. Aunquealgunas veces se comport duramente contra los que lecontradecan, se gan reputacin por su solicitud y pa-ciencia con los alumnos nuevos. Su lealtad a la preci-sin matemtica hizo que un colega la calificara comouna crtica severa, pero combin su exigencia de pre-cisin con una actitud casi maternal.[29] Un colega pos-teriormente la describi de este modo: completamentedesprendida de cualquier egosmo y libre de vanidad, ja-ms pidi nada para s, sino que promovi el trabajo desus alumnos por encima de todo.[30]

Su estilo de vida frugal se deba a que se le negaron losemolumentos por su trabajo. No obstante, a pesar de quela universidad comenz a retribuirle con un pequeo sa-lario en 1923, continu viviendo de forma modesta. Se leretribuy de forma ms generosa al final de su vida, peroahorraba la mitad de su salario para ayudar a su sobrino,Gottfried E. Noether.[31]

Mayormente despreocupada por su aspecto y modales, secentr exclusivamente en sus estudios hasta el punto deexcluir la posibilidad de una relacin romntica o de se-guir la moda. Una importante algebrista, Olga Taussky-Todd, describi un refrigerio para mujeres, en el queNoether, totalmente metida en una discusin matemtica,escupa su comida constantemente y se limpiaba en suvestido, sin que esto le afectase lo ms mnimo.[32] Losalumnos ms preocupados por las apariencias no soporta-ban que usase la blusa de moquero y se desentendiese desu pelo, cada vez ms revuelto a medida que avanzaba laclase. Dos alumnas se acercaron a ella en una ocasin enel descanso de una clase de dos horas para expresar suspreocupaciones, pero fueron incapaces de meter baza enla enrgica discusin matemtica que estaba mantenien-do con otros alumnos en ese momento.[33]

De acuerdo con el obituario pronunciado por van der

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1.5 En Mosc 5

Waerden tras la muerte de Emmy Noether, ella no se-gua un programa preestablecido en sus clases, lo cualfrustraba a algunos alumnos. Sus clases eran un tiempode discusin espontnea con sus alumnos, para pensar yclarificar los problemas ms avanzados del momento enmatemticas. Algunos de los resultados ms importan-tes se desarrollaron en estas clases, y los apuntes de losestudiantes acabaron formando la base de varios textosimportantes, como los de van der Waerden y Deuring.Varios de sus colegas asistan a sus clases, y ella permitaque algunas de sus ideas, como la del producto cruzado(verschrnktes Produkt en alemn) de lgebras asociativasfueran publicadas por otros. Existe un registro en el quefigura Noether como profesora de cursos que duraron almenos cinco semestres en Gotinga:[34]

Invierno de 1924/25: Gruppentheorie und hyper-komplexe Zahlen (Teora de grupo y nmeros hiper-complejos)

Invierno de 1927/28: Hyperkomplexe Grssen undDarstellungstheorie (Cantidades hipercomplejas yteora de la representacin)

Verano de 1928: Nichtkommutative Algebra (lge-bra no conmutativa)

Verano de1929: Nichtkommutative Arithmetik (Arit-mtica no conmutativa)

Invierno de 1929/30: Algebra der hyperkomplexenGrssen (lgebra de cantidades hipercomplejas)

Estos cursos con frecuencia precedan a publicacionesimportantes en estas reas. Noether hablaba muy rpidoreflejando la rapidez de sus pensamientos, segn de-can muchos y peda gran concentracin a sus alumnos.Aquellos a los que les desagradaba su estilo, se sentan amenudo alienados. Uno de ellos escribi en un cuadernocon respecto a una clase que termin a la 1:00 pm: Sonlas 12:50, gracias a Dios!"[35] Algunos alumnos pensa-ban que se basaba demasiado en discusiones espontneas.Sin embargo, sus alumnos ms aplicados se solazaban enel entusiasmo con que transmita las matemticas, espe-cialmente porque sus clases con frecuencia se hacan so-bre los trabajos ms recientes que haban elaborado jun-tos.Desarroll un crculo cerrado de colegas y estudiantes quepensaban de forma similar y tendan a excluir a quienesno lo hacan as. Los "outsiders" que ocasionalmente visi-taban las clases de Noether solan pasar slo 30 minutosen el aula antes de abandonarla envueltos en la frustracino la confusin. Uno de sus estudiantes habituales anot asuno de estos incidentes: El enemigo ha sido derrotado;se ha ido.[36]

La devocin de Noether por su profesin y sus alumnosno entenda de horas lectivas. Una vez que el edificio dela universidad estaba cerrado por vacaciones, reuni a su

clase en las escaleras de la entrada, la llev por el bosquey les dio clase en una cafetera local.[37] Ms tarde, al serrelegada por el Tercer Reich, habra de invitar a sus alum-nos a su casa para discutir sus futuros planes y conceptosmatemticos.[38]

1.5 En Mosc

Noether ense en la Universidad Estatal de Mosc en el inviernode 192829.

En el invierno de 192829 Noether acept una invita-cin de la Universidad Estatal de Mosc, donde continutrabajando con P. S. Alexandrov. Adems de continuarcon sus investigaciones, imparti clases de lgebra abs-tracta y geometra algebraica. Trabaj con los toplogosLev Pontryagin y Nikolai Chebotaryov, quienes ms tar-de agradecieron su contribucin al desarrollo de la teorade Galois.[39]

Aunque la poltica no fue central en su vida, Noether setom cierto inters en asuntos polticos, y segn Alexan-drov, mostr un considerable apoyo a la revolucin ru-sa de 1917. Emmy se senta especialmente feliz por verlos avances soviticos en los campos de la ciencia y lasmatemticas, que consideraba indicativos de las nuevasoportunidades que brindaba el proyecto bolchevique. Es-ta actitud le trajo problemas en Alemania, culminando enel desalojo de la pensin donde viva a causa de las pro-testas de los cabecillas estudiantiles que se quejaban porvivir con una juda marxista.-[40]

Noether plane volver a Mosc, un empeo en el que re-cibi el apoyo de Alexandrov. Despus de que dejara Ale-mania en 1933, intent obtener una ctedra en la Univer-sidad Estatal de Mosc a travs del Narkompros. Aunquesu esfuerzo no tuvo xito, mantuvo correspondencia fre-cuente durante los aos 1930 y en 1935 hizo planes paravolver a la Unin Sovitica.[40] Mientras tanto su hermanoFritz haba aceptado un puesto en el Instituto para la In-vestigacin enMatemticas yMecnica de Tomsk, Rusia,tras perder su empleo en Alemania.[41]

1.6 Reconocimiento

En 1932 Emmy Noether y Emil Artin recibieron elPremio AckermannTeubner Memorial por su contribu-cin a las matemticas.[42] El premio conllevaba una re-

https://es.wikipedia.org/wiki/Outsiderhttps://es.wikipedia.org/wiki/Tercer_Reichhttps://es.wikipedia.org/wiki/Universidad_Estatal_de_Mosc%C3%BAhttps://es.wikipedia.org/wiki/Universidad_Estatal_de_Mosc%C3%BAhttps://es.wikipedia.org/wiki/Pavel_Alexandrovhttps://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_algebraicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Lev_Pontryaginhttps://es.wikipedia.org/wiki/Nikolai_Chebotaryovhttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_Galoishttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_Galoishttps://es.wikipedia.org/wiki/Revoluci%C3%B3n_rusa_de_1917https://es.wikipedia.org/wiki/Revoluci%C3%B3n_rusa_de_1917https://es.wikipedia.org/wiki/Uni%C3%B3n_Sovi%C3%A9ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Bolcheviquehttps://es.wikipedia.org/wiki/Mosc%C3%BAhttps://es.wikipedia.org/wiki/Narkomproshttps://es.wikipedia.org/wiki/A%C3%B1os_1930https://es.wikipedia.org/wiki/Fritz_Noetherhttps://es.wikipedia.org/wiki/Tomskhttps://es.wikipedia.org/wiki/Emil_Artinhttps://es.wikipedia.org/wiki/Premio_Ackermann%E2%80%93Teubner_Memorial

6 1 BIOGRAFA

compensa en metlico de 500 Reichsmarks y fue vistocomo un reconocimiento oficial largo tiempo demoradopor sus considerables trabajos en el campo. No obstante,sus colegas expresaron frustracin por el hecho de que nofuera elegida para la Academia de Ciencias de Gotinga yjams fue promovida al puesto de Ordentlicher Professor(catedrtica).[43][18]

Noether visit Zrich en 1932 para dirigirse al plenario delCongreso Internacional de Matemticos.

Los colegas de Noether celebraron su cincuenta cumplea-os en 1932 al modo tpico de los matemticos: HelmutHasse le dedic un artculo en los Mathematische Anna-len, donde confirm su sospecha de que algunos aspec-tos de la lgebra no conmutativa son ms simples que losde la conmutativa probando una ley de reciprocidad noconmutativa.[44] Esto complaci inmensamente a Noet-her. Hasse tambin le envi un acertijo matemtico, elacertijo de slabas m", que resolvi inmediatamente.El acertijo se ha perdido.[43]

En septiembre del mismo ao Noether pronunci una alo-cucin (groer Vortrag) al plenario del Congreso Interna-cional de Matemticos de Zrich sobre los Sistemas hi-percomplejos en sus relaciones con la lgebra conmutativay la teora de nmeros. Al congreso asistieron ochocien-tas personas, entre ellas los colegas de Noether HermannWeyl, Edmund Landau y Wolfgang Krull. Haba cua-trocientos veinte participantes oficiales y se presentaronveintiuna alocuciones al plenario. Aparentemente, la po-sicin prominente de Noether como conferenciante eraun reconocimiento de la importancia de su contribucina la matemtica. El congreso de 1932 se describe en oca-siones como el punto lgido de su carrera.[45]

1.7 Expulsin de Gotinga

Cuando Adolf Hitler se convirti en Reichskanzler enenero de 1933, el activismo nazi en el pas se incrementdramticamente. En la Universidad de Gotinga la Asocia-cin de Estudiantes de Alemania llev a cabo un ataquecontra lo que para ellos supona el espritu antialemny en ello fueron auxiliados por un privatdozent llamadoWerner Weber, antiguo alumno de Emmy Noether. Lasactitudes antisemitas crearon un clima hostil para los pro-

fesores judos. Se recuerda la historia de un joven mani-festante que entre sus demandas hablaba de que los estu-diantes arios queran matemticos arios y nomatemticosjudos.[46]

Una de las primeras acciones del gobierno de Hitler fuela Ley para la Restauracin del Servicio Civil Profesionalque ces de su puesto a los funcionarios judos y poltica-mente sospechosos a menos de que hubieran demos-trado su lealtad a Alemania sirviendo en la primera guerramundial. En abril de 1933 Noether recibi una notifica-cin del Ministerio Prusiano de Ciencias, Arte y Educa-cin pblica que le comunicaba que En base al prrafo 3del Cdigo del Servicio Civil del 7 de abril de 1933, porla presente le retiro el derecho de ensear en la Univer-sidad de Gotinga.[47] A algunos de los colegas de Noet-her, incluyendoMax Born y Richard Courant, tambin lesfueron revocados sus puestos.[47] Noether acept la deci-sin con calma, apoyando a otros durante aquellos dif-ciles momentos. Hermann Weyl escribi posteriormenteque Emmy Noether su valor, franqueza, su despreo-cupacin por su propio destino, su espritu conciliador,a pesar de la desolacin que nos rodeaba, era un aliviomoral.[46] Como era de esperar, Noether continu con-centrada en las matemticas, reuniendo a los alumnos ensu apartamento para discutir sobre la teora de los cuerposde clases. Cuando uno de sus estudiantes apareci vesti-do con el uniforme de la organizacin paramilitar naziSturmabteilung (SA), no mostr ningn signo de preocu-pacin y, segn se dijo, incluso le sonri ms tarde.[47]

1.8 Bryn Mawr

El Bryn Mawr College le dio un hogar acogedor a Noether du-rante los dos ltimos aos de su vida.

Como docenas de profesores que se quedaron sin empleocomenzaron a buscar puestos docentes fuera de Alema-nia, sus colegas de los Estados Unidos le buscaron asisten-cia y oportunidades laborales. Albert Einstein y HermannWeyl fueron elegidos por el Instituto de Estudios Avanza-dos de Princeton mientras que otros trabajaron para en-contrar el patrocinador que se precisaba en los trmites deinmigracin. Noether fue contactada por representantesde dos instituciones educativas, el Bryn Mawr College en

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7

Estados Unidos y el Somerville College en la Universidadde Oxford, Inglaterra. Tras una serie de negociacionescon la fundacin Rockefeller, se aprob la concesin deuna beca para Noether en Bryn Mawr y obtuvo un puestoall, comenzando a finales de 1933.[48]

En Bryn Mawr, Noether se encontr y trab amistad conAnna Wheeler, quien haba estudiado en Gotinga justoantes de que Noether llegara all. Otra fuente de apoyoen el College fue la presidenta de Bryn Mawr, MarionEdwards Park, quien invit con entusiasmo a los mate-mticos locales para que vieran a la Doctora Noether enaccin.[49] Noether y un pequeo grupo de estudiantestrabajaron rpidamente con el libro de 1930 de van derWaerden lgebra Moderna I y partes de la Theorie deralgebraischen Zahlen de Erich Hecke (Teora de nmerosalgebraicos, 1908).[50]

En 1934, Noether comenz a dar clases en el Institu-to de Estudios Avanzados de Princeton por invitacinde Abraham Flexner y Oswald Veblen. Tambin traba-j y supervis a Abraham Albert y Harry Vandiver.[51]No obstante, sobre la Universidad de Princeton (vincu-lada, pero distinta del Instituto de Estudios Avanzadosde Princeton) observ que no fue bien recibida en unauniversidad de hombres, donde no se admita a ningunamujer.[52] Sus das en los Estados Unidos fueron placen-teros, rodeada como estaba de colegas que le apoyabany absorban con sus temas favoritos.[53] En el verano de1934 retorn por un corto tiempo a Alemania para encon-trarse con Emil Artin y su hermano Fritz antes de dirigir-se a Tomsk. Aunque muchos de sus anteriores colegas ha-ban sido obligados a abandonar la universidad, pudo usarla biblioteca como investigadora invitada extranjera.[54]

1.9 Fallecimiento

Los restos mortales de Emmy Noether se encuentran en el pasajeque rodea el claustro de la Biblioteca M. Carey Thomas.

En abril de 1935 los mdicos le descubrieron un tumorplvico. Preocupados por las posibles complicaciones dela ciruga, le ordenaron dos das de reposo en cama antesde proceder a la intervencin. Durante la misma descu-

brieron un quiste ovrico del tamao de un meln.[55]Dos tumores uterinos ms pequeos parecan ser benig-nos y no fueron extirpados para evitar que se prolongarala operacin. Durante tres das pareca que la convale-cencia segua un curso normal, y se recobr rpidamentede un colapso circulatorio que se produjo el cuarto da.El 14 de abril perdi la consciencia, su temperatura seelev a 42,5 C y finalmente falleci. No es fcil decirqu le sucedi a la Doctora Noether, escribi uno de losfacultativos, es posible que hubiera algn tipo inusualy violento de infeccin que afect a la base del cere-bro, que es donde se supone que se localizan los centrostermorreguladores.[55]

Unos das despus de la muerte de Noether, sus amigosy allegados en Bryan Mawr celebraron un servicio en sumemoria en la President Parks house. Hermann Weyl yRichard Brauer viajaron desde Princeton y hablaron conWheeler y Taussky sobre su colega desaparecida. En losmeses que siguieron, comenzaron a aparecer homenajespor escrito por todo el mundo: Al de Albert Einstein seuni el de van der Waerden, Weyl y Pavel Alexandrovpara presentar sus respetos. Su cuerpo fue incinerado ylas cenizas enterradas en el claustro de la biblioteca M.Carey Thomas Library en Bryn Mawr.[56]

2 Contribucin a la matemtica yla fsica

En primer lugar y ante todo, Noether es recordada enlas matemticas como algebrista y por sus trabajos enla topologa. Los fsicos la aprecian ms por el famosoteorema que lleva su nombre, puesto que tiene conse-cuencias de gran alcance para el estudio de las partculassubatmicas y la dinmica de sistemas. Mostr una agudapropensin para el pensamiento abstracto, lo que le per-mita acercarse a problemas matemticos de una formaoriginal.[57] Su amigo y colega Hermann Weyl describisu trabajo como autoridad en tres pocas claramente dis-tintas:

(1) Periodo de relativa dependencia, 19071919;(2) Las investigaciones agrupadas en torno a lateora general de ideales 19201926;(3) El estudio de lgebras no conmutativas,sus representaciones mediante transformacio-nes lineales y sus aplicaciones al estudio delos cuerpos no conmutativos y sus aritmticas.(Weyl, 1935)

En la primera poca (190819), Noether se ocup en pri-mer lugar de los invariantes diferenciales y algebraicos,comenzando con la defensa de su tesis bajo la direccinde Paul Albert Gordan. Sus horizontes matemticos seampliaron, y su trabajo comenz a hacerse ms general y

https://es.wikipedia.org/wiki/Somerville_Collegehttps://es.wikipedia.org/wiki/Universidad_de_Oxfordhttps://es.wikipedia.org/wiki/Universidad_de_Oxfordhttps://es.wikipedia.org/wiki/Fundaci%C3%B3n_Rockefellerhttps://es.wikipedia.org/wiki/Anna_Johnson_Pell_Wheelerhttps://es.wikipedia.org/wiki/Erich_Heckehttps://es.wikipedia.org/wiki/Abraham_Flexnerhttps://es.wikipedia.org/wiki/Oswald_Veblenhttps://es.wikipedia.org/wiki/Abraham_Adrian_Alberthttps://es.wikipedia.org/wiki/Harry_Vandiverhttps://es.wikipedia.org/wiki/Universidad_de_Princetonhttps://es.wikipedia.org/wiki/Tomskhttps://es.wikipedia.org/wiki/Tumorhttps://es.wikipedia.org/wiki/Pelvishttps://es.wikipedia.org/wiki/Quiste_ov%C3%A1ricohttps://es.wikipedia.org/wiki/%C3%9Aterohttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_circulatoriohttps://es.wikipedia.org/wiki/Richard_Brauerhttps://es.wikipedia.org/wiki/Pavel_Alexandrovhttps://es.wikipedia.org/wiki/Claustrohttps://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_abstractahttps://es.wikipedia.org/wiki/Topolog%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Noetherhttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Noetherhttps://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica_te%C3%B3ricahttps://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica_te%C3%B3ricahttps://es.wikipedia.org/wiki/Hermann_Weylhttps://es.wikipedia.org/wiki/Emmy%2520Noether#CITAREFWeyl1935https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_invarianteshttps://es.wikipedia.org/wiki/Paul_Albert_Gordan

8 2 CONTRIBUCIN A LA MATEMTICA Y LA FSICA

abstracto a medida que se fue familiarizando con el traba-jo de David Hilbert, gracias a estrechas interacciones conel sucesor de Gordan, Ernst Sigismund Fischer. Despusde su traslado a Gotinga en 1915, elabor el trabajo queposteriormente se mostr de capital importancia para lafsica, el teorema de Noether.En la segunda poca (192026), Noether se dedic aldesarrollo de la teora de anillos.[58]

En su tercera poca (192735), Noether se centr en ellgebra no conmutativa, transformaciones lineales y cuer-pos conmutativos numricos.[59]

2.1 Contexto histrico

En el siglo transcurrido desde 1832 hasta el fallecimien-to de Noether en 1935, el campo de las mtemticas especficamente el lgebra sufri una profunda revo-lucin, cuyos ecos an se sienten. Los matemticos delos siglos anteriores trabajaron en mtodos prcticos pararesolver tipos especficos de ecuaciones, por ejemplo lasecuaciones cbicas, y de cuarto y quinto grado, as comoproblemas relacionados con la construccin de polgonosregulares con regla y comps. Comenzando con la prue-ba efectuada por Carl Friedrich Gauss en 1829 de queun nmero primo como cinco poda ser factorizado enenteros de Gauss, la introduccin por parte de varisteGalois del concepto de grupo en 1832, y el descubri-miento por parte de William Rowan Hamilton de loscuaterniones en 1843, las investigaciones matemticasiban determinando las propiedades de sistemas cada vezms abstractos definidos por reglas cada vez ms univer-sales. Las contribuciones ms importantes de Noether alas matemticas vinieron por el desarrollo de este nuevocampo, el lgebra abstracta.[60]

2.1.1 lgebra abstracta y begriffliche Mathematik(matemtica conceptual)

Dos de los dos objetos ms bsicos en el lgebra abstractason los grupos y los anillos.Un grupo consiste en un conjunto dotado de una ope-racin que combina dos elementos cualesquiera y da untercero. La operacin debe satisfacer ciertas condicionespara ser un grupo: debe ser cerrada (cuando se aplica acualquier par de elementos, el elemento generado debepertenecer tambin al conjunto), debe ser asociativa, de-be tener un elemento neutro (un elemento que combinadomediante la operacin con cualquier otro da como resul-tado el elemento original, como sumar cero o multiplicarpor uno), y para cada elemento debe existir un elementoinverso.Un anillo es un conjunto dotado de dos operaciones. Laprimera da al conjunto estructura de grupo, y la segun-da operacin es asociativa y distributiva con respecto a laprimera operacin. Puede o no ser conmutativa. Si cada

elemento distinto de cero tiene un inverso multiplicativo(un elemento x tal que ax = xa = 1), el anillo se llamaanillo de divisin. Un cuerpo se define como un anillo dedivisin conmutativo.Los grupos se estudian frecuentemente medianterepresentaciones de grupo. En su forma ms general,stas consisten en tomar un valor del grupo, un conjunto,y una accin del grupo sobre el conjunto, esto es, unaoperacin externa que toma un elemento del grupo y unelemento del conjunto, y da un elemento del conjunto.Con frecuencia, el conjunto es un espacio vectorial y elgrupo est representado por simetras del espacio vecto-rial. Por ejemplo, hay grupos que pueden representarsemediante rotaciones del espacio. Noether consider estetipo de simetras en su trabajo sobre los invariantes enfsica.Una forma poderosa de estudiar los anillos es a travsde sus mdulos. Un mdulo consiste en un valor de unanillo, otro conjunto, normalmente distinto del conjuntosubyacente llamado el conjunto subyacente del mdulo,una operacin sobre pares de elementos del conjunto sub-yacente del mdulo y una operacin que toma un elemen-to del anillo y un elemento del mdulo y da un elementodel mdulo. El conjunto subyacente del mdulo y su ope-racin deben formar un grupo. Un mdulo es una versinde la teora de anillos de una representacin de grupo:ignorando la segunda operacin del anillo y la operacinsobre pares de elementos del mdulo determina una re-presentacin de grupo. La utilidad real de los mdulos esque los tipos de mdulos que existen y sus interaccionesse revela la estructura del anillo de formas que no son evi-dentes a partir del propio anillo. Un caso especial impor-tante de esto es un lgebra. La palabra lgebra significatanto un tema dentro de las matemticas como un obje-to ms especfico estudiado dentro de la propia lgebra.En esta segunda acepcin consiste en una eleccin de dosanillos y una operacin que toma un elemento de cadaanillo y da un elemento del segundo anillo. Esta opera-cin la efecta el segundo anillo en un mdulo sobre elprimero. Con frecuencia el primer anillo es un cuerpo.Palabras como elemento y operacin de combinacinson demasiado generales y se pueden aplicar a muchas si-tuaciones abstractas y del mundo real. Cualquier conjuntode cosas que obedezcan las reglas de una (o dos) opera-ciones es, por definicin, un grupo (o anillo), y obedecea todos los teoremas sobre grupos (o anillos). Los nme-ros eneteros y las operaciones de adicin y multiplicacinson slo un ejemplo. Por ejemplo, los elementos puedenser datos de computacin en palabras, en la que la prime-ra operacin de combinacin es la disyuncin exclusivay la segunda es una conjuncin lgica. Los teoremas dellgebra abstracta son potentes porque son generales. Go-biernan muchos sistemas. Se puede imaginar que pocose puede concluir sobre objetos definidos con tan pocaspropiedades, pero precisamente en esto radica el legadode Noether: descubrir lo mximo que se pueda concluira partir de un conjunto dado de propiedades, o dicho

https://es.wikipedia.org/wiki/David_Hilberthttps://es.wikipedia.org/wiki/Ernst_Sigismund_Fischerhttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Noetherhttps://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_no_conmutativahttps://es.wikipedia.org/wiki/Aplicaci%C3%B3n_linealhttps://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebrahttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_tercer_gradohttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_cuarto_gradohttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_quinto_gradohttps://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_de_la_unidadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgono_regularhttps://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgono_regularhttps://es.wikipedia.org/wiki/Regla_y_comp%C3%A1shttps://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gausshttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primohttps://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n_de_enteroshttps://es.wikipedia.org/wiki/Entero_de_Gausshttps://es.wikipedia.org/wiki/%C3%89variste_Galoishttps://es.wikipedia.org/wiki/%C3%89variste_Galoishttps://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/William_Rowan_Hamiltonhttps://es.wikipedia.org/wiki/Cuaterni%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_abstractahttps://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/Operaci%C3%B3n_matem%C3%A1tica#Ley_de_composici.C3.B3n_internahttps://es.wikipedia.org/wiki/Asociacionismohttps://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_neutrohttps://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_inversohttps://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_inversohttps://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/Propiedad_distributivahttps://es.wikipedia.org/wiki/Propiedad_conmutativahttps://es.wikipedia.org/wiki/Inverso_multiplicativohttps://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_de_divisi%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/Representaciones_de_grupohttps://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Modulo_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_sobre_un_cuerpohttps://es.wikipedia.org/wiki/Palabra_(inform%C3%A1tica)

2.2 Primera poca (190819) 9

de otro modo, identificar el mnimo de las propiedadesesenciales de una observacin en particular. A diferen-cia de la mayor parte de los matemticos, no realiz abs-tracciones generalizando a partir de ejemplos conocidos.En lugar de ello trabaj directamente con las abstraccio-nes. Como record van der Waerden en el obituario deEmmy:[61]

La mxima por la que se guiaba EmmyNoether a lo largo de su obra podra ser for-mulada como sigue: Cualquier relacin en-tre nmeros, funciones y operaciones se ha-ce transparente, generalmente aplicable y com-pletamente productiva slo si ha sido aislada apartir de objetos particulares y formulada co-mo conceptos universalmente vlidos.

Esto es la llamada begriffliche Mathematik (matemticaconceptual) que es caracterstica de Noether. Este estilode matemticas fue adoptado por otros matemticos, ytras su muerte floreci en nuevas formas como la teorade categoras.

Enteros como ejemplo de un anillo

Los enteros forman un anillo conmutativo cuyos elemen-tos son los enteros, y las operaciones de combinacin sonla adicin y la multiplicacin. Cualquier par de enterospueden ser sumados o multiplicados, lo cual resulta siem-pre en otro entero, y la primera operacin, la adicin, esconmutativa, p. ej. para cualquier elemento a y b del ani-llo, a + b = b + a. La segunda operacin, la multiplica-cin, tambin es conmutativa, pero eso no necesita sercierto para otros anillos, lo que significa que a combi-nada con b puede ser diferente de b combinada con a.Ejemplos de anillos no conmutativos seran las matricesy los cuaterniones. Los enteros no forman un anillo dedivisin, porque la segunda operacin no siempre puedeser invertida: no existe un entero a tal que 3 a = 1.Los enteros tienen propiedades adicionales que no se ge-neralizan a todos los anillos conmutativos. Un ejemploimportante es el teorema fundamental de la aritmtica,que dice que cada entero positivo puede ser factorizadonicamente en nmeros primos. Las factorizaciones ni-cas no siempre existen en otros anillos, pero Noether en-contr un nico teorema de factorizacin, conocido ac-tualmente como el teorema de LaskerNoether theorem,para ideales de muchos anillos. Gran parte del trabajo deNoether se centra en determinar qu propiedades corres-ponden a todos los anillos, en disear nuevos anlogosde los viejos teoremas sobre los enteros y en determinarel mnimo conjunto de premisas necesarias para obtenerciertas propiedades de los anillos.

2.2 Primera poca (190819)

Tabla 2 de la tesis doctoral de Noether sobre la teora de losinvariantes.[62] Esta tabla recoge 202 de las 303 invariantes enformas ternarias bicuadrticas. Estas formas se gradan en dosvariables x y u. La direccin horizontal de la tabla lista los in-variantes con grado progresivamente mayor en x, mientras ladireccin vertical lista las mismas con grados progresivamentemayores en u.

2.2.1 Teora de la invariante algebraica

Gran parte del trabajo de Noether en la primera poca desu carrera estaba asociado con la teora de los invarian-tes, principalmente la teora de los invariantes algebrai-cas. La teora de los invariantes trata de las expresionesque permanecen constantes (invariantes) bajo grupos detransformaciones. Como ejemplo cotidiano, si una varade medir rgida se somete a rotacin, las coordenadas (x,y, z) de sus extremos cambian, pero su longitud L dadapor la frmula L2 = x2 + y2 + z2 permanece cons-tante. La teora de invariantes fue una rea de investiga-cin activa a finales del siglo XIX, promovida en partepor el programa de Erlangen de Felix Klein, de acuerdocon el cual los distintos tipos de geometra deberan sercaracterizadas por sus invariantes bajo transformaciones,por ejemplo, la razn anarmnica de la geometra pro-yectiva. El ejemplo arquetpico de una invariante es eldiscriminante B2 4AC de una forma binaria cuadrticade Ax2 + Bxy + Cy2. A esta se le llama invariante porqueno cambia por substituciones lineales xax + by, ycx+ dy con determinante ad bc = 1. Estas substitucionesforman el grupo lineal especial SL2. (No hay invariantesbajo el grupo lineal general de todas las transformacioneslineales invertibles porque estas transformaciones puedenser multiplicacin por un factor escalar. Para remediarlo,la teora clsica de los invariantes tambin considera in-variantes relativas, que eran formas de invariancia salvoun factor escalar). Puede preguntarse por todos los poli-nomios en A, B, and C que no cambien por la accin deSL2; a stos se les llama invariantes de las formas cuadr-ticas, y resultan ser los polinomios del discriminante. Demodo ms general, se puede preguntar por los invariantesde los polinomios homogneos A0xry0 + ... + Arx0yr degrado superior, que sern ciertos polinomios en los coefi-cientes A0, ... , Ar, y de forma an ms general, se pueden

https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_categor%C3%ADashttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_categor%C3%ADashttps://es.wikipedia.org/wiki/Enterohttps://es.wikipedia.org/wiki/Sumahttps://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Propiedad_conmutativahttps://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/Cuaterni%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_de_la_aritm%C3%A9ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primohttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Lasker%E2%80%93Noether_theoremhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ideal_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_los_invarianteshttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_los_invarianteshttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_los_invariantes_algebraicashttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_los_invariantes_algebraicashttps://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XIXhttps://es.wikipedia.org/wiki/Programa_de_Erlangenhttps://es.wikipedia.org/wiki/Felix_Kleinhttps://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Raz%C3%B3n_anarm%C3%B3nicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_proyectivahttps://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_proyectivahttps://es.wikipedia.org/wiki/Discriminantehttps://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_lineal_general#Grupo_lineal_especialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_lineal_general

10 2 CONTRIBUCIN A LA MATEMTICA Y LA FSICA

plantear cuestiones similares sobre las polinomios homo-gneos en ms de dos variables.Una de las principales metas de la teora de los invarian-tes es resolver el problema de base finita. La suma oproducto de dos invariantes cualesquiera es un invarian-te, y el problema de la base finita planteaba si era posibleobtener todos los invariantes comenzando por una lista fi-nita de invariantes, llamados generadores, y despus aa-dir o multiplicar los generadores entre s. Por ejemplo,el discriminante ofrece una base finita (con un elemento)para los invariantes de las formas binarias cuadrticas. Eldirector de tesis de Noether, Paul Albert Gordan, fue co-nocido como el rey de la teora de los invariantes, y suprincipal contribucin a las matemticas fue su solucinen 1870 del problema de la base finita para invariantesde polinomios homogneos en dos variables.[63][64] Pro-b la existencia de una base finita mediante un mtodoconstructivo para encontrar todos los invariantes y susgeneradores, pero no fue capaz de desarrollar este enfo-que constructivo para invariantes de polinomios en tres oms variables. En 1890 David Hilbert prob un plantea-miento similar para los invariantes de polinomios homo-gneos en cualquier nmero de variables.[65][66] Es ms,este mtodo funcionaba no slo para el grupo especial li-neal, sino tambin para alguno de sus subgrupos como elgrupo especial ortogonal.[67] Su primera prueba produjocierta controversia porque no proporcionaba un mtodopara construir los generadores, aunque en trabajos pos-teriores hizo que su mtodo fuera constructivo. Para sutesis Noether ampli la prueba computacional de Gor-dan a polinomios homogneos en tres variables. La apro-ximacin constructiva de Noether hizo posible estudiarlas relaciones entre los invariantes. Posteriormente, trasvolverse hacia mtodos ms abstractos, dijo de su tesisque era Mist (bazofia) y Formelngestrpp (un revoltijo deecuaciones).

2.2.2 Teora de Galois

La teora de Galois trata de las transformaciones decuerpos numricos que permutan las races de una ecua-cin. Considrese una ecuacin polinmica de una varia-ble x de grado n, en el que los coeficientes pertenecena algn cuerpo base, que podra ser, por ejemplo, elcuerpo de los nmeros reales, el de los nmeros racio-nales o el de los enteros mdulo 7. Pueden existir o novalores de x que anulen este polinomio. Estos valores, siexisten, se llaman races. Si el polinomio es x2 + 1 y elcuerpo es el de los nmeros reales, entonces el polino-mio no tiene races, porque cualquier valor de x hace queel polinomio sea mayor o igual que uno. No obstante, siel cuerpo se extiende, entonces el polinomio puede tenerraces, y si se le extiende lo suficiente, tendr un nmerode races igual a su grado. Continuando con el ejemploprevio, si el cuerpo se extiende a los nmeros comple-jos, entonces el polinomio tiene dos races, i y i, dondeies la unidad imaginaria, esto es, i 2 = 1. De modo ms

general, la extensin del cuerpo en el que un polinomiopuede factorizarse en sus races se conoce como cuerpode descomposicin del polinomio.El grupo de Galois de un polinomio es el conjunto detodas las maneras de transformar el cuerpo de descom-posicin sin cambiar ni el cuerpo base ni las races delpolinomio (en la jerga matemtica, esas transformacio-nes se denominan automorfismos). El grupo de Galois dex2 + 1 consta de dos elementos: La transformacin iden-tidad, que enva cada nmero complejo a s mismo, y laconjugacin, que hace corresponder i a i. Ya que el gru-po de Galois no cambia el cuerpo base, deja los coeficien-tes del polinomio inalterados, de modo que debe tambindejar inalterado el conjunto de todas las races. Sin em-bargo, cada raz puede transformarse en otra raz, de mo-do que la transformacin determina una permutacin den races entre s mismas. La importancia del grupo de Ga-lois viene del teorema fundamental de la teora de Galois,que prueba que los cuerpos que estn entre el cuerpo basey el cuerpo de descomposicin estn en correspondenciabiunvoca con los subgrupos del grupo de Galois.En 1918, Noether public un artculo de gran importan-cia sobre el problema inverso de Galois.[68] En lugar dedeterminar el grupo de Galois de transformaciones de uncuerpo dado y su extensin, Noether se pregunt si, da-do un cuerpo y un grupo, siempre es posible encontraruna extensin del cuerpo que tenga al grupo dado comosu grupo de Galois. Redujo esto al llamado problema deNoether, que pregunta si el cuerpo fijo de un subrupo Gdel grupo de permutaciones Sn actuando sobre el cuerpok(x1, ... , xn) es siempre una extensin trascendente puradel cuerpo k. (Mencion esto por primera vez en un ar-tculo de 1913,[69] donde atribua el problema a su colegaFischer.) Mostr que esto era cierto para n = 2, 3, o 4.En 1969, R. G. Swan encontr un contraejemplo para elproblema de Noether siendo n = 47 y G un grupo cclicode orden 47[70] (aunque este grupo puede realizarse co-mo un grupo de Galois sobre los nmeros racionales porotros mtodos). El problema inverso de Galois continasin resolverse.[71]

2.2.3 Fsica

Noether fue invitada a Gotinga en 1915 por David Hil-bert y Felix Klein, quienes necesitaban de su experien-cia en la teora de invariantes para ayudarles a compren-der la relatividad general, una teora geomtrica de lagravitacin desarrollada principalmente por Albert Eins-tein. Hilbert haba observado que la conservacin de laenerga pareca ser violada en la relatividad general, de-bido al hecho de que la energa gravitacional poda a suvez ejercer atraccin gravitacional. Noether desmont es-ta paradoja y cre una herramienta fundamental para lafsica terica con su primer teorema de Noether, quedemostr en 1915, pero que no public hasta 1918.[72]Resolvi el problema no slo para la relatividad general,sino que determin las cantidades conservadas para cual-

https://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_especial_ortogonalhttps://de.wikipedia.org/wiki/Misthttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_Galoishttps://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/Permutaci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Grado_(polinomio)https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_realhttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racionalhttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racionalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9tica_modularhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_de_una_funci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Extensi%C3%B3n_de_cuerpohttps://es.wikipedia.org/wiki/Unidad_imaginariahttps://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_de_descomposici%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_de_descomposici%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_de_Galoishttps://es.wikipedia.org/wiki/Automorfismohttps://es.wikipedia.org/wiki/Conjugadohttps://es.wikipedia.org/wiki/Permutaci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_de_la_teor%C3%ADa_de_Galoishttps://es.wikipedia.org/wiki/Subgrupohttps://es.wikipedia.org/wiki/Problema_inverso_de_Galoishttps://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_Noetherhttps://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_Noetherhttps://es.wikipedia.org/wiki/Permutaci%C3%B3n_y_grupo_sim%C3%A9tricohttps://es.wikipedia.org/wiki/Extensi%C3%B3n_algebraicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Ernst_Sigismund_Fischerhttps://es.wikipedia.org/wiki/R._G._Swanhttps://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_c%C3%ADclicohttps://es.wikipedia.org/wiki/Gotingahttps://es.wikipedia.org/wiki/Relatividad_generalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Gravitaci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Albert_Einsteinhttps://es.wikipedia.org/wiki/Albert_Einsteinhttps://es.wikipedia.org/wiki/Conservaci%C3%B3n_de_la_energ%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Conservaci%C3%B3n_de_la_energ%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica_te%C3%B3ricahttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Noether

2.3 Segunda poca (192026) 11

quier sistema de leyes fsicas que posea algn tipo de si-metra continua Tras recibir su trabajo, Einstein escribia Hilbert estas palabras: Ayer recib de la seorita Noet-her un artculo muy interesante sobre los invariantes. Meha impresionado que este tipo de cosas puedan ser com-prendidas de un modo tan general. La vieja guardia deGotinga debera tomar algunas lecciones de la seoritaNoether! Parece que sabe lo que hace.[73]

Para ilustrar la importancia de este teorema, si un sistemafsico se comporta con independencia de su orientacinen el espacio, se dice que las leyes fsicas que lo gobiernanson tienen simetra de rotacin. A partir de esta simetra,el teorema de Noether muestra que el momento angulardel sistema se debe conservar.[74] El propio sistema fsi-co no necesita ser simtrico. Un asteroide de superficieirregular que gira caticamente en el espacio conserva sumomento angular a pesar de su falta de simetra. Es la si-metra de las leyes fsicas que gobiernan el sistema la quees responsable de la ley de la conservacin. Otros ejem-plos: si un experimento fsico da el mismo resultado encualquier lugar y en cualquier momento, entonces sus le-yes son simtricas bajo traslaciones (continuas) en el es-pacio y el tiempo. En virtud del teorema de Noether, estassimetras explican las leyes de conservacin del momentolineal y la energa de este sistema, respectivamente.El teorema de Noether se ha convertido en una herra-mienta fundamental en la moderna fsica terica, tantopor la perspectiva que da sobre las leyes de conservacincomo por ser una herramienta prctica de clculo.[3] Elteorema permite a los investigadores determinar las can-tidades conservadas a partir de las simetras observadasen un sistema fsico. Recprocamente, facilita la descrip-cin de un sistema fsico basndose en leyes fsicas hi-potticas. Para ilustrar este punto, supngase que se des-cubre un nuevo fenmeno fsico. Entonces los modelostericos que se propongan para el fenmeno deben satis-facer el teorema de Noether: si la teora tiene una simetracontinua, entonces el teorema de Noether garantiza quela teora tiene una cantidad conservada, y para que la teo-ra sea correcta, esta conservacin debe ser observable enexperimentos.

2.3 Segunda poca (192026)

Aunque los resultados de la primera poca de Noetherfueron impresionantes y tiles, su fama como matemticadescansa ms en el trabajo fundamental que efectu en susegunda y tercera pocas, como advierten HermannWeyly B. L. van der Waerden en el obituario de Emmy.En estas pocas no estaba aplicando meramente las ideasy mtodos de los primeros matemticos. En lugar de elloestaba elaborando nuevos sistemas de definiciones mate-mticas que seran usados por futuros matemticos. Enparticular, desarroll una teora completamente nueva delos ideales en los anillos, que generalizaba los primerostrabajos de Richard Dedekind. Tambin es conocida por

descubrir las condiciones de la cadena ascendente, unacondicin simple de finitud que en sus manos dio pode-rosos resultados. Estas condiciones y la teora de los idea-les permitieron a Noether generalizar muchos resultadosantiguos y tratar viejos problemas desde nuevas perspec-tivas, como la teora de la eliminacin y las variedadesalgebraicas, que haba estudiado su padre.

2.3.1 Condiciones ascendentes y descendentes decadena

En esta poca, Noether se hizo famosa por su destrezaen el uso de las condiciones ascendentes (Teilerkettensatz)o descendentes (Vielfachenkettensatz) de cadena. Se diceque una sucesin de subconjuntos no vacos A1, A2, A3,etc. de un conjunto S es estrictamente ascendente si cadauno es un subconjunto del siguiente

A1 A2 A3

La condicin de cadena ascendente requiere que estas su-cesiones se descompongan despus de un nmero finitode pasos. En otras palabras, todas estas sucesiones debenser finitas. A la inversa, con una sucesin de subconjuntosestrictamente descendente:

A1 A2 A3

la condicin de la cadena descendente requiere que talessucesiones se descompongan despus de un nmero finito.Las condiciones ascendentes y descendentes de cadenason generales, es decir, se pueden aplicar a muchos tiposdistintos de objetos matemticos, y a primera vista no pa-recen muy potentes. Sin embargo Noether mostr cmoexplotar esas condiciones para obtener las mximas ven-tajas: por ejemplo, utilizndolas para mostrar que todoconjunto de sub-objetos tiene un elemento maximal o mi-nimal, o que un objeto complejo puede generarse a partirde un nmero menor de elementos. Estas conclusiones amenudo son pasos cruciales en una demostracin.Muchos tipos de objetos en un lgebra abstracta puedensatisfacer las condiciones de cadena, y habitualmente sisatisfacen una condicin ascendente de cadena se llamannoetherianos en su honor. Por definicin, un anillo noet-heriano satisface una condicin ascendente de cadena ensus ideales izquierdo y derecho, mientras que un gruponoetheriano se define como un grupo en el que toda ca-dena estrictamente ascendente de subgrupos es finita. Unmdulo noetheriano es un mdulo en el que toda cadenaestrictamente ascendente de submdulos se descompo-ne despus de un nmero finito. Un espacio noetherianoes un espacio topolgico en el que toda cadena estricta-mente ascendente de subespacios abiertos se descomponedespus de un nmero finito de trminos. Esta definicinse establece de tal manera que el espectro de un anillonoetheriano es un espacio topolgico noetheriano.

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12 2 CONTRIBUCIN A LA MATEMTICA Y LA FSICA

La condicin de la cadena frecuentemente es heredadapor los subobjetos. Por ejemplo, todos los subespacios deun espacio noetheriano son a su vez noetherianos. Todoslos subgrupos y grupos cociente de un grupo noetherianoson del mismo modo noetherianos, y mutatis mutandis, lomismo se predica de los submdulos y cocientes de m-dulos de unmdulo noetheriano. Todos los anillos cocien-te de un anillo noetheriano son noetherianos, pero eso noes necesariamente vlido para sus subanillos. La condi-cin de cadena tambin puede heredarse por combinacio-nes o extensiones de un objeto noetheriano. Por ejemplo,las sumas finitas directas anillos noetherianos son noethe-rianas, as como el anillo de series de potencias formalessobre un anillo noetheriano.Otra aplicacin de estas condiciones de cadena es lainduccin noetheriana tambin conocida como ordenbien fundamentado que es una generalizacin de lainduccin matemtica. Frecuentemente se usa para redu-cir proposiciones generales sobre colecciones de objetosa proposiciones sobre objetos en particular de esa colec-cin. Supngase que S es un conjunto parcialmente orde-nado. Una forma de probar una afirmacin sobre los ob-jetos de S es suponer la existencia de un contraejemploy deducir una contradiccin, probando de ese modo lacontrapuesta de la afirmacin original. La premisa bsi-ca de la induccin noetheriana es que todo subconjuntono vaco de S contiene un elemento minimal. En particu-lar, el conjunto de todos los contraejemplos contiene unelemento minimal, el contraejemplo minimal. Para probarla afirmacin original, por tanto, es suficiente probar algoaparentemente mucho ms dbil: por cada contraejemploexiste un contraejemplo menor.

2.3.2 Anillos conmutativos, ideales y mdulos

El artculo de Noether, Idealtheorie in Ringbereichen(Teora de ideales en dominios de integridad, 1921),[75]es el fundamento de la teora general de anillos conmu-tativos y da una de las primeras definiciones generales deun anillo conmutativo.[76] Antes de su artculo, muchosde los resultados en el lgebra conmutativa se restringana ejemplos especiales de anillos conmutativos, como losanillos polinmicos sobre cuerpos o anillos de enteros al-gebraicos. Noether prob que en un anillo que satisface lacondicin de cadena ascendente sobre un ideal, todos losideales se generan de forma finita. En 1943 el matemticofrancs Claude Chevalley acu el trmino, anillo noethe-riano, para describir esta propiedad.[76] Una de las conse-cuencias principales del artculo de Noether de 1921 es elteorema de LaskerNoether, que ampla el teorema deLasker sobre la descomposicin primaria de ideales enanillos polinmicos a todos los anillos noetherianos. Elteorema de LaskerNoether se puede contemplar comouna generalizacin del teorema fundamental de la arit-mtica que afirma que cualquier entero positivo se puedeexpresar como un producto de nmeros primos y que di-cha descomposicin es nica.

El trabajo de Noether Abstrakter Aufbau der Idealtheo-rie in algebraischen Zahl- und Funktionenkrpern (Es-tructura abstracta de la teora de ideales en cuerpos denmeros algebraicos y de funciones, 1927)[77] caracteri-z los anillos en los que los ideales tienen una factoriza-cin nica en ideales primos como los dominios de De-dekind: los dominios integrales que son noetherianos, 0o 1-dimensionales, y cerrados integralmente en sus cuer-pos cocientes. Este artculo tambin contiene lo que ac-tualmente se conoce como los teoremas de isomorfismo,que describen algunos isomorfismos naturales y otros re-sultados bsicos acerca de los mdulos noetherianos yartinianos.

2.3.3 Teora de la eliminacin

En 192324, Noether aplic su teora de ideales a lateora de la eliminacinen una formulacin que seatribuye a su alumno, Kurt Hentzelt mostrando quelos teoremas fundamentales de la factorizacin de poli-nomios podan trasladarse directamente.[78] Tradicional-mente, la teora de la eliminacin se ocupa de la elimina-cin de una o ms variables de un sistema de ecuacionespolinmicas, habitualmente mediante el mtodo de lasresultantes. Para ilustrar este punto, un sistema de ecua-ciones frecuentemente puede escribirse como el productode una matriz M (cuyos elementos son los coeficientes)por un vector v (cuyas componentes son las potencias su-cesivas de x) que se iguala al vector cero,Mv = 0. Comoconsecuencia, el determinante de la matriz M debe serigual a cero, lo que da lugar a una nueva ecuacin en laque la variable x ha sido eliminada.

2.3.4 Teora de los invariantes de grupos finitos

Tcnicas como la solucin no constructiva original deHilbert al problema de la base finita no podan aplicarsepara obtener informacin cuantitativa sobre los invarian-tes de una accin de grupo, y ni siquiera podan aplicarsea todas las acciones de grupo. En su artculo de 1915,[79]Noether resolvi el problema de base finita para un grupofinito de transformaciones G que acta sobre un espaciovectorial finito-dimensional sobre un cuerpo de caracte-rstica cero. Su solucin muestra que el anillo de las inva-riantes se genera por invariantes homogneos cuyo gra-do es menor o igual al orden del grupo finito. A esto sele llama cota de Noether. Su artculo daba dos demos-traciones de la cota de Noether, que permanecen vlidascuando la caracterstica del cuerpo es coprima con |G|!,el factorial de orden |G| del grupo G. El nmero de ge-neradores necesarios no satisface necesariamente la co-ta de Noether cuando la caracterstica del cuerpo dividea |G|,[80] pero Noether no fue capaz de determinar si lacota era correcta cuando la caracterstica del cuerpo di-vide a |G|! pero no a |G|. Durante muchos aos, deter-minar la verdad o falsedad de la cota en este caso fueun problema abierto conocido como la laguna de Noet-

https://es.wikipedia.org/wiki/Mutatis_mutandishttps://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_potenciashttps://es.wikipedia.org/wiki/Inducci%C3%B3n_noetherianahttps://es.wikipedia.org/wiki/Orden_bien_fundamentadohttps://es.wikipedia.org/wiki/Orden_bien_fundamentadohttps://es.wikipedia.org/wiki/Inducci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_parcialmente_ordenadohttps://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_parcialmente_ordenadohttps://es.wikipedia.org/wiki/Contraejemplohttps://es.wikipedia.org/wiki/Contraposici%C3%B3n_l%C3%B3gicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_conmutativohttps://es.wikipedia.org/wiki/Claude_Chevalleyhttps://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_noetherianohttps://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_noetherianohttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Lasker%E2%80%93Noetherhttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_de_la_aritm%C3%A9ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_de_la_aritm%C3%A9ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primohttps://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_de_Dedekindhttps://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_de_Dedekindhttps://es.wikipedia.org/wiki/Dimensi%C3%B3n_de_Krullhttps://es.wikipedia.org/wiki/Clausura_integralhttps://es.wikipedia.org/wiki/Transformaci%C3%B3n_naturalhttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_artinianohttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_eliminaci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n#Factorizar_un_polinomiohttps://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n#Factorizar_un_polinomiohttps://es.wikipedia.org/wiki/Resultantehttps://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/Coprimohttps://es.wikipedia.org/wiki/Factorial

2.4 Tercera poca (192735) 13

her. Finalmente se resolvi de forma independiente porFleischmann en 2000 y Fogarty en 2001, demostrandoambos que la cota sigue siendo vlida.[81]

En su artculo de 1926,[82] Noether extendi el teoremade Hilbert a representaciones de un grupo finito sobreun cuerpo cualquiera. El nuevo caso que no se segua dela obra de Hilbert era cuando la caracterstica del cuer-po divide al orden del grupo. El resultado de Noetherfue ampliado posteriormente por William Haboush a to-dos los grupos reductivos mediante su demostracin de laconjetura de Mumford.[83] En este artculo Noether tam-bin introduce el lema de la normalizacin de Noether,que muestra que un dominio A generado finitamente so-bre un cuerpoK tiene un conjunto x1, ... , xn de elementosalgebraicamente independientes tales que A es la clausuraintegral sobre K[x1, ... , xn].

2.3.5 Contribuciones a la topologa

Una deformacin continua (homotopa) de una taza de caf enuna dona (toro) y a la inversa.

Como dijeron Pavel Alexandrov y Hermann Weyl en susobituarios a Emmy, las contribuciones de Noether a latopologa ilustran su generosidad con las ideas y cmosus intuiciones podan transformar campos completos dela matemtica. En topologa los matemticos estudian laspropiedades de los objetos que permanencen invariantesincluso bajo deformacin continua, propiedades como suconexidad. Hay un conocido chiste que dice que un top-logo es alguien que no distingue un donut de una taza decaf, porque pueden transformarse de manera continua(que en este ejemplo significa sin cerrar ni abrir nuevosagujeros) el uno en el otro.A Noether se le atribuyen las ideas fundamentales quecondujeron al desarrollo de la topologa algebraica a par-tir de la primitiva topologa combinatoria, en concretola idea de grupos de homologa.[84] De acuerdo con lo

que dice Alexandrov, Noether asista a clases imparti-das por Heinz Hopf y l mismo en los veranos de 1926y 1927, donde estaba continuamente haciendo observa-ciones, que frecuentemente eran profundas y sutiles,[85]y contina diciendo que:

Cuando ... en principio qued satisfechacon una construcccin sistemtica de la topolo-ga combinatoria, observ inmediatamente quemerecera la pena estudiar directamente el gru-po de complejos algebraicos y ciclos de un po-liedro dado y el subgrupo del grupo cclico queconsta de ciclos homlogos a cero. En lugar dela definicin habitual de los nmeros de Bet-ti, sugiri inmediatamente definir el grupo deBetti como el cociente del grupo de todos losciclos por el subgrupo de ciclos homlogos acero. Esta observacin ahora parece obvia. Pe-ro en aquellos aos (19251928) fue un puntode vista completamente nuevo.[86]

La sugerencia de Noether de que la topologa deba es-tudiarse algebraicamente fue adoptada inmediatamentepor Hopf, Alexandrov, y otros,[86] y se convirti en untema de discusin frecuente entre los matemticos deGotinga.[87] Noether observ que su idea de grupo de Bet-ti hace que la frmula EulerPoincar sea fcil de com-prender, y el propio trabajo de Hopf sobre esta mate-ria lleva la impronta de estas observaciones de EmmyNoether.[88][89] Noether menciona sus propias ideas so-bre la topologa slo marginalmente en una publicacinde 1926,[90] donde las cita como una aplicacin de la teo-ra de grupos.[91]

La aproximacin algebraica a la topologa se desarrollindependientemente en Austria. En un curso impartidoen 192627 en Viena, Leopold Vietoris define grupo dehomologa. Walther Mayer dio una definicin axiomti-ca del mismo en 1928.[92]

2.4 Tercera poca (192735)

2.4.1 Nmeros hipercomplejos y teora de la repre-sentacin

Se haban llevado a cabo muchos trabajos sobre losnmeros hipercomplejos y representaciones de grupo aprincipios del siglo XX, pero seguan siendo dispares.Noether unific los resultados y dio la primera represen-tacin general de la teora de grupos y lgebras.[93] En re-sumen, Noether subsumi la teora estructural del lgebraasociativa y de la representacin de grupos en una nicateora aritmtica de mdulos e ideales que satisfacen lascondiciones ascendentes de cadena. Este nico trabajo deNoether es de fundamental importancia para el desarrollodel lgebra moderna.[94]

https://es.wikipedia.org/wiki/William_Haboushhttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Haboushhttps://es.wikipedia.org/wiki/Lema_de_la_normalizaci%C3%B3n_de_Noetherhttps://es.wikipedia.org/wiki/Dominio_de_integridadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Independencia_algebraicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Clausura_integralhttps://es.wikipedia.org/wiki/Clausura_integralhttps://es.wikipedia.org/wiki/Homotop%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Toro_(geometr%C3%ADa)https://es.wikipedia.org/wiki/Pavel_Alexandrovhttps://es.wikipedia.org/wiki/Hermann_Weylhttps://es.wikipedia.org/wiki/Obituariohttps://es.wikipedia.org/wiki/Topolog%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_conexohttps://es.wikipedia.org/wiki/Topolog%C3%ADa_algebraicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Topolog%C3%ADa_combinatoriahttps://es.wikipedia.org/wiki/Homolog%C3%ADa_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/Heinz_Hopfhttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Bettihttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Bettihttps://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_de_Bettihttps://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_de_Bettihttps://es.wikipedia.org/wiki/Caracter%C3%ADstica_de_Eulerhttps://es.wikipedia.org/wiki/Austriahttps://es.wikipedia.org/wiki/Vienahttps://es.wikipedia.org/wiki/Leopold_Vietorishttps://es.wikipedia.org/wiki/Walther_Mayerhttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_hipercomplejohttps://es.wikipedia.org/wiki/Representaci%C3%B3n_de_grupohttps://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XXhttps://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_asociativahttps://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_asociativa

14 3 VALORACIN, RECONOCIMIENTO Y HOMENAJES

Helmut Hasse trabaj con Noether y otros para encontrar la teo-ra de las lgebras centrales simples.

2.4.2 lgebra no conmutativa

Noether tambin fue responsable de otros avances en elcampo de la lgebra. Con Emil Artin, Richard Brauer, yHelmut Hasse, fund la teora de las lgebras centralessimples.[95]

Un artculo muy influyente publicado por Noether, Hel-mut Hasse, y Richard Brauer trat de las lgebras de di-visin,[96] que son aquellos sistemas algebraicos en losque es posible la divisin. Probaron dos teoremas im-portantes; un teorema local-global que afirma que si unlgebra de divisin finita dimensional central sobre uncuerpo numrico algebraico se descompone localmenteen cualquier elemento, entonces se descompone tambinglobalmente (con lo que es trivial), y de esto dedujeronsu teorema principal (Hauptsatz): todo lgebra de divi-sin central finito-dimensional sobre un cuerpo numricoalgebraico F se descompone sobre una extensin cclicaciclotmica. Estos teoremas permiten clasificar todas laslgebras de divisin finito dimensionales y centrales sobreun cuerpo numrico dado. Un artculo posterior mostr,como un caso especial de un teoremams general, que to-dos los subcuerpos maximales de un lgebra de divisinD son cuerpos de descomposicin.[97] Este artculo tam-bin contiene el teorema de SkolemNoether que afirmaque dos inclusiones de una extensin de un cuerpo K en

un lgebra simple central finito-dimensional sobre K, sonconjugados. El teorema de BrauerNoether ofrece unacaracterizacin de los cuerpos de descomposicin de unlgebra de divisin central sobre un cuerpo.[98]

3 Valoracin, reconocimiento y ho-menajes

El Campus de Emmy Noether en la Universidad de Siegen es lasede del departamento de fsica y matemticas. Fotografa deBob Ionescu..

El trabajo de Noether contina siendo relevante para eldesarrollo de la fsica terica y las matemticas y nun-ca se la ha dejado de considerar como uno de los msgrandes matemticos del siglo XX. En su obituario, el al-gebrista B. L. van der Waerden dijo que su originalidadmatemtica estaba absolutamente ms all de cualquiercomparacin,[99] y Herman Weyl que Noether cambila faz del lgebra abstracta" con sus trabajos.[6] Ya duran-te su vida y hasta hoy, se ha mantenido que ha sido la msgrande matemtica de la historia[2][100] por, por ejem-plo, los matemticos Pavel Alexandrov,[101] HermannWeyl,[102] y Jean Dieudonn.[103] En una carta al The NewYork Times, Albert Einstein escribi:[1]

Si se hubiera de juzgar la labor de los ma-temticos vivos ms competentes, la seoritaNoether ha sido de lejos el genio matemticoms significativo producido desde que comen-z la educacin superior de las mujeres. En elreino del lgebra, en el cual los ms do