emprunts obligatires

Exercice ref MF-07-01

Sur un prospectus concernant un emprunt à taux fixe, nous pouvons relever les renseignements suivants :

- Taux d'intérêt nominal : 10,70%- Montant : 3 000 000 000€- Type des titres : obligations de 5000€- Prix d'émission : 4 796€- Prix de remboursement : au pair, soit à 5000€- Durée de l'emprunt : 15 ans- Amortissement : en 5 tranches annuelles égales après un différé de 10 ans- Taux actuariel brut au réglement : 11,3%

a) Dresser le tableau d'amortissement de cet emprunt :

Connaissant le montant de l’emprunt et le pair d’une obligation (sa valeur nominale), nous en déduisons qu’il y a eu 600 000 obligations émises.

L’intérêt annuel rapporté par une obligation, le coupon, est égal à 5 000 x 0,107 = 535

D’où le tableau d’amortissement :

Nombre d'Obligations

Annuités Amortissements Coupons Amorties Vivantes1 321 000 000,00 0,00 321 000 000,00 0 600 0002 321 000 000,00 0,00 321 000 000,00 0 600 0003 321 000 000,00 0,00 321 000 000,00 0 600 0004 321 000 000,00 0,00 321 000 000,00 0 600 0005 321 000 000,00 0,00 321 000 000,00 0 600 0006 321 000 000,00 0,00 321 000 000,00 0 600 0007 321 000 000,00 0,00 321 000 000,00 0 600 0008 321 000 000,00 0,00 321 000 000,00 0 600 0009 321 000 000,00 0,00 321 000 000,00 0 600 00010 321 000 000,00 0,00 321 000 000,00 0 600 00011 921 000 000,00 600 000 000,00 321 000 000,00 120 000 480 00012 856 800 000,00 600 000 000,00 256 800 000,00 120 000 360 00013 792 600 000,00 600 000 000,00 192 600 000,00 120 000 240 00014 728 400 000,00 600 000 000,00 128 400 000,00 120 000 120 00015 664 200 000,00 600 000 000,00 64 200 000,00 120 000 0

600 000

b) En sachant que le taux actuariel brut représente le taux effectif d'un emprunt obligataire si celui-ci est assimilé à un emprunt indivis, vérifier que le taux actuariel brut est bien celui indiqué

Le taux actuariel brut (TAB) i est solution de l’équation financière représentant un emprunt de 600 000 obligations payées chacune 4 796€ (le montant de l’emprunt est alors égal à 2 877 600 000€) remboursé par le versement des 15 annuités ci-dessus.

Ce taux i est solution de l’équation (en nous plaçant à la date de début du crédit) :

En remplaçant i par 0,113, nous pouvons constater que cette équation est vérifiée (aux arrondis près).

Le TAB est donc bien égal à 11,3%


Un emprunt obligataire est composé de 250 000 obligations de 2 400€ remboursées au pair. Le taux nominal de cet emprunt est égal à 12%. Cet emprunt est amorti par le paiement de huit annuités sensiblement constantes et les nombres d'obligations remboursées sont arrondis à la dizaine près.

a) Trouver une relation entre deux nombres théoriques successifs d'obligations remboursées

Les nombres d’obligations amorties chaque année doivent être entiers (ou arrondis). Il nous faut donc distinguer le nombre d’obligations amorties réellement (annuités sensiblement constantes) du nombre d’obligations amorties théorique (annuités constantes).

Nous désignons par np le nombre d’obligations théoriquement amorties lors du paiement de p ième annuité ap, par Np le nombre d’obligations théoriquement vivantes après le paiement de cette annuité (N est le nombre d’obligations émises).

Le taux d’intérêt de cet emprunt sera désigné par i, le pair par P, la valeur de remboursement par R et par c le coupon.

Nous avons c = i x P

ap+1 = np+1 x R + Np x c ap = np x R + Np-1 x c Np = Np-1 - np

Comme ap+1 = ap, nous avons np+1 x R + (Np-1 - np) x c = np x R + Np-1 x c

D’où np+1 = np x (1 + c/R)

Si les annuités sont constantes, les nombres d’obligations théoriquement amorties forment une suite

géométrique de raison (1 + c/R)

b) Dresser le tableau d'amortissement de cet emprunt

Suivant la relation ci-dessus, le nombre n1 d’obligations amorties théoriquement la première année est solution de l’équation (dans notre cas le coupon est égal à 288€) :

Nous avons ainsi, en arrondissant à la dizaine près :

Nb d'obligations amorties

théorique réel1 20 325,71034 20 3302 22 764,79559 22 7603 25 496,57106 25 5004 28 556,15958 28 5605 31 982,89873 31 9806 35 820,84658 35 8207 40 119,34817 40 1208 44 933,66995 44 930

250 000

D’où le tableau d’amortissement (réel) de cet emprunt :

Nb d'obligations

Annuités Amortissements Coupons amorties vivantes1 120 792 000,00 48 792 000,00 72 000 000,00 20 330 229 6702 120 768 960,00 54 624 000,00 66 144 960,00 22 760 206 9103 120 790 080,00 61 200 000,00 59 590 080,00 25 500 181 4104 120 790 080,00 68 544 000,00 52 246 080,00 28 560 152 8505 120 772 800,00 76 752 000,00 44 020 800,00 31 980 120 8706 120 778 560,00 85 968 000,00 34 810 560,00 35 820 85 0507 120 782 400,00 96 288 000,00 24 494 400,00 40 120 44 9308 120 771 840,00 107 832 000,00 12 939 840,00 44 930 0

250 000

c) Quelle est la durée de vie moyenne d'une obligation ?

La durée de vie moyenne est la moyenne des durée de vie des obligations :

Durées de vie Nb d'obligationsdi ni ni di1 20 330 20 3302 22 760 45 5203 25 500 76 5004 28 560 114 2405 31 980 159 9006 35 820 214 9207 40 120 280 8408 44 930 359 440

250 000 1 271 690

D’où une durée de vie moyenne d’une obligation égale à 5,087 années

d) Au bout de combien de temps la moitié des obligations seront-elles remboursées ?

Au vu du tableau d’amortissement de l’emprunt, nous constatons qu’il faut attendre 5 ans pour que la moitié des obligations soient remboursées


Les premières lignes du tableau d'amortissement concernant un emprunt obligataire remboursé au pair par annuités sensiblement constantes donnent les renseignements suivants :

n° Annuités Amortissements Intérêts Nombres d'obligations

amorties vivantes

1 55 378 500,002 32 127 862,50 15 5013 55 378 500,00 16 6634 28 509 412,505

Retrouver toutes les caractéristiques de cet emprunt sachant que l'annuité constante est théoriquement

égale à 55 378 868,61 €

Nous prenons les notations habituelles, à savoir np pour le nombre d’obligations amorties lors du paiement de la pème annuité ap, Np le nombre d’obligations vivantes après paiement de cette annuité, mp

l’amortissement et Ip les intérêts versés à ce moment là.

Le pair est désigné par P, le nombre d’obligations émises par N, le taux d’intérêt par i, le nombre

d’annuités de remboursement par n et le coupon par c.

Nous avons, au vu du tableau donné :

I2 = 32 127 862,50 = (N – n1) x c et I 4 = 28 509 412,50 = (N – n1 – 15 501 – 16 663) x c = I2 - 32 164 x c

Nous en déduisons c = 112,50 et (N – n1) = 285 581

Par conséquent, I3 = (N – n1 - 15 501) x c = 270 080 x 112,50 = 30 384 000.

Connaissant a3, nous en déduisons m3 = 55 378 500 - 30 384 000 = 24 994 500 = 16 663 x P (l’emprunt est remboursé au pair)

D’où P = 1 500 et, comme c = i x P, nous avons i = 0,075

Nous savons également que a1 = n1 x P + N x c soit 55 378 500 = 1 500 x n1 + 112,50 x N

Comme (N – n1) = 285 581, nous en déduisons que n1 = 14 419 et N = 300 000

L’annuités théorique étant égale à 55 378 868,61 le nombre d’obligations théoriquement remboursées la première année est égal à 14 419,24574

Grâce au résultat obtenu à l’exercice ref MF-07-02 a) nous pouvons écrire :

Il s’agit donc d’un emprunt composé de 300 000 obligations de 1 500€ remboursé au pair en 13 annuités

sensiblement constantes calculées à 7,5%Exercice ref MF-07-04

Dresser le tableau d'amortissement d'un emprunt composé de 200 000 obligations de 1500€

remboursées au pair en huit ans par tirage au sort annuel sachant que le taux d'intérêt est égal à 9%, que les annuités sont sensiblement égales et que les nombre d'obligations remboursées chaque année sont arrondis à la centaine la plus proche


D’où le nombre d’obligations effectivement amorties chaque année :

Nombres d'obligations amorties

théoriquement réellementn1 18 134,88 18 100n2 19 767,01 19 800n3 21 546,05 21 500n4 23 485,19 23 500n5 25 598,86 25 600n6 27 902,75 27 900n7 30 414,00 30 400n8 33 151,26 33 200

200 000,00 200 000

Et le tableau d’amortissement :

Obligations

annuités ammort. coupons amorties vivantes1 54150000,00 27150000,00 27000000,00 18 100 181 9002 54256500,00 29700000,00 24556500,00 19 800 162 1003 54133500,00 32250000,00 21883500,00 21 500 140 6004 54231000,00 35250000,00 18981000,00 23 500 117 1005 54208500,00 38400000,00 15808500,00 25 600 91 5006 54202500,00 41850000,00 12352500,00 27 900 63 6007 54186000,00 45600000,00 8586000,00 30 400 33 2008 54282000,00 49800000,00 4482000,00 33 200 0

200 000 Exercice ref MF-07-05

Un emprunt obligataire est composé de 750 000 obligations de 4 000€ émises à 3960€ et remboursées à à 4320€ par 9 annuités constantes calculées à 10% et où les nombres d'obligations amorties chaque année sont arrondis à la dizaine la plus proche. Les frais d'émission s'élèvent à 100€ par obligation émise.

a) Dresser le tableau d'amortissement de cet emprunt


D’où le nombre d’obligations effectivement amorties chaque année :

Nombres d'obligations amorties

théoriquement réellementn1 56 976,26 56 980n2 62 251,84 62 250n3 68 015,90 68 020n4 74 313,67 74 310n5 81 194,56 81 190n6 88 712,58 88 710n7 96 926,71 96 930n8 105 901,40 105 900n9 115 707,09 115 710

750 000,00 750 000

Et le tableau d’amortissement :

Obligations

annuités ammort. coupons amorties vivantes1 546153600,00 246153600,00 300000000,00 56 980 693 0202 546128000,00 268920000,00 277208000,00 62 250 630 7703 546154400,00 293846400,00 252308000,00 68 020 562 7504 546119200,00 321019200,00 225100000,00 74 310 488 4405 546116800,00 350740800,00 195376000,00 81 190 407 2506 546127200,00 383227200,00 162900000,00 88 710 318 5407 546153600,00 418737600,00 127416000,00 96 930 221 610

8 546132000,00 457488000,00 88644000,00 105 900 115 7109 546151200,00 499867200,00 46284000,00 115 710 0

750 000

b) Calculer le taux effectif de placement pour un obligataire remboursé :

) au premier tirage;

Le taux effectif de placement i pour un obligataire remboursé au premier tirage est solution de l’équation :

3 960 (1 + i) = 4 320 + 400 = 4 720

Ce taux effectif de placement est donc égal à 19,19%

) au second tirage.

Le taux effectif de placement i pour un obligataire remboursé au second tirage est solution de l’équation (nous actualisons à la date 2):

3 960 (1 + i)2 = 400 (1 + i) + 4 720


c) Calculer le taux actuariel brut au réglement

Dans la question a) de cet exercice, nous avons trouvé que le nombre d’obligation théoriquement amorties la première année était égal à 56 976,260349

L’annuité théorique constante remboursant cet emprunt est donc égale à n1 x 4 320 + 750 000 x 400 = 546 137 444,71

Le capital effectivement prêté par l’ensemble des obligataires est égal à 750 000 x 3 960 = 2 970 000 000

Le taux actuariel brut au réglement i (TAB) est donc solution de l’équation (voir exercice ref MF-05-02) :

Le TAB est donc égal à 11,47%

d) Calculer le taux de revient de cet emprunt pour la société émetrice.

L’annuité théorique constante est toujours la même mais si le capital prêté par l’ensemble des obligataires n’est pas égal au capital disponible pour la société emetrice : il faut compter les frais qui s’élèvent à 100€ par obligation émise.

Le capital disponible est donc égal à 750 000 x (3 960 - 100) = 2 895 000 000

Le taux de revient i est donc solution de l’équation (voir exercice ref MF-05-02) :

Le taux de revient est donc égal à 12,14%


Les premières lignes du tableau d'amortissement concernant un emprunt obligataire portant sur des

obligations de 1500€ remboursées au dessus du pair par des annuités sensiblement constantes et dont les nombres d'obligations amorties chaque année sont arrondis au millier le plus proche donnent les renseignements suivants :

n° Annuités Amortissements Intérêts Nombres d'obligationsamorties vivantes

1 74 800 000,002 26 640 000,00 31 0003 75 720 000,00 33 0004 18 960 000,005

a) Retrouver toutes les caractéristiques de cet emprunt sachant que l'annuité constante est

théoriquement égale à 75 520 126,16 e

Nous prenons les notations habituelles, à savoir np pour le nombre d’obligations amorties lors du paiement de la pème annuité ap, Np le nombre d’obligations vivantes après paiement de cette annuité, mp

l’amortissement et Ip les intérêts versés à ce moment là.

Le pair est désigné par P, le nombre d’obligations émises par N, le taux d’intérêt par i, le nombre d’annuités de remboursement par n et le coupon par c.

Nous avons, au vu du tableau donné :

I2 = 26 640 000,00 = (N – n1) x c et I 4 = 18 960 000,00 = (N – n1 – 31 000 – 33 000) x c = I2 - 64 000 x c

Nous en déduisons c = 120 et (N – n1) = 222 000

Par conséquent, I3 = (N – n1 - 31 000) x c = 191 000 x 120 = 22 920 000.

Connaissant a3, nous en déduisons m3 = 75 720 000 - 22 920 000 = 52 800 000 = 33 000 x R (l’emprunt est remboursé au dessus du pair)

D’où R = 1 600 et, comme c = i x P, nous avons i = 0,080

Nous savons également que a1 = n1 x R + N x c soit 74 800 000 = 1 600 x n1 + 120 x N

Comme (N – n1) = 222 000, nous en déduisons que n1 = 28 000 et N = 250 000

L’annuités théorique étant égale à 75 520 126,16 le nombre d’obligations théoriquement remboursées la première année est égal à 28 450,07885


Il s’agit donc d’un emprunt composé de 250 000 obligations de 1 600€ remboursé au pair en 7 annuités

sensiblement constantes calculées à 7,5%

b) Les obligations ont été émises à 1470€. Trouver le taux de rendement pour un obligataire remboursé :

au premier tirage

Le taux effectif de placement i pour un obligataire remboursé au premier tirage est solution de l’équation :

1 470 (1 + i) = 1 600 + 120 = 1 720


au troisième tirage

Le taux effectif de placement i pour un obligataire remboursé au troisième tirage est solution de l’équation (nous actualisons à la date 3):

1 470 (1 + i)3 = 120 (1 + i)2 + 120 (1 + i) + 1 720


c) Déterminer le taux actuariel brut au réglement

L’annuité théorique constante remboursant cet emprunt est donc égale à n1 x 1 600 + 250 000 x 120 = 75 520 126,16

Le capital effectivement prêté par l’ensemble des obligataires est égal à 250 000 x 1 470 = 367 500 000

Le taux actuariel brut au réglement i (TAB) est donc solution de l’équation (voir exercice ref MF-05-02) :

Le TAB est donc égal à 10,01%

d) Les frais s'élèvent à 70€ par obligation émise, calculer le taux de revient de cet emprunt pour la société émétrice

L’annuité théorique constante est toujours la même mais si le capital prêté par l’ensemble des obligataires n’est pas égal au capital disponible pour la société emetrice : il faut compter les frais qui s’élèvent à 70€ par obligation émise.

Le capital disponible est donc égal à 750 000 x (3 960 - 100) = 2 895 000 000

Le taux de revient i est donc solution de l’équation (voir exercice ref MF-05-02) :

Le taux de revient est donc égal à 11,52%Exercice ref MF-07-07

Soit un emprunt obligataire dont les caractéristiques sont les suivantes :

- annuités sensiblement constantes- 100 000 obligations émises au pair, soit à 2500€- valeurs de remboursement : 2 550€ les 5 premières années

2 600€ les 5 années suivantes2 650€ les 5 dernières années

- durée : 15 ans- Taux nominal : 10,50%

Dresser le tableau d'amortissement de cet emprunt sachant que les nombres d'obligations amorties

chaque année sont arrondis à la centaine la plus proche

Le coupon est ici égal à 262,50€.

D’après l’exercice MF-07-02 a) nous savons que :

Nous avons également :

a6 = n6 x 2 600 + N5 x 262,50 a5 = n5 x 2 550 + N4 x 262,50 N5 = N4 - n5

Comme a6 = a5, nous avons n6 x 2 600 + (N4 - n5) x 262,50 = n5 x 2 550 + N4 x 262,50

De la même manière :

a11 = n11 x 2 650 + N10 x 262,50 a10 = n10 x 2 550 + N9 x 262,50 N10 = N9 - n10

Comme a11 = a10, nous avons n11 x 2 650 + (N9 - n10) x 262,50 = n10 x 2 600 + N9 x 262,50

Par conséquent :

soit encore :

Nous en déduisons ainsi que n1 = 3 183,360715

D’où le tableau suivant :

Nombre d'obligations amorties

théoriques réellementn1 3 183,360715 3 200n2 3 511,059612 3 500n3 3 872,492219 3 900n4 4 271,131124 4 300n5 4 710,806387 4 700n6 5 095,824216 5 100

n7 5 610,306469 5 600n8 6 176,731641 6 200n9 6 800,343971 6 800n10 7 486,917160 7 500n11 8 087,283159 8 100n12 8 888,381962 8 900n13 9 768,834892 9 800n14 10 736,502500 10 700n15 11 800,023974 11 700

100 000,000000 100 000

Nous avons modifié le dernier nombre d’obligations amorties pour que le total fasse bien 100 000

Nous obtenons ainsi le tableau d’amortissement :

Nombre d'obligations

Annuités Amortissements Coupons amorties vivantes1 34 410 000 8 160 000 26 250 000 3 200 96 8002 34 335 000 8 925 000 25 410 000 3 500 93 3003 34 436 250 9 945 000 24 491 250 3 900 89 4004 34 432 500 10 965 000 23 467 500 4 300 85 1005 34 323 750 11 985 000 22 338 750 4 700 80 4006 34 365 000 13 260 000 21 105 000 5 100 75 3007 34 326 250 14 560 000 19 766 250 5 600 69 7008 34 416 250 16 120 000 18 296 250 6 200 63 5009 34 348 750 17 680 000 16 668 750 6 800 56 70010 34 383 750 19 500 000 14 883 750 7 500 49 20011 34 380 000 21 465 000 12 915 000 8 100 41 10012 34 373 750 23 585 000 10 788 750 8 900 32 20013 34 422 500 25 970 000 8 452 500 9 800 22 40014 34 235 000 28 355 000 5 880 000 10 700 11 70015 34 076 250 31 005 000 3 071 250 11 700 0

100 000

Documents

emprunts obligatires