ENGINEERING ECONOMY - · Pemajemukan Kontinyu untuk Aliran Kas Diskrit 5. Pemajemukan Kontinyu untuk Aliran Kas Kontinyu ... Atau dengan Tabel A=$1000+$200(A/G,i,n) A=$1000+$200(A/G,8%,10)

4 Oleh :

Debrina Puspita Andriani, ST., M.Eng

Teknik Industri Universitas Brawijaya

e-mail : [email protected] www.debrina.lecture.ub.ac.id

O

U

T

L

I

N

E

1.  Gradien

a.  Gradien Aritmatik

b.  Gradien Geometrik

2.   Bunga Nominal vs Bunga Efektif

3.   Majemuk Kontinyu

4.   Pemajemukan Kontinyu untuk Aliran Kas Diskrit

5.   Pemajemukan Kontinyu untuk Aliran Kas Kontinyu

ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 2


1. GRADIEN ARITMATIK


( )

( )niGAGA

i

n

iGA

n

,,/

11

1

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−+−=

GRADIEN ARITMATIK

CONTOH 1 (1)

Seseorang berencana untuk menyimpan pemasukannya per tahun

sebesar $1000 dan dapat menaikkan pemasukannya sebesar

$200/tahun selama 9 tahun berikutnya.

Rangkaian cashflow bermula pada akhir tahun pertama, dan jumlah

tabungan terakhir akan terjadi pada akhir tahun kesepuluh

Bila bunga adalah 8% per thn, berapa annual worth yang setara

yang dimulai pada akhir tahun 1 dan berakhir pada tahun 10,

dimana annual worth tsb memperhitungkan adanya rangkaian

gradien/kenaikan pemasukan $200/thn?


SOLUSI :

A = $1.000+$2001

0,08−

10

1+ 0,08( )10−1

"

#$$

%

&''

A = $1.000+$200 12,5−10

1,1589

"

#$

%

&'

A = $1.000+$200 12,5−8,6287[ ]

A = $1.000+$200 3,8713[ ]

A = $1.000+$774,2628

A = $1.774


GRADIEN ARITMATIK

CONTOH 1 (2)

Atau dengan Tabel

A = $1000+$200(A /G, i,n)

A = $1000+$200(A /G,8%,10)

A = $1000+$200(3.8713)

A = $1.774, 26

GRADIEN ARITMATIK

CONTOH 2 (1)


Bunga 9% per tahun

Tentukan annual worth yang ekivalen

SOLUSI :

( )

( )

650.3$A

350.1$000.5$A

2498,2600$000.5$A

6%,9,G/A600$000.5$A

=

-=

-=

-=


GRADIEN ARITMATIK

CONTOH 2 (2)

GRADIEN ARITMATIK


F =G

i

(1+ i)N −1

i(1+ i)N

−N

i 1+ i( )N

"

#$$

%

&''1+ i( )

N

F =G F /G, i%,N( )

P =G

i

(1+ i)N −1

i(1+ i)N

−N

i 1+ i( )N

"

#$$

%

&''

P =G P /G, i%,N( )

GRADIEN ARITMATIK


G / P, i%,N( ) = G / A, i%,N( ) A / P, i%,N( )

G / F, i%,N( ) = G / P, i%,N( ) P / F, i%,N( )

G / A, i%,N( ) = G / F, i%,N( ) F / A, i%,N( )

Dan seterusnya.

HUBUNGAN P, F, A DENGAN G


G

A

F P

(A/G, i%, N) (G/A, i%, N)

(F/G, i%, N)

(G/F, i%, N)

(P/G, i%, N)

(G/P, i%, N)

2. GRADIEN GEOMETRIK


GRADIEN GEOMETRIK


P =F1

1+ g

1+ g '( )n−1

g ' 1+ g '( )n

"

#$$

%

&''

P =F1

1+ gP / A,g ',n( )

g ' =1+ i

1+ g−1

[ ]

( )( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+

−+

+=→<

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+=→=

+=→>

n

n

gg

g

g

FPg

g

nFPg

ngAPg

FPg

'1'

1'1

10'

10'

,',/1

0'

1

1

1

Catatan !

SOAL TUGAS

1. Pemasukan dari suatu usaha tertentu diestimasi akan naik 7%

per tahun dari dasar tahun pertama sebesar $360.000. Berapa

harga saat ini dari 10 tahun pemasukan tersebut dengan suku

bunga 15%?

2. Pemasukan dari aktivitas tertentu dihitung naik 10% per tahun

dari awal tahun pertama $10.000. Berapa harga saat ini dari 10

tahun pemasukan tersebut dengan tingkat suku bunga 10%?

3. Gaji lulusan terakhir diharapkan meningkat 12% per tahun dari

awal $52.000 untuk 5 tahun berikutnya. Bila tingkat suku bunga

diambil 10% selama periode tersebut, berapa harga saat ini atas

pendapatan tersebut?



BUNGA NOMINAL VS BUNGA EFEKTIF

Muncul karena adanya pertimbangan frekuensi majemuk

Tingkat suku bunga efektif adalah tingkat suku bunga aktual yang

digunakan bila periode pemajemukannya kurang dari satu tahun

Tingkat suku bunga nominal dinyatakan atas dasar per tahun dan

ditentukan dengan mengalikan tingkat suku bunga aktual

(efektif) per periode bunga dengan jumlah periode majemuk per

tahun

Perhitungan tingkat bunga nominal mengabaikan nilai uang dari

waktu


TINGKAT SUKU BUNGA NOMINAL DAN EFEKTIF

r = tingkat suku bunga nominal per tahun

i = tingkat suku bunga efektif dalam interval

waktu (per periode pemajemukan)

l = jangka interval waktu (dalam tahun)

m = timbal balik dari jangka periode

majemuk/jumlah pemajemukan (dalam tahun)

c = jumlah periode yang dimajemukkan

dalam interval waktu (c = l x m)


TINGKAT SUKU BUNGA NOMINAL


r = i x m

TINGKAT SUKU BUNGA EFEKTIF


ieff = (1 + i)m – 1

ieff = (1 + r/m)m – 1

TIN

GK

AT S

UK

U B

UN

GA

NO

MIN

AL D

AN

EF

EK

TIF


Jumlah

Pemajemukan/

tahun

(m)

Tingkat bunga

Nominal

(r)%

Tingkat bunga efektif

ieff%

1 15

2 15

12 15

365 15

TINGKAT SUKU BUNGA EFEKTIF

Dengan pendekatan lain, tingkat bunga efektif dapat dihitung dari


ieff =F −P

P

ieff =F

P−1

F = P(1+ ieff )n ⇔ ieff =

F

P

#

$%&

'(

1

N

−1

CONTOH (1)

Seorang karyawan meminjam uang Rp. 3 juta dan dia

harus mengembalikan pinjaman tersebut 6,5 tahun

lagi sebesar 4,5 juta. Bila periode pemajemukan

adalah 6 bulan, berapakah besarnya bunga efektif

tahunan dari pinjaman tersebut?


JAWAB


setahun

ieff =F

P

!

"#$

%&

1

N

−1

ieff =4,5

3

!

"#$

%&

1

6,5

−1

ieff =1,516,5 −1

ieff =1,0644−1

ieff = 0,0644 = 6, 44%

i =F

P

!

"#$

%&

1

n

−1

i =4,5

3

!

"#$

%&

1

13

−1

i =1,5113 −1

i =1,0317−1

i = 0,0317 = 3,17% %44,60644,0

10644,1

12

0634,01

11

0634,0

20317,0

2

==

−=

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+=

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+=

=

×=

i

i

i

m

ri

r

r

m


JAWAB

Atau juga bisa dengan cara

setahun per 6 bln

CONTOH (2)

Apabila seseorang menabung sebanyak Rp. 1 juta

sekarang, Rp. 3 juta untuk 4 tahun dari sekarang, dan

Rp 1,5 juta untuk 6 tahun dari sekarang dengan

tingkat bunga 12% per tahun dan dimajemukkan tiap

6 bulan, berapa uang yang ia miliki 10 tahun dari

sekarang?


CONTOH

Maka

F = Rp. 1 juta (F/P, 12,36%, 10) + Rp. 3 juta (F/P,

12,36%, 6) + Rp. 1,5 juta (F/P, 12,36%, 4)

= Rp. 11,6345 juta


CONTOH

Cara lain

F = Rp. 1 juta [F/P, 12/2%, 2(10)] + Rp. 3 juta [F/P,

12/2%, 2(6)] + Rp. 1,5 juta [F/P, 12/2%, 2(4)]

= Rp. 1 juta (F/P, 6%, 20) + Rp. 3 juta (F/P, 6%,

12) + Rp. 1,5 juta (F/P, 6%, 8)

= Rp. 11,6345 juta



BUNGA SETAHUN EFEKTIF UNTUK MAJEMUK TERUS-

MENERUS


ieff = limm→∞

1+r

m

#

$%

&

'(

m

−1

ieff = limm→∞

1+r

m

#

$%

&

'(

mr*

+

,,

-

.

//

r

−1

limm→∞

1+r

m

#

$%

&

'(

mr

≈ e

ieff = er −1 e = 2,71828


PEMAJEMUKAN KONTINYU

UNTUK ALIRAN KAS DISKRIT ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 31

Single Payment Compound Amount Factor

Single Payment Present Worth Factor

Uniform Series Compound Amount Factor

Uniform Series Sinking Fund Factor

Uniform Series Present Worth Factor

Uniform Series Capital Recovery Factor

Gradien Aritmatik & Gradien Geometrik

SINGLE PAYMENT COMPOUND AMOUNT FACTOR


F = P(erN)

F = P F / P, r%,N( )

SINGLE PAYMENT PRESENT WORTH FACTOR


P = F1

erN

!

"#$

%&

P = F P / F, r%,N( )

UNIFORM SERIES COMPOUND AMOUNT FACTOR


F = AerN −1

er −1

"

#$

%

&'

F = A F / A, r%,N( )

UNIFORM SERIES SINKING FUND FACTOR


A = Fer −1

erN −1

"

#$

%

&'

A = F A / F, r%,N( )

UNIFORM SERIES PRESENT WORTH FACTOR


P = A1− e−rN

er −1

"

#$

%

&'

P = AerN −1

erNer −1( )

"

#

$$

%

&

''

P = A P / A, r%,N( )

UNIFORM SERIES CAPITAL RECOVERY FACTOR


A = Per −1

1− e−rN"

#$

%

&'

A = PerNer −1( )

erN −1

"

#

$$

%

&

''

A = P A / P, r%,N( )

GRADIEN ARITMATIK


A =G1

er −1

−N

erN −1

"

#$%

&'

A =G A /G, r%,N( )

GRADIEN GEOMETRIK


g ' =1+ e

r −1( )( )1+ g( )

−1

g ' =er

1+ g( )−1

P = F1

P / A,g ',N( )1+ g

"

#$

%

&'

CONTOH

Seorang pelajar menabung setiap akhir tahun

dengan jumlah Rp 60.000 per tahun. Bila

tingkat bunga sebesar 10% dan dibungakan

secara kontinyu, hitunglah tingkat bunga

efektif dan nilai awal (P) dari semua

tabungannya!


JAWAB

( )

( )( )

624.360

0104,6000.60

1

1000.60

1

1000.60

%52,101052,0

1

1

10,01010,0

1010,0

10,0

RpP

RpP

ee

eRpP

ee

eRpP

i

ei

ei

rrn

rn

r

=

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−=

==

−=

−=

×

×


Tingkat bunga efektif

Nilai P

42 ENGINEERING

ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.A

C.ID

UNIFORM SERIES COMPOUND AMOUNT FACTOR


( )nrAFAF

r

eAF

rn

,,/

1

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

UNIFORM SERIES SINKING FUND FACTOR


( )nrFAFA

e

rFA

rn

,,/

1

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−=

UNIFORM SERIES PRESENT WORTH FACTOR


( )nrAPAP

re

eAP

rn

rn

,,/

1

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

UNIFORM SERIES CAPITAL RECOVERY FACTOR


( )nrPAPA

e

rePA

rn

rn

,,/

1

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−=

PEMBAYARAN TUNGGAL DAN

SERAGAM DAN KONTINYU HANYA

DALAM PERIODE N SAJA

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−=

r

rrn

rn

re

eePF

e

rePF

1

1

( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

1

1

rrn

r

rn

ee

reFP

re

eFP



Misalkan pengeluaran sebuah instansi terjadi secara kontinyu dengan total $10.000. Bunga uang

dimajemukkan secara kontinyu dengan tingkat bunga

15% per tahun. Bila kita mengambil waktu studi 5

tahun, berapakah:

§ Nilai awal (P)

§ Nilai pada tahun kelima (F)

dari seluruh pengeluaran tersebut?

SOAL TUGAS

Documents

ENGINEERING ECONOMY - · Pemajemukan Kontinyu untuk Aliran Kas Diskrit 5. Pemajemukan Kontinyu untuk Aliran Kas Kontinyu ... Atau dengan Tabel A=$1000+$200(A/G,i,n) A=$1000+$200(A/G,8%,10)