Enlacements de spheres en codimension sup~rieure ~ 2

p a r ANDRI~ H A E F L I G E R

1. Enonc~ du r~sultat principal

1.1. Un enlacement des r sph&es S p~, .... S p" dans S m est une suite K <p) de r sous- vari6t6s disjointes orient6es K~ . . . . . K, dans la sphere S m, la i-~me composante Ki 6tant diff~omorphe fi S p'. On dira aussi que K (p) est un enlacement de type (p) dans

S ' , en d~signant par (p) la suite (p~ . . . . . p~). Deux tels enlacements K ~p) = ( K t . . . . . K~) et K' ~P)= (K; . . . . . K~) dans S m sont isotopes s'il existe un diffdomorphisme h de degr6 1 de S m appliquant K~ sur K[ avec concordance des orientations donn6es.

Nous supposerons dor6navant que toutes les codimensions m - p ~ sont sup6rieures ~t deux. Dans ce cas, en utilisant un rdsultat de Smale, nous verrons (w 2) que les classes d' isotopie d 'enlacements de type (p) dans S m forment un groupe ab61ien. Dans

m ce travail, nous nous int6resserons au sous-groupe L~p) form6 des classes d ' isotopie d'enlacements de type (p) dont chaque composante K i est une sph6re non noude diff6rentiablement (c'est-~t-dire isotope /~ la sph6re standard S " ' = s m ) . Les divers groupes d 'enlacements de sph6res de type (p) dans S m que l 'on peut d6finir (en prenant

par exemple comme composantes des sph6res d 'homotopie , des sph6res lin6aires par morceaux, des plongements de spheres avec ou sans champ de rep6res normaux, etc.)

m sont somme directe du groupe L(p) et de r sous-groupes correspondant aux classes d' isotopie des composantes (el. 2.6).

m 1.2. Soi t (q) la suite (qt . . . . . qr), off q~ = m - p ~ - 1 . Nous d6signerons aussi L(p) par L~q) (p)-

Soit v S Cq) le bouquet de spheres S q' v . . . v S qr, identifi~ ~. un sous-espace du pro- duit S q' x ... x S q'.

Posons A~pq, ) = noyau de t ' homomorphisme naturel : rip, ( v S (~) -0 rrp, (S ~')

= r%, ( v S Iq~ ; S q')

A C q ) = S o m m e directe des A Cq) i = 1, 2, r (p) (pO' "'" '

//r = noyau de l ' homomorphisme n, ._ 1 ( v S Cq)) ~ ~ rim- 1 (Sq')

= n,, ,(S q' • .. . • S qr ; S q' v . . . v S qr)

D6finissons un h o m o m o r p h i s m e , �9 a(q)~ rm) . . . . . tp) - -"m-~ comme suit. Soit t~ l'616ment de

7rp,( v S ~q)) reprdsent6 par l ' inclusion de S ~' dans v S ~q). Soit w~ l ' homomorph isme

Atq)..._}Fl(q) d6fini par le produit de Whitehead w~(~)= [~, lJ . Alors w=~vv v Pl L L m - - l

Le th6or~me suivant ram~ne essentietlement le calcul de rCq)/~ celui de w ~ ( p )

5 2 ANDRE HAEFLIGER

1.3. THI~ORf~ME. Soit t (q) le groupe des classes d'isotopie des enlacements de type ~ ( p )

(p) dans S m dont chaque composante est non noude et de codimension > 2. On a une

suite exacte suite exacte ...) rT(q) ~ I (~) ~, ~ (o ~. ~,(q) ~, L(~) ~'rn--I ~(p)'-"P / l ( p ) - '~ l l m - 2 ~ ( p - l ) - '~

(p - l) d6signe la suite Pl - 1 . . . . . P r - 1.

1.4. L ' h o m o m o r p h i s m e 2 est d6fini comme suit. Soit KIP)= KI u . . . u K r un enlace- ment de type (p) dans S m repr6sentant un 616ment de L(~) = ~(p). �9 ~ Il existe une appl icat ion h de v S tq) dans le compl6mentai re C de K (p~ induisant un i somorphisme des groupes d ' homotop i e jusqu 'en dimension m - 2 et dont la classe d ' h o m o t o p i e est caract6ris6e par la propri6t6 suivante: la restriction de h h S ~' a un nombre d 'en lacement + l avec K~ et est h o m o t o p e b, z6ro dans C w K~.

Soit v~ un c h a m p de vecteurs no rmaux h K~ qui peut s '6tendre suivant un champ de vecteurs no rmaux h u n disque bord6 par Kv En poussant K~, qui est hom6omorphe

S p', le long de vi, on obtient un 616ment de ~zp,(C)=rtp,( v S {q)) qui appar t ient au noyau de l ' h o m o m o r p h i s m e de np , (v S {q~) sur np,(Sq'), car Ki est non nou6. Cet 616ment est appel6 le i-~me 616ment d 'en lacement de K (~. II est ind6pendent de la classe d ' i sotopie de K {p~. On obtient ainsi un h o m o m o r p h i s m e 2i:L~---+ A~] et on d6finit 2 c o m m e la somme des 2~.

En r6sum6, 2 fait cor respondre ~t un enlacement ses divers 616ments d 'enlacements qui appar t iennent b. %,( v S {q~. Le noyau de w d6crit toutes les relations de sym6trie que v6rifient ces 616ments.

1.5. L ' h o m o m o r p h i s m e / ~ de r/(~) dans r(~) peut 8tre d6crit comme suit. Soit - ~ m - I ~(p)

f : S m- t--) v S (~ une appl icat ion diff6rentiable repr6sentant un 616ment de --m-~.m(~) Soit N~ = S ~' ~ v S (~) une valeur r6guli~re def (d is t inc te du point base). Soient 1/1 = f - t (N~), .... V~=f -X(N, ) consid6r6es c o m m e des sous-vari6t6s avec champs de rep~res nor- maux dans S m- ~. On mont re ra qu' i l existe des sous-vari6t6s disjointes Wt . . . . . 14I, dans le disque D m, avec champs de rep6res normaux, telles que 8W~ soit l 'union de V~ et d 'une sous-vari6t6 K~ qui est diff6omorphe ~t une sphere S ~' non nou6e. La classe d ' i sotopie de l ' enlacement K (~ = ( K t . . . . . Ks) ~ D m ~ S m est l ' image par/~ de la classe

d ' h o m o t o p i e d e f .

1.6. Plan du travail. Dans le w 2, nous d6finissons les divers groupes d 'enlacements. r (q) ' "e Au w 3~ nous d6finissons un g oupeLa(~) dont les 616ments sont des classes d homotop l

et nous const ruisons un h o m o m o r p h i s m e de r (~) ,~,,~ ~(~) ,_,(~) . . . . . . (~). Dans le w 4, nous mont rons

que c 'est un i somorphisme. Ainsi le problbme est ramen6 ~, un problbme d ' h o m o t o p i e

qui est 6tudi6 au w 5, oh la suite exacte est 6tablie. Enfin, dans le w 6, nous mont rons c o m m e n t la classification des vari6t6s ayant le

type d ' h o m o t o p i e d 'un bouque t de sph6res peut se r amener h celle des enlacements de

spheres, sous certaines restrictions de dimensions.

Enlacements de spheres en codimension superieure b. 2 53

Dans l 'appendice (w 8-10), nous appl iquons les r6sultats des w 4 et 5 au calcul de L~',, p, pour p~ ~<P2 et p~ + 3P2 < 3 m - 6 (domaine 2-m6tastable). Nous mont rons que ce groupe est i somorphe/~ la somme directe de ~rp, (S ~') et de nm-q~ _q~(S O, S 0~,).

2. Les groupes d'enlacements de spheres

2.1. Un enlacement des sphdres S p', .... S p" dans S " (on dira aussi un enlacement de type (p), ot~ (p) d6signe la suite (p~ . . . . . p,)) est une suite KtP)=(K~ . . . . . K,) de r sous-vari6t6s diff6rentiables orient6es disjointes de S " telles que K~ soit diff6omorphe ~t S p'. On dit que K~ est la i-6me composan te de K ~p).

Deux tels enlacements K(P)=(K~ . . . . . K,) et K'(P)=(K~ . . . . . K',) sont isotopes s'il existe un diff6omorphisme h de degr6 1 de S " tel que K~=h(K;) pour tout i, en pr6- servant les orientat ions (si c'est le cas, on pour ra toujours t rouver un h isotope b. l'identit6). Ces deux enlacements sont concordants s'il existe dans S " x I une suite de sous-vari6t6s diff6rentiables disjointes orient6es Wa . . . . . IV, telles que W~ soit diff6o- morphe ~ S ~' x I et que W~ = K~' x 1 - K~ x 0.

2.2. TH~ORI~ME (Smale). Si les codimensions m - p i sont toutes supdrieures ?z 2, les relations de concordance et d'isotopie sont dquivalentes.

Ce thdorbme se ddduit de [7] c o m m e le th. 1.2 de [4].

2.3. DdfinitiondugroupeLt~) (ou,~(p)j.t(~)~ Soit 2~(p) " l 'ensemble des classes de concor- dance des enlacements de type (p) dans S ' , et soit L~) le sous-ensemble du pr6c6dent form6 des classes d 'enlacements don t chaque composan te est individuellement con-

n l cordante ~ l ' inclusion naturelle de S p' dans S ' . Ainsi ,~p, est l 'ensemble des classes de concordance des sous-vari6t6s orient6s de S ~" d i f f6omorphes / t S ~'.

Lo r squ 'on voudra met t re l 'accent sur les codimensions, L~) sera aussi d6sign6 par L(q) oO q est la suite (ql, q,) avec q~ = m - p ~ - 1. Cette nota t ion est justifi6e par la (p), . . . ,

forme de la suite exacte 1.3.

2.4 . THI~ORI~ME. ~(~ est naturellement un groupe abdlien qui est somme directe m m canonique des groupes Ltp) et des groupes r,p,, i = 1, ..., r.

2.5. Ddmonstration. Elle est tou t ~t fait analogue ~t celle du thdor6me 1.7 de [4]. D6finissons tout d ' a b o r d l 'enlacement s tandard de type (p): S~P)=(S~ 1, .... S f r)

dans Sm. Soient al . . . . . a, des nombres rdels compris entre - 1/2 et 1/2 et fo rmant une suite croissante. La composan te St de Stp) sera d6finie comme rintersect ion de la sphere unitd S m dans R "+1 avec le (p~+l ) -p l an ddfini par xp,+l = 0 . . . . . x , , _ l = 0 , xm = a t, oth (Xo . . . . . xm) sont les coordonndes de xe R m+ 1. On ddsignera pa r D~ (resp. D~_) l 'hdmisphbre de S " d6fini par x o/> 0 (resp. Xo ~< 0) et par D ~ ) (resp. D ~ )) l ' inter- section de Stp) avec D'~ (resp. D~_).

54 AND~ HAEFLIGER

Tout enlacement de type (p) dans S" est isotope hun enlacement K~P)= (K~ ..... K,) tel que K(~)nD ~_ = D ~ ). Si deux tels enlacements K ~p) et K '~p) sont concordants, il existe une concordance W ~p) qui les relic et dont l'intersection avec D ~ _ • I e s t D~ ) x I.

Etant donn6s deux enlacements K~P)=(KI . . . . . K~) et K'~P)=(K; . . . . . K~) tels que K~P)c~D ~_ = D ~ ) et K'(P) nD~+ = D ~ ), l 'enlacement KtP~ + K '~p) est celui dont la i-6me composante est (Kic~D"~)u(K;c~Dm_).

Cette addition donne une loi de composition bien ddfinie pour les classes de con- cordance des enlacements de type (p) dans Sm. Cette loi de composition est commu- tative et associative. L'616ment neutre est la classe de S ~p). L'inverse de la classe de K ~) est celle de son sym6trique par rapport au plan x~ =0, avec l 'orientation inversde (cf. [4], 1.4-6).

Un enlacement K ~p) est concordant h 0 (c.-h-d. ~t S ~p~) si et seulement si les compo- santes Ki bordent des disques plong6s de mani~re disjointe dans le disque unit6 Dm+ l ~ Rm+ l.

La projection naturelle de Vp) sur .r~, s 'obtient en faisant correspondre h la classe de concordance de K (p) la classe de sa i-6me composante. Un rel6vement de cette pro- jection fait correspondre h la classe d'une p~-sph~re Kgc S m la classe de l 'enlacement dont la i-6me composante est K~ et dont les autres sont des spheres bordant des disques disjoints entre eux et de K v

2.6. Autres genres d'enlacements. D'une mani6re analogue, nous pourrions d6finir: le groupe ab61ien C[~) des classes de concordance (ou d'isotopie en codimension

> 2) des plongements diff6rentiables de l 'union disjointe de S p', .... S pr dans S m, m le groupe FC~p) des classes de concordance de tels plongements avec un champ de

rep~res normaux, le groupe 0~"~) des classes de h-cobordisme des enlacements de type (p) dont les

composantes sont des sph6res d 'homotopie, le groupe FO(p) des classes de tels enlacements avec champ de rep6res normaux. Les sous-groupes de ces groupes form6s des enlacements dont chaque composante

est triviale sont tous isomorphes it L~'~). De plus chacun de ces groupes est isomorphe la somme directe de L~'p) et des r groupes des classes de chaque composante. Ces

groupes c7" Fr 0" Ft~" ont 6t6 ~tudi6s dans [4] et [6] (avec une notation 16g~rement ~ P ~ ~ P i ~ ~ P t ~ ~P~

diff~rente). Le groupe L'~p) est ~galement isomorphe au groupe des classes d'isotopie (en codi-

mension >2) des ejalacements lin6aires par morceaux de type (p) dans Sm. Ceci

r6sulte du ~unknotting theorems> de ZEEraAN [9]. Enfin le groupe des classes d'isotopie (lorsque m - p ~ > 2) des plongements lin6aires

par morceaux de l 'union disjointe des tubes S p' x D r'-p' ( i= 1 . . . . . r) dans S m est iso- morphe au groupe FO~), si p;~> 5. Ceci r6sulte du th6or~me de CAIRNS-HmSCrt [5] et

de SMALE [7].

Enlacements de spheres en codimension superieure b, 2 55

, l fq) ._~ r4~(q) 3. Les groupes ,~,~ (p),~(q) ~(p)C~(q) et l 'homomorphisme ~b .~(p) ~ ( p )

3.1. On d6signera par (q) la suite (ql , . . . , q,), off q i = m - p i - 1 . Le bouque t de

sphbres obtenu en a t t achan t en leur p61e sud (0 . . . . . 0, - l ) les spheres S q~, . . . . S q"

sera not6 v S <q).

Reprenons les no ta t ions du pa rag raphe pr6c6dent. Soit S m-1 l ' in tersect ion de S "

avec l ' hyperp lan Xo = 0 et soit S ~p- 1) l ' en lacement dans S ' - 1 qui est l ' intersect ion de

S <p) avec S m- ~. On consid~re le voisinage tubulai re T - de S t P ) n D m _ = D ~ ) r6union

des voisinages tubulaires disjoints T/- d6finis par (Xpi+l)E-~-'-'-~-(Xm_l)2-'[ - (X m-a/)2 ~< e 2, O1~1 e < rain (a/+ x--al) /2. Soit tp~- la projec t ion naturel le du bord coT/- de

T i- darts S " - "' - 1 = S q, d6finie pa r tp/- (x0 . . . . . x~) = (xp, + 1/e . . . . Xm - 1/e, (Xm -- ai)/e). La r~union des appl ica t ions tp~-, compos6es avec les inclusions de S q' dans v S <q) d6finit

une appl ica t ion tp- de coT- dans v S (q).

x m

D P ~ 9 " ~

X -

S I

X

~ X 0

X+

L' in tersect ion de T - avec S m- 1 est un voisinage tubula i re T d e l ' en lacement S <p- ~);

soit ~p la res t r ic t ion de ~p- ~t coT; de m~me posons coT~=coT/-nS m-~ et ~0/=~pTIcoT ~.

Soit X = S " - l - i n t T; c 'est une vari6t6 don t le bo rd est r6union disjointe des

coT~=S p'- ~ x S q' et ~p est l ' app l ica t ion naturel le de coT=coX sur v S ~).

3.2. Ddfinition. ~ ( q ) est l ' ensemble des classes d ' h o m o t o p i e d ' app l i ca t ions de X ~ ( p )

dans v S (q) don t la restr ict ion ~t coX est ~o (dites appl ica t ions modu lo r

3.3. PROPOSITION. :~o(q) est mun i d 'une s tructure naturelle de groupe abdlien pour ~ (p)

qi> 1.

5 6 ANDRI~ H A E F L I G E R

Ddmonstration. Soit Y_ = D ~ _ - T - . L'application q~- :OT- =OY_--* v S ~q) peut s'6tendre d'une mani~re et d 'une seule, h l 'homotopie pros, suivant une application de Y_ sur v S ~q); une telle extension est une 6quivalence d 'homotopie. I1 en r6sulte que les applications modulo ~o de X dans v S Cq) qui s'6tendent suivant des applications modulo ~o_ de Y_ sont toutes homotopes. Leur classe d 'homotopie sera l'616ment neutre de ~r

Pour la m~me raison, les restrictions ~ X_ =Xc~D~_ -z ou it X+ =XnD"~ -1 (Dr"_ -1 ou D~-1 sont d6finis par x~ ~<0 ou x~ >t0) des applications mod q~ de X dans v S ~) sont toutes homotopes.

Si f l et f2 sont deux applications mod ~o, on peut donc toujours modifier l 'une d'elles par une homotopie mod ~0 de sorte q u e f 2 = f l a sur X_, ofa a est la sym6trie relative au plan Xl =0. On d6finit la somme des classes d 'homotopie def~ etf2 comme 6tant la classe d 'homotopie de

f l sur X+ f l + f 2 = f2 sur X_

En suivant la m~me m6thode que pour le groupe r(q) ~(~), on montre que ~o(p)~(q) est un groupe ab61ien avec cette addition.

3.4. Ddfinition du sous-groupe.~l~ I. Si f : X ~ v S (p) est une application mod q~, soit f~ l 'application de X~ = S m- ~ - int T~ dont la restriction b. X est le compos6 de f avec l 'application de v S ( q ) ~ S q' qui contracte chaque sphSre S q~ sur le point base pour j # i et qui applique chaque voisinage tubulaire Tj, j # i, sur le point base. Comme X~ est diff60morphe ~t D r' x S q' et que f~l O Dp' x S q' est la projection naturelle sur S q', il en r6sulte quef~ repr6sente un 616ment de np,(Gq,+ 1), off Gq,+l est l 'espace des appli- cations de degr6 1 de S q'.

On d6finit ainsi un homomorphisme y~ de ~(p)~/"~(q~ dans up, (Gq, + ~). On d~signera par ca~q) le noyau de l 'homomorphisme y = y~ + Y2 + + y, de t~) �9 .. acftp )dans la somme directe ~(p)

3.5. Construction de l'homomorphisme ~O: r~q)~ ca~) Soit K~P)=(K~, K,) un �9 - , (p) -,~ (p) . . . . ,

enlacement de type (p) dans S ~. Supposons que K ~ ) n D "_ = D~ ). Soit ~- un voisinage tubulaire de K ~) dont l 'intersection avec D"_ est T - . Comme chaque K~ est une p : sphere .qui borde un disque dans/Y"+~, on peut trouver un diff6omorphisme ~ de S p' x D m-p' sur la i-~me composante Y~ de ~" tel que ~ puisse s'6tendre suivant un diff6omorphisme de-Dp'+t x D 'n-p' sur un voisinage tubulaire d 'un (p~+ 1)-disque zl~

plong6 dans D "+ ~ et bord6 par Kv On peut supposer de plus que sur 0T~-, l 'applica- tion z~(x, y)-- ,y coincide avec tp~-.

Soit T + =~ ' c~D2 et soit ~0 + l 'application du bord de T + dans v S ~q) appliquant z~(x, y) sur y. Le compl6mentaire Y+ dans D'~ de l'int6rieur de T + a l e type d 'homo- topie de v S tq) et l 'application q~ § s'6tend, homotopiquement d 'une mani6re unique,

Enlacements de spheres en codimens ion superieure b. 2 57

suivant une application f+ de Y+ sur v S (~). La restriction de f+ /~ X = I/+ n S ' - 1 donne une application f mod tp dont la classe d 'homotopie est un 616ment du sous- groupe c,a(~) de :r Ceci r6sulte du choix particulier de la trivialisation z~. ~ ( p ) ~ (p) .

D'autre part, la classe d 'homotopie d e f n e d~pend pas de l 'arbitraire dans le choix de % ni du choix de Kdans sa classe de concordance. En effet, soit K '(~) un enlacement concordant h K(~); choisissons comme plus haut un diff6omorphisme ~i de S ~' • D m-~'

sur un voisinage tubulaire de K/ qui peut s'6tendre suivant un diff6omorphisme de D ~'+1 x D " - ~ ' sur un voisinage tubulaire d'un disque/l't dans D "+~ bord6 par K' . On peut alors choisir une concordance W= W lw-. .w W, reliant K (~) h K ' (~) et telle que, pour chaque i, (A/x 0)w W~w(z~ I x 1) borde un disque dans D "+a x I.

On obtient ainsi une application ~,../," ,~(p)~.r(~)'(q) o~(~) qui est un homomorphisme. Pour le v6rifier, on choisit un repr6sentant K (~) qui coincide avec l 'enlacement trivial S (~) sur le sous-espace x0~<0 ou x~ ~<0.

4. L ' i somorph i sme de r ( q ) " (q) ~(p) ( = L(.)) sur 5r

4.1. In terprd ta t ion de ~ ( q ) , , ca(q) =~ (p) ~, .~ (p) c o m m e groupes de cobord isme . Nous allons voir que chaque 616ment de ~ff~p~l peut ~tre repr6sent6 par une sous-vari6t6 V c S m- 1, avec un champ de rep~res normaux, V6tant la r6union disjointe de r sous-vari6t6s V~,..., V,, o/1 dim V/=p/et le bord O V / d e V~ 6tant la i-6me composante S/de l 'enlacement trivial S (p-a) munie du champ de rep~res naturels O/dxp/+a . . . . . O/dx , ,_ 1 (of. 3.1).

Deux telles sous-vari6t6s V e t V ' = V/u . . . uV" repr6sentent le m6me 616ment de J'ff(q) s'il existe dans S " - 1 • I une sous-vari6t6 M avec champ de rep~res normaux qui (p)

est r6union des sous-vari~t6s disjointes MI . . . . . Mr telles que 0 M / = V / u V / u ( S i • avec les champs donn6s.

Enfin une sous-vari6t6 V= (V i, V~) repr6sente un 616ment ,4o c,o(~) si et seulement �9 . . , u ~ . ~ . ~ ( p )

si chaque ~ borde individuellement dans l'h6misph~re D ~ _ (d6fini par Xo~<0) une sous-vari6t6 avec champ W~, dont le bord est l 'union de V~ et du disque D~ avec le champ normal standard (cf. 3.1). W/a une ar~te le long de t~D~. En g6n6ral W / n W j v ~ O

et V repr6sente l'616ment neutre de ~(q) si et seulement s'il existe de tels W~ disjoints. Pour le voir, consid6rons une application f : X ~ v S (q) modulo ~0 repr6sentant un

616ment de ~r ~ (p), on peut supposer f diff6rentiable et transversal sur le p61e nord N / ~ S ~'. Munissons la sous-vari6t6 f - 1 ( N / ) d'un champ de rep~res normaux dont l 'image par la diff~rentielle de f est le rep~re tangent natural en N/. On peut 6tendre radialement cette sous-vari6t6 ~t l'int6rieur du tube T~ pour obtenir une sous-vari6t6 V/avec champ de rep6res normaux dont le bord est Si. Alors V= 1/1 w... w V, v6rifie la condition pr6c6dente.

f repr6sente un ~16ment de r si et seulement si l 'application f~: Xc-.+S ~' d~finie ~ ( p )

dans 3.4 peut s'~tendre suivant une application f~ + de D m - i n t T~- dans S ~' qui ~tend

~0~ ; on peut supposerf~ + diff6rentiable et r6guli~re sur N/; ainsi (f~ +)- I (N~), prolong6e

5 8 ANDRI~ HAEFLIGER

radialement h l'int6rieur de T~-, donne une sous-vari6t6 W~ avec champ telle que

~ Wi= Viu D~. R6ciproquement, si V est une sous-vari6t~ avec champ normal commr ci-dessus,

on peut supposer, apr~s une isotopie fixe sur S (p- ~), que Vc~T~ est l'intersection de T~ avec le demi-espace Xp~+l . . . . . x . , _ l = 0 , x,,,>~av Par la construction de Thom- Pontrjagin, il existe une application diffSrentiable f : X ~ v S (q) mod ~p telle quc f - ~ (Ni)= V/oX. On v6rifie que deux sous-vari6t6s V e t V' cobordantes au sens ci- dessus donnent deux applications f e t f ' qui sont homotopes mod r

4.2. Avec cette interpr6tation no ca{q) l 'homomorphisme ~b peut 8tre d6crit de la ~ ,-~ (p) ,

mani~re suivante. Soit K (p) un enlacement repr6sentant l'61~ment ~ de r(~) tel que ~ ( p ) ,

K(P)~D "_ = D ~ ). La sous-vari6t~ V= 1/1 ~ . . . ~ Vr avec champ normal repr6sente @(a) si et seulement s'il existe des sous-vari6tSs disjointes M~ . . . . . M, avec champs de rep~res normaux dans D~ telles que 8M~= V~u(D~ c~K:) avec la condition suppl~men- taire suivante : considSrons le champ de rep~res normaux de M~ restreint ~ D~ c~ Ki et compl6t~ par le champ des vecteurs normaux au bord de M~ et dirig6s vers son int6- rieur; 6tendons-le sur D ~ _ ~ K~ suivant le champ de repSres normaux naturel; alors ce champ de repSres ainsi obtenu le long de K~ peut s'~tendre suivant un champ de rep~res normaux h u n disque plong6 dans D m+~ dont le bord est K v

On peut r M~ en prenant l ' image inverse de N~ par rappl icat ionf+ (cf. 3.5) et en r~tendant radialement dans T+.

4.3. THI~OREME PRINCIPAL. L'homomorphisme ~k : LI~I ~ ~ I est un isomorphisme en codimensions > 2.

Ddmonstration du thdorOme

4.4. Surjectivitd de ~k. Soit V= 111u '"u V, une sous-vari6t6 avec champ normal repr6sentant (cf. 4.1) un 616ment a ,~,~ c,o(q) Par hypoth~se, chaque V~ borde individuel- ~ ( p ) .

lement une sous-vari6t6 avec champ W i ~ D ~ _ telle que c~ I4( ~' i= V luD- . Soit W/+ c D~ la sous-vari6t6 avec champ qui est l ' image de W~ par la sym6trie relative au plan Xo = 0; nous pouvons la consid6rer comme une sous-vari6t6 avec champ de rep~res normaux dans Du+, N grand, les N - m derniers vecteurs du champ 6tant la restriction b. W~ + du champ de rep~res normaux naturel h D~ dans DN+. En utilisant le lemme 3.3 de [4], on peut modifier W~ + par des modifications sph6riques pour obtenir une sous-vari6t6 avec ch~.mp ~ ' cDN+, de mSme bord que Wi § et qui est union d 'un voisinage tubulaire

V~ x I de V~ et d'anses d'indices <~pff2+ 1. Par des arguments de position g6n6rale (cf. 3.6 de [4], c'est ici que l 'hypoth6se

q~>l est essentielle), nous pouvons compresser les sous-varidt6s W[ sur des sous- vari6t6s disjointes Wt"cD'~ munies de champs de rep~res normaux, telles que t3 W[' soit l 'union de V i (avec son champ) et d 'un pt-disque Ki + c D~ qui est tangent ~t DP_ '

le long de son bord.

Enlacements de spheres en codimens ion superieure ~ 2 59

Soit I~'~= S " l 'union de Wi et de IV/"; c 'est une sous-vari6t6 avec champ dont le bord

R i est l 'union de D~ et de Kt+; a priori, /(t pourrai t 6tre une sphere nou6e. On va modifier I~ i en faisant la somme connexe avec sa sym6trique de la mani6re suivante. Pour chaque i--1 . . . . . r, soit At un petit disque de dimension m plong6 darts D+ et

coupant ff/~ suivant un demi-disque s tandard; on suppose que les A t sont assez petits pour ~tre disjoints et pour que Atn Ire'j=O pour i:/:j. Soit ~r t u n diff6omorphisme de S i n - A t sur A t qui est l'identit6 sur 0A v Soit Mt la sous-vari6t6 avec champ dans D~

6gale ~ Wi' en dehors de A i e t / t ~t(ff/i--Ai) darts 3 t (si a tes t choisi convenablement, ces deux morceaux se raccordent bien le long de 0A~).

Le bord de Mt est l 'union de V,. et d 'un pt-disque K~ + ~ D ~ . Soit K ~p) l 'enlacement dont la i-brae composante est Kt=DP_'wKt +. Les sous-vari6t6s Mt avec champs de

rep~res normaux vdrifient toutes les conditions de 4.2. Ainsi l ' image par @ de la classe de concordance de K ~p~ est ~.

4.5. Injectivit~ de ~b. Soit K~P)=(KI . . . . . K,) un enlacement de type (p) dans S "

dont la classe a une image nulle par ~O. 11 existe alors des sous-vari6t6s disjointes M t avec champs de rep~res normaux dans S " telles que c3 Mt = Kv

Supposons en effet que K<P)c~D ~ _ = D ~ ) et soit Mt + des sous-vari6tds disjointes dans D~ avec champs normaux telles que dans 4.2. Par hypoth6se, la sous-vari6t6 V= V 1 w . . . w V, repr6sente l'616ment neutre de c,o~q) oil V i = Mt + n S m- 1 D'apr~s 4.1, ~ ( p ) ,

il existe des sous-vari6t6s avec champs de rep6res normaux Wt dans D ~ _ telles que W~= V~uD~'. Les sous-vari6t6s Mt sont les rdunions de Wt et Mt +.

En remplaqant au besoin Mt par sa somme connexe avec son sym6trique comme

ci-dessus (cf. 4.4) et K (") par un enlacement concordant , on peut se ramener au cas off chaque M~ est stablement c o b o r d a n t / l un disque. Cela signifie que, si M~ est con- sid6r6e comme une sous-vari6t6 avec champ normal de S N, N grand (par l ' inclusion de S m dans sN), il existe dans D N+I une sous-vari6t6 Zt avec champ de rep6res nor-

maux (et une ar~te le long de Kt) telle que OZt soit l 'union de Ztc~SN=Mt et d 'un (Pt + 1)-disque At = D N+ 1 dont le bord est Kv Apr~s des modifications sph6riques con- venables (cf. 3.3 de [4]), on peut supposer que Zt est l 'union d 'un voisinage M~ x I de

Mt et d 'anses d'indices <...pJ2+3/2. Par position g6n6rale, on peut compresser les

sous-vari6t6s Zt sur des sous-vari6t6s disjointes Z; dans D "+ 1, Zt 6tant 6gal ~t Z; sur My Les images AI des disques At sont disjointes et sont bord6es par les Kv L'enlace-

ment K (p) est donc concordant ~ z6ro.

5. La suite exacte fondamentale

5.1. Rappelons que ~ q ) est d6fini comme la groupe des classes d 'homotop ie ~ (p)

d'applications mod q~ de X dans v S (q), o/~ X est le compl6mentaire dans S m- 1 d 'un voisinage tubulaire T = 7"1 w... w Tr d 'un enlacement trivial S (p- 1), et q~ la r6union des

applications ~oi:OTi=SP~-I x Sq'---.>Sq'c v S (q) (of. 3.1 et 3.2).

60 ANDR~ HAEFLIGER

Soit a ~ le quotient de X par la relation d '6quivalence identifiant les points de c3 T~ ayant la m~me image par r Alors X est h o m 6 o m o r p h e h la somme connexe

~,~ = S m-1 :~ (S p' x S q') :~F ... :~: (S pr x S qr)

et les 616ments de Jg'l~,~ peuvent s ' interpr6ter c o m m e les classes d ' homotop i e modulo de � 9 v S (q), off ~ est la r6union des applicat ions ~5~:zl x S q ' - + S q ' ~ v S Cq), off

z ~ S p', Dans ce module, on peut consid6rer que les tores S p' x S q' sont tous attach6s S ~-1 c o m m e suit: on choisit r ( m - 1 ) - d i s q u e s zt I disjoints dans S ~ - t et dans chaque tore un disque zl~: on enl~ve l ' int6rieur de ces disques et on identifie ~3~ ~ c3zl I par un di f f6omorphisme de degr6 - 1 .

Nous utiliserons ces deux descriptions de ~r ~ (p).

5.2. Ddfinitians des homamarph i smes 2, # et w. On d6finit un h o m o m o r p h i s m e 2i:~q)_+,,~ ~) '~,~t ~,, ~(~ faisant correspondre b. la classe d ' h o m o t o p i e d 'une applica- t ion m o d ~p de a ~ dans v S ~) sa restriction ~t S ~' x y i ~ , ~ , ofa Yi est le pBle sud de S ~'. Soit 2: ~ ) _ + x ' , , r ,, r la somme directe des 2 i.

L ' h o m o m o r p b i s m e , : ( est c o m m e s it Soit g une appli- cat ion m o d q~ (ou mod ~) de X (ou ~') dans v S <~ repr6sentant l'616ment neutre de ~ ' ~ ) et telle que g appl ique un disque plong6 D m- ~ dans X sur le point base. Soit (P) h : D m- ~ v S ~) une applicat ion envoyant D m- 1 au point base. L ' h o m o m o r p h i s m e # f a r cor respondre t~ la classe d ' homotop i e de h celle de l 'appl icat ion f : X---~S ~) 6gale h sur Dr"- 1 et 5. g en dehors de D m - !

Enfin soit t~ la classe d ' h o m o t o p i e de l ' inclusion de S ~' dans v S ~~ L 'homo- morph i sme w~:%,(v S<~) )~n , ,_z (v S <~)) fait correspondre ~t ~ le produi t de White- head [~, q] et w : ~ , n p , ( V s(q))"~7~m_2(v S (q)) est la s o m m e des w i.

5.3. PROPOSITION. L a suite des homomorph i smes

-+ Z~ 'p , +1 ( V S (q)) ~-~ 7g m_1 ( v S (q)) o .,l~(q) L ZTgpi ( v S (q)) ---+ --~ ~ ( p ) t i

est exacte .

5.4. Ddmonstrat ion. Soient gi: SP' x yi--, v S (q) des appl icat ions repr6sentant les 616ments ~ i e%, ( v S~q)). Soitf~ une appl icat ion de S p' x S q' - i n t A i (cf. 5.1) dans v S (q) 6gale 5-g~sur S p' x y i et ~t l ' inclusion sur z~ x SP'; alors la restriction def~ ~ 0A~ repr6- sente le produi t de Whitehead [~i, q]. Les applicat ions f~ peuvent s '6tendre suivant une appl icat ion f de a~ S m- 1 # S p, x S ~' si et seulement si les restrictions des f~ aux

A, = 0 A~ peuvent s '6tendre h S " - 1 _ u int A~, c 'est-h-dire si ~ [ ~ , 1,] = 0. Ceci prouve

l ' exact i tude e n ~,npt ( V s(q)) .

L'exact i tude en ~ ' ~ d6coule des d6finitions de 2 et #. II reste ~ mont re r l 'exact i tude en n~,_ 1 ( v S~q)). Soit Y le compl6menta i re dans S "

d 'un voisinage tubulaire de l ' enlacement s tandard S(P); on peut le repr6senter comme

Enlacements de spheres en codimension superieure b, 2 61

l 'union de Y_ (cf. 3.3) et de son sym6trique Y+ relativement au plan Xo=0; on a Y_nu =X. Soit ~:OY--* v S <q) l 'application qui est r6union de ~o_ et de son sym6- trique go+. So i td m un petit disque dans l'int6rieur de Yet sym6trique relativement au plan Xo = 0 qui partage son b o r d e n deux h4misph~res d r~-~ ~ Y_ et d m-~ ~ Y+. On

m m posera d ~_ =AmenD m, d'~ =zl ~D+.

Soit ~ un 416ment de nm-~ ( v Stq)). I1 est dans l 'image de w si et seulement s'il existe une application continue F: Y - i n t d m-} v S ~) modulo tp, dont la restriction OAm repr6sente ~t. On peut supposer que F(/I m- ~)=point de base. Soit F + (resp. F - ) une extension de F au demi-disque d'~ (resp. d~_). L' image de ~ par # est la classe d 'homotopie de F+IX; elle est nuUe puisque F+]X peut s'6tendre ~t Y+. Done /~ 'w=0.

Rdciproquement, soit h:~Am-} v S ~) reprdsentant 0~ et tel que h(Am_-~)=point base. Soit g_ une application rood go_ de Y_ - i n t d'~ dans v S ~) envoyant ,4 m- ~ sur le point base. S i / , (~)=0, il existe une application g+ mod go+ de Y+ - i n t din-} V S ~) qui 4tend h]z~ -~ et g _ l X - d m. Alors la r~union de g+ et g_ est une application F : Y - i n t z] ' -} v S r rood @, qui 6tend h; donc 0~ appartient ~ l 'image de #.

5.5. Formons le diagramme eommutat i f suivant: 0 0 0

c p ( q ) ~ A ( q ) w H ( q ) --~ ~ ( p ) - '~ ~ ( p ) - } m - - 2 --~

~ ( q ) ;. w - } - } ( v - } ( v s

i

- } - } - } --"

i i i

0 0 0

Les groupes Ate) et rrtq) sont par d6finition les noyaux des homomorphismes surjec- "~ ' (p ) " ~ m - 2

tifs, sommes des homomorphismes induits par les applications v stq)-}S q~ qui con- tractent les sph6res S qJ, j r au point base. Ainsi par d6finition les suites verticales sont exactes et le diagramme est commutatif.

La derni6re ligne horizontale est exacte, car c'est une somme de suites qui sont exactes par la proposition pr4c~dents. La premiere ligne est done aussi exacte.

E n " " (q) l ( q ) ldentlfiant ~ p ) /L par l ' isomorphisme ~b, on obtient le ~ ( p )

5.6. TH~ORI~ME. On a une suite exacte pour qi> 1

m - 1 ~ ( p ) z J . (p) L X m _ 2 ~ ~ ( p _ 1) - " ~ . . .

5.7. On v6rifie ais6ment qu'apr~s l'identification de ~,e~qpl ~ LI~ ~, les homomor- phismes ~ et/~ sont, au signe pros, ceux qui sont d6crits dans 1.4 et 1.5.

6 2 ANDRI~ HAEFLIGER

6. Classification des vari6t6s ayant le type d'homotopie de v S <p+ ~)

6.1. Nous allons g6n6raliser la m6thode utilis6e dans [4], 5 . l -4, pour classer les vari6t6s de dimension m + l ayant le type d 'homotop ie du bouquet de sph6res S t p + I ) = S p , + l v ... v S p"+ 1 (p~ <~pj si j > i ) avec certaines restrictions de dimensions.

Soit V" + 1 ( v S ~p + 1)) l 'ensemble des classes (V, f ) de vari6t6s diff6rentiables orien- t6es compactes V de dimension m + 1 avec bord simplement connexe, munies d 'une

6quivalence d ' h o m o t o p i e f : V ~ v S ~p+ ~); deux tels couples ( V , f )e t ( V ' , f ' ) sont 6quiva- lents s'il existe un diff6omorphisme H: V ~ V' tel que f ' . H soit homotope ~ f (cf. [8]).

Soit d 'aut re par t FCc~ ~ le groupe des classes de concordance (ou d'isotopie) des plongements diff6rentiables de l 'union disjointe des tubes S P ' x D m-p' dans S " con-

m servant l 'orientation. Ce groupe est la somme directe du groupe Ltp) et des groupes FC~, -p' 6tudi6s dans [4], w 5.

A t o u t plongement q~ de l 'union des SP 'x D m-p' dans S " correspond une vari6t6 diff6rentiable Vorient6es obtenue en collant au disque D m § 1 r anses h~ = D p' § 1 x D ' - p' atach6es simultan6ment par les plongements q~ = q~l S p' x D m- P'. 11 existe naturellement

une 6quivalence d ' h o m o t o p i e f : V--+ v S ~p § 1) qui contracte D m § ~ au point base et dont la restriction ~ l 'anse h~ envoie DP'+~ x 0 sur S p'§ = S ~p+ ~) avec le degr6 1. Deux

plongements isotopes donneront des vari6t6s diff6omorphes. On obtient ainsi, si qi = m - p i - 1 > 1, une application F C ~ ) ~ V "+ 1 ( v S ~p+ 1~).

6.2. THI~ORi~ME. L 'application de F Ct~)--* V" + ~ ( v S ~p+ x ) ) est surjective si 2 p i - p j +

2~<m et 2p~-pj>>. 1 et injective si 2 p ~ - p j + 2 < m e t 2 p ~ - p j > 1 pour tout i , j = 1, .. . , r.

6.3. Ddmonstrat ion. Surjectivitd. Soit ( V , f ) un couple repr6sentant un 616ment de V m + l ( v Stp+ 1)). D 'aprbs SMALE [7], V e s t diff6omorphe ~. l 'union de D "+~ et de r

anses h~ = D ~' § 1 x D " - ~' attach6es successivement: V = D" § ~ wh~ ~ . . . wh, . De plus, f est homotope ~t une application envoyant D p' § ~ x 0 sur S p' + ~ avec degr6 1 et son bord

sur le point base. Nous devons montrer que nous pouvons choisir cette d6composit ion

en anses de sorte qu'elles soient attach6es simultan6ment it 0D "+~. Supposons que c'est le cas pour les k - I premieres anses et posons V k - l =

D r a + l w h l w . . . W h k _ ~ . Soit fk-ll:Vk_l.--*S p'+I V " ' " v S p~-t une 6quivalence d ' homo-

topie qui est homotope ~ la restriction de f it V~_ 1, qui est r6guli6re sur le p61e nord N~ de chaque S p'+a, et telle que f~_l(N~) soit le disque O • Soit

q~k:OD p~+~ x D " - P ~ O V ~ _ ~ l 'application d 'a t tachement de l 'anse hk. Remarquons

que O V~_ x est s-conhexe, off s <p~ + 1 et s < m - p ~ + 1, i < k. L'616ment d ' intersection de q~o = ~Okl Sp~ x 0 avec chaque 0 x OD"-P' ,- OVa_ 1 est

nul (cf. [3] ou 6.5), car la classe d 'homotop ie def~_l .~o ~ est nulle, puisque ~po est h o m o t o p e ~t z6ro dans V~_ ~. D'apr6s le lemme 6.5 ci-dessous, q~o est homotope dans

O V~_ x h une application ne rencontrant pas 0 x D "-p ' . Ainsi le produi t de ~0 ~ par l'in- clusion de 0 x OD " - p ' dans OVa_ 1 est une application dans OV~_~ x OV~_I homotope

Enlacemcnts de spheres en codinaension superieure b. 2 63

~t une application ne rencontrant pas la diagonale. En appliquant le th6or~me 4.11 de [2], on voit qu'il existe une isotopic dans OVk_ 1 qui d6forme tp ~ en un plongement ne rencontrant aucun des 0 • 0D "-p ' . On pourra donc s'arranger, apr~s une isotopic convenable, pour que q~k ne rencontre aucune anse hi, i<k.

6.4. lnjectivitd. Soient ( V , f ) et ( V ' , f ' ) des couples repr6sentant des 616ments de V,.+ 1 ( v S ~+ l)). On suppose que V(resp. V') est diff6omorphe b. l 'union d 'un (m + 1)- disque D - + l et de r anses hi=DP'+lx D m-p' (resp. h' i =D'~'+1 x D 'm-p`) attach6es simultan6ment h ce disque par des plongements q~i (resp. tp').

Supposons qu'il existe un difffomorphisme de V sur V', pr6servant l 'orientation, et dont la composition a v e c f ' est homotope h f En utilisant la m~me m6thode que dans [4], 5.3 et que ci-dessus, on peut supposer aprbs une isotopie que ce diff6omor- phisme est l'identit6 sur le disque 1/2D "+a concentrique ~ D ~+ t et de rayon 1/2, que HI D p'+~ • 1/2D m-p' est l 'application naturelle s u r D 'p'+ 1 • 1/2D,m-p,, et enfin que H envoie dans D "+1 l'ensemble des points x~D "+1 tels que x/lxl~cPi(D t''+l • 1/2Dm-r"). I1 en r6sulte que les enlacements tp =(~o~ . . . . . q~,) et qr = (q~'~ . . . . . q~'~) sont concordants.

6.5. Rappel sur l'intersection. Comme les d6monstrations des propositions de [3] ne sont pas explicites (cf. en particulier p. 7), nous donnons ci-dessus ce qui est n6ces- saire pour la d6monstration de 6.2.

Soit M une vari6t6 diff6rentiable orient6e de dimension m e t soit V une sous- vari6t6 orient6e compacte de codimension q. Supposons que V soit ( n - q)-connexe. On d6finit un hom0morphisme / :f t , (M; M-V)--,n.(S q) comme suit. Soit f : D " ~ M une application repr6sentant un 616ment ~ de (M; M - V ) ; on peut supposer que f est transverse sur V; ainsi J=f (D")n Vest de dimension ~<n-q. Comme V est (n -q ) - connexe, on peut construire au voisinage de J un champ de rep6res normaux ~. V donnant l 'orientation normale; l ' image inverse de ce champ p a r f d o n n e un champ de rep~res normaux le long de la sous-vari6t6 f - t ( V ) c int D", et par la construction de Thom-Pontrjagin un 616ment de n,,(Sq). Cet 61~ment t(~) est bien d6fini et sera appel6 l'intersection d e f o u de ~ avec V.

6.6. LEMME. Supposons que M soit ( n - q + l)-connexe, que V soit ( n - q)-connexe et que n < 2 q - 2 . Alors I:g,(M, M - V ) ~ n . ( S q) est un isomorphisme.

D~monstration. Soit T u n voisinage tubulaire ferm6 de Ve t soit Mo = M - i n t T; ainsi Mote t est le bord OT de T. La paire (T, 0T) est (q-1) -connexe et la paire (Mo, OT) est ( n - q + l ) - c o n n e x e , D'apr6s le th. de BLAKERS-MASSEY [1], on a rc.(M; Mo, T ) = 0 . Donc l 'application ~.(T, OT)~rt.(M, Mo) est surjective. Or ft.(T, dT) est isomorphe, par rel~vement des homotopies, h n.(D q, t3Dq), off D q repr6- sente une fibre de T. La composition des applications 7z._l(S~-l)=Tz.(D ~, t3Dq) = ft.(T, OT)~n, (M, Mo)-~n.(S q) est l 'homomorphisme de suspension. Comme rr,_ t (S q- l) est un groupe stable, zest un isomorphisme.

6 4 ANDRI~ HAEFLIGER

6.7. Remarque. Rappelons qu'il r6sulte de ce lemme et du th. 4.11 de [2], que si f e s t un plongement de D ~ dans M dont l'intersection avec Vest nulle et si en plus des hypotheses ci-dessus on a n ~< m - q , a lo r s fes t isotope, modulo son bord, ~ un plonge- ment ne rencontrant pas V.

6.8. Cas des vari~t~s semi-lin6aires (ou lin6aires par morceaux), le th6or6me 6.2 et sa d6monstration sont aussi valables dans ce cas. On doit naturellement remplacer le groupe FCr par le groupe des classes d'isotopie des plongements semi-lin6aires de l 'union disjointes des tubes S " • Dm-€ dans Sm. On a remarqu6 dans 2.6 que ce groupe est isomorphe ~. FO(%), lorsque p~ >~ 5.

7. Class i f icat ion des p longements de S ' dans S ~ • R ~ -~

I1 existe un diff6omorphisme H de S ~ x R "-q sur le compl6mentaire de la sous- sphere S m-q- ~ dans S m. Ainsi, b. tout plongement diff6rentiablefde S p dans S q x R "-q nous pouvons faire correspondre le plongement q~ de l 'union disjointe de S p e t S m-~- ~ dans S m, q~ 6tant 6gal ~, H o f s u r S pet ~t l'identit6 sur S " - q - ~. A deux plonge- ments f i s o t o p e s correspondent des enlacements ~0 isotopes.

Nous obtenons ainsi une application de l 'ensemble des classes d'isotopie de plonge- ments de S p dans S q x R " -q dans le sous-groupe (pour m - p > 2 et q > 1) de Cp~.m_q_ form6 des classes d'isotopie d'enlacements dont la seconde composante est triviale (cf. 2.6). Ce sous-groupe est canoniquement isomorphe h la somme directe Lp~, ,,_q_ ~@ C~', off C~' d6signe le groupe des classes d'isotopie de plongements diff6rentiables de S p dans Sm.

7.1. TH~OR~ME. Supposons m - p > 2 et q > 1. L 'application d~finie ci-dessus de l 'en- semble des classes d'isotopie de plongements de S p dans Sq • R "-q dans le groupe L~, m-~- 1 ~ C ~ est bijective.

Par exemple, dans le domaine 1-m6tastable, c'est-h-dire si 2 m > 3p + 3, les classes d'isotopie des plongements de S p dans S ~ • R m-q correspondent bijectivement aux ~16ments de 7zp(Sq)~rCp_q+ 1 (SO, SO m_ p_ 1) pour 3 q > p + 3, d'apr~s le th6or6me 10.7 de l 'appendice.

D~monstration. D'apr~s le th6or~me d'extension des isotopies, tout plongement q~ de SPwS m-q- ~ dans S m dont la restriction h S m-q- 1 est isotope ~t l'identit6, est

isotope h u n plongement dont la restriction h S m -~- 1 est l'identit6. Donc l 'application

est surjective. So ien t fo , f~ :SP~S~• R m-q deux plongements tels que les plongements associ6s

~o o et q~l sont isotopes. Pour montrer que l 'application est injective, il faut montrer qu'il existe une isotopie ht:Sm--,S ", f ixe sur S " - ~ - j , et telle que h o soit l'identit6 et

h 1 . f o=f l , o ~ d6signe le compos6 H ' f / .

Enlacements de spheres en codimension superieure ~t 2 65

C o m m e ~o o et ~o~ sont isotopes, nous savons qu'i l existe un diff6omorphisme h de degr6 1 de S" , fixe sur S m-q- 1, tel que hfo =fl . Soit g u n plongement du disque D " dans S m, de degr6 1, tel que g(Dr")=fo(SO et g(D")c~S " - q - ~ =g (Dm-q-~ ) . Les deux plongements g e t hg coincident sur le sous-disque D "-q- 1; il est bien connu qu'i l existe une isotopie h, de S ' , fixe sur la sous-vari6t6 S " - ~ - a , telle que ho= id , et

hlg=hg. Donc h~fo=fi.

7.2. Remarque. II est clair que le m~me r6sultat est valable dans le cas lin6aire par morceaux si l 'on remplace C~' par O.

Appendice

La classification des enlacements dans ie domaine 2-m6tastable

Le but de cet appendice est de donner une expression explicite du groupe L(~) dans le domaine 2-m6tastable (cf. d6f. 9.1) en termes de groupes d 'homotop ie de sph6res et de vari6t6s de Stiefel. Pour cette section, l 'auteur a grandement profit6 de conversa- tions avec B. Steer.

8. Rappel de th~ordmes de P. Hilton et B. Steer. Nos catculs seront bas6s sur le th6or6me de HtLTON [11] donnan t une d6composi t ion de nk(V S (q)) comme somme directe de groupes d ' homotop i e de sph6res et sur un th6or6me de B. STEER [14] don- nant une expression de w.

8.1. C o m m e pr6c6demment, soit tl l'616ment de np,( v S (q)) repr6sent6 par l ' inclu- sion de S ~' dans le bouque t v S (q) = S q' v .-. v S qr.

Les produi ts de Whitehead basiques sont d6finis c o m m e suit. Les produits basiques de poids 1 sont les 616ments q . . . . . l, et sont ordonn6s de

sorte que ti<lj si i<j. Supposons ordonn6s et d6finis les produi ts basiques de poids < k . Alors ceux de

poids k sont de la forme [a, b], oh a et b sont des produits basiques tels que a > b e t que la somme des poids de a et b soit k. De plus si a=[c, d], alors d<~b. Les produits basiques de poids k sont ordonn6s arbi t ra i rement et sont sup6rieurs/ l ceux de poids inf6rieur.

Ainsi les produi ts basiques de poids 1, 2 et 3 sont:

11~ 12~ . . . ~ I r

Eli, lj], i > j

[Eti, t./], tk], i > j et j < k

Si l'616ment q intervient ~t i fois dans le produi t basique w, alors we rid(w)( V S(q)), ofa d(w)=Eoti(q,-- 1)+ 1.

66 ANDRI~ HAEFLIGER

8.2. THI~OR~ME (Hilton): Le groupe nk( V S tq~) est isomorphe d la somme directe ~.,Z~k(Sd~')), Oi~ w parcourt les produits basiques, l'inclusion de rtk(S ate)) dans rtk( V S tq)) dtant donnie par composition avec w.

On suppose comme toujours que les q~ sont sup6rieurs b. 1. Suivant B. STEER [14, p. 37, 3.2], soit X une suspension, dans notre cas le bouquet v S tq). Soit wezrk+ ~ (X), terrq+l(,Y ) et ~Ttp+l(ak+l).

8.3. THI~OR~ME (Steer): On a la formule

[wo , ,] = y s>_.l

of~ Os(w, 0 = [I-[,, w]w].. .w] avec s.facteurs w

: ( s - . ( s

est un invariant de H o p f g~n~ralisf el E q la suspension it~r~e q fois. Ainsi on a [wo ct, t ]= +[ , , w] Eq~+[[ t , w]w] Eqhctq - .... Les signes sont pr6cis6s

dans [14].

9. Le domaine k-m6tastable

9.1. Pour les enlacements de type (p) dans S m, le domaine k-m6tastable est celui oh, dans gin_ 1 ( v S~q)), tous les produits basiques de poids k + 2 s'annulent. Cette condition 6quivaut/a

P,, + ... + Pik+2 < (k + 1)(m - 2)

pour tout 1 ~<il . . . . , ik+2~r et il ~ i 2 .

Elle 6quivaut 6galement/l l 'annulation des produits basiques de poids k + 1 dans les groupes %, + 1 ( v stq)).

Voici un exemple d'un th6or~me g6n6ral.

9.2. PROPOSITION. Dans le domaine k-mdtastable, un enlacement dl r composantes

est isotope ~ l'enlacement trivial si et seulement si chacun de ses sous-enlacements dt k + 1

composantes est trivial. Ddmonstration. Soit (p') une sous-suite de la suite (p). L'op6ration faisant cor-

resporldre ~t un enlacement de type (p) dans S" le sous-enlacement correspondant/ t la sous-suite (p') induit un homomorphisme de la suite exacte 1.3 dans la suite exacte 1.3 o/1 (p) est remplac6 par (p'). Sur rim- 1 ( v S~q)), cet homomorphisme est induit par l 'application r6tractant v S <q) sur v S ~r

Soit 0 l 'homomorphisme de la suite exacte 1.3 dans la somme directe des suites exaetes relatives/l toutes les sous-suites de (p) contenant k + 1 616ments, et qui est la somme des homomorphismes pr6c6dents. D'apr6s la definition du domaine k-m6ta- stable, t? est injectif sur %,+1(v S (q)) et 7rm_l(v S(q)), donc aussi sur L~'p).

E n l a c e m e n t s d e s p h e r e s e n c o d i m e n s i o n s u p e r i e u r e b. 2 67

9.3. D 'une mani6re g6n6rale, le groupe L(~) est la somme directe des groupes 0 m E(p,, ..... p,~), o~a i~ . . . . . ik parcour t les sous-suites k de (1 ,2 . . . . . r) et o~ ~ d6signe le sous-groupe de L'~p) form6 des enlacements dont t ous l e s sous-enlacements ~ r - I composantes sont triviaux. La suite exacte 1.3 se scinde en somme directe correspon- dant ~t cette d6composit ion. Voici ce que donne le cas particulier du domaine 2-m6ta- stable.

9.4. THI~OREME. Dans le domaine 2-m6tastable, on a

m L(S) = Z Lp,,.~ O) E n, ,(S ~'+4'+~). i < j i < j < k

D&nonstration. Soit ~ le sous-groupe de L(~) form6 des enlacements dont tous les sous-enlacements ~ deux composantes sont triviaux (cette notat ion concorde avec celle introduite ci-dessus dans le domaine 2-m6tastable vu la proposi t ion 9.2). D6finis- sons de mani~re analogue les sous-groupes Oa(q) et on(~) de n(~) et n(q) ~ ( p ) s s m _ 1 Z~(p) H m _ 1 .

L ' h o m o m o r p h i s m e ~ envoyant la suite exacte 1.3 dans la somme directe des suites exactes relatives aux sous-enlacements ~t deux composantes (of. 9.2) est surjectif. On a l e d iagramme commuta t i f exact suivant:

0 0 0

o m OA(q) Ol-l(q) -~, L ( p ) "-~ " ' ( p ) --* - - m - 2

L~'p) A(q) H(q) --~ -'~ " ' ( p ) --+ - - m - 2 -'+

m

" 'Pi , PJ - ' P i , Pj i < j i < j i < j

0 0 0

En fait la deuxi6me suite exacte horizontale est somme directe des deux autres. D 'apr~s 8.2, ~ ), i r k et k > j , chaque composante 6tant

plong6e dans rip,( v S (q)) par composi t ion avec Irk, tj]. On a aussi or-r(q)l l , , - 2 = ~n , , _ 2 ( Sq' + qj + - qk- 2), j < k et j < i, chaque composante 6tant

p l o n # e dans n,,_ 2( v S (q)) par composi t ion avec [[tk, l j], li]. D'apr~s 8.3, w; (produi t de Whitehead par t~) appl ique Ilk, tj]o ~t, Off ~e rip, (S ~ + q~- 1),

sur [[tk, Is.], t~] E q ' - l ~ . Ainsi w restreint ~. oa(s) est surjectif et son noyau est iso- o ~,(p)

morphe ~t ~

Supposons que i < j < k . Si ~en~,,(Sq~+q~-~), f l~nvj(S q'+"~-~) et ?enp~(S~ '+~- l ) , d 'apr6s 8.3 et l ' identit6 de Jacobi, ~ + f l + y est dans le noyau de w si et seulement si E q'- 1~ = _+ E ~ - ~fl = + Eqk- ~? avec des signes convenables (comparer avec le r6sultat principal de [10]). Ainsi ~ est i somorphe ~t la somme directe des groupes stables n,,(Sq'+qJ+q~), i < j < k .

68 ANDRE HAEFLIGER

10. Enlacements ~ deux composantes dans le domaine 2-m6tastable

Nous commen~ons par une remarque g6n6rale. (Cf. [15]). 10.1. TH~OR[ME (Zeeman). Supposons que pl <~P2. Soit )~1 : L"~,p2~np~ (Sq2) l'homo-

morphisme faisant correspondre ~ un enlacement K 1 u K 2 c S mle premier dldment d'en-

lacement reprdsent6 par K 1 dans S " - K 2 ~ S q2. II existe un homomorphisme

L: n,~(Sq~)--*L'~,p~ qui est un reldvement de 21. D~monstration. Dans S m, soit S p~ la sous-sph~re d6finie par x~=O pour i>p2 et

soit S p' la sous-sph~re d6finie par xi=O pour pt < i < m - 1 et x , ,= \ /2 /2 . Identifions le sous-espace de S m d6fini par (x,~+ 1) 2 + . . - +(Xm) 2/> l/2 au produit D ~ + t • Sq~, de

sorte que S p~ est identifi6 ~ S p~ • e, ot~ S p~ est la sous-sph~re de D p~ +~ d6finie par l'intersection de S p~ et du plan x~=O pour i>~pl.

Soit ~ un 616ment de ~p,(SqO repr6sent6 par une application diff~rentiable q~: SP' ~ S q'. Soit f : SP' ~ D p~+ t x s q 2 c s m le plongement d6fini par f ( x ) = ( x , ~p(x)).

Consid6r6 comme un plongement de S p~ dans S ' , l e s t isotope ~t l'inclusion naturelle; il peut en effet s'6tendre suivant un plongement du disque D p' § ~ en utilisant le graphe d'une application diff6rentiable de D p' +1 dans D q~ + x qui 6tend ~p.

La classe d'isotopie de l 'enlacement form6 d e f e t de l'inclusion de S p~ dans S m ne d6pend que de la classe d 'homotopie de ~p. On a ainsi d6fini une application L qui est un relbvement de 2~. On v6rifie que L est un homomorphisme en repr6sentant les 616ments ~o et ~x de %,(SqO par des applications ~0 o et opt envoyant respectivement Dr_' et D %' sur le point base e, et en repr6sentant ~o+~1 par l 'application ~p 6gale

~o o sur D~.' et ~. ~ t sur D~.

10.2. PROPOSlTION. Pour p~<~pz et p~+3p2<~3m--6 , on a la suite exacte:

n [Sq'+q2-1~U-*Lm "'" , , _ ~ ~ w , w ~ r c w ( S ~ O + r ~ v ~ ( S ~ ) - ~ n ~ _ 2 ( S ~ + ~ - ~ ) ~ o~ w restreint chaque composante est la suspension itdrde au signe pros.

Ddmonstration. Partons de la suite exacte 1.3. Dans la d6composition de Hilton (8.2), seuls figurent les termes qui sont la composition avec

t2 e t [12, q ] dans A ~q) " ' p l

l~ et It2, q ] dans A ~ "'P2

[12, q ] ' [ [ ' 2 , q ] , q ] et [[ '2, q ] , t2] dans //~)-2

D'apr6s 8.3, w envoie isomorphiquement par suspension les composantes [t2, q ] de A~q) ~v) sur les composantes [[tz, t,], q] et lit z, q], t2] de A~)_2 .

On peut done remplacer dans la suite exacte 1.3 les termes a<~) et r~<~) par les ZX(p) l l m - 2

quotients obtenus en n6gligeant les composantes, d'ofa la proposition. II faut encore remarquer que si p~ + 3p2 = 3 m - 6 , on a des composantes dans

H~) correspondant h des produits basiques de poids 4, mais qu'elles sont l 'image m - 1

par w des composantes correspondant h des produits basiques de poids 3 dans a<~) ~ ( p + 1)"

Enlacements de spheres en codimension superieure b. 2 69

Soit N le noyau de l 'homomorphisme 21:Lp,,p2~nm(Sq2). D'apr6s 10.1, on a

m Lm. ~ = N (~ n m (Sq2).

D'autre part, la proposition 10.2 donne le

10.3. COROLLAIRE. Avec les hypothkses de 10.2, on a la suite exacte:

~ _ , (S ~' +q~-') ~ U 2 ~p~(S ~') -~ ~ _ ~ (S "' + ~ - l)

oft le dernier homomorphisme est [a suspension itOrde.

Soit F q l 'espace des applications de degr4 1 de S q laissant fixe le p61e nord de SL Par suspension it6r6e, F q s'envoie dans F q+a et F d4signe la limite des F q. Rappelons que ni(F q) = rt, +q( Sq).

Nous allons montrer que N e s t isomorphe 5, rt,._q_q~(F, F~ Plus pr6cis6ment, on a:

10.4. PROPOSITION. Si Pl <~P2 et pl + 3P2 < 3 m - 6 on a l e diagramme commutat i f (au signe prds) exact:

ztm _q, _q~ ( F ) ~ Zrm_q, _q, (F , F g') ~ ~ , . _ ~, _q~ _ , (F q') ---*

oft la deuxi~me ligne est la suite exacte de la paire (F, F q') et oft les fl~ches verticales sont des isomorphismes.

La d6monstration sera bas6e sur l 'interpr6tation comme groupe de cobordisme des groupes du diagramme pr6c6dent, et sur une d4finition de l ' invariant de H o p f qui g4n6ralise celle de [10].

Rappelons (cf. [13]) tout d 'abord que les 616ments de rt ,(Fq)=~.+q(S q) peuvent ~tre repr6sent6s par des sous-vari6t6s compactes V avec champ de rep6res normaux dans R"+L la codimension de V6tant q. Deux telles sous-vari6t6s V o et V1 repr6sentent le m~me 616ment de rt.(F q) s'il existe dans I x R "+q une sous-vari6t6 W avec champ de rep~res normaux telle que 0 W = ( 0 x Vo)u(1 x V1).

10.5. LEMME. Tout dl~ment de ft,(F, F q) peut ~tre repMsent~ par une sous-vari~td

eompacte V de dimension n dans R "+q+u, N grand, avec un champ de rep&es normaux et un bord 0 V c R" +q, les N - 1 derniers vecteurs du champ le long de O V dtant les N - 1

derniers vecteurs de base de R "+q+N. Deux telles sous-vari~tds Vo et Vt dans R "+q+N reprdsentent le m~me dldment de 7r,(F, F ~) s'il existe dans I x R "+q+N une sous-varidtd

W avee un champ de repOres normaux telle que O W=(0 • Vo)w(1 x V1)wV, oh V e s t une sous-varidtd dans I x R "+q le long de laquelle les N - 1 derniers vecteurs du champ sont les derniers veeteurs de base.

Ddmonstration. Les 614ments de ft,(F, F ~) peuvent ~tre repr6sent6s par des appli- cations diff6rentiablesfdu disque D" + ~ + N + 1 dans D q +Iv + 1, N grand, dont la restriction

70 ANDRE HAEFLIGER

S" +~ + u est la suspension it6r6e d'une application de S" + q- 1 dans SL Soi t R" +~ +N +~ [l~rl-t-q+N+ I Rn+q- 1) le demi-espace d6fini par X,+q+N+ 1 >t0; la paire ~,,+ , est identifi6e au

compl6mentaire d'un point dans la paire (D "+~§ 1, S,+~-1). L'image inverse p a r f d'une valeur r6guli6re est une sous-vari6t6 V' avec un champ de rep~res normaux dans R~ +~+~+1 dont le bord OV' est contenu dans R "+~- ~, les N + 1 derniers vecteurs du champ le long de 0 V' 6tant les derniers vecteurs de base. Inversement, par la construc- tion de Thom-Pontrjagin, une telle sous-vari6t6 V' peut ~tre induite par une applica- tion diff6rentiable f .

Soit V ~ R "+~+~ une sous-vari6t6 telle que dans l'6nonc6 du lemme. Consid6rons R n+r comme le bord de ~'"+~+N+ 1 .,+ et V comme une sous-vari6t6 avec un champ de rep6res normaux dans R "+~+u+1 en compl6tant le rep~re avec le dernier vecteur de base. Par une isotopic de R "+q+u+l, fixe sur R "+q- ~, nous pouvons pousser V-~3V dans l'int6rieur de R "+~+~+1 pour obtenir une sous-vari6t6 V' comme ci-dessus.

10.6. Ddmonstration de la proposition. Nous avons vu (cf. 4.1) que les 616ments de L,, _ c.o(q) peuvent ~tre repr6sent6s par les classes de cobordisme de paires de sous- (p) - - ~ ( p )

vari6t~s disjointes V 1 et I/2 dans S " - 1, avec un champ de rep~res normaux, et 0 V 1 = $1, a V 2 = S 2 avec le champ naturel, 0/1 ($1, $2) est l 'enlacement trivial de type ( P l - 1, P 2 - 1 ) dans S m- 1. De plus VI et V2 bordent dans D ~_ des sous-varidt~s avec champ W1 et W 2 telles que a W~=DP_'uV~. En g6ndral, ces deux sous-vari6t6s se rencontrent. Cependant si (V 1, 1/2) repr6sente un 616ment du sous-groupe N, alors on peut con- struire WI et W2 de sorte que W2c~O W1 =0.

En effet V1 et V 2 sont les images inverses des pbles nord de S q' et S q2 par une application diff6rent iablefde S " - 1 - ( $ 1 w S 2 ) dans Sq lv S r dont la restriction aux voisinages tubulaires de St et $2 est naturelle (cf. 4.1 et 3.2-4). Soitf2 : S ' - ~ - $ 2 ~ S q2 l 'application qui 6tend f c o m p o s 6 avec la r6traction de S q ' v S q' sur S q2. D6signons par Dx et D2 les disques DP2 et DP._ 2. Par hypothbse, l 'application f2 peut s'6tendre suivant une application f 2 :D m - D 2 ~ S ~2 dont la restriction b, un voisinage tubulaire de D 2 est naturelle. Comme l'616ment o~ de L"~l,p~ repr6sent6 p a r f e s t dans N, on peut construire l'extension f2 telle quef2 (D1) soit le point base de Sq2; en effet, l'616ment de np, (S ~2) repr6sent6 par l 'application 6gale h l 'application constante sur D~ et ~tf2 sur un disque bord6 par $1 dans S ' - 1 est justement l'616ment 21 (~) qui est nul. Ainsi l ' image inverse W2 du p61e nord de S q~ parr2 ne rencontre pas le bord O W~ = I/1 uD~.

Remarquons en passant qu'il en r6sulte que si K 1 u K 2 est un enlacement de type (p) dans S " dont'le premier coefficient d'enlacement est nul, il existe des sous-vari6t6s

avec champ de rep~res normaux Mt et M 2 bord6es par K t et K2 et telles que

OMlnM2 =0. Nous pouvons supposer que W~ et I4'2 se coupent transversalement. Ainsi

V= WlnW2 est une sous-vari~t6 avec un champ de rep~res normaux dans l'int6rieur

de D ~ _ et un bord dans D2. Apr~s identification de la paire (int D~_, int D2) ~t la paire

Enlacements de spheres en codimension superieure & 2 71

(R m, RP2), en vertu du lemme 10.5, la sous-variete V represente un element de

Cet element est independent du choix particulier des sous-varietes V~ dans leur classe de cobordisme et des W~. Si ~ ' et Wi' est un autre choix et si M est un cobordisme reliant V b. V' (cf. 4.1), en recollant W,' & Wi & l'aide de M~, on obtient dans S" deux sous-varietes N 1 et N2 avec un champ de reperes normaux dont le bord est l 'enlacement trivial de type (p); de plus a N1 n N2 = 0 et N~ n N 2 represente la difference des elements de n,,_q,_q,(F, F ~') obtenus & partir des W~ et W{. Mais N I ~ N 2 est cobordant & 0, car on peut separer NI de N2 par des isotopies fixes sur t3N~ et t3N2 qui les poussent dans deux hemispheres complementaires.

On a ainsi defini une application de N dans nm_~,_q,(F, F q') qui sera la deuxieme fleche verticale de 10.4. On verifie aisement que c'est un homomorphisme. La troisieme fleche verticale est l ' isomorphisme naturel. Le deuxieme carre du diagramme commute, car l'61ement 22(~t) est represente par D2c~W1.

La premiere fleche verticale est aussi l ' isomorphisme naturel (%_ 1 ( Sq' +q~-1) est stable). L 'homomorphisme de 7t,,_1( Sq~ +q~- 1) dans N e s t defini par ~ p ([-'2, q ] " ~) off/a est defini en 5.2. La construction de l 'invariant de HOaF donnee dans [10] et dont la construction precedente est une generalisation, montre que le premier carre du diagramme est commutatif. Le lemme des cinq montre donc que N e s t isomorphe & =,.-q,-,2( F, Fq').

Finalement, en utilisant l ' isomorphisme

=,._~,_q~(F, F q') ~ %_q,_q2(SO, SOq,) pour 3pl + P2 < 3m - 6

demontre par JAMES [12], on obtient le

10.7. TH~OR~ME. Dans le domaine 2-mdtastable: Pl <~P2 et Pl +3p2 < 3 m - 6 ,

L~,,.~ = ~., (S ~) ~ ~_q,_~(SO, SO~,) avec q~ = m - P i - 1.

Les enlacements du premier facteur sont construits explicitement dans 10.1 et ceux du second dans [4], 8.13.

Universitd de Genkve

Institut de Mathdmatique

Gendve

RI~FI~RENCES

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