Énoncés Des Exercices Du Chapitre 1 2012 IAQT

8/18/2019 Énoncés Des Exercices Du Chapitre 1 2012 IAQT

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Statistique et Probabilités : Estimation par intervalle de confiance

Énoncés des exercices du chapitre 1

A) Intervalle pour une proportion

Exercice 1Un sondage sur la popularité du Premier Ministre indique que 51% des personnesinterrogées sont favorables à sa politique. Construire un intervalle de confiance deniveau 0 !5 pour la proportion p de sénégalais favorables à cette politique sac"ant quece sondage a été réalisé aupr#s de n $ 100 personnes. M me question si n $ 1000.&uelle aurait d' tre la taille d(éc"antillon pour que l(intervalle soit de longueur inférieure à )% *

Exercice 2

+ la sortie d(une c"a,ne de montage -0 vé"icules automobiles tirés au sort sont testésde fa on approfondie. /ac"ant que deu d(entre eu présentent des défauts graves etdoivent repasser dans la c"a,ne construire un intervalle de confiance de niveau 0 !5pour la proportion p de vé"icules défectueu .

Exercice 3Une firme fabriquant une poudre de lessive envisage de modifier la présentation de sonproduit tout en ma orant son pri . 2(entreprise fabrique une petite série avec la nouvelleprésentation et la propose à la client#le dans un petit nombre de magasins témoinsc"oisis en fonction du réseau de commercialisation de son produit. 3n constate que sur 400 décisions d(ac"at 15 se sont portées sur la nouvelle présentation et 1)) sur

l(ancienne.a) &uel est l(intervalle de confiance de la proportion des ménag#res qui préf#rentla nouvelle présentation (α = 0,05) *

b) 6éterminer la taille minimale de l(éc"antillon permettant de conna,tre à ±1% pr#s 7au plus8 la proportion des ménag#res préférant la nouvelle présentation auseuil de 5%.

Exercice 4

/ur la base d9une ligne de pauvreté correspondant à une consommation de -)00calories par personne et par our les résultats du &U:6 ont permis d9évaluer laproportion des ménages sénégalais en dessous du seuil de pauvreté à 54 ! %en -001.;stimer le nombre de pauvres sur l9éc"antillon des 1000 proc"aines naissances.7Prendre un niveau de confiance de !5 %86onner la marge d9erreur dans l9estimation de la proportion de pauvres.

7Source : &uestionnaire Unifié des :ndicateurs de 6éveloppement 7&U:68 de l9;nqu te/énégalaise +upr#s des Ménages :: -0018

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Exercice 5

2ors d9un sondage sur un éc"antillon de -00 personnes on a recueilli pe de cAble présente unécart?t>pe σ = 0,025 tonne estimer sa résistance mo>enne au seuil α = 0,05 .

$) 6étermineB quelle devrait tre la taille minimale de l(éc"antillon pour conna,trela résistance mo>enne de ce t>pe de cAble à ± 1 g pr#s 7au plus8 au seuil de 5%.

c) 3n suppose maintenant que l(écart?t>pe de la population est inconnu. Unéc"antillon de 1@ cAbles indique une résistance mo>enne à la rupture égale à -tonnes avec un écart?t>pe égal à 0 0- tonne. ;stimeB la résistance mo>enne au seuil de5%.

Exercice %

Un fabricant de piles électriques affirme que la durée de vie mo>enne du matériel qu(ilproduit est de 1@0". Un organisme de défense des consommateurs prél#ve au "asardun éc"antillon de 100 piles et observe une durée de vie mo>enne de 15enne m.

$) Peut?on accuser ce fabricant de publicité mensong#re *

Exercice &

6ans une station?service on suppose que le montant des c"#ques D essences E suit

une loi normale de param#tres m et σ

. 3n consid#re un éc"antillon de taille 50 et on

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obtient une mo>enne de 14 000 FCF+ et un écart?t>pe de -


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'orri(és des exercices du chapitre

Exercice 1

2(intervalle

f f t f t f σ σ α α +− 00 ; est l(intervalle de confiance de la proportion p de

sénégalais favorables à cette politique.

3n a n

f f f

)01(0 −=σ

,51,00 = f

, tα = 1,96

P { − tα ≤ N (0 , 1) ≤ tα } = 0,95 , α = 5%

• Par n $ 100 les limites de l(intervalle de confiance sont G

10049,051,096,151,0

)01(001

×−=

−−=

n f f

t f p α

10049,051,096,151,0)01(002

×+=

−+=

n f f t f p α

41,0098,051,01 =−= p et

61,0098,051,02 =+= p

3n obtient alors G 0 )1 H p H 0 12ongueur $ 0 1 − 0 )1 $ 0 -0

I Pour n $ 1000 les limites de l(intervalle de confiance deviennent G

48,0100049,051,0

96,151,01 =

×−=

p

54,01000

49,051,096,151,02 =×

+= p

6(oJ l(intervalle G0 )< H p H 0 5)

longueur $ 0 5) − 0 )< $ 0 0I Kaille de l(éc"antillon

2a longueur de l(intervalle de confiance est :

f f f t t f t f σ σ σ α α α 2)()( 00 =−−+

2a longueur est donc Gn

f f t nl

)01(02−

=α

Pour quenl

H 0 0) il faut que G

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n ≥ 2500

2α t

f 0 (1 − f 0) , soit

n ≥ 2500 (1,96) 2 (0,51) (0,49) , n ≥ 2400

Exercice 22e param#tre p étant une proportion de défectueu nous retenons ici un intervalleunilatéral de la forme 0 H p H p -

avecn

f f t f p

)01(002

−+=

α

, n = 20 et

10,0202

0 == f

tα est lu sur la table de la loi normale : P { N ( 0 , 1 ) ≤ tα } = 0,95

( tπ α ) = 0,95 , donc t α = 1,65 .

21,090,010,065,110,02 20

=×

+= p

2(intervalle de confiance est donc : 0 ≤ p ≤ 0,21

Exercice 3

a) n = 300

52,0300156

0 == f

+u seuil de 5% l(intervalle de confiance de la proportion p des ménag#res quipréf#rent la nouvelle présentation est :

463,048,052,096,152,01 300

=×

−= p

577,048,052,096,152,02 300=

×+= p

$) :l s(agit de déterminer n tel que G

p2 − p1 ≤ 2 ∆ 7à ± ∆ % pr#s8. /oit G( f 0 + tα σ f ) − ( f 0 − tα σ f ) ≤ 2 ∆

avecn

f f f

)01(0 −=σ

, tα = 1,96 , f 0 = 0,52 ∆ = 0,016(oJ

tα • σ f ≤ ∆

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tαn

f f )01(0 −

≤ ∆ , soit2

2)01(0∆

−≥ α

t f f n

Lous en déduisons :

2)01,0(48,052,0296,1 ××≥n

n !5

Exercice 4

:l s9agit de construire l9intervalle de confiance de la proportion p des ménagessénégalais pauvres.

96,1;;539,0;1000 =×=== α t pnn f n iio

2a marge d9erreur est Gn

f f t me

)1( 00 −×=α

09,30309,0 ==

%2es bornes de l9intervalle de confiance sont G

5701000;5699,05081000;5081,0

2202

1101=×==+=

=×==−=

pnme f p pnme f p

2e nombre de pauvres est estimé entre 50< et 5@0 sur les 1000 proc"ainesnaissances .

Exercice 5

96,1;42,020084

;200 0 ==== α t f n

29intervalle de confiance de la proportion de votes pour + est G

3516,0)1( 00

01 =−

−=n

f f t f p α

et

4884,0)1( 00

02 =−

+=n

f f t f p α

29intervalle de confiance est G 4884,03516,0 ≤≤ p .

Exercice "

n $ -00 $ 155 millions d(impacts s $ @0 millions d(impacts

"


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2(écart?t>pe de la population est inconnu nous devons utiliser la loi de /tudent à 7n − 18

degrés de liberté. Comme200=n

on appro ime la loi de /tudent par la loi normale

L70 18 96,1=α t

. 2(intervalle de confiance a>ant !5 c"ances sur 100 de contenir la

valeur vraie de la mo>enne m est G

199

7096,1155

11 −=−

−=n

S t X m α

= 155 − 9,726 = 145,3 millions d(impacts

199

7096,1155

12 +=−

+=nS

t X m α

= 155 + 9,726 = 164,73 millions d(impacts6(oJ l(intervalle G

145,3 ≤ m ≤ 164,7n > 30 t α est donc lu sur la table de la loi normale .

Exercice #

a) 2(écart?t>pe de la population est connu on utilise alors la loi normale centrée réduite( )

σ

m X n −

suit une loi L 70 18n = 100 ,

X= 2,63 , σ = 0,025

+u seuil α = 5%, la résistance mo>enne est comprise entre les deu limites de confiance

G100

025,096,163,21 ×−=−=

nt X m

σ

α

et100

025,096,163,22 ×+=+=

nt X m

σ

α

/oit G m1 $ - -51 tonnes et m - $ - 4)! tonnes$) 2a précision de l(estimation est fournie par l(amplitude de la fourc"ette que

constitue l(intervalle de confiance G m - ? m1.Conna,tre la résistance mo>enne à ± 1 g pr#s implique donc G

.002,0212 tonnekg mm =≤−.

#


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1 kg

m m1 2

2 kg

X

/oit G

002,0≤

−−

+

nt X

nt X

σ σ

α α

6(oJ

002,02 ≤nt σ

α

2

22

)001,0(

σ α t n ≥

n -)01

c) 2(écart?t>pe de la population σ est inconnu et n N 40 nous devons alorsutiliser la loi de /tudent à 7n ?18 degrés de liberté .

n = 17 ,X

= 2,66 , s = 0,02 +u seuil α = 0,05 et pour 1 degrés de liberté la valeur lue est tα = 2,12.2a résistance mo>enne est comprise alors entre les deu limites de confiance .

16

02,012,266,2

11 ×−=−

−=n

S t X m α

16

02,012,266,21

2 ×+=−+= nS

t X m α

6(oJ l(intervalle :- )!) H m H - @0

%


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Exercice %

a) 2(écart?t>pe de la population σ est inconnu nous devons utiliser la loi de /tudent à7n − 18 degrés de liberté .

n = 100 ,X

= 158 , s = 30 +u seuil α = 0,01, il suffit de lire tα dans la table de la loi normale centrée réduite 7car n

O 408 tα = 2,576.6(oJ l(intervalle bilatéral .

11 −+≤≤

−−

nS

t X mnS

t X α α

99

30576,2158

99

30576,2158 +≤≤− m

/oit G 150 H m H 1

$) Lous allons construire pour m un intervalle unilatéral à gauc"e 7 0 H m H a 8.( )

99,01 =≥−×− α t S

m X n P

3n lit tα sur la table de la loi normale P L 70 18 O tα } = 0,99 implique que

P L 70 1Q H tα } = 0,01 donc tα = − 2,37 car (2,37)π ~ 0,99.

6éterminons la borne supérieure de l(intervalle .( )37,21 −≥−×−

S m X

n

6(oJ G1

37,2−

+≤nS

X m

, soit m H 1 53n a alors G

P 0 H m H 1 5 Q $ 0 !!

:l > a donc !!% de c"ance que cette publicité soit mensong#re.

Exercice &

29écart t>pe de la populationσ

est inconnu nous devons utiliser la loi de/tudent à n?1 degrés de liberté.

0,05 pour 96,1;50;2800;13000 ===== α α t nS X

&


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m est compris entre les deu limites de confiance G

122161

1 =−−=

n

S t X m α

137841

2 =−

+=n

S t X m α

AGBAMATE C. S. CONSU TANT !O"MATEU"

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