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ENSEIGNEMENT DES FONCTIONS
AU COLLÈGE
FONCTION
Première idée de dépendance : variable
Relation entre grandeurs dont les variations
sont liées par une loi
Approche ensembliste : correspondance terme
à terme des éléments de deux ensembles
L’analyse épistémologique nous a conduit à
poser que c’est l’idée de dépendance qui fonde
les concepts de fonction et de variable.
Rappelons seulement que chez Leibniz (1646-
1716), le mot « fonction » désigne une relation
entre grandeurs dont les variations sont liées par
une loi. L’approche ensembliste de la notion de
fonction par une mise en correspondance terme
à terme des éléments des deux ensembles
modélisés par un graphe, évacue cette idée de
contrainte entre deux grandeurs. (Comin, 2005,
p. 38)
PROGRAMME DE SIXIÈME
Proportionnalité en lien avec les grandeurs
Organisation et représentation de données
Lecture de graphiques
Passage d’un type de représentation à un autre
Les graphiques cartésiens sont au programme de
sixième.
MANUEL DE 6ÈME (NOUVEAU PRISME)
L’utilisation de tableaux ou de schémas fléchés
peut être envisagée, sans être systématisée.
Des expressions telles que « p de 7,5 kg = 26
€ », pour évoquer le prix de 7,5 kg dans une
situation « masse – prix » peuvent être
utilisées.
Elles sont accompagnées de formulations
orales du type « le prix de 7,5 kg de
marchandise est égal à 26 € ».
PROGRAMME DE CINQUIÈME
Proportionnalité
« des variations d’une grandeur en fonction d’une autre grandeur mais toute définition de la notion de fonction est exclue. »
Activités graphiques
Représentation et traitement de données
La proportionnalité commence à être étudiée
dans le cadre purement numérique (tableaux
de nombres …)
Des expressions telles que « en fonction de »,
ou « est fonction de » sont utilisées quand c’est
nécessaire.
L’usage des expressions utilisées en sixième
peut être poursuivi, et évoluer vers celui
d’expressions du type p(7,5 kg) = 26 €.
PROGRAMME DE QUATRIÈME
Utilisation de la proportionnalité « Des situations issues de la vie courante ou des autres disciplines permettent
de mettre en oeuvre un coefficient de proportionnalité exprimé sous forme de pourcentage. »
Proportionnalité
Traitement des données
« …usage du tableur ou de la calculatrice »
Calculer des distances parcourues, des vitesses moyennes et des durées de parcours en utilisant l’égalité d = vt.
PROGRAMME DE TROISIÈME
Notion de fonction Image, antécédent, notations f(x), x f(x). « Toute définition générale de la notion de fonction et d’ensemble de définition sont hors programme ». « La détermination d’un antécédent à partir de l’expression algébrique d’une fonction n’est exigible que dans le cas des fonctions linéaires ou affines ».
CAPACITÉS DU PROGRAMME DE TROISIÈME
Déterminer l’image d’un nombre par une
fonction déterminée par une courbe, un
tableau de données ou une formule.
Déterminer un antécédent par lecture directe
dans un tableau ou sur une représentation
graphique.
La notation f(x) est introduite pour des valeurs
particulières de la variable du type f(2), f(-3), …
en veillant à différencier avec les élèves le
statut des parenthèses dans ce type de
notation de leur signification dans un calcul
algébrique.
Le travail fait dans les classes antérieures dans
le cadre des grandeurs avec des expressions
telles que p de 7,5 kg, puis p(7,5 kg) = 26 €
facilite cette différenciation.
EXTRAIT DE MANUEL (PHARE)
Les notations fonctionnelles amènent à utiliser
des lettres avec une nouvelle signification.
Au collège, les lettres ont été utilisées:
- de façon « expressive » en référence à des
grandeurs;
- pour désigner des inconnues;
- pour désigner des valeurs indéterminées;
- pour désigner des variables.
ACTIVITÉS D’UN MANUEL DE TROISIÈME
ACTIVITÉS D’UN AUTRE MANUEL DE TROISIÈME
DES DÉFINITIONS DANS LES MANUELS …
Une fonction est un procédé qui associe à un
nombre x un nombre unique f(x).
Une fonction est un outil mathématique qui, à
un nombre, fait correspondre un nombre.
Le processus qui, à un nombre, fait
corespondre un autre nombre unique s’appelle
une fonction.
Extrait d’un manuel de troisième
Un autre manuel de troisième
Des exercices posés en troisième
Soit la fonction f définie par : f : x (x – 3)2
1. Calculer les images de 2 et de 5 par f.
2. a) Que représente f (-1) pour le nombre -1 ?
b) Calculer f (-1).
SUITE DU PROGRAMME DE TROISIÈME
Fonction linéaire, fonction affine
Proportionnalité.
Fonction linéaire.
Coefficient directeur de la droite représentant
une fonction linéaire.
Fonction affine.
Coefficient directeur et ordonnée à l’origine
d’une droite représentant une fonction affine.
CAPACITÉS SUR LES FONCTIONS LINÉAIRES ET
AFFINES
- Déterminer par le calcul l’image d’un nombre donné
et l’antécédent d’un nombre donné.
- Déterminer l’expression algébrique d’une fonction
linéaire à partir de la donnée d’un nombre non nul et
de son image.
- Représenter graphiquement une fonction linéaire.
- Connaître et utiliser la relation y = ax entre les
coordonnées (x,y) d’un point M qui est caractéristique
de son appartenance à la droite représentative de la
fonction linéaire x ax.
- Lire et interpréter graphiquement le coefficient d’une
fonction linéaire représentée par une droite.
- Déterminer par le calcul l’image d’un nombre donné
et l’antécédent d’un nombre donné par une fonction
affine.
- Connaître et utiliser la relation y = ax + b entre les
coordonnées (x,y) d’un point M qui est caractéristique
de son appartenance à la droite représentative de la
fonction linéaire x ax + b.
- Déterminer une fonction affine à partir de la donnée
de deux nombres et de leurs images.
- Représenter graphiquement une fonction affine.
- Lire et interpréter graphiquement les coefficients
d’une fonction affine représentée par une droite.
- Déterminer la fonction affine associée à une droite
donnée dans un repère.
QUELQUES COMMENTAIRES
En classe de Troisième, il s’agit de compléter l’étude
de la proportionnalité par une synthèse d’un
apprentissage commencé à l’école primaire.
L’utilisation de tableaux de proportionnalité permet de
mettre en place le fait que le processus de
correspondance est décrit par une formulation du type
« je multiplie par a ». Cette formulation est reliée à
x ax.
Certains traitements des situations de
proportionnalité utilisés dans les classes précédentes
sont reliés aux propriétés d’additivité et
d’homogénéité de la fonction linéaire.
Parmi les situations qui ne relèvent pas de la
proportionnalité, certaines sont cependant
modélisables par une fonction dont la
représentation graphique est une droite. Cette
remarque peut constituer un point de départ à
l’étude des fonctions affines. Pour les fonctions
affines, la proportionnalité des accroissements
de x et y est mise en évidence.
