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PCSI2
N.Véron-LMB-dec 2012
Exercices-Chapitre 10: ensembles finis, dénombrement, sommes ♦♦♦♦ éléments de correction en ligne
���� Ensembles finis, dénombrement
1.1 Soit n un entier naturel. a) Déterminer le nombre de solution de l'équation x+y = n dans �².
b) Déterminer le nombre de solution de x1+x2+...xp = n dans Ep où E={0,1}
c) Déterminer le nombre de solutions de x1+x2+...xp = n dans �p
1.2 Soit n∈�*, E un ensemble fini de cardinal n et F un ensemble fini de cardinal n+1.
a) Déterminer le nombre de surjections de E sur {a,b}. b) Déterminer le nombre de surjections de F sur E. c) Quel est le nombre d'applications non surjectives de E dans E?
♦♦♦♦ 1.3 Soit E un ensemble fini de cardinal n. a) Dénombrer les couples (A,B) de P(E) tels que A⊂B. b) Dénombrer les couples (A,B) de P(E) tels que A⊄B et B⊄A.
♦ 1.4 Soit E un ensemble et f une application de E dans E. f est idempotente si et seulement si fοf=f. a) Donner un exemple d'application idempotente distincte de IdE. b) Montrer que si f est idempotente et si f est injective ou surjective alors f=IdE. c) Montrer l'équivalence: f est idempotente ⇔ ∀x∈f(E), f(x)=x d) On suppose E fini de cardinal n, déduire de ce qui précède le nombre d'applications idempotentes de E dans E.
���� Avec les coefficients binomiaux
2.1 Calcul de n
k 1
nkk=
∑
a) En transformant le terme général de la somme
b) En calculant de deux manières différentes A ( E )
card(A)∈∑P
c) En dérivant de deux manières différentes la fonction polynôme p(x) = (1+x)n
2.2 Soit n et k deux entiers tels que 0≤k≤n, démontrer que: k
i 0
2n n n
k i k i=
= − ∑
a) En utilisant un ensemble de cardinal 2n. b) En développant (1+x)2n de deux manières différentes.
2.3 Calculer les sommes suivantes:
A= nn n n n... ( 1)
0 1 2 n
− + − + −
B=
0 2 k n
n
2k≤ ≤
∑ C= k
0 2 k n
n( 1)
2k≤ ≤
−
∑
D=n
k 0
nsin(k )
k=
θ
∑ E=
n
k 1
nk²
k=
∑ F=n
k p
k
p=
∑
♦♦♦♦ 2.4 On définit la suite u par u0=1 et ∀n∈�*, un=
n 1
pp 0
nu
p
−
=
∑ .
Montrer que pour tout n∈�, un est un entier naturel impair.
♦♦♦♦ 2.5 Montrer que ∀(p,q)∈�², q
k 0
p k p q 1
p p 1=
+ + += +
∑