ENSGI – 1° année 2005-2006 Décision Individuelle et Comportement Collectif 1 – Stratégie pure Céline Jullien et Bernard Ruffieux

ENSGI – 1° année2005-2006

Décision Individuelle et Comportement Collectif

1 – Stratégie pure

Céline Jullien et Bernard Ruffieux

Notions à retenirPar ordre d’utilisation dans l’enseignement

• Interactions stratégiques• Jeu non coopératif• Dilemme du prisonnier• Bataille des sexes• Jeu du rendez-vous• Jeu du débarquement• Chasse au cerf• Jeu de la poule mouillée• Jeu de l’ascenseur• Meilleure riposte• Stratégie dominée• Équilibre par élimination des stratégies dominées • Équilibre par élimination itérée des stratégies dominées • Équilibre de Nash • Optimum de Pareto• Main tremblante • Connaissance commune • Dominance parétienne• Perfection en sous jeu• Induction à rebours• Méta jeu• Leader de Stackelberg• Menace crédible

Situations Stratégiques

• La théorie des jeux va nous servir à :

– Identifier les différents types d’interactions stratégiques.

– Formaliser ces situations.

– Analyser ces situations.

– Décider des stratégies à adopter si tous les acteurs sont rationnels.

Les objectifs du cours • Les objectifs pour vous sont les suivants :

– Assimiler le vocabulaire de base (les notions seront toujours soulignées et données aussi en anglais).

– Assimiler les représentations de base (matrice, arbres de jeu) et le mode de raisonnement (équilibre stratégique).

– Découvrir une typologie des situations stratégiques fondamentales, les problèmes qu’elles posent, les comportements à adopter.

– Comprendre la puissance et l’universalité de l’outil.

– Se préparer à découvrir ensuite les applications à la concurrence et à la stratégie des entreprises.

La théorie des jeux non coopératifs

• Tous les jeux qui seront présentés et étudiés dans ce cours sont des jeux ‘non coopératifs’.

• Un jeu non oopératif est un jeu dans lequel les joueurs ne peuvent, préalablement à leurs décisions : ni discuter, ni négocier, ni passer des accords, ni proférer des menaces ou des promesses.

• Les situations qui intègrent ces dimensions sont décrites dans la théorie des jeux coopérative. On ne l’étudiera pas ici.

Plan général du cours• Introduction …

… qu’est-ce que la théorie des jeux, pourquoi est-il intéressant de la connaître ?

• 1. Où l’on racontera des histoires … … afin d’identifier des situations stratégiques intéressantes

• 2. Où l’on dessinera des arbres et des matrices …… afin de formaliser les jeux et d’en préciser les règles

• 3. Où l’on définira et trouvera des équilibres … … afin d’identifier des comportements stratégiques rationnels

• 4. Où l’on généralisera les histoires… afin de définir des problèmes fondamentaux d’interactions stratégiques

• Conclusion … … la théorie des jeux pour comprendre la concurrence et la management

stratégique








stratégique

1. Des histoires

• 1. Où l’on racontera des histoires afin d’identifier des situations stratégiques intéressantes.

– 1.1. Dilemme du prisonnier– 1.2. Conduite automobile– 1.3. D Day– 1.4. Chasse au cerf– 1.5. Bataille des sexes– 1.6. Poule mouillée – 1.7. Renvoi d’ascenseur

• Chaque histoire va être racontée dans deux versions :

– une version « business » pour vous faire comprendre l’intérêt pour vous.

– une version de référence, faisant allusion à des situations pédagogiquement fortes et simples, connues de tous et qui donnent leur nom aux histoires.

– Essayez de les mémoriser dès ce début de cours : on va les utiliser jusqu’à la fin.

1. Des histoires 1.1. Le dilemme du prisonnier

Version pédagogique

• Vous êtes enfant, vous êtes à la cantine.

• Vous être assis à un table de huit enfants. On apporte un plat de frites pour tous. Il est mis au milieu de la table. On apporte aussi pour chacun, un steak dans une assiette individuelle.

• Chacun aimerait bien avoir tranquillement des frites pendant qu’il mange son steak, mais chacun pense que, s’il attend, il n’y en aura plus parce que les autres les auront mangées !

• Du coup, en quelques secondes… il n’y a plus de frites et il ne reste plus que les steaks. Chacun avait raison.

• Ce problème est classique, les économistes le nomment le problème du « bien collectif ». Ce problème est un cas, parmi beaucoup d’autres, que la théorie des jeux range dans la catégorie générale de « dilemme du prisonnier ».


Version Business

• Deux entreprises A et B se partagent en exclusivité les importations d’une pierre précieuse d’un pays. Elles sont en concurrence.

• A et B contrôlent chacune les volumes qu’elles importent. Le prix intérieur est unique. Il déterminé par l’offre globale des deux entreprises en fonction de la demande intérieure.

• Durant une période donnée chaque entreprise a le choix d’importer et de vendre 2 ou 4 tonnes de pierres.

• Ainsi, dans ce période, il y aura sur le marché : 4, 6 ou 8 tonnes de pierres offertes.

• A et B disposent de la même étude de marché : elles savent que le prix est fonction de l’offre et de la demande. Pratiquement :

– si l’offre globale est de 4 tonnes le prix sera de 25M€/tonne, – si l’offre est de 6 tonnes la le prix sera de 15M€/tonne, – si l’offre est de 8 tonnes, le prix sera de 10M€/tonne.

• Les coûts à la tonne sont de 4M€ pour A et de 2M€ pour B.


• Les deux entreprises ne peuvent pas communiquer entre elles et, rappelons-le, elles sont en concurrence.

• Quel va être leur choix ? 2 ou 4 tonnes ?


• Ces problèmes de frites ou de concurrence sont semblable à toute une série de problèmes d’interactions stratégiques.

• La formalisation scientifique de ces problèmes a été faite à partir de l’exemple d’un juge qui donne le choix à des prisonniers suspectés d’avoir commis un délit de concert. Le juge établit des peines pour chacun qui dépendent des aveux de l’un ET de l’autre.

• C’est pourquoi ce jeu est connu sous le nom de Dilemme du prisonnier.


L’histoire classique• Un juge doit décider du sort de deux malfaiteurs. Il sont suspectés

d’avoir commis un crime de concert. Mais le juge n’a pas assez de preuve pour les condamner sans aveux de leur part.

• Le juge annonce alors les peines suivantes aux deux prisonniers, séparés dans des cellules isolées.

– Si les deux avouent, ils auront des peines raisonnables de deux ans chacun.

– Si l’un avoue et l’autre non, celui qui a avoué sera relaxé, mais l’autre écopera d’une lourde peine de quatre ans de prison.

– Si aucun n’avoue, faute de preuve, la peine ne pourra être que minimale : un an de prison.

1. Des histoires 1.2. Le choix du conducteur

version business

• En concurrence sur le même marché, deux entreprises ont le choix entre un standard A et un standard B.

• Elles sont indifférentes à choisir l’un ou l’autre de ces standard mais, en revanche, elles ont toutes les deux intérêt à ce que le standard soit unique.

• Quel standard vont-elles choisir si les entreprises ne peuvent communiquer ?

1. Des histoires 1.2. Le choix du conducteur

• Ce jeu est semblable à un autre, qui lui donne son nom, qui consiste à savoir de quel coté de la route conduire : droite ou gauche.

• Chacun est indifférent, à condition bien entendu que tout le monde choisisse le même coté !

• On appelle parfois ce jeu le ‘jeu du rendez-vous’ : le problème est celui d’un groupe de personnes qui se sont perdues dans une ville et cherchent chacune séparément un lieu où elles pourraient bien se retrouver.

1. Des histoires1.3. D Day

• Nous sommes en 1944 et les alliés se préparent au Débarquement. Les Allemands savent que le Débarquement est imminent, mais ils ne savent pas s’il aura lieu dans le Pas-de-Calais ou en Normandie.

• Les alliés ont effectivement le choix entre la Normandie et le Pas-de-Calais.

• Quelle plage vont choisir les alliés d’attaquer et quelle plage les Allemands vont-ils défendre si on suppose pour simplifier que chacun doit choisir un site et un seul.


Version business

• Ce jeu est semblable à des situations de management classiques.

• Supposez par exemple qu’une entreprise est leader sur le marché d’un produit alimentaire.

• Un entrant potentiel cherche à pénétrer ce marché. Il a deux moyens : la promotion publicitaire ou l’innovation technologique.

• … l’histoire est ensuite la même que pour D Day.


• Dans la théorie des jeux, ce jeu s’appelle ‘apparier les sous’, en anglais ‘matching pennies’.

• Plusieurs variantes de ce jeu existent, dans tous les cas, il y a un gagnant et un perdant.

• Par exemple : un joueur a une pièce dans un main, l’autre doit deviner laquelle.

1. Des histoires 1.4. La chasse au cerf

• Ce problème classique est présenté par Jean-Jacques Rousseau dans son ouvrage de 1762 : Du Contrat Social.

• Deux chasseurs ont le choix entre aller à la chasse au cerf ou à la chasse au lapin. Les deux chasseurs, en tant que consommateurs, préfèrent le cerf au lapin.

• Ils peuvent chasser le lapin seuls mais, pour le cerf, ils faut qu’ils chassent à deux. Que vont-ils faire ?

• Ce jeu peut être étendu à un village entier : un groupe de chasseurs sont concernés, un nombre minimum de chasseurs est requis pour chasser le cerf…

1. Des histoires 1.4. La chasse au cerf

Version business

• Deux entreprises informatiques sont intéressées par le développement d’un nouveau logiciel.

• Il y a deux lignes de développement possibles : la ligne ‘isolée’ qui consiste pour chaque entreprise à modifier un de ses logiciels existants et la ligne ‘ensemble’ qui consiste à développer un tout nouveau produit.

• Le problème en effet est que aucun des deux entreprises n’a la capacité de développer le produit nouveau seule.

• Pour les deux entreprises, le produit traditionnel amélioré est moins profitable qu’un produit nouveau développé ensemble.

• Que va faire chacune des deux entreprises ? Travailler isolément au développement d’un produit ancien amélioré ou choisir de travailler ensemble ?

1. Des histoires 1.5. La bataille des sexes

• L’histoire qui donne son nom à ce jeu est la suivante.

• Une adolescente et un adolescent sont amoureux. Ils peuvent sortir le vendredi soir ensemble au spectacle, mais, le reste du temps, ils ne peuvent pas se voir.

• Nous sommes vendredi après-midi et ils savent tous les deux qu’il y a en ville un ballet et un match de boxe.

• Il savent aussi que la fille préfère le ballet et le garçon préfère la boxe.

• Où vont-ils aller ?

1. Des histoires 1.5. La bataille des sexes

Version business

• Sony et Philips développent chacun séparément un nouveau standard de haute-fidélité. Il y a donc deux standard possibles.

• Le développement une fois achevé, chaque entreprise réalise que le marché serait plus large si un seul standard était adopté.

• Seulement voilà, les deux entreprises se rendent compte également que chacune a intérêt à ce que se soit son propre standard qui s’impose.

• Quel standard chaque entreprise va-t-elle adopter ?

1. Des histoires 1.6. La poule mouillée

• En Anglais, ce jeu s’appelle ‘chicken game’.

• On le réfère souvent à une scène du film La Fureur de vivre, avec James Dean, (Rebel Without a Cause de Nicholas Ray, 1955). Ce film raconte la vie des bandes d’adolescents américains dans l’Après guerre.

• Dans ce film, au cours d’une soirée, sur une falaise dominant l’Océan, deux garçons – Jim et Buzz – se livrent à une course de voiture d’un genre particulier.


• Chacun prendra place dans une voiture volée.

• Ils conduiront leur voiture à toute allure jusqu’à l’extrémité de la falaise. Celui des deux qui aura sauté le premier sera considéré comme un lâche.

• Dans le film, Jim (James Dean) saute à temps et Buzz chute dans l’Océan.


Version business

• Deux entreprises pharmaceutiques investissent massivement dans le recherche d’un nouveau vaccin pour la même maladie.

• A un certain stade, elles se rendent compte qu’elles se rapprochent toutes deux de la découverte.

• Il faut encore investir 10M€ et le vaccin peut être déposé.

• Si l’une trouve avant l’autre, elle gagne et l’autre perd.

• Si les deux firmes abandonnent maintenant, elles sauvent leurs investissements de 10 M€.

• Si elles trouvent en même temps, le coût du développement, consécutif à la découverte, ne pourra être rentabilité par les deux firmes. Les investisseurs ne suivront pas et les deux firmes devront abandonner.


• On retiendra par la suite une version plus simple de ‘course automobile’.

• Les deux voitures foncent l’une vers l’autre.

• Le premier qui tourne son volant pour éviter l’autre a perdu.

1. Des histoires1.7. Le renvoi d’ascenseur

• C’est le matin et vous arrivez à votre lieu de travail : une tour administrative de 25 étages.

• Arrivé à votre étage, sachant que la probabilité est très élevée pour que l’usager suivant parte du rez-de-chaussée, renvoyez-vous l’ascenseur en bas pour réduire le temps d’attente de l’usager suivant ?

1. Des histoires1.7. Le renvoi d’ascenseur

Version business

• Au cours d’une conférence, deux hommes d’affaires se sont mutuellement promis, au cours d’une discussion très informelle dans un cocktail, de s’envoyer de la documentation dont chacun dispose sur l’Égypte, un pays qu’ils ont tous deux le projet de visiter bientôt.

• Vont-ils le faire en rentrant chez eux ?








stratégique

2. Des arbres et des matrices • 2. Où l’on dessinera des arbres et des matrices

afin de formaliser les jeux et de préciser les règles

– 2.1. Les règles du jeu • ordre de décision, information, gains, objectifs

– 2.2. Approche intuitive du méta jeu• les règles comme enjeu stratégique

– 2.3. Formalisation matricielle• du dilemme du prisonnier à l’ascenseur

– 2.4. Formalisation en arborescente• du dilemme du prisonnier à l’ascenseur

– 2.5. Approche intuitive de jeu répété• répétition finie et infinie.

– 2.6. Approche intuitive de jeux multiples• l’idée de stratégie mixte

2. Des arbres et des matrices2.1 Les règles du jeu

• Stratégies disponibles par chacun : ici 2

• Nombre de joueurs : ici 2

• Ordre des séquences de décision : ici simultané

• Information sur les gains : ici connaissance commune

• Information durant le jeu : ici non pertinent

• Objectifs des joueurs : ici gain

• Comportement des joueurs : ici maximisateur

2. Des arbres et des matrices2.2. Approche intuitive du méta jeu

• Idée générale : dans les jeux de société, les règles sont données, elles sont exogènes.

• Dans la vie économique, très souvent, les règles du jeu, en partie au moins, peuvent être changées.

• Même les règles fournies par les pouvoirs publics sont modifiables (lobbying).









2. Des arbres et des matrices2.3. Formalisation matricielle

…. Stratégie j du joueur 2

… … …

Stratégie i du joueur 1

… (Gain de 1, Gain de 2)

(Ligne, Colonne)

… … …

… … …

Joueur 1(Ligne)

Joueur 2 (colonne)

2. Des arbres et des matrices2.3. Formalisation matricielle1. Le dilemme du prisonnier

• Reprenons le cas des importateurs de pierre précieuses.

• Rappelons la situation : – Stratégies : A et B peuvent produire 2 ou 4 tonnes. – Les coûts à la tonne sont de 4 pour A et de 2 pour B. – Les prix sont de 25 €, 15 € ou 10€ selon que les quantités

de marchés sont de 4, 6 ou 8 tonnes.


• L’entreprise A est en ligne, ses coûts sont de 4 M€/t

2

4

A Coûts de 4


• L’entreprise B est en colonne, ses coûts sont de 2 M€/t

2 4

2

4

B coûts de 2

A Coûts de 4


• On détermine le total produit pour tous les couples de stratégies.

2 4

2

2+2=4 2+4=64

4+2=6 4+4=8

A Coûts de 4

B coûts de 2


• On en déduit le prix à la tonne pour chaque issue de jeu.

2 4

2 25 15

4 15 10

A Coûts de 4

B coûts de 2


• En tenant compte des coûts, on en déduit les profits de A.

2 4

2 25

4215

22

4 15

4410

24

A Coûts de 4

B coûts de 2


• … et les profits de B, avec la convention d’écriture.

2 4

2 25

42, 4615

22, 52

4 15

44, 2610

24, 32

A Coûts de 4

B coûts de 2


• On obtient la matrice des gains.

2 4

242, 46 22, 52

444, 26 24, 32

A

B


2. La conduite automobile

• Souvenez-vous : il faut choisir de conduire à gauche ou à droite, ou choisir un standard unique pour lequel chacun est indifférent à condition que ce soit le même pour tous.

• A deux joueurs, il est facile de construire la matrice suivante.



Gauche Droite

Gauche1, 1 0, 0

Droite0, 0 1, 1

A

B



3. D Day

• Souvenez-vous : les alliés et les Allemands préparent le Débarquement.

• La matrice suivante est évidente.

• On choisit des gains de 1 pour le gagnant et de -1 pour le perdant.


3. D Day

Pas-de-Calais

Normandie

Pas-de-Calais -1, 1 1, -1

Normandie1, -1 -1, 1

Alliés

Allemands



4. La chasse au cerf

• Rappelez-vous : le chasseur hésite entre aller seul à la chasse au lapin, ou aller avec les autres à la chasse au cerf.

• A deux chasseurs, on propose la matrice suivante.



Lapin Cerf

Lapin1, 1 1, 0

Cerf0, 1 2, 2

A

B



5. La bataille des sexes

• Souvenez-vous : les amoureux qui doivent aller au ballet ou à la boxe.

• Supposons que les gains soit de chacun : – 2 si ils sont ensemble– 1 s’ils sont à leur spectacle préféré. – Sinon rien. – Les gains sont additifs.



Ballet Boxe

Ballet3, 2 1, 1

Boxe0, 0 2, 3

Elle

Lui



6. La poule mouillée

• Souvenez-vous : la route sur laquelle deux voitures foncent l’une vers l’autre.

• Ici, les gains sont plus difficiles à calibrer.



Fonce Renonce

Fonce-4, -4 2, -2

Renonce-2, 2 1, 1

A

B




Fonce Renonce

Fonce-2, -2 1, -1

Renonce-1, 1 0, 0

A

B

• Où à la limite.

2. Des arbres et des matrices2.3. Formalisation matricielle7. Le renvoi de l’ascenseur

• Souvenez-vous, l’ascenseur le matin que tout le monde prend au rez-de-chaussée.

2. Des arbres et des matrices2.3. Formalisation matricielle7. Le renvoi de l’ascenseur

Renvoie Ne renvoie pas

Renvoie 1, 1 0, 1

Ne renvoie pas 1, 0 0, 0

A

B










2. Des arbres et des matrices2.4. Formalisation en arborescence

1. Le dilemme du prisonnier

• Rappelons la matrice et supposons maintenant que A jour le premier

2 4

242, 46 22, 52

444, 26 24, 32

A

B

2. Des arbres et des matrices2.4. Formalisation en arborescence

1. Le dilemme du prisonnier

A

B B

2

22

4

44

(42, 46) (22, 52) (44, 26) (24, 32)

2. Des arbres et des matrices 2.4. Formalisation en arborescence


• Rappelons la matrice et supposons maintenant que A jour le premier

Gauche Droite

Gauche1, 1 0, 0

Droite0, 0 1, 1

A

B



A

B B

gauche

GG

Droite

DD

(1, 1) (0, 0) (0, 0) (1, 1)


3. D Day

• Rappelons la matrice et supposons maintenant que les Alliés décident les premiers.

Pas-de-Calais

Normandie



Alliés

Allemands


3. D Day

Alliés

Allemands Allemands

PdC

PdCPdC

N

NN

(-1, 1) (1, -1) (1, -1) (-1, 1)



• Rappelons la matrice et supposons maintenant que le chasseur A décide le premier.

Lapin Cerf

Lapin1, 1 1, 0

Cerf0, 1 2, 2

A

B



A

B B

Lapin

LapinLapin

Cerf

CerfCerf

(1, 1) (1, 0) (0, 1) (2, 2)



• Rappelons la matrice et supposons maintenant que la fille décide la première.

Ballet Boxe

Ballet3, 2 1, 1

Boxe0, 0 2, 3

Elle

Lui



Elle

Lui Lui

Ballet

BalletBallet

Boxe

BoxeBoxe

(3, 2) (1, 1) (0, 0) (2, 3)



• Rappelons la matrice et supposons maintenant que A décide le premier.

Fonce Renonce

Fonce-4, -4 2, -2

Renonce-2, 2 1, 1

A

B



A

B B

Fonce

FonceFonce

Renonce

RenonceRenonce

(-4, -4) (2, -2) (-2, 2) (1, 1)


7. Le renvoi de l’ascenseur

• Rappelons la matrice et supposons maintenant que A décide le premier.


Renvoie 1, 1 0, 1


A

B


7. Le renvoi de l’ascenseur

A

B B

Renvoie

RR

Ne renvoie pas

NrpNrp

(1, 1) (0, 1) (1, 0) (0, 0)









2. Des arbres et des matrices 2.5. Approche intuitive d’un jeu répété

• L’exemple du dilemme du prisonnier.

Coopère Trahit

Coopère 4, 4 1, 5

Trahit 5, 1 2, 2

Coopère Trahit

Coopère 4, 4 1, 5

Trahit 5, 1 2, 2

Coopère Trahit

Coopère 4, 4 1, 5

Trahit 5, 1 2, 2

Coopère Trahit

Coopère 4, 4 1, 5

Trahit 5, 1 2, 2

Temps

2. Des arbres et des matrices 2.6. Approche intuitive d’un jeu multiple

• L’exemple de D Day … transformé en jeu de football ou de tennis.

• Supposons qu’au football, un gardien de buts soit meilleur pour arrêter les ballons à droite qu’à gauche.

• Une équipe s’apprête à une série de tirs aux buts.

• Les buteurs ont à choisir de tirer un certain nombre de fois à gauche et un certain nombre de fois à droite. Mais combien de fois ?

• L’équipe, si elle réfléchit de la sorte, doit définir des probabilités de jouer une stratégie et une probabilité d’en jouer une autre.

• C’est ce qu’on appelle une stratégie mixte.








stratégique

3. Des équilibres

• 3. Où l’on définira et trouvera des équilibres afin d’identifier des comportements stratégiques rationnels

– 3.1. Élimination des stratégies dominées– 3.2. Équilibre de Nash des jeux simultanés– 3.3. Perfection en sous jeu des jeux séquentiels et

crédibilité des menaces– 3.4. Équilibre en stratégie mixte (approche intuitive)

3. Des équilibres 3.1. élimination des stratégies dominées

• Définition : on appelle stratégie dominée une stratégie qui, pour un joueur, lui procure des gains inférieurs à une autre de ses stratégies disponibles et ce quelle que soit la stratégie des autres joueurs.

• Un concept d’équilibre découle de la règle de comportement selon laquelle un joueur rationnel ne joue pas une stratégie dominée par une autre.

• Reprenons le cas du dilemme du prisonnier.


2 4

242, 46 22, 52

444, 26 24, 32

A

B

Pour le joueur A, on observe que la stratégie « 2 » est dominée par la stratégie « 4 ».


2 4

242, 46 22, 52

444, 26 24, 32

A

B

Pour le joueur B, on observe de même que la stratégie « 2 » est dominée par la stratégie « 4 ».


2 4

242, 46 22, 52

444, 26 24, 32

A

B

En éliminant de part et d’autre ces stratégies dominées, on obtient l’équilibre (4, 4).


• Dans le cas de la conduite automobile, on constate qu’il n’existe pas de stratégie dominée.

Fonce Renonce

Fonce-4, -4 2, -2

Renonce-2, 2 1, 1

A

B


• On vérifie aisément qu’il n’y a pas non plus de stratégie dominée dans les jeux : – D Day– Chasse au cerf – Bataille des sexes– Poule mouillée

• Le cas de l’ascenseur mérite en revanche un peu d’attention.


• On remarque dans le jeu de l’ascenseur que chaque joueur est indifférent à sa stratégie s’il ne s’intéresse qu’à ses propres gains, puisque ceux-ce sont identiques quel que soit son choix.

• On dit qu’une stratégie est faiblement dominée par une autre si les gains sont soit inférieurs soit égaux à cette dernière.


Renvoie

1, 1 0, 1

Ne renvoie pas

1, 0 0, 0

A

B


• Ainsi, dans ce jeu de l’ascenseur, l’élimination des stratégies faiblement dominées peut conduire chacun à renvoyer l’ascenseur ou non, indifféremment.


Renvoie

1, 1 0, 1

Ne renvoie pas

1, 0 0, 0

A

B

3. Des équilibres


– 3.1. Élimination des stratégies dominées– 3.2. Équilibre de Nash des jeux simultanés– 3.3. Perfection en sous jeu des jeux séquentiels et


3. Des équilibres 3.2. équilibre de Nash

• En 1951, John Nash propose un concept d’équilibre plus puissant que celui qui consiste à éliminer les stratégies dominées.

• Sa définition est la suivante : Un équilibre de Nash dans un jeu à deux joueurs est une paire de stratégies, chacune étant la meilleure riposte (réponse) (best response) à l’autre. Cela signifie que chaque stratégie donne a celui qui l’utilise le meilleur gain possible, étant donné la stratégie de l’autre joueur.

• Cherchons les équilibres de Nash de nos 7 jeux.

John Nash


1. Dilemme du prisonnier

2 4

242, 46 22, 52

444*, 26 24*, 32

A

B

Les meilleures ripostes de A sont notées avec un « * »



2 4

242, 46 22, 52*

444*, 26 24*, 32*

A

B

Les meilleures ripostes des 2 joueurs sont notées avec un « * »



2 4

242, 46 22, 52

444, 26 24, 32

A

B

L’équilibre de Nash est au croisement des meilleures ripostes, dans ce jeu, il y a un seul équilibre. Il est identique au précédent.




Gauche Droite

Gauche1*, 1 0, 0

Droite0, 0 1*, 1

A

B



Les meilleures ripostes sont notées avec un « * »

Gauche Droite

Gauche1*, 1* 0, 0

Droite0, 0 1*, 1*

A

B



Il y a deux équilibres de Nash

Gauche Droite

Gauche1, 1 0, 0

Droite0, 0 1, 1

A

B


3. D Day

Les meilleures ripostes des alliés sont notées avec un « * »

Pas-de-Calais

Normandie

Pas-de-Calais -1, 1 1*, -1

Normandie1*, -1 -1, 1

Alliés

Allemands


3. D Day


Pas-de-Calais

Normandie

Pas-de-Calais -1, 1* 1*, -1

Normandie1*, -1 -1, 1*

Alliés

Allemands


3. D Day

Il n’y a pas d’équilibre de Nash

Pas-de-Calais

Normandie



Alliés

Allemands

3. Des équilibres 3.2. équilibre de Nash4. La chasse au cerf


Lapin Cerf

Lapin1*, 1 1, 0

Cerf0, 1 2*, 2

A

B



Lapin Cerf

Lapin1*, 1* 1, 0

Cerf0, 1 2*, 2*

A

B



Lapin Cerf

Lapin1, 1 1, 0

Cerf0, 1 2, 2

A

B



Les meilleures ripostes pour Elle sont notées avec un « * »

Ballet Boxe

Ballet3*, 2 1, 1

Boxe0, 0 2*, 3

Elle

Lui




Ballet Boxe

Ballet3*, 2* 1, 1

Boxe0, 0 2*, 3*

Elle

Lui




Ballet Boxe

Ballet3, 2 1, 1

Boxe0, 0 2, 3

Elle

Lui

3. Des équilibres 3.2. équilibre de Nash6. La poule mouillée

Les meilleures ripostes pour A sont notées avec un « * »

Fonce Renonce

Fonce-4, -4 2*, -2

Renonce-2*, 2 1, 1

A

B



Fonce Renonce

Fonce-4, -4 2*, -2*

Renonce-2*, 2* 1, 1

A

B



Fonce Renonce

Fonce-4, -4 2, -2

Renonce-2, 2 1, 1

A

B


7. L’ascenseur



Renvoie 1*, 1 0*, 1

Ne renvoie pas 1*, 0 0*, 0

A

B


7. L’ascenseur



Renvoie 1*, 1* 0*, 1*

Ne renvoie pas 1*, 0* 0*, 0*

A

B


7. L’ascenseur

Il y a quatre équilibres de Nash


Renvoie 1, 1 0, 1


A

B

3. Des équilibres


– 3.1. Élimination des stratégies dominées : DP– 3.2. Équilibre de Nash des jeux simultanés– 3.3. Perfection en sous jeu des jeux séquentiels et


3. Des équilibres 3.3. Perfection en sous jeux

• Lorsque le jeu est séquentiel, l’équilibre de Nash doit être complété par une séquence d’identification des meilleures ripostes.

• Cette dernière s’appelle « perfection en sous jeux ». Elle garantit qu’aucune menace non crédible n’est proférée par le joueur qui joue en second.

• Pour trouver les équilibres de Nash parfaits en sous jeu, il faut partir de la fin et remonter l’arbre de jeu.




A

B B

2

22

4

44

(42, 46) (22, 52*) (44, 26) (24, 32*)



En remontant l’arbre, seules les issues entourées sont disponibles pour A.

A

B B

2

22

4

44

(42, 46) (22, 52*) (44, 26) (24, 32*)



A

B B

2

22

4

44

(42, 46) (22, 52) (44, 26) (24, 32)

L’équilibre de Nash parfait en sous jeu est unique.




A

B B

Droite

DD

Gauche

GG

(1, 1*) (0, 0) (0, 0) (1, 1*)



Seules les issues entourées sont disponibles pour A.

AA

B B

Droite

DD

Gauche

GG

(1, 1*) (0, 0) (0, 0) (1, 1*)




A

B B

Droite

DD

Gauche

GG

(1, 1) (0, 0) (0, 0) (1, 1)


3. D Day

Les meilleures ripostes des Allemands sont notées avec un « * »

Alliés

Allemands Allemands

PdC

PdCPdC

N

NN

(-1, 1*) (1, -1) (1, -1) (-1, 1*)


3. D Day


Alliés

Allemands Allemands

PdC

PdCPdC

N

NN

(-1, 1*) (1, -1) (1, -1) (-1, 1*)


3. D Day


Alliés

Allemands Allemands

PdC

PdCPdC

N

NN

(-1, 1) (1, -1) (1, -1) (-1, 1)




A

B B

Lapin

LapinLapin

Cerf

CerfCerf

(1, 1*) (1, 0) (0, 1) (2, 2*)




A

B B

Lapin

LapinLapin

Cerf

CerfCerf

(1, 1*) (1, 0) (0, 1) (2, 2*)



Il y a un équilibre de Nash

A

B B

Lapin

LapinLapin

Cerf

CerfCerf

(1, 1) (1, 0) (0, 1) (2, 2)



Les meilleures ripostes pour Lui sont notées avec un « * »

Elle

Lui Lui

Ballet

BalletBallet

Boxe

BoxeBoxe

(3, 2*) (1, 1) (0, 0) (2, 3*)




Elle

Lui Lui

Ballet

BalletBallet

Boxe

BoxeBoxe

(3, 2*) (1, 1) (0, 0) (2, 3*)



Il y a un équilibre de Nash

Elle

Lui Lui

Ballet

BalletBallet

Boxe

BoxeBoxe

(3, 2) (1, 1) (0, 0) (2, 3)



Les meilleures ripostes pour B sont notées avec un « * »

A

B B

Fonce

FonceFonce

Renonce

RenonceRenonce

(-4, -4) (2, -2*) (-2, 2*) (1, 1)



A

B B

Fonce

FonceFonce

Renonce

RenonceRenonce

(-4, -4) (2, -2*) (-2, 2*) (1, 1)





A

B B

Fonce

FonceFonce

Renonce

RenonceRenonce

(-4, -4) (2, -2) (-2, 2) (1, 1)


7. L’ascenseur

Les meilleures ripostes de B sont notées avec un « * »

A

B B

Renvoie

RR

Ne renvoie pas

NrpNrp

(1, 1*) (0, 1*) (1, 0*) (0, 0*)


7. L’ascenseur

A

B B

Renvoie

RR

Ne renvoie pas

NrpNrp

(1, 1*) (0, 1*) (1, 0*) (0, 0*)



7. L’ascenseur

Il y a quatre équilibres de Nash

A

B B

Renvoie

RR

Ne renvoie pas

NrpNrp

(1, 1) (0, 1) (1, 0) (0, 0)

3. Des équilibres


– 3.1. Élimination des stratégies dominées : DP– 3.2. Équilibre de Nash des jeux simultanés– 3.3. Perfection en sous jeu des jeux séquentiels et


3.4. Équilibre en stratégie mixte (approche intuitive)

• Idée qu’on accepte de s’en remettre au hasard pour choisir sa stratégie si et seulement si les gains associés à ses stratégies sont tous égaux.








stratégique

4. Concepts fondamentaux 4.1. Le dilemme du prisonnier

2 4

242, 46 22, 52

444, 26 24, 32

A

L’unique équilibre de Nash est « Pareto dominé » : l’issue (2, 2) procure un gain supérieur aux deux protagonistes… mais (2, 2) n’est pas un équilibre. On dit qu’il y a un problème de la coopération

4. Concepts fondamentaux 4.1. Le dilemme du prisonnier

Un équilibre de Nash unique mais Pareto dominé : Le problème de la coopération

24, 3244, 264

22, 5242, 462

42

24, 3244, 264

22, 5242, 462

42

A

A

B B

2

22

4

44

(42, 46) (22, 52) (44, 26) (24, 32)

Le jeu séquentiel ne change rien au résultat du jeu simultané : le problème de coopération demeure.

4. Concepts fondamentaux 4.2. Le choix du conducteur

1, 10, 0Droite

0, 01, 1Gauche

DroiteGauche

1, 10, 0Droite

0, 01, 1Gauche

DroiteGauche

A

B

Il y a deux équilibres de Nash, ils sont identiques et symétriques.Les joueurs ne savent pas comment sélectionner un équilibre. On dit qu’il y a un problème de coordination.

4. Concepts fondamentaux 4.2. Le choix du conducteur

Des équilibres de Nash multiples mais identiques symétriques : Le problème de la coordination

1, 10, 0Droite

0, 01, 1Gauche

DroiteGauche

1, 10, 0Droite

0, 01, 1Gauche

DroiteGauche

A

B

A

B B

Droite

DD

Gauche

GG

(1, 1) (0, 0) (0, 0) (1, 1)

Le jeu séquentiel permet de résoudre le problème de coordination. Le leader n’a pas pour autant d’avantage sur le suiveur. Les deux joueurs ont donc intérêt à un jeu séquentiel (méta jeu).

4. Concepts fondamentaux 4.3. D Day

Il y a absence d’équilibre de Nash : on dit qu’il y a un problème de compatibilité. Les deux camps sont en « conflit pur »

-1, 11, -1Normandie

1, -1-1, 1Pas-de-Calais

NormandiePas-de-Calais

-1, 11, -1Normandie



Alliés

Allemands

4. Concepts fondamentaux 4.3. D Day

Une absence d’équilibre de Nash : Le problème de la compatibilité ou du conflit pur

-1, 11, -1Normandie



-1, 11, -1Normandie



Alliés

Allemands

Alliés

Allemands Allemands

PdC

PdCPdC

N

NN

(-1, 1) (1, -1) (1, -1) (-1, 1)

Le jeu séquentiel a deux équilibres. Les deux sont équivalents pour le leader (ici les alliés) : il est indifférent. Le leader choisit et perd le jeu : dans un jeu de compatibilité, le leader perd. Dans un méta jeu, celui qui réussit à jouer second gagne (espionnage).

4. Concepts fondamentaux 4.4. La chasse au cerf

2, 20, 1Cerf

1, 01, 1Lapin

CerfLapin

2, 20, 1Cerf

1, 01, 1Lapin

CerfLapin

A

B

Il y a deux équilibres de Nash. L’un est Pareto dominant. Mais l’équilibre dominant est risqué. C’est le problème de la main tremblante.


2, 20, 1Cerf

1, 01, 1Lapin

CerfLapin

2, 20, 1Cerf

1, 01, 1Lapin

CerfLapin

A

B

En cas d’équilibre dominant risqué, les joueurs peuvent préférer un équilibre Maximin. Le Maximin consiste à maximiser le gain minimum obtenu pour les stratégies. Ici, la stratégie Maximin conduit à choisir d’aller à la chasse au lapin.

Si un joueur doute de la stratégie de l’autre, il va à la chasse au lapin.


Des équilibres de Nash multiples dont l’un est Pareto dominant, mais risque dominé :

Le problème de la main tremblante

2, 20, 1Cerf

1, 01, 1Lapin

CerfLapin

2, 20, 1Cerf

1, 01, 1Lapin

CerfLapin

A

B

A

B B

Lapin

LapinLapin

Cerf

CerfCerf

(1, 1) (1, 0) (0, 1) (2, 2)

Le jeu séquentiel permet de résoudre le problème de la main tremblante. Les deux joueurs ont intérêt à un jeu séquentiel. (méta jeu).

4. Concepts fondamentaux 4.5. La bataille des sexes

Il y a deux équilibres de Nash. Ils sont asymétriques.

Chacun est préféré par un des joueurs.

Mais les deux joueurs ont intérêt à être sur un des équilibres.

C’est un problème de la co-sélection forte.

Coordination et compatibilité cohabitent.

2, 30, 0Boxe

1, 13, 2Ballet

BoxeBallet

2, 30, 0Boxe

1, 13, 2Ballet

BoxeBallet

Elle

Lui

4. Concepts fondamentaux 4.5. La bataille des sexes

Des équilibre de Nash asymétriques : Le problème de la co-sélection forte ; coordination et

compatibilité cohabitent

2, 30, 0Boxe

1, 13, 2Ballet

BoxeBallet

2, 30, 0Boxe

1, 13, 2Ballet

BoxeBallet

Elle

Lui

Elle

Lui Lui

Ballet

BalletBallet

Boxe

BoxeBoxe

(3, 2) (1, 1) (0, 0) (2, 3)

Les deux joueurs ont intérêt à un jeu séquentiel : le leader choisit un équilibre. Mais le leader a un avantage : il choisit l’équilibre qui est le meilleur pour lui.

4. Concepts fondamentaux 4.6. La poule mouillée

• Il y a deux équilibres de Nash asymétriques.

• C’est encore un problème de la co-sélection forte.

• Mais les deux équilibres sont risqués.

• Les joueurs peuvent préférer le choix (Renoncé, Renoncé) dont le montant global est supérieur à toutes les autres issues du jeu.

1, 1-2, 2Renonce

2, -2-4, -4Fonce

RenonceFonce

1, 1-2, 2Renonce

2, -2-4, -4Fonce

RenonceFonce

A

B

4. Concepts fondamentaux 4.6. La poule mouillée

Des équilibres de Nash asymétriques : Le problème de la co-sélection forte et risquée

A

B B

Fonce

FF

Renonce

RR

(-4, -4) (2, -2) (-2, 2) (1, 1)

1, 1-2, 2Renonce

2, -2-4, -4Fonce

RenonceFonce

1, 1-2, 2Renonce

2, -2-4, -4Fonce

RenonceFonce

A

B

Le jeu séquentiel permet la coordination du jeu. Le leader l’emporte. Seul le leader a intérêt à un jeu séquentiel.

4. Concepts fondamentaux 4.7. Le renvoi d’ascenseur

• Il y a quatre équilibres de Nash Pareto ordonnés, avec un équilibre Pareto dominant.

• Le problème naît de l’élimination possibles des stratégies faiblement dominées.

0, 01, 0Ne renvoie

pas

0, 11, 1Renvoie

Ne renvoie pas

Renvoie

0, 01, 0Ne renvoie

pas

0, 11, 1Renvoie

Ne renvoie pas

Renvoie

A

B

4. Concepts fondamentaux 4.7. Le renvoi d’ascenseur

Des équilibres de Nash Pareto ordonnés : Le problème de l’élimination des stratégies faiblement dominées

• La jeu séquentiel ne règle pas le problème. • Le leader est indifférent à son choix, comme le suiveur.

0, 01, 0Ne renvoie

pas

0, 11, 1Renvoie

Ne renvoie pas

Renvoie

0, 01, 0Ne renvoie

pas

0, 11, 1Renvoie

Ne renvoie pas

Renvoie

A

B

A

B B

Renvoie

RR

Ne renvoie pas

NrpNrp

(1, 1) (0, 1) (1, 0) (0, 0)

4. Concepts fondamentaux – 4.1. Le dilemme du prisonnier.

• Équilibre de Nash unique Pareto dominé : problème de coopération

– 4.2. le choix du conducteur. • Équilibre de Nash multiples identiques et symétriques : problème de

coordination

– 4.3. D Day. • Absence d’équilibre de Nash : problème de compatibilité (conflit pur)

– 4.4. La chasse au cerf. • Équilibres de Nash multiples, un est Pareto dominant et risque dominé :

problème de la main tremblante

– 4.5. Bataille des sexes. • Équilibres de Nash asymétriques : problème de co-sélection fort,

coordination et compatibilité.

– 4.6. La poule mouillée. • Équilibres de Nash asymétriques : problème de co-sélection fort et

risqué.

– 4.7. Renvoyer l’ascenseur. • Équilibres de Nash Pareto ordonnés : problème d’élimination des

stratégies faiblement dominées








stratégique

Notions à connaître• Arbre de jeu • Bataille des sexes • Chasse au cerf• Coordination • Dilemme du prisonnier• Equilibre de Nash• Interaction stratégique• Matrice de jeu • Méta jeu• Minimax • Stratégie dominée• Stratégie mixte• Pareto dominé

Plan détaillé du cours • Introduction : qu’est-ce que la théorie des jeux et pourquoi est-il intéressant de la connaître ?

• 1. Où l’on racontera des histoires afin d’identifier des situations stratégiques intéressantes– 1.1. Le dilemme du prisonnier– 1.2. le choix du conducteur– 1.3. D Day– 1.4. La chasse au cerf– 1.5. Bataille des sexes– 1.6. La poule mouillée – 1.7. Renvoyer l’ascenseur

• 2. Où l’on dessinera des arbres et des matrices afin de formaliser les jeux et de préciser les règles– 2.1. Les règles du jeu : ordre de décision, information, gains, objectifs – 2.2. Approche intuitive du méta jeu : les règles comme enjeu stratégique– 2.3. Formalisation matricielle des Fables : du dilemme du prisonnier à l’ascenseur – 2.4. Formalisation en arborescente des Fables : du dilemme du prisonnier à l’ascenseur – 2.5. Approche intuitive de jeu répété : répétition finie et infinie. – 2.6. Approche intuitive de jeux multiples : l’idée de stratégie mixte

• 3. Où l’on définira et trouvera des équilibres afin d’identifier des comportements stratégiques rationnels– 3.1. Élimination des stratégies dominées– 3.2. Équilibre de Nash des jeux simultanés– 3.3. Perfection en sous jeu des jeux séquentiels et crédibilité des menaces– 3.4. Équilibre en stratégie mixte (approche intuitive)

• 4. Où l’on généralisera les histoires afin de définir des concepts fondamentaux d’interactions stratégiques– 4.1. Le dilemme du prisonnier. Équilibre de Nash unique Pareto dominé : problème de coopération– 4.2. le choix du conducteur. Équilibre de Nash multiples identiques et symétriques : problème de coordination – 4.3. D Day. Absence d’équilibre de Nash : problème de compatibilité (conflit pur) – 4.4. La chasse au cerf. Équilibres de Nash multiples, un est Pareto dominant et risque dominé : problème de la main tremblante – 4.5. Bataille des sexes. Équilibres de Nash asymétriques : problème de co-sélection fort, coordination et compatibilité. – 4.6. La poule mouillée. Équilibres de Nash asymétriques : problème de co-sélection fort et risqué. – 4.7. Renvoyer l’ascenseur. Équilibres de Nash Pareto ordonnés : problème d’élimination des stratégies faiblement dominées

• Conclusion : vers une compréhension de la concurrence et du management stratégique par la théorie des jeux

Bibliographie• Il existe de nombreux textes excellents couvrant la théorie

des jeux (en langue anglaise). Parmi les non techniques :

– Dixit A., Nalbuff B., Thinking Strategically, The Competitive Edge in Business, Politics, and Everyday Life, Norton, 1991.

– Le plus simple et le plus amusant.

– Gibbons R., Game Theory for Applied Economists, Princeton University Press, 1992.

– Appliqué à l’économie.

– Rasmusen E., Games and Information: An Introduction to Game Theory, 2° ed., Cambridge, Blackwell, 1994.

– Contenant beaucoup de choses sur l’information et les incitations.

– Gintis H., Game Theory Evolving, A Problem-Centered Introduction to Modeling Strategic Interaction, Princeton University Press, 2000.

– Plus « hétérodoxe », le plus utilisé en cours et en TD de GI.

Documents

ENSGI – 1° année 2005-2006 Décision Individuelle et Comportement Collectif 1 – Stratégie pure Céline Jullien et Bernard Ruffieux