24
E.N.S.I.L Deuxième Année ELT 1 EXERCICE TRAITEMENT DU SIGNAL (FILTRAGE) 1- Nous devons concevoir un filtre pour séparer le signal audio du signal ADSL. Supposons que le signal audio est un signal passe bas limité jusqu'à 3200 Hz et que le spectre du signal ADSL commence à partir de 20 kHz. Nous tolérons une atténuation maximale de 1 dB pour le signal audio et souhaitons avoir une atténuation minimale de 50 dB sur le signal ADSL. Donner le H(p) du filtre à réaliser pour les cas suivant : Filtre Butterworth - Calculer le n (3,5) - Tracer le gabarit du filtre prototype - Donner le Hp(P) du filtre prototype - Dénormaliser pour obtenir H(p) - Donner le circuit LC du filtre pour les résistances de source et de charge égale à 50 ohm. Filtre Chebyshev - Calculer le n (2,83) - Tracer le gabarit du filtre prototype - Donner le Hp(P) du filtre prototype - Dénormaliser pour obtenir H(p) - Donner le circuit LC du filtre pour les résistances de source et de charge égale à 50 ohm. Solution Filtre Butterworth : n=3,5 => 4 A l’aide de la table, le résultat suivant est obtenue : A p (p) = p 4 + 2,613p 3 + 3,414p 2 + 2,613p + 1 A(p) = A p (p) avec p = = 4,2*10 -5 p ε = = 0,509 => ε 1/4 = 0,84 A(p) = (4,2*10 -5 ) 4 p 4 + 2,613*(4,2*10 -5 ) 3 p 3 + 3,414(4,2*10 -5 ) 2 p 2 + 2,613(4,2*10 - 5)p + 1 Filtre de Chebyshev : Amin = 50, Amax = 1, p =1, a = = 6,25 n=2,83 => 3

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1

EEXXEERRCCIICCEE

TTRRAAIITTEEMMEENNTT DDUU SSIIGGNNAALL ((FFIILLTTRRAAGGEE))

1- Nous devons concevoir un filtre pour séparer le signal audio du signal ADSL. Supposons que le signal audio

est un signal passe bas limité jusqu'à 3200 Hz et que le spectre du signal ADSL commence à partir de 20 kHz. Nous tolérons une atténuation maximale de 1 dB pour le signal audio et souhaitons avoir une atténuation minimale de 50 dB sur le signal ADSL. Donner le H(p) du filtre à réaliser pour les cas suivant : Filtre Butterworth - Calculer le n (3,5) - Tracer le gabarit du filtre prototype - Donner le Hp(P) du filtre prototype - Dénormaliser pour obtenir H(p) - Donner le circuit LC du filtre pour les résistances de source et de charge égale à 50 ohm. Filtre Chebyshev - Calculer le n (2,83) - Tracer le gabarit du filtre prototype - Donner le Hp(P) du filtre prototype - Dénormaliser pour obtenir H(p) - Donner le circuit LC du filtre pour les résistances de source et de charge égale à 50 ohm.

Solution

Filtre Butterworth : n=3,5 => 4

A l’aide de la table, le résultat suivant est obtenue : Ap(p) = p4 + 2,613p3 + 3,414p2 + 2,613p + 1

A(p) = Ap(p) avec p = = 4,2*10-5p

Où ε = = 0,509 => ε1/4 = 0,84

A(p) = (4,2*10-5)4p4 + 2,613*(4,2*10-5)3p3 + 3,414(4,2*10-5)2p2 + 2,613(4,2*10-5)p + 1

Filtre de Chebyshev :

Amin = 50, Amax = 1, Ωp =1, Ωa = = 6,25 n=2,83 => 3

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2

AdB

1

6,25

50

Ω =

ε = 1 dB => table : A(p) = 2n-1 ε (p3 + 0,988p2 + 1,238p + 0,491) H(p) = Hp(p) où p= =

A(p) = 0,25*10-12p3 + 0,5*10-8p2 + 0,125*10-3p + 1

2- Nous allons concevoir un filtre Chebyshev inversé avec les paramètres suivants :

N=2, Ωa=2, Ωp=1, ε=1 Donnez le H(p)

3- Nous avons un signal électrique qui contrôle la sortie d'une source ultrason. Ce signal est contaminé par un bruit 50 Hz qui se trouve dans l'environnement du travail. Il nous faut donc un filtre coupe bande afin d'éliminer cette interférence indésirable. Il nous faut donc au moins 19 dB d'atténuation autours de 50 Hz avec une largeur de bande coupée de 10 Hz (45-55). Ensuite, dans les bandes passantes, il ne faut pas plus de 2 dB d'atténuation pour les fréquences inférieures à 35 et supérieur à 100 Hz.

• Tracer le gabarit du filtre désiré.

• Transformer ce gabarit en gabarit d'un filtre prototype

• Calculer l'ordre du filtre pour une approximation Butterworth

• Utilisant le tableau donné en cours, donner la fonction de transfert du filtre prototype

• Dénormaliser cette fonction de transfert pour obtenir la fonction de transfert du filtre réel

• Identifier les éléments du circuit ci-dessous pour réaliser le filtre passe bas prototype

• Transformer ce filtre en filtre équivalent coupe-bande réel. 4- Calculer la fonction de transfert des circuits ci-dessous :

R=50

L

C Vin Vout

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3

Utilisant ces circuits, donner le circuit réalisant les fonctions ci-dessous :

a

ppH

+=

1

1)( et

21

1)(

bpappH

++=

5- Utilisant la méthode à base d’intégrateurs, donner le circuit actif qui synthétise la fonction de transfert ci-

dessous : 2

2

2 2( )

3 5

p pH p

p p

+ +=+ −

6- Ci-contre le diagramme des pôles et des zéros du filtre

20 1 2

3 20 1 2 3

( )a p a p a

H pb p b p b p b

+ +=

+ + + est donné. Quel est le type de ce filtre (passe

bas, passe haut, passe bande, …) ? Justifier. Quelle est la phase pour f = infinie ? Justifier. 7- Un filtre passe haut est à concevoir. Le gabarit de ce filtre est donné sur la figure ci-dessous.

a- Normalisez ce gabarit pour obtenir un filtre passe bas prototype. Donner le gabarit du filtre prototype. b- Nous voulons implanter ce filtre par la méthode Butterworth. Quel sera l'ordre de ce filtre ? c- Où se trouvent les pôles de la fonction de transfert résultant ? d- Utilisant le tableau, quelle est la fonction de transfert H(p) de ce filtre prototype ? e- Dénormalisez le filtre et calculez la fonction de transfert du filtre passe haut réel.

R1

R2

C

V1

V2 Vout

R1

R1

R2

V1

V2 Vout

σ

2 ×

×

×

f(Hz)

A(j ω)|dB

1 dB

20 dB

500 1500

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4

échantillonner CAN

FILTRE numérique

CNA bloquer

e(t) e(n) s(n) s(t)

fe

Filtre anti repliement

Enlève toutes les composantes spectrales >= à Fe/2

8- (Problème posé à l'examen de l'année 2002-2003) Supposons H(z)=1-0.5z-1 la fonction de transfert d'un filtre numérique. 1. Donner h(n) (formes mathématique et graphique). Est-ce un filtre causal ?

2. Présenter les pôles et les zéros de cette fonction sur le plan Z. En déduire, de manière qualitative, le comportement du système dans le domaine des fréquences (passe bas, passe bande, …).

3. Calculer |H(ejω)| et le tracer.

4. Retracer la même fonction de transfert si on suppose une fréquence d'échantillonnage à 10 kHz (abscisse est la fréquence réelle)

5. Afin de supprimer les bases fréquences, sur le plan Z, où est-ce que l'on doit ajouter un zéro (ou éventuellement un pôle) à cette fonction de transfert ? Donner la nouvelle fonction de transfert H(z) (il nous faut toujours un système causal). Est-ce que c'est normal que la somme des coefficients de H(z) fasse zéro ? Justifier.

6. Donner le nouveau h(n) (formes mathématique et graphique).

9- Dans le problème qui suit, nous cherchons à synthétiser un filtre numérique équivalent à un filtre analogique

passe-bas du premier ordre de constante de temps τ = 1 ms. Nous allons utiliser la méthode d'invariance

impulsionnel. I) Filtre analogique : 1) Donner l’expression de la fonction de transfert Ha(jω) = S(jω)/E(jω). Tracer le diagramme de bode de

Ha(jω). 2) Tracer la réponse impulsionnelle ha(t) de cette structure.

II) Synthèse par invariance impulsionnelle. Nous remplaçons le filtre analogique par un filtre numérique. Celui-ci est contenu dans la chaîne suivante : Nous cherchons une fonction de transfert en Z qui aura la même réponse impulsionnelle que le filtre analogique à AOP ci dessus.

C1 R1

R2 e(t)

s(t)

R1 = R2 = 1 KΩ C1 = 1 µF

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Filtre à réponse impulsionnelle finie RII. La période d’échantillonnage est Te = 1 ms. 1) Calculer le h(n) 2) Donner la TZ notée H(z) de h(n).

3) Donner H(ejωTe) et calculer H(ej0). Que constatez-vous ?

4) Est-ce qu'on pouvait utiliser la transformation de cette méthode directement sur le Ha(p)? Si la période d’échantillonnage est Te = 0,5 ms. 5) Donner la TZ notée H(z) de h(n).

6) Calculer et tracer H(ejωTe) Comment faut-il choisir Fe pour que le filtre numérique ressemble au filtre analogique ? Expliquer d’où vient la différence des fonctions de transfert entre les filtres numériques et le filtre analogique. Est-ce que le bloqueur présenté sur le schéma modifie la réponse fréquentielle du système ? Utilisation MATLAB Pour tracer le diagramme de bode sous matlab : Sys=tf(1000,[1 1000]; bode (sys); (trace le digramme de bode de 1000/(p+1000) )

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

Mag

nitu

de (

dB)

101

102

103

104

105

-90

-45

0

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

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6

fe=10000; B=1000; A=[1 1000]; [Ha,Fa]=freqs(B,A); [Bz,Az]=impinvar(B,A,fe); [Hz,Fz]=freqz(Bz,Az); plot(Fz*fe/pi/2,20*log10(abs(Hz)),'r',Fa/pi/2,20*lo g10(abs(Ha))); grid; 10- Considérer la fonction de transfert passe bas H(p) suivant :

65

6)(

2 ++=

pppH a

• Utiliser la méthode invariance impulsionnelle pour transformer ce filtre en numérique.

0 500 1000 1500 2000 2500-25

-20

-15

-10

-5

0

5

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7

3

6

2

6

3

1

2

6)(

+−+

+=

++=

pppppH a

)(6)(6)( 32 tuetueth tta

−− −=

)(6)(6)()( 32 nuTenuTenTThnh nTnTa

−− −==

1312 1

6

1

6)( −−−− −

−+−

=ze

T

ze

TzH

TT

• La méthode invariance impulsionnelle conserve la réponse impulsionnelle. Essayer de conserver la réponse

à échelon (la réponse indicielle) et calculer le H(z).

La réponse à un échelon = ( ) )(321)()( 23 tueedhts ttt

−−

∞−

−+== ∫ ττ ( ) )(321)( 23 nueens nTnT −− −+=

12131 1

3

1

2

1

1)( −−−−− −

−−

+−

=zezez

zSTT

Pour calculer H(z), on utilise la relation h(n)=s(n)-s(n-1) H(z)=S(z)(1-z-1).

12

1

13

1

1

)1(3

1

)1(21)( −−

−−

−−−

−−+=

ze

z

ze

zzH

TT

Réponse fréquentielle du filtre analogique et du filtre numérique.

11- Supposons que nous disposons d’un signal analogique que nous voulons filtrer par un filtre passe bas

numérique. On veut garder les composantes en dessous de 2 Hz (à 1 dB près) et atténuer les composantes en dessus de 4 Hz d’au moins 10 dB.

• Tracer le gabarit du filtre analogique désiré |H(jΩ| et le gabarit recherché numérique dB

jeH )( ω supposant

une fréquence d’échantillonnage égale à 10 Hz.

Réponse à un échelon Réponse impulsionnelle

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Nous procédons de la conception de ce gabarit résultant dans le domaine numérique, en repassant dans le domaine analogique.

• Transformer ce gabarit dans le domaine analogique et calculer le filtre Chebyshev analogique correspondant (Ha(p)) pour des méthodes suivantes (vous pouvez utiliser les tables pour obtenir le polynôme correspondant). Pour chaque cas, calculer le H(z) du filtre numérique. - invariance impulsionnelle - bilinéaire

• Donner la structure d’implantation du filtre obtenu par la méthode bilinéaire.

Le système devient alors le suivant :

• Quel est le rôle du filtre anti-repliement ? • Si on utilisait la méthode Kaiser pour calculer directement le filtre numérique, quel serait l’ordre du filtre. Solution : Le gabarit du filtre analogique est le suivant :

Puisqu’il y a une relation linéaire entre le système analogique et le système échantillonné, on peut

écrire 2 2 2e e

T Tf

ω ωπ π π

Ω Ω Ω= = = ⇒ = ΩΩ

. C’est à dire : 2 *2 /10 2 / 5pω π π= = , 2 *4 /10 4 / 5aω π π= =

Le gabarit numérique à satisfaire et le suivant :

Avec la méthode invariance impulsionnelle le gabarit numérique doit être transformé en analogique. Il est plus simple d’obtenir un filtre analogique prototype. Ainsi on pourra utiliser directement les tables. Pour cela, on fait

de telle sorte que Ω’p =1. 2 / 5

1p T

π′Ω = = 2 / 5T π⇒ = . Alors 4 / 5

22 / 5a

ππ

′Ω = = . Avec ces valeurs on calcule le

n : min

max

0.11

0.1

1

10 1cosh

10 1cosh /

A

A

a p

n

−−=

Ω Ω=1.86 n=2

Filtre anti repliement CAN

Filtre numérique CNA

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Utilisant la table pour le filtre de Chebyshev à 1 dB on a :

2( ) 1.098 1.103A p p p= + +

Alors : 1 2 2

1 1( )

2 ( 1.098 1.103) 1.098 1.103nH p

p p p pε−= ≈+ + + +

car max0.110 1 0.5Aε = − ≈ .

Il faut maintenant calculer H(z) sachant que 0 1

0

1

1 p T

T

p p e z−⇒− −

0 1

0 01 111

0 1

( ) ( )11a p T p T

A A TA ATH p H z

p p p p e ze z −−= + ⇒ = +− − −−

avec 2 / 5T π= .

En remplaçant, on aura : 1

1 2

0.63( )

1 0.43 0.25

zH z

z z

− −=− +

Méthode bilinéaire

Pout obtenir un filtre prototype analogique, on fixe le 1pΩ = et on calcule la valeur de T.

2tan 1

2p

p T

ωΩ = =

0.42 tan 1.45

2T

π⇒ = =

De la même manière 4.23aΩ = . Avec ces valeurs on peut calculer le n.

min

max

0.11

0.1

1

10 1cosh

10 1cosh /

A

A

a p

n

−−=

Ω Ω=1.159 2

On obtient le même H(p) :

1 2 2

1 1( )

2 ( 1.098 1.103) 1.098 1.103nH p

p p p pε−= ≈+ + + +

Cette fois ci :

1

1

1 2

2 1 1 21

0.218 0.436 0.218( ) ( )

1 0.35 0.33z

pT z

z zH z H p

z z−

− −

− − −=+

+ += =− +

Remarque : cette expression peut être obtenue avec matlab utilisant la commande : [A,B]=bilinear(1,[1 1.098 1.103],1/1.45) ; Remarque : Utilisant la commande freqz de matlab, dessiner les deux fonctions de transfert. Pourquoi le filtre résultant de la méthode invariance impulsionnelle ne respecte pas le gabarit souhaité alors que la méthode bilinéaire le respecte ?

Structure directe II

0 1 2 1 20.218, 0.436, 0.218, 0.35, 0.33b b b a a= = = = = −

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10

Le rôle du filtre anti-repliement est de supprimer les composantes fréquentielles éventuelles du signal analogique en entrée au-dessus de la fréquence fe/2. Ces fréquences ne respectant pas le critère de Shannon, allaient créer du bruit dû au recouvrement de spectre. Utilisation de la méthode Kaiser.

220log 10δ = − 0.52 10 0.31δ −⇒ = =

120log(1 ) 1δ− = − 1 0.1δ⇒ =

1 2min , 0.1 20Aδ δ δ= = ⇒ =

Utilisant la fenêtre Kaiser 0β⇒ = ⇒ Fenêtre rectangulaire

4 22

10ω π−∆ = et

20 84.18 5

2.285M

ω−= = ⇒∆

Avec Matlab : [n,wn,beta]=kaiserord( [0.4*pi 0.6*pi] , [1 0] , [0.31 0.1] , 2*pi) ; qui donnera n=5, wn=0.6, beta=0. 12- Un filtre numérique est à implanter. La fréquence d'échantillonnage est fixée à 8kHz. Idéalement, on veut

supprimer la bande fréquentielle de 1kHz à 2 kHz.

a- Tracez, pour ce filtre idéal, le module de Hd(ejω) (ω varie de -π à π).

b- Si on utilise la méthode d'échantillonnage en fréquence en prenant N points sur cette réponse idéale,

quel serait, approximativement, |H(ejω)|dB (pas de calcul, pas de formule) ? Expliquez-vous. c- Quelle procédure peut-on envisager pour augmenter l'atténuation dans la bande coupée ?

d- On veut utiliser la méthode Kaiser pour la conception de ce filtre (prenez δ=0.01, largeur de la bande de

transition pour chaque discontinuité 500 Hz). Calculez la taille du filtre ? Calculez le hd(n). Donnez l'expression de h(n).

Solution :

,Tω = Ω alors 1

12 1000 / 4

8000ω π π= = , 2

12 2000 / 2

8000ω π π= =

Si on utilise la méthode d’échantillonnage fréquentielle, on prend quelques points sur la réponse idéal et on calcule la transformé inverse de Fourier. Ce sui va nous donner un h(n). H(ejω) la TF de ce H(n), va effectivement passer par ces points mais en dehors de ces points le comportement du filtre peut dévier du filtre idéal. Pour améliorer, il faudra prendre plus de points, d’où un filtre plus long.

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11

Pour augmenter l’atténuation dans la bande coupée, on peut prendre un point dans la bande de transition qui est différent de 0 ou 1. La valeur de ce point est à optimiser pour maximiser l’atténuation dans la bande coupée. En contre partie, la bande de transition sera plus large. Voir figure ci-dessous

A=-20log10δ=40, ensuite

<≤≤−+−

>−=

210.0

5021)21(07886.0)21(5842.0

50)7.8(1102.04.0

A

AAA

AA

β alors, 3.4β = , 1

2 5008000 8

πω π∆ = = ,

835.66

2.285

AM

ω−= =

∆ M=36. La fenêtre Kaiser est connue maintenait :

[ ]

20

0

(1 [( ) / ]( ) 0

I n a aw n n M

I

β

β

− − = ≤ ≤

Il faudra juste multiplier cette fenêtre par la réponse idéale du filtre :

1( ) ( )

2j j n

d dh n H e e dπ ω ω

πω

π −= ∫ =

sin( / 4) sin( / 2)n n

n

π ππ−

Alors le h(n) est le suivant ( ) ( 18) ( )dh n h n w n= −

13- (Problème posé à l'examen de l'année 2001-2002) Nous avons à notre disposition un système à

microprocesseur qui nous permet de réaliser des filtres numériques. Nous voulons donc implanter le système suivant :

- Où faut-il ajouter un filtre anti-repliement et quel est son rôle ? Nous cherchons à satisfaire le gabarit ci-dessous :

a- Sachant que la fréquence d'échantillonnage est de 20 kHz, tracer le gabarit du filtre numérique à satisfaire b- Utilisant la méthode bilinéaire pour calculer le filtre numérique, retransformer le gabarit numérique obtenu

en gabarit analogique c- Calculer la fonction de transfert H(p) du filtre Butterworth prototype satisfaisant ce gabarit analogique d- Dénormaliser ce H(p)

CAN H(ejω) CNA idéal

X(Ω) Y(Ω)

1 dB

20 dB

f(kHz)

20log|A(j2πf)|

1 5

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12

e- Donner l'expression du filtre numérique résultant (calcul exact de H(z) n'est pas nécessaire) 14- Pour le filtre suivant, calculer H(z). 15- Pour un filtre RIF anti-symétrique de taille N, nous avons h(n)=-h(N-1-n). Quelle est la phase de ce filtre

pour 0<ω<π ? 16- Soit H(p)=0.5/(p+0.5). Transformer ce filtre analogique en filtre numérique avec les méthodes suivantes

(T=1) : • Invariance impulsionnelle • Approximation de dérivée • Bilinéaire 17- Utilisant la fenêtre Kaiser, concevoir un filtre passe bas pour satisfaire au gabarit ci-dessous (H(z)= ?) :

Prenez la fréquence d'échantillonnage égale à 16 kHz. 18- Soit un convertisseur analogique numérique idéal présenté ci-dessous : Supposant que xa(t) est limité en fréquence à 1/(2T), quelle est la relation entre Xa(Ω) et X(ejω)? 19- Soit un convertisseur numérique analogique idéal présenté ci-dessous :

z-1

z-1

b0

b1

b2 a2

a1

x(n) y(n)

3kHz 5 KHz

0.01

1+0.01 1-0.01

CAN idéal

T

xa(t) x(n)=xa(nT)

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13

Quelle est la relation entre Ya(Ω) et Y(ejω)? 20- Considérer le système ci-dessous : Quelle la fonction de transfert équivalente du système? 21- Supposons qu'en absence d'un CNA idéal le système ci-dessous est utilisé : Quelle la fonction de transfert du système ci-dessous :

22- Soit 21

21

125.075.01

21)( −−

−−

+−++=

zz

zzzH ,

- écrire l'équation aux différences, - donner structures de la réalisation de la forme directe I et II.

23- Supposons que H(z) est un filtre passe bas. Que peut-on dire de H(1/z)? Est-ce que le filtre résultant est

stable? 24- Pour la structure ci-dessous calculer la fonction de transfert. Présenter les pôles et les zéros du système

correspondant sur le plan Z.

CAN idéal

H(ejω) CNA idéal

T T

xa(t) ya(t)

x(n)= xa(nT)

y(n)

Numérique vers delta

∑∞

−∞=

−=n

T nTtnyty )()()( δ

yT(t) y(n)

Filtre passe bas idéal fc=1/(2T)

ya(t)

CNA idéal

Numérique vers delta

∑∞

−∞=

−=n

T nTtnyty )()()( δ

yT(t) y(n) ya(t)

T

h(t)

1

CAN idéal

H(ejω) CNA non

idéal

T T

xa(t) ya(t)

x(n)= xa(nT)

y(n)

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25- Calculer le module et la phase de H(ejω) de 1

1

54.01

54.0)( −

−−=

z

zzH .

Si cette fonction est réalisée par la structure ci-contre, identifier les coefficients a, b et c.

26- Pour les systèmes présentés ci-dessous :

• calculer la fonction de transfert • dessiner la structure transposée • vérifier si la fonction de transfert du système transposé est équivalente à celle du système initial

27- (examen septembre 2004)

a) Expliquer le théorème de la transposition.

b) Dessiner une structure d'implantation de la fonction de transfert

)21(1.025.01

5.01)( 21

21

1−−

−−

+−+++

−= zzzz

zzH

c) Utilisant le théorème de la transposition dessiner la structure transposée du circuit ci-dessus.

28- (Examen 2005-2006) Un filtre passe bas est souhaité avec au maximum 1 dB d'atténuation jusqu'à 3 kHz, et

au moins 40 dB d'atténuation dans la bande coupée (à partir de 4 kHz). Ce filtre va être implanté par un microprocesseur avec une fréquence d'échantillonnage à 24 kHz. Combien de multiplications par seconde sont nécessaires pour chacune des méthodes suivantes :

a- filtre RII avec la méthode invariance impulsionnelle (le filtre analogique abstrait est de type

Butterworth) (Structure directe II) b- filtre RII avec la méthode bilinéaire (le filtre analogique abstrait est de type Butterworth) (Structure

directe II) c- Filtre RIF de type Kaiser (Structure transversale et profitant de la symétrie) d- Filtre RIF avec l'approximation equi-ondulation (Structure transversale et profitant de la symétrie)

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solution Amax = 1dB ; Amin = 40dB ; ωp = 3000*2π ; ωa = 4000*2π ; k = 24 kHz a) Une transformation linéaire :

Tω = Ω , 2 3000

24000 4p

π πω = = , 2 4000

24000 3a

π πω = =

La méthode invariance impulsionnelle ;

Butterworth : = 18,35 => n = 19

Ha(p) =

Transformation invariance impulsionnelle :

H(Z) =

Directe II : 19*2=38 multiplications par d’échantillons en sortie 38*fe=38*24000=912000 mult/sec b) On calcule le gabarit du filtre analogique abstrait :

T=1 => Ω = => Ωa = = = 1,1547

Ωp = = = 0,8284

nc = 15,9 => nc = 16

H(p) = => H(Z) = H(p) où p=2

H(Z) =

Directe II : 17 + 16=33 multiplications par d’échantillons en sortie 33*fe=38*24000=792000 mult/sec

c) Filtre kaiser :

-20log(1- δ1) = Amin => δ1 = 1-10-1/20 = 1-0,89 = 0,11

-20logδ2 = 40 => δ2 = 0,01 ; ∆ = min(δ1, δ2) = 0,01 => A=40

M =

H(Z) = h0 + h1Z-1 + … + h54Z

-54 Filtre à phase linéaire : il faut 54/2 + 1 = 27 + 1 = 28 mult/éch

28*24000 = 672000 mult/sec

d) Filtre equi-ondulation

N =

Filtre à phase linéaire : 32/2 + 1 = 17 mult/éch 17*24000 = 408000 mult/sec

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29- (Examen 2005- 2006) Le comportement fréquentiel idéal d'un filtre analogique est présenté sur la figure. On nous a donné un H(P) qui présente approximativement le même comportement fréquentiel. On remplace P

par 1

1

1P 20

1

z

z

−=+

pour obtenir un H(z). Tracez H(ejω) entre (-π,π).

30- La fonction de transfert d’un filtre Bessel d’ordre 3, donnant un retard de T0=1 sec, est la suivante :

3 20 0 0

15( )

( ) 6( ) 15( ) 15H p

T p T p T p=

+ + +

Si on trace ( )H jω , on constate que c’est un filtre passe bas avec 3 1.75dBω− ≃ . On souhaite utiliser un filtre de

Bessel d’ordre 3 mais avec 3 3000dBf− = kHz. Quelle est la fonction de transfert correspondant ? Quel sera le

retard de ce filtre ? Le circuit correspondant à la fonction de transfert ci-dessus est le suivant :

Donner le circuit correspondant pour des charges 50 ohm.. Solution : C’est une transformation passe-bas passe-bas 3 1.75dBω− ≃ doit être transformé en 2 3000π . Alors

2 300010771

1.75r

πω ×= =

1 3 2/0 0 0

15( ) ( )

6 15 1510771 10771 10771

rp pH p H p

T p T p T pω=

= = + + +

Où 0 1T = . Le délai de groupe devient 1

92.810771g µsτ = = .

Le circuit est le suivant :

|H(jΩ)|

Ω 2 5 6

1 0.8

0.5

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1

1.255 12.33

10771 50c µF= × = , 1

0.192 10.357

10771 50c µF= × = ,

0.553 12.57

10771 50L mH= × =

31- Utilisant des intégrateurs, synthétiser la fonction de transfert ci-dessous :

2

2

2 2( )

3 5

p pH p

p p

+ +=+ −

Solution : On vérifie d’abord si les pôles sont sur le demi-plan gauche (stabilité). Puis :

2 2

2 2

2 2 1 2 / 2 /( )

3 5 1 3 / 5 /

Y p p P PH p

X p p p P

+ + + += = =+ − + −

On peut donc écrire : [ ]1 12 3 2 5Y X X Y X Y

p p

= + − + +

. On prend

[ ]12 5U X Y

p= + et 1

2 3W X Y Up

= − + , et Y X W= + .

Avec ce circuit, on a 1 2

1out

X YV

Cp R R

= − +

. Si on prend C=100µF, R1=5 k et R2=2 k, on obtiendra Vout=-U.

On peut aussi construire W : 12 3W X Y U

p= − +

Avec R1=5k, R2=3.33 k et R3=10 k. Pour construire Y, on aura donc

On pourra donc connecter tous les signaux manquants.

V in 50

50 L

C1 C2

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Corrigé

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Diagramme pôle et zéro

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Filtre passe haut

SimulationElectronics workbench

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