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Equation cartésienne d’un plan – Géométrie dans l’espace – Exercices corrigés
© SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée)
1
Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour un accès direct)
Exercice 1 : vecteur normal à un plan
Exercice 2 : équation cartésienne d’un plan défini par un vecteur normal et un point du plan
Exercice 3 : vecteurs coplanaires
Exercice 4 : vecteurs directeurs non colinéaires d’un plan
Exercice 5 : équation cartésienne d’un plan défini par deux vecteurs directeurs et un point du plan
Exercice 6 : équation cartésienne d’un plan défini par trois points non alignés du plan
Exercice 7 : équation cartésienne d’un plan défini par un plan parallèle et un point du plan
Exercice 8 : plans orthogonaux
Exercice 9 : équation cartésienne du plan médiateur d’un segment
Exercice 10 : droite d’intersection de 2 plans et représentation paramétrique de la droite d’intersection
Exercice 11 : point d’intersection de 3 plans et coordonnées du point d’intersection
Exercice 12 : distance d’un point à un plan
Exercice 13 : représentation paramétrique d’un plan connaissant une équation cartésienne de ce plan
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Equation cartésienne d’un plan – Géométrie dans l’espace
Exercices corrigés
Equation cartésienne d’un plan – Géométrie dans l’espace – Exercices corrigés
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2
On munit l’espace d’un repère ( ). Les questions suivantes sont indépendantes.
1) On considère le plan ( ) d’équation cartésienne . Donner un vecteur normal à ( )
et un point de ( ).
2) Donner une équation cartésienne des plans ( ), ( ) et ( ) et un vecteur normal à chacun de ces
trois plans.
3) On considère le plan ( ) d’équation cartésienne . Le vecteur (
) est-il un
vecteur normal au plan ( ) ?
1) Donner un vecteur normal à ( ) et un point de ( ).
Rappel : Vecteur normal à un plan et équation cartésienne d’un plan
Dire qu’un vecteur non nul est normal à un plan signifie que toute droite de vecteur directeur est orthogonale à ce plan.
L’ensemble des points ( ) de l’espace qui vérifient l’équation cartésienne (où
, , désignent des réels non tous nuls et un réel) est un plan de vecteur normal ( ).
Réciproquement, si un plan a pour vecteur normal ( ), alors ce plan a une équation cartésienne de la forme
(où , , désignent des réels non tous nuls et un réel).
Une équation cartésienne du plan ( ) est , c’est-à-dire ( ) . Il vient
que le vecteur (
) est un vecteur normal au plan.
Remarque : Tout vecteur non nul colinéaire à est un vecteur normal à ( ). C’est le cas par exemple du
vecteur (√
√
√
). Il existe une infinité de vecteurs normaux au plan ( ).
En outre, on sait que tout point dont les coordonnées vérifient l’équation du plan ( ) appartient à ( ). Or,
donc le point de coordonnées ( ) appartient au plan ( ).
Remarque : Il existe une infinité de points appartenant au plan ( ). C’est le cas par exemple des points de
coordonnées respectives ( ) et ( ) puisque et .
Exercice 1 (3 questions) Niveau : facile
Correction de l’exercice 1 Retour au menu
Equation cartésienne d’un plan – Géométrie dans l’espace – Exercices corrigés
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3
2) Donnons une équation cartésienne des plans ( ), ( ) et ( ) et un vecteur normal à chacun de
ces trois plans.
Une équation cartésienne du plan ( ) est . Un vecteur normal à ce plan est donc le vecteur ( ).
Une équation cartésienne du plan ( ) est . Un vecteur normal à ce plan est donc le vecteur ( ).
Une équation cartésienne du plan ( ) est . Un vecteur normal à ce plan est donc le vecteur ( ).
3) Vérifions si le vecteur (
) est un vecteur normal au plan ( ).
Une équation cartésienne du plan ( ) est , c’est-à-dire ( ) donc
un vecteur normal au plan est le vecteur (
).
(
) est un vecteur normal au plan ( ) si et seulement s’il est colinéaire au vecteur (
).
Or, , et donc les vecteurs et ne sont pas colinéaires. Il vient donc que
(
) n’est pas un vecteur normal au plan ( ).
Equation cartésienne d’un plan – Géométrie dans l’espace – Exercices corrigés
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4
On munit l’espace d’un repère ( ). Donner une équation cartésienne du plan ( ) passant par
( ) et dont un vecteur normal est (
).
(
) est un vecteur normal au plan ( ) donc une équation cartésienne de ( ) est ( )
où est un réel qu’il reste à déterminer. On a donc provisoirement .
En outre, ( ) appartient au plan ( ) donc ses coordonnées vérifient l’équation de ( ). Par
conséquent, .
Or, ( ) .
Finalement, une équation cartésienne de ( ) est .
Exercice 2 (1 question) Niveau : facile
Correction de l’exercice 2 Retour au menu
Equation cartésienne d’un plan – Géométrie dans l’espace – Exercices corrigés
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5
On munit l’espace d’un repère ( ). Pour quelle(s) valeur(s) du réel , les vecteurs (
), ( ) et
( ) sont-ils coplanaires ?
Rappel : Vecteurs coplanaires
Soient , et trois vecteurs de l’espace. , et sont des vecteurs coplanaires si et seulement si :
et ne sont pas colinéaires
il existe des réels et non tous nuls tels que
Les vecteurs (
), ( ) et (
) sont coplanaires si et seulement s’il existe un couple de réels non tous
nuls ( ) tels que (par exemple).
Or, pour tous réels , et , on a :
{
{
{
( )
( ) {
{
{
{
( )
( )
( )
{
( )
( )
( ) {
( ) ( )
{
{
Soit le trinôme du second degré d’inconnue et soit le discriminant de ce trinôme. Alors
( ) . Comme , le trinôme admet deux racines réelles distinctes :
( ) √
√
( ) √
√
Exercice 3 (1 question) Niveau : moyen
Correction de l’exercice 3 Retour au menu
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6
{
√
{
√
{
√
( √
)
( ( √
))
{
√
( √
)
( ( √
))
{
√
√
√
{
√
√
√
{
√
√
√
{
√
√
√
{
√
√
√
{
√
√
√
Autrement dit, les vecteurs , et sont coplanaires si et seulement si √
ou
√
.
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7
On munit l’espace d’un repère orthonormal ( ). On considère les points ( ), ( ) et
( ).
1) Montrer que les points , et définissent un plan.
2) Soit ( ) un vecteur du plan. Déterminer les réels , et pour que soit un vecteur normal au plan
( ).
1) Montrons que les points , et définissent un plan.
D’une part, (
), c’est-à-dire (
). D’autre part, (
), c’est-à-dire (
).
Or,
,
et
. Comme , les triplets ( ) et
( ) ne sont pas proportionnels. Autrement dit, les coordonnées des vecteurs et ne sont pas
proportionnelles. Par conséquent, les vecteurs et ne sont pas colinéaires. Il vient que les points , et
ne sont pas alignés et qu’ils définissent un plan ( ).
2) Déterminons les réels , et non tous nuls pour que ( ) soit un vecteur normal au plan ( ).
Rappel : Produit scalaire et orthogonalité dans l’espace
Dire qu’un vecteur (
) et qu’un vecteur (
) sont orthogonaux équivaut à dire que leur produit scalaire
est nul. Dans un repère orthonormal de l’espace, (
) et (
) sont orthogonaux si et seulement si
.
D’après ce qui précède, (
) et (
) ne sont pas colinéaires ; ils sont donc des vecteurs directeurs du
plan ( ). Ainsi, ( ) est un vecteur normal au plan ( ) si et seulement si et .
( )
( ) ( )
Exercice 4 (2 questions) Niveau : facile
Correction de l’exercice 4 Retour au menu
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8
( ) est donc un vecteur normal au plan ( ) si et seulement si {
.
Or, {
( )
( ) {
( )
( ) {
( )
( )
{
( )
( ) {
{
Ainsi, le vecteur (
) est un vecteur normal au plan ( ) (où désigne un réel non nul). Notons qu’il
existe une infinité de vecteurs normaux au plan ( ) comme, en particulier, le vecteur ( ) (cas où ) ou
le vecteur (
) (cas où ).
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9
On munit l’espace d’un repère ( ). Donner une équation cartésienne du plan ( ) passant par
( ) et dirigé par les vecteurs ( ) et (
).
Notons ( ) un vecteur normal au plan ( ). D’après l’énoncé, les vecteurs (
) et (
) sont deux
vecteurs directeurs du plan ( ). Or, et ne sont pas colinéaires donc et .
( )
est donc un vecteur normal au plan ( ) si et seulement si {
Or, {
{
( )
{
{
{
Ainsi, en posant par exemple , et
.
Par conséquent, (
) est un vecteur normal au plan ( ). Il vient que où est un
réel qu’il reste à déterminer.
Or, ( ) est un point du plan ( ) donc ses coordonnées vérifient l’équation de ( ).
Ainsi,
Finalement, est une équation cartésienne du plan ( ).
Exercice 5 (1 question) Niveau : moyen
Correction de l’exercice 5 Retour au menu
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10
On munit l’espace d’un repère ( ). Donner une équation cartésienne du plan passant par les points
( ), ( ) et ( ).
Tout d’abord, vérifions que les points ( ), ( ) et ( ) définissent bien un plan.
D’une part, (
) et, d’autre part, (
). Il n’existe pas de réel unique non nul tel que
donc les vecteurs et ne sont pas colinéaires. Par conséquent, les points , et ne sont pas alignés et
définissent un plan ( ).
1ère
méthode :
Notons ( ) un vecteur normal au plan ( ). Comme (
) et (
) sont deux vecteurs directeurs
non colinéaires du plan ( ), et .
est donc un vecteur normal au plan ( ) si et seulement si {
Or, {
{
( ) {
{
{
{ (
)
{
{
Ainsi, en posant par exemple , alors et .
Par conséquent, (
) est un vecteur normal au plan ( ). Il vient que où est un
réel à déterminer.
Or, ( ) est un point du plan ( ) donc ses coordonnées vérifient l’équation de ( ).
Ainsi,
Finalement, est une équation cartésienne du plan ( ).
Exercice 6 (1 question) Niveau : moyen
Correction de l’exercice 6 Retour au menu
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11
2ème
méthode :
Une équation du plan ( ) est (où , , désignent des réels non tous nuls et un
réel).
Or, ( ) est un point du plan ( ) donc ses coordonnées vérifient l’équation de ( ). Ainsi,
, c’est-à-dire .
De même, ( ) est un point du plan ( ) donc ses coordonnées vérifient l’équation de ( ).
Ainsi, ( ) ( ) , c’est-à-dire .
Enfin, ( ) est un point du plan ( ) donc ses coordonnées vérifient également l’équation de
( ). Ainsi, ( ) ( ) , c’est-à-dire .
Il convient donc de résoudre le système {
.
{
{
( ) ( )
{
{
{
( )
{
{
{
{
(
)
(
)
{
{
{
Ainsi, en posant par exemple , alors , et .
Finalement, est une équation cartésienne du plan ( ).
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12
On munit l’espace d’un repère ( ). Donner une équation cartésienne du plan ( ) passant par le point
( ) et parallèle au plan ( ) d’équation cartésienne .
Rappel : Parallélisme de plans et vecteurs normaux colinéaires
Soient les plans ( ) et ( ) de vecteurs normaux respectifs ( ) et (
).
Point de vue géométrique : Les plans ( ) et ( ) sont parallèles (c’est-à-dire confondus ou strictement
parallèles) si et seulement si et sont colinéaires.
Point de vue analytique : Les plans ( ) et ( ) sont parallèles (c’est-à-dire confondus ou strictement
parallèles) si et seulement si les triplets ( ) et ( ) sont proportionnels.
Remarque : Dans le cas où les plans ( ) et ( ) sont parallèles, si le point ( ) appartient à ( )
mais n’appartient pas à ( ), alors ils sont strictement parallèles. Dans le cas contraire, ils sont confondus.
Une équation cartésienne du plan ( ) est . Ainsi, le vecteur (
) est un vecteur normal
au plan ( ).
Comme ( ) et ( ) sont deux plans parallèles, un vecteur normal de ( ) est colinéaire à un vecteur normal de
( ). En particulier, (
) est un vecteur normal au plan ( ). Par conséquent, une équation du plan ( ) est
où est un réel à déterminer.
Or, comme le point ( ) appartient au plan ( ), ses coordonnées en vérifient l’équation. Par
conséquent, ( ) , d’où .
Finalement, est une équation cartésienne du plan ( ).
Exercice 7 (1 question) Niveau : facile
Correction de l’exercice 7 Retour au menu
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13
On munit l’espace d’un repère orthonormé ( ). On considère les plans ( ) et ( ) d’équations
respectives et .
1) Montrer que les plans ( ) et ( ) sont sécants.
2) Montrer que les plans ( ) et ( ) sont orthogonaux.
1) Montrons que les plans ( ) et ( ) sont sécants.
Rappel : Vecteurs normaux non colinéaires et intersection de plans
Soient les plans ( ) et ( ) de vecteurs normaux respectifs ( ) et (
).
Point de vue géométrique : Les plans ( ) et ( ) sont sécants si et seulement si et ne sont pas
colinéaires. L’intersection des plans ( ) et ( ) est une droite.
Point de vue analytique : Les plans ( ) et ( ) sont sécants si et seulement si les triplets ( ) et
( ) ne sont pas proportionnels. L’intersection des plans ( ) et ( ) est une droite.
D’une part, le plan ( ) a pour équation , donc le vecteur (
) est un vecteur normal à
( ). D’autre part, le plan ( ) a pour équation , donc le vecteur (
) est un
vecteur normal au plan ( ).
Or,
et
. Comme , les triplets ( ) et ( ) ne sont pas
proportionnels. Autrement dit, les vecteurs et ne sont pas colinéaires.
Il vient que les plans ( ) et ( ) sont sécants selon une droite ( ).
2) Montrons que les plans ( ) et ( ) sont orthogonaux.
D’après ce qui précède, (
) est un vecteur normal au plan ( ) et (
) est un vecteur normal au plan
( ). Or, ( ) ( ) donc les vecteurs et sont orthogonaux.
Il résulte que les plans ( ) et ( ) sont orthogonaux.
Exercice 8 (2 questions) Niveau : facile
Correction de l’exercice 8 Retour au menu
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14
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé ( ), on place les points ( ) et ( ).
1) Donner les coordonnées du point , milieu du segment [ ].
2) En déduire, à l’aide d’un produit scalaire, une équation cartésienne du plan médiateur du segment [ ].
3) Proposer une autre méthode permettant de donner une équation cartésienne du plan médiateur de [ ].
1) Précisons les coordonnées du point , milieu du segment [ ].
Les points et ont pour coordonnées respectives ( ) et ( ) donc a pour coordonnées
( ) telles que :
Finalement, ( ) est le milieu du segment [ ].
2) Déduisons-en une équation cartésienne du plan médiateur du segment [ ]. Notons ( ) ce plan.
Rappel : Plan médiateur d’un segment
Soient et deux points distincts de l'espace et le milieu du segment [ ].
On appelle plan médiateur du segment [ ] le plan perpendiculaire à ( ) passant par .
Le plan médiateur du segment [ ] est le plan perpendiculaire au segment [ ] et passant en son milieu.
Ainsi, ( ) ( ) .
Or, ( ) d’une part et (
) d’autre part.
Par conséquent, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Une équation cartésienne du plan médiateur du segment [ ] est .
3) Retrouvons ce résultat par une autre méthode.
Rappel : Plan médiateur d’un segment
Le plan médiateur d’un segment [ ] est l'ensemble des points de l'espace équidistants de et de .
Exercice 9 (3 questions) Niveau : moyen
Correction de l’exercice 9 Retour au menu
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15
Le plan médiateur du segment [ ] est l’ensemble des points de l’espace équidistants des points et . Ainsi,
( ) ( ) (car et désignent deux distances).
Or, d’une part, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
.
Et, d’autre part, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
.
Par conséquent, ( ) ( )
Une équation cartésienne du plan médiateur du segment [ ] est .
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16
L’espace est muni d’un repère ( ).
On considère les plans ( ) et ( ) d’équations respectives et .
1) Montrer que les plans ( ) et ( ) sont sécants selon une droite ( ).
2) Donner une représentation paramétrique de la droite ( ), droite d’intersection des plans ( ) et ( ).
3) En déduire un vecteur directeur et un point de la droite ( ).
4) Montrer que la droite ( ) est contenue dans le plan d’équation cartésienne .
1) Montrons que les plans ( ) et ( ) sont sécants selon une droite ( ).
D’une part, le plan ( ) a pour équation , donc le vecteur (
) est un vecteur normal au
plan ( ). D’autre part, le plan ( ) a pour équation , donc le vecteur (
) est un
vecteur normal au plan ( ).
Or,
,
(et
). Comme , les triplets ( ) et ( ) ne sont pas
proportionnels. Autrement dit, les vecteurs et ne sont pas colinéaires.
Il vient que les plans ( ) et ( ) sont sécants selon une droite ( ). On note alors ( ) ( ) ( ).
2) Donnons une représentation paramétrique de la droite ( ), droite d’intersection des plans ( ) et ( ).
( ) ( ) ( ) {
{
( ) {
{
{
{ (
)
{
{
{
( ). Finalement, une représentation paramétrique de la droite d’intersection des
plans ( ) et ( ) est {
( ).
Exercice 10 (4 questions) Niveau : moyen
Correction de l’exercice 10 Retour au menu
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17
3) Donnons un vecteur directeur de la droite ( ) et précisons les coordonnées d’un point de ( ).
Rappel : Représentation paramétrique d’une droite
On munit l’espace d’un repère ( ). Soit ( ) la droite passant par le point ( ) et admettant
le vecteur (
) pour vecteur directeur.
Dire qu’un point ( ) appartient à ( ) équivaut à dire qu’il existe un réel tel que .
Autrement dit, ( ) ( ) {
( ). Ce système est appelé représentation
paramétrique de la droite ( ).
Remarques :
On note aussi ( ) la droite ( ). A chaque valeur du paramètre correspond un point et réciproquement. Une droite admet une infinité de représentations paramétriques.
D’après la question précédente, une représentation paramétrique de ( ) est {
( ). Autrement dit,
une représentation paramétrique de ( ) est {
( ). Par conséquent, il vient que le vecteur
(
) est un vecteur directeur de ( ). Par ailleurs, le point de coordonnées ( ) appartient à ( ).
4) Montrons que la droite ( ) est contenue dans le plan d’équation cartésienne .
D’après la question précédente, ( ) appartient à la droite ( ) si et seulement si ses coordonnées
vérifient le système d’équations paramétriques {
( ).
Pour tout point ( ) de ( ), on a : ( ) ( ) .
Par conséquent, tout point ( ) de ( ) appartient au plan d’équation .
Autrement dit, la droite ( ) est contenue dans le plan d’équation .
Equation cartésienne d’un plan – Géométrie dans l’espace – Exercices corrigés
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18
On munit l’espace d’un repère ( ). On considère les plans ( ), ( ) et ( ) d’équations cartésiennes
respectives , et . Déterminer l’intersection de ces
trois plans.
Déterminons l’intersection des plans ( ), ( ) et ( ).
( ) ( ) ( ) ( ) {
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
Finalement, l’intersection des plans ( ), ( ) et ( ) est le point de coordonnées (
).
Exercice 11 (1 question) Niveau : facile
Correction de l’exercice 11 Retour au menu
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19
L’espace est muni d’un repère orthonormé ( ). Soient les points ( ) et ( ) et soit
le vecteur (
). On désigne par ( ) la droite passant par et de vecteur directeur et par ( ) le plan
passant par et perpendiculaire à ( ).
1) Donner une représentation paramétrique de la droite ( ).
2) Donner une équation cartésienne du plan ( ).
3) Déterminer les coordonnées du point , projeté orthogonal de sur ( ).
4) En déduire la distance du point au plan ( ).
5) Retrouver le résultat de la question précédente en utilisant une autre méthode.
1) Donner une représentation paramétrique de la droite ( ).
( ) est la droite passant par ( ) et de vecteur directeur (
) donc une représentation
paramétrique de ( ) est {
( ).
2) Donnons une équation cartésienne du plan ( ).
La droite ( ) est perpendiculaire au plan ( ) donc tout vecteur directeur (non nul) de ( ) est colinéaire à tout
vecteur normal (non nul) à ( ). Or, comme est un vecteur directeur de ( ), est en particulier un vecteur
normal à ( ). Par conséquent, une équation cartésienne du plan ( ) est où est un réel
à déterminer.
Par ailleurs, ( ) est un point du plan ( ) donc ses coordonnées vérifient l’équation de ( ). Il vient
alors que ( ) , c’est-à-dire .
Finalement, une équation cartésienne du plan ( ) est .
3) Déterminons les coordonnées du point , projeté orthogonal de sur ( ).
Comme est le projeté orthogonal de sur ( ) et comme ( ) est perpendiculaire à ( ), est le point
d’intersection de la droite ( ) et du plan ( ). Autrement dit, { } ( ) ( ). Les coordonnées de vérifient
donc chacune des équations de ( ) et ( ).
( ) ( ) ( ) {
( ) {
Exercice 12 (5 questions) Niveau : moyen
Correction de l’exercice 12 Retour au menu
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20
{
( ) ( )
{
{
{
{
{
Le point , projeté orthogonal de sur ( ), a pour coordonnées (
).
4) Déduisons-en la distance du point au plan ( ). Notons ( ( )) cette distance.
Comme est le projeté orthogonal de sur ( ), ( ( )) . Or, on a :
√( ) ( ) ( ) √(
)
(
)
(
)
√(
)
(
)
(
)
√
√
√
La distance du point au plan ( ) est égale à √
.
5) Retrouvons ce résultat en utilisant une formule du cours.
Rappel : Distance d’un point à un plan
On munit l’espace d’un repère orthonormé ( ).
Soit ( ) le plan d’équation cartésienne (où , , désignent des réels non tous nuls et
un réel) et soit ( ) un point de l’espace.
La distance du point au plan ( ), notée ( ( )), est donnée par : | |
√
( ( )) | |
√( )
| ( ) |
√
| |
√
√
√
√
La distance du point au plan ( ) est égale à √
.
Equation cartésienne d’un plan – Géométrie dans l’espace – Exercices corrigés
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21
Dans l’espace muni d’un repère ( ), on considère le plan ( ) dont une équation cartésienne est
. Donner une représentation paramétrique du plan ( ).
Rappel : Représentation paramétrique d’un plan
On munit l’espace d’un repère ( ). Soit le point ( ) et soient les vecteurs non colinéaires
(
) et (
).
Dire qu’un point ( ) appartient au plan ( ) passant par et de vecteurs directeurs et équivaut à
dire qu’il existe un couple de réels et tels que .
Autrement dit, ( ) ( ) {
( ). Ce système est appelé
représentation paramétrique du plan ( ).
Remarques :
On note aussi ( ) le plan ( ).
A chaque couple de valeurs des paramètres et correspond un point et réciproquement. Un plan admet une infinité de représentations paramétriques.
Donnons une représentation paramétrique du plan ( ). Pour cela, cherchons deux vecteurs directeurs non
colinéaires de ( ) et un point de ( ).
Le plan ( ) a pour équation donc (
) est un vecteur normal à ( ). Par conséquent, les
vecteurs ( ) et (
) sont deux vecteurs directeurs non colinéaires de ( ). En effet, on a d’une part
( ) et d’autre part ( ) .
En outre, le point ( ) appartient à ( ). En effet, .
Par conséquent, pour tous réels et ,
( ) ( ) {
{
( )
Exercice 13 (1 question) Niveau : moyen
Correction de l’exercice 13 Retour au menu
Equation cartésienne d’un plan – Géométrie dans l’espace – Exercices corrigés
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22
Une représentation paramétrique du plan ( ) est {
( ).
![Cauchy biorthogonal polynomialsmath.usask.ca/~szmigiel/BGS1JAT.pdfPeakons for the Degasperis–Procesi equation. In the early 1990’s, Camassa and Holm [13] introduced the (CH) equation](https://img.pdfslide.fr/doc/110x75/5f8191a3b65bbd7e95588b7e/cauchy-biorthogonal-szmigielbgs1jatpdf-peakons-for-the-degasperisaprocesi-equation.jpg)
