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Equation différentielle Elaboré par M. NUTH Sothan

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2

I. Définition

Déf.: F(x, y, y’) = 0 (1)

où x est une variable, y est une fonction de variable x et y’ sa dérivée,

s’appelle équation différentielle du 1er ordre.

On peut résoudre par rapport y’ :y’=f(x, y) (2)

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I. Définition…

On peut écrire aussi sous forme :

Ex.:

( , )

ou ( , ) 0

ou en général ( , ) ( , ) 0

dyf x y

dxf x y dx dy

P x y dx Q x y dy

ln' , ' , ' , 0y y x

y xe y y x y xdx ydyx

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II. Solution

Considérons :y’=f(x, y) (1)

Déf.1: La solution de (1) est une fonction y = (x), x (a, b)

qui vérifie (1).

Ex.: y=x3 est une solution de3 ' 0y xy

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II. Solution…

Déf.2: La solution générale de (1) est une fonction y=(x, c), xG et c est une constant,

qui vérifie (1) et pour toute condition initiale

(x0 , y0) G, il existe uniquement c=c0 tel que la fonction y=(x, c0) implique (x0 , c0)=y0 ,

00x x

y y

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II. Solution…

Déf.3: La solution partielle de (1) est une fonction y=(x, c0), xG et c0 est une constant,

qu’on obtient de solution générale en donnant la condition initiale

Ex.: y’= 3x2 La solution générale est y=x3 + cAvec la CI y(0)=1 c = 1.La solution partielle est y=x3 + 1.

00x x

y y

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III. ED du 1er ordre à variable séparées

1. L’équation sous forme y’=f1 (x) f2 (y) (1)

où f1 (x) et f2 (y) sont continues est dites Equation Différentielle du 1er ordre à variables séparées.

Du (1), on a :

(2)

(3)

1 2 12

12

( ) ( ) ( )( )

( )( )

dy dyf x f y f x dx

dx f y

dyf x dx C

f y

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III. ED du 1er ordre à variables séparées…

2. L’équation sous forme y’=f (ax+by+c), ( b 0 ) (4)

En posant u=ax+by+c , (4) devient (1).Ex.: 1. '

12. 0

1

3. cos 0

yy

xdy y

dx xdy

y xdx

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IV. ED du 1er ordre hormogène

1. L’équation sous forme (1)

(2)Ex.1:

( , ) ( , ) 0

ou

P x y dx Q x y dy

dy yf

dx x

2 2

2 2

( ) 0 ( )

( )

y dx x xy dy i

xdy ydx x y dx ii

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IV. ED du 1er ordre hormogène…

2. L’équation sous forme (3)

1 1 1

2 2 2

'a x b y c

y fa x b y c

1 1

2 2

0a b

a b

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IV. ED du 1er ordre hormogène…

En posant x=u+, y=v+ ,et en résoudre le système

on obtient l’EDH de variable u et v .

Si =0, on pose u=ax+by , on obtient l’ED à variable séparée.

1 1 1

2 2 2

0

0

a b c

a b c

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IV. ED du 1er ordre hormogène…

Ex.2: a/

b/

c/

1 3 3'

1

x yy

x y

2 1

'2 4 3

x yy

x y

(2 4) ( 2 5) 0x y dy x y dx

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V. ED Linéaire du 1er ordre

L’équation sous forme (1)est dite EDL du 1er ordre.

Si f(x)=0 alors, (1) est hormogène, et sinon est non hormogène.

' ( ) ( )y p x y f x

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V. ED Linéaire du 1er ordre…

Méthode 1:Considérons (2)Trouvons la solution Générale Hormogène :

1

( )1

' ( ) 0 ( )

( )

ln ( ) F x

dyy p x y p x y

dxdy

p x dx Cy

y F x C y Ce

' ( ) 0y p x y

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V. ED Linéaire du 1er ordre…

Trouvons la Solution Particulière Non Hormogène :Posons SPNH.En remplaçant dans (1), on trouve C(x) et en on trouve

la Solution Générale de (1).

Méthode 2 :La Solution Générale de (1) est proposée sous forme

y=u(x)v(x).

( )( ) F xy C x e

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V. ED Linéaire du 1er ordre…

En remplaçant y=u(x)v(x), on obtient :

'( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) ( )

'( ) ( ) ( )[ '( ) ( ) ( )] ( )

'( ) ( ) ( ) 0

'( ) ( ) ( )

u x v x u x v x p x u x v x f x

u x v x u x v x p x v x f x

v x p x v x

u x v x f x

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V. ED Linéaire du 1er ordre…

Ex.: a)

b)

c)

2' 2xy y x

2'y

y xx

cos .sin 1ds

t s tdt

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VI. ED sous forme différentielle totale

L’équation sous forme : (1)est dite ED sous forme différentielle totale si

(2)

Alors, il existe u(x, y) telle que

(3)

( , ) ( , ) 0P x y dx Q x y dy

P Q

y x

u udu dx dy

x y

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VI. ED sous forme différentielle totale…

En comparant (1) et (3), on a :

Pour résoudre (1), on fait l’intégrale

Or

( , ) et ( , )u u

P x y Q x yx y

( , ) ( , ) ( )u x y P x y dx C y ( , ) ( ( , ) ) ( )

( , ) ( )

uQ x y P x y dx C y

y y

Q x y C y

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VI. ED sous forme différentielle totale…

Ex.1: a/

b/

c/

d/

2( 1) ( 3)x y dx x y dy

( ) ( 2 ) 0x y dx x y dy 2 2( 2 ) 2 0x y x dx xydy 3 2 2 2( 3 2) (3 ) 0x xy dx x y y dy

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VI. ED sous forme différentielle totale…

En cas on peut trouver (x) ou (y) qui

s’appelle facteur intégrant qui vérifie

Ex.2:a/b/c/

P Q

y x

P Q

y x

2( ) 2 0x y dx xydy (1 ) 0y xy dx xdy

( cos sin ) ( sin cos ) 0x y y y dy x y y y dx

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VII. Autre type de l’ED de 1er ordre

1. Equation de Bernoulli :

(1)

En divisant (1) par yn , on obtient

(2)

En posant z=y1-n , on obtient

(3)

( ) ( ) ndyf x y x y

dx

1

1 ( )( )

n n

dy f xx

y dx y

1( ) ( )

1

dzzf x x

n dx

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VII. Autre type de l’ED de 1er ordre…

Ex.1: a/

b/

c/

32 4dy

y ydx

2dy yxy

dx x

22 0dy

xy y xdx

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VII. Autre type de l’ED de 1er ordre…

2. Equation sous forme F(x, y, y’)=0 (4)

Si (4) est une équation de second degré par rapport y’, et si on obtient deux racines :

y’=f1 (x, y) et y’=f2 (x, y). (5)

Alors, la SG est sous forme : (x,y,C ) = 1(x,y,C ) 2(x,y,C ) = 0 (6)

En plus, il existe la solution singulière de (x,y,C ) = 0 et ’C(x,y,C ) = 0 (7)

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VII. Autre type de l’ED de 1er ordre…

Ou le résultat d’élimination y’=p de F (x,y,p ) = 0 et F’p(x,y,p ) = 0 (8)

Ex.2: xy’ 2+2xy’ – y = 0Posons: y’=p. On obtient xp2+2xp – y = 0

2

1 1x x xy y

px x

' 1 1 ' 1 1 0y y

y yx x

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VII. Autre type de l’ED de 1er ordre…

3. Equation sous forme x = (y, y’) La SG est sous forme paramètre de système :

Analogiquement, pour y = (x, y’) :La SG est sous forme paramètre de système :

1, ( , )

dpx y p

p y p dy

, ( , )dp

p y x px p dx

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VII. Autre type de l’ED de 1er ordre…

Ex.3: a/

b/

c/

d/

22' '

2

xy y xy

2 2' ' 1 0

yy y

x

24 ' 9 0y x 2' ( 1) ' 0yy xy y x

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VII. Autre type de l’ED de 1er ordre…

4. Equation de Clairaut :

(9)

Pour résoudre on pose y’=p(x), on obtient deux cas de :

(10)

a)

b)

dy dyy x f

dx dx

( '( )) 0dp

x f pdx

0 ( )dp

p C y Cx f Cdx

'( ) 0 ou ( ) ( )x f p x p y y p

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VII. Autre type de l’ED de 1er ordre…

5. Equation de Lagrange :

(11)

On peut faire la même façon comme au dessus.

Ex.4: a/

b/

3' 'y xy y

dy dyy xf

dx dx

2' 'y xy y

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VIII. Exemple

1.

2.

3.

4.

5.

6.

1' ; 0; 1

yy y x

x

' 1; 1; 1x ye y y x

' 2; 2; 0y ctgx y y x

( ' 1) 1; 0; 0ye y y x

2 22 ' 0; 0; 0xyy x y y x

2 ' ; 1; 1xy y y x

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VIII. Exemple…

7.

8.

9.

10.

11.

12.

2( 1) 0xy xy dy dx

( ' 2 ) '.a xy y xyy 2 .xdy ydx y dx

.dy

tgx y adx

2 2 2' ( ) ' 0.xyy x y y xy

2

1' .

'y xy

y