Équations de Maxwell - Wikipédia

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quations de MaxwellLes quations de Maxwell, aussi appeles quations de Maxwell-Lorentz, sont des lois fondamentales de la physique. Elles constituent les postulats de base de l'lectromagntisme, avec l'expression de la force lectromagntique de Lorentz. Ces quations traduisent sous forme locale diffrents thormes (Gauss, Ampre, Faraday) qui rgissaient l'lectromagntisme avant que Maxwell ne les runisse sous forme d'quations intgrales. Elles donnent ainsi un cadre mathmatique prcis au concept fondamental de champ introduit en physique par Faraday dans les annes 1830. Ces quations montrent notamment qu'en rgime stationnaire, les champs lectrique et magntique sont indpendants l'un de l'autre, alors qu'ils ne le sont pas en rgime variable. Dans le cas le plus gnral, il faut donc parler du champ lectromagntique, la dichotomie lectrique/magntique tant une vue de l'esprit. Cet aspect trouve sa formulation dfinitive dans le formalisme covariant prsent dans la seconde partie de cet article : le champ lectromagntique y est reprsent par un tre mathmatique unique : le tenseur lectromagntique, dont certaines composantes s'identifient celles du champ lectrique et d'autres celles du champ magntique.

Sommaire1 Principe gnral 2 Aspects historiques 2.1 L'apport de Maxwell 2.2 Les hritiers de Maxwell 3 Thorie de Maxwell-Lorentz dans le vide 3.1 quation de Maxwell-Gauss 3.1.1 L'quation locale de Maxwell 3.1.2 Le thorme de Gauss 3.2 quation de Maxwell-Thomson 3.2.1 L'quation locale de Maxwell 3.2.2 Introduction du potentiel-vecteur 3.3 quation de Maxwell-Faraday 3.3.1 L'quation locale 3.3.2 Introduction du potentiel lectrique 3.4 quation de Maxwell-Ampre 3.4.1 L'quation locale de Maxwell 3.4.2 Introduction du courant de dplacement 3.5 quation de conservation de la charge 4 Invariance de jauge de la thorie 5 Solutions des quations du champ lectromagntique. 5.1 Solutions mathmatiques des quations de Maxwell dans le vide. 5.2 Introduction des charges lectriques 5.3 Solutions physiques des quations de Maxwell. 5.4 Quantification en lectrodynamique classique. 5.5 Quelques erreurs habituelles 6 Formulation covariante 6.1 Gomtrie de l'espace-temps de Minkowski 6.2 Quadri-gradient 6.3 Quadri-potentiel 6.4 Quadri-courant 6.5 Tenseur de Maxwell 6.6 quations de Maxwell sous forme covariante 6.7 quation de propagation pour le quadri-potentiel en jauge de Lorenz 6.8 Exemple : les potentiels retards 7 quations de Maxwell-Lorentz dans les milieux matriels 8 Liens internes 9 Bibliothque virtuelle 10 Bibliographie 10.1 Cours 10.1.1 Ouvrages d'introduction 10.1.2 Ouvrages de rfrences 10.2 Aspects historiques 11 Notes et rfrences

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Principe gnralCette section, l'usage d'un public plus large, prsente chacune des quatre quations de Maxwell de manire conceptuelle et tente de donner une ide de la manire dont elles s'articulent pour expliquer l'origine de rayonnements lectromagntiques comme, par exemple, la lumire. Les quations elles-mmes sont dcrites en dtail dans les sections suivantes. L'quation de Maxwell-Gauss dcrit comment un champ lectrique est gnr par des charges lectriques : le champ lectrique est orient des charges positives vers les charges ngatives. Plus prcisment, cette loi relie le flux lectrique travers n'importe quelle surface de Gauss ferme, avec la charge lectrique de la surface. L'quation de Maxwell-Thomson nonce qu'il n'existe aucune "charge magntique" (ou monople magntique) analogue une charge lectrique. Au contraire, le champ magntique est gnr par une configuration nomme diple, qui n'a pas de charge magntique mais regroupe une charge positive et une charge ngative relies entre elles et insparables. titre d'exemple, cela permet de montrer que le flux magntique total travers n'importe quelle surface de Gauss est nul, ou que le champ magntique est un champ solnodal. L'quation de Maxwell-Faraday dcrit comment la variation d'un champ magntique peut crer (induire) un champ lectrique. Ce courant induit est utilis dans de nombreux gnrateurs lectriques: un aimant en rotation cre un champ magntique en mouvement qui gnre un champ 1 lectrique dans un fil proximit . L'quation de Maxwell-Ampre nonce que les champs magntiques peuvent tre gnrs de deux manires : par les courants lectriques (c'est le thorme d'Ampre) et par la variation d'un champ lectrique (c'est l'apport de Maxwell sur cette loi). Cette "correction" de Maxwell du thorme d'Ampre est particulirement importante : elle signifie que la variation d'un champ magntique cre un champ lectrique et que la variation d'un champ lectrique cre un champ magntique. Par consquent, ces quations permettent la circulation d'ondes lectromagntiques auto-entretenues, ou "rayonnement lectromagntique". La vitesse calcule pour les ondes lectromagntiques, qui pourrait tre prdite par des expriences sur les charges et les courants , est exactement la vitesse de la lumire. En effet, la lumire est une forme de rayonnement lectromagntique (tout comme les rayons X, les ondes radio, etc). Maxwell avait compris la relation entre le rayonnement lectromagntique et la lumire en 1864, unifiant ainsi deux domaines jusqu'ici disjoints : celui de l'lectromagntisme et celui de l'optique.2

Aspects historiquesL'apport de MaxwellVers 1865, Maxwell a ralis une synthse harmonieuse des diverses lois exprimentales dcouvertes par ses prdcesseurs (lois de l'lectrostatique, du magntisme, de l'induction...). Mais cette synthse n'a t possible que parce que Maxwell a su dpasser les travaux de ses devanciers, en introduisant dans une quation un chanon manquant , appel le courant de dplacement, dont la prsence assure la cohrence de l'difice unifi. Maxwell a d'abord publi en 1865 sa thorie sous la forme de 20 quations 20 inconnues, crit l'aide de quaternions. En 1873, dans l'ouvrage Electricity and Magnetism, Maxwell a dj rcrit sa thorie sous la forme de 8 quations. Ce n'est que plus tard qu'Heaviside rcrivit ces 3 quations sous la forme des 4 quations vectorielles aux drives partielles que l'on connait maintenant .

Les hritiers de MaxwellLa synthse de Maxwell a permis ultrieurement les deux plus grandes avances de la physique moderne : la thorie de la relativit restreinte (via le problme du rfrentiel de l'hypothtique ther). En effet, les quations de Maxwell permettent de prdire l'existence d'une onde lectromagntique, c'est--dire que la modification d'un des paramtres (densit de charge, intensit du courant...) a des rpercussions distance avec un certain retard. Or, la vitesse de ces ondes, c, calcule avec les quations de Maxwell, est gale la vitesse de la lumire mesure exprimentalement. Cela a permis de conclure que la lumire tait une onde lectromagntique. Le fait que c soit la mme dans toutes les directions et indpendante du rfrentiel, conclusion que l'on tire de ces quations, est un des fondements de la thorie de la relativit restreinte. Si l'on change de rfrentiel, le changement de coordonnes classique ne s'applique pas aux quations de Maxwell, il faut utiliser une autre transformation : la transformation de Lorentz. Einstein a tent d'appliquer les transformations de Lorentz la mcanique classique, ce qui l'a conduit la thorie de la relativit restreinte. la physique quantique. L'tude de la lumire et des ondes lectromagntiques, avec notamment les travaux de Max Planck sur le corps noir et d'Heinrich Hertz sur l'effet photo-lectrique, donna naissance la thorie quantique en 1900.


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Thorie de Maxwell-Lorentz dans le videOn prsente ci-dessous la thorie microscopique fondamentale qui donne les quations de Maxwell-Lorentz dans le vide en prsence de sources, qui peuvent tre des charges ponctuelles et/ou leurs courants lectriques microscopiques associs si ces charges sont en mouvement dans le rfrentiel d'tude. La thorie macroscopique ncessitant l'introduction des champs D et H (et les quations de Maxwell associes) est discute en dtail dans lectrodynamique des milieux continus. On note : la densit volumique de charge lectrique au point le vecteur densit de courant. le vecteur champ lectrique. le pseudo-vecteur induction magntique. la permittivit dilectrique du vide. la permabilit magntique du vide. l'instant t.

quation de Maxwell-GaussL'quation locale de Maxwell Cette quation locale donne la divergence du champ lectrique en fonction de la densit de la charge lectrique :

Cette quation correspond un terme de source : la densit de charge lectrique est une source du champ lectrique. Par exemple, pour une charge ponctuelle fixe l'origine , la loi de Coulomb donnant le champ lectrostatique en un point de l'espace, point repr par le vecteur position o est le vecteur unitaire radial, s'crit :

Ce champ lectrostatique vrifie l'quation de Maxwell-Gauss pour la source statique :

o

est la distribution de Dirac dans l'espace trois dimensions.

Le thorme de Gauss L'quation de Maxwell-Gauss est hrite du thorme de Gauss, qui permet de lier le flux du champ lectrique travers une surface ferme la charge intrieure cette surface :

o

est une surface ferme arbitraire, appele surface de Gauss, et

la charge lectrique totale intrieure cette surface

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.

On remarquera que l'quation de Maxwell-Gauss se retrouve facilement en appliquant le thorme d'Ostrogradski au thorme de Gauss et en prenant un volume infinitsimal.

quation de Maxwell-ThomsonLe flux du champ magntique travers une surface ferme est toujours nul :


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quations de Maxwell - Wikipdia L'quation locale de Maxwell

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Cette quation locale est au champ magntique ce que l'quation de Maxwell-Gauss est au champ lectrique, savoir une quation avec terme de source , ici identiquement nul :

Elle traduit le fait exprimental suivant : il n'existe pas de monople magntique. Un monople magntique serait une source ponctuelle de champ magntique, analogue de la charge lectrique ponctuelle pour le champ lectrique. Or, l'objet de base source d'un champ magntique est l'aimant, qui se comporte comme un diple magntique : un aimant possde en effet un ple nord et un ple sud. L'exprience fondamentale consistant 5 tenter de couper un aimant en deux donne naissance deux aimants, et non un ple nord et un ple sud sparment . Introduction du potentiel-vecteur L'analyse vectorielle montre que la divergence d'un rotationnel est toujours identiquement nulle :

Rciproquement, tout champ de vecteurs dont la divergence est identiquement nulle peut localement tre exprim sous la forme d'un rotationnel. L'quation locale de conservation du flux magntique permet donc de dfinir au moins localement un potentiel-vecteur tel que :

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Le problme important de l'unicit du potentiel-vecteur est discut dans l'article Invariance de jauge de la thorie.

quation de Maxwell-FaradayCette quation locale traduit le phnomne fondamental d'induction lectromagntique dcouvert par Faraday. L'quation locale Elle donne le rotationnel du champ lectrique en fonction de la drive temporelle du champ magntique :

Cela correspond un terme variationnel : la variation du champ magntique cre un champ lectrique. Sa forme intgrale est la loi de Faraday :

o , est la force lectromotrice d'induction dans un circuit lectrique et Introduction du potentiel lectrique

le flux magntique travers ce circuit.

L'analyse vectorielle montre que le rotationnel d'un gradient est toujours identiquement nul :

L'quation de Maxwell-Faraday couple l'existence locale d'un potentiel-vecteur lectrique (scalaire) tel que :

permettent de dfinir (au moins localement) le potentiel

Le problme important de l'unicit du potentiel lectrique est discut dans Invariance de jauge de la thorie.


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quation de Maxwell-AmpreL'quation locale de Maxwell Cette quation est hrite du thorme d'Ampre. Sous forme locale, elle s'crit en termes du vecteur densit de courant :

Introduction du courant de dplacement L'quation prcdente peut se rcrire :

en introduisant le courant de dplacement de Maxwell :

La forme intgrale lie la circulation du champ magntique sur un contour C ferm, et les courants qui traversent une surface S s'appuyant sur ce contour. C'est une consquence directe du thorme de Green :

quation de conservation de la chargePrenons la divergence de l'quation de Maxwell-Ampre :

On peut crire en permutant les drives spatiales et temporelles, puis en utilisant l'quation de Maxwell-Gauss :

On obtient finalement l'quation locale de conservation de la charge lectrique :

La prsence du terme de courant de dplacement, introduit par Maxwell, est essentielle l'obtention de cette quation.

Invariance de jauge de la thorieL'analyse vectorielle montre que la divergence d'un rotationnel est toujours identiquement nulle :

L'quation locale de conservation du flux magntique permet donc de dfinir au moins localement un potentiel-vecteur

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tel que :


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quations de Maxwell - Wikipdia L'analyse vectorielle nous dit galement que

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Alors le potentiel-vecteur n'est pas dfini de manire unique puisque la transformation suivante, avec

une fonction quelconque

ne modifie par la valeur du champ . Ceci est un exemple de transformation de jauge. Il faut donc imposer des conditions supplmentaires pour dfinir de faon non-ambigu. On appelle cela des conditions de jauge, par exemple la jauge de Coulomb ou encore la jauge de Lorenz. Le lecteur notera qu'en physique classique, le potentiel-vecteur semble n'tre qu'un outil mathmatique commode pour analyser les solutions des quations de Maxwell, mais ne semble pas tre une grandeur physique directement mesurable. En 1959, dans le cadre de la physique quantique, 8 Aharonov et Bohm ont dmontr que le potentiel-vecteur avait un effet observable en mcanique quantique : c'est l'effet Aharonov-Bohm. L'analyse vectorielle montre que le rotationnel d'un gradient est toujours identiquement nul :

L'quation de Maxwell-Faraday couple l'existence locale d'un potentiel-vecteur lectrique (scalaire) tel que :

permettent de dfinir (au moins localement) le potentiel

Le potentiel lui non plus n'est pas dfini de faon unique mais la transformation de jauge associe est lie celle de rappelle celle de par souci de clart) et on a

est la suivante (on

Ces deux quations donnent l'invariance de jauge complte des quations de Maxwell.

Solutions des quations du champ lectromagntique.Pour simplifier, conformment la pratique, nous attribuerons ces quations Maxwell, en les appelant quations de Maxwell (EM).

Solutions mathmatiques des quations de Maxwell dans le vide.Rsolvons les EM dans l 'espace ventuellement limit par des conditions qui gardent la linarit. Reprsentons des solutions par des lettres Q, R, ...( ensembles des 6-vecteurs forms des six composantes du champ en tout point de coordonnes x, y, z, t ). Par dfinition de la linarit, Q + R + ..., o , ... sont des constantes relles est une solution. En consquence, les solutions sont reprsentes par les points d'un espace vectoriel rel. Conformment la dfinition introduite en acoustique, un mode est un rayon de cet espace. Un systme complet de solutions constitue un repre dans cet espace nomm tantt espace des solutions, tantt espace des modes. Une solution particulire dans un mode est obtenue en multipliant un champ de ce mode pos comme champ d'amplitude unit, par une constante relle, l'amplitude. Avec un systme d'units convenable, l'nergie W(Q) d'une solution Q est l'intgrale tendue tout l'espace, un instant donn, de Q ; on oublie trs souvent que cette quation est non-linaire, de sorte que si on peut ajouter des champs, les nergies correspondantes ne s'ajoutent pas. En considrant que W(Q) est le carr scalaire de Q, par des processus d'orthogonalisation de Schmitt, on obtient des systmes complets de solutions orthogonales, ou encore des systmes complets de modes orthogonaux. Dans ces systmes, les nergies sont indpendantes. Planck a pos que l'nergie dans un mode monochromatique de frquence se propageant dans un corps noir la temprature T est w = h/(exp(h/ kT)-1)+K. La valeur errone de K donne par Planck a t corrige par Nernst en 1916 ; la valeur K = h/2 est facilement retrouve car la thermodynamique impose que w tende vers kT lorsque T tend vers l'infini. Cette formule dfinit la temprature d'un mode. Cependant l'interprtation de cette formule est physiquement dlicate car la dfinition d'une frquence pure suppose une exprience de dure infinie.


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Introduction des charges lectriquesOn sait calculer les champs mis par des charges, par exemple le champ mis par un diple lectrostatique oscillant. Pour se ramener au problme prcdent, on utilise le truc de Schwarzschild et Fokker . Le champ mis par une source est nomm champ retard QR. Dpouill de la source, ce champ n'est pas solution des EM. Pour obtenir une solution identique dans le futur, il faut lui ajouter un champ avanc QA. Par cette dfinition, QA + QR est solution des EM. Ainsi, en substituant le champ avanc la source, on est ramen au problme linaire d'un champ dans le vide et on peut dfinir des modes.

Solutions physiques des quations de Maxwell.Le mathmaticien est libre d'ignorer des contingences physiques en faisant, de faon plus ou moins implicite, des hypothses irralistes ; ainsi nous avons suppos qu'il existe des systmes lectromagntiques isols dans lesquels il est loisible d'introduire quelques champs choisis ; l'tablissement de la loi de Planck est un exemple remarquable de cette hypothse. Montrons que cette hypothse est physiquement absurde. Sauf peut-tre dans les toiles neutrons, la matire est constitue de particules petites par rapport leurs distances. Ces particules sont les sources des champs lectromagntiques ; le champ mis par une particule dcrot avec la distance, il est donc beaucoup plus intense en son voisinage qu' proximit d'autres particules. Or l'absorption d'un champ est l'addition d'un champ oppos ; la gnration d'un tel champ est difficilement et approximativement obtenue pour obtenir une absorption active en acoustique, au moyen de haut parleurs, pour rduire l'intensit d'un bruit. La gnration de l'oppos du champ lectromagntique cr par une particule, intense en son voisinage requiert l'addition des champs faibles crs par de nombreuses autres particules, ce qui ne fait que compliquer le problme qui apparat ainsi insoluble : il subsiste un champ rsiduel stochastique loin des sources. L'existence ncessaire de champs rsiduels, connue, semble-t-il depuis longtemps, est exploite, dans le cadre de l'lectromagntisme, depuis la fin du dix-neuvime sicle par les charlatans qui se reconnaissent sous des noms tels que radiesthsistes . En lectromagntisme, les physiciens se sont heurts une impossibilit d'valuer ces champs rsiduels jusqu' la dtermination de leur valeur moyenne h/2 par mode monochromatique, 0K, faite par Planck et Nernst. La thorie de l'mission et de l'absorption due Einstein (1917) a t complte par l'interprtation de l'mission spontane de lumire comme une amplification du champ rsiduel. Le sens d'change d'nergie entre une source monochromatique et le champ dpend de l'interfrence du champ mis avec le champ d'origine extrieure prexistant dans le mode, donc simplement des phases relatives. Le champ rsiduel dans un corps noir 0K, habituellement nomm champ du point zro , est souvent prsent comme un champ mystrieux d'origine quantique, prsentation absurde puisque sa valeur moyenne a t correctement value par Nernst plus de dix ans avant la naissance de la mcanique quantique ; sans sa connaissance il n'aurait pas t possible de fonder l'lectrodynamique quantique en identifiant l'nergie lectromagntique d'un mode celle d'un oscillateur harmonique quantique. Il faut se garder de penser que dans un mode il y a deux champs, un champ usuel et un champ du point zro ; une telle conception serait absurde puisque le champ dans un mode dpend d'un seul paramtre rel, l'amplitude du champ. Ainsi, une absorption d'un mode ne peut rduire l'amplitude du champ que jusqu' une limite infrieure qui correspond, en moyenne, l'nergie h/2 ; une mission est une amplification d'un champ prexistant ; elle est dite spontane si le champ prexistant correspond une nergie voisine de h/2, et induite si cette nergie est notablement suprieure h/2.

Quantification en lectrodynamique classique.Un systme physique possde, en gnral, des minimums d'nergie relatifs. En rgime non volutif (stationnaire), le systme, excit par un champ lectromagntique de l'ordre de h/2 dans chaque mode qu'il est susceptible d'mettre (donc d'absorber), reste au voisinage d'un minimum d'nergie ; pour chaque mode monochromatique, son excitation l'amne rayonner un champ en quadrature avec le champ incident, ce qui ne produit aucun change d'nergie permanent, mais introduit un retard, la rfraction. Pour un champ plus intense, en particulier en raison d'une fluctuation favorable du champ, le systme peut franchir un col de son diagramme d'nergie et absorber une nergie h cette absorption peut conduire un niveau peu stable d'o le systme peut voluer rapidement vers d'autres niveaux, en une cascade plus ou moins radiative qui l'amne un tat stationnaire, stable. Dans une thorie classique, aucun paradoxe ne peut tre admis, en particulier le paradoxe d'Einstein, Podolsky et Rosen n'existe pas : supposons qu'un atome perde une nergie de rsonance h, par exemple par le rayonnement d'un diple. Le mode d'mission de ce diple n'est pas orthogonal aux modes d'mission (donc d'absorption) d'autres atomes dont l'amplitude peut tre accrue ; 0, 1, 2, ... atomes peuvent alors absorber h, mme si, en moyenne, un seul atome est excit ; les champs rsiduels jouent le rle d'un bain thermodynamique.

Quelques erreurs habituellesIl a t crit que l'lectron d'un atome d'hydrogne suivant une orbite de Bohr met un champ, donc rayonne de l'nergie et devrait tomber sur le noyau. L'lectron met bien un champ, mais d'nergie trs faible en raison de l'interfrence du champ mis avec le champ rsiduel ; cette nergie tombe zro si l'orbite est lgrement corrige, de sorte que l'nergie de l'tat stationnaire subit le dcalage de Lamb.


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L'tude de l'amorage d'un laser semble indiquer que le champ du point zro induit une mission deux fois plus intense qu'un champ d'intensit plus grande. Pour tenir compte de ce rsultat, on peut introduire une radiation de raction , ad hoc. La vritable explication est trs simple : un atome est excit par un champ dans le mode qu'il peut mettre, dit sphrique ; au dmarrage du laser, il existe dans ce mode une amplitude correspondant h/2 ; le laser fonctionne sur un mode d'onde plane dont il faut prendre la composante sphrique pour exciter l'atome, ce qui divise l'nergie par deux. Il n'existe pas de systme lectromagntique isol ; oublier que le champ minimum est le champ du point zro conduit des erreurs lorsqu'on dtecte des champs faibles.

Formulation covarianteNB Cette partie suit les conventions de signe classiques de MTW9

Cette partie adopte galement la convention de sommation d'Einstein.

Gomtrie de l'espace-temps de MinkowskiL'espace-temps de Minkowski (1908) est une varit diffrentielle M plate munie d'une mtrique lorentzienne. Soit un systme de coordonnes quelconque x autour d'un vnement (point) P de l'espace-temps, et soient espace tangent la varit au point . Un vecteur tangent une base locale de TxM,

s'crit alors comme la combinaison linaire :

Les w sont appele les composantes contravariantes du vecteur w. Le tenseur mtrique

est la forme bilinaire symtrique

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:

Dans une base orthonorme d'un rfrentiel inertiel, ses composantes covariantes

sont :

Ses composantes contravariantes vrifient :

On obtient explicitement :

On utilisera ci-dessous les conventions usuelles suivantes : un indice grec varie de 0 3. Il est associ une grandeur dans l'espace-temps. un indice latin varie de 1 3. Il est associ aux composantes spatiales d'une grandeur dans l'espace-temps. Par exemple, les composantes contravariantes du 4-vecteur position s'crivent dans un systme de coordonnes orthonormales :

Le tenseur mtrique dfinit pour chaque point de l'espace-temps un pseudo-produit scalaire (pseudo au sens o l'hypothse de positivit est retire) dans l'espace TxM euclidien tangent M au point x. Si et sont deux vecteurs de TxM, leur produit scalaire s'crit :

En particulier, en prenant deux vecteurs de base, on obtient les composantes :


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w dsignant les composantes contravariantes du vecteur w, on peut dfinir de mme ses composantes covariantes par :

Par exemple, les composantes covariantes du 4-vecteur position s'crivent dans un systme de coordonnes orthonormales :

Quadri-gradientOn introduit l'oprateur diffrentiel quadri-gradient par ses composantes covariantes :

Ses composantes contravariantes s'crivent :

L'oprateur invariant d'Alembertien s'crit par exemple :

Quadri-potentielOn introduit le quadri-potentiel lectromagntique par ses composantes contravariantes :

o V est le scalaire potentiel lectrique, et

le potentiel-vecteur magntique. Ses composantes covariantes s'crivent :

Les lois de transformation de jauge crite prcdemment sont donc rsumes dans cette notation sous la forme

La condition de jauge de Lorenz s'crit par exemple de faon covariante :

Quadri-courantOn introduit le quadri-courant lectromagntique par ses composantes contravariantes :

o est le scalaire densit lectrique de charge, et

le vecteur densit de courant. Ses composantes covariantes s'crivent :


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Tenseur de MaxwellLe tenseur lectromagntique est le tenseur anti-symtrique de rang deux dfini partir du quadri-potentiel par :

Ses composantes covariantes s'crivent explicitement :

On obtient ses composantes contravariantes en crivant :

La mtrique tant diagonale dans un rfrentiel inertiel, on obtient alors les formules suivantes, sans sommation sur les indices rpts :

soit explicitement :

quations de Maxwell sous forme covarianteLes quations de Maxwell se mettent sous forme relativiste covariante. Les deux quations de Maxwell sans termes de sources s'crivent :

Les deux quations de Maxwell avec termes de sources s'crivent :

Puisque le tenseur de Maxwell est anti-symtrique, cette dernire relation entrane en particulier que le quadri-courant est conserv :

quation de propagation pour le quadri-potentiel en jauge de LorenzEn crivant explicitement le tenseur de Maxwell en termes du quadri-potentiel dans l'quation covariante avec terme de sources, on obtient pour le membre de gauche :

Dans la jauge de Lorenz , le second terme disparat, et l'quation de Maxwell avec terme de sources se rduit une quation de propagation pour le quadri-potentiel :


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La solution de cette quation s'crit de faon simple si l'on connat une fonction de Green de l'quation de propagation, c'est--dire une fonction G 11 (x) solution de l'quation aux drives partielles :

o (x) est la distribution de Dirac. On obtient alors le quadri-potentiel sous la forme d'un produit de convolution :

Exemple : les potentiels retardsEn lectrodynamique classique, on utilise le plus souvent la fonction de Green retarde qui satisfait l'hypothse de causalit :

quations de Maxwell-Lorentz dans les milieux matriels Liens internesVecteur de Poynting tablissement de l'quation de propagation partir des quations de Maxwell lectrodynamique des milieux continus Invariance de Lorentz Champ de Maxwell

Bibliothque virtuelleRuth Durrer ; Electrodynamique II (http://mpej.unige.ch/~durrer/courses/eldynii.ps.gz) (PostScript) : cours approfondi donn par l'auteur (Dpartement de Physique Thorique, Universit de Genve, Suisse) aux tudiants de deuxime anne de premier cycle (123 pages). Jean-Michel Raimond ; [PDF]Electromagntisme & relativit restreinte (http://www.phys.ens.fr/cours/notes-de-cours/jmr/ electromagnetisme.htm) : cours approfondi (mcanique analytique, relativit & lectromagntisme) donn par l'auteur (laboratoire KastlerBrossel, ENS Ulm, Paris) aux tudiants de premire anne du Magistre Interuniversitaire de Physique.

BibliographieCoursOuvrages d'introduction Accessible au niveau du premier cycle universitaire. Richard P. Feynman ; Le cours de physique de Feynman, InterEditions (1979). Le grand thoricien de l'lectrodynamique quantique, prix Nobel 1965 (http://nobelprize.org/physics/laureates/1965/feynman-bio.html) , nous donne ici un superbe cours d'introduction l'lectromagntisme classique. Publi en deux volumes : Electromagntisme I, ISBN 2-7296-0028-0. Rdit par Dunod, ISBN 2-10-004861-9. Electromagntisme II, ISBN 2-7296-0029-9. Rdit par Dunod, ISBN 2-10-004316-1. Ouvrages de rfrences John D. Jackson ; lectrodynamique classique - Cours et exercices d'lectromagntisme, Dunod (2001), ISBN 2-10-004411-7. Traduction franaise de la 3e dition du grand classique amricain. Lev Landau & Evguni Lifchitz ; Cours de physique thorique - Tome 2 : Thorie des champs, Mir (4e dition-1989), ISBN 5-03-000641-9.


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quations de Maxwell - Wikipdia Wolfgang K. H. Panofsky et Melba Phillips ; Classical electricity and magnetism, Addison-Wesley (2e dition-1962). Rdit par : Dover Publications, Inc. (2005), ISBN 0-486-43924-0. L'ouvrage de rfrence en lectrodynamique classique avant la parution du Jackson

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Aspects historiquesJames Clerk Maxwell ; Trait d'lectricit et de Magntisme, Gauthier-Villars, tome I (1885) et tome II (1887). Rdit par Jacques Gabay (1989), ISBN 2-87647-045-4. Hendrik-Antoon Lorentz ; The Theory of Electrons and its Applications to the Phenomena of Light and Radiant Heat - A Course of Lectures delivered in Columbia University, in March and April 1906, B.G. Teubner (Leipzig - 2e dition : 1916). Rdit par Jacques Gabay (1992), ISBN 2-87647-130-2. Olivier Darrigol ; Les quations de Maxwell - de MacCullagh Lorentz, Belin (2005), ISBN 2-7011-3073-5. Historien des sciences, Olivier Darrigol est chercheur au CNRS. Les quations de Maxwell, vritable monument scientifique, fournissent une description prcise de lensemble des phnomnes lectromagntiques. Bien que James Clerk Maxwell ait jou le rle le plus minent dans leur introduction, elles sont apparues dans des contextes divers sous la plume de plusieurs auteurs (MacCullagh, Maxwell et Lorenz) et nont acquis leur interprtation moderne que grce aux efforts dhritiers de Maxwell (Heaviside, Hertz et Lorentz). Cest ce que montre lauteur, travers ltude dtaille de textes fondateurs crits dans les deux derniers tiers du XIXe sicle. Edmund T. Whittaker (Sir) ; A History of the Theories of Aether and Electricity, Springer Verlag/A.I.P. Press (1986) ISBN 0-88318-523-7, rdit par Dover (1990) ISBN : 0-48626-126-3. Le premier volume (Part I : the classical theories, from the age of Descartes to the close of the nineteenth century) de cette histoire rudite a t publi Dublin en 1910. Le second volume complmentaire (Part II : the modern theories 1900-1926) est quant lui paru en 1953. Ce livre essentiel est malheureusement aujourd'hui puis. Whittaker, mathmaticien appliqu, est galement co-auteur(avec G.N. Watson) du trs clbre et indmodable cours d'analyse : A Course of Modern Analysis (Cambridge University Press) paru initialement en 1902. Olivier Darrigol ; Electrodynamics from Ampre to Einstein, Oxford University Press (2000) ISBN 0-19-850593-0. Volta invente la pile lectrique en 1800. Cette dcouverte capitale va initier un nouveau champ de recherche : l'lectrodynamique, initialement science des courants circulants dans les fils, par opposition aux phnomnes lectrostatique des charges fixes connus depuis l'Antiquit. La premire loi fondamentale de cette lectrodynamique est tablie par Ampre en 1820 : il s'agit de la loi de force qui s'exerce entre deux fils parcourus chacun par un courant. Cette histoire de l'lectrodynamique dtaille le chemin parcouru entre cette loi d'Ampre de 1820 et le triomphe de la thorie des champs de Maxwell-Lorentz-Faraday avec son interprtation par Einstein en 1905 dans le cadre de la thorie de la relativit restreinte. Historien des sciences, Olivier Darrigol est chercheur au CNRS. John D. Jackson & L.B. Okun ; Historical roots of gauge invariance, Review of Modern Physics 73 (2001) 663-680 (http://dx.doi.org/10.1103/ RevModPhys.73.663) . Texte complet disponible sur l'ArXiv : hep-ph/0012061 (http://fr.arxiv.org/abs/hep-ph/0012061) .

Notes et rfrences1. L'quation de Maxwell-Faraday est lgrement diffrente de l'quation propose initialement par Michael Faraday. Les deux versions sont toutes deux des lois correctes de la physique mais elles ont une porte diffrente, par exemple selon qu'on considre ou non la force de Lorentz, provoque par le champ lectromagntique, qui agit sur les charges. Voir la loi de Lenz-Faraday pour plus de dtails. 2. Avec la terminologie actuelle: la constante lectrique peut tre estime en mesurant la force reliant deux charges et en utilisant la loi de Coulomb ; la constante magntique peut tre estime en mesurant la force reliant deux conducteurs chargs lectriquement et en utilisant la loi d'Ampre. Le produit de ces deux valeurs lev la puissance (-1/2) est la vitesse du rayonnement lectromagntique telle que prdite par les quations de Maxwell, en mtres par seconde. 3. http://www.zpenergy.com/downloads/Orig_maxwell_equations.pdf 4. Pour calculer explicitement le champ lectrique, le thorme de Gauss n'est utilisable que dans des cas simples, possdants une haute symtrie : symtries sphrique, cylindrique et plane. Il est alors possible de calculer explicitement le flux du champ travers une surface de Gauss possdant la mme symtrie. 5. Certaines thories quantiques modernes de l'unification des interactions fondamentales prdisent l'existence de monoples magntiques, mais ces objets n'ont ce jour jamais t observs. Par ailleurs, Dirac a montr en 1930 comment l'existence d'un monople magntique pourrait expliquer de faon lgante la quantification de la charge lectrique observe exprimentalement. Pour une revue de l' tat de l'art actuel, lire par exemple Kimball A. Milton, Theoretical and experimental statut of magnetic monopoles, Report on Progress in Physics 69 (2006), 1637-1711. 6. Localement signifie ici dans un voisinage de chaque point de l'espace physique. Le problme de savoir si on peut dfinir globalement un potentiel-vecteur sur un espace donn conduit devoir se poser des questions sur la cohomologie de cet espace, un concept issu de la gomtrie diffrentielle. 7. Localement signifie : dans le voisinage de chaque point de l'espace physique. Le problme de savoir si on peut dfinir globalement un potentiel-vecteur sur un espace donn conduit devoir se poser des questions sur la cohomologie de cet espace, un concept issu de la gomtrie diffrentielle. 8. Y. Aharonov & D. Bohm ; Significance of electromagnetic potentials in quantum theory, Physical Review 115 (1959), 485491. 9. C. W. Misner, Kip S. Thorne & John A. Wheeler ; Gravitation, Freeman & Co. (San Francisco-1973), ISBN 0-7167-0344-0. 10. Dans cette formule, dx dsigne la base duale de dans l'espace cotangent , c'est--dire la forme linaire sur TxM telle que : 11. Il existe potentiellement plusieurs fonctions de Green pour cette quation, diffrentes l'une de l'autre par les conditions aux limites choisies. En lectrodynamique classique, on utilise le plus souvent la fonction de Green retarde.

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