7/25/2019 Equations Surface

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SURFACESUSUELLESETQUATIONS

Lespace affineE estmuni dun repre orthonorm , , ,R O i j k

=

.

On dsignera par ( )Ox (resp. ( )Oy , ( )Oz ) laxe des abscisses (resp. ordonnes, cotes)

I. L!"

#OO$I%IO"&. $oit le planPpassant par le point ( ), ,A A AA x y z et dont un couple de 'ecteurs directeurs est

, u u

oa

u bc

et

au b

c

.

*n point ( ), ,M x y z de lespace appartient au plan sil existe un couple ( ), tel +ue AM u u

= + . On obtient alors des quations paramtriquesdu planP

. . . . . .

A

A

A

x x a ay y b bz z c c

= + + = + += + +

-n liminant et , on obtient une relation entrex,yetz+ui est une +uation cartsienne du planP.

%/O#01-&. %out planPde lespaceEa une +uation cartsienne du t2pe3ax by cz d + + + = o ( ) ( ), , 3, 3,3a b c

*n 'ecteur normal&4 ce plan a pour coordonnes ( ), ,a b c .On a dans ce cas une +uation de la forme

( ), , 3F x y z =

5ans lh2pothse o le rel cest non nul, on obtient une +uation du t2pe z Ax By = + +

+ui est une +uation de la forme ( ),z ! x y=

o( ) ( )

, ,

!

x y ! x y

a

R R Rest appele fonction6des deux 'ariablesxety.

La reprsentation graphi+ue dune telle fonction est la surface, ensemble des pointsMde coordonnes ( )( ), , ,x y ! x y .

&un 'ecteur est normal 4 un plan si et seulement si

a" il est non nulb" il est orthogonal 4 un couple de 'ecteurs directeurs de ce plan.6pour des fonctions de deux 'ariables sont dfinies comme pour des fonctions dune 'ariable les problmes de continuit et dediffrentiabilit, notions +ui re+uirent au pralable la notion (topologi+ue) dou'ert. Les inter'alles ou'erts de R sont remplacsici par les dis+ues ou'erts.

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La figure ci7contre trace a'ec le logiciel 1aple faitappara8tre deux plans d+uations respecti'es

3z=6 &z x y= +

La s2ntaxe utilise est plot9d(:6;x7279..6,2>7&..?,axes>framed) @

La figure ci7contre a t ralise a'ec la tableur7grapheur-xcel 4 partir du tableau de 'aleurs ci7dessous

la srie des abscisses correspond 4 la plage A& B&la srie des abscisses correspond 4 la plage !6 !C.On peut 'isualiser les deux plans prcdents.

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III. DKLI"5#-

&) D2lindre de r'olution

a"5finition et +uation du c2lindre

z

m '

m

Rest un rel positif.

Le cylindre de rvolutionC daxe ( )Oz et de basele

cercle du planE( ( )3x y de centre Oet de ra2onRestlensemble des points de lespace dont la distance 4 laxe

des cotes ( )Oz est gale 4R.

La droite m passant par le point mdu cercle etparallle 4 laxe du c2lindre est appele nratriceduc2lindre .

On a donc mm

= UC .

La section du c2lindre par le planEest le cercle dfini

anal2ti+uement par 6 6 63z

x y R

= + =

. 5e mFme, la section

de ce mFme c2lindre par le plan d+uation z a= est un

cercle d+uations 6 6 6z a

x y R

= + =

.

*ne +uation du c2lindre Cest 6 6 6x y R+ =

b"$ection par des plans parallles aux plans de coordonnes

$i lon considre les traces des plans parallles au plan ( )yOz (resp. ( )xOz ) d+uations respecti'es x a= (resp.

y a= ), on obtient i"si a R< , deux gnratrices

ii"si a R= , une gnratrice

iii" si a R> , lensemble 'idec"Doordonnes c2lindri+ues

Le point mdu planEpeut Ftre repr, relati'ement au repre orthonorm direct , ,O i j

par un couple ( ),R

de coordonnes polaires. Le point( )

, , ,, ,

O i j k M x y z

se proHetant en mest alors repr par le triplet ( ), ,R z

appel s2stme de coordonnes cylindri!ues.6) D2lindre +uelcon+ue

-n choisissant en lieu et place du cercle, toute autre courbe plane (ellipse, h2perbole, parabole, droite, M) et enconsidrant le lieu des pointsMde lespace se proHetant en un point +uelcon+ue de , on obtient encore un c2lindreN.

le c2lindre Ca une structure de fibr sur le cercleNsi la courbe est paramtre par le rel t) i*e*si les coordonnesxetyde msont fonctions de t

(e*&*pour le cercle , on aurait { cossinx R ty R t== ), tout pointMdu c2lindre sera paramtr par tet un autre paramtre ucomme suit ( ) ( ), .t u tOM Om u k

= +

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I. DP"-

&) DGne de r'olution de sommet Oet daxe (Oz).

a etRsont des rels strictement positifs. est le cercle du planPd+uation z a= de centre ( )3,3,A a et de ra2onR.

Le c"ne de rvolutionC de sommet O, daxe (Oz)et de base est la runion des nratrices ( )m Om = o mdcrit le cercle .

Mappartient au cGne Csi et seulement si il existe un point m

du cercle et un rel ttels +ue .OM t Om=

.

*n point m+uelcon+ue du cercle a des coordonnes de la

formeC ( ), ,+ , a o 6 6 6+ , R+ = .

Les coordonnes ( ), ,x y z du pointM, dfini de manireuni'o+ue 4 laide du point met du rel t, sont donnes par

x t +y t,z t a

= ==

. -n liminant le paramtre t, on aboutit 4 une

+uation du cGne C6

6 6 6

6

Rx y z

a+ =

$i lon dsigne par le demi7angle (gomtri+ue) au sommet du cGne, le secteur angulaire [ ) [ )( ),OA Om a2ant

une mesure gale 4 +uel+ue soit le point m de , on a tan R

a= . Le cGne Ca une +uation de la forme

( )6 6 6 6tanx y z+ = 6) $ections par des plans remar+uables

a"lan parallle au plan ( )xOy

#OO$I%IO"&. Le planPd+uation z a= coupe le cGne Cd+uation 6 6 6 6x y r z+ = (o 3r> ) selon le

cercle du planPde centre ( )3,3,A a et de ra2on r a .

b"lan parallle au plan ( )xOz ou ( )yOz

#OO$I%IO"&. Le plan ( )yOz coupe le cGne Cd+uation 6 6 6 6x y r z+ = (o 3r> ) selon deux droites &-

et 6- d+uations respecti'es

{

3

3

x

y r z

=

=,

{

3

3

x

y r z

=

+ =.

%/O#01-&. La section du cGne Cd+uation 6 6 6 6x y r z+ = (o 3r> ) par le plan d+uation x a= ( 3a )

est une h2perboleHde sommet ( ),3,3# a et das2mptotes les droites d+uations respecti'es

{ 3x ay r z

= = , { 3

x ay r z

=+ =

Cma aussi des coordonnes de la forme ( )cos , sin ,R R a o ] ], .