C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009) 457–462

Problèmes mathématiques de la mécanique

Équilibre d’un solide élastique en grandes déformations

Michel Frémond

Università di Roma Tor Vergata, via del Politecnico 1, 00133 Roma, Italie

Reçu le 7 octobre 2008 ; accepté le 31 octobre 2008

Disponible sur Internet le 14 mars 2009

Présenté par Philippe G. Ciarlet

Résumé

On étudie les positions d’équilibre d’un solide en grandes déformations. On prend le parti d’accepter que le solide puisse s’aplatiren un solide de dimension inférieure. Une structure écrasée par un marteau-pilon est un exemple d’une telle situation. De plus, onprend en compte les variations spatiales de la matrice de rotation. On montre que sous des hypothèses raisonnables, il existe dessolutions au problème d’équilibre. Elles peuvent ne pas être uniques. Pour citer cet article : M. Frémond, C. R. Acad. Sci. Paris,Ser. I 347 (2009).© 2009 Académie des sciences. Publié par Elsevier Masson SAS. Tous droits réservés.

Abstract

Equilibrium positions of a solid in large deformations. We investigate equilibrium positions of a solid in large deformations.We take the party that a solid can flatten in a solid with a lower dimension. A structure flattened by a power hammer is an exampleof such a situation. Moreover, we take into account the spacial variations of rotation matrix. We prove that under reasonableassumptions, there exist equilibrium positions which may be non-unique. To cite this article: M. Frémond, C. R. Acad. Sci. Paris,Ser. I 347 (2009).© 2009 Académie des sciences. Publié par Elsevier Masson SAS. Tous droits réservés.

Abridged English version

In Note [3], we investigate the motion of an elastic solid in large deformations. In the predictive theory we take intoaccount the spatial variation, grad R, of the rotation matrix R of polar decomposition F = RW. The principle of virtualpower involves the gradient of the angular velocity. It gives an equation of motion (see Eqs. (1) and (2)) introducinga new interior force, �α a torque flux. In large deformations, self-contact or self collision may occur, see Fig. 1. Selfcontact introduces contact forces defined in Eq. (4) with constitutive law given in Eq. (12). Self collision, introducescontact percussions investigated in [2]. The local impenetrability condition we choose (see Eq. (5)), requires that theeigenvalues of the extension matrix W are non-negative. Our parti pris is that the material may flatten into a surface,rank W = 2 (for instance when a structure is flattened by a power hammer), a curve, rank W = 1 (for instance whenan ingot is transformed into a wire in an extruder), even into a point, rank W = 0. Free energy Ψ (W,grad R) involvesthe indicator function of convex cone C of the symmetric semi definite positive matrices, see Eq. (6). The constitutive

Adresses e-mail : fremond@lagrange.it, michel.fremond@uniroma2.it.

1631-073X/$ – see front matter © 2009 Académie des sciences. Publié par Elsevier Masson SAS. Tous droits réservés.doi:10.1016/j.crma.2009.02.001

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laws are given by the derivatives and the subgradients of the free energy, Eqs. (7)–(10). They introduce impenetrabilityreactions (see Eq. (8)) which result from symmetric matrices Sreac and antisymmetric matrices Areac which are normalto convex cone C in the linear space, M, of 3 × 3 matrices. For instance, when the solid is flattened into a plate, thereaction is a pressure maintaining the flattening.

Equilibrium positions may be found by minimization of the potential energy (see Eqs. (20) and (21)). Potential en-ergy depends on two quantities: the position x = Φ(a) and the rotation matrix R(a) because this matrix is not uniquelygiven by function Φ when rank W < 2. The kinematically admissible couples (Φ,R), those which may be reachedfrom position Φ(a) = a and rotation matrix R = I, satisfy unilateral and bilateral boundary conditions (see Eqs. (17)and (18)) and no global interpenetration occurs. The global non-interpenetration condition for a position functionΦ(a) is that there exist non-flattened non-interpenetrating position functions Φε(a) close to Φ(a) (see Eq. (16) andFig. 2). Proposition 4.1 proves that the set of kinematically admissible couples (Φ,R) is non-empty and sequentiallyweakly closed in (W 1,p(Da))

3 × (H 1(Da))9, p > 3.

If the free energy, see Eq. (22), satisfies coercivity and sequential weak semi continuity simple properties andif the exterior forces are smooth functions, we prove that there exist equilibrium couples (Φ,R) which minimizethe potential energy (see problem (21) and Theorem 4.2). Free energy Ψ (W,grad R) may be a convex function of(W,grad R) without any mechanical restriction, for instance free energy given in formula (23). The solutions are notunique because the set of the kinematically admissible (Φ,R) is not convex. When an eigenvalue of W is null, freeenergy may be either finite or infinite: when finite flattening is possible, when infinite flattening is impossible.

1. Introduction

Dans la Note [3], nous avons décrit le mouvement d’un solide élastique en grandes déformations. Nous avons prisle parti d’accepter qu’un matériau puisse s’écraser en un matériau de dimension inférieure. Une structure écraséepar un marteau-pilon est un exemple d’une telle situation. Lorsqu’un solide est transformé en un fil par une filière,la torsion du fil pendant et après sa fabrication est un élément important de son comportement. Nous avons doncchoisi de prendre en compte les variations spatiales de la matrice de rotation R dans la théorie prévisionnelle. Nousétudions l’équilibre d’un solide élastique pouvant avoir de grandes déformations, être en autocontact et être en contactunilatéral ou bilatéral avec un obstacle qui occupe le domaine régulier Dobs (un domaine est un fermé). On montre quesous des hypothèses raisonnables ce problème a des solutions. L’énergie libre peut être, sans inconvénient mécanique,une fonction convexe de la matrice d’extension W.

On utilise les notations de la Note [3]. On note M l’ensemble des matrices 3 × 3 muni du produit scalaireA : B = AijBij = tr(AT B), S ⊂ M le sous ensemble des matrices symétriques et A ⊂ M le sous ensemble desmatrices antisymétriques.

On note x = Φ(a) = (xi) ∈ Dx = Φ(Da) la position d’un point matériel du solide en équilibre qui se trouvaitauparavant au point a = (aα) ∈ Da (le domaine Da est un fermé régulier). On note encore C le cône convexe desmatrices de M qui sont semi définies positives. La décomposition polaire de la matrice gradient F = (Fiα = ∂Φi/∂aα)

est F = RW où R(Φ) est orthogonale directe et W(Φ) est symétrique et unique, [3]. Une partie de la frontière du solidepeut être en contact avec une autre. Cette partie Γauto est à l’intérieur du domaine Dx . Sur la surface d’autocontact, lepoint x ∈ Γauto est la position de deux points matériels a et b, voir la Fig. 1.

2. Les équations d’équilibre

Elles sont données par le principe des puissances virtuelles. Ces puissances introduisent les efforts intérieurs, letenseur de Boussinesq �, le moment M, le courant de moment �α dans Da et la force surfacique �r , le momentsurfacique m sur Φ−1(Γauto) ∩ ∂Da , [3]. Les équations d’équilibre dans Da sont

Πiα,α + fi = 0, �α,α + M + Me = 0, dans Da, (1)

ΠiαNα = gi, �αNα = me, sur Φ−1(∂Dx\∂Dobs) ∩ ∂Da, (2)

Φ−1(∂Dx\∂Dobs) ∩ ∂Da est la partie de ∂Da qui n’a pas pour image une zone de contact (autocontact ou contactavec l’obstacle). Les efforts extérieurs surfaciques gi et me y sont appliqués. Les efforts extérieurs volumiques sontfi et Me . Le vecteur Nα est normal à ∂Da .

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Fig. 1. La position x = Φ(a). Il y a autocontact sur la partie Γauto. Le solide est fixé sur la partie Γ 0a à un obstacle Dobs. Il peut par ailleurs être en

contact unilatéral avec l’obstacle.

Là où il y a autocontact, les équations d’équilibre sont

∀(a, b) = Φ−1(Φ(a)) ∩ ∂Da = Φ−1(Φ(b)

) ∩ ∂Da, a �= b, (3)

�r(a)dSa + �r(b)dSb = 0, �α(a)Nα(a) + m(a) = 0, �α(b)Nα(b) + m(b) = 0, sur Φ−1(Γauto), (4)

où les éléments de surface dSa = dΓ/‖ cof W(a)‖ et dSb = dΓ/‖ cof W(b)‖ sont les images réciproques de dΓ ,élément de surface de Γauto.

3. Les lois de comportement

La condition de non interpénétration locale est

W ∈ C, (5)

où C est le cône convexe des matrices de M qui sont semi définies positives. Cette condition impose que le volumealgébrique de l’image par F d’un parallélépipède ne change pas de signe. Lorsque det W = det F = 0, le matériau estaplati, en une surface si rang W = 2, en une courbe si rang W = 1 et en un point si rang W = 0. Cette propriété del’état du matériau est prise en compte par l’énergie libre volumique qui dépend des variables d’état W et grad R

Ψ (W,grad R) = Ψ(W,‖grad R‖2) + IC(W), (6)

où ‖grad R‖2 = Riα,βRiα,β est une quantité objective et IC est la fonction indicatrice de l’ensemble convexe C, [4].Les lois de comportement pour un matériau élastique sont

� = R(

∂Ψ

∂W+ Sreac + Areac

),

(Sreac + Areac) ∈ ∂IC(W), (7)

Sreac ∈ S, Areac ∈ A, (8)

M = �FT − F�T , (9)

� = 4

(∂Ψ

∂(‖grad R‖2)

)(grad R)RT . (10)

Elles impliquent que l’inégalité de Clausius Duhem est vérifiée et que W ∈ C, [2]. Le sous-différentiel ∂IC(W) estformé des matrices Areac de A et des matrices Sreac de S qui sont normales au cône C dans S au point W ∈ C

∀X ∈ C, (X − W) : Sreac � 0. (11)

Le tenseur RSreac avec Sreac ∈ ∂IC(W) empêche les extensions principales, les valeurs propres de W, de devenirnegatives. Il est, bien sûr, nul lorsque rang W = rang F = 3. On montre, comme on peut s’y attendre, que lorsque le

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solide est aplati en un solide de dimension 2, une plaque par exemple, ce tenseur donne une pression qui maintientl’aplatissement.

Le tenseur RAreac toujours présent, est la somme de deux tenseurs RAreac0 ∈ RA et RAreac

1 ∈ RA avecAreac

1 : Areac0 = 0. Le tenseur RAreac

0 empêche la matrice W de devenir non symétrique ou, suivant la formule (9),la matrice M de devenir non antisymétrique. Il est déterminé par les lois de comportement (7) et (9). La matrice Areac

1 ,nulle pour rang W � 2, donne une réaction de non interpénétration de cisaillement qui est déterminée par les équationsdu mouvement.

Sur la surface d’autocontact Γauto, m = 0 et la réaction de non interpénétration est

�r(a) = ∥∥cof W(a)∥∥

2Rreac �N1

(Φ(a)

), Rreac ∈ R

+, (12)

où �N1 est la normale à Γauto extérieure à la partie relative à Φ(a).

4. Les positionnements d’équilibre

On peut rechercher des positions d’équilibre, celles qui minimisent l’énergie potentielle. Pour cela, on doit définirles couples (Φ,R) que l’on appelle positionnements, qui sont cinématiquement admissibles : ce sont ceux qui peuventêtre atteints à partir de Da avec R = I comme matrice de rotation initiale. Dans le cas du problème d’évolution, cettequestion ne se pose pas puisque les lois de comportement comme (12) sur la surface d’autocontact empêchent deuxparties du solide de s’interpénétrer.

4.1. L’ensemble des positionnements cinématiquement admissibles

On sait que l’ensemble des positionnements

C = {(Φ,R) | ∃W tel que gradΦ = F = RW, RT R = I, det R = 1, W ∈ C

}, (13)

n’est pas l’ensemble des positionnements possibles du solide, c’est à, dire tous ceux qui peuvent être atteints à partirde Da et de la matrice de rotation initiale R = I. En effet (13) n’interdit pas l’interpénétration de deux parties dusolide, [1].

Rappelons qu’un positionnement (Φ,R) sans aplatissement (c’est à dire tel que det F > 0) et qui satisfait∫Dx

dDx �∫Da

det F dDa, (14)

peut être atteint à partir de Da (voir Ciarlet [1], page 230). On note Knf l’ensemble des positionnements sans aplatis-sement qui vérifient (14)

Knf = {(Φ,R) satisfait (14), det F > 0, Φ ∈ C1(Da)

}. (15)

Il n’y a pas interpénétration de deux parties d’un solide dont le positionnement est (Φ,R) s’il existe des positionne-ments sans aplatissement qui peuvent être atteints, (Φε,Rε) ∈ Knf , et sont aussi proches que l’on souhaite de (Φ,R),voir la Fig. 2. Ces positionnements forment l’ensemble

K = {(Φ,R) | ∀ε > 0, ∃(

Φε,Rε) ∈ Knf , tel que

∥∥Φ − Φε∥∥∞ � ε

}. (16)

Sur la Fig. 2 on voit bien que la différence entre deux positions avec ou sans interpénétration, ne peut pas être faitesur Dx mais sur une position voisine Dε

x = Φε(Da) qui n’est pas aplatie.Le solide est fixé sur la partie Γ 0

a sur un obstacle immobile occupant le domaine Dobs, Fig. 1. Il peut être en contactunilatéral avec cet obstacle sur une autre partie, inconnue cette fois, de la surface ∂Dobs. On définit

Kc = {(Φ,R) | (Φ,R) ∈ Ko, Φ ∈ K+}

, (17)

avec

Ko = {(Φ,R) | Φ(a) = a, R = I, sur Γ 0

a

}, K+ = {

x | x /∈ Dobs} = {

x | dobs(x) � 0}, (18)

où dobs est la distance signée à l’obstacle supposé régulier. Les positionnements de Kc vérifient les conditions àla limite unilatérales ou bilatérales et il n’y a pas interpénétration avec l’obstacle. On montre alors que tous lesensembles K, Kc et C sont fermés dans des espaces de Sobolev qui sont raisonnables du point de vue mécanique.

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Fig. 2. Un solide de dimension 2, Da est aplati en une courbe Dx = Φ(Da). Les solides de dimension 2, Dεx = Φε(Da) font la différence entre la

situation où il y a interpénétration (en bas) et la situation où il n’y en a pas (en haut). Pour un exemple en dimension 3, la figure est une coupe d’unsolide aplati en une feuille (une feuille de papier par exemple, la situation du bas demande de couper la feuille de papier pour qu’elle soit traverséepar l’autre partie).

Proposition 4.1. Les ensembles K, Kc et C sont séquentiellement faiblement fermés dans (W 1,p(Da))3 × (H 1(Da))

9,p > 3. Leur intersection est non vide.

4.2. Les efforts extérieurs

On suppose qu’il n’y a pas de moment extérieur appliqué, Me = 0 et me = 0. La force �g est appliquée sur la partieΓ 1

a de la frontière. Le travail des forces extérieures dans un déplacement Φ − a est

T e(Φ

) =∫Da

�f · (Φ − a)

dDa +∫Γ 1

a

�g · (Φ − a)

dSa. (19)

4.3. Les positionnements d’équilibre

Un positionnement qui est un bon candidat pour être un positionnement d’équilibre minimise l’énergie potentielle

F(Φ, R

) =∫Da

Ψ(W

(Φ

),grad R

)dDa − T e

(Φ

), (20)

sur l’ensemble des positionnements qui sont cinématiquement admissibles (Φ, R) ∈ K ∩ Kc ∩ C . On montre que sousdes hypothèses raisonnables ce problème

inf{

F(Φ, R

) ∣∣ (Φ, R

) ∈ K ∩ Kc ∩ C ∩ (W 1,p

(Da

))3 × (H 1(Da

))9}, (21)

a des solutions :

Théorème 4.2. Si la fonction

h(W, R

) =∫Da

Ψ(W,grad R

)dDa, (22)

de (W, R) est coercive et séquentiellement faiblement semi-continue inférieurement sur (Lp(Da))6 ×(H 1(Da))

9 avecp > 3 et si les forces �f et �g appartiennent à (Lq(Da))

3 et à (Lq(Γ 1a ))3, ((1/p) + (1/q) = 1), alors le problème (21)

a des solutions.

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Un exemple d’énergie libre vérifiant les hypothèses du théorème est

Ψ(W,grad R

) = k1

p

∥∥W − I∥∥p + k2

2

∥∥grad R∥∥2

. (23)

Remarque. L’énergie libre précédente Ψ (W,grad R) est une fonction convexe de W. Notons que cela n’implique pasque Ψ est une fonction convexe de F = RW. Dans le cas où rang W = 3, p = 2 et Areac

1 = 0, on a

� = R∂Ψ

∂W= ∂Ψ

∂F= k1R(W − I), σ = k1

J�FT = k1

JR

(W2 − W

)RT . (24)

Les contraintes principales de Cauchy σi = (k1/J )(λ2i −λi) où J = det F et les λi sont les valeurs propres de W, sont

négatives lorsque les λi < 1. Cette propriété est impossible si F → Ψ (F) est une fonction convexe (voir Ciarlet [1],page 170), parce que σi + σi+1 doit être positive ou nulle. Alors Ψ (F) n’est pas une fonction convexe de F. Si l’onremplace ‖W − I‖2 par ‖W‖2 = F : F, l’énergie libre devient une fonction convexe de F, ayant σi = (k1/J )λ2

i > 0comme contraintes principales de Cauchy.

Notons aussi que la fonction F (Φ, R) est minimisée sur un ensemble non convexe. Les solutions du problème (21)peuvent alors ne pas être uniques. Remarquons enfin que l’énergie libre peut être finie ou infinie lorsque det W =det F = 0. Si elle est infinie, l’aplatissement est alors impossible.

Références

[1] P.G. Ciarlet, Mathematical Elasticity, vol. I: Three-Dimensional Elasticity, North-Holland, Amsterdam, 1988.[2] M. Frémond, Non-Smooth Thermomechanics, Springer-Verlag, Heidelberg, 2002.[3] M. Frémond, Grandes déformations et comportements extrêmes, C. R. Mecanique 337 (2009); doi:10.1016/j.crme.2009.01.003.[4] J.J. Moreau, Fonctionnelles convexes, Séminaire sur les équations aux dérivées partielles, Edizioni del Dipartimento di Ingegneria Civile

dell’Università di Roma Tor Vergata, Roma, ISBN 9 788862 960014, 2003. Collège de France, 1966.